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Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
e Ajuste Sigmoidal de Curvase Ajuste Sigmoidal de Curvas
Alunos:Alunos:
Natan Luiz Rodrigues ChavesNatan Luiz Rodrigues Chaves
Milene Oliveira de SousaMilene Oliveira de Sousa
Cálculo NuméricoCálculo Numérico
SumárioSumário
IntroduçãoIntrodução
MotivaçãoMotivação
DefiniçãoDefinição
MétodosMétodos
Ajuste de Curvas por RegressãoAjuste de Curvas por Regressão
Ajuste Sigmoidal de Curvas Ajuste Sigmoidal de Curvas
Considerações FinaisConsiderações Finais
2
IntroduçãoIntrodução
MotivaçãoMotivação
Qual o melhor método numérico a ser Qual o melhor método numérico a ser utilizado para se obter uma função utilizado para se obter uma função matemática que represente (ou que matemática que represente (ou que ajuste) os dados, reduzindo repetições ajuste) os dados, reduzindo repetições e experimentos que podem ter alto e experimentos que podem ter alto custo?custo?
Em que consiste o método do Em que consiste o método do ajuste de ajuste de curvascurvas??
3
IntroduçãoIntrodução
DefiniçãoDefinição
Ajuste de curvasAjuste de curvas é um processo que é um processo que consiste em determinar a função que consiste em determinar a função que melhor se melhor se ajustaajusta e e representarepresenta um um determinado conjunto de pontos.determinado conjunto de pontos.
4
IntroduçãoIntrodução
Considere-se o seguinte conjunto de Considere-se o seguinte conjunto de pontos:pontos:
5
IntroduçãoIntrodução
Exemplo ilustrativo de uma curva Exemplo ilustrativo de uma curva polinomial interpoladora:polinomial interpoladora:
6
Exemplo ilustrativo de curva que se Exemplo ilustrativo de curva que se ajusta aos pontos de um diagrama ajusta aos pontos de um diagrama de dispersão:de dispersão:
7
IntroduçãoIntrodução
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados
Caso ContínuoCaso Contínuo
Caso DiscretoCaso Discreto
LinearLinear
PolinomialPolinomial
8
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso ContínuoCaso Contínuo
Seja Seja f(x)f(x) uma função dada num uma função dada num intervalo intervalo [a,b][a,b]..
O objetivo é determinar, de modo que o O objetivo é determinar, de modo que o desvio seja mínimo, a função:desvio seja mínimo, a função:
9
)()()()( xgxgxgx nn 2211
Equação 1Equação 1
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso ContínuoCaso Contínuo
Os Os ααnn serão determinados pela serão determinados pela resolução do sistema linear:resolução do sistema linear:
10
mnnnnn
n
n
b
b
b
2
1
1
0
21
22221
11211
Equação 2Equação 2
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso ContínuoCaso Contínuo
Os elementos Os elementos ααijij serão determinados a serão determinados a partir do produto interno entre as partir do produto interno entre as funções funções ggii(x)(x) e e ggjj(x)(x) : :
11
dxxgxgb
a jiij )]()([
Equação 3Equação 3
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso ContínuoCaso Contínuo
Os elementos Os elementos bbii serão determinados a serão determinados a partir do produto interno entre as partir do produto interno entre as funções funções f(x)f(x) e e ggii(x) (x) ::
12
dxxgxfbb
a ii )]()([
Equação 4Equação 4
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso ContínuoExemplo: Caso Contínuo
Determinar a parábola que melhor se Determinar a parábola que melhor se ajuste a função ajuste a função f(x)=sen(f(x)=sen(ππx)x) no no intervalo intervalo [0,1][0,1]..
