Aleph 12_ Probabilidades

Ttulo

NiuAleph 12 - Manual de Matemtica para o 12 ano de Matemtica AAutores

Jaime Carvalho e SilvaJoaquim PintoVladimiro MachadoCapa e Design

Elisa SilvaConceo Tcnica

Vtor TeodoroJoo FernandesImagens e fontes

As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domnio pblico ou, nas situaes indicadas, aos respetivos autores, sob as Licenas Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 http://creativecom-mons.org/licenses/by-sa/3.0/) ou Creative Commons Attribution 3.0 http://creativecommons.org/li-censes/by/3.0/

As fontes utilizadas neste manual pertencem s famlias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvol-vidas pela GUST http://www.gust.org.pl/projects/e-foundry/lm-math/index_htmlISBN

978-989-97839-0-4Edio

1. edio/verso 1Data

2012 Este ficheiro de distribuio livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. No permitida a impresso deste ficheiro.

ndice geral

Volume 1

Captulo 1 possvel? provvel?Captulo 2 ProbabilidadeCaptulo 3 Probabilidade condicionadaCaptulo 4 Distribuio de probabilidadesVolume 2

Captulo 5 Anlise CombinatriaCaptulo 6 Tringulo de Pascal e Binmio de NewtonCaptulo 7 Funo exponencialCaptulo 8 Funo logartmicaVolume 3

Captulo 9 Teoria de LimitesCaptulo 10 Clculo DiferencialCaptulo 11 Aplicaes do Clculo DiferencialCaptulo 12 Teoremas elementares do Clculo Diferencial (*)Volume 4

Captulo 13 Funes trigonomtricasCaptulo 14 A Histria dos nmeros complexosCaptulo 15 A lgebra dos nmeros complexosCaptulo 16 A Geometria dos nmeros complexosCaptulo 17 Demonstraes de Geometria usando nmeros complexos (*)

ndice

Captulo 5 - Anlise Combinatria 6

Arranjos completos 11Arranjos simples 13Histria(s) - Razes Indianas para se Estudar Matemtica 16Permutaes 17Modelo Binomial 22Leitura(s) - Como escolher a namorada pelos horrios do comboio suburbano 23Sntese 24Exerccios globais 26Conselhos para os Exames n. 5 28Itens de exame 30Prova global 38

Captulo 6 - Tringulo de Pascal e Binmio de Newton 40

Binmio de Newton 45Histria(s) - Origem da Anlise Combinatria 47Histria(s) - O Tringulo de Pascal chins 54Leitura(s) - Cincia e Arte 55Sntese 58Exerccios globais 60Conselhos para os Exames n. 6 61Itens de exame 62Prova global 64

Captulo 7 - Funo exponencial 65

Crescimento exponencial 70Propriedades da funo exponencial 74

Histria(s) - Thomas Malthus e a demografia 77Leitura(s) - Evoluo da Populao Humana 79Sntese 81Exerccios globais 83Conselhos para os exames n. 7 87Itens de exame 87Prova global 90Captulo 8 - Funo Logartmica 91

Crescimento logartmico 95Escalas logartmicas 96Propriedades da funo logartmica 100Histria(s) - Histria dos logaritmos 103Escala de Richter 104Leitura(s) - O que importa a forma de refletir 107Sntese 109Exerccios globais 111Conselhos para os exames n. 8 114Itens de exame 115Prova global 120

Solues 122

6 5. Anlise Combinatria

5. Anlise CombinatriaQuando ests zangado, conta at dez

antes de falares. Se ests muito zangado conta at cem.

Thomas Jefferson (1743-1826)

ContagemContagem maluca

assim ningum viu,um pouco difcilchegamos a mil.

in Site de poesias, Nelson Moreira

No clculo da probabilidade de um acontecimento tivemos muitas vezes de contar um a um todos os casos em que esse acontecimento se verificava; isto equivale a contar pelos dedos, o que pode ser muito moroso e desanimador. Uma ideia interessante encontrar tcnicas que nos permitam contar sem ser pelos dedos. A rea da Matemtica que se dedica a estudar modos eficazes de efetuar uma contagem a Anlise Combinatria. Neste captulo vamo-nos limitar a estudar algumas tcnicas de contagem em conjuntos finitos.A Rdio Escola assegura a programao musical na Escola Secundria Anastcio da Cunha. Supo-nhamos que tu s responsvel pela sua programao e que tens tua disposio 5 msicas de bandas portuguesas e 3 de bandas estrangeiras. O problema vai ser o de saber quantos programas musicais diferentes vais poder apresentar com a msica que tens tua disposio. A situao ir-se- compli-cando medida que formos avanando, o que te vai permitir descobrir vrias tcnicas de contagem.

TrTarefa resolvida 1

No intervalo entre o turno da manh e o da tarde, que de 5 minutos, apenas podes colocar uma msica de entre as 5 msicas de bandas portuguesas e as 3 de bandas estrangeiras. De quantas for-mas podes fazer a tua escolha?resoluo

Claro que a resposta , pois podes escolher qualquer das msicas e no existem msicas comuns a ambos os conjuntos.

75. Anlise Combinatria

a no esquecer

Quando tens de efetuar uma contagem que envolva apenas elementos de con-juntos distintos que no tm elementos comuns, basta adicionares o nmero de elementos de cada um.

TTarefa 2

Um restaurante oferece um menu especial formado apenas por gua e um prato escolha entre dois tipos de pratos: de frango (F1 frango assado, F2 frango de caril) e de porco (P1 porco no espeto, P2 Secredos de porco e P3 Porco grelhado). De quantos modos diferentes podem ser servidas estas refeies?Vejamos agora o que se passa com umas condies diferentes.


Passemos programao da rdio num intervalo entre duas aulas. Para isso tens ao teu dispor 5 msicas de bandas portuguesas e 3 msicas de ban-das estrangeiras. Como o intervalo no muito gran-de s podes passar uma msica de uma banda portu-guesa seguida de uma de uma banda estrangeira. De quantos maneiras o podes fazer?resoluo

Com o traado de um diagrama de rvore vamos con-seguir resolver facilmente o problema. Para simplifi-car vamos designar as msicas portuguesas por P1, P2, P3, P4 e P5 e as msicas estrangeiras por E1, E2 e E3. Obtemos o seguinte diagrama, conforme a primeira msica for P1, P2, P3, P4 ou P5:

P1

E2E1 E3

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P3

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Feita a contagem (pelos dedos) obtemos 15 maneiras de passar duas msicas no intervalo, sendo a primeira uma das 5 msicas portuguesas e a segunda uma das 3 msicas estrangeiras.Uma alternativa construo do diagrama de rvore a construo de uma tabela de dupla en-trada, onde cada quadrculo representa uma possibilidade para a ordem de passagem das msicas:

PrimeiraSegunda P1 P2 P3 P4 P5

E1 P1,E1 P2,E1 P3,E1 P4,E1 P5,E1E2 P1,E2 P2,E2 P3,E2 P4,E2 P5,E2E3 P1,E3 P2,E3 P3,E3 P4,E3 P5,E3

Agora contamos (pelos dedos) tambm 15 maneiras de combinar os dois tipos de msicas. Podes escolher o mtodo que achares mais prtico, mas obters sempre o mesmo resultado, claro. Com um mtodo ou com outro estamos na realidade a procurar pares ordenados (uma msica primeiro e depois outra) de elementos de dois conjuntos (o primeiro conjunto o das msicas portuguesas e o segundo conjunto o das msicas estrangeiras). Tnhamos 5 possibilidades para o primeiro elemento do par e 3 possibilidades para o segundo elemento do par; no total temos 53 =15 possibilidades. Este um raciocnio vlido sempre que escolhermos elementos sucessivamente de vrios conjuntos.

Princpio bsico da Anlise Combinatria Para pares ordenados:Se queres saber quantos pares ordenados consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipteses e para o segundo elemento do par tens n hipteses, ento o nmero total de pares ordenados dado por .

O que fizemos para pares ordenados podemos fazer para ternos ordenados:Princpio bsico da Anlise Combinatria Para ternos ordenados:

Se queres saber quantos ternos ordenados consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipteses, para o segundo elemento do par tens n hipteses e para o terceiro elemento do par tens p hipteses, etc., ento o nmero total de ternos ordenados que podes formar dado por m n p.

Mais geralmente podemos enunciar o


Princpio bsico da Anlise Combinatria

Sejam , conjuntos de cardinalidades (nmero de elementos) , respectivamente. A cardinalidade (nmero de elementos) m do

produto cartesiano

dada pelo produto das cardinalidades dos conjuntos que o constituem, isto .


Quantos nmeros diferentes de trs algarismos podemos obter ao lanar trs dados, com as faces numeradas de 1 a 6, um verde, um azul e outro vermelho, sabendo que o dado verde corresponde s centenas, o dado azul corresponde s dezenas e o dado vermelho s unidades do nmero a obter?resoluo

Cada nmero obtido corresponde a um terno ordenado: o dgito das centenas o primeiro elemento do terno, o segundo dgito o segundo elemento do terno e o terceiro dgito o terceiro elemento do terno ordenado. Como cada um dos dados est numerado de 1 a 6, temos 6 hipteses para cada elemento do terno e assim o nmero total de resultados resultados.a no esquecer

Se o resultado pretendido corresponde a escolher elementos de forma ordenada de trs conjuntos (iguais ou diferentes) ento o nmero total de escolhas dado pelo produto do nmero de elementos (cardinalidade) de cada conjunto.


TTarefa 5

Um restaurante oferece um menu especial formado por duas sopas diferentes (S1 - sopa de legumes e S2 - creme de marisco), e por trs pratos principais (P1 - frango assado, P2 - febras de porco e P3 - peixe grelhado). De quantos modos diferentes podem ser servidas estas refeies?(adaptado de brochura Probabilidades e Combinatria, ME-DES, 1999)

exerccios

1. A Joana tem no roupeiro, 6 blusas, 3 saias e 3 pares de tnis. De quantas maneiras diferentes se pode vestir?2. Existem 4 estradas diferentes que ligam as cidades A e B, 3 estradas diferentes que ligam as cidades B e C e 2 estradas diferentes que ligam as cidades A e C. Todas as estradas so distintas entre si.

2.1 De quantas formas diferentes se pode ir de A para C via B?2.2 Quantas formas diferentes existem, no total, para ir de A para C?2.3 Quantas formas diferentes existem para ir de A para C e voltar?

3. Num restaurante so servidas refeies, a preo fixo, constitudas por uma sopa, um prato principal e uma sobremesa. A escolha pode ser feita entre 3 sopas, 4 pratos prin-cipais e 2 sobremesa. De quantos modos diferentes posso escolher uma refeio?


