PROYECTO DE PROGRAMA PROYECTO DE PROGRAMA DE LA MATERIA DE ALGEBRA DE LA MATERIA DE ALGEBRA

LINEALLINEAL

PROGRAMA PROGRAMA ANALITICOANALITICO

Lic. Julio Vargas HerbasLic. Julio Vargas Herbas

IntroducciónIntroducción      El Álgebra Lineal es seguramente, una de El Álgebra Lineal es seguramente, una de

las herramientas fundamentales en las las herramientas fundamentales en las Ciencias. Originariamente dedicada a la Ciencias. Originariamente dedicada a la resolución de sistemas de ecuaciones, su resolución de sistemas de ecuaciones, su abstracción y formalismo la hacen a veces abstracción y formalismo la hacen a veces un poco árida de entender. Sin embargo la un poco árida de entender. Sin embargo la inmensidad de sus aplicaciones bien vale inmensidad de sus aplicaciones bien vale el esfuerzo: Teoría de la Información, el esfuerzo: Teoría de la Información, Teoría de Códigos,... Incluso las más Teoría de Códigos,... Incluso las más recientes tendencias en computación recientes tendencias en computación como la Computación Cuántica tienen en como la Computación Cuántica tienen en el Álgebra Lineal su herramienta clave.el Álgebra Lineal su herramienta clave.

OBJETIVO GENERAL (S) :OBJETIVO GENERAL (S) : Resolver sistemas de ecuaciones lineales mxn, donde m, n Resolver sistemas de ecuaciones lineales mxn, donde m, n

son son Menores o iguales que 4 usando técnicas matriciales. Calcular Menores o iguales que 4 usando técnicas matriciales. Calcular Determinantes y la inversa de una matriz. Aplicar el álgebra y Determinantes y la inversa de una matriz. Aplicar el álgebra y Lograr de parte del estudiante un manejo fluido de las Lograr de parte del estudiante un manejo fluido de las

matrices y sus transformaciones como así también la matrices y sus transformaciones como así también la incorporación de herramientas provistas por el Álgebra Lineal incorporación de herramientas provistas por el Álgebra Lineal

para encarar problemas geométricos en espacios para encarar problemas geométricos en espacios vectoriales generales. vectoriales generales. Proporcionar al estudiante las herramientas básicas de Proporcionar al estudiante las herramientas básicas de

álgebra lineal, para que en base a ellas pueda interpretar, álgebra lineal, para que en base a ellas pueda interpretar, plantear y resolver problemas tanto académicos (solución plantear y resolver problemas tanto académicos (solución de sistemas de ecuaciones lineales, generación de espacios de sistemas de ecuaciones lineales, generación de espacios vectoriales, etc.) así como algunos de los métodos vectoriales, etc.) así como algunos de los métodos numéricos relacionados, de mayor uso. numéricos relacionados, de mayor uso.

Objetivos Objetivos EspecíficosEspecíficos Aprender y utilizar técnicas y métodos propios del álgebra Aprender y utilizar técnicas y métodos propios del álgebra lineal.lineal.Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos directos. métodos directos. Conocer y aplicar las principales técnicas de cálculo Conocer y aplicar las principales técnicas de cálculo matricialmatricialConocer la estructura de espacio vectorial.Conocer la estructura de espacio vectorial.Comprender y aplicar algunos métodos numéricos de Comprender y aplicar algunos métodos numéricos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.resolución de sistemas de ecuaciones lineales.Conocer el concepto de función lineal.Conocer el concepto de función lineal.Reconocer una matriz diagonalizable y en caso de que lo Reconocer una matriz diagonalizable y en caso de que lo sea saberla diagonalizar. Triangular matrices.  sea saberla diagonalizar. Triangular matrices.  Describir algunas de la aplicaciones del Álgebra a "la Describir algunas de la aplicaciones del Álgebra a "la Informática."Informática."Utilizar el programa en Excel en sus aplicaciones al álgebra Utilizar el programa en Excel en sus aplicaciones al álgebra

CONTENIDO SINTÉTICO: CONTENIDO SINTÉTICO:

Temas: Temas:

1. Sistemas de ecuaciones lineales 1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Matrices. 2. Matrices.

3. Determinantes 3. Determinantes

3.1.Operaciones con Matrices3.1.Operaciones con Matrices

4. Inversa de una matriz 4. Inversa de una matriz

5. Vectores, rectas y planos. 5. Vectores, rectas y planos.

TEMA 1. Sistemas de ecuaciones linealesTEMA 1. Sistemas de ecuaciones linealesOBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS: :

Resolver sistemas de ecuaciones lineales (con Resolver sistemas de ecuaciones lineales (con coeficientes reales) hasta de 4 ecuaciones con 4 coeficientes reales) hasta de 4 ecuaciones con 4 variables por el método de Eliminación de Gauss variables por el método de Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan. y de Gauss-Jordan.

CONTENIDO: CONTENIDO: 1. Resolución de ecuaciones lineales 1. Resolución de ecuaciones lineales 1.1 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 1.1 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

por el método de eliminación de Gauss. por el método de eliminación de Gauss. 1.2 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 1.2 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

por el método de Gauss-Jordan. por el método de Gauss-Jordan. 1.3 Ejemplificar las tres posibilidades de solución de 1.3 Ejemplificar las tres posibilidades de solución de

un sistema de ecuaciones lineales: el sistema un sistema de ecuaciones lineales: el sistema tiene solución única, tiene infinidad de soluciones tiene solución única, tiene infinidad de soluciones o no tiene solución.o no tiene solución.

