ALCUNI PROBLEMI DEL TESTO (E ALCUNE SOLUZIONI) · 2014-09-15 · pag.36 Capitolo 8 - I PRINCÌPI DI NEWTON pag.44 Capitolo 9 - LAVORO ED ENERGIA pag.52 Capitolo 10 - ATTRITO pag.59

Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 1

ALCUNI PROBLEMI DEL TESTO (E ALCUNE SOLUZIONI) • Vengono qui presentati, a scopo esemplificativo, alcuni dei problemi proposti

dal testo Fondamenti di Meccanica classica. • I problemi contrassegnati da un asterisco sono, dal punto di vista concettuale

e/o del calcolo, i più impegnativi. • Nel testo è data risposta a tutti i problemi: in questa sede solo a quelli contras-

segnati con una «R». • Nella sezione “Indice del libro e pagine dimostrative” del sito è offerto il qua-

dro completo dei problemi dei capitoli 2 (Approssimazioni), 10 (Attrito), 12 (Dinamica relativa) e 13 (Dinamica rotazionale). Il testo di alcuni di tali problemi, corredato di risposta, è riproposto in questa pagina.

INDICE

pag.2 Capitolo 1 - INTRODUZIONE ALLA FISICA pag.6 Capitolo 2 - APPROSSIMAZIONI pag.8 Capitolo 3 - CINEMATICA GENERALE (1) pag.16 Capitolo 4 - CINEMATICA GENERALE (2) pag.25 Capitolo 5 - CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO pag.29 Capitolo 6 - STATICA DEL CORPO RIGIDO pag.33 Capitolo 7 - STATICA DEI FLUIDI pag.36 Capitolo 8 - I PRINCÌPI DI NEWTON pag.44 Capitolo 9 - LAVORO ED ENERGIA pag.52 Capitolo 10 - ATTRITO pag.59 Capitolo 11 - GRAVITAZIONE pag.65 Capitolo 12 - DINAMICA RELATIVA pag.69 Capitolo 13 - DINAMICA ROTAZIONALE pag.76 Capitolo 14 - URTI pag.79 Capitolo 15 - OSCILLAZIONI pag.81 Capitolo 16 – DINAMICA DEI FLUIDI


CAPITOLO 1 − INTRODUZIONE ALLA FISICA

DIMENSIONI 8 Se due grandezze hanno uguali dimensioni, il loro rapporto

(a) è uguale a 1 (b) è una grandezza dello stesso tipo (c) .....

9 [R] Lo studente A deve calcolare l’area del cerchio, ma non ricorda con sicu-rezza se occorre usare la formula πR2, oppure la formula 4πR2, oppure la for-mula (4/3)πR3. Si spieghi se l’analisi dimensionale lo può aiutare a individuare la formula giusta.

13 Le grandezze x , y , z , k sono legate dalla relazione (x − 5z3) / 9yk = 48 m3/s. Sapendo che z = 18 m e che y = 6 m/s, determinare le dimensioni di x e di k .

15 Sapendo che la «capacità equivalente» di due condensatori in serie, rispettiva-mente di capacità C1 e C2 , è Ce = C1C2 / (C1+C2), cioè il prodotto delle capa-cità diviso la somma, potremmo dedurne che se i condensatori sono tre la capa-cità equivalente è Ce = C1C2C3 / (C1+C2+C3). Un semplice controllo dimen-sionale ci avvertirebbe però subito dell’errore: spiegare.

17 [R] Uno studente ricorda che la velocità di propagazione delle onde trasversali su una corda elastica dipende dalla tensione della corda, dalla sua massa e dalla sua lunghezza, ma non ricorda la formula. In che modo l’analisi dimensionale lo può aiutare?

VETTORI [1]

25 [R] Tre vettori ,ar ,br

cr di modulo uguale sono disposti in modo da formare un triangolo equilatero, come in fig.14. Si chiarisca quanto vale l’angolo formato da ar con b

r, da

br

con cr , da cr con ar . 27 Le componenti cartesiane di un vettore pr sono px = 5, py

= −2, pz = 9. (a) Determinare il modulo di pr . (b) Determinare gli angoli formati da pr con i tre assi cartesiani.

31 [R] Sapendo che i vettori pr , qr e qp rr+ hanno modulo uguale, determinare

l’angolo tra pr e qr .

33 Sapendo che qp rr+ è perpendicolare a pr , e che qpq rrr

+= 2 , determinare (a) il valore dell’angolo tra qr e qp rr

+ , (b) il valore dell’angolo tra pr e qr .

1 Si tenga presente che nel testo il prodotto scalare viene indicato con un punto (es. )mp

rr⋅ e il prodot-

to vettoriale con una V rovesciata (es. )cprr

∧ .

ar

Fig. 14

br

cr


36 [R] Una barca a motore che in acqua ferma si muoverebbe con velocità v ' = 20 km/h in direzione W 28°N, procede in realtà con velocità v = 25 km/h in dire-zione W 48°N per effetto della corrente. Determinare la velocità (valore e dire-zione) della corrente.

41 [R] Un vettore AB , col primo estremo fisso nell’origine di un piano cartesiano x, y , ruota in tale piano in senso antiorario attorno all’estremo A. Detto ϕ l’angolo formato da AB con l’asse x , si esprimano in funzione di ϕ : (a) il versore tgur tangente in B alla circonferenza descritta da B e diretto nel

senso del moto, (b) il versore nur diretto in senso opposto ad AB .

48 Il vettore pr (modulo 6) è diretto verticalmente verso l’alto: determinare mr in modo che risulti .12−=⋅mp rr (a) una e una sola soluzione (b) nessuna soluzione (c) infinite soluzioni.

49 L’angolo tra pr (modulo 6) e qr (modulo 18) è 60°. Determinare mr in modo che risulti .qpm rrr

=∧ (a) una e una sola soluzione (b) nessuna soluzione (c) infinite soluzioni.

54 Il vettore pr (modulo 6) è diretto orizzontalmente verso destra, il vettore qr (modulo 24) è diretto verticalmente verso il basso. Determinare cr in modo che risulti 0=⋅ pc rr e .qcp rrr

=∧ (a) una e una sola soluzione (b) infinite soluzioni (c) nessuna soluzione.

57 [R] Si dimostri che quando, nel doppio prodotto misto ,kqprrr

∧⋅ due dei tre vettori sono uguali, il risultato è sempre zero.

59 * [R] Determinare il valore dell’angolo tra il vettore zyx uuup rrrr−+= 23 e il

vettore qr = .5 zyx uuu rrr++−

61 * Determinare un versore nr che risulti perpendicolare tanto al vettore pr quan-to al vettore qr della domanda 59.


SOLUZIONI

9 La formula (4/3)πR3 può riferirsi solo a una grandezza avente le dimensioni di una lunghezza al cubo (in effetti, esprime il volume della sfera). Sotto l’aspetto dimensionale le altre due formule, che differiscono solo per un fattore numeri-co, sono entrambe valide: la prima esprime l’area del cerchio, la seconda l’area della superficie della sfera. In questo caso l’analisi dimensionale riduce il mar-gine di incertezza, ma non lo elimina.

17 Detta F la tensione della corda, l la sua lunghezza, m la sua massa, deve essere v = k F xl ymz, dove k è un fattore numerico e x, y, z sono numeri da determinare. Le dimensioni della grandezza k F xl ymz sono (MLT−2) x Ly M z = = M x + z Lx + y T −2x. Uguagliando con le dimensioni LT −1 della velocità, si vede che deve essere x + z = 0, x + y = 1, −2x = −1, vale a dire x = 1/2, y = 1/2, z = = −1/2. Dunque, v = mlFk / , dove il valore del numero k (che in realtà è uguale a 1) non può essere determinato con l’analisi dimensionale.

25 L’angolo tra due vettori è l’angolo di cui uno dei due dovrebbe ruotare per por-tarsi per la via più breve ad assumere la direzione dell’altro. Dunque tra ar e b

r

ci sono 60°, tra br

e cr 120°, tra cr e ar 60°. 31 120°, si veda la fig.1 (attenzione, non 60°: se

l’angolo tra pr e qr fosse 60°, il modulo di qp rr

+ sarebbe 3pr , come si trova facil-mente anche con metodi di geometria elemen-tare).

36 La situazione è rappresentata in fig.5. Per il teorema di Carnot risulta V = °−+ 20cos'2' 22 vvvv =

= 940,0252022520 22 ×××−+ km/h = = 9,22 km/h. Per il teorema dei seni è

'/)(sen vϕ = V/)20(sen ° , dunque

senϕ = (sen20°) v ' /V = 0,342 × 20 / 9,22 = = 0,742, che significa ϕ = 47,9°. La direzione di V

r (che si ottiene da quella di vr mediante

rotazione oraria di 47,9°) è quindi W (28°+20°+ 47,9°) N = W 95,9° N = N 5,9° E .

qprr

+

qr

pr

Fig. 1

N

E vr

Vr

'vr

28° 20°

ϕ

Fig. 5


4 1 (a) L’angolo tra tgur e l’asse x è ϕ + 90° (fig.

9). Essendo il modulo di tgur uguale a 1, la sua componente x è uguale a cos (ϕ + 90°) = = − senϕ , la sua componente y è uguale a sen (ϕ + 90°) = cosϕ . Risulta pertanto tgur =

= (−senϕ ) xur + ( cosϕ ) yur . Si noti che, se

rur è un versore diretto come il raggio vettore

AB , e avente quindi come componenti cosϕ e senϕ , risulta tgur = .d/d r ϕur

(b) L’angolo tra nur e x è ϕ +180°. La componente x di nur è cos (ϕ +180°) = = − cosϕ , la componente y è − senϕ . Dunque, nur = (−cosϕ ) xur − (senϕ ) yur .

Si noti che risulta nur = .d/d tg ϕur

57 Un prodotto come qqp rrr∧⋅ è zero perché è zero il vettore qq rr

∧ . Un prodotto come qpp rrr

∧⋅ è zero perché rappresenta un prodotto scalare tra vettori orto-gonali pr( e ).qp rr

∧ Per la stessa ragione è zero il prodotto pqp rrr∧⋅ .

59 Risulta cosϕ = qpqp /rr⋅ , dove =⋅qp rr px qx + py qy + pz qz , p = 222

zyx ppp ++ ,

q = 222zyx qqq ++ . Dunque =⋅qp rr 3 × (−5) + 2 × 1 + (−1) × 1 = −14, p =

= 222 )1(23 −++ = 3,74, q = 222 )1(1)5( −++− = 5,20. Pertanto cosϕ = = (−14) / (3,74 × 5,20) = −0,720, e quindi ϕ = 136°.

nur

tgur

x

y

ϕ

Fig. 9

B

A


CAPITOLO 2 − APPROSSIMAZIONI I problemi di questo capitolo sono tutti riportati nel sito alla sezione “Indice del libro e pa-gine dimostrative”. Il testo di alcuni di tali problemi, corredato di risposta, è riproposto qui di seguito.

3 [R] Eliminare un numero di decimali via via più grande nel numero 2,997 924 58, che moltiplicato per 108 dà il valore (esatto, per definizione) del-la velocità della luce nel vuoto in m/s.

13 [R] Per il valore medio di una certa grandezza la calcolatrice ha fornito il valo-re 823,637. Si mostri come tale valore dovrebbe venire espresso se l’incertezza fosse (a) 0,3 (b) 3 (c) 0,06 (d) 40 (e) 110 ( f ) 1,2 (g) 0,1.

18 [R] Il peso di un secchio vuoto è (1,44 ± 0,03) kg, il peso dello stesso secchio pieno d’acqua è (12,38 ± 0,06) kg. Qual è il peso dell’acqua posta nel secchio?

25 [R] Sapendo che per il diametro di una sfera è stato trovato il valore (14,46 ± 0,16) cm, se ne deduca la misura del volume.

27 [R] Si esprima opportunamente in metri cubi il volume di 25000 l.

30 [R] Si scriva il numero 32,9508 con tre sole cifre significative.

36 [R] Nel Sistema Internazionale di unità di misura, la massa dell’elettrone è cir-ca 9,11 × 10−31. Si scriva tale valore nella forma decimale.

43 [R] Quante sono le probabilità di azzeccare un terno secco al lotto?


SOLUZIONI

3 6,672 59 → 6,672 6 → 6,673 → 6,67 → 6,7 → 7 . 13 (a) 823,6 ± 0,3 (b) 824 ± 3 (c) 823,64 ± 0,06 (d) 820 ± 40 (e) 820 ± 110

( f ) 823,6 ± 1,2 (g) 823,63 ± 0,1 (approssimando a 823,6 avremmo spostato il valore medio verso il basso di 3 centesimi, una quantità non abbastanza piccola rispetto all’incertezza).

18 Il valore più probabile è (12,38 − 1,44) kg = 10,94 kg, l’incertezza è la somma delle incertezze: (0,03 + 0,06) kg = 0,09 kg. L’acqua contenuta nel secchio pe-sa quindi (10,94 ± 0,09) kg. Sommando le incertezze in quadratura (meglio)

avremmo ottenuto 22 06,003,0 + = 0,07.

25 Il volume è dato da 4πR 3/3: ponendo R = (14,46 / 2) cm = 7,23 cm si trova che il valore più probabile del volume è 1583 cm3. L’incertezza assoluta sul raggio è (0,16 / 2) cm = 0,08 cm, l’incertezza percentuale è 100×0,08 / 7,23 = 1,11 %. L’incertezza percentuale sul cubo del raggio è il triplo: 3,33 %. Dividendo per 100 e moltiplicando per il valore più probabile del raggio al cubo (7,233) si ot-tiene che l’incertezza assoluta su R3 è 12,59 cm3. L’incertezza sul volume è al-lora (4π /3) × 12,59 cm3 = 52,7 cm3, che diventa 50 cm3. La misura del volume è pertanto (1580 ± 50) cm3. Si noti che per trovare l’incertezza del volume ab-biamo moltiplicato per tre (e quindi sommato tre volte) l’incertezza percentuale del raggio: non sarebbe stato corretto sommare le tre incertezze in quadratura, dato che evidentemente le tre incertezze in questione non possono considerarsi indipendenti l’una dall’altra.

27 25,000 m3. Se avessimo scritto 25 m3 avremmo dichiarato un’approssimazione a livello dei metri cubi, mentre nella misura originaria di 25 000 l viene dichia-rata un’incertezza a livello dei litri, mille volte inferiore.

30 33,0. 36 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 (trenta zeri dopo la virgola). Il

vantaggio della notazione scientifica sembra evidente... 43 Siano A, B e C i numeri su cui si è puntato. Dato che vengono estratti 5 numeri

su 90, la probabilità che A faccia parte della cinquina è 5/90. Se A è stato estratto, la probabilità che B sia uno degli altri 4 numeri estratti sono 4/89. Se B è stato estratto, la probabilità che sia stato estratto anche C sono 3/88. Il pro-dotto delle tre probabilità è la probabilità di uscita del terno: 8,51×10−5 (un po’ meno di 1 su 10 000).[2]

2 Con i concetti del calcolo combinatorio: i casi che con l’estrazione della cinquina possono verificar-si sono tutte le N5 combinazioni formate da 5 dei 90 numeri disponibili (N5 è uguale al coefficiente binomiale 90 su 5, cioè a 90×89×88×87×86 / [1×2×3×4×5]); i casi favorevoli sono tutte le cinquine contenenti i tre numeri giocati, che sono tante quante sono le N2 combinazioni formate da due qual-siasi degli altri 87 numeri (N2 è uguale al coefficiente binomiale 87 su 2, cioè a 87×86 / [1×2]). La probabilità che esca il terno è il rapporto N2/N5 tra casi favorevoli e casi possibili.


CAPITOLO 3 − CINEMATICA GENERALE (1)

INTERDIPENDENZA TRA POSIZIONE E TEMPO

9 [R] Con riferimento al diagramma di fig.1, (a) si discuta la seguente affermazione: «il diagramma indica che il punto mobile viaggia lungo una traiettoria rettilinea»; (b) si determini il valore di s all’istante ze-ro, un minuto dopo l’istante zero, due mi-nuti dopo, due minuti prima, un minuto prima, tre minuti prima; (c) si chiarisca in quale istante il punto mo-bile viene a trovarsi nella posizione di rife-rimento; (d) si descriva la posizione del punto mobile all’istante zero; (e) si chiarisca se un minuto prima dell’istante zero il punto mobile sta proce-dendo in avanti oppure all’indietro; ( f ) si determini la lunghezza della parte di traiettoria compresa tra la posizione occupata dal punto mobile tre minuti prima dell’istante zero e la posizione oc-cupata due minuti dopo l’istante zero.

10 Si considerino le sei linee orarie della figu-ra a lato (fig. 2): per quale (o quali) di esse la lunghezza del percorso effettuato dal punto mobile è superiore alla lunghezza dell’arco di traiettoria compreso tra posi-zione iniziale e posizione finale?

11 [R] Il diagramma orario della figura a lato si riferisce alle modalità di percorrimento di una traiettoria aperta, a sua volta rappre-sentata in fig. 3: P ' è la posizione all’istante t ', P" è la posizione all’istante t". Che cosa si può dire circa la posizione di riferimento? Com’è orientata la traiettoria?

12 In quale eventualità la grandezza s"− s ' rappresenta sicuramente la lunghezza di tutto il percorso effettuato nell’intervallo di tempo tra t ' e t"?

1 20

s (m)

t (min)

Fig. 1

s

t

Fig. 2

Fig. 3

t

s

t ' t "

P '

P"


VELOCITÀ SCALARE – MOTO UNIFORME

13 Un’automobile percorre prima un tratto AB con velocità media 60 km/h, poi un tratto BC di lunghezza uguale con velocità media 120 km/h. Determinare la velocità media tra A e C.

16 [R] La fig.15 mostra una traiettoria orient-ata aperta lungo la quale è in movimento un punto K la cui velocità dipende dal tempo nel modo indicato dal diagramma. Si chiarisca se è possibile che A e B siano rispettivamente la posizione di K all’istante t ' e all’istante t ".

18 [R] In fig.17 la linea continua esprime la distanza s in funzione del tempo t , la linea a tratti esprime la velocità v in funzione del tempo t . È possibile che le due linee si rife-riscano al moto di uno stesso punto?

20 In base all’esame del grafico di fig.18 è possibile affermare che: (a) all’istante t ' il punto mobile si sta avvicinando alla posizione di riferimento (vero / falso / ...);

(b) all’istante t ' il punto mobile sta viag-giando nel senso stesso della traiettoria (vero / falso / ...);

(c) all’istante t ' il punto mobile sta rallentando (vero / falso / ... ).

25 Un punto si muove con equazione oraria s = At 3 – 3Bt 5. Si esprima la velocità in funzione del tempo.

26 [R] Un punto si muove con equazione oraria s = A cos (ω t +ϕ), con A, ω e ϕ costanti. Determinare il valore della velocità all’istante zero.

t '

v

t

Fig. 18

v t

s s, v

Fig. 17

t ' t"

v

t A B

Fig. 15


ACCELERAZIONE SCALARE - MOTO UNIFORMEMENTE VARIO [3]

27 È impossibile che il diagramma orario presenti angolosità[4] (vero / falso).

29 [R] La velocità di un punto K è v = 6 t − 4 (unità SI). Si esprima in funzione del tempo la distanza di K dalla posizione occupata all’istante zero.

34 Un corpo lanciato verticalmente in assenza d’aria ha, a un dato istante, velocità 6 m/s verso l’alto. Si descriva la sua velocità dopo 1 s.

38 Dal punto di vista della velocità di arrivo al suolo, lanciare un corpo vertical-mente verso l’alto o verso il basso con una stessa velocità sarebbe, in assenza d’aria, esattamente lo stesso (vero / falso).

39 [R] Con quale velocità occorre lanciare un sasso verso l’alto nel vuoto, se vo-gliamo che dopo 1 s si trovi a quota 100 m?

40 Si vuole lanciare un sasso verticalmente verso l’alto in modo che la fase di sali-ta duri cinque secondi. Quale dovrebbe essere la velocità di lancio in assenza d’aria?

42 Un punto P è in movimento con legge oraria s = t 3 − 5 t 2 (unità SI). (a) Si esprimano la velocità scalare e l’accelerazione scalare di P in funzione del tempo. (b) Si determini il valore medio della velocità e dell’accelerazione scalare nel-l’intervallo di tempo tra t1 = 3 s e t2 = 9 s.

4 4 * [R] Un punto P è in movimento con accelerazione a = 3 − 4 s (unità SI). Sa-pendo che per s = 0 la velocità è v = 8 m/s, si esprima la velocità di P in fun-zione della posizione.

46 *Un sasso, lanciato verticalmente verso l’alto, si trova a un dato istante in una data posizione P, e 1 s più tardi nella stessa posizione: si determini il dislivello tra P e la posizione più elevata raggiunta dal sasso.

47 *Un corpo K in moto uniformemente vario è stato fotografato ogni 2 s, e si è osservato che la distanza percorsa da K tra un fotogramma e il successivo au-menta di 10 cm ad ogni fotogramma. Determinare l’accelerazione di K .

49 *[R] La velocità di un punto è v = v0 e− k t (unità internazionali, con k = 1,2 s−1 e v0 = 3 m/s). Determinare la distanza percorsa da P nei tre secondi successivi all’istante t1 = −5 s.

50 *L’accelerazione di un punto P è funzione lineare decrescente della sua velo-cità. All’istante t = 0 è v = 0, a = 3 m/s2. Quando v = 20 m/s l’accelerazione è a = 2 m/s2. Quanto tempo occorre a P per raggiungere la velocità di 40 m/s?

3 Nel testo è denominato uniformemente vario il moto nel quale la velocità scalare è funzione di pri-mo grado del tempo, e uniformemente accelerato il moto in cui il vettore accelerazione è costante in valore e direzione lungo la traiettoria. 4 Punti cioè in corrispondenza dei quali esistono due distinte tangenti alla curva.


ACCELERAZIONE VETTORIALE

51 La fig. 32 mostra la traiettoria percorsa da un pun-to K. È possibile che i due vettori abbiano il signi-ficato suggerito in figura?

52 È impossibile che, nel moto di un punto, il vettore velocità e il vettore accelerazione si mantengano costantemente perpendicolari l’uno all’altro (vero / falso).

55 [R] Dire che l’accelerazione scalare è positiva equivale a dire che l’accelera-zione tangenziale è diretta come la velocità (vero / falso).

56 [R] (a) Il modulo del vettore yar (componente y del vettore ar ) è dato dal valo-re assoluto della pendenza del grafico che fornisce la componente y della velo-cità in funzione del tempo (vero / falso). (b) * Il componente trasversale del vettore accelerazione misura la rapidità con cui è in variazione la componente del vettore velocità nella direzione della normale alla traiettoria (vero / falso). (c) * Il componente tangenziale del vettore accelerazione misura la rapidità con cui è in variazione la componente del vettore velocità nella direzione della tan-gente alla traiettoria (vero / falso).

58 Si chiarisca se è possibile che nel-l’intervallo di tempo tra t ' e t" (diagramma orario di fig. 33/A) si verifichi per il punto P la situa-zione rappresentata in fig. 33/B.

59 Si chiarisca se è possibile che al-l’istante t ' (fig. 34/A) si verifichi per il punto P la situazione mo-strata in fig. 34/B.

60 [R] Si chiarisca se è possibile che nell’intervallo di tempo tra t ' e t" (fig. 35/A) si verifichi per il punto P la situazione rappresentata in fig. 35/B.

61 Stabilire se all’istante t1 (fig. 36) l’an-golo tra velocità e accelerazione è a-cuto oppure ottuso. E all’istante t2 , al quale corrisponde un massimo nel va-lore della distanza s? E all’istante t3 ?

Fig. 36

t2 t3 t1

s

t

v

t t '

t"

Fig. 35 /A

ar

vr 90°

Fig. 35 /B

v

t t '

Fig. 34 /A

ar

vr

P

Fig. 34 /B

?vr

?ar K

Fig. 32

ar

P

s

t t ' t"

Fig. 33 /A Fig. 33 /B


64 *È possibile che il componente trasversale dell’accelerazione abbia direzione costante lungo la traiettoria?

