UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTADEPARTAMENTODEMATMATICAALGEBRAINEUZAKAKUTASAOJOSEDORIOPRETO-2005Conte udoCaptulo1. Conjuntos 1Operac oesentreconjuntos 1Captulo2. AAritmeticadosInteiros 51. PrincpiodaBoaOrdemeInduc aoFinita 52. Divisibilidade 63. Equac aoDiofantinaLinear 94. Congruencias 11Captulo3. RelacoesdeEquivalenciaedeOrdem 131. Relac aodeEquivalencia 142. Relac aodeOrdem 15Captulo4. Operacoes 19TabuadeumaOperacaosobreumConjuntoFinito 21Captulo5. Grupos 231. HomomorsmodeGrupos 252. GruposCclicos 293. GrupoGeradoporumConjunto 314. ClassesLateraiseTeoremadeLagrange 325. SubgruposNormais 346. GrupodasPermutacoes 35Captulo6. AneiseCorpos 391. DomnioseCorpodeFracoes 402. IdeaisdeumAnelComutativo 423. HomomorsmosdeAneis 434. AneisQuocienteseTeoremadeIsomorsmo 445. DomniosPrincipais 46iii CONTEUDO6. AneldePolin omiossobreumCorpo 477. RazesdeumPolinomio 488. Polin omiosIrredutveis 48Apendice1 53Induc aoFinita 53TeoremaFundamentaldaAritmetica 53Apendice2 55Func aodeEuler 55Apendice3 57Construc aodoAneldosInteiros 57Apendice4 59Construc aodoCorpodosRacionais 59CAPTULO1ConjuntosDefinicao0.1. SejamAeBconjuntos. DizemosqueA esubconjuntodeBeescrevemosA Bse x A x B.Claramente AeA AparatodoA.Definicao0.2. SejamAeBconjuntos. DizemosqueelessaoiguaisseA BeB A.NestecasoescrevemosA = B.Operac oesentreconjuntosSejamXumconjuntouniversaleA, B X.Definicao0.3. AuniaodeAcomBeoconjuntoA B:= x X [ x Aoux B,eintersecaodeAcomBeA B:= x X [ x Aex B.Proposicao0.4. SejamA, B, C X. Entaotemos:(1)A A BeB A B(2)A B AeA B B(3)A B= B AeA B= B A(4)A = AeA = (5)A (B C) = (A B) CeA (B C) = (A B) C(6)A (B C) = (A B) (A C)eA (B C) = (A B) (A C)Definicao0.5. SejamA, B X. AdiferencaentreAeBe:A B:= x X [ x Aex , B.OconjuntoAc:= X AechamadodecomplementardeA.Proposicao0.6. SejamA, B X.12 1. CONJUNTOS(1)LeisdeMorgan:(a)(A B)c= Ac Bc(b)(A B)c= Ac Bc(2)A B= A Bc.(3)(Ac)c= A(4)Xc= .(5) c= X.(6)A Ac= .(7)A Ac= X.0.1. Exerccios. SejamA, B X. Provequesaoequivalentes:(1)A B(2)A Bc= (3)A B= B(4)Bc Ac(5)A B= ADefinicao0.7. SejamA, B X. AdiferencasimetricaentreAeBedenidaporAB:= (A B) (B A).Proposicao0.8. SejamA, B, C X. Entao:(1)AB= BA(2)AA = (3)A = A(4)AB= (A Bc) (Ac B)(5)(AB)c= (Ac Bc) (A B)(6)(AB) C= (A C)(B C)(7)(AB)C= A(BC)Demonstracao. Definicao0.9. (UniaoeIntersecaoGeneralizadas)Seja AiiIumafamliadesubcon-juntosdeX. Pordenicao_iIAi= x [ ital quex AiOPERAC OESENTRECONJUNTOS 3e

iIAi= x [ i, x AiDefinicao0.10. SejamAeBconjuntos. OprodutocartesianoentreAeBeAB:=(a, b) [ a Aeb B. Se AiiIumafamliadeconjuntos,entaon

i=1Ai= (a1, . . . , an) [ ai Ai, i = 1, . . . , ne

iIAi= (ai)iI [ ai Ai, i I.Definicao0.11. SejaAumconjunto. EntaooconjuntodetodosossubconjuntosdeAechamadodepartesdeA. Esteconjuntoedenotadopor(A) := Y [ Y A.Claramentese#A = nentao#(A) = 2n.Proposicao0.12. SejamAeBconjuntos.(1)(A) ,= (2)A B (A) (B)0.2. Exerccios.(1)SeparatodoB X,A B= entaoA = .(2)SeparatodoB X,A B= XentaoA = X.(3)SejamA, B X. Provequesaoequivalentesasarmacoes(a)A B(b)A Bc= (c)A (B A) B(4)SejamA, B X. Mostreque(a)(A B) = (A) (B)(b)(A) (B) (A B)(5)Sejam AiiIumafamliadeconjuntoseXumconjunto. Mostreque(a)X (

iI Ai) =

iI(X Ai).(b)X (

iI Ai) =

iI(X Ai).(c)X (

iI Ai) =

iI(X Ai).(d)X (

iI Ai) =

iI(X Ai).4 1. CONJUNTOS(6)SejamA, B, C, D X. Prove:(a)AB= (A B) (A B).(b)(A C) (B D) (A B) (C D).(c)(C D) (A B) = (C (D B)) ((C A) D).CAPTULO2AAritmeticadosInteirosATeoriadosN umerosInteirosseembasaemtresprincpiosfundamentais: PrincpiodaBoaordemeosPrincpiosdaInduc aoFinita.1. PrincpiodaBoaOrdemeInducaoFinitaPrincpiodaBoaOrdem(P.B.O.)TodosubconjuntonaovazioelimitadoinferiormentedeZ,possuiummnimo.Oprincpioacima eequivalentea:(P.B.O.)Todosubconjuntonaovaziolimitadosuperiormentede Z,possuiummaximo.Istoseguedoseguintefato: Selimitadoinferiormentese, esomentese, Selimitadosuperiormente,onde S= x Z [ x S.Teorema 1.1.(Primeiro Princpio da Inducao Finita (PIF)) Dado n0 N, seja P(n) umasentencaassociadaacadan N,comn n0. Seascondicoesabaixosaovericadas(1)P(n0)everdadeira.(2)SeP(k)everdadeiraparak n0,entaoP(k + 1)tambemeverdadeira.EntaoP(n)everdadeiraparatodon Ntal quen n0.Demonstracao. VejaApendice1. Substituindo-se(2)por(2) Dador>n0, seP(k)everdadeiraparatodok, n0 k0eportantopi [ p1 pn+ 1epi[p1 pnent aopi [ 1(absurdo!). 2.1. Exerccios. Sejama, b, c, d Z.(1)Sea [ bec [ d. Entaoac [ bd.(2)Sepumn umeroprimotalquep [ ab,ent aop [ aoup [ b.(3)Paratodopn umeroprimo, p , .2. DIVISIBILIDADE 7Teorema2.6. (AlgoritmodaDivisaodeEuclides)Sejama, b Ztaisqueb ,=0. Entaoexistem unicosq, r Ztaisquea = bq +rcom0 r < [b[.Demonstracao. Se a 0, existe n N tal que n[b[ a < (n+1)[b[ e entao 0 an[b[ 0comd [ d

