Algebra Determinanten en stelsels - wiswijs · 4 HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN i. b6= 0 0 b 0 d b˘6=0 0 1 0 0 RangA=1. ii. b= 0 en d6= 0 0 0 0 d ˘ 0 d 0 0 d˘6=0 0 1 0 0 RangA=1. iii

AlgebraDeterminanten en stelsels

Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem

Cursus voor de vrije ruimte

2

Hoofdstuk 1

Determinanten

1.1 Determinant van de orde twee

We gaan na wat de voorwaarde is waaraan de elementen van een vierkante matrix moetenvoldoen opdat de rijvectoren lineair afhankelijk zouden zijn. Daartoe bespreken we derang van de matrix.

A =

(a bc d

)a6=0∼(a b0 ad− bc

)

1. In geval a 6= 0

(a) RangA=2 als ad− bc 6= 0

(b) RangA=1 als ad− bc = 0

2. In geval a = 0

(a) c 6= 0 (c is Jordan-element)(0 bc d

)c 6=0∼(c d0 b

)i. RangA=2 als b 6= 0

In dit geval is ab− bc = 0− bc 6= 0

ii. RangA=1 als b = 0In dit geval is ab− bc = 0− 0 = 0

(b) c = 0. In dit geval is steeds ab− bc = 0− 0 = 0

3

4 HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN

i. b 6= 0 (0 b0 d

)b 6=0∼(

0 10 0

)RangA=1.

ii. b = 0 en d 6= 0 (0 00 d

)∼(

0 d0 0

)d6=0∼(

0 10 0

)RangA=1.

iii. b = d = 0 (0 00 0

)RangA=0.

Besluit

1. De rijvectoren van een matrix zijn lineair onafhankelijk (rangA=2) als en slechts alsab− bc 6= 0 en zijn lineair afhankelijk (rangA ≤ 1) als en slechts ad− bc = 0.

Het is handig om uitdrukking ad − bc schematisch te kunnen voorstellen. Daarom de-finieren we het begrip van determinant van de orde twee.Is de matrix A een vierkante matrix van de orde 2× 2 dan is de determinant van eenmatrix A het reeel getal

detA =

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc ∈ R.

STELLING 1.1 Als we in een (2× 2)-matrix de rijen en de kolommen met elkaar ver-wisselen dan blijft haar determinant onveranderd.

detAt = detA

Inderdaad, ∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc∣∣∣∣ a cb d

∣∣∣∣ = ad− bc

Opdat het al dan niet nul zijn van een determinant niet verandert als we de rijen met dekolommen verwisselen, kunnen we de volgende stelling definieren.

1.1. DETERMINANT VAN DE ORDE TWEE 5

STELLING 1.2 De rijvectoren (kolomvectoren) van een matrix zijn lineair onafhanke-lijk als en slechts als zijn determinant verschillend is van nul en zijn lineair afhankelijkals en slechts als zijn determinant gelijk is aan nul.

Opmerking:

1. In geval c 6= 0 en d 6= 0 betekent∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = 0⇐⇒ a

c=b

dmet (c 6= 0, d 6= 0)

Dit betekent inderdaad dat de rijvectoren (a, b) en (c, d) lineair afhankelijk zijn.

2. In geval c = 0 is ab− bc = 0 als a = 0 ∨ d = 0

a

0=b

d

(a) c = a = 0 dan verkrijgen0

0=b

dDe vectoren (0, b) en (0, d) zijn inderdaad lineair afhankelijk.

(b) c = d = 0 dan verkrijgen wea

0=b

0De vectoren (a, b) en (0, 0) zijn inderdaad lineair afhankelijk.De nulvector is afhankelijk van elke vector.

Als in een evenredigheid de noemer nul is dan kan de evenredigheid maar voldaanzijn als ook de corresponderende teller gelijk is aan nul of als alle noemers gelijk zijnaan nul.

STELLING 1.3 Als we in een (2× 2)-matrix de 2 rijen (kolommen) met elkaar verwis-selen dan gaat de determinant over in zijn tegengestelde.

Inderdaad, ∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc∣∣∣∣ c da b

∣∣∣∣ = bc− ad

Hieruit volgt ∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = −∣∣∣∣ c da b

∣∣∣∣


1.2 Determinant van de orde drie

1.2.1 Cofactor van een element van een (3× 3)-matrix

In een (3 × 3)-matrix zitten 9 determinanten van de orde 2 vermits er 9 deelmatriceszijn van de orde (2 × 2). Zo een deelmatrix bekomen we door een rij en een kolom teschrappen. Vandaar de volgende definitie. De cofactor van een element aij van eenmatrix van de orde (3 × 3) is de determinant van de matrix van de orde (2 × 2) die webekomen door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen. Voor deze determinant plaatsenwe een + of een − teken al naar gelang i + j even of oneven is. Is i + j even (oneven)dan zeggen we dat het element op een even (oneven) plaats staat. De cofactor van hetelement aij in de vierkante matrix (aij) noteren we Aij.

Hieronder geven we een schematische voorselling van alle cofactoren, di. de matrix waarinelk element van A vervangen werd door zijn cofactor. A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

(1.1)

Opmerking: De minor van een element aij van de vierkante matrix (aij) is de determinantdie we bekomen door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen zonder rekening te houdenmet het teken van de plaats waar het element zich bevindt.

1.2.2 Definitie van determinant van de orde 3

De korte notatie Aij voor cofactor van een element van een matrix kunnen we goedgebruiken om de canonieke matrix te bepalen van een algemene (3 × 3)-matrix. Decanonieke matrix van de (3× 3)-matrix

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

in geval a11 6= 0 en A33 6= 0, is gelijk aan a11A33 0 a13A33 + a12A32

0 A33 −A32

0 0 A22A33 − A32A23

De rang van de matrix hangt af van het al of niet nul zijn van de cofactor A22A33−A32A23

van het element A11 in de matrix 1.1. We berekenen A22A33 − A32A23 in functie van de

1.2. DETERMINANT VAN DE ORDE DRIE 7

elementen aij.

A22A33 − A32A23 =

a11(a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32)

Vermits in de rijherleiding a11 6= 0, hangt het al dan niet nul zijn van A22A33 − A32A23

enkel af van de factor

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32. (1.2)

Ga zelf na dat voor gelijk welke keuze van de Jordan elementen in de rijherleiding vande matrix A, de canonieke gedaante steeds de factor 1.2 bezit. Dit betekent dat bijverwisseling van rijen deze factor steeds bekomen wordt.

