Embed Size (px)
Citation preview
IEIIED TECNICO SIMON BOLIVAR DE MAMATOCO
IEIIED TECNICO SIMON BOLIVAR DE MAMATOCO ESTUDIANTE: Alexander Ochoa Mejía
TEMA : 4.3 MOVIMIENTO PARABOLICO SUBTEMA 4.3.2. MOVIMIENTO DE PROYECTILES
4.3 MOVIMIENTO CURVILINEO
Un proyectil es cualquier objeto que se proyectara una vez que
continúa en el movimiento por su propia inercia y es influenciado
solamente por la fuerza hacia abajo de la gravedad. El camino seguido por
un proyectil se denomina trayectoria.
Si hubiera alguna otra fuerza que actuara sobre un objeto, ese
objeto no sería un proyectil.
SUBTEMA 4.3.2 Movimiento de Proyectiles
TIPOS DE PROYECTILES
Por definición, un proyectil tiene solamente una fuerza que actúa
sobre él, esta es la fuerza de gravedad. Si hubiera alguna otra fuerza que
actuara sobre un objeto, ese objeto no sería un proyectil. Así, en el
diagrama de cuerpo libre para un proyectil, se mostraría una sola fuerza
que actúa hacia abajo y la " fuerza de gravedad " (o simplemente de Fgrav).
Esto quiere decir que sin importar si un
proyectil se está moviendo hacia abajo, hacia arriba,
hacia arriba y hacia la derecha, o hacia abajo y hacia la
izquierda, el diagrama del libre-cuerpo del proyectil
todavía está según lo representado en el diagrama de
alado. Por definición, un proyectil es cualquier objeto
sobre el cual la única fuerza sea gravedad.
Si se elige el marco de referencia tal que la dirección y sea vertical y positiva
hacia arriba, entonces ay = - g (como en la caída libre unidimensional), y ax =
0 (debido a que se ignora la fricción del aire).
Suponiendo que se tienen dos muchachos
jugando béisbol. La trayectoria que sigue la
pelota (o proyectil) es parabólica, además
sale con una velocidad vo .
El vector inicial v cambia con el tiempo tanto de magnitud como en dirección.
El cambio en el vector es el resultado de la aceleración y negativa. La
componente x de la velocidad permanece constante en el tiempo debido a
que no hay aceleración a lo largo de la dirección horizontal. Además, la
componente y de la velocidad es cero en el punto más alto de la trayectoria.
Si se desprecia la resistencia ofrecida por el aire, la experiencia muestra que
todos los cuerpos en caída libre están sometidos a la fuerza de atracción que
ejerce la tierra sobre una masa cualquiera.
El efecto de esta atracción produce en los cuerpos una aceleración dirigida
hacia abajo conocida como la aceleración de la gravedad. De acuerdo a esto,
un cuerpo que es lanzado horizontalmente avanzará en esa dirección a
velocidad constante (aceleración igual a cero) y caerá en la dirección vertical
con movimiento uniformemente variado debido a la aceleración de la
gravedad.
Como, en este caso idealizado, la única fuerza que actúa sobre el
proyectil es su peso considerado constante en magnitud y dirección, es mejor
referir el movimiento a un sistema de ejes de coordenadas rectangulares.
Tomaremos el eje x horizontal y el eje y vertical. La componente x de la fuerza
que actúa sobre el proyectil es nula, y la componente y es el peso del proyectil.
-mg. Entonces, en virtud de la segunda ley de Newton, ax = Fx =0, ay = Fy =
-mg = -g m m mo bien, a = -gj.
Esto es, la componente horizontal de la aceleración es nula, y la
componente vertical, dirigida hacia abajo, es igual a la de un cuerpo que cae
libremente. Puesto que aceleración nula significa velocidad constante, el
movimiento puede definirse como una combinación de movimiento horizontal
con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante.
La clave para el análisis del movimiento de proyectiles reside en el
hecho de que todas las relaciones vectoriales que se necesitan, incluidas la
segunda ley de Newton y las definiciones de velocidad y aceleración, pueden
expresarse por separado mediante las ecuaciones de las componentes x e y
de las cantidades vectoriales. Además la ecuación vectorial F = ma equivale a
las dos ecuaciones de componentes: Fx = max y Fy = may
De igual forma, cada componente de la velocidad es la variación por
unidad de tiempo de la coordenada correspondiente, y de cada componente
de la aceleración es la variación por unidad de tiempo de la componente de la
velocidad correspondiente. En este aspecto los movimientos en x e y son
independientes y pueden analizarse por separado. El movimiento real es,
entonces, la superposición de estos movimientos separados.