ed

[ dseguequed = d

. 2.3. Exerccios. Sejama, b Z 0. Prove:(1)Sepumn umeroprimotalquep [ aent aomdc(a, p) = 1.(2)Paratodon Z,sejanZ := nx [ x Z. Sem = mmc(a, b),ent aoaZ bZ = mZ.Teorema 2.11.(Algoritmo de Euclides para calculo de mdc) Sejam a, b Z0. Suponhaquea=bq1 + r1, b=r1q2 + r2, r1=r2q3 + r3, . . . , rn1=rnqn+1 + rn+1comrn+1=0. Entaomdc(a, b) = rn.Demonstracao. Aplicando-se o teorema acima item (2) sucessivamente obtemos mdc(a, b) =mdc(b, r1)=mdc(r1, r2)==mdc(rn1, rn). Sendorn+1=0temosquern [ rn1eent aopeloitem(1)doteoremaacima,mdc(rn1, rn) = rn. Dondeseguequemdc(a, b) = rn. Teorema2.12. (IdentidadedeBezout)Sejama, b Zed=mdc(a, b). Entaoexistemr, s Ztaisqued = ra +sb.Demonstracao. Temos3casos:Caso1. a = b = 0. Nestecasod = 0 = 0.a + 0.b.Caso2. b = 0ea ,= 0. Temosd = [a[ = 1.a + 0.b.Caso3. b ,= 0ea ,= 0. Sendomdc(a, b) = mdc([a[, [b[),podemossuporquea > 0eb > 0.SejaI = xa + yb [ x, y Z N. Comoa=1.a + 0.bseguequeI,= eI elimitadoinferiormente pois I N. Assim pelo P.B.O., existe := min I. Entao > 0 e existem r, s Ztaisque= ra +sb. Mostremosque= d.3. EQUAC AODIOFANTINALINEAR 9Inicialmenteprovemosque [ ae [ b. Como >0ea Zent aopeloalgoritmodadivisao,a = q +r,onde0 r < . Assimr = a q= a (ra +sb)q= (1 rq)a + (sq)b.Sendo= min Icom> 0e0 r< conclumosquer= 0. Portantoa = qouseja [ a.Analogamenteprova-seque [ b.Como [ ae [ bed = mdc(a, b)segueque [ d.Poroutroladod = mdc(a, b) d [ aed [ b d [ raed [ sb d [ ra +sb = d [ .Dasconclusoesd [ e [ dcom> 0ed > 0segueque= d. 2.4. Exerccios. Sejama, b, c, m, n Z.(1)Sea [ c,b [ cemdc(a, b) = d,ent aoab [ cd.(2)Semdc(a, b) = 1emdc(a, c) = dent aomdc(a, bc) = d.(3)Seexistemx, y Ztaisqueax +by= 1,entaomdc(a, b) = 1.(4)Sejapumn umeroprimotalquep [ abentaop [ aoup [ b.(5)Sepeqsaodoisn umerosprimosdistintostaisquep [ aeq [ a,mostrequepq [ a.(6)Sejamm, n Z 0emdc(m, n) = 1,entaomZ nZ = mnZ(7)mdc(2n + 1,n(n+1)2) = 1.(8)mdc(ac, bc) = [c[.mdc(a, b).(9)mdc(a, b) = mdc(a +bc, a +b(c 1)).(10)Semdc(b, c) = 1ent aomdc(a, bc) = mdc(a, b).mdc(a, c).(11)Semdc(a, 4) = mdc(b, 4) = 2ent aomdc(a.b, 4) = 4.(12)mdc(a +b, b) = 1 mdc(a, b) = 1.(13)mdc(a, b) = mdc(a +nb, b).3. EquacaoDiofantinaLinearToda equacao do tipo ax +by= c, onde a, b, c Z, e chamada de equacaodiofantinalinearemduasvariaveis.Teorema3.1. Sejaa, b, c Zemdc(a, b)=d. Aequacaodiofantinaax + by=ctemsolucaointeiraseesomentesed [ c. Se(x0, y0)eumasolucao, entaotodasassolucoessaodadasporx = x0 +bdt, y= y0adt, t Z.10 2. AARITMETICADOSINTEIROSDemonstracao. Se(x0, y0)eumasoluc aodeequacaoent aoax0 + by0=c. Comod=mdc(a, b)obtemosd [ c.Agora seja d [ c entao c = dq para algum q Z. Pela Identidade de Bezout, existem r, s Ztaisqued = ra +sb. Entaoc = dq= (ra +sb)q= (rq)a + (sq)b.Ouseja(rq, sq) eumasoluc ao.Paraobtertodasassoluc oes,seja(x, y)umaoutrasolucao,ent aoc = ax +by= ax0 +by + 0 a(x x0) = b(y0 y).Comod = mdc(a, b)existemq, q

Ztaisquea = dq,b = dq

emdc(q, q

) = 1. Ent aodq(x x0) = dq

(y0y) q(x x0) = q

(y0y) q [ q

(y0y)eq

[ q(x x0).Comomdc(q, q

) =1conclumosqueq[y0 yeq

[ x x0. Da existemt, t

Ztaisquexx0= q

t

e y0y= qt, mas como q(xx0) = q

(y0y), temos t = t

e obtemos x = x0 +bdtey= y0adt. Exemplos.(1)Determinetodasassoluc oesdaequac aodiofantina172x + 20y= 1000.Comomdc(172, 20) =4e4 [ 1000, aequac aotemsolucao. Multiplicando4=172.2 + 20.(17)por250=1000/4obtemos1000=172.(500) + 20.(4250). Entaoumasoluc ao e(500, 4250),portantox = 500 + (20/4)t, y= 4250 (172/4)t, t Zeasoluc aogeraldaequac ao.(2)Determineomenorinteiropositivoquedivididopor8epor15deixarestos6e13,respectivamente.Sejaa Ztalquea=8x + 6ea=15y + 13. Entao, 8x + 6=15y + 13ouseja8x 15y= 7. Comomdc(8, 15) = 1,aequacaodiofantina8x 15y= 7temsolucao.Claramente(14, 7)eumasoluc aoparticularex=14 15t, y=7 8t, t Zsaotodasassoluc oes. Parat=0temosquexeomenorinteirotal queaa>0Assim,a = 8x + 6 = 8.14 + 6 = 118 eon umeroprocurado.4. CONGRUENCIAS 114. CongruenciasDefinicao4.1. Sejam Z, m>1. Dizemosquea, b Zsaocongruentesescrevemosa b(modm)sem[a b.Proposicao4.2. Sejama, b, c Z.(1)a a(modm).(2)Sea b(modm)entaob a(modm).(3)Sea b(modm)eb c(modm)entaoa c(modm).(4)Sea b(modm)ec d(modm)entaoa + c b + d(modm)eac bd(modm). (Emparticulara b(modm) ac bc(modm))(5)Sea b(modm)entaoan bn(modm),paratodon N.(6)Sea b(modm)entaoosrestosdadivisaodeapormedebpormsaoiguais.4.1. Exerccios.(1)Determineorestodadivisaode375por17.(2)Mostrequeparatodon N(a)2 [ 3n1.(b)3 [ n(n21).(c)32n+1+ 2n+2edivisvelpor7.(d)34n+2+ 2.43n+1edivisvelpor17.(e)22n13n+2+ 1 edivisvelpor11.(3)Sejama, b, m, n Z. Prove:(a)a b(modm)emdc(c, m) = dentaoa b(modmd )(b)Se mdc(m, n) =1ent aoa b(modm) e a b(modn) se e somente se a b(modmn).(c)a3 a(mod3).(d)a b(mod3) a3 b3(mod3).4.2. CriteriosdeDivisibilidade. Sejaa = anan1 a0 N. Aexpansaodeanabasedecimal edadapora = a0 +a110 +a2102+ +an10n, 0 ai< 9, i = 0, . . . , n.(1)a edivisvelpor2 2 [ a0.(2)a edivisvelpor3 3 [ a0 +a1 + +an.12 2. AARITMETICADOSINTEIROS4.3. Exerccios.(1) (a)a edivisvelpor9seesomentese9 [ a0 +a1 + +an.(b)a edivisvelpor5seesomentesea0= 0oua0= 5.(c)a edivisvelpor10seesomentesea0= 0.(d)a edivisvelpor4seesomentese4 [ a1a0= a0 +a110.(e)a edivisvelpor11seesomentese11 [ a0a1 +a2 + (1)nan.(2)Exprima 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisvelpor7eosegundodivisvelpor11.(3)Determine x, y Z tais que x+yseja o menor inteiro positivo que satisfaz 18x+5y=48. (Resp: 1e6)(4)Sejapumn umeroprimo. Proveque: sep [ ceac bc(modp)ent aoa b(modp).(5)Sejaa Ztalquemdc(a, 4) = 2. Mostrequea 2(mod4).(6)Determiner, s Ztaisque10 = 390r + 70s.(7)Acheoalgarismodasunidadesde999e777.(8)Mostreque6 [ n(2n + 7)(7n + 1)e30 [ n(n249)(n2+ 49),paratodon N.(9)Sejama, b, c Nprimosentresi,taisquea2+b2= c2. Mostreque(a)aoub epar.(b)aoub em ultiplode3.(10)Sejaa Ztalque5 [ a. Mostrequea4 1(mod5).(11)Num cassino existem duas especies de chas, uma de 62, 00 e outra de 11, 00 reais. Dequantasequaissaoaspossveismaneirasdeseobter788, 00reais.CAPTULO3Relac oesdeEquivalenciaedeOrdemDefinicao0.3. SejamAeBconjuntosnaovazios. TodoconjuntoR ,= , R ABechamadoderelacaobinariadeAemB. DiremosqueReumarelacaosobreAseR AA.Notacao. EscrevemosaRbemvezde(a, b) Rediremosqueaesta relacionadocomb. Caso(a, b) , R,escrevemosa,Rb.Definicao0.4. SejaReumarelacaosobreA.(1)Rereexivase a A, aRa.(2)ResimetricaseaRb bRa.(3)RetransitivaseaRbebRc aRc.(4)Reanti-simetricaseaRbebRa a = b.Definicao0.5. DiremosqueReumarelacaodeequivalenciaseRereexiva, simetricaetransitiva;equeReumarelacaodeordemseRereexiva,anti-simetricaetransitiva.Exemplos.(1)Sejaa, b, m Z,m > 1. Arelac aodenidapora b(modm) m [ a bsobre Z edeequivalencia.(2)Arelac aodedivisibilidadesobre N eumarelac aodeordem.(3)Sejam a, b 1. Dene-se a b se existe c 1+tal que b = a +c. Esta relac ao e umarelac aodeordemsobre 1,chamadadeordemabitual,naturalouusualsobre 1.(4)Seja

