Algebra Lineal i Espacios Vectoriales 2010 II

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

ESPACIOS VECTORIALES

En el cálculo elemental se estudia funciones reales de una variable real; es decir,

funciones cuyo dominio y rango son R o subconjuntos de R. Para esto es necesario

conocer las propiedades de números reales. Una situación muy similar se presenta en el

álgebra lineal; los objetos realmente importantes son las transformaciones lineales que

son un tipo particular de funciones cuyo dominio y contradominio son conjuntos

dotados de una estructura muy importante: los espacios vectoriales. Es por lo tanto, la

intención de este capítulo dar los conceptos y propiedades básicas de los espacios

vectoriales.

1. ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN PRELIMINAR.- Dado un conjunto Φ≠V , un campo ),,( ⋅+K (que puede ser los reales R o los complejos C ), se define una ley de composición interna en V

yxyx

VVV⊕

→×⊕a),(

:

llamada adición y se define una ley de composición externa en V con escalares en el campo K

ü : VVK →× aüx a),( xa

denominada multiplicación por escalares. Diremos que el objeto ü) es

un espacio vectorial sobre el campo K si y solo si verifica las siguientes

condiciones:

,,,( KV ⊕

V1) para todo )()( zyxzyx ⊕⊕=⊕⊕ Vzyx ∈,, .

V2) Existe V∈θ tal que xxx =⊕=⊕ θθ , para todo Vx∈ . El elemento θ se

denomina neutro aditivo o cero.

V3) Para todo , existe Vx∈ Vy∈ tal que θ=⊕=⊕ xyyx . El elemento y se

denomina opuesto de x y se denota por xy −= .

V4) xyyx ⊕=⊕ para todo Vyx ∈, .

V5) aü(büx) )( ba ⋅= üx para todo Kba ∈, , para todo Vx∈ .

V6) ü)( ba + =x aü üx para todo bx⊕ Kba ∈, , para todo Vx∈ .

V7) aü aüx aüy para todo =⊕ )( yx ⊕ Ka∈ , para todo Vyx ∈, .

V8) Existe K∈1 llamado elemento idéntico multiplicativo tal que 1ü xx = . Para

todo , Vx∈

7


OBSERVACIONES:

a) Un conjunto para que sea espacio vectorial sobre un campo K debe tener

definidas dos operaciones “adición” y “multiplicación por un escalar”; las

cuales deben cumplir las ocho propiedades arriba mencionadas. En caso que no

cumpla con alguna de ellas no es un espacio vectorial.

Φ≠V

b) A los elementos de V se les llaman vectores y el elemento neutro aditivo θ

recibe el nombre de vector nulo.

c) Si RK = , V es llamado espacio vectorial real y si CK = , V se denomina

espacio vectorial complejo.

d) En lo que sigue de las notas si no se dice lo contrario en lugar de denotar la

adición de vectores con el símbolo “⊕ ” simplemente denotaremos con “+”,

haciendo la diferencia según el contexto cuando se trata de la suma de vectores

o la suma de escalares )( yx + )( ba + ; el símbolo “⊕ ” se usará más adelante

para denotar la suma directa.

Omitiremos escribir el símbolo “ü” que denota la ley de composición externa,

simplemente con la yuxtaposición se entenderá la multiplicación de un vector

por un escalar haciendo la diferencia según el contexto cuando se trate de la

multiplicación de un vector por un escalar (ax) o la multiplicación de dos

escalares (ab).

Con las precisiones hechas en d), la definición de espacio vectorial se puede

enunciar formalmente como sigue:

DEFINICIÓN 1.1.- Dados un conjunto Φ≠V , un campo K, una ley de

composición interna “+” en V llamada adición y una ley de composición externa

“·” definida en V y con operadores o escalares en K denominada multiplicación

por escalares. Diremos que V es un K- espacio vectorial o que V es un espacio

vectorial sobre el campo K si y solo si se verifican las siguientes condiciones:

V1) )()( zyxzyx ++=++ para todo Vzyx ∈,, .

V2) Existe V∈θ tal que xxx =+=+ θθ , para todo Vx∈ . El elemento θ se

denomina neutro aditivo o cero.