We definieren 1.2 als de determinant van de (3× 3)-matrix A en we noteren detA of| A |.De algemene term van deze som in 1.2 is van de gedaante: a1ka2la3m. Om alle termen vande ontwikkeling te bekomen, nemen we voor (k, l,m) de zes permutaties pi van (1, 2, 3)(met i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}).Staat in een permutatie pi van de elementen van een verzameling {1, 2, 3 · · ·n} een groterelement links van een kleiner element, dan spreken we van een inversie.Een even permutatie is een permutatie met een even aantal inversies. Een onevenpermutatie is een permutatie met een oneven aantal inversies.We zeggen dat een even permutatie een signatuur gelijk aan +1 heeft en een onevenpermutatie een signatuur gelijk aan −1 heeft.We noteren sign(pi)

sign(pi)

{= 1 ⇐⇒ pi is even= −1 ⇐⇒ pi is oneven

Je kan nu gemakkelijk nagaan dat in 1.2 een (+)teken voorkomt als (k, l,m) een evenpermutatie is van (1, 2, 3) en een (-)teken als (k, l,m) een oneven permutatie is.

Met het sommatieteken kunnen we de uitdrukking voor de determinant als volgt noteren:

| A |= detA =6∑i=1

sign(pi)a1,pi(1)a2,pi(2)a3,pi(3).

We kunnen de determinant van een matrix van de orde 3 × 3 ook bekomen door dezogenaamde regel van de driehoeken. De driehoeken worden bekomen door in dematrix de elementen die in de uitdrukking 1.2 samen horen in eenzelfde term met elkaarte verbinden. Zo ontstaan zes driehoeken.


DERIVE berekent determinanten met het commando det(A) te schrijven. EXCEL bere-kent eveneens determinanten met in een cel het commando DETERMINANTMAT(A) teschrijven.

1.3 Uitbreiding van het begrip determinant

We kunnen gemakkelijk het begrip van determinant uitbreiden naar een hogere orde dande derde orde. Is een matrix van de orde (n × n) dan heeft de determinant n! termenomdat een verzameling mat n elementen n! permutaties bezit.

detA =n!∑i=1

sign(pi)a1,pi(1)a2,pi(2) . . . an,pi(n).

OPGAVEN — 1 Bepaal de determinant van een symmetrische matrix van de orde 3× 3.

2 Bereken de volgende determinanten met de regel van de driehoeken:∣∣∣∣∣∣4 0 13 −2 5−3 2 5

∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣

3 −2 31 0 12 4 5

∣∣∣∣∣∣OPLOSSINGEN — 2. (i). -80; (ii) 6.

1.4. EIGENSCHAPPEN VAN DETERMINANTEN 9

1.4 Eigenschappen van determinanten

STELLING 1.4 Vermenigvuldigen we de elementen van een willekeurige rij met resp.hun eigen cofactor en tellen we de bekomen producten op dan verkrijgen we steeds hetzelfdereeel getal, dat de determinant van de matrix is.

We tonen dit aan voor een determinant van de orde 3. We kunnen in de uitdrukking 1.2de termen rangschikken naar de elementen van eenzelfde rij.Als we bvb. rangschikken naar de elementen van de eerste rij dan krijgen we

a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)

= a11

∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣of korter:

a11A11 + a12A12 + a13A13 (1.3)

De uitdrukking 1.3 is de ontwikkeling naar de eerste rij van de determinant.

Opmerking: Bij de ontwikkeling van een determinant van de orde n naar een bepaalderij wordt de berekening herleid tot het uitrekenen van determinanten van een orde lager,nl. van de orde n− 1.

STELLING 1.5 De determinant van een driehoeksmatrix is gelijk aan het product vande diagonaalelementen.

Bewijs zelf voor een determinant van de orde 3 en van de orde 4:


OPGAVEN — 3 Bereken de volgende determinanten door ze te ontwikkelen naar een rij of een kolom:

∣∣∣∣∣∣1 0 26 −1 5−1 0 −2

∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣

2 −3 4−2 3 −4

1 0 5

∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣

4 −3 2 32 3 −2 43 −2 −3 1−2 3 −4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣4 Bewijs dat de determinant van elke scheefsymmetrische matrix van de orde 3 gelijk is aan nul (dit is

trouwens waar voor elke oneven orde).

5 Bewijs dat de determinant van elke scheefsymmetrische matrix van de orde 4 met elementen in Z eenvolkomen kwadraat is (dit is trouwens waar voor elke even orde).

OPLOSSINGEN — 3. (i). 0; (ii). 0; (iii). -180.

1.4.1 Reciproke determinant van de determinant van een sym-metrische matrix ∗

Gegeven een symmetrische matrix ∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣met determinant ∆.

We noemen de reciproke determinant van ∆ de determinant die we bekomen door elk element van ∆ tevervangen door zijn cofactor.

De reciproke determinant van ∆ is ∣∣∣∣∣∣A11 A12 A13

A12 A22 A23

A13 A23 A33

∣∣∣∣∣∣STELLING 1.6 De cofactor van een element van de reciproke determinant van ∆ is gelijk aan hetproduct van het overeenstemmend element uit ∆ met ∆.

A22A33 −A223 = a11∆, A33A11 −A2

13 = a22∆, A11A22 −A212 = a33∆

A13A12 −A11A23 = a23∆, A12A23 −A22A13 = a13∆, A23A13 −A33A12 = a12∆


STELLING 1.7 Als we in een vierkante matrix de rijen met de kolommen verwisse-len dan blijft de determinant behouden. Anders geformuleerd: De determinant van eenvierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde.

We kunnen ook zeggen: Als we in een determinant de elementen spiegelen t.o.v. de hoofd-diagonaal dan blijft de determinant behouden.

Met symbolen:detA = detAt

Bewijs voor determinanten van de orde 3: Voor het bewijs ontwikkelen we detA naar bvb.de eerste rij en detAt naar de eerste kolom. In deze twee ontwikkelingen zijn overeenkom-stige elementen gelijk, alsook overeenkomstige cofactoren wegens stelling 1.1.

Voorbeeld: ∣∣∣∣∣∣0 0 11 2 41 3 9

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣0 1 10 2 31 4 9

∣∣∣∣∣∣Deze eigenschap heeft tot gevolg dat alle volgende eigenschappen voor rijen ook geldigzijn voor kolommen.

STELLING 1.8 Als we in een vierkante matrix twee rijen (of twee kolommen) metelkaar verwisselen dan gaat de determinant over in zijn tegengestelde.