Arranjos completosVejamos agora um problema diferente com a Rdio Escola da Escola Secundria Anastcio da Cunha.


Num dos dias em que tinhas de gerir a msica no intervalo tinhas s as 5 msicas de bandas portu-guesas. Alm do mais precisavas de ir secretaria da escola pelo que usaste o aparelho de reproduo automtica para passar as 3 msicas no intervalo. Como o aparelho de reprodu-o automtica permite repeties, de quantas maneiras po-dem ter passado as 3 msicas?resoluo

Para a primeira msica existem 5 msicas possveis, para a segunda existem na mesma 5 msicas possveis pois possvel repetir a mesma msica e para a terceira existem tambm 5 msicas possveis. Usando o Princpio Bsico da Anlise Com-binatria podemos concluir imediatamente (sem contar pelos dedos) que o nmero de modos de passarem as msicas de 5 5 5 = 125.Arranjos completos - Quando, de um conjunto com n elementos, escolhe-mos p elementos admitindo repeties, dizemos que estamos em presena de arranjos completos (com repetio). Representamos por , o nmero total de arranjos completos (com repetio) que podemos formar com p elementos escolhidos entre os n elementos dados. De acordo com o Princpio Bsico da Anlise Combinatria temos a frmula:

.


Para desbloqueares o teu telemvel necessitas de um nmero constitudo por quatro algarismos.a) Se te esqueceres da combinao qual o nmero mximo de tentativas que tens de realizar?b) E se demorares 3 segundos a realizar cada uma das tentativas, qual ser o tempo mximo gasto

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em horas minutos e segundos?resoluoa) Existem dez algarismos e temos de encontrar um conjunto de quatro deles sabendo que podem ser repetidos os algarismos. Ou seja, estamos perante arranjos completos de 10 elementos esco-

lhidos 4 a 4. Donde , isto , temos de no mximo realizar 10000 tentativas.b) Demorando 3 segundos a testar cada uma das 10000 tentativas, o tempo gasto ser de 3 10000 = 30000 segundos, ou seja, 8 horas e 20 minutos. a no esquecer

Para reconhecer que se trata de um arranjo completo preciso identificar que pretendemos escolher p elementos e podemos fazer essa escolha de um conjunto com n elementos, sendo permitidas repeties.

TTarefa 7

Uma pessoa tem trs possibilidades de ir para o trabalho: a p, de metro ou de carro. De quantas maneiras diferentes que ela pode viajar durante os cinco dias da semana?(adaptado de brochura Probabilidades e Combinatria, ME-DES, 1999)

exerccios

4. Quantos nmeros de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9?5. Admitindo que a probabilidade de nascer uma criana do sexo masculino igual de nascer uma criana do sexo feminino. Quantas so as possveis composies de uma famlia de 5 filhos?6. Num teste existem 5 questes de escolha mltipla, cada uma delas com quatro possi-bilidades de resposta. De quantas formas diferentes pode um aluno responder a esta parte do teste, sabendo que responde a todas as questes?


Arranjos simplesVejamos outro problema com a Rdio Escola da Escola Secundria Anastcio da Cunha.


Continuemos a nossa tarefa de gerir a programao da Rdio Escola. Desta vez tens apenas as 5 msicas de bandas portuguesas, e s podes passar 3 dessas msicas durante o intervalo, sem repeti-res msicas. De quantas escolhas distintas podes realizar o intervalo musical?resoluo

Um modo de realizar esta contagem atravs de um diagrama. Designemos as msicas por M1, M2, M3, M4 e M5. Se a msica M1 passar em primeiro lugar, a segunda msica apenas pode ser escolhida entre M2, M3, M4 ou M5. Se a msica M1 passar em primeiro lugar e a msica M2 passar em segundo lugar, a terceira msica apenas pode ser escolhida entre M3, M4 ou M5.M5M4M3M2M1 M2M3

M4M5

M3M4M5

Assim, temos 5 escolhas para a primeira msica, para cada uma dessas escolhas temos 4 escolhas para a segunda msica e para cada uma dessas escolhas temos 3 escolhas para a terceira msica e assim o nmero total de arranjos possveis de msicas de 5 4 3 = 60.Claro que podemos pensar sem elaborar o diagrama. Para primeira msica h 5 resultados poss-veis. A segunda msica j s tem 4 resultados possveis e para terceira msica s temos 3 resultados possveis. Assim, os resultados possveis sero no total 5 4 3 = 60.O que fizemos foi calcular o nmero de sequncias de trs msicas distintas de um conjunto de 5 msicas dadas, sem permitir repeties. Este tipo de contagem designa-se por arranjos simples e representa-se por que se l arranjos simples de 5 elementos tomados trs a trs. Assim, obtemos a frmula:


Arranjos simples - Em geral dado um conjunto de n elementos o nmeros de arranjos simples (sem repetio) de p desses elementos igual ao produto dos p nmeros naturais consecutivos, por ordem decrescente, a partir de n. Assim, podemos escrever a frmula:.


Temos vrios rolos de tecido cada um com uma das 7 cores do arco ris. Quantas bandeiras diferen-tes de 3 faixas horizontais podemos fazer?

resoluo

Para respeitarmos o enunciado no podem existir duas faixas consecutivas com a mesma cor.Assim, as bandeiras ou so constitudas por trs faixas horizontais de cores todas diferen-tes, ou tm apenas duas cores sendo as faixas superior e a inferior da mesma cor.No primeiro caso das trs faixas de cor dife-rente a ordem pela qual aparecem as cores conduz a bandeiras diferentes. Assim, trata-se de saber quantos conjuntos de 3 cores se podem constituir a partir de 7 cores, em que a ordem interessa. Portanto so .No segundo caso de as faixas superior e inferior terem a mesma cor, claro que aqui a ordem da cor da faixa central e da cor faixas superior e inferior conduzem as ter bandeiras diferentes. Assim, trata-se de saber quantos conjuntos de duas cores se podem constituir em que a ordem interessa. Portanto so .O total de bandeiras que podemos fazer

.

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a no esquecer

Para reconhecer que se trata de um arranjo simples preciso descobrir que pre-tendemos escolher um certo nmero de elementos, que podemos fazer essa esco-lha de um conjunto com um nmero dado de elementos e que no so permitidas repeties.

TTarefa 10

Numa turma com 20 alunos a Diretora de Turma quer escolher trs para os trs cargos de delegado, sub-delegado e suplente. De quantas maneiras distintas que ela pode fazer essa escolha?(adaptado de brochura Probabilidades e Combinatria, ME-DES, 1999)

exerccios

7. Numa turma com 24 alunos vo ser eleitos dois alunos, um para delegado e o outro para subdelegado. Quantos so os resultados possveis da eleio?8. Numa prova de atletismo participam 6 atletas, que concorrem para as trs medalhas (ouro, prata e bronze). De quantas formas pode ser feita a distribuio das medalhas?9. Com os algarismos do conjunto constitudo pelos nmeros 1,2,3,4,5 e 6, quantos nme-ros de 3 algarismos diferentes podemos escrever?


HHisTria(s)

Razes Indianas para se Estudar Matemtica

Por que que os estudiosos indianos desde h muito tempo se interessaram de alguma forma pela matem-tica? Podemos obter algumas respostas a esta pergunta olhando para o tipo de problemas includos nos seus tra-balhos, embora muitos desses problemas no sejam, de modo nenhum, prticos. Por exemplo:Trs comerciantes encontram uma bolsa com dinheiro cada na estrada. Um comerciante diz: Se eu ficar com a bolsa, terei duas vezes mais dinheiro que vocs os dois juntos. Dm-me a bolsa e eu terei trs vezes mais do que vocs, disse o segundo comerciante. O terceiro comerciante disse: Eu vou ficar muito mais rico do que qualquer um de vocs se ficar com a bolsa, vou ter cinco vezes mais do que vocs os dois juntos. Quanto dinheiro est na bolsa? Quanto dinheiro que cada comerciante tem?Uma resposta mais geral a esta questo encontra-se na introduo ao livro Ganita Sara Samgraha (Compndio sobre a Essncia da Matemtica) de MahvIra (sc IX). Este Matemtico indiano escreveu um tratado contendo toda a Matemtica conhecida na sua poca, incluindo tambm algu-mas inovaes, nomeadamente na contagem de permutaes e combinaes. Nesse livro escreveu:Em todas estas transaes que se relacionam com assuntos correntes, vdicos ou ... religiosos, o clculo tem a sua utilidade. Na cincia do amor, na cincia da riqueza, na msica, no drama, na arte da cozinha e, semelhantemente, na medicina e em coisas como o conhecimento da arquitetura; na prosdia, na potica, na poesia, na lgica, na gramtica, e em outras coisas tais ... a cincia da computao altamente estimada. utilizada ... na relao com os movimentos do Sol e outros corpos celestes, em conexo com os eclipses e conjuno de planetas ... . O nmero, o dimetro e o permetro das ilhas, oceanos e mon-tanhas, as dimenses extensas de filas de habitaes e casas pertencendo aos habitantes do mundo ... tudo isto feito por meio de clculos.

(adaptado de Histria da Matemtica de Victor J. Katz)


PermutaesVejamos ainda outro problema com a Rdio Escola da Escola Secundria Anastcio da Cunha.


Voltemos nossa programao da rdio: agora tens s as 3 msicas de bandas estrangeiras; de quantas formas as podes passar todas durante o intervalo sem as repetires?resoluo

Como podemos escolher 3 msicas de um conjunto de 3 msicas sem as repetir estamos em presena de arranjos simples com 3 elementos tomados 3 a 3, pelo que o nmero de formas de passar as 3 msicas dado por.

Este caso um caso particular dos arranjos simples pois trata-mos de determinar todos os arranjos sem repetio de todas as msicas disponveis. A este tipo de clculo, que envolve todos os elementos de um conjunto dado, chamamos permutao dos elementos do conjunto e representamos por que se l permutaes de 3 elementos. Assim,

.Naturalmente que as permutaes so sempre um caso particular dos arranjos simples em que esto envolvidos todos os n elementos de um conjunto. Assim, temos que

.A este ltimo produto chama-se fatorial de n e escreve-se n! Podemos dizer que o fatorial de n conta o nmero de maneiras de ordenar todos os elementos de um conjunto com n elementos (sem repeties). Representa assim o nmero de permutaes que possvel fazer com n elementos distintos. Tem-se ento .