umplanoesejamasretasr, s

. Dene-ser | sser = sour s = .Arelac aodeparalelismoeumarelacaodeequivalencia.(5)SejaXumconjunto. Arelac aodeinclusaosobre(X) eumarelac aodeordem.1314 3. RELAC OESDEEQUIVALENCIAEDEORDEM1. RelacaodeEquivalenciaDefinicao1.1. SejaRumarelacaodeequivalenciasobreA. Paracadaa A,dene-se a := x A [ aRx.Esteconjuntoechamadodeclassedeequivalenciadea.Proposicao1.2. SejaRumarelacaodeequivalenciasobreA. Sejama, b Aentao,(1) a ,= .(2)a b a = b.(3) a = bou a b = .(4)

aA a = A.Definicao1.3. DenotamosporA/R := a [ a Aoconjuntodasclassesdeequivalenciaeserachamadadeconjuntoquociente,termoquejusticaofatoqueRparticionaoconjuntoAemsubconjuntosnaovaziosedisjuntos.Exemplos.(1)Sejaarelacao modmsobre Z. Temosque a = b Z [ a b(modm).Seja ro resto da divisao de a por m ent ao existe q Z tal que a = mq +r, 0 r < m.Assim,a r(modm)com0 r< mousejaa r. Pelapropriedade(2)temosque a = r e pela propriedade (3), 0, . . . , m sao distintos. Assim, a 0, . . . , m e portanto, a [ a Z = 0, . . . , m. O conjunto quociente sera chamado de conjunto das classesdosrestosmodulomeseradenotadopor Zm:= 0, . . . , m.(2)Sejamu, v 12edenauRv 1 0talqueu=v. TemosqueReumarelac aodeequivalenciae v= u 12[ u = vparaalgum 1 0.Noteque v= (0, 0)sev=(0, 0)equesev ,=(0, 0), veumaretasemaorigem,nadirecaodovetorv. Noteque 12eareuniaodetodasessasretasparalelascomaorigem.2. RELAC AODEORDEM 152. RelacaodeOrdemSeja _umarelac aode ordemsobre A. Nesse casodiremos que (A, _) e parcialmenteordenado.Quandoa _ bescrevemostambemb _ a.DiremosqueA etotalmenteordenadoseparaquaisquera, b Aumadastresalternativasabaixoocorre:a boua = boub a.Ouseja,quaisquerdoiselementosdeAsaocomparaveis.Exemplos.(1)(1, ) etotalmenteordenadopelaordemusual.(2)SejaX= 1, 2, 3. Temosque((X), )eparcialmenteordenado, masnaoetotal-menteordenado,pois 1, 2e 3naosaocomparaveis.Definicao2.1. Sejam(A, _)parcialmenteordenadoe ,= X A. Dizemosque:(1)Xelimitadosuperiormente(resp. limitadoinferiormente)sea Atal quex _ a, x X(resp.a _ x, x X).Todoa Atalquex _ a,paratodox X(resp. a _ x,paratodox X) echamadodelimitesuperiordeXoumajorantedeX(resp. limiteinferiordeXouminorantedeX).Denotamosporlimsup X= a A [ x _ a, paratodox Xeliminf X= a A [ a _ x, paratodox X(2)Umelementoa AeummaximodeX(resp. mnimodeX)sea X limsup X(resp. a X liminf X).Escrevemosa := max X(resp. a := min X)(3)Um elemento a A e o supremo de X(resp.nmo de X) se a = min limsup X(resp.a = max liminf X). Escrevemosa := sup X(resp. a := inf X).16 3. RELAC OESDEEQUIVALENCIAEDEORDEM(4)Umelementoa Xeumelementomaximal deX(resp. elementominimal deX)separatodox Atal quea x(resp. x a)tem-sequex , X. DenotamosporElem.MaxX:= elementosmaximaisdeXeElem.MinX:= elementosminimaisdeX.Observac oes.Tem-sequemax X(resp. min X)quandoexiste, e unico.sup Xeinf XpodemnaopertenceraoconjuntoX.Sex Atalquex sup X(resp. inf X x)ent aoexistex0 Xtalquex0 x(resp.x x0.)Exemplos.(1)Seja 1 ordenado pela relac ao de ordem habitual e sejaX= [0, 1). Temos limsup X=[1, +), liminf X=(, 0], Elem.Max=Elem.Min= 0,max X, min X=0,sup X= 1einf X= 0.(2)Seja(13)ordenadopelarelac aodeinclusao.(a)SejaX= S 13[ SeL.I.,ent aoElem.MaxX= basesdo 13.De fato se Be uma base de 13entao Be L.I. e portanto B X. Se B _ Sent aoSeL.D. eportantoS ,X. (todosubconjuntodo 13commaisde3vetoreseL.D.)(b)SejaX= S 13[ Sgera 13,ent aoElem.MinX= basesdo 13.SeseBeumabasede 13ent aoBgera 13eportanto,B X. SeS _ BtemosqueSnaogera 13eportantoS , X. (todosubconjuntode 13commenosque3vetoresnaogerao 13.)2.1. Exerccios.(1)Determinelimsup X, liminf X, Elem.MaxX, Elem.MinX, max X, min X, sup Xeinf Xcasoexistam.(a)Sejam N ordenado pela relac ao de divisibilidadee seja X= 2, 3, 5, 6, 10, 15, 18.2. RELAC AODEORDEM 17(b)SejamA = (a, b, c)ordenadopelainclusaoeX= a, b, b, c, a, b, c.(2)Sejaf: X Y umafunc ao. SobreXdenaarelac aoxRx

