Akademi MerkonomerStatistikAften 1

2011.09.20lth@campus.dk

Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder

Denne aften

Ordet kommer fraLatin.: statisticum (statsrådgiver)Italiensk.: statistica (statsmand / politiker)

Hvorfor statistik ?◦ Træk fra statistikkens historie◦ Model af virkeligheden◦ Anvendelser

Data, statistikerens råmateriale◦ Kvalitative vs. Kvantitative Data (num. vs. ej num.)◦ Diskrete vs. Kontinuerte Data

Statistik

Data præsentation ved tabeller eller grafik

Der laves ikke model for data og der antages ikke fordeling for data

”Ofte” første skridt i en statistisk analyse

HUSK: TEGN – TEGN - TEGN

Beskrivende statistik

9 Deskriptorer5 Positionsmål.: minimum (Min), maximum (Max) ,modaltal, fraktiler og middelværdi

4 Variationsmål.:variationsbredde, kvartilsafstand,varians og standardafvigelse.

Diskret Eksempel 1Karakterfordeling i Engelsk Mundtlig, Grundskolens 9 kl, 2008/2009http://statweb.uni-c.dk/databanken/uvmDataWeb/ShowReport.aspx?report=KGS-antkar-fag-kar

-3 0 2 4 7 10 12 Total301 2867 7257 12051 15926 12613 10182 61197

i x h H f F

1 -3 301 301 0,005 0,005

2 0 2867 3168 0,047 0,051

3 2 7257 10425 0,119 0,170

4 4 12051 22476 0,197 0,367

5 7 15926 38402 0,260 0,628

6 10 12613 51015 0,206 0,834

7 12 10182 61197 0,166 1

EXCEL.: Tilf.->BEWIStat->1->aHusk data skal læses lodret

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Diskret Eksempel, positionsmål

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Modaltal

Fraktiler, obs no.25%.: (61197-1)∙0,25=15300-> 450%.: (61197-1)∙0,50=30599-> 775%.: (61197-1)∙0,75=45898->10

Min(xi)= -3

Max(xi)=12

Diskret Eksempel, variationsmålVarians.:Gennemsnitlig kvadreret afstandFra middelværdi

Fra KeHaTools;s^2=13,53s=3,68

Variationsbredde.:R=12-(-3)=15

Kvartilsafstand.:IQR=10-4=6

Karakterfordeling0

2

4

6

8

10

12

Boksplot af kvartiler og middelværdi

Diskret Eksempel, konklusion

En kort beskrivende statistisk analyse af karakterfordeling af de 67197 karakterer uddelt i Engelsk Mundtlig, Grundskolens 9 kl, 2008/2009 eksamen viser et gennemsnit på 6,88, hvilket er tæt på medianen 7.25% af eleverne har fået 4 eller derunder men 75% har fået 10 eller derunder.Kvartilsafstanden er 6, hvilket svarer til lidt mindre 2 gange standardafvigelsen s=2,68

Overordnet synes karaktererne fordelt symmetrisk omkring middelværdien med godt halvdelen over og halvdelen under med størst tæthed ved middelværdien.

Man kunne mistænke karakterne for at være normalfordelt.(mere om det på et senere tidspunkt.)

Historien◦ Spil◦ Astraglii (50.000 år)◦ Terning (5500 år)◦ Gerolamo Cardano (1501-76) Liber de Ludo Alea

Fandt Additionsreglen og Multiplikationsreglen◦ Piere de Fermat (1601-65) Blaise Pascal (1623-62)

Terningen har ingen hukommelse Binomialkoefficientens anvendelse

◦ Jack Bernoulli (1654-1705) De store tals lov

◦ Chebyshev (1821-94) Stokastisk variabel

Lidt sandsynlighedshistorie

SandsynlighedUdfaldsrum.: Mulige udfald

Eksempel: En mønt har to sider, plat og krone så;

Sandsynlighed.:

Eksperiment (kast med en mønt) -> Hyppighed (hvor mange gange kommer plat/krone) -> Relativ hyppighed (antal -> %) -> Sandsynlighed (for )

Ærlig mønt.:

3 første regnereglerFor udfaldsrummet for et eksperiment. Da gælder:

1)

2)

3)

Her kan tolkes som frekvensen af udfaldet og

betegnes sandsynlighedsfeltet med udfaldsrum

og tilhørende sandsynlighedsfunktion .

Hændelser, Symmetrisk SS Felt

Lad os kaste med en ærlig terning så

Lad være hændelsen lavt kast, dvs så

Lad B være hændelsen lige kast, dvs så

Lad C være hændelsen højt kast, dvs så Hændelserne illustreres i et Venn-diagram

Hændelses kombinationer

, kaldes Komplementær hændelse til Dermed har vi at

og

, kaldes Fællesmængden i og

Vi har at

, kaldes fraregnet og vi har at

Så

4. regneregel

, Kaldes Foreningsmængden af og Vi har at

idet

og da skal vi trække en fra. Regneregel.:

Specielt gælder, hvis og er disjunkte at

dvs. når

Betingede sandsynligheder

ss. For forudsat vi er i og så

Lad os se på for noget mere generelt Vi har at

samtidigt gælder at hvorfor der må gælde at

KlassedelingLad udfaldsrum en samling af delmængder, der opfylder

1) 2) 3)

Lov om total sandsynligehedLad en klassedeling af udfaldrummet og lad en hændelse i

, da gælder

5. regneregler

Vi har at der gælder

Samtidigt ved vi at

hvorfor

Dermed har vi sidste regneregel

De 5 regnereglerFor et sandsynlighedsfelt og og hændelser gælder

1)

2)

3)

4)

5)

KombinatorikLad og to puljer Du skal nu vælge 1 fra hver af de to puljer Tælletræet.: Der er 2 muligheder for og 3 muligheder for I alt muligheder

Rækkefølgen har betydningLad igen og to puljer Antag nu vi skal vælge 1 fra pulje og 2 fra pulje Hvis rækkefølgen betyder noget, har vi formlen Der er 2 muligheder for og 3 muligheder for samt 2 for B2 I alt muligheder Brug Excel.: =PERMUT(n;k)

Rækkefølgen uden betydningLad igen og to puljer Hvis rækkefølgen ikke betyder noget, har vi Binomialformlen.: Der er 2 muligheder for , disse skal kombineres med 2 ud af 3 mulige fra pulje I alt muligheder

Brug Excel.: =KOMBIN(n;k)

Forløb Opgaver Slides Gruppearbejde Egne eksempler Andet

Evaluering