65 *[R] In corrispondenza dell’istante t ' (fig.37) il grafico presenta un punto di flesso. Che cosa si può di-re circa l’angolo che il vettore ve-locità forma col vettore accele-razione in tale istante?

66 Dato che l’accelerazione gr di gravità ha modulo 9,8 m/s2, l’accelerazione sca-lare di un punto materiale soggetto solo al proprio peso può valere solo ± 9,8 m/s2 (vero / falso).

67 [R] Un punto si muove con equazione oraria s = 3 − 3 t 2 (unità CGS). (a) Si chiarisca se due secondi prima dell’istante zero l’angolo tra i vettori ve-locità e accelerazione è acuto, oppure retto, oppure ottuso. (b) Si determini il modulo del vettore accelerazione in tale istante, assumendo che il raggio di curvatura sia r = 18 cm.

t ' t

s

Fig. 37


SOLUZIONI

9 (a) Falso: il diagramma non fornisce indicazioni sulla forma della traiettoria. (b) Per t = 0, s = 40 m. Un minuto dopo l’istante zero, s = 60 m. Due minuti dopo, s = 80 m. Due minuti prima dell’istante zero, s = 0. Un minuto prima, s = 20 m. Tre minuti prima, s = −20 m. (c) Due minuti prima dell’istante zero, quando s = 0. (d) Essendo in tale istante s = 40 m, a 40 m di distanza (misurati lungo la tra-iettoria e nel senso della traiettoria) dalla posizione di riferimento. (e) In avanti, visto che la distanza s dal riferimento sta aumentando col passare del tempo. ( f ) È la grandezza s" − s ', riferita agli istanti t" = 2 min (a cui corrisponde s" = 80 m) e t ' = −3 min (a cui corrisponde s ' = −20 m). La lunghezza richiesta è pertanto 100 m.

11 Il fatto che (vedi diagramma orario) s ' sia positiva ed s" negativa significa che P ' si trova sul ramo positivo della traiettoria, e P" sul ramo negativo: quindi R è tra P ' e P" (più vicino a P", perché la distanza s" è in valore assoluto inferio-re a s ' ). La traiettoria è orientata da P" verso P '.

16 No: il diagramma mostra che in tutto l’intervallo di tempo considerato la velo-cità si mantiene a valori positivi, il che significa che K viaggia nel senso della traiettoria. Perciò la posizione finale B non può, rispetto a tale senso, precedere la posizione iniziale.

18 No, le due linee danno indicazioni del tutto contrastanti. Per esempio, nei due istanti in cui il grafico delle velocità dà un valore nullo, la pendenza del grafico delle distanze è diversa da zero; subito dopo il primo di tali istanti la velocità assume valori positivi, mentre la pendenza del grafico delle distanze è negativa; nell’istante in cui il grafico delle distanze ha pendenza zero il grafico delle velocità indica un valore diverso da zero... e così via. Il gra-fico delle velocità potrebbe invece essere rappresentato da una retta a pendenza posi-tiva (fig. 2), che interseca l’asse dei tempi nell’istante in cui la distanza s assume il massimo valore negativo.

26 Risulta v = ds/dt = −ωA sen(ω t +ϕ). Per t = 0, v = −ωA senϕ .

29 La grandezza richiesta è s − s0 . Essendo v funzione di primo grado di t , il mo-to è uniformemente vario, per cui s − s0 = v0 t + at 2/2. La relazione tra v e t mostra che, in unità SI, il valore numerico di v0 è −4, e che quello di a è 6. Pertanto, la distanza di K dalla posizione occupata all’istante zero è s − s0 = = −4 t + 3 t2, come si ottiene del resto per integrazione della funzione v = v (t).

t s

v

Fig. 2

s,v


39 Occorre che nel primo secondo di volo la velocità media del sasso sia di 100 m/s. Essendo il moto del sasso, in assenza d’aria, uniformemente vario, la sua velocità media è semplicemente la media aritmetica tra la velocità iniziale e la velocità finale. Dato che durante il primo secondo di volo la velocità del sasso è diminuita di 9,8 m/s, la velocità iniziale è (100 + ½ 9,8) m/s, la velocità fina-le (100 − ½ 9,8) m/s. Perciò la velocità di lancio è 104,9 m/s (mentre a 100 m d’altezza è v = 95,1 m/s). Lo stesso risultato si ottiene ovviamente ponendo y − y0 = 100 m, t = 1 s e a = −9,8 m/s2 nella relazione y − y0 = v0 t − at2/2.

44 Essendo a = dv /dt e v = ds /dt, dividendo membro a membro si ottiene a ds =

= v dv. Integrando, ∫∫ ==

v

sv

svvsa

)0(0dd . Posto a = 3 − 4s si ottiene 3s − 2s2 =

= [ ] vv 8

2 2/ = v2/2 − 32. Pertanto v = 6446 2 +−± ss (unità S.I.).

49 Per definizione s(t) = s0 + ∫t

tv0

d , e nel nostro caso s( t) = s0 + tvt tk de0 0∫ − =

= s0 + (v0 / k) (1−e− k t). Con riferimento agli istanti t1 = −5 s e t2 = (−5+3) s = −2 s risulta s2 − s1 = ( v 0 / k) )e1e1( 12 tktk −− +−− = [(3/1,2) )ee( 52,122,1 ×× +− ]m = 981 m.

55 Falso: se l’accelerazione tangenziale è diretta come vr , la velocità (valore asso-luto) è in aumento, mentre invece l’accelerazione scalare risulta positiva anche quando il punto mobile procede con velocità negativa e sta rallentando (pen-denza positiva nel grafico v, t) .

56 (a) Vero, dato che il modulo di yar misura la rapidità di variazione del componente y della velocità.

(b) Vero. Si osservi la fig.9: la componente di vr nella direzione della normale alla traiettoria in una data posizione P è ovviamente zero quando il punto mobile è in P, ma, se la traiet-toria non ha in P andamento rettilineo, è di-versa da zero sia prima che dopo tale posizio-ne: se ad esempio supponiamo che la normale n sia orientata verso il centro di curvatura, la componente di vr in tale direzione è negativa prima di P, positiva dopo P. Pertanto in P, dove vale zero, è in va-riazione.

(c) Vero, per ragioni analoghe a quelle esposte al punto (b). Supponiamo ad esempio che il moto sia uniforme: in un qualsiasi punto P l’accelerazione tan-genziale è zero perché la componente di vr nella direzione della tangente alla traiettoria in P è più grande che nelle posizioni precedenti e successive, il che significa che nel relativo diagramma temporale la pendenza è zero.

n

P

Fig. 9


60 Sì, ma solo nell’istante in cui la velocità raggiunge il massimo valore, e quindi è zero la pendenza del grafico v, t . La seconda figura indica infatti che, essendo ar e vr perpendicolari, non c’è accelerazione tangenziale (ed è quindi zero an-che l’accelerazione scalare).

65 All’istante t ' la pendenza (la velocità) è massima. Perciò nel grafico v, t la pendenza è zero, il che significa che in tale istante non c’è accelerazione tan-genziale. Se il vettore accelerazione è diverso da zero (il che richiede che la traiettoria non abbia andamento rettilineo), è perpendicolare al vettore velocità.

67 (a) Il moto è uniformemente vario, la relazione tra v e t è v = −6 t . Per t = = −2 s risulta v = 12 cm/s. Essendo positiva la velocità e negativa l’accelera-zione (scalare), il valore di v sta diminuendo: dunque il componente tangen-ziale dell’accelerazione è diretto in senso opposto a vr , il che significa che l’angolo tra vr e ar è maggiore di 90°.

(b) Il componente tangenziale di ar ha modulo costante 6 cm/s2. Il componente trasversale ha modulo v 2 /r = (122 cm2/s2) / (18 cm) = 8 cm/s2. Per il teorema di Pitagora, il modulo dell’accelerazione è a = 2

n2tg aa + = 10 cm/s2.


CAPITOLO 4 − CINEMATICA GENERALE (2)

GRANDEZZE CINEMATICHE ANGOLARI

2 Trovare in che rapporto stanno, in un orologio, le velocità angolari delle lancet-te delle ore, dei minuti e dei secondi.

5 [R] Tenuto conto che all’equatore il raggio terrestre è circa 6380 km, si deter-minino velocità e accelerazione di un punto A posto sulla superficie terrestre al-l’equatore, e di un punto B posto sulla superficie terrestre a 60° di latitudine.

7 Un punto si muove di moto uniforme con velocità v lungo una circonferenza di raggio R . Determinare: (a) l’equazione oraria in termini angolari, (b) l’equa-zione analitica della traiettoria, (c) l’equazione parametrica della traiettoria, (d) l’espressione del raggio vettore in funzione del tempo, (e) l’espressione dell’accelerazione in funzione del tempo.

10 [R] Un punto P è in movimento nel piano xy lungo una circonferenza di raggio R con centro nell’origine O degli assi. La posizione di P è definita dall’angolo ϕ = 3t + t2 (unità SI) formato dal raggio vettore rr = OP con l’asse delle x e misurato in senso antiorario. Determinare: (a) la legge oraria, (b) la velocità angolare ωr e l’accelerazione angolare αr in funzione di t , (c) la posizione ,rr la velocità vr , l’accelerazione normale nar , l’accelerazione tangenziale tar in funzione di t .

11 Un punto P è in movimento nel piano xy con velocità angolare zurr 10=ω (uni-tà SI) lungo una circonferenza centrata nell’origine O degli assi. A un dato istante la posizione di P rispetto a O è definita da yx uur rrr 1,05,0 += (unità SI): si calcolino i vettori velocità e accelerazione corrispondenti.

12 * [R] (a) Calcolare la velocità media scalare e vettoriale tra t1 = 0 e t2 = 2 s per un punto P il cui moto è descritto dalle equazioni x = R cos kt 3, y = R sen kt 3 (con R = 0,1 m, k = π s−3). (b) * Determinare i vettori velocità e accelerazione all’istante t2 .


MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

13 Un sasso è stato lanciato in aria. Durante un intervallo di tempo di 1 s, lo spo-stamento orizzontale è stato di 15 m verso Est, lo spostamento verticale di 2 m verso l’alto. Supponendo ininfluente la presenza d’aria, determinare lo sposta-mento subìto dal sasso durante il secondo immediatamente precedente e duran-te il secondo immediatamente successivo.

16 *[R] In quale direzione occorrerebbe mirare per colpire un bersaglio sospeso a un filo, sapendo che, all’istante stesso in cui parte il colpo, il filo viene taglia-to?

17 *Con riferimento al quesito precedente si discuta il seguente problema: in qua-le direzione occorre mirare sapendo che il bersaglio rimane immobile?

MOTO ARMONICO

20 [R] Un punto P oscilla di moto armonico tra A e B, con centro in O. Sia H il punto medio del segmento AO : senza utilizzare le equazioni del moto armoni-co, si trovi quale frazione del periodo T è necessaria a P per spostarsi da un e-stremo all’altro, da un estremo al centro O, da A ad H, da H ad O.

23 Moto armonico: a 6 cm di distanza dal centro dell’oscillazione il modulo del vettore accelerazione è 1,5 m/s2. Quanti secondi impiega il punto oscillante a passare da una posizione di massima velocità positiva alla posizione di massi-ma accelerazione positiva immediatamente successiva?

25 Moto armonico con periodo 24 s: se, a un dato istante, l’accelerazione ha il suo valore massimo, dopo quanto tempo il suo valore si è dimezzato?

27 L’estremo A di un segmento di lunghezza L (fig.15) si muove di moto uniforme su una circonferenza di centro O e raggio L /3, mentre l’estremo B si muove su una retta passante per O, oscillando avanti e indietro. Si chiarisca se l’oscillazione di B può defi-nirsi armonica.

29 [R] Sull’asse x un punto P ' oscilla di moto armonico, sull’asse y il punto P" oscilla a sua volta di moto armonico con uguale ampiezza (5 cm) e uguale peri-odo (3,4 s), ma con un ritardo di fase pari a 85/100 di secondo. Stabilire se, componendo i due moti oscillatori, si ottiene un moto circolare uniforme. (a) Sì (determinare velocità e accelerazione del moto risultante, e stabilire se avviene in senso orario oppure antiorario). (b) No (spiegare).

A

B

Fig. 15


31 [R] Componendo un moto armonico in direzione y con un moto uniforme in direzione x (ortogonale alla precedente) si ottiene un moto uniforme su una tra-iettoria sinusoidale (vero / falso).

33 [R] Si trovi in che modo nel moto armonico si corrispondono velocità e posi-zione.

34 * [R] Un punto K oscilla di moto armonico con ampiezza R e frequenza f . Si determini quale frazione del periodo T deve passare come minimo tra un istante in cui l’elongazione è −R /2 con velocità negativa e un successivo istante in cui l’elongazione è R /3 con velocità positiva.

35 * Un punto K oscilla di moto armonico con periodo T. Note l’elongazione x0 e la velocità v0 all’istante t = 0, si determini la velocità massima raggiunta da K durante il moto.

36 * [R] Il punto P oscilla di moto armonico con periodo T : all’istante t1 la veloci-tà è v1 , all’istante t2 la velocità è v2 . Si scriva l’equazione oraria.

38 * Si chiarisca che cosa si ottiene dalla composizione di un moto armonico in direzione x con un moto armonico in direzione y (perpendicolare alla prece-dente) quando le due oscillazioni (a) hanno uguale ampiezza e sono in fase, (b) hanno uguale ampiezza ma sono sfasate di mezzo periodo, (c) hanno uguale ampiezza ma sono sfasate di un quarto di periodo, (d) hanno diversa ampiezza e sono sfasate di un quarto di periodo.

CINEMATICA RELATIVA

40 Supponiamo che nel riferimento K il moto del riferimento K ' risulti traslatorio, rettilineo e uniforme: in tal caso, se in K si considera rettilineo e uniforme il moto di un punto, anche in K ' si esprime lo stesso giudizio (vero / falso).

41 L’intero sistema rappresentato in fig.16 (carru-cola + due blocchi collegati tramite un filo ine-stensibile che scivola nella gola della carrucola) è in movimento in direzione verticale. Si dimostri che la velocità vr e l’accelerazione ar della carru-cola sono la media aritmetica delle velocità e del-le accelerazioni dei due blocchi. Si chiarisca se lo stesso risultato vale anche per i moduli dei vettori velocità e accelerazione.

42 In quale o quali eventualità l’accelerazione di Coriolis risulta uguale a zero?

43 [R] Su un ascensore in caduta libera, un uomo lancia una pallina verso l’alto: che moto osserva prima e dopo l’urto contro il soffitto? Che moto osserverebbe se la direzione di lancio non fosse verticale?

1 2

Fig. 16


45 Una barca si sposta alla velocità di 4 km/h rispetto all’acqua. Supponiamo che la barca debba attraversare un fiume largo 4 km, con una corrente che viaggia alla velocità di 2 km/h. (a) In quale direzione occorrerà dirigere la barca se si vuole che raggiunga il punto opposto a quello di partenza? (b) Quanto tempo occorrerà in tal caso per l’attraversamento del fiume?

(c) Se si volesse attraversare il fiume nel più breve tempo possibile, in quale direzione bisognerebbe dirigere la barca? (d) Quanto tempo sarebbe necessario per compiere un tragitto di 12 km nel senso della corrente, per poi tornare al punto di partenza?

47 [R] Si spieghi che giudizio dà un osservatore, posto su una ruota panoramica in rotazione con velocità angolare ω , sull’accelerazione di un corpo C soggetto solo alla forza peso.

49 [R] Una pallina si stacca dalla sommità di un’asta verticale fissata a un carrello che procede in linea retta. Posto che la presenza di aria risulti ininfluente, si spieghi come viene valutato il moto della pallina nel riferimento K ' del carrello e nel riferimento fisso K , considerando sia il caso di moto uniforme del carrello che il caso di moto uniformemente vario.

51 Una piattaforma ruota attorno a un asse verticale z in senso antiorario con ve-locità angolare costante ω = 1,2 rad/s. Si spieghi quale giudizio viene dato nel riferimento della piattaforma relativamente alla velocità e all’accelerazione di un sasso, lasciato cadere da un punto fisso P, nel momento in cui giunge all’altezza della piattaforma. La distanza di P dall’asse z è d = 5 m, l’altezza di P sulla piattaforma è H = 11 m.


SOLUZIONI

5 La velocità angolare della Terra è 2π rad/d ≈ (2π / 86400) rad/s = 7,27 × 10−5 rad/s. All’equatore, la velocità è v = ωR = 7,27 × 10−5 rad/s × 6,38 × 106 m = = 464 m/s, l’accelerazione è v2/R = (464 m/s)2 / (6,38 ×106 m) = 0,0337 m/s2. Si noti che la velocità è largamente supersonica, poiché supera di circa il 34% la velocità del suono in aria (≈ 345 m/s a 20° C). A 60° di latitudine la distanza dall’asse di rotazione (il raggio della circonferenza) è la metà, per cui, essendo ω la stessa, sono dimezzate sia la velocità ωR che l’accelerazione ω 2R .

10 (a) L’equazione oraria è s = ϕR = (3 t + t 2)R . (b) La velocità angolare è zur

rωω = , con ω = dϕ /dt = 3 + 2 t .

L’accelerazione angolare è zurr

αα = , con α = dω /dt = 2(s−2). (c) La posizione è ruRr rr

= , dove rur è un versore (di componenti cartesiane cosϕ e senϕ) diretto come il vettore posizione: rur = (cosϕ) xur + (senϕ) yur .

La velocità è vr = tguR rω , dove ω = 3 + 2 t , tgur = ϕd/d rur [5] = (− senϕ) xur +

+ (cosϕ) yur , ϕ = 3 t + t 2.

L’accelerazione normale è nav = ω 2R nur , con nur = ϕd/d tgur [1] = (−cosϕ) xur −

− (senϕ) yur . L’accelerazione tangenziale è tgar = (d2s / dt2) tgur = 2R tgur .

12 Dato che è yx usenrurr rrr )()cos( ϕϕ += (con ϕ = ∫t

t0

dω +ϕ0 = ω t + ϕ0), e

dato che per ipotesi all’istante considerato r cosϕ = 0,5 m e r senϕ = 0,1 m, sarà vr = tr d/dr = xur r)sen( ϕω− + yur r)cos( ϕω , e all’istante considerato vr = (−10×0,1m/s) xur + (10 × 0,5m/s) yur = (−1 m/s) xur + (5 m/s) yur . Dato poi che

ar = tv d/dr = xur r)cos( 2 ϕω− + yusenr r)( 2 ϕω− , in tale istante risulta ar = = (−102× 0,5 m/s2) xur + (−102× 0,1 m/s2) yur = (−50 m/s2) xur + (−10 m/s2) yur . Agli stessi risultati si poteva pervenire in base alla considerazione che è

rv rrr∧= ω e in questo specifico caso (moto circolare uniforme) va rrr

∧= ω , ed eseguendo i due prodotti vettoriali secondo le note regole, tenuto conto che è ω x = ω y = 0, ω z = 10 s−1, rx = 0,5 m, ry = 0,1 m, rz = 0.

16 Esattamente in direzione del bersaglio. Sia infatti O (fig. 2) la posizione iniziale del pro-iettile, sia A la posizione iniziale del bersaglio, e imponiamo che il bersaglio e il proiettile si trovino a un dato istante in una stessa posi-zione P. Con riferimento al moto del pro-

5 Si veda la risposta 41 del cap.1.

rv t0

0vr

rgt

22

O

A

P Fig. 2


iettile, la posizione di P rispetto a O è 20 2

tgtvOPr

r+= . Con riferimento al

moto del bersaglio, la posizione di P rispetto a O è 2

2tgOAOP

r

+= . Per con-

fronto tra le due espressioni di OP otteniamo OAtv =0r , il che significa che la

velocità iniziale 0vr del proiettile è diretta da O verso A. Si noti che in tal caso

il bersaglio viene raggiunto per qualsiasi valore di 0vr (in un tempo t = 0v

OA in-

versamente proporzionale a v0 , e a una distanza gt 2/2, direttamente proporzio-nale al quadrato di t e quindi inversamente proporzionale al quadrato di v0 , dal-la sua posizione iniziale A). Al variare di 0vr varia naturalmente la forma della parabola descritta dal proiettile (man mano che il valore di 0vr diminuisce, di-minuiscono anche la distanza verticale e la distanza orizzontale del vertice del-la parabola dal punto di lancio). Altra soluzione. Poniamoci nel riferimento car-tesiano per il quale il moto del sasso è descritto dalla [A] e dalla [B] della risposta 15. Durante il tempo T necessario al proiettile per coprire la distanza orizzontale d che lo separa dalla verti-cale passante per il bersaglio (fig. 3), la y del bersaglio (inizialmente uguale ad H) diventa y ' = H − (g /2)T 2, mentre la y del proiettile (ini-zialmente nulla) diventa y" = (v0 senϕ)T − − (g /2)T 2. Il proiettile colpisce il bersaglio se y ' = y", se quindi H = (v0senϕ)T. Dato che è T = d / (v0 cosϕ), la condizione perché il bersaglio venga colpito è d tgϕ = H , re-lazione che è verificata solo quando la velocità di lancio 0vr è diretta verso il bersaglio.

20 Da A a B (fig.7) mezzo periodo, da A a O un quarto di periodo, da A ad H un sesto di perio-do (il punto immaginario rotante di moto uni-forme, da cui P si può pensare ottenuto per proiezione, deve portarsi da A ad F, con uno spostamento angolare di 60°), da H a O un do-dicesimo di periodo (il punto rotante deve su-bire uno spostamento angolare di 30°).

29 Sì, perché 85/100 di secondo sono 1/4 del periodo. La velocità del moto risul-tante si può ottenere ad esempio moltiplicando la lunghezza C della circonfe-renza (C = 2πR = 2π × 5 cm) per la frequenza f = 1/T = (1/3,4) Hz = 0,294 Hz. Si ottiene v = Cf = (2π × 5 × 0,294) cm/s = 9,23 cm/s.

x

y

0vr

d

H

ϕ

Fig. 3

A H O B Fig. 7

F G


L’accelerazione è a = v2/R = (9,23 cm/s)2 / (5 cm) = 17,0 cm/s2. Dato che il massimo positivo della velocità si verifica prima per P ' e poi, con un ritardo di 1/4 di periodo, per P", il moto risultante è antiorario.

31 Detta y0 l’ordinata del centro dell’oscil-lazione su y (fig.10), l’equazione oraria su y è del tipo y = y0 + A cosω t . L’equazione oraria sull’asse x è del tipo x = vt, da cui t = x /v. Ponendo questo valore di t nel-l’equazione oraria che descrive il moto su y , si ottiene che y è funzione sinusoidale di x: la traiettoria è una sinusoide. Il moto risultante non è però uniforme perché il valore della velocità risultante varia nel tempo: è infatti costante il suo componente x, ma non il componente y. La velocità del punto K che procede lungo la sinusoide è massima quando è massimo il valore del suo componente y , quindi sull’asse della sinusoide. Ed è minima quando il suo componente y è nullo, quindi alla massima distanza dall’asse della sinusoide.

33 Facendo sistema della v = dx /dt e della a = = dv /dt si ottiene a dx = v dv. Ma nel moto armonico è a = −ω2x , perciò v dv = −ω2x dx . Integriamo ora tra x = R (elongazione massima, v = 0) e una generica x (dove la velocità è v) :

∫ ∫−=v x

Rxxvv

0

2 dd ω . Otteniamo in tal modo

v2 = ω 2(R2− x2) , e quindi v = ± 22 xR −ω = = ±ω y , avendo indicato con y (fig.11) l’ordinata di un punto K che procede di moto uniforme su una circonferenza di raggio R e genera per proiezione su x il moto armonico considerato. La circonferenza stessa può quindi essere conside-rata il grafico che dà la velocità in funzione della posizione, se nella scala delle ordinate una lunghezza y rappresenta una velocità ωy .