Bewijs voor determinanten van de orde 3: Verwisselen we bvb. de eerste twee rijen van Amet elkaar dan bekomen we de matrix B. Voor het bewijs ontwikkelen detA en detB naarde derde rij. In beide ontwikkelingen zijn overeenkomstige elementen gelijk aan elkaar enovereenkomstige cofactoren tegengesteld.

Voorbeeld: ∣∣∣∣∣∣0 4 −11 2 39 8 7

∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣∣4 0 −12 1 38 9 7

∣∣∣∣∣∣We hebben kolom 1 met kolom 2 verwisseld, we noteren dit als K12 = K21.

We aanvaarden de volgende stelling:

STELLING 1.9 De rijvectoren (kolomvectoren) van een vierkante matrix zijn lineairafhankelijk of maw. de rang van de matrix is kleiner dan de orde van de matrix als enslechts als de determinant van de matrix gelijk is aan nul.


De stelling is gelijkwaardig met de volgende stelling

STELLING 1.10 De rijvectoren (kolomvectoren) van een vierkante matrix zijn lineaironafhankelijk of maw. de rang van de matrix is gelijk aan de orde van de matrix als enslechts als de determinant van de matrix verschillend is van nul.

Voorbeelden: ∣∣∣∣∣∣0 3 33 8 8−4 1

212

∣∣∣∣∣∣ = 0 (K2 = K3)

∣∣∣∣∣∣1c

b c1 b2 c2

1 b2 c2

∣∣∣∣∣∣ = 0 (R2 = R3)

∣∣∣∣∣∣0 1 91 2 32 4 6

∣∣∣∣∣∣ = 0 (R3 = 2R2);

∣∣∣∣∣∣√

2−√

3√

3√

2

−1√

6 + 3√

6 + 2

3 2√

2

∣∣∣∣∣∣ = 0 (R2 = (√

2 +√

3)R1).

∣∣∣∣∣∣0 −1 50 3 40 4 −6

∣∣∣∣∣∣ = 0 (K1 = 0-kolom)

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 7 7

∣∣∣∣∣∣ R3=73R2− 7

3R1

= 0.

Als theoretische toepassing kunnen we de volgende eigenschap gemakkelijk bewijzen.


STELLING 1.11 Vermenigvuldigen we de elementen van een willekeurige rij (of kolom)van een vierkante matrix met resp. de cofactoren van de overeenkomstige elementen vaneen andere rij (of kolom) en tellen we de bekomen producten op dan is deze som gelijkaan nul.

We vermenigvuldigen bijvoorbeeld de elementen van de eerste rij met de cofactoren vande overeenkomstige elementen van de tweede rij

a11A21 + a12A22 + a13A23 = −a11.∣∣∣∣ a12 a13a32 a33

∣∣∣∣+ a12.

∣∣∣∣ a11 a13a31 a33

∣∣∣∣− a13. ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32

∣∣∣∣We zien dat het tweede lid de ontwikkeling is naar de tweede rij van de volgende deter-minant: ∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a11 a12 a13a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣Deze determinant heeft twee gelijke rijen en is dus gelijk aan nul.

STELLING 1.12 Als we in een vierkante matrix een rij (of kolom) met eenzelfde reeelgetal vermenigvuldigen dan wordt haar determinant met dat reeel getal vermenigvuldigd.

Bewijs: Het bewijs wordt gegeven door de determinant te ontwikkelen naar de rij of kolomdie met het reeel getal wordt vermenigvuldigd.

Voorbeeld: ∣∣∣∣∣∣52

20 8−1

24 6

34

5 2

∣∣∣∣∣∣ =1

2.2

∣∣∣∣∣∣5 20 4−1 4 3

32

5 1

∣∣∣∣∣∣ =1

2

∣∣∣∣∣∣5 20 4−1 4 3

3 10 2

∣∣∣∣∣∣GEVOLG 1.1

∀r ∈ R :

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23ra31 ra32 a33

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 ra13a21 a22 ra23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣Pas dit gevolg toe om te bewijzen dat∣∣∣∣∣∣

a b2 c1 b 1c ac a

∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣∣1 1 1a b cbc ac ab

∣∣∣∣∣∣en ∣∣∣∣∣∣

b b cbc b2 c2

1 bc

cb

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1c

b c1 b2 c2

1 b2 c2

∣∣∣∣∣∣


STELLING 1.13 Als we in een vierkante matrix een rij (of kolom) opvatten als desom van twee rijen (twee kolommen) dan is haar determinant gelijk aan de som vande determinanten van de matrices bekomen door de somrij (somkolom) beurtelings tevervangen door de termrijen (termkolommen).

Het bewijs wordt gegeven door de determinant te ontwikkelen naar de rij (of kolom) dieopgevat werd als de som van twee rijen (of twee kolommen).

Voorbeeld:∣∣∣∣∣∣1 0 32 2 43 5 5

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 0 1 + 22 2 2 + 23 5 3 + 2

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 0 12 2 23 5 3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣1 0 22 2 23 5 2

∣∣∣∣∣∣ = 0 + 2

∣∣∣∣∣∣1 0 12 2 13 5 1

∣∣∣∣∣∣STELLING 1.14 Als we in een vierkante matrix bij een rij (of kolom) een lineaire com-binatie van de andere rijen (kolommen) optellen, dan blijft haar determinant behouden.

Voor het bewijs steunen we op stelling 1.12 en 1.13.

Voorbeelden: ∣∣∣∣∣∣1 0 12 2 13 5 1

∣∣∣∣∣∣ R2−R1,R3−R1=

∣∣∣∣∣∣1 0 11 2 02 5 0

∣∣∣∣∣∣ ;∣∣∣∣∣∣1 0 26 −1 5−1 0 −2

∣∣∣∣∣∣ K3−2K1=

∣∣∣∣∣∣1 0 06 −1 −6−1 0 0

∣∣∣∣∣∣ R1=−R3= 0

STELLING 1.15 De determinant van het product van twee vierkante matrices is gelijkaan het product van de determinanten van die matrices.

Met symbolen:det(A.B) = detAdetB (1.4)

We kunnen het bewijs geven voor algemene matrices van de orde 2 × 2 en 3 × 3. Daar-toe rekenen we beide leden uit en vergelijken de resultaten met elkaar. Algemeen echterkunnen we het product A.B opvatten als een matrix die onstaat uit A door elke kolomte vervangen door een lineaire combinatie van kolommen uit A. Door de rekenregels vandeterminanten toe te passen bekomen we de stelling. Dit is opnieuw niet zo moeilijk,maar wel langdrading en dus . . . (vul zelf in).


