Algebra Linear 2

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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DEMINAS GERAISLGEBRA LINEARROBERTO DE MARIA NUNES MENDESProfessor do Departamento de Matemtica e Estatstica e doPrograma de Ps-graduao em Engenharia Eltrica2009SumrioPrefcio 11 Espaos Vetoriais 21.1 Denies e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Subespaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Independncia Linear. Bases. Dimenso . . . . . . . . . . . . 71.4 Espaos Produto e Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Somas e Somas Diretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Exerccios do Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Aplicaes Lineares 182.1 Denies e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Composio e Inverso de Aplicaes Lineares . . . . . . . . . 232.3 lgebra das Aplicaes Lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Exerccios do Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Matrizes 323.1 Denies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Aplicao LinearMatriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Mudana de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Exerccios do Captulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 Formas Lineares. Dualidade 494.1 Denio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Anulador de um Subespao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Transposio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Exerccios do Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Determinantes 585.1 Aplicaes r-lineares alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 58iSUMRIO ii5.2 Determinante de um Operador Linear . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Desenvolvimento em relao aos elementos de uma coluna (oude uma linha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4 Matrizes Elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5 Equaes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786 Autovalores e Autovetores 846.1 Denies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2 Diagonalizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.3 Polinmios de Operadores e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . 946.4 Exerccios do Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977 Produto Interno 997.1 Denies e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.2 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1057.3 Relaes entre V eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1087.4 Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1107.5 Exerccios do Captulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1138 Operadores Unitrios e Normais 1148.1 Denies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1148.2 Operadores Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1198.3 Matrizes Simtricas Positivas. Decomposio de Cholesky . . .1228.4 Teorema dos Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . .1248.5 Exerccios do Captulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1279 Formas Bilineares e Quadrticas 1299.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1299.2 Matriz de uma forma bilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . .1319.3 Mudanas de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1319.4 Formas Quadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1329.5 Formas Bilineares Simtricas Reais . . . . . . . . . . . . . . .13210 Miscelnea 13610.1Orientao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13610.2Volume de Paraleleppedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13710.3Matriz de Gram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13810.4Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139Exerccios de Reviso 141Bibliograa 143PrefcioAorigemdessasnotasdelgebraLinearremontaaumcursofeitoparaalunos do Bacharelado em Matemtica da UFMG. Na ocasio, zemos umaprimeiraredaorevistapelosprofessoresdoICEx-UFMG,MichelSpiraeWilsonBarbosa, aquemmuitoagradecemos. Maisrecentemente, retoma-mos o trabalho e, aps vrias mudanas, aproveitamos parte do material nadisciplina Mtodos Matemticos do Programa de Ps-Graduao em En-genharia Eltrica da PUCMINAS. A verso nal das notas foi revista pelaprofessora Mariana Cornelissen Hoyos da PUCMINAS, a quem agradecemosagenerosaassistncia. AgradecemostambmaEricFernandesdeMelloArajo pela ecincia e boa vontade na digitao do manuscrito. As notasnada contm de original; so apenas um resumo do material exposto,commuito mais profundidade, nos livros indicados na Bibliograa e que utiliza-mos livremente. Ao leitor, bom proveito.Belo Horizonte, julho de 2009Roberto N. Mendes1Captulo 1Espaos Vetoriais1.1 Denies e ExemplosSeja K um corpo com elementos neutros distintos 0 e 1, por exemplo, K= RouK= C.Denio 1.1Um espao vetorial sobre K um conjunto V munido de duasleis:V V V e K V V(u, v) u + v (a, v) avtais que, para quaisqueru, v, w Vea, b K, se tenha:(1)u + v= v + u(2)(u + v) + w = u + (v + w)(3) existe0 V , chamado o vetor zero, tal quev + 0 = v(4) dado v V , existe (v) V , chamado o oposto de v, tal que v+(v) = 0(5)1v= v(6)a(bv) = (ab)v(7)a(u + v) = au + av(8)(a + b)v= av + bv.Exemplo 1.1.1SejaV= Kn, onden N, com as leis:(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn) fcil vericar que, com estas leis,Kn um espao vetorial sobreK.Observao: Oselementosdeumespaovetorial V sochamadosdevetores, enquanto que os de K so chamados de escalares.Essa nomenclatura2CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS 3deriva do exemplo acima. As leis so chamadas de adio e multiplicao porescalar, respectivamente.Noexemplo1.1.1, sen=1, vemosqueKumespaovetorial sobresi mesmo, demodoqueseuselementosso, aomesmotempo, escalaresevetores.Exemplo 1.1.2SejaV =Pn, onden N, o conjunto das funes polino-miais de grau estritamente menor que n, com coecientes em K, juntamentecom a funo zero.Se p = a0+a1t+...+an1tn1e q= b0+b1t+...+bn1tn1,denimosp + q Vecp V , ondec K, por:p + q= (a0 + b0) + (a1 + b1)t + ... + (an1 + bn 1)tn1cp = ca0 + ca1t + ... + can1tn1Resulta quePn um espao vetorial sobreK.Exemplo 1.1.3SejaV =K[t] oconjuntodetodosospolinmiosaumavarivel, com coecientes emK. Denindo as leis como no exemplo 1.1.2, imediato queK[t] um espao vetorial sobreK.Exemplo 1.1.4Seja V= T(I, R) o conjunto das funes f: I R, ondeI R um intervalo. Sef, g Vea R, denimosf+ g eafpor:(f+ g)(x) = f(x) + g(x)(af)(x) = af(x)paratodox I. Verica-seimediatamentequeessasleistornam T(I, R)um espao vetorial real, isto , sobre R.Consequncias Imediatas da Denio(a) Seu, v Vdenimos:u v= u + (v)Sea K, entoa(u v) + av= a[(u v) + v] = a[u + (v) + v] = a(u + 0) = au.Somando av aos dois membros, vem:a(u v) + av av= au av,CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS 4donde:a(u v) = au av.Fazendou = v, obtemosa0 = 0e tambma(v) = a(0 v) = a0 av= av.(b) Sea, b Kev V , ento:(a b)v + bv= (a b + b)v= av,donde:(a b)v= av bvFazendoa = b, vem0v= 0e tambm(a)v= (0 a)v= 0v av= av.(c) Para todoa Ke todov Vvimos que0v= a0 = 0Suponhamos queav= 0. Sea ,= 0 ento0 = a1 0 = a1(av) = 1v= v.Portanto,av= 0 implica oua = 0 ouv= 0.Exerccios1. O conjunto de todos os polinmios de grau 3, com coecientes reais emunidodasleisusuais, juntamentecomopolinmiozero, formaumespao vetorial real?2. D exemplo de um conjunto M que verique todos os axiomas de espaovetorial, exceto1v= v para todov M.CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS 53. O conjunto das sequncias complexasz= (zn)n1 tais quezn+2= zn+1 + zn, n 1,munido das leis usuais, forma um espao vetorial complexo?4. O conjunto das funesf: R R duas vezes continuamente deriv-veis e tais quef

+ af

+ bf =0 (aeb reais xos), munido das leisusuais, forma um espao vetorial real?5. Prove que o conjunto das funes limitadasf: R R, munido dasleis usuais, um espao vetorial real.6. Seja l1(N) oconjuntodas sequncias x =(xn)n1onde xnCe

n=1[xn[ < . Proveque, comasleisusuais, l1(N)umespaove-torial complexo.1.2 SubespaosSejaVum espao vetorial sobre o corpoK.Denio 1.2Dizemos queW V um subespao deVse:(a)0 W(b)u, v W= u + v W(c)a K, v W= av WclaroqueW,comasleisinduzidaspelasdeV ,umespaovetorialsobreK.Exemplo 1.2.1Em V= Knverica-se imediatamente que W= (x1, ..., xn) Kn; x1= 0 um subespao.Exemplo 1.2.2EmV= T(R, R), espao vetorial real das funesf: R R, o subconjunto formado pelas funes contnuas um subespao.Proposio 1.1SejaVum espao vetorial sobreK. A interseo de umafamlia qualquer de subespaos deV um subespao deV .Dem. Seja(W)Auma famlia de subespaos deV , e sejaW=

AW.Ento:CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS 6(a)0 Wpois0 W para todo A.(b)u, v W u, v Wpara todo A=(u + v) Wpara todo A = (u + v) W.(c) K, v W= av W para todo A = av W.Denio 1.3Seja X um subconjunto no-vazio do espao vetorial VsobreK. Todo elemento da formaa1v1 +... +amvm=m

i=1aivi, ondem N, vi X, ai K, 1 i m, chamado de combinao linear de elementos de X. fcil vericar que o conjunto de todas as combinaes lineares de ele-mentos deX um subespao deV , chamado de subespao gerado porX.Proposio 1.2O subespao gerado porX V, X ,= , a interseo detodos os subespaos deVcontendoX, ou seja, o menor(para a inclusode conjuntos) subespao deVcontendoX.Dem. Seja(W)AafamliadetodosossubespaosdeV contendoX.Sabemos queW=

AW um subespao deV . claro queWcontmXe, portanto, que Wcontm todas as combinaes lineares de elementos de X,ou seja,Wcontm o subespaoS gerado porX. ComoS um subespao deVcontendoX, temos queW S. ResultaW= S.Exerccios1. SejaV = T(R, R) oespaovetorial real das funes f : R R.Verique seW subespao deVnos seguintes casos:(a) W = conjunto das funes pares(b) W = conjunto das funes mpares(c) W = conjunto das funes derivveis(d) W = conjunto das funesC2. Qual aexpressodoelementogenricodosubespaodeK[t] geradopelos polinmiost2et3?3. Verique seW= (x, y, z) R3; x = 2y subespao de R3.4. Mostre queW= (0, y, z) R3 gerado por(0, 1, 1) e(0, 2, 1).5. Mostrequeoconjuntodasfunesf : R RdeclasseC2taisquef

+ af

+ bf= 0 (a eb reais xos) um subespao de T(R, R).6. Mostre que, em geral, a unio de dois subespaos no um subespao.CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS 71.3 Independncia Linear. Bases. DimensoDenio 1.4SejamX ,= , X V, Vum espao vetorial sobreK. Dize-mos queX linearmente independente se, quaisquer que sejamv1, ..., vm X, m N, aequaoa1v1+...+amvm=0, onde a1, ..., amK, im-plica a1=a2=... =am=0. Se Xnolinearmenteindependente(LI) dizemos que Xlinearmentedependente(LD); nestecaso, existemv1, ..., vpX, pN, e escalares no todos nulos, a1, ..., ap, tais quea1v1 + ... + apvp= 0.Exemplo 1.3.1EmKnconsideremos os vetorese1= (1, 0, ..., 0)e2= (0, 1, ..., 0)...en= (0, ..., 0, 1)Esses vetores so LI, pois a1e1+... +anen= (a1, ..., an) = 0 = (0, ..., 0) a1= 0, ..., an= 0.Exemplo 1.3.2EmPnosvetores1, t, ..., tn1soLIpoisa0 + a1t + ... +an1tn1= 0 implicaa0= a1= ... = an1= 0.Exemplo 1.3.3No espao das funesf: R R de classeC1considere-mos os vetoresf1(t)=er1t, f2(t)=er2tonder1 ,=r2so reais. f1, f2soLI pois sea1f1 + a2f2=0 entoa1er1t+ a2er2t=0 para todot R, dondea1e(r1r2)t+a2= 0 para todot R. Derivando: a1(r1r2)e(r1r2)t= 0 paratodot R, dondea1= 0 e, portanto,a2= 0.Exemplo 1.3.4Consideremososelementos 1eideC. ConsiderandoCcomo um espao vetorial real,1 ei so LI. Considerando C como um espaovetorial complexo,1 ei so LD.Proposio 1.3Sev1, ..., vn so vetores LI emVea1v1 + ... + anvn= b1v1 + ... + bnvn,comai K, bi K(1 i n), entoai= bi para todoi.Dem. Arelaodadaequivalentea(a1 b1)v1+ ... + (an bn)vn=0,dondea1b1= ... = anbn= 0, isto ,ai= bi parai = 1, 2, ..., n.CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS 8Denio 1.5SejaV umespaovetorial sobreK. DizemosqueG VgeraV ouqueG V umconjuntodegeradoresdeV setodov V combinao linear de vetores deG,ou seja,se o subespao gerado porG V . Dizemos que o conjunto de geradoresG mnimo se, qualquer que sejag G, o conjuntoG1= Gg no geraV .Exemplo 1.3.5EmKnos vetorese1= (1, 0, ..., 0), ..., en= (0, ..., 0, 1) for-mam um conjunto de geradores mnimo.Denio 1.6SejaX Vum conjunto LI no espao vetorial V . Dizemosque X um conjunto linearmente independente mximo se, para todo v V ,v/ X, o conjuntoX1= X v LD.Exemplo 1.3.6Os vetorese1=(1, 0, ..., 0), ..., en=(0, ..., 0, 1) deKnfor-mam um conjunto LI mximo.Proposio 1.4Sejam v1, ..., vm vetores LI do espao vetorial Vgerado porw1, ..., wp. Entom p e, alterando-se eventualmente a numerao doswi,os vetoresv1, ..., vm, wm+1, ..., wp ainda geramV .Dem. Sejav1=a11w1+ ... + ap1wp; semperdadegeneralidadepodemossupora11 ,= 0 e, ento:w1= b11v1 + b21w2 + ... + bp1wp.Logo, todacombinaolineardew1, ..., wptambmcombinaolineardev1, w2, ..., wp, ou seja, estes vetores geramV .Seja v2= a12v1+a22w2+...+ap2wp; ao menos um dos escalares a22, ..., ap2 diferente de zero poisv1 ev2 so LI. Podemos supora22 ,= 0 e, ento:w2= b12v1 + b22v2 + b32w3 + ... + bp2wp,e todacombinaolinear de v1, w2, ...wp tambmcombinaolinear dev1, v2, w3, ..., wp, ou seja, estes vetores geramV .Repetindoessaoperaoumnmeronitodevezes, vemos que, parar min(m, p),osvetoresv1, ..., vr, wr+1, ..., wpgeramV . Sefossem>p,tomandor=p, teramosquev1, ..., vpgerariamVe, portanto, vp+1, ..., vmseriam combinaes lineares de v1, ..., vp, o que absurdo j que v1, ..., vm soLI. Portanto,m p e, ao m de um nmero nito de operaes, obteremoso conjunto de geradoresv1, ..., vm, wm+1, ..., wp.CAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS 9Corolrio 1.4.1Se w1, ..., wp geram Ve n > p, ento v1, ..., vn so LD. Emparticular,p +1 vetores que so combinaes lineares dep vetores quaisquerso LD.Proposio 1.5SejaX um subconjunto no-vazio do espao vetorialVso-breK. As propriedades seguintes so equivalentes:(a)X LI e geraV(b)X um conjunto de geradores mnimo(c)X um conjunto LI mximoDem. (a) (b): Sejam x X, Y= Xx. Se x fosse combinao lineardevetoresdeY , x=n

i=1aiyi, yi Y, ai K, 1 i n,entoXseriaLD, contradio. Portanto,Yno geraV , o que mostra queX mnimo.(b) (c): SeXfosse LD existiriam vetoresx, x1, ..., xn deXe escalaresa, a1, ..., an, no todos nulos, tais que ax+a1x1+... +anxn= 0. Sem perda degeneralidade podemos supor a ,= 0, donde x = b1x1+... +bnxn e, portanto, Xno seria mnimo, contradio. Alm disso,X (um conjunto LI) mximopois, dadov V , temosv=m

i=1aixi, xi X, ai K, 1 i m, ou seja,X v LD.(c) (a): Sejav V, v/ X, entoY= Xv LD e existem vetoresx1, ..., xn deXe escalaresa, a1, ..., an, no todos nulos, tais queav + a1x1 + ... + anxn= 0.Se fossea = 0 resultariaXLD. Entoa ,= 0 ev= b1x1 + ... + bnxn, isto ,XgeraV(e LI).Denio 1.7SejaV um espao vetorial sobre K. X V, X ,= , umabase deV seXpossui uma das (e portanto as trs) propriedades da propo-sio 1.5.SeVtem uma base nitaX= v1, ..., vn dizemos queVtem dimensonita; nestecaso, sev V , entovseescrevedemodoniconaformav= a1v1 + ... + anvn, ai K, 1 i n.Proposio 1.6Sejam v1, ..., vn e w1, ..., wp bases do espao vetorialVsobreK. Ento:n = pCAPTULO 1. ESPAOS VETORIAIS 10Dem. Comov1, ..., vnsoLI e w1, ..., wpgeramV , temos n p. Porsimetria,p n. Logo,n = p.Denio 1.8SejamVum espao vetorial sobreKe v1, ..., vn uma basedeV . Dizemos que n a dimenso deVsobreK. Por denio a dimensodeV= 0 zero.Notao: n = dimKVoun = dimVExemplo 1.3.7Kntem dimenso n e e1, ..., en uma base deKn, cha-mada de base cannica.Exemplo 1.3.8 1, t, ..., tn1 base dePn, dondedimPn= n.Exemplo 1.3.9V= K[t] no tem dimenso nita sobreK.Exemplo 1.3.10dimRC = 2 e 1, i uma base.dimCC = 1 e 1 uma base.Uma base de Cnsobre R e1, ie1, e2, ie2, ..., en, ien.Corolrios:(1) SedimV =n ev1, ..., vnso LI, ento v1, ..., vn base deV (pois um conjunto LI mximo).(2) SeW subespao deV edimW=dimV ,entoW=V (pois todabase deW tambm base deV ).(3) Se dim V= n e m > n ento os vetores v1, ..., vm so LD (pois o nmeromximo de vetores LI n).Proposio 1.7SejaV umespaovetorial dedimensonsobreK. Se-jamv1, ..., vr, r = i(vj) = 0 parai = 1, ..., p ei = p + 1, ..., n, ou seja, as formasp+1, ..., n pertencem a U0. Vamos provar que elas formam uma base de U0.Como elas so LI, basta provar que elas geramU0. Para isto, seja U0.Se= a11 + ... + ann, ento, paraj= 1, ..., p temos:0 = (vj) =n

i=1aii(vj) =n

i=1aiij= aj,ou seja,= ap+1p+1 + ... + ann, como queramos.Corolrio 4.3.1Nas hipteses da proposio 4.3, temos (U0)0= U (supondo-se identicados V eV).Dem. (U0)0= v V ; =0 U0. Portanto, seu U, entou (U0)0, isto ,U (U0)0.Por outro lado,dim(U0)0= dimVdimU0= dimV dimU0= dimU,donde U=(U0)0.Obs. Se V, ,= 0, o subespao de V,H= v V ; < , v>= 0, temdimenso igual a(dimV 1) e chama-se um hiperplano de V.Exemplo 4.2.1Seja W o subespao de R4gerado pelos vetores v1= (1, 2, 0, 1), v2=(2, 1, 3, 0)ev3= (0, 3, 3, 2). Vamos achar uma base para o anuladorW0.CAPTULO 4. FORMAS LINEARES. DUALIDADE 53Se(v, y, z, t) R4e (R4),ento(x, y, z, t)=ax + by + cz + dt,onde a, b, c, d R, e W0se, e s se,(v1) = (v2) = (v3) = 0, ou seja,se e s se,_a + 2b + d = 02a + b + 3c = 03b 3c + 2d = 0se, e s se,_a = 2c +d3b = c 2d3.Resulta que1 e2, tais que1(x, y, z, t) = 2x +y +z, 2(x, y, z, t) =x 2y + 3t, formamumabasedeW0(obtidasfazendo-sec=1, d=0ec = 0, d = 3, respectivamente).Exemplo 4.2.2SejaVumespaovetorial dedimensonsobreK. Todosubespao W de V a interseo de um nmero nito de hiperplanos de V.Defato, seja(v1, ..., vn)basedeVtal que(v1, ..., vp)sejabasedeW.Seja(1, ..., n) a base dual de(v1, ..., vn). Ento:v W p+1(v) = ... = n(v) = 0,ou seja,W=n

j=p+1Hj, ondeHj= ^(j) o hiperplano denido porj.Exerccios1. Seja W R5o subespao gerado pelos vetores 1= (2, 2, 3, 4, 1), 2=(1, 1, 2, 5, 2)3=(0, 0, 1, 2, 3)e4=(1, 1, 2, 3, 0). Acheumabase para o anuladorW0de W.2. Sejam V um espao vetorial de dimenso nita sobre K, U e W subes-paos de V. Prove:(a)(U+ W)0= U0 W0; (U W)0= U0+ W0(b)V= U W V= U0W0.4.3 TransposioSejam V, W espaos vetoriais sobre K eT: VWlinear. Se Wento T: V K linear, isto , T V.Denio 4.3A aplicaoTt: W V denida porTt() = Tparatoda W, chama-se a transposta de T:CAPTULO 4. FORMAS LINEARES. DUALIDADE 54Assim,< Tt(), v>=< , T(v) > para todov V .Proposio 4.4A transposta Tt: W V da aplicao linear T: V W, uma aplicao linear.Dem.Tt( + ) = ( + ) T= T+ T= Tt() + Tt()Tt(a) = (a) T= a( T) = aTt,quaisquer que sejam, W ea K.Exemplo 4.3.1SeV= WeT= idV , ento:(idV )t() = idV= para todo V,ou seja,(idV )t= idV.Proposio 4.5Sejam U, V, W espaos vetoriais sobre K.(a) A aplicaoT /(U, V ) Tt /(V, U) linear.(b) SeT /(U, V ) eS /(V, W), ento(S T)t= Tt St. Alm disso, seT bijetora entoTt bijetora e(T1)t= (Tt)1.(c) Se U e V tm dimenso nita, entoT Tt um isomorsmo entre/(U, V )e /(V, U)e(Tt)t=T(supondo-seidenticadosUcomUeVcomV).Dem. (a) SejamL, T /(U, V ) ea K. Para todo V temos:(L + T)t() = (L + T) = L + T= Lt() + Tt()(aT)t() = (aT) = a( T) = aTt()Resulta: (L + T)t= Lt+ Tte(aT)t= aTt.CAPTULO 4. FORMAS LINEARES. DUALIDADE 55(b) (ST)t() = (ST) = (S)T= Tt(S) = Tt_St()_= (TtSt)()para todo W. Logo: (S T)t= Tt St.SeTumisomorsmotemos T T1=idV, T1T =idVe, como(idV )t= idV, vem:Tt (T1)t= idU e(T1)t Tt= idV,donde resulta que(Tt)1= (T1)t.(c) Se U e V tm dimenso nita, podemos identicar U comUe V comV, de modo que(Tt)t /(U, V ). Seu Ue V, ento:< (Tt)tu, >=< u, Tt() >=< , T(u) >,donde(Tt)t=T. ResultaqueTTtsobrejetorae, como /(U, V )e/(V, U) tm a mesma dimenso nita, esta aplicao um isomorsmo.Proposio 4.6SejaT: V Wlinear. Ento: (ImT)0= ^(Tt).Dem. (ImT)0< , T(v) >= 0 v V < v, Tt() >= 0v V Tt() = 0 ^(Tt).Proposio 4.7Sejam V e W espaos vetoriais de dimenso nita sobre KeT: V Wlinear. Ento:posto(T) = posto(Tt).Dem. Sejamn=dimV, p=dimW. Como(ImT)0= ^(Tt)temos:posto(Tt) = dimWdim ^(Tt) = dimWdim(ImT)0== dimW(dimWdimImT) = dimImT= posto(T).Proposio 4.8SejamVeWespaosvetoriaisdedimensonitasobreK, c=(v1, ..., vn) base de V, T=(w1, ..., wm) base de W, c=(1, ..., n)e T= (1, ..., m) as bases duais correspondentes. SeT: V W lineare _TEF=A=(aij), ento _TtFE=B=(bij) tal quebij=ajipara todopar(i, j).Dem. Temos:T(vj) =m

i=1aijwiej T= Tt(j) =n

i=1biji.CAPTULO 4. FORMAS LINEARES. DUALIDADE 56Ento:j_T(vk)_=m

i=1aikj(wi) =m

i=1aikji= ajk.E:j_T(vk)_=n

i=1bij(vk) =n

i=1bijik= bkj.Portanto:ajk= bkj(j= 1, ..., m; k = 1, ..., n).Denio 4.4SejaA=(aij)mnsobreK.AmatrizB=(bij)nmsobreK,tal quebij=ajiparatodopar(i, j),chama-seatranspostadeA,anotadaB= At.A proposio 4.8 nos diz que _TtFE=__TEF_t.Corolrio 4.8.1(a) SeA, B Mmn(K) ec K, ento:(A + B)t= At+ Bt(cA)t= cAt(b) SeA Mmn(K) eB Mnp(K), ento:(AB)t= Bt At(c) SeA Mn(K) invertvel, ento:(A1)t= (At)1(d) SeA Mmn(K), ento:posto(A) = posto(At),ou seja, o nmero de vetores-coluna de A linearmente independentes coincidecom o nmero de vetores-linha de A linearmente independentes.Dem. Imediata.CAPTULO 4. FORMAS LINEARES. DUALIDADE 574.4 Exerccios do Captulo 41. EmV= R4consideremos o subespao W gerado por(1, 1, 1, 1); (1, 1, 2, 2); (1, 5, 4, 8)e(3, 1, 5, 3).(a) Ache a dimenso de W e a dimenso deW0.(b) Mostre que a imagem dev=(x, y, z, t) Vporf W0pode seescreverf(v) = 4ax + 4by (3a + b)z (a + 3b)t.(c)Acheumabase(f1, f2)deW0, eescrevaf1ef2nabasedualdabase cannica de V.2. SejaVumespaovetorial de dimensonitasobre K. Prove quef1, ..., fp V so LI se, e s se, dados1, ..., p Kquaisquer, existev Vtal quefi(v) = i, 1 i p.3. Sejamc= (e1, ..., en) base do espao vetorial V sobre K, c= (e1, ..., en)a base dual de ce: VVo isomorsmo denido por(ei)=ei, 1 i n. Achetodososautomorsmosu: VV taisque< x, (y) >=< u(x), ( u)(y) > parax, y Vquaisquer.Captulo 5DeterminantesObs.Neste captulo, por motivos tcnicos, vamos supor que a caractersticado corpo K diferente de 2; por exemplo podemos tomar K= R ou K= C.5.1 Aplicaes r-lineares alternadasDenio 5.1Sejam V e W espaos vetoriais sobre K. Uma aplicaof:V r... V W r-linear se:(a)f(v1, ..., vi + ui, ..., vr) = f(v1, ..., vi, ..., vr) + f(v1, ..., ui, ..., ur)(b)f(v1, ..., avi, ..., vr) = af(v1, ..., vi, ..., vr)quaisquer que sejamv1, ..., vi, ui, ..., vr V, a Ke1 i r.O conjunto de todas as aplicaes r-lineares de V em W, representado por/r(V, W), munido das leis naturais de adio e multiplicao por escalar, umespaovetorial sobreK.Porconveno, /0(V, W)=We /1(V, W)=/(V, W).Denio 5.2f /r(V, W)alternadasef(v1, ..., vr)=0todavezquedois dos vetoresvi so iguais.As aplicaes r-lineares alternadas formam o subespao /r(V, W) de /r(V, W).Convencionamos que /0(V, W) = We /1(V, W) = /(V, W).Denio 5.3f /r(V, W)antissimtricasef(v1, ..., vi, ..., vj, ..., vr)=f(v1, ..., vj, ..., vi, ...vr),1 i, j r,i ,= j.No caso em que W=K, os elementos de /(V, W) so chamados de formasr-lineares. Emparticular, /1(V, W)=Vodual deV.Oselementosde/r(V, K), isto , as formas r-lineares alternadas, so tambm chamados der-covetores.Proposio 5.1f /r(V, W) alternada se, e s se, f antissimtrica.58CAPTULO 5. DETERMINANTES 59Dem. Sef /r(V, W) alternada, ento0 = f(v1, ..., v + u, ...., v + u, ..., vr) == f(v1, ..., v, ..., v, ..., vr) + f(v1, ..., u, ..., u, ..., vr)++f(v1, ..., v, ..., u, ..., vr) + f(v1, ..., u, ..., v, ..., vr) == f(v1, ..., v, ..., u, ..., vr) + f(v1, ..., u, ..., v, ..., vr),donde resulta que f antissimtrica.Reciprocamente, se f antissimtrica entof(v1, ..., v, ..., v, ..., vr) = f(v1, ..., v, ..., v, ..., vr)donde2f(v1, ..., v, ..., v, ..., vr) = 0 e, como 2 ,= 0 em K, resulta f(v1, ..., v, ..., v, ..., vr) =0, isto , f alternada.Denio 5.4Uma permutao de um conjunto X toda bijeo de X sobresi mesmo.O conjunto das permutaes de X, munido das leis de composio de apli-caes, um grupo chamado grupo simtrico de X ou grupo de permutaesde X, anotado oX. SeX= 1, 2, ..., n=In, representamos oXpor on; ontemn! elementos.Denio 5.5Uma transposio de on uma permutao tal que existeminteirosi ,= j, i i, j n, para os quais(i) = j, (j) = i e(k) = k parak ,=i, k ,=j, ou seja, troca i e j mantendo os demais elementos xos. claro que2= id e1= .Proposio 5.2Toda permutao onpode ser expressa como um pro-duto de transposies.Dem. (por induo) Sen = 1, no h nada a provar. Suponhamosn > 1 eadmitamos o teorema verdadeiro para(n 1). Se one(n) = n, entoarestrio

=[In1pertencea on1. Pelahiptesedeinduo,existemtransposies

1, ...,

k on1tais que

=

1...

k. Para cada i, i i k,sejai ona transposio tal quei[In1=

iei(n)=n. Ento, claroque=1...k. Se one(n)=k ,=n,seja ona transposio talque(k) = n,(n) = k. Ento,= 1...k, isto ,= 1...k.CAPTULO 5. DETERMINANTES 60Proposio 5.3A cada permutao on possvel associar um sinal, 1ou -1, anotado(), tal que:(1) se uma transposio, ento() = 1(2) se, on, ento() = ()().Dem. Seja on e consideremos os nmerosn=

1ij(aiaj). o determinante de Vandermonde.2. Seja A = (aij) nn, tal que aij= 0 se i +j n. Calcule det A. Porexemplo,0 0 a0 b cd e f= abd.CAPTULO 5. DETERMINANTES 713. Prove:a b c 2a 2a2b b c a 2b2c 2c c a b= (a + b + c)3.4. Calculandox yy x

x

y

y

x

, prove que(x2+ y2)(x2+ y2) = (xx

+ yy

)2+ (xy

yx

)2.5. Sea, b, c R, prove que1 sena cosa1 senb cosb1 senc cosc= sen(b c) + sen(c a) + sen(a b).6. Seja A =_B C0 D_, onde B rr, C r(nr) e D (nr)(nr).Prove quedetA = detBdetD.5.4 Matrizes ElementaresDenio 5.12Sejam A e B matrizesmn sobre o corpo K. Dizemos queAlinha-equivalenteaBseBpodeserobtidadeAporintermdiodeumnmero nito das seguintes operaes, chamadas operaes elementares sobreas linhas:(a)Tij trocar de posio as linhas i e j (i ,= j)(b)Ti(k) multiplicar a linha i pork K, k ,= 0(c)Tij() somar linha i a linha j multiplicada por K.Denio 5.13Umamatrizobtidadaidentidadepormeiodeumanicaoperao elementar, chama-se uma matriz elementar.Exemplo 5.4.1As matrizes_0 11 0_ e__1 0 00 1 02 0 1__ so elementares.Proposio 5.13SejameumaoperaoelementareE=e(Im)amatrizelementarmm correspondente. Para toda matrizA = (aij) mn, tem-se: e(A) = EA.CAPTULO 5. DETERMINANTES 72Dem. SejaLi=(ai1...ain)ai-simalinhadeA.Ento: A=__L1...Lm__. SeB Mnp(K), fcil ver queAB=__L1B...LmB__. See1=(1, 0, ..., 0), ..., em=(0, ..., 0, 1) so1 m, claro quee1A = Li eIm=__e1...em__.(1)e = Tij. Ento: E= e(Im) =__e1...ej...ei...em__,e(A) =__L1...Lj...Li...Lm__.Logo:EA =__e1A...ejA...eiA...emA__=__L1...Lj...Li...Lm__= e(A).(2)e = Ti(k)k=0. Ento: E= e(Im) =__e1...kei...em__,e(A) =__L1...kLi...Lm__.Logo:EA =__e1A...keiA...emA__=__L1...kLi...Lm__= e(A).CAPTULO 5. DETERMINANTES 73(3)e = Tij()i 0.(c) A desigualdade verdadeira parav= 0. Suponhamosv ,= 0 e deter-minemosc K de modo quecvseja a projeo ortogonal de u ao longo dev,isto ,tal que u cv, v)=0,dondec= u, v)v, v). Pelo corolrio 7.1.1 daCAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 101proposio 7.1 temos |u| |cv| = [u, v)[|v|2 |v|, donde, [u, v)[ |u||v|,com igualdade u = cv.(d) |u + v|2= |u|2+|v|2+ 2Reu, v) |u|2+|v|2+ 2[u, v)[ |u|2+|v|2+ 2|u||v| =_|u| +|v|_2, donde a tese.Exemplo 7.1.5Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz aos exemplos7.1.1 e 7.1.2 anteriores, obtemos:(7.1.1)n

i=1xiyi_n

i=1[xi[2_1/2

_n

i=1[yi[2_1/2(7.1.2)_10f(t)g(t)dt__10[f(t)[2dt_1/2

__10[g(t)[2dt_1/2.Denio 7.3Seja V um espao vetorial com produto interno , ). u, v Vsoortogonaisouperpendicularesse u, v)=0,oqueindicamosporuv.SeS V , denimosS= v V ; u, v) = 0 u S. imediato queS um subespao de V, chamado espao ortogonal de S. Se U o subespao de Vgerado por S, entoS= U pois se v perpendicular a todos os elementosde S, perpendicular tambm s combinaes lineares de elementos de S, ouseja, aos elementos de U. Escrevemos vS para indicar que v perpendiculara todos os elementos de S; neste caso, dizemos que v perpendicular a S.Exemplo 7.1.6SejamV =C0([0, 2], R), g1(t)=coskt, g2(t)=senkt,onde k um inteiro positivo, f, g) =_20f(t)g(t)dt. Temos:|g1|2=_20cos2ktdt = |g2|2=_20sen2ktdt = Os coecientes de Fourier def Vso os nmerosak= f, g1)|g1|2=1_20f(t)cosktdt,CAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 102bk= f, g2)|g2|2=1_20f(t)senktdtea02= f, 1)|1|2=12_20f(t)dt.Devidoaesseexemplo, usual (nocasogeral)chamar c =u, v)|v|2decoeciente de Fourier deu em relao av; o vetorcv a projeo ortogonaldeu sobrev.Denio 7.4Seja V um espao vetorial com produto interno , ). Dizemosque SV umconjuntoortogonal sedois vetores quaisquer deSsoortogonais. S V umconjuntoortonormal seSortogonal e |v|=1para todov S.Exemplo 7.1.7A base cannica de Kn um conjunto ortonormal relativa-mente ao produto interno usual de Kn.Proposio 7.3SejaVumespaovetorial comprodutointerno , ). SeX V um conjunto ortogonal de vetores no nulos, ento X linearmenteindependente.Dem. Suponhamosa1x1 + ... + anxn=0, n N, ai K, xi X. Ento:xi,n

k=1akxk) =0, donde xi, aixi) =0, isto, ai|xi|2=0e, portanto,ai= 0(i = 1, ..., n), o que mostra ser X linearmente independente.Proposio 7.4Seja v1, ..., vn, ... um conjunto ortogonal de vetores no-nulosnumespaovetorial comprodutointerno , ). Sejamv V eci=v, vi)|vi|2(i = 1, 2, ...).(a)Sea1, ..., an K,ento_____v n

i=1civi_____ _____v n

i=1aivi_____,comigualdadeCAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 103se, e s se,ai= ci(i = 1, ..., n)(b)

i=1[ci[2 |vi|2 |v|2(desigualdade de Bessel)Dem. v n

i=1civi, vj) = v, vj) n

i=1civi, vj) = cj|vj|2cj|vj|2= 0(j=1, .., n), ou seja, o vetor vn

i=1civi perpendicular ao subespao S gerado porv1, ..., vn; em particular ao vetorn

i=1(ciai)vi. Do corolrio 7.1.1 do teoremade Pitgoras, resulta que_____v n

i=1civi_____ _____v n

i=1aivi_____, com igualdade se,e s se,n

i=1(ciai)vi= 0, o que equivale aai= ci(i = 1, ..., n).Ainda pelo corolrio 7.1.1 do teorema de Pitgoras, temos |v|2_____n

i=1civi_____2=n

i,j=1civi, cjvj) =n

i=1[ci[2|vi|2, vlida para todon N. Portanto,

i=1[ci[2 |vi|2 |v|2.Exemplo 7.1.8Dadaafunocontnuaf : [0, 2] R, vamosachar,dentreos polinmios trigonomtricos degraum, P(t) =a02+a1cos t+b1sent + ... + amcosmt + bmsenmt, ai R, bi R, oqueminimizaaCAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 104integral_20_f(t) P(t)2dt.SejaV =C0_[0, 2], R_comoprodutointerno f, g)=_20f(t)g(t)dt.As funes 1, cos t, sen t, ..., cos nt, sen nt, ... pertencem a V e formam umconjunto ortogonal de vetores no-nulos, pois_20cosktdt =_20senktdt =_20cosktcoshtdt ==_20cosktsenltdt =_20senktsenltdt = 0sek ,= h, k ,= l, respectivamente, e_2012dt = 2,_20cos2ktdt =_20sen2ktdt = (k = 1, 2, ...)Pela proposio 7.4, |f P|2=_20_f(t)P(t)2dt mnimo quando oscoecientes deP(t) so os coecientes de Fourier de f em relao s funes1, cost, sent, .... Ento:a02=12_20f(t)dt, donde a0=1_20f(t)dtak=1_20f(t)cosktdt e bk=1_20f(t)senktdt.E a desigualdade (abstrata) de Bessel, nos d:a2042 + a21 + b21 + ... + a2n + b2n + ... _20[f(t)[2dt,ou seja,a202+

n=1(a2n + b2n) 1_20[f(t)[2dt,que a desigualdade clssica de Bessel.Exerccio Sejama1, ..., an reais no nulos. Prove:(a21 + ... + a2n)_ 1a21+ ... +1a2n_ n2.CAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 1057.2 Bases OrtonormaisDenio 7.5SejaVumespaovetorial comprodutointerno , ). Umabase (v1, ..., vn) de V ortogonal se o conjunto v1, ..., vn ortogonal, isto ,vi, vj) = 0 sei ,= j. Se, alm disso, |vj| = 1(j= 1, ..., n) ento(v1, ..., vn) uma base ortonormal.Proposio 7.5Todo espao vetorial com produto interno, de dimenso -nitan 1, tem uma base ortonormal.Dem. Seja(u1, ..., un) base de V. A partir desta base vamos obter uma baseortogonal, pelo chamado processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt.Sejav1= u1(,= 0); para acharv2 ponhamosv2= u2a1v1, ondea1 Kescolhidodemodoque v2, v1) =0, isto,u2 a1v1, v1) =0, dondea1= u2, v1)|v1|2.Comou1 eu2 so LI, claro quev2 ,= 0; alm disso, o espao gerado porv1ev2omesmogeradoporu1eu2. Aseguir,paraacharv3,ponhamosv3=u3 b2v2 b1v1, ondeb1eb2soescolhidosdemodoque v3, v1)=v3, v2) = 0, dondeb1= u3, v1)|v1|2eb2= u3, v2)|v2|2.CAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 106Como u3 no est no espao gerado por v1 e v2, temos v3 ,= 0; alm disso,o espao gerado porv1, v2, v3 o mesmo gerado poru1, u2, u3. Por induo,suponhamosconstrudos v1, ..., vk1queformamumconjuntoortogonal devetores no-nulos e so tais que o espao por eles gerado o mesmo geradoporu1, ..., uk1. Paraacharvk, ponhamosvk=uk ck1vk1 ... c1v1,ondec1, ..., ck1soescolhidosdemodoque vk, v1)=... = vk, vk1)=0,dondec1= uk, v1)|v1|2, ..., ck1= uk, vk1)|vk1|2. Comoukno pertence ao espaogerado por v1, ..., vk1 temos vk ,= 0; alm disso, o espao gerado por v1, ..., vkomesmogeradoporu1, ..., uk. Obteremosassim,poresseprocesso,umasequncia(v1, ..., vn) de vetores no-nulos, dois a dois ortogonais, donde LI,ouseja, umabaseortogonal deV. Paraobterumabaseortonormal bastasubstituir cadavi porvi|vi|.Exemplo 7.2.1Vamosacharumabaseortogonal paraosubespaoWdeV= C0_[0, 1], R_, com f, g) =_10f(t)g(t)dt, gerado pelas funes1, t, t2.Sejaf1(t)=1 e tomemosf2(t)=t af1(t)=t a ondea= t, f1)|f1|2=_10tdt =12. Logo: f2(t) = t 12.Ponhamosf3(t) = t2bf2(t) cf1(t), ondeb, c R so dados por:b = t2, f2)|f2|2ec = t2, f1)|f1|2.Temos:|f1|2= 1; |f2|2=_10_t 12_2dt =112; t2, f1) =_10t2dt =13;t2, f2) =_10t2_t 12_dt =112.Logo:f3(t) = t2f2(t) 13f1(t) = t2t +16.Portanto,_1, t 12, t2t +16_ uma base ortogonal de W.Proposio 7.6Sejam V um espao vetorial com produto interno , ) e W Vum subespao de dimenso nita. Ento:V= W WCAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 107Dem. Seja(v1, ..., vr) uma base ortonormal de W. Sev V , sejau = v r

i=1v, vi)vi.Temos:u, vj) = v r

i=1v, vi)vi, vj) = v, vj) r

i=1v, vi)ij== v, vj) v, vj) = 0 (j= 1, ..., r)ou seja,u W. Comor

i=1v, vi)vi W, temosV= W+ W.Sev W W ento v, v) = 0, dondev= 0, isto ,W W= 0.Logo: V= W W.Corolrio 7.6.1Nas condies da proposio 7.6, se V tem dimenso nita,ento: dimV= dimW+ dimW.Obs. Sejam V um espao vetorial com produto interno , ) e(e1, ..., en) umabaseortonormal deV.Seu, v V , u=a1e1 + ... + anen, v=b1e1 + ... +bnen, ento u, v) =n

i,j=1aiei, bjej) =n

i,j=1aibjij=n

i=1aibi, igual ao produtointerno usual dos vetoresa=(a1, ..., an) eb=(b1, ..., bn) de Kn. Se a base(e1, ..., en) no ortonormal e se ei, ej) = gij K, ento u, v) =n

i,j=1gijaibj.Se V um espao vetorial sobre K,de dimenso n,uma maneira de sedenirumprodutointernoemVaseguinte: tomeumabasearbitrria(e1, ..., en)deVedenaoprodutointerno, de u=a1e1+ ... + anenporv= b1e1+... +bnen, por meio de u, v) =n

i=1aibi. Em relao a este produtointerno, a base(e1, ..., en) ortonormal.Exerccios1. Seja c= (u1, u2, u3) a base de R3formada pelos vetores u1= (1, 1, 1), u2=(1, 1, 1)eu3=(1, 1, 1), eseja T=(v1, v2, v3)abaseortogonalobtida de cpelo processo de Gram-Schmidt. Ache a matriz P de pas-sagem de cpara T. Observe que P triangular superior.CAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 1082. Dado o vetor unitrio u = (1, ..., n) Rnforme a matriz A = (i, j)n n. SejaH: RnRno operador cuja matriz na base cannicaIn 2A. Prove que para todov Rntem-seH(v)=v 2v, u)u eque |Hv|= |v|. (H a reexo no hiperplano de Rncuja normal u).3. EmMR(n) considere A, B)=

i,jaijbij, ondeA=(aij) eB=(bij).Mostre que , ) um produto interno. Mostre que o subespao / dasmatrizesantissimtricasocomplementoortogonal dosubespao odas matrizes simtricas emMR(n).7.3 Relaes entre V eVSeja V um espao vetorial com produto interno , ). Sev V , a aplicaou VTv u, v) Kumaformalinear, isto, umelementododualV= /(V, K).Proposio 7.7SejaVumespaovetorial dedimensonitasobreK,munidodeumprodutointerno , ). Aaplicao vVTTvV,Tv(u) = u, v), bijetora.Dem. Tv1+v2(u) = u, v1 + v2) = u, v1) +u, v2) = Tv1(u) + Tv2(u).Tav(u) = u, av) =au, v) =aTv(u), demodoqueTnolinearseK = C. Dizemos que ela semi-linear.T: V V injetora: Tv1= Tv2se, e s se, u, v1) = u, v2) para todou V u, v1v2) = 0 para todou V v1= v2.T : V Vsobrejetora: dadow V, seja(v1, ..., vn)umabaseortonormal de V e seja v= a1v1+... +anvn com ai= w(vi). Ento,Tv(vi) =vi, v) = ai= w(vi), 1 i n, e, portanto,Tv= w.Obs. No caso K = R a aplicao T linear bijetora, isto , um isomorsmoentre V eV.No caso K = C a aplicao T semi-linear bijetora; ela um anti-isomorsmoentre V eV.SeWV umsubespao, vimosqueWsubespaodeVeW0subespao deV, ondeW= v V ;u, v) = 0 u W eW0= V; (u) = 0 u W.CAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 109Sev WentoTv W0poisTv(u)= u, v)=0paratodou W.Assim,T: V V levaW emW0.Um argumento anlogo ao usado na proposio 7.7 mostra que T: W W0 um isomorsmo no caso K = R e um anti-isomorsmo no caso K = C.Observemos tambm que se dim V= n e dim W= r ento dim W= nr,como j vimos anteriormente.Aproposio7.7nosdizque,dadoumfuncional linearw V,existeum e um nico vetorv V tal quew=Tv, isto , w(u)= u, v) para todou V , ou seja,v Vrepresenta a forma linearw V.Exemplo 7.3.1SejamU Rnabertoef: U Rumaaplicaodife-rencivel. Adiferencial defemp Uofuncional lineardf(p) (Rn)tal que, para todov Rn, df(p)(v) =fv(p) = derivada de f no ponto p nadireo de v.Considerando em Rno produto interno usual, o vetor que representa df(p) o gradiente de f em p, f(p) = gradf(p). Assim, f(p) o vetor de Rntal que df(p)v= f(p), v) =fv(p). Se (e1, ..., en) a base cannica de Rne f(p)=a1e1 + ... + anen, entoai= f(p), ei)=fxi(p), (1 i n),ou seja, f(p) =_fx1(p), ...,fxn(p)_.Exemplo 7.3.2SejamVumespaovetorial dedimensonitasobreK,com produto interno , ), Tv(u) = u, v), que sabemos ser semi-linear bijetora.Vamos denir um produto interno emVpor meio de Tv, Tu) = u, v). Defato, temos:(a) Tv1+Tv2, Tu) = Tv1+v2, Tu) = u, v1+v2) = u, v1)+u, v2) = Tv1, Tu)+Tv2, Tu).(b) aTv, Tu) = Tav, Tu) = u, av) = au, v) = aTv, Tu).(c) Tv, Tu) = u, v) = v, u) = Tu, Tv).(d) Tv, Tv) = v, v) = |v|2> 0 sev ,= 0.A partir de (V, , )), usando o mtodo acima, podemos introduzir um pro-duto interno em V.Seja L : V V denido por L() = , ), , V. Denimos L, L)= , ). VamosmostrarqueL T : VVcoincidecomoisomorsmocannicoJ : VV, Jv() =(v), v V, V, isto , vamos mostrar queLTv= Jv.Temos: LTv(Tu) = Tu, Tv) = v, u) =Tu(v) =Jv(Tu), donderesultaLTv= Jv, ou seja,L T= J.CAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 1107.4 AdjuntaSejam V e W espaos vetoriais de dimenso nita, ambos com produto in-terno, eT: V Wlinear.Proposio 7.8ExisteumanicaaplicaolinearT: W V tal queTv, w) = v, Tw) para todov Ve todow W.Dem. Sejaw Wxomasarbitrrioeseja : V Kofuncionallineardenidopor (v) = Tv, w). Pelaproposio7.7existeumnicou=Tw V tal que(v)= v, Tw), ou seja, Tv, w)= v, Tw). Vamosmostrar queT:W V assim denida linear. Sev V, w1, w2 Wtemos:v, T(w1+w2)) =Tv, w1+w2) =Tv, w1)+ Tv, w2) =v, Tw1)+v, Tw2) = v, Tw1 + Tw2) o que mostra serT(w1 + w2) igual aTw1 +Tw2.Sea K, temos: v, T(aw)) = Tv, aw) =aTv, w) =av, Tw) =v, aTw) para todow W, dondeT(aw) = aT(w).Denio 7.6A aplicao linearT: W Vtal que Tv, w) = v, Tw)quaisquer que sejamv V ,w W, chama-se a adjunta de T. SeV= WeT= T o operador linear T: V Vchama-se auto-adjunto (se K = R diz-se tambm que T simtrico; se K = C diz-se tambm que T hermitiano).Proposio 7.9Seja V um espao vetorial de dimenso nita sobre K, comproduto interno , ). Sea K eL, T: V Vso lineares, ento:(a)(L + T)= T + L;(b)(aT)= aT;(c)(L T)= T L;(d)(T)= T.Dem.(a) (L+T)(u), v) = Lu+Tu, v) = Lu, v)+Tu, v) = u, Lv)+u, Tv) == u, Lv + Tv) = u, (L + T)(v)) quaisquer que sejamu, v V .Portanto: (L + T)= L + T.(b) (aT)(u), v) = aT(u), v) = au, Tv) = u, aT(v)) == u, (aT)(v)), donde(aT)= aT.(c) (L T)(u), v) = L(Tu), v) = Tu, Lv) = u, TLv) = u, T L(v)),donde(L T)= T L.(d) Tu, v) = v, Tu) = Tv, u) = u, Tv), donde(T)= T.Obs. Se L=Le T =Tsooperadores auto-adjuntos emV, ento(L T)= T L= T L eL T auto-adjunto se, e s se,T L = L T.CAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 111Exemplo 7.4.1Sejam V e W espaos vetoriais de dimenso nita munidosde produto interno, c= (v1, ..., vn) e T= (w1, ..., wm) bases ortonormais deVeW,respectivamente. SeT: VWlineare _TEF=A=(aij)mn, vamos mostrar que _TFE= A= At,A= (bij) n m.Temos:vi, Twj) = Tvi, wj)Mas:vi, Twj) = vi,m