OBSERVACIONES:OBSERVACIONES:

Evaluación: Evaluación: Se hará mediante la resolución de sistemas de ecuaciones Se hará mediante la resolución de sistemas de ecuaciones

lineales mxn, donde m, n 4 y la ejecución de operaciones lineales mxn, donde m, n 4 y la ejecución de operaciones con matrices.con matrices.

Indicadores de evaluación: Indicadores de evaluación: El alumno El alumno Realiza operaciones por renglones. Realiza operaciones por renglones. Transforma una matriz a su forma escalonada o a su forma Transforma una matriz a su forma escalonada o a su forma

escalonada reducida por filas. escalonada reducida por filas. Reconoce con el método de Eliminación de Gauss o con el Reconoce con el método de Eliminación de Gauss o con el

método de Gauss-Jordan si un sistema de ecuaciones método de Gauss-Jordan si un sistema de ecuaciones lineales lineales

o tiene solución única. o tiene solución única. o tiene una infinidad de soluciones. o tiene una infinidad de soluciones. o no tiene solución. o no tiene solución. Obtiene el conjunto de soluciones de un sistema de Obtiene el conjunto de soluciones de un sistema de

ecuaciones lineales ecuaciones lineales (a lo más de 4x4) con el método de eliminación de Gauss o (a lo más de 4x4) con el método de eliminación de Gauss o

Gauss-Jordan y lo expresa de manera explícita. Gauss-Jordan y lo expresa de manera explícita.

TEMA 2. MatricesTEMA 2. MatricesOBJETIVOS ESPECÍFICOS: OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Realizar las operaciones de suma, producto de una constante por una matriz, Realizar las operaciones de suma, producto de una constante por una matriz, producto de matrices. producto de matrices. CONTENIDO: CONTENIDO: 2. Álgebra matricial 2. Álgebra matricial 2.1 Igualdad de matrices. 2.1 Igualdad de matrices. 2.2 Suma de matrices. 2.2 Suma de matrices. 2.3 Producto de una constante por una matriz. 2.3 Producto de una constante por una matriz. 2.4 Producto de matrices. 2.4 Producto de matrices. 2.5 Matrices especiales: Identidad, transpuesta, triangular, diagonal, 2.5 Matrices especiales: Identidad, transpuesta, triangular, diagonal,

cuadrada, cuadrada, simétrica, etc. simétrica, etc. OBSERVACIONES: OBSERVACIONES: Evaluación: Evaluación: Se hará mediante la ejecución de operaciones con matrices. Se hará mediante la ejecución de operaciones con matrices. Indicadores de evaluación: Indicadores de evaluación: El alumno El alumno Calcula la suma de matrices Calcula la suma de matrices Calcula el producto de un escalar por una matriz Calcula el producto de un escalar por una matriz Calcula el producto de matrices. Calcula el producto de matrices. Realiza operaciones con matrices que combinan las anteriores. Realiza operaciones con matrices que combinan las anteriores. Explica la razón por la cual no se puede realizar alguna de las operacionesExplica la razón por la cual no se puede realizar alguna de las operaciones anteriores. anteriores.

TEMA 3. DeterminantesTEMA 3. DeterminantesOBJETIVOS ESPECÍFICOS: OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Calcular determinantes. Calcular determinantes. CONTENIDO: CONTENIDO: 3. Determinantes. 3. Determinantes. 3.1 Definición. 3.1 Definición. 3.2 Cálculo de determinantes por menores y cofactores. 3.2 Cálculo de determinantes por menores y cofactores. 3.3 Propiedades de los determinantes Cálculo de determinantes 3.3 Propiedades de los determinantes Cálculo de determinantes

aplicando las aplicando las propiedades de los determinantes.propiedades de los determinantes.3.4 Cálculo de determinantes aplicando eliminación gaussiana. 3.4 Cálculo de determinantes aplicando eliminación gaussiana. 3.5 Caracterización por determinantes de la existencia y unicidad de 3.5 Caracterización por determinantes de la existencia y unicidad de soluciones de un sistema de ecuaciones nxn. soluciones de un sistema de ecuaciones nxn. OBSERVACIONES: OBSERVACIONES: Evaluación: Evaluación: Se hará mediante el cálculo de determinantes. Se hará mediante el cálculo de determinantes. Indicadores de evaluación Indicadores de evaluación El alumno El alumno Calcula el menor del elemento (i, j) de una matriz. Calcula el menor del elemento (i, j) de una matriz. Calcula el cofactor del elemento (i, j) de una matriz. Calcula el cofactor del elemento (i, j) de una matriz. Calcula el determinante de una matriz nxn, donde n 4Calcula el determinante de una matriz nxn, donde n 4 . .