Opmerkingen:

• In het algemeen geldtA ·B 6= B · A

maar er geldt steedsdet(A ·B) = det(B · A).

• Door de eigenschap 1.15 kunnen we het product van twee determinanten uitvoerenzoals we het product van twee matrices maken.

• Omdat de determinant van een matrix gelijk is aan de determinant van zijn ge-transponeerde kunnen we voor het product van twee determinanten, i.p.v. de rijenvan de eerste determinant te vermenigvuldigen met de overeenkomstige elementenvan de kolommen van de tweede determinant, de rijen van de eerste determinantvermenigvuldigen met de rijen van de tweede determinant of de kolommen van deeerste met de kolommen van de tweede.

OPGAVEN — 6 Bewijs:

a.

∣∣∣∣∣∣x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ x2 − x1 y2 − y1x3 − x1 y3 − y1

∣∣∣∣b.

∣∣∣∣∣∣b b −b−1 0 1a a −a

∣∣∣∣∣∣ = 0

7 Bereken de volgende determinanten door gebruik te maken van de eigenschappen van de determinan-ten.

a.

∣∣∣∣∣∣4 0 13 −2 5−3 2 5

∣∣∣∣∣∣ b.

∣∣∣∣∣∣3 −2 31 0 12 4 5

∣∣∣∣∣∣ c.

∣∣∣∣∣∣1 a 1b c b3 d 3

∣∣∣∣∣∣d.

∣∣∣∣∣∣15 2 11 − 1

15 2130 4 1

∣∣∣∣∣∣ e.

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 24 −1 3 13 2 7 12 5 0 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ f.

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 4 15 1 0 34 −2 2 00 2 2 6

∣∣∣∣∣∣∣∣8 Werk uit door gebruik te maken van de eigenschappen van determinanten:

a.

∣∣∣∣∣∣7 a b3 c d1 x y

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣−7 a b−3 c d

0 x y

∣∣∣∣∣∣b.

∣∣∣∣∣∣3 2 32 1 16 3 5

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣ 1 13 5

∣∣∣∣


c.

∣∣∣∣∣∣2 1 −11 2 11 1 2

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣ 5 14 −1

∣∣∣∣9 De volgende determinanten zijn gelijk aan nul. Welke rij is lineaire combinatie van de twee andere

rijen?

a.

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ b.

∣∣∣∣∣∣1 3 −12 6 −20 0 1

∣∣∣∣∣∣ c.

∣∣∣∣∣∣−4 1 7

0 0 01 6 3

∣∣∣∣∣∣10 Geef een ontbinding in factoren voor de uitwerking van de volgende determinanten:

a.

∣∣∣∣∣∣a 1 11 a 11 1 a

∣∣∣∣∣∣ b.

∣∣∣∣∣∣1 a b1 c d1 −a b

∣∣∣∣∣∣ c.

∣∣∣∣∣∣1 1 1a b c

b + c c + a a + b

∣∣∣∣∣∣d.

∣∣∣∣∣∣a− b− c 2a 2a

2b b− c− a 2b2c 2c c− a− b

∣∣∣∣∣∣ e.

∣∣∣∣∣∣a2 (a + 1)2 (a− 1)2

b2 (b + 1)2 (b− 1)2

c2 (c + 1)2 (c− 1)2

∣∣∣∣∣∣ f.

∣∣∣∣∣∣1 n n2 + n1 n + 1 n2 + 3n + 21 n + 2 n2 + 5n + 6

∣∣∣∣∣∣11 * Geef een ontbinding in factoren voor de uitwerking van de volgende determinanten:

a.

∣∣∣∣∣∣ac bc a2 + b2

b2 + c2 ab acab a2 + c2 bc

∣∣∣∣∣∣ b.

∣∣∣∣∣∣∣∣a b c db c d ac d a bd a b c

∣∣∣∣∣∣∣∣ c.

∣∣∣∣∣∣a2 b2 (a + b)2

a2 (c + a)2 c2

(b + c)2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣d.

∣∣∣∣∣∣∣∣1 a a2 a3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d d2 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣ e.

∣∣∣∣∣∣∣∣1 + a 1 1 1

1 1 + b 1 11 1 1 + c 11 1 1 1 + d

∣∣∣∣∣∣∣∣Oplossingen:

7. a. -80 b. 6 c. 0 d. 4790 e. 170 f. -456

8. a. ad− bc b. 0 c. − 3

9. a. R1 = 2R2 −R3 b. R2 = 2R1 c. R2 = 0R1 + 0R3

10. a. (1− a)2(2 + a);

b. 2a(d− b);

c. 0;

d. (a + b + c)3;

e. −4(a− b)(b− c)(c− a);

f. 2;

11. a. 4(abc)2

b. −(a + b + c + d)(a− b + c− d)((b− d)2 + (a− c)

)


c. (a− b)(b− c)(c− d)(a− d)(a− c)(b− d)

d. abcd(1 + 1a + 1

b + 1c + 1

d )

LIN.AL. HUISTAAK 1 1. Bereken de volgende determinanten door gebruik te ma-ken van de eigenschappen van de determinanten.

a.

∣∣∣∣∣∣1 a a2

1 b b2

1 c c2

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣a 1 a2

b 1 b2

c 1 c2

∣∣∣∣∣∣ b.

∣∣∣∣∣∣1 7 80 6 50 0 3

∣∣∣∣∣∣c.

∣∣∣∣∣∣1 −1

438

2 − 516

13 1

24136

∣∣∣∣∣∣ d.

∣∣∣∣∣∣∣∣3 1 2 −23 0 4 19 −6 −6 −3−3 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣2. Geef een ontbinding in factoren voor de uitwerking van de volgende determinant:∣∣∣∣∣∣

1 1 1b+ c c+ a a+ bbc ca ab

∣∣∣∣∣∣


Hoofdstuk 2

Stelsels

2.1 Stelsels van Cramer

Bij een stelsel van Cramer is de rang van de coefficientenmatrix die een vierkante (n×n)-matrix is, gelijk aan n. Hieruit volgt dat de determinant van de coefficientenmatrixverschillend is van nul.

r = rangA = n⇐⇒ detA 6= 0.

2.1.1 De regel van Cramer

De oplossing van een stelsel van Cramer kan op een specifieke manier bekomen worden,nl. met de zogenaamde regel van Cramer.

Bij een stelsel van Cramer is het mogelijk een lineaire combinatie te maken van de n ver-gelijkingen zodanig dat alle onbekenden verdwijnen op een onbekende na. Op die manierkunnen we de waarden van alle onbekenden bepalen.