V3) Para todo , existe Vx∈ Vy∈ tal que θ=+=+ xyyx . El elemento y se

denomina opuesto de x y se denota por xy −= .

V4) xyyx +=+ para todo Vyx ∈, .

8


V5) para todo xbaxba )()( = Kba ∈, , para todo Vx∈ .

V6) para todo bxaxxba +=+ )( Kba ∈, , para todo Vx∈ .

V7) para todo ayaxyxa +=+ )( Ka∈ , para todo Vyx ∈, .

V8) Existe K∈1 llamado elemento idéntico multiplicativo tal que . Para

todo ,

xx =1

Vx∈

EJEMPLO 1.1.1.- Sea y },,2,1,/),,({ 1 niRxxxRV inn KK =∀∈== RK = .

Dados y nnn Ryyyxxx ∈== ),,(,),,( 11 KK Ra∈ , definimos:

),,( 11 nn yxyxyx ++=+ K

),,( 1 nxaxaxa K=

·),,,( RR n + cumple las condiciones de espacio vectorial. En efecto:

V1) Sean nRzyx ∈,,

),,(]),,(),,([)( 111 nnn zzyyxxzyx KKK ++=++

),,(),,( 111 nnn zzyxyx KK +++=

])(,,)([ 111 nnn zyxzyx ++++= K

])(,),([ 111 nnn zyxzyx ++++= K

),,(),,( 111 nnn zyzyxx +++= KK

)( zyx ++=

V2) Existe , para todo . xxxR n =+=+∈= θθθ /)0,,0( K nRx∈

V3) Para todo , existe nRx∈ ),,( 1 nxxxy −−=−= K tal que θ=+=+ xyyx .

V4) Sean nRyx ∈,

),,(),,( 11 nn yyxxyx KK +=+

),,( 11 nn yxyx ++= K

),,( 11 nn xyxy ++= K

xy +=

V5), V6), V7) y V8) se verifican análogamente.

9


EJEMPLO 1.1.2.- Consideremos { }RRf →= :F el conjunto de funciones

definida en los reales y con valores reales, y RK = . Sean F∈gf , y

definimos:

Ra∈

)()()()( xgxfxgf +=+ para todo Rx∈

)())(( xfaxfa = para todo Rx∈

La cuaterna ·),,,( R+F es un espacio vectorial. Verificaremos sólo las

condiciones V2) y V3), las demás quedan como ejercicio para el lector.

V2) Existe F∈θ definida como 0)( =xθ para todo Rx∈ (función cero) y

cumple fff =+=+ θθ para todo F∈f .

V3) Para todo F∈f , existe un opuesto que definimos como:

)())(( xfxf −=− tal que θ=+−=−+ ffff )( .

EJEMPLO 1.1.3.- R no es un espacio vectorial sobre CK = . Pues si y

, no siempre se cumple que

Ca∈

Rx∈ Raxa∈ ; es decir, no es una ley de composición

externa.

EJEMPLO 1.1.4.- Sea K un campo, construyamos el conjunto:

{ }niKkkkK inn ,,2,1,/),,( 1 KK =∀∈=

para y nnn Kkkykkx ∈== )',,'(),,,( 11 KK Kc∈ , definimos:

)',,'( 11 nn kkkkyx ++=+ K

),,( 1 nckckcx K=

·),,,( KK n + es un espacio vectorial.

EJEMPLO 1.1.5.- Denotemos por:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈=

=∞

)(,),,,,(/ 10

númeroselementosdefinitonúmerounexceptoceros,todossonKalosdondeaaaxx

K in KK

Sean y Kbyax ii ∈== )(),( Kc∈ . Definimos:

),,,,( 1100 KK nn bababayx +++=+

),,,,( 10 KK ncacacacx =

se deja al lector verificar que es un espacio vectorial. ·),,,( KK +∞

10


EJEMPLO 1.1.6.- Consideremos el conjunto de las funciones polinomiales en la indeterminada x de grado menor o igual que

][xP)( +∈Znn sobre el campo de

los números reales. Sean: n

n xaxaaxp +++= K10)( , y ][)( 10 xPxbxbbxq nn ∈+++= K R∈α

Definimos:

nnn xbaxbabaxqxp )()()()()( 1100 ++++++=+ K

nn xaxaaxp αααα +++= L10)(

( ·,,],[ RxP + ) es un espacio vectorial. La verificación es análoga en el ejemplo

1.1.2.