f(x) = f(x

).ProvequeR eumarelac aodeequivalencia.(3)Sejaf : [0, 1] 1umafunc aoestritamentedecrescenteeS=Imf. Mostrequef(0) = max Sef(1) = min S.(4)ProvequeasrelacoesRabaixosaodeequivalencia.(a)Sobre 1denidaporxRy x = youx = y.(b)Sobre Cdenidapor(x +yi)R(z +ti) x2+y2= z2+t2.(5)Mostrequearelac ao _denidasobre N Npor(a, b) _ (c, d) a [ ceb deumarelac aodeordem. SejaA= (1, 2), (2, 1). Determinelimsup A, liminf A,max A,min A,sup A,inf A,Elem.MaxAeElem.MinA.(6)Mostrequearelac aosobre Ndenidapora b x Ntalqueb = a +x,eumaordemtotal.(7)Seja A = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ordenado pela relac ao de divisibilidade. Seja B=3, 6, 9. Determinelimsup B, limsup B, Elem.MaxB, Elem.MinBecasoexistam,determinemax B,min B,sup Beinf B.(8)Mostrequearelac aox y xy>0sobre 1 0eumarelac aodeequivalenciaedetermine 1 0/ .(9)SejaRarelac aodenidasobre N Npor(a, b)R(c, d) a +d = b +c.(a)MostrequeReumarelacaodeequivalencia. Representegeometricamente(0, 0)e(1, 0).(b)Sejamx = (a, b)ey= (c, d)edenax _ y a +d b +c.Mostreque _ edeordemtotal.18 3. RELAC OESDEEQUIVALENCIAEDEORDEM(10)SejaRarelac aodenidasobre Z (Z 0)por(a, b)R(c, d) ad = bc.(a)MostrequeReumarelac aodeequivalencia. Representegeometricamente(0, 1)e(1, 1).(b)Sejamx = (a, b)ey= (c, d)edenax _ y ad bc.Mostreque(i)Arelac ao _ edeordemtotal.(ii)(a, b) = (a, b).(c)Seja R uma relac ao sobre A tal que R e reexiva e satisfaz a seguinte propriedade:x, y, z A, xRyeyRz zRx.MostrequeR eumarelacaodeequivalencia.(d)SejaA=a1, . . . , anNordenadopelarelac aode divisibilidade. Se d =mdc(a1, . . . , an)em = mmc(a1, . . . , an),mostrequed = inf Aem = sup A.(e)MostrequearelacaoRdenidasobre porxRy x y Z,eumarelac aodeequivalenciaedetermine1.CAPTULO4Operac oesDefinicao0.2. Seja /umconjunto. Todafuncao : // / echamadadeoperacaosobre /.Definicao0.3. Sejam /umaconjuntomunidodeoperacao e B /. Dizemosque Befechadoparaaoperacaosea b B,paratodoa, b B.Exemplo.Sejamm Zm, m>1e Zm:= a [a Z, onde a= x Z [x a(modm).Asoperac oesdeadic aoemultiplicac aosobre Zmsaodadaspor a b := a +be a b := ab.Mostremosqueasoperac oesestaobemdenidas.Suponhaque( a,b) = ( c,d),ent ao a = c,b =d a c(modm), b d(modm)Logo, a + b c + d(modm) eab cd(modm). Entaoa +b =c +deac =bd, portanto a b = c de a b = c d.Definicao0.4. Seja : // /umaoperacao. Dizemosque:(1)Aoperacaoeassociativase a, b, c /, (a b) c = a (b c).(2)Aoperacaoecomutativase a, b /, a b = b a.(3) /admiteumelementoneutroparaaoperacaosee /tal que a /, e a = a = a e.(4)Suponhaque /admiteumelementoneutroe. Umelementoa / esimetrizavelcomrelacao a operacao se existe a

/ tal que aa

= e = a

a. O elemento a

e chamadodesimetricodeacomrespeitoaoperacao.(5)Umelementoa /eregularparaaoperacaosesatiszerasseguintescondicoes:x a = y a x = y(regular`adireita),a x = a y x = y(regular`aesquerda).1920 4. OPERAC OESExemplos.(1)Seja T(1)= f : 1 1 [ f eumafuncao . Asoperacoesadic ao, multiplicacaoecomposic aosobre T(1)saodenidasrespectivamentepor: (f+g)(x) := f(x) +g(x),(fg)(x) := f(x).g(x)e(f g)(x) := f(g(x)).(a) f T(1)[f(x) = f(x), x 1 efechadoparaaadic ao.(b) f T(1)[f(x) = f(x), x 1 efechadoparaaadic ao,masnao efechadoparaamultiplicac ao.(c) f T(1)[febijetora efechadoparaacomposic ao.(d) f T(1)[federivavel efechadoparaamultiplica cao.(2)SejaMn(1) = (aij)nn [ aij 1.(a) A Mn(1)[A = At efechadoparaaadic ao.(b) A Mn(1)[A einversveleA1= At efechadoparaamultiplicac ao.0.2. Exerccios.(1)Seja umaoperac aodenidasobre /,que eassociativa. Proveque:(a)a /eregular`aesquerdaseesomentesef: / /dadaporf(x)=a xeinjetora.(b) B = a /[a eregular efechadoparaaoperac ao .(2)Seja umaoperacaodenidasobre /,que eassociativaetemumneutroe. Denaocentrode /comosendoZ(/) := x / [ a x = x a, a /.MostrequeZ(/) efechadocomrelacao`aoperac ao .(3)Mostreque / =___cos a sin asin a cos a__[ a 1_efechadoparaamultiplicacao.(4)Seja umaoperac aosobre /comelementoneutroe. Mostrequeestaoperac aoeassociativa e comutativa se e somente se a, b, c, d /, (ab) (c d) = (ac) (b d).(5)Seja umaoperac aosobre /. Mostrequeo:= a / [ a (x y) = (a x) y, x, y /efechadoparaaoperacao .(6)Denem-seaadic aoemultiplicac aodeduasseq uenciasnumericaspor: (xn) + (yn) =(xn+ yn) e(xn).(yn) =(xnyn). Mostrequeos conjuntos abaixosaofechados comrelac aoessasoperac oes.TABUADEUMAOPERAC AOSOBREUMCONJUNTOFINITO 21(a) (xn) [ (xn) econvergente(b) (xn) [ (xn) elimitadaTabuadeumaOperacaosobreumConjuntoFinitoSeja / = a1, . . . , an munido da operac ao . A tabua de (/, ) e construda como na tabelaabaixo. Aprimeiralinhaechamadadelinhafundamental eaprimeiracoluna`aesquerdaechamadadecolunafundamental. a1. . . . . . ai. . . aj. . . . . . ana1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ai. . . . . . . . . . . . . . . ai aj. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aj. . . . . . . . . aj ai. . . . . . . . . . . . aj an. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an. . . . . . . . . . . . . . . an aj. . . . . . . . .Listaremosalgumaspropriedadesdaoperac ao:Aoperacao ecomutativaseatabua esimetricaemrelacaoaodiagonalprincipal. Existe um elemento neutro, se existirem uma linha e uma coluna identicas `as fundamentais.SejaLialinhainiciadaporai. Senestalinhaoelementoneutroe,sesituanacolunaCjentao o simetrico de a

iinicia coluna Cj, ou seja no cruzamento da linha Licom a coluna Cjseencontraoelementoneutroe.Umelementoakeregularparaaoperac ao , senalinhaLkenacolunaCknaotemelementosrepetidos. NacolunaCkdatabuaacimaguramoselementosai akeaj akquedevemserdistintos,poiscasocontr arioimplicariaemai= aj.0.3. Exerccios.(1)Facaatabuapara(Z6, ),(Z6, )e(Z5, ).(2)SejamG= f1, f2, f3, f4, fi: 1 0 1 0dadasporf1(x)=x, f2(x)= x,f3(x) =1xef4(x) = 1x. Facaatabuapara(G, ).22 4. OPERAC OES(3)SejamG = f1, f2, f3, f4,fi: 1212dadasporf1(x, y) = (x, y), f2(x, y) = (x, y),f3(x, y) = (x, y), f4(x, y) = (x, y).Facaatabuapara(G, ).CAPTULO5GruposDefinicao0.5. Seja : GG Gumaoperacao. DizemosqueG eumgruposesatisfazasseguintescondic oes:(1)Aoperacaoeassociativa: a, b, c G; (a b) c = a (b c).(2)Existeumelementoneutroe G: a G; e a = a e = a.(3) a G, a

G,simetricodeatal quea a

= a

a = e.Definicao0.6. Sealemdisso, a, b G; a b = b a,diremosqueG eumgrupoabeliano.Notacoes: Seja(G, )umgrupo. QuandoGeumgrupoaditivo(resp. multipliucativo)usaremos + (resp)paraaoperac ao, 0(resp. 1)paraoelementoneutroe a(resp. a1)paraoelmentosimetrico.Proposicao0.7. Seja(G, )eumgrupo. Entao(1)Oelementoneutroe unico.(2)Paracadaa G,osimetricodeae unicoe(a

)

= a.(3) a, b G; (a b)

= b

a

.(4)TodoelementodeGeregular.Demonstracao. (deitem(4))Suponhaquex a = y a,comx, y G. Ent ao:(x a) a

= (y a) a

x (a a

) = y (a a

) x e = y e x = y.Analogamenteprova-sequea x = a y,comx, y Gimplicaquex = y. Definicao0.8. Seja(G, )umgrupoeH G. DizemosqueHeumsubgrupodeGse(H, )eumgrupo. NestecasoescrevemosHG.Proposicao0.9. Seja ,= H G. EntaoHGseesomentese a, b H; a b