Willen we de waarde van de eerste onbekende, dan vermenigvuldigen we de vergelijkin-gen in beide leden met resp. de cofactoren van de elementen van de eerste kolom van decoefficientenmatrix en tellen de bekomen producten op.

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxna21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn

......

...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn

= b1 ×A11

= b2 ×A21...

...= bn ×An1

(a11A11 + a21A21 + · · ·+ an1An1)x1+(a12A11 + a22A21 + · · ·+ an2An1)x2

+ · · ·+ (a1nA11 + a2nA21 + · · ·+ annAn1)xn = b1A11 + b2A21 + · · ·+ bnAn1

19

20 HOOFDSTUK 2. STELSELS

In de vergelijking die we bekomen is de coefficient van de eerste onbekende gelijk aande determinant van A, de coefficienten van de andere onbekenden zijn nul. Dit steuntenerzijds op de definitie van de determinant van een matrix, nl. de determinant van eenmatrix is gelijk aan de som van de producten van de elementen van bepaalde kolom methun corresponderende cofactor en anderzijds op de eigenschap dat de som van de produc-ten van de elementen van een bepaalde kolom met de cofactoren van de corresponderendeelementen van een andere kolom gelijk is aan nul. We bekomen dus

(detA)x1 = b1A11 + b2A21 + · · ·+ bnAn1

De uitdrukking in het tweede lid kan geschreven worden in de vorm van een determinant,dezelfde als van detA maar waarin de eerste kolom vervangen is door de constanten bi vanhet stelsel.

(detA)x1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 . . . a1nb2 a22 . . . a2n...

......

bn an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Aangezien detA 6= 0 kunnen we de eerste onbekende uit de vergelijking oplossen. Deeerste onbekende is dan gelijk aan het quotient van twee determinanten.

Op analoge wijze verkrijgen we de andere onbekenden.

* Regel van Cramer voor een lineair (2, 2)-stelsel.

Een lineair (2, 2)-stelsel met rang gelijk aan 2 heeft juist een oplossing. De waardevan de eerste en tweede onbekende is gelijk aan het quotient van twee determi-nanten van de orde 2. De teller is de determinant van de matrix die we bekomendoor in de coefficientenmatrix A resp. de eerste en de tweede kolomvector te ver-vangen door de kolomvector van de constanten, de noemer is de determinant van decoefficientenmatrix. {

a11x + a12y = b1a21x + a22y = b2

(met detA 6= 0).

De oplossing van dit stelsel is

(x, y) = (

∣∣∣∣ b1 a12b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣ a11 b1a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣).

2.2. DE INVERSE MATRIX VAN EEN NIET-SINGULIERE MATRIX 21

Bijzonder geval: Is het lineair (2, 2)-stelsel een homogeen stelsel met rang gelijk aan2 dan is de enige oplossing de nuloplossing (0, 0).

* Regel van Cramer voor een lineair (3, 3)-stelsel.

Een lineair (3, 3)-stelsel met rang gelijk aan 3 heeft juist een oplossing. De waardevan de eerste, tweede en derde onbekende is gelijk aan het quotient van twee deter-minanten van de orde 3. De teller is de determinant van de matrix die we bekomendoor in de coefficientenmatrix A resp. de eerste, de tweede en de derde kolomvectorte vervangen door de kolomvector van de constanten, de noemer is de determinantvan de coefficientenmatrix.

a11x + a12y + a13z = b1a21x + a22y + a23z = b2a31x + a32y + a33z = b3

(met detA 6= 0).

De oplossing van dit stelsel is

(x, y, z) = (

∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣).

Bijzonder geval: Is het lineair (3, 3)-stelsel een homogeen stelsel met rang gelijk aan3 dan is de enige oplossing de nuloplossing (0, 0, 0).

OPGAVEN — 12 Ga na of volgende stelsels stelsels zijn van Cramer. Indien zo, bepaal de oplossingmet de regel van Cramer.

a.

{2x− y = 5x + y = 1

b.

{x− y = 2x + y = −2

c.

x − 3y + z = −22x − y − z = 33x − 4y + z = 2

d.

x + y + z = 42x + 5y − 2z = 3x + 7y − 7z = −6

Oplossingen:12 a. (2,−1); b. (0,−2); c. (3, 2, 1); d. geen stelsel van Cramer.

2.2 De inverse matrix van een niet-singuliere matrix

De inverse matrix van een vierkante matrix A is de matrix A−1 waarvoor geldt:

A.A−1 = In = A−1.A


Nemen we van beide leden de determinant

det(A.A−1) = detIn = det(A−1.A)⇐⇒ detAdetA−1 = 1

Hieruit volgt dat detA 6= 0. Een nodige voorwaarde opdat een matrix een inverse matrixzou bezitten is dus dat de determinant van de matrix verschillend is van nul.

Dit laatste doet ons denken aan een stelsel van Cramer waar de determinant van decoefficientenmatrix verschillend is van nul. We bewijzen nu met de theorie van de stelselsvan Cramer dat elke matrix met determinant verschillend van nul een inverse matrix heeftdoor hem daadwerkelijk te construeren.

Een stelsel van Cramer heeft juist een oplossing. We schrijven een algemeen stelsel vanCramer in verkorte matrixgedaante:

A.X = B met detA 6= 0

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann

en

X =

x1x2...xn

en B =

b1b2...bn

De vergelijking A.X = B is de matriciele vergelijking van het stelsel.Vermits het stelsel een stelsel van Cramer is, geldt dat de matrix A−1 bestaat.

A.A−1 = In = A−1.A

A.X = B ⇐⇒ A−1.(A.X) = A−1.B (A−1 bestaat)⇐⇒ (A−1.A).X = A−1.B ( prod. is ass.)⇐⇒ In.X = A−1.B ( def A−1)⇐⇒ X = A−1.B (In is neutr. el. vr. prod)

Volgens de regel van Cramer is

X =

x1x2...xn


met x1 = 1

detA(b1A11 + b2A21 + · · ·+ bnAn1)

x2 = 1

detA(b1A12 + b2A22 + · · ·+ bnAn2)

......

xn = 1

detA(b1A1n + b2A2n + · · ·+ bnAnn)

m

x1 = 1

detA

(A11 A21 . . . An1

).

b1b2...bn

x2 = 1

detA

(A12 A22 . . . An2

).

b1b2...bn

...

...

xn = 1

detA

(A1n A2n . . . Ann

).

b1b2...bn

m

x1x2...xn

=1

detA.

A11 A21 · · · An1A12 A22 · · · An2

......

