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CUADERNO VI

FORMAS BILINEALES Y DETERMINANTES

Miguel A. Sainz, Joan Serarols, Anna M. PérezDep. de Informática y Matemática Aplicada

Universidad de Girona

RESUMEN: Como una extensión de las aplicaciones lineales se van a definir las formasbilineales y sus formas cuadráticas asociadas, fundamentos de importantes conceptos talescomo el producto escalar de vectores, norma de un vector, proyección de un vector sobre unsubespacio y ángulo de dos vectores, conceptos básicos en la aplicación del álgebra lineal ala geometría. Las formas bilineales se generalizarán a formas multilineales y, en particular,a los determinantes, cuya definición, propiedades y aplicaciones a la solución de sistemalineales, cálculo de la matriz inversa,..., etc se desarrollarán con detalle.

VI.1.- FORMAS BILINEALES

Sobre V, e.v.s. K, definimos una forma bilineal como una aplicación

f : V 2 K (x,y) f(x ,y)

lineal en cada componente, es decir, para cualesquiera que sean los vectores x,x',y,y' de V y elescalar α de K se verifique

f(x+x ',y) = f(x,y)+f(x ',y) ∧ f(α x,y) = α f(x,y)

f(x,y+y ') = f(x,y)+f(x,y ') ∧ f(x,α y) = α f(x,y)

La imagen de un par de vectores que son combinación lineal de otros, generalizando porinducción, viene dada por

f(α 1x1+...+α mxm , β1y1+...+βmym) = α iβj f(x i,yj)∑1 ≤ i ≤ m1 ≤ j ≤ m

Ejemplo VI.1.1

Sea la aplicación

f : Kn×Kn K (x,y) f(x,y) = Pri(x)·Prj(y)

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en la que la imagen de un par de vectores es el producto de la proyección i-ésima delprimer vector por la proyección j-ésima del segundo vector. Tenemos respecto delprimer vector componente

f(x+x ',y) = (xi+x i' )yj = xiyj+x i' yj = Pri(x)·Prj(y)+Pri(x ')⋅Prj(y) = f(x,y)+f(x ',y)

f(αx,y) = (αxi)yj = α (xiyj) = α f(x,y)

y respecto del segundo vector componente

f(x,y '+y) = xi(y j'+yj) = xiy j'+xiyj = Pri(x)⋅Pr j(y ')+Pri(x)⋅Pr j(y) = f(x,y)+f(x,y ')

f(x,αy) = xi(αyj) = α (xiyj) = α f(x,y)

siendo así una forma bilineal.

Una forma bilineal sobre V diremos que es simétrica si y sólo si

(∀ x,y∈ V) (f(y,x) = f(x,y))

y diremos que es forma bilineal alternada si y sólo si

(∀ x,y∈ V) (f(y,x) = –f(x,y))

Si f es alternada (y si en el cuerpo K la suma de un elemento no nulo consigo mismo es distintade 0), la imagen de un par de vectores iguales es nula ya que al permutar ambos vectores

f(x,x) = –f(x,x) ⇒ f(x,x) = 0

y recíprocamente si para cualquier vector x es f(x,x) = 0, cualquiera que sea y verifica

0 = f(x+y,x+y) = f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y) = f(x,y)+f(y,x) ⇒ f(y,x) = –f(x,y)

es decir, f es alternada.

Ejemplo VI.1.2

La aplicación definida por

f : R2× R2 R (x,y) x1y2–x2y1

siendo x = (x1,x2) y = (y1,y2), es una forma bilineal ya que verifica

f(x+x ',y) = (x1+x1')y2–(x2+x2')y1 = (x1y2–x2y1)+(x1'y2–x2'y1) = f(x ,y)+f(x ',y)

demostrándose de forma análoga las otras condiciones de la definición; además es unaforma bilineal no simétrica ya que

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f(x,y) = x1y2–x2y1 ≠ y1x2–y2x1 = f(y,x)

pero sí es alternada pues

f(y,x) = y1x2–y2x1 = –(y2x1–y1x2) = –f(x,y)

Sea V = Rn, espacio vectorial sobre R y sean los vectores x,y∈ V de componentesrespectivos x = (x1,...,xn) , y = (y1,...,yn); la aplicación de Rn×Rn en R dada por lafórmula

f(x,y) = xiyi∑ i = 1

n

es bilineal ya que

f(x+x ',y) = (xi+x 'i)yi∑ i = 1

n

= (xiyi+x 'iyi)∑ i = 1

n

= xiyi∑ i = 1

n

+ x 'iy i∑ i = 1

n

= f(x ,y)+f(x ',y)

f(αx,y) = (αxi)yi∑ i = 1

n

= αxiyi∑ i = 1

n

= α xiyi∑ i = 1

n

= αf(x,y)

demostrándose análogamente la linealidad respecto del segundo vector. Además es unaforma bilineal simétrica puesto que

f(y,x) = yixi∑ i = 1

n

= xiyi∑ i = 1

n

= f(x,y)

Se designa por L2(V,K) como el conjunto de todas las formas bilineales de V en K ;análogamente por S2(V,K) designaremos el conjunto de todas las formas bilineales simétricasde V en K. Se comprueba fácilmente que las formas bilineales L2(V,K) forman un espaciovectorial sobre K y que S2(V,K) es un subespacio de L2(V,K).

Sea f∈ L2(V,K), V un espacio de dimensión finita, (e1,...,en) una base de V y x,y∈ V , deforma que

x = x1e1+...+xnen y = y1e1+...+ynen

entonces por bilinealidad será

f(x,y) = xiyj f(ei,ej)∑1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ n

por lo que una forma bilineal queda determinada por los escalares

f(ei,ej)

imágenes de los pares de vectores de la base. Por ello, definimos como matriz de la formabilineal la determinada por estos escalares

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Af = (f(ei,ej)) =

f(e1,e1) f(e1,e2) . . f(e1,en)

f(e2,e1) f(e2,e2) . . f(e2,en). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f(en,e1) f(en,e2) . . f(en,en)

que será una matriz simétrica si lo es la forma bilineal y hemisimétrica si la forma lineal esalternada.

Ejemplo VI.1.3

Para la forma bilineal definida por

f : R2×R2 R (x,y) x1y2−x2y1

respecto de la base canónica de R2, como

f((1,0),(1,0)) = 1⋅0−0⋅1 = 0f((1,0),(0,1)) = 1⋅1−0⋅0 = 1

f((0,1),(1,0)) = 0⋅0−1⋅1 = −1f((0,1),(0,1)) = 0⋅1−1⋅0 = 0

la matriz de f será

Af = 0 1

–1 0

Si hacemos

f(ei,ej) = aij

la fórmula de la forma bilineal puede escribirse como el siguiente producto de matrices:

f(x ,y) = x1 x2 . . xn

a11 a12 . . a1n

a21 a22 . . a2n

. . . . . . . . . . an1 an2 . . ann

y1

y2

. .

yn

= xtAf y

Ejemplo VI.1.4

En R4, dados los vectores x = (2,3,0,1) y = (4,2,1,0) la imagen del par que formanen la forma bilineal cuya matriz respecto de la base canónica es

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Af =

1 2 –1 –2

0 0 4 2

–1 1 5 0

2 1 3 1

será

g(x,y) = xtA fy = 2 3 0 1

1 2 –1 –2

0 0 4 2

–1 1 5 0

2 1 3 1

4

2

1

0

= 2 3 0 1

7

4

3

13

= 39

Y la fórmula de g

g(x,y) = x1y1+2x1y2–x1y3–2x1y4+4x2y3+2x2y4–x3y1+x3y2+5x3y3+2x4y1+ +x4y2+3x4y3+x4y4

Si V es un espacio vectorial sobre R, de dimensión 3, tal que la matriz de unaaplicación bilineal f respecto de una base (e1,e2,e3), es

Af =

1 2 0

0 1 0

1 3 1

la imagen por f del par de vectores x = 1e1+2e2+3e3 y y = 2e1−1e2+3e3 será

f(x,y) = 1 2 3 1 2 00 1 01 3 1

2–1

3 = 1 2 3

0–1

2 = 4

La matriz de una forma bilineal vimos que estaba asociada a la base respecto de la cualreferimos el espacio vectorial. Vamos a ver como cambia esta matriz al cambiar la base delmismo. Sean (e1,...,en) y (u1,...,un) bases de V con una matriz M de cambio de base. Sean Ay B las matrices de una forma bilineal f sobre V, en las bases (e) y (u), respectivamente y dosvectores cualesquiera x e y de V, de componentes respecto de ambas bases

x = x1e1+...+xnen = x'1u1+...+x'nun y = y1e1+...+ynen = y '1u1+...+y 'nun

Como, según vimos al resolver el problema del cambio de base

x = Mx' y = My'

tendremos

f(x,y) = xtA y ⇒ x't By' = (Mx ')tA(My ') ⇒ x't By' = x't M tAMy ' ⇒ B = M tA M

f(x ,y) = x 't By '

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Ejemplo VI.1.5

Si una forma bilineal f sobre R3 tiene por matriz respecto de una base (e1,e2,e3)

A =

1 2 0

0 1 0

1 3 1

y (u1,u2,u3) es otra base definida por

u1 = e1 u2 = e1+e2

u3 = e1+e2+e3

tendremos que

u = eM siendo M =

1 1 1

0 1 1

0 0 1

por lo que, según lo anterior, la matriz B de f respecto de esta nueva base será

B = MtAM =

1 0 0

1 1 0

1 1 1

1 2 0

0 1 0

1 3 1

1 1 1

0 1 1

0 0 1

=

1 2 0

1 3 0

2 6 1

1 1 1

0 1 1

0 0 1

=

1 3 3

1 4 4

2 8 9

Diremos que dos vectores x,y∈ V son vectores ortogonales respecto de una formabilineal simétrica f sobre V si y sólo si

f(x,y) = 0

Diremos que dos subconjuntos A y B de V son subconjuntos ortogonales respecto deuna forma bilineal simétrica f cuando todo vector de A sea ortogonal a todo vector de B.

Una base (e1,e2,...,en) de V es base ortogonal respecto de una forma bilinealsimétrica f sobre V si y sólo si para cualesquiera vectores distintos ei ≠ ej es

f(ei,ej) = 0

De manera análoga, diremos que el vector x∈ V es un vector normalizado respecto deuna forma bilineal simétrica f sobre V si y sólo si

f(x,x) = 1

Una base (e1,e2,...,en) de V es base ortonormal respecto de una forma bilinealsimétrica f sobre V si y sólo si

f(ei,ej) = δij

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por lo que la matriz de una forma bilineal simétrica f referida a una base que sea ortonormal,respecto de f, es la matriz unidad.

Como caso particular, si (e1,...,en) y (u1,...,un) son bases ortonormales de V, respecto deuna forma bilineal simétrica f, la matriz de f respecto a ambas bases es la matriz unidad y deacuerdo con la relación existente entre las matrices en bases distintas, tendremos

In = MtInM ⇒ In = MtM ⇒ Mt = M-1

es decir, la matriz de cambio de base entre bases ortonormales cumple la propiedad de que suinversa es igual a su traspuesta. Una matriz con esta propiedad se denomina matrizortogonal. Recíprocamente, si (e) es una base ortonormal de un espacio vectorial V sobre K,y (u) es otra base de V, tales que u = eM, cumpliéndose que

Mt = M-1

entonces (u) es también una base ortonormal ya que si A y B son las matrices de f∈ S2(V,K) enambas bases, respectivamente

B = MtAM = MtIM = M-1M = I

es decir, una matriz es ortogonal si y sólo si sus vectores columna son ortonormales

Ejemplo VI.1.6

Sea (e1,e2,e3) una base ortonormal de V, espacio vectorial sobre R; sea la nueva base

u1 = 1/2e1+ 3/2e2 u2 = − 3/2e1+1/2e2

u3 = e3

La matriz del cambio de base es la matriz regular

M =

1/2 – 3/2 0

3/2 1/2 0

0 0 1

Hallando su traspuesta y su inversa se obtiene

M t =

1/2 3/2 0

– 3/2 1/2 0

0 0 1

= M-1

por lo cual, según los resultados previos, (u1,u2,u3) es base ortonormal, lo que secomprueba fácilmente.

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Ejercicios

VI.1.- Estudiar si son bilineales o no las aplicaciones

a) f : R2×R2 R3 definida por f((x,y),(z,t)) = (x+y,z−t,x−y+z+t)

b) g : R3×R3 R definida por g(x,y) = xx'+yy'+3zz'−2xz'−2zx'

c) h : R2×R2 R definida por h((x,y),(z,t)) = xt−yz

d) t : R×R R3 definida por t(x,y) = (x2,xy,y2)

VI.2.- Expresar las siguientes formas bilineales como producto de matrices del tipo xtAy :

a) f(x,y) = 2x1y1+3x1y2−4x2y1+x2y2 con x,y∈ R2.

b) f(x,y) = 5x1y1−x2y1+2x2y2 con x,y∈ R2.

c) f(x,y) = x1y1+x1y2−x1y3+2x2y1−x2y3 con x,y∈ R3.

VI.3.- Sea f la forma bilineal sobre R3 cuya matriz asociada en la base canónica es

1 2 3

–1 1 1

1 0 1

a) Hallar dos vectores x,y de R3 tales que f(x,y) ≠ f(y,x).

b) Hallar la matriz asociada a f respecto de la base ((1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)) de R3.

VI.4. - En la base B = ((1,0),(1,1)), la matriz asociada a una forma bilineal es A = α1 α2

α3 α4.

para α1 = , α2 = , α3 = y α4 = . Calcular la matriz asociada a dicha forma

bilineal en la base C = ((0,1),(1,2)).

