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Álgebra Booleana y Simplificación Lógica M. en C. Erika Vilches Parte 2

Algebra Booleana 2

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Page 1: Algebra Booleana 2

Álgebra Booleana y Simplificación Lógica

M. en C. Erika Vilches

Parte 2

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Simplificación utilizando Álgebra Booleana

Simplificar la expresión → AB + A(B + C) + B(B + C)

1. Aplicar la ley distributiva al segundo y tercer términos en la expresión → AB + AB + AC + BB + BC

2. Aplicar la regla 7 (BB = B) al cuarto término →AB + AB + AC + B + BC

3. Aplicar la regla 5 (AB + AB = AB) a los primeros 2 términos → AB + AC + B + BC

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4. Aplicar la regla 10 (B + BC = B) a los últimos dos términos → AB + AC + B

5. Aplicar la regla 10 (AB + B = B) al primer y tercer términos → B + AC

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• En este punto la expresión esta lo más simplificada posible

• Este camino no es necesariamente el único

• Una vez que se ha ganado experiencia, se pueden combinar muchos pasos individuales

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Simplificar la expresión Booleana →

1. Aplicar la ley distributiva a los términos entre brackets →

2. Aplicar la regla 8 al segundo término entre paréntesis →

3. Aplicar la regla 3 (A⋅0⋅D = 0) al segundo término entre paréntesis →

4. Aplicar la regla 1 (eliminar el 0) entre los paréntesis →

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5. Aplicar la ley distributiva →

6. Aplicar la regla 7 (CC = C) al primer término →

7. Factorizar →

8. Aplicar la regla 6 →

9. Aplicar la regla 4 (eliminar el 1) →

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Ejercicios• Simplificar las siguientes expresiones

Booleanas:

• Implemente cada expresión en la columna de la derecha tal cual se muestra con las compuertas lógicas apropiadas. Posteriormente implemente la expresión simplificada y compare el número de compuertas.

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Formas Estándar de las Expresiones Booleanas

• Un término producto, también llamado minitérmino, es un término que consiste del producto (multiplicación Booleana) de literales (variables o sus complementos).

• Cuando dos o más términos producto se suman en una suma Booleana, la expresion resultante es una suma de productos.

• Suma de Productos (SOP, del inglés sum-of-products) → AB + ABC

Suma de Productos (SOP)

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• Una expresión SOP puede tener un término con una sola variable → A + ABC

• En una expresión SOP, una sola barra no se puede extender a más de una variable, sin embargo más de una variable en un término puede tener una barra. Se puede tener el término pero no .

• El dominio de una expresión Booleana es el conjunto de variables contenidas en la expresión complementadas o sin complementar. El dominio de la expresión es A, B, C, D, E.

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• Implementar una expresión SOP requiere simplemente ORear los productos de 2 o más compuertas AND.

• Un término producto es producido por una operación AND, y la suma de dos o más términos producto se produce con una operación OR.

Implementación de la expresión SOPAB + BCD + AC

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• Cualquier expresión lógica se puede cambiar a la forma SOP aplicando las técnicas de Álgebra Booleana.

• Ejemplo: A(B + CD) puede ser cambiado a la forma SOP aplicando la ley distributiva → A(B + CD) = AB + ACD

• Ejercicio: Convierta las siguientes expresiones Booleanas a la forma SOP:

Conversión de una expresión general a la forma SOP

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• Una expresión SOP estándar es aquella en donde todas las variables en el dominio aparecen en cada término producto en la expresión. Por ejemplo:

• Las expresiones SOP estándar son importantes en la construcción de tablas de verdad y en el método de simplificación mapas de Karnaugh.

• Cualquier SOP no estándar (referido solamente como SOP) se puede convertir a la forma estándar utilizando álgebra Booleana

Forma SOP Estándar

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• Regla 6 → Cualquier cosa se puede multiplicar por 1 sin cambiar su valor.

