Aktuelle Themen der Bioinformatik

Johann-Wolfgang-Goethe Universität Frankfurt am Main

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Aktuelle Themen der Bioinformatik

RNA-Sekundärstruktur-vorhersage mit

Pseudoknots


Vortragender:Timo Drick

Thema:


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1. Einleitung1.1. Biologische Aspekte1.2. Überblick

2. Algorithmen2.1. Ohne Pseudoknots2.2. Mit Pseudoknots2.3. Vorstellung anderer Ansätze

3. Komplexität4. Zusammenfassung


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Einführung - Biologische Aspekte

• RNA, was ist das?


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Warum RNA?• RNA ist eine universell einsetzbare Struktur in der

Biologie. Sie erfüllt sehr viele verschiedenen Aufgaben:– mRNA (Vorlage der Proteinsynthese)

– tRNA (Bereitstellung von Aminosäuren für Proteinsynthese)

– rRNA (Synthese von Proteinen)

– snRNA (Splicing es gibt auch Selbstsplicende RNA)

– Allgemein wird angenommen das Ursprünglich das Leben mit RNA-Strukturen begonnen hat und daraus alles weitere Entstanden ist.


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Einführung - Überblick

Warum Sekundärstrukturvorhersage?• Struktur ist wichtig um auf Funktionen zu

schließen.• 3D-Struktur ist zu komplex um

Basenpaarungen vorherzusagen.• Die Sekundärstuktur ist im Prinzip eine

Menge von Basenpaarungen in der 3D-Struktur.

• Die Sekundärstruktur kann als Grundlage für die 3D Vorhersage benutzt werden.


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1. Einleitung

2. Algorithmen

2.1. Ohne Pseudoknots

2.2. Mit Pseudoknots

2.3. Vorstellung anderer Ansätze

3. Komplexität

4. Zusammenfassung


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Algorithmen

• Prozess der Rechnergestützten Sekundärstrukturvorhersage ist sehr Komplex. Es müssen Kompromisse eingegangen werden.

• Um Methoden zu entwickeln müssen Modelle der Realität herangezogen werden.– Üblicherweise werden Gesetze aus der

Thermodynamik verwendet. Es wird die Energie für eine Struktur berechnet.

– Wenn Energie niedrig bzw. minimal dann ist die Struktur stabil.


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Algorithmen - ohne Pseudoknots

Energiefunktion:

• Maximierung der Anzahl von „stacking pairs“ minimiert Energie.

Stacking Pair:


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• P ist eine Sekundärstruktur der RNA-Sequenz

• P ist als Menge von Basenpaaren definiert.

• Stacking Pairs werden so abgekürzt:

nsUGCAs ||}*,,,,{

jiPjiji

jjiiPjiji

undnjiji

4:)11(),(

'':'',

1:

j)1,-jq,...,-j ; qi1,...,i(i,q)-jq(i1),..,-j1(ij),(i


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Erstellen eines Graphen:

• Der ungerichtete Graph G(P) besteht aus n Knoten die den Basen in S entsprechen.

• Basen (i,j) bilden Kanten in G(P) falls:j=i+1 oder (i·j) є P

• Eine Sekundärstruktur ist planar wenn ihr Graph planar ist.


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Pseudoknot:

• Wenn P zwei Basenpaare (i·j) und (i‘·j’) enthält, verursachen sie einen Pseudoknot falls gilt: i<i’<j<j’


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• P enthält einen „Interleaving Block“ wenn P drei SPs(i,i+1;j-1,j),(i',i'+1;j'-1,j'),(i'',i''+1;j''-1,j'') enthält für die gilt: i<i'<i''<j<j'<j''‚

Wenn P einen Interleaving Block enthält ist P nicht planar.


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Stacking Pair Embedding (SPE)• SPE von S auf ein Gitter:

– Die Basen S werden als n aufeinander folgende Gitterpunkte auf einer horizontalen Gitterlinie L gezeichnet.

– i und i+1 sind verbunden.– Wenn (i,i+1;j-1,j) ein SP ist dann sind i und i+1 mit j-1

und j verbunden. Beide Kanten müssen über oder unter L liegen.


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• Eine SPE ist planar wenn sie ohne Kantenüberschneidungen gezeichnet werden kann.

• Annahme: P ist eine Sekundärstruktur von S.E ist eine SPE von P. Wenn P planar ist dann muss auch E planar sein.


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Beweis:

• Wenn P keine planare SPE hat nehmen wir an das P einen „Interleaving Block“ enthält und das E SPs hat die sich über L kreuzen.

• Wenn sich kein weiteres SP unter L befindet können wir eins der SPs nach unten klappen.