VI.5.- Sea E un espacio vectorial sobre K y sean φ, ψ dos formas lineales de E. Demostrarque la aplicación f de E×E en K definida por f(x,y) = φ(x)·ψ(y) es una forma bilineal.

VI.6.- Demostrar que, si f, g son dos formas bilineales simétricas sobre V e.v.s.K, tales quepara todo x es f(x,x) = g(x,x) entonces f = g. Probar que el resultado no es ciertocuando f y g no son simétricas.

VI.2.- FORMAS CUADRATICAS

Dada una forma bilineal f∈ L2(V,K) se define forma cuadrática fc asociada a f como laaplicación

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fc : V K x fc(x) = f(x,x)

La forma cuadrática fc, al estar asociada a la forma bilineal f, viene definida por ella perodiferentes formas bilineales pueden definir la misma forma cuadrática; por ejemplo, si g es unaforma bilineal alternada y definimos h(x ,y) = g (x ,y)+ f(x ,y), se verifica h (x ,x ) =g(x,x)+f(x,x) = 0+f(x,x) = f(x,x), con lo que hc = fc. Sin embargo, entre todas las formasbilineales asociadas a fc existe una única forma bilineal s que es simétrica (y si en el cuerpo K lasuma de un elemento no nulo consigo mismo es distinta de 0). En efecto, si s es la aplicación deV2 en K definida por

s(x,y) = (fc(x+y)−fc(x)−fc(y))/2

(siendo 2 el elemento 1+1) es una forma bilineal simétrica ya que al ser f bilineal

s(x,y) = (fc(x+y)−fc(x)−fc(y))/2 = (f(x+y,x+y)−f(x,x)−f(y,y))/2 = (f(x,y)+f(y,x))/2

s(y,x) = (f(y,x)+f(x,y))/2 = s(x,y)

Como

s(x,x) = (fc(2x)−fc(x)−fc(x))/2 = (4fc(x)−fc(x)−fc(x))/2 = fc(x)

resulta que s está asociada a fc . Además es única, pues cualquier otra forma bilineal simétrica g,asociada a fc verificará

fc(x+y) = g(x+y,x+y) = g(x,x)+2g(x,y)+g(y,y) = fc(x)+2g(x,y)+fc(y) ⇒ ⇒ g(x,y) = (fc(x+y)−fc(x)−fc(y))/2 = s(x,y)

A esta única aplicación bilineal simétrica s, asociada a la forma cuadrática fc se le denominaforma polar de la forma cuadrática. Se define matriz de una forma cuadrática fc, comola matriz de su forma polar, por lo tanto la matriz de una forma cuadrática siempre es simétrica.

Si V es de dimensión finita, (e1,..,en) es una base de V y A = (aij) es la matriz de f en estabase, entonces

fc(x) = s(x,x) = xtAx = aijxixj∑1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ n

= a11x12+...+ annxn

2+2a12x1x2+...+2an-1 nxn-1xn

es decir, una forma cuadrática es un polinomio en n variables con todos sus términos desegundo grado. Si V es un espacio vectorial real, diremos que la forma cuadrática fc esdefinida positiva si y sólo si

(∀ x∈ V) (x ≠ 0 ⇒ fc(x) > 0)

es decir, si el polinomio anterior tiene un valor numérico positivo cualesquiera que sean xi y xj,no simultáneamente nulos. Análogamente, diremos que la forma cuadrática fc es definidanegativa si y sólo si

(∀ x∈ V) (x ≠ 0 ⇒ fc(x) < 0)

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Ejemplo VI.2.1

La forma cuadrática sobre R2, referida a la base canónica , dada por el polinomio

fc(x,y) = x2+y2

tiene por matriz1 0

0 1

y es definida positiva pues si x e y no son simultáneamente nulos, x2+y2 es mayor que0. La forma cuadrática definida por el polinomio

fc(x,y) = x2+y2−6xy

tiene por matriz

1 –3

–3 1

y no es definida ya que

fc(1,1) = −4 fc(0,1) = 1.

Determinar si una forma cuadrática es definida, positiva o negativa, o no lo es, mediante sufórmula suele ser complicado; más adelante veremos procedimientos prácticos para ello.

Ejercicios

VI.7. - Sea f((x1,x2),(y1,y2)) = α1x1y1+α2x1y2+α3x2y1+α4x2y2, para α1 = , α2 = , α3= y α4 = .

a) Comprobar que f es una forma bilineal. ¿Es simétrica?. ¿Es alternada?.

b) Determinar su forma cuadrática asociada.

c) Expresar matricialmente f.

VI.8.- Determinar las formas cuadráticas representadas por los siguientes productos:

a) x y 1 –3

–3 4

x

y

b) x y z

1 –2 3

–2 4 1

3 1 5

x

y

z

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VI.9.- Consideremos la forma cuadrática sobre R4 definida por

q(x1,x2,x3,x4) = x12+x4

2+x1x2–4x3x4

Hallar la matriz de q en la base canónica de R4. Siendo f la forma polar de q, hállesef(x,y) para x = (1,1,1,1) e y = (0,0,−1,−1).

VI.10.- En la base canónica, una forma cuadrática q(x) definida en R2 tiene la siguienteexpresión:

q(x) = 4x12+3x2

2–6x1x2

Determinar su nueva expresión cuando se toma como base la formada por los vectoresu1 = (1,1) y u2 = (−1,1).

VI.11.- Probar que las formas cuadráticas

q1(x) = x12+x2

2+8x1x2 q2(y) = y12–14y2

2+2y1y2

son equivalentes, haciendo el cambio de variables

x1

x2 =

1 –3

0 1

y1

y2

VI.12.- Dadas las siguientes formas cuadráticas:

a) x2+y2+z2+4xy+4xz+4yz

b) x2+14yz−8xy

c) x2−y2−3z2+4xy+6xz−8yz

d) 2x2+y2+2z2−4t2+4xy−4xz−4yz+4yt

definidas las tres primeras en R3 y la última en R4. Se pide expresarlas en formamatricial e indicar si están definidas en signo.

VI.13.- En R2(x) se define la forma cuadrática fc(P(x)) = P(–1)2+P(0)2+P(1)2.

a) Calcular fc(a1x2+a2x+a3).

b) Hallar la expresión matricial respecto de la base (x2,x,1) de la forma polar asociada.

c) Demostrar que es definida positiva.

VI.3 .- PRODUCTO ESCALAR Y NORMA.

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo real R. Daremos el nombre de producto escalara una forma bilineal simétrica cuya forma cuadrática asociada sea definida positiva, querepresentaremos por

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<·> : V×V R (x,y) <x,y>

A la matriz de la forma bilineal la denominaremos matriz del producto escalar . Un espaciovectorial sobre el cuerpo real en el que se ha definido un producto escalar se denomina espacioeuclidiano.

Ejemplo VI.3.1

En el espacio vectorial Rn la aplicación

Rn×Rn R (x,y) <(x1,...,xn),(y1,...,yn)> = x1y1+...+xnyn

define un producto escalar, que se denomina producto escalar ordinario de Rn, yaque verifica las cinco condiciones que implican la definición. En efecto,

1) <(x1,...,xn),(y1,...,yn)> = <(y1,...,yn),(x1,...,xn)>

ya que x1y1+...+xnyn = y1x1+...+ynxn

2) <α (x1,...,xn),(y1, ..,yn)> = α <(x1,...,xn),(y1,...,yn)>

ya que (αx1)y1+...+(αxn)yn = α (x1y1+...+xnyn)

3) <(x1,...,xn)+(x1',...,x n'),(y1,...,yn)> = <(x1+x1',...,xn+xn'),(y1,...,yn)> =

= (x1+x1')y1+...+(xn+xn')yn = <(x1,...,xn),(y1,...,yn)>+<(x1',...,x n'),(y1,...,yn) >

4) <(x1,...,xn),(x1,...,xn)> = x12+...+xn

2 ≥ 0

5) <(x1,...,xn),(x1,...,xn)> = 0 ⇔ x12+...+xn

2 = 0 ⇔ x12 = 0 ∧ ... ∧ xn

2 = 0 ⇔ ⇔ x1 = 0 ∧ ... ∧ xn = 0 ⇔ (x1,...,xn) = (0,...,0)

La matriz de este producto escalar respecto de la base canónica es la matriz unidad deorden n

Af = In=

1 0 . . 0

0 1 . . 0

. . . . . .

0 0 . . 1

Si V es un espacio euclidiano, al ser el producto escalar sobre V una forma bilinealsimétrica, la imagen del par de vectores x e y viene dada en forma matricial por

<x ,y> = x1 . . xn <ei,ej>

y1

. .

yn

= xtAy

siendo A = (<ei,ej>) la matriz del producto escalar en la base de referencia; está formada por los

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productos escalares de los pares de vectores de la base y será una matriz simétrica. Si la base dereferencia es ortonormal, la matriz (<ei,ej>) es la matriz unidad In y el producto escalar de losdos vectores es

<x ,y> = x1 . . xn In

y1

. .

yn

= xty

Mediante el producto escalar se define la norma de un vector, que corresponde a lo queintuitivamente se denomina longitud o módulo. Sea V un espacio vectorial sobre R en el que seha definido un producto escalar, y sea x∈ V; definimos la norma de x, que representaremospor x , como

x = (<x,x>)1/2

que existe, cualquiera que sea x, pues

<x,x> ≥ 0

Los vectores cuya norma es 1 reciben el nombre de vectores normalizados.

En el Tabla VI.3.1 están las propiedades más importantes de la norma de un vector.

TABLA VI.3.1____________________________________________________

Propiedades de la norma

1) x ≥ 0

2) x = 0 equivale a x = 0

3) αx = α x

±1 4) x ≠ 0 implica x = 1

x

5) <x,y> ≤ x · y (desigualdad de Schwartz)

6) <x,y> = x · y equivale a {x,y} l.d.

7) x+y ≤ x + y (desigualdad triangular)____________________________________________________

Demostraciones:

1) Obvia, pues por definición la norma es la raíz cuadrada positiva de <x,x>.

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2) Aplicando propiedades del producto escalar, tenemos

x = 0 ⇔ (<x,x>)1/2 = 0 ⇔ <x,x> = 0 ⇔ x = 0

3) αx = (<αx,αx>)1/2 = (α2<x,x>)1/2 = (α2)1/2(<x,x>)1/2 = α x

4) Expresa esta propiedad que si multiplicamos un vector no nulo por el inverso de su normase obtiene un vector proporcional a él, obviamente, y normalizado ya que, según 3)

±1 1 x = x = 1 x x

El proceso, basado en esta propiedad, de obtener a partir de un vector x otro proporcional aél y normalizado se denomina normalización del vector; existen únicamente dos vectores,opuestos entre si, como resultado de este proceso de normalización ya que si

x ≠ 0 1 1 y = 1 ⇔ αx = 1 ⇒ α x = 1 ⇒ α = ⇒ α = ± y = αx x x

5) Si u es un vector normalizado cualquiera, como para todo vector x∈ V es

<x−<u,x>u , x−<u,x>u> ≥ 0

que equivale a que

<x,x>−<x ,<u,x>u>−<<u,x>u , x>+<<u,x>u ,<u,x>u> ≥ 0 ⇔ ⇔ x 2−<u,x><x,u>−<u,x><u,x>+<u,x>2 u 2 ≥ 0 ⇔ ⇔ x 2−<u,x>2 ≥ 0 ⇔ x 2 ≥ <u,x>2 ⇔ x ≥ <u,x>

Sea ahora un vector y ≠ 0 por lo que, teniendo en cuenta que y/ y es un vectornormalizado, sustituyendo u por y / y en la desigualdad anterior, podemos escribir

1 1 x ≥ < y,x> ⇔ x ≥ <y,x> ⇔ <x,y> ≤ x · y

y y

Si y = 0 se verifica la desigualdad pues <x,y> = 0 y y = 0.

6) Si u es un vector normalizado, de acuerdo con el razonamiento anterior

<u,x> = x · u = x ⇔ <x−<u,x>u , x−<u,x>u> = 0 ⇔ ⇔ x−<u,x>u = 0 ⇔ x = <u,x>u ⇔ x = αu

Para cualquier y ≠ 0, al ser y/ y un vector normalizado, tendremos

1 α x = α y = y ⇔ {x,y} l.d.

y y

Si y = 0, la equivalencia es evidente.

15

7) Como x+y 2 = <x+y , x+y> = <x,x>+<x,y>+<y,x>+<y,y> = x 2+2<x,y>+ y 2 ≤ ≤ x 2+2 <x,y> + y 2 ≤ x 2+2 x · y + y 2 = ( x + y )2

sacando raíz cuadrada positiva, tenemos la propiedad.

Ejemplo VI.3.2

En Rn con el producto escalar ordinario, la norma de un vector es

(x1,...xn) = (x12+...+xn

2)1/2

y, por ejemplo, en R3

(1,−4,8) = (12+(−4)2+8 2)1/2 = 9

Si multiplicamos este vector por el inverso de su norma, 1/9 , tendremos el vector

(1/9,−4/9,2/9)

que es normalizado y proporcional a él; lo mismo que el opuesto

(−1/9,4/9,−2/9)

Los vectores de la base canónica de Rn con el producto escalar ordinario sonnormalizados ya que

(0,...,0,1,0,...,0) = (02+...+02+12+02+...+02)1/2 = 1

Ejercicios

VI.14.- Sea f : Rn×Rn R . Siendo x e y dos vectores de Rn, determinar si lasaplicaciones que se dan a continuación son o no productos escalares:

a) f(x,y) = xi∑i = 1

n

yi

b) f(x,y) = xi∑i = 1

n

yj∑j = 1

n

c) f(x,y) = xi2+yi

2∑i = 1

n

d) f(x,y) = (xi–yi)2∑

i = 1

n

– xi2∑

i = 1

n

– yi2∑

i = 1

n

16

VI.15.- Demostrar que (R3,⊗ ) con

(x1,x2,x3)⊗ (y1,y2,y3) = x1y1−2x1y2−2x2y1+6x2y2+x2y3+x3y2+x3y3

es un espacio vectorial euclidiano.

