Embed Size (px)
Citation preview
3/31/2016
1
Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje
SavijanjeIzvijanje
1
ČISTO PRAVO SAVIJANJE
Štap je opterećen na bazisima sa dva jednaka a suprotna sprega Мxkoji leže u jednojod glavnih ravni
z-podužna osa štapa
2
x
y
TA
Мx
poprečni presek štapay
Z
A
T
x
Мx
Мx
Мx
Z
Мx
y
Мx-momenat u ravni y0z (jedna od glavnih ravni)x i y-glavne centralne ose inercije
Ovako opterećena greda je u stanju čistog pravog savijanja
3/31/2016
2
Napon kod čistog pravog savijanja
Мx
Z
Мx
y
x
y
TA
Мx
neutralna linija
x
y
TМx- - - - - - -
- - - - - -
- - - - - - - -+ + + + + +
+ + + + ++ + +
skraćenje vlakana
izduženje vlakana
3
U analizi deformacija i naprezanja pri čistom savijanjupretpostavlja se sledeće:
a) Ravni poprečni preseci ostaju pri deformaciji štapa ravnii upravni na savijenu osu štapa (Bernoullieva hipoteza).
b) Materijal štapa smatramo homogenim i izotropnim.
c) Između uzdužnih vlakana nema nikakvog uzajamnogdelovanja sila.
d) Normalni naponi proporcionalni su deformacijama(Hookeov zakon).
4
3/31/2016
3
yIx
xz M
Napon u nekoj tački preseka kod čistog pravog savijanja je jednak
gde su
x
y
TМx- - - - - - -
- - - - - -
- - - - - - - -+ + + + + +
+ + + + ++ + +
-y
+y +
-
Mx –momenat savijanja u posmatranom preseku
Ix –momenat inercije za glavnu x osu
y –rastojanje posmatrane tačke preseka od x ose
5
Naponi su najveći u tački gde je najveće udaljenje od x ose
Najveći napon zatezanja je u tački gde je y maksimalno na zategnutojstrani preseka
maxx
xmaxz y
I
M
x
y
TМx- - - - - - -
- - - - - -
- - - - - - - -+ + + + + +
+ + + + ++ + +
-y
+y +
-
maxz
maxz
x
x
max
x
xmax
x
xmaxz
Wy
Iy
I
MMM
xW Otporni momenat preseka na zategnutoj strani
6
3/31/2016
4
Najveći napon pritiska je u tački gde je y maksimalno na pritisnutojstrani preseka
x
x
max
x
xmax
x
xmaxz
Wy
Iy
I
MMM
xW Otporni momenat preseka na pritisnutoj strani
RezimeNormalni napon kod čistog pravog savijanja u opštem obliku je jednak
x
xz
W
M
napon=Momenat kroz Otporni momenat7
Neutralna linija je mesto tačaka preseka gde je napon jednak nuli
0yIx
xz
M
Neutralna linija kod čistog pravog savijanja
kako je 0Ix
x M
sledi da je jednačina neutralne linije kod čistog pravog savijanja
data jednačinom y=0 a to je jednačina x ose
Neutralna linija se poklapa sa glavnom X osom
x
y
TМx- - - - - - -
- - - - - -
- - - - - - - -+ + + + + +
+ + + + ++ + +
-y
+y +
-
maxz
maxz
neutralna linija
8
3/31/2016
5
Momenat je pozitivan kadazateže donju stranu
Мx
Z
Мx
y
PRITISNUTA VLAKNA
ZATEGNUTA VLAKNA
ZNAK MOMENTA
9
Primer 5.1Greda poprečnih preseka kao na slici opterećena je pozitivnimmomentom savijanjaМx=54 kNm. Odrediti napone u naznačenimtačkama A, B i C.
a)
10
20x
B
CA
y
0yIx
xz
M 43
x cm666712
2010I
y6667
1054 2
z
tačka A: y=0 006667
1054 2
z
tačka B: y=-10 22
z cm/kN10,8106667
1054
tačka C: y=102
2
z cm/kN10,8106667
1054
z
+
-n.l.
10
3/31/2016
6
0yIx
xz
M
4233
x cm350005205,12212
2052
12
520I
tačka A: y=102
2
z cm/kN54,11035000
1054
tačka B: y=152
2
z cm/kN31,21535000
1054
b)
B
A
C
x
y
20
20
5
55
20+
-n.l.
z
Az
Bz
Cz
tačka C: y=-15 22
z cm/kN31,21535000
1054
11
Primer 5.2Poprečni presek grede od livenog gvožđa raspona l=4 m dat je na slici.Odrediti intenzitet sile P koja može da deluje na sredini raspona grede
ako je dozvoljeni napon zatezanja doz=16 kN/cm2 . Koliki će pri tombiti napon pritiska.
