3

Preguntas Propuestas

. . .

2

Álgebra

División algebraica II

1. Halle el cociente y el resto en la división:

ax a x a xax

3 23 2 5 6 102

+ − + − +−

( ) ( )

Considere a ≠ 0

A) q(x)=x2+5; R(x)=20

B) q(x)=x2+3x – 5; R(x)=20

C) q(x)=x2 – 3x+5; R(x)=20

D) q(x)=x2+3x+5; R(x)=20

E) q(x)=x2+3x+5; R(x)=10

2. En la división

nx n x nx nnx

n3 2 2 21 2

10

+ −( ) + +−

∈ − { }; R

la suma de coeficientes del cociente es 6. Cal-

cule el residuo.

A) 2 B) 5 C) – 2

D) 7 E) 0

3. Si los coeficientes del cociente de la división

8 182 3

4 3 2x x ax bx cx

+ + + ++

son números conse-

cutivos y el residuo es R(x)=– 8, calcule el pro-

ducto abc.

A) – 510

B) – 130

C) – 640

D) – 260

E) – 520

4. Si Q(x)=2x3 – x+10 es un polinomio tal que

Q(x+1) ÷ (x – 2) deja residuo R(x)=a+1, calcule

el valor de a.

A) 70 B) 63 C) 54

D) 60 E) 62

5. Si la división algebraica

mx nx px xx

4 3 2

25 2

1− + − +

− deja resto

R(x)=3x+5, calcule el valor de m+n+p.

A) – 8 B) 2 C) – 5

D) – 6 E) – 3

6. Respecto a la división algebraica x

x

3

2 1+, indi-

que lo correcto.

A) Es exacta.

B) Su resto es R(x)=x – 1.

C) Su resto es R(x)=– 1.

D) Su resto es R(x)=– x.

E) Su cociente es q(x)=x – 1.

7. Calcule el resto de la división

8 4 2 7 2 12 1 1

6 5 2x x x x xx x

+ − − −( ) −( )+( ) −( )

A) x – 1B) 0 C) 1D) x+1E) – 1

8. Si el polinomio P(x)=x4+ax3 – bx2+cx –1 es di-visible por (x –1)(x+1)(x –2), halle el valor de (a+b+c).

A) 8 B) 64 C) 27D) 0 E) 1

9. ¿Cuál es el número que se le debe restar al po-linomio P(x)=2x5 – x3 – 2x2+1 para que sea di-visible por (x – 2)? De cómo respuesta la suma cifras de dicho número.

A) 10 B) 19 C) 13D) 16 E) 9

3

Álgebra10. ¿Qué condición debe cumplir los números rea-

les b y c para que el polinomio x2+bx+c sea

divisible por x –1?

A) b – c=1

B) c – b=2

C) b – c=– 1

D) b+c=1

E) b+c=– 1

Factorización I

11. Si f(x)=x – 2

es un factor primo del polinomio

P(x)=ax3 – 2ax2 – bx+a; ab ≠ 0

calcule el valor de a/b.

A) – 1 B) 1/2 C) 1

D) 2 E) – 1

12. Dado el polinomio

P(a; b)=4a2b2 – a2+4b2 – 1

indique la cantidad de factores primos lineales.

A) 4 B) 3 C) 2

D) 1 E) 0

13. ¿Cuántos factores primos admite el siguiente

polinomio?

P(x; y)=6x3y2 – 12xy3.

A) 5 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

14. Determine la suma de los factores primos del

siguiente polinomio

F(x; y)=x2 – y2+(x – y)+x2y – xy2.

A) 2x+2y+2

B) x+2y

C) 2x+2

D) 2x+y

E) 2x – 2y

15. Señale cuál de los siguientes polinomios divide

exactamente a Q(x)

Q(x)=x2 – 13x+36

A) x –1

B) x –12

C) x+6

D) x –18

E) x – 4

16. Factorice el polinomio sobre Z

f(x; y)=(x2 – 2xy – 48y2)(x2 – y2)(x · y)

luego indique verdadero (V) o falso (F) según

corresponda.

I. (x2 – y2) es un factor de f(x; y).

II. (xy) es un factor primo de f(x; y).

III. (x+6y) es un factor primo de f(x; y).

A) VFV B) FVV C) FFV

D) VVV E) FFF

17. Dado el esquema del aspa simple

Q(x)=8x4 – mx2+(n+2)

4x2

nx2– 1– (n+2)

indique el factor primo sobre Z con menor

suma de coeficientes.

