Algebra 7

7

2015

• Aptitud Académica

• Matemática

• Ciencias Naturales

• Cultura General

Preguntas propuestas

7

Práctica por Niveles

NIVEL BÁSICO

1. Sean las matrices

A

a b

cB

b

b

c=

=

0

2y

Si se cumple que A+B=I, donde I =

10

01

,

halle el valor de a+b+2c.

A) – 1 B) – 1/2 C) 0D) 1/2 E) 1

UNI 2000 - II


A B

a

c=

−

=

23

11

15

,

tal que AB=BA. Calcule el valor de (a+c).

A) 1/4 B) 1/2 C) 1D) 2 E) 3

UNI 2004 - I

3. Halle el valor de x+y+z si se sabe que las ma-

trices A y B son iguales.

A By

x

zx y

=( )

=−( )

−+0 2

12

34

25

1274

13 2,

;

A) logy1 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

4. Sea Aa

b

b

b=

− −

una matriz. Si existen ma-

trices X e Y, de modo que A=aX+bY, halle la

suma de los elementos de X+Y2.

A) – 2 B) 1 C) 2D) 4 E) 0

5. Si la matriz A es simétrica, entonces calcule el valor de x2+y2+z2.

A

x x y

y

x z

y

y

= −

+

−

+

3

2

2

23

5 3

3

A) 0 B) 4 C) 2D) 3 E) 6

6. Dada la matriz

B =

cossen

sencos

αα

αα

0 0

001

calcule la traza de matriz BBT.

A) sen(2a)B) 2cosa+1C) 1D) 0E) 3

NIVEL INTERMEDIO

7. Sean A=(aij)2×2 y B=(bij)2×2 dos matrices, de modo que

ai i j

i j i j

bi j

i j

ij

ij

==

+ ≠

==≠

3

10

sisi

sisi

Halle la traza de la matriz A+B.

A) 11 B) 12 C) 10D) 9 E) 8

8. Si la matriz Ax

y

x

y=

es idempotente, ¿cuál es

el valor de x+y? Considere x ≠ y.

A) 0 B) 1 C) – 1D) 3 E) 2

2

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Álgebra Matrices

7


NIVEL BÁSICO


A

a b

cB

b

b

c=

=

0

2y

Si se cumple que A+B=I, donde I =

10

01

,

halle el valor de a+b+2c.

A) – 1 B) – 1/2 C) 0D) 1/2 E) 1

UNI 2000 - II


A B

a

c=

−

=

23

11

15

,

tal que AB=BA. Calcule el valor de (a+c).

A) 1/4 B) 1/2 C) 1D) 2 E) 3

UNI 2004 - I

3. Halle el valor de x+y+z si se sabe que las ma-

trices A y B son iguales.

A By

x

zx y

=( )

=−( )

−+0 2

12

34

25

1274

13 2,

;

A) logy1 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

4. Sea Aa

b

b

b=

− −

una matriz. Si existen ma-

trices X e Y, de modo que A=aX+bY, halle la

suma de los elementos de X+Y2.

A) – 2 B) 1 C) 2D) 4 E) 0

5. Si la matriz A es simétrica, entonces calcule el valor de x2+y2+z2.

A

x x y

y

x z

y

y

= −

+

−

+

3

2

2

23

5 3

3

A) 0 B) 4 C) 2D) 3 E) 6

6. Dada la matriz

B =

cossen

sencos

αα

αα

0 0

001

calcule la traza de matriz BBT.

A) sen(2a)B) 2cosa+1C) 1D) 0E) 3

NIVEL INTERMEDIO

7. Sean A=(aij)2×2 y B=(bij)2×2 dos matrices, de modo que

ai i j

i j i j

bi j

i j

ij

ij

==

+ ≠

==≠

3

10

sisi

sisi

Halle la traza de la matriz A+B.

A) 11 B) 12 C) 10D) 9 E) 8

8. Si la matriz Ax

y

x

y=

es idempotente, ¿cuál es

el valor de x+y? Considere x ≠ y.

A) 0 B) 1 C) – 1D) 3 E) 2

8

Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 7

9. Si la matriz M cumple lo siguiente

53

43

21

01

=

M

determine la suma de sus elementos.

A) 2/3 B) 1/3 C) 1D) 0 E) 2

10. Sean A y B dos matrices de orden 2×2. Señale la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si A2=0 → A=0 II. Si AB=0 → A=0 o B=0 III. (A+B)(A – B)=A2 – B2

A) VVVB) VVFC) FFVD) FFFE) FVV

11. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. Indique la secuencia correcta de ver-dad (V) o falsedad (F).

I. (AB)2=A2B2

II. (A+B)2=A2+2AB+B2

III. Si AB=BA, entonces A y B son matrices con-mutables.

IV. Si AB=A, entonces B=I ∨ A=0.

A) FFFFB) FVVFC) FFVVD) FFVFE) VFVF

12. Dada la matriz A =−−

11

10

, determine la matriz

A2010.