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• Folgerung: Es muss sich mindestens noch ein SP unter L befinden.

• Probieren aller möglichen Anordnungen zeigt das E nur dann nicht ohne Überschneidungen gezeichnet werden kann wenn es sich um einen „Interleaving Block“ handelt.


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MaxSP• MaxSP berechnet max # von SPs ohne

Pseudoknots.• Zwei Arrays V und W:

– V(i,j):(j>=i) enthält die max # SPs ohne Pseudoknots die mit i,...,j gebildet werden können, wenn gilt i und j bilden Watson-Crick paar.

– W(i,j):(j>=i) enthält die max # SPs ohne Pseudoknots die mit i,...,j gebildet werden können.

– W(1,n) ist die max # SP die S bilden kann.


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MaxSP• Basis:

Wenn j=i, j=i+1, j=i+2, j=i+3 für die gilt (j<=n)– V(i,j)=0|i und j sind ein WC paar.– W(i,j)=0

• Rekursion:Wenn j>i+3

),1(),(max

e, Basenpaarsind und :),(max),(

1-jki jkWkiW

jijiVjiW

e Basenpaarsind und :)1,1(

e, Basenpaarsind 1-j und 1:1)1,1(max),(

jijiW

ijiVjiV


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• Der Algorithmus zählt SPs nur dann:– Wenn nach einem Basenpaar ein weiteres folgt.– D.h. viele SPs hintereinander zählen mehr als

einzelne SPs.

• Beispiel an Tafel:


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Annahme:

• Gegeben ist eine RNA-Sequenz S.

• N* ist die max # SPs die mit einer planaren Sekondärstruktur von S gebildet werden kann.

• W ist die max # an SPs die mit S ohne Pseudoknots gebildet werden können.

• Dann gilt W>=N* / 2


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Beweis:• P* ist eine planare Sekundärstruktur von S

mit N* SPs.• Solange P* planar ist sind alle SPEs von P*

auch planar Lemma 3.1.• E ist ein SPE von P* so dass keine Linien

im Gitter sich überschneidet. • n1 und n2 sind die # SPs über und unter L.

2und

2und

1

121

N*/ WnW

N*/ n nn


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• Der Algorithmus MaxSP findet mindestens ½ der möglichen SPs einer Sekondärstruktur für eine RNA-Sequenz S.

• Resourcen:– Laufzeit O(n3)– Platz O(n2)

• Es gibt O(n2) Einträge in V(i,j) und W(i,j) zu füllen.

• Pro Eintrag brauchen wir bei W(i,j) O(n) zeit und bei V(i,j) O(1) zeit.


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MaxSP• Basis:

Wenn j=i, j=i+1, j=i+2, j=i+3 für die gilt (j<=n)– V(i,j)=0|i und j sind ein WC paar.– W(i,j)=0

• Rekursion:Wenn j>i+3

},j)}W(kW(i,k)

jV(i,j)|i{W(i,j)

j-ki 1max

paar WC ein sind und max

1

}j) |i,j-W(i

j-|i),j-V(i{V(i,j)

paar WC ein sind und 11

paar WC ein sind 1 und 1111max


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mfold• Berechnet minimale Energie ohne Pseudoknots.• Drei Arrays V, WM und W:

– V(i,j) enthält die minimale Energie eine Sekundärsturktur die mit i,...,j gebildet werden kann, wenn gilt i und j bilden Watson-Crick paar.

– WM(i,j) enthält die minimale Energie eine Sekundärsturktur die mit i,...,j gebildet werden kann, wenn sie Teil eines multibranched loop ist.

– W(i,j) enthält die minimale Energie der Struktur i...j


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Hairpin loopStacking

Basepairs

Internal loopsbulges


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mfold

• Resourcen:– Laufzeit O(n3) evtl. O(cn3)– Platz O(n2)


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1. Einleitung

2. Algorithmen




3. Komplexität

4. Zusammenfassung


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Algorithmen - mit Pseudoknots

GreedySP(S,i) : i>=31. Finde die linkesten SPs mit i aufeinander

folgenden Basenpaaren die nicht markiert sind.Füge die Bassenpaare zu E hinzu und markiere sie.Wiederhole 1. bis keine mehr gefunden werden.

2. Für k=i-1 bis 2, Finde alle SPs mit k aufeinander folgenden Basenpaaren.Füge sie E hinzu und markiere sie.

3. Finde das linkeste SP.Füge es E hinzu und markiere es.Wiederhole bis keine weiteren vorhanden.


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• Algorithmus erzeugt eine Sekundärstruktur die mindestens 1/3 der maximal möglichen SPs enthält.

