s e r i e d e m a t e m á t i c a m o n o g r a f í a n o . 3

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

D e p a r t a m e n t o d e A s u n t o s C i e n t í f i c o s U n i ó n P a n a m e r i c a n a - S e c r e t a r í a G e n e r a l O r g a n i z a c i ó n d e l o s E s t a d o s A m e r i c a n o s

ABC

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

p o r

E N Z O R. G E N T I L E

F a c u l t a d de C i e n c i a s E x a c t a s y N a t u r a l e s

U n i v e r s i d a d de B u e n o s A i r e s

B u e n o s A i r e s , A r g e n t i n a

D e p a r t a m e n t o d e A s u n t o s C i e n t í f i c o s

U n i ó n P a n a m e r i c a n a

S e c r e t a r í a G e n e r a l

O r g a n i z a c i ó n de l o s E s t a d o s A m e r i c a n o s

W a s h i n g t o n , D.C. - 1 9 6 7

NOTA DE INTRODUCCION

La colección de monografías científicas forma parte de los programas generales de información y publicaciones del Departa­mento de Asuntos Científicos y tiene como finalidad principal difundir y presentar de manera sencilla los nuevos temas y métodos que surgendel rápido desarrollo de las ciencias y de la tecnología.

En la actualidad la colección consta de cuatro series, en español y portugués, sobre física, química, biología y matemática, pero se contempla la posibilidad de incluir otros ramos de las ciencias.

Desde su comienzo se dedicó estas monografías a los profeso­res y estudiantes de ciencias de nivel secundario y universitario básico, no obstante se aspira a que encuentren también acogida entre los hombres de ciencias dedicados a la investigación espe­cializada y el público en general que se interese en adquirir información o conocimientos sobre la materia.

En esta oportunidad, la Unión Panamericana agradece a la Agencia para el Desarrollo Internacional y a la Fundación Nacional de Ciencias de los Estados Unidos por la significativa ayuda eco­nómica recibida en apoyo de esteprograma, así como al Dr. Enzo R, Gentile, autor de la monografía, y al Prof. Gerardo Ramos del Instituto de Matemáticas Puras y Aplicadas, Universidad Nacional de Ingeniería Lima, Perú por la revisión técnica del manuscrito.

PROLOGO

El p ro feso r Enzo Gentile, bien conocido en los medios educativos latinoamericanos por sus interesantes libros de álgebra, ha escr ito a petic ión de la Union Panam ericana esta obra de introducción a dicha m ateria .

Es inútil r e fe r i r s e a todas las cualidades de la monografía, que son muchas, pues pronto el lec to r las ap rec ia rá por s í m ismo, P e r o si debe adver t irse que, aun siendo elemental, el tratamiento es profundo, como lo requ iere el estado presente de estas d is c i ­plina. El autor no ha intentado cubrir abundante m ateria l, sino que se ha lim itado a ca ra c te r iza r lo esencia l de las estructuras básicas del á lgebra. Sin embargo, todos los conceptos están l i ­gados por princip ios unificadores de modo que una estructura sigue naturalmente a la otra enunproceso de evolución y de c r e ­ciente d ivers if icac ión . Gran parte de las ideas básicas están re fer idas a estructuras simples y sus m orfism os : los monoides y los sem igrupos. Estas ideas son objeto de sucesivas adaptacio­nes a medida que el desenvolv im iento de las estructuras lo exige a consecuencia de la defin ic ión de nuevas re laciones, tales como las de equivalencia, que conducen a las estructuras cocientes.

Los numerosos ejemplos y e je rc ic io s fo rm anparte im portan te del texto. Estos han sido cuidadosamente s eleccionados para ilus - t ra r conjuntos de propiedades, enriquecer m atices, destacar importantes analogías y penetrar en campos afines de mucho in ­te rés .

Finalmente, conviene p reven ir al le c to r que s e in ic ia e n e l estudio del á lgebra que con esta m onografía del p ro feso r Gentile no sólo l l e ­gará a fa m il ia r iz a r s e con conceptos de gran valor, sino que, además, los encontrará expresados en el lenguaje del á lgebra de hoy, es decir, en térm inos de diagramas conmutativos, m orfism os,

INDICE

Página

Nota de Introducción.............................................................. i ii

Prologo .................................................................................... v

INTRODUCCION

B. Conjuntos.................................................................... 3C. Aplicaciones Entre Conjuntos................................ 4D. Relaciones de Equivalencia .................................. 6E. Aritmética ................................................................ 7

CAPITULO I. ESTRUCTURAS DE MONOIDE Y SE- MIGRUPO

CAPITULO II. ESTRUCTURA DE GRUPO

A. Definición y E jem p los ................................................... 47B. Ecuaciones que Definen la Estructura de Grupo .. 49C. Subgrupos.................................................................. ...... 54D__ . Relaciones de Equivalencia en Un Grup o .................58E. Grupo Cociente de Un Grupo por un Subgrupo

Distinguido................................................................... 65F. Un Teorema de Isomorfismo........................................ 71G. Grupos Finitos ......................................................... ...... 75

CAPITULO III. ESTRUCTURA DE ANILLO

A. Definición y E jem p los ............................................. 79B. Subanillos e Ideales.................................................. 88C. Morfismos de Anillos.............................................. 91

INTRODUCCION

En este capitulo se establecerán los conceptos que pueden considerarse como p rerequisitos para la lectura de esta monografía. La exposición es puramente enumerativa y se supone que el lector esté familiarizado con el material.

A. Lógica Proposicional

Se entiende por proposición una sentencia con un único valor de verdad: V = verdadero o F = falso.

El sentido de "verdad" en una teoría matemática es el siguiente: una proposición P es verdad (o verdadera) si es un axioma de la teoría o si es demostrable, por reglas válidas de razonamiento, a partir de los axiomas de la teoría. O sea, brevemente, el sentido de verdad es el de "demostrable".

Sean P y Q proposiciones. Se tienenlas siguientes proposicio­nes asociadas:

P ' = negación de P P • Q = P y Q P oQ = P o Q

Los valores de verdad de estas nuevas proposiciones están dados por las tablas de verdad, reunidas en una,

p Q - P P • Q P o Q

V V F V V

V F F F V

F V V F V

F F V F F

Leyes de De Morgan

(P o Q)' = P ’ • Q'(P • Q)' = P ' o Q'

Por igualdad = debe entenderse que para cada asignación de valor de verdad a P y Q, (P o Q)1 y P 1 • Q1 poseen el mismo valor de verdad y, análogamente, (P . Q )1 y P 1 o Q'. O sea, la igualdad ra­dica en poseer las mismas tablas de verdad.

La proposición P ' o Q posee la siguiente tabla de verdad

p Q P' o Q

V V V

V F F

F V V

F F V

En matemática se utiliza esta proposición para representar el con­dicional: si P entonces Q. Se la denota por

P =» Q

y se lee: P implica Q. P se denomina el antecedente del condi­cional y Q el consecuente. El lector puede observar que el hecho que P =* Q sea V no da ninguna información sobre los valores de v e r ­dad del antecedente o del consecuente. Esta situación es satisfactoria en matemática y en toda ciencia deductiva. Por ejemplo, las p ro­posiciones siguientes son verdaderas:

-1 = 1 =>1 = 1 -1 = 1 =>2 = 0

La forma en que se utiliza en matemática el condicional P => Q es la siguiente. A partir de una proposición P (verdadera o falsa), y utilizando reglas válidas de razonamiento, deducimos una propo­sición Q. O sea, utilizando la terminología matemática deducimos Q de P. Es evidentemente que de acuerdo con lo que significa una deducción no puede un razonamiento matemático deducir una propo­sición falsa de una proposición verdadera. O sea que, independien­temente del valor de verdad de P, la proposición P=* Q es verdadera Ahora bien, si ocurre que P es V entonces, observando la tabla de verdad de P => Q, se tiene que Q es V. Esta regla de inferencia se denominamodusponens y se expresa brevemente por

r P =* Q es V y i Si j p es y J entonces Q es V.P es V

Otras denominaciones para la proposición P Q son:

P, sólo si Q, Q, si P,

P es condición suficiente para Q. Q es condición necesaria para P.

Asi, "una condición necesaria (pero no suficiente) para que un triángulo sea equilátero es que sea un triángulo isósce les" y "una condición suficiente (pero no necesaria) para que un triángulo sea isósceles es que sea un triángulo equilátero".

La proposición(P Q) ■ (Q P)

P » Q

y se denomina: P es equivalente a Q o P si, y sólo si, Q o P es con­dición necesaria y suficiente para Q. P » Q es V s i P y Q poseen simultáneamente el mismo valor de verdad.

Por ejemplo, la siguiente es una proposición verdadera

(P =» Q) « (Q1 => P ')

Por tanto, P => Q y Q1 => P 1 son simultáneamente verdaderas o falsas. Este hecho lo utilizaremos a menudo para probar la va­lidez de P =» Q, probando la validez de Q1 => P 1. Este tipo de demostración lo llamaremos reducción al absurdo.

B. Conjuntos

Sea X un conjunto. Con x e X denotamos la proposición "x es un elemento de X" o "x pertenece a X" o también "X contiene a x". Con x ¿ X denotamos su negación.

Sean Z, Y conjuntos. Diremos que Y es subconjunto de Z, en símbolos Y c: Z, si la proposición

a e Y =* a e Z

es V cualquiera que sea a e X.

Diremos que Y = Z si la proposición

a e Y « a e Z

es verdadera. Entonces Z = Y si, y sólo si, Z a Y e Y c Z,

Sea P {x ) una proposición relativa al elemento genérico x de X. Con [ x / P {x)3 denotamos la totalidad de elementos de X para los cuales P{x) es V, o sea

a e {x / P (x)} si, y sólo si, P (a) es V

Con 0 denotamos el subconjunto de X definido por la proposición

P (x) : x e X =» x ¿ X

Nótese que cualquiera que sea z e X

z ^ 0 es V

En efecto, si z e X, entonces z ^ X es F y así

z e X = s z / x es F

(por ser el antecedente V y el consecuente F). Por lo tanto

la denotamos por

4

Consecuentemente 0 c Y cualquiera que sea Y C X , 0 se denomi­na el conjunto vacio.

Con {x 1? Xg, . . ., x,J denotamos el conjunto cuyos elementos sonx l> *2 ■> • • t xn'

Sean U y V subconjuntos de X.

U U V = [ x / x e U o x e V} = unión de U y V.U n V = { x / x e U • x e V] = intersección de U y V,U - V = { x / x e U • x / V] = diferencia de U con V.

_____ 0XV - OV = X - V = complemento de V en X._______________U A V = (U - V) U (V - U) = diferencia simétrica de U y V.U X V = { (a, b) / a e U • b g V} = producto cartesiano de U con V.

Se dice que U y V son disjuntos si U Í1 V = 0.

Sean U, V, W subconjuntos de X. Entonces

(U U V) U W y escribimos simplementeU W

(U fl V) D W y escribimos simplementen w

u u (V u W) = (U u V)= U u V

u n (V n W) - (u n V)- u n V

u n (V u W) = (u n V)u u (V n W) = (u u V)

G(U u V) = (Ou ) n0 (u n V) = {0 U) u

u A (V A W) = <U A V)u n (V A W) = (u n V)

(0 V) i(0 V ) J ^eyes ^>e Morgan

A Wa {u n w)

P (X ) denota el conjunto de partes de X, o sea

U s ? (X ) » U e X

C. Aplicaciones Entre Conjuntos

Sean A y B conjuntos. Una aplicación (o función) de A en B es un subconjunto f de A X B caracterizado por

f l ) Para todo x e A existe y e B tal que (x, y) e f.f2) Si (x, y) e f y (x, y 1) e f, entonces y = y'.

Una aplicación de A en B está caracterizada pues por lapropie- dad de asignar a cada x e A un único y e B.

Una aplicación f de A en B se denota por

f : A -• B o también A B

y, además, si (x, y) e f escribimos

f : x -* y o también x -* y o y = f (x )o y = fx

Con idA: A -» A denotamos la aplicación identidad de A:

idA(x) = x cualquiera que sea x e A.

Sean f : A -* B y g : A -+ B aplicaciones. Entonces

f = g si, y sólo si, f (x) = g (x) cualquiera que sea x e A.

Sean A, B, C, conjuntos. Sean g : A - » B y f : B -» C aplicacio­nes. La composición de f con g es la aplicación

definida por

f o g: A

f o g: x - f (g (x ) ) si x e A

Si h: C -* D, f : B C, g : A -» B entonces

h o (f o g) = (h o f) o g

y esta composición la denotamos por h o f o g,

Diagramas de conjuntos y aplicaciones

B A -£*■ B

V I A 1 fhN

c

j I 1 f

C D

se dirán conmutativos si, respectivamente,

h = f o g y f o g = h o j

Sea f: A -• B una aplicación de A en B. Diremos que

f es inyectiva si f (x) = f ( x ' ) => x = x1 es Vcualesquiera que seanx, x 1 e A, o equivalentemente si x / x 1 => f (x) jí f ( x ' ) es V cualesquiera que sean x, x 1 e A.

f es sobre si para todo y e B existe x e A tal que y = f (x ) .

f es biyectiva si f es inyectiva y sobre.

Entonces f : A -* B es

inyectiva si, y sólo si, existe una aplicación g : B -* A tal que g o f = idAsobre si, y sólo si, existe una aplicación g : B -* Atal que f o g = idBbiyectiva si, y sólo si, existe una aplicación g: B -* A tal que g o f = idA y f o g = idB

Sea f : A -• B una apliación y sea Y c A, Entonces

Los conjuntos A y B son coordinables, o A es coordinable a B si existe una aplicación f : A -• B biyectiva.

D. Relaciones de Equivalencia

Sea A un conjunto. Todo subconjunto r de A X A define una re­lación en A por x ~ y si, y sólo si, (x, y) e r.

Por ejemplo, si

r = {(x, y) / x = yj = Diagonal de A

entonces la relación definida por r sobre A es la "igualdad". Una relación r definida sobre A s e dice de equivalencia si satisface:

e l ) x ~ x cualquiera que sea x e A.e2) x ~ y si, y sólo si, y ~ x,e3) Si x ~ z y z ~ v, entonces x ~ v.

Sea r una relación de equivalencia sobre A. Para todo a e A definimos

Ca = [x / a ~ x]

y lo denominamos la clase de equivalencia definida por a, o tam­bién la saturación de a por r.

Se tienen las siguientes propiedades:

- a e Ca cualquiera que sea a e A- a e Cb si, y sólo si, b e Ca- Ca = Cb si, y sólo si, a ~ b- c # n c b = 0 o c„ = c b

Se denomina conjunto cociente de A por r y se le denota por A/r, o también a /~, al conjunto formado por todas las clases de equivalencia de elementos de A:

A/~ = {Ca / a e A]

Se denomina aplicación canónica de A en A/~ a la aplicación

Q:A - A/~definida por , , _

9 (a) = CaQ es una aplicación sobre.

Ejemplo

Sea A = [ 1, - 1, 2} . Entonces x ~ y si, y sólo si, x3 = y3 es una relación de equivalencia sobre A. Se tiene

E. Aritmética

Conjuntos numéricos:

N = conjunto de los números naturalesZ = conjunto de los números enterosQ = conjunto de los números racionalesR = conjunto de los números realesC = conjunto de los números complejos

m € Z si, y sólo si, m = 0 o m e N o - m e N.m e Q si, y sólo si, existen enteros r, s, s ^ 0 tales que m = r • s-1= r/s.

Principio de Inducción. Sea H un subconjunto de N tal que

i. 1 e Hii. Si m e H entonces m + 1 e NEntonces H = N

Algoritmo de División. Sean m y n enteros, 0 < n. Existen enteros q y r que satisfacen

a) m = n • q + rb) 0 £ r < n

Si además q' y r 1 son enteros que satisfacen a) y b) se tiene q = q 1 y r = r'.

Sean m y n enteros no nulos. Diremos que n divide a m , o que n es divisor de m, o que m es múltiplo de n, . . si existe c e Z tal que m = n - c. Escribimos n / m. Entonces s in / m y m / r se tiene n/ r, n, m, r e Z. Se denominan divisores triviales de un entero m a los enteros 1 ,-1 , m, -m . Un entero positivo p 1 se dice primo si sus únicos divisores son triviales.

Se denomina máximo común divisor de m y n a todo entero po­sitivo d que satisface

M I) d/ m y d / nM2) si d' e N satisface d'/m y d'/n entonces d'/ d.

El máximo común divisor de m y n existe y es único, y se lo denota por {n, m). Se tiene además la siguiente relación: existen enteros a y b tales que

(n, m) = n • a + m • b

Si (n, m) = 1 se dice que n y m son coprimos.

Se denomina mínimo común múltiplo de m yn a todo entero po­sitivo t que satisface

m i ) n/ t y m/ tm2) si t' e N satisface n/11 y m / t 1 entonces t/1'.

El mínimo común múltiplo de n y m existe y es único y se lo denota por [n, m ]. Se tiene la igualdad

n • m = (n, m) • [n, m]

Sea m e N. La relación en Z:

a ~ b si, y sólo si, m/ (a - b)

es una relación de equivalencia, que se denomina la congruencia módulo m y se denota por a = b mod(m).

Sea en Z la relación de orden menor o igual. Llamaremos sección a la derecha de Z a todo subconjunto de Z de la forma

s a = { * / a S x}

Principio de Buena Ordenación. Toda sección a la derecha Sa de Z satisface la siguiente propiedad:

Si H c Sa y 0 H existe e H tal que h j í h cualquiera que sea h e H. O sea, todo subconjunto no vacio de H posee primer elemento.

Este Principio de Buena Ordenación es equivalente al Principio de Inducción en N. Aquí lo aplicaremos a la sección S0 de Z.

I. ESTRUCTURAS DE MONOIDE Y SEMIGRUPO

A. Leyes de Composición

Definición, Sea A un conjunto no vacío. Llamaremos ley de composición interna (o simplemente ley de composición) definida sobre A a toda aplicación:

* : A X A - A

Si x, y e A escribimos

* (x, y) = x * y

Al elemento x * y lo denominamos la composicion (por *) de x con y.

La definición anterior formaliza la noción de operación binaria entre elementos de A, Las operaciones de suma y producto entre números constituyen los ejemplos naturales de leyes de composi­ción.

Definición. Se llama MONOIDE a todo par (A, *) formado por un conjunto A y una ley de composición *. Diremos también que * define sobre A una estructura de monoide.

Obsérvese que a veces se sobreentenderá la ley de composición* definida sobre A y se denotará (A, *) simplemente por A, y nos referiremos al monoide A.

Por ejemplo, si A denota cualquiera de los conjuntos numéricos

N, Z, Q, R, C

y * la suma ordinaria + o el producto ordinario ■ de números, se obtienen los siguientes monoides:

(N, +)> (N,<z,+)> (Z,(Q, +)> (Q,

+)> (R,(C, +)> (C,

Veamos otros ejemplos:

1. A = Nx * y = (x, y) = máximo común divisor de x e y

2. A = Nx * y = [x, y ] = mínimo común múltiplo de x e y

4. A = Zx * y = x - y {- denota la diferencia de enteros)

5. A = Zx * y = x3 • y2 (• denota el producto ordinario de enteros)

6. A = Zx * y = x

Sea X un conjunto y sea A = ,P(X) el conjunto de partes de X. Entonces las siguientes estructuras de monoides pueden conside­rarse sobre A

7. A = P (X)U * V = U U V

8. A = p(X )u * v = u n v

9. A = P (X )U * V = U - V

10. A = P{X)U * V = U A V

Otra categoría importante de monoides la constituyen los l la ­mados monoides finitos.

Definición, Diremos que un monoide {A, *) es finito si el conjun­to A es finito. En todo otro caso diremos que (A, *) es infinito.

La descripción de los monoides finitos sehace mediante tablas de composición. Por ejemplo, si

A = {a x,

construimos la tabla (de *)

* a i a2 . . . íJ . . . an

a l

a2

:

a ¡ j;

an

escribiendo en la casilla ubicada en la intersección de la fila i y la columna j, el elemento at * a,.

Algunos ejemplos son:

11. A = {0, 1, 2]

* 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

es el monoide definido por

0 * 0 = 0 0 * 1 1 * 0 = 1 1 * 1 2 * 0 = 2 2 * 1

12. A = [0, 1 ,2 }

120

0 * 2 = 21 * 2 = 02 * 2 = 1

* 0 1 2

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

es el monoide definido por

x y = x

E jercic io . Sea A un conjunto finito de n elementos. ¿Cuál es el número máximo de estructuras de monoide que pueden denifir- se sobre A? Hallar todas las estructuras de monoide para el caso n = 2.

11

5. Composiciones n-arias. Asociatividad

Sea {A, * ) un monoide. Las composiciones

x * y G A

si x, y € A constituyen las composiciones binarias de elementos de A. Si x, y, z denotan elementos de A dados en un cierto orden, podemos obtener los siguientes elementos de A "v ía " composicio­nes binarias:

x * (y * z)( x * y) * z

Análogamente, con elementos x, y, z, v de A, dados en un cierto orden, podemos form ar los siguientes elementos de A "v ía " com ­posiciones binarias:

a = x * (y * (z * v) ) b = x * ( (y * z) * v)

(I) c = (x * y) * (z * v)

d = ( x * ( y * z ) ) 5¡c z e = ( (x * y) * z) ’í' z

(¿Descubre el lector la ley de form ación? )

____ En general, dados n elementos .x1, x¿. . . } de A en un c iertoorden, llamaremos composición n-aria de los mismos a todo e le ­mento de A que se obtenga de x^ x3, . . , x„ por sucesivas composi­ciones binarias, conservando siempre el orden inicial.

Las composiciones n-arias no tienenporque ser necesariamente iguales entre sí. P o r ejemplo, en el monoide (Z, -) de enteros racionales, con la diferencia como ley de composición, existen e le ­mentos x, y, z en Z cuyas composiciones ternarias no coinciden. En efecto, sean

x = y = z = 1

Entonces

x * (y * z) = x - ( y - z ) = l - ( l - l ) = 1 (x * y) * z = (x - y) - z = (1 - 1 ) - 1 = -1

Definición, Sea (A, *) un monoide y sea ne N, 2 < n. Diremos que * es n-asociativa si cualesquiera que seanxj, Xg, . . , x„ en A, dados en un c ierto orden, coinciden entre sítodas sus composiciones n-arias. D i­remos que * es asociativa si es n-asociativa, cualquiera que sean.

Definición. Se denomina SEMIGRUPO a todo monoide cuya ley de composición es asociativa.

Teorema. Un monoide (A, *) es un semigrupo si, y sólo si, * es 3-asociativa, o sea si, y sólo si,

x * (y * z) = (x * y) * z

cualesquiera que sean x, y, z en A. En otros términos, una ley de com ­posición es asociativa si, y sólo si, es 3-asociativa,

Demostración. Si (A, *) es un semigrupo, entonces * es n-aso- ciativa para todo n, y lo será en particular si n= 3, de manera que la parte "só lo s i " del teorema queda probada. Veamos laparte "s i " . Vamos a probar que 3-asociatividad implica n-asociatividad cual­quiera que sea n. Antes de continuar ilustremos un caso particular de esta implicación, a saber: 3-asociatividad implica 4-asociatividad.O sea, debemos probar que todos los elementos a, b, c, d, e de (I)

coinciden entre sí. Para ello compararemos todas las composi­ciones cuaternarias con la composición a:

b = x * ( {y # z) * v) = x * (y * (z * v) ) = ac = (x * y) * (z # v ) = x * (y * (z * v) ) = a d = (x * (y * z) ) * v = { (x * y) * z) * v

= (x * y) * {z * v) = ce = ( (x * y) * z) * v = {x * (y * z) ) * v = d

aa

por lo tantoa = b = c = d = e

Para la demostración general, siguiendo el esquema anterior, individualizaremos, para cada conjunto finito

Xi, xa, . . , x„

la composición n-aria

*1 * (xa * ( . . . . (xIl_ 1 * x j . . . . ) )

que denominaremos la composición n-aria principal. Asi, por e jem ­plo, para n = 3

* (X2 * Xg)x,

para n = 4

para n = 5

Xi * (Xj, * (*3 * X*) )

(x2 * (x3 (5Í4 * Xg) ) )

Procederemos por inducción en n. El caso n = 3 es verdadero por hipótesis. Sea válida la k-asociatividadparatodo k < n. Sean Xj, xa, . ., x„ elementos de A, dados en un c ierto orden, y sea 3 < n. Sea x una composición n-aria de x1( Xg, . . , x¿. Entonces x es, en última instancia, una composición binaria

x = a i * a 3

donde

a.v = xx o ax = una composición k -aria de x l5 . . . , 1 < k a3 = x„ o a2 = una composición (n - k) -aria de xk+1, . ., x„

Por la hipótesis inductiva se tiene

a, = x. a, = x. (xs *. . * x^) , . ) = la composiciónk-aria principal asociada a xx, . . , x

= Xj * a[ siendo a{ = (xg * . . ( clc_1 * x^). . )

P o r lo tanto

y siendo a{ * as una composicion (n - l )-a r ia debe coincidir con la composición (n - l )-ar ia principal asociada a x3, , . , x„, En conse­cuencia

X = X x * ( X g * ( . . . ( Xn_ 1 * X j . . . ) )

Queda entonces probada la n-asociatividad. En virtud del P r in ­cipio de Inducción se tiene n-asociatividad para todo n y, por tanto asociatividad, que es lo que queríamos probar.

En virtud del teorema anterior, tratándose de un semigrupo, de­notaremos con

Xj * xg * . . . . * x„

la (única) composición n-aria de elementos xx, . . , x de A, dados en ese orden. En particular

x * y * z = x * (y * z) = (x * y) * z

Un caso importante es aquél en que

X i = x 3 = . . . = x n = x

escribimosXj * . . . * x,j —' x11

A manera de ejercicio dejamos a cargo del lector verificar las siguientes relaciones:

xn * x“ = xn+“ y (xn)B = x"‘ 11

cualesquiera que sean n, m e N.

