ALGEBRA LINEAL

TAREA ESPACIOS VECTORIALES

XAVIER SALAZAR BDEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

ESPE

1. COMPROBAR SI TIENEN ESTRUCTURA DE ESPACIOVECTORIAL

REALES Y COMPLEJOS

1.1. Sean a, b ∈ R comprobar que√2 · a− b, tambien es elemento de los

Reales.

1.2. Sean todos los pares odenados en los Complejos, definidas para:La suma :

[z1 z2

]+[z3 z4

]=

[2z1 + 2z3 z2 + z4

]La multiplicacion por un escalar: α

[z1 z2

]=

[αz12

αz22

]MATRICES:

1.3. Las matrices 2x2 en los reales , definidas para:La suma : [

a bc d

]+

[e fg h

]=

[a+ e 00 d+ h

],

La multiplicacion por un escalar:

α

[a bc d

]=

[αa 00 0

],

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

1.4. Sean X1X2...Xn escalares sobre cualquier cuerpo K y A1A2.....An

matrices de dimension nx1, comprobar: A1X1 + A2X2 + ..... + AnXn = B,tiene estructura de espacio vectorial. :a) Si A1A2.....An;B son no conocidos y X1X2...Xn son conocidos.b) Si A1A2.....An, B son conocidos y X1X2...Xn son no conocidos.c) Si A1A2.....An, B son no conocidos y X1X2...Xn son no conocidos.

1.5. Sean A cualquier matriz de nxn, X y B matrices de dimension nx1.Comprobar que los sistema de ecuaciones lineales de la forma AX = Btiene estructura de espacio vectorial. :a) Si A y B son no conocidos y X son conocidos.b) Si A y B son conocidos y X son no conocidos.c) Si A y B son no conocidos y X son no conocidos.

FUNCIONES: Comprobar que tiene estructura de espacio vectorial:1

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1.6. El conjunto de todas las funciones con primera derivada.

1.7. El conjunto de todos los polinomios con restos 3, al ser divididospara x2 + x+ 1.

1.8. El conjunto de las funciones de la forma y′′′ − x · y′

+ (sen(x)) · y = a, para todos los y ∈ F .

2. COMPROBAR QUE TIENE ESTRUCTURA DE SUBESPACIOVECTORIAL:

2.1. Para las matrices complejos C; comprobar que la matrices Hermi-ticas son un subespacio vectorialde las matrices cuadradas.

2.2. Comprobar que las matrices que operen para la multiplicacion(AB = C); siendo B una matriz dada, tienen estructura de subespaciovectorial, en las matrices de nxm sobre cualquier cuerpo K.

2.3. Todos los polinomios de tercer grado si: P (0) = 1,P (1) = 0.

2.4. Es un subespacio de las funciones, todas las funciones pares.

2.5. El subespacio de todos los R4, si |a|+ |b| = 0.

2.6. El conjunto de todas las funciones de la forma: g(x) = a0f(x)+a1f′

(x)+

a2f′′

(x) + a3f′′′

(x) + ........+ anfn(x), son un subespacio de las funciones.

2.7. La traza de una matriz es subespacio de todas las matrices cua-dradas.

2.8. El determinate es un subespacio de las matrices cuadradas.

2.9. La serie de Maclaurin, es un subespacio de todas las funcionesderivables.

2.10. El algoritmo de la division para los polinomios. Suponiendo queel divisor es constante y los otros terminos varian, es un subespacio detodos los polinomios reales.

3. PARA LOS SIGUIENTES ESPACIOS VECTORIALES:

A) U, V ∈ R4

U= {(4 −2 6 3 4

),(2 4 −2 4 7

),(1 −1 2 −1 0

),(1 −1 0 −3 −1

)}

V= {(1 −2 1 −1 1

),(2 1 −1 1 −2

),(3 −2 −1 1 −2

),(2 −5 1 −2 2

)}

B) U, V ∈ C3

U= {(1 i 2− 1

),(1− i 1 + i 1− 3i

)}

V= {(i 1 0

),(1 + i 2 0

),(3 1 0

)}

HALLAR:

3.1. Una base para U, y una base para V.

3.2. Con la base escogida demostrar que BU y BV son lineamente inde-pendientes.

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3.3. De ser posible generar un subespacio para BU y BV .