34 L’equazione del moto è x = R cosω t, la velocità è v = dx /dt = −ωR senω t. All’istante t1 è x1 = R cosω t1 = −R /2, dunque ω t1 = 2π /3 oppure 4π /3. Dovendo nello stesso istante essere negati-va la velocità v1 = −ωR senω t1, l’angolo ω t1 è in realtà compreso tra 0 e π , per cui delle due solu-zioni trovate scegliamo la prima: ω t1 = = 2π /3. All’istante t2 è x2 = R cosω t 2 = R /3, per cui ω t2 = 1,23 oppure 2π −1,23 = 5,05. La velocità v2 = −ωR senω t2 è però per ipotesi positiva, quindi ω t 2 è compreso tra π e 2π , perciò scegliamo ω t2

y

x

K

Fig. 10

K y

x

Fig. 11

x

P1

α1

α2

P2

Fig. 12

y


= 5,05. Dunque, t2 − t1 = (ω t 2 − ω t 1) /ω = (5,05 − 2π /3) /(2π /T) = 0,471 T. In fig.12 sono rappresentate le posizioni del punto oscillante ai due istanti derati, e le corrispondenti posizioni del punto rotante P da cui il moto armonico può essere desunto per proiezione.

36 Occorre determinare il valore dell’ampiezza R e della fase iniziale ϕ 0 nel-l’equazione x = R cos (ω t +ϕ 0), in cui ω = 2π /T . In base ai dati risulta [A] v1 = −ωR sen (ω t1 +ϕ 0), [B] v2 = −ωR sen (ω t 2 +ϕ 0). Vale a dire: v1 = −ωR (senω t1 cosϕ 0 + cosω t1 senϕ 0)

v2 = −ωR (senω t2 cosϕ 0 + cosω t2 senϕ 0). Dividendo membro a membro e dividendo poi ancora per cosϕ 0 si ottiene [C ] ϕ 0 = arctg [(v2 senω t1 − v1 senω t2) / (v1 cosω t2 − v2 cosω t1)]. Dalla [A] otteniamo infine [D] R = −v1 /ω sen (ω t1 +ϕ 0). La [C ] non determina per ϕ 0 un unico valore, ma due valori la cui differenza è π . L’ambiguità si supera considerando che a secondo membro della [D] dob-biamo avere un valore positivo. Pertanto, se v1 (dato del problema) è > 0 deve essere sen (ω t1 +ϕ 0) < 0, il che significa che ω t 1 +ϕ 0 deve essere compreso tra π e 2π . Se invece è v1 < 0, ω t1 +ϕ 0 deve essere compreso tra 0 e π .

43 L’accelerazione di Coriolis è zero: pertanto anche l’accelerazione relativa (dif-ferenza tra accelerazione assoluta e accelerazione di trascinamento, in questo caso uguali entrambe a gr ) è zero. Tutto va, nel riferimento dell’ascensore, co-me se la pallina fosse priva di peso: indipendentemente dalla direzione di lan-cio, il moto osservato è rettilineo e uniforme, sia prima che dopo l’urto contro il soffitto dell’ascensore.

47 Rispetto all’osservatore fisso, la «navetta» in cui si trova K ' si muove di moto traslatorio (non rotatorio!), dato che si mantiene sempre parallela a sé stessa: pertanto, niente accelerazione di Coriolis. La velocità angolare ωr della ruota

'Kar

'Kvr

vr

trvr

trar

gr

K '

C

'vr

'gr

Fig. 18


interviene a determinare l’accelerazione 'tr Kaa rr= di trascinamento del corpo

C : il modulo di trar è ω 2r , dove r è il raggio della circonferenza (tratteggiata in fig. 18, pag. seguente) che C percorrerebbe se, nella posizione in cui si trova, fosse rigidamente collegato con K '. La direzione di trar è da C verso il centro di tale circonferenza. Risulta tr' agg rrr

−= .

49 Moto uniforme: sia V la velocità del carrello (e cioè la velocità di trascinamen-to). Nel riferimento fisso K la velocità della pallina è vx = V, vy = gt (asse y di-retto verso il basso), perciò, posto che inizialmente sia per la pallina x = y = 0, risulta x = Vt , y = gt2/2 = gx2/2V 2 (parabola ad asse verticale). Nel riferi-mento del carrello è invece v 'x = vx − V = 0, v 'y = vy = gt (traiettoria verticale). Moto uniformemente vario: sia V + at la velocità del carrello (e quindi la velo-cità di trascinamento). Nel riferimento K tutto va come nel caso precedente (vx = V, vy = gt , vedi fig. 21, pag. seguente). Rispetto invece a K ' è v 'x = = vx − (V + at) = − at, v 'y = vy = gt . Dunque, vy / vx = −g /a (la traiettoria è ret-tilinea, la componente x della velocità è negativa quando l’accelerazione scala-re a del carrello è positiva, come in fig. 21 e 22).

ar v

r

arv

r

Fig. 21 – Che cosa si osserva nel riferimento del laboratorio.

Fig. 22 – Che cosa si osserva nel riferimento del carrello.

y

x


CAPITOLO 5 − CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

1 [R] Sapendo che i punti P e Q appartengono a uno stesso corpo rigido, sarebbe possibile assegnare ad arbitrio il valore e la direzione delle rispettive velocità?

8 Un cilindro rotola senza strisciare su una superficie d’appoggio a sua volta cilindri-ca (fig. 13). Si chiarisca se tale movimen-to può essere descritto come rototrasla-torio.

10 [R] Un disco appoggia di taglio su un piano orizzontale, lungo il quale può ruo-tare senza scivolare. Se appoggiamo sul disco (fig.14) una tavola di lunghezza L e la facciamo scorrere in senso orizzontale in modo che mantenga il contatto col di-sco senza mai scivolare, di quanto, al massimo, riusciamo a far avanzare la ta-vola? Dobbiamo aspettarci che la risposta dipenda dal raggio del disco?

11 Una tavola, appoggiata a una parete in condizioni di equilibrio precario (fig.15), a un tratto comincia a scivolare. Si deter-mini l’inclinazione della tavola nel-l’istante in cui il suo estremo inferiore B ha una velocità tre volte più grande di quella dell’estremo superiore A.

12 La figura a lato (fig. 16) mostra la sezione trasversale di un cilindro il cui asse geo-metrico sta traslando con velocità Cvr . Sapendo che la velocità del punto A è

CA vv rr 5,1= , si determini la velocità del punto B.

13 [R] Con riferimento alla figura a lato (fig. 17), che mostra un triangolo in due diverse posizioni su uno stesso piano, si individui la posizione dell’asse dello spo-stamento rotatorio che porta il triangolo da una posizione all’altra.

Fig. 15

Fig. 14

Fig. 16

Cvr

A

C

Avr

B

Fig. 13

A

B

C

A'

B'

C'

Fig. 17


15 * [R] Un disco omogeneo di raggio R (fig.18)

rotola senza strisciare giù per un piano avente inclinazione ϕ sull’orizzontale, soggetto solo al peso e alla reazione del piano d’appoggio. Tenuto conto che l’accelerazione del centro del disco è (2/3) g senϕ , si spieghi come si po-trebbe determinare l’accelerazione del punto di contatto C e di un generico punto A.

16 Un cono di vertice V e apertura ϕ (fig.19) ro-tola senza strisciare lungo un piano orizzontale ruotando con velocità angolare ω attorno al proprio asse geometrico e con velocità angola-re Ω attorno alla verticale z condotta per V. Si trovi in che rapporto stanno le due velocità an-golari, e si determinino in funzione dei dati ve-locità e accelerazione del punto A del cono più lontano dal piano d’appoggio.

A

ϕ V

z

Fig. 19

C

A

Fig. 18


SOLUZIONI

1 No. Dovendo mantenersi costante la distanza tra P e Q (fig.1), occorre che le due velocità siano identiche nella direzione della retta PQ (le due velocità devono cioè avere identici componenti in tale direzione).

10 Dato che le velocità dei punti del disco sono quelle di un moto di rotazione at-torno alla linea di contatto col terreno, i punti a contatto con la tavola, e quindi anche i punti della la tavola, hanno velocità doppia rispetto all’asse del disco: in uno stesso intervallo di tempo la tavola subisce pertanto uno spostamento doppio rispetto al disco. Se la tavola si sposta verso destra in misura pari alla sua lunghezza L (fig.3), il disco si sposta di L /2 e viene quindi a trovarsi al centro della tavola. Se la tavola si sposta ancora di L , il disco si sposta di L /2 e viene con ciò a trovarsi all’estremità di sinistra del-la tavola. Dunque, il massimo sposta-mento che può subire la tavola è il dop-pio della sua lunghezza, indipendente-mente dal raggio del disco.

13 In fig.7, il punto O, intersezione dell’asse geometrico del segmento AA ' con l’asse geometrico del segmento BB ', risulta equi-distante dalle posizioni iniziale e finale di qualsiasi altro punto del triangolo, ad e-sempio da C e da C '. Si può dunque portare il triangolo dalla posizione iniziale a quella finale mediante una rotazione attorno a un asse ortogonale al piano del triangolo e pas-sante da O.

15 A differenza della velocità, l’accelerazione non può essere calcolata assu-mendo che il disco stia ruotando attorno al punto di contatto C : a un dato istante, le velocità dei diversi punti sono in effetti quelle stesse che corri-spondono a un ipotetico moto di rotazione attorno a C, ma immediatamente prima e immediatamente dopo sono diverse (ad esempio, nel moto di roto-lamento il punto del disco a contatto del piano d’appoggio ha velocità zero all’istante del contatto, ma diversa da zero prima e dopo, mentre in un moto di rotazione attorno a C avrebbe velocità costantemente nulla). Perciò l’accelerazione, che dipende da come varia la velocità, è diversa nei due ca-si. In un riferimento K ' che trasla parallelamente al piano inclinato con la ve-

Pvr

Qvr

P

Q

Fig. 1

Fig. 3

Fig. 7

A

B

C

A'

B'

C'

O


locità v = v0 + (2/3) (g senϕ) t = ωR del centro del disco, i punti posti a di-stanza R dal centro hanno tutti in uno stesso istante la stessa velocità ωR (la velocità del centro del disco nel riferimento fisso K), hanno quindi tutti un’accelerazione tangenziale (2/3) g senϕ (l’accelerazione del centro del di-sco nel riferimento fisso) e un’ac-ceerazione centripeta ω 2R . Nel ri-ferimento fisso compare in più un’accelerazione di trascinamento

uguale in valore ( ϕsen32 g ) e dire-

zione all’accelerazione del riferi-mento mobile K '. L’accelerazione di Coriolis è invece nulla perché il moto di K ' rispetto a K è traslato-rio. Ne risulta in definitiva la si-tuazione rappresentata in fig.11.

C

ω2R

ω2R (2/3)g senϕ

(2/3)g senϕ

(2/3)g senϕ (2/3)g senϕ

Fig. 11


CAPITOLO 6 − STATICA DEL CORPO RIGIDO

1 [R] Il blocco rigido rappresentato in fig.7 è in equilibrio sotto l’azione di un certo numero di forze, tra cui la 'F

r e la

,"Fr

che hanno uguale valore. Si chiari-sca se il blocco resterebbe in equilibrio qualora, a parità di ogni altra circostanza, la 'F

r e la "F

r venissero rispettivamente

applicate nel vertice 1 e nel vertice 2.

3 È impossibile che un corpo rigido sul quale agiscono solo quattro forze di valo-re 3, 8, 9, 22 N risulti in equilibrio (vero / falso).

7 [R] Il triangolo rigido ABC è in equili-brio sotto l’azione di tre forze, due delle quali sono rappresentate in fig.10. Si chiarisca se è possibile che la terza forza sia applicata nel punto medio dell’ipote-nusa AC .

9 Si mostri che per l’asta rigida mostrata in fig.11, di peso trascurabile e in equilibrio su tre appoggi, il problema della deter-minazione delle reazioni vincolari A

r, Br

e Cr

è indeterminato.

11 In quale eventualità il baricentro del sistema di tre punti materiali A, B, C non allineati è il baricentro geometrico del triangolo ABC (il punto cioè di incontro delle mediane)?

12 [R] Il baricentro del sistema costituito da tre punti materiali è sicuramente più vicino al punto più pesante dei tre (vero / falso) .

14 Si utilizzi la proprietà distributiva del baricentro per determinare con metodo grafico la posizione del baricentro di una generico quadrilatero omogeneo.

15 I blocchi A e B , di massa identica, de-vono essere separati con l’aiuto di una leva, come mostrato in fig.12. Se la for-za F

r applicata alla leva viene fatta cre-

scere lentamente, quale dei due blocchi si sposterà per primo? Si assuma che la forza d’attrito tra ciascuno dei blocchi e il piano d’appoggio sia la stessa.

'Fr

"Fr

1

2

Fig. 7

Fr

Ar

Br

Cr

L L L

Fig. 11

A B

Fig. 12

Fr

C

3 N A

B Fig. 10

3 N


20 Il triangolo rigido ABC è in equilibrio sotto l’azione delle due forze di valore noto mostrate in fig.13 e di una terza forza non rappresentata. Si chiarisca se è possibile determinare il valore, la di-rezione, la retta d’azione e il punto d’applicazione della terza forza. E se invece la forza verticale fosse diretta verso il basso?

21 [R] Si chiarisca se è possibile che il segmento rigido AB (fig.14) sia in equi-librio sotto l’azione di quattro forze: quelle rappresentate in figura più una quarta forza.

22 Si trovi la posizione del baricentro delle due lastre omogenee mostrate in fig.15. La prima delle due è stata ottenuta ef-fettuando un taglio lungo le diagonali di un quadrato di lato 36 cm. La seconda è stata ottenuta ritagliando da un disco di raggio R un disco di raggio R /2.

23 *Alcuni mattoni identici, di lunghezza L = 24 cm (fig.16), sono posti uno sul-l’altro in modo che ognuno sporga nel senso della lunghezza dal sottostante. Come occorre disporli, se si vuole rende-re massimo lo spostamento del mattone più in alto rispetto al mattone più in bas-so? Aumentando convenientemente il numero dei mattoni, è possibile ottenere che la proiezione sul piano d’appoggio del mattone più in alto sia totalmente al di fuori dell’area di appoggio?

25 *[R] Una fune d’acciaio di peso P è sospesa a due punti fissi posti alla stessa altezza. Fatta l’ipotesi che la fune sia perfettamente flessibile, si determinino: (a) le reazioni vincolari ai due estremi della fune,

(b) la tensione della fune nel punto centrale. Si chiarisca inoltre: (c) se è possibile, aumentando convenientemente la forza con cui la fune è tira-ta ai due estremi, fare in modo che la fune si disponga lungo una retta orizzon-tale; (d) a quale delle due estremità la fune sarebbe maggiormente sollecitata se i due punti di sospensione non si trovassero allo stesso livello.

B

2 N

3 N

1 N 3 cm 5 cm C

Fig. 14

Fig.15

'Fr

"Fr

A

B C

Fig.13

Fig. 16


26 *Un’asta rigida di lunghezza L e peso P è in equilibrio, appoggiata come in fig.17 su due piani ortogonali a e b . Fatta l’ipotesi che gli attriti siano trascurabili, (a) si descrivano attraverso il valore dell’an-golo β le posizioni di equilibrio assunte dal-l’asta al variare dell’angolo α ; (b) si trovi quale valore assumono le reazioni vincolari in caso di equilibrio.

SOLUZIONI

1 Sì: una coppia di forze verrebbe sostituita da una coppia di uguale momento, e quindi del tutto equivalente agli effetti dell’equilibrio di un corpo rigido.

7 Impossibile. Dovendo essere zero la somma dei tre momenti rispetto a B, anche la retta d’azione della terza forza passa necessariamente, come le altre due, da B. Dato che la terza forza ha componente orizzontale 3 N verso destra e com-ponente verticale 3 N verso l’alto, la sua retta d’azione è la bisettrice del-l’angolo B, e quindi non incontra l’ipotenusa AC nel suo punto medio.

12 Falso. Supponiamo ad esempio che il peso del punto meno pesante (A) sia 1/3 di quello degli altri due (B e C), e supponiamo (fig.7) che A si trovi sull’asse del segmento BC. Il baricentro del sistema B + C è il punto medio del segmen-to BC , quindi (proprietà distributiva) il bari-centro G del sistema A +B +C si trova sul segmento MA , sei volte più vicino a M che ad A (dato che A pesa sei volte di meno che il resto del sistema). Così stando le cose, il fatto che rispetto agli altri due punti A sia più lontano o più vicino a G dipende unicamente da quanto è lungo il segmento MA in rapporto al segmento BC.

21 No. La forza numero quattro dovrebbe avere un componente orizzontale di 1 N diretto verso destra e un componente verticale di 1 N diretto verso il basso: in tal modo sarebbe zero la somma delle forze applicate. Per l’equilibrio alla rota-zione (somma dei momenti delle forze rispetto a un polo qualsiasi uguale a ze-ro) la forza numero quattro dovrebbe però essere applicata 1 cm a destra di B, quindi fuori dal segmento AB (la verifica è immediata se ad esempio si sceglie come polo il punto C).

β

α

Fig. 17

a

b

A

B C G

Fig. 7


25 (a) Il fatto che la fune sia perfettamente flessibile significa che in condizioni di equilibrio la fune è sollecitata ai suoi due estremi (fig.19) da forze dirette tan-genzialmente alla fune (forze trasversali determinerebbero la flessione della fune). Pur non essendo la fune un corpo rigido, in condizioni di equilibrio le forze applicate (il peso e le due reazioni vincolari) realizzano necessariamente anche le condizioni di equilibrio del corpo rigido: in particolare, deve essere zero la somma delle tre forze. Se quindi è nota la geometria del sistema (in par-ticolare, l’angolo ϕ che la tangente alla fune forma col piano orizzontale nei due estremi) le reazioni vincolari 1V

r e 2V

r hanno entrambe inclinazione ϕ sul

piano orizzontale e hanno entrambe modulo V = (P/2) /senϕ (fig. 20).

(b) Per l’equilibrio del tratto di fune compreso tra il punto centrale e l’estremo di sinistra, deve essere zero la somma del peso (di mezza fune), della reazione vincolare 2V

r e della tensione

Tr

, diretta in questo caso orizzontal-mente (fig. 21). Pertanto, la tensione della fune nel punto centrale è T = (P/2) / tgϕ . (c) La fig.21 chiarisce subito che per ϕ tendente a zero la reazione vincolare e la tensione della fune tendono a infinito. (d) L’estremo posto più in alto, come mostra il diagramma vettoriale delle forze (fig. 22): in corrispondenza di tale estremo sarebbe questa volta più grande che nell’altro l’inclinazione della fune sul piano orizzontale.

2Vr

1Vr

Pr

ϕ

Fig. 20 Pr

2Vr

1Vr

Fig. 19

Fig. 22

1Vr

2Vr

1Vr

2Vr

Pr

Tr

2Vr

2Pr

ϕ

Fig. 21


CAPITOLO 7 − STATICA DEI FLUIDI

2 [R] I recipienti della fig. 22 hanno la stessa area di base. Se uno stesso quan-titativo d’acqua viene introdotto in essi, (a) la pressione esercitata dal liquido sulla base del recipiente sarà uguale nei tre casi (vero / falso); (b) la forza esercitata dal liquido sulla base del recipiente sarà uguale nei tre casi (vero / falso); (c) la forza esercitata dal liquido sul recipiente sarà uguale nei tre casi (ve-ro / falso); (d) la forza esercitata dal recipiente sul piano d’appoggio sarà uguale nei tre casi (vero / falso) .

3 Se nei due recipienti della fig. 23, che han-no la stessa area di base, lo stesso tipo di li-quido raggiunge la stessa altezza al di sopra del pistone mobile, la forza che, in condi-zioni di equilibrio, il pistone esercita sulla molla sottostante è esattamente la stessa (vero / falso).

7 Una sfera d’acciaio posta in acqua va a fondo, perché il ferro ha peso specifico superiore a quello dell’acqua. Come mai allora una nave d’acciaio galleggia sull’acqua del mare?

8 [R] Se la pressione atmosferica si annullasse, la frazione visibile del volume di un iceberg aumenterebbe (vero / falso).

9 Un cubetto di ghiaccio galleggia su acqua in un bicchiere. Che accade del livel-lo dell’acqua, man mano che il ghiaccio fonde?

10 Si consideri un pezzo di ghiaccio che galleggia su acqua: è giusto affermare che il ghiaccio riceve dall’acqua una spinta verso l’alto pari al peso dell’acqua spostata?

13 [R] Un mattone viene sottoposto a pesatura. Si chiarisca se la presenza di aria tra il mattone e il piatto della bilancia influenza il risultato della misura.

15 Un bambino si lascia sfuggire di mano il palloncino nuovo, che subito sale fino al soffitto e lì si ferma alcune ore: fino a che, essendosi ormai sgonfiato, ritorna giù. A questo punto il bambino propone di rigonfiarlo usando la pompa a peda-le del canottino di gomma. È una buona idea?

A B C

Fig. 22

Fig. 23


18 Si consideri la situazione mostrata in fig. 25: sarà possibile, tramite il sifone, riempire completa-mente il secchio?

24 [R] Una sfera d’acciaio galleggia su mercurio. Che cosa accade della posizione della sfera, se si versa acqua sul mercurio?

25 Una zattera carica di ghiaia galleggia sull’acqua contenuta in una grande vasca. Che accadrebbe del livello dell’acqua, se la ghiaia venisse scari-cata in acqua?

27 * Un cilindro omogeneo ad asse orizzontale è di-sposto lungo la parete piana e verticale di un reci-piente, in modo che esattamente mezzo cilindro sporga verso l’interno del recipiente (fig.29). Supponiamo che il cilindro possa ruotare attorno al proprio asse geometrico, e che il recipiente venga riempito d’acqua: possiamo aspettarci che, per effetto della spinta idrostatica esercitata sul cilindro dall’acqua, il cilindro entri in rotazione? Se la risposta è sì, abbiamo inventato il moto per-petuo.

28 * [R] La densità ρ di un liquido in quiete varia con la profondità y secondo la relazione ρ = ρ0 e y / 2. Si esprima la pressione in funzione della profondità.

SOLUZIONI

2 (a) Falso. La pressione sul fondo è tanto più grande quanto maggiore è l’al-tezza raggiunta dal liquido nel recipiente: è quindi massima nel caso C e mini-ma nel caso A. (b) Falso: la forza è uguale al prodotto dell’area di base (la stessa per i tre reci-pienti) per la pressione (diversa per ogni recipiente). (c) Falso. In ogni recipiente il liquido è in equilibrio sotto l’azione di tre forze: il peso (uguale per ipotesi nei tre casi), la forza verso il basso dovuta alla pres-sione atmosferica (maggiore nel caso A, data la maggior estensione della super-ficie libera), e la forza verso l’alto proveniente dal recipiente. Tale forza dovrà essere maggiore nel caso A, e quindi reciprocamente (legge di azione e reazio-ne) nel caso A sarà maggiore la forza del liquido sul recipiente. (d) Vero. Il sistema recipiente + liquido è in equilibrio sotto l’azione del peso, della spinta di Archimede e della forza proveniente dal piano d’appoggio. Se assumiamo che i tre contenitori spostino lo stesso volume d’aria e abbiano lo stesso peso, le prime due forze, e conseguentemente la terza, sono uguali, e se è

Fig. 29

Fig. 25


uguale nei tre casi la forza esercitata dal piano d’appoggio è anche uguale (leg-ge di azione e reazione) la forza ad esso applicata.

8 Falso, diminuirebbe. La pressione atmosferica a livello dell’acqua è un po’ più grande della pressione sulla superficie del ghiaccio che si trova a quote supe-riori. Se si annullasse la pressione sul ghiaccio, la pressione sulla superficie dell’acqua (e, per la legge di Stevino, a tutti i livelli inferiori) subirebbe una diminuzione più grande, e quindi la spinta sul blocco di ghiaccio verso l’alto diminuirebbe più della spinta verso il basso. Del resto, in condizioni normali il blocco di ghiaccio sposta acqua e aria, se non ci fosse atmosfera il ghiaccio sposterebbe solo acqua, e dunque il peso del fluido complessivamente spostato sarebbe, a pari posizione del blocco, inferiore: il che determinerebbe un suo maggiore affondamento.