1. Multiplicar cada término producto no estándar por un término hecho con la suma de una variable faltante y su complemento. Esto resulta en dos términos producto.

2. Repetir el paso 1 hasta que todos los términos producto resultantes contengan todas las variables en el dominio en forma complementada o sin complementar

Convirtiendo Términos Producto a SOP Estándar

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Ejemplo: Convertir la expresión a la forma SOP estándar.

Dominio → A, B, C, D. Tomar un término a la vez. Al primer término le falta ya variable o . Entonces multiplicar el primer término por como sigue:

En el segundo término, faltan las variables o y o , entonces primero multiplicar el segundo término por como sigue:

A ambos términos resultantes les falta la variable o .Multiplicar ambos términos por como sigue:

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El tercer término ya se encuentra en forma estándar.

La forma SOP estándar completa de la expresión original es como sigue:

Ejercicio: Convierta la expresióna la forma SOP estándar.

Una expresión SOP (estándar o no) es igual a 1 solo cuando uno o más de los términos producto en la expresión es igual a 1.

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• Un término suma, también llamado maxitérmino, consiste de la suma Booleana de literales (variables o sus complementos).

• Cuando dos o más términos suma son multiplicados, la expresión resultante es un producto de sumas.

• Producto de sumas (POS, del inglés product-of-sums) →

• Puede contener un término con una sola variable →

• Una expresión POS (estándar o no) es igual a 0 solo cuando uno o más de los términos suma en la expresión es igual a 0.

Producto de Sumas (POS)

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• En una expresión POS, una barra no se puede extender sobre mas de una variable, sin embargo mñas de una variable en un término puede tener una barra. Se puede tener el término pero no .

• Implementar una expresión POS requiere simplemente ANDear las salidas de dos o mas compuertas OR.

Implementación de la expresión POS(A + B)(B + C + D)(A + C)

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• Una expresión POS estándar es aquella en la que todas las variables en el dominio aparecen en cada término suma en la expresión. Ejemplo:

• Cualquier expresión POS no estándar se puede convertir a una expresión POS estándar utilizando Álgebra Booleana.

Forma POS Estándar

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• Regla 8 → Se puede sumar 0 a cualquier cosa sin cambiar su valor.

1. Sumar a cada término suma no estándar un término hecho con el producto de una variable faltante y su complemento. Esto resulta en dos términos suma.

2. Aplicar la regla 12 →

3. Repetir el paso 1 hasta que todos los términos suma resultantes contengan a todas las variables del dominio en forma complementada o sin complementar.

Convirtiendo Términos Suma a POS Estándar

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Ejemplo: Convertir la expresión a la forma POS estándar.

Dominio → A, B, C, D. Tomar un término a la vez. Al primer término le falta ya variable o . Entonces sumar y aplicar la regla 12 como sigue:

Al segundo término le falta ya variable o . Entonces sumar y aplicar la regla 12 como sigue:

El tercer término ya se encuentra en forma POS estándar. La forma POS estándar de la expresión original es como sigue:

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1. Evaluar cada término producto en la expresión SOP, de modo que la expresión sea igual a 1. (Determinar los números binarios que representan los términos producto)

2. Determinar todos los números binarios no incluidos en la evaluación del paso 1.

3. Escribir el término suma equivalente para cada número binario del paso 2 y expresar en forma POS (La expresión debe ser igual a cero).

Convirtiendo SOP Estándar a POS Estándar

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La evaluación para que la expresión sea igual a 1 es como sigue: 000 + 010 + 101 + 111

Convertir la siguiente expresión SOP a su expresión POS equivalente →

Hay 3 variables, por lo tanto hay 2^3 = 8 posibles combinaciones. La expresión SOP contiene 5 de esas posibles combinaciones, por lo tanto el POS debe contener las otras tres, que son 001, 100 y 110.

La expresión POS equivalente (su evaluación es 0) es:

Utilizando un procedimiento similar, se puede ir de POS a SOP