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Permutaes Dado um conjunto de n elementos chamam-se permu-taes dos n elementos aos arranjos desses elementos, n a n, o que se escreve como

.


De um baralho de cartas retiram-se 3 reis, 2 damas e 4 valetes. De quantas maneiras podemos dispor em fila as 9 cartas sabendo que as do mesmo tipo ficam sempre juntas?resoluo

Os 3 reis podem ser dispostos de 3! maneiras, podemos dispor as damas de 2! maneiras e dispor os valetes de 4! maneiras. Ou seja, para uma ordenao em que estejam primeiro os reis, seguidos das damas e dos valetes temos 3! 2! 4! maneiras. Mas o conjunto dos reis, das damas e dos vale-tes podem trocar de posio entre si de 3! maneiras (so permutaes de 3 grupos), logo existem 3! 2! 4! 3! = 1728 maneiras de dispor as 9 cartas em fila nas condies enunciadas. a no esquecer

Estamos em presena de uma permutao se pretendemos ordenar todos os ele-mentos de um conjunto (sem repeties).

TTarefa 13

Numa turma com 20 alunos a Diretora de Turma quer escolher uma Comisso de festas com trs elementos. De quantas maneiras distintas que ela pode fazer a escolha?


exerccios

10. De quantos modos se podem dispor em fila 5 pessoas para tirar uma fotografia?11. De quantos modos podes colocar 4 pulseiras distintas no teu brao direito?12. Quantos nmeros de trs algarismos podemos escrever com os algarismos do nmero 425?

CombinaesVoltemos mais uma vez nossa Rdio Escola.


Desta vez tens um pedido dos teus colegas para que passes num dado intervalo quaisquer trs m-sicas das 5 que tens de bandas portuguesas sem que lhes importe a ordem como as vais emitir. De quantos modos o podes realizar?resoluo

Esta tarefa semelhante da tarefa 8. A diferena est no fato de antes interessar a ordem e agora no contar a ordem por que so apresentadas as msicas. Na tarefa 8 as duas sequncias seguintesM1, M2, M3M1, M3, M2eram consideradas diferentes mas agora j so iguais (ou indiferentes).Ou seja, para cada conjunto de sequncias de 3 msicas da tarefa 8, apenas nos interessa um caso neste novo contexto. Temos portanto de dividir cada sequncia distinta da tarefa 8 pelo nmero de elementos de cada conjunto de msicas (que corresponde a permutaes de 3 elementos).Assim, o valor pretendido :

.Tens assim apenas 10 modos de passar 3 msicas.

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Neste caso procurmos determinar todos os arranjos desordenados de todas as msicas disponveis. No essencial o que estivemos a fazer foi considerar sequncias de 3 elementos escolhidos de um con-junto de 5 em que no nos interessa a ordem.Combinaes Chamamos combinaes a um qualquer subconjunto de p elementos escolhidos de um conjunto com n elementos em que a ordem no interessa. As combinaes representam-se por ou ou ainda

que se l combinaes de n elementos tomados p a p.

Claro que encontrar um modo que nos facilite os clculos um aspeto a considerar; vejamos com o que acabamos de verificar o que conseguimos obter. Temos que

Mas podemos obter uma frmula mais simples se observarmos que

Assim, uma frmula simplificada para o clculo das combinaes :


No Euromilhes de 2010 cada aposta consistia em escolher 6 nmeros dos primeiros 50 nmeros e duas estrelas de entre 9 numeradas de 1 a 9.Quantas so as apostas possveis?resoluo

Dos 50 nmeros temos de escolher 6; como no interessa a ordem temos que as escolhas so


.Para a escolha das estrelas, como tambm no interessa a ordem, as escolhas so

.Assim, para cada escolha dos nmeros temos escolhas para as estrelas, donde, pelo princpio bsico da Anlise Combinatria, o nmero total de apostas de apostas. a no esquecer

Para reconhecer que se trata de uma combinao essencial concluir que a ordem no interessa.

TTarefa 16

Numa turma com 20 alunos a Directora de Turma quer escolher uma Comisso de festas com trs elementos. De quantas maneiras distintas que ela pode fazer a escolha?exerccios

13. De quantos modos se pode escolher uma comisso de 3 alunos de uma turma de 24 alunos?14. Com os nmeros 2, 3, 5, 7 e 11 quantos produtos diferentes de trs fatores diferentes existem?15. Considera sete pontos do plano, em que no h trs pontos colineares. Quantas retas ficam definidas por esses pontos?

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Modelo BinomialNo captulo 4 quando estudmos a Distribuio Binomial vimos que se a varivel aleatria X tem Distribuio Binomial de parmetros n e p, ento

para onde representa o nmero de vezes em que temos sucessos e insucessos.No podamos na altura apresentar uma frmula simples para mas agora j podemos faz--lo como aplicao do nosso estudo da Anlise Combinatria. Este nmero representa o nmeros de vezes em que podemos formar um grupo com elementos a partir de n elementos; como a ordem no interessa estamos em presena de combinaes; ser ento

Podemos ento dizer que a Distribuio Binomial de parmetros n e p da varivel aleatria X se pode escrever como


Sabe-se que numa determinada escola 70% dos estudantes votaram a favor da Associao de Es-tudantes eleita, 5% votaram contra e 25% abstiveram-se. Qual a probabilidade de num grupo de 8 alunos, escolhidos ao acaso (a) 5 terem votado? (b) 2 terem-se abstido? (c) 5 terem votado a favor? resoluo

Estamos em presena de distribuies binomais; em cada caso preciso determinar uma probabili-dade de sucesso e de insucesso do acontecimento pretendido. a) Como queremos ver quem votou e quem no votou, temos que p = 0,75 e 1p= 0,25. A distribuio de probabilidades neste caso ser

pelo que b)

c)

(adaptado de brochura Probabilidades e Combinatria, ME-DES, 1999)


leleiTura(s)

Como escolher a namorada pelos horrios do comboio suburbanoJoo amava Lcia que amava Joo. S que Joo alm de amar Lcia tambm amava Letcia e ten-tava namorar as duas ao mesmo tempo. Durante a semana, at que dava, mas quando chegava ao sbado noite era terrvel. As duas queriam Joo e este no possua o dom da presena ao mes-mo tempo em dois lugares.Assim, alternadamente ou Lcia ou Le-tcia ficavam sem sair com o Joo, nos embalos de sbado noite. HONESTO (?), Joo decidiu contar Lcia a exis-tncia de Letcia e Letcia sobre L-cia. Claro que houve choros e lamrias de todos os lados. E Joo continuou dividido, sem saber como escolher entre as duas. importante acrescentar aqui um detalhe: Joo morava prximo de uma estao ferroviria de um subrbio. Para visitar Lcia, Joo tomava comboios que iam no sentido da direita a cada meia hora, e para visitar Letcia, Joo tomava comboios que iam para a esquerda a cada meia hora tambm. Quanto a horrios no havia dvidas. Comboios para cada lado de meia em meia hora. Mas volte-mos dvida existencial afetiva do nosso amigo Joo.Como escolher entre Lcia e Letcia?A soluo foi dada por Letcia que era professora de Matemtica. Letcia props a Joo um critrio justo, equilibrado, salomnico para escolher quem ir namorar. A proposta foi: Joo sairia de casa sem saber com quem se iria encontrar.Ao chegar estao tomaria o primeiro comboio que passasse, fosse para a direita, fosse para a es-querda. Proposta aceite. Joo comeou a usar esse critrio aparentemente justo e aleatrio.Depois de usar o critrio durante cerca de trs meses, descobriu que visitara a Letcia muito mais do que a Lcia, e se a sorte quis assim ficou com Letcia e com ela se casou sem nunca haver entendido porque a sorte a privilegiara tanto.S nas bodas de prata do seu casamento que a Letcia contou ao Joo a razo do mistrio, de o comboio a ter escolhido a ela preferencialmente concorrente. Letcia estudara os horrios dos comboios e verificara que os horrios eram:Letcia Lcia8h00 8h058h30 8h35

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7471

8


Letcia Lcia9h00 9h059h30 9h35COMBOIOS P/ ESQUERDA COMBOIOS P/ DIREITADesta forma, em qualquer intervalo de 30 minutos, a probabilidade de Joo tomar o comboio que vai para a esquerda de 25/30 e para a direita de 5/30.No amor como na guerra tudo vale..., at usar Matemtica.

(adaptado de um texto de Manuel Henrique C. Botelho)

snTese

O essencial passado em revista

O seguinte princpio de utilizao frequente, embora por vezes no parea:Princpio bsico da Anlise Combinatria

Para pares ordenados:O nmero total de pares ordenados que consegues formar quando para o primeiro elemento do par tens m hipteses e para o segundo elemento do par tens n hipteses, dado por m x n .Formulao geral:Sejam , conjuntos de cardinalidades (nmero de elementos) , res-pectivamente. A cardinalidade (nmero de elementos) m do produto cartesiano

dada pelo produto das cardi-nalidades dos conjuntos que o constituem, isto

.Arranjos Completos

Quando, de um conjunto com n elementos, escolhemos p elementos admitindo repeties, di-zemos que estamos em presena de arranjos completos (com repetio). Representamos por , o nmero total de arranjos completos (com repetio) que podemos formar com p

elementos escolhidos entre os n elementos dados. De acordo com o Princpio Bsico da Anlise Combinatria temos a frmula:.


Arranjos Simples

Em geral dado um conjunto de n elementos o nmeros de arranjos simples (sem repeti-o) de p desses elementos igual ao produto dos p nmeros naturais consecutivos, por ordem decrescente, a partir de n. Assim, podemos escrever a frmula:

.Permutaes

Dado um conjunto de n elementos chamam-se permutaes dos n elementos aos arranjos desses elementos, n a n, o que se escreve como

Combinaes

Chamamos combinaes a um qualquer subconjunto de p elementos escolhidos de um conjunto com n elementos em que a ordem no interessa. As combinaes representam-se por ou

ou ainda que se l combinaes de n elementos tomados p a p:


egExerccios globaisPratica

1. Num saco h 6 bolas de cores distintas. Calcula de quantas maneiras podemos retirar duas bolas se a extrao se realiza:1.1 De modo simultneo1.2 De modo sucessivo.

