Aksiome podudarnosti

Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duzi + dvije aksiomepodudarnosti za uglove)

III1 Za svaku polupravu a′ sa pocetnom tackom A′ i za svaku duz AB, postoji tacka B′ ∈ A′,takva da je duz AB podudarna sa duzi A′B′, sto zapisujemo ovako AB ∼= A′B′.

III2 Ako je A′B′ ∼= AB i A′′B′′ ∼= AB tada je A′B′ ∼= A′′B′′.

III3 Ako je A−B − C i A′ −B′ − C ′ i ako je AB ∼= A′B′ i BC ∼= B′C ′ tada je AC ∼= A′C ′.

III4 Za svaku poluravan α′ sa ivicom u pravoj p′, za svaku polupravu a′ ⊆ p′ sa pocetnomtackom O′, za svaki ugao ]ab, postoji jedna i samo jedna poluprava b′ ⊆ α′ sa pocetnom tackomO′, takva da je ugao ]ab podudaran sa uglom ]a′b′, sto zapisujemo ]ab ∼= ]a′b′.III5 Ako za trouglove 4ABC i 4A′B′C ′ vazi da je AB ∼= A′B′, AC ∼= A′C ′,]BAC ∼= ]B′A′C ′ tada je i ]CBA ∼= ]C ′B′A′.

Skraceno, aksiome podudarnosti predstavljene slikama:

Sljedece teoreme su dokazane na predavanjima i mi cemo ih samo navesti.Teoreme o podudarnosti trouglova:

1.AB ∼= A′B′

]CAB ∼= ]C ′A′B′AC ∼= A′C ′

SUS=⇒ 4ABC ∼= 4A′B′C ′

2.]CAB ∼= ]C ′A′B′

AB ∼= A′B′

]ABC ∼= ]A′B′C ′

USU=⇒ 4ABC ∼= 4A′B′C ′

3.AB ∼= A′B′

AC ∼= A′C ′

BC ∼= B′C ′

SSS=⇒ 4ABC ∼= 4A′B′C ′

4.]ACB ∼= ]A′C ′B′]CAB ∼= ]C ′A′B′

AB ∼= A′B′

UUS=⇒ 4ABC ∼= 4A′B′C ′

5.AC ∼= A′C ′

BC ∼= B′C ′

]ABC ∼= ]A′B′C ′AC > BC

SSU

(ugao nasprem vece stranice)=⇒ 4ABC ∼= 4A′B′C ′

U nekim zadacima, od broja 12 pa nadalje, cemo pretpostaviti da vrijedi sljedeca teorema:

]PAN = ]ABV = ω ako i samo ako a‖b(p(P,Q) transferzala ili presjecnica)

λ i ω su naporedni uglovi η i µ su unakrsni ugolovi

α i β su saglasni ugloviα i γ su suprotni ugloviα i δ su naizmjenicni uglovi

Uradeni zadaci

1. Vanjski (spoljasnji) ugao trougla je veci od oba unutrasnja nesusjedna ugla. Dokazati.

2. Najvise jedan ugao u trouglu moze biti prav ili tup, a najmanje dva su ostra. Dokazati.

3. Nasuprot veceg ugla u trouglu lezi veca stranica. Dokazati.

4. Neka je ]aOb prav ugao (a i b su poluprave sa pocetnom tackom O) i neka su tacke A ∈ a iB, C ∈ b. Dokazati da je OC > OB ako i samo ako je AC > AB.

5. Dokazati da je ortogonalna projekcija tacke koja pripada jednom kraku ostrog ugla na pravuodredenu drugim krakom pripada tom, drugom kraku. Formuliati i dokazati odgovarajucuteoremu za tup ugao.

6. Neka je AA1 tezisna linija 4ABC. Dokazati da je ugao ]BAA1 > ]CAA1 ako i samo ako jeAB < AC.

7. Neka je A1 sredina stranice BC trougla 4ABC. Dokazati da vrijedi:a) AA1 >

12(AB + AC −BC)

b) AA1 <12(AB + AC)

c) zbir tezisnih linija trougla je veci od poluobima a manji od obima trougla.

8. Neka je M tacka u unutrasnjosti trougla 4ABC. Dokazati da vrijedi:a) ]AMB > ]ACBb) MA+MB < AC + CB

9. Neka je M1 ortogonalna projekcija tacke M na pravu odredenu tackama A i B. Dokazati da jeMA ≥MB ako i samo ako je MA1 ≥M1B.

10. Za trouglove 4ABC i 4A1B1C1 vrijedi AB ∼= A1B1 i AC ∼= A1C1. Dokazati da jeBC ≥ B1C1 ako i samo ako je ]BAC ≥ ]B1A1C1.

11. U trouglu ABC je AB < AC. Neka su E, D i H redom tacke u kojima simetrala ugla,tezisna linija i visina iz tjemena A sijeku prave BC. Dokazati da vrijedia)]AEB < ]AECb)BE < CEc) da je poredak H − E −D.

12. Dokazati da je potreban i dovoljan uslov da trougao bude jednakokrakia) da su dvije visine podudarneb) da je jedna simetrala ugla ujedno i tezisnicac) da su mu dvije tezisne linije podudarne.