13 No. Il sottile film d’aria che separa i due corpi (tranne che nei pochi punti di contatto diretto effettivo) esercita la stessa pressione sul piatto (verso il basso) e sulla base del mattone (verso l’alto). Se non ci fosse aria, ci sarebbe una forza verso il basso in meno sul piatto, ma anche una forza di uguale valore verso l’alto in meno sul mattone: la forza complessiva sul sistema piatto + mattone non è modificata dalla presenza di aria tra i due, perciò non è modificata la po-sizione di equilibrio del sistema e l’indicazione della bilancia.

24 Prima la sfera spostava mercurio + aria, adesso sposta mercurio + acqua + aria. Dovendo, in condizioni di equilibrio, restare identico il peso del liquido com-plessivamente spostato dalla sfera, deve diminuire il volume della parte di sfera immersa nel mercurio. La sfera si sposta quindi verso l’alto.

28 Secondo la legge di Stevino, in un liquido omogeneo in quiete la differenza di pressione tra due livelli generici y1 e y2 (asse y diretto verticalmente verso il basso) è p2 − p1 = ρg (y2 − y1). Per una differenza di livello infinitesima dy la differenza di pressione sarà allora dp = ρg dy, dove la densità ρ potrà in generale variare in funzione della profondità y. Nel nostro caso è ρ = ρ 0 e y / 2, perciò dp = ρ 0 e y / 2 g dy. Inte-grando tra y = 0 (dove la pressione è p0) e y (dove la pressione è p) otteniamo p − p0 = [ ] yyg 0

2/0 e2ρ , vale a dire

p = p0 + )1e(2 2/0 −ygρ .

La pressione (fig. 6) cresce dunque esponen-zialmente con la profondità y a partire dal va-lore iniziale p0 .

y

p

Fig. 6


CAPITOLO 8 − I PRINCÌPI DI NEWTON

I TRE PRINCÌPI

6 Come si comporterebbe la pallina di un pendolo se improvvisamente la forza di gravità cessasse di agire?

8 Nel piano cartesiano x, y un punto A di massa 5 g ha coordinate (x e y rispetti-vamente, espresse in cm) −5 e 16, un punto B di massa 2 g ha coordinate 0 e 8, un punto C di massa 11 g ha coordinate 3 e 0. Dove si trova il centro di massa del sistema dei tre punti?

11 [R] Un corpo rigido K sta oscillando a mo’ di pendolo, in assenza di aria e di attriti, at-torno a un asse orizzontale (fig. 12). È cor-retto affermare che le due forze applicate a K (il peso P e la reazione del vincolo) co-stituiscono una coppia?

13 In un moderno, autorevole testo universitario si possono leggere a un certo punto le seguenti parole: «Se vogliamo mantenere la molla deformata... la no-stra mano deve applicare alla molla una forza uguale ed opposta alla forza che la molla esercita sulla mano». Commentare.

14 [R] Se un blocco di peso 30 kg è in quiete sul pavimento, soggetto solo al peso e alla reazione del vincolo, la forza del blocco sul pavimento è 30 kg. (a) vero, per il principio di azione e reazione (b) vero, ma per una diversa ra-gione (c) falso.

15 Se il cavallo tira il carretto con una forza di 100 kg, il carretto tira il cavallo in senso opposto, per reazione, con una forza di 100 kg. Come mai allora, quando il cavallo comincia a tirare, il sistema cavallo + carretto entra in movimento?

18 [R] Un blocco A di massa 10 kg, posto su un piano orizzontale, è collegato mediante un filo a un blocco B di massa 30 kg. Il fi-lo, privo di massa e inestensibile, può sci-volare senza attrito nella gola di una pu-leggia, il blocco B è sospeso al filo (fig.15). (a) Si determini la tensione del filo e la forza che il filo esercita sulla puleggia sia quando il blocco A non ha possibilità di movimento, sia quando il blocco A può scivolare senza incontrare resistenza alcuna. (b) Possiamo affermare che nel secondo caso la velocità dei due blocchi è sicu-ramente in aumento?

A

B Fig. 15

Pr

Fig. 12


22 Una pallina è fissata mediante un filo al soffitto di un vagone: sulla pallina agi-scono solo il peso e la reazione del vincolo. Che cosa si può dire del moto del vagone, sapendo che il filo forma un angolo ϕ costante con la verticale?

23 Un corpo K di peso 60 kg si trova all’interno di un ascensore. Si determini la forza che K esercita sul pavimento su cui appoggia quando l’ascensore (a) sale con velocità costante 9,81 m/s, (b) scende perdendo (9,81/12) m/s di velocità ad ogni secondo.

27 * [R] (a) Nel sistema di carrucole rappresentato in fig.20 si determini la tensione nei fili sup-ponendo che siano nulli gli attriti e conside-rando diverse da zero solo le masse dei blocchi sospesi. * [R] (b) Posto in particolare che sia m2 = 2 kg e m3 = 6 kg, per quale valore di m1 sarebbe possibile l’equilibrio del blocco 1?

30 Il sistema qui a lato rappresentato (fig.21) è composto da due dischi, di massa m1 quello superiore ed m2 l’altro, collegati da una molla di massa trascurabile. Il tutto è sostenuto da un piano d’appoggio, che a un dato istante viene bruscamente rimosso: determinare l’accelera-zione dei due dischi in tale istante.

LA FORZA CENTRIPETA

31 [R] Un corpo K scivola in assenza di aria e di attrito lungo un piano inclinato. Siamo autorizzati ad affermare che la forza del piano su K è uguale e contraria al componente Pn del peso di K sulla perpendicolare al piano? (a) Sì, per la terza legge di Newton (b) sì, per una diversa ragione (c) no.

32 Un punto materiale K che viaggia in direzione orizzontale verso Est è soggetto a una forza 1F

r di valore 12 N diretta orizzontalmente verso Ovest, a una forza

2Fr

di valore 20 N diretta verticalmente verso l’alto, a una forza 3Fr

di valore 8 N diretta verticalmente verso il basso, a una forza 4F

r di valore 9 N diretta

orizzontalmente verso Sud. Sapendo che non agiscono altre forze, si calcoli il valore della forza centripeta.

34 Il punto materiale K è vincolato a muoversi in un piano verticale lungo una li-nea curva L : agiscono solo il peso e la reazione V

r del vincolo, perpendicolare

alla velocità di K per l’assenza di attrito. Considerando sia il caso di concavità

Fig. 20m3

m2

m1

m2

Fig.21


verso l’alto che il caso di concavità verso il basso, si chiarisca in quale dei due sensi possibili è diretta la reazione del vincolo.

37 * [R] Una pallina, appesa a un filo di lunghezza L fissato superiormente a un punto P, viene spostata dalla posizione di equilibrio O e poi lanciata in dire-zione orizzontale in modo tale da realizzare un pendolo conico : la pallina si muove cioè di moto uniforme in un piano orizzontale lungo una circonferenza, il filo si sposta lungo la superficie di un cono ad asse verticale avente come vertice il punto di sospensione P. (a) Si determini in funzione di ϕ , angolo formato dal filo con la verticale, la velocità con cui deve essere lanciata la pallina. (b) Si verifichi entro quali limiti può variare la velocità angolare, e conseguen-temente il periodo di rotazione. (c) * Quanti giri al minuto deve fare, come minimo, un pendolo conico di lun-ghezza 1 m?

LA FORZA ELASTICA

41 * Due dischetti, appoggiati di piatto su un piano orizzontale, sono collegati da una molla di costante k , massa trascurabile, lunghezza a riposo zero. Si chiari-sca quali condizioni devono essere verificate all’istante iniziale, in assenza di qualsiasi forma di attrito, affinché in seguito il centro di massa resti immobile e la distanza L delle due particelle resti costante.

42 * [R] Si vuole che un blocco di massa M , ap-poggiato come in fig.26 su un piatto di massa m sostenuto da una molla di massa trascurabile e di rigidezza k , oscilli verticalmente senza mai staccarsi dal piatto. Quale valore massimo può assumere l’ampiezza di oscillazione?

43 Un blocco di massa m può oscillare senza attri-to su un piano orizzontale sotto l’azione di due molle, come in fig.27. La distanza tra le due pareti fisse è L , il blocco ha massa m e lar-ghezza d , le molle hanno rigidezza k1 e k2 e lunghezza a riposo L1 ed L2 . Si determini: (a) la posizione di equilibrio del blocco, (b) la frequenza di oscillazione.

Fig. 26

d

k1 k2

L

Fig. 27


QUANTITÀ DI MOTO E IMPULSO

47 Nel calcolo della quantità di moto è sempre possibile fingere che tutta la massa del sistema fisico considerato sia concentrata nel centro di massa (vero / falso).

48 [R] Una pallina d’acciaio di massa m cade su una molla ideale che la rilancia esattamente alla stessa altezza. Un’altra pallina identica cade invece dalla stes-sa altezza su un mucchio di segatura. Quali delle due ha esercitato un più gran-de impulso nella fase di impatto?

51 A una particella K di massa 12 g viene applicata una forza di valore costante 0,15 N che agisce verticalmente verso l’alto per 3 s, poi orizzontalmente verso Est per 5 s, infine orizzontalmente verso Nord per 1 s. (a) Si determini il modulo dell’incremento vrΔ della velocità di K . (b) Si chiarisca se il risultato ottenuto rappresenta l’incremento subìto dal mo-dulo della velocità.

52 [R] Un sistema K è assoggettato a un insieme di forze esterne. Si spieghi se è corretto affermare che l’impulso complessivo di tali forze è uguale alla massa di K per l’incremento CMvrΔ della velocità del suo centro di massa.

53 Tra il blocco A e il blocco B è interposta una piccola molla compressa di massa trascurabile, ma i due blocchi non si separano perché tenuti assieme da un filo. Mentre il sistema scivola con velocità V senza incontrare attrito lungo un piano orizzontale in direzione A→B , a un tratto il filo cede e i due blocchi, spinti dalla molla, si separano. Sapendo che, mentre il blocco B prosegue con velocità 3V, il blocco A rimane immobile, determinare il valore del rapporto mA /mB .

56 Una pallottola di massa m = 20 g arriva con velocità 300 m/s, inclinata verso il basso di 15° rispetto al piano orizzontale, su un blocco di massa M = 10 kg, fermo su un piano orizzontale lungo il quale il blocco può scivolare senza attri-to. Quale velocità acquista il blocco se la pallottola si conficca in esso? Quale velocità acquisterebbe invece se la pallottola lo attraversasse senza cambiare direzione e uscendone con velocità 100 m/s?

57 [R] La forza zyx ututuF rrrr2653 ++= (unità SI) è applicata a una sfera omo-

genea di massa 3 kg sulla quale non agiscono altre forze. Tenuto conto che al-l’istante zero la velocità del centro C della sfera è zero, si trovi quale valore as-sume la velocità di C tre secondi più tardi.


SOLUZIONI

11 No: una coppia di forza ha risultante zero, e quando la forza risultante è zero il CM si muove necessariamente di moto rettilineo uniforme. Chiaramente, nel nostro caso il moto del CM non è né rettilineo né uniforme.

14 Risposta (b). In forza del principio di azione e reazione possiamo infatti affer-mare che il peso del blocco (la forza con cui la Terra attira il blocco) ha lo stes-so valore della forza con cui il blocco attira la Terra, oppure che hanno lo stes-so valore la forza del blocco sul pavimento e la forza del pavimento sul blocco: ma non che hanno lo stesso valore la forza della Terra sul blocco e la forza del blocco... sul pavimento. La ragione per cui la forza del blocco sul pavimento è uguale al peso del blocco sta nel fatto che il blocco è in equilibrio, per cui la forza V

r del pavimento sul blocco deve neutralizzarne il peso. A questo punto

interviene il principio di azione e reazione: se la forza del pavimento sul blocco è 30 kg, anche la forza del blocco sul pavimento deve valere 30 kg.

18 (a) Quando tutto è immobile, la forza risultante su ogni blocco è zero. In parti-colare, il blocco B, che pesa 30 kg, riceve dal filo una forza di 30 kg verso l’al-to, e quindi tira il filo verso il basso con una forza di 30 kg. Dato che nella gola della puleggia non c’è attrito, l’equilibrio del filo richiede che il filo sia tirato all’altra estremità con una forza uguale, 30 kg: la tensione del filo è 30 kg lun-go tutta la lunghezza (tratto orizzontale e tratto verticale). Essendo il filo im-mobile, la forza risultante sul filo è certamente zero. La puleggia esercita quin-di sul filo una forza F

r tale da neutralizzare le forze che agiscono alle due estre-

mità: Fr

avrà quindi un componente orizzontale di valore 30 kg diretto verso destra, e un componente verticale di valore 30 kg diretto verso l’alto. La forza del filo sulla puleggia sarà uguale in valore e opposta in direzione a F

r.

Quando A viene liberato, non essendoci attrito la sola forza che può influire sulla velocità del sistema (e ne determina l’accelerazione) è il peso di B. La massa accelerata è la massa di B più la massa di A, dunque l’accelerazione del

sistema è ggmmgm

aBA

B

43

301030

=+

=+

= . Ne consegue che la forza risultante

su ciascun blocco corrisponde a 3/4 del rispettivo peso. Il blocco A è tirato ver-so destra da una forza di (3/4)10 kg = 7,5 kg, il blocco B è sottoposto a una for-za complessiva di valore (3/4)30 kg = 22,5 kg, il che significa che il filo eserci-ta su B una forza di 7,5 kg verso l’alto. In definitiva, il filo è tirato verso sinistra da A con una forza di 7,5 kg e verso il basso da B con una forza di uguale valo-re: ciò era prevedibile a priori, in considerazione del fatto che il filo ha massa zero, e quindi per il filo è zero il prodotto massa per accelerazione scalare, il che richiede che sia zero la somma delle forze capaci di modificare il valore della sua velocità. In definitiva, la tensione del filo è 7,5 kg, la forza del filo sulla puleggia ha un componente orizzontale verso sinistra di valore 7,5 kg, e un componente verticale verso il basso di uguale valore.


(b) No: la velocità del sistema sarebbe in diminuzione nel caso la direzione del-la velocità fosse verso sinistra per il blocco A e verso l’alto per il blocco B (possiamo ad esempio immaginare che in precedenza il blocco A fosse tirato verso sinistra con un filo che poi si è strappato).

27 Per le ragioni già chiarite in precedenza (problema 24), il blocco 2 e il blocco 3 eser-citano sul filo che li sostiene una uguale for-za T, mentre alle due estremità dell’altro filo è applicata una forza 2T (fig.6) Le accelera-zioni dei blocchi verso il basso sono pertanto:

[A] a1 = g – 2T / m1 a2 = g – T /m2 a3 = g – T /m3.

La quarta equazione necessaria a risolvere il sistema della quattro incognite (le tre accelerazioni + la tensione T ) è quella che stabilisce che l’accelerazione della carrucola mobile (uguale in valore assoluto e opposta in segno all’acce-lerazione a1 del blocco 1) è la media aritmetica di quelle del blocco 2 e del blocco 3 (cfr. domanda 41, pag. 95): [B] – a1 = (a2 + a3) / 2. Se in quest’ultima relazione poniamo le tre espressioni [A], otteniamo

[ C ] T = 323121

321

44

mmmmmmmmmg++

.

Osservazione importante. Sarebbe stato del tutto erroneo cercare di risolvere il problema riunendo i blocchi 2 e 3 in un unico blocco, per riportarsi così al semplice problema delle due masse sospese (problema 19, pag.153). In tal mo-do infatti si attribuisce arbitrariamente al centro di massa del sistema 2 + 3 la stessa accelerazione della carrucola mobile: accelerazione che vale (a2 + a3) / 2, mentre quella del CM del sistema vale (a2 m2 + a3m3) / (m2 + m3), ed è quindi uguale alla precedente solo quando m2 = m3. E se cambiamo l’accelerazione del CM del sistema 2 + 3, cambiamo la risultante delle forze esterne sul sistema stesso, e cambiamo quindi il valore della forza 2T con cui la carrucola mobile è sostenuta dal filo. (b) Se il blocco 1 è in equilibrio, è in equilibrio anche la carrucola mobile, e i blocchi 2 e 3 hanno rispettivamente accelerazione g /2 verso l’alto e g /2 verso il basso. Allora deve essere T = 3 kg, e la forza 2T che sostiene la carrucola mobile, che per ipotesi è in equilibrio, è 6 kg. L’equilibrio del blocco 1, a sua volta sostenuto da una forza 2T = 6 kg, richiede allora che il suo peso sia 6 kg (non 5!), e quindi la sua massa 6 kg.

31 Sì, ma la terza legge di Newton non c’entra: in base ad essa possiamo solo dire che la forza del corpo K sul piano e la forza del piano sul corpo K sono uguali in valore e opposte in direzione, oppure che sono uguali in valore e opposte in direzione la forza attrattiva della Terra su K (il peso di K) e la forza attrattiva di

m1 g

2T

m2 g

T

m3 g

T

Fig. 6


K sulla Terra. La forza del piano su K è invece uguale al componente trasversa-le del peso di K per il fatto che il centro di massa di K si muove di moto rettili-neo: il che richiede che la forza risultante su K abbia componente zero perpen-dicolarmente alla velocità del centro di massa.

37 (a) La forza centripeta cpFr

è data qui dal com-ponente orizzontale della reazione del vincolo (fig. 9): V senϕ = mv2/R, con R = L senϕ . Da

cui, v = m

LV ϕ2sen . Rispetto alla direzione

verticale la velocità della pallina si mantiene uguale a zero: niente accelerazione, quindi la somma dei componenti verticali delle forze è zero: V cosϕ = mg. Sostituendo nella relazione precedente otteniamo v = ϕϕ tgsenLg .

Essendo poi ω = v /R = v / (L senϕ ), risulta Hg

Lg ==ϕ

ω cos , avendo in-

dicato con H l’altezza del cono: la velocità angolare e il periodo sono uguali per tutti i pendoli conici aventi la stessa altezza, il periodo è uguale a quello delle piccole oscillazioni di un normale pendolo semplice di lunghezza H. (b) Dato che H deve essere inferiore a L (altrimenti l’apertura del cono è zero) il valore di ω deve essere superiore a Lg / , e il valore del periodo T è inferio-

re a gL/π2 (periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo semplice di lunghezza L). Si noti che, quando l’apertura ϕ del cono tende a zero, il valore della velocità angolare tende a Lg / , ma la velocità lineare tende a zero, dato che tende a zero il raggio della circonferenza percorsa dalla pallina. (c) La velocità angolare deve essere superiore (vedi punto precedente) alla pul-sazione delle piccole oscillazioni di un pendolo semplice di uguale lunghezza: ω > Lg / = ωmin . La frequenza minima è quindi f min = [ωmin/(2π )] giri/s. Po-sto g = 9,81 m/s2 e L = 1 m, si ottiene che la frequenza minima è f min = 0,498 giri /s = 29,9 giri /min.

42 L’oscillazione avviene in ogni caso attorno alla posizione di equilibrio, la posi-zione in corrispondenza della quale il peso (m +M) g del sistema è esattamente compensato dalla forza k y0 della molla (che ha subìto lo schiacciamento y0). Detta infatti y la deformazione della molla (l’accorciamento rispetto alla lun-ghezza di riposo), la forza complessiva sul sistema oscillante, misurata verso il basso, è (m +M) g − k y. La forza è zero (posizione di equilibrio) per (m +M) g − − k y = 0, e cioè per y = (m +M) g /k = y0 . La forza applicata al sistema può dunque essere espressa come k (y0− y), il che mostra che per y < y0 (al di sopra quindi della posizione di equilibrio) la forza è positiva e cioè diretta verso il

Vr

H

L

cpFr

Pr

ϕ

R

Fig. 9


basso, mentre al di sotto della posizione di equilibrio è diretta verso l’alto. Si tratta insomma di una forza di richiamo verso y = y0 , con una intensità propor-zionale alla distanza da tale posizione: il centro di massa del sistema oscilla in ogni caso (anche se il blocco si stacca dal piatto) di moto armonico. Se vogliamo che, durante l’oscillazione, il blocco si mantenga a contatto del piatto, occorre che la lunghezza della molla risulti in ogni istante non superiore alla lunghezza di riposo: il che equivale a dire che l’ampiezza di oscillazione non può essere più grande della deformazione di equilibrio y0. Quando infatti la molla risultasse deformata in allungamento, sul sistema piatto + blocco agireb-be, oltre al peso, anche una forza elastica diretta verso il basso, quindi il centro di massa del sistema avrebbe un’accelerazione verso il basso superiore a g: mentre, per il fatto che il blocco è semplicemente appoggiato sul piatto, è chia-ro che la sua accelerazione verso il basso non può in nessun caso essere supe-riore a g. Non appena, nel corso dell’oscillazione, la lunghezza della molla su-perasse il valore di riposo, il blocco perderebbe velocità meno rapidamente del piatto, il che significa che si verificherebbe il distacco.

48 La prima, che è rimbalzata verso l’alto con una velocità v identica in modulo alla velocità di impatto, cioè con una quantità di moto uguale in modulo e op-posta in direzione: cosicché l’incremento 12 pp rr

− della quantità di moto (ugua-le all’impulso subìto e quindi, a parte la direzione, all’impulso esercitato) vale 2mv. Per la seconda pallina invece al momento dell’impatto al suolo la quantità di moto va a zero, e quindi l’incremento della quantità di moto e l’impulso val-gono solo mv.

52 Sì, per il fatto che, essendo zero l’impulso delle forze interne al sistema, l’im-pulso delle forze applicate dall’esterno corrisponde all’incremento della quanti-tà di moto di K, la quale può essere notoriamente espressa come prodotto della massa di K per la velocità del suo centro di massa.

57 L’impulso della forza è Ir

= ∫= st

tF3

0dr

, vale perciò [ ] st 30N3 = 9 N⋅s in dire-

zione x, (5 N/s) [ ] st

30

2 2/ = 22,5 N⋅s in direzione y, (6 N/s2) [ ] st

30

3 3/ = 54 N⋅s in

direzione z. Il modulo dell’impulso è quindi I = 222 545,229 ++ N⋅s = = 59,2 N⋅s. Tale valore rappresenta anche il modulo della variazione prΔ della quantità di moto della sfera, e quindi il prodotto vM r

Δ della massa della sfera per il modulo dell’incremento di velocità del suo centro (che, per il fatto che la sfera è omogenea, ne rappresenta il centro di massa). Tenuto che la velocità iniziale è zero, il rapporto tra il modulo dell’impulso e la massa della sfera for-nisce senz’altro il valore finale della velocità del CM, che è pertanto v = I /M = (59,2 N⋅s) / ( 3 kg) = 19,7 m/s.


CAPITOLO 9 − LAVORO ED ENERGIA

2 [R] Una ipotetica forza avente direzione sempre uguale a quella della velocità del punto su cui agisce non sarebbe conservativa (vero / falso).

4 Una pallina P di massa 40 g procede con velocità costante 150 cm/s in un pia-no verticale lungo una circonferenza di centro O. Si determini con quale rapidi-tà il peso della pallina compie lavoro: (a) nell’istante in cui il vettore OP è diretto verticalmente verso l’alto, (b) quando il vettore OP è ruotato di 30°, (c) quando il vettore OP è ruotato di altri 60°.

5 * La forza yx uxuyF rrr52 += (unità SI) agisce su

una particella K mobile nel piano cartesiano xy . (a) Si chiarisca se tale forza è conservativa. (b) Considerati (fig. 8) i punti A (0;3), B (6;3) e C (6;0), si calcoli il lavoro compiuto dalla forza in questione quando K si sposta da O a B lungo il percorso OAB, il percorso OCB, il percorso OB.

6 * [R] (a) Si calcoli il lavoro che viene compiuto dalla forza xuxyF rr

)5( 2+= − yux r9 (unità SI) quando la particella su cui agisce si sposta nel pi-ano cartesiano xy (fig. 9) dal punto A (0;3) al punto B (3;0) lungo una traiettoria di equazione y = 3 − x (linea 1 in figura). * (b) Come sopra, considerando però un percorso di equazione y = 3 − x2/3 (linea 2 in figura).