Função do ajuste:Função do ajuste:
Em que:Em que:
13
)()()()( 332211 xgxgxgx
2321 )()(1)( xxgxxgxg
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso ContínuoExemplo: Caso Contínuo
Faz-se:Faz-se:
14
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso ContínuoExemplo: Caso Contínuo
Cálculo dos coeficientes das matrizes a Cálculo dos coeficientes das matrizes a partir das equações 3: partir das equações 3:
15
31
1
0
21
0 3113
21
1
0
1
0 2112
1
0
1
0 1111
3/1)]()([
2/1)]()([
11)]()([
dxxdxxgxg
xdxdxxgxg
dxdxxgxg
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso ContínuoExemplo: Caso Contínuo
Cálculo dos coeficientes das matrizes a Cálculo dos coeficientes das matrizes a partir das equações 3: partir das equações 3:
16
31
1
0
41
0 3333
32
1
0
31
0 3223
1
0
21
0 2222
5/1)]()([
4/1)]()([
3/1)]()([
dxxdxxgxg
dxxdxxgxg
dxxdxxgxg
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso ContínuoExemplo: Caso Contínuo
Cálculo dos coeficientes das matrizes a Cálculo dos coeficientes das matrizes a partir das equações 4: partir das equações 4:
17
189,0)]()([
318,0)]()([
636,0)]()([
1
0 33
1
0 22
1
0 11
dxxgxfb
dxxgxfb
dxxgxfb
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso ContínuoExemplo: Caso Contínuo
Tem-se:Tem-se:
Assim: Assim:
18
189,0
318,0
636,0
5/14/13/1
4/13/12/1
3/12/11
3
2
1
14,414,4054,0 321
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso ContínuoExemplo: Caso Contínuo
A aproximação de A aproximação de f(x)=sen(f(x)=sen(ππx)x) no no intervalo intervalo [0,1][0,1] é dada por: é dada por:
19
214,414,4054,0)( xxx
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso ContínuoExemplo: Caso Contínuo
Gráfico comparativo entre a função Gráfico comparativo entre a função f(x) f(x) e o ajuste e o ajuste φφ(x) (x) : :
20
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso Discreto (Linear)Caso Discreto (Linear)
Consiste em N pontos de um diagrama Consiste em N pontos de um diagrama de dispersão a serem ajustados a uma de dispersão a serem ajustados a uma reta. reta.
Na qual Na qual εε=y-y’=y-y’ é o erro inserido nesta é o erro inserido nesta aproximação.aproximação.
21
xbby 10
Equação 5Equação 5
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso Discreto (Linear)Caso Discreto (Linear)
Para obter melhor ajuste, minimiza-se o Para obter melhor ajuste, minimiza-se o valor absoluto em módulo da soma dos valor absoluto em módulo da soma dos erros residuais para todos os pontos.erros residuais para todos os pontos.
22
n
i
n
iii xbby
1 110 ||||
Equação 6Equação 6
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso Discreto (Linear)Caso Discreto (Linear)
Processo de minimização:Processo de minimização:
23
n
i
n
iiR xbbyS
1 1
210
2 )(
Equação 7Equação 7
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso Discreto (Linear)Caso Discreto (Linear)
Deriva-se a Deriva-se a Equação 7Equação 7 em relação a em relação a cada coeficiente e iguala-se a zero.cada coeficiente e iguala-se a zero.
24
0)(20
100
n
i
R xbbyb
S
Equação 8Equação 8
0])[(21
101
n
iii
R xxbbyb
S
Equação 9Equação 9
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso Discreto (Linear)Caso Discreto (Linear)
Após algumas simplificações, tem-se:Após algumas simplificações, tem-se:
25
n
ii
n
ii ybxnb
01
00
Equação 10Equação 10
n
iii
n
ii
n
ii yxbxbx
01
0
20
0
Equação 11Equação 11
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso Discreto (Linear)Caso Discreto (Linear)
Na forma matricial:Na forma matricial:
26
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
yx
y
b
b
xx
xn
0
0
1
0
0
2
0
0
Equação 12Equação 12
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso Discreto (Linear)Exemplo: Caso Discreto (Linear)
A partir do método de regressão por A partir do método de regressão por mínimos quadrados (caso discreto) mínimos quadrados (caso discreto) ajuste uma reta aos pontos da tabela.ajuste uma reta aos pontos da tabela.
