Unidade III

ÁLGEBRA

Profa. Isabel Espinosa

Estruturas algébricas

Conjuntos munidos de operações que satisfazem determinadas propriedades.

Grupo.

Anel.

Corpo Corpo.

Estrutura de grupo

I(A, *) é grupo a*(b*c) = (a*b)*c eA / a*e = a = e*a, aAaA, a’A / a*a’ = e = a’*a

Isto é, valem as propriedades: associativa, elemento neutro e simétrico.

Estrutura de grupo

I(A, *) é grupo abeliano (A, *) é grupoa * b = b * a

Isto é, vale a propriedade comutativa.

Grupo abeliano = grupo comutativo.

Estrutura de grupo

Exemplo 1:

(Z, +) , (Q, +) , (IR, +), (C, +) são grupos abelianos (aditivos)

(Q*, •) , (IR*, •) são grupos abelianos(multiplicativos)( p )

Estrutura de grupo

Exemplo 2:

(Z, •) não é grupo, pois:

Vale a associativa.

Existe elemento neutro, e = 1.

Não existe simétrico (inverso) para a ≠ 1 e a ≠ -1.

Por exemplo:Por exemplo:

2 Z, mas não existe a Z, tal que:

2•a = 1 = a•2

Estrutura de grupo

Exemplo 3:

Z com a operação *, dada por:

* : Z x Z Z(x,y) x * y = x + y - 2

(Z, *) é grupo?

Estrutura de grupo

Devemos verificar as propriedades:

a) Associativa: (x * y) * z = x * ( y * z)

( * ) * ( ) *(x * y) * z = ( x + y – 2) * z =

= x + y – 2 + z – 2 =

= x + y + z – 4

x * ( y * z) = x * (y + z – 2 ) =

= x + y + z – 2 – 2 =

= x + y + z – 4

Estrutura de grupo

b) Elemento neutro:

e Z / a * e = a = e * a, aZ

a * e = a

( f )a + e – 2 = a (def. da operação)

e – 2 = 0 (a Z, grupo com adição)

e = 2 (2 Z, grupo com adição)

Analogamente de e * a = a, temos e = 2.

Logo, e = 2

Estrutura de grupo

c) Simétrico

a A, a’ A / a * a’ = e = a’ * a

a * a’ = e

*a * a’ = 2

a + a’ – 2 = 2 (def. da operação)

a’ = - a + 4 (a Z e 2 Z, grupo com adição)

A l t d ’ * 2 t ’ + 4Analogamente de a’ * a = 2 , temos a’ = - a + 4

Logo,

Portanto (Z, *) é grupo.a’ = - a + 4

Estrutura de grupo

Exemplo 4:

Z com a operação *, dada por:

* : Z x Z Z

(Z *) é b li ?

: Z x Z Z(x,y) x * y = x + y - 2

(Z, *) é grupo abeliano?

Estrutura de grupo

(Z, *) é grupo (exemplo anterior), falta

verificar se a operação é comutativa:

a * b = b * a

* ( f )a * b = a + b – 2 (def. da operação)

b * a = b + a – 2 (def. da operação)

A i * b b * t ti ZAssim, a * b = b * a, comutativa em Z

Logo, (Z, *) é grupo abeliano

Estrutura de grupo

Exemplo 5:

(M2, +) é grupo abeliano?

Associativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

El t t ( t i l ) Elemento neutro (matriz nula):

A + 0 = A = 0 + A, A M2

Estrutura de grupo

(M2, +)

Simétrico:

A M2, -A M2 / A + (-A) = 0 = - A + A

Comutativa:

A + B = B + A

L M é b li di ãLogo, M2 é grupo abeliano com a adição.

Interatividade

Sobre a estrutura de grupo, é correto afirmar que:

a) (IN, +) é grupo.

b) (Z, •) é grupo comutativo.

c) (Q +) é grupo abelianoc) (Q , +) é grupo abeliano.

d) Para ser grupo, o conjunto deve ter duas operações.

e) Para ser grupo, deve valer a propriedade distributiva.