A) 00

00

B) 10

00

C) 10

01

D) 01

10

E) 1

010

NIVEL AVANZADO

13. Sea la matriz A=(aij)2×2, donde la traza de A es igual a cero y la suma de los elementos de la diagonal secundaria también es igual a cero; además, a11=5 y a21= – 4. Calcule el equivalente de An; n ∈ N y n es impar.

A) 9 2n

I⋅

B) 9n · A

C) 91

2n

A−

⋅

D) 91

2n

A+

⋅

E) 91

2n

I−

⋅

14. Sea Y un número real no nulo. Calcule el valor de (E+L) – (T+U) si E, L, T y U satisfacen el siguiente producto de matrices.

Y

T U

E

T

L

U

Y

E L

0 0

=

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

UNI 2005 - II

15. Si se cumple que

k

k

n

01 16

03216

=

; tal que n, k ∈ Z+,

determine el valor de nk

.

A) 3/2 B) 1/2 C) 2D) 1/3 E) 1

16. Dada la matriz J =−

01

10

, determine el valor

de T.

T=J+J2+J3+...+J2012

A) I B) J C) 0D) 2010J E) I+J

3


Álgebra

9

Anual UNI Álgebra

17. Sea

M

a

a

c

b

b

a b c=

{ } ⊂

00

00 ; ; N

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones.

I. Si A, B ∈ M → AB ∈ M II. Si A ∈ M → – A ∈ M III. Si A, B ∈ M → (A+B) ∈ M

A) VVV B) FVF C) FFFD) VFF E) VFV

18. Si (x1; x2; ...; x20) es una 20-upla de números reales. Sea la ecuación

(x1 – x2)2+(x2 – x3)2+(x3 – x4)2+...+(x19 – x20)2+ +(x20 – x1)2=1

El número de 20-uplas de números enteros (x1; x2; ...; x20) que son soluciones de la ecua-ción anterior es igual a

A) 0 B) 1 C) 19D) 20 E) ∞

UNI 2006 - I

13


NIVEL BÁSICO

1. Si a

c

b

d= 2 ;

halle el valor de 22

211

++

+a

c

b

d

d

b.

A) – 2 B) – 1 C) 0D) 1 E) 2

UNI 2000 - I

2. Calcule el determinante de A si se cumple lo siguiente

2 10

3

2 1

21

53

21

11

−+

=

A

A) 2 B) 2 C) 1

D) 0 E) 1/2

3. Determine los valores de x para que la matriz

A

x

x=

+−

14

21

sea singular.

A) 13

12

;{ }B) {2; – 2}

C) 212

;{ }D) 3

232

; −{ }E) {3; – 3}

4. Sea Ai

i=

−

11

; i = −1. Calcule det(P(A))

si se sabe que P(x)=1+x+x2+x3+...

A) 1 B) 0 C) – 1D) 4 E) 5

5. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto de las siguientes igual-dades.

I. 353

718

1041

533

187

41

10=

II. 400

780

896

81020

065

004

=

III. 32

32

6a

c

b

d

a

c

b

d=

A) VFV B) VVF C) FVVD) VFF E) VVV

6. Si |A| ≠ 0, tal que

A A=

35

24

entonces determine AT.

A)

3252

1

2

B) 321

522

C) 132

252

D) 232

152

E) 522

321

NIVEL INTERMEDIO

7. Si se sabe que

31

1 220102009

20092008

−( ) =

m

p

q

n

determine el valor de mn – pq.

A) 2010B) 0C) 1D) 2009E) 7

4


Álgebra

13


NIVEL BÁSICO

1. Si a

c

b

d= 2 ;

halle el valor de 22

211

++

+a

c

b

d

d

b.

A) – 2 B) – 1 C) 0D) 1 E) 2

UNI 2000 - I

2. Calcule el determinante de A si se cumple lo siguiente

2 10

3

2 1

21

53

21

11

−+

=

A

A) 2 B) 2 C) 1

D) 0 E) 1/2

3. Determine los valores de x para que la matriz

A

x

x=

+−

14

21

sea singular.

A) 13

12

;{ }B) {2; – 2}

C) 212

;{ }D) 3

232

; −{ }E) {3; – 3}

4. Sea Ai

i=

−

11

; i = −1. Calcule det(P(A))

si se sabe que P(x)=1+x+x2+x3+...

A) 1 B) 0 C) – 1D) 4 E) 5


I. 353

718

1041

533

187

41

10=

II. 400

780

896

81020

065

004

=

III. 32

32

6a

c

b

d

a

c

b

d=

A) VFV B) VVF C) FVVD) VFF E) VVV

6. Si |A| ≠ 0, tal que

A A=

35

24

entonces determine AT.