NOTA.- Si se considera el conjunto de todos los polinomios de grado igual a

con las mismas operaciones, no constituye un espacio vectorial sobre R,

pues la adición para este conjunto no es una ley de composición interna.

)( +∈Znn

EJEMPLO 1.1.7.- Sea K un campo, consideremos:

},,1{},,,1{ nImI nm KK ==

}11/),({},,1{},,1{ njmijinmP ≤≤∧≤≤=×= KK

es decir nm IIP ×= (producto cartesiano de por ). Definimos: mI nI

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=∈=→=×

mnm

n

jinm

aa

aaAKajiAKPAK

K

MMM

K

1

111

,),(/:

KPA →:

11)1,1( aa

12)2,1( aa

MM

nan 1),1( a

MM

jiaji a),(

MM

mnanm a),(

11


nmK × recibe el nombre de conjunto de matrices de orden nm× sobre el campo K.

Sean y nmKBA ×∈, K∈α . Definimos la:

Adición : jijiji bajiBjiAjiBAc +=+=+= ),(),(),()(

Multiplicación : jiji ajiAjiAc ααα === ),(),()(

Fácilmente se verifica que nmK × con las operaciones definidas arriba es un espacio

vectorial sobre K.

EJEMPLO 1.1.8.- Dado el sistema lineal homogéneo:

01212111 =+++ nn xaxaxa K

MMKMM

02211 =+++ nnmmm xaxaxa K

con coeficientes en R.

Sea }),,/(),,({ 11 sistemadelsoluciónesxxxxS nn KK=

S con las operaciones usuales de adición y multiplicación por escalares es un

espacio vectorial sobre R.

EJEMPLO 1.1.9.- Sean espacios vectoriales sobre el campo K y

consideremos el conjunto:

21 , VV

}/),({ 221121 VvVvvvV ∈∧∈=

para y Vvvvv ∈)''(),,( 2121 Ka∈ . Definimos:

)','()''(),( 22112121 vvvvvvvv ++=+

),(),( 2121 vavavva =

V con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial sobre K.

EJEMPLO 1.1.10.- Sea Rf →− )1,1(: (R un espacio vectorial sobre R con las operaciones usuales) tal que:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<+

≥−=

01

01)(

xsix

x

xsix

x

xf

Es fácil mostrar que f así definida es una biyección.

Para y definimos: )1,1(, −∈yx Ra∈

12


( ))()(1 yfxffyx +=+ −

( ))(1 xaffxa −=

demostrar que con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial

sobre R.

)1,1(−

SOLUCIÓN

Sólo verificaremos las condiciones V1) y V7) las restantes se dejan al lector para

que las verifique.

V1) ))()(()( 1 zfyxffzyx ++=++ −

))()))()(((( 11 zfyfxffff ++= −−

))())()(((1 zfyfxff ++= −

)))()(()((1 zfyfxff ++= −

))))()(((()(( 11 zfyfffxff ++= −−

))()((1 zyfxff ++= −

)( zyx ++=

V7) para todo bxaxxba +=+ )( Rba ∈, y para todo )1,1(−∈x .

))()((1 bxfaxffbxax +=+ −

))))((())))(((( 111 xbfffxaffff −−− +=

))()((1 xbfxaff += −

))()((1 xfbaf += −

xba )( +=

PROPOSICIÓN 1.2.- Sea ·),,,( KV + un espacio vectorial. Entonces se tiene:

i) El elemento θ es único.

ii) θ=x0 para todo . Vx∈

iii) θθ =a para todo . Ka∈

iv) Si θ=ax , entonces ó 0=a θ=x .

v) para todo )()( axxa −=− Ka∈ y para todo Vx∈ .

PRUEBA.- Solamente, a modo de ilustración, probaremos i) y v).