TEMA 4. Inversa de una matrizTEMA 4. Inversa de una matrizOBJETIVOS ESPECÍFICOS: OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Calcular la inversa de una matriz. Calcular la inversa de una matriz. Resolver un sistema de ecuaciones por medio de la matriz inversa. Resolver un sistema de ecuaciones por medio de la matriz inversa. CONTENIDO: CONTENIDO: 4. Inversa de una matriz. 4. Inversa de una matriz. 4.1 Método de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz. 4.1 Método de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz. 4.2 La matriz adjunta para calcular la matriz inversa. 4.2 La matriz adjunta para calcular la matriz inversa. 4.3 La regla de Cramer para solución de sistemas 2x2 ó 3x3. 4.3 La regla de Cramer para solución de sistemas 2x2 ó 3x3. OBSERVACIONES: OBSERVACIONES: Evaluación: Se hará mediante la resolución de un sistema de a lo más Evaluación: Se hará mediante la resolución de un sistema de a lo más

3 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas utilizando la matriz inversa. ecuaciones lineales con 3 incógnitas utilizando la matriz inversa. Indicadores de evaluación:Indicadores de evaluación:El alumno El alumno Usando el determinante, identifica si una matriz tiene inversa. Usando el determinante, identifica si una matriz tiene inversa. Calcula la inversa de una matriz por el método de Gauss. Calcula la inversa de una matriz por el método de Gauss. Obtiene la matriz adjunta de una matriz 2x2. Obtiene la matriz adjunta de una matriz 2x2. Calcula la inversa de una matriz 2x2 por el método de la adjunta. Calcula la inversa de una matriz 2x2 por el método de la adjunta. Reescribe un sistema de ecuaciones en forma matricial. Reescribe un sistema de ecuaciones en forma matricial. Resuelve la ecuación matricial AX=B, usando A-1Resuelve la ecuación matricial AX=B, usando A-1

TEMA 5. Vectores, rectas y planos.TEMA 5. Vectores, rectas y planos.OBJETIVOS ESPECÍFICOS: OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Realizar operaciones de suma, producto escalar. Realizar operaciones de suma, producto escalar. Calcular la norma y la dirección de un vector, calcular el ángulo entre vectores.Calcular la norma y la dirección de un vector, calcular el ángulo entre vectores.CONTENIDO: CONTENIDO: 5. Vectores en R2 y R3. 5. Vectores en R2 y R3. 5.1 Características y notación de un vector. 5.1 Características y notación de un vector. 5.2 Producto de un escalar por un vector5.2 Producto de un escalar por un vector5.3 Norma de un vector. Vector unitario.5.3 Norma de un vector. Vector unitario.5.4 Suma de vectores. 5.4 Suma de vectores. 5.4.1 Ley del paralelogramo. 5.4.1 Ley del paralelogramo. 5.5. Producto escalar. Ángulo entre dos vectores. 5.5. Producto escalar. Ángulo entre dos vectores. OBSERVACIONES: OBSERVACIONES: Evaluación: Evaluación: Se hará mediante la realización de operaciones de álgebra vectorial. Se hará mediante la realización de operaciones de álgebra vectorial. Indicadores de evaluación: Indicadores de evaluación: El alumno El alumno Calcula la norma y la dirección de un vector. Calcula la norma y la dirección de un vector. Calcula el producto de un escalar por un vector. Calcula el producto de un escalar por un vector. Calcula vectores unitarios. Calcula vectores unitarios. Calcula la suma de vectores. Calcula la suma de vectores. Calcula el producto escalar de dos vectores. Calcula el producto escalar de dos vectores. Determina el ángulo entre vectores. Determina el ángulo entre vectores.

MODALIDADES DE CONDUCCIÓN DEL PROCESO DE MODALIDADES DE CONDUCCIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJEENSEÑANZA-APRENDIZAJE

Técnicas expositivas y dinámicas de grupo con Técnicas expositivas y dinámicas de grupo con participación activa del alumno en el proceso, participación activa del alumno en el proceso, complementadas con la realización de tareas. complementadas con la realización de tareas.

INFORMACIÓN ADICIONALINFORMACIÓN ADICIONAL Acorde con las políticas generales de la UAGRM, se Acorde con las políticas generales de la UAGRM, se

debe fomentar la debe fomentar la participación activa de los alumnos en el proceso de participación activa de los alumnos en el proceso de

enseñanza-aprendizaje. enseñanza-aprendizaje. MODALIDADES DE EVALUACIÓNMODALIDADES DE EVALUACIÓN Tres evaluaciones periódicas o evaluación terminal Tres evaluaciones periódicas o evaluación terminal

consistentes en la consistentes en la resolución de ejercicios. resolución de ejercicios. El curso podrá acreditarse mediante una evaluación de El curso podrá acreditarse mediante una evaluación de

recuperación recuperación consistente en la resolución de ejercicios. consistente en la resolución de ejercicios.

INFORMACIÓN ADICIONALINFORMACIÓN ADICIONAL

Tres evaluaciones periódicas o evaluación terminal consistentes en la Tres evaluaciones periódicas o evaluación terminal consistentes en la solución de ejercicios: solución de ejercicios:

1ª Evaluación periódica de acuerdo con los indicadores de evaluación 1ª Evaluación periódica de acuerdo con los indicadores de evaluación de los temas del 1 al 2. La evaluación se hará mediante la de los temas del 1 al 2. La evaluación se hará mediante la

resolución resolución de sistemas de ecuaciones lineales mxn, donde m, n son menores o de sistemas de ecuaciones lineales mxn, donde m, n son menores o iguales a 4, la ejecución de operaciones con matrices. iguales a 4, la ejecución de operaciones con matrices. 2ª Evaluación periódica de acuerdo con los indicadores de evaluación 2ª Evaluación periódica de acuerdo con los indicadores de evaluación de los temas 3, 4, y del tema 5, los incisos 5.1 al 5.5. La evaluación se de los temas 3, 4, y del tema 5, los incisos 5.1 al 5.5. La evaluación se hará mediante el cálculo de determinantes, el cálculo de la hará mediante el cálculo de determinantes, el cálculo de la

matriz matriz inversa y su aplicación a la solución de un sistema, operaciones inversa y su aplicación a la solución de un sistema, operaciones

con con vectores, cálculo del ángulo entre vectores. vectores, cálculo del ángulo entre vectores. 3ª Evaluación periódica de acuerdo con los indicadores de evaluación 3ª Evaluación periódica de acuerdo con los indicadores de evaluación de los temas 5.5.1 al 5.5.5. La evaluación se hará mediante de los temas 5.5.1 al 5.5.5. La evaluación se hará mediante operaciones de álgebra vectorial, cálculo de proyección operaciones de álgebra vectorial, cálculo de proyección

ortogonal, ortogonal, producto vectorial y su aplicación al cálculo de áreas, producto vectorial y su aplicación al cálculo de áreas,

volúmenes, volúmenes, rectas y planos en el espacio. rectas y planos en el espacio.

El esquema de evaluación terminal es: El esquema de evaluación terminal es: Tres evaluaciones periódicas, cada una con Tres evaluaciones periódicas, cada una con

la misma ponderación. la misma ponderación. Si las tres evaluaciones periódicas son Si las tres evaluaciones periódicas son

aprobatorias, la evaluación terminal se aprobatorias, la evaluación terminal se calcula con el promedio. calcula con el promedio. Si el alumno no acredita una de las Si el alumno no acredita una de las

evaluaciones periódicas, deberá aprobar evaluaciones periódicas, deberá aprobar esa evaluación el día de la evaluación esa evaluación el día de la evaluación

terminal. terminal. Si el alumno no acredita dos o más de Si el alumno no acredita dos o más de

las evaluaciones periódicas, deberá las evaluaciones periódicas, deberá aprobar la evaluación terminal, que consta aprobar la evaluación terminal, que consta de todo el curso. de todo el curso.

LINEAMIENTOS GENERALESLINEAMIENTOS GENERALES Algebra Lineal es una actividad curricular que Algebra Lineal es una actividad curricular que

pertenece al tercer año (tercer semestre) de las pertenece al tercer año (tercer semestre) de las carrera de Información y Gestión de Control. A carrera de Información y Gestión de Control. A través del cursado de la asignatura el alumno través del cursado de la asignatura el alumno desarrollará competencias tales como la de un desarrollará competencias tales como la de un manejo fluido de las matrices y sus manejo fluido de las matrices y sus transformaciones como así también la transformaciones como así también la incorporación de herramientas provistas por el incorporación de herramientas provistas por el Álgebra Lineal para encarar problemas Álgebra Lineal para encarar problemas geométricos en espacios vectoriales generales. geométricos en espacios vectoriales generales.

Asi mismo se pretende que el alumno adquiera Asi mismo se pretende que el alumno adquiera destrezas en efectuar demostraciones destrezas en efectuar demostraciones matemáticas sencillas de manera rigurosa. matemáticas sencillas de manera rigurosa.

METODOLOGIA DE ENSEÑANZAMETODOLOGIA DE ENSEÑANZA Las clases impartidas son teórico- Las clases impartidas son teórico-

prácticas. Las actividades teóricas se prácticas. Las actividades teóricas se realizan a través de exposiciones realizan a través de exposiciones dialogadas del docente orientadas a dialogadas del docente orientadas a desarrollar en el alumno interés en los desarrollar en el alumno interés en los formalismos matemáticos y precisión en formalismos matemáticos y precisión en su lenguaje. Durante el desarrollo de los su lenguaje. Durante el desarrollo de los Trabajos Prácticos se realizan actividades Trabajos Prácticos se realizan actividades que le permiten al estudiante poner en que le permiten al estudiante poner en práctica las habilidades y verificar los práctica las habilidades y verificar los criterios desarrollados en la materia de criterios desarrollados en la materia de algebra linealalgebra lineal

EVALUACION EVALUACION Condiciones para la promoción de la materia Condiciones para la promoción de la materia Se establecen condiciones de promoción y regularidad, las Se establecen condiciones de promoción y regularidad, las

cuales se resumen a continuación. cuales se resumen a continuación. Promoción: el alumno debe cumplir con un mínimo de Promoción: el alumno debe cumplir con un mínimo de

80% de asistencia a las clases teórico-prácticas y 80% de asistencia a las clases teórico-prácticas y aprobar tres parciales. aprobar tres parciales.

Regularidad: el alumno debe cumplir con un mínimo de Regularidad: el alumno debe cumplir con un mínimo de 80% de asistencia a las clases teórico-prácticas y 80% de asistencia a las clases teórico-prácticas y aprobar dos Parciales. aprobar dos Parciales.