A) 2x+1

B) 2x – 1

C) x2+2

D) x2 – 2

E) 2x2+1

. . .

4

Álgebra

18. ¿Para que valor de m, los siguientes polino-

mios P(x)=x3 – 33; Q(x)=x2+x+m, tienen un

solo factor primo en común?

A) 0 B) 6 C) – 12

D) 12 E) 2

19. Dada la expresión f(x)=52x – 9 · 5x+18.

Indique la alternativa correcta.

A) f(x)=(5x – 1)(5x – 9)

B) f(x)=(5x – 9)(5x +2)

C) f(x)=(5x +1)(5x +9)

D) f(x)=(5x – 6)2

E) f(x)=(5x – 3)(5x – 6)

20. Dada la expresión h x xx( ) = + −3 40, x > 0.

Indique la alternativa correcta.

A) h x xx( ) = −( ) +( )4 10

B) h x xx( ) = −( ) +( )8 5

C) h x xx( ) = −( ) −( )4 5

D) h x xx( ) = −( ) +( )5 8

E) h x xx( ) = −( ) +( )2 20

Factorización II

21. Dado el polinomio cúbico

P(x)=x3+ax2+bx+c, de raíces –1, 2 y – 3. De-

termine el valor de a+b+c.

A) – 7 B) – 9 C) 2

D) – 8 E) 4

22. Indique un factor primo de

P(x)=5x3+9x2+13x – 3.

A) x2+x+1

B) x2 – x+2

C) x2+2x+3

D) x2 – x –1

E) x2 – 7x+3

23. Indique el factor primo cuadrático que presenta

f, si f (x)=x3+3x2+3x –7.

A) x2+6x+5

B) x2+4x+3

C) 2x2+4x+7

D) x2+3x+7

E) x2+4x+7

24. De los polinomios mostrados, ¿cuál de ellos

divide exactamente a P(x)?

P(x)=4x4 – 37x2+9.

A) 2x –1

B) 2x+1

C) x+3

D) x – 3

E) todos

25. Luego de factorizar el siguiente polinomio

A(x)=6x3+x2 – 4x+1

Indique las proposiciones verdaderas

I. Tiene tres factores primos.

II. Tiene dos factores primos mónicos.

III. La suma de factores primos es 6x – 1.

A) todas B) sólo I C) sólo II

D) I y II E) I y III

26. Si f1 y f2 son los factores primos de

P(x)=x3 – 5x2+5x+3, halle el equivalente de f1+f2.

A) x2+x+2

B) x2 – x – 4

C) x2 – 1

D) x2 – 2x –1

E) x2 – x+2

5

Álgebra27. Halle la suma de los términos independientes

de los factores primos de P(x)=x3 – 13x+12

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

UNFV 2008 - I

28. Sea el polinomio

P(x)=x3 – 6ax2+11a2x – 6a3

Indique el factor primo de menor suma de

coeficientes, si a < 0.

A) (x – a)

B) (x+a)

C) (x – 2a)

D) (x+3a)

E) (x – 3a)

29. Usando el método de los divisores binómicos

factorice el siguiente polinomio

F(x)=x4 – 17x2 – 36x – 20.

A) (x – 5)(x+1)(x+2)(x –2)

B) (x – 5)(x+1)(x+2)2

C) (x – 5)(x+1)(x – 2)2

D) (x – 5)(x+1)(x – 3)2

E) (x + 5)(x –1)(x + 2)2

30. Factorizar

13(a+1)3(a –1) – (a –1)3(a+1) – 4a2+4.

A) 4(a+1)(a –1)(3a –1)(a+2)

B) 4(a+1)(a –1)(3a –1)(a – 2)

C) 4(a+1)(a –1)(3a +1)(a+2)

D) 4(a+1)(a –1)(3a+1)(a+2)

E) 4(a –1)2(3a +1)(a – 2)

UNFV 2011

Teoría de ecuaciones

31. Indique la secuencia correcta, luego de deter-

minar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de

las siguiente proposiciones. I. La ecuación x x+ = −6 6 es compatible.

II. La ecuación xx

x3

21+ = es incompatible.

III. La ecuación xxx

2 01+( ) = ; x ≠ 0 es compa-

tible indeterminada.

A) FFF

B) VFV

C) VVV

D) FFV

E) FVF

32. Si λ es solución de la ecuación

x3 – 3x2+x=0; λ≠0. Indique el valor numérico de x

x2

21+ .