Ejemplos

1. Los monoides numéricos considerados anteriormente <N, +), (N,- ), . (C,. ) son todos semigrupos.

2. El monoide (N, i¡!), donde x * y = (x, y) — máximo común divi­sor de x e y, es un semigrupo. En efecto, recordémosla definición de (x, y):

i. (x, y) e Nii. (x, y) divide a x y divide a y

iii. Si d e N satisface "d divide a x y d divide a y ’1 entonces "d divide a (x, y)".

Vamos a probar entonces que cualesquiera que seanx, y, z e N es válido

(x, (y, z) ) = ( (x, y), z)

Llamemos dx al término de la izquierda y ds al término de la dere­cha. Entonces, en virtud de ii

dx divide a x y dx divide a (y, z)

d-L divide a x, dx divide a y, dj divide a z

Ahora en virtud de i i i

dx divide a (x, y)

o seadj divide a (x, y) y dj divide a z

Se sigue de i i i que

dx divide a ( (x, y), z ) = d3

Queda pues probado que dx divide a dg. Razonando en forma aná­loga para el caso simétrico, se obtendría que dg divide a dx. P e ro entonces reuniendo estas dos afirmaciones resulta

di = da

que es lo que queríamos demostrar.

3. (N, *), donde x * y = [x, y ] — mínimo común múltiplo de x e y, es un semigrupo. La demostración es análoga a la precedente.

4. Sea X un conjunto no vacío y sea A = Ap lc (X ) la totalidad de ap li­caciones de X en X. Entonces, si f, g e A podemos definir la aplicación f o g : X -* X composición de f con g por

----------------------------------------X -» f (g ( x ) )-----------------------------------------

por lo tanto {Aplc {X ), o) es un monoide. Sean ahora f, g, h £ A. Si x e X resulta

( (f o g) o h) (x) = ( f o g ) (h (x) ) = f {g {h (x) ) )( f o (g o h) (x) = f ( (g o h) (x) ) = f (g (h (x) ) )

de manera que(f o g) o h = f o (g o h)

o sea {Aplc(X ), o) es un semigrupo: el semigrupo de aplicaciones de X.

E jerc ic ios

1. Encontrar todas las estructuras de semigrupo que pueden d e f i­nirse en A = { 0, 1 ] .

2. Determinar en los monoides siguientes cuáles son semigrupos:

por lo tanto

a) (Z, *) donde X * yb) (Z, *) donde X * yc) (Z, *) donde X * yd) (Z, *) donde X * y

3. Verif icar si el siguiente monoide es o no semigrupo

*

C, Conmutatividad

Sea (A, *) un monoide.

Definición. Diremos que x, y s A conmutan entre s í si

x * y = y * x

Diremos que (A, *) es un monoide conmutativo (o también que * es conmutativa) si todo par de elementos de A conmutan entre sí.

Obsérvese que en todo monoide existenpares de elementos que conmutan entre sí": en efecto, x * x = x * x. Si (A, *) es un se­migrupo entonces cualesquiera que sean n, m e N y x e A:

Xa * X* = X = X a * x n

Sea (A* *) un semigrupo conmutativo. Entonces si x1} 3%, x3 e A valen las relaciones:

(1 )X 1 * x 3 * *3 = X 2 * X 1 * *3 = * 2 * X3 * - 1Xn = X,3 * x 2 * X 1

x 3 * X 1 * x 3 = X l

Cada expresión en las relaciones precedentes está evidente­mente caracterizada por los subíndices 1, 2 y 3 considerados en un cierto orden. Es decir, cada expresión está caracterizada por una "permutación" del conjunto [1,2, 3}. Portanto, si s denota una permutación del conjunto {1 ,2 , 3}las relaciones (1) pueden escribirse

X 1 * x 2 * x 3 = x s ( i ) * x . (a) ,(3)

En general dados

pertenecientes a un semigrupo conmutativo, se tiene que cualquiera que sea la permutación s del conjunto [ l , 2 , . . . , n }

" X3

o también utilizando el signo de producto tt

* Xn = xs(l) * x b (2) * s (a )

Una relación importante válida en semigrupos conmutativos esla siguiente: cualesquiera que sean x, y e A y n e N:

(2) (x * y)n = xn * y”

Por ejemplo, en el caso n = 2, su demostración es la siguiente:

(x * y)s = (x * y) * (x * y) == x * (y * x) * y= x * (x * y) * y= (x * x) * (y * y) = x3* y2

La demostración general de (2) se realiza por inducción en n.Ya la hemos demostrado para n = 2, Sea n > 2. Entonces

{x * y)n = (x * y)n_1 * (x * y)= (xn-l * n-l) * (x * V (por hipótesis

inductiva)_ xn * {yn * x) * y= xn_ 1 * (x * y11"1) * y= (xB_1 * x) * (yn-1 * y)- xn * yn

Obsérvese que para la demostración de (2) sólo se utiliza laasociatividad de * y el hecho de que x e y conmutan entre sí. Por 17tanto (2) es válida en todo semigrupo y para todo par de elementosdel mismo que conmutan entre sí.

Ejemplo. Sea (N, *) el semigrupo definido por x * y = x. Entonces,s i x , y e N y n e N

(x * y)n = xnxn * y11 = xn

Por tanto(x * y)n — xn * yn

y sin embargo si x / yx * y y * x

Se sigue entonces que (2) no es equivalente a la conmuta ti vi dad dex e y, o sea

x * y = y * x => (x * y)n = xn * y”cualquiera que sea n e N

siendo falsa la implicación reciproca.

D. Identidades e Inversos

Sea (A, *) un monoide. Resulta natural estudiar la existenciaen A de elementos que gozan de las propiedades análogas al 0 en el

monoide (Z, +) y al 1 en el monoide (N,- ), a saber

m + 0 = 0 + m = m cualquiera que sea m e Z n • 1 = 1 • n = n cualquiera que sea n e N

Entonces

Definición. Se dice que un elemento e e A es

i. identidad a la izquierda de * si

_______________________________ e * a - a________________________________

cualquiera que sea a e A

ii. identidad a la derecha de * si

a * e = a

cualquiera que sea a £ A

iii. identidad de * si es simultánea laidentidad a la izqu ierday a la derecha de *.

Es claro que en el caso de monoides conmutativos no es nece­sario hacer distinciones entre identidad a la izquierda y a la derecha. Antes de dar algunos ejemplos anotemos la siguiente proposición.

Proposición. Sea (A, #) un monoide. Sean ex, e8 e A. Entonces, si ex es identidad a la izquierda de * y si e2 es identidad a la derecha de *, se tiene

ei = e2

Demostración. Por hipótesis

ex * a = ab * e3 = b

cualesquiera que sean a y b s A. En particular si a = eg y b = ex resulta

---------------------------------- *4 - ei * = ei------------------------------------

Corolario. En todo monoide existe a lo sumo una identidad.

Corolario. Si un monoide no posee identidad pero posee iden­tidad a la izquierda {respectivamente a la derecha) entonces no posee ninguna identidad a la derecha (respectivamente a la izquierda).

Corolario. Si un monoide posee identidad entonces posee una única identidad a la izquierda y una única identidad a la derecha.

Ilustremos con algunos ejemplos.

Ej emplos

1. (N, *) donde x * y = x. Todo elemento de N es identidad a la de­recha, pero no existe identidad a la izquierda.

2. (N, *) donde x * y = (x, y) = máximo común divisor de x e y. No posee elemento de identidad.

3. (N, *) donde x * y = [x, y ] = mínimo común múltiplo de x e y.1 es elemento identidad,

4. (Z, *) donde x * y = x - y. Oes identidad a la derecha. No po­see identidad a la izquierda.

5. Sea X un conjunto y sea (Aplc(X), o) el semigrupo de aplicaciones de X, La aplicación identidad idA: X -* X, definida por

idA(x) = x

cualquiera que sea x e X, es elemento identidad de (Aplc(X), o).

Notación. Se denotará con (A, *, e) un monoide con elemento identidad e.

Definición. Sea {A, *, e) un monoide con identidad. Sea a e A. Diremos que

i.-------- posee uninverso a la izquierda (respecto de e) si existe b e A ---------- tal que-----------------------------------------------------------------------------

b * a = eii. posee uninverso a la derecha (respecto de e) si existe c e A

tal que

a * c = e

iii. posee uninverso (respecto de e), o que es inversible, si existe d s A tal que

d=¡c a = a =í:d = e

Ejemplos

1 . En (N, . , 1) el único elemento con inverso es el 1.

2. En (Z, . , 1) los únicos elementos con inverso son 1 y - 1,

3. En (Q, . , 1) todo elemento distinto de 0 posee un inverso.

4. En el monoide cuya tabla de composición es

* 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 1 2 0 23 2 3 1 1

i. poseen inverso a la izquierda:

0123

2 * 0 = 1 1 * 1 = 1 3 * 2 = 1 3 * 3 = 1

ii. poseen inverso a la derecha:

123

1 * 1 = 1 2 * 0 = 1 3 * 2 = 3 * 3 = 1

ii i . poseen inverso:

13

1 * 1 = 1 * 1 = 1 3 * 3 = 3 * 3 = 1

El ejemplo 4 sugiere todo tipo de anomalías en cuanto a la exis - tencia de inversos (a la izquierda, a la derecha). Observemos, sin em bargo, que dicho monoide no es asociativo. En el caso asociativo la

Proposición. Sea (A, *, e) un semigrupo. Entonces si a e Aposee un inverso a la izquierda b y un inverso a la derecha c, se ver if ica

Demostración

b = b * e = b * ( a * c ) = ( b * a ) * c = e * c = c

En virtud de la unicidad dada en la proposición anterior se adopta:

Notación. Sea (A, *, e) un semigrupo con identidad. Si a e A posee un inverso b en A, escrib irem os a 1 = b.

Ejemplo. Sea (Aplc{N), o, idN) el semigrupo de aplicaciones del conjunto de números naturales. Sea f e Aplc(N ) definida por

situación es más regular, según lo indica la siguiente proposición.

b c

f{n) = 2n si n e N

Sea g e Aplc (N ) definida por

g ( n ) s i n es parh 1) /2 si n es impar

Es fácil entonces ve r if ica r que

g o f = idN

de manera que g es inverso a la izquierda de f. Sin embargo, f no pos ee ningúninverso a la derecha. En efecto, de ex istir un inverso h a la derecha de f, se tendría g = h según la proposición anterior.

P e ro entonces f ser ía biyectiva, lo cual no es así. Es fác il ver también que f posee infinitos inversos a la izqu ierda , todos distintos entre sí.

Proposición. Sea (A, e) un semigrupo con identidad.1 . si u e A posee un inverso a la izquierda v e A y si x e A posee un inverso a la izquierda y e A, entonces v * y es uninverso a la i z ­quierda de x * u.

2. Idéntica proposición con inversos a la derecha.

3. Si x ' es un inverso de x y si u1 es un inverso de u, entonces x * u es invers ib le en A y se tiene

(x * u)' = u1

Demostración. Será suficiente probar 1 dado que 2 es de de­m ostración análoga y 3 es consecuencia de 1 y 2.

Se tiene por hipótesis

v * u = e y * x = e

(v * y) * (x * u) = v * (y * x) * u= v * e * u = v >!tu

por lo tanto

= econforme queríamos probar.

(x1)' = x

Demostración. Se sigue de la interpretación de las igualdades

x * x ' = x ' * x = e

en términos de la definición de inverso .

21

Razonando inductivamente se tiene:

Coro lario . Sea {A, *, e) un semigrupo con identidad. Sean x 1? xa, . . , x,j elementos de A con inversos en A x[, x¿, . . x¿, respect i­vamente. Entonces xx. x2. . x„ es invers ib le en A y

(xv x2. . . X J ' = . .x¿. x {

Proposición . Sea (A, *, e) un semigrupo conidentidad. Si x e A es inversib le, entonces su inverso x 1 también es invers ib le y satis­face

E. Submonoides

Un procedimiento natural en el estudio de una estructura a lg e ­braica es e l de investigar las estructuras "más pequeñas" de la m isma o, más propiamente dicho, las llamadas subestructuras. En

muchos casos el conocimiento de cierta familia de subestructuras permite una descripción de la estructura de partida (a manera de ejemplo, para el lector informado, los grupos abelianos finitos es­tán completamente determinados por el conocimiento de ciertos de sus subgrupos "c íc l icos " ) . En este sentido definiremos en esta sección submonoide y subsemigrupo.

Definición. Sea (A, *) un monoide. Sea C un subconjunto de A. Diremos que * define sobre C una estructura de submonoide, o tam­bién simplemente que C es submonoide de A, si se satisfacen las dos condiciones siguientes:

i. C 7¿ 0ii. x, y g C => x * y e C.

Definición. Sea (A, *) un monoide. Sea C un subconjunto de A. Diremos que * define sobre C una estructura de subsemigrupo, ó simplemente que C es un subsemigrupo de A, si se satisfacen las dos condiciones siguientes:

i. C es submonoide de Aii. * es asociativa sobre C, o sea

x * (y * z) = (x * y) * z

cualesquiera que sean x, y, z en C! .

----- Si C es submonoide de un monoide (A, *), entonces la restricciónde * a C define sobre C una estructura de monoide, de manera que todo submonoide es, en forma natural, un monoide. Análogamente, un subsemigrupo de un monoide es, en forma natural, un semigrupo.

E jercic io . Probar que todo submonoide de un semigrupo es semigrupo.

Antes de entrar a la consideración de ejemplos específicos, ob­servemos que todo monoide (A, * ) posee siempre un submonoide, a saber, el mismo A.

Ejemplos

1 . Sea <Z, * ) donde x * y = x - y. Entonces:a) C = {0 }b) C -4, -2 , 0,2, 4, = { 2 m / m e Z }

son submonoides de (Z, *); a) es subsemigrupo, pero b )no lo es. La parte a) admite la siguiente generalización: sea Aun monoide y sea a e A un elemento idempotente, o sea tal que a2 = a * a = a. Enton­ces {a } es un subsemigrupo de A.

2. Sea (A, *) donde A = [0, 1, 2} y donde x * y = x. Entonces todo subconjunto no vacio de A es un submonoide de A.

3. Sea (A, * ) dado por la tabla

entoncesC = {0 } y

son los únicos submonoides de A.

* 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

C = [0 ,1 ,2 ]

4. Sean X un conjunto e Y <= X un subconjunto. Sea A = P (X ) el conjunto de partes de X. Sea (A, * ) el monoide definido por

u * v = u n vu <= X, v c x

C = P ( Y ) a P [ X ) es submonoide de {A, *). Obsérvese en este e jem ­plo que

X es identidad de (A, * ) (en efecto, u 0 X = u)

Y ¿ X =» X i C

portanto, un submonoide no "hereda" necesariamente la identidad del monoide, si éste último posee una.

5. Sea {A, *) un semigrupo y sea a e A un elemento que fijamos de antemano. Sea

Ca = [ak / k e Nj

el conjunto de todas las potencias naturales de a. Las relaciones

a* * aJ = ak+J

y el hecho de ser Ca ^ 0 muestran que Ca es submonoide de A, Este submonoide tiene la propiedad: si C es submonoide de A y ademas a e C, entonces Ca cz C. En este sentido C ,es e lm enor submonoide de A que contiene a y se le denomina el submonoide engendrado pora. Ilustremos especializando A y a .

i. (A, * ) = (N, +). Notemos que

Entonces

a = a3 =

C x -c , =

ii. (A, * ) = (N, . )

C, =C3 = C3 =

a * a = a + a = 2a a * a * a = a + a + a

{ 1 , 2 , 3 , . . . } = N [2 ,4 , 6 , . . . }

[1 }[2 ,4 ,8 ,16 , 3 2 , . . } [3, 9, 27, 81, . . . }

= 3a

23

6. Sea (A, e) un semigrupo con identidad. Sea U (A ) la totalidad de elementos in vers ib les de A. (L a razón de u ti l iza r U (A ) se debe a que los elementos in vers ib les suelen l lam arse también unidades de A. ) Nuestra a firm ación es: U {A ) es un subsemigrupo de A . En efecto, U (A ) ^ 0 dado que e e U (A ). La re lación

v 1 * u' = (u * v ) 'nos dice que

u, v e U (A ) => u * v e U (A )

Puesto que la asociativ idadde * sobre U (A ) es consecuencia de la asociatividad de * en A, se tiene que U (A) es un subsemigrupo de A: el subsemigrupo de elementos invers ib les de A (o también elsubsemigrupo de unidades de A ).

Part icu la r icem os A.

a) Sea X un conjunto no vacio y sea A p lc (X ) = A el semigrupo de aplicaciones de X. Entonces

f e U (Ap lc {X ) ) « Existe g e A p lc (X ) tal quef o g = g o f = id x

» f es b iyectiva

P o r lo tanto, U (A ) coincide con la totalidad de aplicaciones bi- yectivas de X en X, o sea con las transform aciones de X. E s c r i ­bimos

U (A p lc {X ) ) = T ran (X )

y lo denominamos el semigrupo de transform aciones de X .

b) Sea A = (Z, ., 1). Entonces U (A ) = [1 , - 1 J .c) Sea A = (N, ., 1). Entonces U (A ) = { l } .d) A = [ l , 2, 3, 6} con x * y = (x, y) = máxim o común d iv isor de

x e y. Entonces U (A ) = [6 }.e) Sea A = (Z, +, 0). Entonces U {A ) = Z.

F. Morfismos

El modo natural en m atem ática de vincular dos conjuntos A y B es mediante aplicaciones de A en B o v iceve rsa . P o r supuesto que más que conjuntos lo que in teresa es re lac ionar las propiedades que poseen los m ism os y, por tanto, las aplicaciones de uno en otro deben también re lac ionar las propiedades en cuestión. En nuestro estudio, por ejemplo, los conjuntos poseen leyes de composición.

Si intentamos establecer una relación entre dos de tales conjuntos debemos entonces buscar que las aplicaciones "respeten " esas l e ­yes de composición. P o r ejemplo, los conjuntos N y Z de números naturales y de enteros poseen ambos la propiedad conjuntista de ser coordinables entre sí, o seaque existe una aplicación biyectiva

(1) f : Z - N

Ahora en N y Z hay, en ambos casos, leyes de composición c o ­mo, por ejemplo, la suma. Sin embargo, no existe ninguna aplicación biyectiva (1) que p reserve dichas leyes de composición, o sea que no existe una aplicación biyectiva f : Z -* N tal que

(2) f (m + n) = f (m ) + f (n )

Las razones son muy sencillas, ya que de ex istir una tal aplica­ción se ve r i f ica r ía lo siguiente:

(3) f (m) = f (m + 0) = f (m) + f (0)

pero tratándose de números naturales

f (m ) ji f (m ) + f (0)

de manera que (3) es un absurdo, consecuencia de suponer la e x is ­tencia de una aplicación f : Z -* N con la propiedad de p rese rva r las "sum as". Note el lector que en realidad la condición de ser f b i-yectiva no es necesaria,—por lo que,—en definitiva,—hemos probado que no existe ninguna aplicación f: Z -* N que pres erve las sumas en sentido de (2).

Form alicem os ahora la discusión anterior: sean (A, #) y (B, * ) monoides.

Definición. Se denomina m orfism o o también homomorfismo de {A, *) en (B, *), o simplemente de A en B, a toda aplicación f : A -* B que satisfaga:

f (x * y) = f (x) * f (y)

cualesquiera que sean x, y € A.

Además, si A y B pos een elementos identidad (que denotamos en ambos casos por e) f satisface

f ( e ) = e

Un m orfism o de A en A se denomina también endomorfismo de A .

Veamos algunas propiedades de m orfism os y, por razones de simplicidad, supongamos que A y B son semigrupos.

1) Si x, y, z £ A entonces

f ( x * y * z) = f (x) * f (y ) * f (z )

o, en general, si xx, . . x„ denotan elementos de A se tiene

f ( x x * .. * x j = f ( x x) * * f ( x j

en particular si Xj = . . = x„ = x

f (x ” ) = f ( x )n

2) Si A y B poseen ambos elementos identidad, que denotamos por e, y si x e A posee un inverso a la izquierda y' se tiene

f (y) * f (x) = f (y * x) = f {e ) = e

por lo tanto f(y) es uninverso a la izquierda de f(x).—Nótese el uso de la hipótesis f ( e ) = e. Análogamente, setiene el resultado para unin­verso a la derecha. Reuniendo los dos resultados se tiene que si x posee uninverso x' en A entonces f(x) posee un inverso f(x ') en B y por la unicidad del inverso se tiene

f ( x ' ) = f (x ) 'Por lo tanto

f : A - B

26

Ejemplos

0. Sea (A, *) un monoide. JLa aplicación idA : A -* A es un m orfis ­mo que llamamos el morfismo identidad de A.

1. Sean (A, #, e) y (B, *, e) monoides con identidad. Entonces la aplicación constante f: A -» B definida por

f (x ) = e

cualquiera queseax e A es un morfismo, que llamamos el morfismo trivial (de A en B).

2. Sean los monoides (Q, +, o) y (Z, +, 0). Demostremos que el único morfismo de Q en Z es el dado por el ejemplo anterior, o sea que

f (q) = 0 cualquiera que sea q e Q

restringida al subsemigrupo U(A) induce un morfismo que se denota también por f:

f : U(A) U(B)

Nota. Para los semigrupos numéricos donde la ley de compo­sición es la suma, la relación f (x ' ) = f ( x ) 1 se interpreta como f ( - x) = - f ( x ) . Para el caso multiplicativo la interpretación es f(x-1) = f(x)-1.

Ejercicio. Sea A un semigrupo y sea B un monoide. Probar que si existe un morfismo s o b r e f :A - *B , Bes un s emigrupo. Además, si e e A es elemento identidad entonces f (e) es elemento identidad de B.

Sea, en efecto, f : Q -* Z un morfismo y sea r/s e Q.

Entone es

f(r/ s ) = f(2r/2s) = f (2 (r/2s )) = f(r/2s + r/2s)= f (r/2s) + f(r/2s)= 2 • f (r/2s)

y en general, si n e N,

f ( r / s ) = f(nr/ns) = f (n (r/ns)) = f (r/ns + . . . + r/ns)n veces

------------------------=—f (r/ns) + . . . + f (r/ns)-------------------------------------= n ■ f(r/ns)

Se sigue entonces que el numero entero ( !)

f (r/s )

es divisible en Z por cualquier entero positivo n. Esto es posible sólo si

f (r/ s ) = 0

dado que cualquier número entero no nulo posee sólo un número finito de factores (consecuencia del Teorema Fundamental de la Aritmética). Siendo r / s e Q arbitrario, nuestra afirmación queda probada. (Este ejemplo ilustra también la discusión informal que se presenta al comienzo de esta sección. En efecto, en el monoide Q es válida la divisibilidad por enteros no nulos, es decir, que cual­quiera que sea x e Q y cualquiera que sea n e N existe ye Q tal que

27

x = nAhora puesto que

y f es un morfismox = n • y = y + y +. . + y (n veces)

f (x) = n • f (y)

de manera que " f preserva la divisibilidad por enteros no nulos". Puesto que este tipo de divisibilidad --o sea para todo n-- no es válido en Z, salvo para el caso trivial

0 = n * 0

se entiende bien que el único morfismo de Q en Z debe ser el t r i ­vial).

3. Sea (A, *) un semigrupo conmutativo. Para cada n e N la apli­cación

f. : Adefinida por

es un morfismo del monoide A en si mismo. En efecto, esto es consecuencia de las relaciones

(x * y)n = xn * y”

válidas en un semigrupo conmutativo. Ilustremos especializando A.

i. (A , * ) = (N, . )

fn(x) = X * X . . . X = xn

ii. (A , * ) = (N ,+)

fn (x) = x + x + . . . + x = nx

iii. Sea (A, *) el semigrupo definido por la tabla siguiente

* 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 3 1 6 4 5

3 3 1 2 5 6 4

4 4 5 6 1 2 3

28 5 5 6 4 3 1 2

6 6 4 5 2 3 1

Notemos que este semigrupo no es conmutativo. Veremos que f3 no es un morfismo de A en A.

En efecto, puesto que

4 * 5 = 2debería tenerse

fg {4 * 5) = fa (4) * f (5 ) = 4 3 * 5 3 = 1 * 1 = 1

y además

fa (4 * 5) = f3 (2) = 2 2 = 3

Por lo tanto f no es un morfismo a causa de la no conmutativi- dad de

G. Submonoides Asociados a Un Morfismo

Sean (A, *, e) y (B, e) monoides con identidad y sea

f : A -> B

un morfismo.

Sean los subconjuntos

definidos por

Im (f) C B Nu(f) c A

Im (f ) = {y / y e B y existe x e A con. f (x) = y] Nu ( f } = [x / f (x) = e]

Proposición

a) Im (f) es submonoide de B.b) Nu (f) es submonoide de A.

Demostración

a) Se tales que

a) Sean y1( yg e Im (f). Po r su definición existen x1} x2 e A

f ( x i) = Y i í ( x 3) = y3

y siendo f un morfismo

yi * y2 = f <xi) * f (X2 = f (x i * * 2 )

lo cual demuestra que

y1 * y3 e Im (f)

Notemos que f (e) = e implica lm (f) jí 0.

b) Sean x1? x3 e Nu (f). Po r su definición se ver if ica

f (x i ) = e f ( x 2) = e

y siendo f un morfismo

e = e * e = f (xx) * f (x^ - f (Xl * x3)

lo cual demuestra que

xx * x2 e Nu (f)

Notemos que f (e) = e implica que Nu (f) 0.