MOVIMIENTO DE PROYECTILES. (TIRO
HORIZONTAL Y TIRO OBLICUO)
El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo
en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya
trayectoria corresponde a un tiro parabólico son: proyectiles lanzados desde la
superficie de la tierra o desde un avión, el de una pelota de fútbol al ser despejada
por el portero, o el de una de una pelota de golf al ser lanzada o golpeada con
cierto ángulo respecto del eje horizontal.
El tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial de un movimiento horizontal
uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente acelerado. Es de dos
tipos: tiro parabólico horizontal y tiro parabólico oblicuo.
Se caracteriza por la trayectoria o camino curvo que sigue un cuerpo al ser lanzado
horizontalmente al vacío, resultado de dos movimientos independientes: un
movimiento horizontal con velocidad constante y otro vertical, el cual se inicia
con una velocidad cero y va aumentando en la misma proporción de otro cuerpo
que se dejará caer del mismo punto en el mismo instante.
La forma de la curva descrita es abierta, simétrica respecto a un eje (eje Y) y
con un solo foco, es decir una parábola. Por ejemplo en la figura siguiente, se
grafica el descenso al mismo tiempo de dos pelotas, sólo que la pelota del lado
derecho es lanzada con una velocidad horizontal de 15 m /seg.
TIRO PARABOLICO HORIZONTAL
Al término del primer segundo ambas pelotas han recorrido 4.9 metros en
su caída, sin embargo, la pelota de la derecha también ha avanzado 15 metros
respecto de su posición inicial. A los dos segundos ambas pelotas ya han
recorrido en su caída 19.6 metros, pero la pelota de la derecha ya lleva 30 metros
recorridos como resultado de su movimiento horizontal.
Al cabo de 3 segundos, ambas pelotas habrán descendido 44.1 metros,
pero la pelota de la derecha avanza 45 metros horizontales, al transcurrir 4
segundos, las dos pelotas, habrán caído 77.1 metros, pero la pelota de la derecha
habrá recorrido 60 metros horizontalmente.
Si se desea calcular la distancia recorrida en forma horizontal puede
hacerse con la expresión d = v/t pues la pelota lanzada con una velocidad
horizontal tendrá una rapidez constante durante su recorrido horizontal e
independiente de su movimiento vertical originado por la aceleración de la
gravedad durante su caída libre.
La trayectoria descrita por un proyectil cuya caída es desde un avión en
movimiento, es otro ejemplo de tiro parabólico horizontal. Supongamos que un
avión vuela a 250 m/seg y deja caer un proyectil, en los diferentes momentos de
su caída libre, se puede determinar por medio del método del paralelogramo; para
ello, basta representar mediante vectores las componentes horizontal y vertical del
movimiento.
Al primer segundo de su caída la componente vertical tendrá un valor de
9.8 m/ seg, mientras la componente horizontal de su velocidad será la misma que
llevaba el avión al soltar el proyectil, es decir 250 m/seg. Trazamos el
paralelogramo y obtenemos la resultante de las 2 velocidades. A los 2
segundos la componente vertical tiene un valor de 19.6 m/seg y la horizontal
como ya señalamos conserva su mismo valor: 250 m/seg. Así continuaríamos
hasta que el proyectil llega al suelo.
Las ecuaciones que se utilizan en el tiro horizontal son las mismas de la
caída libre. En el tiro horizontal se suele calcular la altura desde la cual se lanza
el proyectil, el tiempo que tarda en caer, la velocidad vertical que lleva en un
tiempo determinado y la distancia horizontal que recorre desde el punto en que
es lanzado hasta el punto donde cae al suelo.
Ejemplos de Tiro horizontalEjemplos de Tiro horizontal
1.- Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 25 m/seg desde
una altura de 60 metros. Calcular: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo, b) la
velocidad vertical que lleva a los 2 segundos, c) La distancia horizontal a la que
cae la piedra.
Datos Fórmulas Sustitución
?)
2)
?)