13. U konveksnom cetverouglu �ABCD, AB je najveca, a CD najmanja stranica. Dokazati daje ]D > ]B i ]C > ]A.

Pretpostavimo da je dokazana teorema o ugovima na transferzali koja glasi:

]APM = ]AQN = λ ako i samo ako p‖q

Pomocu ove teoreme mozemo uraditi zadatak broj 1 i na drugi nacin.

14. Vanjski (spoljasnji) ugao trougla je veci od oba unutrasnja nesusjedna ugla. Zbir uglova utrouglu je ravan ugao. Dokazati.

15. U konveksnom cetverouglu �ABCD je ]A = ]B i BC > AD. Dokazati da je ]C < ]D.

16. U trouglu 4ABC, AP polovi ugao ]BAC, sa P na BC, i duz BQ polovi ]ABC sa Q nCA. Zna se da je ]BAC = 60◦ i da je AB +BP ∼= AQ+QB. Odrediti ostale uglove u4ABC.

17. Dokazati da je u svakom konveksnom cetverouglu bar jedna stranica manja od vecedijagonale.

18. Dokazati da u trouglu postoji najvise jedna stranica koja je manja od njoj odgovarajucevisine.

19. Izmedu svih trouglova sa datim zbirom tezisnih linija odrediti onaj sa najvecim zbiromvisina.

20. Dokazati da u trouglu postoji najvise jedna stranica koja je manja od njoj odgovarajucevisine.

Problemi broj 3

Zadaci za vjezbu

21. U trouglu su povucene simetrala ugla i tezisna linija iz tjemena koje je incidentno sa dvijenejednake stranice trougla. Dokazati da je odsjecak simetrale ugla koji lezi izmedu tjemena inaspremne stranice manji od tezisne linije.

22. U konveksnom cetverouglu �ABCD je AD ∼= BC i ]DAB > ]ABC. Dokazati da je i]BCD > CDA.

23. U konveksnom cetverouglu �ABCD je ]A ∼= ]C i ]B ∼= ]D. Dokazati da je AB ∼= CD iAD ∼= BC.

24. Dokazati da je zbir dijagonala konveksnog cetverougla veci od poluobima, a manji od obimacetverougla.

25. Ako sva tri tjemena trougla 4A1B1C1 pripadaju unutrasnjosti trougla ABC, tada je obimtrougla 4A1B1C1 manji od obima trougla 4ABC. Dokazati.

26. Neka je AB najmanja stranica trougla 4ABC i M proizvoljna tacka u unutrasnjostitrougla. Dokazati da je MA+MB +MC < AC +BC.

27. Dokazati da konveksan cetverougao �ABCD tangentan ako i samo ako je se kruzniceupisane u trouglove 4ABC i 4ACD dodiruju.

Napomena: Cetverougao je tangentan ako i samo ako se u njega moze upisati kruznica.

28. Kod tangentnog cetverougla sredina jedne dijagonale pripada drugoj dijagonali. Dokazati daje taj cetverougao deltoid.

Napomena: Deltoid je konveksan cetverougao u kojem iz dva dijagonalna tjemena izlazepo dvije medusobno podudarne stranice.

29. Ako postoji kruznica koja na svim stranicama cetverougla �ABCD odsjeca medusobnopodudarne duzi, tada je AB + CD ∼= AD +BC. Dokazati.

30. U konveksnom cetverouglu �ABCD je AC +CD ≥ AB +BD. Dokazati da je AB<AC. Dali tvrdenje vazi za nekonveksne cetverouglove?

31. Dakazati da u Sakerijevom cetverouglu �ABCD simetrala stranice AB je istovremenao isimetrala stranice CD.

Napomena: Konveksan cetverougao �ABCD kod kojeg su uglovi kod tjemena A i Dpravi, a stranice AD i BC medusobno podudarne, zove se Sakerijev.

32. Dakazati da u Sakerijevom cetverouglu �ABCD je ]C ∼= ]D.

33. Dakazati da u Sakerijevom cetverouglu �ABCD je AB ≤ CD.

34. Neka su A1 i B1 redom sredine stranica BC i AC trougla 4ABC. Dokazati da jeA1B1 ≤ 1

2AB.

35. Neka su A1 i B1 redom sredine stranica BC i AC trougla 4ABC. Dokazati da prava A1B1

je normalna na simetralu stranice AB.

36. Neka su A1 i B1 redom sredine stranica BC i AC trougla 4ABC. Dokazati da prava A1B1

ne sijece pravu AB.

37. Neka je C ′ podnozje visine iz tjemena C pravouglog trougla 4ABC sa pravim uglom kodtjemena C. Dokazati da je ]ACC ′ ≤ ]ABC

38. Dokazati da je u pravouglom trouglu 4ABC, SC ≤ 12AB, gdje je S-sredina hipotenuze AB.

39. Dokazati da periferiski ugao nad precnikom kruznice nije veci od pravog ugla.

40. Dokazati da je unutrasnjost kruznice konveksna oblast.