AJUSTE GAUSIANO(MTODO DE LOS MNIMOS CUADRADOS)

AJUSTE GAUSSIANO(MTODO DE LOS MNIMOS CUADRADOS)Mnimos cuadradoses una tcnica deanlisis numricoenmarcada dentro de laoptimizacin matemtica, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar lafuncin continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio demnimo error cuadrtico.

Formulacin formal del problema bidimensionalSea un conjunto de n puntos en el plano real.

Sea una base de m funciones L.I.

Objetivo:

Por tanto, se trata de hallar los m coeficientesCjque hagan que la funcin aproximantef(x)d la mejor aproximacin para los puntos dados .

tal que

Error de f(x) en un punto :

Error cuadrtico medio :

La aproximacin por mnimos cuadrados se basa en la minimizacin del error cuadrtico medio o, equivalentemente, en la minimizacin del radicando de dicho error, el llamado error cuadrtico, definido como:

Deduccin analtica de la aproximacin discreta mnimo cuadrtica lineal

El error cuadrtico medio ser para tal caso:

Calculando los coeficientes Cj:

siendo i=1,2, . . .,m

4Se obtiene un sistema de m ecuaciones con m incgnitas, que recibe el nombre de"Ecuaciones Normales de Gauss". Operando con ellas: , para i=1,2, . . .,m , para i=1,2, . . .,m

Si se desarrolla la suma, se visualiza la ecuacin "i-sima" del sistema de m ecuaciones normales: , para cada i=1,2, . . .,m

Lo cual, en forma matricial, se expresa como:

Siendoel producto escalar discreto, definido para dos funciones dadas h(x) y g(x) como:

y para una funcin h(x) y vector cualquiera u, como:

,

VENTAJAS DEL METODOEs objetivo, slo depende de los resultados experimentales. Es reproducible, proporciona la misma ecuacin, no importa quin realice el anlisis.Proporciona una estimacin probabilstica de la ecuacin que representa a unos datos experimentales. Proporciona intervalos pequeos de error.Para los Modelos estticos uniecuacionales, el mtodo de mnimos cuadrados no ha sido superado, a pesar de diversos intentos para ello, desde principios del Siglo XIX. Se puede demostrar que, en su gnero, es el que proporciona la mejor aproximacin.Restricciones del mtodoSlo sirve para ajustar modelos lineales. Requiere tener, al menos, diez mediciones bajo las mismas circunstancias experimentales.Tales resultados deben estar descritos por una distribucin de probabilidad conocida. La ms comn es la distribucin normal o gaussiana.Se requiere de algn equipo de clculo, de lo contrario, es muy engorroso. GRACIAS