𝐯𝐚

𝐯

𝐚𝐯 = 𝐯′

𝐯 ∙ 𝐚 = 𝐯′ ∙ 𝐚′

𝐯′

𝐚′

para que: 𝑑|𝐯(𝑡)|

𝑑𝑡=

|𝐯′ 𝑡 |

𝑑𝑡

Alcance, Altura máxima e Tempo de voo

Alcance

𝐣

𝐢𝑂

𝐯0𝛼

𝑅

𝑦 𝑥 = (tan 𝛼) 𝑥 −𝑔

2𝑣02cos2𝛼

𝑥2

𝑅 =𝑣0

2sin(2𝛼)

𝑔

Applet Projectiles (height = 0, angle = {30,45,60})

0 = (tan 𝛼) 𝑅 −𝑔

2𝑣02cos2𝛼

𝑅2

Problema

Um canhão dispara um projétil a 82,0 m/s. Qual deve ser o ângulo de lançamento para atingir um alvo a 560 m, no mesmo nível do canhão? Use g = 9,81 m/s2.

𝑅 =𝑣0

2sin(2𝛼)

𝑔

27, 7o ou 62, 6o

𝐣

𝐢

𝐯0𝑂

𝑅′

𝑅

𝑦 𝑥 = (tan 𝛼) 𝑥 −𝑔

2𝑣02cos2𝛼

𝑥2

ℎ′

ℎ

ℎ = (tan 𝛼) 𝑅 −𝑔

2𝑣02cos2𝛼

𝑅2

Applet Projectiles (height = 200, set angle for max range)

24,95 m 45o

25,02 m (42o)

𝑔 = 9,81 m/s2

Tempo de Voo

𝑣𝑦

𝑡

𝑣0 sin𝛼

−𝑣0 sin𝛼

𝑡𝑉

𝐯 𝑡 = (𝑣0cos 𝛼) 𝐢 + (𝑣0sin 𝛼 − 𝑔𝑡) 𝐣

𝑡𝑉 =2 𝑣0sin 𝛼

𝑔

𝑦 𝑡𝑉 = 0Alternativa: 𝐫 𝑡 = (𝑣0cos 𝛼) 𝑡 𝐢 + (𝑣0sin 𝛼) 𝑡 − 12𝑔𝑡2 𝐣

Altura Máxima

𝐣

𝐢𝑂

𝐯0𝛼

𝐻

𝐫 𝑡 = (𝑣0cos 𝛼) 𝑡 𝐢 + (𝑣0sin 𝛼) 𝑡 − 12𝑔𝑡2 𝐣

𝑦 𝑡𝑉 2 = 𝐻

𝐻 =𝑣0

2sin2𝛼

2𝑔

Applet Projectiles (height = 0, angle = {30,45,60})

𝐫 𝑡 = (𝑣0cos 𝛼) 𝑡 𝐢 + (𝑣0sin 𝛼) 𝑡 − 12𝑔𝑡2 𝐣

ℎ = 𝑦 5,50 s

𝐯 𝑡 = (𝑣0cos 𝛼) 𝐢 + (𝑣0sin 𝛼 − 𝑔𝑡) 𝐣

𝐯(5,50 s)

𝐻 =𝑣0

2sin2𝛼

2𝑔

𝑔 = 9,81 m/s2

51,7 m

27,4 m/s

67,4 m

𝐣

𝐢𝑂

Desvio vertical em tiro ao alvo

𝐷

Δ𝑦

𝐯0 𝛼

Δ𝑦 =𝑔𝐷2

2𝑣02cos2𝛼

𝑦 𝑥 = (tan 𝛼) 𝑥 −𝑔

2𝑣02cos2𝛼

𝑥2

𝑔 ~ 10 m/s2; 𝐷 ~ 30 m; 𝑣0 ~ 500 m/s; cos 𝛼 ~1

Δ𝑦 ~ 2 cm

𝐣

𝐢𝑂

Alvo em queda livre

𝐯0

𝐣

𝐢

𝑂𝐫 𝑡 = (𝑣0cos 𝛼) 𝑡 𝐢 + (𝑣0sin 𝛼) 𝑡 − 1

2𝑔𝑡2 𝐣

𝐫(𝑡) = 𝐯0𝑡 + −12𝑔𝑡2 𝐣

𝐫 𝑡 = (𝑣0cos 𝛼) 𝑡 𝐢 + (𝑣0sin 𝛼) 𝑡 − 12𝑔𝑡2 𝐣

htt

ps:

//w

ww

.yo

utu

be.

com

/wat

ch?v

=cxv

sHN

RX

Ljw

Efeito do arrasto do ar

1. 𝑡𝑆 < 𝑡𝐷

2. 𝑡𝑆 < 𝑡𝑆(𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙)

3. 𝐻 < 𝐻(𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙)

4. descida mais “vertical”

Desafio

Qual é o maior alcance possível de um projétil que sai a 100 m do chão com velocidade 300 m/s ? (use 𝑔 = 10,0 m/s2)

Movimento Circular Uniforme (MCU)

Período e Frequência(s)

𝑅

𝐯 𝑇 =2𝜋𝑅

|𝐯|

𝑓 =1

𝑇, 𝑓 = s−1 = Hz (rps)

𝜔 = 2𝜋𝑓 =2𝜋

𝑇, 𝜔 = rad/s

|𝐯| = 𝜔𝑅

A aceleração no MCU

𝑅

𝐯𝐚

𝜔𝑑𝑡

𝐯(𝑡)

𝐯(𝑡 + 𝑑𝑡)

𝑑𝐯

𝑑𝐯 = |𝐯|𝜔𝑑𝑡𝐚 =

𝑑𝐯

𝑑𝑡= 𝜔2𝑅 =

|𝐯|2

𝑅

𝜔𝑑𝑡

= |𝐯|𝜔

https://www.youtube.com/watch?v=h-85rpR-mRM

Centrífuga 𝑅 = 15,0 cm, 𝑓 = 3000 rpm

𝐯 = 47,1 m/s

𝐚 = 1,47 × 104 m/s2

= 1509 𝑔

𝑅

Trajetória do MCU

𝑂 𝐣

𝐢

𝑡 = 0

𝜔𝑡

𝑡

𝐫 𝑡 = 𝑅 cos𝜔𝑡 𝐢 + 𝑅 sin𝜔𝑡 𝐣

𝐯 𝑡 = −𝑅𝜔 sin𝜔𝑡 𝐢 + 𝑅𝜔 cos𝜔𝑡 𝐣

𝐚 𝑡 = −𝑅𝜔2 cos𝜔𝑡 𝐢 + −𝑅𝜔2 sin𝜔𝑡 𝐣

𝐯(𝑡) = 𝑅𝜔

𝐫(𝑡) ∙ 𝐯(𝑡) = 0

𝐚(𝑡) = 𝑅𝜔2

𝐚(𝑡) ∙ 𝐯(𝑡) = 0

𝐢

𝐣

𝐤

𝐫 𝑡 = 𝑅 cos𝜔𝑡 𝐢 + 𝑅 sin𝜔𝑡 𝐣 + 𝑉𝑡 𝐤