VI.16.- En R3, para cualquier par de vectores x = (x1,x2,x3) y = (y1,y2,y3) se define

<x,y> = ax1y1+ax2y2+x3y3+x1y2+x2y1

Hallar la condición que ha de satisfacer el número real a para que sea un productoescalar.

VI.17.- Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensión n y sea (a1, a2,..., an) una base deV. Demostrar que existe un producto escalar en V para el que esta base es ortonormal.

VI.18.- Sea (V,<,>) un espacio vectorial euclidiano, pruébese que, para cualesquiera vectoresx,y,z∈ V, se verifica

|| x+y+z ||2 = || x ||2+ || y ||2+ || z ||2+2<x,y>+2<y,z>+2<z,x>

VI.19.- Sea el espacio vectorial de los polinomios de grado dos con coeficientes reales sobreR, y sea la l.c. sobre este espacio definida por

(a 2x2+a1x+a 0)·(b2x2+b1x+b0) = (a 2+a1+a 0)·(b2+b1+b0)

¿Es un producto escalar ?.

VI.20.- Sea R3[x] el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales sobre R y degrado menor o igual a tres. Demostrar que el producto

P(x)·Q(x) = P(x)·Q(x) dx0

1

es un producto escalar. Determinar la norma del polinomio x2+2x+7.

VI.4.- ORTOGONALIDAD

El concepto de ortogonalidad de vectores respecto de una forma bilineal simétrica en el casode un producto escalar tiene aplicaciones geométricas interesantes que se verán en el Capítulodedicado a la Geometría. Sea V e.v.s. R euclidiano; dos vectores x,y de V son ortogonalesrespecto del producto escalar definido en V, lo que escribiremos

x ⊥ y

cuando su producto escalar es nulo, es decir

x ⊥ y si y sólo si <x,y> = 0

17

De la definición se deduce inmediatamente

a) Para todo x∈ V es 0 ⊥ x , ya que <0,x> = (0 ... 0) Ax = 0

b) x ⊥ y equivale a y ⊥ x , ya que <x,y> = <y,x> = 0

c) x ⊥ y equivale a αx ⊥ y , ya que <αx,y> = α<x,y> = 0, para cualquier α∈ R*

d) x ⊥ y equivale a x+y 2 = x 2+ y 2 , ya que

x+y 2 = <x+y,x+y> = <x,x>+2<x,y>+<y,y> = x 2+ y 2

Un conjunto de vectores A ⊆ V es ortogonal si y sólo si todos sus vectores son ortogonalesentre sí; por ejemplo, el conjunto {x1,...,xn}⊆ V será ortogonal si y sólo si

(∀ xi,xj∈ {x1,...,xn}) (i ≠ j ⇒ <xi,xj> = 0)

Un conjunto A ⊆ V es ortonormal si es ortogonal y todos sus vectores son normalizados;por ejemplo, el conjunto {x1,...,xn}⊆ V será ortonormal si y sólo si

0 para i ≠ j <xi,xj> = 1 para i = j

En particular, si un conjunto de vectores ortonormales forma una base de V, hablaremos debase ortonormal. Una base formada por un vector normalizado se considera ortonornal

En la Tabla VI.4.1 figuran las propiedades más interesantes que se deducen de lasdefiniciones precedentes.

TABLA VI.4.1______________________________________________________________

Propiedades de los conjuntos de vectores ortogonales

1) Si {x1,...,xm} ortogonal y ningún xi es nulo, entonces {x1,...,xm} l.i.

2) (e1,...,en) base ortonormal de V x = x1e1+...+xnen implican <x,y> = x1y1+...+xnyn y = y1e1+...+ynen

3) Si V es un espacio vectorial euclidiano de dimensión finita, existeuna base ortonormal de V

______________________________________________________________

Demostraciones:

1) En efecto, si α 1x1+...+α mxm = 0 multiplicando escalarmente

por x1 : <α 1x1+...+α mxm , x1> = <0,x1> = 0 ⇒ α 1<x1,x1> = 0 ⇒ α 1 = 0

por x2 : <α 1x1+...+α mxm , x2> = <0,x2> = 0 ⇒ α 2<x2,x2> = 0 ⇒ α 2 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

por xm : <α 1x1+...+α mxm , xm> = <0,xm> = 0 ⇒ α m<xm,xm> = 0 ⇒ α m = 0

luego forman un conjunto l.i.

2) Como <ei,ej> es 1 si i = j y 0 si i ≠ j , según hemos obtenido para la imagen de un par devectores

<x,y> = xiyj <ei,ej>∑1 ≤ i ≤ n

1 ≤ j ≤ n

= x1y1+...+xnyn

Esta propiedad expresa que si el espacio vectorial está referido a una base ortonormal elproducto escalar de dos vectores toma una expresión muy sencilla, análoga a la del productoescalar ordinario de Rn. Por ello, es conveniente averiguar si en un espacio vectorial V sobreR de dimensión finita, en el que se ha definido un producto escalar, es posible hallar unabase ortonormal respecto a ese producto. Ello es posible según demuestra la propiedad 3).

3) Si dim (V) = 1 y (e) es una base de V, entonces (e/ e ) es una base ortonormal. Sidim(V) = n, sea (e1,...,en) una base de V. Construimos los vectores

v1 = e1

v2 = e2+α 21v1 tal que v2 ⊥ v1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vn = en+α n1v1+...+α n n-1vn-1 tal que vn ⊥ v1 ∧ ... ∧ vn ⊥ vn-1

que forman un conjunto {v1 ,...,vn} ortogonal, con ningún vector nulo y por tanto l.i., luegoforman base de V. Demostremos por inducción que los vectores vi existen y son únicos. Sea

S = {i∈ N v1 = e1, v2 = e2+α 21v1,..., v i = e i+α i1v1+...+α ii-1vi-1 no nulos y ortogonales}

que contiene a 2, pues para que v2 ⊥ v1 basta hacer −<e2,v1>

0 = <v2,v1> = <e2,v1>+α 21<v1,v1> ⇒ α 21 = <e1,e1>

por ser <v1,v1> = <e1,e1> ≠ 0. Además es v2 ≠ 0, pues en caso contrario e2+α 21e1 = 0 y{e1,e2} sería l.d.

i∈ S ⇒ i+1∈ S pues al ser vi+1 = ei+1+α i+11v1+...+α i+1ivi tendremos que para que seavi+1 ⊥ vj (j = 1,...,i) basta hacer

0 = <vi+1,vj> = <ei+1,vj>+α i+11<v1,vj>+...+α i+1i <vi,vj> =

−<ei+1,vj> = <ei+1,vj>+α i+1j<vj,vj> ⇒ α i+1j = <vj,vj>

Además vi+1 ≠ 0, pues en caso contrario ei+1+α i+11v1+...+α i+1 ivi = 0con lo que ei+1 sería c.l. de v1 ,...,vi y, por ello, de e1,...,ei.

Así hemos construido un conjunto {v1 ,...,vn} que, al ser ortogonal y con todos sus vectoresno nulos, será l.i., por lo que es una base ortogonal de V. La base ortonormal buscada será

19

v1 vn ( ,..., )

v1 vn

Este proceso de obtener una base ortonormal partiendo de una base cualquiera de V sedenomina proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt que demuestra que todoespacio vectorial de dimensión finita posee una tal base.

Ejemplo VI.4.1

Apliquemos el proceso anterior para obtener una base ortonormal a partir de la base((1,−1,1),(2,0,1),(1,1,1)) de R3 suponiendo que el producto escalar es el ordinario; elprimer vector de la base ortogonal será

v1 = (1,−1,1)

El segundo vector vendrá definido por las condiciones

v2 = (2,0,1)+α 21(1,−1,1) ∧ v2 ⊥ v1

es decir,

0 = <v2,v1> = 3+3α 21 ⇒ α 21 = −1 ⇒ v2 = (2,0,1)−(1,−1,1) = (1,1,0)

El tercer vector vendrá dado por

v3 = (1,1,1)+α 31(1,−1,1)+α 32(1,1,0) ∧ v3 ⊥ v1 ∧ v3 ⊥ v2

con lo cual

0 = <v3,v1> = 1+3α 31 α 31 = −1/3 ⇒ ⇒ v3 = (−1/3,1/3,2/3)

0 = <v3,v2> = 2+2α 32 α 32 = −1

luego una base ortogonal es ((1,−1,1),(1,1,0),(−1,1,2)) y normalizándola obtenemos

(1

3 ,

–1

3 ,

1

3) , (

1

2 ,

1

2 , 0) , (

–1

6 ,

1

6 ,

2

6)

Diremos que un vector x∈ V es ortogonal a un subespacio A si x es ortogonal a todovector de A; si A es un subespacio de dimensión finita se verifica que

"x ortogonal a A equivale a que x es ortogonal a los vectores de cualquier base de A"

En efecto, sea (u1,...,un) una base de A. Tendremos

x ortogonal a todo vector de A ⇒ x ⊥ u1,...,x ⊥ un

Recíprocamente six ⊥ u1 ,..., x ⊥ un

20

para todo u∈ A será

u = α 1u1+...+α nun ⇒ <x,u> = <x,α 1u1+...+α nun> = α 1<x,u1>+...+α n<x,un> = 0

Diremos que A y B son subespacios ortogonales cuando todo vector de A es ortogonala todo vector de B; si A y B son de dimensión finita se verifica que

"A ortogonal a B equivale a que los vectores de cualquier base de A son ortogonales a losvectores de otra base de B"

En efecto, sean (u1,...,up) base de A y (v1 ,...,vr) base de B. Si todo vector de A es ortogonal atodo vector de B, entonces

u1 ⊥ v1 ,..., u1 ⊥ vr ,..., up ⊥ v1 ,..., up ⊥ vr

Recíprocamente, si se verifica lo anterior, para dos vectores cualesquiera

u = α 1u1+...+α pup∈ A v = β1v1+...+βrvr∈ B

será

<u,v> = α 1β1<u1,v1>+..+α 1βr<u1,vr>+...+α pβ1<up,v1>+..+α pβr<up,vr> ⇒ <u,v> = 0

Dado un subconjunto X = {x1,...xm}⊆ V el conjunto de vectores ortogonales a ellos formanun subconjunto que se denota por X⊥ y verifica que es un subespacio de V. En efecto

(∀ x∈ X⊥ ) (x⊥ X) <(αx+βy),x1> = α<x,x1>+β<y,x1> = 0 ⇒ (αx+βy) ⊥ x1 (∀ y∈ X⊥ ) (y⊥ X) ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (∀ αβ∈ R) <(αx+βy),xm> = α<x,xm>+β<y,xm> = 0 ⇒ (αx+βy) ⊥ xm

con lo que αx+βy∈ X⊥

Dado un subespacio A de V, el conjunto de vectores de V ortogonales a los vectores de A sedenomina subespacio ortogonal asociado al subespacio A y se representa por A⊥ . Si V esde dimensión finita se verifican las propiedades de la Tabla VI.4.2

TABLA VI.4.2____________________________________________________________

Propiedades de los subespacios ortogonales

1) A⊕ A⊥ = V

2) dim(A)+dim(A⊥ ) = dim(V)

3) Si B es subespacio ortogonal a A, entonces B ⊆ A⊥

4) Si A y B son subespacios ortogonales, entonces dim(A)+dim(B) ≤ dim(V)______________________________________________________________

21

Demostraciones:

1) En efecto, por un lado

x∈ A∩ A⊥ ⇒ x∈ A ∧ x∈ A⊥ ⇒ x ⊥ x ⇒ <x,x> = 0 ⇒ x = 0 ⇒ A ∩ A⊥ = {0}

y por otro lado, si (u1,...,um) es base de A el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt asegura la existencia de una base (e1,...,em) ortogonal de A, que se puede completarpara hallar una base de V

(e1,...,em,u i m+1,...,u i n)

y el proceso de Gram-Schmidt vuelve a asegurar una base ortonormal

(e1,...,em ,em +1,...,en)

esta vez para V, siendo, entonces (em +1,...,en) base de A⊥ pues forman un conjunto l.i. y

x∈ A⊥ ⇒ x∈ V ⇒ x = α 1e1+...+α mem+α m+1em+1+...+α nen

y multiplicando escalarmente por e1,...,em llegamos a

α 1 = ... = α m = 0 ⇒ x = α m+1em+1+...+α nen

Por tanto

(∀ v∈ V) (v = (β1e1+...+βmem)+(βm+1em+1+...+βnen) = x1+x2) , con x1∈ A y x2∈ A⊥

2) Se deduce inmediatamente de la propiedad anterior.

3) Por definición de subespacio ortogonal.

4) Como B ⊆ A⊥ , entonces dim(A)+dim(B) ≤ dim(A)+dim(A⊥ ) = dim(V).