27
8,61,68,32,59,2:
0,88,61,54,33,1:
y
x
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso Discreto (Linear)Exemplo: Caso Discreto (Linear)
Cálculo dos coeficientes da matriz da Cálculo dos coeficientes da matriz da Equação 12 Equação 12 : :
28
.54,127.8,22
.5,148.6,24
.5
5
1
5
1
5
1
25
1
iii
ii
ii
ii
yxy
xx
n
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso Discreto (Linear)Exemplo: Caso Discreto (Linear)
Tem-se:Tem-se:
No qual: No qual:
29
54,127
9,22
5,1496,24
6,245
1
0
b
b
522,001,2 10 bb
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso Discreto (Linear)Exemplo: Caso Discreto (Linear)
Isto resulta em:Isto resulta em:
Graficamente, tem-se:Graficamente, tem-se:
30
xxf 5220102 ,,)(
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso Discreto (Polinomial)Caso Discreto (Polinomial)
Em alguns casos, a aproximação por Em alguns casos, a aproximação por uma reta não é satisfatória.uma reta não é satisfatória.
Uma alternativa para solucionar o Uma alternativa para solucionar o problema seria ajustar polinômios aos problema seria ajustar polinômios aos dados através da regressão polinomial.dados através da regressão polinomial.
31
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso Discreto (Polinomial)Caso Discreto (Polinomial)
Considere-se um polinômio de grau m:Considere-se um polinômio de grau m:
Somando os quadrados dos resíduos, Somando os quadrados dos resíduos, tem-se: tem-se:
32
mmxbxbby 10
n
i
n
i
mmiiR xbxbbyS
1 1
210
2 )(
Equação 13Equação 13
Equação 14Equação 14
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso Discreto (Polinomial)Caso Discreto (Polinomial)
Derivando em relação a cada um dos Derivando em relação a cada um dos coeficientes do polinômio, tem-se:coeficientes do polinômio, tem-se:
33
n
i
mi
mnii
m
R
n
ii
mnii
R
n
i
mini
R
xxbxbbyb
S
xxbxbbyb
S
xbxbbyb
S
010
010
1
010
0
0])[(2
0])[(2
)(2
Equação 15Equação 15
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso Discreto (Polinomial)Caso Discreto (Polinomial)
Tem-se o seguinte conjunto de Tem-se o seguinte conjunto de equações:equações:
34
n
ii
mim
n
i
mi
n
i
mi
n
i
mi
n
iiim
n
i
mi
n
ii
n
ii
n
iim
n
i
mi
n
ii
yxbxbxbx
yxbxbxbx
ybxbxnb
00
21
0
20
0
00
11
0
20
0
001
00
Equação 16Equação 16
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Caso Discreto (Polinomial)Caso Discreto (Polinomial)
Na forma matricial:Na forma matricial:
35
Equação 17Equação 17
n
ii
mi
n
iii
n
ii
mn
i
mi
n
i
mi
n
i
mi
n
i
mi
n
ii
n
ii
n
i
mi
n
ii
yx
yx
y
b
b
b
xxx
xxx
xxn
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
1
0
2
0
00
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)
Ajuste aos pontos da tabela ao Ajuste aos pontos da tabela ao polinômio polinômio y=ay=a00+a+a11x+ax+a22xx22..
36
4,218,169,83,32,205,30:
1,32,20,10,05,10,2:
y
x
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)
O vetor O vetor bb é determinado a partir da é determinado a partir da solução do sistema linear:solução do sistema linear:
37
n
iii
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
yx
yx
y
b
b
b
xxx
xxx
xxn
0
2
0
0
2
1
0
0
4
0
3
0
2
0
3
0
2
0
0
2
0
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)
Cálculo do somatório para n=6 é:Cálculo do somatório para n=6 é:
38
9,6
416,1285,2038402,137
064,307,218,2
6
1
6
1
26
1
6
1
4
6
1
36
1
26
1
ii
iii
iii
ii
ii
ii
ii
y
yxyxx
xxx
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)
Tem-se:Tem-se:
Assim: Assim:
39
416,128
5,203
9,6
8402,137064,307,21
064,307,219,2
7,218,26
2
1
0
b
b
b
222,133,11018,2 210 bbb
Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão
Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)
Graficamente, tem-se:Graficamente, tem-se:
40
41
IntroduçãoIntrodução O que são O que são curvas sigmóidescurvas sigmóides??
São curvas que descrevem processos de São curvas que descrevem processos de crescimento natural de qualquer sistema.crescimento natural de qualquer sistema.
O que é O que é processo de crescimento naturalprocesso de crescimento natural?? Consiste em preencher determinado nicho Consiste em preencher determinado nicho
desde o início até a saturação.desde o início até a saturação. Difusão de epidemias ou inovações tecnológicas;Difusão de epidemias ou inovações tecnológicas; Crescimento de seres vivos ou populações;Crescimento de seres vivos ou populações; Crescimento de mercado de produtosCrescimento de mercado de produtos;; Entre outros.Entre outros.