8 Due recipienti identici poggiano su uno stesso piano orizzontale: il recipiente A contiene 12 kg d’acqua, il recipiente B contiene 4 kg d’acqua. Se i due reci-pienti venissero messi in comunicazione, si verificherebbe ovviamente uno spostamento di liquido da A verso B fino al raggiungimento di una nuova si-tuazione di equilibrio: quale sarebbe, in tale eventualità, il lavoro complessiva-mente compiuto dalla forza peso? Si ipotizzi che il collegamento venga realiz-zato tramite un condotto di volume trascurabile.

13 Un corpo soggetto esclusivamente al peso cade da fermo da un livello 1 a un livello 2 acquistando una velocità di 10 m/s. Se ne può dedurre (vero / falso) che se la velocità iniziale fosse stata 10 m/s la velocità finale sarebbe stata 20 m/s, e più in generale che se la velocità iniziale fosse v0 la velocità finale sarebbe v0 + 10 m/s.

A B (6;3)

x

y

Fig. 8

Fig. 9

A

x

y

B

1

2

O


14 Quando le forze applicate a un certo punto materiale P compiono un lavoro L0 la velocità di P passa da 0 a 10 km/h. Quale lavoro è perciò necessario perché la velocità di P passi da 100 a 110 km/h?

17 Un blocco C di massa m scivola senza attrito con velocità v lungo un piano orizzontale (fig. 13), soggetto solo al peso e alla reazione del vincolo. La corsa di C viene poi arrestata da una molla di rigidezza k , che rilancia C in direzione opposta. Quale deformazione ha subìto la molla?

18 [R] Un blocco C di massa m è sospeso a un filo: immediatamente al disotto di C (fig.14) c’è un piatto orizzontale di massa trascurabile sostenuto da una molla di costante elastica k . Di quanto si comprime la molla se si taglia il filo?

21 Due fionde sono costruite con elastici aventi diversa costante k di elasticità. Quale delle due conviene usare se ciò che interessa è lanciare il sasso alla mag-gior distanza possibile?

23 Un pendolo è costituito da una sferetta di massa m fissata a un’asta rigida di lunghezza L e massa trascurabile. Determinare a quale sforzo massimo l’asta deve resistere, considerando ampiezze angolari di oscillazione di 60°, 90°, 120°, 180°.

24 * [R] Problema «del giro della morte» (fig. 15). Da quale altezza minima deve partire (da fermo) il blocchetto K , soggetto solo al peso e alla rea-zione del vincolo, per riuscire a effettuare l’inte-ro percorso senza mai staccarsi dalla guida su cui scivola? Si consideri nullo l’attrito, ma si chiarisca qualitativamente in che modo il risul-tato verrebbe modificato dalla presenza di attrito.

26 * [R] Un blocchetto K , inizialmente in quiete sulla sommità di una semisfera di raggio R (fig. 16), subisce un urto che gli conferisce una velocità orizzontale 0vr . Si spieghi in che modo, in assenza di ogni di attrito, la posizione di di-stacco di K dalla superficie d’appoggio dipende dal valore di 0vr .

29 Una fune, che appoggia senza attrito su un so-stegno sagomato come in fig. 18, inizia a un tratto a scivolare verso il basso. Sapendo che la lunghezza complessiva è L e che la lun-ghezza del tratto inizialmente posto sul piano inclinato è d , si determini la velocità con cui

Fig. 14

m

k

K C

Fig. 15

A

ϕ

Fig. 18

vr

Fig. 13

m k

0vr

Fig. 16


l’estremo A raggiunge l’inizio della discesa. 32 Un cilindro omogeneo di raggio R e massa M rotola senza strisciare.

(a) Si esprima la sua energia cinetica in funzione della velocità angolare ω . (b) Si verifichi che lo stesso risultato si ottiene sommando l’energia cinetica che il cilindro avrebbe nel caso traslasse con la velocità v0 del suo asse geometrico con l’energia cinetica che il cilindro avrebbe se il suo asse geometrico fosse immobile e il cilindro ruotasse attorno ad esso con velocità angolare ω .

33 * [R] Si chiarisca da quali elementi dipende il tempo impiegato da un cilindro omogeneo a percorrere, con partenza da fermo, un piano inclinato di lunghezza L , supponendo che l’attrito sia abbastanza grande da impedire al cilindro di scivolare. Si confronti il risultato con quello che si sarebbe ottenuto nel caso di attrito zero. Si descrivano valore e direzione della reazione del vincolo.

38 Le due locuzioni «energia potenziale in A rispetto a B» e «differenza di ener-gia potenziale tra A e B» sono del tutto equivalenti (vero / falso).

39 [R] Moto armonico tra A e B, con centro in M (fig. 20). Detto H il punto intermedio tra M e B, detto K il punto intermedio tra H e B, e tenuto conto che durante l’oscil-lazione l’energia cinetica massima è 80 J, si determini l’energia potenziale ela-stica del punto oscillante in A rispetto a M, in A rispetto a K, in K rispetto a B, in H rispetto a K .

41 Punto materiale in movimento, soggetto solo al peso e a forze elettrostatiche. Nella posizione A l’energia cinetica vale 520 J, l’energia potenziale gravitazio-nale −18 J, l’energia potenziale elettrostatica 0. Trovare il valore dell’energia cinetica e delle energie potenziali nella posizione B, posta esattamente allo stesso livello di A, sapendo che nel passaggio da A a B il lavoro delle forze elet-trostatiche è −400 J.

42 Un punto Q è soggetto al peso, a una forza elastica, a forze di attrito. Nella po-sizione A l’energia cinetica di Q vale 30 J, l’energia potenziale gravitazionale −20 J, l’energia potenziale elastica 100 J. Nella posizione B i rispettivi valori sono invece 40 J, −10 J, −20 J. Determinare il lavoro compiuto dalle forze di attrito tra A e B.

43 [R] Un punto materiale K, mobile in un campo di forza conservativo, possiede l’energia potenziale EP = 5 xy2 − y z3 (unità SI). Si trovi il valore della forza a cui K è soggetto nella posizione x = 1, y = 2, z = 3.

45 * [R] Un punto K di massa m = 20 g, vincolato a muoversi sull’asse x e sogget-to solo una a forza conservativa F

r, si trova inizialmente nell’origine degli assi

con velocità v0 = 5 m/s. L’energia potenziale di K dipende dalla posizione se-condo l’equazione EP = F0 |x | , con F0 = 20 N. Dimostrare che il moto di K è periodico, e determinare periodo e ampiezza di oscillazione. Si consideri nullo il valore della forza nell’origine.

A B M H K

Fig. 20


47 * Un punto di massa m , soggetto esclusivamente a forze conservative, ha ener-gia potenziale EP = k (x2 − a2) per |x | < a EP = 0 per |x | ≥ a con a e k costanti positive. Supponendo che il moto possa avvenire solo in di-rezione x, discutere il tipo di moto in funzione dell’energia totale. Determinare la massima velocità compatibile con un moto periodico e, per tale valore della velocità, determinare il periodo del moto.

48 [R] Il punto materiale K, di massa m , è in quiete nella posizione O. Si determi-ni quanta energia occorre somministrare a K affinché oscilli di moto armonico attorno ad O con ampiezza A e frequenza f .

SOLUZIONI

2 Vero: essendo sempre e solo positivo, il lavoro di tale forza non potrebbe esse-re zero su un percorso chiuso.

6 (a) Il lavoro del componente x della forza è Lx = ∫∫ +=3

0

23

0d)5(d xxyxFx .

Essendo, lungo il percorso 1, y = 3− x, si ottiene Lx = ∫ +−3

0

2 d])3(5[ xxx =

= ∫ +−3

0

2 d)515( xxx = [ ]30

32 3/2/515 xxx +− = 31,5 J.

Il lavoro del componente y della forza è Ly = ∫∫ −=0

3

0

3d9d yxyFy . Essendo,

lungo il percorso 1, y = 3−x, è x = 3−y e quindi Ly = ∫ −−0

3d)3(9 yy =

= ∫ −3

0d)927( yy = [ ]3

02 2/927 yy − = 40,5 J. Il lavoro complessivo della for-

za è L = Lx + Ly = 31,5 J + 40,5 J = 72,0 J.

(b) Il lavoro del componente x della forza è Lx = ∫ +3

0

2 d)5( xxy , con y =

= 3 − x2/3. Dunque Lx = ∫ +−3

0

22 d])3/3(5[ xxx = ∫ −3

0

2 d)3/215( xx = 27 J.

Il lavoro del componente y è Ly = ∫−0

3d9 yx . Essendo y = 3 − x2/3, è dy =

= − (2/3)x dx. Perciò, tenuto conto che i limiti di integrazione per x sono 0 e 3,


possiamo scrivere Ly = ∫ −−3

0d)3/2(9 xxx = ∫

3

0

2 d6 xx = 54 J. Il lavoro com-

plessivo è L = Lx + Ly = 27 J + 54 J = 81 J.

18 Se il blocco subisce lo spostamento yr , il lavoro della forza elastica è −½ k y2, il lavoro della forza peso è mgy. L’energia cinetica di C è zero sia nell’istante i-niziale che nell’istante finale (massima compressione della molla). Dunque, il lavoro complessivo deve essere a sua volta zero: mgy − ½ k y2 = 0, da cui

24 Mentre K percorre l’anello (fig.6), la rea-zione V del vincolo, misurata in senso cen-tripeto, è V = mg cosϕ + mv2/R. Il primo termine a secondo membro diventa negativo per ϕ > 90°: in tal caso, se il valore del se-condo termine non è sufficientemente grande, il valore di V risulta negativo, il che sta ad indicare che la reazione dovrebbe essere di-retta in senso centrifugo, con modulo sempre più grande man mano che ϕ aumenta. In re-altà, un vincolo di puro appoggio come l’anello da noi considerato non è in grado di esercitare forze dirette in senso centrifugo: ciò significa che l’ultimo punto di contatto per K è quello che corrisponde a V = 0, immediatamente dopo la forza centripeta risulta (per la mancanza di una reazione centrifuga) più grande di quella che corrisponde al raggio di curvatura R: perciò il raggio di curvatura della traiettoria risulta minore di R, il che corri-sponde a dire che K si stacca dalla guida. La risposta al quesito proposto si ottiene imponendo che l’ultimo punto di contatto sia l’estremo superiore C del diametro verticale dell’anello: V = mg cos180° + mv2/R = 0, da cui [A] v2 = gR. Se h è l’altezza del punto di partenza su C, sarà mv2/2 = mgh (teorema dell’energia cinetica), e quindi [B] v2 = 2gh. Dal confronto tra le relazioni [A] e [B] si ottiene h = R/2. Per non perde-re mai il contatto con la guida K deve partire da una posizione sopraelevata di almeno R/2 rispetto a C. In caso di attrito, occorrerà che il blocchetto parta da una posizione più eleva-ta (h ' > R/2), in modo che il maggior lavoro della forza peso compensi il lavoro negativo compiuto dalla forza d’attrito, e la velocità di passaggio in C rimanga, nonostante l’attrito, la stessa di prima: la minima che il blocchetto può avere in C quando compie l’intero giro senza staccarsi.

26 È chiaro che, se il peso mg di K non è abbastanza grande in rapporto alla velocità v0 conferitagli dall’urto, si verifica il distacco immediato dalla superficie d’appoggio. Pre-cisamente, ciò si verifica se è mg < mv0

2/R, se cioè il peso è inferiore alla forza centri-peta necessaria perché nella posizione iniziale la traiettoria abbia raggio di curvatura R. Se invece mg ≥ mv0

2/R (se cioè v0 ≤ gR ) il blocchetto parte scivolando sulla super-

mg cosϕ

mg

ϕ

Fig. 6

C


ficie d’appoggio. Quando la distanza angolare dalla zione iniziale è ϕ (fig. 7), la forza centripeta è mv2/R = = mg cosϕ − V, avendo attribuito alla reazione del vincolo una direzione centrifuga. Dunque è V = mg cosϕ − − mv2/R. Al crescere di ϕ il primo termine a secondo membro è sempre più piccolo, il secondo termine è sempre più grande, V è sempre più piccolo. In corrispondenza del-l’ultimo punto di contatto V = 0, e quindi [A] v2 = gR cosϕ (immediatamente dopo V risulterebbe negativo, il che cor-risponderebbe a una reazione vincolare diretta in senso centripeto, cosa impossibile per un vincolo di semplice appoggio). Peraltro, dal teorema dell’energia cinetica si ottiene [B] v2 = v0

2 + 2 gR (1 − cosϕ ). Facendo sistema della [A] e della [B] si ottiene che l’ultima posizione di contatto è de-finita da cosϕ = 2/3 + v0

2/3gR. Per v0 = 0, cosϕ = 2/3, e il blocchetto si stacca ad al-tezza (2/3)R sulla base della semisfera. Se v0 tende a Rg , cosϕ tende a 1, cioè ϕ a

zero. Se v0 = gR , l’ultimo punto di contatto è il punto iniziale, dove la traiettoria ha

raggio di curvatura R. Se infine v0 > gR l’ultimo punto di contatto è ovviamente an-cora il punto iniziale, ma questa volta il raggio di curvatura iniziale è > R.

33 L’asse di rotazione coincide con la linea di contatto: l’accelerazione dell’asse del cilindro è quella che nel quesito viene indicata come «accelerazione del ci-lindro». Se l’asse di rotazione del cilindro ha subìto uno spostamento x, il lavo-ro compiuto dalla forza peso è Lg = M g x senϕ . Dato che la reazione del vin-colo non lavora, sarà M g x senϕ = EC = (3/4) M v2 (vedi risposta precedente), vale a dire v 2 = (4/3) g x senϕ , il che significa che l’asse del cilindro si muove di moto uniformemente vario con accelerazione (2/3)g senϕ [6]. L’accelerazione del cilindro dipende dunque esclusivamente dall’inclinazione del piano. Tutti i cilindri omogenei lasciati rotolare da una stessa altezza lungo uno stesso piano inclinato impiegano lo stesso tempo[7] per arrivare in fondo:

T =ϕϕ sen

3sen)3/2(

2g

LgL

= .

La massa, il volume, l’altezza, il raggio non hanno alcuna influenza. In assenza di attrito il cilindro sarebbe sceso scivolando senza ruotare con acce-lerazione g senϕ , superiore per un fattore 3/2, e avrebbe quindi percorso lo scivolo in un tempo T = )sen(/2 ϕgL , inferiore per un fattore 2/3 = 1,22. La reazione del vincolo consta di un componente perpendicolare al piano d’ap-

6 Nel moto uniformemente vario è )(2 0

20

2 ssavv −+= . 7 Nel moto uniformemente vario la posizione è definita da s = s0 + v0t + at2/2, quindi il tempo ne-cessario per percorrere una distanza s− s0 = L con partenza da fermo è t = ./2 aL

gmr

Vr

ϕ

Fig. 7


poggio, uguale e contrario al componente trasversale P cosϕ del peso (così la forza trasversale complessiva è zero, come deve essere per il fatto che il moto del centro di massa è rettilineo), e in più, se c’è attrito, di un componente paral-lelo al piano, diretto in senso opposto al componente tangenziale del peso. Se c’è abbastanza attrito da produrre un moto di puro rotolamento, la forza d’attrito ha valore (P senϕ)/3 [come richiesto dal fatto che in questo caso l’accelerazione del centro di massa del cilindro è a = (2/3)g senϕ , e che l’acce-lerazione prodotta dal solo peso è g senϕ ].

36 Dato che in A l’energia cinetica è zero e in M è 80 J, tra A ed M il lavoro della forza elastica applicata al punto oscillante è 80 J: dunque l’energia potenziale in A rispetto a M è 80 J. Gli altri valori dell’energia potenziale si possono cal-colare come lavoro della forza elastica, sapendo che, quando la distanza da M varia da x ' a x", il lavoro della forza elastica è L = ½ k (x '2 − x"2), e tenuto conto che, in base ai dati, quando x ' = R (ampiezza di oscillazione) e x" = 0 il lavoro è 80 J, il che significa che è k /2 = (80 J)/R2. L’energia potenziale in A rispetto a K è EPA(K) = LA→K = (k /2) [R2 − (3R/4)2] = (k /2) (7R2/16). Ponendo k /2 = (80 J) /R2 si ottiene EPA(K) = (7/16) × 80 J = 35 J. In B l’energia cinetica è zero come in A, perciò il lavoro da A a K e quello da K a B sono uguali a meno del segno: EPK(B) = −EPA(K) = −35 J. Infine, EPH(K) = LH→K = (k /2) [(R/2)2 − (3R/4)2 ] = (k /2) (−5R2/16). Essendo k /2 = (80 J) /R2, si ottiene EPH(K) = −25 J.

43 Risulta Fx = xEP ∂∂− / = −5y2, Fy = yEP ∂∂− / = −10 x y + z3, Fz = zEP ∂∂− / = = 3 y z2. Nella posizione considerata è pertanto Fx = −20 N, Fy = 17 N, Fz = = 54 N, cosicché il modulo della forza è

222zyx FFFF ++= = 222 5417)20( ++− N = 60,0 N.

45 Il fatto che, al crescere del valore assoluto di x, cresca anche EP (fig. 12) significa che quando K si allontana da x = 0 si verifica un lavoro re-sistente: la forza ha quindi il carattere di forza di richiamo verso x = 0. Il fatto poi che sia EP = = F0 |x| significa che la componente x della forza (= −∂EP/∂x) è F0 per x < 0, e −F0 per x > 0. L’energia totale Etot è chiaramente co-stante (forza conservativa), il suo valore corrisponde a quello dell’energia cine-tica in x = 0 (dove EP = 0): Etot = 2/2

0mv . Ogniqualvolta, al crescere di x, EP raggiunge il valore di Etot , l’energia cinetica si riduce a zero e il punto mobile viene riportato indietro dalla forza di richiamo: il moto è dunque periodico. L’ampiezza è data dal valore xmax di x definito da EPmax = Etot = F0|xmax| = = 2/2

0mv , vale a dire 20 N |xmax| = (2 × 10−2 kg) × (5 m/s)2/2, da cui |xmax| = = 1,25 cm. Tra l’origine e il punto di inversione di marcia l’accelerazione sca-

0vr

x

E

Etot EP EP

Fig. 12


lare è costante, con valore assoluto a = F0 /m = 20 N / (2 ×10−2 kg) = 1000 m/s2. Il tempo necessario perché la velocità v0 si annulli è allora v0/a = (5 m/s) / (1000 m/s2) = 5×10−3 s. Si tratta ovviamente di ¼ del periodo del moto, per cui in definitiva risulta T = 2×10−2 s. Osservazione. La posizione x = 0 rappresenta per K una possibile posizione di equilibrio: tale equilibrio avrebbe la caratteristica della stabilità (minimo del-l’energia potenziale, lavoro resistente della forza applicata per spostamenti di allontanamento).

48 Assumiamo la posizione iniziale O come riferimento dell’energia potenziale elastica. Allora l’energia complessiva (cinetica + potenziale) di K quando è immobile in O è zero. Quando invece K oscilla con ampiezza A e frequenza f, nella posizione O la sua energia potenziale è ancora zero ma l’energia cinetica è mv2

max /2, con vmax = ωA = 2π f A. Pertanto in O (e, per la conservazione del-l’energia, in ogni altra posizione) l’energia totale di K è adesso mω 2A2/ 2. Que-sta «energia in più» è l’energia che occorre somministrare a K perché oscilli di moto armonico. Osservazione. Se, come sarebbe stato del tutto legittimo, avessimo scelto diver-samente il riferimento dell’energia potenziale, nella posizione centrale O l’energia potenziale di K non sarebbe stata nulla, e avremmo quindi ottenuto per l’energia del punto oscillante un diverso valore: ciò significa che il valore dell’energia totale di un punto di massa assegnata che oscilla di moto armonico con ampiezza e frequenza assegnate è indeterminato. Quello che invece è sem-pre univocamente determinato è il supplemento di energia di cui, per poter oscillare, il punto in questione ha bisogno.


CAPITOLO 10 − ATTRITO I problemi di questo capitolo sono tutti riportati nel sito alla sezione “Indice del libro e pa-gine dimostrative”. Il testo di alcuni di tali problemi, corredato di risposta, è riproposto qui di seguito.

1 [R] L’attrito radente si manifesta quando un corpo striscia, l’attrito volvente quando un corpo rotola (vero / falso).

2 [R] Una pallina scende rotolando senza strisciare lungo un piano inclinato. L’attrito che produce il rotolamento deve considerarsi statico o dinamico?

8 *[R](a) In che direzione agisce sulle ruote la forza d’attrito radente alla parten-za di un’automobile? (b) In che direzione, se l’automobilista toglie gas? (c) In che direzione, se l’automobilista frena? (d) Per quale ragione in una frenata a ruote bloccate lo spazio d’arresto può risultare più grande?

9 [R] Una sfera è costituita per metà di sughero, per metà d’ottone. Supponiamo di tenere in equilibrio la sfera su un piano orizzontale in modo che il piano di separazione delle due semisfere risulti verticale. Se lasciamo andare la sfera, come si muoverebbe il suo baricentro in assenza di attrito?

10 [R] Dovendo calcolare la forza d’attrito dinamico su un corpo di peso P che scivola su una superfi-cie concava (fig.7), uno studente ha moltiplicato il componente Pn del peso sulla normale alla su-perficie d’appoggio per il coefficiente d’attrito ra-dente dinamico. Quale errore ha commesso?

11 [R] Le forze d’attrito possono compiere solo lavoro resistente (vero / falso). 14 [R] Un blocco K di 20 kg è immobile su un piano orizzontale, soggetto al peso

e alla reazione del piano d’appoggio: il coefficiente d’attrito statico tra le super-fici a contatto è μ 0 = 0,4. (a) Se al blocco viene applicata una forza F

r inclinata rispetto al piano orizzon-

tale di 30° verso il basso, qual è il massimo valore che, senza pregiudizio del-l’equilibrio, può assumere F

r?

(b) * Qual è il minimo valore della forza capace di mettere il blocco in movi-mento?

19 [R] Dopo aver percorso ruotando senza strisciare un tratto orizzontale, una pal-lina inizia la risalita di un piano inclinato. Arriverà più in alto in assenza oppu-re in presenza di attrito radente? Nel secondo caso, si faccia l’ipotesi che l’attrito sia abbastanza grande da impedire ogni strisciamento.

21 * [R] Un uomo sta salendo su una scala a pioli appoggiata al muro. Supponen-do che la scala abbia peso trascurabile e che il coefficiente d’attrito tra scala e parete sia lo stesso che tra scala e pavimento, si determini la massima altezza a cui può giungere l’uomo senza che la scala scivoli.

Pr

nPr

Fig. 7


23 * [R] Un blocchetto K è a contatto di un cuneo C che può scivolare in direzione orizzontale (fig. 10). Considerando sia il caso di assenza di at-trito che il caso contrario, si chiarisca come de-ve muoversi C se vogliamo che K (che è sog-getto solo al peso e alla forza proveniente da C ) si mantenga immobile rispetto a C.

25 * [R] Cilindro (o sfera) su piano inclinato: determinare la massima pendenza compatibile con un moto di puro rotolamento (con partenza da fermo).

26 * [R] Si consideri un’automobile di massa 1200 kg. Posto che il coefficiente d’attrito radente statico tra ruote e terreno sia μ 0 = 1, che il coefficiente d’at-trito volvente sia μ v = 15 mm e che il raggio delle ruote sia R = 30 cm, si de-termini quale forza occorrerebbe applicare alla macchina per metterla in mo-vimento: (a) a ruote bloccate, in presenza di attrito radente, (b) a ruote libere, in presenza di attrito volvente ma non di attrito radente, (c) a ruote libere, in presenza di attrito radente ma non di attrito volvente, (d) a ruote libere, in presenza di attrito sia radente che volvente.

28 [R] Con riferimento alla fig.11 (forza mo-trice applicata ad altezza R), si spieghi se la presenza di attrito volvente aumenta o diminuisce il rischio di slittamento della ruota sul terreno.