Prueba de i)

Supongamos que exista V∈'θ tal que xxx =+=+ '' θθ para todo . Vx∈

13


Haciendo θ=x tenemos que:

θθθθθ =+=+ '' (1)

Por otro lado en virtud de la condición V2) de espacios vectoriales existe V∈θ tal

que xxx =+=+ θθ para todo Vx∈ , haciendo θ ′=x tenemos que:

''' θθθθθ =+=+ (2)

de (1), (2) y V4) finalmente se tiene: 'θθ = .

Prueba de v):

θ=+− axax)( por V3)

x0= por ii)

xaa )( +−= por suma de opuestos en K

axaxaxax +−=+− )( por V6)

∴ axax −=− )( por la ley de cancelación.

EJERCICIOS

1. Sean y 2RV = RK = . Averiguar si 2R con las operaciones definidas a

continuación es un espacio vectorial sobre R.

a) )0,(),(),( 212211 xxyxyx +=+ y )0,(),( axyxa =

b) ),(),(),( 21212211 yyxxyxyx ++=+ y )0,(),( axyxa =

(las operaciones que aparecen en el segundo miembro de las igualdades,

tanto en a) como en b) son la adición y multiplicación usuales).

2. En 3R con la operación usual de adición y la multiplicación definida como:

)2,,(),,(:),,(; 3 azayaxzyxaRzyxRa =∈∀∈∀

averiguar si 3R es un espacio vectorial sobre R.

3. Sean (el conjunto de los números reales positivos) y += RV RK = . Se definen

las operaciones de adición y multiplicación por escalar como sigue:

xyyxRyx =⊕∈∀ + :, axxaRxRa =∈∀∈∀ + o:;

Averiguar si +R con las operaciones definidas anteriormente es un espacio

vectorial sobre R.

4. Sean V=R y K=R; se define la operación de adición como sigue:

14


},{:, yxmáxyxRyx =⊕∈∀

Si la multiplicación por escalar es la usual de números reales, averiguar si R con

las operaciones antes definidas es un espacio vectorial.

5. Sea Z el conjunto de los números enteros con la adición usual y la multiplicación

por escalar definida por

[ ]xaxaZxRa =∈∀∈∀ o:,

donde [ a ] denota el máximo entero; esto es

[ ] Zkkakka ∈∀+<≤⇔= ;1

Por ejemplo

[ ] 8)4)(2(475,2475,2 ===o , [ ] 9)3)(3(315,2315,2 −=−=−=− o

¿Cuáles de las condiciones de espacio vectorial no se verifican?.

6. Sea el conjunto },/2{)2( QbabaQ ∈+= . Se define:

2)()()2()2( dbcadcba +++=+++

2)2( baba ααα +=+

¿Es ·),,),2(( KQ + un espacio vectorial?, Si:

(a) )2(QK = , (b) QK = y (c) RK = .

7. Demostrar ii), iii) y iv) de la proposición 1.2.

8. En el conjunto 2R se definen la adición y la multiplicación como sigue:

( )31

31 )(,)(:),(,),( 3

232

31

31

22121 yxyxyxRyyyxxx ++=⊕∈==∀

),(:),(; 212

21 axaxxaRxxxRa =∈=∀∈∀ o

Averiguar si 2R con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial.

9. En un grupo aditivo V se da la siguiente definición. Para y para

cualquier entero positivo n, se define el producto nx inductivamente por

Vx∈

y xx =1 xxnnx +−= )1(

Para un entero negativo n, se define

))(( xnnx −−= ,

donde n− es un entero y por consiguiente xn)(− está bien definido. Denotando

por Z el conjunto de todos los enteros, demostrar que la aplicación

verifica las siguientes propiedades: nxxnVVZ

a)→

,(×

15

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- a) nynxyxn +=+ )( b) nxmxxnm +=+ ))(

c) d) )()( nxmxmn = xx =1

¿Es V un espacio vectorial?. La respuesta es obvia.

2. SUBESPACIOS

DEFINICIÓN 2.1.- Sea ·),,,( KV + un espacio vectorial cualesquiera. Diremos

que W, un subconjunto de V diferente del vacío es un subespacio si y solo si

con las operaciones definidas para V es por sí mismo un espacio

vectorial.