Estrutura de grupo

Subgrupo: subconjunto do grupo que também é grupo.

S G, S ≠ Ø, G um grupo, S é subgrupo de G se e somente se

i) a,b S, temos a*b S (fechamento)ii) e S, elemento neutroiii) a S, b S, tal que a * b = e

Exemplo:p(2Z, +) é subgrupo de (Z, +)?

Estrutura de grupo

(2Z, +) é subgrupo de (Z, +), pois 2Z = {2x / x Z}

i) a,b 2Z, temos a+b 2Z, poisa 2Z a = 2 nb 2Z b 2b 2Z b = 2 ma + b = 2n + 2m = 2 (n + m) 2Z

ii) e = 0 = 2.0, logo e 2Z,

iii) a2Z b = -a2Z tal que a + b = eiii) a2Z, b a2Z, tal que a + b ea 2Z a = 2 nb = -a2Z b = -2 na + b = 2n – 2n = 0

Estrutura de grupo

Semigrupo:S ≠ Ø, S é semigrupo se e somente se

i) fechamento a,b S, temos a*b S

ii) associativa a,b,c S, (a*b)*c = a*(b*c)

Exemplo:Conjunto dos números pares com adição e j p çcom a multiplicação é semigrupo.

Estrutura de grupo

Monoide:S ≠ Ø, S é monoide se e somente seS é semigrupo com elemento neutro.

Monoide comutativo: S monoide e vale propriedade comutativaS monoide e vale propriedade comutativa.

Exemplo:Conjunto dos pares com a multiplicaçãonão é monoide, pois não possui elemento neutro.

Estrutura de grupo

Anel – A ≠ Ø, munido de duas operações “+” aditiva e “ • ” multiplicativa

(A,+, •) é anel (A, +) é grupo abelianoa • (b • c) = (a • b) •c

A é grupo abeliano aditivo e com a

a • (b + c) = a • b + a • c(b + c) • a = b • a + c • a

A é grupo abeliano aditivo e com a multiplicação valem: associativa, distributivas à direita e à esquerda.

Estrutura de Anel

Anel com identidade:

(A,+,.) é anel e A tem elemento unidade

(neutro da multiplicação).

Anel comutativo:

(A,+,.) é anel e vale comutativa da multiplicação.

Estrutura de anel

Exemplo 1:

(Z, +, •) é anel comutativo, com elemento

unidade, pois:

( ) é (Z, +) é grupo abeliano

(Z, •) é associativo:

a • (b • c) = (a • b) •c

(Z, + , •) é distributivo:

a • (b + c) = a • b + a

(b + c) • a = b • a + c • a

Estrutura de anel

(Z, •) tem elemento neutro:

a • 1 = a = 1• a

(Z, •) é comutativo:

a • b = b • a

Estrutura de anel

Exemplo 2:

(IR, +, •) é anel comutativo com elemento unidade.

Estrutura de anel

Exemplo 3:

(C, +, •) é anel comutativo com elemento unidade.

Sendo:

neutro da adição: 0 = 0 + 0i

simétrico de x = a + bi é – x = – a – bi

elemento unidade: 1 = 1 + 0 i elemento unidade: 1 = 1 + 0 i

Estrutura de anel

Exemplo 4:

(M2, +, •) é anel comutativo com elemento unidade?

(M +) é grupo abeliano (M2, +) é grupo abeliano

(M2, •) é associativo

(A • B) • C = A • (B • C)

Elemento unidade (matriz identidade)

A + I2 = A = I2 + A, A M2

Estrutura de anel

Comutativa A • B = B • A

não vale, por exemplo:

2 10 1

0 -12 1

2 -12 1A • B = =

A i A B ≠ B A

0 1 2 1 2 1

0 -12 1

2 10 1

0 -14 3B • A = =

Assim, A • B ≠ B • A

Logo, (M2, +, •) é anel com elemento unidade

Estrutura de anel

Exemplo 5:

(Q, +, •) é anel comutativo com elemento unidade.