5
20
25
10
2,5
5
12
3/31/2016
7
Površina je simetrična oko y ose papa je težište po x pravcu određeno
Potrebno je prvo odrediti položaj težišta poprečnog preseka
Podelili smo složenu površinu natri proste površine
Pojedinačne površine su
yT1=5+20+2,5=27,5 cm
yT3=2,5 cm
yT2=5+10=15 cm
Odredićemo položaj pojedinačnihtežišta po y pravcu
A1=105=50 cm2
A2=202,5=50 cm2
A3=255=125 cm2 cm8,10y
1255050
5,212515505,2750
A
yAy
T
i
TiiT
Položaj težišta je
T33
T2
yT3
yT2
yT
xT
1
2
T1 yT1
yT
13
Određujemo sada aksijalni momenat inercije oko ose x
223
23
23
Px
Sxx
cm254705,28,1012512
525
8,10155012
205,28,105,2750
12
510III
y
Tx
10,8
19,2
n.l.
z
-
+
14
3/31/2016
8
Otporni momenti na zategnutoj i pritisnutoj ivici su
3
max
xx cm33,2358
8,10
25470
y
IW
3
max
xx cm56,1326
2,19
25470
y
IW
Određivanje statičkih uticaja za nosač
2 2
P
M=Pl/4
+
M=Pl/4
dopx
xz
W
M
dopxx W M
15
kNm33,377kNcm28,377331633,2358x
3x cm33,2358W
kN33,377P
4
33,3774
l
4P
4
lP xx
kNm
kNmP
jedinice
Tx
10,8
19,2
n.l.
z
-
+
napon pritiska
2z
2
z
x
xz
cm/kN44,28
56,1326
1033,377
W
28,44
16,016
3/31/2016
9
ČISTO KOSO SAVIJANJE
Štap je opterećen na bazisima sa dva jednaka a suprotna sprega Мxkoji ne leže u glavnoj ravni
z-podužna osa štapa
y
Z
A
T
x
17
Мpoprečni presek štapa
М
М
Z
М
y
Мx-momenat u ravni - čija normala zaklapa ugao sa x osomx i y-glavne centralne ose inercije
Ovako opterećena greda je u stanju čistog kosog savijanja
x
y
TA
М
Napon kod čistog pravog savijanja
18
x
y
TA
М
Мy
Мx
Spreg razlažemo na dva upravnaspregaМx iМy koji prave dva čistaprava savijanja
Napon je tada jednak
odnosno
y
y
x
xz
WW
MM
xI
yI y
y
x
xz
MM
cosx MM
siny MM
x
I
siny
I
cosx
I
siny
I
cos
yxyxz M
MM
zamenimo u izraz za napon
3/31/2016
10
0xI
siny
I
cos
yx
M
Položaj neutralne linije
U tačkama neutralne linije napon je jednak nuli, pa zato izjednačimoizraz za napon sa nulom
momenat savijanja je različit od nulepa ostaje
0xI
siny
I
cos
yx
xtgI
Iy
y
x
jednačina neutralne linije
To je prava koja prolazi kroz koordinatni početakodnosno težište poprečnog preseka i zaklapaugao sa pozitivnim delom x ose
xtgy
tgI
Itg
y
x
19
x
y
T
М
Мy
Мx
z
20
3/31/2016
11
EKSCENTRIČNO NAPREZANJE GREDE
Štap je opterećen na bazisima sa dva jednake sile suprotnog smerakoje ne deluju u težištu poprečnog preseka
poprečni presek štapa
z-podužna osa štapa
y
ZT
x FF
x
y
T
A
A-napadna tačka sile sa koordinatama A(ex;ey)
ex i ey-ekscentriciteti napadne tečke sileu odnosu na težište poprečnog presekaey ex
21
Redukujemo silu F na težište i dobijamo
ex i ey-ekscentriciteti napadne tečke sileu odnosu na težište poprečnog preseka
x
y
T
A
ey ex
1. Istu tu silu F
2. Dva momenta oko težišnih osaMx iMy gde su
yx eF M xy eF M
Ukupan napon sada je jednak (važi princip superpozicije)
xI
yIA
F
y
y
x
xz
MM
aksijalno naprezanje čisto koso savijanje22
3/31/2016
12
xI
yIA
F
y
y
x
xz
MMyx eF M xy eF M
ZamenimoMx iMy u izraz za napon i dobijemo
xI
eFy
I
eF
A
F
y
x
x
yz
Uvodimo sada minimalni poluprečnik inercije
2xx
x2x
xx iAI
A
Ii
A
Ii
2yy
y2y
yy iAI
A
Ii
A
Ii pa je sada
x
i
ey
i
e1
A
Fx
iA
eFy
iA
eF
A
F2y