A) 9 B) 11 C) 7

D) 12 E) 14

33. Si a es solución de la ecuación

x2 – x+1=0 ; x –1

determine el valor numérico de a9+a6+a3.

A) 0 B) –1 C) 3

D) – 3 E) 1

34. Determine el conjunto solución de la ecuación

x3 – 9x+2x2 –18=0

A) {–3; –2; 3}

B) {–3; –2; 2}

C) {3; 2}

D) {3; – 2}

E) f

. . .

6

Álgebra

35. Determine el valor de x que verifica la ecuación 3 42

35

x x− = +

A) – 2 B) 2 C) 1

D) – 1 E) 1/2

36. Si CS={a} es el conjunto solución de la ecua-

ción

(x+3)(x+4)+(x+5)(x – 5)=2x2+4x – 1

determine a2+a.

A) 30 B) 25 C) 16

D) 20 E) 12

37. Sea ab{ } el conjunto solución de la ecuación

13 2

25

2330

x x− −{ } = donde MCD(a; b)=1,

determine el valor numérico de a+b.

A) 19 B) 21 C) 18

D) 30 E) 22

38. Si la ecuación lineal en x

2 13

32

1x x

nx+ − + = − tiene CS = { }13

37

determine el inverso multiplicativo de n.

A) 6 B) − 16

C) 1

D) – 6 E) 16

39. Determine el conjunto solución de la ecuación

x x x− + − + − = − +22

66

1212

3214

A) { – 7} B) {7} C) {3}

D) {– 3} E) {1/7}

40. Resuelva la ecuación en variable x

abx

b

abx

a

a bab2 2− = −

A) 1a b−{ } B)

1ab{ } C) {a – b}

D) 1

a b+{ } E) {a+b}

Ecuaciones cuadráticas

41. Resuelva la ecuación

15x2+29x – 2=0

luego determine la menor solución.

A) 115

B) − 115

C) − 12

D) – 2 E) 12

42. ¿Para que valor del parámetro b, la ecuación

cuadrática x2+(b+2)x– 3(b+5)=0 presenta raí-

ces iguales?

A) 8 B) 4 C) – 4

D) – 8 E) 64

43. Resuelva la ecuación en x.

x2 – (4n+1)x+(3n+2)(n –1)=0, n ∈ N

e indique la menor raíz.

A) 3n+2 B) n+1 C) 3n –1

D) n –1 E) n+2

44. Si a y b son raíces imaginarias de la ecuación

2x2 – x+1=0 calcule el valor de a b2 212

12

+

+

.

A) 0,75 B) 0,115 C) 0,35

D) 0,25 E) 0,125

7

Álgebra45. Dada la ecuación 5x2– 2x+3=0 de raíces a y b.

Determine el valor numérico de a2+b2.

A) 2625

B) 425

C) − 2625

D) 3025

E) 125

46. Sean a y b raíces de la ecuación

3x2 – 2x+7=0

indique el valor numérico de 9(a2b+ab2)

A) –14 B) 14/3 C) 14/9

D) –14/3 E) 14

47. Si una raíz de la ecuación

5x2 – (4a+10)x+40=0 es el doble de la otra,

calcule el mayor valor de a.

A) 10 B) 8 C) 5

D) 3 E) 1

48. Si la ecuación cuadrática x2 – ax=2a+4 tiene raíces que difieren en 2, calcule el mayor

valor de (a2+5).

A) 29 B) 21 C) 5D) 14 E) 41

49. Determine una solución de la ecuación cua-drática (b – 3)x2+b(x – 9)=4x teniendo en cuenta que una raíz es el opuesto aditivo de la otra.

A) – 6 B) 4 C) – 4D) 9 E) – 9

50. Determine el valor de k para que la ecuación tenga raíces reciprocas, pero no simétricas.

5x2+(k – 2)x+k2+1=0

A) 4 B) – 4 C) 5D) – 5 E) – 2

Claves

01 - D

02 - D

03 - E

04 - D

05 - C

06 - D

07 - A

08 - D

09 - C

10 - E

11 - D

12 - C

13 - D

14 - C

15 - E

16 - A

17 - D

18 - C

19 - E

20 - D

21 - B

22 - C

23 - E

24 - E

25 - E

26 - B

27 - A

28 - A

29 - B

30 - C

31 - C

32 - C

33 - B

34 - A

35 - D

36 - D

37 - E

38 - E

39 - B

40 - D

41 - D

42 - D

43 - D

44 - E

45 - C

46 - E

47 - C

48 - E

49 - A

50 - E