Consideremos as operações definidas emConsideremos as operações definidas em Q,

Adição: p r ps + qr+ =ç

q s qs

Estrutura de anel

Multiplicação:

p r p rq s q s• =

Igualdade:

p r q s = p s = q r

Estrutura de anel

0Neutro da adição: , q ≠ 0

Simétrico de é -

0 =0q

p pq q

Elemento unidade: 1 =11

Interatividade

Sobre as afirmações:

1. Todo grupo é também um anel.

2. Alguns grupos são anel.

3. Todo anel é grupo com a adição.

a) Somente 1 é verdadeira.

b) 1 e 2 são verdadeiras.

c) 2 é falsa.

d) 3 é f ld) 3 é falsa.

e) 2 e 3 são verdadeiras.

Estrutura de anel

(A,+, •) é anel sem divisores de zero

(A + •) é anel(A,+, •) é anel

a • b = 0 a = 0 ou b = 0, a, b A

Estrutura de anel

Exemplo 1:

(Z, +, •) é anel sem divisores de zero, pois:

( ) é (Z, +, •) é anel

a, b Z, temos:

a • b = 0 a = 0 ou b = 0

Estrutura de anel

Exemplo 2:

(Q, +, •) é anel sem divisores de zero.

(IR, +, •) é anel sem divisores de zero.

Estrutura de anel

Exemplo 3:

(C, +, •) é anel sem divisores de zero, pois:

(C ) é(C, +, •) é anel e

u, v C, temos:

u • v = 0 u = 0 ou v = 0, isto é,

(a + bi) • (c + di) = 0 + 0i

a + bi = 0 ou c + di = 0

Estrutura de anel

Exemplo 4:

(M2, +, •) é anel sem divisores de zero?

(M2, +, •) é anel

Devemos verificar se:

A • B = 0 A = 0 ou B = 0

Estrutura de anel

Considere as matrizes:

1 0 0 0 0 0

1 01 0 A =

0 01 1 B =

Assim, A • B = 0, mas A ≠ 0 e B ≠ 0

L

1 01 0

0 01 1

0 00 0

A • B = =

Logo:

(M2, +, •) é anel com divisores de zero

Estrutura de anel

Exemplo 5:

(Q, +, •) é anel sem divisores de zero.

(Q ) é(Q, +, •) é anel e vale:

p r p rq s q s• = 0 = 0 ou = 0

Estrutura de domínio de integridade

(A,+, •) é domínio de integridade

A é anel comutativo, com elemento unidade e sem divisores de zero.

Estrutura de domínio de integridade

Exemplo 1:

(Z, +, •) é anel comutativo, com elemento

unidade e sem divisores de zero.

Logo:

(Z, +, •) é domínio de integridade.

Estrutura de domínio de integridade

Exemplo 2:

(IR, +, •) é anel comutativo, com elemento

unidade e sem divisores de zero.

Logo:

(IR, +, •) é domínio de integridade.

Estrutura de domínio de integridade

Exemplo 3:

(C, +, •) é anel comutativo, com elemento

unidade e sem divisores de zero.

Logo:

(C, +, •) é domínio de integridade.

Estrutura de domínio de integridade

Exemplo 4:

(M2, +, •) não é domínio de integridade, pois:

(M2, +, •)

Anel.

Comutativo.

Com elemento unidade.

Com divisores de zero.

Estrutura de domínio de integridade

Exemplo 5:

(Q, +, •) é domínio de integridade, pois:

(Q ) é(Q, +, •) é:

Anel.

Comutativo.

Com elemento unidade.

S di i d Sem divisores de zero.