29 [R] Si consideri una ruota (ad esempio, la ruota posteriore della bicicletta) a cui vie-ne applicata una coppia motrice di mo-mento τ , e si spieghi se la presenza di at-trito volvente aumenta o diminuisce il ri-schio di slittamento della ruota sul terreno.

K

C

Fig. 10

Fr

Fig. 11 – Ruota sottopo-sta a forza motrice.

K


SOLUZIONI

1 Falso: quando un corpo rotola c’è sempre attrito vol-vente (salvo il caso teorico di corpi rigidi o di corpi perfettamente elastici), ma c’è anche attrito radente se questo serve a contrastare lo strisciamento di una su-perficie sull’altra. Ad esempio, se una pallina viene posta su un piano inclinato e poi abbandonata a sé stessa (fig.1), in assenza di attrito radente scivolereb-be verso il basso senza ruotare (il peso e la reazione del vincolo, perpendicolare al piano per l’assenza di attrito, avrebbero entrambi momento zero rispetto al centro della sfera): il rotolamento con velocità angolare via via più grande è prodotto dalla forza A

r d’attrito radente (e contrastato dall’eventuale attrito vol-

vente). Altro esempio: se una palla da biliardo viene colpita a mezza altezza, per effetto dell’attrito radente che ne contrasta il moto di scivolamento inco-mincia a rotolare perdendo velocità. Quando la velocità v di avanzamento è diminuita e la velocità ω di rotazione aumentata fino a che la relazione ω = = v /R è soddisfatta, non c’è più alcuno strisciamento da contrastare, e l’attrito radente non agisce più.

2 Il rotolamento è prodotto dall’attrito radente, e dato che non si verificano stri-sciamenti si tratta di attrito statico: la forza d’attrito è applicata a punti che hanno velocità zero.

8 (a) In assenza di attrito sul terreno, le ruote motrici (collegate al motore) gire-rebbero a vuoto, mentre le ruote d’appoggio resterebbero immobili. L’attrito contrasta lo strisciamento delle ruote motrici agendo in avanti (di qui l’accele-razione in avanti della macchina), e lo strisciamento delle ruote d’appoggio agendo su di esse all’indietro (il che ne determina il rotolamento). (b) Quando l’automobilista toglie gas la macchina rallenta: in assenza di attrito le ruote d’appoggio tenderebbero a conservare la propria velocità di rotazione, mentre la velocità di rotazione delle ruote motrici diminuirebbe bruscamente insieme alla velocità di rotazione del motore. Le une e le altre quindi strisce-rebbero sul terreno: la forza d’attrito agisce in avanti sulle ruote d’appoggio co-stringendole a girare meno rapidamente, e all’indietro sulle ruote motrici co-stringendole a girare più rapidamente. (c) In assenza di attrito tra gomme e terreno, i freni bloccherebbero le quattro ruote azzerandone bruscamente il moto di rotazione, e la macchina scivolereb-be senza venire in alcun modo rallentata. Le forze d’attrito tra gomme e terreno contrastano tale scivolamento, agendo in direzione opposta alla direzione di marcia: tendono cioè a far girare le ruote in avanti mantenendone il moto di ro-tazione. (d) Se la frenata non è troppo violenta in rapporto alle condizioni delle gomme e del terreno, le forze d’attrito sono abbastanza grandi da impedire del tutto lo

Ar v

r

Fig. 1


scivolamento, costringendo le ruote a girare con la velocità angolare (ω = v /R , dove v è la velocità della macchina) di un moto di puro rotolamento: in tal caso la macchina è rallentata dalle forze d’attrito statico che, al limite, possono rag-giungere il proprio valore massimo μ 0 N . Se però la frenata è troppo brusca, le forze d’attrito non sono abbastanza grandi da riuscire a impedire del tutto lo scivolamento: le ruote quindi girano ma insieme scivolano (e al limite si bloc-cano e scivolano senza più girare), cosicché in questo caso sono le forze d’at-trito dinamico − di valore inferiore al valore massimo delle forze d’attrito stati-co − a decelerare la macchina.

9 Per la mancanza di attrito, la forza proveniente dal piano d’appoggio sarebbe verticale come il peso della sfera (fig. 2): essendo perciò verticale la forza risultante sulla sfera, il baricentro G cadrebbe ver-so il basso lungo una retta verticale e la sfera ruote-rebbe attorno a G scivolando fino ad avere il punto d’appoggio al di sotto del baricentro (possibile po-sizione di equilibrio stabile). Il moto proseguirebbe poi per inerzia − come quello di un pendolo − ver-so la posizione simmetrica di quella iniziale, e in definitiva il baricentro oscillerebbe su e giù sulla verticale condotta per la sua posizione iniziale.

10 Il coefficiente d’attrito deve essere moltiplicato non per la forza Pn , ma per la forza con cui le due superfici a contatto premono l’una sull’altra. Tale forza è in questo caso uguale a Pn + mv2/R , dove m è la massa del blocchetto, v la sua velocità, R il raggio di curvatura della superficie d’appoggio nel punto in cui si trova il blocchetto.

11 Falso: le forze d’attrito radente contrastano sempre il moto relativo di scivola-mento di una superficie sull’altra, e proprio per questo possono anche compiere lavoro positivo. Se, ad esempio, solleviamo dal tavolo una bottiglia, la forza d’attrito esercitata verso l’alto dalla mano sul vetro è applicata a punti che si spostano verso l’alto, e compie pertanto un lavoro positivo.

14 (a) Al limite dell’equilibrio (fig. 4), risulta F cos30° = A0 / max = μ 0 (F sen30°+ P), da cui, essendo μ 0 = 0,4, deriva F ≤ 0,601 P. (b) Il limite che deve essere superato è dato dalla più piccola tra tutte le forze che sommate al peso P

r del blocco danno una forza risultante

inclinata di θmax = arctgμ 0 = 21,8° sulla norma-le. Come la fig.5 chiarisce, tale forza limite è a sua volta inclinata verso l’alto di θmax = 21,8°,

Pr

G sughero

Fig. 2

Rr

Rr

Pr

θmax

Fr

30°

Fig. 4

minFr

Pr

Fig. 5

θmax


e il suo valore è quindi P senθmax = 20 kg × sen 21,8° = 7,43 kg.[8]

19 In assenza di attrito la velocità angolare non può cambiare (le forze applicate, peso e reazione del vincolo, hanno momento zero rispetto al centro di massa): perciò durante la risalita il lavoro resistente del peso deve azzerare solo l’ener-gia cinetica di traslazione ½ Mv2. In presenza invece di sufficiente attrito (puro rotolamento) viene annullata tutta l’energia cinetica, pari a 0,75 Mv2 (vedi risp. 30 a pag.386). Durante la risalita il peso compie quindi un lavoro resistente del 50 % superiore a prima, il che significa che in presenza di attrito l’altezza raggiunta dalla pallina è del 50% superiore.

21 Schematicamente, la scala è soggetta a tre forze: quella proveniente dal pavimento, quella proveniente dalla parete e quella pro-veniente dall’uomo (uguale, finché c’è equi-librio, al peso dell’uomo[9]). Delle prime due sappiamo che possono avere una certa incli-nazione massima α (con tgα uguale al coef-ficiente d’attrito statico μ 0) rispetto alla nor-male alla superficie, e che quindi agiscono lungo una retta compresa entro un angolo 2α . Perciò le rette d’azione di tali forze si incon-treranno (fig.8) in un punto posto entro l’area ABCD. L’equilibrio della scala richiede che per tale punto passi anche la retta d’azione della terza forza, e quindi del peso dell’uo-mo[10] : pertanto, la posizione limite per l’uomo sulla scala è la posizione P po-sta al di sotto del punto A . Se la scala è tangente al cono d’attrito uscente dal punto d’appoggio inferiore, l’uomo può salire fino in cima (e a maggior ragio-ne questo è possibile se l’inclinazione della scala sulla verticale è inferiore). Nota: se l’uomo si ferma in una posizione K che precede la posizione limite, qualunque punto posto all’interno del trapezio ABCD sulla verticale per K può essere il punto di convergenza delle due reazioni vincolari, le quali restano per-tanto indeterminate in direzione e valore: il problema non può essere risolto con la statica del corpo rigido.

8 Si poteva anche procedere per via matematica, tenendo presente che al limite dell’equilibrio è

)sen(cos 0max/0 θμθ FPAF +== , annullando la derivata prima di F rispetto a θ e verificando che

per tgθ = −μ 0 la derivata seconda di F è positiva. 9 Se l’uomo è in equilibrio (e solo in tal caso), la forza della scala sull’uomo (uguale in modulo alla forza dell’uomo sulla scala) è uguale e contraria all’altra forza agente sull’uomo, il suo peso. 10 La somma dei momenti delle tre forze rispetto a un punto qualsiasi (in particolare, rispetto al punto d’intersezione delle due reazioni vincolari) deve infatti essere zero.

2α

A

B

C

D

P

Fig. 8

2α


23 (a) Assenza di attrito. Su K agisce una forza verticale (il peso P

r) e una forza (la reazione

del vincolo Vr

) ortogonale alla superficie d’appoggio (fig.10). Avendo le due forze di-rezione diversa, la risultante è sicuramente diversa da zero, il che significa che il moto rettilineo orizzontale che vogliamo osservare per K non può essere uniforme. D’altra parte, se K si mantiene immobile rispetto a C la sua velocità verticale è costantemente zero, quindi è zero il componente verticale della forza risultante, cioè V cosϕ = mg . Ma allora la forza orizzontale è V senϕ = (mg /cosϕ)senϕ = mg tgϕ (con direzione verso destra) e quindi K ha (come il cuneo, rispetto al quale è immobile) accelerazione orizzontale ar di-retta verso destra di valore g tgϕ . La velocità del cuneo potrebbe essere diretta sia verso destra, con valori in aumento, che verso sinistra, con valori in dimi-nuzione. Chiaramente, nella condizioni di accelerazione ora precisate la veloci-tà verticale di K potrebbe anche mantenere un valore costante diverso da zero: rispetto al cuneo il blocco potrebbe cioè muoversi di moto uniforme, nel senso della salita come nel senso della discesa (si veda anche il problema 7 a pag.232 del testo). (b) Presenza di attrito. La reazione V

r del vincolo

può formare con la normale al piano inclinato un angolo massimo θmax definito da tgθmax = μ 0 . Come sopra, se la velocità verticale di K è zero la forza risultante sul blocco amr = P

r+Vr

è orizzon-tale. La fig.11 chiarisce che l’accelerazione dei due corpi a contatto può variare da amin = g tg (ϕ − θmax) fino a amax = g tg (ϕ + θmax).

25 Sia ϕ l’angolo tra piano inclinato e piano orizzontale. In precedenza si è trova-to che per un cilindro omogeneo la forza d’attrito radente necessaria per un mo-to di puro rotolamento è (1/3) P senϕ , tanto più grande quanto maggiore è la pendenza. D’altra parte, la forza d’attrito può tutt’al più raggiungere il valore μ 0 Pcosϕ , tanto più piccolo quanto maggiore è la pendenza. Chiaramente, il moto di rotolamento è possibile se la forza d’attrito necessaria non supera il massimo valore della forza d’attrito disponibile: (P /3) senϕ ≤ μ 0 P cosϕ , il che significa ϕ max = arctg 3μ 0 . Per una sfera la forza d’attrito necessaria a un moto di puro rotolamento risul-tava (risp. 34, pag. 387 del testo) un po’ minore: (2/7)P senϕ . Dovendo eviden-temente essere (2/7)P senϕ ≤ μ 0 P cosϕ , si deduce che è ϕ max = arctg 3,5μ 0 . Supponiamo ad esempio che sia μ 0 = 1 (gomma su asfalto asciutto). In tale

amr

Vr

n

ϕ

ϕ

Pr

Fig. 10

maxamr minam

r n

ϕ

Pr

θmax

Fig. 11


specifico caso: (a) per evitare un moto traslatorio di scivolamento (si pensi a un’automobile a ruote bloccate) su un piano avente inclinazione ϕ occorre che sia tgϕ ≤ μ 0 = 1 (ϕ ≤ 45°); (b) per evitare che un cilindro scivoli mentre roto-la occorre che sia tg ϕ ≤ 3μ 0 = 3 (ϕ ≤ 71,6°); (c) per evitare che una sfera scivoli mentre rotola occorre che sia tg ϕ ≤ 3,5μ 0 = 3,5 (ϕ ≤ 74,1°).

26 (a) Una forza superiore alla massima possibile forza di attrito radente statico A0/ max = μ 0 P = 1×1200 kg = 1200 kg. (b) Qualsiasi forza: le ruote traslerebbero senza incontrare alcuna resistenza. L’attrito volvente non avrebbe modo di manifestarsi. (c) Qualsiasi forza: il rotolamento delle ruote (determinato dal fatto che l’attrito radente impedisce lo strisciamento delle gomme sul terreno) non incontrerebbe alcuna resistenza. (d) Supponiamo, per semplicità, che il peso P e la forza F si ripartiscano equa-mente sulle quattro ruote. In tal caso la risposta è: qualsiasi forza F per cui ri-sulti (F /4) R >μ v (P /4) , vale a dire F > μ v P /R = (15×10−3 m) × (1200 kg) / (30×10−2 m) = 60 kg. Si noti che il valore limite così ottenuto è 20 volte inferiore a quello ottenuto alla risposta (a): il vantaggio che può essere offerto dalla ruota è palese.


CAPITOLO 11 − GRAVITAZIONE

2 Due oggetti A e B identici si trovano il primo sulla superficie della Terra, il se-condo sulla verticale del primo, a un’altezza pari al raggio terrestre RT. Quanto distano il baricentro del sistema A+B e il centro di massa?

3 L’attrazione gravitazionale tra due corpi può essere sempre calcolata con l’arti-ficio di collocare le due masse nei rispettivi centri di massa (vero / falso).

7 Nel moto attorno alla Terra, l’accelerazione della Luna (distante dalla Terra circa 384 000 km) è 2,73 mm/s2. Nel moto attorno al Sole, l’accelerazione del-la Luna (distante dal Sole circa 150 milioni di km) è circa 6 mm/s2. In che rap-porto stanno le forze esercitate sulla Luna dal Sole e dalla Terra?

8 In che rapporto stanno, a parità di velocità iniziale, le altezze raggiunte sulla Terra e sulla Luna con un lancio verticale?

10 [R] Quanto impiega a fare il giro della Terra un satellite distante 300 km dalla superficie terrestre?

12 Un satellite geostazionario si mantiene necessariamente nel piano equatoriale (vero / falso).

14 I satelliti della Terra hanno tutti, per la seconda legge di Keplero, la stessa ve-locità areale (vero / falso).

15 [R] Si determini la velocità areale di un pianeta facendo l’ipotesi che l’orbita sia circolare con raggio R .

17 Con riferimento a pianeti su orbite circolari, si dimostri che il rapporto T 2/R3 tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del raggio della circonferen-za percorsa è necessariamente costante al variare di R .

19 Che cosa si ottiene moltiplicando il peso di un satellite per la sua distanza dal centro della Terra?

20 * [R] Campo gravitazionale prodotto da un gu-scio semisferico omogeneo disposto come in fig.8: si dimostri che, in tutti i punti del cerchio orizzontale che chiude superiormente la cavità, il campo gr è verticale.

21 Si determini l’andamento dell’accelerazione di gravità nel campo prodotto da una massa M distribuita in modo uniforme entro un volume sferico.

22 Si dimostri che un corpo K , lasciato cadere dentro un pozzo rettilineo che at-traversa tutta la Terra da un qualsiasi punto A a un qualsiasi altro punto B, oscillerebbe all’infinito, in assenza di attriti, tra A e B ; e che, se la Terra fosse una sfera omogenea, il moto sarebbe armonico con un periodo uguale a quello che avrebbe un satellite su orbita bassa in assenza di atmosfera.

gr

Fig. 8


24 [R] Un oggetto A di massa m subisce un breve spostamento verticale h in pros-simità della superficie terrestre. Un oggetto B di massa uguale, posto sulla ver-ticale per A e distante da A un raggio terrestre, subisce a sua volta lo stesso spo-stamento verticale. È possibile calcolare il lavoro complessivo delle forze gra-vitazionali concentrando la massa del sistema A + B nel centro di massa? È pos-sibile calcolarlo concentrando la massa nel baricentro?

25 * Si calcoli il valore del rapporto T 2/R3 tra il quadrato del periodo di rivoluzio-ne di un pianeta e il cubo del semiasse maggiore della sua orbita.

28 * [R] Si consideri il sistema isolato costituito da due stelle che ruotano assieme attorno al centro di massa del sistema: fatta l’ipotesi che la distanza tra le due stelle si mantenga costante, si determini il comune periodo di rotazione.

29 Si calcoli l’energia totale di un satellite della Terra, sapendo che la distanza minima dal centro della Terra è rP e che la distanza massima è rA .

30 Si determini il lavoro che occorre compiere per spostare un satellite da un’or-bita circolare di raggio R1 a un’orbita circolare di raggio R2 .

31 Si determini quanta energia è strettamente necessario spendere per porre in or-bita un satellite di massa m lungo una traiettoria avente distanza minima dalla Terra rP = R0 e distanza massima rA = 5R0 (dove R0 è il raggio terrestre).

32 * [R] Una capsula spaziale di massa m = 104 kg, che percorre un’orbita circo-lare mantenendosi 500 km al di sopra della superficie terrestre, deve essere spostata su un’orbita circolare più ampia, in modo che si mantenga a 1500 km dalla superficie terrestre. Il risultato viene ottenuto accendendo brevemente i motori, che producono una spinta costante di 1,25×105 N parallelamente alla direzione del moto, una prima volta per immettere la capsula su un’orbita di trasferimento, una seconda volta, raggiunta la distanza di 1500 km, per immet-terla nell’orbita finale. Assumendo che la Terra sia una sfera di raggio RT = = 6370 km e massa M = 5,983×1024 kg, (a) calcolare l’energia cinetica della capsula nelle due orbite circolari; (b) descrivere le caratteristiche geometriche dell’orbita di trasferimento; (c) calcolare quale valore di energia cinetica deve essere raggiunto con la pri-ma accensione se vogliamo che la capsula si sposti poi fino a una distanza mas-sima di 1500 km; (d) determinare quanto deve durare la prima accensione; (e) chiarire la direzione di spinta dei motori in corrispondenza della seconda accensione, e determinare quanto deve durare la seconda accensione; ( f ) calcolare il tempo impiegato dalla capsula a percorrere l’orbita di trasferi-mento.[11]

11 Problema proposto alla gara nazionale studentesca del 1993 per le Olimpiadi di Fisica.


33 [R] (a) Si vuole che la velocità di un corpo tenda alla velocità di fuga quando la distanza dalla Terra tende a infinito. Con quale velocità occorrerebbe lanciar-lo in assenza di atmosfera? (b) Con quale velocità «giunge all’infinito» un corpo lanciato con velocità doppia rispetto a quella di fuga? (c) A quale distanza dal centro della Terra la velocità è uguale alla metà della velocità di fuga, quando la velocità di lancio è uguale alla velocità di fuga?

35 Si consideri un sistema isolato costituito da due stelle che orbitano attorno al centro di massa (CM) del sistema, e ci si ponga in un riferimento inerziale in cui il punto CM è immobile. a) La situazione può essere schematizzata come in fig.9 (vero / falso). b) La situazione può essere schematizzata come in fig.10 (vero / falso).

ALCUNE SOLUZIONI

10 Per la terza legge di Keplero, il rapporto T 2/R 3 deve avere lo stesso valore sia che venga riferito al satellite sia che venga riferito alla Luna: perciò TS = = TL .)/( 3

LS RR Posto che la distanza del satellite dal centro della Terra sia circa (6400 + 300) km = 6700 km, e circa 384 000 km la distanza della Luna, si ottiene TS ≈ TL 2,3×10–3 ≈ (27,3 d)(86400 s/d) 2,3×10–3 = 5425 s ≈ 90 min. Allo stesso risultato si arriva dividendo la lunghezza della circonferenza per-corsa dal satellite (2πR ≈ 2π × 6700 km) per la velocità del satellite. Que-st’ultima si ottiene subito considerando che la forza gravitazionale mg agente sul satellite rappresenta in questo specifico caso (traiettoria circolare, forza perpendicolare alla velocità) la forza centripe\ta mv2/R . Perciò v = gR , ed essendo, per la legge di Newton, la grandezza gR2 = GM costante al variare di R , sarà in particolare gR2 = 2

T0Rg (dove g0 , accelerazione di gravità a livello della superficie terrestre, ha il ben noto valore 9,81 m/s2). Possiamo quindi

CM

Fig. 9 Fig. 10

CM


scrivere v = RRg /200 = km 6700)/6400(m/s8,9 22× = 7,74 km/s. Pertan-

to T = 2πR /v ≈ (2π × 6700 km) / (7,74 km/s) ≈ 90 min.

15 L’area A spazzata dal segmento Sole - pianeta in un periodo è πR2. Il periodo T è la lunghezza 2πR diviso la velocità (v = gR = )./ RGM Perciò la veloci-

tà areale è v* = A /T = πR 2/ )//π2( RMgR = 4/RMG . Si poteva arrivare al risultato anche in altro modo: dato che nel tempu-scolo dt lo spostamento del pianeta (fig. 2) è ds = vdt , l’area descritta in dt dal segmento Sole - pianeta è, a meno di infinitesimi di ordine supe-riore, dA = ½ Rvdt . Perciò la veloci-tà areale dA /dt è ½ Rv = ½ R RMG / = 4/RMG . Per il calcolo della velocità areale lungo un’orbita ellittica si veda la risposta 25.

20 Si consideri un punto P sul cerchio che delimita la cavità. Sovrapponiamo al nostro guscio S un guscio S ' che sia l’immagine speculare di S ri-spetto al piano orizzontale per P, in modo da formare un unico guscio sferico (fig.3). È chiaro che il secondo guscio produce in P un campo 'gr che è a sua volta l’immagine speculare del cam-po gr prodotto in P da S. Dovendo essere zero il campo complessivamente prodotto dai due gusci, deve risultare 'gg rr

−= , il che è possibile solo se, contrariamente a quanto mostra il disegno, gr è diretto verticalmente.

24 Risposta negativa a entrambe le domande. A distanza R dal centro della Terra l’accelerazione di gravità è g0 , a distanza 2R è g0 /4 = 0,25 g0. Il lavoro effet-tivo è quindi L = m (g0 + 0,25 g0 )h = 1,25 mg0h . Concentrando la massa nel CM (posto a distanza 1,5 R dal centro della Terra, dove g = g0 /1,52 = 0,444 g0 ) otteniamo L ' = 2m (0,444 g0) h = 0,888 mg0h = 0,888 L , un valore quindi inferiore a quello vero. Il baricentro si trova invece a distanza R /5 sopra la superficie terrestre, dove l’accelerazione di gravità è g0 /1,22 = 0,694 g0 . Se localizziamo la massa del sistema nel baricentro otteniamo L" = 2m (0,694 g0) h = 1,39 mg0h = 1,39 L , un valore questa volta superiore al valore vero. Quando la massa è distribuita in uno spazio entro al quale il campo gravitazionale non può considerarsi unifor-

v dt

R

R + dR dA

Fig. 2

'gr

gr

S

S '

P

Fig. 3


me, nel calcolo del lavoro delle forze gravitazionali la massa deve essere lascia-ta dove effettivamente si trova.

28 Essendo costante la distanza d tra le due stelle, è anche costante la distanza di ogni stella dal centro di massa del sistema: ciò significa che, nel riferimento inerziale in cui il CM risulta immobile, le due stelle percorrono orbite circo-lari centrate nel CM, impiegando uno stesso tempo T per fare un giro completo. Se la stella di massa m ' si trova a distanza r ' dal CM (fig. 9), la sua accelerazione sarà [A] ω 2r ' = = F /m ' = Gm"/d2. Analogamente, l’accelera-zione della stella di massa m" sarà [B] ω 2r" = = F /m" = Gm ' /d 2. Sommando membro a membro la [A] e la [B] otteniamo ω2 (r '+ r") = G (m '+m") /d 2, e quindi, essendo r ' + r" = d , ω2 = G (m '+m") /d 3, da cui

T = 2π /ω = )"'(

π23

mmGd+

, vale a dire T 2 / d 3 = 4π2/ G(m '+ m").