...A1n A2n · · · Ann

.

b1b2...bn

Uit deze laatste gelijkheid volgt dat

A−1 =1

detA.

A11 A21 · · · An1A12 A22 · · · An2

......

...A1n A2n · · · Ann

⇐⇒ 1

detA.AAdj

De adjunct-matrix van A, genoteerd AAdj, is de getransponeerde matrix van de matrixdie we bekomen uit de matrix A door elk element te vervangen door zijn cofactor.

Besluit: IsdetA 6= 0


dan is

A−1 =AAdj

detA(2.1)

We zeggen dat de matrix A regulier of niet-singulier of invertibel of inverteerbaaris.


Verband tussen een matrix en zijn adjunct-matrix

Vermenigvuldigen we beide leden van de formule 2.1 met detA dan is

detA.A−1 = AAdj.

Vermenigvuldigen we achtereenvolgens de laatste uitdrukking links en rechts met de ma-trix A dan verkrijgen we de formule die een verband uitdrukt tussen de matrix A en zijnadjunct.

AAdj.A = A.AAdj = detA.In (2.2)

De determinant van de adjunct-matrix

Nemen we van beide leden van de formule 2.2 de determinant dan bekomen we

detA · detAAdj = (detA)n ⇐⇒ detAAdj = (detA)n−1.

LIN.AL. HUISTAAK 2 1. Toon aan dat (AAdj)Adj = (detA)n−2 · A.

2. Los het volgend stelsel op met de regel van Cramer en met de matriciele methode:x+ y − z = 02x− 3y + z = 5−x+ y − 4z = −3


2.3 Rang van een matrix bepalen met determinanten

STELLING 2.1 Is de rang van een matrix van de orde r×n gelijk aan het aantal rijenr dan bestaat er een vierkante deelmatrix van de orde r × r waarvan de determinantverschillend is van nul.

Bewijs: De r rijvectoren van de matrix zijn lineair onafhankelijk vermits de rang gelijk isaan het aantal rijvectoren.Stel dat de determinanten van alle deelmatrices van de orde r gelijk zijn aan nul danzouden de rijen lineair afhankelijk zijn, wat in strijd is met het feit dat de rijvectorenlineair onafhankelijk zijn.

STELLING 2.2 Is de rang van een matrix van de orde m× n gelijk aan r, dan hebbenalle vierkante deelmatrices van een orde strikt groter dan r× r een determinant gelijk aannul en dan bestaat er een vierkante deelmatrix van de orde r× r waarvoor de determinantverschillend is van nul.

Bewijs:

1. Aangezien de rang van de matrix gelijk is aan r, is een verzameling rijvectoren waar-van het aantal groter is dan r een niet vrije verzameling. Beschouwen we de matrixbehorende bij deze rijvectoren dan is de determinant van elke vierkante deelmatrixvan de orde groter dan r × r gelijk aan nul, vermits de rijvectoren daarin lineairafhankelijk zijn. Hieruit besluiten we dat de determinant van elke deelmatrix vaneen orde groter dan r × r gelijk is aan nul.

2. Aangezien de rang van de matrix gelijk is aan r, bestaat er een deelmatrix van deorde r × n waarvan de rang ook gelijk is aan r (de rijvectoren vormen hier eenminimaal voortbrengend deel).Volgens de voorgaande stelling bestaat er in die matrix een vierkante deelmatrixvan de orde r × r waarvan de determinant verschillend is van nul.

Deze stelling laat toe derang van een matrix te definieren als het grootste getal rwaarvoor er een niet-nul deelmatrix bestaat van de orde r×r met determinant verschillendvan nul.

Daar de determinant van een matrix gelijk is aan de determinant van zijn getransponeerdematrix, hebben we:

GEVOLG 2.1 De rang van een matrix is dezelfde als deze van zijn getransponeerde.

2.3. RANG VAN EEN MATRIX BEPALEN MET DETERMINANTEN 27

Anders geformuleerd geeft dit het volgend belangrijk resultaat:

GEVOLG 2.2 De dimensie van de vectorruimte voortgebracht door de rijvectoren isdezelfde als deze van de vectorruimte voortgebracht door de kolomvectoren.

We zeggen dat de rijenrang gelijk is aan de kolommenrang van de matrix.

OPGAVEN — 13 Bespreek de rang van de volgende matrices met behulp van determinanten.

a.

(p q 1q p 1

)b.

(p 1 −11 p p

)c.

a 1 b1 1 ab1 a b

d.

1 1 1a b cbc ac ab

e.

1 a 11 1 a

a + 1 a 1

f.

1 a a2

1 a abb a a2b

g.

a b ca2 b2 c2

a3 b3 c3

h.

x a aa x aa a x

Oplossingen: 13:

a. r = 2⇐⇒ p 6= q en r = 1⇐⇒ p = q;

b. r = 2;

c. * r = 3⇐⇒ b 6= 0 ∧ a 6= −2 ∧ a 6= 1

* r = 2⇐⇒ (b = 0 ∧ a 6= 1) ∨ a = −2

* r = 1⇐⇒ a = 1

d. * r = 3⇐⇒ de 3 parameters 2a 2 verschillend zijn van elkaar;

* r = 2⇐⇒ 2 parameters gelijk aan elkaar maar verschillend van de derde;

* r = 1⇐⇒ de 3 parameters gelijk aan elkaar.

e. * r = 3⇐⇒ a 6= 0 ∧ a 6= −1 ∧ a 6= 1

* r = 2⇐⇒ (a = 0 ∨ a = 1 ∨ a = −1)

f. * r = 3⇐⇒ a 6= 0 ∧ a 6= b ∧ b 6= 1

* r = 2⇐⇒ (a = b ∧ a 6= 0 ∧ a 6= 1) ∨ (b = 1 ∧ a 6= 0 ∧ a 6= 1)

* r = 1⇐⇒ a = b = 1 ∧ a = 0

g. * r = 3⇐⇒ de 3 parameters 2a 2 verschillend zijn van elkaar en verschillend van nul;

* r = 2 ⇐⇒ 2 parameters gelijk aan elkaar maar verschillend van de derde en allemaal ver-schillend van nul of 1 parameter gelijk aan nul en de 2 andere parameters verschillend vannul en verschillend van elkaar;

* r = 1⇐⇒ de 3 parameters gelijk aan nul.


2.4 Regel van Rouche voor de oplosbaarheid van een

lineair stelsel

We beschouwen een lineair (m,n)-stelsel waarvan de rang gelijk is aan r met r < m. Dedeterminant behorende bij een hoofdmatrix noemen we een hoofddeterminant van hetstelsel. Een hoofddeterminant is steeds verschillend van nul.