A)

3252

1

2

B) 321

522

C) 132

252

D) 232

152

E) 522

321

NIVEL INTERMEDIO

7. Si se sabe que

31

1 220102009

20092008

−( ) =

m

p

q

n

determine el valor de mn – pq.

A) 2010B) 0C) 1D) 2009E) 7

5


Álgebra Determinantes y matriz inversa

14


8. Si A y B son matrices 3×3 y r ≠ 0 un número real, indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. det(AB)=det(A)det(B) II. det(A+B)=det(A)+det(B) III. det(rA)=rdet(A)

A) VVV B) VVF C) FVVD) VFF E) FFF

UNI 2008 - II


I. a x

c y

b

d

a

c

b

d

x

y

b

d

++

= +

II. 12

2

13

3

14

4

4 2 4 3 3 22 2 2

= −( ) −( ) −( )

III. 183024

795

122016

0=

A) FVF B) FFV C) VVVD) VVF E) VFV

10. Si A=[aij]11, tal que A+At=0; calcule el valor de T. T=traz(A)+|At|

A) 2 B) – 2 C) 1D) – 1 E) 0

11. Halle el determinante de

A w

w

w

w

w

w

=

1

11

2

2

2

si w i= +cos sen23

23

π π

A) w2 B) wi C) 0D) 1 E) – w

12. Determine la suma de los elementos de la

inversa de la siguiente matriz.

A

n

n

n

n=

+−

11

A) 0

B) 1

C) n

D) 2n

E) A no tiene inversa

NIVEL AVANZADO

13. Sean A, B y P tres matrices cuadradas del mis-mo orden, de modo que B=P – 1AP. Indique la proposición verdadera.

A) B3=P – 1A3P ∧ B – 1=P – 1A – 1P

B) B3=PA3P – 1 ∧ B – 1=P – 1A – 1P

C) B3=PA3P – 1 ∧ B – 1=P – 1A – 1P

D) B3=PA3P – 1 ∧ B – 1=P – 1AP

E) B3=(P – 1)3AP3 ∧ B – 1=P – 1A – 1P

14. Respecto al polinomio

P(x)=det(xI – A), tal que A =

23

14

,

indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

I. La suma de raíces de P(x) es igual a la traza de A.

II. El producto de raíces P(x) es igual al deter-minante de A.

III. P(x)=x2 – 6x+5

A) FFFB) FFVC) VVFD) VVVE) VFV

6


Álgebra

14


8. Si A y B son matrices 3×3 y r ≠ 0 un número real, indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. det(AB)=det(A)det(B) II. det(A+B)=det(A)+det(B) III. det(rA)=rdet(A)

A) VVV B) VVF C) FVVD) VFF E) FFF

UNI 2008 - II


I. a x

c y

b

d

a

c

b

d

x

y

b

d

++

= +

II. 12

2

13

3

14

4

4 2 4 3 3 22 2 2

= −( ) −( ) −( )

III. 183024

795

122016

0=

A) FVF B) FFV C) VVVD) VVF E) VFV

10. Si A=[aij]11, tal que A+At=0; calcule el valor de T. T=traz(A)+|At|

A) 2 B) – 2 C) 1D) – 1 E) 0

11. Halle el determinante de

A w

w

w

w

w

w

=

1

11

2

2

2

si w i= +cos sen23

23

π π

A) w2 B) wi C) 0D) 1 E) – w

12. Determine la suma de los elementos de la

inversa de la siguiente matriz.

A

n

n

n

n=

+−

11

A) 0

B) 1

C) n

D) 2n

E) A no tiene inversa

NIVEL AVANZADO

13. Sean A, B y P tres matrices cuadradas del mis-mo orden, de modo que B=P – 1AP. Indique la proposición verdadera.

A) B3=P – 1A3P ∧ B – 1=P – 1A – 1P

B) B3=PA3P – 1 ∧ B – 1=P – 1A – 1P

C) B3=PA3P – 1 ∧ B – 1=P – 1A – 1P

D) B3=PA3P – 1 ∧ B – 1=P – 1AP

E) B3=(P – 1)3AP3 ∧ B – 1=P – 1A – 1P

14. Respecto al polinomio

P(x)=det(xI – A), tal que A =

23

14

,

indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

I. La suma de raíces de P(x) es igual a la traza de A.

II. El producto de raíces P(x) es igual al deter-minante de A.

III. P(x)=x2 – 6x+5

A) FFFB) FFVC) VVFD) VVVE) VFV

15

Anual UNI Álgebra

15. Con las matrices A =

3 00 1

y B =−

−

1 16 5

se forma la matriz P=ABA– 1. Halle la matriz

P – 1.

A) 5 13 2

B)

5 23 1

C)

5 12 3

D) 5 32 1

E)

5 31 2

16. Sea la matriz

M =−

≠0

00

αα

α; .