x2x
y
2y
x2x
yz
23
x
i
ey
i
e1
A
F2y
x2x
yz
Neutralna linija je data izrazom
NAPON KOD EKSCENTRIČNOG PRITISKA JE
0xi
ey
i
e1
A
F2y
x2x
yz
odnosno
0xi
ey
i
e1
2y
x2x
y
jednačina neutralne linije
24
3/31/2016
13
0xi
ey
i
e1
2y
x2x
y
jednačina neutralne linije
To je prava koja ne prolazi kroz težište(koordinatni početak)
Presek te prave sa x osom dobija se kadase u jednačinu za neutralnu liniju stavi y=0
x
2y
2y
x
e
ix0x
i
e1 odsečak na x osi
Presek te prave sa y osom dobija se kadase u jednačinu za neutralnu liniju stavi x=0
y
2x
2x
y
e
iy0y
i
e1 odsečak na y osi
x
y
T
A
ey ex
x
y
25
Dijagram napona
Odredimopoložaj neutralne linije
Pravila
x
y
T
A
ey ex
x
y Dijagram napona crtamo upravno naneutralnu liniju
1. Neutralna linija je uvek sa druge stranetežišta u odnosu na napadnu tačku sile
2. Napon pritiska je sa one straneneutralne linije na kojoj je sila pritiska
26
3/31/2016
14
Primer 7.1Napadna tačka sile pritiska ima koordinate A(5;5). Poprečni presekštapa je pravugaonik 20x40 cm. Sila je F=20 kN.Odrediti maksimalne napone pritiska i zatezanja.
Postupak
1. Odredimo težište i aksijalne momente inercije
2. Odredimo centralne poluprečnike inercije
3. Odredimo neutralnu liniju
4. Odredimo napone i nacrtamo dijagram napona
1. Određivanje težište i aksijalnih momenata inercije
Težište je poznato, a aksijalni momemti inercije su
43
x cm67,10666612
4020I
43
y cm67,2666612
4020I
27
xT
y
20
40
A
ex=5
A(5;5)
ey=5
2. Centralni poluprečnici inercije
2x2x cm33,133
4020
67,106666
A
Ii
2y2y cm33,33
4020
67,26666
A
Ii
3. Određivanje neutralne linije
0xi
ey
i
e1
2y
x2x
y
jednačina neutralne linije
cm67,65
33,33
e
ix
x
2y
odsečak na x osi
cm67,265
33,133
e
iy
y
2x odsečak na y osi
28
3/31/2016
15
4. Određivanje napona i crtanje dijagrama napona
Kroz krajnje tačke preseka povučemo tangentena poprečni presek paralelne sa neutralnom linijom
Ekstremne vrednosti napona su u tačkama B i C.
Potrebno je odrediti koordinate tačaka B i C uodnosu na težište
B(10;20) C(-10;-20)
x
i
ey
i
e1
A
F2y
x2x
yz Izraz za napon
zamenimo umesto x i y koordinate tačaka B i Ci dobijemo napone u tim tačkama
2Bz cm/kN081,020
33,133
510
33,33
51
800
20
xT
y
A
26,67
6,67
B
C
naponi
29
xT
y
A
26,67
6,67
B
C
2Cz cm/kN031,0)20(
33,133
5)10(
33,33
51
800
20
30
Proveravamo pravila
1. Neutralna linija je uvek sa druge stranetežišta u odnosu na napadnu tačku sile
2. Napon pritiska je sa one straneneutralne linije na kojoj je sila pritiska
3/31/2016
16
Primer 7.2Ako je jednačina neutralne linije y=5, odrediti položaj napadne tačkesile. Poprečni presek je isto pravougaonik 20/40 cm
x
ie
e
ix
2y
xx
2y
za x=∞ 0ex
y
ie
e
iy
2x
yy
2x za y=5 cm67,26
5
33,133ey
y=5x
y
n.l.
y=5 -prava paralelna x osi na rastojanju od 5
-
+
z
x
2y
e
ix odsečak na x osi
y
2x
e
iy odsečak na y osi
odsečak na x osi
A
y=2
6,6
7
T
A(0;-26,67) 31
uzmimo sada jednačinu neutralne linije y=10
y=10x
y
n.l.
y=10 -prava paralelna x osi na rastojanju od 10
-
+
z
0ex cm33,1310
33,133ey A
y=13,33 TA(0;-13,33)
uzmimo sada jednačinu neutralne linije y=20- na ivici preseka
y=20
x
y
n.l.