• Es werden Strukturen mit vielen aufeinander folgenden Basenpaaren bevorzugt.

• Ressourcen:– Laufzeit O(ni)– Platz O(n)


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1. Einleitung

2. Algorithmen




3. Komplexität

4. Zusammenfassung


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Andere Herangehensweisen für Sekundärstruktur Vorhersage:

• Verwendung von Stochastischen Kontextfreien Grammatiken.

• Genetische Algorithmen

• Anregung: Ansätze mit anderen Bioinformatischen methoden (Neuronale Netze, Schwarmalgorithmen, ...)


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Kurze

PAUSE


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1. Einleitung2. Algorithmen3. Komplexität

3.1. Energiefunktion3.2. Idee3.3. Alphabet3.4. RNA-Konstuktion3.5. Beweis

4. Zusammenfassung


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Komplexität

• Problem:Berechnung einer RNA-Sekondärstruktur mit minimaler Energie.

• NP-Vollständigkeit ist bewiesen.

• Einfache Energiefunktion als grundlage.


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Komplexität - Energiefunktion

Nearest Neighbour Pseudoknot Model

S ist eine Sekundärstruktur der Sequenz s. S ist eine Menge von Basenpaaren.

Es gilt:

SjijijiEsE )1,1,()(

nsUGCAs ||}*,,,,{

'':'',

1:

jjiiSjiji

undnjiji


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Komplexität - Energiefunktion

• Folgerungen:– Die Energie hängt ab von der Basenpaarung

selbst und von den beiden Nachbarbasen bzw. dessen Paarungen.

– Dieses Modell erlaubt alle Arten von Pseudoknots. (Es gibt keinerlei Restriktionen im bezug auf die Sekondärstruktur).


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4. Zusammenfassung


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Komplexität – Idee

NP-Vollständig

• Klasse P:– Efizient entscheidbare Sprachen. (Entscheidbar

in Polynomialzeit)

• Klasse NP:– Sprachen die in polynomieller Laufzeit von

einer Nichtdeterministischen Turingmaschine entschieden werden können.

– Sprachen die in polynomieller Laufzeit verifiziert werden können


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• Klasse NP-hart– Eine Sprache L ist NP-hart wenn alle

Sprachen in NP auf sie Reduziert werden können.

– Reduktion muss in polynomieller Laufzeit möglich sein.

• Gilt P=NP ?


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Annahme 1

Entscheidung ob eine optimale Sekundärstruktur in dem NNPM eine geringere Energie als E hat, ist NP-Vollständig.

Beweis:

NP: Trivial – Verifizierer kann in p-Zeit Energie berechnen.

NP-hart : Folgt.


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Wie wird NP-hart Komplexität bewiesen?

Reduktion auf 3SAT

3SAT:

• Literal: Variable x oder x negiert.

• Klausel: Disjunktion von Literalen.

• Variante: Jedes Literal darf maximal 2x auftauchen.

...)()( fedcba


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• Für den Beweis sind nur Watson-Crick Basenpaarungen erlaubt.(Technische Einschränkung um die Komplexität des Beweises zu reduzieren.)

• Es wird ein Unendliches Alphabet aus Basen konstruiert. Dieses Konstrukt wird dann als Symbol betrachtet.


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3.1. Energiefunktion3.2. Idee3.3. Alphabet3.4. RNA-Konstruktion3.5. Beweis

4. Zusammenfassung


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Komplexität – Alphabet

Konstruktion eines unendlichen Alphabets mit Basen:

• Ein Symbol entspricht der d stelligen binären Darstellung von k

• wobei gilt: 0<=k<=2d-1 über das Alphabet {A,U} ist.

• Der String b{A,U}(k,d) der Länge d wird als binär Zahl interpretiert. A = 0 und U = 1. Das gleiche für C,G


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• Das k'te eindeutige {A,U} Muster das d Binärstellen benutzt ist der String:

• A...AUb{A,U}(k,d)AUAb{A,U}(k,d)UA...A.

• wobei A...A=d+2 stellen.

• Gleiche gilt für GC Muster.

• BSP:

• k=2; d=2

• A(UA)AU AUA UA(UA)A


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• Spezielle Konstruktion nötig damit keine unbeabsichtigten Symbole zwischen zwei Symbolen entstehen können.

• Symbole können negiert werden und bilden dann ihr Komplement.

• Ein Symbol wird negiert indem alle As mit Us, und alle Gs mit Cs und umgekehrt vertauscht werden.

• Nur Paarungen mit komplementären Symbolen werden energetisch bevorzugt.