Calcule el valor de |M2013|.

A) – a B) – a2307 C) – a4026

D) a2013 E) a4026

17. Halle el determinante de la siguiente matriz.

A

a a

x

a

x

a

x

=−

−−

0 1 2 3

100

10

0

1

00

A) det(A)=a3x3+a2x2+a1x+a0

B) det(A)=x3+a1x2+a2x+a3

C) det(A)=(x – a1)(x – a2)(x – a3)

D) det(A)=(x+a1)(x+a2)(x+a3)

E) det(A)=a0x3+a1x2+a2x+a3

18. Resuelva la ecuación

1111

0

1 2 3

2 3

1 3

1 2

1 2 3

x x xx x xx x xx x x

x x x= ≠ ≠;

de incógnita x. Luego indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

I. Presenta 3 soluciones. II. La suma de las soluciones es igual a

x1+x2+x3.

III. El producto de soluciones es igual a x1x2x3.

A) VVVB) FFFC) VFVD) FFVE) VVF

7


Álgebra

19


NIVEL BÁSICO

1. Dado el sistema lineal

3 2 23 3 2 1x y a

x y a

+ = +− = −

calcule el valor de a que permita x=2y.

A) 13 B) 14/13 C) 5/11D) 1/5 E) 1/11

2. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

I. El sistema 2 7 12448 14 361x y

x y

+ =− =

es compatible determinado.

II. El sistema 36 24 306 4 5x y

x y

+ =+ =

es compatible indeterminado.

III. El sistema 5 2 15 2 2x y

x y

+ =+ =

es incompatible.

A) FVF B) VFV C) VVVD) FFF E) VVF

3. ¿Para qué valores de k el sistema de ecuaciones x+ky=3 kx+4y=6 tiene solución única?

A) k ≠ – 2; k ≠ 3B) k ≠ – 2; k ≠ 2C) k ≠ – 3; k ≠ 3D) k ≠ – 3; k ≠ 2E) k ≠ – 2; k ≠ – 3

UNI 2000 - I

4. Halle el valor de m+n para que el sistema de ecuaciones

m n x m y m

nx y

+( ) + +( ) = ++ =

7 2 86 9

sea indeterminado.

A) 2 B) 10 C) 3D) 5 E) 8

5. Determine el valor de k para que el sistema de ecuaciones

k x y

k x k y

+( ) + =−( ) + +( ) =

1 9 15

1 1 10

no admita soluciones.

A) 7 B) 5 C) 8D) 4 E) 2

6. Dado el sistema de ecuaciones

5 29

x y m

x y m

− =+ =

determine el valor de m, de modo que y sea menor que x en 7 unidades.

A) 47 B) 34 C) 11D) 4 E) 74

NIVEL INTERMEDIO

7. Resuelva el sistema

2 23 4

22

=

−−

xy

e indique la suma de componentes de la solu-ción.

A) 3 B) 2 C) – 1D) 1 E) 0

8. Luego de resolver el sistema

100

120

431

682

=

x

y

z

determine el producto de las componentes de la terna solución.

A) 6 B) 12 C) 24D) – 6 E) 8

8


Álgebra Sistema de ecuaciones lineales y no lineales

19


NIVEL BÁSICO

1. Dado el sistema lineal

3 2 23 3 2 1x y a

x y a

+ = +− = −

calcule el valor de a que permita x=2y.

A) 13 B) 14/13 C) 5/11D) 1/5 E) 1/11

2. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

I. El sistema 2 7 12448 14 361x y

x y

+ =− =

es compatible determinado.

II. El sistema 36 24 306 4 5x y

x y

+ =+ =

es compatible indeterminado.

III. El sistema 5 2 15 2 2x y

x y

+ =+ =

es incompatible.

A) FVF B) VFV C) VVVD) FFF E) VVF

3. ¿Para qué valores de k el sistema de ecuaciones x+ky=3 kx+4y=6 tiene solución única?

A) k ≠ – 2; k ≠ 3B) k ≠ – 2; k ≠ 2C) k ≠ – 3; k ≠ 3D) k ≠ – 3; k ≠ 2E) k ≠ – 2; k ≠ – 3

UNI 2000 - I

4. Halle el valor de m+n para que el sistema de ecuaciones

m n x m y m

nx y

+( ) + +( ) = ++ =

7 2 86 9

sea indeterminado.

A) 2 B) 10 C) 3D) 5 E) 8

5. Determine el valor de k para que el sistema de ecuaciones

k x y

k x k y

+( ) + =−( ) + +( ) =

1 9 15

1 1 10

no admita soluciones.

A) 7 B) 5 C) 8D) 4 E) 2

6. Dado el sistema de ecuaciones

5 29

x y m

x y m

− =+ =

determine el valor de m, de modo que y sea menor que x en 7 unidades.