/8.9
60
/25
2
=
=
−=−==
H
H
dc
segenVb
caerta
smg
metrosh
segmV
tVdc
tgsegenVb
gh
caerta
HH ⋅=⋅=
=
)
2)
2)
metros
segsegmdc
segm
segsmsegenVb
segsmm
caerta
H
5.87
)5.3)(/25()
/6.19
)2)(/8.9(2)
5.3)/8.9()60(2
)
2
2
==
−=−=
=−
−=
2.- Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad
inicial de 10 m/seg y cae al suelo después de 5 segundos: Calcular a) ¿ A qué
altura se encuentra la ventana? b) ¿A qué distancia cae la pelota?
Datos Fórmulas Sustitución
?)
?)
/8.9
5
/10
2
==−=
==
H
H
db
ha
segmg
segcaert
segmV
tcaerVdb
tgha
HH ⋅=
⋅=
)2
)2
metrosd
segsegmdb
metrosh
segsmha
H
H
50
)5)(/10()
5.1222
)5)(/8.9()
22
==
−=
−=
3.- Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad
inicial de 30 m/seg y cae al suelo después de 7 segundos: Calcular a) ¿ A qué
altura se encuentra la ventana? b) ¿A qué distancia cae la pelota?
(Tarea) Tiro horizontal(Tarea) Tiro horizontal
4.- Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 800 km/h y deja caer un
proyectil desde una altura de 500 m respecto al suelo. Calcular: a) ¿Cuánto
tiempo transcurre antes de que el proyectil se impacte en el suelo? b) ¿Qué
distancia horizontal recorre el proyectil después de iniciar su caída?
DATOS FORMULAS SUSTITUCION
?)
?)
/8.9
500
/800
2
==
−=−==
H
H
db
tcaera
segmg
mh
hkmV
tcaerVdb
gh
tcaera
HH ⋅=
=
)
2)
md
ssmdb
seg
smm
tcaera
H
H
42.2244
)10.10)(/22.222()
10.10
)/8.9()500(2
) 2
==
=−
−=
segmsegh
kmm
hkm /22.22236001
11000
/800 =
(Tarea) Tiro horizontal(Tarea) Tiro horizontal
5.- Un avión comercial vuela horizontalmente con una velocidad de 600 km/h y
deja caer un proyectil desde una altura de 300 m respecto al suelo. Calcular: a)
¿Cuánto tiempo transcurre antes de que el proyectil se impacte en el suelo? b)
¿Qué distancia horizontal recorre el proyectil después de iniciar su caída?
(Tarea) Tiro horizontal(Tarea) Tiro horizontal
Tiro oblicuoTiro oblicuo
Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado con una
velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal.
En el siguiente dibujo vemos la trayectoria seguida por una pelota de golf,
lanzada con una velocidad de 40 m/seg formando un ángulo de 60° con
respecto a la horizontal.
Como se observa, la pelota inicia su ascenso con una velocidad inicial de 40
m/ seg y con un ángulo de 60°, si descomponemos esta velocidad en sus
componentes rectangulares, encontraremos el valor de la velocidad vertical que
le permite avanzar hacia arriba, como si hubiera sido arrojada en tiro vertical, por
esta razón la velocidad disminuye debido a la acción de la gravedad de la tierra,
hasta anularse y la pelota alcanza su altura máxima.
Después inicia su descenso y la velocidad vertical comienza a aumentar, tal
como sucede en un cuerpo en caída libre, de manera que al llegar al suelo
nuevamente tendrá la misma velocidad vertical que tenía al iniciar su ascenso.
Por otra parte, la componente horizontal nos indica el valor de la velocidad
horizontal que le permite desplazarse como lo haría un cuerpo en un movimiento
rectilíneo uniforme. Por tal motivo esta velocidad permanecerá constante todo el
tiempo que el cuerpo dure en el aire.
Para este problema específico, las componentes vertical y horizontal de la
velocidad tienen un valor al inicio de su movimiento de:
Vov = Vo sen 60° = 40 m/seg x 0.8660 = 34.64 m/seg
VH= Vo cos 60° = 40 m/seg x 0.5 = 20 m/seg (permanece constante).