H.Exemplos.(1)(Z, +)e(, +)saogruposabelianos.(VejaApendice2)(2)(C, +) eumgrupoabelianoe Z, e 1saosubgruposde C.2324 5. GRUPOS(3)(C, ) eumgrupoabelianoe e 1saosubgruposde C.(4)(Zn, ) eumgrupoabeliano.(5)Seja(G, +)umgrupoabeliano. Oconjunto T(X)= f [f:X Xeumafuncaomunidodeoperacaosomadefunc oes eumgrupoabeliano.(6)SX:= f:X X [feumafuncaobijetora. Se#X>2, (SX, )eumgruponaoabeliano, chamadodegrupodaspermutac oessobreX. SeX= 1, , nent aoSXseradenotadoporSnetodo Snseradenotadopor=__1 2n(1) (2)(n)__.(Sn, ) echamadodegrupodepermutacoesdegraun. PorexemploS3=_____1 2 31 2 3__,__1 2 32 3 1__,__1 2 33 1 2__,__1 2 31 3 2__,__1 2 33 2 1__,__1 2 32 1 3_____.(7)Mmn(1) = (aij) [ aij 1 eumgrupoaditivoabeliano.(8)GLn(1) = A Mn(1) [ A einvertvel eumgrupomultiplicativonaoabeliano.0.4. Exerccio.(1)Sejam H1e H2subgrupos de G. Prove que H1H2e um subgrupo de G se e somenteseH1 H2ouH1 H2.(2)Seja(Hi)iIeumafamliadesubgruposdeG. Entao

iI HieumsubgrupodeG.(3)Z(G) = a G [ a x = x a, x G e um subgrupo de G, chamado de centro de G.Definicao0.10. Sejam(G, ) umgrupoea G. Paracadan Z, denotaremos pora0= e, an= a (an1)sen > 0ean= (a

)nsen < 0. Denamos[a] := an[ n Z. SeGeumgrupoaditivo,escrevemosnaemvezdeane[a] = na [ n Z.Proposicao0.11. SejaGumgrupoea G. Entao[a]eumsubgrupodeG,chamadodesubgrupogeradopora.Definicao0.12. SejaGumgrupoea G. Seexistem Ztal queam= edizemosqueaedeordemnita. Omenorm Z, m>0tal queam=eechamadodeordemdea. Sem = 0eo uniconatural am= e,diremosqueaordemdeaezero. Usaremoso(a)paraordemdea.Observacao. Algunsautoresescrevemo(a) = ,emvezdeo(a) = 0.1. HOMOMORFISMODEGRUPOS 250.5. Exerccios.(1)Seja(G, )umgrupoea G.(a)Seo(a) = n > 0eam= eentaon [ m.(b)Se a G; a a = e,entaoa = a

eG eabeliano.(c)Provequeo(a) = o(a

).(2)Sejam(G, )umgrupoabelianoeH= x G [ x x = e. Mostreque(a)H eumsubgrupodeG.(b)Se a, b, c G; a b = cea c = b,entaoH= G.(3)Dadoogrupo(Z, ),ondea b = a +b 3. Mostreque3Z eumsubgrupode(Z, ).(4)Sejam G = 11e uma operac ao denida sobre G por (a, b) (c, d) = (ad +bc, bd).Mostreque(a)(G, ) eumgrupoabeliano.(b)H= (a, 1) [ a 1 eumsubgrupodeG.(5)SejaXumconjunto. Mostreque(a)((X), ) eumgrupoabeliano.( eadiferencasimetrica)(b)SejaB X. EntaoH= A (X) [ A B= eumsubgrupode((X), ).(6)SejaG = f: 1 1 [ f(x) = ax +b, a ,= 0. Proveque(G, ) eumsubgrupodeSR(7)SejaG = e, a, b, cmunidodeoperac aodenadapelatabuaabaixo. e a b ce e a b ca e e c bb b c e ac c b a eDetermine[e],[a],[b],[c]eaordemdecadaelemento.1. HomomorsmodeGruposDefinicao1.1. Sejam(G1, ) e(G2, ) dois grupos. Umafuncaof : G1 G2eumhomomorsmodegruposse a, b G;f(a b) = f(a) f(b).Proposicao1.2. Sejaf: G1 G2umhomomorsmodegrupos.(1)See1ee2saoosneutrosdeG1eG2respectivamenteentaof(e1) = e2.(2) a G1; f(a

) = (f(a))

.26 5. GRUPOS1.1. Exerccio. Sejaf: G1 G2umhomomorsmodegrupos.(1)SeH1G1ent aof(H1)G2.(2)SeH2G2ent aof1(H2)G1.Definicao1.3. Sejaf: G1 G2umhomomorsmodegruposee2oelementoneutrodeG2. On ucleodefeker f:= a G1 [ f(a) = e2eaimagemdefeImf:= f(a) [ a G1.Definicao1.4. Umhomomorsmof : G1 G2editomonomorsmosef einjetora,epimorsmosefesobrejetoraeisomorsmosefebijetora. Umisomorsmofeumauto-morsmoseG1= G2. DizemosqueG1eG2saoisomorfossef: G1 G2umisomorsmoeescrevemosG1 G2.Proposicao1.5. Sejaf: G1 G2umhomomorsmodegrupos.(1)ker fG1.(2)ImfG2.(3)feummonorsmoseker f= e1.1.2. Exerccios. Mostrequefeumhomomorsmoedetermineoker f.(1)f: 1 Ctalquef() = cos() + i sin().(2)f: Z Zmtalquef(x) = xProposicao1.6. Sejamf: G1 G2eg: G2 G3homomorsmosdegrupos. Entao;(1)g feumhomomorsmo.(2)Sefeumisomorsmoentaof1eumisomorsmo.1.3. Exerccio.(1)SejaAut(G)= f : G G [ feumautomorsmo. Mostreque(Aut(G), )eumgrupo.(2)Sejaf: G Humhomomorsmo. Prove:(a)Paratodoa G;o(f(a)) [ o(a).(b)Sefeummonomorsmoentaoo(f(a)) = o(a).1. HOMOMORFISMODEGRUPOS 27(3)Sejaf : G Gdenidaporf(x)=x1. Mostreque: feumhomomorsmoseesomenteseG eabeliano.(4)Se(G, ) eabelianoea, b Gtaisquemdc(o(a), o(b)) = 1ent aoo(ab) = o(a)o(b).(5)Sejaf: Z4 Ctalquef( n) = in. Provequefeummonomorsmo.(6)Sejam(G, )umgrupo, a Gefa:G Gdenidaporfa(x)=axa1. Mostreque;(a)faeumautomorsmo.(b)fa fb= fab.(c)o(x) = o(axa1).(d) 1(G) := fa [ a G e um subgrupo de Aut(G), chamado de grupo dos automor-smosinternosdeG.(e) : G 1(G)dadapor(a) = faeumhomomorsmoeker = Z(G).(7)Sejam(G, +)e(J, )gruposef:G Jumhomomorsmo. Proveporinducaoqueparatodon Zquef(nx) = (f(x))n.(8)Sejam (G, ) e (J, ) grupos e dena sobre GJa operacao dada por (a, b) +(c, d) :=(a c, b d). Mostreque;(a)(GJ, +) eumgrupo.(b)f: GJ Gtalquef(x, y) = x eumhomomorsmoedetermineker f.(9)Mostreque;(a)G = A M22(1) [ A einvertveleA1= At eumgrupo.(b)H=_____cos a sin asin a cos a__[ a 1___ G.(c)f: 1 H dada por f(a) =__cos a sin asin a cos a__e um homomorsmo de determineoker f.(10)Sejaf: Z6 Z2dadaporf( x) = r,ondereorestodadivisaodexpor2. Veriquese(a)festabemdenida?(b)feumhomomorsmo?(c)feinjetora?(d)fesobrejetora?(11)Sejam(G, )umgrupo,HGea G. Prove:28 5. GRUPOS(a)a H a1:= a x a1[ h H eumsubgrupodeG.(b)Se f: G G e um homomorsmo e G e abeliano entao H:= a1f(a) [ a GeumsubgrupodeG.(c)SejaRumarelacaosobreGdenidaporxRy a Gtalquey= a x a1,entaoR eumarelac aodeequivalencia.(12)Sejaf: C Ctal quef(z)=zn. Mostrequefeumhomomorsmoedetermineker f.2. GRUPOSCICLICOS 292. GruposCclicosDefinicao2.1. SejaGeumgrupo. Dizemos queGecclicoseexistea Gtal queG = [a].Exemplos.(1) Z = [1] = [1].(2) Zm= [1].(3)SeH= z C [ zn= 1ent aoH= []onde= cos2n+i sin2n .Proposicao2.2. SeGecclicoeHGentaoHecclico.Demonstracao. Sejam G = [a] e n := mink [ k > 0, ak H. Mostramos que H= [an].Temosque[an] H. Sejax H. Entaox = amparaalgumm Z. ComoHesubgrupopodemossuporm>0. Pelaminimalidadedentemosm n. Peloalgoritmodedivisaosejam=nq + r, onder, q Ze0 r 0entaoG Zn.(2)Seo(a) = 0entaoG Z.Demonstracao. (1) Seja f: Zn G dada por f( x) = ax. Temos claramente que fe umhomomorsmosobre. Seja x ker f,entaof( x) = e ax= e n [ x x = 0.Ousejafeinjetora,portantofeumisomorsmoetemosG = Zn.(2)Sejaf : Z Gdadaporf(n)=an. Temosclaramentequefeumhomomorsmosobre. Sejan ker f,entaof(n) = e an= e n = 0.Ousejafeinjetora,portantofeumisomorsmoetemosG = Z. Corolario2.4. (1)SeHZentaoH= [m]paraalgumm Z.(2)SeHZnentaoH= [ m]paraalgumm Z.Demonstracao. Exerccio! 30 5. GRUPOSProposicao2.5. SejaG=[a] como(a) =n>0. EntaoG=[am] seesomentesemdc(n, m) = 1.Demonstracao. SejaG=[am]. Comoa Gexistem Ztal quea=(am)q. Ent aoa=amq, portantoamq1=een [ mq 1. Ent aoexisteq