Ejemplo VI.4.2

Consideremos el subespacio [(1,2,−1)] ⊆ R3, referido éste a la base canónica.Definiendo un producto escalar f en R3 por la fórmula

f((x ,y ,z),(x ',y ',z ')) = xx '+yy '+zz '

el subespacio ortogonal asociado vendrá dado por la condición

A⊥ = {(x,y,z)∈ R3 f((x,y,z),(1,2,−1)) = 0}

es decir, x+2y−z = 0, resultando ser

x = −2y+z ⇒ [(1,2,−1)]⊥ = [(−2,1,0),(1,0,1)]

Para otro producto escalar g definido por

22

g((x,y,z),(x ',y ',z ')) = xx '+ 2xy '+3xz '+2yx '+yy '−yz '+3zx '−zy '

el subespacio ortogonal asociado al mismo subespacio anterior, vendrá dado por

A⊥ = {(x,y,z)∈ R3 g((x,y,z),(1,2,−1)) = 0}

es decir, x+4x−3x+2y+2y+y+3z−2z = 0, resultando

z = −2x−5y ⇒ [(1,2,−1)]⊥ = [(1,0,−2),(0,1,−5)]

Vemos que, para un mismo vector el subespacio ortogonal asociado al subespaciogenerado por él, es distinto según sea el producto escalar que se defina.

Sea x un vector no nulo y A un subespacio de V. Llamaremos proyección ortogonal dex sobre A, que denotaremos por prA(x), al vector definido por las condiciones

1) prA(x)∈ A

2) (x−prA(x)) ⊥ A

Según esta definición, tenemos que x'∈ A es proyección de x sobre A si y sólo si x−x ' esortogonal a A. Además el vector proyección de x sobre A es único pues si x' y x'' son dosproyecciones de x sobre A tendremos que x'−x''∈ A y además al verificarse que

(∀ v∈ A)(<(x '−x ''),v> = <((x−x '')−(x−x ')),v> = <(x−x ''),v> −<(x−x'),v> = 0)

es x '−x ''∈ A⊥ , luego, según la propiedad 1) de los subespacios ortogonales:

x '−x '' = 0 ⇒ x ' = x ' '

Si x∈ A, entonces prA(x) = x pues prA(x) = x∈ A y x−prA(x) = 0 ⊥ A .

En el caso particular de ser A de dimensión 1, es decir, A = [v] tendremos que de

prv(x)∈ [v] ∧ (x−prv(x)) ⊥ [v]

se deduce <x,v>

prv(x) = αv ⇒ <(x−α v),v> = 0 ⇒ <x,v>−α<v,v> = 0 ⇒ α = <v,v>

luego

<x,v>prv(x) = v

<v,v>

que se denomina proyección del vector x sobre el v. Si x ⊥ v , entonces prv(x) = 0.

Ejemplo VI.4.3

Sean en R3 e.v.s. R el vector x = (1,−2,1) y el subespacio A = [(1,0,2),(−1,−1,1)]

23

Calculemos prA(x)

prA(x)∈ A ⇒ prA(x) = α 1(1,0,2)+α 2(−1,−1,1) = (α 1−α 2,−α 2, 2α 1+α 2)

(x−prA(x)) ⊥ A ⇒ (x−prA(x)) ⊥ (1,0,2) ∧ (x−prA(x)) ⊥ (−1,−1,1) ⇒

1(1−α 1+α 2)+0(−2+α 2)+2(1−2α 1−α 2) = 0 α 1 = 1/2 ⇒ ⇒

−1(1−α 1+α 2)+(−1)(−2+α 2)+1(1−2α 1−α 2) = 0 α 2 = 1/2

luego prA(x) = (0,−1/2,3/2) . La proyección de x sobre el vector v = (1,2,5) es

1−4+5prv(x) = (1,2,5) = (1/15,2/15,5/15)

12+22+52

Ejercicios

VI.21 . -En un espacio vectorial euclidiano de dimensión cinco y respecto de una baseortonormal se consideran los vectores de componentes

a = (1,2,0,−1,0) b = (0,1,−1,1,0) c = (0,α1,α2,α3,α4)

para α1 = , α2 = , α3 = y α4 = . Descomponer c en suma de dos vectores:uno de ellos combinación lineal de a y b, y el otro ortogonal al subespacio [a,b].

VI.22.- En el espacio euclidiano R4, con el producto escalar ordinario, demostrar que losvectores v1 = (2,0,−1,−1) y v2 = (2,2,2,2) son ortogonales y hallar otros dos vectoresv3 y v4 que con los anteriores formen un conjunto ortogonal l.i.. Encontrar también unvector w ortogonal con v1, v2, y v3 y comprobar que es combinación lineal de v3 yv 4.

VI.23.- Respecto del producto escalar ordinario, ortonormalizar el conjunto que forman losvectores x = (1,1,0,−1), y = (1,0,0,4) y z = (2,0,1,−1).

VI.24.- En el espacio R4 dotado del producto escalar ordinario, se considera el subespaciovectorial H engendrado por los vectores v1 = (1,1,0,0) y v2 = (0,1,−1,1). Determinaruna base ortonormal de H y completarla hasta obtener una base de R4.

VI.25.- Sea R3 con el producto escalar ordinario. Se pide

a) Averiguar si los vectores v1 = (1,1,1), v2 = (1,2,−3) y v3 = (5,−4,−1) sonortogonales. A partir de ellos, hallar una base ortonormal de R3.

b) Hallar los vectores normalizados que son ortogonales a los vectores v1−v2 yv1+v3.

c) Hallar los vectores ortogonales a 2v2+v3 y que pertenezcan al subespacio vectorialengendrado por v1−v2 y v1+v3.

VI.26.- Sea F = {x∈ R4 x1+x2 = x3+x4 ; 2x1−x2 = x3} un subespacio vectorial de R4 sobre

24

R con el producto escalar ordinario. Se pide

a) Hallar la dimensión y una base de F.

b) Descomponer el vector (1,−1,0,3) en un vector de F y otro de F ⊥ .

c) Hallar una base ortonormal de R4, (a, b, c, d) tal que b, y c pertenezcan a F.

VI.27 . -En R3 se define el producto escalar

<(x1,x3,x3),(y1,y2,y3)> = 4x1y1+x2y2+x2y3+x3y2+4x3y3

y se considera el subespacio [(1,α1,α2),(1,α3,α4)] para α1 = , α2 = , α3 = yα4 = . Calcular:

a) su expresión matricial respecto de la base canónica y la expresión matricial de larestricción del producto escalar a V en la base ((1,–1,1),(1,1,1)),

b) una base ortonormal de V.

VI.28.- Sea (e1,e2,e3) una base de E, espacio vectorial sobre R, que verifica

e1 = 3 , e2 = 2 , e3 = 1 , <e1,e2> = 2 , <e2,e3> = 0 , <e1,e3> = 1

a) Hallar la expresión matricial del producto escalar respecto de la base (e1,e2,e3) y dela base (e1,e1+e2,e1+e2+e3).

b) Calcular la norma del vector v = 2e1+e2–3e3.

c) Calcular el ángulo que forman los vectores u1 = e1–e2 y u2 = 2e2–e3.

d) Hallar una base ortonormal del subespacio [u1,u2].

VI.29.- Sea f una forma bilineal sobre R3 de matriz respecto de la base canónica 4 0 –1

0 3 0

–1 0 4

.

a) Comprobar que f es un producto escalar.

b) Si F = {(x,y,z)∈ R3 | x–y+z = 0 , y+z = 0}, hallar F⊥ .

c) Hallar una base ortonormal de R3 respecto de este producto escalar.

VI.30.- Sobre el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [−1,1] se define elsiguiente producto escalar:

<f,g> = x 2f(x)g(x) dx–1

1

Aplicando el método de ortogonalización de Gram-Schmidt al conjunto de polinomios{1,x,x2} hallar una base ortonormal para el espacio de polinomios R2[x].

25

VI.31.- En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que dos R2(x) se

define el producto escalar <P(x),Q(x)> = P(x)Q(x) dx–1

1

. Se pide

a) Hallar su expresión matricial respecto de la base (1,x,x2) y también respecto de labase (1–x,x+x2,2x–x2).

b) Hallar una base ortonormal de R2(x) respecto de este producto escalar.

VI.32 . -En el espacio vectorial R4, hallar las ecuaciones de la proyección ortogonal sobre elsubespacio engendrado por los vectores (0,α1,α2,1) y (α3,α4,−1,0), para α 1 = ,α2 = , α3 = y α4 = .

VI.5.- ANGULO DE DOS VECTORES

Sean dos vectores no nulos x,y∈ V; de acuerdo con la desigualdad de Schwartz (que figuraen la Tabla VI.3.1), se verifica que

<x,y>≤ x · y

cumpliéndose la igualdad cuando {x,y} es l.d., con lo que

<x,y>−1 ≤ ≤ 1

x · y

por lo que tiene sentido el llamar ángulo no orientado formado por los vectores x e y, querepresentaremos por ∠ (x,y), al único número real del intervalo [0,π ] cuyo coseno es

<x,y>cos ∠ (x,y) =

x · y

Propiedades interesantes que se deducen de esta definición se enuncian en la Tabla VI.5.1

TABLA VI.5.1________________________________________________

Propiedades del ángulo no orientado

1) ∠ (x,y) = ∠ (y,x)

∠ (x,y) si α > 02) ∠ (αx,y) =

π −∠ (x,y) si α < 0

3) ∠ (x,y) = 0 equivale a y = αx , con α > 0

26

∠ (x,y) = π equivale a y = αx , con α < 0

∠ (x,y) = π/2 equivale a x ⊥ y

4) <x,y> = x · y ·cos ∠ (x,y)

5) pry(x) = x · cos ∠ (x,y)

6) x ⊥ y equivale a prx(x+y) = x________________________________________________

Demostraciones:

1) Directamente de la definición de producto escalar

<x,y> <y,x> cos ∠ (x,y) = = = cos ∠ (y,x) ⇒ ∠ (x,y) = ∠ (y,x)

x · y y · x

2) Por las propiedades del producto escalar y de la norma tenemos

<αx,y> α <x,y>cos ∠ (αx,y) = =

αx · y α · x · y

si α > 0, es igual a

<x,y> = cos ∠ (x,y) ⇒ ∠ (αx,y) = ∠ (x,y)

x · y

y si α < 0, es igual a

<x,y>− = − cos ∠ (x,y) ⇒ ∠ (αx,y) = π−∠ (x,y)

x · y

3) Usando la desigualdad de Schwartz, podemos escribir

<x,y> ∠ (x,y) = 0 ⇔ = 1 ⇔ <x,y> = x · y ∧ {x,y} l.d. ⇔

x · y ⇔ <x,y> > 0 ∧ y = αx ⇒ <αx,x> > 0 ⇒ α<x,x> > 0 ⇒ α > 0

y análogamente para los otros casos.

4) Se obtiene inmediatamente de la definición de ángulo. Esta propiedad se utiliza enmatemática elemental para definir el producto escalar.

5) De acuerdo con el resultado obtenido para la proyección de un vector sobre otro tenemos:

<x,y> <x,y> <x,y> <x,y>

27

pry(x) = y = y = y = = <y,y> <y,y> y 2 y

<x,y> = x = x · cos ∠ (x,y) x · y

6) Si x e y son ortogonales entonces

<x+y,x>prx(x+y) = x ⇔ x = x ⇔ <x+y,x> = <x,x> ⇔ <x,y> = 0 ⇒ x ⊥ y

<x,x>

Ejercicios

VI.33.- Sea f : R2×R2 R definida por f(x,y) = 2x1y1+x1y2+x2y1+x2y2. Se pide

a) ¿Es un producto escalar en R2 ?.

b) Hallar <x,y>, <x,x>, <y,y> siendo x = (2,−2) y = (4,−3).

c) Comprobar que <x,y>2 ≤ <x,x>·<y,y>.

d) Comprobar <x+y,x+y> ≤ <x,x>+ <y,y>.

e) Si x = (2,−2) ¿cuál debe ser el vector y para que las desigualdades de los apartadosc) y d) se conviertan en igualdades?.

f) Deducir de la expresión establecida en el apartado c) que −1 ≤ cos (x ,y) ≤ 1.Indicar en que casos el coseno de dos vectores es igual a −1, 0, y 1.

g) Dado x = (2,−2), hallar los vectores normalizados que le son ortogonales.

h) Indicar si la base canónica de R2 es ortonormal para este producto escalar.

VI.34 . -Calcular los ángulos y las normas de los vectores que determinan los lados deltriángulo de vértices (1,α 1), (3,1) y (1,α2). Lo mismo para el triángulo de vértices(1,–4,α3)), (–2,1,α4) y (5,1,3), para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .

VI.6.- FORMAS n–LINEALES Y DETERMINANTES

Sea V e.v.s. K, de característica distinta de 2; una forma n-lineal es una aplicación

f : Vn K

(x1,...,xn) f(x1,...,xn)

tal que sea lineal respecto de todos los vectores componentes de la n-pla, es decir, para todosubíndice 1 ≤ i ≤ n

28

f(x1,...,α x i,...,xn) = α f(x1,...,x i,...,xn)∧

f(x1,...,x i+x 'i,...,xn) = f(x1,...,x i,...,xn)+ f(x1,...,x 'i,...,xn) )

Supongamos que V es de dimensión n y (e1,...,en) es una base de V; si los vectores xi son

x1 = x11e1+...+xn1en . . . . . . . . . .xn = x1ne1+...+xnnen

aplicando las igualdades que definen a la forma n-lineal es fácil obtener, por inducción, que

f(x1,...,xn) = xi11...xinn f(e i1,...,e in)∑1 ≤ i1 ≤ n

. . . .