Definición. Los submonoides de la proposición anterior se de­nominan submonoides asociados a f; en particular se denominan

Im (f) imagen de f Nu (f) núcleo de f

Ejemplos

1. Sean (A, e) y (B, *, e) monoides. Si f denota el morfismo t r i ­vial f (x) = e, se tiene

2. Sea (A, * f e) un monoide y sea f el m orfism o identidad idAj o sea f (x) = x. Se tiene

Im ( f ) = A Nu ( f ) = {e j

3. Sea (A, * e) = (Z, . , 1) y {B, * e) = (N U [0 ], . , 1) Sea f : Z - N U {0 } el m orfism o f = f3 o sea

f ( x ) = x2Entonces

Im ( f ) = {0, 1, 4, 9, 16 , = [n2 / n e N] U [0 j Nu (f) = { - 1 , 1 }

4. Sea (A, *, e) el monoide definido por la tabla

0 2 1 3

0 0 2 1 3

2 2 0 3 1

1 1 3 2 0

3 3 1 0 2

Sea {B, *, e) el monoide definido por la tabla

* a b

a a b

b b a

La aplicación f : A -* B definida por

f (0 ) = a f (2) = af ( l ) = b f (3) = b

es un m orfism o (según podrá ve r i f ica r el lec tor ). Se tiene

Im ( f ) = B Nu ( f ) = {0 ,2 }

H. Semigrupo de Morfismos

Sean (A, *), (B, * ) y (C, *) monoides. Sean

g : A -* B y f : B - C

m orfism os. Entonces la composición

f o g : A -» C

es un m o r f is m o . En e fecto , sean x, y e A

( f o g) (x * y ) = f ( g ( x * y ) )= f (g (x) * g (y ) )= f ( g ( x ) * í (g ( y ) )= (f O g) (x ) * ( f O g) (y )

Adem ás, si A, B y C son todos m onoides con e lem ento identidad e, resulta

---------------------------( f o g) (a ) - f ( g ( « ) ) = f ( e ) = e--------------------------

queda por tanto probado que f o g es un m or f ism o .

La discusión p receden te nos l le v a a de fin ir un sem igrupo de su­ma im portanc ia . En e fecto , aplicando lo an ter io r a la s ituación

A = B = C

se tiene que si f y g son m o r f ism o s de A en A:

f : A -* A y g : A -* Ala com posic ión

f o g : A - A

31es un m o r f ism o de A .

P rop os ic ión . Si End (A ) denota la tota lidad de endom orfism os de A entonces

(í, g) - f o g

define sobre End (A ) una estructura de m onoide con identidad.

Adem ás, (End (A ), o) es un sem igrupo y es subsem igrupo de A p lc (A ) .

Demostración. La p ropos ic ión queda enteram ente probada m ostrando que End(A ) es un submonoide del sem igrupo A p lc (A )d e "a p l ica c ion es " de A en A . Lo dicho an ter io rm en te prueba eso e fe c ­tivam ente. E l e lem ento e = id A identidad de A p lc (A ) es un m o r f ism o y por lo tanto pertenece a End(A ).

Definición. End(A ) = (End (A ), o) re c ib e el nom bre de s e m i­grupo de endom orfism os de (e l m onoide) A .

En el dibujo sigu iente se m uestra los distintos sem igrupos a s o ­ciados al monoide A . La "zon a " designada por A u t(A ) se rá objeto de estudio más adelante.

I. Tipos de Morfismos

A l le c to r puede resu lta r le ahora natural la idea de introducir m or f ism os que le perm itan re lac ionar d iferen tes (o aparentemente d ife ren tes ) estructuras a lgeb ra icas (en este caso se trata de m o ­noides). Hay además otra razón para in troducir m or f ism os , y es ésta, en e l fondo, la razón fundamental. En á lgebra al estudiar un c ie r to tipo de estructura (monoide, grupo, anillo, etc. ) se con­s ideran dos tipos de m odelos o e jem plos: abstractos y concretos. As i, un m odelo abstracto de monoide consiste en un conjunto A y una le y de com posic ión * de manera que los elementos del conjunto son entes abstractos sobre los cuales no damos ninguna d e s c r ip ­ción, y lo m ism o sucede con respecto a la le y de com posic ión . Un m odelo concreto de monoide es aquél en que los elementos de A admiten una represen tac ión m atem ática; por ejemplo, sonnúmeros rotaciones, transform aciones , ap licaciones de un conjunto en otro y la ley de com posic ión admite una represen tac ión natural en t é r ­minos de dichos objetos. De tal fo rm a , s i los e lementos de A son trans form ac iones , entonces la le y de com posic ión puede ser la com posic ión de trans form ac iones .

Resulta en tal caso im portante para e l estudio de las estructu­ras a lgebra icas p o see r un modo de " r ep re s en ta r estructuras abs­tractas mediante' estructuras con cre ta s " . En nuestra situación de monoides, por e jem plo, in te resa poder rep resen tar monoides abs- tractos en monoides concretos . Asi", si A es un monoide abstracto in teresa encontrar un monoide concreto M {un monoide numéricoo un monoide de ap licac iones ) y un m o r f ism o f : A -» M que conserve al m áxim o la estructura de A . Esta idea l le va natural­mente a la defin ic ión siguiente.

Defin ic ión. Un m or f ism o f : A -* B de monoides se designará un m onom oríism o si la ap licac ión f es inyectiva , o sea si

cualesqu iera que sean x, y £ A, x ^ y => f (x ) ^ f (y )

Un monomorfismo f : A -* B perm ite " iden tif icar" A a un submonoide de B. En efecto, Im (f) es un submonoide de B y la identificación es

a -» f (a)

Ejemplo. Sean los monoides dados por las tablas de composición:

BA • i -

a b

* 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

La aplicación

definida porf : A B

f ( a ) = 0 f ( b ) = 2

define un monomorfismo de A en B y "v ía " f es entonces posible identificar A con el submonoide [0, 2] de B.

Sea ahora f : A B un monomorfismo de monoides tal que

Im ( f ) - B

entonces A es identificable a B y as í los monoides A y B son a lge ­braicamente indistinguibles. Este es el concepto importante de isom orfism o

Definición. Sea f : A -* B un m orfism o de monoides. Diremos que f es un isom orfism o si

i. f es un monomorfismoii. Im (f) = B

En otros términos, f es un isom orfism o si f como aplicación de A en B es biyectiva.

Un c r ite r io útil para determinar si un m orfism o es unisom or- fism o es el siguiente:

Teorem a, Un m orfism o f : A -* B de monoides es un is o m o r­fismo si, y sólo si, existe un m orfism o g : B -* A tal que las composiciones

satisfaceng o f = idA y f o g = ide

Demostración. Sea, primeramente, g: B -* A un m orfism o que satisface las condiciones del teorema tal que

g o f = idA y f o g = ide

vamos a probar que f es un isom orfism o, es decir que f es b iyec­tiva. Esto se debe al hecho de ser g una aplicación inversa de f. Para conveniencia del lector repetimos la demostración:

f es inyectiva : sean x, y e A entoncesf ( x ) = f (y) implica g { f (x) = g (f (y), o s e a (g ° f ) (x) = ( g o f ) (y), o sea x = y

f es sobre : sea z e B, entonces g { z ) e A satisface z = id8(z) = (f o g) (z ) = f (g ( z ) )

Reciprocamente, sea f unisom orfism o. f es entonces una ap li­cación biyectiva de A en B y por lo tanto existe una "aplicación" inversa g : B -* A, es decir una aplicación que satisface

g o f = id* y f o g = ÍdB

Se trata ahora solamente de probar que g es un m orfism o. Sean pues z, v e B. Entonces

f { g ( v ) ) = v y f { g ( z ) ) = zde manera que

z * v =■ f ( g ( z ) ) * f (g (v) ) (y siendo f m orfism o)= f ( g ( z ) * g ( v ) )

P o r lo tanto (aplicando g y utilizando g o f = idA)

g ( z * v) = g ( f ( g ( z ) * g (v) ) )= ( g o f ) (g (z ) * g (v ) )= idA(g (z ) * g ( v )= g ( z ) * g ( v )

lo cual demuestra que g es un m orfism o.

Corolario . Con la notación del teorema anterior, g es un is o ­m orfism o de B en A.

Demostración. Es consecuencia del papel s im étrico que juegan f y g en la condición del teorema.

Definición. D iremos que un monoide A es isom orfo a un m o­noide B si existe un isom orfism o f : A -* B.

Teorem a. Sean A, B y C monoides

i. Si A es isom orfo a B entonces B es isom orfo a A.i i . Si A es isom orfo a B y B es isom or fo a C, entonces A es is o ­

m orfo a C.

Demostración.

i. es consecuencia del co ro la r io .i i . Sean f : A -» B y g : B - * C is om or f ism os . Existe entonces

B tales que

i _

m orfism os f ' : B -* A y g 1 : C

f ' o f = idA, f o í ' = id6 g' o g = idB, g o g' = idc

P o r lo tanto

(g o f ) o (P o g ’ )

( f 1 o g ') o (g o f ) =

go (f o f 1) o g 1 = g o idB o g 1g n 'idcf ' o (g 1 o g) o f = f o idB o f f ' o fÍ dA

P o r lo tanto

es m orfism o inverso de

f 1 o g 1 : C A

g o f : A -* C

y, en virtud del teorem a anterior, g o f es un isom orf ism o de A enC, o sea A es isom orfo a C.

Aplicación. Analicem os el caso de isom orfism os de A en s í m ism o. Sean Aplc (A), T r a n (A ) y End (A ) los semigrupos de ap li­caciones de A, de transform aciones de A y de endomorfismos deA, respectivamente. Sabemos que T ra n (A ) y End (A ) son subse- migrupos de Aplc (A ).

Definición. L lam arem os automorfismo de A a todo isom orfism o de A en s í m ism o. Con Aut (A ) denotamos la totalidad de automor- fismos de A. Se tiene entonces los siguientes resultados:

1)

2 )

P o r lo tanto Aut (A ) es un semigrupo, que denominamos el s e ­migrupo de automorfismos del monoide A.

Señalemos un tipo particu lar de automorfismos de un s emigrupo (A, *, e) determinados intrínsecamente por A . Sea u e A un e le ­mento invers ib le . Consideremos la aplicación g : A -* A definida por

Afirmamos que g es un automorfismo de A. En efecto,

g (a i * a a) = u * (a i * aa) * u '= u * ax * (u1 * u) * a2 * u'= (u * a .1 * u') * (u * ag * u1)= g ( ai) * g (a a)

Po r lo tanto, g a s í definido es un endomorfismo. Probemos que g es un automorfismo. Será suficiente encontrar un inverso de g Sea h : A -* A definido por h (a) = u1 * a * u. Entonces, por la m isma demostración hecha para g, se tiene que h es un endomor­fismo de A.

Puesto que además

(g o h) (a) = g (u' * a * u)= u * (u1 * a * u) * u*= a

(h o g) (a) = h (u * a * u')= u = a

i * <u u') u

s e tiene que h es inverso de g. Osea, g e Aut(A) conforme queríamos probar. P o r lo tanto, si Int(A) es el conjunto de las aplicaciones asi definidas,

Int (A ) c A u t(A )Notemos también que

idA g Int (A)dado que

a = idA{a) = e * a * e = e * a * e 1

Sean g, f e Int (A ) definidos por u, v e A mediante

g(a ) = u * a * u' f (a) = v * a * v'

Entonces

(g o f ) (a) = g ( v * a * v ' ) = u * (v * a * v ' ) * u'= (u * v) * a * ( v 1 * u')= (u * v ) * a * (u * v)'

por lo tantog o f s Int (A )

Se ha probado pues que Int (A) es submonoide de Aut (A ). Los elementos de Int (A), denominados los automorfismos in teriores de A, están por lo tanto determinados por los elementos in ve rs i­bles de A . Notemos que si u e A es un elemento invers ib le tal que

u * a = a * u

entonces el automorfismo asociado a u es la identidad:

Por lo tanto, si f (0) / 0 existe (según la tabla) y e A tal que

y * f (0) = 1

por lo tanto

1 = y * f (0) = y * f (0 ) * f (x) = f (x)

y siendo x arbitrario, f es el morfismo tr iv ia l. Enparticular f (0) = 1

Tratándose además de un monoide con identidad 1 se ver if ica (dada la definición de m orfism o) que

38

f ( i ) = i

cualquiera que sea f e End (A).

Ademas, si x e A ,x / 0 entonces

f ( x ) = 0

es im posib le. En efecto, x ^ 0 implica (según la tabla) la existen­cia de x' e A tal que x' * x = 1, por lo tanto

f (x) = 0 implica 1 = f ( l ) = f ( x1 * x) == f ( x ' ) * f (x )= f ( x ' ) * 0= 0

lo cual es un absurdo.

Nótese asimismo que2 * 2 = 4

2 * 2 * 2 = 32 * 2 * 2 * 2 = 1

implica para un m orfismo f, que los valores

f<4), f (3)

están condicionados al valor f (2) .

Investiguemos, por lo tanto, los valores posibles de f(2). R e ­sulta

Recíprocamente, si definimos aplicaciones f : A -* A según a), b),c) y d) obtenemos, como es fác il ver i f ica r , endomorfismos de A. Se tiene en definitiva que End (A ) consta de los 5 endomorfismos, que se describen a continuación.

X fo(x) f i ( x ) fE (x ) fa (x ) f4 (x)

0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 3 4

3 1 3 1 2 4

4 1 4 1 4 1

Se sigue queAut (A ) = { i> 4}

La tabla de composición de End (A ) es la siguiente:

O f0 f2 fa Í4

fo

fl

f0 fo fo f 0 ^0

f f f f f 3 920 *3 I4

f2 f0 fg f0 f s fa

£3 Íd 3 f 3 1 4

u f0 f4 fg f4 f2

2. Sea A = (N, +) el monoide aditivo de los números naturales. Si f es un endomorfismo de A y si

f ( l ) = aentonces

f (2) = f (1 + 1 ) = f ( l ) + f ( l ) = a + a = 2 • a

f (n) = n • a

es decir, f está unívocamente determinada por el va lor que toma sobre 1, o sea por a = f (1). Recíprocamente, si a e N podemos definir la aplicación

g : N -* N g (n) =■ n • a

la cual satisface

f (n + m) = {n + m) * a = n * a + m • a = f (n) + f (m)

o sea que g es un m orfism o de A.

A manera de e jerc ic io , se deja al lec tor desarro llar un ejemplo análogo al anterior en la situación siguiente {A, *) = (Z, + ) e lm o- noide aditivo de los números enteros. El resultado será

End (A ) - (Z, . )Aut (A ) - U , - l ]

3. Sea A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 1 5, 30} = totalidad de d iv isores de 30. Entonces a1 * a3 = (ai, *a) = máximo común d iv isor de a y ag de­fine sobre A una estructura de semigrupo conidentidad e = 30. Sea X = {2, 3, 5} = totalidad de d iv isores primos de 30. Sea C = P (X) = la totalidad de partes de X. Sea (C, fl) el monoide definido por la intersección D de conjuntos. C es entonces un semigrupo con iden­tidad e = X. A y C admiten la siguiente descripción:

( , ) 1 2 3 5 6 10 15 30

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 1 2 2 1 2

3 1 1 3 1 3 1 3 3

5 1 1 1 5 1 5 5 5

6 1 2 3 1 6 2 3 6

10 1 2 1 5 2 10 5 10

15 1 1 3 5 3 5 15 1 5

30 1 2 3 5 6 10 15 30

C:n 0 {2 } {3 } 15} {2, 3} [2, 5} Í3, 5} X

0 0 0 0 0 0 0 0 0

{2 } 0 {2} 0 0 {2 } {2 } 0 {2 }

13} 0 0 {3 } 0 {3 } 0 {3 } {3 }

Í5 ] 0 0 0 {5 } 0 {5 } (5 } {5 }

{ 2 ,3 } 0 {2} {3 } 0 {2 ,3 } {2} {3} {2, 3}

{ 2 ,5 } 0 {2 } 0 {5} (2} {2, 5} {5 } {2, 5}

Í3, 5} 0 0 {3} { 5 } {3 } {5 } { 3 ,5 } { 3 ,5 }

X 0 {2} {3 } {5 } { 2 ,3 } {2, 5} {3, 5} X

Sea ahoraf : C - A

definida por

f<0) = 1 f ( ( 2 } ) = 2 f ( { 3 } ) = 3 f ( { 5 } ) = 5 f<{2, 3}) = 6 f ( { 2 , 5}) = 10 f ( {3, 5] ) = 15

f ( X ) = 30

f es evidentemente una aplicación b iyectiva de C en A. Además, observando ambas tablas de composición vemos que f es un m o r ­fism o. En definitiva, f es un isom orfism o.

Nota. El e jem plo anterior es un caso particu lar de la siguiente situación general, cuya demostración no es d if íc i l y puede ser un e je r ­c ic io útil para el lec to r . Sea s un entero positivo con la propiedad siguiente:

ningún d iv isor de s, excepto 1, es un cuadrado

(por ejemplo: s = 15 ,2 1 , 21 0 , . . ) . Entonces, si A designa el m o ­noide de la totalidad de d iv isores de s con la ley de composición máximo común d iv isor, y si C es el monoide de la totalidad de p a r ­tes del conjunto de d iv isores prim os de s con la ley de composición intersección, se tiene que A y C son monoides isom orfos . El i s o ­m orfism o puede estab lecerse mediante la aplicación f : C -* A que asocia a cada subconjunto no vacio de factores prim os de s el producto de los m ism os, y que asocia 1 al conjunto vacío, en s ím ­bolos

0 - 1 ÍPl? • • > Pki Pl* • • Pk

(¡ El lec to r puede inves t igar qué sucede si s es d iv is ib le por un cuadrado ^ 1! )

4. Sea X un conjunto y sea P (X ) el conjunto de partes de X. Sean sobre P (X ) las dos siguientes estructuras de monoides

A = (P (X ), U)B = {p (x ) , n)

Sea f : A -* B la aplicación

f (V ) = QV = X - V (= complemento de V en X)

es fác i l v e r que f es una aplicación biyectiva.

Ahora, en virtud de una de las leyes de De Morgan se tiene

f ( V i U V a) = O i V i U v 8) = (£7Vi) n ( C V 2 )

= f f v j n f ( v a)

por lo tanto, f establece un isom or f ism o de ambas estructuras.

J. Construcción de Nuevos Monoides

En esta sección vamos a estudiar la construccióndemonoides a partir de monoides dados.

a. Monoide de aplicaciones

Sea (A, *) un monoide. Sea X un conjunto no vacio. Considere­mos el conjunto denotado por

Api (X, A)

formado por todas las aplicaciones X en A. Vamos a definir en Api (X, A) una ley de composición. La definición es completamente natural: sean f, g e Api (X, A ) y sea x e X, entonces

f (x) e A y g (x) e Apor lo tanto

f (x) * g (x) e A

Definición. La aplicación de X en A definida por

x -* f (x) * g (x)la denotaremos por

f * g

y la denominaremos la composición puntual de f con g. Es claro que la composición puntual define en Ap l(X , A) una estructura de monoide que denominaremos el monoide de aplicaciones de X en A.

Proposición. Sea (Api (X, A), * ) el monoide de aplicaciones de X en A.

i. Si A es semigrupo entonces Api (X, A ) es semigrupo.ii. Si A es conmutativo entonces Api (X, A ) es conmutativo,

i i i . Si A posee identidad (respectivamente, a la derecha y a la izquierda) entonces Api (X, A) posee identidad (respectiva­mente a la derecha y a la izquierda).

Demostración

i. Debemos probar la sociatividad f * (g * h) = (f * g) * h, si f, g, h e Api (X, A ). Recordamos al lector que dicha igualdad equi­vale a probar que cualquiera que sea x e X:

(f * (g * h ) ) (x) = ( { f • g) * h) (x)

Entonces(f * (g * h ) ) (x) = f ( x ) * ( ( g * h) ( x ) )

= f (x) * { (g (x) * h{x) )= (f (x) * g ( x ) ) * h (x)= ( (f * g) ( x ) ) * h(x)“ ( ( f * g) » h) (x)

conforme se deseaba probar.

ii. Su demostración queda como ejercicio para el lector.iii. Sea e e Aidentidad a la izquierda. Sea e : X -» A la aplicaciónd X en A definida por

e jx ) = ecualquiera que sea x e X.

Entonces e satisface:

* f) (x) = £ (x) * f (x)= e * f (x )= f (x )

de manera quee * f= f

y ^ resulta una identidad a la izquierda.

b. Suma directa de monoides

Sean (A1? *) y (A2, *) monoides. Sea

A = A : x A3

el producto cartesiano de los conjuntos A x y Ag. Vamos a definir una ley de composición en A como sigue

(x i, Yi) * (*3, Ys) = ( * i * xa, Yi * y a)

x, Xg e A lt y lf y3 e A 3.

En esta forma, A s e convierte en un monoide (A, * ) que deno­minamos la suma directa de (A 1? *) y (A2, *). Se tiene además la proposición siguiente.

Proposición

i. Si (A!, *) y (A2, * ) son semigrupos, entonces (A, *) es sem i­grupo.

ii. Si (A 1? * ) y (A2, *) son ambos monoides conmutativos, enton­ces (A, * ) es conmutativo,

iii. Si (Ajj * ) posee identidad (respectivamente identidad a l a i z -7

quierda) y (A2, *) posee identidad (respectivamente identidad a laizquierda), entonces (A, * ) posee identidad (respectiva­mente identidad a la izquierda).

Demostración. Queda como ejercicio para el lector.

En forma análoga se puede definir la suma directa de cualquier número (A 1? *), . . . , (Att? * ) de monoides.

Notación. La suma directa de monoides (A lt *), . , , (An, * ) s e deno­ta por

II. ESTRUCTURA DE GRUPO

A. Definición y Ejemplos

En el capítulo anterior asociamos a todo semigrupo A con identidad el semigrupo U (A ) de elementos invers ib les de A. Las propiedades esenciales de U (A ) son las siguientes:

gl ) U (A ) es un semigrupo con elemento identidad. gZ) Todo elemento de U (A ) es invers íb le .

Estas dos propiedades danlugar a la estructura de mayor importan­cia, no sólo en álgebra, sino en la matemática misma, a saber: la ESTRUCTURA DE GRUPO.

Definición. Se dice que un monoide (A, * ) posee estructura de grupo, o simplemente que A es un grupo, si se satisfacen las dos condiciones siguientes:

gl ) {A, * ) es un semigrupo con identidad, gZ) Todo elemento de A es inversib le.

Explícitamente las condiciones de definición de grupo se escribenasí:

I* es una ley de composición asociativa, o sea tal que

x * (y * z) = (x * y ) * z

cualesquiera que sean x, y, z en A.

Existe e e A tal que x ^ e ^ e ^ x ^ x , cualquiera que sea x en A.

g2): Para todo x e A existe x 1 e A que satisface

x * x 1 = x 1 * x = e

Lo que se acaba de expresar más a rr ibaperm ite obtener una am ­plia variedad de ejemplos de estructura de grupo, o sea, repitiendo, para todo semigrupo A con identidad U (A ) = el conjunto de todos los elementos invers ib les de A es un grupo. Los ejemplos que se indican en la tabla siguiente son de ese tipo:A U (A)

<z, + , 0 ) Z(Z, . , 1 ) { 1 , - U( N , . , l ) (1}(Q, +, 0) Q<Q, • , i ) D II 0 1 O

(R, +, o) R( R , . , i ) R# = R - [0}

(Cont. ) A U (A)

(C, +, 0) c<c,.,l) c# = C - { 0 }Aplc (X) Tran(X)End(B) Aut (B)

Ejemplo. Sea G la totalidad de números complejos z de la forma

z = a + i • b donde a, b e Z

(los elementos de G se denominan enteros de Gauss).

Sea * la ley de composición definida en G por el producto o r ­dinario de números complejos:

Si z = a + i • b y v = c + i • d entonces

z * v = z • v = (ac - bd) + i • (ad + be)

Es fác il ver que (G, *) es un semigrupo con identidad e = 1 + i* 0 que denotamos 1. En efecto, G es subsemigrupo de (C, ., 1).

Se trata ahora de encontrar el grupo U (G) de elementos inver- sibles de G. El siguiente es el procedimiento clásico.

Sea

definido porN : G

a2 + b2N : a + i • b

Una verificación inmediata nos dice que

o seaN es un morfismo de (G, *) en (Z, . , 1 )

N (z * v) = N ( z ) • N (v)

(Este morfismo recibe el nombre de norma. ) Ahora, puesto que

x e U (G) => N (x) e U(Z , 1) = £l, - 1 }

se tiene que: z = a + i • b es inversible solo si

N (z ) = a2 + b2 g { 1 , - 1 }

Pero N (z ) =

Entonces

- 1 es imposible por ser suma de cuadrados.

N ( z ) = a3 + b2 = l , o seaz = 1 4- i • O ó

= -1 + i • O ó= 0 + i * 1 ó= 0 + i . - 1

O sea: U (G) consta a lo sumo de 4 elementos.

Finalmente, dado que los elementos (* ) son inversibles:

1 • 1 ( - 1 ) ‘ ( - I )

i - ( - I ) { - i ) *i

se tiene:U (G) = {1, - 1, i, - i }

Dibujando los enteros de Gauss en el plano complejo se obtiene un reticulado y la intersección del mismo con la circunferencia uni­taria (o sea de radio 1) nos da U (G):

Otros Ejemplos

1. Sea B un grupo y sea X un con­junto no vacio. Entonces el monoide Ap l{X , B} de aplicaciones de X en -^ .B, con la composición puntual de aplicaciones, es un grupo y lo deno­minamos el grupo de aplicaciones de X en B.2. Sean Aj y A2 grupos. Sea A- A, A 3 la suma directa de losmonoides correspondientes. En­tonces Aposee estructura de grupo que denominamos igualmente la suma de y A a.

Nota. La condición necesaria y suficiente para que un semigru- po con identidad A sea un grupo es que A = U (A). P o r lo tanto, se sigue que: todo grupo es rea lizab le como grupo de elementos in ­versib les de un semigrupo. En esta forma, la construcción anterior perm ite obtener todos los ejemplos de estructura de grupo.