Ztal quemq 1=nq

; oumq nq

= 1. Pela identidade de Bezout mdc(n, m) = 1. Para a recproca seja mdc(n, m) = 1,entao pela identidade de Bezout existem r, s Z tais que rn+sm = 1. Como [am] [a], bastamostrarque[a] [am]. Sendoa=arn+sm=anrasm=(am)sconclumosquea [am]. Logo[a] [am]. Exemplos.UtilizandooCorolario2.4acimatemos:(1) Z4= [1] = [3].(2)Sejam= exp(2i8)eG = []. Ent aoG = [3] = [5] = [7].Observac oes.Afunc aodeEuler : N N edenidapor(n) := #m N [ 1 m nemdc(n, m) = 1.(1)Sen = pn11 pnrr,ondep1, . . . , prsaon umerosprimosdistintosentao(n) = n(1 1p1)(1 1pr).(Vejaapendice2)(2)On umerodegeradoresdeG = [a]quandoo(a) = n > 0 e(n).(3)Segundoaequivalencia a einvertvelem Zn mdc(a, n) = 1,temostambemqueon umerodeelementosinvertveisem Zne(n).2.1. Exerccios.(1)Sejaf: G Jumepimorsmodegrupos. Proveque:(a)SeG eabelianoent aoJeabeliano.(b)SeG ecclicoent aoJecclico.(2)SeG ,= eeumgrupotal queos unicossubgruposdeGsaoostriviaisent aoGecclico.(3)SeG eumgrupocclicoinnitoeG = [a] = [b]entaob = aoub = a1.(4)Sabendo-sequeG = e, a, b, c, d, f eumgrupoisomorfoaogrupo(Z6, )pede-se:3. GRUPOGERADOPORUMCONJUNTO 31(a)ConstruirumatabuaparaG.(b)VericarseG ecclico,enocasoarmativodeterminarosseusgeradores.(5)Seja H=_____1 2 3 41 2 3 4__,__1 2 3 43 4 1 2__,__1 2 3 42 1 4 3__,__1 2 3 44 3 2 1_____um subgrupodeS4. DetermineaordemdecadaelementodeH. VeriqueseHecclicoeseHpodeserisomorfoa Z4.(6)SejaH=_____1 2 3 41 2 3 4__,__1 2 3 42 3 4 1__,__1 2 3 43 4 1 2__,__1 2 3 44 1 2 3_____.MostrequeH ecclico.(7)Sejama, b ZeH= ax +by [ x, y Z. Mostreque:(a)HZ.(b)Sed = mdc(a, b)ent aoH= [d].(8)Dadon NsejaH= z C [ zn= 1. Proveque:(a)HCcclicogeradoporw = cos(2n ) +i sin(2n ).(b)f: Zn Hdadaporf( x) = cos(2xn) +i sin(2xn) eumisomorsmo.3. GrupoGeradoporumConjuntoDefinicao3.1. Sejam(G, ) umgrupoe ,=SG. Dene-se [S] =an11 anrr[a1, . . . , ar Sen1, . . . , nr Z. EsteconjuntoeumsubgrupodeGeserachamadodegrupogeradoporS.Quando G e um grupo aditivo, dene-se [S] = n1a1++nrar [ a1, . . . , ar Sen1, . . . , nr ZExemplos.(1)ConsidereZ2Z2. EstegrupoechamadodegrupodeKlein. Pondoa=(1,0)eb = (0,1). Temosque Z2Z2= [a, b].(2)Considere S3. Sejam =__1 2 32 3 1__e =__1 2 31 3 2__. Temos 2= eS3= [, ].(3)Seja, S4dadaspor=__1 2 3 42 3 4 1__e=__1 2 3 41 4 3 2__. Temos 3= e 2= 2 . CosidereD4:= [, ]. estegrupo echamadodegrupodeDiedraldeordem8. Estegrupopodeservistocomoogrupodepermutac oesdeumquadrado.32 5. GRUPOSOssugruposdeD4sao: [] Z4, K4= 1, , 3, 2eV4= 1, , 2, 2,onde1 eapermutac aoidentidade. TemosK4 V4 Z2Z2.(4)SejaQ3ogrupodosQuaterniosdeordem8. Isto e:Q3=_____1 00 1__, __0 ii 0__, __0 11 0__, __i 00 i_____.SejamA =__0 ii 0__eB=__0 11 0__. TemosAB= BA3eQ3= [A, B].4. ClassesLateraiseTeoremadeLagrangeSejam G um grupo nito e HG. O nosso objetivo nessa sec ao e obter uma relacao entre#He #G. Primeiro deniremos as classes laterias e estudaremos as suas propriedades basicas.Valeapenaobservarqueestasdenic oesepropriedadesnaodependemdanitudedeG.Definicao4.1. Sejam(G, )umgrupoeHG. Paracadaa G, denamosaclasselateral de a`aesquerdapor aH:= ah [ h Heaclasselateral de a`adireitaporHa := ha [ h H.Proposicao4.2. Sejam(G, )umgrupo,HGea, b G. Entao:(1)aH= bH b1 a H. EmparticularaH= H a H.(2)fa: H aHtal quefa(h) = ahebijetora. Emparticular [H[ = [aH[.(3)Seja : classeslaterais`aesquerda classeslaterais`adireitaaH Ha1,entaoebijetora.(4)Considerearelacaodadapora b aH=bH. Estarelacaoeumarelacaodeequivalencia. Seguedaque:(a)aH ,= .(b)aH= bHou(aH) (bH) = .(c)G =

aG(aH).Demonstracao. Exerccio! Notacao. Denotaremospor(G: H)on umerodeclasseslaterais`aesquerdaqueeigual aon umerodeclasseslaterais`adireita,peloitem(3)daproposic aoacima.4. CLASSESLATERAISETEOREMADELAGRANGE 33Observacao. Analogamente,a b Ha = Hb,eumarelacaodeequivalencia.Teorema4.3. (Lagrange)SeGeumgruponitoeHG,entao [G[ = [H[(G : H). Emparticular [H[divide [G[e|G||H|= (G : H).Demonstracao. Peloitem(4)daproposic aoacimapodemosescreverG = (a1 H)_(a2 H)_

_(arH),com(aiH)

