Alejandra Orozco AvendañoSandra Johana González Torres

Grafos

Un grafo es un conjunto de puntos (vértices) en el espacio, que están conectados por un conjunto de líneas (aristas).

• Grafos no dirigidos: Aristas (no orientadas). El grado de un vértice es el número de aristas que lo contiene

(v,w) = (w,v)

• Grafos dirigidos: Arcos (con dirección). Grado de salida de un vértice v es el número de arcoscuyo vértice inicial es v.

Grado de entrada de un vértice v:Numero de arcos cuyo vértice final es v.

(v,w) ≠ (w,v)

• Nodos/vértices adyacentes: Vértices conectados por una arista (o un arco).

• Aristas/arcos adyacentes: Arcos/aristas con un vértice común.

• Bucle: Arco/arista cuyos vértices inicial y final coinciden.

Camino [path]: Sucesión de arcos adyacentes tal que el vértice final de cada arco coincide con el inicial del siguiente.

Secuencia (w , w , ..., w ) V∈12ktal que (w1, w2), (w2, w3), ..., (wk-1, wk) E.∈

Circuito (o ciclo): Camino que empieza y acaba en el mismo vértice.

Tipos de grafos• Grafo etiquetado: Cada arista y/o vértice tiene

asociada una etiqueta/valor.

• Grafo ponderado = Grafo con pesos: Grafo etiquetado en el que existe un valor numérico asociado a cada arista o arco.

• Multigrafo: Grafo en el que se permite que entre dos vértices exista mas de una arista o arco.

• Árbol:Grafo conexo que no contiene ciclos.

Matriz de adyacencia

Llamamos Matriz de adyacencia de G a la matriz nxn, , Donde

Ejemplo

E={(1,2),(1,4),(1,5),(2,3),(2,5), (2,6),(3,7),(5,6),(5,8),(6,7), (6,9),(7,9),(8,9),(8,10)}

Matriz de acceso• Sea G=(V,E) grafoSe dice que el vértice u alcanza al vértice v en G si existe una cadena de longitud mayor o igual que cero de u a v.

Listas de adyacencia

Algoritmos Sobre grafosAlgoritmo de Dijkstra (1959)Dado un grafo G=(V,A) y un vértice s, encontrar el camino de costo mínimo para llegar desde s al resto de los vértices en el grafo.Estrategia: Mantener el conjunto de nodos ya explorados para los cuales ya hemos determinado el camino más corto desde s…

¿Cómo funciona?

Algoritmo de prim

Objetivo: Encontrar el árbol recubridor más corto.

Requisitos: Ser un grafo conexo, Ser un grafo sin ciclos, Tener todos los arcos etiquetados.

Solución: Utilizar una cola con prioridad en la que tengamos los vértices asociados al menor coste de una arista que conecte cada vértice con un vértice que ya forme parte del AGM (infinito si no existiese dicha arista).

La idea básica consiste en añadir, en cada paso, una arista de peso

mínimo a un árbol previamente construido:

Paso 1: Se elige un vértice u de G y se considera el árbol S={u}

Paso 2: Se considera la arista e de mínimo peso que une un vértice de S y un vértice que no es de S, y se hace S=S+e

Paso 3: Si el nº de aristas de T es n-1 el algoritmo termina. En caso contrario se vuelve al paso 2

Representación gráfica