E je rc ic io . Sea A un semigrupo finito. Si z e A denotamos con Az la totalidad de elementos de A de la forma a * z. Sean las siguientes condiciones definidas en A:

i. a * x = a # y =» x = yii. Ax fl Ay 0 Entonces: 1. P robar que si A satisface i e ii, entonces A es un

grupo; 2, dar un ejemplo de semigrupo que satisface i, pero no es gru­po, y 3. probar que si A es infinito, la afirmación en 1, no necesita ser válida.

49

B. Ecuaciones que Definen la Estructura, de Grupo

Nuestro próximo paso es establecer las condiciones que pe rm i­tan caracter izar la estructura de grupo dentro de la estructura

de semigrupo. En adelante al hablar de " ecuación s obr e un monoide A " se entenderá cualquier expresión formal del tipo

a * X * b = c, a * Y * b = c a 5i<X = c , a * Y = c X * b = c, Y * b = c

donde a, b y c representan elementos de A y donde X, Y represen­tan signos indeterminados (o simplemente indeterminadas). Cuando al reemplazar X, Y (o, como suele decirse, al especializar X, Y) por elementos x, y de A en alguna de las ecuaciones anteriores se obtiene una expresión verdadera, decimos que x, y son "soluciones" délas mismas. Esto es exactamente igual en los cursos elementales de álgebra o aritmética. Por ejemplo, si A posee elemento iden­tidad e, entonces la ecuación

a * X = a

posee siempre una solución en A.El teorema de caracterización de grupos está enunciado exacta­

mente entérminos de resolución de ecuaciones del tipo anterior. El lector está ya familiarizado con la idea, pero refresquémosla con un ejemplo. En el semigrupo (N, + ), que no es un grupo, no todas las ecuaciones

n + X = m

poseen solución. Es más, las únicas que poseen solucion son p re­cisamente aquéllas en que n < m. En cambio, en el monoide ( Z, +), que si es un grupo, las ecuaciones

n + X = m

poseensolucióncualesquiera que seanny m en Z. Justamente la de­finición de Z no es otra cosa que el conjunto obtenido a partir de N más las soluciones de las ecuaciones sobre N:

n + X = m

(Por ejemplo, 0 es la solución de 1 + X = 1 , - 1 es la solución de la ecuación 2 + X = 1, etc. . . . )

Teorema. Sea (A, *) un semigrupo. Entonces todas las propo­siciones siguientes son equivalentes entre sí.

i. (A, * ) es un grupo,ii. Toda ecuación sobre A del tipo

(:) a * X * b = c

posee una única solución en A.iii. Toda ecuación sobre A del tipo

a * X * b = c posee una solución en A.

Demostración

i. =5 ii. Sea una ecuación del tipo {:). Debemos encontrar una so­lución de la misma en A y demostrar además que esta solución es única. La manera de encontrar una solución es "despejando X". Sea

x = a1 * c * b1 e A

Se tiene

a * x * b = a * (a1 * c * b') * b'== (a * a') * c * (b' * b)— e * c * e = c

de manera que x es solución de (:). Probemos ahora que si y e A es también solución de {:) debe ser x = y. En efecto,

a * x * b = c = a * y * b

"Multiplicando" a la izquierda por a' y a la derecha por b' resulta

(a* * a) * x * (b * b') = (a1 * a) * y * (b * b')

es decire * x * e = e * y * e

o sea finalmentex = y

Queda pues probada la implicación i. =» ii.

ii. => iii. Trivial.iii. =¡> i. Sea a e A. Por la hipótesis de resolubilidad de las ecuaciones del tipo (:) existe x e A que satisface

por lo tanto, llamando

se tiene

a * x * a = a

e = a * x

e * a = a e3 = 6 * 6 = e

51

Sea ahora y e A que satisface

a * e = aentonces

a * e = ( a ^ y ^ e í ^ e = a * y * (e ) = a * y * e = a

Se ha demostrado pues que e e A satisface

( ') a * e = e * a = a

52

(Notemos que e depende por ahora de a. ) Sea b e A. Existe v e A tal que

b = a * v * ase sigue de (') que

e * b = (e * a) * v * a = a * v * a = b

b * e = a * v * {a * e) = a * v * a = b

Se ha demostrado pues que el elemento e es identidad de (A, *). Vamos a probar finalmente quetodo b e A es inversible. Seanz, w eA tales que

e = b * z * e = b * z e — e * w * b = w * b

Es fácil ver entonces que w = z es inverso de b.

Sigue por lo tanto la implicación iii => i. completamente probado.

El teorema queda

Se deja al lector el demostrar en forma análoga el siguiente teorema.

Teorema. Sea (A, *) un semigrupo. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes entre sí.

J-jj-

(A, *) es un grupo.Las ecuaciones sobre A, de los tipos

a * X = bY * c = d

poseen soluciones únicas en A.

jj j . Las ecuaciones sobre A (::) poseen soluciones en A.

Consideremos ahora algunas consecuencias del teorema ante­rior. Varios de los resultados que se dan a continuación fueron obtenidos anteriormente para semigrupos.

_____Sea A un grupo^ ■x¡ y e A___________________________________________

1) y? - x implica x = e = identidad de A. En efecto, x y e son ambas soluciones de

x * X = x

por lo tanto por jj debe ser x = e.

2) (x ' )1 = x. En efecto, x y {x ' )1 son ambas soluciones de

x' * X = e

por lo tanto por jj debe ser (x1)1 = x.

3) x * y = e implica y = x 1. En efecto, x' e y son ambas soluciones de

x * X = e

4} y # x = e implica y = x 1. En efecto, por 3) x = y 1 y por lo tanto x' = (y ') ' = y según 2).

5} e' = e. En efecto, aplicando 3) (6 4) ) a la situación e * e ¡= e resulta e = e'.

Aquí el lector podría preguntarse si no sería suficiente, en el teorema precedente, la resolución de un solo tipo de las ecuaciones (::) para caracterizar la estructura de grupo. Es fácil comprobar que no. Sea en efecto, (A, *) el monoide (N, * ) donde x * y = y. Entonces todas las ecuaciones sobre A del tipo

a * X = b

poseen "única" solución en A. Sin embargo (N, * ) no es un grupo. Notemos, por ejemplo, que si c ^ d, la ecuación

Y * c = d

no posee ninguna solución en A.

Finalmente, digamos que toda terminología utilizada en el tra ­tamiento de monoides se aplica en particular a los grupos. Porejemplo, un grupo conmutativo será un grupo cuya estructura de semigrupo es conmutativa. Análogamente, un morfismo de grupos f : A 1 -* A2 significa un morfismo de los monoides correspondien­tes . Conviene observar que tratándose de grupos la condición

f ( e ) = e

es consecuencia de la condición

f (x * y) = f (x) * f (y)

En efecto, f (e) e Ag satisface

f ( e ) = f ( e ) 3y ya vimos que el único elemento idempotente de un grupo es el e le ­mento identidad. Citemos por último un resultado de suma utilidad.

Proposición. Sea A un grupo y sea B un semigrupo con elemento identidad. Sea f : A -* B un morfismo. Entonces f es un monomor- fismo si, y sólo si, Nu (f) = { e } .

Demostración. Sea f un monomorfismo. Si x e Nu( f ) se tiene

f (x ) = e = f { e )

por lo tanto x = e. Esto demuestra que Nu (f) = [ e ] .

Recíprocamente, sea Nu ( f ) = [ e j . Si x, z e A son tales que

(o) f (x ) = f ( z )

entonces, siendo A un grupo existe x' e A. Luego de (o)

f ( x ) * f ( x ' ) = f ( z ) * f ( x ' )o sea

de manera que

es decir

e = f (e) = f (x * x 1) = f (z * x ')

z * x 1 e Nu (£) = [e ]

z * x' = ez = x

f es pues un monomorfismo.

Ejemplo. Sean A = (Z, +, 0) y B = { z / z e Cy|z| = 1} . Sea r un número real. La aplicación M : A -* B definida por

M : n -*• eos (Zrrrn) + i • sen(2rrrn)

es’ un morfismo de Z en el grupo multiplicativo de números com­plejos de módulo 1. En efecto, ¡ la validez de

M (n + n1) = M (n) • M (n1) si n, n’ e Z

no es otra cosa que el Teorema de De Moivre! .

54 Afirm ación . M es un monomorfismo si, y sólo si, r / Q (osea, si r es irracional).

Utilizando la proposición anterior, M es un monomorfismo si, y sólo si, Nu (M) = { 0 } . Entonces

0 ^ n e Nu (M) « eos (2nrn) + i .sen(2rrrn) = 1 o eos (2rrrn) = 1 y sen(2nrn) = 0 « Existe k s Z tal que

2rrrn = 2krto Existe k e Z tal que

r = k/ n « r e Q

Queda probada nuestra afirmación.

-------------------- Ejercicios----------------------------------------------------------------------------

1. Probar que si ny m son enteros y r = n/m (fracción irreducible), entonces Nu{M) = totalidad de múltiplos enteros de m.

2. Probar que un grupo A es conmutativo si, y sólo si, la aplica­ción & a2 de A en s í misma es un morfismo.

C. Subgrupos

Sean A = (A, e) un monoide con identidad y C un subconjunto de A.

Definición. Diremos que * define sobre C una estructura de subgrupo, o simplemente que C es subgrupo de A, si

s i ) C es subsemigrupo de A. sZ) e e C.s3) (C, *, e) es un grupo.

En particular, subgrupo de un semigrupo y subgrupo de un grupo se refieren a los subgrupos de los monoides correspondien­tes. Conviene notar sin embargo la siguiente proposición.

Proposición. Sea A = (A, *, e) un semigrupo conidentidad. En­tonces si C es un subconjunto de A, las dos proposiciones siguientes son equivalentes:

i. C es subgrupo de A.ii. C es submonoide de A y para todo c e C, c' existe y pertene­

ce a C.

Demostración

i. =* ii. Es consecuencia de la definición de subgrupo.ii. => i. Debe verif icarse las condiciones s i ) , s2) y s3) de la de­finición de subgrupo.

s i ) Siendo C un submonoide resta probar que, cualesquiera que_________ sean u, v, w e C; es válida la asociatividad__________________

(o) u * (v * w) = (u * v) * w

Pero, siendo A por hipótesis un semigrupo, (o) es válida cua­lesquiera que seanu, v, w en A y, enparticular, es válida en C.

s2) Siendo C un submonoide es C / 0 , por lo tanto sea c e C. Entonces c 1 e C y también e = c * c' e C.

s3) De acuerdo con s i ) y s2) C es un semigrupo con identidad y todo elemento de C es inversible. Entonces C es un grupo.

La implicación ii i queda probada y con ello la proposición.

Proposición, Sea A = (A, *, e) un grupo. Entonces si C es un subconjunto de A las proposiciones siguientes sontodas equivalentes entre sí:

j. C es subgrupo de A.jj. C es submonoide de A y c e C implica c' e C.

jjj. C 0 y x, y e C => x * y ' e C.jv. C ^ 0 y x, y e C => x1* y e C .

Demostración

j. =* jj. Es consecuencia de la definición de subgrupo.jj, => j. Es caso particular de la misma implicación en la

proposición anterior. Nótese que siendo ahora A un grupo la e x is ­tencia de c' es automática, jj" ^ j j j - Es inmediata, j j . =» jv . Es inmediata.j j j . => j j . P robem os que C es submonoide de A. Es ^ 0 por j j j . Sea c e C. Entonces aplicando j j j a la situaciónx = y = c resulta e = c * c 1 e C. Y aplicando j j j a la situación x = e, y = c, se tiene c ' = e * c 1 e C. Se ha probado pues que c e C im plica c ' e C. Sean c, t e C. Vamos a probar que c * t e C. Sabemos que t 1 e C. A p l i ­cando j j j a la situación x = c, y = t ’ , y sabiendo que ( t1)' = t, resulta

c * t = c * ( t ' ) ' e C

Queda pues probada la implicación, jv . =» j j . Análoga demostración.En definitiva, hemos probado las implicaciones

j • => j j • => j • j j . => j j j - ^ jj* j j . => jv . => j j .

Queda pues probada la proposición.

E je rc ic io . Sea A un grupo y sea B un monoide con elemento identidad. Sea f : A -* B un m orfism o. Demuestre que

a) Nu (f) es subgrupo de A.b) Im (f) es subgrupo de B.

E jemplos

1 . Sea X un conjunto no vacio y sea x¿ e X. Sea A = T ra n (X ) el grupo de transformaciones de X. Sea C c: T ra n (X ) definido por

f e C si, y sólo si, f (x¿) = xq

Probem os que C es un subgrupo de T ran (X ). U tilicem os j j de la p ro - posic ión anterior.C 0. En efecto, idx e T ra n (X ) satisface idx (x¿) = x¿, por lo tanto idx 6 C.

Sea g e C, o sea g (xq) = Xg. Ahora g' e T ra n (X ) satisface

g 1 o g = idx

por lo tantog ' ( x ¿ ) = g ' ( g ( X o ) ) = ( g 1 O g ) (X q ) = Xq

es dec ir g 1 e C.

Finalmente, si f, h e C, se tiene

( f O h ) (X q ) = f ( h (X q ) ) - f (X g ) = X q

de m anera que f o h e C. Se ha probado que C es un submonoide de T rá n (X ) y, además, que g e C im p lica g 1 e C, es dec ir la condi­ción j j .

E l le c to r d esa rro lla rá , a modo de e je rc ic io , el s iguiente e jem ­p lo de tipo general. Sea Y un subconjunto no vac io de X. Sea C la totalidad de las f e T ran (X ) tales que

f (Y ) = Y o sea f y e Y => f ( y ) e Y Ly e Y => y = f (x) con e e Y

Dem uestre que C es un subgrupo de T ra n (X ) .

2. Sea A = (Z , +, 0). Sea i , un número entero. La totalidad C de múltiplos de íIq, o sea

C = { m / m e Z y m = r • con r e Z ]

es un subgrupo de Z. En efecto, u tilicem os j j j . Es c la ro que e C, dado que = 1 • nQ. P o r lo tanto, C ^ 0 . Además, si m x y m 2 e C podemos e s c r ib ir irij = üq y m 3 = r s • no, por lo tanto

m l - m 2 = { r x - r2) • n ,o sea

m x - m 2 e C

C es pues un subgrupo de Z.

Recíprocam ente, sea C un subgrupo de (Z, +, 0). Si C ¿ 0 existe c e C, 0 ^ c. P o r lo tanto, - c e C (en virtud de j j ) . O s e a q u e c y - c pertenecen a C. Esto im p lica que C contiene al menos un entero pos it ivo . O sea

c n n ¿ 0

Siendo C fl N un subconjunto no vacio de N, existe m e C fl N tal que

h e C D N =* m £ h

(o sea, m es e l p r im e r elemento de C fl N). Es c la ro que m e C.

Sea ahora t e C. En virtud del a lgor itm o de d iv is ión en Z exis - ten u, v e Z ta les que

t = u • m + v, donde (:) 0 ^ v < m

P o r lo tantov = t - u • m e C puesto que

t e C y u • m e C

Ahora, si v ^ 0, se sigue de (:) que v e C fl N, lo que es un absurdo dada la m ín im a expres ión de m. P o r lo tanto se ha probado que

c e C => c es múltiplo de m

Reuniendo los dos resultados se tiene que: " C es un subgrupo de Z si, y sólo si, existe m e Z, 0 ¿ m tal que C es la totalidad de múltiplos enteros de m ". Se suele esc r ib ir C = (m) y se dice que C es el subgrupo de Z generado por m.

3. Sea A un monoide y sea Aut (A ) el grupo de automorfismos de A„ Entonces Aut(A ) es un subgrupo de End(A), s egún s e in fie re de la d e f i ­nición de subgrupo.

4. Sea A un monoide y sea In t (A ) la totalidad de automorfismos in ter iores de A , Entonces Int(A ) es un subgrupo de Aut(A). En efecto, recordem os prim eram ente que g e Int (A ) si, y sólo si, ex isteu e A tal que g (a) = u * a * u'. Ya vimos que Int (A ) es submonoide de A u t (A ). Probem os (según j j ) que g e Int (A ) im plica que g'e Int (A). P e ro esto es inmediato dado que si

g (a) = u * a * u', a e Aentonces

g '(a ) = u ' * a * u

5. Sea (A, *, e) un semigrupo. Sea U (A ) el subsemigrupo de e le ­mentos invers ib les de A . Entonces U (A ) es un subgrupo de A.

D í— R elaciones de Equivalencia en Un Grupo----------------------------------

Sea G = (G, * e) un grupo. Sea ~ una relación de equivalencia definida por G. Recordem os que ~ "distingue" pares de elementos de G de acuerdo con las siguientes reglas: (x, y, z e G)x ~ xSi x ~ y entonces y ~ xSi x ~ y e y ~ z entonces x ~ z

La introducción de una re lación de equivalencia dentro del gru ­po G, sin una motivación al respecto, podría tal vez desorientar al lector. Sin entrar en m ayores detalles digamos ahora que el estu­dio de "c ie r ta s " relaciones de equivalencia en un grupo G perm ite determ inar todos los grupos G1, que sonimágenes de G por m o r f is ­mo» P o r ejemplo, aplicado eso al grupo G = (Z, +, 0) es posible construir la fam ilia más importante de grupos conmutativos finitos, a saber: los grupos c íc l ic o s . Comencemos prim eram ente aclaran­do aquéllo de " c ie r ta s " re laciones de equivalencia. ~ denota, como arriba, una relación de equivalencia sobre G.

Definición, Se dice que ~ es compatible a la izqu ie rda (con la e s ­tructura de grupo de G) si

a ~ b => x * a ~ x í!<b

cualquiera que sea x e G.

Definición. Se dice que ~ es compatible a la derecha (con la e s ­tructura de grupo de G) si

a ~ b => a * x ~ b * x

cualquiera que sea x e G.

Definición. Se dice que ~ es compatible (con la estructura de grupo de G) si ~ es compatible a la izqu ierda y a la derecha. P o r su­puesto que en el caso de ser G conmutativo no es necesario hacer distinción alguna.

E jem plo. La siguiente relación definida en Q:

a ~ b si, y sólo si, a2 = b3

es de equivalencia, como el lec to r podrá v e r i f ica r fácilmente.

i. ~ es compatible con la estructura de (Q#, . , 1 ).En efecto, sea a ~ b y s e a x e Qjf. Entonces

(x . a ) 3 = xa • a2 = x2 . b2 = (x- b ) 2

de manera quex . a ~ x . b

y por la conmutatividad de Q#

a • x ~ b • x

ii. ~ no es compatible con la estructura de (Q, +, 0 ).En efecto,

1 ~ - 1

sin embargo, es fa lso que

1 + 1 ~ 1 + ( - 1 )

Ejemplo. Sea X = [1, 2, 3] y sea G = T ra n (X ) = el grupo de trans­formaciones de X. Sea ~ la siguiente relación definida sobre G

f ~ g si, y sólo si, f ( 1 ) = g (1 )

Es fác il comprobar que ~ es una relación de equivalencia. E s ­tudiemos la compatibilidad de ~ respecto de la estructura de G.

i. ~ es compatible a la izquierda. En efecto, sea f ~ g y s e a h e G. Entonces f ( l ) = g (1) y consecuentemente

(h o f ) ( 1 ) = h ( f ( l > ) = M g U ) ) = (h o g) (1 )

por lo tantoh o f ~ h o g

ii. ~ no es compatible a la derecha. En efecto, sean f, g, h e G definidos por

60

f (1) = 2, f (2 ) = 1, f (3) = 3 g ( l ) = 2, g (2 ) = 3, g (3) = 1 h ( l ) = 3, h (2) = 2, h (3 ) = 1

f ~ gSin embargo

(f o h) {1) = f (h (1) ) = f (3} = 3 (g o h) (1 ) = g < h ( l ) ) = g (3) = 1

lo cual prueba nuestra afirmación.

Proposición. Sea G un grupo y sea ~ una relación de equiva­lencia definida sobre G. Entonces ~ es compatible si, y sólo si,

(i) a ~ b y c ~ d = > a * c ~ b * d

Demostración. Sea ~ compatible, sean a ~ b y c ~ d. Enton­

por lo tanto

cesaa

b => a * c d => b * c

b * c b * d

por lo tanto, por transitividad,

a * c

lo cual prueba la p r im era parte.

b * d

Reciprocamente sea (i) válida. Entonces, si a sulta, aplicando (i) a las situaciones,

b y x e G r e -

ax

b y x x y a

xb

las relaciones buscadasa * x x * a

b * x x * b

con lo que queda probada la proposición.

El siguiente teorema caracter iza las relaciones de equivalencia compatibles a la izquierda en términos de subgrupos y demuestra también reciprocamente que todo subgrupo da lugar a una relación de equivalencia de compatible. Después del teorema comprobare­mos que un objeto determina el otro unívocamente.

Teorema. Sea G un grupo. Entonces

1) Si ~ es una relación de equivalencia compatible a la izquierda, el subconjunto H de G definido por

= [a / a ~ e] = {a / e

es un subgrupo de G que satisface

a]

Recíprocamente

2) Si H es un subgrupo de G entonces la relación

(_) a ^ b o b ' * a e H

es una relación de equivalencia sobre G compatible a la izquierda.

Demostración

1 . es no vacío dado que e ~ e im p lica e e Seanx, veentonces x ~ e y e ~ v de manera que x ~ v. P e ro utilizando la com patibilidad a la izqu ierda de ~ resulta

v ' * x ~ e

con lo que v 1 * x e Utilizando j v de la Sección 3 se tiene quees subgrupo de G. Además, en virtud de la compatibilidad a la i z ­

quierda de ~a ~ b o b ' * a ~ e » b ’ * a e H

lo cual demuestra la segunda parte de 1 ).

2. Sea ~ la relación definida por ( ). Debemos probar que es de equivalencia compatible a la izquierda. ~ es de equivalencia:

- x' * x = e e H = > x ^ x- x ^ y = > y ' ^ x e H ^ f y ' * x ) ' = x1 * y e H

=> y ^ x~ x ^ . y e y ^ z = > y ' * x e H y z ' * y e H

( z 1 * y) * (y 1 * x) = z 1 * x e H => x z

lo cual demuestra nuestra a firm ación (nótese que en los tres pasos s e ha utilizado la propiedad de ser H un subgrupo de G).~ es compati­ble a la izquierda:

a ~ b => b' * a e H=» (x * b ) 1 * (x * a) = b ! * x * x 1 * a = b* * a e H => x * a ^ , x * b

queda pues probado el teorema.

El teorema anterior asocia entonces a una re lación de equiva­lencia compatible a la izqu ierda ~ un subgrupo H^, de G:

(1 ) ~ -

y asocia a todo subgrupo H de G una relación de equivalencia com ­patible a la izquierda ~ sobre G:

62

P o r tanto, si se denota con E t la totalidad de relaciones de equiva­lencia sobre G compatibles a la iz q u ie rd a y con S la totalidad de subgrupos de G, entonces (1) y (2) definen aplicaciones

(1 ') (2 ')

O : E t U : S

SE,

In teresa aquí v e r cómo las composiciones de O y U satisfacen

O o U = id s U o O - id£^

o, en palabras, que si partim os de un subgrupo H de G y le asoc ia ­mos la re lac ión de equivalencia correspondiente según (2 ), y luego a ésta última le asociamos el subgrupo correspondiente de acuerdo c o n ( l ) , vo lvem os a obtener H. Análogamente, si partimos de una re lac ión de equivalencia compatible a la izqu ie rd a ~ y le asociamos el subgrupo correspondiente según (1 ), y luego a este último le aso ­ciamos la re lac ión de equivalencia de acuerdo con (2 ), vo lvem os a obtener De esta form a se obtiene una b iyección natural entre el conjunto S y el conjunto E t.

S ea~ una re lación de equivalencia compatible a la izqu ierda y sean

O : - U : H

vamos a probar que o sea que

x ~ y si, y sólo si, x y

Nótese que de acuerdo con el teo rem a anterior

= ( a / a ~ e } x ~ y <=» y ' * x £ H^,

P e ro por 1) del m ism o teorem a

x ~ y o y 1 * x € H

P o r lo tantox ~ y « x ^ y

o sea

lo cual prueba nuestra afirm ación , o sea tJ o = ide .

Sea ahora H un subgrupo de G y sean

U : H O : a

Vamos a probar que H = H ^ . De acuerdo con e lteo rem a anterior se tiene

H c H ^ . En efecto, x e H =>x = e ’ * x e H e' * x e H x ~ e x e H^,

De ambas inclusiones resulta la igualdad

H = H-

queda pues probada nuestra afirmación.

Resultados idénticos se obtienen al considerar relaciones de equivalencia compatibles a la derecha. Los resultados son los s i ­guientes.

Si H es subgrupo de G entonces

a ~ b « a * b ' e H

es una relación de equivalencia compatible a la derecha.

Reciprocamente, si ~ es una relación de equivalencia compa­tible a la derecha entonces

H_ = {a / a ~ e]

es un subgrupo de G.

Estamos ahora en condiciones de combinar ambos resultados pa­ra obtener una caracterización de las relaciones de equivalencia com patibles (a la derecha y a la izquierda) en términos de subgrupos de G.

Teorema.

1) Si ~ es una relación de equivalencia compatible (a laizquierda y a la derecha), entonces el subgrupo asociado H satisface:

(d) x e G y h e H = * x # h * x' e H

2) Reciprocamente, si H es un subgrupo de G que satisface la condición (d) entonces la relación de equivalencia asociada

x ~ y o y 1 * x e H

es compatible (a la izquierda y a la derecha).

Demostración

1. Sean x e G y h e H. Entonces por la definición de H es

h ~ e

Por la compatibilidad a la izquierda de ~ resulta

y por la compatibilidad a la derecha de ~

x * h * x 1 ~ eo sea

x * h * x ' e Hcomo queríamos probar.

