Alberi Rosso-Neri

Algoritmi e Strutture Dati

20 aprile 2001

Alberi Binari di Ricerca

Gli alberi di ricerca binari consentonol’individuazione di un elemento al propriointerno in un tempo mediamente proporzionaleall’altezza dell’albero considerato

4

2 6

1 3 5 7

Costruiamo un albero a partire dalla sequenza:4, 2, 6, 1, 3, 5, 7

3 = O(log(n))

Alberi Binari di Ricerca

4

5

6

1

2

3

7

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

7 = O(n)

Inseriamo gli stessi elementi con un diverso ordine:

• Gli alberi Rosso-Neri sono alberi binari di ricerca estesi

• Ciascun nodo di tali alberi contiene uncampo addizionale che riporta il suo colore

• Le operazioni di inserimento e cancellazionevengono opportunamente integrate in modotale da rendere l’albero binario bilanciato

Alberi Rosso-Neri

Un esempio di albero Rosso-Nero

Caratterizzazione

La caratterizzazione degli alberi Rosso-Neriavviene attraverso la formulazione diquattro proprietà vincolanti

Proprietà n. 1

Ogni nodo dell’albero è rosso o nero

46

26 62

21 31 51 85

Proprietà n. 2

NIL NIL

Ogni foglia dell’albero (NIL) è nera

52

45 NIL

Proprietà n.3

Se un nodo è rosso entrambi i suoifigli sono neri

42

12 78

Proprietà n.4Dato un nodo, tutti i percorsi discendenti cheraggiungono una foglia contengono lo stessonumero di nodi neri

65

42 73

32 51 NIL NIL

26

NIL NIL

NILNILNIL

1. Ogni nodo è rosso o nero

2. Ogni foglia (NIL) è nera

3. Se un nodo è rosso entrambi i suoi figli sono neri

4. Dato un nodo, tutti i percorsi discendenti che raggiungono una foglia contengono lo stesso numero di nodi neri

Proprietà

OsservazioneProviamo a costruire un albero Rosso-Nerosbilanciato…

4

5

6

1

2

3

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

Osservazione

4

5

6

1

2

3

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

NIL

Altezza-nero

• Definiamo altezza-nero di un nodo x(black-height(x)) il numero di nodi neriche si incontrano in un qualsiasi camminodiscendente da x verso una foglia

• Definiamo l’altezza-nero di un alberoRosso-Nero come l’altezza-nero della suaradice

Altezza-nero

65

42 73

32 51 NIL NIL

26

NIL NIL

NILNILNIL

black-height(32) = 2

black-height(42) = 2

black-height(T)= black-height(65) = 3

Lemma 1

Un albero Rosso-Nero con n nodi interni haaltezza al più 2lg(n+1)

Lemma 2

Dato un nodo x appartenente ad un alberoRosso-Nero, il sottoalbero ivi radicato contiene almeno 2bh(x)-1 nodi interni

Dimostrazione Lemma 2Dimostriamo il Lemma 2 per induzionesull’altezza del nodo x.

Se l’altezza di x è 0, x è una foglia…

questo implica che

Il sottoalbero radicato in x ha 0 = 20-1 nodiinterni

NIL

Dimostrazione Lemma 2Consideriamo un nodo x che ha altezza > 0,esso avrà quindi due figli…

6

82

6

82

Ciascuno dei due figli di x avrà altezza bh(x) oppure bh(x)-1.

Dimostrazione Lemma 2

Per l’ipotesi induttiva, poiché l’altezza dei figli di x è inferiore all’altezza di x possiamo affermare che ciascun figlio ha almeno 2bh(x)-1-1 nodi interni

Quindi, il sottoalbero radicato in x ha almeno(2bh(x)-1-1) + (2bh(x)-1-1) + 1 nodi interni

(2bh(x)-1-1) + (2bh(x)-1-1) + 1 =

2bh(x)-1 + 2bh(x)-1 –1 =

2*2bh(x)-1 – 1 = 2bh(x) –1

Dimostrazione Lemma 1

Dim.Sia h l’altezza dell’albero considerato. La proprietà 3 degli alberi Rosso-Neri impone che almeno la metà dei nodi che separano la radice dalle foglie siano neri.