(ajH)= , parai ,=j. Assimr=(G:H). Sendo, [aiH[= [ajH[= [H[,segueque:[G[ = [a1 H[ +[a2 H[ + +[arH[ = r.[H[ = (G : H)[H[.Portanto|G||H|= (G : H). Corolario4.4.Sejam G e um grupo nito e a G,entao o(a) divide [G[ . Em particulara|G|= e.Demonstracao. Como[a] Ge [[a][=o(a),peloteoremadeLagrangetemosqueo(a)divide [G[. Assimexsiteq Ztalque [G[ = q.o(a),ent aoa|G|= (ao(a))q= e. Corolario4.5. Todogrupodeordemprimaecclico.Demonstracao. Suponhaque [G[ =p, ondepeumn umeroprimo. Sejaa G eentaoo(a) [ pedao(a) = 1oup. Comoa ,= e,temosqueo(a) = p. PortantoG = [a]. Corolario4.6. (PequenoTeoremadeFermat)Sejapumn umeroprimoentaoparatodo a Zptemos ap1= 1.Demonstracao. Como (Zp, ) e um grupo e [Zp[ = p1 entao pelo corolario (4.4) temos ap1= 1. Corolario4.7. Paratodo a Zptemos ap= a; i.e,todososelementosde Zpsaorazesdopolin omiof(x) = xpx.Demonstracao. Exerccio! 34 5. GRUPOS4.1. Exerccios.(1)Seja f: G G um homomorsmo e H= ker f. Mostre que aH= bHse e somentesef(a) = f(b).(2)SejamH1eH2subgruposdeG. Provese [H1[ = me [H2[ = nemdc(m, n) = 1ent aoH1 H2= e.(3)SeumgrupoGtemordemprimaentaoos unicossubgruposdeGsaoostriviais.(4)Paratodo a,b Zp,temos( a b)p= apbp.5. SubgruposNormaisDefinicao5.1. Sejam(G, ) umgrupoeHumsubgrupodeG. Dizemos queHeumsubgruponormal deGseparatodoa G,aH= Ha. NestecasoescrevemosHG.Exemplos.(1)Ossubgrupostriviais eeGsaosubgruposnormaisdeG.(2)SeG eumgrupoabelianoentaotodosossubgruposdeGsaonormais.(3)SeG eumgrupoHeumsubgrupodeGtalque(G : H) = 2,entaoHG.Proposicao5.2. Sejam(G, ) umgrupoe Humsubgrupode G. EntaoHGseesomenteseparatodoa G,aHa1 H.Demonstracao. Sejam HG e x a H a1. Ent ao existe h Htal que x = a h a1.Portantoxa = ah xa aH= Ha h1 H ~ xa = h1 a x = h1 x H.Paraarecproca,mostremosqueHa aH. Sejax Ha. Entaoexsiteh Htalquex = ha. Dax = (aa1)ha x = a(a1 ha).Comopelahipotese, a1h aH, segue que xa H. Analogamente, prova-se queaH Ha. 5.1. Exerccios.(1)Sejam(G1, )e(G2, )gruposef: G1 G2umhomomorsmo. Entaoker fG1.(2)Seja(G1, )umgrupo. Ent aoZ(G) := x G [ ax = xaparatodoa G6. GRUPODASPERMUTAC OES 35eumsubgruponormaldeGchamadodecentrodeG.6. GrupodasPermutac oesDefinicao6.1. SejaXumconjunto(nitoouinnito) e considere SX:= : XX [ ebijetora. Esseconjuntomunidodecomposicaodefuncoeseumgrupo, chamadodegrupodaspermutacoessobreX. SeX= 1, , ndenotaremosSXporSne Snpor__1 2n(1) (2)(n)__.Teorema6.2. (Cayley)SejaGeumgruponitotal que [G[=n, entaoGeisomorfoaumsubgrupodeSn.Demonstracao. Seja: G SG=Sndadapor (x) =x, ondex: G Gedadaporx(a)=xa. Mostremosqueeumhomomorsmoinjetor. Sejamx, y Gtaisque(x) = (y). Ent ao:x= y a G, x(a) = y(a) xa = ya x = y.Ouseja einjetora. Seja (:= Im. Pelaproposic ao(1.5), (SneclaramenteG (. Definicao6.3. Umapermutacao Sneumr-ciclo, r 2, seexistema1, , ar 1, . . . , n tais que (a1) = a2, (a2) = a3, . . . , (ar) = a1 e (i) = i, para todo i , a1, . . . , ar.Um2-cicloechamadodeumatransposicao.Notacao. Denotamos umr-ciclo por (a1, a2, . . . , ar) = (a2, a3, . . . , ar, a1) == (ar, a1, . . . , ar1).Exemplos.(1) =__1 2 3 4 5 6 71 3 5 4 2 6 7__= (235), eum3-ciclo.(2) =__1 2 3 42 1 4 3__= (12)(34), eproduto(composicao)deduastransposic oes.Obsevacoes.Seeumr-cicloentaoo() = r.Seeumatransposicaoent ao= 1.Definicao6.4. Dizemosquedoisciclose emSnsaociclosdisjuntos, se(i) ,=i (i) = ie(j) ,= j (j) = j,paratodoi, j 1, . . . , n.6.1. Exerccios. Se= ,ondeesaociclosdisjuntos,ent ao= eo() =mmc(o(), o()).36 5. GRUPOSExemplos.(1)S3= (1), (123), (132), (12), (13), (23).(2)D4= (1), (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (14)(23), (24), (13).(3)S4= (1), (34), (23), (243), (234), (24), (12), (12)(34), (123), (1234), (1243), (124), (132),(1342), (13), (134), (13)(24), (1324), (1432), (142), (143), (14), (1423), (14)(23).Definicao6.5. Sejap=

1i 0e eumsubcorpode Csep < 0.1. DomnioseCorpodeFracoes1.1. Domnios.Definicao1.1. Seja(A, +, )umanelcomutativocomunidade. DizemosqueA eumaneldeintegridadeoudomniodeintegridadeousimplesmentedomnioseAsatisfaz aseguintecondicao:ab = 0 a = 0oub = 0.SeAnaoeumdomnioentaoexistema, b Ataisqueab=0, masa ,=0eb ,=0. Taiselementossaochamadosdedivisorespropriosdozero.Exemplos.(1)Todocorpo eumdomnio.(2) Zmeumdomnio,seosomenteem eumn umeroprimo.(3)Se A e um domnio entao A[x] =

ni=1aixi[ ai A, n N e um domnio. (Anel dosPolin omioscomcoecientesemAnavari avelx)1. DOMINIOSECORPODEFRAC OES 411.2. Exerccios.(1)Numaneldeintegridade,resolvaasequacoesx2= xex2= 1.(2)Sejamf, g: 1 1taisquef(x)=x + [x[ eg(x)=x [x[. Mostrequefegsaodivisorespropriosdozero.(3)SejaAumanele0 ,= a A. Mostreque(a, 0)e(0, a)saodivisorespropriosdozerodeA A.(4)Seja(A, +, )umanel. Veriquese(a)B= x A [ y A; xy= yx eumsubaneldeA.(b)B= x A [ x2= x eumsubaneldeA.(5)Quaissaoosdivisoresdezeroeoselementosinvertveisde Z4e Z2Z3.(6)Denaa b=a + b 1ea b=a + b ab. Mostreque(Z, , )eumdomnioe(, , ) eumcorpo.(7)Sejapumn umeroprimo. MostrequeA= ab [p [beumsubanel, masnaoeumsubcorpode .1.3. CorpodeFrac oes. Seja(A, +, )umdomnio. DenimosaseguinterelacaosobreA A 0;(a, b) (c, d) ad = bcClaramenteestarelac aoeumarelac aodeequivalencia. Denotamosaclassede(a, b)porabesejaK= (A A 0)/ . Agoradenimosasseguintesoperac oessobreK;ab+cd:=ad +bcbdeab cd:=acbdEssasoperac oesestaobemdenidase(K, +, ) eumcorpo.Definicao1.2. SejamAumdomnio,ocorpoobtidonaconstrucaoacimaechamadodecorpodefrac oesdeA,denotadoporcf(A).Observacoes.Viaaplicac aoinjetoraf : A K, a a1, oselementosdeApodemseridenticadoscomooselementosdaImfepodemosdizerqueA eumsubconjuntodeK.Ocorpodefrac oesdeA eomenorcorpocontendoA.42 6. ANEISECORPOSExemplos.(1)cf(Z) = .(2)Seja Z[n] := a + bn [ a, b Z,onden elivredequadrados. Ent aocf(Z[n]) =[n].2. IdeaisdeumAnelComutativoDefinicao2.1. SejamAumanel comutativoe ,= I A. DizemosqueIeumideal deAsex, y I, x y Ie a A, x I, ax I.Observacoes. SejaAumanelcomutativocomunidade1.Se1 IentaoI= A. Todo ideal e um subanel, mas a recproca nao vale; por exemplo