2. Sea H un subgrupo de G que satisface (d). Entonces por el teo ­rema anterior

x ~ y « y 1 * x e H

es una relación de equivalencia compatible a la izquierda. Debemos probar que es también compatible a la derecha. Sea pues

a ~ b y x e GEntonces

b' * a e Hy por lo tanto

x' * (b ‘ * a) * x = x' * (b' * a) * (x ' ) 1 e Ho sea

(b * x ) ' * (a * x) — (x' * b ') * (a * x) e H

o sea, finalmente,a * x ~ b * x

que es la compatibilidad a la derecha pedida.

Definición. Se denomina subgrupo distinguido t de G a todo subgrupo H que satisface la condición (d) del teorem a anterior.

Ejemplos

1. Sea G un grupo. Entonces

H = G y H = { e}

son subgrupos distinguidos de G y se les denomina subgrupos d is ­tinguidos tr iv ia les .

2. Sea G un grupo conmutativo. Todo subgrupo de G es entonces distinguido.

3. Sea X = [1, 2, 3] y sea G = T ran (X ). El subgrupo

H = [ f / f ( l ) = 1J

no es distinguido. En efecto, la relación de equivalencia

f ~ gasociada a H es

t Se denomina también subgrupo invariante o subgrupo normal.

« f ( l> = g (1 )

y ya se demostró que esta relación de equivalencia es compatible a la izquierda pero no a la derecha.

4, Sea Z = (Z, +, 0). Vamos a determinar todas las relaciones de equivalencia compatibles con la estructura de grupo de Z (o también, simplemente dicho, compatibles con +).

Siendo Z un grupo conmutativo todos sus subgrupos son inva­riantes. Los subgrupos de Z están caracterizados como sigue:

H es subgrupo de Z si, y sólo si, existe m e Z, 0 ¿ m tal que

H - { r • m / r e Z}= totalidad de múltiplos enteros de m.

Sea entonces ~ una relación de equivalencia en Z compatible Sea H el subgrupo asociado a ~ . Por lo anteriormente dicho exis - te m e Z, 0 s m tal que H es la totalidad de múltiplos enteros de m. Entonces

a ~ b « a - b e H

Por lo tanto, si H = 0

a ~ b o a = b

y si H ^ 0, entonces m ^ 0 con lo que

a ~ b « a - b es divisible por m.

Este tipo de relación de equivalencia no es otra cosa que la r e ­lación de congruencia módulo m estudiada en aritmética y que se denota por a = b m od(m ). Se haprobadopues que las relaciones de equivalencia en Z compatibles con + son:

- la igualdad, y- las congruencias mod(m), 0 < m.

E. Grupo Cociente de Un Grupo por Un Subgrupo Distinguido

Sea G un grupo y sea ~ una relación de equivalencia definida sobre G. P o r la teoría de relaciones de equivalencia sabemos que a G y ~ está asociado un conjunto denotado por

G/ el conjunto cociente de G por ~

y una aplicación

Q : G -* G / ~ : la aplicación canónica de G en G / ~ .

Recordemos sus definiciones:

G / ~ es el conjunto de clases de equivalencia de G por o sea en símbolos U e G / ~ si, y sólo si, U c G y existe u e G tal que

U = {x / x ~ u]

Q es la aplicación definida por u -» [x / x ~ u}.

Problema. Definir una Estructura de Grupo en G / ~ queConvierta A C J : G - ' G / ~ e n Morfismo de Grupos.

En esta sección vamos a reso lver este problema, cuya solución puede, sin duda, considerarse como una pieza clave dentro de la teoría de estructuras algebraicas.

Teorem a Fundamental. Sea G un grupo y sea ~ una relación de equivalencia definida sobre G y compatible (a la izquierda y a la de­recha) con la estructura de grupo de G. Sea G / ~ el conjunto cociente de G por ~ y sea g : G -» G / ~ la aplicación canónica de G sobre G / ~ . Entonces:

1} Existe una única estructura de grupo sobre G / ~ que con­vierte a 9 en un m orfismo de grupos.

2) Nu(9) = el subgrupo distinguido asociado a ~ .

Demostración

1. S eanSyT e G / ~ . Existen entonces s y t e G tales que

S = {x / x ~ s ] = 9 (s)T = (x / x ~ s } = g (t )

Afirmación. § (s * t) está unívocamente determinado por S y T, o sea que si s, s: e S y t, tx s T entonces

g{s * t) = g ( s x * t^

En efecto,s, sx e S =* s ~ sx t, ta e T => t ~ tx

y por ser ~ compatibles * t ~ sx * tx

de manera queg (s * t) = g (sj, * tx)

con lo cual queda probada nuestra afirmación.

En virtud del resultado precedente vamos a asociar

(S, T) - S * T = g (s * t)' ' donde s e S y t e T

De esta manera queda definida sobre G / ~ una ley de composición interna que convierte a G / ~ en un monoide (G / *).

Probemos ahora que 9 : G -* G / ~ es un morfismo de los m o­noides correspondientes. Esto es una consecuencia de la definición (" ) . En efecto, sean s, t e G entonces 9 (s ) y g (t) e G / ~ y según (" ) la definición de g (s ) * 9 (t) es

Q (s) * g (t) = g (s * t)

dado que s e 9 (s) y t e g (t). Por lo tanto 9 es un morfismo. Ade­más, siendo § una aplicación sobre, Q es unmorfismo sobre. Como tal transporta la estructura de grupo de G sobre G / ~ . Así, por ejem pío, si S e G / ~ y S = g (s), llamando entonces £ = 9 (e )

_e * S = g (e) * g (s) = § (e * s) = Q (s) = S

S * e = 9 (s) * 9 (e) = 9(s * e) = Q (s) = S

de manera que e es elemento identidad de (G / *). Queda pues probada la existencia de una estructura de grupo sobre G/~ que convierte a Q en un morfismo.

Pasemos ahora a considerar la cuestión de unicidad. Sea (G/~, Sí ) otra estructura de monoide sobre G / ~ que convierte a 9 en un morfismo. Entonces si S, T e G / ~ y 9 (s ) = S, 9 (t) = T se t iene

s a t = 9 (s ) ¡s 9 (t) = g (s * t) = 9 ( s ) * 9 (t) = S * t

lo cual demuestra que * = & Esto concluye la demostración de 1.

2. Ya se ha visto que el elemento identidad de (G / ~ , * ) es e = 9 ( e)-

s e Nu (9) ° 9 ( s ) -■ e ~ g (e)«■ s ~ eo s e H _, = [x / x ~ e}

por lo tantoNu(g) - H _ .

El teorema queda asi probado.

Definición. Con la notación del teorema anterior, G / ~ sede- nomina el grupo cociente de G por la relación de equivalencia ~. A l m orfismo § : G -* G / ~ se le denomina morfismo canónico. Si H es un subgrupo distinguido de G, se designa G / H al grupo cociente G / ~ de G por la relación de equivalencia de G asociada a H.

Ejemplo. Sea G un grupo y sea H = {e } el subgrupo formado por el elemento identidad de G. La relación de equivalencia asociada a H es la siguiente:

a ~ b o b' * a e H = {e }» b' * a = e » a = b

es decir, es la igualdad. Los elementos de G / ~ no son otra cosa que los subconjuntos de G formados por un solo elemento: {x j ,

x e G. La aplicación canónica está definida por

9 : x - [x ]

La estructura de grupo en G / { e } será entonces

{x ] * {y ] = {x * y }

Es evidente que § es un monomorfismo. Como es también un m or f is ­mo sobre, se tiene que Q es un isomorfismo, por lo tanto

G / { e ] - G

P or ejemplo, si Z es el grupo aditivo de enteros racionales se t ie ­ne el isomorfismo : Z / { 0 } =■—Z.------------------------------------------------

Como complemento del anterior se tiene el teorema siguiente.

Teorema. Sea G un grupo y sea Hun subgrupo de G. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes entre s í

d i ) H es subgrupo distinguido de G.d2) Existe un grupo L y un morfismo f : G -* L tal que

Nu (f) = H

Demostración

d i ) d2 ).Sea G / H el grupo cociente de Gpor (la relación de equivalen­

cia asociada a) el subgrupo distinguido H. Si Q denota el morfismo canónico, se sigue del punto 2 del teorema anterior que H = Nu (Q)

d2 ) => d i).Sea L un grupo y sea f : G -* L unmorfismo tal que H = Nu (f).

Entonces si h e H y x s Gs e tiene

f ( x * h * x ') = f ( x ) * f (h ) * f ( x ' )= f (x) * e * f ( x ' )= f ( x ) * f ( x ' ) = f ( x ) * f (x ) '= e

de manera quex * h * x ' e H

lo cual muestra que H es subgrupo distinguido.______________________

Ejemplos

1 . Grupos cocientes de Z = (Z, +, 0). Sea 0 < m, m e Z. Se estudiará el grupo cociente de Z por el subgrupo denotado por (m) de múltiplos enteros de m. La relación de equivalencia sobre Z asociada a {m) es

a ~ b si, y sólo si, m divide a a - b

Sea k e Z. En virtud del algoritmo euclidiano de división en Z existen q, r e Z tales que

k = m • q + r, O á r C m

estando q y r unívocamente determinados por estas dos propiedades El resto de la d iv is ión de k por m se denomina r. Resulta inm edia­tamente que

k ~ r

lo cual demuestra que todo elemento de Z es congruente a uno y sólo uno de los enteros r que satisfacen

0 £ r < m

a saber: su resto de la d iv is ión por m.

P o r consecuencia, Z / ~ consta exactamente de m clases de equivalencia a saber

0 = {k / k ~ 0 ]1 = [k / k ~ 1 ]

m - 1 = [ k / k ~ m - l ]

Utilizando el m orfism o canónico Q : Z -* Z / ~ , 9 (k) = r, donde r denota el resto de la división en Z d e k p o r m , as í se tiene que

0 = 9 (0 )1 = 9 (D

m - 1 = Q (m - 1 ) 6 9

Veamos la estructura de grupo en Z / ~ . De acuerdo con su definición si s, t denotan enteros que satisfacen 0 ¿ s < m , 0 £ t < m y s, t las c lases correspondientes en Z / ~ se tendrá

s_ + t_ = Q(s + t)= r

donde r denota el resto de la d iv is ión de s + t por m.

F ijem os las ideas con ejemplos concretos.Sea m = 5. Entonces Z / (5) consta de los 5 elementos

0 = {k / k ~ 0 } = múltiplos de 51 = {k / k ~ 1 ] = enteros cuya d iv is ión por 5 da resto 12 = {k / k ~ 2 } = enteros cuya d iv is ión por 5 da resto 23 = {k / k ~ 3} = enteros cuya d iv is ión por 5 da resto 34 = {k / k ~ 4} = enteros cuya d iv is ión por 5 da resto 4

La estructura de grupo de Z / (5) está dada por la tabla:

+ 0 1 2 3 •4

0 0 1 2 3 41 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3— — —™

70

donde, por ejemplo, 3 + 4 = 2, pues 2 es el resto de la división de 3 + 4 por 5, etc. .

Sea m = 6 . Una discusión análoga a las precedentes perm ite ob­tener la siguiente estructura sobre Z / ( 6 ):

+

0

1_22

45

0

1_2345

1_2345 0

234 5_0

1

34

i0

1_2

45

£i_23

50

1234

2. Grupo cociente de Q por el subgrupo Z : Q / Z. Q denota en­tonces el grupo aditivo de números racionales y Z el subgrupo de enteros racionales. Este último determ ina sobre Q la siguiente re lac ión de equivalencia

x — y « x - y e Z

Sea Q / Z e l grupo cociente y sea C): Q -*Q/ Z e l m orfism o canó­nico. Adoptaremos la siguiente notaciónpara designar los elementos de Q / Z

9 (p / q) = lp / q]La estructura de grupo en Q / Z está dada entonces por

[p / q ] + [ r / s ] = [ (p s + qr) / qs ]

Veamos algunas propiedades de este grupo cociente

a) Q / Z es un grupo infinito.

En efecto, sea

PlJ PgJ * * > Pij ■ • •

cualquier conjunto infinito de números enteros positivos prim os. Sean éstos dados en el orden natural en Z:

P i <

a firm am os entonces que [ l / p j ] ^ [ l / p j ] si i ^ j . Esta afirm ación im p lica rá la infinitud de Q / Z. Hagamos la demostración para el caso i = 1, j = 2. Entonces si

[ i / P i l = [ i / Ps]se tendrá

1 / Pi - 1 / Ps = n e Z

por lo tanto0 < p2 - Pi = n- p j • p3

pero esto es un absurdo, pues a firm a que ps - px es d iv is ib le por p3 y 0 < pa - P i < p2. Nuestra a firm ación queda probada.

Pa

b) Para todo x e Q / Z existe n e N tal que n x= x + x + ^ . . + x = 0n veces

En efecto, si x e Q/ Z existe p / q e Q tal que

x = [p / q] q ¿ 0 , p, q e Z

Pero entonces

qx = qCp / q] = [ q ( p / q )3 = Cp] = opues p e Z

Por lo tanto confirma nuestra afirmación. Esta propiedad se ex­presa diciendo que Q / Z es un grupo de torsión.

F. Un Teorema de Isomorfismo

En esta sección resolveremos el siguiente problema utilizando métodos estudiados previamente.

Problema. Sea G un grupo. Determinar todos los grupos Lque sean imágenes de G por morfismos; o sea, determinar todos los grupos L para los cuales existen morfismos sobre f : G -*■ L.

Este problema admite la siguiente solución.

Solución. La clase de grupos { L } que son imágenes de G por morfismos "coincide" con la clase [G / H} de grupos cocientes de G por subgrupos distinguidos de G. Precisando tenemos:

Teorema. Sean G y L grupos y s e a f : G -* L un morfismo sobre. Existe entonces un único subgrupo distinguidoH de G y un isom or- fismo g : G / H -* L con la propiedad que el diagrama

(D)% 4

71

G / H

es conmutativo, o seag o Q = í

( 9 denota el morfismo canónico).

Nota 1. La conmutatividad del diagrama anterior equivale a de­cir que L es isomorfo, en forma natural, a un grupo cociente deG.

Nota 2. La coincidencia a que se hace referencia en la solución del problema se obtiene por medio del teorema estableciendo la aplicación

L -* G / H

Demostración del Teorema. Definimos primeramente

H = Nu ( f )

72

y siendo éste un subgrupo distinguido formamos el grupo cociente G / H. Vamos ahora a definir un m orfism o G/H-*L. Sea SeG/H. Existe s e G tal que S = {x / x ~ s] = Q (s). Analicemos el elemento f ( s ) s L , Si sx e S, entonces sx ~ s, o sea s' * sx e H = Nu (f) de manera que

f ( s* * s x) = e

y, también, siendo f m orfism o

e = f ( s ' ) * f ( s x) = f ( s ) 1 * f (s -l)o sea

f ( s ) = f ( s x)

lo cual demuestra que f (s) está unívocamente determinado por S, es decir

S -* f (s), si s e Sdefine una aplicación

(I)

g : G / H - L g (S ) = f ( s ) si s e S

Vamos a probar que g es un morfismo. Sean S1? S3 C G / H. En­tonces si sx e Sj y s ¡ s S3 se tiene, en virtud de la definición de S], * S3, que

sx * s2 s Sx * Sa

por lo tanto de (I)g {S x * S3) = f { s x * s2)

= f ( s x) * f ( s 2) = g(Sx) * g (S2)

que muestra bien que g es un m orfism o. Nótese además que si seG entonces s 0 Q (s) y se tiene

de manera quef (s ) = g (Q (s) ) = (g o 9 ) (s)

f = g o 9

lo cual prueba la conmutatividad del diagrama (D).

Verifiquemos que g es un isom orfism o.

i. g es un m orfism o sobre. En efecto, sea u e L, entonces siendo f un m orfism o sobre existe x e G tal que f {x ) = u. P o r lo tanto de (:) se tiene u = f(x ) = g(Q ( x ) ) que muestra que g es un m orfism o sobre.

ii, g es monomorfismo. Deberá probarse que Nu(g) — [ e } . Sea S e Nu(g). Entonces si s e S

f(s ) = g (Q (s ) ) = g(S) = e

por lo tanto s e H. Esto implica S = H = e = identidad de G/H . g es pues un monomorfismo.

Veamos finalmente la cuestión re la t iva a la unicidad del sub­grupo H. Sea, pues, H 1 un subgrupo distinguido de G y sea g 1 : G/H1 -* L un isom or f ism o que hace conmutativo el d iagrama

G

G/H' - L g'

Vamos a probar que H = H '. En efecto,

u' e H 1 =» f (u ') = g 1 ( g ' (u1) ) = g ' ( e ) = e =* u ' e H , o s e a H ' c ; H

u e H => e = f(u) = g ' ( 9 ' ( u ) ){por ser g 1 un isom or f ism o )

=» u e Nu(f} ') = H 1, o sea H a H '.

Es dec ir , H = H ' como deseábamos probar. El teorem a queda p ro ­bado.

E jemplos

1. Sea G un grupo y sea Aut (G) el grupo de automorfismos de G. La aplicación

x - I x

que asocia a x el automorfismo de G:

Ix (g) = x * g * x'es un m orfism o sobre

I : G - Int (G)

de G en el grupo Int (G) de autom orfism os in ter io res de G. De acuerdo con e l teorem a enunciado en esta sección se tendrá un isom or f ism o

G / H - Int (G)

donde H = N u {I ) . Analicem os H = Nu (I).

x e Nu (I) o I x = id eo x * g * x 1 = g cualquiera que sea

g e G» X * g = g * X

P o r lo tanto

H = { x / x * g = g * x , para todo g e G]

Este subgrupo se denomina el centro de G y se lo denota con 7C. P o r lo tanto

73

Int (G) - G / 3 a

74

2. Sea n 0 N. Sea Wn el grupo de ra íces n-simas de la unidad:wn = 1

2 tt , . 2 ttw 1 - eos — + i • sen — n n» * * • • * • < t

2 j n . 2 jtt w, = eos — + x • s e n ----J n n

wn_ 1 = eosü n ^ j r r +

ns en 2 fn - 1 )TT

nLa aplicación f : Z -* Wn definida por

r , , 2mrr , . 2mrrf (m ) - e o s ------- + i . senn n

es, en virtud del Teorem a de De M oivre , un m orf ism o de (Z, +. 0) enWa, y es, evidentemente, un m orfism o sobre. Determ inemos Nu(f).

k e Nu ( f ) o eos ^ + i . sen 2kn

eos

2 krrn

n2 krr

n

= 1

- 1 2kTT n- 1 y sen ----- = 0n

= h • 2tt = múltiplo de 2rr, h e Z

o k es d iv is ib le por n« k 0 (n) = subgrupo de Z de múltiplos de n.

P o r lo tanto se ha demostrado que Nu (f ) = (n). En definitiva se tiene el isom or f ism o

Z / (n)

3. Sean R# — (R - [0 ] , . , 1 ) = grupo multip licativo de númerosrea les no nulos.

R+ = (R+, . , 1) = grupo m ultip licativo de númerosreales positivos,

f : Rjf -* R+ la aplicación f (x) = x2.

f es unm orfism o y es además unm orfism o sobre. En efecto, este hecho nada tr iv ia l es consecuenciade la siguiente propiedad d,e los números rea les: todo número rea l positivo posee una ra íz cuadra­da en R, o sea dado r e R, 0 < r existe y e R tal que y3 = r.Determ inemos Nu (f):

x e Nu ( f ) o x2 = 1» x = 1 ó x = - 1

P o r lo tanto se tiene el isom orfism o

R f / O , - iJ =“ R+(Interpretación de este isom orfism o: R # / { l , - l } consiste de la totalidad de pares {x , - x } de números rea les x ^ 0. El is o m o r ­fism o está dado por {x , - x ] -► x3 . )

4. Sea n e N tal que n = p 1 • q3 donde i, j e N, p y q s o n números prim os y p ^ q,

Sean Z / (p1) y Z / (qJ) los grupos cocientes correspondientes a los subgrupos {p1} y (q3) de múltiplos enteros de p 1 y qJ, respec­tivamente. Los elementos de Z / (p1) se representanmediante los restos de la división entera por p1. Si u es uno de estos restos se escrib irá u para denotar el elemento de Z / (p1) asociado. Análo­gamente con Z / (q3).

A = Z / (p*) ® Z / (qJ)

la suma directa de Z / (p1) y Z / (q3). Un elemento típico de A es de la forma

(u, v)donde u, v e Z satisfacen

0 ¿ u < p1 y 0 ^ v < q J

Sean9P : Z - Z / (p1) y (^ : Z - Z / (q3)

los morfismos canónicos.

Sea f : Z -* A la aplicación definida por

m - (9 p(m), (^ (m )) f es un morfismo, cuya verificación se deja a cargo del lector.

A firm ación , f es un m orfismo sobre. En efecto, siendo p1 y q3

primos entre sí, por suponerse p / q, existen enteros r, s tales que

(:) rp1 + sqJ = 1

(por una propiedad típica del máximo común divisor). Sea entonces (u, v) e A. El entero

m = vrp 1 + usqJsatisface

f {m ) = (9p(m), (^(m) ) = (gp(usq3), g^vrp1) )

y ahora en virtud de (:) esu = urp1 + usq3

v = v rp 1 + vsq3

con lo quef (m ) = (u, v)

lo cual prueba que f es un morfismo sobre.

Calculemos ahora Nu(f).

m e Nu ( f ) « ((Jp(m), Qq (m) ) = 0 = (0,0)o p1 divide a m y

q3 divide a m» p1. q3 divide a m

(Nota: la última equivalencia es debida a que p1 y q3 son primos entre sí. )

El razonamiento precedente nos muestra entonces que

Nu (f) = (p1 . qJ) = (n)

= a la totalidad de múltiplos del entero n. Ahora en virtud del teo ­rema de isom orfism o se tiene el isom orfism o fundamental:

Z / (n) =- Z / (p1) ® Z / (qJ) ¡ T n = p1 .

p, q primos distintos

Como aplicación se tienen los isomorfismos:

a) Z / ( 6 ) - Z / ( 2 ) ® Z / (3)b) Z / ( 1 2 ) - Z / (4 ) e Z / (3 )c) Z / (36) - Z / (4) ® Z / (9)

E jerc ic io . Probar que no existe ningún isom orfism o entre Z / (4) y Z / (2 ) ® Z / (2fc

G. Grupos Finitos

Un grupo G se dice finito si G es un conjunto finito, o sea si G es coordinable a un intervalo natural inicial Ik.

Ik = {n / n e N, 1 £ n s k]

Se escribe entoncesCard (G ) = k

y se dice también que G es un grupo de orden k.

Históricamente la teoría de grupos finitos está estrechamente ligada a la teoría de la resolución de ecuaciones algebraicas o más generalmente a la llamada Teor ía de Galois.

Ejemplo. Sea n e N y sea X = {1, 2, . ., nj. Entonces el grupo G = T ran (X ) es un grupo de orden n! = factoria l de n. Los e le ­mentos de Tran(X) se denominan permutaciones. G se denomina el grupo sim étrico de grado n y se le denota por G = S„. Este es el ejemplo más importante de grupo finito, dado que: Teorem a (Cayley) para todo grupo finito G existe n e N y un monomorfismo G -♦ Sn,o sea todo grupo finito es subgrupo de un grupo de permutaciones.

Demostraremos aquí un teorema elemental muy importante, a saber, el Teorem a de Lagrange. Previamente será necesario estudiar la cardinalidad de las clases de equivalencia de la r e ­lación determinada por un subgrupo. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Sea~ la relación de equivalencia compatible a la i z ­quierda determinada por H, o sea

u ~ v « v ' * u s H

76

Sea S una clase de equivalencia según Existe entonces s e G tal que

S = [x / x ~ s}

A firm ación . S y H son conjuntos coordinables. En efecto, sean las aplicaciones

f : S -» H definida por x -* s 1 * x y g : H -» S definida por h -* s * h

se sigue fácilmente que g o f = ids y f o g = idH de manera que f (y lo mismo g) es una biyección.

Corolario. Dos clases de equivalencia S y T según~ son coor­dinables.

En efecto, S es coordinable a H y T es coordinable a H por lo tanto S es coordinable a T.

Teorema. (Lagrange). Sea G un grupo finito. Sea H un sub­grupo de G. Entonces si Card (G / ~ ) denota el número de elementos del "conjunto" cociente G / ~ (o sea, el número total de clases de equivalencia según ~ ) se tiene

(L ) Card (G) = Card (H) . Card (G / ~ )

Demostración, ~ determina sobre G una partición y los con­juntos de esta partición son todo coordinables entre s í y coordinables a H, según a f irma el cor olario pr ecedente. P o r lo tanto se satisface <L).

Corolario. Sea G un grupo finito y seaH un subgrupo de G. En­tonces el orden de H divide al orden de G.

Corolario. Sea G un grupo finito y seaHun subgrupo distingui­do de G. Entonces

Card (G) = Card (H) • Card (G / H)Aplicaciones

1. Todo grupo finito de orden p primo es cíclico, o sea isomorfo a Z / (p). En efecto, sea G un grupo finito de orden primo p. En­tonces si x e G, x e la aplicación Z -* G definida por

f : m -* xm

(donde x? = e, xn = (x-11) - 1 si n < 0 )

es un m orfismo tal queIm ( f ) ¿ {e j

pues e ^ x e Im (f). P o r lo tanto Im (f) es un subgrupo de G de orden mayor que 1 y que (Lagrange) divide a p. Siendo p primo debe ser

Im ( f ) = G

Z / H =- G

donde H es el núcleo de f. Puesto que Card ( Z / H ) = Card (G) = p debe ser H = (p). P o r lo tanto, se tiene finalmente

G =“ Z / (p)

Coro lario . Todo grupo finito de orden prim o es conmutativo.