Cada parcial consta de: una parte práctica y una parte teórica Cada parcial consta de: una parte práctica y una parte teórica en cada una de las cuales el alumno para aprobar tendrá en cada una de las cuales el alumno para aprobar tendrá que Tener un mínimo de 50 % de respuestas correctas, y que Tener un mínimo de 50 % de respuestas correctas, y en total no menos del 55 %. Los parciales no son en total no menos del 55 %. Los parciales no son acumulativos. Al final del Semestre hay un parcial de acumulativos. Al final del Semestre hay un parcial de recuperación cuya calificación reemplaza directamente al recuperación cuya calificación reemplaza directamente al parcial no aprobado.parcial no aprobado.

BIBLIOGRAFÍA NECESARIA O RECOMENDABLE BIBLIOGRAFÍA NECESARIA O RECOMENDABLE Bibliografía básica:Bibliografía básica: 1. Howard Anton. Introducción al álgebra lineal. Ed. Limusa, Mexico, 1. Howard Anton. Introducción al álgebra lineal. Ed. Limusa, Mexico, 2004. 2004. BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL Bibliografía complementaria:Bibliografía complementaria: 2. Stanley I. Grossman. Álgebra lineal. 2. Stanley I. Grossman. Álgebra lineal. McGraw-Hill. McGraw-Hill. 3. Bernard Kolman. Algebra lineal con aplicaciones y Matlab. 6ª edición. 3. Bernard Kolman. Algebra lineal con aplicaciones y Matlab. 6ª edición. Prentice Hall. Prentice Hall. 4. Becerril, Benítez, Rivera y Zubieta. Solución de sistemas de ecuaciones 4. Becerril, Benítez, Rivera y Zubieta. Solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss- Jordan. lineales mediante el método de Gauss- Jordan. 5 Elizabeth Vera de Payer. Álgebra Lineal. Manual de Cátedra. 5 Elizabeth Vera de Payer. Álgebra Lineal. Manual de Cátedra. 6 Howard Anton. Introducción al Álgebra Lineal. 6 Howard Anton. Introducción al Álgebra Lineal. 7 Gilbert Strang. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. 7 Gilbert Strang. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. 8 David C. Kay. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. 8 David C. Kay. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. 9 Jesús Rojo, Isabel Martín. Ejercicios y Problemas del Álgebra Lineal. 9 Jesús Rojo, Isabel Martín. Ejercicios y Problemas del Álgebra Lineal. 10 Paloma Sanz, Francisco Vazquez, Pedro Ortega. Problemas de Álgebra Lin10 Paloma Sanz, Francisco Vazquez, Pedro Ortega. Problemas de Álgebra Lin11 Frank Ayres. Matrices. 11 Frank Ayres. Matrices. 12 S. Lipschutz. Álgebra Lineal. 12 S. Lipschutz. Álgebra Lineal. 13 S. Lang. Lineal Álgebra. 13 S. Lang. Lineal Álgebra. 14 Erwin Kreyszig. Matemática Avanzada para Ingeniería. 14 Erwin Kreyszig. Matemática Avanzada para Ingeniería. 15 Kenneth Hoffman, Ray Kunze. Álgebra Lineal. 15 Kenneth Hoffman, Ray Kunze. Álgebra Lineal. 1616 R. Bru, J.Climent, J. Mas, A. Urbano. Álgebra Lineal. R. Bru, J.Climent, J. Mas, A. Urbano. Álgebra Lineal.

PROYECTO DE PROYECTO DE INVESTIGACION INVESTIGACION

DE LA MATERIA DE DE LA MATERIA DE ALGEBRA LINEALALGEBRA LINEAL

TEMA: SISTEMA DE TEMA: SISTEMA DE ECUCIONES LINEALESECUCIONES LINEALES

Titulo: Sistema de Ecuaciones LinealesTitulo: Sistema de Ecuaciones LinealesINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN La discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, La discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales,

empleando distintos procedimientos, completa el estudio del empleando distintos procedimientos, completa el estudio del álgebra matricial que se realiza en la UAGRM. Con esta unidad se álgebra matricial que se realiza en la UAGRM. Con esta unidad se pretende que el alumnado aplique lo estudiado en las Unidades de pretende que el alumnado aplique lo estudiado en las Unidades de Matrices y Determinantes a la discusión y resolución de los Matrices y Determinantes a la discusión y resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. Comienza con la identificación de sistemas de ecuaciones lineales. Comienza con la identificación de los distintos elementos de un sistema de ecuaciones lineales los distintos elementos de un sistema de ecuaciones lineales (incógnitas, coeficientes, términos independientes), su escritura (incógnitas, coeficientes, términos independientes), su escritura utilizando notación matricial y su clasificación. Posteriormente, utilizando notación matricial y su clasificación. Posteriormente, como paso previo a su resolución en los casos en que sea posible, como paso previo a su resolución en los casos en que sea posible, se efectúa su "discusión" o estudio de su compatibilidad, se efectúa su "discusión" o estudio de su compatibilidad, utilizando el Teorema de el método de Gauss. Por último, se utilizando el Teorema de el método de Gauss. Por último, se describen tres procedimientos para su resolución, en el caso de describen tres procedimientos para su resolución, en el caso de que sean compatibles: Regla de Cramer, Método de Gauss y a que sean compatibles: Regla de Cramer, Método de Gauss y a través de la matriz inversa. través de la matriz inversa.