·),,,( KW +

NOTA.- El conjunto }{θ y V son subespacios vectoriales de V, denominados

subespacios triviales; cualquier otro subespacio es llamado subespacio propio.

Nótese además que el elemento neutro aditivo de W es el mismo que el de V.

TEOREMA 2.2.- Sea V un K-espacio vectorial un espacio vectorial y W un

subconjunto de V diferente del vacío. W es un subespacio vectorial de V si y solo si:

i) Para todo WyxWyx ∈+∈ ,, .

ii) Para todo Ka∈ , para todo WaxWx ∈∈ , .

PRUEBA

)⇒ Es obvio

)⇐ Por hipótesis tenemos que se cumple i) y ii), probaremos que W es un K-espacio

vectorial.

V1) )()( zyxzyx ++=++ para que Wzyx ∈,, . Se verifica: y

en V se cumple V

VWzyx ⊂∈,,

1).

V2) Existe xxxW =+=+∈ θθθ / para todo Wx∈ . En efecto, sea:

WyyWy ∈−=−⇒∈ )1( (por ii)) Wyy ∈=−+⇒ θ)( por i)).

V3) Para todo Wx∈ , existe Wx∈− tal que θ=+−=−+ xxxx )( en virtud de i) y

ii).

Análogamente se puede verificar que ·),,,( KW + cumple las condiciones restantes

del espacio vectorial.

EJEMPLO 2.2.1.- Sea y consideremos: 2RV =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=≠==∈= constantey0,ó)0,0(),/(),( 11

221

221 axa

xxxxRxxW

W es un subespacio vectorial de V.

16


EJEMPLO 2.2.2.- Sea F el R-espacio vectorial de todas las funciones reales de

variable real, consideremos:

}continua es/:{ fRRf →=C

es un subespacio vectorial de F. En efecto, tenemos que Φ≠C ya que C∈θ ,

pues RR →:θ tal que 0)( =xθ para que Rx∈ es una función continua. Las otras

condiciones se cumplen en virtud de las propiedades de funciones continuas.

EJEMPLO 2.2.3.- Sea y dados ·),,,( 3 RR + )0,3,1(=u y

elementos de

)1,0,2(−=v3R . Construimos:

}),(/{ 3 RauvauwRwW ∈−+=∈=

W no es un subespacio de 3R , pues es fácil verificar que cero no pertenece a W.

EJEMPLO 2.2.4.- Sea F=V el R-espacio vectorial de todos las funciones reales

de variable real. Averiguar si el conjunto definido como:

)}()()()()(/{ afafbfafbaffW λλ =∧+=+∈= F

es un subespacio vectorial.

SOLUCIÓN

Haciendo uso del teorema 2.2. tenemos que por definición y además

pues la función cero pertenece a W. Veamos si cumplen las condiciones i) y

ii) del teorema.

VW ⊂

Φ≠W

i) entonces: Wgf ∈,

)()()()()( afafbfafbaf λλ =∧+=+ (1)

)()()()()( agagbgagbag λλ =∧+=+ (2)

Sumando las igualdades de (1) y (2) miembro a miembro

))()(())()(()()( bgagbfafbagbaf +++=+++

)()()()( agafagaf λλλλ +=+∧

agrupando convenientemente y usando la definición de suma de funciones,

tenemos:

))(())(())(())(())(( agfagfbgfagfbagf +=+∧+++=++ λλ

luego . Wgf ∈+

17


ii) WfR ∈∈ ,α entonces:

)()()()()(, afafbfafbafR λλα =∧+=+∈ (3)

multiplicando las igualdades de (3) por α y de la definición de producto de una

función por un escalar tenemos:

))(())(())(())(())(( afafbfafbaf αλλαααα =∧+=+

luego Wf ∈α .

De i) y ii) W es un subespacio vectorial.