2. Todo grupo finito de orden ¿ 5 es conmutativo. En efecto, si Card (G) = 2, 3, 5 entonces es conmutativo según acabamos de ver.Queda entonces por analizar el caso Card (G ) = 4. Esto último lo dejamos como e jercicio para el lector. Nótese que hay grupos de orden 6 no conmutativos como, por ejemplo, el grupo simétrico S3. ¿Es éste el único grupo de orden 6 no conmutativo? Sí.

E jercicio

i. Construir una tabla de composición del grupo S3.ii. Determ inar todos sus subgrupos y señalar los distinguidos,

iii. P ro ba r que 3s3 = í e j*iv. P ro b a r que Aut(S3) = IntfSa), o sea que todo automorfismo

de S3 es interior.

Nota. Las siguientes propiedades son válidas en Sn (véase r e ­ferencia b ib liográfica (9) ).

s i ) P a ra todo n, 3 £ n : = í eJ •s2) P a ra todo n, 3 á n y n ^ 6 : Aut(Sn) = Int(Sn),

E je rc ic io . Sea p un entero racional primo. P ro ba r que el g ru ­po

A u t (Z / (p) ® Z / (p) )

de automorfismos de la suma directa Z / (p ) ® Z / (p ) posee orden (p3 - 1) . (p 2 - p).

Por lo tanto

HI. ESTRUCTURA DE AN ILLO

A. Definición y Ejemplos

No habrá escapado a la atención del lector que ha seguido el tratamiento hecho en el capitulo anterior la posibilidad de introducir en un conjunto más de una ley de composición. Esto efectivamente es posible y da lugar, en particular, a la importante estructura algebraica de anillo. Si • y * son dos leyes de composición defi­nidas sobre un conjunto A, una condición esencial a imponer es que dichas leyes de composición guarden alguna relación entre sí. Una forma natural de establecer relaciones entre ambas es, conforme a los esquemas numéricos, mediante las leyes distributivas. A s í diremos que

Definición

* es distributiva a la izquierda respecto de • si

x * (y • z) = (x * y) • (x * z)

cualesquiera que sean x, y, z e A.

* es distributiva a la derecha respecto de • si

(x • y) * z = (x * z) • {y * z)

cualesquiera que sean x, y, z e A.

* es distributiva respecto de •, si lo es a la izquierda y a la dere­cha.

Ciertamente, en el caso que * sea una ley de composición con­mutativa los distintos tipos de distributividad antes definidos coinciden entre sí.

Ejemplo. Sea A = N y sean * y • definidas por

a * b = a a • b = a + b

Es fácil ver entonces que * es distributiva con respecto de « a l a derecha, pero no a la izquierda.

Ejemplo, Sea A = P {X ) = totalidad de partes de un conjunto X. Sean * y • definidas por x * y = x fl y x • y = x U y. En tal ca­so * es distributiva respecto de • y, recíprocamente,* es distributiva respecto de *.

Suele imponerse otro tipo de condiciones a fin de hacer más sistemático el estudio de estas estructuras con dos leyes de com­posición. Por ejemplo, se pide que una de ellas sea un semigrupo conmutativo y que la otra ley de composición sea distributiva re s ­pecto de la primera. Resulta entonces conveniente introducir la siguiente notación:

80

+ denotará una ley de composición conmutativa• denotará una ley de composición genérica

(o sea, a • no le imponemos ninguna condición especial). El caso + se denominará aditivo mientras que el • se denominará multip li­cativo. P o r abuso de lenguaje llam arem os a + suma y a • producto. Siendo asi será conveniente ajustar nuestra notación anterior sobre elementos identidad, inversos, etc. , como sigue:

Caso aditivo:

Caso multiplicativo:

Antes*ex'

*ex 1

Ahora

+0

- x

Veamos como se traducen relaciones estudiadas anteriormente:

| - ( x + y) = ( - y ) + (— x)(x * y ) 1 = y 1

(x 1)' = x

e * e = e

* x 1 (x . y ) - 1 = y - 1 x

X

- X

0 = 0

i = i

Escrib imos además en el caso aditivo

x - y = x + ( - y )

Definición. Sean + y • leyes de composición interna definidas sobre un conjunto A. D iremos que las mismas determinan sobre A una estructura de anillo o también que A es (respecto de + y • ) un anillo si existe 0 e A tal que

a l ) (A, +, 0) es un grupo conmutativo, aZ) (A, ■ ) es un semigrupo. a3) • es distributiva (o sea a la izquierda'

y a la derecha) con respecto a + .

Definición. D iremos también que

- A es un anillo conmutativo si (A, • ) es un semigrupo conmutativo.

- A es un anillo con identidad si existe 1 e A tal que1 0 y (A, ., 1 ) es un semigrupo con identidad.

En la proposición siguiente se han reunido resultados válidos en todo anillo A. Recuerde el lector qu e -x denota el inverso aditivo de x y que x - y denota la suma x + {- y).

i. a • 0 = 0 • a = 0

i i . { -a ) -b = - (a- b) = a* ( - b )i i i , (-a ) • (-b ) = a • biv. a « ( b - c ) = a - b - a* c v. (a - b) • c — a ■ c - b • c

vi. (a + b) • (c + d ) = a • c + a - d + b - c + b - d

Demostración. Estará basada en la utilización del teorem a de existencia y unicidad de las ecuaciones, sobre el grupo aditivo A. de la forma a + X — b.

i. a • 0 = a - ( 0 + 0 ) = a • 0 + a • 0 y puesto que también a • 0 = a • 0 + 0

se tiene quea • 0 y 0

son ambas soluciones de la ecuación a - 0 + X = a - 0. P o r lo tanto debe ser a* 0 = 0. Análogamente, resulta 0* a = 0.

ii. (-a ) , b + a • b = ( ( - a ) + a) • b = 0 • b = O y puesto que también -(a * b) + a . b = 0 se tiene que

( - a ) • b y - (a • b)

son ambas soluciones de la ecuación X + a - b = 0 . P o r lo tanto debe ser (-a)* b = - (a • b). Análogamente, resulta a • (-b ) = - (a • b).

Nota, En virtud de este resultado no hay ambigüedad al e s c r i ­b ir - a» b en lugar de -(a - b), ya que asociando el - tanto a a como a a • b no varía la expresión.

iii. a • b = - { - (a ■ b) )= - ( (-a ) • b) en virtud de ii.- (-a )* (-b ) en virtud de ii.

iv. a • (b - c) = a • (b + ( - c ) ) = a • b + a • (-c )= a « b + ( - ( a - c ) ) = a * b - a ■ c

v. Demostración análoga a iv.

vi. Se deja a cargo del lector.

Corolario, Sea A un anillo con identidad 1. Entonces las ecua­ciones

0 • X = 1Y • 0 = 1

no admiten ninguna solución en A.

Demostración, En efecto, de acuerdo con i 0 . a = a • 0 = 0 cualquiera que sea a e A. Puesto que además es 1 / 0 (de acuerdo con lo convenido al definir anillo con identidad) ninguna solución en A de cualquiera de esas ecuaciones es posible.

Proposición. Sea A un anillo, entonces si a, b, c ,d e A

Sea A un anillo con identidad 1. Con

U (A )

denotamos el subgrupo de (A, . , 1) de elementos inversibles o uni­dades y lo denominamos el grupo de unidades del anillo A .

Nótese que el coro lario anterior es equivalente a la afirmación

0 i U (A )

Definición. Diremos que un anillo con identidad A es un anillo de división si

U (A) = A - {0 }

o sea si todo elemento a e A con a / 0 es inversible en (A, . ,1 ) .

Definición. L lamaremos cuerpo (se suele utilizar también la denominación campo) a todo anillo de división conmutativo.

Ejemplos

1. Anillos numéricos

i. Z con + = suma ordinaria y • = producto ordinario es un ani­llo conmutativo con identidad:el anillo de enteros racionales. U (Z ) = £l, - 1}.

ii. Q con + = suma ordinaria y - = producto ordinario es un anillo conmutativo con elemento identidad. U (Q )= Q f = Q - (Oj. Q es el cuerpo de los números racionales.

En forma análoga a ii

i i i . R es el cuerpo de los números reales.iv. C es el cuerpo de los números complejos.

2. Sea A = (A, +, 0) un grupo conmutativo. Sea (A, . ) la estructu­ra de semigrupo triv ia l:

x • y = 0

cualesquiera que seanx, y e A. E n tonces+y- definen sobre A una estructura de anillo conmutativo: el anillo tr iv ia l asociado al grupo conmutativo A.

3. Sea X un conjunto y sea A = P (X ) el conjunto de partes de X. Las dos siguientes leyes de composición sobre A:

x + y = x A y = diferencia simétrica de x e y x - y = x fl y = intersección de x e y

determinan sobre A una estructura de anillo conmutativo con iden­tidad: el anillo de Boole de subconjuntos de X. Se ver if ica U (A ) = {X j,o sea el único elemento invers ib le de A es la identidad 1 = X.4. Sea M = (M, +, 0) un grupo conmutativo. Sea End (M) = (End (M),o) el semigrupo de endomorfismos de M. Vamos a definir sobre End (M) la siguiente "suma". Sean f, g e End(M).

Entonces si m e M:(• ) m - f (m) + g (m)

define una aplicación de M en M que satisface

(:) m j + rn2 — f (nij + ma) + g (rr^ + m3) =f {m 1) + f ( m a) + g (m i) + g {m a) =[ f (mi) + g (m x) ] + [ f (m2) + g (m3)]

(Nótese que en el último paso se ha hecho uso de la conmutatividad de M al permutar f(mg) con g (m 1), ) (:) muestra entonces que la ap li­cación (. ) es un m orfism o de M, o sea un elemento de End(M). Este nuevo m orfism o se denotará con f + g. En símbolos

(•) (f + g) (m) - f (m ) + g (m ) si m e M

Por lo tanto(f, g) f +

define una ley de composición en End(M), o sea una estructura de monoide (End(M), + ), que satisface

a) f + g = g + f. En efecto,

(f + g) (m) = f (m) + g (m) \ conmutatividad = g (m ) + f (m) J de M= (g + f) (m )> si m e M

b) í + (g + h) = (f + g) + h, si f, g, h e End(M). En efecto, basta aplicar la definición (• ) y utilizar la propiedad asociativa de (M, +, 0 ).

c) La aplicación denotada por 0 : M -*■ M definida por

Ojm) = 0 , si m e Msatisface

0 + f = f + 0 = f

de manera que 0 es elemento identidad de (End (M), +).

d) Sea f e End (M). La aplicación f 1 : -• M definida por

f 1 (m ) - - f ( m ) si m e M

es un morfismo:

f 'tn i! + m 2) = - f (m 1 + m2) = - ( f (m x) + f (m2) )= - f (m ^ + ( - f (m3) )= f*(m i ) + f ' (n ^ )

Satisface además

í ' + f = 0

P o r lo tanto f 1 es in verso de f en (End (M ), + ,0 ) .

En definitiva, la le y de com posic ión f + g definida en End(M) es una ley de com posic ión de grupo conmutativo.

A firm am os ahora que las leyes de com posic ión en End(M) f + g y f o g definen una estructura de anillo.

En efecto, habrá que probar las leyes distributivas

f o (g + h) = f o g + f o h (f + g) o h = f o g + g o h

La dem ostración es s im ila r en ambos casos, probemos la prim era:

[ f o (g + h )] (m ) = f ( ( g + h) (m ) )= f (g (m) + h (m ) )= f ( g (m ) ) + f (h (m) )= ( f o g) (m ) + (f o h) (m),

si m e M

P o r lo tanto la distributividad pedida.

El anillo a s í definido es de extrem a im portancia en á lgebra y se le denomina el anillo de endomorfismos de (e l grupo conmuta - t ivo ) M. Es un anillo con identidad, dado que (End(M), o) es un se- m igrupo con identidad. En general, no es un anillo conmutativo. Dem ostrem os esta ú ltima a firm ac ión con un ejem plo sencillo . Sea Z / (2 ) = {0, 1 ] = el grupo de restos módulo 2. La estructura de grupo conmutativo de Z / (2 ) está dada por 0 + 0 = 0 , 1 + 0 = 0 + 1 = 1 ,1 +1 = 0. Sea M = Z / (2 ) @ Z / (2) = suma d irecta de Z/(2 ) consigo m ism o. La descripc ión de M es la siguiente:

M = { ( 0 , 0 ), (0 , 1 ), (1 , 0 ), (1 , 1 )}

P e r o por a) sigue que

+ (0, 0) (0, 1 ) (1, 0 ) (1, 1)

(0, 0 ) (0, 0) (0, 1) (1, 0 ) (1, 1)(0, 1 ) (0, 1 ) (0, 0) (1, 1) (1, 0)(1, 0 ) (1, 0 ) (1, 1) (0, 0 ) (0, 1 )(1, 1 ) (1, 1) (1, 0 ) (0, 1 ) (0, 0)

(0, 0) es la identidad de (M, + ). Sean f, g aplicaciones de M enM definidas por

(0,0) - (0, 0) (0, 0) - (0, 0)(1,0) - (1,0)

B - (1’0) - (1,1)

(0,1) - (1, 0) g ’ (0, 1) - (0, 0)(1,1) - (0, 0) (1, 1) - (1,1)

Se deja al le c to r el v e r i f ic a r que f y g son endomorfismos de M. P ro bemos que f o g / g o f. En efecto,

lo cual comprueba nuestra afirmación. Consecuentemente, End(M) no es un anillo conmutativo. Otra caracter ís tica de este ejemplo es que f ¿ _0 , g / 0 y sin embargo

f o g = 0

y g o f ^

5. Sea S un anillo y sea X un conjunto no vacio. SeaA = Aplc(X, S) la totalidad de aplicaciones de X en S. Las leyes de composición + y • en S dan lugar, según se vio oportunamente, a leyes de com ­posición en Aplc(X, S):

f + g : x - f (x) + g (x)f • g : x - f (x) • g (x)

que denominamos las leyes de composición puntual de f con g r e s ­pecto de + y • , respectivamente. Además, si 0 e A denota la aplicación constante

OJx) = 0, si x e X

se tiene que (A, + , 0} es un grupo conmutativo. P o r otra parte, (A, . ) es un semigrupo. Es fác il v e r i f ica r la distributividad de • r e s ­pecto de +, de manera que queda definido sobre A una estructura de anillo: el anillo de aplicaciones (o funciones) de X en S. Es unanillo conmutativo si S lo es y posee identidad si S lo posee. (Este ejemplo es de gran importancia en análisis y, en especial, en la situación siguiente: X = RH el espacio euclidiano n-dimensional yS = el cuerpo R de los números reales y donde las aplicaciones se restringen a las "aplicaciones continuas". )

6 . En el ejemplo 2 se ha demostrado cómo introducir una estruc­tura de anillo en un grupo conmutativo A. En general, se puede formular el siguiente problema: dado un grupo conmutativo A, ¿cuántas estructuras posibles de anillo se pueden definir sobre A que conserven la estructura de grupo conmutativo original? Por ejemplo, el lector puede probar, a manera de e jerc ic io , que la única estructura de anillo con identidad que puede defin irse so­bre (Z, + ,0 ) es la estructura ordinaria. Lo m ismo es cierto para los grupos cocientes Z / (m). Es interesante el siguiente resultado: la única estructura de anillo definible sobre el grupo cociente Q/z, es la triv ia l, o sea x -y = 0 cualesquiera que seanx,y e Q / Z . La demostración es muy sencilla. El análisis de un caso particular sugerirá al lector la demostración general. Supongamos pues de­finida sobre Q / Z una estructura de anillo. Entonces (por ejemplo):

86

[1/2] • [1/3] = [3 • 1/6] . [1/3]= [1/6] • [1/3] + [1/6] - [1/3] + [1/6] • [1/3]= [1/6] - ([1/3] + [1/3] + [1/3 ])= [ 1/ 6 ] - [ 1 ]= [ 1/ 6 ] -O= O

7. Sean

A = anillo n £ NIn = intervalo natural inicial = { k / k e N y l s k £ n } .

Formemos el producto cartesiano J = In X In. Anteriormente había­mos estudiado el semigrupo (Api (J, A), +) de aplicaciones de J en el grupo conmutativo (A, +, 0). Recordemos que si f, g e Api (J, A) entonces

C> (f + g) (x) = f ( x ) + g (x )En nuestro caso x e J es de la forma x = (i, j ) . Convendremos

en escrib irf (i, j ) = f,j si f e Api (J, A )

( ' ) se escribe entonces

(* + §)ij - *ij + §ij

Definimos ahora sobre Api (J, A ) un producto: (ft_g) -* f • g porn

y(f ■ g ) , j = L f lk • gfcj

k = l

= *11 ■ §1J + *18 ' §2J + * * • + *ln * §nj

Un cálculo sencillo nos muestra que (Api (J, A), . ) es un sem i­grupo y además que * distribuye respecto de +. O sea + y* definen sobre Apl(J , A ) una estructura de anillo. Es útil representar los elementos de Api (J, A ) mediante "cuadros" denominados matrices de n filas por n columnas

*11 *12

*21 *23

*n l fnS

•■■ln

*2n

La suma y el producto se expresan entonces, en el caso n = 2,

*11 *12

*21 *22

gil S is *11 + Bu *12 + Sl2+ —

Sai §23 *21 + g21 *22 §22

*11 *12 S i l §12 *11 * g i l + *12 ‘ §21 *11 ' §12 + *12 ‘ §22

*21 *22 §21 §22 *21 ' g i l "*■ *22 * gal *21 • §12 + *32 ‘ §22

El anillo asi obtenido se denomina anillo completo de m atrices con coefic ientes en A de n filas por n columnas (o, brevemente, el anillo de m atrices de n X n s o b re A ) . Se le denota por M,j (A ). Veamos algunas propiedades de Ma (A):

a) Si A posee elemento identidad 1 entonces Mn (A ) posee e le ­mento identidad. En efecto, la m atr iz

e =

1 0 . . 0

0 1 . . 0

. o

. o

1

o seaÍ1J " t i

sisi

es identidad de (A ).

b) Sea A un anillo con identidad. Entonces si 1 < n, Mj (A ) no es un anillo conmutativo. En efecto, veamos el caso n = 2

0 1 1 0 1 0 0

0 0 ' o 0 1 = 0 0

1 0 0 1 0 1

0 0■

0 0 0 0

c) Sea A un anillo con identidad. Entonces, si 1 < n, existen elementos x, y e M„ (A ) tales que

x- 0, y Q y x • y = 0

(E l ejemplo anterior demuestra ese hecho. )

Es interesante y también importante analizar el semigrupo m u l­tip licativo de M n (A), suponiendo a A un anillo con identidad. El grupo U (Mu (A ) ) de elementos in vers ib les de M „(A ) rec ibe entonces el nombre de grupo lineal general de grado n con coefic ientes en A y se le denota por GLn (A ). Los grupos más importantes de la geom etría son grupos de este tipo, A es generalmente un cuerpo. Pa ra las aplicaciones aritm éticas A es un anillo conmutativo. El in terés de estudiar M ^ A ) en el caso de un anillo conmutativo con identidad radica en la existencia de la T eo r ía de Determ inantes. Sin entrar a deta llar esta teor ía digamos brevem ente que’ en la m ism a se demuestra la existencia de una aplicación

Det : (A ) - A

entre cuyas propiedades está la de ser un m orfism o de las estruc­turas multip licativas, o sea

Det (f • g) = Det ( f ) ■ Det (g)D e t (e ) = 1

donde e denota el elemento identidad de M,, (A ).

87

En términos de la teor ía de determinantes es posible fo rm u lar e'1

siguiente c r ite r io de ca rac te r izac ión de G Ln (A), sea f s (A )

f e G Ln (A ) si, y sólo si, Det (f) e U (A )

En el caso particu lar de ser A un cuerpo, siendo U (A ) = A - {0 } , se tiene

f e GLn (A ) si, y sólo si, Det (f) ^ 0

{E l ser determinante un m or f ism o da una demostración de la parte "só lo s i " del c r i te r io . )

B. Subanillos e Ideales

En esta sección se estudiarán las subestructuras ca ra c te r ís ­ticas de un anillo.

Sea A un anillo y C un subconjunto de A.

Definición. D irem os que C es un subanillo de A si

s i ) C es subgrupo de (A, +, 0). s2) C es subsemigrupo de {A, . ).

E l lec to r puede v e r i f ica r , a manera de e je rc ic io , la va lidez d é la siguiente proposición.

Propos ic ión . Un subconjunto C de un anillo A es un subanillo si, y sólo si, satis face todas las propiedades siguientes:

1. C jé 0

2. x e C, y e C -* x - y e C3. x e C , y e C — x y e C

Ejemplos

1. P a ra todo anillo A, C = {0 } y C = A son subanillos de A.

2. Sea A un anillo tr iv ia l . Entonces todo subgrupo C de A es un subanillo.

3. Sea Z el anillo de enteros racionales. Entonces todo subgrupo de (Z, +, 0) es un subanillo. En efecto, si C es subgrupo de Z ex is ­te m e Z, tal que C = {m ) = la totalidad de múltiplos enteros de m. Como el producto de dos múltiplos de m es también un múltiplo de m se sigue que la condición 3 de la proposic ión se satisface y C es entonces un subanillo de Z. Note el lec to r la ve r if icac ión en Z de la siguiente propiedad más fuerte que la condición 3 .

3 ' . n e Z y r e C = > n . r e C

4. Sea X un conjunto y sea A = Aplc (X, S) = el anillo de ap licac io ­nes de X en un anillo S. Sea Y un subconjunto no vacio de X. Entonces

es un subanillo de A : e l subanillo de aplicaciones nulas sobre Y. En efecto, utilizando la proposición 3, sean f, g e Aplc (X, S).

1) O s C.

2) Si f, g e C e y e Y se tiene (f - g) (y) = f (y ) - g(y) = 0 - 0 = 0, P o r lo tanto f - g € C.

3) Si f, g e C e y e Y se tiene (f ■ g) (y) = f (y ) • g (y ) = 0 > 0 = 0 .

P o r lo tanto, C es subanillo de A . Nótese también aquí que en lugar de 3 se v e r i f ic a la condición más fuerte

3'. f £ A y g e C = > f * g e C

5. Sea p un número prim o. Sea Q el cuerpo de los números raciona­les. Sea C c Q definido por:

y e C si, y sólo si, existen r, s e Z tales que (p, s) = 1 e y = r/s

Notemos que 1 e C. El lec to r puede com probar fácilm ente la ve r if icac ión de 2 y 3 de la proposición. C es pues un subanillo de Q que se suele denotar por Z^pj y se le denomina loca lizac ión de Z en el p rim o p. Z^pj es de suma importancia en la T eo r ía A lgebra ica de Números.

6 . Un ejemplo finito. Sea A el anillo definido por las tablas

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 31 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

• 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 2 0 2

2 0 0 0 0

3 0 2 0 2

Entonces los subanillos de A son

C = {0 }, C = [0 ,2 } , C = A

Numerosas situaciones (como en los e jemplos 3 y 4) y el desa­r ro l lo poster io r de la teo r ía sugieren am pliar la defin ición de subanillo, cambiando la condición 3 en la proposición.

Definición. D irem os que un subconjunto C de un anillo A es

i. Un ideal a la izqu ierda de A si satis face 1 y 2 de la p ropos i­ción y además la condición

3'. x e A y c e C x • c e C

ii. Unidea l a la derecha de A si satis face 1 y 2 de la proposición y además la condición

i i i . Un ideal b ilátero de A, si es ideal a la izqu ierda y a la derecha de A.

P o r c ie r to que en el caso de un anillo conmutativo no es necesa­r io hacer distinción entre estos conceptos y se puede hablar s im ­plemente de idea les. Se suele también u til iza r la palabra ideal como sinónimo de ideal b ilátero. Antes de entrar en ejemplos se da el siguiente e je rc ic io .

E je r c ic io . Sea A un anillo con identidad. Sea J un ideal a la i z ­quierda (o a la derecha) de A. Entonces si J ^ A es

J n U ( A ) = 0

En particu lar si 1 e J se tiene J = A.

E jemplos

1. Pa ra todo anillo A, C = { 0 } y C = A son ideales b iláteros de A.

2. Sea A un anillo tr iv ia l . Entonces todo subgrupo de (A, + , 0 )es un ideal b ilá tero de A.

3. En el anillo Z de enteros racionales los siguientes conceptos coinciden: subgrupo de (Z, +, 0 ), subanillo, ideal b ilátero.

4. Sea A = Aplc (X, S) el anillo de aplicaciones de X en un anillo S. OQ Sea Y un subconjunto no vacio de X. Entonces el subanillo de ap li­

caciones nulas sobre Y es un ideal b ilá tero de A.

5. Sea Z ^ j la loca lizac ión de Z en el p r im o p, o sea la totalidad de números racionales que pueden expresarse por fracciones con de­nominador no d iv is ib le por p. Sea I c Z jpj la totalidad de dichas fracciones cuyo numerador es d iv is ib le por p. Entone es I es unideal b ilá tero de Z jpj. Es fác il ve r que U (Z/pj) = grupo de unidades de Z^pj = Z^pj - I = complemento de I en Atm- Como consecuencia se tiene que todo ideal J de tal que J / (?) eSt^ contenido en I, An illos con esta propiedad se denominan anillos locales por r a z o ­nes derivadas de la geom etría a lgebra ica .

6 . Sea A un anillo y sea a e A. Entonces la totalidad J de elementos de A que son "múltiplos a la izqu ierda de a" form an un ideal a la izqu ier - da de A. O sea, y e J si, y sólo si, ex iste z e A tal que y = z • a y la ve r i f ica c ión que J es ideal a la izqu ierda es inmediata. Se suele u til iza r la notación J = A • a para denotar este ideal.