1 ≤ in ≤ n

Una forma n-lineal es alternada si y sólo si para cualesquiera 1 ≤ i,j ≤ n, i ≠ j se verifica

f(x1,...,x i,...,x j,...,xn) = −f(x1,...,x j,...,x i,...,xn)

es decir, es una forma n-lineal tal que aplicada a dos n-plas que se diferencien en unapermutación de un par de vectores, cambia de signo. Las propiedades más interesantes de lasformas n-lineales alternadas se exponen en la Tabla VI.6.1

TABLA VI.6.1_____________________________________________________________________

Propiedades de las formas n-lineales alternadas

1) Si (i1,...,in) es una permutación de (1,...,n) de signatura s(i)

f(xi1,...,xin) = s(i) f(x1 ,...,xn)

2) f alternada equivale a que (∀ i∈ [1,n]) (f(x1,...,xi,...,xi,...,xn) = 0)

3) Si (e1,...,en) es una base de V, entonces

f(x1,...,xn) = ( s(i) xi11...xinn) f(e1,...,en)∑(i1,..,in) permutación de

(1,..,n) de signatura s(i)

4) (e1,...,en) base de V implican f = 0 f(e1,...,en) = 0

5) Si f no es la aplicación nula, entonces f(x1,...,xn) = 0 equivale a {x1,...,xn} l.d._____________________________________________________________________

29

Demostraciones:

1) Es inmediata teniendo en cuenta que cada inversión de dos vectores cambia el signo de laimagen, luego si la permutación (i1,...,in) tiene σ inversiones

f(xi1,...,xin) = (−1)σ f(x1 ,...,xn) = s(i) f(x1 ,...,xn)

2) Si f es alternada la imagen de cualquier n-pla con dos vectores iguales es 0, ya que si f esalternada

f(x1,...,x i,...,x j,...,xn) = −f(x1,...,x j,...,x i,...,xn)

y si xi = xj , entonces

f(x1,...,x i,...,x i,...,xn) = −f(x1,...,x i,...,x i,...,xn)

por lo que f(x1,...,x i,...,x i,...,xn) = 0.

Recíprocamente, si la imagen de cualquier n-pla con dos vectores iguales es 0, entonces laforma es alternada

0 = f(x1,...,x i+x j,...,x j+x i,...,xn) =

= f(x1,...,x i,...,x j,...,xn)+ f(x1,...,x i,...,x i,...,xn) +

+f(x1,...,x j,...,x j,...,xn)+ f(x1,...,x j,...,x i,...,xn) =

= f(x1,...,x i,...,x j,...,xn)+f(x1,...,x j,...,x i,...,xn) ⇒ ⇒ f(x1,...,x j,...,x i,...,xn) = −f(x1,...,x i,...,x j,...,xn)

3) La expresión general de la imagen de una n-pla en una forma n-lineal, conocidas lascomponentes de los vectores, que hemos obtenido antes, es una suma de nn sumandos, cadauno de ellos formado por un producto de las componentes por la imagen de una n-plaformada por vectores de la base; en el caso de forma alternada, si en ella existen dos vectoresiguales la imagen es 0, el sumando es 0, quedando n! sumandos no nulos correspondientes alas n! permutaciones sin repetición de los vectores (e1,...,en). El resultado es una suma de n!sumandos

f(x1 ,...,xn) = xi11...xinn f(e i1,...,e in)∑(i1,...,in) permutación de (1,...,n)

extendida a todas las permutaciones de {1,...,n}. Además, según la propiedad 1), tendremos

f(ei1,...,e in) = s(i) f(e1,...,e n)

luego

f(x1 ,...,xn) = s(i) xi11...xinn f(e1,...,en)∑(i1,...,in) permutación de(1,...,n) de signatura s(i)

4) A partir de 3), pues si f(e1,...,en) = 0, entonces la imagen de cualquier n-pla es 0.

5) Supongamos que f no es la aplicación nula y que

30

f(x1,...,xn) = 0

Si {x1,...,xn} l.i., entonces (x1,...,xn) es una base de V y según la propiedad anterior f seríala aplicación nula. Recíprocamente, si {x1,...,xn} l.d. existe un vector x i que serácombinación lineal de los demás

xi = α 1x1+...+α i-1xi-1+α i+1xi+1+...+α nxn

y al ser f n-lineal alternada, tendremos

f(x1,...,x i,...,xn) = f(x1,...,α 1x1+...+α i-1x i-1+α i+1x i+1+...+α nxn,...,xn) =

= α 1f(x1,...,x1,...,xn)+...+α i-1f(x1,...,xi-1,xi-1,...,xn)

+α i+1f(x1,...,xi+1,xi+1,...,xn)+...+α nf(x1,...,xn,...,xn) = 0

Ejemplo VI.6.1

En el espacio vectorial K3 sobre K referido a una base (e1,e2,e3) sean los vectores

x1 = x11e1+x21e2+x31e3

x2 = x12e1+x22e2+x32e3

x3 = x13e1+x23e2+x33e3

La imagen de la terna (x1,x2,x3) por una forma n-lineal alternada f sobre K3, referida ala base dada, teniendo en cuenta que las permutaciones de {1,2,3} son

Permutación Inversiones Signatura1,2,3 0 +11,3,2 1 −12,1,3 1 −12,3,1 2 +13,1,2 2 +13,2,1 3 −1

será

f(x1,x2,x3) = (+1)x11x22x33 f(e1,e2,e3)+(−1)x11x32x23 f(e1,e2,e3)+

+(−1)x21x12x33 f(e1,e2,e3)+(+1)x21x32x13 f(e1,e2,e3)+

+(+1)x31x12x23 f(e1,e2,e3)+(−1)x31x22x13 f(e1,e2,e3) =

= (x11x22x33−x11x32x23−x21x12x33+x21x32x13+x31x12x23−x31x22x13)f(e1,e2,e3)

Consideremos la forma n-lineal alternada sobre V tal que la imagen de la n-pla de la base(e1,...,en) es igual a 1. Esta forma la denominaremos determinante en la base (e1,...,en) y ladenotaremos por el símbolo det, es decir,

det(e1,...,en) = 1

31

Llamaremos determinante de n vectores x1,...,xn∈ V, referido a la base (e1,...,en) a laimagen de la n-pla (x1,...,xn) por la forma determinante, que será igual a

det(x1,...,xn) = s(i) xi11

...xinn ∑

(i1,..,in) permutación de(1,..,n) de signatura s(i)

Ejemplo VI.6.2

En el espacio vectorial K3 sobre K referido a una base (e1,e2,e3) para los vectores

x1 = x11e1+x21e2+x31e3

x2 = x12e1+x22e2+x32e3

x3 = x13e1+x23e2+x33e3

tendremos que, según el ejemplo anterior

det(x1,x2,x3) = (x11x22x33−x11x32x23−x21x12x33+x21x32x13+x31x12x23−x31x22x13)

y así, para R3 referido a la base canónica tendremos, por ejemplo, que

det((1,−1,0),(2,3,5),(−2,4,−4)) =

= 1⋅3⋅(−4)+(−1)⋅5⋅(−2)+0⋅2⋅4−1⋅5⋅4−(−1)⋅2⋅(−4)−0⋅3⋅(−2) = −3 0

Llamaremos determinante de una matriz cuadrada A sobre K al determinante de los

vectores columna a1,a2,..,an, como vectores de Kn, e.v.s. K, referido a la base canónica; lonotaremos por det(A) o bien por A y, en el caso de que la matriz esté explícitamente dada, por

a11 a12 . . a1n

a21 a22 . . a2n

. . . . . . . . .

an1 an2 . . ann

con lo que

det(a1,...,an) =

a11 a12 . . a1n

a21 a22 . . a2n

. . . . . . . . .

an1 an2 . . ann

= s(i) ai11...ainn∑(i1,..,in) permutación de

(1,..,n) de signatura s(i)

y el determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los n! productos que puedenformarse con n elementos de la matriz tomando, de todas las maneras posibles, uno de cada fila yuno de cada columna; cada sumando tiene un signo igual a s(i), signatura de la permutación desubíndices de fila, supuestos ordenados los factores por los subíndices de columna.

Ejemplo VI.6.3

32

El determinante de una matriz de orden 1 será igual al único elemento que la forma

a11 = a11

Para el determinante de una matriz cuadrada de orden 2 tendremos

a11 a12

a21 a22 = +a11a22−a21a12

es decir, producto de los elementos de la que llamaremos diagonal principal, menos elproducto de los elementos de la diagonal secundaria. Para una matriz de orden tres es

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a11a32a23−a21a12a33−a31a22a13

por tanto la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y sus dosparalelas, menos la suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria ysus dos paralelas. Esta regla práctica de obtención de los determinantes de las matricescuadradas de órdenes 2 y 3 se denomina regla de Sarrus . Para matrices de ordensuperior a tres el cálculo de su determinante a partir de la definición es muy pocopráctico, excepto en los casos particulares siguientes:

Matriz diagonal

a11 0 . . 0

0 a22 . . 0

. . . . . . . . .

0 0 . . ann

= a11a22...ann

dado que el único sumando no nulo se obtiene con el elemento a11 de la primerafila, acompañado del elemento a22 de la segunda,..., y del elemento ann de laúltima fila. En particular, para la matriz unidad I será det(I) = 1.

Matrices triangulares

a11 0 . . 0

a21 a22 . . 0

. . . . . . . . .

an1 an2 . . ann

=

a11 a12 . . a1n

0 a22 . . a2n

. . . . . . . . . .

0 0 . . ann

= a11a22...ann

dado que el único sumando no nulo se obtiene con el elemento a11 de la primerafila, acompañado del elemento a22 de la segunda, ya que no puede formarproducto con el a21 por ser de su misma columna,.. y del elemento ann de la últimafila. Análogamente

33

0 0 . . a1n

. . . . . . . . . . . .

0 an-1 2 . . an-1n

an1 an2 . . ann

= (–1)n(n-1)/2a1n...an-12 an1

dado que el único sumando distinto de 0 tiene como permutación de subíndices defila la (n,n−1,...,1) que tiene n(n−1)/2 inversiones.

Podríamos haber definido como determinante de una matriz cuadrada el determinante de susvectores fila, aunque de hecho es lo mismo puesto que los determinantes de una matriz y sumatriz transpuesta son iguales

det(A) = det(At)

En efecto, si a los elementos de A les llamamos aij y a'ij a los de At, tenemos que por definiciónde matriz transpuesta,

aji = aij'

luego según la definición de determinante y la conmutatividad del producto en K, reordenando losfactores según el subíndice de fila, es decir, componiendo con la permutación inversa i -1

det(A) = s(i) ai11

...ainn ∑

(i1,..,in) permutación de

(1,..,n) de signatura s(i)

= s(i) a1i1-1

...a

nin-1

∑(i1,..,in) permutación de

(1,..,n) de signatura s(i)

=

= s(i -1) ai1

-1 1

...a

in-1

n

∑(i1

-1,..,in-1) permutación de

(1,..,n) de signatura s(i -1)

= det(At)

dado que, una permutación y su inversa tienen la misma signatura.

A partir de esta propiedad, cualquier resultado cierto para el determinante de los vectorescolumna de una matriz será válido para el determinante de los vectores fila, por lo que en lassiguientes propiedades de los determinantes se hablará de líneas, refiriéndose tanto a columnascomo a filas. Estas propiedades se enuncian en la Tabla VI.6.2

TABLA VI.6.2________________________________________________________________

Propiedades de los determinantes

1) det(A) ≠ 0 equivale a que A es regular

2) Un determinante con dos líneas paralelas iguales es 0

34

3) Un determinante con dos líneas paralelas proporcionales es 0

4) Un determinante con los elementos de una línea nulos es 0

5) det(x1,...,xi+xi',...,xn) = det(x1,...,x i,...,xn)+det(x1,...,x i',..,.x n)

6) det(x1,...,α x i,...,xn) = α det(x1,...,x i,...,xn)

7) Si en un determinante se permutan dos líneas paralelas, el determinantecambia de signo

8) Si a una línea se le suma otra paralela multiplicada por un escalar no nulo, el determinante no varía.

9) Si A y B son matrices cuadradas, entonces

det(A·B) = det(B)⋅det(A)

10) Si A es inversible, entonces det(A-1) = 1/det(A).________________________________________________________________

Demostraciones:

1) Por propiedades de las formas n-lineales alternadas: la imagen de una n-pla de vectoresl.d. es igual a 0 y recíprocamente, si la forma n-lineal no es la forma nula ( y det no lo es) si laimagen de una n-pla es 0, entonces los vectores forman un conjunto l.d..

Las propiedades 2) a 7) son consecuencia de 1) y de que el determinante es una forma n-lineal alternada, por lo que el determinante conserva la suma y el producto externo respecto decualquier elemento de la n-pla (propiedades 5) y 6)) y que la imagen cambia de signo siintercambiamos dos vectores (propiedad 7)).

8) Razonando con los vectores columna, p.ej., tendremos, según las propiedades anteriores

det(x1,...,x i+α x j,...,x j,...,xn) = det(x1,...,x i,...,x j,...,xn)+det(x1,...,α x j,...,x j,...,xn) =

= det(x1,...,x i,...,xn)

9) En efecto, de acuerdo con el resultado de un producto de matrices

AB =

a11b11+a12b21+..+a 1nbn1 a11b12+a12b22+..+a 1nbn2 . . a11b1p+a12b2p+..+a 1nbnp

a21b11+a22b21+..+a 2nbn1 a21b12+a22b22+..+a 2nbn2 . . a21b1p+a22b2p+..+a 2nbnp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1b11+am2b21+..+a mnbn1 am1b12+am2b22+..+a mnbn2 . . am1b1p+am2b2p+..+a mnbnp

tenemos que los vectores fila p1,...,pn de AB son combinaciones de los vectores fila b 1,...,b nde B, ya que para i = 1,...,n es

pi = ai1b1+ai2b2+...+ainbn

35

Como el determinante de una matriz cuadrada es el determinante de sus vectores fila, de acuerdocon las propiedades de las formas n-lineales alternadas, tenemos

det(AB) = det(p1,...,pn) = ( s(i) ai11...ainn) det(b1,...,bn)∑(i1,..,in) permutación de(1,..,n) de signatura s(i)

= det(A)⋅det(B)

10) Como por definición de matriz inversa es A ⋅A -1 = I, teniendo en cuenta la propiedadanterior y que el determinante de la matriz unidad es 1, tendremos

det(A⋅A-1) = 1 ⇒ det(A)⋅det(A-1) = 1 ⇒ det(A-1) = 1/det(A)

Como consecuencia inmediata de estas propiedades se deduce que las transformacioneselementales aplicadas a la matriz de un determinante la convierten en otra, cuyo determinanterespecto al primero

a) cambia de signo si se permutan dos filas (o dos columnas),

b) si se multiplica una fila (o una columna) por un escalar no nulo, el determinante quedamultiplicado por el escalar,

c) no varía si se suma una fila (o columna) otra fila (o columna) multiplicada por un escalarno nulo.