EJEMPLO 2.2.5.- Sea }continua es/:{ fRRfV →==C y consideremos:

}0)(/{ 101 =∫∈= dttffW C

}1)(/{ 102 =∫∈= dttffW C

1W es un subespacio vectorial, no es un subespacio pues no se cumplen las

condiciones del teorema 2.2. En efecto, tomemos tal que

2W

RRf →: 1)( =tf ,

entonces ya que , pero 2Wf ∈ 110 =∫ dt 2Wff ∉+ pues . 12))()((1

0 ≠=+∫ dttftf

EJEMPLO 2.2.6.- Sea el espacio vectorial de las matrices cuadradas de

orden sobre el campo R. Definimos:

nnRV ×=

nn×

},;/{ jijjinn iaaRAS ∀∀=∈= ×

},;/{ jijjinn iaaRAT ∀∀−=∈= ×

Los elementos del conjunto S se denominan matrices simétricas, y a los elementos

de T se les llaman matrices antisimétricas. Los conjuntos S y T con las operaciones

heredadas de son subespacios vectoriales. ·),,,( RR nn +×

EJEMPLOS 2.2.7.- Sea el espacio vectorial de las

matrices de componentes complejas sobre el campo R. Definimos:

}/){( CaaC jijinn ∈=×

},1;/){( njiaaCaH ijjinn

ji ≤≤−=∈= ×

H es un subespacio de . nnC ×

18


EJERCICIOS

1. Sea el espacio vectorial . Averiguar cuáles de los siguientes sub-

conjuntos son subespacios vectoriales:

·),,,( 2 RR +

a) }0/),({ 2 =+∈= yxRyxU

b) }0/),({ 2 =∈= xyRyxW

c) }2/),({ 2 yxRyxS =∈=

d) }12/),({ 2 +=∈= yxRyxT

2. Sea el espacio vectorial . Averiguar cuáles de los siguientes sub-


·),,,( 3 RR +

a) }/),,({ 31 zxRzyxU =∈=

b) }1/),,({ 22232 ≤++∈= zyxRzyxU

c) }/),,({ 33 yxRzyxU =∈=

d) }02/),,({ 34 =−+∈= zyxRzyxU

e) }/),,({ 35 zyxRzyxU <<∈=

3. Sea el espacio vectorial ·),,,( R+F , donde }:{ RRf →=F (ver el

ejemplo 1.1.2.). Averiguar cuáles de los siguientes subconjuntos de F son

subespacios vectoriales.

a) }0)1(/{1 =∈= ffW F

b) })1()0(/{2 fffW =∈= F

c) }0)1()0(/{3 =+∈= fffW F

d) }0)(/{4 ≥∈= xffW F

e) }0)1(/{5 =−∈= ffW F

f) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=∈=2

)1()0()2/1(/6

ffffW F

19


g) }))(()(/{ 227 xfxffW =∈= F

h) })5(1)3(/{8 −+=∈= fffW F

i) }0)1(0)1(/{9 =−∧=∈= fffW F

j) }0)1(0)1(/{10 =−∨=∈= fffW F

4. Sea el espacio vectorial . Determinar cuáles de los siguientes sub-


·),,,( 2 RC +

a) }0/),({ 2221 =+∈= uzCuzS

b) })Re()Re(/),({ 22 uzCuzS =∈=

c) })Im()Re(0)Im(/),({ 23 zuzzCuzS =−∧=∈=

d) }0)Im()Im(/),({ 24 =−∈= uzCuzS

5. Analizar si es un subespacio de . ·),,,( 2 RR + ·),,,( 3 RR +

6. Sea el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden

de entradas reales sobre R y

·),,,( 22 RR +×

22× 22×∈ RA una matriz particular. Determinar

cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales:

a) }/{ 221 BAABRBT =∈= ×

b) }/{ 222 BAABRBT ≠∈= ×

c) }0/{ 223 =∈= × BARBT

3. OPERACIONES CON SUBESPACIOS

PROPOSICIÓN 3.1.- Sea { } una familia de subespacios de . Si IiiW ∈ ·),,,( RV +

IIi

iWW∈

=

entonces, W es un subespacio de V.

PRUEBA

VW ⊂ por definición y además es no vacío ya que IiWi ∈∀∈θ , entonces W∈θ .

i) Sean iWyxiWyxWyx ii ∀∈+⇒∀∈⇒∈ ,,

Wyx ∈+⇒ .

ii) Sean iWaxiWxKaWxKa ii ∀∈⇒∀∈∧∈⇒∈∈ ,

Wax∈⇒ .