2. Um teste de escolha mltipla consta de 40 questes das quais se tem de responder a 30. Sabendo que as 10 primeiras so obrigatrias, de quantas distintas podemos responder ao teste?3. De quantos modos diferentes se podem colocar dois anis diferentes nos dedos mnimo, ane-lar e mdio de ambas as mos, no ficando nunca dois anis no mesmo dedo.4. Quantos pares diferentes se podem formar com 4 rapazes e 5 raparigas, sendo cada par constitudo por um rapaz e uma rapariga?5. De quantas maneiras diferentes se podem sentar 3 pessoas num banco de cinco lugares? E num banco de trs lugares?6. Com os algarismos 2, 4, 5, 6, 7 quantos nmeros mpares representados com trs algarismos diferentes se podem escrever?7. Quantos nmeros, de algarismos todos diferentes, h entre 100 e 1000?8. De quantos modos podemos misturar 8 cores distintas?9. De quantos modos diferentes, podemos extrair 10 cartas de um baralho de 40 cartas, de modo a sarem sempre 3 reis e duas damas?10. Com 7 teclas de um piano, correspondentes s 7 notas musicais, de quantos modos diferentes podemos tocar duas delas:

10.1 uma a seguir outra.10.2 simultaneamente.

Pensa e Resolve

11. Numa empresa com 100 trabalhadores, 68 homens e 32 mulheres, quer-se formar uma comisso de festas de 5 membros, na qual devem figurar pelo menos 2 mulheres. De quantas maneiras e pode formar a comisso?

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12. Quantos produtos distintos de trs fatores diferentes se pode obter com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9?13. Uma escola tem 23 turmas e 55 professores. Dos professores, 4 no podem ser diretores de turma, e dos restantes, s 15 podem ser diretores de turma do secundrio. Sabendo que exis-tem 6 turmas do secundrio, de quantos modos podem ser repartidas as direes de turma? 14. De quantas maneiras possvel tocar sucessivamente os 92 sinos dos dois carrilhes do Con-vento de Mafra?15. Consideremos 10 pontos no plano, 3 dos quais so colineares. Quantas retas se obtm unindo esses 10 pontos, dois a dois?16. No incio de uma reunio cada um dos participantes cumprimentou cada um dos outros com um aperto de mo. Ao todo foram dados 78 apertos de mo. Quantos eram os participantes?17. De um conjunto de 14 livros, a Vera pretende levar para frias, 6 livros. De quantas maneiras pode efetuar a escolha de modo a:

17.1 incluir sempre um determinado livro?17.2 excluir sempre um determinado livro?

18. Quantos nmeros de 7 algarismos se podem escrever com 3 algarismos pares e quatro mpares diferentes?Reflete

19. Na sala do professor Eis Perto existem dez alunos. Certo dia, o professor resolveu escolher trs dos alunos para resolver um problema muito difcil. A pergunta : De quantas maneiras ele pode fazer isto?Joozinho, o aluno mais dedicado da sala respondeu da seguinte forma: Temos 10 maneiras de escolher o primeiro, 9 de escolher o segundo e 8 para o terceiro. Logo, temos 10 9 8 = 720 maneiras de escolher um trio de alunos.O Joozinho estar correto?

20. De quantas maneiras pode ser formada uma comisso com 4 homens e 6 mulheres:20.1 Com pelo menos 2 homens e pelo menos o dobro de mulheres do que de homens?20.2 A comisso tem 4 membros, dos quais pelo menos dois so mulheres e o Sr. e a Sr. Silva no podem estar juntos?

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9725

039


21. Determina uma expresso que permita determinar o nmero de diagonais de um polgono convexo de n lados.22. As diagonais espaciais de um cubo so 4 e a sua contagem simples. Quantas diagonais tem um dodecaedro regular?23. O Pedro tem um certo nmero de amigos e convida todas as noites, durante um ano (365 noites), grupos diferentes de 4 amigos para ir a sua casa.

Qual o nmero mnimo, n, de amigos que o Pedro precisa de ter? 24. Formandos e dispostos por ordem crescente todos os nmeros inteiros que se obtm per-mutando os algarismos 1, 2, 3, 5, 8, que lugar ocupa nessa sucesso o nmero 52183?25. De todos os nmeros maiores que 500000 e menores que 1500000, quantos no tm nenhum algarismo 3?conselHos para os exames n. 5

Como resolver questes de Anlise Combinatria

Nestas questes, essencial identificar se nas sequncias de elementos que so pedidas a ordem interessa ou no. Isto exige uma anlise cuidada do problema enunciado. O enunciado deve por isso ser lido e relido.Nos problemas mais complexos pode ser necessrio decompor o problema dado em vrios pe-quenos problemas. Em cada um destes problemas mais pequenos a situao pode variar muito, podendo nuns interessar a ordem e noutros no.Em qualquer caso, identificar se a ordem interessa ou no a chave para a resoluo do problema proposto. Podemos ver isso no seguinte esquema:

A ordem interessa?Arranjos

Arranjos com repetio?

Sim

No Combinaes

Arranjos completosSimNo Arranjos simples ou permutaes (n = p)

Se a ordem interessa ento estaremos em presena de Arranjos (completos, simples ou permuta-es). Se a ordem no interessa ento so sempre Combinaes. Os Arranjos de n elementos p a p podem por sua vez ser de vrios tipos, conforme se podem repetir os elementos dados ou no:

Com

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A ordem interessa?Arranjos

Arranjos com repetio?

Sim

No Combinaes

Arranjos completosSimNo Arranjos simples ou permutaes (n = p)

Se podemos repetir os n elementos dados ento estamos em presena de Arranjos Completos, caso contrrio sero Arranjos Simples (ou Permutaes no caso em que n = p).


ieItens de exame

Escolha Mltipla

1. A Maria gravou nove CD, sete com msica rock e dois com msica popular, mas esqueceu-se de identificar cada um deles.Qual a probabilidade de, ao escolher dois CD ao acaso, um ser de msica rock e o outro ser de msica popular?(A) 7

18 (B) 2

9 (C) 1

4 (D) 7

36

2. Admite que um estudante tem de realizar dois testes no mesmo dia. A probabilidade de ter classificao positiva no primeiro teste 0,7, a de ter classificao positiva no segundo teste 0,8, e a de ter classificao negativa em ambos os testes 0,1.Qual a probabilidade de o estudante ter negativa no segundo teste, sabendo que teve ne-gativa no primeiro teste?(A) 1

2 (B) 1

3 (C) 1

7 (D) 1

8

3. De um baralho com 40 cartas, repartidas por quatro naipes (Copas, Ouros, Espadas e Paus), em que cada naipe contm um s, uma Dama, um Valete, um Rei e seis cartas (do Dois ao Sete), foram dadas sucessivamente, ao acaso, seis cartas a um jogador, que as coloca na mo, pela ordem que as recebe.Qual a probabilidade de o jogador obter a sequncia 2 - 4 - 6 7 Dama Rei, nas cartas recebidas?(A) 46

40A6

(B) 4640C

6

(C) 140A

6

(D) 140C

6

4. O cdigo de acesso a uma conta de e-mail constitudo por quatro letras e trs algarismos. Sabe-se que um cdigo tem quatro letras a, dois 5 e um 2, como, por exemplo, o cdigo 2aa5a5aQuantos cdigos diferentes existem nestas condies?(A) 105 (B) 210 (C) 5040 (D) 39

5. Para assistirem a um espetculo, o Joo, A Margarida e cinco amigos sentam-se, ao acaso, numa fila com sete lugares.


Qual a probabilidade de o Joo e a Margarida no ficarem sentados um ao lado do outro?(A) 2 5!

7 ! (B) 5!

7 ! (C) 2

7 (D) 5

7

6. Numa caixa com 12 compartimentos, pretende-se arrumar 10 copos, com tamanho e forma iguais: sete brancos, um verde, um azul e um roxo. Em cada compartimento, pode ser arru-mado apenas um copo.De quantas maneiras diferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa?(A) 12A

7 3! (B) 12A7 5C3 (C) 12C7 5A3 (D) 12C7 12A3

7. Lana-se cinco vezes consecutivas um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e regista-se, em cada lanamento, o nmero inscrito na face voltada para cima.Considera os acontecimentos seguintes.I: sair face mpar em exatamente dois dos cinco lanamentos;J: sair face 4 em exatamente dois dos cinco lanamentos.Qual dos acontecimentos seguintes mais provvel:(A) acontecimento I (B) acontecimento (C) acontecimento J (D) acontecimento

8. Ao disputar um torneio de tiro ao alvo, o Joo tem de atirar sobre o alvo quatro vezes. Sabe--se que, em cada tiro, a probabilidade de o Joo acertar no alvo 0,8.Qual a probabilidade de o Joo acertar sempre no alvo, nas quatro vezes em que tem de atirar?(A) 0,0016 (B) 0,0064 (C) 0,0819 (D) 0,4096

9. Uma caixa A contm duas bolas verdes e uma bola amarela. Outra caixa B contm uma bola verde e trs bolas amarelas. As bolas colocadas nas caixas A e B so indistinguveis ao tacto.Lana-se um dado cbico perfeito, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair o nmero 5, tira--se uma bola da caixa A; caso contrrio tira-se uma bola da caixa B.Qual a probabilidade de a bola retirada ser verde, sabendo que saiu o nmero 5 no lana-mento do dado?(A) 1

4 (B) 1

3 (C) 3

7 (D) 2

3

10. Admite que a varivel peso, expressa em gramas, das mas de um pomar bem modelada por uma distribuio normal N(60;5), em que 60 o valor mdio e 5 o valor do desvio padro da distribuio.


Retira-se, ao acaso, uma dessas mas.Considere os acontecimentos:A: o peso da ma retirada superior a 66 gramasB: o peso da ma retirada inferior a 48 gramasQual das seguintes afirmaes verdadeira?(A) P(A) +P(B) = 1 (B) (B) P(B) < P(A) (C) P(A) < P(B) (D) P(A) = P(B)

11. A tabela de distribuio de probabilidades de uma varivel aleatria X a seguinte:

0 1 2 3

2a aQual das igualdades seguintes verdadeira, considerando os valores da tabela?(A) P(X = 0) = P(X > 1) (B) P(X = 0) = P(X = 2)(C) P(X = 0) = P(X = 3) (D) P(X < 2) = P(X = 3)

12. A tabela de distribuio de probabilidades de uma varivel aleatria X a seguinte:

0 1 2 3 4 5

2a a b b bSabe-se que:a e b so nmeros reais

Qual o valor de b?(A) 1

10 (B) 4

15 (C) 7

30 (D) 1

5


Resposta Aberta

13. Seja o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria.Sejam A e B dois acontecimentos tais que e , com Mostra que P AB B = P AB( )

14. Considera as 13 cartas do naipe de copas: s, trs figuras (rei, dama e valete) e mais nove cartas (do 2 ao 10).14.1 As cartas vo ser dispostas, ao acaso, sobre uma mesa, lado a lado, de modo a forma-rem uma sequncia de 13 cartas.