Questo implica che l’altezza-nero dell’albero è perlomeno h/2.

Un albero Rosso-Nero con n nodi interni haaltezza al più 2lg(n+1)

Dimostrazione Lemma 1

n 2h/2 –1

n +1 2h/2

log(n+1) h/2

h 2lg(n+1)

Dall’applicazione del Lemma 2 possiamo affermare che il numero di nodi interni n è maggiore o uguale di 2h/2 –1

Alberi Rosso-Neri

Il mantenimento delle proprietà caratterizzantigli alberi Rosso-Neri deve essere garantitoin corrispondenza delle comuni operazioni chevanno a modificare la struttura dell’albero stesso

Le operazioni di inserimento e cancellazionegià viste per gli alberi binari di ricerca vengonomantenute ed integrate con una successivaoperazione di ribilanciamento

Rotazioni

Ai fini dell’implementazione delle proceduredi ribilanciamento si rivela utile l’introduzionedelle operazioni di left-rotation (rotazione sinistra)e right-rotation (rotazione destra)

y

x

ba

c y

x

b

a

c

Right-Rotate(T,y)

Left-Rotate(T,x)

Rotazione sinistra

b

z

b

y

x

a

c

y

x

a

c

z

Left-RotateLeft-Rotate(T,x)

Yright[x]right[x] left[y]If left[y] NIL

then p[left[y]] xp[y]p[x]If p[x] = NIL

then root[T] yelse if x = left[p[x]]then left[p[x]] yelse right[p[x]] y

left[y] xp[x] y

b

z

b

y

x

a

c

y

x

a

c

z

InserimentoL’algoritmo di inserimento di un nodo x in unalbero Rosso-Nero:

• Inserisce il nuovo nodo nell’albero secondoil tradizionale algoritmo di inserimento per alberibinari di ricerca

• Verifica se l’albero risultante viola le proprietàdegli alberi Rosso-Neri

• In caso di violazione, si risale l’albero sino allaradice operando opportunamente rotazioni ecambiamenti di colore

InserimentoL’algoritmo di inserimento che presenteremodistingue tre possibili casi di intervento perripristinare le proprietà degli alberi Rosso-Neripiù altri tre simmetrici

RB-Insert(T,x)RB-Insert(T,x)

Tree-Insert(T,x)color[x] REDWhile x root[T] and color[p[x]] = RED

do if p[x] = left[p[p[x]]]then y right[p[p[x]]]

if color[y] = REDthen color[p[x]] = BLACKcolor[y] = BLACKcolor[p[p[x]]] = REDx p[p[x]]

…

RB-Insert(T,x)

….else if x = right[p[x]]

then x p[x]Left-Rotate(T,x)

color[p[x]] = BLACK color[p[p[x]]] = RED Right-Rotate(T,p[p[x]])

else….

Color[root[T]] BLACK

Un esempio 1/3

65

42 73

32 51 NIL NIL

26

NIL NIL

NILNILNIL

Inseriamo nell’albero corrente l’elemento x = 24

Un esempio 2/3

65

42 73

32 51 NIL NIL

26

NIL

NIL

NILNILNIL

24

NIL

x

p[x]

p[p[x]]

Ci troviamo nel terzo caso della proceduradi ribilanciamento

Un esempio 3/3

65

42 73

32

51 NIL NIL26

NIL NIL

NILNIL

NIL

24

NIL

x

CancellazioneL’algoritmo di cancellazione di un nodo x da unalbero Rosso-Nero opera secondo la stessafilosofia dell’algoritmo di inserimento:

• Cancella il nodo dall’albero secondo iltradizionale algoritmo di cancellazione peralberi binari di ricerca

• Verifica se l’albero risultante viola le proprietàdegli alberi Rosso-Neri

• In caso di violazione, si risale l’albero sino allaradice operando opportunamente rotazioni ecambiamenti di colore

Cancellazione• L’algoritmo di cancellazione prevede quattropossibili casi di intervento più altri quattrosimmetrici

• La complessità di tale algoritmo è di ordineO(h)

Un esempio

65

42

73

32 51

NIL NIL

26

NIL

NIL NILNILNIL

24

NILx