Una vez calculada la componente inicial vertical de la velocidad (Vov) y
utilizando las ecuaciones del tiro vertical vistas anteriormente, podemos determinar
con facilidad la altura máxima alcanzada por la pelota, el tiempo que tarda en
subir, y el tiempo que permanece en el aire; así pues, el valor de la velocidad
inicial vertical para la pelota de golf será igual a 34.64 m/seg. Por lo tanto,
sustituyendo este valor en la ecuación de la altura máxima tenemos:
metrossegmsegm
gvV
ho
22.61)/8.9(2)/64.34(
2 2
22
max =−
==
Para calcular el tiempo que tarda en subir la pelota, hacemos
uso de la ecuación correspondiente que se dedujo para el
tiro vertical, sustituyendo el valor de la componente inicial
vertical:
t (subir) = - Vov /g= - 34.64 m/ seg/ -9.8 m/seg2.= 3.53 seg
El tiempo que dura en el aire es igual al doble del tiempo que
tarda en subir:
t (aire) = - 2 Vov /g, por lo que t (aire) = 2 x 3.53 seg = 7.068 seg
Para conocer el alcance horizontal dH de la pelota, debemos considerar que
mientras esté en el aire se mueve en esa dirección debido al valor de la
componente horizontal de la velocidad, la cual no varía y en nuestro caso tiene
un valor de 20 m/seg, por lo tanto, para calcular dH emplearemos la expresión:
El desplazamiento horizontal también puede ser calculado con la siguiente
ecuación:
metrossegsegmtVd aireHH 3.141)068.7)(/20( ==⋅=
metrosd
segmsensegm
dosustituyen
gsenV
d
H
oH
3.141
/8.9)120(2)/40(
2
2
2
=−
−=
−= θ
La ecuación anterior resulta útil cuando se desea hallar el ángulo con el cual debe
ser lanzado un proyectil que parte con un determinado valor de velocidad para dar
en el blanco.
Ejemplos sobre Tiro parabólico oblicuo.Ejemplos sobre Tiro parabólico oblicuo.
1.- Un jugador le pega a una pelota con un ángulo de 37° con respecto al plano
horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 15 m/seg. Calcular a) e tiempo que
dura en el aire, b) La altura máxima alcanzada, c) El alcance horizontal de la pelota.
Datos Fórmulas Sustitución
?
?
?
/8.9
º37
/15
max
2
==
=−=
==
H
aire
o
d
h
t
smg
smV
θ
aireHH
o
oaire
oH
oo
tVd
gvV
h
gvV
t
VV
senVvV
=
−=
−=
==
2
2
cos
2
max
θθ
metrosdH
ssmdH
msmsm
h
ssmsm
taire
smVH
smVH
smVov
smVov
sensmVov
06.22
)842.1)(/979.11(
157.4)/8.9(2)/027.9(
max
842.1/8.9
)/027.9(2
/979.11)7886.0)(15(
)º37)(cos/5(
/027.9
)6018.0)(/15(
)º37)(/15(
2
2
2
==
=−
−=
=−
−=
======
2.- Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 200 m/seg si se desea que dé en un blanco localizado a 2500 metros, calcular: a) El ángulo con el cual debe ser lanzado b) el tiempo que tarda en llegar al blanco (tiempo en el aire).
Datos Fórmulas Sustitución
?)
?)
/8.9
2500
/200
2
==−=
==
aire
H
o
tb
a
smg
md
smV
θ
g
vVt
senVvV
V
gdsen
oaire
oo
o
H
2
2 2
−=
=
=−
θ
θ
segsmsm
t
smsmvV
sensmvV
essenocuyoangulosen
sen
smsmm
sen
aire
o
o
18.13)/8.9()/6.64)(2(
/6.64)3230.0)(/200(
)º88.18)(/200(
º88.18º76.372
6127.02
6127.02
)/200()/8.9)(2500(
2
2
2
2
=−
−=
===
===−=−
−=−
θθθθ
θ
3.- ¿Cuál será la velocidad inicial con que se batea una pelota de beisbol, si es
golpeada con un ángulo de 40° respecto a la horizontal, si la altura máxima que
alcanza es de 10.2 metros y su desplazamiento horizontal es de 48.62 metros?
Datos Fórmula y Sustitución
2
max
/8.9
62.48
2.10
40
?
smg
md
mh
V
H
o
−=
==
==
θ
segmm
sensegmm
sengd
V
tenemosVdespejandogsenV
d
s
Ho
oo
H
/229848.0476.476
)º80()/8.9)(62.48(
2
2
2/2
2
2
==
−=
−=
θ
θ
Tarea (Tiro Parabólico Oblicuo)
Tarea (Tiro Parabólico Oblicuo)
4.- ¿Cuál será la velocidad inicial con que se batea una pelota de beisbol, si es
golpeada con un ángulo de 60° respecto a la horizontal, si la altura máxima que
alcanza es de 12.3 metros y su desplazamiento horizontal es de 53.21 metros?