ni=0aix2i[ ai Z, n N esubanelde Z[x]masnao eideal.Exemplos.(1) 0eAsaoideaisdeA,chamadosdeideaistriviaisdeA.(2)Sejamx1, . . . , xn A. Oconjunto(x1, . . . , xn) := a1x1 +. . . +anxn [ a1, . . . , an AeumidealdeA,chamadodeidealgeradoporx1, . . . , xn. Quandon = 1,esteideal echamadodeidealprincipalgeradoporx1.2.1. Exerccios.(1)SejaKumdomnio. MostrequeKeumcorposeesomenteseos unicosideaisdeKsaoostriviais.(2)SejamAumanel comutativocomunidadeeI, JideaisdeA. MostrequeI JeomaioridealdeAcontidoemIeJ. Dene-seI + J:= x + y [ x I, y J. MostrequeI +JeomenoridealdeAcontendoIeJ.(3)SejaA = f: 1 1 [ x 1, f(x) T(1, 1)MostrequeAeumsubaneldeT(1, 1),masnao eumidealde T(1, 1).(4)Sejapumn umeroprimo. MostrequeI= ab [ p [ a, p [ b eumidealde .(5)Dados(A, +, )umanelcomutativocomunidadeea A. Mostreque:(a)B= x A [ a A, ax = xa eumsubaneldeA.(b)I= x A [ ax = 0 eumidealdeA.3. HOMOMORFISMOSDEANEIS 43(6)Emcadaitem,veriqueseoconjuntodado esubanelouidealde Z[x].(a)

ni=1aixi Z[x] [ a0 2Z, n N.(b)

ni=1aixi Z[x] [ a0= 0, n N.(c)

ni=1aixi Z[x] [ a0 +a1= 0, n N.(7)SejamAumanel comutativocomunidadeeIeumideal deA. SejaJ:= x A [a A, xa I. MostrequeJAeI J.(8)Sejam A um anel comutativo com unidade e Ium ideal de A. Mostre queI:= a A [ n N, anIeumidealdeAeI I. (EsteidealechamadodeidealradicaldeI.)3. HomomorsmosdeAneisDefinicao3.1. SejamAeBaneis. Umafuncaof: A Beumhomomorsmodeaneissex, y A; f(x +y) = f(x) +f(y)ef(xy) = f(x)f(y).On ucleodefeker f:= x A [ f(x) = 0B.Dizemosquefemonomormo(resp. epimorsmo)sefeinjetora(resp. sobrejetora). Sefforumabijecao,diremosquefeumisomorsmoeescrevemosA B.Proposicao3.2. Sejaf: A Bumhomomorsmodeaneis.(1)ker fAeImfB.(2)feinjetoraseesomenteseker f= 0A.3.1. Exerccios.(1)Sejaf : ABumhomomorsmode aneis comutativos comunidades 1Ae 1Brespectivamente.(a)Sefeumepimorsmoentaof(1A) = 1B.(b)SeI Aent aof(I)nao enecessariamenteumidealdeB.(c)SeJBentaof1(J) A.(2)SejamAumanel e Aut(A) :=f : AA[ feumisomorsmo. Prove que(Aut(A), ) eumgrupo.(3)Sejaf : A Bumhomomorsmodeaneiscomutativoscomunidade. SeBeumdomnioef ,= 0,entaof(1A) = 1B.44 6. ANEISECORPOS(4)Vericarseasseguintesaplicacoessaohomomorsmodeaneisenocasoarmativodetermineon ucleo.(a)f: Z Z Zdadaporf(x, y) = y.(b)f: C Cdadaporf(a +bi) = a bi.(c)f: Z Z Z Zdadaporf(x, y) = (0, y).(d)f: Z Zdadaporf(x) = 2x.(5)Mostrar que L=_____a 00 b__[ a, b 1___M2(1), comutativo e comunidade.Mostre que nao existe um isomorsmo de aneis f: C L.(Dica: Usar f(1) = f(1)ef(1) = f(i.i))4. AneisQuocienteseTeoremadeIsomorsmo4.1. Aneis Quocientes. Sejam A um anel comutativo e IA. Seja A/I:= a+I [ a Aedena:(a +I) + (b +I) := (a +b) +Ie(a +I)(b +I) := (ab) +I.Essas operacoes estaobemdenidas e A/I munidodessas operacoes eumanel comuttivo,chamado de anel quociente de A por I. Se A e um anel com unidade ent ao A/Ie com unidade,1A/I= 1A +I.Notacao. Emlugardea +I,escrevemos a.4.2. TeoremadeIsomorso.Teorema4.1. Sejaf: A Bumhomomorsmodeaneis,entaoA/ ker f Imf.Demonstracao. Sejaf:A/ ker f Imftalquef( x) =f(x). Primeiromostremosquefestabemdenidaeinjetora; x = y x y ker f f(x y) = 0B f(x) = f(y) f( x) =f( y).Claramentefesobrejetoraetemosf( x + y) = f(x +y) = f(x) +f(y) =f( x) +f( y)ef( x y) =f(xy) = f(xy) = f(x)f(y) =f( x) f( y)Portanto,feumisomorsmodeaneis.

4. ANEISQUOCIENTESETEOREMADEISOMORFISMO 45Exemplos.(1) Z/(n) Zn.(2) Z[x]/(x) Z.(3) 1[x, y] =

ni=0

mj=0aijxiyj[ aij 1; n, m N. Entao, 1[x, y]/(x) 1[y].(4) Z[x]/(m, x) Zm.4.3. Exerccios.(1)Sejaf: Zm Zntalquen [ m,denidaporf( x) = y,sex y(modn). Mostrequefeumhomomorsmodeaneis.(2)Seja f: C M2(1) dada por f(a +bi) =__a bb a__. Mostre que fe um monomor-smo.(3)SejamAumdomnio, 0 ,=a Aef : A Atal quef(x)=ax. Mostrequefeinjetora. Quandofeumhomomorsmodeaneis?(4)Mostrequef: Z Zpdadaporf(a) = apeumhomomorsmodeaneis.(5)Sejaf : Z[2] Z[2] denidaporf(a + b2) =a b2. Mostrequef eumisomorsmodeaneis.(6)Sep, qsaon umerosprimosep ,= qent ao [p]e [q]naosaoisomorfos.(7)MostreAut([p]) = idQ[p], ,onde(a +bp) = a bp.(8)SejamAumcorpo ef: A Bumhomomorsmo deaneis. Provefe ummonomor-smooufenulo.(9)Seja (ZZ, +, ) um anel, onde (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d) e (a, b)(c, d) = (ac, ad+bc).Mostreque(a) Z 2ZZ Z.(b)Sef: Z Z Z 2Ztalquef(x, y) = (x, 2y),ent aofeumepimorsmo.(10)SejaAumanel ea Ainvertvel. Sejafa:A Atal quefa(x)=axa1. Mostrequefaeumisomorsmoedetermineasuainversa.(11)Mostreque(, , )eumcorpo, ondea b:=a + b + 1ea b=a + b + ab. Sejaf: (, +, ) (, , )talquef(x) = x 1. Mostrequefeumisomorsmo.(12)Considereoepimorsmodeaneisf: Z Z Zdadoporf(x, y) = y. Determinaroker feproveque(Z Z)/ ker f Z.(13)Mostreque Z[x]/(m) Zm[x]e Z[2]/(2) Z2.46 6. ANEISECORPOS5. DomniosPrincipaisDefinicao5.1. UmdomnioAeprincipal setodoideal deAeprincipal; i.e, seIeumideal deAentaoI= (a),paraalguma A.5.1. Exerccios. Tente denir os conceitos de divisibilidade, maior divisor comum e menosm ultiplocomumemumdomnioqualquer.(1)SejamAumdomnioea, b A 0. Ent aoa [ b (b) = (a).(2)a [ beb [ a (a) = (b) a = ub, paraalgumuinvertvelemA.Teorema5.2. Se Ae umdomnioprincipal e a, b A, entao(a)+(b) =(d), onded = mdc(a, b).Demonstracao. Como A e pincipal, existe d A tal que (a) +(b) = (d). Mostremos qued = mdc(a, b).Temosa (a) (a) + (b) = (d) d [ a.Damesmaformad [ b. Poroutroladod (d) = (a) + (b) r, s A ~ d = ar +bs.Agora se d

A tal que d

[ a e d

[ b, ent ao d

[ ar+bs ou seja d

[ d. Portanto d = mdc(a, b). Observacao. Se d = mdc(a, b) ent ao d = ar +bs. Essa igualdade e chamada de identidade deBezout.Teorema5.3. Oanel dosinteiros Zeumdomnioprincipal.Demonstracao. SejaI Z. SeI= 0entaoI=(0). SeI ,= 0entaoa Italquea ,= 0. Podemossuporquea > 0,poiscasocontrarioconsideramos a I. EntaoI N ,= elimitadoinferiormente. Assim,peloPBO,existed = min I. MostremosqueI= (d).Como, d Isegue que (d) I. Agora seja x I. Pelo algoritmo da divisao que x = dq +r,onde0 r