A) 47 B) 34 C) 11D) 4 E) 74

NIVEL INTERMEDIO

7. Resuelva el sistema

2 23 4

22

=

−−

xy

e indique la suma de componentes de la solu-ción.

A) 3 B) 2 C) – 1D) 1 E) 0


100

120

431

682

=

x

y

z

determine el producto de las componentes de la terna solución.

A) 6 B) 12 C) 24D) – 6 E) 8

20



x y z w

y z w

z w

w

− + + =+ − =

+ ==

2 3 183 10

5 3 435 30

se obtiene como conjunto solución CS={(x1, x2, x3, x4)} Halle el valor de x1+x2+x3+x4.

A) 9 B) 8 C) 12D) 6 E) 10

10. Sea da el sistema de ecuaciones

a b x a b y

a b x a b y

+( ) + −( ) =−( ) + +( ) =

10

2 2 3 12

cuya solución es (3; – 1). Calcule el valor de 3a – b.

A) – 23/14B) – 23/7C) 11D) 31/7E) 1

11. Determine la suma de todos los valores reales de a, de modo que el sistema homogéneo

62 3x ay y

x y ax

− =+ =

tenga infinitas soluciones

A) 1 B) – 1 C) 0D) 2 E) – 2

12. Al resolver el sistema

2 6 56 18 15x y

x y

− =− =

se obtiene como conjunto solución

CS = −

∈

tta

t;2 5

2R

Halle el valor de a2+a+1.

A) 17 B) 18 C) 10D) 20 E) 13

NIVEL AVANZADO

13. Al resolver el sistema

ax by m

cx dy m

+ =+ =

por la regla de Cramer, se obtiene que

x

b

db

d

y

a

c

m

na

c

= ∧ =

5311

21

Calcule x+y.

A) 4 B) 3 C) 2D) 1 E) 0

14. Determine el valor de p, de manera que al re-solver el sistema lineal

3 1 3 1 2

6 3 11

p x p y

p x p y

+( ) + −( ) =

+( ) + +( ) =

se cumple que x+y=1.

A) 2 B) – 1/2 C) 1/2D) – 2 E) – 1

15. Dado el sistema lineal de incónitas x, y, z

ax y z

x ay z a

x y az a

+ + =+ + =

+ + =

1

2

Determine el valor de z si a ≠ 1 ∧ a ≠ – 2.

A) 12a +

B) aa

++

12

C) aa

+( )+12

2

D) a+2 E) aa

++

21

16. Halle la suma de todos los valores reales que puede tomar λ en la siguiente expresión.

12

21

1

2

1

2

=

x

x

x

xλ

donde x1 ≠ 0 y x2 ≠ 0.

A) – 1 B) 0 C) 1D) 2 E) 3

UNI 2012 - I

9


Álgebra

21

Anual UNI Álgebra

17. Resuelva el sistema no lineal

x y z

xy z

+ + =

− =

2

2 42

Determine el valor de x2+y2+z2, donde {x; y; z} ⊂ R.

A) 3B) 12C) 27D) 64E) 14

18. Determine el número de pares ordenados

(x0; y0) ∈ R×R que verifican el siguiente

sistema de ecuaciones.

x y x y

y x

y x

2 2

2

8 2 8

4 4

3 4 12

+ − − = −+ − =

+ −( ) =

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

10


Álgebra

21

Anual UNI Álgebra

17. Resuelva el sistema no lineal

x y z

xy z

+ + =

− =

2

2 42

Determine el valor de x2+y2+z2, donde {x; y; z} ⊂ R.

A) 3B) 12C) 27D) 64E) 14

18. Determine el número de pares ordenados

(x0; y0) ∈ R×R que verifican el siguiente

sistema de ecuaciones.

x y x y

y x

y x

2 2

2

8 2 8

4 4

3 4 12

+ − − = −+ − =

+ −( ) =

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

25


NIVEL BÁSICO

1. Resuelva el sistema de inecuaciones lineales

2 64

0 0

y x

x y

x y

+ ≤+ ≤≥ ∧ ≥

luego indique la región que forma su C.S.

A) (0; 3)

(2; 2)

(4; 0)

B)

(0; 3)

(4; 0)

C) (0; 3)

(4; 0)

D)

(0; 3)

(3; 2)

(4; 0)

E) (0; 3)

(4; 0)

2. Determine la región factible del siguiente pro-blema de programación lineal.

Mín. f (x; y)=7x+y sujeto a las restricciones.

y x

y x

y x

x y

− ≤+ ≥

≥≥ ≥

4 010

40 0;

A)

X

Y

B)

8

2

2 8 X

Y

C)

X

Y

D)

4

1

1 4 X

Y

E)

X

Y

11


Álgebra Programación lineal

26


3. Determine el sistema de inecuaciones lineales que presenta la siguiente región sombreada admisible de un programa lineal.

