ALAN TURING:

MACCHINA di TURING e CALCOLABILITA’

Alberto BertoniMilano, 23 Giugno 2012

ALAN TURING: VITA

• 1912: nasce a LONDRA• 1924: passione per gli SCACCHI• 1934: laurea in Matematica a CAMBRIDGE• 1936/38: propone il modello di Macchina visita PRINCETON – Tesi di Church-Turing• 1939/45: collabora con il Secret Intelligence Service a BLETCHLEY PARK• 1946: pianifica (senza successo) lo sviluppo di un calcolatore al Nat. Phys. Lab.• 1948: frustrato, si dedica alla maratona• 1950: discute su MACCHINE E INTELLIGENZA• 1951: sviluppa una teoria sulla BIOMORFOGENESI• 1952/54: anni horribiles

TURING E CALCOLABILITA’

BACKGROUND:

J. VON NEUMANN - FISICA MATEMATICA,

MECCANICA QUANTISTICA

B. RUSSEL - LOGICA MATEMATICA

Max NEWMAN - INCOMPLETEZZA di GODEL

- 2° PROBLEMA di HILBERT

TURING E CALCOLABILITA’

MOTIVAZIONE:

ENTSCHEIDUNGSPROBLEM (2° Problema di Hilbert): Esiste un METODO che, data una PROPOSIZIONE MATEMATICA (1° ord.), permette di decidere se è o non è DIMOSTRABILE?

PROPOSTA di TURING:

METODO = ?METODO = Algoritmo basato su MACCHINA di TURING !

TURING E CALCOLABILITA’

LAVORI DI RIFERIMENTO:

• [1] On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, Proc. London Maths. Soc., ser. 2, 42: 230–265, 1936

• [2] Systems of logic defined by ordinals, Proc. Lond. Math.

Soc., ser. 2, 45: 161–228, 1939

OSSERVAZIONE:

In [1] la Macchina di Turing è introdotta come generatore di numeri reali; in questa discussione, per questioni di semplicità, la introduciamo come riconoscitore di linguaggi.

MACCHINA DI TURING

NASTRO

TESTINA di LETTURA

PROGRAMMA: Sequenza di istruzioni

ISTRUZIONE:

(q) Case

Leggi X then Stampa Y , MUOVI dx/sin , go to (q’)

Istruzione di Partenza: START

Istruzioni di arresto: ACCETTA / RESPINGI

PROGRAMMA

MACCHINA DI TURING

OSSERVAZIONE:Sia gli INGRESSI che i PROGRAMMI sono PAROLE!

COMPORTAMENTO della MACCHINA M:L(M) = LINGUAGGIO formato dalle PAROLE che, messe in ingresso a M, generano una computazione accettante.

PROPOSTA di TURING:Concetto di PROCEDURA = Macchina di TuringConcetto di ALGORITMO = Macchina di Turing che termina per ogni ingresso

MACCHINA DI TURING

MACCHINA di TURING UNIVERSALE:

Macchina U che, su ingresso W#Y, interpreta Y come (codifica di) una Macchina di Turing e accetta W se

W L(Y)

PROPOSTA di TURING:

MACCHINA di TURING = Programma per calcolatore

MACCHINA UNIVERSALE = Calcolatore

= Interprete

LIMITI ALLA CALCOLABILITA’

SISTEMI PROBLEMI

S

ImmagineS(SISTEMI) = Problemi risolubili in SISTEMI

Se |SISTEMI| < |PROBLEMI| esistono Problemi NON risolubili

da SISTEMI !

LIMITI ALLA CALCOLABILITA’

TECNICA di DIAGONALIZZAZIONE [CANTOR 1874]

Data la seguente {0,1}-matrice parzialmente nota (mik)

1???

?0??

??0?

???1

determinare un vettore 1x4 che NON può essere una riga di (mik)

SOLUZIONE:Il complemento della diagonale = (1- mkk) = (0 1 1 0)

NON DECIDIBILITA’ DEL PROBLEMA “ARRESTO”

PROBLEMA: ARRESTO

ISTANZA: due parole W , Y

QUESTIONE: la macchina Y termina su ingresso W?