El dominio de los métodos para discutir y resolver un sistema de El dominio de los métodos para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales permitirá al alumnado afrontar el ecuaciones lineales permitirá al alumnado afrontar el planteamiento y resolución de problemas diversos. Si se siguen planteamiento y resolución de problemas diversos. Si se siguen estudios de Ciencias los aplicarán también en Geometría para estudios de Ciencias los aplicarán también en Geometría para estudiar las posiciones relativas de rectas en el plano y en el estudiar las posiciones relativas de rectas en el plano y en el espacio, posiciones relativas de planos y de rectas y planos en el espacio, posiciones relativas de planos y de rectas y planos en el espacio, etc.espacio, etc.

El objetivo generalEl objetivo general De este tema es discutir y resolver sistemas De este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales, haciendo de ecuaciones lineales, haciendo abstracción del tipo de problemas que abstracción del tipo de problemas que origina su planteamiento.Discutir un origina su planteamiento.Discutir un sistema consiste en averiguar si tiene o no sistema consiste en averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es.Resolver un sistema es única o si no lo es.Resolver un sistema es calcular su solución (o soluciones).Los es calcular su solución (o soluciones).Los casos más sencillos (2 ecuaciones con 2 casos más sencillos (2 ecuaciones con 2 incógnitas, 3 ecuaciones con 3 incógnitas, 3 ecuaciones con 3 incógnitas .. . Aquí, analizaremos el caso incógnitas .. . Aquí, analizaremos el caso general: cualquier número de ecuaciones y general: cualquier número de ecuaciones y cualquier número de incógnitascualquier número de incógnitas..

OBJETIVOS OBJETIVOS Valorar la importancia del estudio de los sistemas de Valorar la importancia del estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, dentro del álgebra matricial, así ecuaciones lineales, dentro del álgebra matricial, así como el valor de los conceptos y procedimientos como el valor de los conceptos y procedimientos vistos en las Unidades de Matrices y Determinantes vistos en las Unidades de Matrices y Determinantes y su aplicación en esta Unidad. y su aplicación en esta Unidad.

Escribir un sistema de ecuaciones lineales utilizando Escribir un sistema de ecuaciones lineales utilizando la notación matricial. la notación matricial.

Conocer los criterios de equivalencia de los sistemas Conocer los criterios de equivalencia de los sistemas de ecuaciones lineales.de ecuaciones lineales.

Discutir un sistema de ecuaciones lineales, Discutir un sistema de ecuaciones lineales, utilizando el Teorema de el Método de Gauss. utilizando el Teorema de el Método de Gauss.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales Resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible (determinado o indeterminado), compatible (determinado o indeterminado), utilizando la Regla de Cramer, el método de Gauss y utilizando la Regla de Cramer, el método de Gauss y la matriz inversa. la matriz inversa.

MARCO TEORICOMARCO TEORICOSISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESLINEALES..DefinicionesDefinicionesTeoremas sobre rangosTeoremas sobre rangosMétodo de eliminación de GaussMétodo de eliminación de GaussMétodo de Gauss - JordanMétodo de Gauss - JordanMétodo de Gauss-SeidelMétodo de Gauss-SeidelEcuaciones Lineales HomogéneasEcuaciones Lineales HomogéneasBibliografíaBibliografía

1. Introducción. 1. Introducción. 2. Concepto de sistema de ecuaciones lineales. 2. Concepto de sistema de ecuaciones lineales. 3. Solución de un sistema.3. Solución de un sistema. 4. Tipos de sistema s. Discusión de sistemas.4. Tipos de sistema s. Discusión de sistemas. 5. Notaciones matricial y vectorial. 5. Notaciones matricial y vectorial. 6. Sistemas equivalentes. 6. Sistemas equivalentes. A. Teorema fundamental de equivalencia. Consecuencias.A. Teorema fundamental de equivalencia. Consecuencias.B. Método de eliminación de Gauss-Jordan. ...B. Método de eliminación de Gauss-Jordan. ... 7. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer. .7. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer. . 8. Teorema de Rouch é-Fröbenius. Discusión y resolución 8. Teorema de Rouch é-Fröbenius. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. .....de sistemas de ecuaciones lineales. ..... 9. Sistemas homogéneos. Discusión y resolución9. Sistemas homogéneos. Discusión y resolución10. Eliminación de parámetro s.10. Eliminación de parámetro s.11. Ejercicios. .11. Ejercicios. .12. Problemas12. Problemas13. Ejercicios propuestos 13. Ejercicios propuestos 14. Otros ejercicios. 14. Otros ejercicios.

DEFINICIONESDEFINICIONES

Es aquella en donde en cada término de la Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia. o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:Por ejemplo:

a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 Xn = C1

Es una ecuación algebraica lineal en las Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13,, a1n y que los coeficientes a11, a12, a13,, a1n y el término independiente C1, son el término independiente C1, son constantes reales.constantes reales.

  DEFINICIÓN (Sistema de ecuaciones DEFINICIÓN (Sistema de ecuaciones lineales)lineales) Diremos que un sistema de Diremos que un sistema de ecuaciones es LINEAL en las variables ecuaciones es LINEAL en las variables x1,x2,x3,.... si todas las ecuaciones x1,x2,x3,.... si todas las ecuaciones que lo forman son lineales respecto a que lo forman son lineales respecto a x1,x2,x3,... es decir son de la forma x1,x2,x3,... es decir son de la forma 1x1+2x2+3x3+...+nxn= 1x1+2x2+3x3+...+nxn=

donde 1,2,...,n, son números donde 1,2,...,n, son números reales o bien son funciones reales o bien son funciones dependientes de otras variables que dependientes de otras variables que no son x1,x2,...,xn. no son x1,x2,...,xn.

  DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESLINEALES Existen numerosos modelos económicos que Existen numerosos modelos económicos que suelen utilizar sistemas de ecuaciones lineales. suelen utilizar sistemas de ecuaciones lineales. Este hecho convierte a los sistemas de Este hecho convierte a los sistemas de ecuaciones lineales en uno de los modelos ecuaciones lineales en uno de los modelos matemáticos centrales de la economía. matemáticos centrales de la economía. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DISCUSIÓN DEL SISTEMA DISCUSIÓN DEL SISTEMA RESOLUCIÓN DEL SISTEMA. RESOLUCIÓN DEL SISTEMA. Estas son las tres fases que suelen plantearse en Estas son las tres fases que suelen plantearse en un sistema de ecuaciones lineales. Pero antes de un sistema de ecuaciones lineales. Pero antes de comentar estas fases vamos a dar algunas comentar estas fases vamos a dar algunas generalidades de lo que se entiende por un generalidades de lo que se entiende por un sistema lineal.sistema lineal.

ECUACIÓN ALGEBRÁICA LINEALECUACIÓN ALGEBRÁICA LINEAL Es un conjunto de Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En los ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En los sucesivo se considerarán únicamente sistemas de sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebráicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones algebráicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:ecuaciones de la forma:a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2)a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2)......a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)Aplicando la definición de producto entre matrices, este Aplicando la definición de producto entre matrices, este sistema de sistema de nn ecuaciones algebraicas lineales con ecuaciones algebraicas lineales con nn incógnitas puede escribirse en forma matricial.incógnitas puede escribirse en forma matricial.Este sistema de ecuaciones puede escribirse Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamente como:simbólicamente como:AA X = X = CC (4) (4)en donde en donde AA se llama se llama Matriz del SistemaMatriz del Sistema. La matriz formada . La matriz formada por por AA, a la que se le ha agregado el vector de términos , a la que se le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se le llama la independientes como última columna, se le llama la Matriz Matriz Ampliada del SistemaAmpliada del Sistema, que se representa con , que se representa con (A, C)(A, C)..

EN FORMA DE ECUACIONES:EN FORMA DE ECUACIONES:

    Es la notación estandar: Es la notación estandar:

a11x1+a12x2+a13x3+..+a1nxn=b1 a11x1+a12x2+a13x3+..+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=b2 a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=b2

................................................. .................................................

.am1x1+am2x2+am3x3+....am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn=bm +amnxn=bm

SISTEMA DE ECUACIONESSISTEMA DE ECUACIONESSOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONESSOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Es un conjunto de valores de las incógnitas que Es un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema.las ecuaciones del sistema.

De acuerdo con su solución, un sistema puede De acuerdo con su solución, un sistema puede ser: ser: ConsistenteConsistente, si admite solución; o , si admite solución; o InconsistenteInconsistente, si no admite solución., si no admite solución.

Un sistema Un sistema ConsistenteConsistente puede ser: puede ser: DeterminadoDeterminado, , si la solución es única o si la solución es única o IndeterminadoIndeterminado, si la , si la solución no es única. En este caso se demuestra solución no es única. En este caso se demuestra que existe una infinidad de soluciones.que existe una infinidad de soluciones.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS -JORDANMÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS -JORDANEl primer método que se presenta usualmente en álgebra, El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones algebraicas lineales para la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Este método mediante la combinación de las ecuaciones. Este método se conoce como se conoce como Método de EliminaciónMétodo de Eliminación.. Se denomina Se denomina eliminación Gaussianaeliminación Gaussiana si en el proceso de eliminación se si en el proceso de eliminación se utiliza el esquema particular atribuido a utiliza el esquema particular atribuido a GaussGauss..Utilizando el método de Gauss, un conjunto de Utilizando el método de Gauss, un conjunto de nn ecuaciones con ecuaciones con nn incógnitas se reduce a un incógnitas se reduce a un sistema sistema triangular equivalentetriangular equivalente (un sistema equivalente es un (un sistema equivalente es un sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su vez se resuelve fácilmente por "sustitución inversa"; un vez se resuelve fácilmente por "sustitución inversa"; un procedimiento simple que se ilustrará con la presentación procedimiento simple que se ilustrará con la presentación siguiente.siguiente.El esquema de Gauss empieza reduciendo un conjunto de El esquema de Gauss empieza reduciendo un conjunto de ecuaciones simultáneas, tal como se muestra acontinuacion ecuaciones simultáneas, tal como se muestra acontinuacion en el siguiente ej. a un en el siguiente ej. a un sistema triangular equivalentesistema triangular equivalente como:en el cual los superíndices indican los nuevos como:en el cual los superíndices indican los nuevos coeficientes que se forman en el proceso de reducción. La coeficientes que se forman en el proceso de reducción. La reducción real se logra de la siguiente manera:reducción real se logra de la siguiente manera:

MÉTODO DE GAUSS - JORDANMÉTODO DE GAUSS - JORDAN El método de El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones suficientemente precisas suministra soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan en el número de dígitos que se conservan en el resultado de las operaciones aritméticas, y del resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el número de ecuaciones ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se pueden manejar se puede incrementar que se pueden manejar se puede incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero este considerablemente a más de 15 o 20, pero este método también es impráctico cuando se método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El que se deben resolver simultáneamente. El método de inversión de matrices tiene método de inversión de matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes de ecuaciones números muy grandes de ecuaciones simultáneas.simultáneas.