Determina o nmero de sequncias diferentes que possvel construir, de modo que as trs figuras fiquem juntas.14.2 Determina a probabilidade de, ao retirar, ao acaso, 4 das 13 cartas do naipe de copas, obter pelo menos duas figuras.

Apresenta o resultado na forma de frao irredutvel.15. Seja o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria.

Sejam A e B dois acontecimentos possveis (A e B ) .15.1 Prova que: P(AB) = P(A) P(B) +P(AB)

(P designa a probabilidade, A designa o acontecimento contrrio de A e B designa o acon-tecimento contrrio de B).

15.2 Numa determinada cidade, das 160 raparigas que fizeram o exame nacional de Mate-mtica, 65% tiveram classificao positiva, e, dos 120 rapazes que fizeram o mesmo exame, 60% tambm tiveram classificao positiva.Escolhendo, ao acaso, um dos estudantes que realizaram o exame, qual a probabili-dade de o estudante escolhido no ser rapaz ou no ter tido classificao positiva?Apresenta o resultado em forma de dzima, com aproximao s centsimas.Nota: Se o desejares, utiliza a igualdade referida em 15. Neste caso, devers comear por caraterizar claramente os acontecimentos A e B, no contexto da situao apresen-tada; no entanto, podes optar por resolver o problema por outro processo.

16. Numa caixa temos trs fichas com o nmero 1 e quatro fichas com o nmero 2, indistingu-veis ao tacto.Retiram-se, ao acaso e de uma s vez, duas fichas.


Seja X a varivel aleatria: a soma dos nmeros inscritos nas duas fichas.16.1 Constri a tabela de distribuio de probabilidades da varivel X.16.2 Indica, justificando, o valor mais provvel da varivel X.

Apresenta as probabilidades na forma de frao irredutvel.17. Uma turma do 12. ano de uma Escola Secundria est a organizar uma viagem de finalistas.

17.1 Os alunos da turma decidiram vender rifas, para angariarem fundos para a viagem.A numerao das rifas uma sequncia de trs algarismos (como, por exemplo, 099), iniciando em 000.De entre as rifas, que foram todas vendidas, ser sorteada uma, para atribuir um pr-mio.Qual a probabilidade de a rifa premiada ter um nico algarismo 5?Apresenta o resultado na forma de dzima, com aproximao s centsimas.

17.2 A turma constituda por doze raparigas e dez rapazes, que pretendem formar uma comisso organizadora da viagem. Sabe-se que a comisso ter obrigatoriamente trs raparigas e dois rapazes. A Ana e o Miguel, alunos da turma, no querem fazer parte da comisso em simultneo.Explique, numa composio, que o nmero de comisses diferentes que se pode formar dado por:

18. Em duas caixas, A e B, introduziram-se bolas indistinguveis ao tacto:

Na caixa A: algumas bolas verdes e algumas bolas azuis;Na caixa B: trs bolas verdes e quatro bolas azuis.Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B. De seguida, retira-se, tam-bm ao acaso, uma bola da caixa B.Sabendo que a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul igual a , mostra que a bola que foi retirada da caixa A e colocada na caixa B tinha cor verde.

19. Considera todos os nmeros de trs algarismos que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.19.1 Escolhe-se, ao acaso, um desses nmeros.

Sejam os acontecimentos:


A: O nmero escolhido mltiplo de 5;B: O nmero escolhido tem os algarismos todos diferentes.Averigua se A e B so, ou no, acontecimentos independentes.

19.2 Considera o seguinte problema:De entre todos os nmeros de trs algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em quantos deles o produto dos seus algarismos um nmero par?Uma resposta correta a este problema : .Numa pequena composio explica porqu.

20. Seja o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria.Sejam A, B e C trs acontecimentos tais que .Sabe-se que e que .Calcula , utilizando as propriedades das operaes com conjuntos e a axiomtica das probabilidades.

21. De um baralho de cartas, selecionaram-se 16 cartas ( 4 Ases, 4 Reis, 4 Damas e 4 Valetes).Dividiram-se as 16 cartas em dois grupos: um com os Ases e os Reis e outro com as Damas e os Valetes.Retiraram-se, ao acaso, duas cartas de cada grupo (sem reposio).Qual a probabilidade de obter um conjunto formado por um s, um Rei, uma Dama e um Valete, no necessariamente do mesmo naipe?Apresenta o resultado na forma de frao irredutvel.

22. Considera um espao de resultados finito, , associado a uma certa experincia aleatria.A propsito de dois acontecimentos X e Y , sabe-se que

X e Y so independentes22.1 Mostra que a probabilidade de que no ocorra X nem Y igual a


22.2 Num frigorfico, h um certo nmero de iogurtes e um certo nmero de sumos. Tiram--se do frigorfico, ao acaso, um iogurte e um sumo. Sabe-se que a probabilidade de o iogurte ser de pssego e a probabilidade de o sumo ser de laranja .Admite que os acontecimentos tirar um iogurte de pssego e tirar um sumo de la-ranja so independentes.Utilizando a expresso mencionada em 22.1, determina a probabilidade de, ao tirar, ao acaso, um iogurte e um sumo do frigorfico, o iogurte no ser de pssego e o sumo no ser de laranja.Apresenta o resultado na forma de frao irredutvel.

23. Uma coluna com a forma de um prisma hexagonal regular est assente no cho de um jar-dim. Dispomos de seis cores (amarelo, branco, castanho, dourado, encarnado e verde) para pintar as sete faces visveis ( as seis faces laterais e a base superior) desse prisma. Admite que se pintam de verde duas faces laterais opostas.

23.1 Determina de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas as restantes cinco faces, de tal modo que:- duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes.- duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor.

23.2 Considera um prisma hexagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma das suas bases est contida no plano de equao z = 2.Escolhendo ao acaso dois vrtices do prisma, qual a probabilidade de eles definirem uma reta paralela ao eixo Oz? Apresenta o resultado na forma de frao irredutvel.

24. A figura seguinte representa, respetivamente, as planificaes de dois dados cbicos equili-brados, A e B.

1 0 2 0

0

0

1 1 1 1

1

1

A B


Lanam-se, simultaneamente, os dois dados.24.1 Seja X a varivel aleatria soma dos nmeros sados nas faces voltadas para cima, em cada um dos dados.

Constri a tabela de distribuio de probabilidades da varivel X.Apresenta as probabilidades na forma de frao.

24.2 Considera que o nmero da face voltada para cima no dado A a abcissa de um ponto Q do referencial o.n. xOy, e que o nmero da face voltada para cima no dado B a ordenada desse ponto Q.Considera agora os acontecimentos:J: o nmero sado no dado a negativo;L: o ponto Q pertence ao terceiro quadrante.Indica o valor de , sem aplicar a frmula da probabilidade condicionada.Apresenta o resultado na forma de frao.Numa composio, explica o teu raciocnio, comeando por referir o significado de

no contexto da situao descrita.


pgProva global

90 minutos

1. Um casal e os seus quatro filhos, ao posarem para uma fotografia, ficaram em p, um ao lado do outro. Qual o nmero de modos em que eles se podero dispor, se os pais ficarem sempre juntos?(A) 60 (B) 36 (C) 240 (D) 720

2. Num programa de rdio transmitido diariamente, durante 360 dias por ano, so tocadas sempre as mesmas 10 msicas, mas nunca pela mesma ordem. Para esgotar todas as possveis sequncias sero necessrios aproximadamente:(A) 10 anos (B) 1 sculo (C) 10 sculos (D) 100 sculos

3. Num prdio os moradores tm de eleger o administrador do condomnio e quatro membros para o conselho fiscal, sendo proibida a acumulao de cargos. A escolha feita de entre dez moradores.De quantos modos diferentes possvel fazer a escolha?(A) 126 (B) 252 (C) 640 (D) 1260

4. Um professor deu um teste com 7 questes, das quais os alunos s tinham de responder exatamente a 5 questes.Sabe-se que no houve duas escolhas das mesmas 5 questes entre todos os alunos da turma. Qual o nmero mximo de alunos dessa turma?(A) 15 (B) 21 (C) 25 (D) 30

5. Supe que a probabilidade de um casal ter um filho(a) com cabelos loiros de 14

. Se tiverem 6 crianas na famlia qual a probabilidade de metade terem cabelos loiros?(A) 0,125 (B) 0,13 (C) 0,5 (D) 0,75

6. Num torneio de tnis de mesa em que cada participante enfrenta todos os outros, so jogadas 780 partidas. Quantos so os participantes?7. Quatro bolsas de estudo vo ser sorteadas entre 30 alunos, dos quais 12 so do Ensino Bsico e 18 do ensino secundrio. Qual a probabilidade de que haja entre os sorteados:

7.1 um aluno do bsico?7.2 no mximo um aluno do secundrio?7.3 pelo menos um aluno de cada ciclo?


8. Um saco tem 15 bolas numeradas de 1 a 15.Trs bolas so tiradas sem reposio.Qual a probabilidade de que:

8.1 o menor nmero seja o 7?8.2 o maior nmero seja o 7?

9. A Maria e o Pedro vo resolver um problema. Eles trabalham na soluo de forma indepen-dente, e tm, respetivamente, probabilidade 0,8 e 0,7 de resolv-lo.9.1 Qual a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema?9.2 Qual a probabilidade do problema ser resolvido?9.3 Dado que o problema foi resolvido, qual a probabilidade de que tenha sido resolvido apenas pelo Pedro?

10. Num processo de produo recolhe-se aleatoriamente 15 produtos sabendo que 85% dos pro-dutos so aceitveis. Qual a probabilidade de que 10 produtos extrados sejam aceitveis?

40 6. Tringulo de Pascal e Binmio de Newton

A frmula do quadrado do binmio

bem conhecida. Fazendo os respetivos clculos fcil obter outras frmulas para o cubo do bin-mio

ou para a quarta potncia do binmio:

Desde h largas centenas de anos que estas e outras frmulas levaram as pessoas a pensar que have-ria qualquer regra por detrs dos coeficientes destes desenvolvimentos. Com efeito, ordenemos todos os coeficientes obtidos da maneira seguinte:

J consegues ver a lei de formao deste quadro e acrescentar-lhe mais algumas linhas? J no sculo XIII o matemtico chins Yang Hui tinha elaborado um tal tringulo e atribui a sua descoberta a um outro matemtico chins; na realidade pensa-se que esse tringulo era conhecido muito antes e em diversas civilizaes. Num dos livros de Yang Hui aparece um esquema semelhante ao seguinte:

6. Tringulo de Pascal e Binmio de NewtonNormalmente ficamos mais facilmente convencidos

pelas razes que ns prprios encontrmos do que por aquelas que ocorreram a outros.