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Symbolische-Energiefunktion:

Basenpaare zwischen Komplementären Symbolen werden energetisch bevorzugt wenn sie keine Pseudoknots mit ihren direkten Nachbarn bilden.

sandernfall0.,,,gilt

}1,...,1{'für und

sindSymboleärekomplementundwenn

1,,(

1''1''1'1

11SWZVZZWZV

jij

YX

WVYXEjjijjjji

jiji


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4. Zusammenfassung


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Komplexität – RNA-Konstuktion

• Übeführung einer Formel Ф in eine Sequenz sФ wobei gilt:

– Ф liegt in der Speziellen 3SAT form vor.

– sФ wird so konstruiert das die Sekundärstruktur genau dann energetisch Minimal ist, wenn Ф erfüllbar ist.=> Wenn wir das entscheiden können, dann können wir auch 3SAT entscheiden.


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Alphabet:

• Für jedes Literal in Ф werden ein oder zwei Komplementäre Symbole erzeugt.

• Für die i’te Klausel in Ф existieren zwei paare von Komplementären Symbolen

• Für die i’te Variable existiert ein Paar von komplementären Symbolen

2211 )(,)( und )(,)( llll

2211 und i,i,i,i, c, cc, c

11 i,i, v, v


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Herstellen von substrings aus Klauseln.•

• Der Klausel Substring SCi passend zu Ci ist der String:

• Wenn das literal ij zum ersten Mal in Ci auftaucht dann ist ij=1 ansonsten ij=2

• Benachbarte Literale können keine Basenpaarung bilden ohne einen Pseudoknot zu verursachen.

von Klauselte' dieist 321 illlCi

2,32,1,22,1,11, 321)()()( iiiiiiiii clcclcclc


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Herstellen von substrings aus Variablen

• Xi ist eine Variable die 2x positiv und 2x negativ in Ф auftaucht.

• Der Substring sieht dann so aus:

• vi sind Kontrollsymbole die, die Komplementären Variablen voneinander abschirmen.

• Bei fehlen eines + bzw. - Vorkommens von Xi wird die Variable einfach weggelassen.

iiiiiii vxxvxxv 1212 )()()()(


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• Ф ist eine Boolesche Formel in CNF.• Alle Klauseln enthalten max 3 Literale.• Jedes Literal taucht max 2x auf.• Angenommen Ф besteht aus c Klauseln und

benutzt v Variablen, dann ist:

• Wobei gilt das Ci ist die i’te Klausel des Substrings der zu der i’ten Klausel in Ф gehört.

vc VVVCCCs ...... 2121


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Beispiel:


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4. Zusammenfassung


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Komplexität – Beweis

Behauptung:

• Eine optimale Sekundärstruktur für sФ mit der speziellen Energiefunktion hat genau die Energie -(3c+v) wenn und nur wenn Ф erfüllbar ist.


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Wann ist eine 3SAT-Formel erfüllbar?

• In jeder Klausel muss mindestens ein Literal wahr sein.

• Nur möglich wenn ein Literal in dieser Klausel existiert das nicht in einer anderen Klausel in negierter Form gebraucht wird.

• Hier problem vereinfacht da jedes Literal maximal 2x auftaucht.


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• Paarungen zwischen Literalen zeigen das das Litral wahr sein kann.

• Paarungen zwischen kontroll Symbolen in Variablesubstrings verhindern das eine Variable und ihre negation wahr sind.


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3c+v

• v – In jedem Variablen Block kann eine Paarung der Kontrollsymbole stattfinden.

• 2c – In jedem Klauseln Block können zwei Paarungen zwischen Kontrollsymbolen stattfinden.

• c – ein Literal aus dem Klauseln Block kann eine Paarung mit einem Literal im Variablen Block eingehen.


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Komplexität – Zusammenfassung

Zusammenfassung des Beweises:• Energiefunktion: einfache Funktion gewählt

– D.h. Komplexere Energiefunktionen können meistens darauf reduziert werden.

• Idee: Reduktion auf 3SAT– Wobei jedes Literal maximal 2x vorkommt.

• Alphabet: Binäre Kodierung von Symbolen in RNA-Basen.

– Erzeugung eines Unendlichen Alphabets.• RNA-Konstuktion: Aus 3SAT-Formel RNA-

Sequenz erstellen die genau dann minimale Energie besitzt wenn die 3SAT-Formel erfüllbar ist.


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1. Einleitung1.1. Biologische Aspekte1.2. Überblick

2. Algorithmen2.1. Ohne Pseudoknots2.2. Mit Pseudoknots2.3. Vorstellung anderer Ansätze

3. Komplexität4. Zusammenfassung


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Vielen dank für eure Aufmerksamkeit.

Schönen Feierabend

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