y=20 -prava paralelna x osi na rastojanju od 20
-
z
0ex cm67.620
33,133ey A
y=6.67T A(0;-6,67)
javlja se samo napon pritiska u preseku
32
3/31/2016
17
Zaključci
1. Ako je neutralna linija u beskonačnosti, napadna tačka sile je u težištu
2. Ako se neutralna linija udaljava od težišta, napadna tačka sile sepribližava težištu
3. Ako je neutralna linija paralelna x osi, napadna tačka sile je na y osi
4. Ako je neutralna linija na obodu preseka u preseku se javlja samonapon pritiska
33
Jezgro preseka
Neki materijali mogu dosta više da podnesu pritisak od zatezanje pa sepostavlja pitanje u kojoj oblasti u preseku može da deluje sila a da ucelom preseku bude napon pritiska.Videli smo da kada neutralna linija tangira poprečni presek ceo presek jepritisnut. Postavimo neutralne linije po obimu pravougaonika bxd iodredimo napadne tačke sila.
12
d
db12
db
A
Ii
2
3
x2x
12
b
db12
db
A
Ii
2
3
y2y
za n1-n1 y=d/2
6
d
2
d12
d
y
ie
2
2x
y 0ex 1(0;-d/6)
x
n1-n1
T
1
y
d/6
34
3/31/2016
18
x
n2-n2
T
za n2-n2 y=-d/2
6
d
2
d12
d
y
ie
2
2x
y
0ex 2(0;d/6)2
y
d/2
d/6
x
n3-n
3
T
za n3-n3 x=b/2
6
b
2
b12
b
x
ie
2
2y
x 0ey 3(-b/6;0)3
y
b/2b/6
35
x
n4-n
4
T
za n4-n4 x=-b/2
6
b
2
b12
b
x
ie
2
2y
x
0ey 4(b/6;0)4
y
b/6b/2
jezgro preseka
4 3
1
2
ako sila deluje unutarjezgra preseka ceopresek je pritisnut
36
3/31/2016
19
37
Primer 7.3Za zadati poprečni presek odrediti i nacrtati jezgro preseka
Na jezgro preseka ne utiču spoljnjesile-to je čisto geometrijska karakteristika
6012
48
12
Geometrijske karakteristike preseka
Površina: A=6012+4812=1296 cm2
težište po y pravcu u odnosu na gornju ivicu
cm33,19y
1296
36124861260
A
yAy
T
i
TiiT
y
x 36
6
T
19,33
glavni centralni momenti inercije
4x
23
23
x
cm407232I
33,1936124812
4812
633,19126012
1260I
y
x 36
6
T
19,33
433
y cm22291212
4812
12
1260I
glavni poluprečnici inercije
2x2x cm22,314
1296
407232
A
Ii
2y2y cm172
1296
222912
A
Ii
38
3/31/2016
20
y
xT
jezgro presekan1-n1
za n1-n1 y=-19,33
cm26,1633,19
22,314
y
ie
2x
y
0ex 1(0;16,26)
1
za n2-n2 y=40,67
cm72,767,40
22,314
y
ie
2x
y
0ex 2(0;-7,72)n2-n2
2
za n3-n3 x=-30
cm73,530
172
x
ie
2y
x
0ey 3(5,73;0)
n3-n
3
3 4
n4-n
4
za n4-n4 x=30
neutralna linija je simetrična sa n3-n3
pa je i teme jezgra preseka simetričnosa tačkom 3
39
y
xT
jezgro presekan1-n1
za n5-n5
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
1
n2-n2
2
n3-n
3
3 4
n4-n
4
40
B(-30;-7,33)
C(-6;40,67)
Neutralnu liniju postavljamo kroztačke B i C
To je prava kroz dve tačke. Njenajednačina je
33,767,40
33,7y
306
30x
33,7y60x248
33,7y
24
30x
67,52x2y jednačina n.l.
67,52y;0xza
34,26x;0yza
cm53,634,26
172
x
ie
2y
x
3/31/2016
21
y
xT
jezgro presekan1-n1
5(6,53;-5,97)
1
n2-n2
2
n3-n
3
3 4
n4-n
4
41
B(-30;-7,33)
C(-6;40,67)
67,52x2y jednačina n.l.
67,52y;0xza
34,26x;0yza
cm53,634,26
172
x
ie
2y
x
n5-n5
cm97,567,52
22,314
y
ie
2x
y
5
n6-n6
simetrično u odnosu na n5-n5 6(-6,53;-5,97)
6
Spojimo tačke 1-6 i površina koja je oivičena predstavlja jezgro preseka