Estas propiedades nos permiten construir un método para el cálculo de un determinanteconsistente en aplicar sucesivas transformaciones elementales sobre su matriz hasta reducirla auna matriz triangular, cuyo determinante se calcula de forma inmediata. Se denomina método deGauss, es de rápida aplicación y fácilmente programable.

Ejemplo VI.6.4

El método de Gauss permite obtener el valor del siguiente determinante

0 0 1 2 2

2 1 3 4 2

3 –1 1 5 3

–2 –5 –1 3 –5

4 3 2 –1 –4

= −

2 1 3 4 2

0 0 1 2 2

3 –1 1 5 3

–2 –5 –1 3 –5

4 3 2 –1 –4

= –1

2

2 1 3 4 2

0 0 1 2 2

0 –5 –7 –2 0

0 –4 2 7 –3

0 1 –4 –9 –8

= 1

2

2 3 1 4 2

0 1 0 2 2

0 –7 –5 –2 0

0 2 –4 7 –3

0 –4 1 –9 –8

=

= 1

2

2 3 1 4 2

0 1 0 2 2

0 0 –5 12 14

0 0 –4 3 –7

0 0 1 –1 0

= 1

2·5·5

2 3 1 4 2

0 1 0 2 2

0 0 –5 12 14

0 0 0 –33 –91

0 0 0 7 14

= 1

2·5·5·33

2 3 1 4 2

0 1 0 2 2

0 0 –5 12 14

0 0 0 –33 –91

0 0 0 0 –175

= −35

36

Si en una matriz cuadrada A de orden n se suprimen n−h filas e igual número de columnas seobtiene una matriz de orden h cuyo determinante llamaremos menor de A. Para determinarlobasta conocer los subíndices 1 ≤ c1 <...< ch ≤ n de las columnas y los subíndices 1 ≤ f1 <...< fh≤ n de las filas que lo forman. Si en la matriz A suprimimos las columnas c1,...,ch, y las filasf1,...,fh se obtiene otra matriz cuadrada cuyo determinante se denomina menorcomplementario del anterior. Un menor se dice que es de clase par cuando la suma de lossubíndices de las columnas y filas que lo forman

σ = c1+..+cp+f1+..+fp

es par, y análogamente se define la clase impar. Llamaremos signatura del menor a (−1)σ, esdecir, al resultado de elevar −1 a la suma de los índices de sus filas y de sus columnas, por lo quela signatura de un menor de clase par es 1 y −1 si es de clase impar. La signatura de un menor yla de su menor complementario es la misma, pues la suma de los subíndices de fila más los decolumna de un menor más los subíndices de fila y columna de su menor complementario es iguala la suma de todos los subíndices de fila y columna de la matriz, es decir 2(1+2+...+n), que esun número par. Llamaremos adjunto del menor a su signatura por su menor complementario.

Ejemplo VI.6.5

En la matriz

A =

2 0 1 2 7

3 1 0 –1 9

4 2 0 0 6

5 3 –1 0 1

1 3 5 2 8

los subíndices f1 = 1, f2 = 2, c1 = 2, c2 = 4 determinan el menor

0 21 –1

cuya signatura es (−1)1+2+2+4 = −1, siendo, por tanto, de clase impar. Su menorcomplementario se obtiene suprimiento las filas 1ª y 2ª y las columnas 2ª y 4ª

4 0 65 –1 11 5 8

y su adjunto es, por tanto

– 4 0 65 –1 11 5 8

37

Si elegimos como menor de orden 1 y formado por el elemento que está en la 2ª fila y 5ªcolumna, | 9 |, tenemos

menor complementario:

2 0 1 24 2 0 05 3 –1 01 3 5 2

, signatura: (–1)2+5 , adjunto = –

2 0 1 24 2 0 05 3 –1 01 3 5 2

En general, la signatura del menor de orden 1 formado por el elemento aij es (−1)i+j, luego lassignaturas de estos menores de orden 1, según la posición que ocupan en la matriz, vendrándadas por

+ – + – . . .

– + – + . . .

+ – + – . . .

– + – + . . .. . . . . . . . . .

. . . . . . . . .+

Estos conceptos nos permiten construir otro procedimiento para el cálculo de un determinante;se denomina regla de Laplace y se basa en el siguiente teorema:

"Todo determinante es igual a la suma de los productos de todos los menores de orden h,que se pueden formar con h líneas paralelas fijas, por sus adjuntos repectivos"

En efecto, demostraremos previamente que si multiplicamos un menor por su adjunto, elproducto forma parte del desarrollo del determinante. Sea el determinante de orden n

D =

a11 . . a1h a1h+1 . . a1n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ah1 . . ahh ahh+1 . . ahn

ah+11 . . ah+1h ah+1h+1 . . ah+1n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 . . anh anh+1 . . ann

y supongamos el menor M formado por las h primeras filas y las h primeras columnas, cuyasignatura será (−1)2(1+...+h) = +1, por lo que su adjunto es igual a su menor complementario M'.Un término cualquiera del producto de ambos tiene la forma

(–1)σai11 ... aihh · (–1)σ 'aih+1h+1 ... ainn

siendo σ el número de inversiones de la permutación de filas (i1,...,ih) del menor M y σ' el

38

número de inversiones de la permutación de filas (ih+1,...,in) del menor M '. El número deinversiones de la permutación (i1,...,ih,ih+1,...,in) es σ+σ', ya que (i1,...,ih) es una permutaciónde (1,...,h) y (ih+1,...,in) es una permutación de (h+1,...,n), por lo que el producto anterior

(–1) σ+σ 'ai11 ... aihh·aih+1h ... ainn

es un término del desarrollo del determinante D, es decir

D = M ·M '+...

Si el menor M estuviera formado, en general, por las filas f1,...,fh y las columnas c1,...,ch,podemos reducirlo al caso anterior llevando la fila f1 al primer lugar,..., la fila fh al lugar h, lacolumna c1 a la primera,... y la columna ch al lugar h, para lo cual habremos realizado lossiguientes cambios de línea

(f1−1)+...+(fh−h)+(c1−1)+...+(ch−h) = (f1+...+fh)+(c1+...+ch)−2(1+...+h)

La relación entre D y el nuevo determinante obtenido D' es

D = (–1)(f1+...+fh)+(c1+...+ch)+2D '

Aplicando el resultado anterior a D' tendremos

D = (–1)(f1+...+fh)+(c1+...+ch)+2MM '+... = (–1)(f1+...+fh)+(c1+...+ch)MM '+ . . .

y teniendo en cuenta que el adjunto de M es

(–1)(f1+...+fh)+(c1+...+ch)M '

resulta que, efectivamente, el producto de cualquier menor por su adjunto forma parte del

desarrollo del determinante D. Si sumamos los productos de los n

h distintos menores que

pueden formarse con las h líneas paralelas fijas por sus adjuntos, el número total de sumandos es

n

h h! (n–h)! = n!

siendo todos ellos distintos al estar formados por distintos elementos de la matriz de D; por tanto,obtenemos así todos los términos del desarrollo del determinante D.

Ejemplo VI.6.6

Apliquemos la regla de Laplace para desarrollar el determinante del ejemplo VII.5.3

39

0 0 1 2 2

2 1 3 4 2

3 –1 1 5 3

–2 –5 –1 3 –5

4 3 2 –1 –4

utilizando los menores que pueden formarse con las columnas 3ª y 5ª. El determinanteserá igual a

(–1)11 1 2

3 2

3 –1 5

–2 –5 3

4 3 –1

+ (–1)12 1 2

1 3

2 1 4

–2 –5 3

4 3 –1

+ (–1)13 1 2

–1 –5

2 1 4

3 –1 5

4 3 –1

+

+ (–1)14 1 2

2 –4

2 1 4

3 –1 5

–2 –5 3

+ (–1)13 3 2

1 3

0 0 2

–2 –5 3

4 3 –1

+ (–1)14 3 2

–1 –5

0 0 2

3 –1 5

4 3 –1

+

+ (–1)15 3 2

2 –4

0 0 2

3 –1 5

–2 –5 3

+ (–1)15 1 3

–1 –5

0 0 2

2 1 4

4 3 –1

+ (–1)16 1 3

2 –4

0 0 2

2 1 4

–2 –5 3

+

+ (–1)17 –1 –5

2 –4

0 0 2

2 1 4

3 –1 5

= –(–4)·48+1·58–(–3)·47+(–8)·(–43)–7·28+(–13)·26–

–(–16)·(–34)–(–2)·4+(–10)·(–16)–14·(–10) = –35

Si aplicamos la regla de Laplace con h = 1, es decir, fijando tan solo una línea, el determinantees igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando todos los elementos de ésta por susadjuntos respectivos. Así, el determinante de orden n lo reducimos al cálculo de n determinantesde orden n−1; si elegimos una línea con elementos iguales a 0, el número de determinantes acalcular es menor; si hacemos transformaciones elementales previas para conseguir que loselementos de una línea sean nulos, excepto uno de ellos, el determinante de orden n se reduce aun determinante de orden n−1 y, reiterando el proceso, podemos llegar hasta un determinante deorden 3 o de orden 2 y aplicar la regla de Sarrus.

Ejemplo VI.6.7

Este proceso aplicado al determinante del ejemplo anterior es:

40

0 0 1 2 2

2 1 3 4 2

3 –1 1 5 3

–2 –5 –1 3 –5

4 3 2 –1 –4

=

0 0 1 0 0

2 1 3 –2 –4

3 –1 1 3 1

–2 –5 –1 5 –3

4 3 2 –5 –8

=

2 1 –2 –4

3 –1 3 1

–2 –5 5 –3

4 3 –5 –8

=

2 1 –2 –4

5 0 1 –3

8 0 –5 –23

–2 0 1 4

=

= –

5 1 –3

8 –5 –23

–2 1 4

= –

5 1 –3

33 0 –38

–7 0 7

= 33 –38

–7 7 = –35

Si la suma de los productos de los elementos de una línea por sus adjuntos es igual aldeterminante, la suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de unaparalela, vale cero; en efecto, si en el determinante

a11 . . a1i . . a1j . . a1n

a21 . . a2i . . a2j . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . .

an1 . . ani . . anj . . ann

formamos la suma de los productos de los elementos de la columna i por los adjuntos de loselementos de la columna j

a1iA1j+a2iA2j+...+aniAnj

el resultado es igual al determinante

a11 . . a1i . . a1i . . a1n

a21 . . a2i . . a2i . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . .

an1 . . ani . . ani . . ann

que es 0 por tener dos columnas iguales.

Ejercicios

VI.35.-Calcular los siguientes determinantes:

1 4 8 12

5 0 1 2

5 2 1 2

3 1 4 3

1 3 5 7 9

3 6 9 12 15

5 10 15 20 25

7 14 21 28 35

9 18 27 36 45

41

VI.36.-Desarrollar los determinantes

5 7 6 8 5

3 α1 4 6 4

2 3 α2 4 3

1 2 0 α3 2

2 4 2 4 α4

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 4 9 16 25

1 8 27 64 125

1 16 81 256 625

1 1 1 1

a b c d

a2 b 2 c 2 d 2

a3 b 3 c 3 d 3

(para α1 = , α2 = , α3 = y α4 = )

a–b–c 2a 2a

2b b–c–a 2b

2c 2c c–a–b

1 1 1 1

1 2+a 1 1

1 1 2+a 1

1 1 1 2+a

VI.37.-Calcular

2 2 0 0 0 0

1 4 –1 0 0 0

0 3 2 1 0 0

0 0 1 3 –2 0

0 0 0 2 1 2

0 0 0 0 3 1

1 1 1 . . 1

–1 0 1 . . 1

–1 –1 0 . . 1

. . . . . . . . . . .

–1 –1 –1 . . 0

0 1 1 . . 1

–1 0 1 . . 1

–1 –1 0 . . 1

. . . . . . . . . . . .

–1 –1 –1 . . 0

0 1 1 . . 1

1 0 1 . . 1

1 1 0 . . 1

. . . . . . . . .

1 1 1 . . 0

1 n n . . n

n 2 n . . n

n n 3 . . n

. . . . . . . . .

n n n . . n

a0 a1 a2 . . an -1 an

–1 x 0 . . 0 0

0 –1 x . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . x 0

0 0 0 . . –1 x

VI.38.- Demostrar que

x a b x

a x x b

b x x a

x b a x

= (b–a)2 (a+b)2–4x 2

VI.39.- Calcular

42

p+q q q . . q

q p+q q . . q

. . . . . . . . . . . . . .

q q q . . p+q

siendo n el orden del determinante

VI.40.- Resolver en R, las ecuaciones

1+x 1 1 1

1 1–x 1 1

1 1 1+x 1

1 1 1 1–x

= 81 ,

1 x x 2 x 3

x x 2 x 3 1

x 2 x 3 1 x

x 3 1 x x 2

= 512000

VI.41.-Resolver las ecuaciones

x 1 1 1

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 x

= 0

1 1 1 x

1 1 x 1

1 x 1 1

x 1 1 1

= 0

x 3 8 27 –64

x 2 4 9 16

x 2 3 –4

1 1 1 1

= 0

x 2x+1 2x+1

2x+1 3x–1 4x

3x–1 4x 6x–1

= 0

x a a

a x a

a a x

= 0

x 3 3x 2 3x 1

x 2 x 2+2x 2x+1 1

x 2x+1 x +2 1

1 3 3 1

= 0

1 1 1 . . 1

–1 x 1 . . 1

–1 –1 x . . 1

. . . . . . . . . .