Chiaramente, tale relazione rappresenta una generalizzazione di quella trovata alla risposta 26 (alla quale si riconduce quando una delle due masse è molto più grande dell’altra, nel qual caso la massa complessiva m '+ m" è praticamente uguale alla più grande delle due).

32 (a) L’energia cinetica su un’orbita circolare è ½ GmM /r. Con i dati del problema si ottiene EC1 = 2,905 ×1011 J, EC2 = 2,536 ×1011 J. (b) L’orbita di trasferimento (linea a tratteggio in fig.11) viene percorsa sotto l’azione delle sole forze gravitazionali: si tratta quindi di un’ellisse (che verrà percorsa solo per metà) con un fuoco nel centro della Terra, tangente all’orbita circolare iniziale e all’orbita circolare finale. La spinta dei motori viene data al perigeo P (500 km dalla superficie ter-restre), l’inserimento nella nuova orbita si verifica all’apogeo A (1500 km dalla superficie terrestre). (c) Dal momento del primo spegnimento dei motori (al perigeo dell’ellisse) fi-no alla riaccensione (all’apogeo) l’energia totale resta costante: ECP + EPP = = ECA + EPA . Tenuto conto che a distanza r1 l’energia potenziale (rispetto al-l’infinito) è −GmM /r1 , e che lungo l’orbita di trasferimento l’energia totale è

−GmM / (r1 + r2), si ottiene ECP = 1

2

21 rr

rrMmG+

= 3,102 ×1011 J .

A P

Fig. 11

r ' m '

m" r"

Fig. 9

CM


(d) Dato che la spinta dei motori è parallela alla velocità della capsula, e poten-dosi il moto considerare rettilineo durante la breve fase di accensione dei moto-ri, il teorema dell’impulso dà FΔt = mΔv = m (vP − v1). Le velocità si dedu-cono dai valori già calcolati dell’energia cinetica, ottenendo

v1 = 7,622 ×103 m/s e vP = 7,877 ×103 m/s. Tenuto conto del valore numerico della forza F e della massa m si ottiene Δt = 20,3 s. (e) All’apogeo dell’ellisse la velocità deve passare da vA = vP rP /rA = 6,876

×103 m/s a v 2 = mEC22 = 7,122 ×103 m/s. La spinta deve essere quindi ef-

fettuata nella direzione stessa del moto e, come si trova col teorema dell’im-pulso, deve durare 19,7 s. ( f ) È la metà del tempo T di percorrimento dell’intera ellisse. Per la terza legge

di Keplero, 31

21

321

2

)2

( rT

rrT

=+

, dove T1 ed r1 si riferiscono all’orbita circolare

iniziale. Essendo T1 = 2π r1 /v1 = 5663 s, si trova T = 6292 s. Il tempo di tra-sferimento è quindi (6292 /2) s = 3146 s (52,4 min).

33 (a) Nel passaggio dalla Terra all’infinito c’è una perdita di energia cinetica pari all’energia cinetica di fuga: perciò l’energia cinetica iniziale dev’essere il doppio dell’energia cinetica di fuga, il che significa che la velocità di lancio è v = 2 vF = 1,41 vF .

(b) L’energia cinetica di lancio è per ipotesi il quadruplo dell’energia cinetica di fuga. L’energia cinetica all’infinito è allora il triplo dell’energia cinetica di fuga, il che significa che la velocità all’infinito è v = 3 vF = 1,73 vF .

(c) Teorema dell’energia cinetica: )11(2

)2

(2 T

2F2F

RrMmGmvvm

−+= , da cui

(tenuto conto che 2Fv = 2GM /R T) si ottiene r = 4R T .


CAPITOLO 12 − DINAMICA RELATIVA I problemi di questo capitolo sono tutti riportati nel sito alla sezione “Indice del libro e pa-gine dimostrative”. Il testo di alcuni di tali problemi, corredato di risposta, è riproposto qui di seguito.

1 [R] (a) Si spieghi quale peso viene attribuito da una bilancia, internamente a un montacarichi che viaggia verso il basso con velocità costante 3 m/s, a un bloc-co di massa 72 kg. (b) Che cosa segnerebbe la bilancia se il montacarichi avesse accelerazione (1/8) m/s2 verso l’alto? (c) E se l’accelerazione avesse lo stesso valore ma fosse diretta verso il basso? (d) In quale eventualità la bilancia segnerebbe 96 kg? (e) In quale eventualità la bilancia segnerebbe zero? ( f ) Come si comporterebbe in quest’ultimo caso la pallina di un pendolo? (g) È teoricamente possibile che nel riferimento del montacarichi il peso risulti diretto verso l’alto?

3 * [R] La fig. 17 vuole rappresentare una vaschetta piena d’acqua che scivola senza incontrare attrito lungo un piano inclinato. Si chiarisca se, per quanto riguarda la superficie libera del liquido, la situazione è stata rappresentata in modo corretto.

7 * [R] Il blocchetto K , di massa m, appoggia senza attrito sul cuneo C (fig. 18). Sapendo che C è animato da moto rettilineo unifor-memente vario in direzione orizzontale, si descriva il moto di K, e si chiarisca se la for-za orizzontale F

r applicata al cuneo C è co-

stante.

8 * [R] Come sopra, ma si supponga questa volta che il cuneo C, di massa M, possa scivolare senza attrito sul piano orizzontale, e che le uniche forze esterne applicate al sistema cuneo + blocchetto siano le forze gravitazionali e la rea-zione del piano d’appoggio. Posto che entrambi i corpi abbiano inizialmente velocità zero, determinare la velocità del cuneo in funzione dello spostamento verticale del blocchetto.

Fig. 17

K

C Fr

Fig. 18


SOLUZIONI

1 (a) 72 kg. Le forze apparenti sono entrambe zero, il peso indicato dalla bilancia coincide col peso effettivo. Dal punto di vista dell’osservatore fisso (inerziale) la somma delle forze sul blocco deve essere zero: 72 kg verso il basso (il peso), 72 kg verso l’alto (la reazione proveniente dalla bilancia). (b) La forza apparente di trascinamento ( amr

− ) sarebbe (72/8) kg = 9 kg ver-so il basso, il peso apparente sarebbe (72 + 9) kg = 81 kg. Dal punto di vista dell’osservatore fisso, 81 kg verso l’alto sono la forza che occorre venga eserci-tata sul blocco dalla bilancia affinché il blocco sia complessivamente soggetto a una forza pari a 1/8 del peso, diretta verso l’alto. (c) La somma del peso effettivo e della forza apparente di trascinamento (9 kg verso l’alto) dà 63 kg: è l’indicazione della bilancia (peso apparente). (d) Quando la forza apparente di trascinamento fosse 24 kg (un terzo del peso) verso il basso, e cioè l’accelerazione del montacarichi (e del blocco) fosse g /3 verso l’alto. Sul blocco agirebbe in tal caso una forza complessiva pari a un terzo del peso (24 kg) verso l’alto. (e) Quando la forza di trascinamento fosse uguale e contraria al peso, quando cioè il montacarichi avesse accelerazione g verso il basso (caduta libera). ( f ) Come se la gravità fosse annullata: resterebbe solo la forza proveniente dal filo, perpendicolare alla velocità della pallina. La velocità della pallina manter-rebbe sempre lo stesso valore, e la pallina si muoverebbe nel piano originario di oscillazione mantenendosi sempre alla stessa distanza dal punto di sospen-sione: moto circolare uniforme. (g) Il peso apparente è diretto verso l’alto quando la forza di trascinamento è diretta verso l’alto ed è più grande del peso: questo accade se l’accelerazione del montacarichi è diretta verso il basso con valore superiore a g .

3 Sì, la figura è corretta. La vaschetta scivola con ac-celerazione g senϕ diretta parallelamente al piano d’appoggio verso il basso. La superficie libera del liquido (che ha massa m) si dispone perpendicolar-mente al peso apparente ='gmr gmr

− amr , dove ar (accelerazione di trascinamento) è l’accelerazione della vaschetta. Il fatto che sia a = g senϕ signifi-ca (fig.1) che il peso apparente 'gmr è perpendi-colare al piano inclinato: il quale risulta dunque parallelo alla superficie del liquido. Se ci fosse attrito, l’accelerazione della vaschetta sarebbe a ' < g senϕ , l’accelerazione 'gr formereb-be col piano inclinato un angolo minore di 90°, la superficie libera del liquido non risulterebbe più parallela al piano inclinato (fig. 2).

gmr

amr

−

'gmr

ϕ ϕ

Fig. 1

'gmr

gmr

amr

− Fig. 2


7 Le forze agenti su K sono il peso Pr

e la rea-zione del vincolo ,V

rdella quale sappiamo a

priori che, per l’assenza di attrito, è perpendi-colare al piano inclinato. L’accelerazione di K nel riferimento fisso è allora

[A] ar = mVgm

VPr

rrr

+=+ .

Sappiamo però anche che, se Ar

è l’ac-celerazione del cuneo (accelerazione di tra-scinamento) e 'ar l’accelerazione di K rispet-to al cuneo, è [B] ar = A

r + 'ar

dove di 'ar si sa a priori che è parallela al pia-no inclinato. Come la fig. 5 chiarisce, l’in-sieme della [A] e della [B] determina in modo univoco sia 'ar , sia ar , sia mV /

r

(e quindi la reazione del vincolo). L’accelerazione relativa è a ' = g senϕ − − A cosϕ , l’accelerazione assoluta ha componente orizzontale ax = A + a ' cosϕ e componente verticale ay = = a ' senϕ . Tutti i valori trovati sono costanti nel tempo. Il moto relativo, in cui la velocità è parallela all’accelerazione, è quindi rettilineo uniformemente vario (la velocità varia linearmente nel tempo); il mo-to assoluto è uniformemente accelerato (vettore ar costante) con traiettoria pa-rabolica e asse della parabola parallelo ad ar (se però, nel momento in cui il cuneo comincia ad accelerare, la velocità assoluta di K è zero o è parallela ad ar , il moto assoluto di K è rettilineo e uniformemente vario). Essendo costante in valore e direzione la forza V

r− del blocchetto sul cuneo, il moto di que-

st’ultimo (uniformemente vario per ipotesi) richiede che anche la forza oriz-zontale esterna ad esso applicata sia costante. Casi particolari. Se, a partire dalla situazione rappresentata in fig. 5, l’accelera-zione A

r del cuneo aumenta, a ' diminuisce gradualmente fino ad annullarsi

(moto relativo uniforme) per A = g tgϕ , mentre la reazione Vr

diventa via via più grande. Se A

r continua a crescere, a un certo punto 'ar cambia direzione

(l’espressione g senϕ − A cosϕ di a ' diventa negativa) e diventa a sua volta (come )/mV

r sempre più grande. Se A

r si annulla, ar ha valore g senϕ e coin-

cide con 'ar (il cuneo si muove di moto traslatorio, rettilineo e uniforme rispet-to al riferimento fisso, quindi nei due riferimenti l’accelerazione è la stessa). Se Ar

cambia direzione e diventa sempre più grande, 'ar è diretta nel senso della discesa e diventa a sua volta sempre più grande, mentre la direzione di ar si approssima alla verticale e la reazione V

r diventa sempre più piccola. Per A =

gr

ar

mV /r

'ar

Ar

n ϕ

ϕ

ϕ

Fig. 5


= g / tgϕ la reazione Vr

si annulla e ar coincide con l’accelerazione di gravità. Se A

r cresce ulteriormente V

r dovrebbe assumere il carattere di una forza di ri-

chiamo verso il piano inclinato: ma se il blocchetto è semplicemente appoggia-to ciò che in realtà si verifica è il suo distacco dal cuneo, e quindi la sua caduta con accelerazione .gr

8 Dato che, per l’assenza di attrito tra cuneo e piano d’appoggio, nessuna forza esterna agisce sul sistema in direzione orizzontale, il centro di massa del siste-ma non subisce spostamenti orizzontali: il cuneo si sposta perciò verso sinistra con velocità V

r e il blocchetto verso destra con velocità xvr tale che

[A] M V = mvx . Se vr è la velocità del blocchetto e h il suo spostamento ver-ticale, per il teorema dell’energia cinetica risulta

[B] 22

22 vmVM+ = mgh. Il lavoro complessivo delle forze interne è zero: la

forza del blocchetto sul cuneo, perpendicolare al piano inclinato per l’assenza di attrito, compie il lavoro positivo che produce l’energia cinetica acquisita dal cuneo (lo spostamento del cuneo nella direzione della normale al piano inclina-to è equiverso alla forza); la forza del cuneo sul blocchetto compie un lavoro uguale e contrario (sottraendo al blocchetto parte dell’energia cinetica prodotta dal lavoro del peso) perché, mantenendosi il blocchetto a contatto del cuneo, il suo spostamento nella direzione della perpendicolare al piano inclinato è iden-tico a quello del cuneo. La velocità vr del blocchetto (fig. 6) può esprimersi sia come yx vv rr

+ , sia anche come somma del velocità 'vr relativa con la velocità V

r di trascinamento:

[C] Vvvvv yxrrrrr

+=+= ' . Essendo 'vr parallela al piano inclinato, risulta

[D] ϕtg=+ Vvv

x

y . Tenuto conto della [A], della [C] e della [D], la [B] diven-

ta [ ] =++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=++ 2

22222

tg)(222222

ϕVvmmVMmVMmvmvVM

xyx mgh,

da cui )()(

cos22

22

ϕϕsenmMMm

hgmV++

= .

xvr

yvr

'vr v

r

Vr

ϕ

Fig. 6


CAPITOLO 13 − DINAMICA ROTAZIONALE I problemi di questo capitolo sono tutti riportati nel sito alla sezione “Indice del libro e pa-gine dimostrative”. Il testo di alcuni di tali problemi, corredato di risposta, è riproposto qui di seguito.

3 Un punto K di massa m si muove di moto circolare uniforme con velocità v attorno al punto O . Se, per effetto di una forza F

r sempre diretta verso O , il

raggio della circonferenza viene dimezzato, come varia il periodo del moto? quale lavoro ha compiuto F

r?

6 Supponiamo che a un dato istante la forza con la quale il Sole attira un pianeta cessi di agire. Che accadrebbe da tale istante della velocità areale del pianeta rispetto al Sole? Si assuma che sul pianeta non agisca più alcuna forza.

7 Il punto materiale K viene lanciato con velocità orizzontale 0vr lungo la parete interna di un con-tenitore emisferico di centro O e raggio R (fig.5), in assenza di ogni attrito. Sapendo che inizial-mente il vettore OK forma con la verticale un angolo ϕ 0 , (a) si trovi per quale valore della velocità iniziale K si manterrebbe indefinitamente alla stessa al-tezza; (b) si determini quale valore minimo è necessario per la velocità iniziale se si vuole che K possa raggiungere il livello di O.

11 [R] Che differenza c’è, dal punto di vista del momento angolare rispetto all’asse di rota-zione, tra le due situazioni illustrate nella fi-gura a lato (fig. 10)? In A un cilindro omoge-neo di raggio R sta ruotando con velocità an-golare ω costante attorno a un asse z fisso (rappresentato in figura dal punto Z), cosic-ché ogni punto dell’asse del cilindro si muo-ve di moto circolare uniforme con velocità ωR attorno a z. In B un cilindro uguale al precedente sta rotolando senza stri-sciare, con velocità angolare ω, lungo un piano orizzontale, quindi l’asse z di rotazione (che è la linea di contatto) continua a cambiare posizione.

ϕ 0

K

O

Fig. 5

R

Z

Situazione A Situazione B

Fig. 10


12 Un sistema rigido, costituito da due sfere identiche collegate con un’asta sottile, ruota attorno a un asse z. Sia P il punto di intersezione tra z e l’asta di collega-mento: si spieghi se per qualcuna delle quattro situazioni illustrate in fig.11 il momento angolare assiale zL

rcoincide col momento angolare rispetto a P.

16 * [R]Quando la velocità del centro di massa è zero, il momento angolare di un si-stema è uguale rispetto a qualsiasi polo, ma il momento complessivo delle forze è in generale diverso a seconda del polo prescelto [12]. Come mai allora, quando è vCM = 0, la tL d/d

rr=τ può essere applicata scegliendo come polo un punto qualsi-

asi?

18 * Le tabelle seguenti danno, in termini di componenti cartesiane ortogonali, le posizioni e le velocità di due particelle A e B all’istante 1 e all’istante 2. Si chiarisca se sulla base di questi dati è possibile escludere che il sistema delle due particelle sia isolato, e se è lecito ipotizzare che le forze interne siano con-servative.

t (s) xA (cm) yA (cm) zA (cm) vA x (cm/s) vA y (cm/s) vA z (cm/s) 1 0 0 0 0 10 0 2 1 1 0 10 −20 0

t (s) xB (cm) yB (cm) zB (cm) vB x (cm/s) vB y (cm/s) vB z (cm/s)

1 5 0 0 0 −40 0 2 1 −4 0 −40 80 0

23 * [R] Si applichi il teorema del momento ango-

lare per calcolare l’accelerazione dei blocchi del sistema mostrato in fig. 34. Si assuma che non ci siano attriti e che sia trascurabile la massa dei fili e delle carrucole. Il problema era già stato risolto al capitolo 9 (domanda 26, pag.154) in applicazione delle leggi di Newton.

12 Pro memoria: il momento di un sistema di forze è uguale per qualsiasi polo solo quando la som-ma delle forze è zero, nel qual caso è necessariamente zero anche l’accelerazione (non la velocità) del centro di massa.

Fig. 11 A

z

B

z

C

z

D

z

m '

m"

Fig. 34


27 Il cilindro omogeneo 1 (fig. 36), che può girare senza attrito attorno al proprio asse geometrico, è inizialmente immobile. Un cilindro omogeneo coassiale 2, che ruota senza attrito per inerzia con velocità angolare ω , cade a un certo mo-mento sul disco 1 e, per effetto dell’attrito tra le due superfici a contatto, lo trascina in rotazione. Si trovi la velocità angolare finale del sistema.

29 [R] Con riferimento alla domanda precedente, si supponga ora che tra cilindro e piano inclinato non ci sia alcun attrito. Applicando la τ = Jα al-l’asse del cilindro, rispetto al quale (fig. 37) sia il peso che la reazione del vincolo hanno momento zero, si ottiene α = 0, il che corrisponde a un moto di discesa con velocità angolare sempre uguale (se il cilindro è inizialmente immobile, con velocità angolare sempre uguale a zero). Se però applichiamo la τ = Jα alla retta di contatto, si ottiene α ≠ 0, perché rispetto a tale retta il peso ha momento diverso da zero. Per quale ragione dobbiamo accettare il primo risultato (α = 0) e non invece il secondo (α ≠ 0)?

34 Il blocco A (fig.38) scivola senza attrito su un piano orizzontale, trascinato da un filo che scorre nella gola di una puleggia e sostiene all’altra estremità il blocco B. Fatta l’ipotesi che l’attrito impedisca al filo di scivolare sul-la puleggia, la quale quindi è costretta a ruo-tare, si calcoli con quale forza il blocco B tira il filo verso il basso. Si assuma che la carru-cola sia schematizzabile come disco omoge-neo e che il suo moto di rotazione non sia contrastato da alcun attrito.

37 * [R] La fig. 39 rappresenta un cilindro omo-geneo di raggio R sul quale è avvolto in sen-so orario un nastro. Il cilindro è posto su un piano orizzontale, e il nastro viene tirato da una forza orizzontale F

r come in figura. Con-

siderando sia il caso di completa assenza di attrito che il caso di attrito abbastanza grande da determinare un moto di puro rotolamento, si individui la posizione dell’asse di rotazio-ne e si determini l’accelerazione dell’asse del cilindro.

Vr

Pr

Fig. 37

A

B

Fig. 38

Fr

Fig. 39

1

2

Fig. 36


42 Sulle due carrucole − una fissa, l’altra libera − rap-presentate in fig. 42, entrambe schematizzabili co-me dischi omogenei di massa M e raggio R , è av-volta una corda di massa trascurabile. Determinare quale forza sostiene la carrucola superiore.

45 [R] Un carrello e una sfera vengono lasciati scen-dere lungo un piano inclinato: chi dei due impie-gherà meno tempo ad arrivare in fondo? Si supponga che la sfera e le ruote del carrello rotolino senza strisciare. Si schematizzino le ruote del carrello sia come dischi omogenei di massa m e raggio R sia, in alternativa, come anelli di raggio R in cui la massa m si trova tutta a distanza R dal centro.

SOLUZIONI

11 Nessuna differenza: in entrambi i casi il momento angolare rispetto all’asse di rotazione è Lz = Jzω , con lo stesso momento d’inerzia e con la stessa velocità angolare. Si noti: la situazione A e la B sono del tutto equivalenti per quanto ri-guarda le velocità dei singoli punti del sistema all’istante considerato, ma non immediatamente prima o immediatamente dopo. Conseguentemente, dal punto di vista delle accelerazioni la situazione A è ben diversa dalla situazione B (ve-di risposta 15, pag. 348).

16 Se la velocità del CM è zero all’istante che si considera, ma è diversa da zero subito prima e subito dopo, il momento angolare è uguale per qualsiasi polo al-l’istante che si considera, ma non prima e non dopo, perciò è diversa da zero la sua evoluzione nel tempo, e quindi la sua derivata temporale. Se invece la ve-locità del CM è uguale a zero anche subito prima e subito dopo l’istante consi-derato, è indipendente dal polo sia il momento angolare che la sua derivata temporale: all’istante considerato risulta però uguale a zero anche l’accelera-zione del CM, il che significa che è zero la somma delle forze, per cui anche il momento complessivo delle forze risulta uguale per qualsiasi polo.

23 Si consideri la fig. 8: se assumiamo come «si-stema» l’insieme blocchi + fili + carrucole, le forze esterne sono la trazione verticale T del ter-reno sul filo, i pesi m 'g ed m"g dei due blocchi, la reazione del piano su cui appoggia m ', la rea-zione del perno sulla carrucola fissa. Tenuto pre-sente che la velocità e l’accelerazione del blocco sospeso sono il doppio della velocità v e dell’ac-celerazione a dell’altro blocco (vedi risposta 26 a pag.365), e assunto come polo il centro della carrucola fissa, per il teorema del momento an-

Fig. 42

2v

v

m '

m" T

2T

2T

Fig. 8

T


golare sarà – (R 2 – R 1 ) + m"g (R 1+ R 2) = [m 'vR 1 + m2v (R 1+R 2)]/ dt. Tenuto conto che è 2T = m 'a , si ottiene a = 2m"g / (4m" + m ').

29 (a) La τ = Jα vale esclusivamente per rotazioni attorno ad assi a direzione fis-sa (e solo se il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione è costante), e può sempre essere riferita, oltre che all’asse di rotazione, anche a un asse paral-lelo passante dal centro di massa, ma non ad altri assi : nel nostro caso, può es-sere senz’altro riferita all’asse del cilindro, che passa dal CM ed è sicuramente parallelo all’asse di un’eventuale moto di rotazione. Il fatto che in tal modo si ottenga α = 0, chiarisce che, se il cilindro è inizialmente immobile, il suo moto di discesa è un moto di pura traslazione (che potremmo descrivere come una rotazione attorno a un asse posto a distanza infinita dal cilindro nel piano con-tenente l’asse del cilindro e la retta di contatto). La τ = Jα non può quindi es-sere riferita alla retta di contatto. Un altro modo di rendersi conto che deve effettivamente essere α = 0 è quello di considerare che la tL d/d

rr=τ può sempre essere riferita al centro di massa

del sistema: dato che, nel nostro caso, rispetto a tale punto il momento delle forze esterne è zero, il momento angolare rispetto al CM non può subire varia-zioni, e quindi non può subire variazioni la velocità angolare del cilindro.

