Algebra di Boole e Algebra di Boole e sue applicazionisue applicazioni

Algebra di Boole e Algebra di Boole e sue applicazionisue applicazioni

Cristian FabbrisCristian Fabbris

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I.T.I.S. Maserati - VogheraI.T.I.S. Maserati - Voghera

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Indice•La Vita•L’Algebra di Boole

•Le operazioni fondamentali

•Il Sistema Numerico Binario

•Principi dell’Algebra di Boole applicata ai circuiti digitali

•La tabella della verità

•Termini massimi e minimi

•Le porte logiche•Esercizi•L’Algebra di Boole e la relazione ufficiale sull’11/9

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George Boole George Boole (Lincoln, 2 novembre 1815 -

Ballintemple, 8 dicembre 1864) è stato un matematico e logico britannico considerato il fondatore della logica matematica. Studiò la matematica fin da giovane sui testi di Laplace e Lagrange. Morì per una grave forma febbrile causata da un banale raffreddore all'età di soli 49 anni. Boole si dedicò allo studio di metodi algebrici per la risoluzione di equazioni differenziali che gli fecero ottenere una medaglia della Royal society e nel 1849 la nomina alla cattedra di matematica al Queen's College di Cork. Nel 1854 pubblicò la sua opera più importante indirizzata alle leggi del pensiero, con la quale propose una nuova impostazione della logica: dopo aver rilevato le analogie fra oggetti dell'algebra e oggetti della logica, ricondusse le composizioni degli enunciati a semplici operazioni algebriche. Con questo lavoro fondò la teoria di quelle che attualmente vengono dette algebre di Boole (o semplicemente algebra booleana).

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L’algebra di Boole L'algebra di Boole segue le regole

della logica con variabili "binarie" che possono cioè assumere solo due valori.I due possibili stati che possono assumere le variabili binarie sono tali che si escludano a vicenda: una variabile può assumere o il valore falso o il valore vero, o lo zero o l'uno. Questi valori, all'interno dell'architettura dei calcolatori, sono abbinati, entro opportune tolleranze, a due tensioni differenti denominate livello logico alto e livello logico basso.

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Le operazioni fondamentali

Le operazioni fondamentali dell'algebra di Boole sono tre: la negazione, la somma logica e il prodotto logico. Attraverso queste è possibile realizzare tutte le altre operazioni più complesse che un calcolatore è in grado di compiere.

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Il Sistema Numerico Binario

Anche i moderni calcolatori utilizzano il sistema numerico binario (1 e 0), messo a punto dallo stesso Boole, per poter rappresentare un’informazione che può essere un numero o una lettera.

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Principi dell’algebra di Boole applicata ai circuiti digitali

George Boole dimostrava che la maggior parte del pensiero logico, privata di particolari irrilevanti e verbosità, potesse essere concepita come una serie di scelte. Questa idea è divenuta la base dei computer.

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La tabella della verità Le tabelle di verità sono

tabelle matematiche usate nella logica per determinare se una certa espressione è vera, oppure valida. La tabella di verità elenca tutte le possibili combinazioni di valori che possono assumere le variabili booleane ed il risultato della funzione. Le tabelle di verità applicate alla logica classica sono limitate alla logica booleana dove sono ammessi soltanto 2 valori, vero e falso.

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Termini massimi e termini minimi

Si intende come termine minimo di n variabili un prodotto logico in cui tutte le n variabili compaiono nella loro forma vera o complementata. Si intende come termine massimo di n variabili una somma logica in cui tutte le n variabili compaiono nella loro forma vera o complementata.

I termini minimi sono anche chiamati MINTERMS, mentre i termini massimi sono anche chiamati MAXTERMS.

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Porta logica AND

La funzione logica AND fornisce un'uscita "vera" solo quando tutti gli ingressi sono "veri". Analogamente, una porta logica AND fornisce un livello logico "1" solo quando tutti gli ingressi presentano un livello logico "1".

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Porta logica NAND

La funzione logica NAND fornisce un'uscita "falsa" solo quando tutti gli ingressi sono "veri". Analogamente, una porta logica NAND fornisce un livello logico "0" solo quando tutti gli ingressi presentano un livello logico "1".

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Porta logica OR

La funzione logica OR fornisce un'uscita "vera" quando almeno un ingresso è "vero". Analogamente, una porta logica OR fornisce un livello logico "1" quando almeno un ingresso presenta un livello logico "1".

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Porta logica NOR

La funzione logica NOR fornisce un'uscita "falsa" quando almeno un ingresso è"vero". Analogamente, una porta logica NOR fornisce un livello logico "0" quando almeno un ingresso presenta un livello logico "1".

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Porta logica NOT

La funzione logica NOT fornisce un'uscita "vera" quando il suo ingresso presenta una condizione "falsa" e viceversa. Analogamente, una porta logica NOT fornisce un livello logico "1" quando il suo ingresso presenta un livello logico "0" e viceversa.

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Esercizi

a. Si semplifichino, si disegnino i relativi circuiti e si costruiscano le tavole della verità complete in riferimento alle seguenti espressioni booleane:

ABC° + AB + AC + C A°B°C + AB° + A°B° + AB A + AB + B + BCb. Applicando i teoremi dell'algebra di Boole, verificare se

le espressioni seguenti sono equivalenti. A°B°C° + BC° + A (B + (BC)° ) A + C°

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L’algebra di Boole e la relazione ufficiale sull’11/9

L’Algebra di Boole è stata utilizzata dai matematici per poter “confutare” la relazione ufficiale sui drammatici fatti accaduti l’11 settembre 2001 a New York, dato che considera i valori di verità e non i numeri. Secondo i matematici questa relazione ufficiale non può essere sostenuta su almeno 22 punti.

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