–1 –1 –1 . . x

= 0

VI.42.- Sea E el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden (2,2), con coeficientes en

R y sea B = a b

c d un elemento de E. Se define la siguiente aplicación

fB : E E A fB(A) = BA

a) Probar que fB es lineal.

b) Demostrar que el det(fB) = (det (B))2.

43

VI.7.- CARACTERISTICA DE UNA MATRIZ

Generalizando los conceptos anteriores, dada una matriz cualquiera A∈ M(m,n)(K) se definecomo menor de orden h de A a cualquier determinante de orden h formado por h columnas desubíndices 1 ≤ c1 <...<ch ≤ n y h filas de subíndices 1 ≤ f1 <...<fh ≤ m de la matriz dada;obviamente el máximo orden de un menor es menor o igual que la menor de las dos dimensionesde la matriz. Llamamos característica de la matriz A al orden del mayor menor no nulo quepuede formarse con sus filas y columnas, es decir, el orden de la submatriz cuadrada de A, demayor orden, entre las que tienen determinante no nulo.

Se verifica que para toda matriz A∈ M(m,n)(K) el rango es igual a la característica: en efecto,sea A∈ M(m,n)(K) tal que

rang(A) = r caract(A) = c

Veamos que r ≥ c : por definición de característica existe un menor de orden c no nulo, cuyasfilas y columnas podemos suponer que son las c primeras de la matriz A (lo cual siempre esposible conseguir mediante transformaciones elementales, que no varían el rango). La submatrizB de A formada por estas c primeras columnas tiene rango c, ya que sus primeras c filas formanun conjunto de vectores l.i., luego

r = rang(A) ≥ rang(B) = c

Veamos que también se cumple c ≥ r y habremos completado el proceso de demostración: comorang(A) = r, en la matriz A hay r columnas l.i.; sea C la submatriz correspondiente a estascolumnas; dado que rang(C) = rang(C t), tendremos que en C hay r filas l.i., que nosdeterminarán un menor de orden r no nulo, que también es menor de A , por lo que sucaracterística es, por lo menos r, es decir, c ≥ r. De ambos resultados se obtiene r = c.

Ejemplo VI.7.2

Para la matriz

A =

1 5 1 4

2 6 2 4

3 0 0 0

4 2 –1 3

tenemos que

det (A) = 0

pues la 4ª columna es igual a la 2ª menos la 3ª. Como

1 5 12 6 23 0 0

= 3· 5 16 2

= 3·4 = 12

44

es

rang(A) = caract(A) = 3

El cálculo de la característica de una matriz, puede plantearse de dos modos: empezando por elmenor de mayor orden, o por los orden 2, cuyos valores son calculables inmediatamente. Encualquier caso su cálculo sería bastante largo; existe un modo de simplificar el proceso basado enel siguiente resultado:

"Si en una matriz cuadrada existe un menor de orden r distinto de 0 y todos los menores deorden r+1 que lo contienen son iguales a 0, entonces la característica de la matriz es r.Recíprocamente si la característica de la matriz es r, existe un menor de orden r distinto decero y todos los menores de orden r+1 que lo contienen, si los hubiere, son 0".

En efecto, sean f1,...,fr c1,...,cr las filas y columnas que forman el menor no nulo de orden r,por lo que el rango de la submatriz que forman es r y el conjunto de los vectores columna{c1,...,cr} es l.i.; si a estas r columnas añadimos otra cualquiera ci la submatriz formada porestas r+1 columnas c1,...,cr,ci y las r filas f1,...,fr, ampliadas con el nuevo elemento de lacolumna ci, tiene rango r, por tener un menor de orden r distinto de 0; todos los determinantes deorden r+1 formados por las columnas c1,...,cr,ci y las filas f1,...,fr fj (j ≠ 1,..,r) son nulos, porhipótesis, por lo que la fila fj es combinación lineal de las otras y la submatriz formada por lascolumnas c1,...,cr,ci, y todas las filas tiene rango r; así ci es combinación lineal de las demás y,como i es cualquiera, la matriz tiene rango r. El recíproco es inmediato a partir de la definición decaracterística.

Ejemplo VI.7.1

Para el cálculo de la característica de la matriz

0 7 7 –3 11 8 1

0 3 1 1 1 2 1

1 0 1 –1 2 3 –2

–1 2 2 –1 3 0 2

empezamos por un menor de orden dos no nulo

1 0

–1 2 ≠ 0

Calculamos menores de orden tres que contengan a este menor de orden dos distinto de0. Como

0 3 1

1 0 1

–1 2 2

≠ 0

continuamos con los menores de orden cuatro que contienen a este menor de orden tres

45

0 7 7 –3

0 3 1 1

1 0 1 –1

–1 2 2 –1

= 0

0 7 7 11

0 3 1 1

1 0 1 2

–1 2 2 3

= 0

0 7 7 8

0 3 1 2

1 0 1 3

–1 2 2 0

= 0

0 7 7 1

0 3 1 1

1 0 1 –2

–1 2 2 2

= 0

con lo que, según el resultado anterior, todo menor de orden cuatro es nulo y lacaracterística de la matriz es 3.

Ejercicios

VI.43 .- Calcular el rango de las matrices

α1 1 2 3

1 α1 2 1

1 1 α1 4

1 1 0 α1

2 1 4 5

1 –3 1 4

5 2 –6 1

–3 –8 8 7

–7 –13 15 10

–1 4 –2 5 0

3 –1 0 –2 5

3 10 –6 11 10

(para α1 = , α2 = , α3 = y α4 = )

a 1 1

1 a 1

1 1 a

a 1 1 1

1 a 1 a

1 1 a a 2

1 –1 3

–1 i 1–2i

i 1 –2+i

1 1+i i 2i

–i 2–i 1 2+i

1–i –1+i 2i 0

–1 –2i 1+i 2+i

VI.44.- Sea el endomorfismo de R3 de matriz M =

–2 4 2

1 a a–1 2 1

. Estudiar su rango según los

valores de a Demostrar que para todo a el rango de M es dos.

VI.45 .- Hallar según los valores de a∈ R el rango de la matriz

A =

1 0 1 0 1a 0 a 0 a0 a 0 a 0

a a a a a

VI.8.-APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES

Los determinantes son una herramienta muy útil en la resolución de dos problemas, vistosanteriormente: el cálculo de la matriz inversa y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

46

Sabemos que, según resultados anteriores, para una matriz cuadrada A de orden n

A inversible ⇔ rang(A) = n ⇔ det(A) ≠ 0

Supongamos una matriz de este tipo

A =

a11 a12 . . a1n

a21 a22 . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . ann

Construyamos la matriz

A* =

A11 A21 . . An1

A12 A22 . . An2

. . . . . . . . . . . .

A1n A2n . . Ann

en la que Aij es el adjunto de aij en A; esta matriz se denomina matriz adjunta de A. Siefectuamos el producto de ambas resulta

AA* =

a11A11+a12A12+..+a 1nA1n a11A21+a12A22+..+a 1nA2n . . a11An1+a12An2+..+a 1nAnn

a21A11+a22A12+..+a 2nA1n a21A21+a22A22+..+a 2nA2n . . a21An1+a22An2+..+a 2nAnn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1A11+an2A12+..+a nnA1n an1A21+an2A22+..+a nnA2n . . an1An1+an2An2+..+a nnAnn

y teniendo en cuenta que la suma de los productos de los elementos de una línea por sus adjuntoses igual al determinante, mientras que la suma de los productos de los elementos de una línea porlos adjuntos de una paralela es cero, será

AA* =

det(A) 0 . . 0

0 det(A) . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . det(A)

= det(A)

1 0 . . 0

0 1 . . 0

. . . . . . .

0 1 . . 1

= det(A) I

y como A es inversible, podemos escribir

1A* = det(A) A-1I ⇒ A-1 = A*

det(A)

es decir, la matriz inversa es igual a la matriz adjunta multiplicada por el inverso del determinante.

47

Ejemplo VI.8.1

Para la matriz

A =

0 3 1

1 0 1

–1 2 2

tenemos

det(A) =

0 3 1

1 0 1

–1 2 2

= –7

luego es regular y tiene inversa. Como

A* =

–2 –4 3

–3 1 1

2 –3 –3

la inversa es

A-1 =

2/7 4/7 –3/7

3/7 –1/7 –1/7

–2/7 3/7 3/7

Ejemplo VI.8.2

Veremos a continuación un esbozo de como con la ayuda de una matriz inversible sepueden construir y descifrar claves (Criptografía) en la transmisión de mensajes. Siqueremos enviar la siguiente información:

"LAS MATEMATICAS SON UTILES"

y no queremos que sea entendida por ningún posible interceptor, podemos realizar lossiguiente pasos:

a) Asignamos a cada letra una de las 26 letras del alfabeto un número de orden que seaun elemento del conjunto Z/(26)

A, B, C, D, E, ....., X, Y, Z 1, 2, 3, 4, 5, ....., 24, 25, 0

b) Agrupamos las letras de nuestro mensaje en grupos de n letras, para n∈ N*; porejemplo, para n = 3

48

LAS MAT EMA TIC ASS ONU TIL ESX

añadiendo la letra X para completar el último grupo.

c) Escribimos cada grupo de n letras como un vector de Rn tal que sus componentessean los números asignados a cada una de ellas, según el apartado a). Construimos conestos vectores una matriz A de n filas y tantas columnas como grupos y de coeficientesen Z/(26). En nuestro ejemplo es

A =

12 13 5 21 1 16 21 5

1 1 13 9 20 14 9 20

20 21 1 3 20 22 12 24

d) Construimos una matriz cuadrada M∈ M(n,n)(Z) inversible y tal que su determinantesea igual a ± 1 (matriz codificadora), para que los coeficientes de M-1 pertenezcan a Z.En nuestro caso tomamos, por ejemplo

M =

0 1 1

1 1 2

1 3 5

⇒ M–1 =

1 2 –1

3 1 –1

–2 –1 1

e) Multiplicando la matriz M por la matriz A, obtenemos una nueva matriz B, queproporciona el mensaje codificado. En nuestro caso es

B = MA =

0 1 1

1 1 2

1 3 5

12 13 5 21 1 16 21 5

1 1 13 9 20 14 9 20

20 21 1 3 20 22 12 24

=

=

21 22 14 12 40 36 21 44

53 56 20 36 61 74 54 73

115 121 49 63 161 168 108 185

y el mensaje codificado es

21,53,115,22,56,121,14,20,49,12,36,63,40,61,161,36,74,168,21,54,108,44,73,185

El receptor adecuado del mensaje, será conocedor de la matriz M, por lo cual podráconstruir con facilidad la matriz B, obtener A = M -1B y a partir de ella escribir lainformación original. Si en lugar de expresar el mensaje codificado numéricamente,queremos expresarlo en letras del alfabeto, basta convertir los elementos de B aelementos de Z/(26); en el ejemplo

B ' =

21 22 14 12 14 10 21 18

1 4 20 10 9 22 2 21

11 17 23 11 5 12 4 3

49

y el mensaje codificado es

21, 1,11,22, 4,17,14,20,23,12,10, 11,14, 9, 5,10,22,12,21, 2, 4,18,21, 3 T ,A, K, U, D, P, N, S, V, L, J, K, N, I, E, J, U, L, T, B, D,Q, T, C

Análogamente al caso anterior el receptor, conocedor de la matriz codificadora M, apartir del mensaje recibido construye B ' y obtiene A = M -1B ', es decir el mensajeoriginal.

Recordemos los resultados básicos sobre compatibilidad de un sistema de ecuaciones linealescon m ecuaciones y n incógnitas. Escrito de forma matricial será

Ax = b

siendo A la matriz de los coeficientes, del tipo (m,n), x la matriz columna de las incógnitas, deltipo (n,1), y b la matriz columna formada por los términos independientes, del tipo (m,1). Elsistema es compatible si y sólo si las matrices de coeficientes y la ampliada tienen el mismorango, es decir,

rang(A) = rang(A|b) = r

Si el rango común r es igual al número de incógnitas n, el sistema es determinado; si r es menorque n el sistema es indeterminado y, en este caso, la solución general es igual a una soluciónparticular más cualquier combinación lineal de n−r soluciones l.i. del sistema homogéneoasociado.

Ax = 0

Vamos a estudiar la resolución de sistemas mediante determinantes, según el valor de r.

1º Caso : r = n = m (sistema de Cramer)

El sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas, la matriz A es regular y segúnel Teorema de Rouché existe una única solución, que obtendremos teniendo en cuenta que:

A*bAx = b ⇒ x = A-1b ⇒ x =

det(A)

es decir,x1

x2

. .

xn

= 1

det(A)

A11 A21 . . An1

A12 A22 . . An2

. . . . . . . . . . . .