37 Se non c’è attrito, l’accelerazione del CM del disco (e quindi del suo asse geo-metrico) è a = = F /M , ma è anche a = αR , do-ve l’accelerazione angolare α può essere calco-lata come rapporto τ /J tra momento delle forze e momento d’inerzia del disco, entrambi valutati rispetto all’asse geometrico (dato che passa dal CM ed è parallelo all’asse di rotazione, il quale si sposta mantenendo una direzione costante). L’asse di rotazione è sicuramente nel piano ver-ticale che contiene l’asse geometrico, dato che la velocità di un qualsiasi punto P del disco posto in tale piano è orizzontale. Essendo poi il moto del disco descrivibile come una traslazione orizzontale con la velocità dell’asse geometrico + una rotazione oraria attorno all’asse geometrico, è chiaro che la velocità di un punto come B (fig. 16) è superiore alla velocità del centro C, il che (potendosi esprimere la velocità di qualsiasi punto del cilindro come pro-dotto della velocità angolare ω per la distanza dall’asse di rotazione) significa che B è più lontano di C dall’asse di rotazione: dunque, l’asse di rotazione si trova al di sotto dell’asse geometrico. Sia h la distanza tra i due assi. Allora ri-spetto all’asse geometrico il momento delle forze è τ = FR , e il momento d’inerzia del disco è mR 2/2. Pertanto

RMhFh

RMRFh

Jh

MFa 2

2/2 =====τα

da cui segue subito h = R /2.

Fr

h

B

C

Fig. 16


I punti del disco che a un dato istante si trovano nel piano verticale contenente l’asse geometrico hanno quindi velocità verso destra se distano dal piano d’ap-poggio più di R /2, altrimenti hanno velocità verso sinistra. In caso invece di rotolamento senza strisciamento l’asse di rotazione è la linea di contatto. L’accelerazione del CM del disco è a = (F + A) /M , essendo A il modulo della forza d’attrito radente A

r, la quale è sicuramente equiversa a F

r

per il fatto che contrasta lo scivolamento all’indietro (verso sinistra) dei punti del disco che toccano il piano d’appoggio. La presenza di attrito determina quindi, in questo specifico caso, una maggiore accelerazione del CM. Il modu-lo A si ricava tenendo presente che l’accelerazione a = (F + A) /M del CM è anche espressa da αR , con α = τ /J = (F− A )R / (MR2/2) (momento delle forze e momento d’inerzia sono stati riferiti all’asse del cilindro). Allora a = = (F + A ) /M = αR = 2(F −A) /M , da cui A = F /3.

45 L’accelerazione della sfera ci è già nota: a = (5/7) g senϕ (vedi risposta 34, pag. 387), dove ϕ è l’angolo formato dal piano inclinato col piano orizzontale. Per trovare l’accelerazione del carrello applichiamo il teorema dell’energia ci-netica: se M è la massa di tutto il carrello, ruote comprese, e m la massa di una ruota, per uno spostamento L del carrello dalla posizione iniziale il lavoro delle forze gravitazionali (le sole che lavorano) è W = MgLsenϕ . La velocità del carrello passa nel frattempo da zero a v , e l’energia cinetica da zero a Mv2/2 + + 4(J0ω 2/2): il primo termine contiene tutta l’energia cinetica di traslazione, ruote incluse, il secondo termine (nel quale J0 = mR2/2 è il momento d’inerzia di una ruota rispetto al suo asse geometrico) è l’energia cinetica associata alla rotazione delle quattro ruote. Tenuto conto che ω 2R2 = v2 si ottiene che l’energia cinetica è (M + 2m) v2/2. Uguagliando l’energia cinetica acquisita al

lavoro W si ricava v = ϕsen22 LgmMM+

. Dato che l’unica variabile sotto

radice è la lunghezza del percorso effettuato, riconosciamo qui che la velocità è legata alla posizione nel modo tipico del moto uniformemente vario (accelera-zione scalare costante), nel quale è v = ,2 La dove L è la distanza percorsa a partire dalla posizione in cui è v = 0. L’accelerazione del carrello è quindi a = Mg senϕ / (M +2m), più grande o più piccola dell’accelerazione (5/7) g senϕ della sfera a seconda del valore del rapporto tra massa m di una ruota e massa complessiva M. Chia-ramente la massa m di una ruota ha come limite inferiore zero, e come limite superiore M /4. Quando M / (M +2m) = 5/7 (m = M /5), le due accelerazioni sono uguali. Se m diminuisce e tende a zero, l’accelerazione del carrello au-menta e tende a g senϕ , che è l’accelerazione di un blocco che scivola senza at-trito. Se invece m aumenta e tende a M /4, l’accelerazione del carrello diminui-sce rispetto a quella della sfera e tende a (2/3) g senϕ , che è l’accelerazione di un disco omogeneo che rotola senza strisciare. Si noti che i due valori limite


dell’accelerazione del carrello potevano essere previsti a priori, senza dover passare attraverso l’espressione generale dell’accelerazione. Schematizzando invece le ruote come anelli (J0 = mR2) si trova a = Mg senϕ / (M + 4m). Quando m varia da zero a M /4 l’accelerazione diminuisce da g senϕ a 0,5 g senϕ . Per m = 0,1 M l’accelerazione è uguale a quella della sfera.


CAPITOLO 14 − URTI 1 In caso di urto tra due corpi, la quantità di moto si conserva solo se il sistema

dei due corpi è isolato, e cioè non è soggetto a forza esterne (vero / falso). 3 Un blocco, fermo sul pavimento, viene colpito da una pietra la cui velocità ha

sia un componente orizzontale che un componente verticale diretto verso il basso. Possiamo ritenere che, in totale assenza di attrito tra blocco e pavimento, la quantità di moto del sistema pietra + blocco si conservi nell’urto?

8 [R] In un’esperienza di laboratorio, due carrelli sono stati lanciati nella stessa direzione sullo stesso binario: prima il carrello A, subito dopo, con velocità su-periore, il carrello B, che dopo aver raggiunto A dovrebbe, nel programma del-l’esperienza, restare agganciato ad esso. Sapendo che i due carrelli hanno ugua-le massa m = 2,00 kg, che immediatamente prima dell’urto le velocità sono ri-spettivamente vA = 0,30 m/s e vB = 1,00 m/s, e che subito dopo l’urto l’ener-gia cinetica complessiva del sistema è 0,950 J, stabilire se i due carrelli sono ef-fettivamente rimasti attaccati l’uno all’altro. Si consideri ininfluente, ai fini del-la risposta, l’attrito radente sulle ruote dei carrelli.

9 * [R] Si dimostri che, in caso di urto elastico di due corpi che costituiscono un sistema isolato, la velocità con cui un corpo si avvicina al centro di massa del sistema prima dell’urto è uguale alla velocità con cui se ne allontana dopo l’urto.

10 * In un parco giochi, una piattaforma girevole di raggio R si trova inizialmente in quiete. A un tratto, un bambino che corre lungo una retta tangente alla piatta-forma salta sul suo bordo, cosicché piattaforma e bambino entrano assieme in rotazione. Posto che nessun attrito contrasti tale movimento di rotazione, si chiarisca: (a) in quanto tempo il sistema compie un giro completo in assenza di attriti, (b) che cosa accade, con l’urto, della quantità di moto del sistema, (c) che cosa accade dell’energia, (d) a quale forza è sottoposta, durante la rotazione, la sbarra verticale su cui la piattaforma è imperniata.

12 * [R] Si consideri una massa gassosa confinata entro un recipiente cilindrico chiuso superiormente da un pistone mobile, e si studi come varia la velocità di una molecola a seguito di un urto elastico contro il pistone.

13 *Una sferetta di massa M è fissata, come in fig.5, all’estremo inferiore di un’asta rigida verticale, di lun-ghezza L e massa trascurabile, vincolata all’altro estre-mo a un perno P attorno al quale può ruotare senza attri-to. Si calcoli con quale ampiezza angolare il sistema o-scilla dopo che l’asta, inizialmente immobile, viene ur-tata in modo totalmente anelastico a metà della sua al-

P

vr m

M

Fig. 5


tezza da un corpo puntiforme K di massa m = M /2 in moto con velocità oriz-zontale vr . Si chiarisca inoltre se rispetto al CM il momento angolare si conser-va, e si valuti in che modo l’urto influisce sull’energia cinetica e sulla quantità di moto del sistema.

SOLUZIONI

8 Se i carrelli restassero uniti, procederebbero dopo l’urto con la velocità V del centro di massa del sistema, che (nell’ipotesi di poter trascurare l’attrito radente, che interviene a modificare la velocità di rotazione delle ruote) sarebbe rimasta invariata nell’urto e sarebbe quindi uguale a (mvA + mvB) /2m = 0,65 m/s. L’energia cinetica del sistema sarebbe in tal caso 2mV 2/2 = 0,845 J, inferiore a quella effettiva: l’urto pertanto è solo parzialmente anelastico, dopo l’urto i due carrelli si allontanano uno dall’altro (cosicché, oltre all’energia cinetica as-sociata al moto del centro di massa, il sistema possiede energia cinetica anche nel riferimento del CM).

9 Il sistema dei due corpi A e B che si urtano è per ipotesi isolato, quindi il centro di massa si muove rispetto ad ogni osservatore inerziale di moto rettilineo uni-forme, e il riferimento del CM è inerziale. In tale riferimento la quantità di mo-to del sistema è zero sia prima che dopo l’urto: BA pp rr

+ = Ap'r + Bp'r = 0. Ciò sta ad indicare che, nel riferimento del CM, sia prima che dopo l’urto la quanti-tà di moto di A è uguale in modulo a quella di B : pA = pB , p 'A = p 'B . Ma l’urto è elastico, quindi l’energia cinetica finale ha lo stesso valore di quella iniziale: essendo EC = mv2/2 = m2v2/2m = p2/2m , possiamo scrivere

ECin = )2

12

1(22

222

BAA

B

B

A

A

mmp

mp

mp

+=+ = ECfin = )2

12

1(' 2

BAA mm

p + .

Ciò significa che Apr e p 'A hanno modulo uguale, e che quindi, come si voleva dimostrare, nel riferimento del CM hanno modulo uguale Avr e vr 'A .

12 Il fatto che la massa della molecola sia trascurabile rispetto a quella del pistone si traduce nel fatto che il centro di massa del sistema molecola + pistone si identifica in pratica col centro di massa del pistone, e che la velocità del pistone non viene in pratica modificata dall’urto.

Supponiamo dapprima che il pistone sia immobile: in tal caso la conservazione dell’energia cinetica (urto elastico) implica che la molecola rimbalzi indietro con velocità di uguale valore. Se la velocità iniziale della molecola ha un componente orizzontale, dato che nes-suna forza orizzontale agisce nell’urto sulla molecola tale componente deve rimanere invariato, quindi la velocità finale 'vr della molecola (fig. 2) forma con la verticale un angolo uguale a quello formato dalla ve-

Fig. 2

vr

'vr


locità iniziale vr . Supponiamo poi che il pistone abbia velocità V

r verso l’alto, e che la molecola

abbia inizialmente velocità verticale yvr . Dato che la velocità yvr − Vr

di avvici-

namento della molecola al pistone prima dell’urto e la velocità vr 'y − Vr

di al-lontanamento dopo l’urto hanno modulo uguale (vedi risposta 9), risulta yvr − V

r= − ( vr 'y − V

r), vale a dire

yvr + vr 'y = 2 ,Vr

relazione illustrata, con riferimento sia al caso vy < 2V che al caso vy > 2V , in fig.3. Si noti che il modulo di vr 'y è sempre minore di quello di yvr : urtando contro una parete che viaggia nella stessa di-rezione, la molecola perde sempre velocità (come del tutto ovvio se si considera che durante l’urto la forza che il pistone esercita sulla molecola compie lavoro resistente), anche se non è detto che la velocità cambi direzione. Il componente orizzontale della velocità re-sta invece invariato come nel caso precedente, il che implica che dopo l’urto è più grande (fig. 4) l’angolo formato dalla velocità della molecola con la normale (al limite, se fosse yvr = 2V

r risulterebbe | vr 'y | = 0, e

quindi della velocità della molecola resterebbe solo il componente orizzontale vr 'x = xvr ).

Supponiamo infine che il pistone abbia velocità Vr

verso il basso. In questo ca-so la molecola acquista velocità sia che viaggi verso l’alto, sia che viaggi verso il basso (con velocità ovviamente inferiore a quella del pistone, altrimenti non c’è urto), come richiesto, oltre che dal fatto che è positivo il lavoro della forza proveniente dal pistone, anche dalla relazione yvr + vr 'y = 2V

r, e come mostrato

in fig.5. Anche in questo caso il componente orizzontale della velocità della molecola resta invariato, perciò la molecola si allontana dal pistone (fig.6) con una velocità che forma questa volta con la normale un angolo inferiore all’an-golo di impatto.

'vr v

r Vr

Fig. 4

yv 'r

yvr

Vr

Vr

2 yv '

r

yvr

Fig. 3

yv 'r

yvr

yv 'r

yvr

Vr

2

Vr

Fig. 5 Fig. 6

vr

Vr

'vr


CAPITOLO 14 − OSCILLAZIONI

1 Si vuole far oscillare liberamente, in assenza di attrito, una massa m = 50 g con frequenza 3 Hz tramite una molla ideale. Quale valore deve avere la costante elastica k della molla?

2 Qual è, nel Sistema Internazionale, l’unità di misura per la costante b di pro-porzionalità tra forza di attrito e velocità?

3 Nel diagramma orario di un’oscillazione armonica smorzata (fig. 2), tra due zeri consecutivi della distanza x la curva è un arco di sinusoide (vero / falso).

4 [R] In caso di oscillazione smorzata, è costante il rapporto tra le ampiezze di due oscillazioni successive (vero / falso).

5 [R] Una massa di 400 g oscilla sotto l’azione di una forza elastica di costante k = = 300 N/m e di una forza di attrito proporzionale alla velocità. (a) Posto che la costante di proporzionalità b abbia valore 5 kg/s, si determini la frequenza di oscillazione. (b) Si trovi quale valore assume la costante b in caso di smorzamento critico.

6 [R] Per aumentare l’ampiezza di oscillazione di un’altalena occorre imprimere una successione di impulsi in sincronismo col movimento dell’altalena. Perché gli impulsi non possono avere una frequenza diversa? Non dovrebbe, un siste-ma oscillante, assumere la frequenza della forza impressa?


SOLUZIONI

4 Vero. Supponiamo che all’istante t ' si verifichi un massimo della distanza x, e quindi dopo un tempo pari al periodo T si verifichi il massimo successivo. Le rispettive ampiezze sono Ae− (b / 2 m) t ' e Ae− (b / 2 m) ( t '+ T ). Il rapporto tra la prima e la seconda ampiezza è uguale a e(b / 2 m) T , costante nel tempo.

5 (a) È f ' = ω ' / 2π, con 2

2' ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

mb

mkω . Pertanto

Hz 4,24Hz4,02

54,0

300π2

1'2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−=f .

(b) Per b = mk2 = 4,03002 × kg/s = 21,9 kg/s.

6 La discussione del paragrafo 15.3 fa riferimento al caso particolare di un oscil-latore armonico eccitato da una forza sinusoidale. Il pendolo (l’altalena) è un oscillatore armonico solo per piccolissime ampiezze di oscillazione. Soprattut-to, una successione di impulsi staccati l’uno dall’altro è cosa molto diversa dal-l’impulso di una forza sinusoidale.


CAPITOLO 16 − DINAMICA DEI FLUIDI

6 Un tubo di diametro 1,6 cm è completamente pieno d’acqua che scorre alla ve-locità di circa 50 cm/s. Sapendo che la temperatura dell’acqua si aggira sui 20 °C, e che a tale temperatura il suo coefficiente di viscosità è di circa 1 cP, possiamo aspettarci che il moto sia regolare?

8 [R] Un condotto cilindrico orizzontale è pieno di un fluido ideale che scorre con velocità 2 m/s. Che variazione subisce la pressione lungo l’asse del con-dotto se a un certo punto il diametro della sezione trasversale si riduce per un fattore 1,4? Si consideri regolare il moto del fluido.

10 Esiste una stretta correlazione tra viscosità e tensione superficiale: più un flui-do è viscoso, più grande è la sua tensione superficiale (vero / falso).

12 [R] Dovendo innaffiare il giardino, possiamo scegliere tra due tubi di gomma. Sapendo che il tubo A possiede, rispetto al tubo B, lunghezza doppia e diametro doppio, si spieghi quale dei due conviene scegliere se ciò che interessa è eroga-re una stessa quantità d’acqua nel minor tempo possibile.

14 * [R] Nel condotto mostrato in fig.14 il dia-metro della sezione trasversale più grande è 6 cm, quello della sezione più piccola è 3 cm. Sapendo che il condotto è pieno di acqua che fluisce con una portata di 1,6 l/s , si determi-ni la differenza di altezza tra le due colonne di mercurio contenute nel tubo a U.

15 Una fila verticale di fori è stata predisposta lungo tutta la parete laterale di un serbatoio. Supponiamo che il serbatoio contenga liquido fino a un’altezza H, e che i fori vengano aperti tutti contemporaneamente: da quale di essi fuoriesce lo zampillo che cadrà sul terreno a maggior distanza dal serbatoio?

17 [R] (a) Quale sarebbe la risposta al preceden-te quesito se, prima di sgorgare all’aperto, l’acqua dovesse percorrere (vedi fig. 15) un tubicino orizzontale fissato al serbatoio, dello stesso diametro del foro? Si schematizzi l’ac-qua come liquido ideale. (b) * Se, per un dato livello h nel serbatoio, la velocità di uscita dal tubicino ha, nell’ipo-tesi di viscosità zero, un certo valore, quale livello h ' dovrebbe esserci per avere la stessa velocità di uscita nonostante la viscosità?

19 A quale valore si stabilizza, in base alla legge di Stokes, la velocità di un bolla d’aria che risale verso la superficie in acqua a 20 °C ?

Fig. 15

Fig. 14

mercurio

h1 h2


20 * [R] Si trovi un’espressione per la distribuzione di velocità nella sezione di un condotto cilindrico orizzontale pieno di un liquido in moto stazionario.

SOLUZIONI

8 Per il teorema di Bernoulli si mantiene costante lungo ogni linea di corrente la somma dell’altezza geometrica y, dell’altezza piezometrica p /γ e dell’altezza cinetica v2/2g. L’altezza geometrica y resta per ipotesi invariata. Riducendo il diametro per un fattore 1,4 diventa 1,42 = 1,96 volte più piccola l’area della se-zione trasversale, perciò deve aumentare di 1,96 volte la velocità. Se quindi denotiamo col pedice 1 la sezione originaria e col pedice 2 la sezione ridotta, per il teorema di Bernoulli possiamo scrivere (p1 − p2) /γ = ( 2

122 vv − ) / 2g =

= [(1,96 v1)2− v12 ] / 2g = 2,84 v1

2 /2g . Allora risulta p1 − p2 = 2,84 γ v12 / 2g =

= 2,84 × (9,81×103 N/m3) × (2 m/s)2 / (2 × 9,81 m/s2) = 5680 Pa (diminuzione subita dalla pressione).

12 La formula di Poiseuille per la portata di un tubo di sezione circolare è q = = πR4Δp / 8ηL (dove R è il raggio, Δp la differenza di pressione tra i due estremi del tubo, η la viscosità del liquido, L la lunghezza del tubo. Nel nostro caso, le variabili sono solo R ed L (la pressione nel punto d’attacco è in en-trambi i casi quella fornita dall’impianto idraulico, la pressione all’uscita del tubo è la pressione atmosferica). Col tubo A otteniamo una portata otto volte superiore.

14 Denotiamo con 1 la sezione più grande e con 2 la sezione più piccola. Essendo R2 la metà di R1 , l’area A2 è 1/4 dell’area A1 , e quindi, per la costanza della portata, la velocità v2 è quattro volte più grande della velocità v1. Sarà inoltre v1 = q /A1 = q /πR 1

2 = (1,6×103 cm3/s) /π(32 cm2 ) = 56,6 cm/s, e quindi v2 = = 4 v1 = 226 cm/s. Dall’equazione di Bernoulli (riferita all’asse del condotto)

risulta p1 − p2 = 2

)( 22

21 vv −ρ = ½ [1 g/cm3 × (2262 − 56,62) cm2/s2] =

= 2,39×104 dyn/cm2. Scriviamo ora che, come richiesto dall’equilibrio del mercurio, all’altezza raggiunta dal mercurio nel tubo a sinistra la pressione nei due tubi è la stessa: se indichiamo con h1 e h2 la distanza del mercurio, nelle due colonne, dall’asse del condotto (dove la pressione vale rispettivamente p1 e p2), e con ρ e ρm la densità dell’acqua (1 g/cm3) e del mercurio (13,6 g/cm3), deve essere p1 + ρ gh1 = p2 + ρ gh 2 + ρm g (h1 − h2) , da cui

h1 − h2 = )( m

21

ρρ −−

gpp = 32

24

cm/g)16,13(s/cm981cm/dyn1039,2

−×× = 1,94 cm.

17 (a) Per l’assenza di viscosità, vale in modo rigoroso l’equazione di Bernoulli e quindi non c’è differenza di pressione tra sezione di ingresso e sezione d’uscita del tubicino: perciò, per la velocità con la quale l’acqua esce dal serbatoio si ot-


tiene lo stesso valore sia in presenza che in assenza del tubicino. La risposta è quindi uguale a quella del problema precedente. (b) Per avere nel tubicino una velocità v, in assenza di viscosità il livello nel serbatoio deve essere h = v2/2g . Per avere la stessa velocità in presenza di vi-scosità, occorre (formula di Poiseuille) che nel tubicino la pressione iniziale

superi la pressione finale (che è la pressione atmosferica p0) di Δp = 4π8R

Lq η =

= 4π8R

LvA η . Se ora applichiamo l’equazione di Bernoulli tra la superficie libera

e la sezione d’ingresso del tubicino, otteniamo p0 + ρgh ' = (p0 +Δp) + ρ v2/2, da cui, tenuto conto che v = gh2 , segue

./28

π82π

π8

2' 4

2

4

2

4

2

RLrgh

hRg

Lhgrh

RgLvAh

gp

gvh

ρη

ρη

ρη

ρ+=+=+=

Δ+=

Com’era da aspettarsi, la differenza tra h ' e h tende a zero sia quando tende a zero la viscosità η , sia quando tende a zero la lunghezza L del tubicino.

20 Consideriamo un elemento cilindrico di liquido, coassiale al tubo, di raggio r e lunghezza L , delimitato dalle sezioni 1 e 2 (il liquido scorre da 1 verso 2). Poi-ché il liquido contenuto nel cilindro non viene accelerato, la forza orizzontale complessiva su di esso deve essere zero. La forza dovuta alla differenza della pressione media sulle due basi del cilindro agisce nella direzione stessa della corrente e ha modulo Fp = (p1 − p2)π r2. La forza dovuta alla viscosità tra superficie laterale del cilindro e liquido circo-stante agisce in direzione opposta e, in base alla definizione di coefficiente di viscosità, ha modulo Fη = −2π rLη dv /dr, dove dv è l’incremento (negativo) che subisce la velocità quando la distanza dall’asse del tubo subisce l’incre-mento dr . Non essendoci altre forze orizzontali, le due forze considerate devo-no avere uguale modulo: uguagliando allora le due espressioni trovate si trova −dv = (p1 − p2) r dr /2Lη . Integrando a primo membro tra v e zero e a secondo mem-

bro tra zero ed R si ottiene infine v = )(4

2221 rRLpp

−−η

,

relazione che esprime la velocità del liquido in funzione della distanza r dall’asse del tubo. Si ritrova qui la distri-buzione parabolica (fig.1) caratteristica del moto regolare di un liquido viscoso. Osservazione: nel caso di moto tur-bolento la distribuzione delle velocità (medie) ha un an-damento all’incirca analogo, ma la velocità a ridosso delle pareti non può più essere posta uguale a zero.

Fig. 1

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ALCUNI PROBLEMI DEL TESTO (E ALCUNE SOLUZIONI) · 2014-09-15 · pag.36 Capitolo 8 - I PRINCÌPI DI NEWTON pag.44 Capitolo 9 - LAVORO ED ENERGIA pag.52 Capitolo 10 - ATTRITO pag.59