Interatividade

Sobre a estrutura algébrica de (M2, +, •), é correto afirmar que:

a) É anel com elemento unidade.

b) É anel comutativo.

c) É domínio de integridadec) É domínio de integridade.

d) Vale a comutativa da multiplicação.

e) Não vale a propriedade associativa.

Estrutura de corpo

(A,+, •) é corpo

(A,+, •) é domínio de integridade

a A, a ≠ 0, bA, a • b = b • a = 1, isto é, todo elemento não nulo teminverso

Estrutura de corpo

Exemplo 1:

(Z, +, •) não é corpo

( ) é í(Z, +, •) é domínio de integridade

(Z, •) não satisfaz

a A, a ≠ 0, bA, a • b = b • a = 1, os

ú i l t d it iúnicos elementos que admitem inverso

são 1 e -1.

Estrutura de corpo

Exemplo 2:

(Q, +, •) é corpo, pois é domínio de integridade e todo elemento não nulo tem inverso.

(IR, +, •) é corpo, pois é domínio de integridade e todo elemento não nulo tem iinverso.

Estrutura de corpo

Exemplo 3:

(C, +, •) é corpo, pois:

(C ) é í (C, +, •) é domínio de integridade

x C, x ≠ 0, x’C, x • x’ = x’ • x = 1

+ bi tãse x = a + bi, então:

x’= -aa2 + b2

ba2 + b2( )i

Estrutura de corpo

Exemplo 4:

O conjunto Z2 = {0,1}, formado apenas de dois elementos distintos 0 e 1, com as operações definidas através das tabelas é corpo?

+ 0 10 0 1

1 1 0

• 0 10 0 0

1 0 1

Estrutura de corpo

(Z2, +) é grupo abeliano, associativa:

0+(0+0) = (0+0)+0

0 + 0 = 0 + 0

+ 0 10 0 1

1 1 00 = 0

0+(0+1) = (0+0)+1

0 + 1 = 0 + 1

1 11 = 1

Verifique os outros casos possíveis.

Estrutura de corpo

Elemento neutro é 0+ 0 10 0 1

1 1 0

Simétrico de 0 é 0 (0 + 0 = 0)

d 1 é 1 (1 + 1 0)de 1 é 1 (1 + 1 = 0)

Estrutura de corpo

Comutativo:

0 + 0 = 0 + 0 0 = 0

0 + 1 = 1 + 0 1 = 1

1 + 1 = 1 + 1 1 = 1

+ 0 10 0 1

1 1 1

(Z +) é b li(Z2, +) é grupo abeliano

Estrutura de corpo

- (Z2, •)

Associativo:

0•(0•0) = (0•0) •0

0 • 0 = 0 • 0

• 0 10 0 0

1 0 1

0 = 0

0• (0•1) = (0•0) •1

0 • 0 = 0 • 1

0 00 = 0

Verifique os outros casos possíveis.

Estrutura de corpo

Distributiva – vale (verifique)

Comutativa:

0 • 0 = 0 • 0 0 = 0

• 0 10 0 0

1 0 1

0 • 1 = 1 • 0 0 = 0

1 • 1 = 1 • 1 1 = 1

Elemento unidade é 1

(Z2, +, •) é anel comutativo com elemento unidade.

Estrutura de corpo

Pela tabela:

a . b = 0 a = 0 ou b = 0

• 0 10 0 0

1 0 1

Logo:

(Z2, +, •) é domínio de integridade

T d l t ã l t iTodo elemento não nulo tem inverso, o inverso de 1 é 1 (pois, 1 • 1 = 1).

Portanto (Z2, +, •) é corpo.

Interatividade

Considere a resolução da equação no corpo dos reais, a(s) propriedade(s) que justifica(am) essa resolução é(são):

4 + X = 3 X = - 4 + 3 X = - 1

a) Associativa e comutativa.b) Simétrico e elemento neutro.c) Comutativa.d) Distributiva.e) Inverso e elemento neutro.e) Inverso e elemento neutro.

ATÉ A PRÓXIMA!