ALGBRA IV

PROBLEMAS LISTA 2

1.- Para el conjunto { } { }{ }1, 1 ,2, 1,2A = determine ( )AP y ( )A A∩P .

2.- Determine cuatro ejemplos de un conjunto A con ls propiedad de que cada elemento es un

subconjuto de A. 3.- Examinar si es posible determinar conjuntos A, B, C tales que A B C⊂ ∈ y A B C∈ ⊂ . 4.- Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son válidas para todos los conjuntos A, B y C.

Explique. a) Si A B∉ y B C∉ entonces A C∉ . b) Si A B≠ y B C≠ entonces A C≠ . c) Si A B∈ y B C⊄ entonces A C∉ . d) Si A B⊂ y B C⊂ entonces C A⊄ . e) Si A B⊂ y B C∈ entonces A C∉ . f) Si A C B∩ ⊂ entonces ( ) ( )A B B C B∩ ∪ ∩ = .

g) Si A C B∩ ∈ entonces .A B C∈ ∪ h) Si A C∩ = ∅ y B C∩ = ∅ entonces ( ) .A B C∪ ∩ = ∅ .

5.- Mostrar que { } { } { }, ,x y y z y∩ = puede ser falso.

6.- Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto X. Simplifique las expresiones:

a) ( )( )CCA A B∪ ∪ ;

b) ( ) ( ) ( )( )CC CA B A A B X∪∅ ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ;

c) ( ) ( )( )CC CA B C B C C∪ ∩ ∪ ∩ ∪ .

7.- Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto X. Probar usando diagramas de Venn que:

( ) ( ) .C CA B A B A B A B∩ ∪ ∩ = ∪ ⇔ ∩ = ∅

8.- Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto X. Probar usando diagramas de Venn, que a) ( ) ( ) ;A B C A B C=△ △ △ △

b) ( );A B A B A B∪ = ∩△ △

c) ( ) ( ) ( );A B C A B A C∩ = ∩ ∩△ △

d) ( ) ( ) ( ) .A B C A B A C A B A C∩ = ∩ ⇔ ∩ = ∩△ △ △

9.- Sean A y B subconjuntos de un conjunto X. Definimos ( )|C

A B A B= ∩ . Mostrar que |CA A A= y

que ( ) ( )| | | .A B A B A B∩ = Escribir A B∪ solo en términos de |.

10.- Sean A, B, C y D conjuntos tales que { } { }, ,A B C D= . Probar que A B C D∩ = ∩ y que

.A B C D∪ = ∪ 11.- Sean A, B , C conjuntos probar que ( ) ( ) ,A B C A B C∩ ∪ ⊂ ∩ ∪ y se tiene la igualdad si y solo si

.C A⊂ 12.- Para los conjunto E, F y G probar, diagramas de Venn, que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).E F F G G E E F F G G E∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ∩ ∪

13.- Dar un ejemplo de conjuntos A, B , C, D con ( ) ( ) ( ) ( ).A B C D A C B D∪ × ∪ ≠ × ∪ ×

14.- Dados los objetos a y b se define la pareja ordenada de a y b como( ) { } { }{ }, , , .a b a a b= Usar esta

definición para probar que ( ) ( ), ,a b c d= sí y solo si y .a c b d= = Además probar que para todo a:

{ } { } { }{ }{ }.a a a× =

15.- Sean A, B , C conjuntos, con A y B no vacíos, probar: ( ) ( ) .A B B A C C A B C× ∪ × = × ⇔ = =

16.- Sea FFFF una familia de conjuntos tales que: , .A B A B∈ ⇒ − ∈F FF FF FF F Probar que si

, .A B A B∈ ⇒ ∩ ∈F FF FF FF F 17.- Sea FFFF una familia de conjuntos. Se define { }°= | ,A B A B− ∈F FF FF FF F . Mostrar que ( )° ⊂ ° °F FF FF FF F . Dar

un ejemplo para mostrar que ( ) .° ≠ ° °F FF FF FF F

18.- Sean A, B conjuntos. Digan si las siguientes afirmaciones son verdaderas. Justifique. a) ( ) ( ) ( );A B A B∩ ∩====P P PP P PP P PP P P

b) ( ) ( ) ( ).A B A B∪ ∪====P P PP P PP P PP P P

19.- Sean A, B , C conjuntos probar, usando diagramas de Venn, que ( ) ( ) ( )A B C A B A C− ∪ = − ∪ −

sí y solo si ( ) ( ) ( ).A B C A B A C∪ = ∪△ △ △ Determinar conjuntos A, B , C con

( ) ( ) ( );A B C A B A C∪ = ∪△ △ △

( ) ( ) ( ).A B C A B A C∪ ≠ ∪△ △ △

20.- Sean 1 2, , , nA A A⋯ subconjuntos de un conjunto X. Se definen inductivamente los subconjuntos

1 2, , , nB B B⋯ de X como sigue: para 1 11: ;n B A= = y 1

1

2 : .n

n n kk

n B A A−

=

∀ ≥ = − ∪ Mostrar que

i jB B∩ = ∅ para ,i j≠ y que 1 1

.n n

k kk k

B A= =

=∪ ∪

21.- Sean A, B conjuntos con .A B⊂ Probar que existe un único subconjunto X de B tal que X A B∪ = y .X A∩ = ∅

22.- EJEMPLO DE CUENTA PARA ESTADÍSTICA 23.- En un grupo 1FM1 al menos 70% de los alumnos estudian Algebra I, al menos 75% estudian

Calculo I, al menos 80% estudian Geometría Analítica, y al menos 85% estudian Física I. ¿Qué porcentaje (al menos) estudia en los cuatro cursos?

24.- Si { }| : 2A x y x y= ∈ ∃ ∈ =Z Z y { }| , : 6 10 ,B a b c a b c= ∈ ∃ ∈ = +Z Z probar que .A B=