Ajuste Sigmoidal de CurvasAjuste Sigmoidal de Curvas
42
IntroduçãoIntroduçãoCurvas sigmóides e os Curvas sigmóides e os processos de processos de
aprendizagemaprendizagem::Crescimento cumulativo de ‘bits’ de Crescimento cumulativo de ‘bits’ de
informação.informação.
Exemplo ilustrativo:Exemplo ilustrativo:
Ajuste Sigmoidal de CurvasAjuste Sigmoidal de Curvas
43
Caráter matemáticoCaráter matemáticoEquação Diferencial Logística:Equação Diferencial Logística:
(1)(1)
A qual consiste na taxa diferencial de A qual consiste na taxa diferencial de crescimento da grandeza crescimento da grandeza NN;;
Proposta em 1838, pelo matemático e Proposta em 1838, pelo matemático e clérigo P. F. Verhulst.clérigo P. F. Verhulst.
Ajuste Sigmoidal de CurvasAjuste Sigmoidal de Curvas
44
Caráter matemáticoCaráter matemáticoEquação Logística:Equação Logística:
(2)(2)
M: Parâmetro de escala;: Parâmetro de escala;α: Capacidade de crescimento do : Capacidade de crescimento do
sistema;sistema;to : Parâmetro de localização;: Parâmetro de localização;
Ajuste Sigmoidal de CurvasAjuste Sigmoidal de Curvas
45
Caráter matemáticoCaráter matemáticoExemplo: Representação dos valores Exemplo: Representação dos valores
da função da função NN, para , para tt variando de 0 a 100, variando de 0 a 100, com com M=1, =1, t0t0 e e α assumindo, assumindo, respectivamente, os valores 40 e 0,1 e respectivamente, os valores 40 e 0,1 e 60 e 0,2. 60 e 0,2.
Ajuste Sigmoidal de CurvasAjuste Sigmoidal de Curvas
46
O Ajuste de Curvas por Regressão é O Ajuste de Curvas por Regressão é importante quando:importante quando:
É preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo, ou seja, quando se quer extrapolar.
Os valores tabelados são resultados de experimentos físicos ou de pesquisas.
Considerações FinaisConsiderações Finais
47
O Ajuste Sigmoidal é extremamente O Ajuste Sigmoidal é extremamente importante para engenharia em importante para engenharia em geral, biologia, química, etc.geral, biologia, química, etc.
Esforço ComputacionalEsforço Computacional
Regressão – Pouco esforçoRegressão – Pouco esforço
Sigmoidal – Muito esforçoSigmoidal – Muito esforço
Considerações FinaisConsiderações Finais
48
Referências BibliográficasReferências Bibliográficas
RUGGIERO, M. A. GOMES & LOPES, V. L. da RUGGIERO, M. A. GOMES & LOPES, V. L. da R. R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionaiscomputacionais. MAKRON Books, 1996, 2ª . MAKRON Books, 1996, 2ª ed. ed.
PEDROSA, P. F. DIOGO, Ajuste de Curvas, PEDROSA, P. F. DIOGO, Ajuste de Curvas, Universidade Federal do Rio Grande do Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de TecnologiaDepartamento Norte, Centro de TecnologiaDepartamento de Engenharia de Computação e de Engenharia de Computação e Automação, Automação, http://www.dca.ufrn.br/~diogo/FTP/dca0304/ajustedecurvas.pdf..
49
Referências BibliográficasReferências Bibliográficas
BARROSO, L. A. BARROSO, A. M. M., BARROSO, L. A. BARROSO, A. M. M., CAMPOS, F. F., CARVALHO, B. L. M., MAIA, CAMPOS, F. F., CARVALHO, B. L. M., MAIA, L. M. Cálculo Numérico (com aplicações), L. M. Cálculo Numérico (com aplicações), 1987, 2ª ed. 1987, 2ª ed.
PUC-SP, Redes Neurais Artificiais, PUC-SP, Redes Neurais Artificiais, http://www2.dbd.puc-rio.br/pergamum/tesesabertas/0220883_05_cap_04.pdf