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ÁLGEBRA DE BOOLEANA.
Presentado por:
Wilmar Alexander Benavides Villota
Johan Sebastián carrillo cruz
20112007094 20111007044
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá
2013
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ÁLGEBRA DE BOOLEANA.
Presentado por:
Wilmar Alexander Benavides Villota
Johan Sebastián carrillo cruz
20112007094 20111007044
Presentado a
Ing. Carlos Martínez Alayon
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá
2013
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TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCION………………………………………………………………………… 4
2. MARCO TEORICO……………………………………………………………………… 5
2.1 ALGEBRA BOOLEANA
2.1.1 Teoremas fundamentales 2.1.2 Axiomas necesarios 2.1.3 Orden en el álgebra de Boole 2.1.4 Principio de dualidad 2.1.5 Estructuras algebraicas que son Álgebra de Boole 2.1.6 Teoremas fundamentales
3. ACTIVIDAD………………………………………………………………………………. 14
3.1 MATERIAL NECESARIO 3.2 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 3.3 CALCULOS TEORICOS 3.4 SIMULACIONES 3.5 RESULTADOS 3.6 CUESTIONARIO
4 CONCLUSIONES………………………………………………………………………….. 25
5 BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………….. 25
4
1 INTRODUCCION
En este laboratorio se utilizara el álgebra de Boole para comprobar las ecuaciones del
algebra de Boole.
Se realizara el montaje de tres circuitos con los cuales se solucionaran preguntas acerca
del algebra de Boole, y aplicando los axiomas y teoremas del algebra de Boole.
Se obtendrán datos para comprobar las tablas de verdad q se obtienen en el álgebra de
Boole.
5
2 MARCO TEORICO
2.1 ALGEBRA BOOLEANA
Dado un conjunto: formado cuando menos por los elementos: en el que se
ha definido:
Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna
un b de B.
Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el
complemento de a.
La operación binaria interna, que llamaremos suma:
Por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le
asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal
que c es el resultado de sumar a con b.
La operación binaria interna, que llamaremos producto:
Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le
asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal
que c es el resultado del producto a y b.
6
Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica,
según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las
operaciones pueden variar.
2.1.1 Axiomas necesarios
Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: son
un álgebra de Boole, si cumple los siguientes axiomas:
1a: La ley asociativa de la suma:
1b: La ley asociativa del producto:
2a: Existencia del elemento neutro para la suma:
2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
3a: La ley conmutativa de la suma:
3b: La ley conmutativa del producto:
4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:
4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
5a: Existe elemento complemento para la suma:
5b: Existe elemento complemento para el producto:
7
2.1.2 Teoremas fundamentales
Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los
siguientes teoremas fundamentales:
6a: Ley de impotencia para la suma:
6b: Ley de impotencia para el producto:
7a: Ley de absorción para la suma:
7b: Ley de absorción para el producto:
8a: ley de identidad para la suma:
8b: ley de identidad para el producto:
9: Ley de involución:
10: Ley del complemento:
11: Leyes de Morgan:
2.1.3 Orden en el álgebra de Boole
Sea: un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto,
podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:
Si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
8
Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de
ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto
parcialmente ordenado.
2.1.4 Principio de dualidad
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le
corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores suma con
los de producto, y de los con los .
Adición Producto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9
Otras formas de notación del álgebra de Boole
En Lógica binaria se suele emplear la notación , común en la
tecnología digital, siendo la forma más usual y la más cómoda de representar.
Por ejemplo las leyes de Morgan se representan así:
Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma
denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose
en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-
NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o
minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}
Empleando esta notación las leyes de Morgan se representan:
En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden
tomar los valores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes a {0, 1}
Con la notación lógica las leyes de Morgan serían así:
En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el
aspecto:
En esta notación las leyes de Morgan serían así:
Otra forma en el álgebra de conjuntos del Álgebra de Boole, las leyes de Morgan
serían así:
Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar
expresiones booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar la negación, la
operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el producto
no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente con una letra
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mayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable
nombrada con dos letras.
La representación de las leyes de Morgan con este sistema quedaría así, con letra
minúscula para las variables:
y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:
Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden
verse al consultar bibliografía. La utilización de una u otra notación no modifica el
álgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las matemáticas o la
tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación.