Blaise Pascal (1623-1662)

lvaro de CamposO binmio de Newton to belo como a Vnus de Milo.

O que h pouca gente para dar por isso.

(O vento l fora). in Poesias de lvaro de Campos. Fernando Pessoa. Lisboa:

tica, 1944

416. Tringulo de Pascal e Binmio de Newton

Como o sistema de numerao chins antigo simples de decifrar, com um bocado de pacincia conseguirs ver que este tringulo pode ser representado por

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 8 28 56 70 56 28 8 11 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6 11 5 10 10 5 1

1 4 6 4 11 3 3 1

1 2 11 1

1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 8 28 56 70 56 28 8 11 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6 11 5 10 10 5 1

1 4 6 4 11 3 3 1

1 2 11 1

1

Este tringulo muito curioso. Em particular tem uma propriedade notvel: cada elemento do tri-ngulo (diferente de 1) obtm-se somando os dois elementos imediatamente acima dele na linha de cima. E com esta regra conseguiremos acrescentar ao tringulo qualquer nmero de novas linhas.Este tringulo foi popularizado pelo filsofo e matemtico francs Blaise Pascal (1623-1662), pelo que hoje frequente chamar-lhe tringulo de Pascal, embora seja tambm conhecido por trin-gulo de Tartaglia (matemtico italiano do sculo XVI) ou por tringulo de Yang Hui.

Trin

gulo

de Y

ng

Hu,

http

://en

.wiki

pedia

.org/

wiki/

File:

Yang

hui_

trian

gle.gi

f


Olhando para a sexta linha do tringulo de Pascal, agora fcil concluir qual o desenvolvimento da quinta potncia do binmio:

Simples no ? As restantes potncias so obtidas pelo mesmo modo.Mas este tringulo de Pascal pode ser olhado com os olhos da Anlise Combinatria. Tal no evidente partida, mas torna-se bvio se observarmos que todos os valores do Tringulo de Pascal so resultados do clculo de combinaes (exceto talvez os valores iguais a 1, mas j resolveremos esse problema). Com efeito, temos:

e o mesmo para os restantes. Poderemos incluir tambm os 1? Para os incluir a regra pareceria que deveria ser

Ser possvel? Para isso ter de ser

S h uma maneira de isso ser verdade que a de admitir que 0!=1. Vamos tomar exatamente essa igualdade como a definio de zero fatorial:Definimos zero fatorial como sendo igual a 1, ou seja,

0! = 1.Em consequncia desta definio, temos

e


Podemos agora reescrever totalmente o tringulo de Pascal usando as combinaes:

L atrs j vimos que cada elemento do tringulo de Pascal se obtm a partir da soma dos dois elementos imediatamente acima na linha de cima. Mas se consegussemos traduzir esta propriedade em termos de combinaes seria uma propriedade curiosa para as combinaes:

Ser que se verifica sempre? Isto , ser que sempre verdade que

para todos os valores naturais de n e k?


Prova que

para todo o nmero natural n superior ou igual a 2 e todo o nmero natural k inferior a n.resoluo

Temos que representa o nmero de grupos de k elementos que se podem formar a partir de n elementos dados. Vamos fazer esta mesma contagem de outro modo: retiremos um elemento dos n elementos, digamos o elemento A, ficando apenas com elementos. Os grupos de k elementos que tnhamos originalmente ou so grupos que no incluem A ou so grupos que incluem A. Os grupos que no incluem A so tantos quantas as combinaes de elementos (deixando o A de lado) tomados k a k, ou seja . Os grupos que incluem A so tantos quantos os grupos de elementos que podemos formar apenas com elementos (deixando o A de lado), ou seja,


Isto prova que

Outra propriedade do tringulo de Pascal que salta vista mal olhamos para ele a da simetria relativamente ao eixo vertical. Podemos provar isso com facilidade.


Prova que

para todo o nmero natural n e todo o nmero natural k inferior ou igual a n.resoluo

Temos que

H outras propriedades interessantes no tringulo de Pascal. Tenta descobrir mais algumas.

TTarefa 3

Um aluno que se apaixonou pelo tringulo de Pascal reproduziu muitas linhas num papel mas depois trs dos nmeros desapareceram. Consegues ajud-lo e dizer-lhe quais so os nmeros que faltam?


Binmio de NewtonEste captulo comeou com a construo do tringulo de Pascal a partir dos coeficientes do desen-volvimento de sucessivas potncias do binmio:

Mas vimos que os coeficientes eram na realidade combinaes pelo que podemos reescrever estes desenvolvimentos das potncias do binmio como

e assim sucessivamente.Isto leva-nos a concluir que dever haver uma frmula geral, para todas as potncias de um binmio, envolvendo combinaes. Com efeito essa frmula existe e essa a famosa frmula do Binmio de Newton:

Observemos que a soma dos expoentes de e de sempre igual ao expoente . Podemos dizer que todas as parcelas tm a forma

com k a variar de 0 a n.No h dvida que esta frmula tem uma grande beleza! esta frmula tambm til? muito e muitas consequncias se podem tirar dela.



Prova quea)

b)

para todo o nmero natural n.resoluo

a) Basta fazer e na frmula do binmio de Newton.b) Basta fazer na frmula obtida na alnea anterior.

TTarefa 5

Recorrendo frmula do binmio de Newton, calculaa)

b)

c)

Ainda no demonstrmos a famosa frmula do Binmio de Newton. Apenas olhmos para os primei-ros desenvolvimentos do binmio e adivinhmos que a frmula funcionaria para todos os casos, mas isso no chega para provar que verdadeira para todos os valores de a, b e n. Conseguiremos demonstrar esta frmula?Podemos verificar a frmula para muitos casos de a, b e n, mas neste momento no temos maneira de provar que verdadeira para todos os valores naturais de n e todos os valores reais de a e b. Para isso vamos precisar de introduzir um novo mtodo de demonstrao.


HHisTria(s)

Origem da Anlise Combinatria

As exposies mais antigas que se registaram de regras combinatrias aparecem na ndia embora sem quaisquer provas ou justificaes. Por exemplo, o tratado mdico de Susruta, escrito talvez no sculo sexto a.C., afirma que podem ser feitas 63 combinaes de seis gostos diferentes - amargo, azedo, salgado, adstringente, doce e picante - tomando-se um de cada vez, dois de cada vez, trs de cada vez, .... Por outras palavras h cinco gostos simples, 15 combinaes de dois, 20 combinaes de trs, e assim sucessivamente. Outras obras, em geral da mesma poca, incluem clculos seme-lhantes relativos a tpicos como categorias e sentidos filosficos. Em todos estes exemplos, contudo, os nmeros so pequenos, o que basta para que a enumerao simples seja suficiente para encontrar as respostas. No sabemos se foram desenvolvidas frmulas relevantes.

Esttua de Susruta em Patanjali Yogpeeth, Haridwar, ndiaPor outro lado, uma obra do sculo sexto, de Varahamihira, considera um valor maior. Afirma cla-ramente que se uma quantidade de 16 substncias se varia de quatro formas diferentes, o resultado ser 1820. Por outras palavras, visto que Varahamihira estava a tentar criar perfu-mes usando quatro ingredientes de um total de 16, calculou que havia 1 820 maneiras diferentes (

) de escolher os ingredientes. No provvel que o autor enumerasse essas 1 820 combinaes e, assim, suporemos que conhecia um mtodo para calcular esse nmero. No h frmulas para n-

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meros combinatrios na literatura indiana do tempo, mas parece haver uma referncia crptica na obra de Varahamihira a uma regra para derivar esses nmeros um de cada vez, como o mtodo usual para produzir o tringulo de Pascal.No sculo nono Mahavira apresenta um algoritmo explcito para calcular o nmero de combinaes. Mahavira no deu, contudo, qualquer prova do seu algoritmo que pode ser traduzido na frmula moderna

Aplica simplesmente a regra a dois problemas: um acerca da combinao de gostos - como o fez o seu predecessor - e outro acerca da combinao de jias num colar, que podem ser diamantes, safi-ras, esmeraldas, corais e prolas.Bhaskara, depois de, essencialmente, repetir a regra de Mahavira, observou ainda que esta uma regra geral. Serve na poesia, para aqueles versados nela, para achar as variaes da mtrica; nas ar-tes, para calcular as variaes nas portas e janelas; . . . . em medicina, as combinaes de diferentes sabores. Como exemplo de um clculo, Bhaskara pergunta, Num edifcio espaoso e elegan-te, com oito portas, construdo por um hbil arquiteto como palcio para o senhor da terra, diz-me qual a combinao das portas tomadas uma a uma, duas a duas, trs a trs, etc.

(adaptado de Histria da Matemtica de Victor J. Katz) Mtodo de induo matemticaNo podemos aferir a veracidade de uma proposio que dependa de um ou mais nmeros naturais arbitrrios apenas por verificao caso a caso. O exemplo mais famoso o da proposio:

sempre um nmero primo, qualquer que seja o natural n.Temos que

e por a adiante at chegarmos (se tivermos pacincia para tanto) a , caso em que obtemos no primo.

O modo de provar que algumas proposies, que dependem de um nmero natural, so verdadeiras usar o chamado Mtodo de Induo Matemtica. Podemos enunci-lo do seguinte modo:


Mtodo de Induo Matemtica Seja uma proposio que depen-de do inteiro n. Para provar que a proposio verdadeira qualquer que seja o n basta provar as duas seguintes proposies:a) Caso

verdadeira.

b) Passo Indutivo

Sempre que for uma proposio verdadeira, com , ento

tambm verdadeira.

Por que razo funciona este mtodo? Uma maneira de pensar no Mtodo de Induo Matemtica pensar no efeito domin. Se alinharmos verticalmente domins podemos fazer uma fileira de domins do tamanho que quisermos. Se nada mais for feito os domins no caem.

Poderemos fazer cair todos os domins com um s toque? Podemos, se forem satisfeitas as duas seguintes condies:a) O primeiro domin cai em cima do segundo;b) A distncia entre dois domins seguidos tal que se um domin cai ento o seguinte tambm cai.

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A situao facilmente compreensvel e aparece em muitas situaes, havendo mesmo competies de queda de domins, estando alguns recordes registados no Livro Guinness de Recordes. O efeito domin tambm usado em vrios filmes (como por exemplo As aventuras de Jack nas garras do Mandarim ou A Mmia) sendo mesmo o ttulo de um filme recente. Observe-se que as duas con-dies enunciadas para o Efeito Domin esto totalmente em paralelo com as condies do Mtodo de Induo Matemtica.