7. Sea A un anillo y sea U un subconjunto no vacio . Sea J la tota­lidad de elementos z que satisfacen

z • u = 0 para todo u e U

Entonces J es un ideal a la izquierda de A y se le denomina el anula - dor a la izquierda de U . En particu lar } si U consta de un solo elemento a, se denomina J e l anulador a la izquierda. Por ejemplo, en Z

N. B. "Ideal b i lá te ro " se utiliza exclusivamente en la Argentina; en otros países se dice también "idea l b ila tera l" .

J = O si U / {0 }J = Z si U = £0}

8 . En un anillo de división A, J = {0 } y J = A sonlos únicos ideales a la izquierda de A. En efecto, sea J ^ 0 un ideal a la izquierda y Sea u e J con u 0. Entonces por ser A un anillo de división, u es invers ib le en A o sea existe u-1. P o r lo tanto, por la definición de ideal a la izquierda

1 - u- 1 • u e J

Pero, entonces, si a £ A

a = a • 1 s J o sea A c J, luego A = J.

Es e jerc ic io interesante el probar una afirmación recíproca de la anterior, o sea: si A es un anillo cuyos únicos ideales a la i z ­quierda son {0 } y A, entonces A es un anillo tr iv ia l o A esu n anillo de división (véase ejemplos 6 y 7 ),*

E je rc ic io . Sea A un anillo de división. Sean x, z e A. Probar que x • z = 0 si, y sólo si, x = 0 o z = 0 .

C. Morfismos de Anillos

Sean A y B anillos. Sea f : A -» B una aplicación de A en B.

Definición, Diremos que f es un m orfism o de las estructuras de anillo, o simplemente que es un morfismo, si

f : (A, + ) - (B ,+ ) f : (A, * ) -» (B, •)

son morfismos de los monoides correspondientes. Explícitamente dicho, si cualesquiera que sean x, y £ A

f (x + y) = f (x) + f (y) f (x • y) = f (x) • f (x)

y, además, si A y B poseen elementos identidad f (1) = 1.

Los conceptos de monomorfismo, m orfism o sobre, is om or f is ­mo, endomorfismo, automorfismo corresponden a las estructuras de monoide.Ejemplos0 . Sea A un anillo. Entone es la aplicación identidad idA es un au­tomorfismo de (la estructura de anillo de) A.

1. Sean A y B anillos y sea A u n anillo de división. Entonces, si f : A -* B es un morfismo, caben dos únicas posibilidades:

* Un célebre teorem a enunciado yprobadopor J. H. M. Wedderburn, en 1905, establece que todo anillo de división finito es conmutativo. Resulta, pues, infructuoso tratar de encontrar ejemplos de anillos de división no conmutativos finitos. El ejemplo más sencillo de anillo de división, no conmutativo, es el anillo de los cuaterniones descu­bierto hace más de 100 años por W. R. Hamilton (Referencia (7) ).

i . f es el m or f ism o tr iv ia l : f (x) = 0 cualquiera que sea x e A, oi i . f es un monom orfism o .

En efecto, si el caso i no ocurre, existe x e A tal que 0 y = f (x ). P a ra probar que f es un m onom orfism o es suficiente, según vimos antes, probar que Nu (f) = 0. Sea pues 0 ^ a e A . Siendo A un anillo de d iv is ión existe a- 1 0 A . Entonces

0 y = f (x) = f (x • a- 1 • a) = f (x • a-1 ) • f (a)

lo cual im p lica f ( a ) ^ 0. Hemos probado pues que a ^ 0 =* f (a) ^ 0. Equivalentemente, f ( a ) = 0 =* a = 0 o sea Nu ( f ) = 0.

2. Sea Z el anillo de enteros racionales. Sea f : Z -* Z un endo- m orf ism o ( de la estructura de anillo ). Puesto que f (1) = 1, se tiene que f(n) = n cualquiera que sea ne Z n s 0. Siendo f ( -m ) = - f (m), se tiene que f (m ) = m cualquiera que sea m e Z, o sea f = idz. Se deja al lec to r v e r i f ic a r que si A = Q el cuerpo de los números racionales vale también, y que id^ es el único endom orfism o (de la estructu­ra de anillo de) Q.

3. Sea R el cuerpo de los números rea les . S e a f : R -» R un endom or­fism o de (la estructura de anillo de) R. Entonces, puesto que f ( l ) = 1, se tiene (según 2) que f (m ) = m si m e Z y, más aún, utilizando la segunda parte de 2 ,

f (q) = q si q e QñSea x e R, 0 < x. Existe entonces y e R ta l que y = x. P o r

lo tantof (x) = f (y2) = f ( y ) • f (y) = f (y ) 3

de m anera que f { x ) £ 0. La situación f (x) = 0 debe exc lu irse en virtud de lo expuesto en el e jem plo 1. Se ha probado pues que

0 < x => 0 < f ( x )

Sea ahora 0 < x. Si f (x) ¿ x cabe entonces las dos posibilidades siguientes

i. 0 < f (x ) < xi i . 0 < x < f ( x )

En la situación i, sea q e Q ta l que f (x ) < q < x. Entonces 0< x - qde manera que

0 < f ( x - q) = f (x ) — f (q) = f ( x ) - q

lo cual im p lica

q < f ( x )

en contra de la e lecc ión de q. Esta situación no es pues posible.

En la situación i i , sea q e Q tal que x < q < f ( x ) . Entonces

O < q - x

O < f (q - x) = f (q) - f (x) = q - f (x)

lo cual implicaf ( x ) < q

que contradice la e lección de q. Esta situación tampoco es posible.

En definitiva, se ha probado que s ix e R satisface 0 x, enton­ces f (x) = x. Ahora como f (- x) = - f (x) se tiene el importante resultado : id* es el único endomorfismo de (la estructura de anillo de) R. (Notes e que en esta demostración se han utilizado propiedades finas de R, como son la existencia de raíces cuadradas de números positivos y la llamada "densidad" de Q en R, que afirma quedados dos números reales a y b, a < b existe s iempre un número racional q que satisface a < q < b. )

E je rc ic io . Sea A un anillo con id entidad y sean k, r enteros pos it i­vos . Probar que si k/r existe, entonces unmonomorfismo M ^A ) -» ^ ( A ) .

D. Relaciones de Equivalencia Compatibles

Analizaremos la compatibilidad de una relación de equivalencia ~ definida sobre un anillo A, con respecto a la estructura de anillo.

de manera que

Definición. Diremos que estructura de anillo de A ) si

es compatible a la izquierda (con la

a + u ~ a + v .3- • u a. * v

Diremos que anillo de A ) si

f ia e A y u ~ v => j

es compatible a la derecha (con la estructura de

re +V=> 1Lu •c e A u

c + v v • c

Diremos que ~ es compatible (con la estructura de anillo de A ) si es compatible a la izquierda y a la derecha.

Las características de las relaciones de equivalencia compa­tibles a la izquierda están dadas por el siguiente teorema. •

Teorem a. Sea A un anillo. Entonces

1) Si ~ es una relación de equivalencia compatible a la izquierda, el subconjunto I de A definido por

I = [a / a ~ 0 }

es un ideal a la izquierda de A que satisface

a ~ b o a - b e l

93

Recíprocamente

2) Si I es un ideal a la izqu ierda de A entonces la relación

( - ) a — b o a - b e l

es una re lación de equivalencia sobre A compatible a la izquierda.

Demostración

1. Restringida ~ a la estructura aditiva de A resulta, en virtud del teorem a análogo demostrado para grupos, queI es un subgrupo de (A, +, 0) y, además, que a ~ b es equivalente a a - b e I. Vamos a dem ostrar que I es ideal a la izquierda. Sea a e A y sea x e I, Enton­ces x ~ 0 y por lo tanto a • x ~ a • 0 , o sea a • x ~ 0 de manera que a ■ x e I.

2. Según el teorem a citado en la parte 1 de la demostración, { - ) es una re lación de equivalencia compatible con (A, + , 0). Vamos a dem ostrar que es compatible a la izqu ierda con respecto a (A, . ). Sea a ~ b y sea x e A . Entonces a - b e I y por lo tanto

x • a - x * b = x * (a - b) e Icon lo que

x • a ~ x • b

conforme queríamos probar.

En form a análoga al d esa rro l lo seguido para grupos se l lega al resultado importante que establece una b iyección entre la c lase de relaciones de equivalencia compatibles a la izqu ierda con la estruc­tura de anillo en A y la c lase de ideales a la izquierda de A. Idéntico resultado vale para las relaciones de equivalencia compatibles a la derecha e ideales a la derecha de A,

El resultado obtenido al estudiar las relaciones de equivalencia en grupos que caracter izaban a los subgrupos distinguidos tiene el siguiente análogo:

Teorem a. Sea una re lac ión de equivalencia definida sobre un anillo A . Entonces ~ es compatible con la estructura de anillo de A si, y sólo si, el ideal a la izqu ierda asociado a ~ es bilátero.

Demostración. S ea~ compatible. Entonces el ideal a la izquierda

I = {a / a ~ 0 }

asociado a ~ es b ilá tero . En efecto, si a e I entonces

a ~ 0

y por la compatibilidad a la derecha de ~ , se tiene que si x e A

a • x ~ 0 • x = 0

lo cual im plicaa • x 0 I

con lo que queda demostrada nuestra afirmación.

Recíprocamente, sea I = {a / a ~ 0} un ideal bilátero. En­tonces si a ~ b y x e A se tiene

a - b e l y (a - b) • x e I

por lo tantoa ■ x - b • x e I

que equivale aa • x ~ b • x

Puesto que por el teorema anterior ~ es compatible a la izquierda el teorema queda probado.

Ha quedado pues establecida una biyección entre la clase de r e ­laciones de equivalencia definidas sobre un anillo A y compatibles con la estructura de anillo y la clase de ideales biláteros de A.

Es posible ahora, de modo s im ilar a lo efectuado al estudiar grupos, plantearnos el problema de definir una estructura de ani­llo en el conjunto cociente A / ~ de un anillo A por una relación de equivalencia compatible que convierta a la aplicación canónica

§ ' A -» A / ~

en un m orfism o de anillo. Entonces:

Teorem a, Sea A un anillo y sea-- una relación de equivalencia definida sobre A y compatible (a la izquierda y a la derecha) con la e s ­tructura de anillo de A.

Sea A / ~ el conjunto cociente de A por ~ y seaQ: A -* A / ~ la aplicación canónica. Entonces

1) Existe una UNICA estructura de anillo sobre A / ~ que con­v ierte a § en un m orfism o de anillos.

2) Nu(Q) = el ideal b ilátero asociado a ~ .

Demostración

1. P o r los resultados correspondientes a grupo cociente sabemos que sobre A / ~ está definida una ley de composición de grupo con­mutativo

(A / , 0)

que convierte a § : A -* A / ~ en un m orfism o de grupos

( A , +, 0) - (A / , 0)

Queda entonces por definir una estructura de s emigrupo sobre A / ~ distributiva respecto de + . La definición es análoga. S e a S y T s A/~. Existen entonces s y t e G tales que

S = {x / x ~ s } = Q (s)T = (x / x - t] = 9 ( t )

96

Es fá c il v e r que el elemento

9 (s -t )

está unívocamente determinado por S y T, de manera que

(S, T ) - Q(s -t )Si s e S y t e T

define sobre A / ~ una le y de composición, que denotamos también por

(S, T ) - S • T

Se tiene además9(8 . t ) = s . T = 9(8) • 9 (t)

de m anera que 9 estab lece un m or f ism o de monoides

9 : (A, •) - (A / - , . )

Resta por v e r que + y • definen sobre A / ~ una estructura de an i­llo, lo cual es consecuencia de se r 9 unm orfism o sobre de las es truc­turas de grupo aditivo y monoide m ultip licativo . Vamos a dem ostrar, sin embargo, la va lidez de la ley distributiva de • respecto de + en A / ~ . Sean S, T, U e A / ~ . Sean s, t, u en A ta les que S = 9 (s), T = 9 (t) Y U = 9 (u)* Entonces

9 (t + u) = 9 (t) + g<u) = t + u9 (s • t) = S ■ T 9 (s . u) = S . u

y por lo tanto

S • (T + U) = 9 (s • (t + u ) ) = 9(s = 9 (s • t) + 9 (s • u)= S * T + S • U

t + s * u)

De igual modo probamos la ley distributiva a la derecha. La cues - tión sobre unicidad es análoga al caso de grupo cociente. Se dejan a cargo del lec to r los detalles pertinentes.

2. P o r lo v is to en la parte 2 del teo rem a correspondiente para grupos

Nu (9) = [x / x ~ 0]

y siendo ~ una re lac ión de equivalencia compatible, N (g ) es un idea l b ilátero . El teo rem a queda entonces demostrado.

Defin ición. Con la notación del teorem a anter ior A / ~ se d e ­nomina el anillo cociente de A por la re lac ión de equivalencia A l m or f ism o 9 : A -• A / ~ se le denomina m or f ism o canónico. SiI es el ideal b ilá tero asociado a escr ib im os también

A / ~ = A / I

Se deja a cargo del lec to r la demostración de la existencia de is o ­m orfism os

A / (0 } =■ A A / A ~ [0 ]

correspondientes a la s situaciones I = [0 } e I = A. {0 } denota el (único) anillo de un solo elemento.

Complementando el teorem a anterior se tiene e l siguiente.

Teorem a. Sea A un anillo y sea Iun subgrupo de (A, +, 0). En­tonces las siguientes condiciones son equivalentes entre sí:

1) I es ideal b ilátero de A.2) Existe un anillo B y un m orfism o f : A -* B tal que

Nu ( f ) = I

Demostración

1 . => 2. Es consecuencia del teorem a anterior. En efecto, basta tomar B = A / I y Q el m orfism o canónico.

2. =» 1 .1 = N u (f ) es un subgrupo de (A, +, 0). Seax e A y c e I. Entonces

f (x • c) = f (x) • f (c) = f (x) * 0 = 0

f (c -x ) = f (c) - f (x) = 0 • f (x) = 0

de manera quex • c e I y c • x e I

I es pues un ideal b ilá tero de A.

Ejemplo. Anillos cocientes del anillo de enteros racionales Z. Los ideales de Z coinciden con los subgrupos de ( Z, +, 0) de manera que las relaciones de equivalencia en Z compatibles con la estructura de anillo son las congruencias. Sea m e Z, 0 < m. Sea Z / (m) el grupo cociente de Z por el subgrupo (m) de múltiplos de m. Los elementos de Z / (m) están unívocamente determinados por los r e s ­tos de la división por m:

Z / (m) = [0 ,1 , . . . , (m - 1 )}

Además, el m orfism o canónico

9 : Z - Z / (m)está definido por

r 9 (k) = rI s i r es el resto de la d iv is ión de k por m.

De acuerdo con el teorem a relativo a anillos cocientes, la es ­tructura de anillo de Z / (m ) está dada por

Veamos algunos e jem plos numéricos

m = 2. La estructura de anillo de Z / (2) está dada por

+ 0 1

0 0 1

1 1 0—" *—

• 0 1

0 0 0

1 0 1“ —

m = 3. La estructura de anillo de Z / (3) está dada por

+ 0 1 2

0 0 1 21 1 2 0

_2 2 £ 1_

• lo I1-

|ISI

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

En el e jem plo siguiente se unen ambas tablas en una.

m = 6 . La estructura de anillo de Z / ( 6 ) está dada por

+ / • 0 2 3 4 _5

0 0 / 0 i / o 2 / 0 3 / 0 4 / 0 5 / 01 1 / 0 2 / 1 3 / 2 4 / 3 5 / 4 0 / 52 2 / 0 3 / 2 4 / 4 5 / 0 0 / 2 1 / 43 3 / 0 4 / 3 5 / 0 0 / 3 1 / 0 2 / 34 4 / 0 5 / 4 0 / 2 1 / 0 2 / 4 3 / 25 5 / 0 0 / 5 1 / 4 2 / 3 3 / 2 4 / 1

donde los num eradores corresponden a la estructura aditiva y los denominadores a la estructura m ultip licativa . P o r ejemplo, en la in tersecc ión de la f i la 3 con la columna 4 se lee_ l/0 . Esto s ign i­fica

2 + Í = I_3 • 4 = 0

Estudiemos algunas propiedades de estos anillos cocientes Z/ (m )0 < m.

i. Z / (m ) es un anillo conmutativo con identidad,i i . Z / (m ) es un cuerpo si, y so lo si, m es p r im o .

En efecto, sea Z / (m ) un cuerpo. Entonces si m no es p r im o po­demos e s c r ib ir m = r • s con m > r > l y m > s > 1. P o r lo tanto pasando a Z / (m ) se tiene

{dado que r = 0 equivale a s e r r d iv is ib le por m ). P o r lo tanto r es in ve rs ib le en Z / {m ). Entonces de ( ' ) resulta

.2. = £._ 1 ' ’ jO = JL

lo cual equivale a que s sea d iv is ib le por m. P e ro esto es im p o ­sib le dado que 1 < s < m . P o r lo tanto m es p r im o .

Recíprocam ente, sea m pr im o . P robem os que Z / (m ) es un cuerpo. Sea en efecto, £ e Z / (m ), con r ^ 0 o s e a r e Z s a t is ­face

0 < r < m

m pr im o im p lica entonces (m, r ) = 1. P o r propiedades e lem enta­les del m áxim o común d iv iso r ex isten t, h e Z ta les que

( " ) 1 = {m, r ) = t • m + h • r

Pasando ( " ) al anillo cociente resulta

1 = Ü + ÍL' * £ = íl ' • L

(donde con t 1 y h 1 hemos indicado los restos de la d iv is ión de t y h por m ). Sigue que r es in ve rs ib le . Ha quedado entonces com p le ­tamente probado i i .

E. Un T eo rem a de Isom or f ism o

En el capitulo an terior se consideró e l p rob lem a de la c a ra c ­te r iza c ión de los grupos G' que son imágenes de un grupo G por m or f ism os f : G -• G '. E l resultado fue que cada tal G 1 es i s o ­m orfo (y en fo rm a natural) al grupo cociente G / H de G por el subgrupo invariante H = Nu(f).

El prob lem a análogo form ulado para anillos da lugar al s igu ien­te teorem a.

Teo rem a . Sean A y B anillos y sea f : A -» B un m or f ism o s o ­bre. Sea

1 = N u (f )

Existe entonces un único is o m o r f ism o g : A / l -* B c o n la p r o - piedad de hacer conmutativo el d iagram a

100

D em ostrac ión . Según v im os en el teo rem a análogo para grupos ex is te un is o m o r f ism o

definido porg : ( A / l , + ,0 ) - ( B , + ,0 )

g (S ) = f ( s ) si g ( s ) = S

Se tra ta entonces de com probar que g p r e s e r v a tam b ién la es tru c ­tura m ultip lica tiva . Sean S, T e A / l y sean s , t e A ta les que Q (s ) = S y g (t) = T. Siendo asi, sabemos que g {s *t) = S • T en A / I. P o r lo tanto

g ( S - T ) = f ( s - t ) = f (s ) - f (t) = g (S) • g (T )

lo cual prueba nuestra a firm ac ión .

Ver if iquem os la unicidad de g. Sea h : A / l B un is o m o r f ism o con la propiedad h o Q = f. Entonces

h o g = g o g

y siendo g u n m or f ism o sobre se tiene la igualdad h = g. {En efecto, sea S e A / 1 y s e S con Q (s ) = S. Entonces h {S) = h (g (s ) )= ( h o Q ) ( s ) = (g o g) ( s) = g ( g { s ) ) = g ( S ) . )

C oro la r io . Sean A y B anillos y sea f : A -* B un m or f ism o . Entonces si I = N u (f ) ex is te un único m onom orfism o g : A / l -* B tal que g o g = f.

D em ostrac ión . E je r c ic io para el le c to r .

E jem plo . C a ra c te r ís t ica en un anillo con identidad. Sea A un an i­l lo con identidad 1. Sea f : Z -* A la ap licación definida por

f (m ) = m • 1 si m e Z

donde m • 1 s ign ifica

m • 1 = 1 + 1 + . . . + 1 (m veces ) si 0 < m m • 1 = 0 s i m - 0

m • 1 = - { ( - m ) - l ) = - ( 1 + 1 + . . + 1 ) s i m < 0 .- m veces

Nótese también, en el caso m < 0, la va lid ez de

m > l = ( - 1 ) + ( - 1 ) + •• + ( - 1 ) ( - m veces )= ( - m ) • (- 1 )

Vamos a p robar que f es un m or f ism o . Sean m, n e Z. Con­s id erem os las situaciones siguientes:

i. 0 < m, 0 < n. Entonces es c la ro que f (m + n) = f (m ) + f(n ).i i . m < 0, 0 < n. Entonces

= ( ( -m ) -n) • ( - 1 ) si n < | m | = va lo r ab­soluto de m

= (n - ( -m ) ) • 1 s i | m | < n = (m + n) • 1 en ambos casos.

P o r lo tanto f (m + n) = f (m ) + f (n)

i i i . 0 < m, n < 0. Es análoga a i i .iv . m < 0, n < '0 , Entonces

m • 1 + n • 1 = - ( (- m ) • 1 ) + - { ( - n) • 1 )= - ( { - m ) * 1 + (- n) • 1 )= - ( { - m - n) • 1 )= (m + n) • 1

o sea f (m + n) = f (m ) + f (n ) .

Los casos en que m = 0 o n = 0 son inmediatos. Se ha probado pues que f es un m or f ism o de las estructuras ad itivas. El lec to r deberá v e r i f ic a r que f (m * n) = f (m ) • f (n). Nótese, además, que f (1 ) = 1 .

f es pues un m or f ism o de las estructuras de anillo. Es im p o r ­tante observar que f es el único m o r f ism o de Z en A . En efecto, otro m or f ism o h : Z -* A debe sa t is fa ce r h { l ) = 1 y as íh (2 ) = h ( l ) + h { l ) = 1 + 1 = 2 - 1 , h ( - 2 ) = - h (2 ) = ( - 2 ) • 1 e t c . , h (m ) = m • 1 cual­qu iera que sea m e Z, de m anera que h = f.

Sea entonces m e Z, 0 ^ m tal que Nu (f) = (m ). Sigue, en virtud del co ro la r io , la ex istencia de un m onom orfism o g: Z/ (m ) -* A tal que e l d iagram a

Z& 4

Z / (m ) - A g

es conmutativo. La unicidad de f, demostrada arriba, y la unicidad de g, dada por el c o ro la r io , perm iten asoc ia r unívocamente

A -* m

al anillo A el entero no negativo m. Se denomina m la c a ra c te r ís ­tica de A . Veamos la propiedad fundamental de m. Sea k un entero tal que k • 1 = 0 en A . Entonces

e l ) Si m = 0 es k = 0 c2) Si m ^ 0 m d iv ide a k.

En efecto, en la situación e l ) m = 0 equivale a 0 = (m ) = Nu (f) por lo tanto

k ^ 0 => f ( k ) ¿ 0

de m anera quek • 1 = O k = 0 .

En la situación c2),

O = k *1 = f ( k ) » k e Nu ( f )« k e (m )» m d ivide a k

Otras propiedades

- Sea A un anillo (con identidad) de ca ra c te r ís t ica m ^ 0. En­tonces cualquiera que sea a e A es m* a = ^a.+ a + . . +^a = 0. En efecto, m veces

m ■ a = a + a + . . . + a= 1 • a + 1 ■ a + 1 • a = (m • 1 ) • a = 0 • a = 0

- Un cuerpo posee ca ra c te r ís t ic a m = 0 o m = pr im o. Sea A un cuerpo de ca ra c te r ís t ic a m 0. Sea m = s • t, 1 ^ s ¿ m,1 £ t s m. Ahora en Z / (m ) se tiene

s • t = m = 0

102 por lo tantog <£) • g (t) = 0 en A

y siendo A un cuerpo debe se r

g ( s ) = 0 o g ( t ) = 0

y siendo g un m onom orfism o debe se r

s = 0 o t = 0

o seas múltip lo de m o t múltip lo de m

pero l í s ^ m y l s t ¿ m . Se sigue que

__________________________________________ s = m o t = m_____________________________

por lo tanto m es p r im o .

E je r c ic io . Sean A y B anillos con identidad. Sea C = A © B la suma d irecta de los grupos aditivos correspondientes .

1. V e r i f ic a r que la le y de com posic ión

(a, b) • ( a ' , b ' ) = (a • a', b -b 1)

define sobre (C, + , 0) una estructura de anillo con identidad.

2. A n a liza r la ca ra c te r ís t ica de C en térm inos de las ca rac te r ís t icas de A y B.

a) Z / (2 ) © Z / (2) e) Z ® Z / (3 )b) Z / {2 ) 0 Z / (3 ) f ) Z © Zc) Z / (2 ) ® Z / (4 ) g) Z © Qd) Z / ( 4 ) © Z / ( 6 ) h) Z / (3 ) © Z / (5 )

E je rc ic io . Sea p un número prim o.

1 . P roba r que en todo anillo conmutativo A, conidentidad de ca ­rac ter ís t ica p, la aplicación a -* ap es un endomorfismo. (Sugeren­cia: u tilice la fórm ula del binomio y la re lac ión aritm ética: (£ ) s 0

(mod p ) s i O < k < p. )

2. P robar el T eo rem a de Ferm at

m p' í = 1 (mod p) si (m, p) = 1

(Sugerencia: aplique el e je r c ic io 1 a la situación A = Z/(p). )

3. Determ inar la ca rac te r ís t ica de los siguientes anillos:

F . An illos Conmutativos. An illos de Po linom ios

Es interesante destacar una c lase de anillos por su im ­portancia en las aplicaciones, especia lmente en la geom etría a lgebra ica moderna y en la teo r ía a lgebraica de números. Nos re fe r im os a los anillos conmutativos o sea aquéllos en los que el producto es conmutativo. Una rama del á lgebra los estudia s is ­temáticamente, a saber, el á lgebra conmutativa.