2.1.5 Estructuras algebraicas que son Álgebra de Boole
Hay numerosos casos de distintas análisis de estructuras algebraicas que
corresponden al álgebra de Boole, aunque en apariencia son muy diferentes, su
estructura es la misma, vamos a ver algunos de ellos, con el propósito de hacer
palpable las similitudes en la estructura y los distintos ámbitos de aplicación y distinta
terminología para referirse a las operaciones o a las variables, veámoslos.
Lógica binaria
Una serie de temas, aparentemente tan distintos, tiene dos cosas en común, la lógica
binaria basada en los ceros y los unos y el álgebra de Boole, posiblemente la forma
más conocida de este álgebra, que en ocasiones da lugar a la interpretación que el
álgebra de Boole es la lógica binaria exclusivamente, así el conjunto en este caso
está formado por dos elementos {0,1}, o {F,V}, o {no, si}, dos valores contrapuestos,
que son las dos posibles alternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin pérdida
de la generalidad, tomaremos el conjunto: {0,1} como ya hemos dicho:
Dónde:
11
La operación unaria interna, que llamaremos negación:
La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada
elemento a de {0,1}, le asigna un b de {0,1}.
Para todo elemento a en {0.1}, se cumple que existe un único b en {0,1}, tal que b es
la negación de a. Como se ve en la tabla.
La operación binaria interna, que llamaremos suma:
Con la operación suma definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b)
de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal
que c es el resultado de sumar a con b.
La operación binaria interna, que llamaremos producto:
Con la operación producto definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b)
de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal
que c es el resultado del producto a y b. Como se puede ver en la tabla.
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Axiomas
Así es un álgebra de Boole al cumplir los siguientes axiomas:
1a: La ley asociativa de la suma:
1b: La ley asociativa del producto:
2a: Existencia del elemento neutro para la suma:
2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
3a: La ley conmutativa de la suma:
3b: La ley conmutativa del producto:
4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:
4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
5a: Existe elemento complementario para la suma:
5b: Existe elemento complementario para el producto:
Luego es álgebra de Boole.
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2.1.6 Teoremas fundamentales
Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:
6a: Ley de impotencia para la suma:
6b: Ley de impotencia para el producto:
7a: Ley de absorción para la suma:
7b: Ley de absorción para el producto:
8a: Ley de identidad para la suma:
8b: Ley de identidad para el producto:
9: Ley de involución:
10: Ley del complemento:
11: Leyes de Morgan:
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3 ACTIVIDAD
3.1 MATERIAL NECESARIO
Dos tablillas de conexiones (Protoboard).
Dos 74LS10, dos 74LS11, dos 74LS04, dos 74LS32, un 74LS21.
Se tiene el siguiente circuito lógico:
15
La tabla de verdad del circuito anterior es:
Y su circuito topológico es el siguiente:
Sea Z la salida del circuito, simplificando la función lógica del circuito original utilizando
el álgebra de Boole, tenemos:
16
El diagrama de la función del circuito reducido es:
Su tabla de verdad es:
Y su circuito topológico es:
Construyendo el circuito reducido utilizando únicamente compuertas No-Y, utilizando
el álgebra de Boole.
17
Su tabla de verdad es:
Circuito topológico:
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3.2 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
1. Armar los tres circuitos anteriores: El original, el reducido y el que está hecho a
base de puras compuerta No-Y.
2. Reportar ventajas y desventajas de la utilización del álgebra de Boole.
3. Como recomendación; el circuito reducido y el circuito hecho con puras compuertas
No-Y, armarlo en una misma tablilla de conexiones, utilizando las mismas señales de
DIP.
3.3 CALCULOS TEORICOS
Al realizar los cálculos teóricos de la comprobación de las compuertas lógicas encontramos la siguiente tabla para el circuito topológico numero 1:
X Y Z W X´ Y Z´ X´ Y´ Z´ W Y´ Z´ W SALIDA
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 1
1 0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
Se obtienen estos valores después de hacer el respectivo procedimiento de cada columna, como lo es el negado de cada variable la multiplicación entre las demás de cada casilla y por último la suma entre resultados de casillas.
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Para el circuito topológico numero 2 tenemos:
X Y Z W X´ Y Z´ Y´ Z´ W SALIDA
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0
Se obtienen estos valores después de hacer el respectivo procedimiento de cada columna, como lo es el negado de cada variable la multiplicación entre las demás de cada casilla y por último la suma entre resultados de casillas.