3.4. U ⊕ V y U ∩ V .

3.5. U → V . .

4. Sea U, espacio vectorial de las funciones racionales, de laforma

f(x) =g(x)

x(x2 − 4);x ̸= 0, x ̸= 2, x ̸= −2,

donde g(x) pertenece a funciones enteras de segundo grado.

4.1. Determinar si U es de dimension 3.

4.2. Determinar si : f1(x), f2(x), f3(x) ∈ U si:

f1(x) =1

x, f2(x) =

1

x− 2, f3(x) =

1

x+ 2.

4.3. V → U . para

V =

{1

x2 − 4,

1

x(x+ 2),

1

x(x− 2)

}5. Sean A matriz simetrica, y B una matriz antisimetrica.

Comprobar que son linealmente independientes

6. Sean V = {v1, v2.v3, v4} una base.

a) Cual de los siguientes espacion V1 o V2 tambien son una base?.b) Caso contrario generar un subespacio respecto de V .

6.1. V1 = {v1 + v2, v2 + v3, v1 + v3}.

6.2. V2 = {v1 + v2, v2 + v3, v3 + v4, v1 + v4}.

7. Sea (U,K,+, ·), donde {u1, u2, u3, u4} ∈ U ,

a) determinar para que valores de a, para que U1 sea una base.

b) Generar un subespacio, para los U .

U1 = {u1+a.u2+a.u3+a.u4, a.u1+u2+a.u3+a.u4, a.u1+a.u2+u3+a.u4, a.u1+a.u2+a.u3+u4}

8. Sea W , el espacio de las funciones Reales,

donde

W = {f(x) + x · g(x), x · f(x) + g(x), h(x)},

es linealmente independiente. De ser posible generar un subespacio respecto dela base {f(x), g(x), h(x)}

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9. Sea V , el espacio de las funciones Reales,

donde

{f1, f2, f3, ........., fn} ∈ V

Comprobar si V es Linealmente Independiente cuando:

9.1. Si f1 ̸= f2 ̸= f3 ̸= ......... ̸= fn.

9.2. Si f1 = a yf2 ̸= f3 ̸= ......... ̸= fn.

9.3. Si f1 = f2 y f3 ̸= f4 ̸= ......... ̸= fn.

9.4. Si f1 = x yf2 ̸= f3 ̸= ......... ̸= fn.

9.5. Si se expresa f1 como una combinacion lineal de f2, f3, ...., fn.

10. Demostrar que V = [(x− a)2, (x− a)(x− b); (x− b)2] es una base delos polinomios en grado 2

11. cual de los siguiente conjuntos es una base

11.1. V = {cos(x), cos(2x), cos(3x)}.

11.2. V = {Ln(x), Ln(x2), Ln(x3)}.

12. Sean U, V ∈ P4, Hallar:

U = {P4/p(−1) = p(0) = p(1) = 0}

V = {P4/p(x) = x · p′(x) + p

′′(x)}

12.1. La base y la dimension de U y V.

12.2. Un vector cambio de coordenadas para U si P (x) = x4 + 2x− 1.

12.3. U → V .

13. Sean U, V ∈ M2x2, Hallar:

13.1. U ⊕ V y U ∩ V .

13.2. V → U .

U =

{(1 −11 −1

),

(1 01 0

),

(0 11 0

)}V =

{(1 11 1

),

(1 11 0

),

(1 10 0

),

(1 00 0

)}14. Sea (W,C,+, ·), donde w1, w2, w3 ∈ W

W1 = {(a− i)w1 + w3, w1 − (2ai)w2 + (a− i)w3, (a− i)w1 + (a)w2 + w3}.

Para que valores de a se puede generar un subespacio deW1 enW , y presentarlos.

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15. Demostrar quei las matrices simetricas y antisimetricas soncomplementarias

16. APLICACIONES A LA INGENIERIA DE BASES YSUBESPACIOS

16.1. DE ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES DE DAVID POO-LE. Pagina 114, Balanceo de ecuaciones quimicas ejecicios 13 y 14.