FATTO: ARRESTO non è algoritmicamente decidibile.

Se lo fosse, la seguente matrice sarebbe calcolabile:

mWY = 1 se Y termina su ingresso W

0 se Y non termina su ingresso W

Allora sarebbe calcolabile f(W) = 1- mWW ed esisterebbe M per cui f(W) = mWM. Assurdo, perché mMM = f(M) = 1 – mMM

FATTO: ENTSCHEIDUNGSPROBLEM non è decidibile Riduzione ad ARRESTO!

COMPUTABILITA’ NEGLI ANNI ‘30

SISTEMI

-Calcolo [Church 35] Funzioni calcolabili nel -Calcolo

Macchine di Turing Funzioni calcolabili da M di Turing

[Turing 36]

A.Turing sviluppa la tesi di PhD a Princeton sotto la supervisione di Church. Tra le conclusioni:

Fatto [Turing 38]:

Funzioni -calcolabili = Funzioni Turing-calcolabili

= Funzioni ricorsive [Godel 34]

TESI DI CHURCH-TURING

ROBUSTEZZA DI UNA CLASSE DI FUNZIONI

INDIPENDENZA DAI FORMALISMI CHE LE DEFINISCONO

LE FUNZIONI TURING-CALCOLABILI SONO ROBUSTE!

CONCETTO EPISTEMOLOGICO CONCETTO MATEMATICO

PROBLEMI RISOLUBILIPER VIA AUTOMATICA

PROBLEMITURING RISOLUBILI

TESI DI CHURCH-TURING

MACCHINE DI TURING E COMPLESSITA’ STRUTTURALE

COMPLESSITA’ STRUTTURALE:

Stima delle risorse computazionali necessarie alla soluzione di un dato problema

S

SISTEMI PROBLEMI

RISORSE

C

MACCHINA DI TURING E COMPLESSITA’ STRUTTURALE

LUCIDO APPROCCIO:

J. Hartmanis, R.E. Stearns, On the computational complexity of Algorithms, J.Symb.Log.37, 1965

Juris HARTMANIS:• PhD nel 1955 a CalTech

• Nel 1957 lavora con Stearns ai Laboratori GE

• Colpito dai lavori di Shannon (Informazione trasmittibile in canali rumorosi) si chiede se sia possibile una analoga teoria sulle risorse computazionali.

• Fallimento degli approcci basati sul concetto di entropia.

MACCHINA DI TURING E COMPLESSITA’ STRUTTURALE

APPROCCIO BASATO SU MACCHINA DI TURING

“Our exposure to Turing’s ideas was a dramatic event for us. We studied Turing’s paper with excitement and were delighted in the simplicity of the Turing machine model and the beauty of the capture the computability via this model. The Turing machine was ideed a powerful intellectual tool.” [Hartmanis 2012]

METODI UTILIZZATI:

• Tecnica di diagonalizzazione

• Robustezza delle classi di complessità

• Turing-riducibilità

MACCHINA DI TURING E COMPLESSITA’ STRUTTURALE

COMPLESSITA’ STRUTTURALE: una teoria difficile

… MOLTI PROBLEMI APERTI

LOGSPACE = P = NP = PSPACE

[almeno una relazione è . Ma quale?]

…QUALCHE PROGRESSO

NLOGSPACE = co-NLOGSPACE

[Szelepesènyi, The method of forcing for nondeterministic automata, Bull.EATCS 33, 96-11, 1987]

…UN VECCHIO PROBLEMA

I numeri algebrici sono Turing-calcolabili in tempo O(n2).

Lo sono in tempo O(n)?

? ? ?

CONCLUSIONI

ALAN TURING

• REFRATTARIETA’ A CHIUDERSI IN “GABBIE SETTORIALI”

• STRAORDINARIA CAPACITA’ DI UNIFICARE ASPETTI APPARENTEMENTE DISTANTI DELLA CONOSCENZA

• AVVERSIONE A COMPROMESSI MORALI O INTELLETTUALI