A1n A2n . . Ann

b1

b2

. .

bn

y desarrollando e igualando los elementos de las matrices resultantes en ambos miembros laprimera incógnita es

50

x1= A11b1+A21b2+..+An1bn

det(A) =

b1 a12 . . a1n

b2 a22 . . a2n

. . . . . . . . .

bn an2 . . ann

det(A)

la segunda

x2= A12b1+A22b2+..+An2bn

det(A) =

a11 b1 . . a1n

a21 b2 . . a2n

. . . . . . . . .

an1 bn . . ann

det(A)

y, así sucesivamente, para la última

xn = A1nb1+A2nb2+..+Annbn

det(A) =

a11 a12 . . b1

a21 a22 . . b2

. . . . . . . . . .

an1 an2 . . bn

det(A)

Cada incógnita resulta ser igual a un cociente en el que el divisor es el determinante de loscoeficientes del sistema y el dividendo es el determinante de la matriz resultante de sustituir enla matriz del sistema A la columna de coeficientes de la incógnita por los términosindependientes.

Ejemplo VI.8.3

El sistema

3x+2z = 1

x+y+z = 1

2x+5z = 4

tiene tres ecuaciones , tres incógnitas y

A =

3 0 2

1 1 1

2 0 5

⇒ det(A) = 11 ⇒ rang(A) = 3

51

siendo pues un sistema de Cramer cuya solución es

x =

1 0 2

1 1 1

4 0 5

11 =

–3

11 y =

3 1 2

1 1 1

2 4 5

11 =

4

11 z =

3 0 1

1 1 1

2 0 4

11 =

10

11

2º caso : r = m < n o r = n < m o r < n y r < m

En primer lugar, cuando r < m, hay que probar la compatibilidad rang(A) = rang(A|b) = r. Siel sistema es compatible la solución general puede hallarse de acuerdo con el siguienterazonamiento: la matriz A|b contiene un menor de orden r cuyas filas indican las ecuacionesl.i. del sistema, que llamaremos ecuaciones principales , de forma que las demás filascorresponden a ecuaciones que son combinación lineal de éstas, por lo que pueden sersuprimidas quedando como sistema equivalente el formado por las ecuaciones principales; lasr columnas l.i. del menor distinto de cero que define el rango de A determinan las incógnitas,que llamaremos incógnitas principales, de modo que pasando al segundo miembro lostérminos que contienen a las incógnitas no principales, formamos un sistema de Cramer cuyasolución nos da la solución general del sistema. Por ejemplo si las filas y columnas del menorno nulo de A son las r primeras hemos reducido el sistema al

a11x1+...+a1rxr = b1−a1r+1xr+1−...−a1nxn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ar1x1+...+arrxr = br−arr+1xr+1−...−arnxn

cuya solución expresará las incógnitas principales x1,...,xr en función de xr+1,...,xn.

Ejemplo VI.8.4

Para el sistema 2x+3y–z = 1

x+y+3z = 7

3x+4y+2z = 8

x+2y–4z = –6

se verifica

rang(A) = rang

2 3 –1

1 1 3

3 4 2

1 2 –4

= 2 = rang

2 3 –1 1

1 1 3 7

3 4 2 8

1 2 –4 –6

siendo distinto de 0 el menor

52

2 3

1 1

que señala como ecuaciones principales a las dos primeras y como incógnitas principalesa x e y. El sistema es equivalente al formado por estas ecuaciones e incógnitas, es decir,

2x+3y = 1+z

x+y = 7–3z

cuya solución es

x =

1+z 3

7–3z 1

2 3

1 1

= −10z+20 y =

2 1+z

1 7–3z

2 3

1 1

= 7z−13

Caso particular interesante es el de un sistema homogéneo con n ecuaciones y n incógnitas talque el rango de la matriz de coeficientes sea n−1, es decir,

a11x1+a12x2+...+a1nxn = 0

a21x1+a22x2+...+a2nxn = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . .

an1x1+an2x2+...+annxn = 0

con

rang

a11 a12 . . a1n

a21 a22 . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . ann

= n−1

Esto significa que existe un menor de orden n−1 distinto de cero que podemos suponer, sinpérdida de generalidad en el razonamiento, que está formado por las primeras n−1 filas ycolumnas; por ello, y según lo anterior, el sistema equivale al

a11x1+a12x2+...+a1n-1xn-1 = −a1nxn

a21x1+a22x2+...+a2n-1xn-1 = −a2nxn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an-11x1+an-12x2+...+an-1n-1xn-1 = −an-1nxn

que es un sistema de Cramer, siendo la solución para x1 el cociente

53

x1 =

−a1nxn a12 . . . a1n-1

−a2nxn a22 . . . a2n-1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .−an-1nxn an-12 . . an-1n-1

a11 a12 . . . a1n-1

a21 a22 . . . a2n-1

. . . . . . . . . . . . . . . . an-11 an-12 . . an-1n-1

=

−xn(−1)n-2

a12 . . . a1n-1 a1n

a22 . . . a2n-1 a2n

. . . . . . . . . . . . . . .

an-12 . . . an-1n-1 an-1n

a11 a12 . . . a1n-1

a21 a22 . . . a2n-1

. . . . . . . . . . . . . . . . an-11 an-12 . . an-1n-1

El determinante del denominador es Ann, adjunto del elemento ann en la matriz de coeficientes delsistema y el numerador es An1, adjunto del elemento an1 en la matriz del sistema. Podemos, portanto, escribir

x1 = xnAn1

Ann

luegox1

An1

= xn

Ann

si An1 no es nulo (si An1 = 0, entonces x1 = 0 por lo que podemos escribir la solución en laforma anterior aunque An1 sea nulo, interpretando que en este caso es nula la incógnita delnumerador). Análogamente se obtienen las demás soluciones, que pueden escribirse en la forma

x2

An2

= xn

Ann

, . . . , xn-1

Ann-1

= xn

Ann

o escribiéndolas conjuntamente

x1

An1

= x2

An2

= . . . = xn-1

Ann-1

= xn

Ann

es decir, valores proporcionales a los adjuntos de los elementos de la fila de la matriz que noforma parte del menor principal.

Ejemplo VI.8.5

El sistema de tres ecuaciones e incógnitas

2x+3y–z = 0

x+y+3z = 0

2x+2y+6z = 0

puede comprobarse que verifica rang(A) = 2, ya que

54

2 3 –1

1 1 3

2 2 6

= 0

siendo distinto de 0 el menor

2 3

1 1

Por ello, el sistema tiene por solución

x

10 =

y

−7 =

z

−1

Ejercicios

VI.45 . - Demostrar que ((1,–1,α1,0), (α2,0,2,2), (0,–1,–3,α3), (1,–1,0,α4)) es una base deR4 y hallar la matriz del cambio de esta base a la base canónica, para α1 = , α 2 = , α3 = , α4 = .

VI.46.- Hallar las inversas de las matrices siguientes:

3 2 1

4 6 2

1 2 3

2 1 1

4 2 0

–3 1 1

1 2 3 4

2 3 5 –2

3 5 1 1

1 1 –5 –7

VI.47.- Discutir para los diferentes valores de m∈ R el sistema

x+my+z = m+2

x+y+mz = –2(m+1)

mx+y+z = m

VI.48.- Discutir y resolver según los valores de k y m el sistema

x–2y = 3k+3m

x-y = 2k+2m+1

mx+ky+5 = m 2–k 2–1

kx+my+7 = k 2–m 2+13

VI.49.- Discutir según los valores de a y b, los sistemas

55

ax+y+z+t = a

x+ay+z+t = a

x+y+az+t = a

x+y+z+at = a

ax+by+z = 1

x+aby+z = b

x+by+az = 1

VI.50 . -Estudiar la compatibilidad de los sistemas lineales siguientes y resolver el segundo:

2x+y–z = b1

x+2y+z = b2

3x+y–2z = b3

ax+y+z = 1

x+ay+z = a

x+y+az = a 2

VI.51.- Resolver, según los valores de los parámetros reales a, b, c, d el sistema

x+y+z = 1

ax+by+cz = d

a2x+b 2y+c 2z = d 2

Encontrar el valor de P = a3x+b3y+c3z, si (x,y,z) es una solución del sistema anterior.

VI.52.- Bajo que condición el sistema sobre R

y+az+a 2t = 1

x+a 2z+at = –1

ax+a 2y+t = 1

a 2x+ay+z = 1

posee solución única. Resuélvase en este caso concreto. Hallar a y b para el siguientesistema admita solución distinta de la trivial:

2x–ay+bz = 0

x–ay+z = 0

2bx+2y+3z = 0

3x–y+2z = 0

56

PROCEDIMIENTOS PRÁCTICOS BASICOS

Los procedimientos básicos que forman los elementos constructivos a partir de los cualespueden abordarse los problemas que tratan sobre las materias desarrolladas en este Cuaderno,son los siguientes:

- Relación matriz-fórmula en una forma bilineal.

- Imagen matricial de un par de vectores en una forma bilineal.

- Matrices de una forma bilineal en bases distintas.

- Relación matriz-fórmula en una form cuadrática

- Averiguar si una forma cuadrática es definida.

- Averiguar si una aplicación de V×V en R es un producto escalar.

- Hallar el producto escalar de dos vectores.

- Hallar la norma de un vector.

- Hallar una base ortonormal de un espacio euclidiano.

- Averiguar si dos subespacios son ortogonales.

- Hallar el subespacio ortogonal a un subespacio dado.

- Proyectar un vector sobre un subespacio.

- Hallar el ángulo de dos vectores.

- Cálculo de determinante por el algoritmo de Gauss.

- Cálculo de determinante por la regla de Laplace.

- Cálculo de la característica de una matriz.

- Cálculo del rango por determinantes.

- Averiguar si n vectores de un e.v. de dimensión n forman una base

- Hallar la inversa de una matriz regular.

- Resolver un sistema lineal mediante determinantes.

57

EJERCICIOS DE RECAPITULACION

VI.53.- Si f : E×E R es una forma bilineal, probar que g, definida por

g(x,y) = f(x,y)+f(y,x)

es también bilineal. ¿Es g simétrica?.

VI.54.- Sea la forma bilineal f : R2×R2 R, cuya matriz es la base canónica es

A = 4 2

2 1

a) Si definimos el conjunto anulador N de f como el conjunto de vectores x∈ R2 talesque

(∀ y∈ R2) (f(x,y) = 0)

hallar N, una base de N y comprobar que N coincide con los vectores del núcleo delendomorfismo cuya matriz en la base canónica es A.

b) Sea la nueva base de R2 formada por el vector (1,0) y por un vector de E de la basedel anulador. Hallar la matriz de f en esta nueva base.

c) ¿Es f definida positiva?.

VI.55.- Sea la matriz

A =

1 3 4

3 1 0

4 0 1

asociada a un endomorfismo f de R3 referido a una base ortonormal (e). Definimos enR3 dos formas bilineales

f1(x,y) = <x,f(y)> f2(x,y) = <f(x),y>

x e y son dos vectores expresados en la base ortonormal (e). Hallar las matricesasociadas a f1 y a f2 en dicha base. Comprobar que f1 = f2. ¿Cómo ha de ser la matriz Apara que se verifique la condición anterior?.

VI.56.- Sea V un espacio vectorial real. Si <,> y (|) son dos productos escalares en V; averiguarsi las aplicaciones de V2 en R definidas por

(x,y) <x,y>+(x | y) (x,y) k <x,y> con k∈ R+

son productos escalares.

58

VI.57.- Si V es un e.v.s. R de dimensión 1, hallar todos los productos escalares en V.

VI.58.- Sea V el espacio vectorial sobre R de las funciones reales de variable real de la forma

f(x) = ae -x+be -2x+ce -3x con a ,b,c∈ R

Definimos en V la siguiente operación

<f,g> = f(x)0

∞ g(x) dx

a) Demostrar que se ha definido un producto escalar.

b) Dado el conjunto M = { f∈ V f(x) = ae -x+be -3x con a,b∈ R} , demostrar que es unsubespacio vectorial de V y hallar una base ortonormal para M.

c) Expresar la función g(x) = e-x−2e -3x en la base anterior y calcular su norma .

d) Hallar el subespacio ortogonal asociado al subespacio engendrado por e -3x.

VI.59.- Sea (e1,e2,e3) una base de E, espacio vectorial sobre R, que verifica

e1 = 1 , e2 = 2 , e3 = 2 , e1⊥ e2 , e2⊥ e3 , ∠ (e1,e3) = 60˚

a) Hallar la expresión matricial del producto escalar respecto de la base (e1,e2,e3).

b) Calcular el ángulo que forman los vectores u1 = e1–e2 y u2 = 2e2–e3.

d) Hallar una base ortonormal del subespacio [u1,u2].

VI.60.- Calcular los siguientes determinantes:

1 3 5 7 . . 2n+1

–1 a 0 0 . . 0

0 –1 a 0 . . 0

0 0 –1 a . . 0

. . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 0 . . a

a b ∗ ∗ . . ∗a a b ∗ . . ∗a a a b . . ∗a a a a . . ∗. . . . . . . . . . . . .

a a a a . . a

donde los * denotan escalares cualquiera.

VI.61.- Resolver la ecuación

a+x x x x

x b+x x x

x x c+x x

x x x d+x

= 0

59

VI.62.- Demostrar que

x a b c

a x c b

b c x a

c b a x

= (x+a+b+c) (x+a–b–c) (x–a+b–c) (x–a–b+c)

VI.63.-Resolver las ecuaciones

x–1 x 2–1 x 3–1

2x–4 x 2–4 x 3–8

3x–9 x 2–9 x 3–27

= 0

a–x b–x c–x

a'–x b'–x c'–x

a ''–x b''–x c''–x

= 0

VI.64.-Dada una matriz A∈ M(n,n)(K), considérese el endomorfismo

fA : M(n,n)(K) M(n,n)(K) M fA(M) = AM

Demostrar que det(fA) = (det(A))n. Lo mismo si fA(M) = MA. Si fA(M) = MA−AM,demostrar que det(fA) = 0.

BIBLIOGRAFIA

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60

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