STELLING 2.3 (De regel van Rouche) Een lineair (m,n)-stelsel waarvan de rangr < m, is oplosbaar als en slechts als de (m− r) karakteristieke determinanten t.o.v. eenhoofddeterminant gelijk zijn aan nul. De karakteristieke determinanten zijn van de order + 1.Is het stelsel oplosbaar, dan is elke nevenvergelijking een lineaire combinatie van de rhoofdvergelijkingen. Elke oplossing van het stelsel hoofdvergelijkingen is ook oplossingvan de nevenvergelijkingen. D.w.z. dat het lineair (m,n)-stelsel zich herleidt tot een stel-sel van r hoofdvergelijkingen.In het geval r = n heeft het stelsel juist een oplossing en in geval r < n heeft het stelseloneindig veel oplossingen met (n− r) vrije onbekenden of er zijn ∞n−r oplossingen. Hetstelsel is (n− r)-voudig onbepaald.Het stelsel is onoplosbaar als en slechts als minstens een van de karakteristieke determi-nanten verschillend is van nul.

Bewijs: Voor het bewijs van de regel van Rouche zullen we zonder aan de algemeenheidvan de redenering te schaden ons beperken tot een lineair (4, 3)-stelsel met bvb. rang gelijkaan 2.

a11x + a12y + a13z = b1a21x + a22y + a23z = b2a31x + a32y + a33z = b3a41x + a42y + a43z = b4

(met rangA = 2).

Brengen we in elke vergelijking van het stelsel de constante bi naar het eerste lid, dankunnen we elke vergelijking kort schrijven als Vi = 0 met i ∈ {1, 2, 3, 4}.Het stelsel kunnen we kort schrijven:

V1 = 0V2 = 0V3 = 0V4 = 0

We nemen bvb. als hoofddeterminant de determinant δ =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ 6= 0.

Een stelsel hoofdvergelijkingen is hier het stelsel bestaande uit de eerste twee vergelijkin-

2.4. REGEL VAN ROUCHE VOOR DE OPLOSBAARHEID VAN EEN LINEAIR STELSEL29

gen van het gegeven stelsel. Het stelsel hoofdvergelijkingen is oplosbaar met∞1 oplossin-gen en is dus enkelvoudig onbepaald.

Beschouwen we de volgende determinanten van de derde orde∣∣∣∣∣∣a11 a12 V1a21 a22 V2a31 a32 V3

∣∣∣∣∣∣ en

∣∣∣∣∣∣a11 a12 V1a21 a22 V2a41 a42 V4

∣∣∣∣∣∣en stellen α =

∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ en β = −∣∣∣∣ a11 a12a31 a32

∣∣∣∣.Door uitwerking van beide determinanten van de derde orde op twee verschillende ma-nieren (enerzijds door te ontwikkelen naar de laatste kolom en anderzijds door gebruik temaken van de eigenschappen van de determinanten) leiden we volgende identiteiten af:

−

∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣ = V1.α + V2.β + V3.δ (2.3)

−

∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a41 a42 b4

∣∣∣∣∣∣ = V1.α′ + V2.β

′ + V4.δ (2.4)

In de tweede leden van 2.3 en 2.4 treden x, y en z op terwijl de eerste leden enkel degegeven coefficienten van het stelsel bevatten en onafhankelijk zijn van x, y en z. Nu zijn2.3 en 2.4 geldig voor elke waarde van x, y en z en in het bijzonder ook voor de eventueleoplossingen van het stelsel.We gaan nu bewijzen dat het stelsel oplosbaar is als en slechts de determinanten van 2.3en 2.4 gelijk zijn aan nul.

1. =⇒Is het stelsel oplosbaar dan worden de tweede leden van 2.3 en 2.4 nul, als we eenoplossing invullen. Dit betekent dat voor een oplosbaar stelsel de constante eersteleden steeds nul zijn.∣∣∣∣∣∣

a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣ = 0 en

∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a41 a42 b4

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Is het stelsel oplosbaar, dan geldt tevens:


∀(x, y, z) ∈ R3 :

{V1.α + V2.β + V3.δ = 0V1.α

′ + V2.β′ + V4.δ = 0

m (δ 6= 0)

∀(x, y, z) ∈ R3 :

{V3 = −α

δ.V1 − β

δ.V2

V4 = −α′

δ.V1 − β′

δ.V2

Is het lineair (4, 3)-stelsel met r = 2 oplosbaar dan is het eerste lid van elke nevenver-gelijking te schrijven als een lineaire combinatie van de eerste leden van de tweehoofdvergelijkingen. Hier zijn de eerste leden van de derde en de vierde vergelij-king te schrijven als lineaire combinaties van de eerste leden van de eerste tweevergelijkingen, die hoofdvergelijkingen zijn.

2. ⇐=

Als ∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣ = 0 en

∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a41 a42 b4

∣∣∣∣∣∣ = 0,

dan zijn volgens 2.3 en 2.4, V3 en V4 te schrijven als lineaire combinaties van V1en V2. Elke oplossing van het stelsel bestaande uit de eerste twee vergelijkingenis ook oplossing van de laatste twee vergelijkingen. Hieruit volgt dat het lineair(4, 3)-stelsel oplosbaar is.

Besluit: De nodige en voldoende voorwaarde opdat het lineair (4, 3)-stelsel met rang ge-lijk aan 2 oplosbaar zou zijn is dat de twee determinanten gelijk zijn aan nul. Deze tweedeterminanten worden daarom de karakteristieke determinanten t.o.v. een hoofd-determinant van het lineair stelsel genoemd. Ze worden gevormd door een hoofd-determinant van de coefficientenmatrix te randen met de overeenkomstige constanten ende overeenkomstige coefficienten uit de nevenvergelijkingen. Het aantal karakteristiekedeterminanten is gelijk aan het aantal nevenvergelijkingen van het stelsel.De orde van een karakteristieke determinant is een hoger dan de orde van een hoofdde-terminant.

De nodige en voldoende voorwaarde opdat het lineair (4, 3)-stelsel met rang gelijk aan 2oplosbaar zou zijn is ook dat de twee nevenvergelijkingen lineaire combinaties zijn van detwee hoofdvergelijkingen.