Para el circuito topológico numero 3 tenemos:
X Y Z W (X´ Y Z´)´ (Y´ Z´ W)´ SALIDA
0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1 0
1 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1 0
1 1 0 1 1 1 0
20
1 1 1 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0
Se obtienen estos valores después de hacer el respectivo procedimiento de cada columna, como lo es el negado de cada variable la multiplicación entre las demás de cada casilla y por último la multiplicación entre resultados de casillas.
3.4 SIMULACIONES
[1]. En la primera simulación podemos ver el circuito topológico número 1:
Esta secuencia es 0,0,0,1 la cual nos da un 1 a la salida
Esta secuencia es 0,1,0,0 la cual nos da un 1 a la salida
21
Esta secuencia es 0,1,0,1 la cual nos da un 1 a la salida
Esta secuencia es 1,0,0,1 la cual nos da un 1 a la salida
[2]. En la segunda simulación podemos ver el circuito topológico número 2:
Esta secuencia es 0,0,0,1 la cual nos da un 1 a la salida
22
Esta secuencia es 0,1,0,0 la cual nos da un 1 a la salida
Esta secuencia es 0,1,0,1 la cual nos da un 1 a la salida
Esta secuencia es 1,0,0,1 la cual nos da un 1 a la salida
23
[3]. En la tercera simulación podemos ver el circuito topológico número 3:
Esta secuencia es 0,0,0,1 la cual nos da un 1 a la salida
Esta secuencia es 0,1,0,0 la cual nos da un 1 a la salida
24
Esta secuencia es 0,1,0,1 la cual nos da un 1 a la salida
3.5 RESULTADOS
Al realizar el respectivo procedimiento se obtuvieron las tablas analizadas teóricamente
de esto se concluyó:
Que al hacer el reconocimiento de las tablas de resultados de los circuitos integrados, y
realizando la comparación con las tablas de verdad de las compuertas lógicas y el álgebra
booleana, encontramos que sus resultados fueron verídicos y los esperados con respecto
a los cálculos teóricos además se encontró:
La compuerta NOT (74LS04) actúa como un negador es decir niega las entradas y
envía el valor contrario a las salidas.
Las compuertas AND (74LS11, 74LS21) actúan como multiplicadores de varias
variables y dependiendo sus valores de entrada sus salidas son 0 o 1.
La compuerta OR (74LS32) actúa como un sumador sumando varias variables y
dependiendo sus valores de entrada sus salidas son 0 o 1.
La compuerta NAND (74LS10) actúa como un multiplicador negado, es decir
multiplica las variables de entrada y niega su salida enviando así el valor contario.
3.6 CUESTIONARIO
1. ¿Cuál es el costo del circuito original?
RTA: / El costo del circuito original o el número uno es de: 18.150 Pesos
2. ¿Cuál es el costo del circuito reducido?
RTA: / El costo del circuito reducido o el circuito número 2 es de: 17.150 Pesos
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3. ¿Cuál es el costo del circuito hecho sólo con compuertas No-Y?
RTA: / El costo del circuito reducido o el circuito número 3 es de: 15.750 Pesos
4. ¿Qué ventajas se obtiene al utilizar el álgebra de Boole?
RTA: / Las ventajas que encontramos es que podemos reducir el costo de nuestros
circuitos obteniendo el mismo resultado.
5. ¿Encontraste alguna diferencia en la señal de salida de los tres circuitos anteriores?
RTA: / Las salidas eran las mismas para cada circuito, en cada una de las posiciones.
6. Si ocuparas alguno de los tres circuitos anteriores ¿cuál utilizarías? y ¿por qué?
RTA: / Ocuparía el tercer circuito ya que es económico y práctico para múltiples
trabajos.
4 CONCLUSIONES
1. Se pudieron comprobar las compuertas lógicas como lo son; and, or, not y nand.
2. Se pudo también observar las diferencias entre compuertas ya que cada una de estas
corresponde a una operación, multiplicación, suma entre otras, además de la negación
de las mismas.
3. Se observó también que al subir el voltaje de entrada los led encendían más, su luz
era más visible.
4. Se puede concluir también que gracias al algebra booleana podemos reducir el costo
de nuestros circuitos, obteniendo el mismo resultado.
5 BIBLIOGRAFIA
http://ocw.usal.es/eduCommons/ensenanzas-
tecnicas/electronica/contenido/electronica/Tema6_AlgebraBOOLE.pdf
http://html.rincondelvago.com/algebra-de-boole-y-puertas-logicas.html
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole
