Algebra Lineal - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-final-2018-ene.pdf · donde test a en minutos y h(t) en metros. Por el m etodo de m nimos cuadrados, ajuste los datos

Algebra LinealExamen Final

Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2018

Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:1

1. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de cafe:

mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas

mezclas se obtienen combinando grano mexicano, grano

colombiano y grano etıope. Para una bolsa de mezcla de

la casa requiere 300 g de mexicano y 200 g de colombiano.

Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de me-

xicano, 100 g de colombiano y 100 g de etıope. Para una

bolsa de mezcla elite requiere 100 g de mexicano, 300 g de

colombiano y 100 g de etıope. El comerciante dispone de

16 kg de grano mexicano, 18 kg de grano colombiano, y

6 kg de grano etıope. Determina cuantas bolsas de cada

mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el

grano disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla elite.

Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y despues

divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.

Respuesta:

2. Resuelva cada uno de los SEL:

a)

16w + x− 2 y − 4 z = 3

24w + x− 3 y − 5 z = 5

−8w − 3x+ y + 25 z = 55

−40w − 5x+ 5 y + 34 z = 52

b)

−5w + x− 8 y − 3 z = 5

14w + 2x− 16 y − 11 z = 107

23w + x− 8 y − 8 z = 114

15w + x− 8 y − 6 z = 80

con el orden x−y−z−w e indique la opcion que contiene

la solucion general dentro de la siguiente lista:

1) < 5,−5, 0, 3 > +Gen {< 8, 0, 1, 0 >}2) < 5,−5, 3, 0 > +Gen {< 0, 0, 8, 1 >}3) < 5,−5, 3, 0 > +Gen {< 8, 0, 0, 1 >}4) < 5, 0,−5, 3 > +Gen {< 8, 1, 0, 0 >}5) < 5,−5, 3, 0 > +Gen {< 0, 8, 0, 1 >}6) < 5,−5, 0, 3 > +Gen {< 0, 8, 1, 0 >}

Respuesta:

3. Sean A y B dos matrices n×n invertibles. Para cada una

de las siguientes ecuaciones en Y

a) B ·Y = A

b) AT ·YT = BT

c) A−1 ·Y−1 = B

d) A−1 ·Y = B

e) A ·Y−1 = B−1

indique la opcion que contiene la solucion dentro de la lista

1) Y = B−1 ·A

2) Y = BT ·(AT

)−13) Y = A ·B−1

4) Y = B ·(A−1

)T5) Y = B−1 ·A−1

6) Y = BT ·A−1

7) Y = A−1 ·B8) Y = A−1 ·BT

9) Y = A−1 ·B−1

10) Y = A ·B11) Y = B ·A12) Y = B ·A−1

Respuesta:

4. Si

A =

[4 3

1 1

]

B =

[3 1

2 1

]

C =

[2 3

−1 −1

]resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones matri-

ciales:A X + B Y = C

B X + A Y = C + B Y

Reporte el renglon 1.

Respuesta:

5. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a

cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si [a1,a2, 4 a3|2 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

b) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente independiente.

2

c) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces

{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.

d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1, 2 a2|4 c] es inconsistente,

entonces [a1,b|b + c] es consistente.

e) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +

c3a3 = 0, entonces {a1,a2,a3} es linealmente inde-

pendiente.

f) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-

ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.

g) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,

entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.

h) Si 2 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

dentro de las respuestas posibles:

1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:

6. En las matrices aumentadas siguientes x es un parame-

tro real y ellas son obtenidas en el proceso de verificar si

el vector b se puede remover del conjunto generador de

V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

4 4 −3 3

0 −2 −3 3

0 0 3 4 + x

b)

−1 −3 1 4

0 3 4 1 + 4x

0 0 0 −1

c)

4 4 −1 4

0 4 2 −3

0 0 −2 + 4x 2

d)

2 −2 −3 4

0 −3 −1 1

0 0 0 2 + x

e)

1 −3 1 4

0 3 2 −1

0 0 −1− 2x 3 + 6x

Indique en cada caso como se debe responder respecto a

las siguientes categorıas:

1) Para todo valor de x, b no se puede remover del con-

junto generador.

2) Solo hay un valor de x para el cual b no se puede

remover del conjunto generador.

3) Solo hay un valor de x para el cual b sı se puede


4) Para todo valor de x, b sı se puede remover del con-

junto generador.

Respuesta:

7. Si

A1 =

[4 5

4 3

]A2 =

[0 0

−2 −3

]

A3 =

[4 5

0 −3

]A4 =

[16 20

16 12

]Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:

1. A4 ∈ Gen{A3} 2. A4 ∈ Gen{A2, A3}3. A3 ∈ Gen{A1, A2} 4. A1 ∈ Gen{A4}5. A1 ∈ Gen{A2, A3} 6. A2 ∈ Gen{A1, A4}

Respuesta:

8. En las matrices siguientes x es un parametro real y ellas

son obtenidas en el proceso de determinar la dimension de

V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

3 2 −1

0 −1 + 3x −1 + 3x

0 0 −1 + 3x

0 0 0

b)

−2 −2 −1

0 1 −1

0 0 1 + x2

0 0 0

c)

3 4 3

0 4 4 + 3x

0 0 0

0 0 0

d)

−1 4 1

0 1 + x2 0

0 0 0

0 0 0

e)

−1 4 1

0 −2 −2− 2x

0 0 −1

0 0 0



1) Solo hay un valor de x para el cual V pasa de tener

dimension 3 a tener dimension 2.



3) Para todo valor de x, V tiene dimension 2.




Ma1019, Examen Final, Tipo: 1 3

Respuesta:

9. Determine la distancia de P (−1, 2,−3,−3) al espacio que

generan los vectores:v1 =

2

0

0

1

,v2 =

−2

5

−2

5

,v3 =

−3

3

1

−2

Hint: Recuerde que requiere escribir el conjunto solucion

como un espacio generado.

Respuesta:

10. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajusta

mejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos de

la siguiente tabla:

x y

5 7

6 8

8 14

9 18

12 32

Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-

tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer punto

queda la ecuacion :

5m+ b = 7

Reporte en orden los valores de m y b.

Respuesta:

11. Se ha monitoreado los valores de la variable h(t). Los re-

sultados se muestran en la siguiente tabla.

t h(t)

0. -1.09

1. -3.34959

2. -1.12884

3.5 -1.1801

5. -0.818313

donde t esta en minutos y h(t) en metros. Por el metodo

de mınimos cuadrados, ajuste los datos al modelo:

h(t) = a · e−0.3 t · cos(2 t) + b · e−0.3 t · sin(2 t) + c · e−0.2 t

Reporte en orden los valores de a, b y c.

Respuesta:

12. Para la matriz: −4 1 0 0 0

−1 −2 0 0 0

7 −7 4 0 0

15 −8 0 4 0

−28 28 0 0 4

Determine las dimensiones de cada uno de los valores pro-

pios y llene la siguiente tabla.

λ Dim. Algebraica Dim. Geometrica

Respuesta:

13. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:

x′ = −11x+ 3 y

y′ = −18x+ 4 y

sujeto a las condiciones iniciales:

x(0) = 2, y(0) = −2

Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)

Respuesta:

14. Los obreros, dentro de la poblacion activa de un paıs, se

clasifican en dos categorıas profesionales: obreros especia-

lizados y obreros no especializados. Suponga que

1) Cada trabajador activo tiene solo un hijo que sera un

obrero.

2) El 87 por ciento de los hijos de los obreros especiali-

zados sera un obrero especializado.

3) El 58 por ciento de los hijos de los obreros no espe-

cializados seran obreros no especializados

Utilice una cadena de Markov para modelar el compor-

tamiento generacional. Indique el menor valor propio de

la matriz de transicion y ademas el porcentaje en estado

estable que tendra la poblacion del grupo obreros especia-

lizados. Reporte el porcentaje como un numero entre 0 y

1.

Respuesta:

15. Para la transformacion lineal de R4 en R4 definida como

T

x

y

z

w

=

7w − 30x+ 3 y + z

6w − 24x

−3w + 8x+ 6 y + 2 z

28w − 120x+ 12 y + 4 z

4

clasifique los vectores

a.

1

0

2

4

b.

−2

−6

13

−8

c.

−8

−2

−10

−32

d.

−5

−6

3

−19

e.

3

0

6

12

de acuerdo a la siguiente lista

1) Tanto en el nucleo como en la imagen de T.

2) En el nucleo pero no en la imagen de T.

3) En la imagen pero no en el nucleo de T.

4) Ni en la imagen ni en el nucleo de T.

Respuesta:




1. Un proveedor de snacks vende tres tipos de bolsas con

mezclas de semillas tostadas y saladas de almedras, ca-

cahuates, nueces y pistaches. Estas mezclas se obtienen

combinando en diferentes proporciones esas semillas. Para

una bolsa de snacks del tipo 1 requiere 150 gramos de al-

medras, 50 gramos de cacahuates, 100 gramos de nueces y

700 gramos de pistaches. Para una bolsa del tipo 2 requie-

re 300 gramos de almedras, 250 gramos de cacahuates, 50

gramos de nueces y 400 gramos de pistaches. Y para una

bolsa del tipo 3 requiere 150 gramos de almedras, 50 gra-

mos de cacahuates, 200 gramos de nueces y 600 gramos de

pistaches. El comerciante dispone de 765. kilogramos de

almedras, 412.5 kilogramos de cacahuates, 502.5 kilogra-

mos de nueces, y 2370. kilogramos de pistaches. Determina

cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene

que utilizarse todas las semillas tostadas disponibles.

Respuesta:


a)

−15w + x− y − 3 z = −21

−30w + 4x− y − 6 z = −48

−30w + 2x+ 3 y − 6 z = −32

60w − x+ 5 y + 12 z = 74

b)

−2w + x+ 2 y + 5 z = −10

22w + x− 3 y + 5 z = 100

w − 5x− 8 y − 25 z = 9

22w − 4x− 10 y − 20 z = 106



1) < −4, 2, 0, 5 > +Gen {< 0,−5, 1, 0 >}2) < −4, 2, 0, 5 > +Gen {< −5, 0, 1, 0 >}3) < −4, 2, 5, 0 > +Gen {< −5, 0, 0, 1 >}4) < −4, 0, 2, 5 > +Gen {< −5, 1, 0, 0 >}5) < −4, 2, 5, 0 > +Gen {< 0,−5, 0, 1 >}6) < −4, 2, 5, 0 > +Gen {< 0, 0,−5, 1 >}

Respuesta:


de las siguientes ecuaciones en Z

a) Z ·B = A

b) B · Z = A

c) ZT ·AT = B

d) A · ZT = BT

e) Z ·A−1 = B


1) Z =(AT

)−1·BT

2) Z = A ·B−1

3) Z = B ·A−1

4) Z = A−1 ·B

5) Z = B−1 ·A

6) Z = B−1 ·A−1

7) Z = A−1 ·BT

8) Z = B ·(A−1

)T9) Z = A−1 ·B−1

10) Z = A ·B

11) Z = B ·A

12) Z = BT ·A−1

Respuesta:

4. Si

A =

[4 1

3 1

]

B =

[2 3

−1 −1

]

C =

[2 −1

3 −1

]resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-

ciales:A X + B Y = C + B X

B X + A Y = C


Respuesta:



a) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-

ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}

2

b) Si [a1,a2,a3|b] tiene infinitas soluciones, entonces

{a1,a2,a3} es linealmente independiente.

c) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces


d) Si [a1,a2, 3 a3|5 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces 3 b ∈Gen {a1, 5 a3,a2}

f) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1+c2a2+c3a3 = b,

entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.

g) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente independiente.

h) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

−3 −2 2 −2

0 −2 1 2

0 0 −2 3 + 2x

b)

4 −3 3 2

0 −1 1 3 + 3x

0 0 0 3

c)

4 −1 −1 4

0 2 1 4

0 0 0 4 + 4x

d)

−3 2 4 1

0 3 −3 −3

0 0 1 + 2x 4 + 8x

e)

−1 2 3 −3

0 4 4 2

0 0 −2− 2x 4






junto generador.


junto generador.



Respuesta:

7. Si

p1 = 26 + 19x, p2 = 2 + 3x, p3 = 6 + 4x, p4 = 104 + 76x

Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:

1. p4 ∈ Gen {p3} 2. p2 ∈ Gen {p1, p3}3. p1 ∈ Gen {p4} 4. p1 ∈ Gen {p2, p3}5. p2 ∈ Gen {p1, p4} 6. p3 ∈ Gen {p1, p2}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−1 −1 3

0 1 2

0 0 4 + x2

0 0 0

b)

−2 −2 2

0 4 + x2 0

0 0 0

0 0 0

c)

3 2 −1

0 −1 1− x0 0 3

0 0 0

d)

1 1 −3

0 −2 + x −2 + x

0 0 0

0 0 0

e)

1 4 4

0 −3 4 + 4x

0 0 0

0 0 0











Respuesta:


9. Determine la distancia de P (3, 4,−3,−2) al espacio que


4

3

−3

0

,v2 =

5

2

−1

4

,v3 =

0

−2

−1

5



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

4 3

5 10

7 13

8 19

11 32



queda la ecuacion :

4m+ b = 3


Respuesta:



t h(t)

0 0.9446

1 -0.0114679

2 -0.107426

4 0.0727304



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:

12. Para la matriz:−1 1 0 0 0

0 0 1 0 0

−1 −7 −5 0 0

9 13 22 6 0

−25 −19 −45 0 6




Respuesta:


x′ = −25x+ 12 y

y′ = −56x+ 27 y


x(0) = −2, y(0) = 3


Respuesta:





obrero.










1.

Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−2x− 4 y + z

5w − 30x

21w − 130x− 8 y + 2 z

−12x− 24 y + 6 z


a.

−1

0

−2

−6

b.

−6

5

9

−36

c.

−12

−3

−36

−72

d.

15

−3

0

93

e.

12

−10

−18

72


4





Respuesta:





mezclas de semillas tostadas y saladas de almedras, nue-

ces, nueces de la india y pistaches. Estas mezclas se obtie-

nen combinando en diferentes proporciones esas semillas.

Para una bolsa de snacks del tipo 1 requiere 300 gramos

de almedras, 300 gramos de nueces, 100 gramos de nueces

de la india y 300 gramos de pistaches. Para una bolsa del

tipo 2 requiere 100 gramos de almedras, 300 gramos de

nueces, 250 gramos de nueces de la india y 350 gramos de

pistaches. Y para una bolsa del tipo 3 requiere 100 gramos


de la india y 650 gramos de pistaches. El comerciante dis-

pone de 525. kilogramos de almedras, 825. kilogramos de

nueces, 622.5 kilogramos de nueces de la india, y 1477.5

kilogramos de pistaches. Determina cuantas bolsas de ca-

da mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todas

las semillas tostadas disponibles.

Respuesta:


a)

−3w + x+ 2 y − 2 z = 0

−9w + 3x+ 4 y + z = 6

−12w + 4x+ 10 y − 20 z = −16

−15w + 5x+ 9 y − 8 z = 0

b)

5w + x− 3 y + 9 z = −6

w + x− 4 y + 12 z = −18

−3w − 3x+ 11 y − 33 z = 50

w + 3x− 12 y + 36 z = −58



1) < −4, 4, 2, 0 > +Gen {< 3, 0, 0, 1 >}

2) < −4, 4, 2, 0 > +Gen {< 0, 3, 0, 1 >}

3) < −4, 4, 0, 2 > +Gen {< 0, 3, 1, 0 >}

4) < −4, 4, 0, 2 > +Gen {< 3, 0, 1, 0 >}

5) < −4, 0, 4, 2 > +Gen {< 3, 1, 0, 0 >}

6) < −4, 4, 2, 0 > +Gen {< 0, 0, 3, 1 >}

Respuesta:

3. Sean A y C dos matrices n×n invertibles. Para cada una


a) ZT ·A = CT

b) Z−1 ·A = C

c) Z ·C−1 = A

d) Z−1 ·A−1 = C−1

e) ZT ·AT = C


1) Z = A−1 ·C−1

2) Z =(AT

)−1·CT

3) Z = A ·C4) Z = A ·C−1

5) Z = A−1 ·C6) Z = CT ·A−1

7) Z = C ·A−1

8) Z = A−1 ·CT

9) Z = C−1 ·A−1

10) Z =(AT

)−1·C

11) Z = C ·A12) Z = C−1 ·A

Respuesta:

4. Si

A =

[2 3

−1 −1

]

B =

[3 2

1 1

]

C =

[2 −1

3 −1



B X + A Y = C


Respuesta:



a) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1, 6 a2|5 c] es inconsistente,


2

b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces


c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c ∈ Gen {a1,b}, entonces

[a1,a2|c] es consistente.

d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces 5 b ∈Gen {a1, 3 a3,a2}

e) Si b /∈ Gen {a1,a2}y [a1, 3 a2|2 c] es consistente, en-

tonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.

f) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,


g) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-

ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.

h) Si [a1,a2, 4 a3|5 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}


1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

−1 2 3 −3

0 1 1 2

0 0 1 + x 1

b)

2 2 4 −1

0 2 −1 3

0 0 0 2 + 3x

c)

−1 1 4 −2

0 2 −1 −1

0 0 −1 1− 2x

d)

4 1 −1 −1

0 3 1 1

0 0 2 + 2x 8 + 8x

e)

−1 3 −2 −2

0 −2 −3 1− 2x

0 0 0 1




junto generador.


junto generador.





Respuesta:

7. Sobre el valor del parametro x de la matriz

A =

[2− 3x −2− 2x

−2 + x 3 + 3x

]para que pertenezca al espacio que generan las matrices

A1 =

[−3 −2

1 3

]

A2 =

[3 3

0 3

]

A3 =

[−3 −1

3 −2

]se puede decir que . . .

A hay un unico valor.

B hay una infinidad de valores.

C para ningun valor pertence.



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

4 2 −3

0 −1 4

0 0 2 + x2

0 0 0

b)

−1 −3 4

0 4 + x 4 + x

0 0 4 + x

0 0 0

c)

4 −2 2

0 2 + x2 0

0 0 0

0 0 0

d)

4 1 −3

0 1 −1 + 3x

0 0 0

0 0 0

e)

−2 −3 −2

0 3 + 2x 4 + 2x

0 0 0

0 0 0












Respuesta:

9. Determine la distancia de P (2, 5, 1, 2) al espacio que ge-

neran los vectores:v1 =

3

−1

0

4

,v2 =

−2

0

1

−2

,v3 =

4

1

−3

−1



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

5 6

6 9

8 15

9 18

12 32



queda la ecuacion :

5m+ b = 6


Respuesta:



t h(t)

0. -0.97

1. -3.34995

2. -1.07259

3.5 -1.17416

5. -0.792487





Respuesta:

12. Para la matriz: 5 0 0 0 0

1 2 1 0 0

3 −9 8 0 0

7 −17 6 4 1

7 −12 7 −4 8




Respuesta:


x′ = −41x+ 12 y

y′ = −120x+ 35 y


x(0) = 2, y(0) = 3


Respuesta:

14. Suponga la poblacion de profesionistas hombres divididos

en dos grupos: el grupo I formado por aquellos que tra-

bajan en el area que estudiaron y el grupo II que es el

complementario. Suponga que

1) Cada uno de ellos tiene solo un hijo que estudiara

una carrera universitaria.

2) Que el 87 por ciento de hijos de padres en el grupo I

quedaran en el grupo I

3) Que el 54 por ciento de hijos de padres en el grupo

II quedaran en el grupo II




estable que tendra la poblacion del grupo I. Reporte el

porcentaje como un numero entre 0 y 1.

Respuesta:

4


T

x

y

z

w

=

w − 2x− 3 y + z

−6w + 24x

−19w + 72x+ 6 y − 2 z

4w − 8x− 12 y + 4 z


a.

−2

−6

−13

−8

b.

1

0

−2

4

c.

3

0

−6

12

d.

−4

−12

−26

−16

e.

2

2

−1

9






Respuesta:




1. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de

cafe: mezcla economica, mezcla especial y mezcla gourmet.

Estas mezclas se obtienen combinando grano hondureno,

grano brasileno y grano keniano. Para una bolsa de mezcla

economica requiere 300 g de hondureno y 200 g de brasi-

leno. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de

hondureno, 100 g de brasileno y 100 g de keniano. Para una

bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de hondureno, 300

g de brasileno y 100 g de keniano. El comerciante dispone

de 21 kg de grano hondureno, 17 kg de grano brasileno, y

7 kg de grano keniano. Determina cuantas bolsas de ca-

da mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo

el grano disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla

gourmet. Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y

despues divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.

Respuesta:


a)

−6w + x+ 3 y − 4 z = −10

24w − 3x− 12 y + 11 z = 47

32w − 5x− 16 y + 24 z = 47

6w − 2x− 3 y + 6 z = 9

b)

−w + x+ 5 y − 10 z = −26

5w − 4x− 16 y + 32 z = 82

x+ 2 y − 4 z = −13

5w + 2x+ 8 y − 16 z = −56



1) < −3,−5,−2, 0 > +Gen {< 0, 0, 2, 1 >}2) < −3, 0,−5,−2 > +Gen {< 2, 1, 0, 0 >}3) < −3,−5, 0,−2 > +Gen {< 2, 0, 1, 0 >}4) < −3,−5,−2, 0 > +Gen {< 0, 2, 0, 1 >}5) < −3,−5, 0,−2 > +Gen {< 0, 2, 1, 0 >}6) < −3,−5,−2, 0 > +Gen {< 2, 0, 0, 1 >}

Respuesta:

3. Sean C y D dos matrices n×n invertibles. Para cada una


a) YT ·C = DT

b) Y ·D−1 = C

c) Y ·C = D

d) Y ·D = C

e) Y−1 ·C−1 = D


1) Y = D ·(C−1

)T2) Y = C ·D3) Y = D−1 ·C

4) Y =(CT)−1·DT

5) Y =(CT)−1·D

6) Y = D ·C−1

7) Y = C−1 ·D−1

8) Y = C−1 ·D9) Y = D−1 ·C−1

10) Y = DT ·C−1

11) Y = D ·C12) Y = C ·D−1

Respuesta:

4. Si

A =

[4 1

3 1

]

B =

[3 2

1 1

]

C =

[3 2

1 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:





2

b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c ∈ Gen {a1,b}, entonces


c) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-


d) Si 2 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

e) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces


f) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +


pendiente.

g) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c /∈ Gen {a1,a2}, entonces

[a1,b|c] es consistente.

h) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:



U = Gen {u1,u2} esta contenido en V = Gen {v1,v2} .

a)

−1 3 2 1

0 −1 + x −2 + 2x 2

0 0 0 0

b)

−3 3 −3 3

0 −3 −2 4

0 0 2− 2x 0

c)

4 2 −1 −2− 2x

0 4 −3 −3

0 0 0 0

d)

−3 3 −3 2

0 1 + 2x 1 + 2x −3− 6x

0 0 0 0

e)

−2 −2 4 −3

0 2 3 2

0 0 4 1 + 4x



1) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U ⊆ V.2) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U 6⊆ V.3) Para todo valor de x se tiene U 6⊆ V.4) Para todo valor de x se tiene U ⊆ V.

Respuesta:


A =

[−3 + x 3x

−2 + 3x 2− x


A1 =

[1 3

3 −1

]

A2 =

[−2 −1

−2 0

]

A3 =

[2 3

1 −1







V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

3 1 4

0 1 + 3x −3

0 0 2

0 0 0

b)

1 −3 −3

0 2 2

0 0 1 + x2

0 0 0

c)

−3 −2 2

0 3 2− x0 0 4

0 0 0

d)

2 −2 3

0 −1 + x x

0 0 0

0 0 0

e)

3 1 3

0 1− 2x 1− 2x

0 0 1− 2x

0 0 0












Respuesta:

9. Determine la distancia de P (4,−1, 4,−1) al espacio que


2

4

3

3

,v2 =

−3

5

−3

−2

,v3 =

0

1

−3

3



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

4 6

5 8

7 14

8 20

11 31



queda la ecuacion :

4m+ b = 6


Respuesta:



t h(t)

0. -0.99

1. -3.30326

2. -1.13248

3.5 -1.20594

5. -0.772787





Respuesta:

12. Para la matriz:1 0 0 0 0

1 −1 1 0 0

2 −4 3 0 0

5 1 2 7 1

−10 14 3 −1 5




Respuesta:


x′ = −8x+ 5 y

y′ = −10x+ 7 y


x(0) = 1, y(0) = 3


Respuesta:

14. En un dıa concreto, una persona esta, o bien enferma, o

bien sana; si hoy esta sana, hay un 77 por ciento de proba-

bilidad de que manana este sana. Por el contrario, si hoy

esta enferma, manana estara sana con un 39 por ciento de

probabilidad. Suponiendo que esta tendencia continue y

que se modele la situacion mediante cadenas de Markov,

indique el menor valor propio de la matriz de trancision

seguido del porcentaje (como un nunero entre cero y uno)

de la poblacion que estara sana en estado estable.

Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−w − 11x+ y + z

3w + 15x

−8w − 76x+ 6 y + 6 z

5w + 55x− 5 y − 5 z


a.

6

−3

38

−30

b.

−2

1

−13

10

c.

−6

3

−38

30

d.

2

0

12

−10

e.

6

9

12

−27


4





Respuesta:














mos de cacahuates, 300 gramos de nueces y 500 gramos de

pistaches. El comerciante dispone de 517.5 kilogramos de

almedras, 600. kilogramos de cacahuates, 675. kilogramos

de nueces, y 1207.5 kilogramos de pistaches. Determina



Respuesta:


a)

−2w + x− 2 y + 16 z = −7

2w − 2x+ 3 y − 24 z = 7

4w − 2x+ 3 y − 24 z = 11

−7w − 3x+ 3 y − 24 z = −14

b)

−8w + x− 3 y − 4 z = −14

−16w + 2x− 7 y − 8 z = −31

−16w + 2x− 8 y + z = −16

−40w + 5x− 20 y − 6 z = −57



1) < 3, 0, 3, 2 > +Gen {< 8, 1, 0, 0 >}2) < 3, 3, 0, 2 > +Gen {< 0, 8, 1, 0 >}3) < 3, 3, 0, 2 > +Gen {< 8, 0, 1, 0 >}4) < 3, 3, 2, 0 > +Gen {< 0, 0, 8, 1 >}5) < 3, 3, 2, 0 > +Gen {< 0, 8, 0, 1 >}6) < 3, 3, 2, 0 > +Gen {< 8, 0, 0, 1 >}

Respuesta:


de las siguientes ecuaciones en X

a) C ·X = D

b) D ·X = C

c) X−1 ·C−1 = D

d) D−1 ·X = C

e) C ·XT = DT


1) X = D ·C

2) X = DT ·C−1

3) X = C−1 ·D−1

4) X = C ·D

5) X = D ·(C−1

)T6) X = C−1 ·D

7) X = D−1 ·C

8) X = C−1 ·DT

9) X = D−1 ·C−1

10) X = D ·C−1

11) X =(CT)−1·DT

12) X = C ·D−1

Respuesta:

4. Si

A =

[4 3

1 1

]

B =

[4 3

1 1

]

C =

[3 2

1 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces


2

b) Si [a1,a2,a3|b] tiene infinitas soluciones, entonces


c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-

ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}d) Si 6 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

e) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1+c2a2+c3a3 = b,


f) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1, 6 a2|2 c] es inconsistente,


g) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,




1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

−3 −1 −2 −2

0 −1 3 1

0 0 0 1− 2x

b)

3 2 2 3

0 1 −1 −1

0 0 −1 + 2x 4

c)

1 −3 1 −2

0 −2 −1 2 + 3x

0 0 0 1

d)

1 4 2 −2

0 2 −3 −3

0 0 3− x −6 + 2x

e)

1 3 2 1

0 −3 −2 −3

0 0 3 −1 + 4x




junto generador.






junto generador.

Respuesta:

7. Si

p1 = 9 + 14x, p2 = 5 + 6x, p3 = 1 + 2x, p4 = 36 + 56x

Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:

1. p3 ∈ Gen {p1, p2} 2. p1 ∈ Gen {p2, p3}3. p4 ∈ Gen {p3} 4. p1 ∈ Gen {p4}5. p2 ∈ Gen {p1, p4} 6. p2 ∈ Gen {p1, p3}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−1 1 4

0 −1 + 4x −1 + 4x

0 0 0

0 0 0

b)

−3 1 3

0 2 2 + 4x

0 0 −2

0 0 0

c)

−3 −2 −3

0 −1 + 3x −1 + 3x

0 0 −1 + 3x

0 0 0

d)

−1 3 1

0 4 + x 5 + x

0 0 0

0 0 0

e)

−2 −1 −3

0 −3 3

0 0 3 + x2

0 0 0











Respuesta:


9. Determine la distancia de P (1, 1, 0,−3) al espacio que ge-


−3

4

−2

−1

,v2 =

−2

1

−1

1

,v3 =

−2

−3

−3

5



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

3 3

4 11

6 16

7 18

10 32



queda la ecuacion :

3m+ b = 3


Respuesta:



t h(t)

0. -0.76

1. -3.3019

2. -0.996714

3.5 -1.08918

5. -0.710734





Respuesta:


0 −2 0 0 0

1 −2 −1 0 0

−1 5 2 −2 1

−3 10 2 −1 0




Respuesta:


x′ = −32x+ 9 y

y′ = −90x+ 25 y


x(0) = −2, y(0) = 3


Respuesta:





obrero.










1.

Respuesta:


T

x

y

z

w

=

2x− 5 y + z

4w − 8x

21w − 46x+ 10 y − 2 z

4x− 10 y + 2 z


a.

−2

1

9

−4

b.

3

0

−6

6

c.

6

−3

−27

12

d.

1

0

−2

2

e.

12

−4

−54

26

4






Respuesta:




1. Un proveedor de snacks vende tres tipos de bolsas con mez-

clas de frutas deshidratadas: ciruela, papaya, pera, pina y

platano. Estas mezclas se obtienen combinando en diferen-

tes proporciones estos frutos. Para una bolsa de snacks del

tipo 1 requiere 200 gramos de ciruela, 150 gramos de pa-

paya, 50 gramos de pera, 150 gramos de pina y 450 gramos

de platano. Para una bolsa del tipo 2 requiere 50 gramos

de ciruela, 150 gramos de papaya, 150 gramos de pera,

200 gramos de pina y 450 gramos de platano. Y para una

bolsa del tipo 3 requiere 200 gramos de ciruela, 50 gra-

mos de papaya, 150 gramos de pera, 250 gramos de pina

y 350 gramos de platano. El comerciante dispone de 285.

kilogramos de ciruela, 367.5 kilogramos de papaya, 292.5

kilogramos de pera, 472.5 kilogramos de pina, y 1132.5 ki-

logramos de platano. Determina cuantas bolsas de cada


fruto deshidratado disponible.

Respuesta:


a)

27w + x− y + 3 z = −1

−279w − x− 4 y − 31 z = −70

171w + 4x− 2 y + 19 z = 16

−45w − 4x+ 6 y − 5 z = 24

b)

−3w + x− 4 y + 9 z = −22

39w − 5x+ 15 y − 45 z = 143

−7w − 2x+ 12 y − 18 z = 30

−10w − 3x+ 17 y − 27 z = 43



1) < −4, 3, 2, 0 > +Gen {< −9, 0, 0, 1 >}

2) < −4, 0, 3, 2 > +Gen {< −9, 1, 0, 0 >}

3) < −4, 3, 2, 0 > +Gen {< 0, 0,−9, 1 >}

4) < −4, 3, 0, 2 > +Gen {< 0,−9, 1, 0 >}

5) < −4, 3, 2, 0 > +Gen {< 0,−9, 0, 1 >}

6) < −4, 3, 0, 2 > +Gen {< −9, 0, 1, 0 >}

Respuesta:



a) C−1 ·Y−1 = D

b) D−1 ·Y = C

c) D ·Y = C

d) YT ·C = DT

e) Y−1 ·C = D−1


1) Y = C ·D−1

2) Y = C ·D

3) Y =(CT)−1·DT

4) Y = D ·C

5) Y = DT ·(CT)−1

6) Y = D−1 ·C−1

7) Y = C−1 ·D8) Y = C−1 ·D−1

9) Y = D ·C−1

10) Y = D ·(C−1

)T11) Y = D−1 ·C

12) Y =(CT)−1·D

Respuesta:

4. Si

A =

[3 2

1 1

]

B =

[2 3

−1 −1

]

C =

[3 2

1 1



B X + A Y = C


Respuesta:



2

a) Si b /∈ Gen {a1,a2}y [a1, 4 a2|2 c] es consistente, en-


b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

c) Si 4 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c ∈ Gen {a1,b}, entonces


e) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-


f) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces


g) Si [a1,a2|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2, c}es linealmente dependiente.

h) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +


pendiente.


1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

4 4 2 3

0 1 −3 −3

0 0 4 4− 2x

b)

1 −1 −1 −3

0 1 −1 −1

0 0 −2 + 4x 2− 4x

c)

4 3 −3 2

0 1 3 3

0 0 2 + 4x 1

d)

4 2 3 −1

0 1 −1 4 + 3x

0 0 0 1

e)

−3 −2 1 2

0 4 3 −3

0 0 0 4 + x






junto generador.




junto generador.

Respuesta:

7. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-

mente independiente:

1.

{[−5 −3

−4 3

],

[3 −1

6 5

],

[4 2

5 3

]}

2.

{[3 −6

0 −5

],

[−5 −6

−5 −6

],

[−5 −1

1 5

],

[−28 −57

−22 −35

]}

3.

{[−6 −3

−3 3

],

[4 −1

5 −6

],

[−3 −1

−2 −6

],

[6 1

2 4

]}

4.

{[−1 0

3 0

],

[8 5

−19 5

],

[1 1

−2 1

]}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

4 −2 −1

0 3 4 + x

0 0 −3

0 0 0

b)

1 3 −1

0 1 + 3x 2 + 3x

0 0 0

0 0 0

c)

−1 3 1

0 2 −1

0 0 2 + x2

0 0 0

d)

4 −2 1

0 2 −1 + x

0 0 0

0 0 0

e)

4 −2 −1

0 −1 + 4x −2

0 0 −3

0 0 0












Respuesta:

9. Determine la distancia de P (5, 5,−2, 4) al espacio que ge-


−2

5

1

1

,v2 =

1

3

−3

4

,v3 =

−3

0

1

0



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

3 6

4 12

6 14

7 21

10 29



queda la ecuacion :

3m+ b = 6


Respuesta:



t h(t)

0. -0.99

1. -3.23517

2. -1.06123

3.5 -1.20579

5. -0.690423





Respuesta:


0 −1 0 0 0

8 21 8 1 0

−9 −41 −2 3 1

−25 −76 −6 −5 7




Respuesta:


x′ = −6x+ 2 y

y′ = −3x− y


x(0) = −1, y(0) = 2


Respuesta:

14. Suponga la poblacion formada por profesionistas varones

egresados anualmente dividida en dos grupos: los egresa-

dos de la universidad Multicampus X y el grupo comple-

mentario. Suponga que

1) Cada profesionista del grupo tiene solo un hijo varon

que hara una carrera profesional.

2) El 79 por ciento de los hijos referidos que estudiaron

en X estudiara en X.

3) El 63 por ciento de los hijos referidos del grupo com-

plementario no estudiara en X.




estable que tendra la poblacion egresados de X. Reporte

el porcentaje como un numero entre 0 y 1.

Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−5w − 12x+ 3 y + z

3w + 6x

−18w − 40x+ 6 y + 2 z

10w + 24x− 6 y − 2 z

4


a.

−6

9

−36

12

b.

−1

0

−2

2

c.

12

−3

33

−24

d.

1

0

2

−2

e.

−1

6

−17

3






Respuesta:





mezcla economica, mezcla especial y mezcla elite. Estas

mezclas se obtienen combinando grano mexicano, grano

brasileno y grano jamaquino. Para una bolsa de mezcla

economica requiere 300 g de mexicano y 200 g de brasi-


mexicano, 200 g de brasileno y 100 g de jamaquino. Pa-

ra una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de mexicano,

300 g de brasileno y 100 g de jamaquino. El comercian-

te dispone de 16 kg de grano mexicano, 19 kg de grano

brasileno, y 5 kg de grano jamaquino. Determina cuantas

bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que uti-

lizarse todo el grano disponible. Reporta solo las bolsas

de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje todo en

gramos y despues divida las ecuaciones entre 100 antes de

resolver.

Respuesta:


a)

2w + x+ 3 y − 3 z = 11

4w + 4x+ 7 y − 7 z = 16

13w + 4x+ 16 y − 16 z = 70

14w + 5x+ 16 y − 16 z = 67

b)

−3w + x+ 3 y − 2 z = 3

−13w + 4x+ 13 y − z = 30

−11w + 2x+ 11 y + z = 36

−w + 2x+ y − 10 z = −26



1) < −5, 4, 2, 0 > +Gen {< 0, 1, 0, 1 >}2) < −5, 4, 2, 0 > +Gen {< 1, 0, 0, 1 >}3) < −5, 4, 0, 2 > +Gen {< 0, 1, 1, 0 >}4) < −5, 4, 0, 2 > +Gen {< 1, 0, 1, 0 >}5) < −5, 4, 2, 0 > +Gen {< 0, 0, 1, 1 >}6) < −5, 0, 4, 2 > +Gen {< 1, 1, 0, 0 >}

Respuesta:

3. Sean B y C dos matrices n×n invertibles. Para cada una


a) X ·B = C

b) X−1 ·B = C

c) XT ·BT = C

d) B ·XT = C

e) X ·C−1 = B


1) X = C ·B

2) X = CT ·B−1

3) X = C ·B−1

4) X = B−1 ·CT

5) X = C−1 ·B

6) X = B−1 ·C

7) X = CT ·(BT)−1

8) X = B−1 ·C−1

9) X =(BT)−1·CT

10) X = B ·C−1

11) X = C−1 ·B−1

12) X = B ·C

Respuesta:

4. Si

A =

[4 3

1 1

]

B =

[4 3

1 1

]

C =

[4 1

3 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:





2

b) Si b /∈ Gen {a1,a2}y [a1, 6 a2|5 c] es consistente, en-


c) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces


d) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces


e) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente dependiente.

f) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

g) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces


h) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c ∈ Gen {a1,b}, entonces



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:

6. En las matrices aumentadas siguientes x es un parametro

real y ellas son obtenidas en el proceso de verificar si un

vector b pertenece a V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

2 −2 1 −3

0 4 3 −3

0 0 4− x −4 + x

b)

−1 −2 1 4

0 2 4 1− x0 0 0 −1

c)

−3 2 −1 −1

0 1 2 −1

0 0 4 −1 + 3x

d)

−2 −3 −1 1

0 1 3 1

0 0 4 + x −2

e)

1 −3 1 4

0 4 1 −1

0 0 0 −2 + 2x



1) Para todo valor de x el vector b no pertenece a V.

2) Solo hay un valor de x para el cual el vector b per-

tenece a V.

3) Para todo valor de x el vector b pertenece a V.

4) Solo hay un valor de x para el cual el vector b no

pertenece a V.

Respuesta:

7. Si

A1 =

[−3 4

1 −2

]A2 =

[5 5

3 6

]

A3 =

[7 14

7 10

]A4 =

[−6 8

2 −4

]Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:

1. A1 ∈ Gen{A4} 2. A4 ∈ Gen{A2, A3}3. A3 ∈ Gen{A1, A2} 4. A1 ∈ Gen{A2, A3}5. A4 ∈ Gen{A1} 6. A4 ∈ Gen{A3}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

3 4 4

0 2 2

0 0 2 + x2

0 0 0

b)

−3 −2 2

0 3 3 + 2x

0 0 0

0 0 0

c)

4 −2 −1

0 3 + x2 0

0 0 0

0 0 0

d)

−2 4 3

0 3− x 3

0 0 −1

0 0 0

e)

−2 3 4

0 1− x 1− x0 0 1− x0 0 0











Respuesta:


9. Determine la distancia de P (−3, 5,−3,−3) al espacio que


5

1

−2

0

,v2 =

2

−2

1

−1

,v3 =

−1

0

2

−2



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 4

3 8

5 17

6 19

9 31



queda la ecuacion :

2m+ b = 4


Respuesta:



t h(t)

0 0.9546

1 0.0279625

2 -0.0911856

4 0.106393



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


0 2 0 0 0

2 1 2 1 0

3 2 1 5 1

−7 −3 1 −4 2




Respuesta:


x′ = −11x+ 2 y

y′ = −24x+ 3 y


x(0) = 3, y(0) = 3


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−7w + 19x+ 6 y + z

−2w + 6x

−w − x+ 12 y + 2 z

−21w + 57x+ 18 y + 3 z


a.

−2

−4

22

−6

b.

3

1

0

9

c.

1

0

2

3

d.

12

15

−84

33

e.

−1

−2

11

−3


4





Respuesta:






cahuates, nueces y nueces de la india. Estas mezclas se

obtienen combinando en diferentes proporciones esas se-

millas. Para una bolsa de snacks del tipo 1 requiere 250

gramos de almedras, 250 gramos de cacahuates, 150 gra-

mos de nueces y 350 gramos de nueces de la india. Para

una bolsa del tipo 2 requiere 150 gramos de almedras, 200

gramos de cacahuates, 250 gramos de nueces y 400 gra-

mos de nueces de la india. Y para una bolsa del tipo 3

requiere 150 gramos de almedras, 100 gramos de cacahua-

tes, 250 gramos de nueces y 500 gramos de nueces de la

india. El comerciante dispone de 690. kilogramos de alme-

dras, 682.5 kilogramos de cacahuates, 870. kilogramos de

nueces, y 1657.5 kilogramos de nueces de la india. Deter-

mina cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar si

tiene que utilizarse todas las semillas tostadas disponibles.

Respuesta:


a)

−4w + x+ 4 y + 4 z = 35

−5w + 3x+ 11 y + 12 z = 65

3w − 4x− 13 y − 16 z = −60

−23w + 4x+ 19 y + 16 z = 190

b)

−5w + x− 4 y − 16 z = 0

−31w + 3x− 17 y − 68 z = 55

18w − x+ 8 y + 32 z = −45

−23w + 5x− 19 y − 76 z = −5



1) < −5, 5, 0,−5 > +Gen {< 0,−4, 1, 0 >}

2) < −5, 5, 0,−5 > +Gen {< −4, 0, 1, 0 >}

3) < −5, 5,−5, 0 > +Gen {< −4, 0, 0, 1 >}

4) < −5, 5,−5, 0 > +Gen {< 0, 0,−4, 1 >}

5) < −5, 5,−5, 0 > +Gen {< 0,−4, 0, 1 >}

6) < −5, 0, 5,−5 > +Gen {< −4, 1, 0, 0 >}

Respuesta:



a) B · ZT = C

b) C · Z = B

c) Z ·C = B

d) Z ·C−1 = B

e) Z−1 ·B−1 = C


1) Z =(BT)−1·C

2) Z = B−1 ·C3) Z = B ·C4) Z = B−1 ·CT

5) Z = C ·B6) Z = C−1 ·B

7) Z = C ·(B−1

)T8) Z = C−1 ·B−1

9) Z = B−1 ·C−1

10) Z = C ·B−1

11) Z = CT ·(BT)−1

12) Z = B ·C−1

Respuesta:

4. Si

A =

[2 3

−1 −1

]

B =

[2 −1

3 −1

]

C =

[2 3

−1 −1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



2

a) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +


pendiente.

b) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}



d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c /∈ Gen {a1,a2}, entonces


e) Si [a1,a2,a3|b] tiene infinitas soluciones, entonces


f) Si b /∈ Gen {a1,a2}y [a1, 4 a2|4 c] es consistente, en-


g) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1, 6 a2|3 c] es inconsistente,


h) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,



1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:




a)

2 1 1 3

0 2 −3 4

0 0 −1 3 + x

b)

−2 3 4 −1

0 1 −3 3

0 0 4 + 2x −4− 2x

c)

4 −1 −1 3

0 −1 2 1

0 0 1 + 2x 3

d)

−3 −3 −1 −1

0 −1 2 −1 + 2x

0 0 0 2

e)

−1 −1 4 −3

0 2 −3 3

0 0 0 1− x





tenece a V.



pertenece a V.

Respuesta:

7. Que valor debe tener a para que la matriz:

A =

[4 −12

a 0

]sea una combinacion lineal de las matrices:

A1 =

[−2 2

0 2

]A2 =

[4 3

3 −3

]A3 =

[−2 3

2 −3

]Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

3 3 −3

0 2 −1 + x

0 0 0

0 0 0

b)

3 −1 4

0 4− 2x −1

0 0 2

0 0 0

c)

−1 4 −2

0 1 + x2 0

0 0 0

0 0 0

d)

4 −3 4

0 −3 1

0 0 1 + x2

0 0 0

e)

4 −1 4

0 1− 2x 1− 2x

0 0 1− 2x

0 0 0












Respuesta:

9. Determine la distancia de P (−1, 0, 5,−2) al espacio que


−2

3

4

4

,v2 =

1

0

−1

−1

,v3 =

2

5

0

−3



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 3

3 9

5 14

6 18

9 30



queda la ecuacion :

2m+ b = 3


Respuesta:



t h(t)

0 1.1346

1 0.0931614

2 0.0415143

4 0.156356



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


0 4 0 0 0

3 −6 6 1 0

2 1 2 6 1

−6 14 0 −2 6




Respuesta:


x′ = −6x+ 2 y

y′ = −3x− y


x(0) = 2, y(0) = 1


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−6w − 11x− 2 y + z

−3w − 3x

−35w − 60x− 10 y + 5 z

6w + 11x+ 2 y − z

4


a.

−9

−12

−60

12

b.

2

1

12

−2

c.

−3

0

−15

3

d.

1

0

5

−1

e.

6

3

36

−6






Respuesta:






cahuates, nueces de la india y pistaches. Estas mezclas se




mos de nueces de la india y 400 gramos de pistaches. Para


gramos de cacahuates, 150 gramos de nueces de la india y

350 gramos de pistaches. Y para una bolsa del tipo 3 re-

quiere 300 gramos de almedras, 50 gramos de cacahuates,

200 gramos de nueces de la india y 450 gramos de pista-

ches. El comerciante dispone de 345. kilogramos de alme-

dras, 270. kilogramos de cacahuates, 292.5 kilogramos de

nueces de la india, y 592.5 kilogramos de pistaches. Deter-



Respuesta:


a)

5w + x− 5 y + z = 13

−35w − 3x+ 18 y − 7 z = −39

10w − 2x+ 7 y + 2 z = −26

45w + 5x− 26 y + 9 z = 57

b)

10w + x+ 2 y − 3 z = −3

−50w − 4x− 10 y + 13 z = 17

70w + 5x+ 14 y − 9 z = −49

2x− 10 z = 22



1) < −4,−4,−3, 0 > +Gen {< 0, 0,−5, 1 >}

2) < −4,−4, 0,−3 > +Gen {< 0,−5, 1, 0 >}

3) < −4,−4, 0,−3 > +Gen {< −5, 0, 1, 0 >}

4) < −4,−4,−3, 0 > +Gen {< −5, 0, 0, 1 >}

5) < −4, 0,−4,−3 > +Gen {< −5, 1, 0, 0 >}

6) < −4,−4,−3, 0 > +Gen {< 0,−5, 0, 1 >}

Respuesta:



a) A−1 · Z−1 = C

b) ZT ·AT = CT

c) Z−1 ·A−1 = C

d) Z−1 ·A = C

e) A · ZT = C


1) Z = A−1 ·C2) Z = C−1 ·A3) Z = C ·A−1

4) Z = C ·A

5) Z = C ·(A−1

)T6) Z = A ·C−1

7) Z = CT ·A−1

8) Z = A ·C

9) Z =(AT

)−1·C

10) Z = CT ·(AT

)−111) Z = A−1 ·C−1

12) Z = C−1 ·A−1

Respuesta:

4. Si

A =

[3 1

2 1

]

B =

[3 1

2 1

]

C =

[3 1

2 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



2



b) Si 6 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

d) Si [a1,a2|c] tiene infinitas soluciones, entonces




f) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces


g) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces


h) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}


1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:



vector b es combinacion lineal de vectores a1, a2 y a3.

a)

3 −3 −1 4

0 2 −1 1

0 0 0 3− 2x

b)

−2 4 3 −2

0 4 −3 −1

0 0 −3 −1− 2x

c)

1 3 −2 1

0 3 1 −2 + 3x

0 0 0 4

d)

−3 −2 −1 −2

0 −3 −3 1

0 0 2 + 3x −2

e)

−2 2 4 −3

0 −2 2 −2

0 0 −2 + 2x −6 + 6x



1) Solo hay un valor de x para el cual el vector b es

combinacion lineal de los vectores a1, a2 y a3.

2) Para todo valor de x el vector b no es combinacion

lineal de los vectores a1, a2 y a3.

3) Para todo valor de x el vector b es combinacion lineal

de los vectores a1, a2 y a3.

4) Solo hay un valor de x para el cual el vector b no es


Respuesta:

7. Si

A1 =

[6 4

4 2

]A2 =

[−1 1

4 5

]

A3 =

[4 6

12 12

]A4 =

[12 8

8 4


1. A4 ∈ Gen{A3} 2. A2 ∈ Gen{A1, A4}3. A3 ∈ Gen{A1, A2} 4. A4 ∈ Gen{A2, A3}5. A4 ∈ Gen{A1} 6. A1 ∈ Gen{A4}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

1 1 1

0 −3 2− x0 0 0

0 0 0

b)

−1 1 −1

0 −2− x −2− x0 0 −2− x0 0 0

c)

1 2 4

0 −1 + 4x 4

0 0 1

0 0 0

d)

−2 4 4

0 2 + 2x 3 + 2x

0 0 0

0 0 0

e)

2 −3 3

0 3 2 + 4x

0 0 −2

0 0 0












Respuesta:



−3

1

5

5

,v2 =

4

4

−3

0

,v3 =

3

3

−1

−3



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 5

3 12

5 14

6 22

9 28



queda la ecuacion :

2m+ b = 5


Respuesta:



t h(t)

0 0.9346

1 -0.0594199

2 0.000963045

4 0.114048



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


−1 5 1 0 0

5 −4 3 1 0

−8 9 2 4 1

15 −21 −7 −5 0




Respuesta:


x′ = −16x+ 6 y

y′ = −30x+ 11 y


x(0) = −1, y(0) = −1


Respuesta:










Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−6x+ 5 y + z

−6w + 30x

31w − 191x+ 30 y + 6 z

−30x+ 25 y + 5 z


a.

1

0

6

5

b.

3

−6

49

15

c.

−3

0

−18

−15

d.

5

3

12

24

e.

3

1

13

15

4






Respuesta:












gramos de cacahuates, 150 gramos de nueces de la india

y 350 gramos de pistaches. Y para una bolsa del tipo 3

requiere 300 gramos de almedras, 150 gramos de cacahua-

tes, 300 gramos de nueces de la india y 250 gramos de

pistaches. El comerciante dispone de 517.5 kilogramos de

almedras, 495. kilogramos de cacahuates, 442.5 kilogramos

de nueces de la india, y 645. kilogramos de pistaches. De-

termina cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar

si tiene que utilizarse todas las semillas tostadas disponi-

bles.

Respuesta:


a)

4w + x+ 3 y − z = 15

−15w − 3x− 6 y + 3 z = −48

16w + 2x+ y − 2 z = 44

−7w − 2x− 8 y + 2 z = −31

b)

−4w + x+ 4 y + 2 z = 11

−x = 3

−24w + 5x+ 24 y + 18 z = 87

24w − 5x− 24 y − 13 z = −72



1) < −3, 0, 2, 3 > +Gen {< 1, 1, 0, 0 >}2) < −3, 2, 3, 0 > +Gen {< 1, 0, 0, 1 >}3) < −3, 2, 0, 3 > +Gen {< 1, 0, 1, 0 >}4) < −3, 2, 3, 0 > +Gen {< 0, 0, 1, 1 >}5) < −3, 2, 3, 0 > +Gen {< 0, 1, 0, 1 >}6) < −3, 2, 0, 3 > +Gen {< 0, 1, 1, 0 >}

Respuesta:

3. Sean B y D dos matrices n×n invertibles. Para cada una


a) X−1 ·B = D

b) B−1 ·X−1 = D

c) D ·X = B

d) X ·D−1 = B

e) X ·B = D


1) X = B ·D−1

2) X =(BT)−1·DT

3) X = B−1 ·D

4) X = D−1 ·B

5) X =(BT)−1·D

6) X = D ·B−1

7) X = D ·B

8) X = B−1 ·DT

9) X = B ·D

10) X = D−1 ·B−1

11) X = B−1 ·D−1

12) X = DT ·B−1

Respuesta:

4. Si

A =

[3 1

2 1

]

B =

[3 1

2 1

]

C =

[3 2

1 1



B X + A Y = C


Respuesta:



2

a) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente independiente.

b) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,


c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c /∈ Gen {a1,a2}, entonces


d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-

ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}e) Si 4 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

f) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = b,


g) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces


h) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1, 4 a2|4 c] es inconsistente,



1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

−2 −1 1 2

0 4 2 4

0 0 0 −1 + 2x

b)

−2 4 −3 2

0 −3 4 4

0 0 2− x 3

c)

1 4 −2 −3

0 4 −1 3 + x

0 0 0 2

d)

1 −2 2 −2

0 2 2 1

0 0 3 1 + 4x

e)

4 4 2 1

0 3 −3 1

0 0 −2− 2x −6− 6x




junto generador.






junto generador.

Respuesta:


A =

[−1− 2x 2

−2− 2x −2 + 3x


A1 =

[−2 0

−2 3

]

A2 =

[−1 1

−2 3

]

A3 =

[−1 3

3 1


A para ningun valor pertence.


C hay un unico valor.



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

1 −2 −3

0 3 + 2x 3 + 2x

0 0 0

0 0 0

b)

3 1 3

0 4 4 + 4x

0 0 4

0 0 0

c)

−3 −2 2

0 1− x 1− x0 0 1− x0 0 0

d)

1 −1 −2

0 3 4

0 0 2 + x2

0 0 0

e)

−2 3 −2

0 2 + x2 0

0 0 0

0 0 0












Respuesta:



−2

1

2

4

,v2 =

4

5

−2

2

,v3 =

3

3

2

4



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

5 6

6 10

8 13

9 22

12 29



queda la ecuacion :

5m+ b = 6


Respuesta:



t h(t)

0 0.8846

1 0.0185321

2 -0.0893057

4 0.0860272



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


0 −2 0 0 0

5 −15 3 0 0

20 −45 0 3 0

−30 80 0 0 3




Respuesta:


x′ = −33x+ 10 y

y′ = −105x+ 32 y


x(0) = −1, y(0) = −1


Respuesta:










Respuesta:


T

x

y

z

w

=

8w + 54x+ 2 y + z

−w − 6x

−45w − 306x− 12 y − 6 z

−48w − 324x− 12 y − 6 z

4


a.

−2

0

12

12

b.

2

−1

−14

−11

c.

18

−3

−102

−108

d.

6

−3

−42

−33

e.

1

0

−6

−6






Respuesta:









gramos de almedras, 200 gramos de cacahuates, 50 gramos

de nueces de la india y 550 gramos de pistaches. Para una


mos de cacahuates, 100 gramos de nueces de la india y 700

gramos de pistaches. Y para una bolsa del tipo 3 requie-


gramos de nueces de la india y 600 gramos de pistaches.

El comerciante dispone de 210. kilogramos de almedras,

270. kilogramos de cacahuates, 232.5 kilogramos de nueces

de la india, y 1237.5 kilogramos de pistaches. Determina



Respuesta:


a)

−5w + x− y + 6 z = −4

−6w + x = −9

−8w + 2x− 5 y + 30 z = 5

−14w + 4x− 3 y + 18 z = −7

b)

−6w + x+ 5 y + 2 z = −8

12w − 2x− 14 y + 2 z = 40

6w − x− 8 y + 7 z = 35

12w − 2x− 13 y − 3 z = 27



1) < 3,−3, 2, 0 > +Gen {< 6, 0, 0, 1 >}

2) < 3, 0,−3, 2 > +Gen {< 6, 1, 0, 0 >}

3) < 3,−3, 0, 2 > +Gen {< 6, 0, 1, 0 >}

4) < 3,−3, 2, 0 > +Gen {< 0, 6, 0, 1 >}

5) < 3,−3, 2, 0 > +Gen {< 0, 0, 6, 1 >}

6) < 3,−3, 0, 2 > +Gen {< 0, 6, 1, 0 >}

Respuesta:



a) XT ·C = D

b) X ·C = D

c) C ·X−1 = D

d) C ·X = D

e) X ·D = C


1) X = C ·D2) X = D ·C−1

3) X = C−1 ·D−1

4) X = DT ·(CT)−1

5) X =(CT)−1·DT

6) X = C ·D−1

7) X =(CT)−1·D

8) X = D ·C9) X = D−1 ·C

10) X = D−1 ·C−1

11) X = C−1 ·D12) X = C−1 ·DT

Respuesta:

4. Si

A =

[2 3

−1 −1

]

B =

[3 1

2 1

]

C =

[4 1

3 1



B X + A Y = C


Respuesta:



2

a) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c /∈ Gen {a1,a2}, entonces





e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.



g) Si 5 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

h) Si [a1,a2|c] tiene infinitas soluciones, entonces



1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:




a)

−1 −1 −2 −3

0 4 −1 −3

0 0 2− 2x −1

b)

1 4 1 3

0 −1 −3 −3

0 0 0 3− x

c)

3 −1 −2 −3

0 −3 3 −2 + 2x

0 0 0 −2

d)

3 −2 −2 3

0 −1 3 1

0 0 3 1 + 3x

e)

1 −1 2 4

0 4 2 1

0 0 4− 2x 12− 6x











Respuesta:

7. Si

p1 = 9 + 8x, p2 = 3 + 6x, p3 = 3 + x, p4 = 45 + 40x

Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:

1. p2 ∈ Gen {p1, p3} 2. p3 ∈ Gen {p1, p2}3. p2 ∈ Gen {p1, p4} 4. p4 ∈ Gen {p1}5. p1 ∈ Gen {p2, p3} 6. p4 ∈ Gen {p3}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−1 −3 4

0 −1− x −2

0 0 2

0 0 0

b)

4 2 −3

0 3 + 2x 4 + 2x

0 0 0

0 0 0

c)

2 4 −2

0 1 + x2 0

0 0 0

0 0 0

d)

1 −1 −2

0 −2 + 4x −2 + 4x

0 0 −2 + 4x

0 0 0

e)

−1 3 2

0 4 2

0 0 1 + x2

0 0 0











Respuesta:


9. Determine la distancia de P (5, 1, 0,−1) al espacio que ge-


−2

2

1

−2

,v2 =

5

−3

−1

0

,v3 =

0

−3

5

−2



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 3

3 9

5 14

6 18

9 30



queda la ecuacion :

2m+ b = 3


Respuesta:



t h(t)

0 1.0346

1 0.0164842

2 -0.0358147

4 0.0814122



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


−8 7 1 0 0

18 −1 6 1 0

−9 2 2 6 1

−19 −1 −3 −2 5




Respuesta:


x′ = −29x+ 12 y

y′ = −56x+ 23 y


x(0) = 3, y(0) = 1


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

7w − 17x− 5 y + z

5w − 10x

47w − 103x− 15 y + 3 z

14w − 34x− 10 y + 2 z


a.

3

5

35

6

b.

1

0

3

2

c.

−6

−8

−66

−10

d.

−15

−3

−60

−30

e.

5

1

20

10


4





Respuesta:





mezclas de frutas deshidratadas: manzana, papaya, pasas,

pera y pina. Estas mezclas se obtienen combinando en dife-

rentes proporciones estos frutos. Para una bolsa de snacks

del tipo 1 requiere 100 gramos de manzana, 150 gramos

de papaya, 50 gramos de pasas, 250 gramos de pera y 450

gramos de pina. Para una bolsa del tipo 2 requiere 50 gra-

mos de manzana, 200 gramos de papaya, 100 gramos de

pasas, 250 gramos de pera y 400 gramos de pina. Y pa-

ra una bolsa del tipo 3 requiere 250 gramos de manzana,

100 gramos de papaya, 100 gramos de pasas, 200 gramos

de pera y 350 gramos de pina. El comerciante dispone

de 142.5 kilogramos de manzana, 210. kilogramos de pa-

paya, 90. kilogramos de pasas, 330. kilogramos de pera, y

577.5 kilogramos de pina. Determina cuantas bolsas de ca-


el fruto deshidratado disponible.

Respuesta:


a)

36w + x− 4 y − 4 z = 30

27w + x− 3 y − 3 z = 23

198w + 5x− 22 y − 8 z = 122

171w + 5x− 19 y − 21 z = 149

b)

−9w + x− 4 y − 4 z = 30

−18w + 2x− 12 y + 3 z = 43

−9w + x− 5 y + z = 19

−45w + 5x− 15 y − 43 z = 199



1) < 2,−4, 0,−3 > +Gen {< 9, 0, 1, 0 >}

2) < 2,−4, 0,−3 > +Gen {< 0, 9, 1, 0 >}

3) < 2, 0,−4,−3 > +Gen {< 9, 1, 0, 0 >}

4) < 2,−4,−3, 0 > +Gen {< 9, 0, 0, 1 >}

5) < 2,−4,−3, 0 > +Gen {< 0, 0, 9, 1 >}

6) < 2,−4,−3, 0 > +Gen {< 0, 9, 0, 1 >}

Respuesta:



a) Z−1 ·A−1 = C−1

b) A−1 · Z−1 = C

c) AT · ZT = C

d) Z−1 ·A−1 = C

e) A−1 · Z−1 = C−1


1) Z = A ·C2) Z = A−1 ·C3) Z = C−1 ·A

4) Z = CT ·(AT

)−15) Z = C−1 ·A−1

6) Z = C ·A7) Z = CT ·A−1

8) Z = A−1 ·C−1

9) Z =(AT

)−1·CT

10) Z = A ·C−1

11) Z = C ·A−1

12) Z =(AT

)−1·C

Respuesta:

4. Si

A =

[4 3

1 1

]

B =

[3 2

1 1

]

C =

[4 1

3 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



2

a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

b) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-


c) Si [a1,a2, 5 a3|3 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.

e) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c /∈ Gen {a1,a2}, entonces


f) Si 2 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

g) Si b /∈ Gen {a1,a2}y [a1, 6 a2|6 c] es consistente, en-


h) Si [a1,a2|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2, c}es linealmente dependiente.


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:




a)

4 1 2 4

0 −2 2 3

0 0 0 3 + 2x

b)

−2 3 2 2 + x

0 −2 2 1

0 0 0 0

c)

1 −2 2 −2

0 4 4 −1

0 0 4 2 + 2x

d)

−1 −1 −2 2

0 3 2 1

0 0 −1 + x −3 + 3x

e)

−3 −3 −2 −2

0 1 + 2x 1 + 2x −3− 6x

0 0 0 0



1) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U ⊆ V.2) Para todo valor de x se tiene U ⊆ V.3) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U 6⊆ V.4) Para todo valor de x se tiene U 6⊆ V.

Respuesta:


A =

[−3 3

10 a


A1 =

[3 2

−3 1

]A2 =

[2 3

1 −1

]A3 =

[1 −1

−3 1

]Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−2 2 −3

0 2 + x2 0

0 0 0

0 0 0

b)

3 3 −1

0 2− x 2− x0 0 0

0 0 0

c)

3 3 −1

0 2 + x 3 + x

0 0 0

0 0 0

d)

4 2 2

0 −2 1

0 0 2 + x2

0 0 0

e)

−3 −1 3

0 −2− x −2− x0 0 −2− x0 0 0











Respuesta:




1

−3

2

3

,v2 =

0

−2

−3

5

,v3 =

−2

4

1

1



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 6

3 11

5 13

6 19

9 29



queda la ecuacion :

2m+ b = 6


Respuesta:



t h(t)

0 1.0046

1 0.0666537

2 -0.0886133

4 0.147017



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


0 −1 0 0 0

3 −6 2 0 0

9 −12 0 2 0

21 −21 0 0 2




Respuesta:


x′ = −18x+ 8 y

y′ = −40x+ 18 y


x(0) = −2, y(0) = 2


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−3w + 18x− 4 y + z

5w − 20x

39w − 192x+ 24 y − 6 z

−12w + 72x− 16 y + 4 z


a.

−1

0

6

−4

b.

2

5

9

8

c.

−2

−5

−9

−8

d.

−2

5

37

−7

e.

1

0

−6

4


4





Respuesta:





mezclas de frutas deshidratadas: ciruela, manzana, papa-

ya, pasas y pina. Estas mezclas se obtienen combinando

en diferentes proporciones estos frutos. Para una bolsa de

snacks del tipo 1 requiere 200 gramos de ciruela, 250 gra-

mos de manzana, 50 gramos de papaya, 200 gramos de

pasas y 300 gramos de pina. Para una bolsa del tipo 2 re-

quiere 250 gramos de ciruela, 250 gramos de manzana, 100

gramos de papaya, 50 gramos de pasas y 350 gramos de

pina. Y para una bolsa del tipo 3 requiere 250 gramos de

ciruela, 200 gramos de manzana, 250 gramos de papaya,

100 gramos de pasas y 200 gramos de pina. El comercian-

te dispone de 495. kilogramos de ciruela, 510. kilogramos

de manzana, 225. kilogramos de papaya, 210. kilogramos

de pasas, y 660. kilogramos de pina. Determina cuantas


lizarse todo el fruto deshidratado disponible.

Respuesta:


a)

−2w + x+ 8 y − 5 z = −5

−10w + x+ 8 y − 6 z = 25

−9w − x− 8 y + 2 z = 43

13w − 3x− 24 y + 18 z = −7

b)

16w + x+ 2 y + 5 z = −19

−56w − 2x− 7 y − 20 z = 72

−72w − 3x− 9 y − 32 z = 119

−88w − 5x− 11 y − 25 z = 93



1) < −3, 2,−4, 0 > +Gen {< −8, 0, 0, 1 >}

2) < −3, 2, 0,−4 > +Gen {< −8, 0, 1, 0 >}

3) < −3, 2, 0,−4 > +Gen {< 0,−8, 1, 0 >}

4) < −3, 2,−4, 0 > +Gen {< 0, 0,−8, 1 >}

5) < −3, 0, 2,−4 > +Gen {< −8, 1, 0, 0 >}

6) < −3, 2,−4, 0 > +Gen {< 0,−8, 0, 1 >}

Respuesta:



a) B · Z = A

b) A−1 · Z−1 = B

c) Z−1 ·A−1 = B

d) Z ·B−1 = A

e) A · ZT = B


1) Z =(AT

)−1·BT

2) Z =(AT

)−1·B

3) Z = A−1 ·B−1

4) Z = B ·A−1

5) Z = BT ·(AT

)−16) Z = B−1 ·A−1

7) Z = A−1 ·B8) Z = A ·B−1

9) Z = A ·B10) Z = B−1 ·A11) Z = BT ·A−1

12) Z = B ·A

Respuesta:

4. Si

A =

[3 2

1 1

]

B =

[2 3

−1 −1

]

C =

[2 3

−1 −1



B X + A Y = C


Respuesta:



2

a) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +


pendiente.

b) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces


c) Si [a1,a2,a3|b] tiene infinitas soluciones, entonces



sistente.

e) Si [a1,a2, 3 a3|2 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

f) Si b /∈ Gen {a1,a2}y [a1, 6 a2|3 c] es consistente, en-


g) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

h) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces



1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

−2 2 3 4

0 1 −2 1

0 0 4 + 3x 3

b)

−3 −3 2 2

0 −1 −1 3 + 4x

0 0 0 4

c)

−3 1 4 −2

0 4 4 −2

0 0 −2 1 + 4x

d)

−3 4 3 −1

0 −2 2 −3

0 0 0 3− 2x

e)

−3 −2 −3 −3

0 1 3 2

0 0 3− x 9− 3x








junto generador.


junto generador.

Respuesta:


A =

[2 + 3x −1 + 2x

2 + 3x −3− 3x


A1 =

[3 2

3 −3

]

A2 =

[1 1

−3 −3

]

A3 =

[−2 3

−1 −2


A hay una infinidad de valores.

B para ningun valor pertence.




V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

2 −2 −2

0 3 −2

0 0 1 + x2

0 0 0

b)

−3 1 3

0 3 + 3x 4 + 3x

0 0 0

0 0 0

c)

−1 −1 3

0 3− 2x −3

0 0 −1

0 0 0

d)

4 2 2

0 4 + x2 0

0 0 0

0 0 0

e)

4 4 −2

0 4 + 3x 4 + 3x

0 0 4 + 3x

0 0 0












Respuesta:



−2

−3

2

2

,v2 =

1

3

−3

−2

,v3 =

−2

−2

−2

−1



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

4 3

5 8

7 17

8 20

11 31



queda la ecuacion :

4m+ b = 3


Respuesta:



t h(t)

0 0.9446

1 -0.105758

2 -0.119256

4 0.0314122



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


0 1 0 0 0

1 −3 2 0 0

4 −9 0 2 0

−2 7 0 0 2




Respuesta:


x′ = −17x+ 15 y

y′ = −20x+ 18 y


x(0) = −1, y(0) = −2


Respuesta:










Respuesta:


T

x

y

z

w

=

8w + 45x− 4 y + z

3w + 18x

37w + 213x− 12 y + 3 z

−48w − 270x+ 24 y − 6 z

4


a.

4

−3

−2

−23

b.

3

1

13

−18

c.

−3

−1

−13

18

d.

−6

−3

−31

36

e.

6

3

31

−36






Respuesta:






ya, pera y platano. Estas mezclas se obtienen combinando


snacks del tipo 1 requiere 150 gramos de ciruela, 150 gra-

mos de manzana, 50 gramos de papaya, 50 gramos de pera

y 600 gramos de platano. Para una bolsa del tipo 2 requiere

250 gramos de ciruela, 250 gramos de manzana, 50 gramos

de papaya, 200 gramos de pera y 250 gramos de platano. Y

para una bolsa del tipo 3 requiere 250 gramos de ciruela, 50

gramos de manzana, 250 gramos de papaya, 150 gramos de

pera y 300 gramos de platano. El comerciante dispone de

337.5 kilogramos de ciruela, 217.5 kilogramos de manzana,

202.5 kilogramos de papaya, 187.5 kilogramos de pera, y

705. kilogramos de platano. Determina cuantas bolsas de

cada mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo


Respuesta:


a)

−5w + x− y + 4 z = 18

−40w + 3x− 8 y + 40 z = 204

20w + x+ 4 y − 19 z = −107

−5w + 3x− y + 4 z = 10

b)

−4w + x+ y + 5 z = −26

−24w + x− 2 y − 10 z = −120

−25w + 3x = −137

−45w + 5x+ y + 5 z = −247



1) < −4,−2, 5, 0 > +Gen {< 0,−5, 0, 1 >}

2) < −4,−2, 0, 5 > +Gen {< −5, 0, 1, 0 >}

3) < −4,−2, 0, 5 > +Gen {< 0,−5, 1, 0 >}

4) < −4,−2, 5, 0 > +Gen {< −5, 0, 0, 1 >}

5) < −4,−2, 5, 0 > +Gen {< 0, 0,−5, 1 >}

6) < −4, 0,−2, 5 > +Gen {< −5, 1, 0, 0 >}

Respuesta:

3. Sean A y D dos matrices n×n invertibles. Para cada una


a) Y−1 ·A−1 = D

b) Y ·D = A

c) A ·Y = D

d) YT ·A = DT

e) YT ·A = D


1) Y = A−1 ·D−1

2) Y =(AT

)−1·D

3) Y = D ·A

4) Y =(AT

)−1·DT

5) Y = D−1 ·A

6) Y = D ·(A−1

)T7) Y = D ·A−1

8) Y = A ·D9) Y = A ·D−1

10) Y = A−1 ·DT

11) Y = A−1 ·D12) Y = D−1 ·A−1

Respuesta:

4. Si

A =

[3 2

1 1

]

B =

[4 1

3 1

]

C =

[4 1

3 1



B X + A Y = C


Respuesta:



2

a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

b) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +


pendiente.


d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1, 4 a2|4 c] es inconsistente,


e) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c ∈ Gen {a1,b}, entonces


f) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces


g) Si [a1,a2|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2, c}es linealmente dependiente.

h) Si b /∈ Gen {a1,a2}y [a1, 6 a2|6 c] es consistente, en-



1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

4 1 4 −2

0 −2 4 −2

0 0 −1− 2x −1

b)

−3 2 2 2

0 −2 4 4

0 0 −3 −2 + 4x

c)

−1 1 −3 3

0 1 3 4

0 0 2− 2x −2 + 2x

d)

1 1 1 −2

0 2 −2 4 + 2x

0 0 0 4

e)

−2 2 2 4

0 −2 3 1

0 0 0 3− x






junto generador.


junto generador.



Respuesta:

7. Que valor debe tener a para que el polinomio:

p = 5 + a x− x3

sea una combinacion lineal de los polinomios:

p1 = 1 + 5x2 + x3

p2 = −1 + x− 5x2 + x3

p3 = −1 + x+ 3x2 + x3

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−3 4 2

0 −1− x 4

0 0 4

0 0 0

b)

2 3 2

0 4 + 2x 4 + 2x

0 0 0

0 0 0

c)

2 −3 3

0 2 + x2 0

0 0 0

0 0 0

d)

2 −2 −3

0 −1 −2− x0 0 0

0 0 0

e)

4 −1 3

0 4− 2x 4− 2x

0 0 4− 2x

0 0 0












Respuesta:

9. Determine la distancia de P (−2,−2,−3,−3) al espacio

que generan los vectores:v1 =

4

5

−3

−2

,v2 =

3

5

3

3

,v3 =

1

3

3

−3



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

5 5

6 12

8 16

9 18

12 28



queda la ecuacion :

5m+ b = 5


Respuesta:



t h(t)

0. -0.77

1. -3.30988

2. -1.05959

3.5 -1.05383

5. -0.832723





Respuesta:


−4 −4 0 0 0

3 2 −1 0 0

−1 0 2 2 1

1 −1 −6 −9 −4




Respuesta:


x′ = −13x+ 8 y

y′ = −12x+ 7 y


x(0) = 3, y(0) = 2


Respuesta:





obrero.










1.

Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−4w + 24x+ y + z

−w + 5x

18w − 106x− 4 y − 4 z

−20w + 120x+ 5 y + 5 z

4


a.

1

0

−4

5

b.

−3

0

12

−15

c.

−5

1

19

−25

d.

−12

−2

52

−60

e.

5

−2

−20

26






Respuesta:






cahuates, nueces y nueces de la india. Estas mezclas se




mos de nueces y 150 gramos de nueces de la india. Para


gramos de cacahuates, 250 gramos de nueces y 200 gramos

de nueces de la india. Y para una bolsa del tipo 3 requiere

250 gramos de almedras, 150 gramos de cacahuates, 250

gramos de nueces y 350 gramos de nueces de la india. El

comerciante dispone de 450. kilogramos de almedras, 495.

kilogramos de cacahuates, 502.5 kilogramos de nueces, y

352.5 kilogramos de nueces de la india. Determina cuantas


lizarse todas las semillas tostadas disponibles.

Respuesta:


a)

−3w + x+ 7 y − 2 z = −18

7w − 5x− 35 y + 7 z = 41

4w − x− 7 y + z = 20

15w − x− 7 y + 7 z = 93

b)

−5w + x+ 4 y + 28 z = −10

12w − 3x− 15 y − 105 z = 6

−33w + 5x+ 18 y + 126 z = −96

3w − 2x− 11 y − 77 z = −24



1) < 3, 0, 3, 5 > +Gen {< −7, 1, 0, 0 >}

2) < 3, 3, 0, 5 > +Gen {< −7, 0, 1, 0 >}

3) < 3, 3, 5, 0 > +Gen {< 0,−7, 0, 1 >}

4) < 3, 3, 5, 0 > +Gen {< 0, 0,−7, 1 >}

5) < 3, 3, 0, 5 > +Gen {< 0,−7, 1, 0 >}

6) < 3, 3, 5, 0 > +Gen {< −7, 0, 0, 1 >}

Respuesta:



a) YT ·B = D

b) Y−1 ·B = D−1

c) B−1 ·Y−1 = D

d) B ·Y−1 = D−1

e) YT ·B = DT


1) Y = B ·D−1

2) Y = D ·B

3) Y =(BT)−1·D

4) Y = B ·D

5) Y = D ·(B−1

)T6) Y = D−1 ·B−1

7) Y = D−1 ·B8) Y = B−1 ·D−1

9) Y = D ·B−1

10) Y =(BT)−1·DT

11) Y = B−1 ·D12) Y = DT ·B−1

Respuesta:

4. Si

A =

[4 1

3 1

]

B =

[2 −1

3 −1

]

C =

[3 1

2 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



2

a) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c ∈ Gen {a1,b}, entonces





d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces


e) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-


f) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +


pendiente.

g) Si 3 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.




1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

2 −3 −2 −2

0 4 −3 4 + 3x

0 0 0 −1

b)

3 −1 2 −3

0 −1 −3 −2

0 0 −1 −2 + 3x

c)

4 1 4 −3

0 −3 1 −1

0 0 0 −2 + 4x

d)

2 −1 −2 3

0 2 −2 −2

0 0 4 + 3x −12− 9x

e)

3 1 3 −2

0 −3 −2 −2

0 0 −2− x −2






junto generador.


junto generador.



Respuesta:


A =

[0 −2 + 2x

1− 2x −2 + 3x


A1 =

[0 2

−2 3

]

A2 =

[3 −3

0 3

]

A3 =

[3 0

3 −3







V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−2 −1 3

0 −2 + x −2 + x

0 0 0

0 0 0

b)

1 −1 −3

0 2 −2− 2x

0 0 2

0 0 0

c)

−2 1 3

0 2 + 3x −2

0 0 3

0 0 0

d)

2 4 −3

0 1− x 1− x0 0 1− x0 0 0

e)

3 −1 3

0 2 −2

0 0 2 + x2

0 0 0












Respuesta:



4

3

0

−3

,v2 =

4

−2

5

−1

,v3 =

5

0

−2

5



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

3 4

4 10

6 13

7 22

10 30



queda la ecuacion :

3m+ b = 4


Respuesta:



t h(t)

0 0.7546

1 -0.104024

2 -0.104712

4 0.0256984



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


1 5 1 0 0

−2 −4 1 0 0

5 9 8 7 1

−12 −20 −19 −9 1




Respuesta:


x′ = −17x+ 6 y

y′ = −30x+ 10 y


x(0) = −2, y(0) = 2


Respuesta:





obrero.










1.

Respuesta:

4


T

x

y

z

w

=

3w + 5x− 5 y + z

−5w − 15x

−12w − 52x− 20 y + 4 z

−9w − 15x+ 15 y − 3 z


a.

2

5

32

−6

b.

−6

2

−14

18

c.

−3

1

−7

9

d.

3

0

12

−9

e.

1

0

4

−3






Respuesta:








del tipo 1 requiere 250 gramos de manzana, 150 gramos

de papaya, 200 gramos de pasas, 50 gramos de pera y 350

gramos de pina. Para una bolsa del tipo 2 requiere 250


pasas, 100 gramos de pera y 400 gramos de pina. Y pa-

ra una bolsa del tipo 3 requiere 200 gramos de manzana,

200 gramos de papaya, 100 gramos de pasas, 250 gramos

de pera y 250 gramos de pina. El comerciante dispone de

330. kilogramos de manzana, 217.5 kilogramos de papa-

ya, 232.5 kilogramos de pasas, 105. kilogramos de pera, y

465. kilogramos de pina. Determina cuantas bolsas de ca-



Respuesta:


a)

−2w + x− y − 2 z = −7

11w − 2x+ 5 y + 4 z = 51

17w − 5x+ 6 y + 10 z = 66

4w − 2x+ y + 4 z = 11

b)

−8w + x+ 4 y − 2 z = 8

−16w + x+ 8 y + 13 z = 80

−46w + 5x+ 23 y − 6 z = 65

30w − 5x− 15 y + 21 z = 19



1) < 4, 3, 4, 0 > +Gen {< 0, 2, 0, 1 >}

2) < 4, 3, 0, 4 > +Gen {< 0, 2, 1, 0 >}

3) < 4, 3, 0, 4 > +Gen {< 2, 0, 1, 0 >}

4) < 4, 3, 4, 0 > +Gen {< 2, 0, 0, 1 >}

5) < 4, 0, 3, 4 > +Gen {< 2, 1, 0, 0 >}

6) < 4, 3, 4, 0 > +Gen {< 0, 0, 2, 1 >}

Respuesta:



a) CT · ZT = D

b) C · Z−1 = D

c) C · ZT = D

d) CT · ZT = DT

e) C−1 · Z−1 = D


1) Z = DT ·(CT)−1

2) Z =(CT)−1·DT

3) Z = C−1 ·D−1

4) Z = D ·C−1

5) Z = D−1 ·C−1

6) Z = DT ·C−1

7) Z = D ·C8) Z = C ·D

9) Z =(CT)−1·D

10) Z = C ·D−1

11) Z = C−1 ·D12) Z = D−1 ·C

Respuesta:

4. Si

A =

[4 3

1 1

]

B =

[2 −1

3 −1

]

C =

[4 3

1 1



B X + A Y = C


Respuesta:



2

a) Si [a1,a2|c] tiene infinitas soluciones, entonces


b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c /∈ Gen {a1,a2}, entonces






e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces 5 b ∈Gen {a1, 2 a3,a2}



g) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-


h) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces



1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:




a)

−3 −1 2 3

0 4 4 −1

0 0 4 + 3x −12− 9x

b)

−3 −3 −1 4

0 1 3 1

0 0 −2 3 + 4x

c)

4 1 −3 −3

0 3 −3 2 + 2x

0 0 0 −2

d)

2 −1 4 −2

0 2 −3 −2

0 0 0 4− 2x

e)

−1 1 2 1

0 3 3 −1

0 0 −1− 2x −2





tenece a V.



pertenece a V.

Respuesta:



1.

{[1 −5

−5 4

],

[2 −2

4 −2

],

[−5 −6

−2 −3

],

[1 −5

4 0

]}

2.

{[18 −54

6 −27

],

[6 −6

2 −1

],

[0 −6

0 −4

]}

3.

{[6 −5

4 −1

],

[0 0

−1 0

],

[−3 −4

3 1

]}

4.

{[−1 −1

−15 −6

],

[−6 4

3 −6

],

[−1 4

−6 −4

],

[−5 −5

0 −4

]}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

1 1 1

0 4 3− 2x

0 0 0

0 0 0

b)

1 −1 −3

0 −2− x −2− x0 0 −2− x0 0 0

c)

4 2 2

0 3 + 4x 4 + 4x

0 0 0

0 0 0

d)

−2 1 −1

0 −2 + 3x −2 + 3x

0 0 0

0 0 0

e)

4 2 4

0 3 + x2 0

0 0 0

0 0 0











Respuesta:


9. Determine la distancia de P (−1, 1, 3, 4) al espacio que ge-


3

−2

0

−3

,v2 =

1

4

1

0

,v3 =

2

−2

4

−3



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 7

3 8

5 14

6 19

9 31



queda la ecuacion :

2m+ b = 7


Respuesta:



t h(t)

0. -0.91

1. -3.33881

2. -1.09525

3.5 -1.18901

5. -0.732403





Respuesta:


0 −3 0 0 0

9 24 6 1 0

−1 −23 1 4 1

−18 −40 −2 −2 5




Respuesta:


x′ = −7x+ 5 y

y′ = −10x+ 8 y


x(0) = 3, y(0) = 3


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

w + 2x− 4 y + z

−w − 4x

−w − 8x− 8 y + 2 z

−4w − 8x+ 16 y − 4 z


a.

−3

1

−2

12

b.

9

−3

6

−36

c.

−12

−4

−34

50

d.

4

−1

5

−16

e.

3

0

6

−12

4






Respuesta:





mezcla economica, mezcla especial y mezcla elite. Estas

mezclas se obtienen combinando grano dominicano, grano

costarriqueno y grano jamaquino. Para una bolsa de mez-

cla economica requiere 300 g de dominicano y 200 g de

costarriqueno. Para una bolsa de mezcla especial requiere

300 g de dominicano, 100 g de costarriqueno y 100 g de ja-

maquino. Para una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de

dominicano, 300 g de costarriqueno y 100 g de jamaquino.

El comerciante dispone de 32 kg de grano dominicano, 21

kg de grano costarriqueno, y 7 kg de grano jamaquino. De-

termina cuantas bolsas de cada mezcla se pueden preparar

si tiene que utilizarse todo el grano disponible. Reporta

solo las bolsas de la mezcla elite. Sugerencia: Primero

maneje todo en gramos y despues divida las ecuaciones

entre 100 antes de resolver.

Respuesta:


a)

−3w + x+ 5 y + 30 z = −16

23w − 2x− 14 y − 84 z = 18

−35w + 4x+ 25 y + 150 z = −43

3w − 5x− 23 y − 138 z = 94

b)

6w + x+ 2 y − 5 z = 3

12w + 2x+ 2 y − 18 z = 32

12w + 2x+ 2 y − 17 z = 30

6w + x+ y − 2 z = 2



1) < 3,−5, 0,−2 > +Gen {< 0,−6, 1, 0 >}2) < 3,−5,−2, 0 > +Gen {< 0, 0,−6, 1 >}3) < 3,−5,−2, 0 > +Gen {< −6, 0, 0, 1 >}4) < 3, 0,−5,−2 > +Gen {< −6, 1, 0, 0 >}5) < 3,−5, 0,−2 > +Gen {< −6, 0, 1, 0 >}6) < 3,−5,−2, 0 > +Gen {< 0,−6, 0, 1 >}

Respuesta:



a) X−1 ·B = C

b) X−1 ·B = C−1

c) B ·XT = CT

d) X ·B−1 = C

e) XT ·B = CT


1) X = B ·C2) X = B−1 ·C−1

3) X = B ·C−1

4) X = B−1 ·CT

5) X = C ·B−1

6) X = C ·(B−1

)T7) X = C−1 ·B−1

8) X = C ·B9) X = B−1 ·C

10) X =(BT)−1·C

11) X = C−1 ·B

12) X = CT ·(BT)−1

Respuesta:

4. Si

A =

[2 3

−1 −1

]

B =

[4 1

3 1

]

C =

[2 −1

3 −1



B X + A Y = C


Respuesta:



a) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1+c2a2+c3a3 = b,


2

b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces








f) Si [a1,a2, 3 a3|2 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

g) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1, 6 a2|2 c] es inconsistente,


h) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c /∈ Gen {a1,a2}, entonces



1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:




a)

−2 3 −3 −1

0 2 1 −1 + 2x

0 0 0 −2

b)

2 2 −3 1

0 −1 3 −2

0 0 1− x −1 + x

c)

4 −1 3 3

0 −3 4 −1

0 0 0 1 + 3x

d)

3 −2 3 4

0 −1 2 3

0 0 −2 + x −3

e)

−1 3 4 4

0 3 3 2

0 0 4 −1− x






pertenece a V.


tenece a V.

Respuesta:



1.

{[5 3

1 −1

],

[32 9

6 −46

],

[−6 −3

−5 5

],

[−2 −3

−2 −6

]}

2.

{[0 1

−3 5

],

[−2 1

−3 6

],

[−2 −5

−6 1

]}

3.

{[−1 −2

4 −2

],

[−4 2

0 −1

],

[4 6

3 −5

],

[3 6

4 5

]}

4.

{[1 4

4 6

],

[3 −2

1 −5

],

[20 −4

14 −18

]}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

3 3 3

0 1 + x 1 + x

0 0 1 + x

0 0 0

b)

2 −3 1

0 1 + 2x 1

0 0 4

0 0 0

c)

−1 3 −3

0 4 + 4x 4 + 4x

0 0 0

0 0 0

d)

−2 1 3

0 −1 + x x

0 0 0

0 0 0

e)

−3 3 −2

0 2 −1 + 4x

0 0 −3

0 0 0











Respuesta:




−3

3

0

3

,v2 =

4

3

4

−2

,v3 =

3

−1

−2

5



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

5 5

6 12

8 15

9 21

12 29



queda la ecuacion :

5m+ b = 5


Respuesta:



t h(t)

0. -0.9

1. -3.36192

2. -1.05581

3.5 -1.13293

5. -0.791292





Respuesta:


−3 −3 1 0 0

−4 −1 −1 0 0

14 1 8 5 1

11 10 11 0 5




Respuesta:


x′ = −13x+ 12 y

y′ = −16x+ 15 y


x(0) = 3, y(0) = 1


Respuesta:





obrero.










1.

Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−7w + 44x− 3 y + z

2w − 12x

21w − 130x+ 6 y − 2 z

−42w + 264x− 18 y + 6 z


a.

1

0

−2

6

b.

−1

3

14

−5

c.

3

−9

−42

15

d.

−4

2

15

−24

e.

6

2

−6

36

4






Respuesta:






ya, pasas y pera. Estas mezclas se obtienen combinando


snacks del tipo 1 requiere 50 gramos de ciruela, 50 gramos

de manzana, 150 gramos de papaya, 250 gramos de pasas

y 500 gramos de pera. Para una bolsa del tipo 2 requiere

200 gramos de ciruela, 250 gramos de manzana, 200 gra-

mos de papaya, 250 gramos de pasas y 100 gramos de pera.

Y para una bolsa del tipo 3 requiere 50 gramos de ciruela,

150 gramos de manzana, 50 gramos de papaya, 200 gramos

de pasas y 550 gramos de pera. El comerciante dispone de

67.5 kilogramos de ciruela, 120. kilogramos de manzana,

97.5 kilogramos de papaya, 202.5 kilogramos de pasas, y

412.5 kilogramos de pera. Determina cuantas bolsas de ca-



Respuesta:


a)

4w + x− 4 y − 2 z = 31

−13w − 2x+ 13 y + 17 z = −147

−23w − 5x+ 23 y + 21 z = −222

−7w − 2x+ 7 y + 7 z = −73

b)

−w + x+ 4 y − 2 z = −1

−4w + 4x+ 18 y − 12 z = 8

−2w + 2x+ 10 y − 11 z = 25

−4w + 4x+ 18 y − 15 z = 23



1) < 5,−4,−5, 0 > +Gen {< 0, 0, 1, 1 >}

2) < 5, 0,−4,−5 > +Gen {< 1, 1, 0, 0 >}

3) < 5,−4,−5, 0 > +Gen {< 0, 1, 0, 1 >}

4) < 5,−4,−5, 0 > +Gen {< 1, 0, 0, 1 >}

5) < 5,−4, 0,−5 > +Gen {< 0, 1, 1, 0 >}

6) < 5,−4, 0,−5 > +Gen {< 1, 0, 1, 0 >}

Respuesta:



a) B ·YT = CT

b) YT ·BT = C

c) C ·Y = B

d) Y ·B−1 = C

e) B−1 ·Y−1 = C−1


1) Y =(BT)−1·CT

2) Y = C ·B−1

3) Y = B ·C4) Y = C−1 ·B−1

5) Y = C ·B6) Y = B ·C−1

7) Y = B−1 ·C−1

8) Y = B−1 ·C9) Y = C−1 ·B

10) Y =(BT)−1·C

11) Y = B−1 ·CT

12) Y = C ·(B−1

)TRespuesta:

4. Si

A =

[4 3

1 1

]

B =

[3 2

1 1

]

C =

[3 1

2 1



B X + A Y = C


Respuesta:



2

a) Si 2 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-




d) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces


e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = b,




g) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.



1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




a)

4 4 −3 −1

0 −3 −2 −1

0 0 −1 + 4x 3− 12x

b)

−2 1 4 3

0 3 −2 1

0 0 0 −2 + 3x

c)

−2 4 4 4

0 2 −3 −1 + 2x

0 0 0 1

d)

1 4 3 2

0 4 3 −1

0 0 3− 2x 2

e)

−1 4 −3 1

0 1 4 −3

0 0 2 −2 + 2x











Respuesta:


A =

[−7 a

5 −15


A1 =

[2 −1

2 −3

]A2 =

[3 3

0 4

]A3 =

[0 −1

−3 0

]Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−1 −3 3

0 1 + 4x 2

0 0 −3

0 0 0

b)

3 −1 1

0 −1 −2 + 4x

0 0 4

0 0 0

c)

1 −3 −2

0 −3 −3

0 0 2 + x2

0 0 0

d)

2 4 4

0 −2 + 2x −2 + 2x

0 0 0

0 0 0

e)

3 4 −2

0 −3 1 + 3x

0 0 0

0 0 0












Respuesta:



2

4

1

−2

,v2 =

4

4

−3

4

,v3 =

−2

3

1

−3



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

4 5

5 12

7 17

8 21

11 32



queda la ecuacion :

4m+ b = 5


Respuesta:



t h(t)

0 1.1046

1 0.0584462

2 0.0252741

4 0.221228



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


−3 −5 1 0 0

−8 −9 1 0 0

27 27 11 5 1

−8 0 −6 −1 3




Respuesta:


x′ = −28x+ 9 y

y′ = −90x+ 29 y


x(0) = 2, y(0) = −2


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

8w + 52x+ 6 y + z

−w − 6x

−25w − 166x− 24 y − 4 z

−48w − 312x− 36 y − 6 z

4


a.

−3

1

6

18

b.

1

0

−4

−6

c.

3

−1

−5

−18

d.

−4

−3

29

25

e.

4

3

−29

−25






Respuesta:





clas de frutas deshidratadas: manzana, papaya, pasas, pera

y platano. Estas mezclas se obtienen combinando en dife-


del tipo 1 requiere 150 gramos de manzana, 50 gramos de

papaya, 150 gramos de pasas, 250 gramos de pera y 400

gramos de platano. Para una bolsa del tipo 2 requiere 50


pasas, 250 gramos de pera y 400 gramos de platano. Y para

una bolsa del tipo 3 requiere 200 gramos de manzana, 250

gramos de papaya, 150 gramos de pasas, 200 gramos de

pera y 200 gramos de platano. El comerciante dispone de

217.5 kilogramos de manzana, 232.5 kilogramos de papa-

ya, 487.5 kilogramos de pasas, 532.5 kilogramos de pera,

y 780. kilogramos de platano. Determina cuantas bolsas

de cada mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse

todo el fruto deshidratado disponible.

Respuesta:


a)

24w + x+ 4 y + 4 z = 22

42w + 3x+ 7 y + 7 z = 36

−30w − 3x− 11 y − 5 z = −48

−60w − 5x− 16 y − 10 z = −74

b)

−3w + x+ 6 y + z = −4

36w − 4x− 24 y + z = 84

3x+ 18 y + 5 z = 14

5w − 2x− 12 y − 3 z = 2



1) < −2, 4, 2, 0 > +Gen {< 0, 0,−6, 1 >}

2) < −2, 4, 0, 2 > +Gen {< 0,−6, 1, 0 >}

3) < −2, 0, 4, 2 > +Gen {< −6, 1, 0, 0 >}

4) < −2, 4, 2, 0 > +Gen {< 0,−6, 0, 1 >}

5) < −2, 4, 2, 0 > +Gen {< −6, 0, 0, 1 >}

6) < −2, 4, 0, 2 > +Gen {< −6, 0, 1, 0 >}

Respuesta:



a) ZT ·A = B

b) Z−1 ·A = B

c) A · Z = B

d) ZT ·AT = B

e) AT · ZT = B


1) Z = A ·B2) Z = B−1 ·A3) Z = A−1 ·B4) Z = A−1 ·BT

5) Z = A ·B−1

6) Z = A−1 ·B−1

7) Z = B−1 ·A−1

8) Z = BT ·A−1

9) Z =(AT

)−1·B

10) Z = B ·A−1

11) Z = B ·A

12) Z =(AT

)−1·BT

Respuesta:

4. Si

A =

[2 3

−1 −1

]

B =

[2 3

−1 −1

]

C =

[2 3

−1 −1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|b] tiene infinitas soluciones, entonces


2

b) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces



d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}



f) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces







1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:




a)

3 1 −1 −3

0 −2 −3 −2 + 3x

0 0 0 2

b)

4 1 2 3

0 4 −1 2

0 0 −1 2 + x

c)

−1 −1 −1 3

0 −3 3 2

0 0 3 + x 4

d)

3 −3 −3 1

0 2 −3 2

0 0 3− 2x 9− 6x

e)

3 −3 −2 −3

0 3 −2 2

0 0 0 4− 2x






tenece a V.


pertenece a V.

Respuesta:


A =

[−2 + 3x 1

2− 3x −3x


A1 =

[3 0

−3 −3

]

A2 =

[1 −3

3 0

]

A3 =

[2 0

−3 2







V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

4 −3 2

0 3 + 3x 4 + 3x

0 0 0

0 0 0

b)

3 −3 3

0 4 + 2x 4 + 2x

0 0 4 + 2x

0 0 0

c)

2 4 −2

0 3 + x2 0

0 0 0

0 0 0

d)

2 −2 2

0 1 + 2x 1 + 2x

0 0 0

0 0 0

e)

1 −2 −3

0 3 4

0 0 2 + x2

0 0 0












Respuesta:

9. Determine la distancia de P (−1, 2,−3, 3) al espacio que


4

−3

3

−2

,v2 =

0

−1

−3

2

,v3 =

1

4

3

5



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

4 6

5 9

7 13

8 19

11 30



queda la ecuacion :

4m+ b = 6


Respuesta:



t h(t)

0. -0.99

1. -3.2902

2. -1.10844

3.5 -1.16198

5. -0.798594





Respuesta:


−8 4 1 0 0

−5 1 3 0 0

−8 2 −9 6 0

42 −6 32 0 6




Respuesta:


x′ = −27x+ 12 y

y′ = −60x+ 27 y


x(0) = 2, y(0) = −2


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

6x− 3 y + z

2w − 10x

7w − 71x+ 18 y − 6 z

30x− 15 y + 5 z

4


a.

−6

5

45

−29

b.

2

0

−12

10

c.

6

−2

−43

30

d.

−6

2

43

−30

e.

−10

2

66

−50






Respuesta:
















pone de 540. kilogramos de almedras, 352.5 kilogramos de

nueces, 405. kilogramos de nueces de la india, y 1252.5 ki-

logramos de pistaches. Determina cuantas bolsas de cada

mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todas las

semillas tostadas disponibles.

Respuesta:


a)

w + x− 3 y − 6 z = 8

14w + x− 8 y − 6 z = −42

−5w + x− 2 y − 6 z = 35

3w − 3x+ 6 y + 18 z = −45

b)

30w + x− 5 y + 3 z = 4

144w + 5x− 24 y + 14 z = 22

−96w − 3x+ 16 y − 12 z = 0

−126w − 5x+ 21 y + 6 z = −113



1) < 4,−3,−5, 0 > +Gen {< 0, 0, 6, 1 >}

2) < 4,−3, 0,−5 > +Gen {< 0, 6, 1, 0 >}

3) < 4,−3,−5, 0 > +Gen {< 0, 6, 0, 1 >}

4) < 4, 0,−3,−5 > +Gen {< 6, 1, 0, 0 >}

5) < 4,−3,−5, 0 > +Gen {< 6, 0, 0, 1 >}

6) < 4,−3, 0,−5 > +Gen {< 6, 0, 1, 0 >}

Respuesta:



a) B ·YT = CT

b) BT ·YT = CT

c) Y−1 ·B = C

d) B ·Y−1 = C−1

e) B−1 ·Y−1 = C


1) Y = C ·B2) Y = C ·B−1

3) Y = B−1 ·C−1

4) Y = C ·(B−1

)T5) Y = CT ·

(BT)−1

6) Y = B ·C−1

7) Y =(BT)−1·C

8) Y = C−1 ·B9) Y = B ·C

10) Y = B−1 ·CT

11) Y = C−1 ·B−1

12) Y = B−1 ·C

Respuesta:

4. Si

A =

[4 1

3 1

]

B =

[4 1

3 1

]

C =

[2 3

−1 −1



B X + A Y = C


Respuesta:



2



b) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces




d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-


e) Si 3 b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

f) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c ∈ Gen {a1,b}, entonces





pendiente.


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:




a)

−2 2 −2 4

0 1− 2x 1− 2x 3− 6x

0 0 0 0

b)

−2 −2 4 4

0 4 4 2

0 0 −2 2 + x

c)

3 −1 −1 2

0 2 3 3

0 0 0 2 + x

d)

3 3 3 2

0 −2 −3 −2 + 4x

0 0 0 0

e)

2 1 1 −3

0 1 4 −3

0 0 1 + x −3− 3x



1) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U 6⊆ V.

2) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U ⊆ V.

3) Para todo valor de x se tiene U ⊆ V.

4) Para todo valor de x se tiene U 6⊆ V.

Respuesta:

7. Si

A1 =

[1 4

0 0

]A2 =

[2 3

5 0

]

A3 =

[3 7

5 0

]A4 =

[3 12

0 0


1. A2 ∈ Gen{A1, A4} 2. A4 ∈ Gen{A3}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A3 ∈ Gen{A1, A2}5. A4 ∈ Gen{A2, A3} 6. A1 ∈ Gen{A2, A3}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

2 1 −2

0 2 + x2 0

0 0 0

0 0 0

b)

−1 3 1

0 −2 + 3x −2 + 3x

0 0 0

0 0 0

c)

4 4 −1

0 2 + 3x 3 + 3x

0 0 0

0 0 0

d)

3 −1 −1

0 −2 −1

0 0 4 + x2

0 0 0

e)

1 4 3

0 −1 2 + 3x

0 0 0

0 0 0











Respuesta:


9. Determine la distancia de P (1,−2, 2, 2) al espacio que ge-


1

3

5

1

,v2 =

−3

−2

3

1

,v3 =

−3

−3

5

0



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

5 5

6 9

8 16

9 19

12 29



queda la ecuacion :

5m+ b = 5


Respuesta:



t h(t)

0 0.9846

1 -0.0203038

2 -0.0801751

4 0.135185



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


−8 2 1 0 0

19 −11 −5 0 0

67 −34 −27 4 0

−30 24 17 0 4




Respuesta:


x′ = −13x+ 5 y

y′ = −30x+ 12 y


x(0) = 3, y(0) = −1


Respuesta:





obrero.










1.

Respuesta:


T

x

y

z

w

=

w − x+ y + z

5w + 25x

2w − 26x+ 6 y + 6 z

−5w + 5x− 5 y − 5 z


a.

−4

−8

−28

22

b.

3

1

17

−15

c.

1

0

6

−5

d.

−3

0

−18

15

e.

10

−10

68

−50


4





Respuesta:





clas de frutas deshidratadas: ciruela, papaya, pera, pina y

platano. Estas mezclas se obtienen combinando en dife-


del tipo 1 requiere 100 gramos de ciruela, 50 gramos de

papaya, 150 gramos de pera, 100 gramos de pina y 600


gramos de ciruela, 150 gramos de papaya, 250 gramos de

pera, 200 gramos de pina y 150 gramos de platano. Y pa-

ra una bolsa del tipo 3 requiere 150 gramos de ciruela,

250 gramos de papaya, 50 gramos de pera, 150 gramos

de pina y 400 gramos de platano. El comerciante dispone

de 412.5 kilogramos de ciruela, 450. kilogramos de papaya,

345. kilogramos de pera, 397.5 kilogramos de pina, y 1395.

kilogramos de platano. Determina cuantas bolsas de cada


fruto deshidratado disponible.

Respuesta:


a)

5w + x− 3 y + 18 z = −40

12w + 4x− 15 y + 90 z = −132

−23w − 4x+ 11 y − 66 z = 171

9w + x− 2 y + 12 z = −56

b)

−6w + x− 4 y − 2 z = −9

18w − 3x+ 16 y − 9 z = 118

−24w + 4x− 17 y − 4 z = −60

−30w + 5x− 15 y − 21 z = 30



1) < −3, 4, 0,−5 > +Gen {< 0, 6, 1, 0 >}

2) < −3, 4,−5, 0 > +Gen {< 0, 6, 0, 1 >}

3) < −3, 4,−5, 0 > +Gen {< 0, 0, 6, 1 >}

4) < −3, 4,−5, 0 > +Gen {< 6, 0, 0, 1 >}

5) < −3, 0, 4,−5 > +Gen {< 6, 1, 0, 0 >}

6) < −3, 4, 0,−5 > +Gen {< 6, 0, 1, 0 >}

Respuesta:



a) Z ·D−1 = B

b) B−1 · Z−1 = D

c) B · ZT = DT

d) Z ·B = D

e) BT · ZT = D


1) Z = B ·D−1

2) Z = B ·D3) Z = D−1 ·B4) Z = D−1 ·B−1

5) Z = B−1 ·DT

6) Z = D ·(B−1

)T7) Z = B−1 ·D−1

8) Z = B−1 ·D9) Z = D ·B

10) Z = D ·B−1

11) Z =(BT)−1·D

12) Z = DT ·B−1

Respuesta:

4. Si

A =

[4 3

1 1

]

B =

[2 3

−1 −1

]

C =

[3 2

1 1



B X + A Y = C


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces


2



c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

d) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces


e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

f) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1+c2a2+c3a3 = b,






1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:




a)

3 2 1 3

0 3 −2 −1 + 3x

0 0 0 −3

b)

−3 2 −2 3

0 1 3 3

0 0 0 −1− 2x

c)

−3 −2 2 1

0 −1 −1 4

0 0 2 −1 + x

d)

4 4 4 −1

0 3 1 3

0 0 2 + x −2

e)

−2 3 4 1

0 2 3 4

0 0 3 + 4x 3 + 4x




tenece a V.




pertenece a V.

Respuesta:



1.

{[−5 3

1 0

],

[−1 −4

5 −2

],

[1 −2

3 −2

],

[−6 2

−2 0

]}

2.

{[−5 3

4 −6

],

[−2 4

−5 −4

],

[−4 6

−1 −6

]}

3.

{[0 1

4 −6

],

[36 −20

−14 24

],

[6 −3

−1 2

]}

4.

{[−3 −5

−6 5

],

[3 1

3 3

],

[9 1

45 −25

],

[1 2

−4 4

]}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

2 −3 4

0 3 −3

0 0 2 + x2

0 0 0

b)

3 4 −2

0 2 + x 3 + x

0 0 0

0 0 0

c)

−3 −1 2

0 −1 + 3x −1 + 3x

0 0 0

0 0 0

d)

−2 1 −2

0 3− 2x 3− 2x

0 0 3− 2x

0 0 0

e)

−1 3 −2

0 −3 3− 2x

0 0 0

0 0 0











Respuesta:


9. Determine la distancia de P (−1,−3, 1, 2) al espacio que


0

−3

5

3

,v2 =

0

2

4

−2

,v3 =

1

3

1

1



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

3 5

4 11

6 17

7 20

10 30



queda la ecuacion :

3m+ b = 5


Respuesta:



t h(t)

0. -0.98

1. -3.2843

2. -1.02406

3.5 -1.17896

5. -0.787986





Respuesta:


0 −2 0 0 0

8 −24 6 0 0

16 −23 2 7 1

−32 79 −2 −1 5




Respuesta:


x′ = −29x+ 8 y

y′ = −84x+ 23 y


x(0) = 3, y(0) = 1


Respuesta:





obrero.










1.

Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−7w + 38x− 3 y + z

−6w + 30x

4w − 29x+ 9 y − 3 z

−35w + 190x− 15 y + 5 z


a.

1

0

−3

5

b.

3

0

−9

15

c.

−5

−6

−2

−25

d.

15

18

6

75

e.

−5

2

23

−24

4






Respuesta:












gramos de cacahuates, 150 gramos de nueces de la india

y 350 gramos de pistaches. Y para una bolsa del tipo 3

requiere 50 gramos de almedras, 50 gramos de cacahuates,


ches. El comerciante dispone de 232.5 kilogramos de alme-

dras, 262.5 kilogramos de cacahuates, 495. kilogramos de

nueces de la india, y 960. kilogramos de pistaches. Deter-



Respuesta:


a)

−4w + x+ y − 7 z = −24

−14w + x+ 5 y − 7 z = −82

−15w + 3x+ 5 y − 21 z = −91

4w − x− 2 y + 7 z = 26

b)

3w + x− 5 y + 35 z = 23

10w + 3x− 13 y + 91 z = 70

10w − 2x+ 15 y − 105 z = 24

−21w − x = −103



1) < −2,−2, 0, 5 > +Gen {< 0, 7, 1, 0 >}

2) < −2,−2, 5, 0 > +Gen {< 0, 7, 0, 1 >}

3) < −2, 0,−2, 5 > +Gen {< 7, 1, 0, 0 >}

4) < −2,−2, 0, 5 > +Gen {< 7, 0, 1, 0 >}

5) < −2,−2, 5, 0 > +Gen {< 7, 0, 0, 1 >}

6) < −2,−2, 5, 0 > +Gen {< 0, 0, 7, 1 >}

Respuesta:



a) A ·YT = B

b) B−1 ·Y = A

c) A ·YT = BT

d) A ·Y−1 = B

e) Y−1 ·A−1 = B−1


1) Y = A−1 ·B−1

2) Y = B−1 ·A3) Y = A ·B−1

4) Y = A ·B

5) Y = B ·(A−1

)T6) Y =

(AT

)−1·BT

7) Y = B ·A−1

8) Y = BT ·(AT

)−19) Y = B−1 ·A−1

10) Y = BT ·A−1

11) Y = A−1 ·B12) Y = B ·A

Respuesta:

4. Si

A =

[4 1

3 1

]

B =

[4 1

3 1

]

C =

[4 1

3 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



2

a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.

b) Si [a1,a2, 4 a3|4 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = b,



sistente.

e) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-


f) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,


g) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

h) Si [a1,a2|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2, c}es linealmente dependiente.


1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:




a)

3 −3 3 1

0 −1 1 2

0 0 4 1− 2x

b)

3 2 2 3

0 2 −2 −2

0 0 −1 + 2x 2

c)

−3 1 1 −2

0 −2 1 1 + 2x

0 0 0 −2

d)

2 −3 2 1

0 1 4 2

0 0 0 4 + x

e)

1 4 2 −1

0 3 −3 4

0 0 2 + 4x −2− 4x











Respuesta:

7. Si

A1 =

[−3 −2

2 6

]A2 =

[0 2

6 −1

]

A3 =

[−3 2

14 4

]A4 =

[−12 −8

8 24


1. A4 ∈ Gen{A2, A3} 2. A3 ∈ Gen{A1, A2}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A4 ∈ Gen{A3}5. A2 ∈ Gen{A1, A4} 6. A4 ∈ Gen{A1}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−2 −1 −3

0 −1− 2x −1− 2x

0 0 0

0 0 0

b)

−2 3 2

0 3 + 2x 3 + 2x

0 0 3 + 2x

0 0 0

c)

−2 1 −3

0 1 + x2 0

0 0 0

0 0 0

d)

−2 −3 4

0 −1 1 + x

0 0 0

0 0 0

e)

3 1 −3

0 2 −3

0 0 4 + x2

0 0 0












Respuesta:



2

1

2

3

,v2 =

5

−1

5

0

,v3 =

−2

2

3

0



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 7

3 12

5 13

6 18

9 32



queda la ecuacion :

2m+ b = 7


Respuesta:



t h(t)

0 1.0446

1 0.012108

2 -0.069532

4 0.150789



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


8 9 1 0 0

−16 −9 0 1 0

−41 −26 −16 9 1

24 15 11 −2 6




Respuesta:


x′ = −8x+ 6 y

y′ = −9x+ 7 y


x(0) = 1, y(0) = 2


Respuesta:










Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−3w − 22x− 5 y + z

5w + 30x

14w + 68x− 20 y + 4 z

18w + 132x+ 30 y − 6 z


a.

3

5

38

−18

b.

−6

−1

−29

36

c.

6

1

29

−36

d.

2

0

8

−12

e.

−6

9

3

33

4






Respuesta:





clas de semillas tostadas y saladas de cacahuates, nueces,

nueces de la india y pistaches. Estas mezclas se obtienen

combinando en diferentes proporciones esas semillas. Pa-

ra una bolsa de snacks del tipo 1 requiere 150 gramos de

cacahuates, 50 gramos de nueces, 300 gramos de nueces


tipo 2 requiere 100 gramos de cacahuates, 250 gramos de



de cacahuates, 100 gramos de nueces, 50 gramos de nueces


pone de 292.5 kilogramos de cacahuates, 405. kilogramos

de nueces, 510. kilogramos de nueces de la india, y 1492.5




Respuesta:


a)

4w + x+ 2 y − 10 z = −5

29w + 4x+ 4 y − 20 z = −58

6w + 3x+ 11 y − 55 z = 12

−w − x− 5 y + 25 z = −10

b)

15w + x+ y − 3 z = 6

−55w − x− 4 y + 11 z = −31

−25w + 4x− y + 5 z = −25

−15w + 3x− 2 y + 3 z = −21



1) < −3, 0, 3,−2 > +Gen {< 5, 1, 0, 0 >}

2) < −3, 3,−2, 0 > +Gen {< 5, 0, 0, 1 >}

3) < −3, 3, 0,−2 > +Gen {< 5, 0, 1, 0 >}

4) < −3, 3,−2, 0 > +Gen {< 0, 5, 0, 1 >}

5) < −3, 3,−2, 0 > +Gen {< 0, 0, 5, 1 >}

6) < −3, 3, 0,−2 > +Gen {< 0, 5, 1, 0 >}

Respuesta:



a) B−1 ·Y = C

b) B−1 ·Y−1 = C

c) B ·YT = C

d) YT ·BT = CT

e) Y ·B−1 = C


1) Y = CT ·(BT)−1

2) Y = C ·(B−1

)T3) Y = C−1 ·B4) Y = C−1 ·B−1

5) Y = B ·C6) Y = C ·B7) Y = B−1 ·C8) Y = CT ·B−1

9) Y = C ·B−1

10) Y = B−1 ·C−1

11) Y = B ·C−1

12) Y =(BT)−1·CT

Respuesta:

4. Si

A =

[2 3

−1 −1

]

B =

[4 3

1 1

]

C =

[3 1

2 1



B X + A Y = C


Respuesta:



2

a) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-




c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = b,




e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces




h) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces



1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:




a)

−2 2 2 3

0 1− 2x 2− 4x 4

0 0 0 0

b)

−2 −2 −1 −1

0 −1 + 3x −1 + 3x 3− 9x

0 0 0 0

c)

−1 3 1 −3

0 −2 −3 1

0 0 −1− 2x −1

d)

−2 1 −1 4

0 −3 4 + 4x 1

0 0 0 0

e)

3 3 −1 −1

0 −1 −1 4

0 0 −1 + 2x 2x



1) Para todo valor de x se tiene U ⊆ V.2) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U ⊆ V.3) Para todo valor de x se tiene U 6⊆ V.4) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U 6⊆ V.

Respuesta:


A =

[−3− 2x −2 + 2x

0 −3 + 2x


A1 =

[−2 2

0 2

]

A2 =

[−2 −2

2 −2

]

A3 =

[3 0

−2 1



B para ningun valor pertence.

C hay una infinidad de valores.



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

3 1 1

0 −2 + 4x −2 + 4x

0 0 0

0 0 0

b)

−2 2 3

0 2 1

0 0 3 + x2

0 0 0

c)

4 −1 3

0 2 + x 2 + x

0 0 2 + x

0 0 0

d)

−3 1 3

0 2 2 + 2x

0 0 2

0 0 0

e)

4 −1 2

0 3 1 + 2x

0 0 0

0 0 0












Respuesta:



−1

−1

1

−3

,v2 =

5

4

0

−1

,v3 =

3

2

3

−2



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

4 4

5 8

7 15

8 21

11 30



queda la ecuacion :

4m+ b = 4


Respuesta:



t h(t)

0. -0.82

1. -3.36108

2. -1.03826

3.5 -1.18872

5. -0.771349





Respuesta:


1 6 1 0 0

4 0 7 1 0

−1 1 1 2 1

−12 3 0 −14 9




Respuesta:


x′ = −27x+ 8 y

y′ = −84x+ 25 y


x(0) = −1, y(0) = −2


Respuesta:










Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−9w − 39x+ 6 y + z

4w + 16x

−50w − 209x+ 18 y + 3 z

36w + 156x− 24 y − 4 z


a.

−8

8

−70

32

b.

1

0

3

−4

c.

−2

0

−6

8

d.

−4

4

−35

16

e.

6

−3

36

−24


4





Respuesta:





mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas

mezclas se obtienen combinando grano dominicano, grano

colombiano y grano jamaquino. Para una bolsa de mezcla

de la casa requiere 300 g de dominicano y 200 g de colom-

biano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de

dominicano, 100 g de colombiano y 100 g de jamaquino.

Para una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de domi-

nicano, 200 g de colombiano y 200 g de jamaquino. El

comerciante dispone de 24 kg de grano dominicano, 18 kg

de grano colombiano, y 8 kg de grano jamaquino. Deter-


tiene que utilizarse todo el grano disponible. Reporta solo

las bolsas de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje

todo en gramos y despues divida las ecuaciones entre 100

antes de resolver.

Respuesta:


a)

6w + x− 3 y + 5 z = 40

−24w − 4x+ 9 y − 39 z = −221

−18w − 3x+ 12 y + 3 z = −63

30w + 5x− 12 y + 41 z = 249

b)

12w + x+ 2 y + 2 z = 3

−12w − 5x− 6 y − 2 z = −3

−24w − x− 4 z = −21

−6w + x− z = 1



1) < 5,−5, 0, 4 > +Gen {< 0,−6, 1, 0 >}2) < 5,−5, 4, 0 > +Gen {< 0, 0,−6, 1 >}3) < 5,−5, 4, 0 > +Gen {< −6, 0, 0, 1 >}4) < 5, 0,−5, 4 > +Gen {< −6, 1, 0, 0 >}5) < 5,−5, 4, 0 > +Gen {< 0,−6, 0, 1 >}6) < 5,−5, 0, 4 > +Gen {< −6, 0, 1, 0 >}

Respuesta:



a) C−1 ·X−1 = D

b) X−1 ·C−1 = D

c) C ·XT = D

d) D ·X = C

e) C−1 ·X−1 = D−1


1) X = C−1 ·DT

2) X = C−1 ·D

3) X = DT ·C−1

4) X = C ·D−1

5) X = D ·C

6) X = D−1 ·C

7) X = DT ·(CT)−1

8) X = C−1 ·D−1

9) X =(CT)−1·D

10) X = D−1 ·C−1

11) X = C ·D

12) X = D ·C−1

Respuesta:

4. Si

A =

[4 3

1 1

]

B =

[4 3

1 1

]

C =

[2 3

−1 −1



B X + A Y = C


Respuesta:



a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = b,


2



c) Si [a1,a2|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2, c}es linealmente dependiente.

d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.




g) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces 3 b ∈Gen {a1, 3 a3,a2}




1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




a)

−2 −2 1 −3

0 4 3 −2

0 0 −3 −2− x

b)

−2 1 −1 3

0 4 −2 −1

0 0 2− 2x 2− 2x

c)

4 2 1 −1

0 4 −1 1

0 0 0 −1 + 4x

d)

−3 4 3 3

0 −1 −2 3 + 4x

0 0 0 3

e)

4 4 −3 1

0 1 2 3

0 0 2− x 3











Respuesta:


p = −4− x+ a x3


p1 = 1− 2x2 + x3

p2 = −1 + x+ 2x2 + x3

p3 = −1 + x+ 3x2 + x3

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

4 2 4

0 2 + x2 0

0 0 0

0 0 0

b)

1 −2 −2

0 1 −1

0 0 4 + x2

0 0 0

c)

−2 −3 1

0 1 + 4x −2

0 0 2

0 0 0

d)

2 −3 −1

0 1 1 + 4x

0 0 4

0 0 0

e)

3 −3 −2

0 −2 + 4x −1 + 4x

0 0 0

0 0 0











Respuesta:




1

−3

2

4

,v2 =

−1

0

5

−2

,v3 =

−3

−2

4

2



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

3 5

4 12

6 17

7 20

10 31



queda la ecuacion :

3m+ b = 5


Respuesta:



t h(t)

0. -0.94

1. -3.29994

2. -1.1683

3.5 -1.16019

5. -0.815775





Respuesta:


−14 1 1 0 0

−8 −1 1 1 0

−11 −1 0 4 1

30 3 1 −2 2




Respuesta:


x′ = −28x+ 9 y

y′ = −90x+ 29 y


x(0) = 2, y(0) = 1


Respuesta:





obrero.










1.

Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−2w + 11x− 2 y + z

4w − 16x

15w − 69x+ 6 y − 3 z

−8w + 44x− 8 y + 4 z


a.

−4

−6

−3

−15

b.

−18

−3

48

−72

c.

6

1

−16

24

d.

3

0

−9

12

e.

−5

4

24

−20

4






Respuesta:
















pone de 465. kilogramos de almedras, 675. kilogramos de

nueces, 315. kilogramos de nueces de la india, y 1545. ki-




Respuesta:


a)

8w + x+ 5 y − 3 z = −14

−32w − 4x− 15 y + 30 z = 82

24w + 3x+ 12 y − 19 z = −56

8w + x+ 6 y + 6 z = 2

b)

−w + x− 3 y + 8 z = 6

18w + 2x− 2 y + 16 z = 44

−5w + 5x− 14 y + 40 z = 28

−19w + 2x− 9 y + 16 z = −16



1) < 2,−2, 0, 2 > +Gen {< −8, 0, 1, 0 >}

2) < 2,−2, 0, 2 > +Gen {< 0,−8, 1, 0 >}

3) < 2,−2, 2, 0 > +Gen {< −8, 0, 0, 1 >}

4) < 2,−2, 2, 0 > +Gen {< 0,−8, 0, 1 >}

5) < 2, 0,−2, 2 > +Gen {< −8, 1, 0, 0 >}

6) < 2,−2, 2, 0 > +Gen {< 0, 0,−8, 1 >}

Respuesta:



a) XT ·C = D

b) C ·XT = DT

c) X ·C = D

d) XT ·CT = DT

e) X−1 ·C = D


1) X = D−1 ·C

2) X =(CT)−1·DT

3) X = DT ·(CT)−1

4) X = C ·D−1

5) X = C−1 ·D6) X = C ·D7) X = D ·C

8) X = D ·(C−1

)T9) X =

(CT)−1·D

10) X = D−1 ·C−1

11) X = D ·C−1

12) X = C−1 ·D−1

Respuesta:

4. Si

A =

[2 −1

3 −1

]

B =

[3 2

1 1

]

C =

[4 1

3 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



2


ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}b) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈

Gen {a1,a2}c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces


d) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente independiente.





g) Si [a1,a2,a3|b] tiene infinitas soluciones, entonces


h) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}


1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

−3 −1 1 −1

0 −1 3 1

0 0 −1 4 + 3x

b)

−3 3 −1 −1

0 −1 3 −2

0 0 0 −1 + x

c)

3 1 3 1

0 1 −1 −2

0 0 −2 + x 4

d)

1 4 1 1

0 3 −2 2 + x

0 0 0 −3

e)

3 −3 4 −2

0 −3 3 1

0 0 −1− x 2 + 2x




junto generador.




junto generador.



Respuesta:


p = −1 + a x− 3x3


p1 = 1− x2 + x3

p2 = −1 + x+ x2 + x3

p3 = −1 + x− 2x2 + x3

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

1 −1 −3

0 −1 1 + 2x

0 0 1

0 0 0

b)

−2 −3 1

0 1 + x 1 + x

0 0 0

0 0 0

c)

4 −1 4

0 3 + 2x 3 + 2x

0 0 3 + 2x

0 0 0

d)

2 −2 3

0 2 + x2 0

0 0 0

0 0 0

e)

4 −2 3

0 −2 −3

0 0 1 + x2

0 0 0












Respuesta:

9. Determine la distancia de P (2,−3,−1, 1) al espacio que


2

1

−2

−2

,v2 =

3

2

4

−3

,v3 =

3

5

2

5



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 5

3 11

5 16

6 22

9 32



queda la ecuacion :

2m+ b = 5


Respuesta:



t h(t)

0 1.0546

1 -0.00584401

2 -0.053023

4 0.205404



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


−12 3 0 0 0

16 0 3 0 0

4 1 2 5 1

−28 −2 −4 −4 1




Respuesta:


x′ = −13x+ 12 y

y′ = −16x+ 15 y


x(0) = 3, y(0) = 2


Respuesta:





obrero.










1.

Respuesta:


T

x

y

z

w

=

2x− 4 y + z

−4w + 12x

−15w + 41x+ 8 y − 2 z

6x− 12 y + 3 z


a.

3

9

15

6

b.

−1

−3

−5

−2

c.

15

−12

−75

45

d.

1

0

−2

3

e.

2

0

−4

6

4






Respuesta:





mezcla economica, mezcla especial y mezcla gourmet. Estas

mezclas se obtienen combinando grano hondureno, grano

brasileno y grano jamaquino. Para una bolsa de mezcla

economica requiere 300 g de hondureno y 200 g de brasi-


hondureno, 200 g de brasileno y 100 g de jamaquino. Para

una bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de hondureno,

300 g de brasileno y 100 g de jamaquino. El comerciante

dispone de 21 kg de grano hondureno, 22 kg de grano

brasileno, y 7 kg de grano jamaquino. Determina cuantas


lizarse todo el grano disponible. Reporta solo las bolsas de

la mezcla gourmet. Sugerencia: Primero maneje todo en

gramos y despues divida las ecuaciones entre 100 antes de

resolver.

Respuesta:


a)

2w + x+ 3 y + 3 z = −17

−7w + 3x+ 6 y + 9 z = −10

w − 4x− 10 y − 12 z = 40

7w − 5x− 10 y − 15 z = 26

b)

5w + x+ 3 y + 5 z = −33

9w + 3x+ 9 y + 14 z = −82

18w + 4x+ 12 y + 17 z = −113

−7w − 3x− 9 y − 10 z = 58



1) < 2,−5, 0,−2 > +Gen {< −3, 0, 1, 0 >}2) < 2,−5,−2, 0 > +Gen {< 0, 0,−3, 1 >}3) < 2, 0,−5,−2 > +Gen {< −3, 1, 0, 0 >}4) < 2,−5,−2, 0 > +Gen {< −3, 0, 0, 1 >}5) < 2,−5,−2, 0 > +Gen {< 0,−3, 0, 1 >}6) < 2,−5, 0,−2 > +Gen {< 0,−3, 1, 0 >}

Respuesta:



a) Y ·C = B

b) B ·Y = C

c) Y−1 ·B = C−1

d) Y−1 ·B−1 = C

e) B−1 ·Y−1 = C


1) Y = B−1 ·C

2) Y = C ·(B−1

)T3) Y = CT ·

(BT)−1

4) Y = B ·C−1

5) Y = B ·C6) Y = C ·B−1

7) Y =(BT)−1·CT

8) Y = CT ·B−1

9) Y = C−1 ·B−1

10) Y = C ·B11) Y = C−1 ·B12) Y = B−1 ·C−1

Respuesta:

4. Si

A =

[3 2

1 1

]

B =

[4 1

3 1

]

C =

[2 3

−1 −1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces


2


c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces 2 b ∈Gen {a1, 3 a3,a2}



e) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,


f) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c /∈ Gen {a1,a2}, entonces


g) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +


pendiente.

h) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}


1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

2 2 3 2

0 −2 4 2

0 0 −3 3− x

b)

3 1 −1 2

0 −1 −1 1− x0 0 0 −1

c)

4 −1 1 1

0 −2 −1 3

0 0 4 + 3x 4 + 3x

d)

−2 4 4 2

0 4 −2 3

0 0 1 + 2x −3

e)

2 −1 −1 −2

0 −1 −2 3

0 0 0 1 + 2x




junto generador.


junto generador.





Respuesta:

7. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-


1.

{[−1 −3

−5 2

],

[25 −27

−13 −8

],

[4 −5

−3 −1

]}

2.

{[4 −4

3 −6

],

[5 3

1 1

],

[4 −5

3 2

]}

3.

{[0 −1

6 0

],

[5 3

−1 −5

],

[−6 5

5 3

],

[4 4

2 2

]}

4.

{[−5 −4

0 −1

],

[−2 0

6 −6

],

[−1 0

1 −2

],

[19 16

13 −4

]}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−1 −2 2

0 2− 2x 3− 2x

0 0 0

0 0 0

b)

−3 −1 4

0 1 + x2 0

0 0 0

0 0 0

c)

4 −1 −2

0 −2 1 + x

0 0 0

0 0 0

d)

−2 −2 3

0 1− 2x 1− 2x

0 0 1− 2x

0 0 0

e)

4 4 −3

0 −1 −2− 2x

0 0 3

0 0 0












Respuesta:



0

5

−3

0

,v2 =

2

0

5

1

,v3 =

3

1

2

1



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

3 3

4 12

6 13

7 20

10 32



queda la ecuacion :

3m+ b = 3


Respuesta:



t h(t)

0. -0.77

1. -3.28154

2. -1.10297

3.5 -1.14513

5. -0.71656





Respuesta:


0 1 0 0 0

6 −5 6 1 0

5 1 2 9 1

−27 12 −6 −11 3




Respuesta:


x′ = −17x+ 8 y

y′ = −40x+ 19 y


x(0) = 3, y(0) = 2


Respuesta:





obrero.










1.

Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−5x+ y + z

−6w − 36x

7w + 17x+ 5 y + 5 z

30x− 6 y − 6 z

4


a.

−2

0

−10

12

b.

−2

1

−11

12

c.

2

3

11

−11

d.

2

−1

11

−12

e.

8

−12

54

−48






Respuesta:







obtienen combinando en diferentes proporciones esas semi-

llas. Para una bolsa de snacks del tipo 1 requiere 200 gra-

mos de almedras, 200 gramos de cacahuates, 200 gramos







El comerciante dispone de 652.5 kilogramos de almedras,

345. kilogramos de cacahuates, 585. kilogramos de nueces

de la india, y 1267.5 kilogramos de pistaches. Determina



Respuesta:


a)

5w + x− 5 y + 5 z = −27

16w + 2x− 10 y + 8 z = −58

13w + 3x− 15 y + 14 z = −73

−27w − 4x+ 20 y − 16 z = 106

b)

−w + x+ 2 y − 5 z = −3

−17w + 4x+ 11 y − 20 z = 2

12w − 4x− 11 y + 20 z = 8

10w − 2x− 7 y + 10 z = 2



1) < 3,−4,−2, 0 > +Gen {< 0, 5, 0, 1 >}

2) < 3,−4, 0,−2 > +Gen {< 5, 0, 1, 0 >}

3) < 3,−4,−2, 0 > +Gen {< 0, 0, 5, 1 >}

4) < 3, 0,−4,−2 > +Gen {< 5, 1, 0, 0 >}

5) < 3,−4, 0,−2 > +Gen {< 0, 5, 1, 0 >}

6) < 3,−4,−2, 0 > +Gen {< 5, 0, 0, 1 >}

Respuesta:



a) Z ·C−1 = A

b) A · Z = C

c) A−1 · Z−1 = C

d) A · ZT = C

e) C · Z = A


1) Z = C−1 ·A−1

2) Z = A−1 ·C3) Z = A ·C

4) Z = CT ·(AT

)−15) Z = C ·A−1

6) Z = C ·(A−1

)T7) Z =

(AT

)−1·CT

8) Z = A−1 ·CT

9) Z = C−1 ·A10) Z = A ·C−1

11) Z = A−1 ·C−1

12) Z = C ·A

Respuesta:

4. Si

A =

[2 3

−1 −1

]

B =

[3 1

2 1

]

C =

[4 3

1 1



B X + A Y = C


Respuesta:



2






d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = b,


e) Si [a1,a2|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2, c}es linealmente dependiente.

f) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces




h) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces



1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




a)

−3 4 2 −2

0 3 −3 1

0 0 −2− x 0

b)

3 4 −1 −3

0 3 + 3x 6 + 6x 3

0 0 0 0

c)

−1 −1 −2 −2

0 3 2 −2

0 0 −2 3 + 4x

d)

4 1 2 −3

0 4 3 −3

0 0 2 + 2x 3 + 2x

e)

4 −2 −2 4

0 1 −1 + 2x −2

0 0 0 0



1) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U ⊆ V.2) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U 6⊆ V.3) Para todo valor de x se tiene U ⊆ V.4) Para todo valor de x se tiene U 6⊆ V.

Respuesta:


A =

[1 + 3x 2 + x

3− 3x −3 + 3x


A1 =

[3 1

−3 3

]

A2 =

[2 −1

−2 −2

]

A3 =

[0 −1

2 0



B hay un unico valor.

C hay una infinidad de valores.



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−2 −1 −2

0 −1 −1 + x

0 0 3

0 0 0

b)

1 1 4

0 −1 3− 2x

0 0 0

0 0 0

c)

−2 −3 −1

0 −2 4

0 0 1 + x2

0 0 0

d)

−3 2 −3

0 3− 2x 3− 2x

0 0 3− 2x

0 0 0

e)

1 3 −3

0 −1− 2x −1− 2x

0 0 0

0 0 0












Respuesta:



−2

−3

−2

3

,v2 =

2

4

−1

0

,v3 =

−2

−1

1

−3



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

5 4

6 8

8 14

9 20

12 31



queda la ecuacion :

5m+ b = 4


Respuesta:



t h(t)

0 0.8646

1 -0.0638549

2 -0.162924

4 0.109105



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


0 −2 0 0 0

6 0 4 0 0

18 0 0 4 0

−12 6 0 0 4




Respuesta:


x′ = −39x+ 12 y

y′ = −126x+ 39 y


x(0) = 1, y(0) = −2


Respuesta:










Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−w + 11x− 6 y + z

3w − 15x

25w − 161x+ 36 y − 6 z

−5w + 55x− 30 y + 5 z


a.

2

1

−6

10

b.

1

0

−6

5

c.

−12

−9

15

−60

d.

−3

0

18

−15

e.

−2

−1

6

−10


4





Respuesta:
















pone de 457.5 kilogramos de almedras, 345. kilogramos de

nueces, 615. kilogramos de nueces de la india, y 1282.5 ki-




Respuesta:


a)

−5w + x− 3 y + 2 z = −3

−19w + 5x− 15 y + 5 z = −22

4w − x+ 3 y − 6 z = −20

−20w + 5x− 15 y + 8 z = −10

b)

−3w + x− 5 y + 3 z = −14

−15w + 5x− 23 y + 8 z = −81

12w − 4x+ 22 y − 19 z = 45

−9w + 3x− 17 y + 18 z = −25



1) < 2, 5, 0, 3 > +Gen {< 0, 3, 1, 0 >}

2) < 2, 5, 3, 0 > +Gen {< 3, 0, 0, 1 >}

3) < 2, 5, 3, 0 > +Gen {< 0, 3, 0, 1 >}

4) < 2, 0, 5, 3 > +Gen {< 3, 1, 0, 0 >}

5) < 2, 5, 3, 0 > +Gen {< 0, 0, 3, 1 >}

6) < 2, 5, 0, 3 > +Gen {< 3, 0, 1, 0 >}

Respuesta:



a) YT ·A = C

b) AT ·YT = C

c) A−1 ·Y−1 = C

d) YT ·AT = C

e) Y ·A−1 = C


1) Y = C−1 ·A2) Y = A−1 ·C−1

3) Y = A−1 ·C4) Y = C ·A5) Y = A ·C−1

6) Y = C ·(A−1

)T7) Y = C−1 ·A−1

8) Y = A−1 ·CT

9) Y =(AT

)−1·CT

10) Y = A ·C11) Y = C ·A−1

12) Y = CT ·A−1

Respuesta:

4. Si

A =

[2 −1

3 −1

]

B =

[3 1

2 1

]

C =

[4 3

1 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-


2




d) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente dependiente.

e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

f) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1, 5 a2|4 c] es inconsistente,


g) Si [a1,a2, 3 a3|2 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

h) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = b,



1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

4 −2 −3 4

0 1 −2 −1

0 0 0 2 + 4x

b)

−2 1 4 1

0 1 1 −2

0 0 1 + x −3

c)

2 1 4 −1

0 1 −3 −2 + x

0 0 0 3

d)

3 3 4 −3

0 −2 3 −1

0 0 3 3 + x

e)

1 1 3 3

0 2 −1 −2

0 0 1 + 2x 4 + 8x






junto generador.




junto generador.

Respuesta:

7. Si

p1 = 19 + 9x, p2 = 4 + 3x, p3 = 5 + 2x, p4 = 38 + 18x


1. p2 ∈ Gen {p1, p3} 2. p4 ∈ Gen {p3}3. p2 ∈ Gen {p1, p4} 4. p1 ∈ Gen {p2, p3}5. p4 ∈ Gen {p1} 6. p1 ∈ Gen {p4}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−3 −1 2

0 1 + x 1 + x

0 0 1 + x

0 0 0

b)

1 2 −3

0 4 + x2 0

0 0 0

0 0 0

c)

3 −2 3

0 2 + 4x 3 + 4x

0 0 0

0 0 0

d)

1 −1 −1

0 −2 −2

0 0 3 + x2

0 0 0

e)

3 1 3

0 −1 + 2x −1 + 2x

0 0 0

0 0 0











Respuesta:




−1

−3

4

−1

,v2 =

5

−3

4

5

,v3 =

3

3

5

−2



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 5

3 9

5 17

6 18

9 28



queda la ecuacion :

2m+ b = 5


Respuesta:



t h(t)

0. -0.99

1. -3.33295

2. -1.07526

3.5 -1.14185

5. -0.813309





Respuesta:


0 4 0 0 0

2 −6 6 0 0

8 −18 0 6 0

−20 50 0 0 6




Respuesta:


x′ = −10x+ 2 y

y′ = −24x+ 4 y


x(0) = −1, y(0) = 2


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

8w − 38x− 6 y + z

6w − 24x

85w − 376x− 36 y + 6 z

32w − 152x− 24 y + 4 z


a.

−2

2

0

−8

b.

3

−4

−11

13

c.

3

6

55

12

d.

1

0

6

4

e.

−1

1

0

−4

4






Respuesta:








del tipo 1 requiere 50 gramos de manzana, 50 gramos de

papaya, 200 gramos de pasas, 150 gramos de pera y 550

gramos de pina. Para una bolsa del tipo 2 requiere 250


pasas, 100 gramos de pera y 450 gramos de pina. Y para

una bolsa del tipo 3 requiere 200 gramos de manzana, 50

gramos de papaya, 150 gramos de pasas, 50 gramos de pe-

ra y 550 gramos de pina. El comerciante dispone de 300.

kilogramos de manzana, 67.5 kilogramos de papaya, 210.

kilogramos de pasas, 135. kilogramos de pera, y 637.5 kilo-

gramos de pina. Determina cuantas bolsas de cada mezcla

se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el fruto

deshidratado disponible.

Respuesta:


a)

−9w + x+ 3 y − z = −16

54w − 2x− 3 y + 6 z = 37

180w − x+ 2 y + 20 z = 86

−108w − 5x− 20 y − 12 z = 20

b)

−5w + x− 4 y + 9 z = −1

−9w + 4x− 20 y + 36 z = 71

2w − 2x+ 12 y − 18 z = −58

−32w + 5x− 18 y + 45 z = −50



1) < 4, 0,−5, 5 > +Gen {< −9, 1, 0, 0 >}

2) < 4,−5, 5, 0 > +Gen {< −9, 0, 0, 1 >}

3) < 4,−5, 5, 0 > +Gen {< 0, 0,−9, 1 >}

4) < 4,−5, 0, 5 > +Gen {< −9, 0, 1, 0 >}

5) < 4,−5, 5, 0 > +Gen {< 0,−9, 0, 1 >}

6) < 4,−5, 0, 5 > +Gen {< 0,−9, 1, 0 >}

Respuesta:



a) X ·C−1 = D

b) XT ·C = DT

c) X−1 ·C−1 = D−1

d) C−1 ·X−1 = D

e) X ·C = D


1) X = D−1 ·C−1

2) X = C ·D−1

3) X = C−1 ·D−1

4) X =(CT)−1·DT

5) X = D ·C−1

6) X = C−1 ·DT

7) X = D−1 ·C

8) X = D ·(C−1

)T9) X =

(CT)−1·D

10) X = D ·C11) X = C ·D12) X = C−1 ·D

Respuesta:

4. Si

A =

[4 1

3 1

]

B =

[3 2

1 1

]

C =

[4 3

1 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



2

a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces


b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces


c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-

ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces 5 b ∈

Gen {a1, 5 a3,a2}e) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces




h) Si b /∈ Gen {a1,a2}y [a1, 3 a2|5 c] es consistente, en-



1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:




V = Gen {b,a1,a2,a3} .

a)

2 3 −2 −1

0 4 −1 4

0 0 −2 + x −4 + 2x

b)

2 −1 1 −3

0 3 −2 −2

0 0 2− x −3

c)

−2 −1 3 2

0 −3 −2 2

0 0 −2 4 + 2x

d)

−2 1 −3 3

0 2 3 −1

0 0 0 1− x

e)

−3 −1 1 2

0 1 2 2− x0 0 0 3






junto generador.


junto generador.



Respuesta:


A =

[1 + x 2 + 3x

−2 + 3x −2 + 2x


A1 =

[1 3

3 2

]

A2 =

[−3 2

0 2

]

A3 =

[0 −3

3 2







V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−2 −3 3

0 1 4

0 0 3 + x2

0 0 0

b)

−2 −1 4

0 1 3 + 3x

0 0 0

0 0 0

c)

2 −3 2

0 −2− 2x −2− 2x

0 0 −2− 2x

0 0 0

d)

4 2 1

0 −1 + 2x −3

0 0 −2

0 0 0

e)

−1 −2 −2

0 2− x 3− x0 0 0

0 0 0












Respuesta:



−2

5

−3

4

,v2 =

0

4

5

1

,v3 =

3

3

4

1



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

5 5

6 11

8 14

9 18

12 29



queda la ecuacion :

5m+ b = 5


Respuesta:



t h(t)

0. -0.81

1. -3.32776

2. -1.02409

3.5 -1.09297

5. -0.714338





Respuesta:


−4 4 0 0 0

−7 −4 5 0 0

−9 −8 2 8 1

45 33 −6 −9 2




Respuesta:


x′ = −7x+ 3 y

y′ = −6x+ 2 y


x(0) = −2, y(0) = 2


Respuesta:
















Respuesta:

4


T

x

y

z

w

=

3w + 7x+ y + z

2w + 4x

−4w − 9x− y − z−6w − 14x− 2 y − 2 z


a.

6

−4

−4

−12

b.

1

0

−1

−2

c.

12

10

−10

−26

d.

−3

2

2

6

e.

−6

−5

5

13






Respuesta:




1. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de

cafe: mezcla economica, mezcla especial y mezcla gourmet.

Estas mezclas se obtienen combinando grano mexicano,

grano brasileno y grano etıope. Para una bolsa de mezcla

economica requiere 300 g de mexicano y 200 g de brasi-


mexicano, 100 g de brasileno y 100 g de etıope. Para una

bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de mexicano, 300

g de brasileno y 100 g de etıope. El comerciante dispone de

23 kg de grano mexicano, 15 kg de grano brasileno, y 7 kg

de grano etıope. Determina cuantas bolsas de cada mezcla

se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el grano

disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla gourmet.

Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y despues

divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.

Respuesta:


a)

2w + x+ 2 y + 2 z = −2

−3w + x+ 2 y + 6 z = −34

2w + 5x+ 10 y + 13 z = −51

−5w − x− 2 y + 3 z = −25

b)

−4w + x− 2 y + 3 z = 14

−26w + 5x− 13 y + 15 z = 79

16w − 3x+ 8 y − 14 z = −68

−22w + 5x− 11 y + 14 z = 69



1) < −4, 0,−3, 4 > +Gen {< −2, 1, 0, 0 >}2) < −4,−3, 0, 4 > +Gen {< −2, 0, 1, 0 >}3) < −4,−3, 4, 0 > +Gen {< 0,−2, 0, 1 >}4) < −4,−3, 0, 4 > +Gen {< 0,−2, 1, 0 >}5) < −4,−3, 4, 0 > +Gen {< 0, 0,−2, 1 >}6) < −4,−3, 4, 0 > +Gen {< −2, 0, 0, 1 >}

Respuesta:



a) A−1 · Z−1 = C

b) Z ·C = A

c) ZT ·A = C

d) A−1 · Z = C

e) A · ZT = C


1) Z = C ·A−1

2) Z = C−1 ·A−1

3) Z = A−1 ·C4) Z = C−1 ·A5) Z = C ·A6) Z = A ·C

7) Z =(AT

)−1·C

8) Z =(AT

)−1·CT

9) Z = A−1 ·C−1

10) Z = C ·(A−1

)T11) Z = A ·C−1

12) Z = CT ·(AT

)−1Respuesta:

4. Si

A =

[2 −1

3 −1

]

B =

[4 1

3 1

]

C =

[2 −1

3 −1



B X + A Y = C


Respuesta:





2

b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.

c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c /∈ Gen {a1,a2}, entonces



e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = b,




g) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-





1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:




a)

−3 1 3 −2

0 2 3 −1

0 0 −2 + 3x −6 + 9x

b)

−3 −1 −2 4

0 2 2 3

0 0 2 1 + 3x

c)

−2 −2 2 2

0 1 1 −2 + x

0 0 0 −2

d)

3 2 −1 2

0 2 1 1

0 0 1 + 2x 4

e)

−2 2 2 −1

0 2 1 2

0 0 0 4 + 4x











Respuesta:


p = 2 + a x+ 10x3


p1 = 1 + 3x2 + x3

p2 = −1 + x− 3x2 + x3

p3 = −1 + x+ 5x2 + x3

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

1 1 4

0 3 1 + x

0 0 −3

0 0 0

b)

3 2 2

0 3− 2x 3− 2x

0 0 0

0 0 0

c)

−1 −2 −1

0 3 + x2 0

0 0 0

0 0 0

d)

3 4 3

0 −1− 2x −1− 2x

0 0 −1− 2x

0 0 0

e)

−2 −2 1

0 −1 + x 2

0 0 −1

0 0 0











Respuesta:




5

−1

0

5

,v2 =

2

−2

2

3

,v3 =

0

4

2

4



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 4

3 8

5 17

6 18

9 32



queda la ecuacion :

2m+ b = 4


Respuesta:



t h(t)

0 0.8946

1 -0.00897016

2 -0.054896

4 0.0676395



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


−9 8 0 0 0

−22 5 3 1 0

−62 15 −7 7 1

−71 18 −8 0 8




Respuesta:


x′ = −12x+ 5 y

y′ = −30x+ 13 y


x(0) = −1, y(0) = −1


Respuesta:










Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−2w + 14x+ 5 y + z

−4w + 24x

25w − 154x− 10 y − 2 z

−12w + 84x+ 30 y + 6 z


a.

3

−4

15

18

b.

−6

−1

17

−36

c.

−3

4

−15

−18

d.

−2

−5

24

−13

e.

2

0

−4

12






Respuesta:

4














mos de cacahuates, 300 gramos de nueces y 400 gramos

de pistaches. El comerciante dispone de 315. kilogramos

de almedras, 255. kilogramos de cacahuates, 375. kilogra-

mos de nueces, y 405. kilogramos de pistaches. Determina



Respuesta:


a)

9w + x− 4 y + 4 z = −2

27w + 3x− 11 y + 8 z = −17

−18w − 2x+ 13 y − 14 z = 5

−18w − 2x+ 6 y − 9 z = −10

b)

4w + x+ 9 y − z = 13

4w + 2x+ 18 y + z = 25

−15w − 5x− 45 y + z = −65

−25w − 5x− 45 y + 7 z = −75



1) < 2, 5, 4, 0 > +Gen {< −9, 0, 0, 1 >}2) < 2, 0, 5, 4 > +Gen {< −9, 1, 0, 0 >}3) < 2, 5, 4, 0 > +Gen {< 0, 0,−9, 1 >}4) < 2, 5, 0, 4 > +Gen {< −9, 0, 1, 0 >}5) < 2, 5, 0, 4 > +Gen {< 0,−9, 1, 0 >}6) < 2, 5, 4, 0 > +Gen {< 0,−9, 0, 1 >}

Respuesta:



a) C−1 ·Y−1 = D

b) Y−1 ·C−1 = D

c) Y ·C = D

d) YT ·CT = DT

e) C ·Y−1 = D−1


1) Y =(CT)−1·D

2) Y = C−1 ·D

3) Y =(CT)−1·DT

4) Y = D ·(C−1

)T5) Y = D ·C6) Y = D−1 ·C−1

7) Y = D−1 ·C8) Y = C ·D9) Y = C ·D−1

10) Y = C−1 ·D−1

11) Y = DT ·(CT)−1

12) Y = D ·C−1

Respuesta:

4. Si

A =

[4 1

3 1

]

B =

[2 −1

3 −1

]

C =

[3 2

1 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces 2 b ∈Gen {a1, 3 a3,a2}

2



pendiente.



d) Si b /∈ Gen {a1,a2}y [a1, 5 a2|4 c] es consistente, en-




f) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-

ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}g) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}

es linealmente dependiente.

h) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces



1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:




a)

−3 −1 −1 3

0 −2 2 −2

0 0 0 3− 2x

b)

1 3 −1 1

0 1 4 3

0 0 −3 4− 2x

c)

−2 3 −3 −3

0 −2 4 −2 + 2x

0 0 0 −1

d)

4 1 4 4

0 −1 1 1

0 0 3 + x 6 + 2x

e)

4 2 1 2

0 3 4 4

0 0 2 + 4x −2











Respuesta:

7. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-


1.

{[6 0

−3 −2

],

[0 4

0 5

],

[−2 −4

5 4

]}

2.

{[3 −4

3 −3

],

[−9 6

−39 −27

],

[0 1

5 6

]}

3.

{[−5 −1

1 −6

],

[1 16

13 8

],

[−4 2

4 −2

],

[−1 −2

3 6

]}

4.

{[4 −4

2 −6

],

[−4 −5

−5 6

],

[1 −6

1 −5

],

[−3 5

−2 −1

]}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−1 2 −1

0 −1− x −x0 0 0

0 0 0

b)

−2 −3 −3

0 2− x 2− x0 0 2− x0 0 0

c)

2 1 −2

0 2 −1 + x

0 0 0

0 0 0

d)

−1 −2 −3

0 −2 4 + x

0 0 −3

0 0 0

e)

4 3 −1

0 4 + x2 0

0 0 0

0 0 0











Respuesta:




−3

2

−3

0

,v2 =

3

4

4

1

,v3 =

−1

1

4

−3



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

3 5

4 9

6 15

7 20

10 30



queda la ecuacion :

3m+ b = 5


Respuesta:



t h(t)

0 0.8846

1 0.0151506

2 -0.0902669

4 0.123353



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


0 1 0 0 0

2 −2 3 0 0

0 3 2 4 1

−4 3 −2 −1 2




Respuesta:


x′ = −7x+ 3 y

y′ = −6x+ 2 y


x(0) = −2, y(0) = −1


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

10w + 51x− 3 y + z

−3w − 15x

−18w − 91x+ 3 y − z−50w − 255x+ 15 y − 5 z


a.

5

−3

−13

−25

b.

9

−18

−48

−48

c.

−2

0

2

10

d.

4

1

−1

−20

e.

−3

6

16

16


4





Respuesta:





mezclas de frutas deshidratadas: ciruela, manzana, pasas,




manzana, 150 gramos de pasas, 200 gramos de pera y 450

gramos de pina. Para una bolsa del tipo 2 requiere 50 gra-

mos de ciruela, 100 gramos de manzana, 100 gramos de

pasas, 150 gramos de pera y 600 gramos de pina. Y para

una bolsa del tipo 3 requiere 50 gramos de ciruela, 200

gramos de manzana, 250 gramos de pasas, 250 gramos de

pera y 250 gramos de pina. El comerciante dispone de 97.5

kilogramos de ciruela, 135. kilogramos de manzana, 180.

kilogramos de pasas, 232.5 kilogramos de pera, y 555. kilo-

gramos de pina. Determina cuantas bolsas de cada mezcla

se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el fruto

deshidratado disponible.

Respuesta:


a)

w + x− 4 y + 32 z = −16

−22w − 5x+ 17 y − 136 z = 136

−10w + 5x− 22 y + 176 z = −28

19w − x+ 7 y − 56 z = −52

b)

−w + x− 5 y − 8 z = −12

9w + 4x− 22 y − 32 z = −108

−24w + x− 8 z = 100

−18w + 5x− 22 y − 40 z = 4



1) < 4, 4,−4, 0 > +Gen {< 0, 0, 8, 1 >}

2) < 4, 4, 0,−4 > +Gen {< 0, 8, 1, 0 >}

3) < 4, 4,−4, 0 > +Gen {< 0, 8, 0, 1 >}

4) < 4, 4, 0,−4 > +Gen {< 8, 0, 1, 0 >}

5) < 4, 0, 4,−4 > +Gen {< 8, 1, 0, 0 >}

6) < 4, 4,−4, 0 > +Gen {< 8, 0, 0, 1 >}

Respuesta:



a) BT ·YT = D

b) Y−1 ·B−1 = D

c) YT ·BT = D

d) B ·Y−1 = D

e) YT ·B = D


1) Y = B−1 ·DT

2) Y = B ·D−1

3) Y = D−1 ·B4) Y = B ·D5) Y = DT ·B−1

6) Y = D−1 ·B−1

7) Y = D ·B−1

8) Y = B−1 ·D9) Y = D ·B

10) Y = DT ·(BT)−1

11) Y =(BT)−1·DT

12) Y = B−1 ·D−1

Respuesta:

4. Si

A =

[4 3

1 1

]

B =

[4 1

3 1

]

C =

[3 1

2 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



2

a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces 2 b ∈Gen {a1, 3 a3,a2}





e) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces


f) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente independiente.






1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:




a)

1 1 −1 1

0 1 2 −3

0 0 1− 2x 4

b)

4 4 −2 −1

0 1 −1 −1

0 0 −3 −1 + 3x

c)

−3 −3 3 1

0 2 2 4

0 0 0 1− 2x

d)

−1 4 1 1

0 −3 −3 −3

0 0 2 + 4x 4 + 8x

e)

3 2 2 −2

0 −1 3 −1 + 2x

0 0 0 −1











Respuesta:


A =

[−3 + x 3x

2 + 2x 2


A1 =

[1 3

2 0

]

A2 =

[3 −2

−3 −2

]

A3 =

[1 0

3 −3







V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

3 1 3

0 −1 4− 2x

0 0 −1

0 0 0

b)

1 3 4

0 −2 −3

0 0 3 + x2

0 0 0

c)

−1 −3 −3

0 −2 + 4x −2 + 4x

0 0 0

0 0 0

d)

−2 −1 3

0 2− x 3− x0 0 0

0 0 0

e)

−1 1 −3

0 −2 + 2x −2 + 2x

0 0 −2 + 2x

0 0 0












Respuesta:



4

5

5

−2

,v2 =

5

4

4

2

,v3 =

4

−1

0

4



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 4

3 9

5 14

6 21

9 29



queda la ecuacion :

2m+ b = 4


Respuesta:



t h(t)

0. -1.03

1. -3.31052

2. -1.05996

3.5 -1.20005

5. -0.734783





Respuesta:


0 −3 0 0 0

7 14 4 0 0

0 −13 2 6 1

−14 5 −4 −4 2




Respuesta:


x′ = −9x+ 2 y

y′ = −12x+ y


x(0) = 1, y(0) = 3


Respuesta:
















Respuesta:

4


T

x

y

z

w

=

−w + 6x− 5 y + z

−w + 5x

−3w + 14x+ 5 y − z−5w + 30x− 25 y + 5 z


a.

3

1

2

15

b.

2

−1

−6

10

c.

4

−2

−12

20

d.

3

0

−3

15

e.

9

3

6

45






Respuesta:









de almedras, 300 gramos de nueces, 200 gramos de nue-

ces de la india y 200 gramos de pistaches. Para una bolsa

del tipo 2 requiere 250 gramos de almedras, 50 gramos de





pone de 502.5 kilogramos de almedras, 352.5 kilogramos

de nueces, 187.5 kilogramos de nueces de la india, y 757.5




Respuesta:


a)

−w + x+ 3 y + 15 z = 5

13w + 2x+ 10 y + 50 z = 71

16w + 4x+ 15 y + 75 z = 92

w + 4x+ 14 y + 70 z = 43

b)

−2w + x+ 3 y + 5 z = 2

24w − 5x− 20 y − 25 z = 12

−5w − 4x− 7 y − 20 z = −27

−2w + 4x+ 10 y + 20 z = 18



1) < −4, 4, 0, 3 > +Gen {< −5, 0, 1, 0 >}

2) < −4, 4, 3, 0 > +Gen {< −5, 0, 0, 1 >}

3) < −4, 4, 0, 3 > +Gen {< 0,−5, 1, 0 >}

4) < −4, 0, 4, 3 > +Gen {< −5, 1, 0, 0 >}

5) < −4, 4, 3, 0 > +Gen {< 0, 0,−5, 1 >}

6) < −4, 4, 3, 0 > +Gen {< 0,−5, 0, 1 >}

Respuesta:



a) C · Z = B

b) ZT ·B = CT

c) Z−1 ·B = C

d) Z−1 ·B−1 = C

e) B−1 · Z−1 = C


1) Z = C−1 ·B−1

2) Z = C ·(B−1

)T3) Z = B−1 ·C−1

4) Z = B ·C−1

5) Z = B−1 ·CT

6) Z =(BT)−1·CT

7) Z =(BT)−1·C

8) Z = C−1 ·B9) Z = C ·B−1

10) Z = C ·B11) Z = B ·C12) Z = B−1 ·C

Respuesta:

4. Si

A =

[3 2

1 1

]

B =

[4 1

3 1

]

C =

[2 3

−1 −1



B X + A Y = C


Respuesta:



2


sistente.

b) Si [a1,a2|c] tiene infinitas soluciones, entonces






e) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1, 5 a2|5 c] es inconsistente,



g) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

h) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-



1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:




a)

−1 3 4 4

0 −2 1 1− x0 0 0 2

b)

4 −2 −2 1

0 3 −1 3

0 0 4 + 3x 4

c)

2 −2 −3 4

0 −2 −3 1

0 0 2 2 + 2x

d)

3 −2 3 1

0 −3 2 −2

0 0 0 3 + x

e)

−3 2 3 2

0 −2 4 4

0 0 −2− x −2− x











Respuesta:



1.

{[−3 −2

−5 3

],

[−5 2

−1 −1

],

[−5 4

−5 −5

],

[5 3

−6 5

]}

2.

{[2 −3

−5 5

],

[−1 14

13 −14

],

[5 5

−2 1

]}

3.

{[1 −3

−4 6

],

[5 −6

−6 −1

],

[0 −1

−1 −5

]}

4.

{[−4 11

−2 9

],

[−2 1

4 1

],

[1 −3

3 −2

],

[0 4

0 4

]}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

4 −1 2

0 2 + 2x 3 + 2x

0 0 0

0 0 0

b)

3 −1 −1

0 4 1 + 2x

0 0 −2

0 0 0

c)

−3 −2 −2

0 4 −2

0 0 1 + x2

0 0 0

d)

−1 4 −2

0 −1 + 2x −1 + 2x

0 0 −1 + 2x

0 0 0

e)

4 −1 1

0 2 + 3x 2 + 3x

0 0 0

0 0 0












Respuesta:



1

−2

5

−1

,v2 =

−1

4

5

−1

,v3 =

3

4

−2

4



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

4 3

5 11

7 14

8 21

11 32



queda la ecuacion :

4m+ b = 3


Respuesta:



t h(t)

0. -0.95

1. -3.31943

2. -1.23966

3.5 -1.14066

5. -0.816532





Respuesta:


−3 3 1 0 0

11 −16 −5 0 0

32 −33 −22 6 0

45 −31 −23 0 6




Respuesta:


x′ = −22x+ 9 y

y′ = −42x+ 17 y


x(0) = −1, y(0) = 1


Respuesta:










Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−2w + 8x+ y + z

−3w + 18x

−4w + 8x+ 4 y + 4 z

−12w + 48x+ 6 y + 6 z


a.

5

1

19

30

b.

4

3

12

24

c.

−2

0

−8

−12

d.

−5

−1

−19

−30

e.

4

−6

26

22

4






Respuesta:









gramos de almedras, 300 gramos de cacahuates, 50 gramos







El comerciante dispone de 585. kilogramos de almedras,

352.5 kilogramos de cacahuates, 142.5 kilogramos de nue-

ces de la india, y 1170. kilogramos de pistaches. Determina



Respuesta:


a)

7w + x− 5 y + 3 z = 3

−28w − 4x+ 22 y − 5 z = 29

−21w − 3x+ 14 y − 18 z = −57

35w + 5x− 30 y − 4 z = −95

b)

28w + x+ 4 y + z = 20

21w + 2x+ 3 y + 8 z = 55

42w + x+ 6 y − 6 z = −9

−63w − 2x− 9 y + 2 z = −23



1) < 3, 3, 0, 5 > +Gen {< 0,−7, 1, 0 >}

2) < 3, 3, 5, 0 > +Gen {< 0, 0,−7, 1 >}

3) < 3, 3, 5, 0 > +Gen {< −7, 0, 0, 1 >}

4) < 3, 3, 0, 5 > +Gen {< −7, 0, 1, 0 >}

5) < 3, 3, 5, 0 > +Gen {< 0,−7, 0, 1 >}

6) < 3, 0, 3, 5 > +Gen {< −7, 1, 0, 0 >}

Respuesta:



a) X ·A−1 = C

b) A ·X−1 = C

c) XT ·A = C

d) A−1 ·X−1 = C

e) XT ·A = CT


1) X = A−1 ·C2) X = C−1 ·A−1

3) X = C ·A−1

4) X = A−1 ·CT

5) X = A ·C−1

6) X =(AT

)−1·CT

7) X = C ·(A−1

)T8) X = A ·C9) X = C ·A

10) X = A−1 ·C−1

11) X =(AT

)−1·C

12) X = C−1 ·A

Respuesta:

4. Si

A =

[3 2

1 1

]

B =

[2 −1

3 −1

]

C =

[4 1

3 1



B X + A Y = C


Respuesta:



2

a) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c /∈ Gen {a1,a2}, entonces


b) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,


c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces 3 b ∈Gen {a1, 5 a3,a2}

d) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}










1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




a)

−2 2 1 4

0 1 4 3

0 0 0 4 + x

b)

2 −3 2 2

0 −1 2 −2

0 0 4 −2− x

c)

2 −2 3 1

0 −1 4 −1

0 0 2 + x 3

d)

−3 −3 −2 2

0 4 −3 −2 + 2x

0 0 0 −2

e)

4 −2 −1 1

0 3 −2 −2

0 0 3− 2x 9− 6x





pertenece a V.



tenece a V.

Respuesta:


A =

[3− 2x 2x

−3− 2x 1− 3x


A1 =

[−2 2

−2 −3

]

A2 =

[−1 2

3 −2

]

A3 =

[−1 3

2 −3


A hay una infinidad de valores.

B hay un unico valor.




V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−2 4 −3

0 −1 2− 2x

0 0 0

0 0 0

b)

−1 −3 1

0 4 + 4x 4 + 4x

0 0 0

0 0 0

c)

−2 3 −1

0 3− 2x 4− 2x

0 0 0

0 0 0

d)

−3 1 1

0 −1 + x −1 + x

0 0 −1 + x

0 0 0

e)

−2 1 2

0 2 + x2 0

0 0 0

0 0 0












Respuesta:



2

−2

−1

−1

,v2 =

4

1

−1

5

,v3 =

1

3

4

5



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

2 3

3 8

5 16

6 22

9 32



queda la ecuacion :

2m+ b = 3


Respuesta:



t h(t)

0 1.0046

1 0.033392

2 -0.0345422

4 0.109286



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


−4 0 0 0 0

15 3 2 1 0

6 0 2 4 1

−38 −4 −4 −6 0




Respuesta:


x′ = −10x+ 3 y

y′ = −14x+ 3 y


x(0) = 1, y(0) = −1


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

3w + 10x+ 4 y + z

−6w − 12x

13w + 10x− 16 y − 4 z

−6w − 20x− 8 y − 2 z

4


a.

−4

1

12

8

b.

6

−6

1

−12

c.

2

0

−8

−4

d.

1

0

−4

−2

e.

2

−6

19

−3






Respuesta:





clas de semillas tostadas y saladas de cacahuates, nueces,

nueces de la india y pistaches. Estas mezclas se obtienen


una bolsa de snacks del tipo 1 requiere 300 gramos de ca-

cahuates, 50 gramos de nueces, 50 gramos de nueces de la

india y 600 gramos de pistaches. Para una bolsa del tipo 2

requiere 50 gramos de cacahuates, 250 gramos de nueces,


ches. Y para una bolsa del tipo 3 requiere 200 gramos de

cacahuates, 300 gramos de nueces, 300 gramos de nueces


pone de 645. kilogramos de cacahuates, 630. kilogramos de

nueces, 405. kilogramos de nueces de la india, y 1920. ki-




Respuesta:


a)

w + x+ 3 y − 3 z = 3

3w + x− 2 y + 2 z = −25

−2w − x+ y − z = 17

−w − 4x− 16 y + 16 z = −40

b)

3w + x+ 4 y − 3 z = 23

2x+ 12 y = 38

−8w − 5x− 23 y + 8 z = −99

−17w − 4x− 13 y + 17 z = −100



1) < −5, 4,−4, 0 > +Gen {< 0, 0, 1, 1 >}

2) < −5, 4,−4, 0 > +Gen {< 0, 1, 0, 1 >}

3) < −5, 0, 4,−4 > +Gen {< 1, 1, 0, 0 >}

4) < −5, 4, 0,−4 > +Gen {< 0, 1, 1, 0 >}

5) < −5, 4,−4, 0 > +Gen {< 1, 0, 0, 1 >}

6) < −5, 4, 0,−4 > +Gen {< 1, 0, 1, 0 >}

Respuesta:



a) Z ·D−1 = A

b) A · ZT = D

c) AT · ZT = D

d) Z ·D = A

e) ZT ·A = D


1) Z = A ·D

2) Z = DT ·(AT

)−13) Z = DT ·A−1

4) Z =(AT

)−1·D

5) Z = A ·D−1

6) Z =(AT

)−1·DT

7) Z = A−1 ·D8) Z = D−1 ·A−1

9) Z = D−1 ·A10) Z = A−1 ·D−1

11) Z = D ·A−1

12) Z = D ·A

Respuesta:

4. Si

A =

[3 1

2 1

]

B =

[3 2

1 1

]

C =

[3 2

1 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



2

a) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1+c2a2+c3a3 = b,


b) Si [a1,a2|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2, c}es linealmente dependiente.

c) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-



e) Si [a1,a2, 5 a3|2 b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

f) Si [a1,a2,a3|b] tiene infinitas soluciones, entonces


g) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c ∈ Gen {a1,b}, entonces


h) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces



1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




a)

3 4 −2 4

0 −1 −3 2

0 0 −2 1 + 3x

b)

3 1 −1 2− x0 −2 1 −1

0 0 0 0

c)

3 −1 3 −1

0 3 1 2

0 0 1 + 4x 0

d)

−1 −2 −1 −1

0 3 + 3x 6 + 6x −3

0 0 0 0

e)

4 3 4 −1

0 −2− 2x −2− 2x −6− 6x

0 0 0 0



1) Para todo valor de x se tiene U 6⊆ V.2) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U 6⊆ V.3) Para todo valor de x se tiene U ⊆ V.4) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U ⊆ V.

Respuesta:

7. Si

A1 =

[1 −3

0 −3

]A2 =

[5 −1

6 0

]

A3 =

[6 −4

6 −3

]A4 =

[2 −6

0 −6


1. A4 ∈ Gen{A1} 2. A1 ∈ Gen{A2, A3}3. A3 ∈ Gen{A1, A2} 4. A1 ∈ Gen{A4}5. A2 ∈ Gen{A1, A4} 6. A4 ∈ Gen{A2, A3}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

3 4 1

0 4 + x2 0

0 0 0

0 0 0

b)

4 −2 3

0 −1 + 3x 3x

0 0 0

0 0 0

c)

−1 4 −2

0 4 + x 4 + x

0 0 4 + x

0 0 0

d)

−1 4 2

0 1 −1 + 4x

0 0 1

0 0 0

e)

−1 −3 −1

0 1 −3

0 0 1 + x2

0 0 0











Respuesta:




2

−2

1

4

,v2 =

2

5

1

−3

,v3 =

4

−1

0

3



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

4 4

5 12

7 15

8 22

11 32



queda la ecuacion :

4m+ b = 4


Respuesta:



t h(t)

0. -0.79

1. -3.28217

2. -1.03689

3.5 -1.12751

5. -0.76838





Respuesta:


1 −4 1 0 0

1 −1 −2 0 0

3 3 10 5 1

−12 −1 −23 −9 −1




Respuesta:


x′ = −19x+ 9 y

y′ = −42x+ 20 y


x(0) = 1, y(0) = 1


Respuesta:










Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−7w − 20x+ 2 y + z

5w + 10x

−51w − 138x+ 12 y + 6 z

14w + 40x− 4 y − 2 z


a.

−2

5

−21

4

b.

−10

8

−66

22

c.

1

0

6

−2

d.

−5

4

−33

11

e.

−4

10

−42

8






Respuesta:

4





clas de frutas deshidratadas: ciruela, manzana, pasas, pina




manzana, 150 gramos de pasas, 250 gramos de pina y 350


gramos de ciruela, 250 gramos de manzana, 250 gramos

de pasas, 150 gramos de pina y 250 gramos de platano. Y

para una bolsa del tipo 3 requiere 250 gramos de ciruela,

50 gramos de manzana, 200 gramos de pasas, 100 gramos

de pina y 400 gramos de platano. El comerciante dispone

de 412.5 kilogramos de ciruela, 240. kilogramos de manza-

na, 442.5 kilogramos de pasas, 262.5 kilogramos de pina,

y 742.5 kilogramos de platano. Determina cuantas bolsas



Respuesta:


a)

−24w + x− 2 y + 4 z = −1

−54w − x− 2 y + 9 z = 15

−24w + 5x− 5 y + 4 z = −22

−210w + 5x− 14 y + 35 z = 13

b)

−5w + x− 6 y − 4 z = −25

−32w + 5x− 30 y − 19 z = −136

7w + 2x− 12 y − 12 z = −28

−2w − 2x+ 12 y + 11 z = 35



1) < −3, 3, 2, 0 > +Gen {< 0, 0, 6, 1 >}

2) < −3, 3, 2, 0 > +Gen {< 0, 6, 0, 1 >}

3) < −3, 3, 2, 0 > +Gen {< 6, 0, 0, 1 >}

4) < −3, 3, 0, 2 > +Gen {< 6, 0, 1, 0 >}

5) < −3, 0, 3, 2 > +Gen {< 6, 1, 0, 0 >}

6) < −3, 3, 0, 2 > +Gen {< 0, 6, 1, 0 >}

Respuesta:



a) ZT ·BT = D

b) Z ·D−1 = B

c) B−1 · Z−1 = D

d) Z−1 ·B−1 = D−1

e) Z ·B−1 = D


1) Z = B−1 ·D−1

2) Z = B−1 ·D

3) Z =(BT)−1·D

4) Z = D−1 ·B

5) Z = D ·(B−1

)T6) Z = D ·B−1

7) Z = D ·B8) Z = B ·D−1

9) Z = B ·D10) Z = D−1 ·B−1

11) Z =(BT)−1·DT

12) Z = B−1 ·DT

Respuesta:

4. Si

A =

[2 3

−1 −1

]

B =

[4 1

3 1

]

C =

[4 1

3 1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



2


sistente.



pendiente.

c) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces


d) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces


e) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente independiente.



g) Si b /∈ Gen {a1,a2}y [a1, 4 a2|2 c] es consistente, en-




1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




a)

−2 4 −1 −1

0 3 2 −1 + 2x

0 0 0 3

b)

−2 1 1 1

0 −1 2 −3

0 0 −2 −2 + 2x

c)

−1 −3 −1 −1

0 −3 −3 2

0 0 0 −2− 2x

d)

2 3 1 3

0 −1 3 −3

0 0 2 + 4x −2− 4x

e)

−3 4 −2 −3

0 1 −1 2

0 0 3 + 4x 2











Respuesta:

7. Si

A1 =

[4 5

−1 6

]A2 =

[0 5

−3 −3

]

A3 =

[4 20

−10 −3

]A4 =

[16 20

−4 24


1. A3 ∈ Gen{A1, A2} 2. A1 ∈ Gen{A4}3. A1 ∈ Gen{A2, A3} 4. A2 ∈ Gen{A1, A4}5. A4 ∈ Gen{A1} 6. A4 ∈ Gen{A2, A3}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

1 3 4

0 −2 3

0 0 1 + x2

0 0 0

b)

−3 −3 3

0 1− 2x 2− 2x

0 0 0

0 0 0

c)

3 2 −3

0 1 + x2 0

0 0 0

0 0 0

d)

−1 −3 2

0 1 4− 2x

0 0 0

0 0 0

e)

−3 3 3

0 2 + 3x 2 + 3x

0 0 2 + 3x

0 0 0












Respuesta:

9. Determine la distancia de P (−3,−3,−1,−1) al espacio

que generan los vectores:v1 =

−2

−3

−1

0

,v2 =

4

4

−3

−1

,v3 =

1

0

−2

−3



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

3 3

4 12

6 15

7 20

10 28



queda la ecuacion :

3m+ b = 3


Respuesta:



t h(t)

0 0.9846

1 -0.0111536

2 0.0372458

4 0.124158



h(t) = a · e−t + b · t · e−t + c · e−0.1 t


Respuesta:


−14 4 1 0 0

6 0 3 1 0

11 1 1 5 1

2 0 1 −2 4




Respuesta:


x′ = −39x+ 18 y

y′ = −84x+ 39 y


x(0) = −2, y(0) = −1


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

−4x− 3 y + z

−6w − 6x

−17w − 33x− 12 y + 4 z

4x+ 3 y − z

4


a.

1

0

4

−1

b.

−3

0

−12

3

c.

4

4

22

−3

d.

5

1

23

−5

e.

15

3

69

−15






Respuesta:





clas de frutas deshidratadas: ciruela, manzana, pasas, pera




manzana, 100 gramos de pasas, 50 gramos de pera y 400


gramos de ciruela, 50 gramos de manzana, 150 gramos de

pasas, 200 gramos de pera y 550 gramos de platano. Y

para una bolsa del tipo 3 requiere 200 gramos de ciruela,

150 gramos de manzana, 100 gramos de pasas, 250 gramos

de pera y 300 gramos de platano. El comerciante dispone

de 127.5 kilogramos de ciruela, 105. kilogramos de manza-

na, 112.5 kilogramos de pasas, 142.5 kilogramos de pera,

y 412.5 kilogramos de platano. Determina cuantas bolsas



Respuesta:


a)

5w + x+ 6 y − 5 z = 7

17w + 5x+ 30 y − 20 z = 18

−16w − 4x− 24 y + 19 z = −15

12w + 3x+ 18 y − 11 z = 21

b)

−3w + x− 4 y − 24 z = −22

15w − 2x+ 13 y + 78 z = 95

−12w + 3x− 15 y − 90 z = −87

4w − 3x+ 11 y + 66 z = 43



1) < 2, 3, 0, 4 > +Gen {< −6, 0, 1, 0 >}

2) < 2, 0, 3, 4 > +Gen {< −6, 1, 0, 0 >}

3) < 2, 3, 4, 0 > +Gen {< 0, 0,−6, 1 >}

4) < 2, 3, 4, 0 > +Gen {< −6, 0, 0, 1 >}

5) < 2, 3, 0, 4 > +Gen {< 0,−6, 1, 0 >}

6) < 2, 3, 4, 0 > +Gen {< 0,−6, 0, 1 >}

Respuesta:



a) A−1 ·X = D

b) X−1 ·A−1 = D

c) XT ·A = DT

d) X−1 ·A−1 = D−1

e) D ·X = A


1) X =(AT

)−1·D

2) X = A−1 ·D3) X = A−1 ·D−1

4) X = D−1 ·A−1

5) X = DT ·(AT

)−16) X = D ·A7) X = A ·D−1

8) X = D ·A−1

9) X = D ·(A−1

)T10) X = A ·D11) X = A−1 ·DT

12) X = D−1 ·A

Respuesta:

4. Si

A =

[3 2

1 1

]

B =

[2 −1

3 −1

]

C =

[2 −1

3 −1



B X + A Y = C + B Y


Respuesta:



a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces


2



c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1, 6 a2|6 c] es inconsistente,


d) Si [a1,a2,a3|c] tiene dos soluciones diferentes, enton-





g) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c ∈ Gen {a1,b}, entonces




pendiente.


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:




a)

−1 1 4 −3

0 4 4 2

0 0 0 1− x

b)

3 2 −2 −2

0 3 −2 −1− x0 0 0 −3

c)

1 −2 −3 −3

0 2 1 1

0 0 −2 + 3x 6− 9x

d)

−3 −1 −1 3

0 −1 −2 −1

0 0 −2 + 4x 2

e)

−1 −2 −2 3

0 2 3 4

0 0 3 2− x





tenece a V.



pertenece a V.

Respuesta:

7. Si

p1 = 22 + 8x, p2 = 4 + 2x, p3 = 6 + 2x, p4 = 44 + 16x


1. p2 ∈ Gen {p1, p4} 2. p4 ∈ Gen {p1}3. p3 ∈ Gen {p1, p2} 4. p4 ∈ Gen {p3}5. p1 ∈ Gen {p4} 6. p1 ∈ Gen {p2, p3}

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

4 2 1

0 2 1 + 4x

0 0 2

0 0 0

b)

1 2 −2

0 4 + 2x 4

0 0 3

0 0 0

c)

−1 2 3

0 1 + x2 0

0 0 0

0 0 0

d)

−2 −3 −1

0 −2− x −2− x0 0 0

0 0 0

e)

−1 1 3

0 1 + 3x 2 + 3x

0 0 0

0 0 0











Respuesta:




0

2

1

−2

,v2 =

5

−3

4

1

,v3 =

−2

1

−3

4



Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

3 7

4 12

6 15

7 20

10 31



queda la ecuacion :

3m+ b = 7


Respuesta:



t h(t)

0. -0.98

1. -3.3659

2. -1.05092

3.5 -1.2003

5. -0.777128





Respuesta:


−1 −1 0 0 0

4 −16 4 0 0

15 −33 0 4 0

−22 70 0 0 4




Respuesta:


x′ = −9x+ 4 y

y′ = −6x+ y


x(0) = 3, y(0) = 1


Respuesta:










Respuesta:


T

x

y

z

w

=

5x+ y + z

−4w − 4x

5w − 20x− 5 y − 5 z

−5x− y − z


a.

3

0

−15

−3

b.

−1

−4

10

1

c.

−12

12

45

15

d.

−4

1

19

4

e.

1

0

−5

−1






Respuesta:

4





mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla gourmet. Estas

mezclas se obtienen combinando grano hondureno, grano

colombiano y grano etıope. Para una bolsa de mezcla de la

casa requiere 300 g de hondureno y 200 g de colombiano.

Para una bolsa de mezcla especial requiere 200 g de hon-

dureno, 200 g de colombiano y 100 g de etıope. Para una

bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de hondureno, 300

g de colombiano y 100 g de etıope. El comerciante dispone

de 15 kg de grano hondureno, 19 kg de grano colombiano,

y 6 kg de grano etıope. Determina cuantas bolsas de ca-


el grano disponible. Reporta solo las bolsas de la mezcla

gourmet. Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y

despues divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver.

Respuesta:


a)

27w + x− 3 y − 3 z = 20

90w + 3x− 10 y − 11 z = 68

−72w − 4x+ 8 y − 4 z = −32

−9w − 2x+ y − 12 z = 16

b)

5w + x− y + 9 z = −4

−3w + 2x− 4 y + 36 z = 26

−10w − 4x+ 6 y − 54 z = −12

−20w − 2x = 36



1) < 2,−4,−2, 0 > +Gen {< 0, 9, 0, 1 >}2) < 2,−4, 0,−2 > +Gen {< 0, 9, 1, 0 >}3) < 2,−4,−2, 0 > +Gen {< 9, 0, 0, 1 >}4) < 2, 0,−4,−2 > +Gen {< 9, 1, 0, 0 >}5) < 2,−4,−2, 0 > +Gen {< 0, 0, 9, 1 >}6) < 2,−4, 0,−2 > +Gen {< 9, 0, 1, 0 >}

Respuesta:



a) Z−1 ·A−1 = D−1

b) Z ·A = D

c) Z−1 ·A−1 = D

d) Z−1 ·A = D

e) ZT ·A = DT


1) Z = D ·A

2) Z = DT ·(AT

)−13) Z =

(AT

)−1·D

4) Z = A ·D−1

5) Z = DT ·A−1

6) Z = A−1 ·D7) Z = A ·D8) Z = D ·A−1

9) Z = A−1 ·D−1

10) Z =(AT

)−1·DT

11) Z = D−1 ·A−1

12) Z = D−1 ·A

Respuesta:

4. Si

A =

[4 3

1 1

]

B =

[3 1

2 1

]

C =

[4 3

1 1



B X + A Y = C


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|c] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente independiente.

2

b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y c /∈ Gen {a1,a2}, entonces




d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = b,




f) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces 3 b ∈Gen {a1, 3 a3,a2}

g) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces


h) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-



1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:




a)

1 −3 4 3

0 −2− x −2− x 2 + x

0 0 0 0

b)

−3 −2 1 4

0 −3 −2 4

0 0 0 1− x

c)

−2 3 −3 1

0 −3 4 2

0 0 1− x 2− x

d)

−3 3 4 4

0 1 1 −3

0 0 2 + 3x −2

e)

1 −1 4 + 3x −1

0 −1 1 1

0 0 0 0



1) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U ⊆ V.

2) Solo hay un valor de x para el cual se tiene U 6⊆ V.

3) Para todo valor de x se tiene U 6⊆ V.

4) Para todo valor de x se tiene U ⊆ V.

Respuesta:


p = 2 + 4x+ a x3


p1 = 1− x2 + x3

p2 = −1 + x+ x2 + x3

p3 = −1 + x+ 3x2 + x3

Respuesta:



V = Gen {a1,a2,a3} .

a)

−3 2 2

0 2 4 + 2x

0 0 −2

0 0 0

b)

4 4 −1

0 3 + x2 0

0 0 0

0 0 0

c)

−1 −2 −1

0 3 −2

0 0 3 + x2

0 0 0

d)

3 −1 3

0 −1 4 + 2x

0 0 0

0 0 0

e)

2 2 1

0 2− x −3

0 0 −1

0 0 0











Respuesta:



−3

2

−1

−3

,v2 =

0

0

2

2

,v3 =

4

3

−2

−3




Respuesta:



la siguiente tabla:

x y

3 3

4 11

6 14

7 19

10 28



queda la ecuacion :

3m+ b = 3


Respuesta:



t h(t)

0. -1.11

1. -3.35746

2. -1.07334

3.5 -1.16924

5. -0.799928





Respuesta:


0 4 0 0 0

1 −1 5 0 0

3 −2 0 5 0

−11 9 0 0 5




Respuesta:


x′ = −10x+ 3 y

y′ = −14x+ 3 y


x(0) = 1, y(0) = −1


Respuesta:
















Respuesta:


T

x

y

z

w

=

12w + 66x+ 4 y + z

2w + 12x

65w + 354x+ 24 y + 6 z

−72w − 396x− 24 y − 6 z


a.

−1

1

−10

6

b.

−3

3

−30

18

c.

1

0

6

−6

d.

4

4

2

−23

e.

−12

−12

−6

69






Respuesta:

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Algebra Lineal - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-final-2018-ene.pdf · donde test a en minutos y h(t) en metros. Por el m etodo de m nimos cuadrados, ajuste los datos