Las ventajas y desventajas de la Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan. al método de Gauss-Jordan. Aunque los métodos de Aunque los métodos de Gauss-JordanGauss-Jordan y de y de eliminación de Gausseliminación de Gauss pueden parecer casi pueden parecer casi idénticos, el primero requiere idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la obtención de soluciones excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa. directo para obtener la matriz inversa.

DESARROLLO DESARROLLO Históricamente, la imposibilidad de resolver Históricamente, la imposibilidad de resolver sistemas de cuatro o más ecuaciones limitó el sistemas de cuatro o más ecuaciones limitó el alcance de problemas de muchas aplicaciones. alcance de problemas de muchas aplicaciones. El advenimiento de computadoras de fácil acceso, El advenimiento de computadoras de fácil acceso, hace posible y práctica la solución de grandes hace posible y práctica la solución de grandes sistemas de ecuaciones.sistemas de ecuaciones.Entre los objetivos propuestos por la Cátedra para Entre los objetivos propuestos por la Cátedra para la enseñanza - aprendizaje de este tema la enseñanza - aprendizaje de este tema particular de ALGEBRA LINEAL, podemos citar los particular de ALGEBRA LINEAL, podemos citar los siguientes:siguientes: Brindar los conceptos teóricos sobre los distintos Brindar los conceptos teóricos sobre los distintos métodos Linealesmétodos Lineales Capacitar a los alumnos para que practiquen los Capacitar a los alumnos para que practiquen los métodos en una computadora.métodos en una computadora. ProporcionaProporcionarr software que resulte fácil de software que resulte fácil de comprender.comprender.

Resolver el siguiente sistema:Resolver el siguiente sistema:Por el método Gauss-JordanPor el método Gauss-Jordan

Solucion:Observar bien las operaciones en cada pasoSolucion:Observar bien las operaciones en cada paso.-.- el elemento el elemento

pivotal es 2 pivotal es 2

El siguiente sistema quedo triangular El siguiente sistema quedo triangular superior.superior.

El sistema equivalente total es:El sistema equivalente total es:

y por lo tanto la solución del sistema y por lo tanto la solución del sistema es la tripleta (2, 0, -1). es la tripleta (2, 0, -1).

Propuesta metodológicaPropuesta metodológicaNuestro objetivo es implementar nuevas estrategias Nuestro objetivo es implementar nuevas estrategias metodológicas para la enseñanza y el aprendizaje de la metodológicas para la enseñanza y el aprendizaje de la resolución numérica de sistemas de ecuaciones linealesresolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales por por medio de métodos directosmedio de métodos directos, utilizando la computadora y un , utilizando la computadora y un software matemático. software matemático. Para ello,Para ello, buscamos, seleccionamos e implementamos buscamos, seleccionamos e implementamos actividades afines a los intereses de los alumnos que actividades afines a los intereses de los alumnos que cursan esta asignatura.cursan esta asignatura.EEl marco teórico es brindado a los alumnos en forma l marco teórico es brindado a los alumnos en forma tradicional y con el apoyo de un Cuaderno elaborado por los tradicional y con el apoyo de un Cuaderno elaborado por los docentesdocentes. . EEn la actualidad (y como resultado parcial del análisis a n la actualidad (y como resultado parcial del análisis a posteriori y validación de la propuesta) propio que incluye posteriori y validación de la propuesta) propio que incluye algunos temas de Cálculo Numérico, a efectos de brindar algunos temas de Cálculo Numérico, a efectos de brindar una nueva herramienta de apoyo a la explicación del una nueva herramienta de apoyo a la explicación del profesor y fomentar el aprendizaje de los alumnos que profesor y fomentar el aprendizaje de los alumnos que cursan dicha asignatura de algebra lineal.cursan dicha asignatura de algebra lineal.

SUGERENCIAS A SUGERENCIAS A juliusmodel@hotmail.comjuliusmodel@hotmail.com7263348872633488LIC. ADM.JULIO VARGAS HERBASLIC. ADM.JULIO VARGAS HERBASMATERIAL DIDACTICA ELABORADO PARA MATERIAL DIDACTICA ELABORADO PARA LOS ESTUDIANTES DE FACULTAD DE LOS ESTUDIANTES DE FACULTAD DE AUDITORIA FINANCIERA O CONTADURIA AUDITORIA FINANCIERA O CONTADURIA PÚBLICA PÚBLICA LIC.ADM.JULIO VARGAS HERBASLIC.ADM.JULIO VARGAS HERBASEMAIL:juliusmodel@hotmail.comEMAIL:juliusmodel@hotmail.comTELF.CEL.72633488TELF.CEL.72633488ALLAHU AKBARALLAHU AKBARQUADOSHQUADOSHSANTA CRUZ DE LA SIERRA_EP.BOLIVIASANTA CRUZ DE LA SIERRA_EP.BOLIVIAXVI-VI-MCMLXXIXXVI-VI-MCMLXXIXMMX-2010MMX-2010