Entre los anillos conmutativos, los más importantes son sin lugar a duda los anillos de polinomios y es nuestra intención hacer aquí- un b reve estudio. En los cursos elementales de á lgebra los polinomios se introducen como: "expres iones form ales

anXn + an_ jXn - 1 + . . . + a xX + a0

donde los coefic ientes a^ alt . . , an son números y donde X es una cantidad indeterm inada". En estos cursos se estudian las opera ­ciones de suma, producto de polinomios y se d esa rro lla toda una a r itm ética (d iv isib ilidad, máximo común d iv isor , a lgoritm o de d i­visión, etc. ). En cursos poster io res se hace necesario analizar más detenidamente el papel de la "X " . Un método expuesto c o r r ie n ­temente en los libros de á lgebra introduce los polinomios con coefic ientes en un anillo A como sucesiones

(ao, ai e A

donde todos los at, excepto un número finito, son iguales a 0. La idea subyacente en este método es " s u m e rg ir " el an illo A en un anillo (l lam ém oslo B) que contiene un elemento que hará el papel de la X. Los polinomios no son entonces otra cosa que elementos de B y la

103

104

suma y producto de los m ism os corresponden a la suma y producto del anillo B.

Vamos a fo rm a liza r este punto de vista. Sean A y B anillos conmutativos y sea A subanillo de B. Sea b e B, L lam arem os ex­pres ión polinóm ica en b (con coefic ien tes en A ) a todo elemento, de B, de la form a

(P) a, • bn + a„- ,1-1n-l + ax • b + aQ

donde los a^ . . , an son elementos de A que llam arem os coefic ientes de la expresión polinóm ica en b. P o r ejemplo, s i A = Z y B = Q y b e Q, las siguientes ser ian expresiones polinóm icas en b:

a) 2 b - 1 d) - b 8 + 3b3 - 2 + bb) b - 2

c) b3

e) 0

f ) 5

En efecto, veamos como a), . . , f ) se expresan en la fo rm a (P ):

a) 2 -b + ( - 1 )b) 1 - b2 + 0 .b + ( - 2 ) c) 1 ■ b3 + 0 • bs + 0 • b

d) 3- b3 + { - 1 )b2 + b + ( - 2 )e) 0 o también 0 • b + 0 o también

0 • b2 + 0 • b + 0 , etc.f ) 5 o también 0 • b + 5, . . •

------ Supongamos además que A y B p oseen un m ism o e l emento iden­tidad. Si form am os ahora el conjunto, denotado por A [b ] , de todas las expresiones polinóm icas en b con coefic ientes en A es fá c i l v e r i f ic a r que A [ b ] es un subanillo de B y además que la suma y producto de expresiones polinóm icas en b coinciden con la suma yproductode "polinom ios en b " que s e han aprendido en cursos e le ­mentales. Hay, sin embargo, un detalle relacionado con una propiedad fundamental de polinom ios que no hemos mencionado an­ter iorm ente:

(0 ) { VI s i ,X“ + a ^ X *1' 1 + . . . + axX + a0 = 0y sólo, si an =

Esta propiedad es equivalente al siguiente c r i t e r io de igualdad de polinom ios. Sean

f = anXn + an_1Xn_1 + . . . + axX + a0, an ji 0

g = bBX a + b ^ X » ' 1 + . . . + b jX + b0, bB ¿ 0

entonces

f = g si, y sólo si, n = m y a j = bj cualquiera que sea j , 0 s j

La propiedad (0) es responsable del ca rác te r " fo rm a l" de los polinomios, o sea que los polinom ios en X sean " lo m ism o " que los polinomios en Y.

Volviendo a nuestro esquema de definición tendremos que ga­rantizar la ver if icac ión de una propiedad del tipo (0). P o r ejemplo, en Z c Q; si tomamos b = l/2 se tiene

2 b - 1 = 0

contrario a {0). P o r lo tanto, la teoría de polinomios hecha conb = l/2, no ser ia la adecuada a nuestros fines. Es fác il concluir que ningún número racional s e rv ir ía p a ra ese fin. Sin embargo, si "sum ergim os ' Z en R, se sabe, aunque es d if íc i l de probar, que existen e lem en­tos t llamados trascendentes, para los cuales

f antn + a ^ t 11" 1 + . . . + ajt + aD = 0

[ si, y sólo si, an = . . . = a0 = 0

(P o r ejemplo tt y e son trascendentes. ) Entonces una teoría de polinomios con coeficientes en Z podría d esa rro lla rse sin ambi­güedades considerando las expresiones polinómicas en un número trascendente t de R con coefic ientes en Z. Dichas expresiones p o l i­nómicas, que en realidad podríamos llam ar directamente polino­mios en t, no serían otra cosa que números reales y las operaciones entre los m ismos más que las operaciones entre números rea les P o r lo tanto, una teor ía de polinomios con coeficientes enteros es perfectamente admisible.

Pa ra nuestro tratamiento general necesitamos garantizar la existencia de elementos trascendentes, que llam arem os también indeterminadas de acuerdo con la term inología actualmente en uso. Esto lo haremos valiéndonos de la siguiente hipótesis.

Hipótesis. Para todo anillo conmutativo A con identidad existen un anillo conmutativo B con la m isma identidad de A y un elemento X e B, tales que

- A es subanillo de B.- X es trascendente sobre A, en el sentido de (0).

En las condiciones de la hipótesis, consideramos la totalidad de expresiones polinómicas en X con coefic ientes en A, conjunto que denotamos por A [ X ] , Las leyes de composición en B definen sobre A [X ] una estructura de anillo. A [ X ] con esta estructura se denomina el anillo de polinomios en X con coeficientes en A. Exp lí­citamente las leyes de composición en A [ X ] son:

Sean p (X ) = an . X" + aa_1. Xa -1 + . . . + ax . X + a0

q (X) = a¿ • Xn + a¿„x . X o" 1 + . . . + a[ . X + a¿

(Sin pérdida de generalidad puede suponerse n = m, dado que si, por ejemplo, n < m, podemos escr ib ir

sn . X m + . . . + s t • X 1 + . . . + s0

donde s* = a* + aj, i = o, . . . , m

rn+B .X °+B + . . . + r, - X 1 4- . . . + r 0

donde r t = a t * a¿ + aj_x • a{ + . .

+ ■ aj_^ + a0 • a{

i = o, . ., m + n

En esta fo rm a la introducción del anillo de polinom ios A [ X ] se efectúa s in ambigüedaddes. La dificultad radica en adm itir la e x is ­tencia de anillos B y e lementos X como se ha hecho en la h ipótesis. Sin embargo, no es d i f íc i l de probar la ex istencia de indeterminadas sobre un anillo conmutativo y en la m ayor ía de tratados sobre á lg e ­bra, donde se hace un tratam iento r igu roso de la teo r ía de polinomios, pueden obtenerse los detalles pertinentes. (Véase, por ejemplo, la re fe ren c ia b ib liográ fica (7). )

De ahora en adelante al hablar de polinom ios en X con c o e f i ­cientes en un anillo A nos r e fe r ir e m o s al conjunto A [ X ] con las leyes de com posic ión usuales y om it irem os toda mención del anillo B. Un elemento importante en esta teo r ía que juega el papel del v a ­lo r absoluto en el caso del anillo Z es el grado de un po linom io .

Defin ición. Sea p (X ) = anX“ + . . . + a TX + a0 . D irem os que p (X ) tiene grado m

g r ( p ( X ) ) = m

r a» ¿ ol m < i =» aj = 0

Si p (X ) posee grado m, se l lam a coe fic ien te d irec to r de p (X) al elemento aB. Si aB = 1 se dice que p (X ) es unpolinomio mónico.

Se sigue de la defin ic ión que el grado de unpolinomio es un entero pos it ivo o nulo y que todo polinom io que tiene grado d if ie re del po lino­m io nulo. A e s t e último no se le asigna ningún grado. Las propiedades del grado son las siguientes:

1. 0 s g r ( p ( X ) )2. gr (p (X ) ) = 0 » P (X ) e A3. gr (p (X ) + q (X ) ) £ m áxim o {gr (p (X ) ), g r ( q ( X ) ) }

si p (X ) + q (x) 04. gr (p (X ) • q (X ) ) * g r (p (X ) ) + g r (q (X ) ), si p (X ) . q (X ) ¿ 0.

donde p (X ) y q (X ) denotan polinom ios no nulos.

Es muy importante la siguiente variante de 4.

Entonces

P (X) + q (X) =

p (X ) . q(X> =

Proposic ión . En 4 va le la igualdad si, y solo si, an • a¿ ^ 0, donde n = gr (p (X ) ) y m = gr (q (X ) ). (an y a¿ son los coefic ientes d irec tores de p (X ) y q (X ), respectivam ente. )

Demostración, La dem ostración es consecuencia del análisis de los coefic ientes del polinomio producto.

C oro la r io (Importante). Si A es un cuerpo, entonces en A [X ] :

p (X ) • q (X) = 0 o p (X ) = 0 o q (X ) = 0

Demostración. <= es tr iv ia l . Recíprocam ente, si fuera p(X ) 0 y q (X ) ^ 0, entonces en virtud d é la proposic ión anterior aplicable a nuestra situación por ser A un cuerpo:

gr (p (X ) * q (X ) ) = gr (p ( X ) ) + g r ( q ( X ) ) * 0

por lo tanto p (X ) • q (X ) ^ 0.

Mencionemos finalmente la existencia de a lgor itm o de d iv is ión en el anillo de polinomios con coefic ien tes en un cuerpo.

Teorem a . Sea K un cuerpo y sea K [ X ] el anillo de polinomios con coefic ientes en el cuerpo K. Sea p (X ) e K [X ] , p (X ) ¿ 0. Si q (X ) e K [X ] existen t (X), r (X ) e K [ X ] tales que

a) q (X ) = t (X ) • p (X ) + r (X )b) r (X ) = 0 o gr (r (X ) ) < gr (p ( X ) )________________________________________

t (X ) y r (X ) están unívocamente determinados por a) y b).

La demostración es enteramente análoga al caso de existencia de a lgoritm o de d ivis ión en Z.

Es importante notar que la hipótesis que K sea un cuerpo es esencial; por ejemplo, en el anillo Z [X ] de polinomios con c o e f i ­cientes enteros no existe a lgoritm o de división. En efecto, si p (X)= 2X y q (X) = X no existen t (X), r (X ) en Z [ X ] tales que

X = t (X ) -2X + r (X )

(si a es el coefic iente d irec to r de t (X ) tendría que sa tis facerse1 = a • 2, lo cual es im posib le, . . en Z. . . ).

E jem plo

Sea A = Z / (4 ) y sean p (X) = 2 • X + 2 = q (X ) . Entonces

P (X) + q (X ) = 0P (X ) • q (X ) = 0

Sean p (X ) = 2_ • X3 + X + 1_, q (X ) = Z_ • X2 + 1_. Entonces

p (X ) + q (X ) = X + 2 p (X ) . q (X ) = 2 • X3 + X + 1_

Ejemplo: An illo de enteros de Gauss. Sean A = Z y B = C. Sea

b = i e C

(i3 = - 1). El anillo Z [ i ] de expresiones polinómicas en i, c o n co e ­fic ientes en Z, se denomina el anillo de enteros de Gauss. Puesto que las potencias de i satisfacen

i 2 = - 1 , i 3 = - i , i 4 = 1 , . .

los elementos de Z [ i ] , poseen la fo rm a

m + n • i, m, n e Z

Sea ahora Z [ X ] el anillo de polinomios en X con coefic ientes en Z. La aplicación (llamada espec ia lizac ión de X por i)

p (X) = anXn + . . + a xX + aQ - p (i) = ani" + . . + ax + a0

define un m or f ism o sobreZ [ X ] - Z [ i ]

cuyo núcleo es el ideal I = (X 3 + 1) de múltiplos (en Z [ X ] ) del p o ­linom io X3 + 1 . En efecto, es c la ro que

(X 3 + 1) c I

108 Recíprocam ente, sea p (X ) e I y sea

(U) P (X ) = (X 2 + 1) - r ( X ) + s (X ) r (X ) y s (X ) e Z [X ] s (X) = 0 o gr (s (X ) ) < 2

(Dejamos a cargo del lec to r la justif icac ión del paso anterior. )

Especia lizando X por i resulta

0 - p ( i ) = 0 + s (i)

lo cual d ice que i es ra íz de s (X ). De la teor ía elemental de ecua­ciones sigue que - i = conjugado de i, es también ra íz de p (X). P o rlo tanto, s (X ) es d iv is ib le por

(X - i ) • (X + i ) = Xs + 1

Esto im plica, luego de (U) que p (X) e (X 3 + 1), o sea I c (X 2 + 1). En definitiva, I = (X 2 + 1 ). P o r lo tanto, el isom or f ism o

Z [ i ] - Z [ X ] / ( X a + 1 )

G. Dominios de Integridad. Cuerpo de Cocientes

Definición. Un anillo conmutativo A se denomina un dominio de integridad si x ■ y = 0 en A y si, y sólo si, x = 0 o y = 0.

Estos anillos son muy importantes en aritm ética, heurísticam en­te podríamos a f irm ar que son la genera lizac ión natural del anillo Z de los enteros racionales.

Ejemplos

1. Z.2. Todo cuerpo es un dominio de integridad.3. Si A es un dominio de integridad, entonces A [ X ] es un dominio de integridad. P o r lo tanto, Z [ X ] , Q [ Z ] , R [ Z ] , C [X ] son dominios de integridad.

Otros ejemplos pueden obtenerse a part ir del siguiente t e o r e ­ma que dá una condición necesaria y suficiente para que el anillo cociente A / l de un anillo conmutativo sea un dominio de integridad.

Teorem a. Sea A un anillo y sea I un idea lde A. Entonces las dos condiciones siguientes sobre I son equivalentes entre sí.

p l ) A / I es un dominio de integridad. p 2 ) u , v e A y u * v e I = > u e I o v e I

Demostración, p l ) => p2). Sean u, v e A con u • v c I. Si Q : A -» A / l denota el m orfism o canónico, entonces

u • v e i « o = g (u • v) = g (u) - 9 (v )o 9 (u) = 0 o g (v ) = 0 (por pl )» u e l o v e I

p2) => p l ). SeanS, T e A / l y sean s, t e A tales que 9 (s) = S y9 (t) = T . Entonces

s • t = o « o = g (s) • g (t) = g (s -t)« s • t e I« s e l o t e l {por p2 ) )« 9 (s ) = 0 o 9 (t) = 0

« S = 0 o T = 0.

El teorem a queda demostrado.

Definición. Un ideal I de un anillo conmutativo A que satisface las condiciones del teorem a y es además distinto de A se denom i­na ideal prim o.

E jemplo, En el anillo Z de enteros racionales los ideales primosI son exactamente estos:

(P ) I = (0) e I = (p), p prim o

Que los ideales (P ) son prim os sigue en efecto de

y del teo rem a anterior. Reciprocam ente, sea I = (m ) un ideal pr im o. Si m = 0 no hay nada que probar. Si m ^ 0 y es m = r. • s, 0 < r, 0 < s, entonces m e I im p lica r e I o s e I. Sea r e í , en­tonces I = (m ) im p lica r = k • m, k e Z. P o r lo tanto

m - r • s = k • m • s

y siendo 0 ^ m es i = k • s y la única posibilidad de s es s = 1. P o rlo tanto, la única fac to r izac ión de m es 1 • m, m es entone es prim o.

E jem plo. Sea R el cuerpo de los números rea les y sea A = R [X ] el anillo de polinom ios en X con coefic ien tes rea les . Sea I c: A d e ­finido por

I = (X 2 4- 1 ) = (X 2 + 1) . R [ X ]

o sea I es la totalidad de múltiplos, en A, del polinomio X2 + 1.

A f irm a c ió n . I es ideal p r im o de A . Es de inmediata v e r i f i c a ­ción que I es ideal de A . Sean t (X), v (X ) e A tales que t(X ) • v (X ) e I. Existe entonces r (X ) e A tal que

(I) t ( X ) • v ( X ) = (X2 + 1) • r (X)

Ahora, en virtud del a lgoritm o de d iv is ión en R [X ] , podemos es ­c r ib ir

1 1 0 (H) t ( X ) = (X2 + 1) . h (X ) + s (X )v (X) = (X a + 1) . g (X) + w (X)

donde s (X ) y w (X ) satis facen

s (X) = 0 o gr (s (X ) ) < 2 w (X ) = 0 o gr (w (X ) ) < 2

Si fuera s (X ) = 0 entonces t { X ) s e r ia múltiplo de Xs + 1, o sea t (X ) e I y no habría nada que probar. Análogamente, si w ( X ) = 0. P o r lo tanto, supongamos que s (X ) y w (X ) poseen grado m enor que2. Se sigue que

(HI) gr (s (X ) . w ( X ) ) £ 2

Efectuando el producto t ( X ) * v ( X ) según (II) y comparando con(I) resulta

s (X ) • w (X ) e I o sea s (X ) • w (X ) = (X 2 + 1) • j (X )

Sin embargo, por razones de grado (véase (III) ) debe ser

gr (j (X ) ) = 0 o sea j (X ) = q e R

Sin pérdida de generalidad podemos suponer j (X ) = q = 1. En defin itiva se tiene

(IV ) s (X ) • w ( X ) = X 2 + 1

y siendo ahora gr (s (X) ) £ 1 y gr (w (X) ) í 1 se tiene

gr (s ( X ) ) = 1 o sea fe (X) = aX + b, a ^ 0 gr (w(X) ) = 1 o s e a w (X) = cX + d, c ^ 0

Escribiendo (IV)

resulta(aX + b) . (cX + d) = X2 + 1

ac = bd = 1 y ad + be = 0

por lo tanto

a3 + b® = a3 (bd) + b2 (ac) = ab (ad + be) = 0

una contradicción, ya que a ^ 0 . Ha quedado confirmada nuestra a f i r ­mación que I es ideal primo de A,

De acuerdo con el teorema que se acaba de probar se tiene que A / 1 es un dominio de integridad. Vamos a caracter izar lo . Sea p(X) e A. Entonces, en virtud del algoritmo de división de polinomios existen únicos polinomios s(X ) y r (X ) tales que

dondep (X ) = (X2 + 1) . s (X) + r (X) r ( X ) = 0 o g r ( r ( X ) ) £ 1

La condición r (X) = 0 o gr (r ( X ) ) -á 1 puede expresarse también diciendo que r (X) es un polinomio de la forma

r ( X ) = bX + a

<Hp (X ) ) = Q {q ( X ) ) = g (bx + a)o sea

9 (p (X) ) está unívocamente determinado por el par ordenado (a, b) de coeficientes del polinomio bX + a, resto de la división de p (X) por X2 + 1,

De acuerdo con lo precedente, los elementos de A/l los deno­taremos por pares (a, b).

Es interesante considerar ahora cómo se opera en A / I de acuerdo con estos pares. Sean pues (a, b), (c, d) e A / l . Entonces

9 (a + bX) = (a, b) y g (c + dX) = (c, d)

P o r lo tanto

(a, b) + (c, d) = g (a + bX) + 9 (c + dX) = g ( (a + c) + (b + d)X) = (a + c, b + d)

111donde a, b son números reales determinados por p (X).

Nótese además que si

q (X) = (Xa + 1)- s ’ (X) + (bX + a)

entonces p ( X ) - q ( X ) e I, de manera que si 9-: A -* A / l denota el m orfism o canónico se tiene

La estructura obtenida a s í en A / l no es otra cosa que el anillo (o m e jo r dicho, el cuerpo) C de los números complejos.

Las propiedades fundamentales de los dominios de integridad están ligadas a propiedades bien conocidas del anillo Z de enteros racionales. Una p r im era propiedad es la posibilidad de "su m erg ir " un dominio de integridad A en un cuerpo cuyos elementos son " c o ­c ien tes" de elementos de A . Esto corresponde a la construcción del cuerpo Q de fracciones de elementos enZ . Una segunda p rop ie ­dad es la teor ía general de la divisibilidad, existencia de a lgoritmos de división, etc. La p r im era propiedad se resume en un teorem a que vamos a enunciar a continuación. La segunda es mucho más compleja y da lugar al estudio de estructuras particu lares, como son los dominios de factor izac ión única, los dominios euclidianos, los dominios de ideales principales. *

T eo rem a de Inm ers iónde un Dominio de Integridad en un Cuerpo de Cocientes. Sea A un dominio de integridad.

1) Existe un cuerpo D y un m onom orfism o

9 : A - D

tal que para todo d e D existen r, s 0 A que satisfacen

s ¿ 0 y d = g ( r ) • 9 ( s ) " 1

2) Si D* es un cuerpo y g * : A -» D * con las m ismas p rop ie ­dades que e n l ) . Existe un isom or f ism o

9 . : D -* D*

tal que el d iagramaA

D -t D'V

es conmutativo.

Dem ostración

1. La demostración se hace repitiendo el esquema de construcción de los números racionales a part ir de los números enteros. Los detalles se dejan a cargo del lec to r .

* Véase, por ejemplo, Zariski-Sam uel, Commutative A lgebra, Vol. 1, pags. 21-24, 242-247 (1958).

2. Sean D, D*, g, g* como en 1) y 2). Sea x e D. Existen entonces r, s e A, s / 0 tales que g (r ) • g ( s ) - 1 = x. Si además tuviéramos x = g { r ' ) • g ( s 1) "1, r ' , s' e A, s 1 / 0 se tendría

o seag (r ) • g (s ) - 1 = g ( r ' ) • g ( s ' T 1

g ( r ) ■ g { s ') = g { r ' ) • g (s).g (r • s ') = g ( r 1 • s)

y siendo g un m onom orfism o, se tendrá

Por lo tanto

g ^ r j - g * ^ 1) = g* (r • s 1) = g * ( r ' * s ) = g * ( r ' ) * g * ( s )

de m anera queg * { r ) - = g * ( r ' ) ■ q * { s ' f 1

lo cual demuestra quex - g * (r ) • g * ( s )“ 1

si x = g ( r ) . g (s) 1

define una aplicación4 : D -* D*

que satisface, si a e A y b / 0 en A,

(4 o 9) (a) = Ú<9 (a ) ) = g (g (a • b) • g (b)_1)= g * ( a • b) « g * ( b ) 1 = g * (a) • g * (b) *g*(b) 1

= 9 * (a)de manera que

g o g = g*

que demuestra la conmutatividad del d iagram a anterior.

Falta por dem ostrar que g es unm orfism o de anillos y, además, que es un isom or f ism o . Se encomienda al le c to r su ver if icac ión .

Definición. Un cuerpo D con las propiedades dadas en el teo ­rem a se denomina un cuerpo de cocientes de A . Si D es un cuerpo de cocientes de A se suele iden tif icar A con un subanillo de D por medio del m onom orfism o g. Los elementos de D se escr iben en­tonces r . s-1 , r, s 0 A, s ^ 0 o también por medio de fracc iones r / s.

La segunda parte del teo rem a demuestra que todos los cuerpos de cocientes de un dominio de in tegridad son isom or fos entre sí, siendo el isom or f ism o "natural" en e lsen t id o que ex iste un d ia g ra ­ma conmutativo, como el señalado en e lte o rem a . Este isom or f ism o de los d iferentes cuerpos de cocientes se expresa técnicamente diciendo que todo dominio de integridad posee esencialmente un cuerpo de cocientes o también que un dominio de integridad posee un único cuerpo de cocientes, salvo un isom or f ism o . Se habla

113

entonces del cuerpo de cocientes del dominio en cuestión. Note el le c to r que si en particu lar A es un cuerpo, entonces A es su propio cuerpo de cocientes.

E je rc ic io s

1. Sea K un cuerpo y sea A un subanillo de K, con identidad.

i. P rob a r que la identidad de A coincide con la identidad de K.i i . P rob a r que A es un dominio de integridad.

i i i . P rob a r que K es cuerpo de cocientes de A si, y sólo sí, se sa tis face la condición siguiente: Pa ra todo k e K existe a e A, 0 a tal que k • a s A,

2. ' ¿Es R cuerpo de cocientes de Z?

3. Sea A = Z [ i ] el an illo de enteros de Gauss. P rob a r que el sub­anillo D = Q [ i ] de C de expresiones polinóm icas en i ( i2 = - 1) con coe fic ien tes racionales es cuerpo de cocientes de A.

4. Sea A = Z [ / 2 ] el subanillo de R de expresiones polinómicas en/2 con coefic ien tes enteros. P ro b a r que el subanillo D= Q [/ 2 ] de R de expresiones polinóm icas en /"2 con coefic ien tes racionales es cuerpo de cocientes de A.

5. Sea K un cuerpo y sea K [ X ] el an illo de polinom ios con c o e f i ­cientes en K. D esc r ib ir un cuerpo de cocientes de K [ X ] ,

BIBLIOGRAFIA

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Nota. - Con respecto a las re fe ren c ia s b ib liográ ficas re la t ivas a cada capítulo de esta m onogra fía , véase para:

Introducción - re fe ren c ia 8.Capítulo I - re fe ren c ia s 2, 4, 6 y 3 (profundizan el tema

de sem igrupo y sus ap licac iones ).Capítulo II - re fe ren c ia s 1, 2, 5, 6, 7, 8 y 9.Capítulo III - re fe ren c ias 1, 2, 5, 6, 7 y 10.

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Darío Moreno.

Serie de química

Mecanismos de Reacciones, por Jorge Brieux,Elementos Encadenados, por Jacobo Gómez Lara. Macromoléculas, por Alejandro Paladini y M. Burachik. Bioenergética, por Isaias Raw y Walter Colli.Enseñanza de la Química Experimental, por Francisco Giral Complejos, por Manuel Madrazo Garamendi.

Serie de biología

Cómo Enseñar Biología, por Oswaldo F rota-Pessoa .La Célula, por Renato Basile,M icroorganismos, por J. M. Gutiérrez-Vázquez.La Taxonomía y la Revolución en las Ciencias Biológicas,

por Elias R. de la Sota.

Serie de física