20


EJEMPLO 3.1.1.- Sea y consideremos: ·),,,( 3 RR +

}0/),,({ 31 =−∈= yxRzyxW

}02/),,({ 32 =+∈= zxRzyxW

}020/),,({ 321 =+∧=−∈=∩ zxyxRzyxWW es un subespacio de .),,,( 3 RR +

DEFINICIÓN 3.2.- Sean subespacios de 21 , WW ·),,,( RV + . Definimos:

},/{ 221121 WxWxxxxVxW ∈∧∈+=∈=

W se denota por y se le llama suma de subespacios y . 21 WWW += 1W 2W

PROPOSICIÓN 3.3.- La suma de dos subespacios de V es un subespacio vectorial

de V.

PRUEBA

Sea VWWWxWxxxxVxWW ⊂+∈∧∈+=∈=+ 2122112121 },,/{ por definición

y además es diferente del vacío pues 21 WW +∈θ ya que se puede escribir

θθθ += (θ es elemento de y de ). 1W 2W

i) , debemos probar que 21, WWyx +∈ 21 WWyx +∈+ .

221121 , WxWxxxx ∈∧∈+=

221121 , WyWyyyy ∈∧∈+=

212211 )()( WWyxyxyx +∈+++=+

pues 222111 WyxWyx ∈+∧∈+ .

ii) , debemos probar que 21, WWxKa +∈∈ 21 WWax +∈ .

212121 WWaxaxaxxxx +∈+=⇒+= pues 2211 WaxWax ∈∧∈ .

Luego 21 WW + es un subespacio vectorial.

EJEMPLO 3.3.1.- En consideremos los subespacios: ·),,,( 3 RR +

},/),0,({ 31 RzxRzxW ∈∈= y },/),,0({ 3

2 RzyRzyW ∈∈=

Tenemos:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈∈+=∈

=+222111

22113

21 ),,0(),0,();,,0(),0,(),,/(),,(

WzyyWzxzyzxwvuRwvu

WW

21


Podemos observar que pues cualquier vector se puede

escribir como

321 RWW =+ 3),,( Rwvu ∈

)21,,0()

21,0,(),,( wvwuwvu += donde 1)

21,0,( Wwu ∈ y

2)21,,0( Wwv ∈ .

DEFINICIÓN 3.4.- Sean V un espacio vectorial sobre y subespacios de

V. Diremos que V es la suma directa de los subespacios y y denotaremos

por:

1, WK 2W

1W 2W

21 WWV ⊕= .

Si y solo si:

i) 21 WWV +=

ii) }{21 θ=∩WW

EJEMPLO 3.4.1.- En consideremos los subespacios: ·),,,( 2 RR +

}/),({ 21 xyRyxW =∈= y }/),({ 2

2 xyRyxW −=∈=

212 WWR ⊕= . En efecto:

i) Cualquier vector se puede expresar como: 2),( Rvu ∈

))(21),(

21())(

21),(

21(),( uvvuvuvuvu −−+++=

es decir que . 212 WWR +=

Obsérvese que 1))(21),(

21( Wvuvu ∈++ y 2))(

21),(

21( Wuvvu ∈−− .

ii) Probaremos ahora que })0,0({21 =∩WW .

21})0,0({ WW ∩⊂ se cumple siempre.

Sea yxyxWyxWyxWWyx −=∧=⇒∈∧∈⇒∩∈ 2121 ),(),(),(

})0,0({),(0 ∈⇒==⇒ yxyx . Luego })0,0({21 ⊂∩WW

∴ })0,0({21 =∩WW .

De i), ii) y la definición 3.4 se tiene:

212 WWR ⊕=

22


EJEMPLO 3.4.2.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones de R en R; sea

el conjunto de las funciones pares pV ))()(( xfxf =− y el conjunto de las

funciones impares . Afirmamos que

iV

))()(( xfxf −=− ip VVV ⊕= . En efecto:

i) Debemos probar que ip VVV += . Esta condición se satisface del hecho que

cualquier función de R en R se puede escribir como:

))()((21))()((

21)( xfxfxfxfxf −−+−+=

Nótese que ))()((21 xfxf −+ es una función par, y ))()((

21 xfxf −− es una

función impar.

ii) Probaremos que }{θ=∩ ip VV .