(0; 2)

(0; 5)

(2; 0) (6; 0)

(6; 5)

A) x

y

x y

≤≤≥ ≥

660 0;

B)

x

y

x y

x y

≤≤+ ≥≥ ≥

65

20 0;

C)

x

y

x y

x y

≤≤+ ≤≥ ≥

65

20 0;

D)

x

y

x y

x y

≤≤+ ≥≥ ≥

65

40 0;

E)

x

y

x y

x y

≤≤+ ≥≥ ≥

56

20 0;

4. Se da la función f (x; y)= 6x – 3y sujeta a la región factible

(6; 11)

(8; 10)

(6; 6)

(5; 5)

(4; 7)

Y

X

Respecto de la función objetivo Mín. f (x; y) po-demos afirmar que

A) tiene una solución.B) no tiene solución.C) tiene infinitas soluciones.

D) el valor óptimo es 15.E) (5; 5) es el punto óptimo.

5. Sea f : R2 → R una función definida por f (x; y)= – 3x+y. Determine el punto de la región

convexa mostrada en la figura, donde f alcanza su mínimo.

1 6 X

Y

0

3

4

A) (2; 3) B) (2; 0) C) (0; 3)D) (6; 4) E) (4; 6)

UNI 2008 - II

6. Calcule el área de la región que se forma al determinar todos los (x; y) que cumplen las siguientes restricciones.

x y

x y

x y

+ ≤+ ≤

≥ ∧ ≥

42 6

0 0

A) 4 u2 B) 5 u2 C) 6 u2

D) 7 u2 E) 8 u2

NIVEL INTERMEDIO

7. Halle los puntos extremos del siguiente pro-blema Máx. f (x; y)=x+y sujeto a

3 4 4112

2 3

y x

y x

x y

≤ − +≤ − +≥ ≥

;

A) (2; 3), (2; 10), (6; 7), (8; 3)B) (2; 3), (5; 7), (8; 3)C) (3; 2), (10; 2), (7; 5), (3; 8)D) (2; 3), (2; 10), (5; 7), (8; 3)E) (1; 3), (1; 10), (5; 7), (8; 3)

12


Álgebra

26


3. Determine el sistema de inecuaciones lineales que presenta la siguiente región sombreada admisible de un programa lineal.

(0; 2)

(0; 5)

(2; 0) (6; 0)

(6; 5)

A) x

y

x y

≤≤≥ ≥

660 0;

B)

x

y

x y

x y

≤≤+ ≥≥ ≥

65

20 0;

C)

x

y

x y

x y

≤≤+ ≤≥ ≥

65

20 0;

D)

x

y

x y

x y

≤≤+ ≥≥ ≥

65

40 0;

E)

x

y

x y

x y

≤≤+ ≥≥ ≥

56

20 0;

4. Se da la función f (x; y)= 6x – 3y sujeta a la región factible

(6; 11)

(8; 10)

(6; 6)

(5; 5)

(4; 7)

Y

X

Respecto de la función objetivo Mín. f (x; y) po-demos afirmar que

A) tiene una solución.B) no tiene solución.C) tiene infinitas soluciones.

D) el valor óptimo es 15.E) (5; 5) es el punto óptimo.

5. Sea f : R2 → R una función definida por f (x; y)= – 3x+y. Determine el punto de la región

convexa mostrada en la figura, donde f alcanza su mínimo.

1 6 X

Y

0

3

4

A) (2; 3) B) (2; 0) C) (0; 3)D) (6; 4) E) (4; 6)

UNI 2008 - II

6. Calcule el área de la región que se forma al determinar todos los (x; y) que cumplen las siguientes restricciones.

x y

x y

x y

+ ≤+ ≤

≥ ∧ ≥

42 6

0 0

A) 4 u2 B) 5 u2 C) 6 u2

D) 7 u2 E) 8 u2

NIVEL INTERMEDIO

7. Halle los puntos extremos del siguiente pro-blema Máx. f (x; y)=x+y sujeto a

3 4 4112

2 3

y x

y x

x y

≤ − +≤ − +≥ ≥

;

A) (2; 3), (2; 10), (6; 7), (8; 3)B) (2; 3), (5; 7), (8; 3)C) (3; 2), (10; 2), (7; 5), (3; 8)D) (2; 3), (2; 10), (5; 7), (8; 3)E) (1; 3), (1; 10), (5; 7), (8; 3)

27

Anual UNI Álgebra

8. Identifique la gráfica de las restricciones

x y

x y

y x

x y

+ ≥+ ≥

≤ − +

≥ ≥

3 64

25

4

0 0;

A)

4

4 6

2

B)

4

4 6

2

C)

4

4 6

2

D)

4

4 6

2

E)

4

4 6

2

9. Resuelva el sistema en Z×Z

y x

y x

x y

+ ≤+ ≤

≥ ∧ ≥

2 62 6

0 0

Luego indique la secuencia correcta de ver-dad (V) o falsedad (F).

I. El cardinal del CS es 11. II. La mayor suma de x+y ocurre en el punto

más alejado del eje X y del eje Y. III. Si x > 0 ∧ y >0, entonces el cardinal de CS

es 4.

A) VVV B) VVF C) FVVD) VFV E) FFF

10. Se da el siguiente conjunto de restricciones de un problema de programación lineal en dos variables

y x

y x

x y

≥ +≤ − +≤ ≤ ≥

48

0 6 0;

Indique cuáles son las proposiciones falsas. I. Existen 10 puntos factibles de componentes

enteros. II. (6; 2) no es punto factible. III. (3; 8) es un punto factible.

A) solo I B) solo II C) I y IID) II y III E) todas

11. Una empresa con sede en Lima fabrica diver-sos modelos de radiotransistores. Todos los componentes de estos radios se fabrican en Lima, excepto los transistores que son impor-tantes. Existen 1000 transistores del tipo T1 y 1200 del tipo T2. Cada modelo de radio R – A requiere un transistor T1 y 4 transistores T2;los modelos R – B requieren 2 transistores de T1 y uno de T2. Si se sabe que los beneficios o utilidades de cada radio son 50 y 30 dólares por R – A y R – B, respectivamente, halle la cantidad de unidades a fabricar de cada modelo para que las utilidades totales sean máximas.

A) 200A y 400B B) 100A y 500B C) 500A y 400BD) 200A y 300B E) 300A y 400B

13


Álgebra

28


12. Wilson Cachay se dedica a la compra y venta de papaya y naranja. Todas las mañanas visita a su proveedor de frutas en el mercado mayo-rista Túpac Amaru II y hace las compras del día. El día anterior recibe los pedidos de sus clientes y estos suman 600 kilos de papaya y 1200 kilos de naranja. Wilson transporta las frutas en su camioneta que tiene capacidad de cargo de 1600 kg. Si compra el kg de papaya a S/.1,30 y lo vende a S/.1,60 y el kg de naranja lo compra a S/.1,00 y lo vende a S/.1,20, determi-ne cuántos kilos de cada fruta debe comprar para maximizar sus ganancias.

A) solo 1200 kilos de naranjaB) 600 kilos de papaya y 1000 kilos de naranjaC) solo 1600 kilos de papayaD) 400 kilos de papaya y 1200 kilos de naranjaE) 1000 kilos de papaya y 400 kilos de naranja

NIVEL AVANZADO

13. Una estación de TV afronta el siguiente proble-ma: se ha comprobado que el programa A con 20 minutos de música y 2 minutos de comer-ciales interesa a 30 000 televidentes, mientras que el programa B con 10 minutos de música y 1 minuto de comerciales interesa a 10 000 televidentes. El auspiciador de los programas insistió en que por lo menos se dediquen 6 minutos de propaganda por semana, mientras que la estación de TV no puede dedicar más de 80 minutos semanales para música. ¿Cuán-tas veces por semana deberá ser presentado cada programa a fin de lograr el mayor núme-ro de televidentes?

A) 3A; 2BB) 4A; 0BC) 2A; 3BD) 5A; 1BE) 5A, 3B

14. La doctora Sara Díaz ganó 10 millones de so-les en una lotería y le aconsejan que lo invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un benefi-cio anual del 10 %. Las de tipo B son más se-guras, pero producen como beneficio solo el 7 % anual. Después de varias deliberaciones, decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 mi-llones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir los 10 millones para que el beneficio anual de Sara sea el máximo posible?

A) 6 millones de soles en acciones tipo A y 4 millones en acciones de tipo B.

B) 2 millones de soles en acciones tipo A y 2 millones en acciones tipo B.

C) 5 millones de soles en acciones tipo A y 5 millones en acciones tipo B.

D) 3 millones de soles en acciones tipo A y 7 millones en acciones tipo B.

E) 1 millón de soles en acciones tipo A y 9 mi-llones en acciones tipo B.

15. En relación a un programa lineal, indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas.

II. El número de puntos extremos de la región admisible es finito.

III. En un programa lineal, pueden variarse los coeficientes de la función objetiva y aún mantenerse la solución óptima.

A) VFVB) FFFC) FFVD) FVVE) VFF

UNI 2010 - I

14


Álgebra

28


12. Wilson Cachay se dedica a la compra y venta de papaya y naranja. Todas las mañanas visita a su proveedor de frutas en el mercado mayo-rista Túpac Amaru II y hace las compras del día. El día anterior recibe los pedidos de sus clientes y estos suman 600 kilos de papaya y 1200 kilos de naranja. Wilson transporta las frutas en su camioneta que tiene capacidad de cargo de 1600 kg. Si compra el kg de papaya a S/.1,30 y lo vende a S/.1,60 y el kg de naranja lo compra a S/.1,00 y lo vende a S/.1,20, determi-ne cuántos kilos de cada fruta debe comprar para maximizar sus ganancias.