Prova pelo Mtodo de Induo Matemtica que

para todo o nmero natural n, ou seja, que a soma de qualquer quantidade de nmeros mpares consecutivos a contar de 1 sempre um quadrado perfeito.resoluo

Designemos a igualdade a provar por . Pelo Mtodo de Induo Matemtica temos de provar duas coisas:a) verdadeira.Com efeito, se a igualdade fica 1 = 12, o que obviamente verdade.b) Passo Indutivo.Tentemos provar que verdadeira, supondo que verdadeira.

representada pela igualdade

Mas, pela hiptese do Passo Indutivo (tambm chamada Hiptese de Induo), temos que

Adicionando a ambos os membros, vem

Mas o membro da direita exatamente o quadrado do binmio , pelo que vem

que o que pretendamos obter.A demonstrao pelo Mtodo de Induo Matemtica fica assim completa visto que provamos as


duas proposies necessrias.a no esquecer

Uma demonstrao pelo Mtodo de Induo Matemtica exige que se verifiquem as duas condies do Mtodo: a verificao para o primeiro elemento e o Passo Indutivo.

A verificao para o primeiro elemento pode ser feito para um valor qualquer, caso em que prova-remos que a propriedade vlida apenas a partir desse valor.


Prova, pelo Mtodo de Induo Matemtica, que

sempre mltiplo de 3 para todo o nmero natural n superior a 2.resoluo

Designemos a proposio a provar por . Pelo Mtodo de Induo Matemtica temos de provar duas coisas:a) verdadeira.Com efeito, se , temos que mltiplo de 3.b) Passo Indutivo.Temos que

Assim, igual soma de (que, pela hiptese do Passo Indutivo, a Hiptese de Induo, mltiplo de 3) e de , que tambm mltiplo de 3. Assim tambm mltiplo de 3, que exatamente o que pretendamos obter.A demonstrao pelo Mtodo de Induo Matemtica fica assim completa visto que provmos as duas proposies necessrias.a no esquecer

Uma demonstrao pelo Mtodo de Induo Matemtica exige que se verifiquem


as duas condies do Mtodo: a verificao para o primeiro elemento (neste caso foi n = 2) e o Passo Indutivo.

Passemos agora demonstrao da famosa frmula do Binmio de Newton.


Prova a famosa frmula do Binmio de Newton pelo Mtodo de Induo Matemtica:

para todo o nmero natural n e quaisquer nmeros reais a e b.resoluo

Designemos a igualdade a provar por . Vamos prov-la usando o Mtodo de Induo Matem-tica em n, considerando que os nmeros reais a e b so arbitrrios mas fixos.a) verdadeira.Para , temos

e .b) Passo Indutivo.Tentemos provar que verdadeira, supondo que verdadeira.

verdadeira se conseguirmos provar que

Temos que

Pela hiptese de induo temos um desenvolvimento j para . Multiplicando todos os ter-mos desse desenvolvimento por a + b vamos obter termos que podemos associar do seguinte modo


Usmos a propriedade da tarefa 1 no ltimo passo. Associando todos os termos deste modo obtemos exatamente o que pretendamos obter.A demonstrao pelo Mtodo de Induo Matemtica fica assim completa visto que provamos as duas proposies necessrias.

TTarefa 9

Prova, pelo Mtodo de Induo Matemtica, que:a) para todo o nmero natural n superior a 4.b) para todo o nmero natural n superior a 2.


HHisTria(s)

O Tringulo de Pascal chins

Em meados do sculo XI, Jia Xang, numa obra perdida, generalizou os processos de obteno das razes quadradas e cbicas do mtodo de Juzhang Suanshu, para razes mais elevadas, usando uma matriz de nmeros conhecida hoje com o nome de tringulo de Pascal, e tambm alargou e melho-rou o mtodo para o adaptar resoluo de equaes polinomiais de qualquer grau. Os mtodos de Jia Xian so discutidos na obra de Yang Hui escrita cerca de 1261.A ideia bsica de Jia nasce dos algoritmos originais das razes quadradas e cbicas que faziam uso dos desenvolvimentos binomiais e , respectivamente. Por exemplo, consideremos a soluo da equao que podemos razoavelmente supor ser um n-mero com trs dgitos comeando por 2. Por outras palavras, a soluo inteira mais prxima pode ser escrita sob a forma . Ignorando por agora o c, temos de achar o maior valor de b de modo que

ou, ento,

Ensaiando os valores b = 1 , 2, 3, . . . , descobre-se que b = 3 o maior nmero que satisfaz a de-sigualdade. Visto que,

subtrai-se, a seguir, 416700 de 4182904 e obtem-se uma desigualdade semelhante para c: .

Neste caso reconhece-se que c = 4 satisfaz esta expresso como igualdade e, assim, a soluo .Jia observou que este processo de soluo poderia ser generalizado para razes de ordem n para a partir do desenvolvimento do binmio . De facto, como relata Yang Hui, no apenas escreveu o tringulo de Pascal dos coeficientes binomiais at sexta linha, mas tambm desenvolveu o mtodo usual de construir o tringulo: Some os dois nmeros de cima para obter o nmero no lugar em baixo. Yang Hui explicou ainda como Jia usava os coeficientes binomiais para achar razes de ordem mais elevada por um mtodo anlogo ao que foi mostrado.Evidentemente, Jia foi mesmo alm disto. Viu que o seu mtodo poderia ser usado para resolver equaes polinomiais arbitrrias, especialmente por estas aparecerem como parte do processo de extrao de razes, mas seria mais simples, sobre a mesa de clculo, gerar os vrios mltiplos com os coeficientes binomiais, passo a passo, em vez de recorrer ajuda do prprio tringulo.

(adaptado de Histria da Matemtica de Victor J. Katz)


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leleiTura(s)

Cincia e ArteFernando Pessoa, sob o pseudnimo de lvaro de Campos, escreveu em 1935 um pequeno poema sobre a relao entre a Matemtica e a Arte:

O binmio de Newton to belo como a Vnus de Milo.

O que h pouca gente para dar por isso (...).

Toda a gente conhece, de facto, a famosa esttua sem braos mas a frmula do binmio de Newton no goza da mesma popularidade.

Foi este poema que tomei a liberdade de parafrasear no final do prefcio que escrevi em 1991 para a primeira edio portuguesa (j h, desde h alguns anos, uma segunda edio) de Objectos

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Fractais, um livro do matemtico de origem polaca, francs, mas a trabalhar nos Estados Unidos Benot Mandelbrot. A verso do prefcio era:O conjunto de Mandelbrot to belo como a Vnus de Milo.

E h cada vez mais gente a dar por isso.

Foi decerto uma honra para mim ter encontrado Benot Mandelbrot durante a sua primeira visi-ta a Portugal. Foi tambm um prazer ter colaborado com Jos Lus Malaquias Lima na traduo para portugus, publicada pela Gradiva, de um trabalho que vai permanecer como um marco na bibliografia cientfica do sculo XX. Pela primeira vez, o neologismo fractal, que significa partido, fragmentado, entrou na capa de um livro em portugus.Embora para o artista Pessoa arte e cincia fossem bem distintas (ele escreveu nas suas Pginas sobre Esttica que a cincia descreve as coisas como elas so; a arte descreve as coisas como elas so sentidas), interessante que ele tenha chegado a idntica metfora sobre a relao de equaes com esculturas que alguns cientistas. De facto, o matemtico G. N. Watson, professor ingls que passou a sua vida a tentar demonstrar as expresses bem complexas encontradas nos cadernos de notas do gnio indiano Ramanujan, afirmou numa comunicao em 1937 (repare-se na data) So-ciedade Matemtica de Londres:

Exprimiria a minha atitude [relativamente ao trabalho de Ramanujan] com maior prolixidade dizendo que uma frmula como [expresso complexa de Ramanujan] me d uma sensao que indistinguvel daquela que sinto quando entro na Sa-grestia Nuova da Capella Medicee [em Florena] e me vejo diante da beleza austera do Dia, da Noite, da Tarde e do Crepsculo, que Miguel ngelo esculpiu sobre os tmulos de Giuliano e Lorenzo de Medici.

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As esculturas em causa so magnficas, perfeitas mesmo, mas de facto austeras e frias.Um outro matemtico ingls, Bertrand Russel (talvez mais conhecido pela sua actividade filosfica) j tinha escrito em 1918 na sua obra Misticismo e Lgica: A Matemtica, quando bem vista, possui no apenas verdade mas uma beleza suprema uma beleza fria e austera como a de uma escultura.Alguns autores tentaram generalizar a semelhana entre a matemtica e as artes plsticas, nome-adamente a escultura, apontada independentemente por Pessoa, Watson e Russell. O matemtico polaco Jacob Bronowski (talvez mais conhecido como historiador e crtico de cincia) escreveu no seu ensaio Cincia e Valores Humanos:

Quando Coleridge tenta definir beleza, regressa sempre a um pensamento simples e profundo: a beleza unidade na diversidade. A cincia no mais do que a busca da unidade na variedade desordenada da Natureza ou, mais exactamen-te, na diversidade da nossa prpria experincia. A poesia, a pintura, as artes em geral, so o mesmo.

A relao entre cincia e arte , portanto, uma de identidade, se no na metodologia pelo menos nos fins ltimos.Mas a beleza matemtica que evidente na frmula de Newton, nas sries de Ramanujan e at nos teoremas de Russel no facilmente capturvel por diletantes. Um processo rduo de apren-dizagem necessrio para dominar a linguagem. Sem essa aprendizagem, a Matemtica e a Arte parecem divorciadas uma da outra.

(adaptado de um texto de Carlos Fiolhais, Professor de Fsica da Universidade de Coimbra)


snTese

O essencial passado em revista

O tringulo de Pascal um tringulo de nmeros naturais em que os nmeros dos lados do tringulo so sempre iguais a 1 e cada elemento do tringulo (diferente de 1) se obtm so-mando os dois elementos imediatamente acima dele na linha de cima:

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 8 28 56 70 56 28 8 11 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6 11 5 10 10 5 1

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Cada um dos nmeros do tringulo de Pascal na realidade uma combinao:

Frmulas relevantes:


Frmula do Binmio de Newton:

Mtodo de Induo Matemtica:

Seja uma proposio que depende do inteiro . Para provar que a proposio verda-deira qualquer que seja o basta provar as duas seguintes proposies:a) Caso

verdadeira.b) Passo Indutivo

Sempre que for uma proposio verdadeira, com , ento tambm verdadeira.


egExerccios globaisPratica

1. Calcula o desenvolvimento das potncias seguintes:1.1

1.2

2. Determina o quarto termo do desenvolvimento de .3. Determina o termo independente de , no desenvolvimento de

Pensa e Resolve

4. Calcula n de modo que a soma dos coeficientes do desenvolvimento de seja 1024.5. Calcula n de forma que no desenvolvimento de os coeficientes do 15. e do 21. termos sejam iguais.6. Calcula, sem usar a calculadora, o valor das somas:

6.1

6.2

7. Resolve a equao:

8. Determina o termo independente de x no desenvolvimento de Reflete

9. Calcula o valor de sabendo que e .10. Explica porque no h termo independente de x no desenvolvimento de

.