Sea ipip VfVfVVf ∈∧∈⇒∩∈

RxxfxfRxxfxf ∈∀−=−∧∈∀=−⇒ ),()(),()(

θ=⇒∈∀=⇒ fRxxf ,0)(2

De i), ii) y definición 3.4. tenemos que:

ip VVV ⊕=

EJEMPLO 3.4.3.- Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas sobre el

campo R; y consideremos:

}/{ TAAVAU =∈= conjunto de las matrices simétricas.

}/{ TAAVAW −=∈= conjunto de las matrices antisimétricas.

Demostrar que . WUV ⊕=

i) Demostraremos que WUV += . Sea A una matriz cuadrada arbitraria de orden

n. Siempre es posible expresar A como:

)(21)(

21 TT AAAAA −++=

Sólo nos falta hacer ver que:

a) UAA T ∈+ )(21 y

b) WAA T ∈− )(21

Probando a)

23


TTTT AAAA )(21))(

21( +=+

( )( )TTT AA +=21

)(21 AAT +=

)(21 TAA+=

Probando b)

TTTT AAAA )(21))(

21( −=−

( )( )TTT AA −=21

)(21 AAT −=

)(21 TAA−−=

Luego satisface la condición i).

ii) Demostraremos que }{θ=∩WU .

Sea . θ=⇒−=∧=⇒∈∧∈⇒∩∈ AAAAAWAUAWUA TT

Luego }{θ=∩WU .

De i), ii) y de la definición 3.4 se tiene:

WUV ⊕=

OBSERVACIÓN 3.5.- La definición de suma de espacios puede ser generalizada

para una familia finita de subespacios. En efecto la suma de los subespacios

de es el conjunto: nWWW ,,, 21 K ·),,,( KV +

∑ ∑= = ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=∀∈∧=∈==n

i

n

iiiii niWwwvVvWW

1 1

,,2,1;/ K

W es un subespacio de . Además si tales subespacios tienen como único

elemento común al vector cero, es decir si para todo

·),,,( KV +

ji ≠ se tiene que

}{θ=∩ ji WW , entonces diremos que W es la suma directa y escribiremos:

nWWWW ⊕⊕⊕= K21

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EJERCICIOS

1. Sea y 4RV = )2,3,6,2(),1,3,4,1(),3,0,2,1( 321 =−== vvv elementos de

4R . Definimos:

},;/{ 214

1 RbabvavvRvW ∈+=∈=

};/{ 34

2 RaavvRvW ∈=∈=

i) Calcule 21 WW ∩

ii) Hallar un vector de 4R tal que no pertenezca a . 1W

iii) Si consideramos . },,;/{ 3214

3 RcbacvbvavvRvW ∈++=∈=

¿Cuál es la relación que existe entre y ? 1W 3W

2. Dados U y W subespacios de V. Demostrar que es un subespacio de V

si y solo si ó .

WU ∪

WU ⊂ UW ⊂

3. Extendemos la definición de suma a subconjuntos arbitrarios no vacíos (no

necesariamente subespacios) S y T de un espacio vectorial V definiendo

}/{ TtSstsTS ∈∧∈+=+

Demostrar que esta operación satisface:

i) STTS +=+

ii) SSS =+=+ }{}{ θθ

ii) )()( 321321 SSSSSS ++=++

iv) VSVVS =+=+

4. Demostrar que para todo subespacio vectorial W de V se tiene que . WWW =+

5. Dados U, W y T subespacios de un espacio vectorial V. Demostrar:

)()()( WTUWUTU +∩⊂∩+∩

6. Sean U, V y W subespacios de donde: ·),,,( 3 RR +

}0/),,({ =++= zyxzyxU , }/),,({ yxzyxV == y }/),0,0({ RzzW ∈=

a) Calcular WUVU ++ , y WV + .

b) Decir en cual de los tres casos anteriores de la parte a) la suma es directa.

7. Dada la recta . Hallar otra recta tal que

}5/),({ 21 xyRyxL =∈= 2L

212 LLR ⊕=

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Algebra Lineal i Espacios Vectoriales 2010 II