A) solo 1200 kilos de naranjaB) 600 kilos de papaya y 1000 kilos de naranjaC) solo 1600 kilos de papayaD) 400 kilos de papaya y 1200 kilos de naranjaE) 1000 kilos de papaya y 400 kilos de naranja

NIVEL AVANZADO

13. Una estación de TV afronta el siguiente proble-ma: se ha comprobado que el programa A con 20 minutos de música y 2 minutos de comer-ciales interesa a 30 000 televidentes, mientras que el programa B con 10 minutos de música y 1 minuto de comerciales interesa a 10 000 televidentes. El auspiciador de los programas insistió en que por lo menos se dediquen 6 minutos de propaganda por semana, mientras que la estación de TV no puede dedicar más de 80 minutos semanales para música. ¿Cuán-tas veces por semana deberá ser presentado cada programa a fin de lograr el mayor núme-ro de televidentes?

A) 3A; 2BB) 4A; 0BC) 2A; 3BD) 5A; 1BE) 5A, 3B

14. La doctora Sara Díaz ganó 10 millones de so-les en una lotería y le aconsejan que lo invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un benefi-cio anual del 10 %. Las de tipo B son más se-guras, pero producen como beneficio solo el 7 % anual. Después de varias deliberaciones, decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 mi-llones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir los 10 millones para que el beneficio anual de Sara sea el máximo posible?

A) 6 millones de soles en acciones tipo A y 4 millones en acciones de tipo B.

B) 2 millones de soles en acciones tipo A y 2 millones en acciones tipo B.

C) 5 millones de soles en acciones tipo A y 5 millones en acciones tipo B.

D) 3 millones de soles en acciones tipo A y 7 millones en acciones tipo B.

E) 1 millón de soles en acciones tipo A y 9 mi-llones en acciones tipo B.

15. En relación a un programa lineal, indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas.

II. El número de puntos extremos de la región admisible es finito.

III. En un programa lineal, pueden variarse los coeficientes de la función objetiva y aún mantenerse la solución óptima.

A) VFVB) FFFC) FFVD) FVVE) VFF

UNI 2010 - I

29

Anual UNI Álgebra

16. Se tiene la siguiente representación de un conjunto de restricciones de un problema de programación lineal.

5

16

3

4 6 10 X

Y

Dado z=y – x+14, indique la secuencia correcta luego de determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones.

I. Máx(z)=30 II. Mín(z)=11 III. La función z no tiene máximo ni mínimo.

A) VVV B) VVF C) FFVD) VFV E) FVV

17. Se sabe que (a; b) es solución del problema de Máx f(x; y)=2x+10y

2 85 3 75

0

y x

y x

x y

− ≥+ ≤

≥

;

si se añade la restricción 5y+x ≤ 40, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son co-

rrectas?

I. (a; b) es solución del nuevo problema. II. No existe solución para el nuevo problema. III. El nuevo problema tiene infinitas soluciones.

A) solo I B) I y III C) solo IIID) solo II E) I, II y III

18. La región admisible S y el crecimiento de la fun-ción objetivo del problema,

maximizar f(x, y) s.a. (x, y) ∈ S se muestra en la siguiente figura:

2

1234

–1

– 2

3 4 8

(3; 4)crecimiento

Si (x; y) es la solución del problema, determine f(x, y).

A) 103

B) 143

C) 203

D) 253

E) 283

UNI 2013 - I

15


Álgebra

Anual UNI

Matrices

01 - c

02 - c

03 - b

04 - e

05 - e

06 - e

07 - a

08 - b

09 - a

10 - d

11 - d

12 - c

13 - c

14 - a

15 - c

16 - c

17 - e

18 - a

DeterMinantes y Matriz inversa

01 - e

02 - c

03 - e

04 - a

05 - e

06 - b

07 - b

08 - d

09 - c

10 - e

11 - c

12 - a

13 - a

14 - d

15 - d

16 - e

17 - e

18 - a

sisteMa De ecuaciones lineales y no lineales

01 - b

02 - c

03 - b

04 - b

05 - b

06 - a

07 - c

08 - d

09 - a

10 - c

11 - a

12 - e

13 - b

14 - e

15 - c

16 - d

17 - b

18 - d

PrograMación lineal

01 - a

02 - b

03 - b

04 - c

05 - d

06 - d

07 - d

08 - d

09 - a

10 - e

11 - a

12 - b

13 - b

14 - a

15 - d

16 - c

17 - c

18 - c

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Algebra 7