11. Determina o valor de k que satisfaz a igualdade:.

12. Quantas comisses com no mnimo 2 pessoas podemos formar com um grupo de 12 pessoas?13. Mostra que:

.

conselHos para os exames n. 6Como responder a questes de escolha mltipla

Muitos alunos consideram as questes de escolha mltipla como sendo mais fceis do que as ques-tes de desenvolvimento (ditas questes abertas). Baseiam essa opinio normalmente em duas or-dens de razes:a) A resposta certa garantidamente uma das apresentadas;b) possvel acertar respondendo ao acaso.Acontece que as estatsticas dos exames contrariam esta ideia pois os resultados mdios da parte de escolha mltipla so idnticos aos resultados mdios das questes da parte aberta. Porque ser? Se verdade que as duas razes acima so de algum modo facilitadoras, h que considerar duas outras ordens de razes:c) As questes de escolha mltipla abrangem mais captulos da matria do que o resto da prova; assim obrigam mobilizao de mais conhecimentos do que as questes da parte aberta. d) Acertar ao acaso no garante grande nota: respondendo totalmente ao acaso s permite obter em mdia uma nota de 5 em 20, o que no serve para nada! uma iluso responder totalmente ao acaso.Que concluir desta situao? Por um lado o facto de serem questes de escolha mltipla no deve impressionar muito. Deves tentar responder a cada questo normalmente, confirmando que depois obtns uma das escolhas que fornecida como alternativa.Mas isso no quer dizer que no haja estratgias aconselhveis para responder a este tipo de ques-tes:a) Se tentas responder a uma questo e a resposta que obtns no uma das alternativas forneci-das, rev a tua resoluo. Se depois da reviso continuas a obter a mesma resposta passa questo seguinte e volta mais tarde a ela (se tiveres tempo); como as questes de escolha mltipla valem menos pontuao, no deves gastar demasiado tempo com elas.b) Se no tens a certeza sobre a estratgia adequada para responder a uma questo tenta eliminar algumas das alternativas fornecidas; se consegues eliminar todas as alternativas menos uma, est o problema resolvido que a alternativa que sobra a resposta correta. Mas se s sobram duas alter-nativas e j no tens tempo para mais, ento podes tentar responder ao acaso que a probabilidade de acerto melhora para 50%.


ieItens de exame

Escolha mltipla

1. Na sequncia seguinte, reproduzem-se os trs primeiros elementos e os trs ltimos elementos de uma linha do Tringulo de Pascal.1 15 105 ... 105 15 1So escolhidos, ao acaso, dois elementos dessa linha.Qual a probabilidade de a soma desses dois elementos ser igual a 105?(A) 1 (B) (C) (D) 0

2. Numa certa linha do tringulo de Pascal, o penltimo elemento 111Escolhe-se, ao acaso, um elemento dessa linha.Qual a probabilidade de esse elemento ser maior do que .(A) (B) (C) (D)

3. Uma certa linha do Tringulo de Pascal constituda por todos os elementos da forma .Escolhido, ao acaso, um elemento dessa linha, qual a probabilidade de ele ser o nmero 14?(A) (B) (C) (D)

Resposta aberta

4. Relativamente ao binmio x + 1x

10

.4.1 Calcula o quociente entre o terceiro e o nono termo do desenvolvimento.4.2 Escreve o termo do desenvolvimento que constante.

5. Prova que o nmero de subconjuntos de um conjunto com n elementos 2n


(Sugesto: Recorre ao desenvolvimento do binmio de Newton).5.1 Um conjunto tem 32 subconjuntos. Quantos subconjuntos com 3 elementos existem?

6. Considera a expresso (3x2 + 1)n(3 a)x2 ax + 1

, com .6.1 Determina a, real, de modo que o domnio da expresso seja n .6.2 Para a = 0 a expresso dada equivalente a uma potncia de um binmio. Se o desen-volvimento dessa potncia tiver 12 termos, qual o termo em ?


pgProva global

90 minutos

1. O segundo termo de uma linha do tringulo de Pascal tem o valor 17. Qual o valor do quarto termo dessa linha?(A) 4080 (B) 680 (C) 57120 (D) 2380

2. Uma linha do tringulo de Pascal representada por:1 8 28 56 r 56 s 8 1Quais os valores correspondentes a r e s:(A) e (B) e (C) e (D) e

3. Uma linha do tringulo de Pascal formada pelo elementos da forma .Escolhendo ao acaso um nmero dessa linha qual a probabilidade de ele ser 1? (A) (B) (C) (D)

4. O coeficiente do stimo termo do desenvolvimento de :(A) 224 (B) 56 (C) 112 (D) 28

5. Os quatro ltimos termos de uma linha do tringulo de Pascal so 1140, 190, 20, 1.Os trs ltimos nmeros da linha anterior so:(A) 210, 21, 1 (B) 171, 19, 1 (C) 1330, 210, 21 (D) 1023, 171,19

6. Tens 8 moedas (2 euros, 1 euro, 50 cntimos, 20 cntimos, 10 cntimos, 5 cntimos, 2 cnti-mos, 1 cntimo). Pedem-te um donativo e podes responder de vrias formas: no dar nada, dar uma moeda, dar duas moedas, ... ou dar todas. Quantas respostas possveis h?7. Determina o valor de k na equao:

8. O cdigo de um carto multibanco constitudo por um nmero de quatro algarismos de 0 a 9. Quantos so os cdigos em que no h algarismos repetidos em posies sucessivas?

657. Funo exponencial

A funo exponencial uma das mais importantes da matemtica e das suas aplicaes. J encon-trmos alguns casos particulares deste funo em situaes anteriores. Vejamos uma dessas situa-es.


As bactrias podem multiplicar-se a uma taxa alarmante visto que, em intervalos de tempo bastan-te curtos, cada bactria se pode dividir em duas outras bactrias mais pequenas que rapidamente atingem as dimenses da bactria me. Assim, o nmero de bactrias duplica em cada intervalo de tempo. Supondo que esse intervalo de tempo de 1 hora, podemos ver os nmeros atingidos a partir de uma s bactria (supondo que os nveis de nutrientes das bactrias se mantm uniformes):Tempo decorrido 0 horas 1 hora 2 horas 3 horas 4 horas 5 horas 6 horasBactrias 1 2 4 8 16 32 64

Qual o padro de comportamento do nmero de bactrias? Quantos milhes de bactrias haver ao fim de 24 horas?

7. Funo exponencialO grande defeito da raa humana a inabilidade

de compreender o crescimento exponencial Albert A. Bartlett (1923 - ), fsico

O Nosso InfinitoH ou no um infinito fora de ns? ou no nico, ima-

nente, permanente, esse infinito; necessariamente substancial pois que infinito, e que, se lhe faltasse a matria, limitar-

se-ia quilo; necessariamente inteligente, pois que infinito, e que, se lhe faltasse a inteligncia, acabaria ali? Desperta ou no em ns esse infinito a ideia de essncia, ao passo que ns no podemos atribuir a ns mesmos seno a ideia de existn-

cia? Por outras palavras, no ele o Absoluto, cujo relativo somos ns?

In Os Miserveis, Victor Hugo (1802-1885)

66 7. Funo exponencial

resoluo

Podemos obviamente definir o padro atravs da sucesso de termo geral . A partir desta expresso, podemos calcular facilmente o nmero de bactrias ao fim de 24 horas. Ao fim de 24 horas haver bact-rias. Quantos milhes de bactrias sero? Com o auxlio de uma calculadora conclumos que existem mais de 16 milhes de bactrias, mais precisamente 16 777 216 bactrias (muita bac-tria!).J encontrmos outros casos de potncias com expoentes dife-rentes. Por exemplo:

.Ser que podemos definir uma nova funo, desta vez tendo por domnio o conjunto dos nmeros reais? Tal possvel, embora a fundamentao terica de tal construo esteja fora do programa. Partimos ento da seguinte definio:

Uma funo exponencial , por definio, toda a funo real varivel real que satisfaz as seguintes condies:a) O Domnio e o Contradomnio .b) No ponto zero a funo vale sempre 1.c) A funo contnua.d) O transformado da soma de dois nmeros reais igual ao produto dos transformados desses dois nmeros reais.

Todas as funes exponenciais so extenses ao conjunto dos nmeros reais das sucesses , onde a um nmero real positivo, pelo que se designam por.

O nmero real a, que sempre um nmero real positivo, chamado a base da funo exponencial. A condio d) da definio tomada implica que,

tendo-se ainda que , , que so generalizaes das propriedades j conhecidas nos casos em que o expoente inteiro ou fracionrio (e que j foram vistos em anos anteriores).

Coccus por gmad, http://openclipart.org/detail/162811/coccus-by-gm

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677. Funo exponencial

exerccios

1. Sabendo que e que determina .

2. Prova que e que .

3. Sabendo que e que determina .Qual o grfico duma funo exponencial? Vamos estudar apenas o caso da funo exponencial de base superior a 1. Sendo , e recorrendo a uma calculadora ou computador podemos, por exem-plo para a funo exponencial de base 2 definida por , obter os seguintes grficos:

6 4 2 2 4 6 x xx

5

5

10

15

20y

y

10 5 5 1020

20

40

60

80

100

x

para para Observamos que a funo parece ser estritamente crescente. Pode efetivamente provar-se que assim e que o mesmo acontece com toda a funo exponencial de base superior a um. Como conse-quncia deste facto podemos concluir que injetiva porque, sendo estritamente crescente, a valores diferentes dos originais vo obviamente corresponder valores diferentes das imagens.

68 7. Funo exponencial

Por observao do grfico conjeturamos que ,

Pode ser provado que a mesma propriedade vlida para todas as funes exponenciais de base superior a um.Para obter grficos de funes do tipo , basta aplicar as transformaes de funes j estudadas em anos anteriores. Po

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Aleph 12_ Probabilidades