�

2.5. WISKUNDE-CULTUUR 31

OPGAVEN — 14 Bespreek de oplosbaarheid van volgende stelsel d.m.v. determinanten en geef in elkgeval de oplossingen.

a.

x + ay + z − u = 0x− ay + z − u = 0x + ay + z + bu = 0

d.

x− ay + z − u = 0x + ay − z − u = 1x + y + az − bu = 2

b.

x + ay + z + u = 1x + ay + az + 5u = 0ax + 4y + 3z + 3au = 1

e.

x + y − z − u = 1x− y + z − u = ax + y + az + au = 3

c.

x− 3y − az + u = 4y + az + 3u = 0ax + 2ay + z + 2u = −23x− 5y + 2az + au = 1

f.

x + y + z + 4u = ax− 3y + az + u = 4x + 2y + z + 2u = −2bx− 5y + 2az + 2u = 1

2.5 Wiskunde-Cultuur

1. GAUSS Carl Friedrich Vreemd is het dat geen enkel ontwikkeld mens zou willentoegeven niets van Shakespeare af te weten - waarschijnlijk de grootste schrijver dieooit bestaan heeft, vooropgesteld dat zo’n titel enige betekenis heeft - maar dat zeerweinig ‘ontwikkelde’ mensen er moeite mee hebben hun onwetendheid over Gauss,EULER (1707-1783), POINCARE (1854-1912), enzovoort, toe te geven.Op de scheidingslijn tussen de achttiende en negentiende eeuw verheft zich de Olym-pische gestalte van Carl Friedrich Gauss. Hij was de zoon van een arbeider in Bruns-wijk, maar zijn vroege begaafdheid bracht hem onder de aandacht van de hertogvan Brunswijk, die voor de opvoeding van het wonderkind zorg droeg. Na van 1795-’98 in Gottingen gestudeerd te hebben verkreeg de jonge Gauss in 1799 de graadvan doctor in Helmstedt, waar J.f. PFAFF (Duits evangelisch theoloog 1686-1760)professor was. Van 1807 tot zijn dood in 1855 werkte hij ongestoord als directeurvan de sterrenwacht en professor aan de universiteit van Gottingen. Zijn tamelijkstreng isolement, zijn beheersing van de ‘zuivere’ als wel de ‘toegepaste’ wiskunde,zijn grote astronomische belangstellingen zijn voorliefde voor het Latijn als taalwaarin hij publiceerde, geven aan zijn figuur een achttiende eeuws karakter, maarin zijn eigen gebied van de exacte wetenschappen wist hij aan de nieuwe ideeen opdiepzinnige, doch ook klare wijze uitdrukking te verlenen. Gauss en Jacobi warenvrijwel de laatsten die in het Latijn schreven.Gauss begon op zeventienjarige leeftijd merkwaardige ontdekkingen te doen. Gaussbracht het eerste strenge bewijs van de zogenaamde hoofdstelling van de algebra.Deze stelling, volgens welke een algebraısche vergelijking van graad n juist n wor-tels heeft in de verzameling van de complexe getallen, gaan we dit schooljaar nogzien. Gauss hield van deze stelling en gaf later nog twee bewijzen. Gauss gaf eenmerkwaardige aanvulling van de Griekse meetkunde door een constructie te gevenmet passer en lineaal van een regelmatige zeventienhoek. Dit geldt voor alle regel-


matige n-hoeken waarvoor n = 2p, p = 2k, n priemgetal, k = 0, 1, 2, 3, ..., dus b.v.ook n = 257. Een standbeeld in Gottingen stelt Gauss met zijn jongere medewerkerWilhelm WEBER voor op het ogenblik dat zij bezig zijn de electrische telegraaf teontdekken. Dit gebeurde in de jaren 1833-34 in de tijd dat Gauss begon fysica tebeoefenen. Gauss was reeds in 1816 in het bezit van de niet-euclidisch meetkunde(later herontdekt). Gauss betwijfelde de toen algemeen aanvaarde leer van KANT(1724-1804) die onze ruimtevoorstelling a priori voor euclidisch hield. Hij schijnt welde eerste geweest te zijn die geloofde in de onafhankelijkheid van het parallellenaxi-oma en dus tot de conclusie kwam dat andere meetkunden, die op een ander axiomaberusten, logisch mogelijk waren. Gauss maakte zijn gedachten over dit onderwerpniet publiek. De eerste die openlijk de autoriteiten van tweeduizend jaar wiskundedurfden tegen te spreken en een niet-euclidische meetkunde construeerden wareneen Rus en een Hongaar. De eerste wiskundige van de eerste rang, die het belangvan de niet-euclidische meetkunde volledig begreep, was RIEMANN (1826-1866).Volledige erkenning van deze andere meetkunden kwam eerst toen, na 1870, eenjongere generatie Riemanns ideeen begon te begrijpen en uit te werken.

2. JORDAN Camille is een Frans wiskundige van 1838 tot 1922.

LIN.AL. HUISTAAK 3 Bespreek de oplosbaarheid van het volgend stelsel. Geef ooktelkens de oplossingen.

x+ az + a2u = a3

y + bz + b2u = 0x+ cy + c2u = c3

y + dz + d2u = 0

2.5. WISKUNDE-CULTUUR 33

PROEFHERHALINGSTOETS

1. Bespreek de rang van de volgende matrix met behulp van determinanten. 1 b 1a 1 11 c 1

2. Bespreek de oplosbaarheid van het volgend stelsel. Geef ook telkens de oplossingen.

ax+ y + bz = a(a− 1)x+ z = a− b+ 1ax+ y + az = bx+ ay + z = a+ b

Wanneer stellen de stelsels van de eerste twee vergelijkingen en van de laatste tweevergelijkingen rechten voor

(a) die kruisend zijn?

(b) die snijdend zijn?

(c) die parallel zijn?


Inhoudsopgave

1 Determinanten 3

1.1 Determinant van de orde twee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Determinant van de orde drie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Cofactor van een element van een (3× 3)-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Definitie van determinant van de orde 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Uitbreiding van het begrip determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Eigenschappen van determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Reciproke determinant van de determinant van een symmetrische matrix ∗ . . . . . 10

2 Stelsels 19

2.1 Stelsels van Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 De regel van Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 De inverse matrix van een niet-singuliere matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Rang van een matrix bepalen met determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Regel van Rouche voor de oplosbaarheid van een lineair stelsel . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

35

Documents

Algebra Determinanten en stelsels - wiswijs · 4 HOOFDSTUK 1. DETERMINANTEN i. b6= 0 0 b 0 d b˘6=0 0 1 0 0 RangA=1. ii. b= 0 en d6= 0 0 0 0 d ˘ 0 d 0 0 d˘6=0 0 1 0 0 RangA=1. iii