k=1bkjvk) = bijTvi, wj) =n

k=1akivk, wj) = aji.Portanto,bij= aji, dondeA= At.Denio 7.7SejaA=(aij)mn. AadjuntadeAamatrizA=At= (bij) nm, ondebij= aji. Se A quadrada eA = Adizemos queA auto-adjunta (simtrica se K = R, hermitiana se K = C).Exemplo 7.4.2Os autovalores de umoperador auto-adjunto T =T:V Vso reais.De fato, sev ,= 0 eTv= v= Tv, temos:Tv, v) = v, Tv), donde, v, v) = v, v)eda vem: v, v) =v, v),donde = .Exemplo 7.4.3Osautovetores, associadosaautovaloresdistintos, deumoperador auto-adjuntoT= T: V V , so ortogonais.De fato, seTv1= 1v1, Tv2= 2v2, 1 ,= 2, ento(1 2)v1, v2)= 1v1, v2) v1, 2v2)= Tv1, v2) v1, Tv2)=0, dondev1, v2) = 0.Obs. Aproposio7.8mostraquesedimV nita,todoT /(V )temum adjuntoT /(V ). Se V no tem dimenso nita, dadoT /(V ) podeou no existirT /(V ) tal que Tv, u) = v, Tu) parau, v Vquaisquer.Exemplo 7.4.4SejaVoespaovetorial real das funes f : RRdeclasseCqueseanulamforade[0, 1], comoprodutointerno f, g)=_10f(t)g(t)dt. SejaD : V Vo operador de derivao. Temos:Df, g) =_10f

(t)g(t)dt = f(t)g(t)10_10f(t)g

(t)dt = f, Dg) = f, Dg),dondeD= D. Neste exemplo V tem dimenso innita.CAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 112Proposio 7.10Seja V um espao vetorial complexo, de dimenso nita,munidodeumprodutointerno , ). Se T : V V linearetal queTv, v) = 0 para todov V , entoT= 0.Dem. Seu, v V , temos a identidadeT(u + v), u + v) Tu, u) Tv, v) = Tu, v) +Tv, u).Mas se Tw, w) = 0 para todow V , ento essa identidade nos d:Tu, v) +Tv, u) = 0 Substituindo-se u por iu (i2= 1), obtemos:Tv, iu) +T(iu), v) = 0, dondeiTv, u) + iTu, v) = 0, ou aindaTv, u) +Tu, v) = 0 Somandocom , vem: 2Tu, v)=0, donde Tu, v)=0 para todou Ve para todov V , dondeT= 0.Proposio 7.11Sejam V um espao vetorial real, de dimenso nita, mu-nido de um produto interno , ) eT: V Vlinear simtrico. Se Tv, v) =0 para todov V , entoT= 0.Dem. A identidade T(u +v), u +v) Tu, u) Tv, v) = Tu, v) +Tv, u)nos dTu, v) +Tv, u) = 0.Mas, Tv, u) = v, Tu) = Tu, v).Portanto,2Tu, v) = 0, dondeT= 0.Proposio 7.12SejamV, WespaosvetoriaisdedimensonitasobreK, munidos de produto interno, eT: V Wlinear. Ento:(a) ^(T) = (ImT); (b)ImT= ^(T)(c) ^(T) = (ImT); (d)ImT= ^(T)Dem. sucienteprovar(a), asoutrasigualdadessendoconsequnciasimediatas. Temos:v ^(T) Tv= 0 u, Tv) = 0 para todou V Tu, v) = 0 paratodou V v (ImT).Corolrio 7.12.1O posto deT igual ao posto de T.Dem. dimImT= dimV dim ^(T) = dimImTCAPTULO 7. PRODUTO INTERNO 1137.5 Exerccios do Captulo 71. Seja V um espao vetorial sobre Kmunido de um produto interno, e seja(v1, ..., vn)umabasedeV.Dadosa1, a2, ..., an Karbitrrios, proveque existe um, e um nico, vetor w Vtal que w, vj) = aj, 1 j n.2. Se T invertvel eTST auto-adjunto, prove que S auto-adjunto.3. SejaT : VV umoperadordiagonalizvel. Provequepossveldenir um produto interno em V em relao ao qualT= T.4. Seja V um espao vetorial de dimenso nita sobre K e sejaT: V V umoperadordiagonalizvel. SeWV umsubespaotal queT(W) W, prove queTW: W W diagonalizvel em W.5. Sejam S, T: V Voperadores auto-adjuntos. Prove que existe baseortonormal de V formada por autovetores comuns a S e T se, e s se,S T= T S.6. SejaMn(C) o espao vetorial complexo das matrizesn n. Prove queA, B)=tr(AB) um produto interno emMn(C) e ache o comple-mento ortogonal do subespao das matrizes diagonais (Obs. B= Bt).7. Seja W um subespao de dimenso nita de um espao vetorial V mu-nido de produto interno. SeE: V W a projeo ortogonal de Vsobre W, prove que E(u), v) = u, E(v)) parau, v Vquaisquer.8. Sejam V= W1W2, , )1 e , )2 produtos internos em W1 e W2 respec-tivamente. Mostre que existe um nico produto interno , ) em V talqueW2= W1e u, v) = u, v)k quandou, v Wk, k = 1, 2.9. Seja V um espao vetorial complexo com produto interno. Prove queT: V Vlinear auto-adjunto se, e s se, Tv, v) real para todov V .Captulo 8Operadores Unitrios e Normais8.1 DeniesDenio 8.1Sejam V, W espaos vetoriais sobre K, munidos de produtointerno. Dizemos queT: V W uma isometria se T linear bijetora eTu, Tv) = u, v) quaisquer que sejamu, v V .Assim, uma isometria um isomorsmo que preserva o produto interno.Proposio 8.1Seja V um espao vetorial com produto interno. Ento:4u, v) = |u + v|2|u v|2se K = R.4u, v) = |u +v|2|u v|2+i|u +iv|2iu iv)2se K = C, quaisquerque sejamu, v V .Dem. Exerccio.Proposio 8.2SejamV,Wespaosvetoriaisdemesmadimensonitasobre K, munidos de produto interno, eT: V Wlinear. So equivalen-tes:(a)Tu, Tv) = u, v); (b)|Tv| = |v|;(c) T isometria; (d) T leva base ortonormal de V em base ortonormal de W;(e) T leva alguma base ortonormal de V em base ortonormal de W.Dem. (a) (b): bvio.(b) (c): sev ,=0 entoT(v) ,=0,donde T injetora e,comodimV =dimW,Tbijetora. Pelaproposio8.1,epelahiptese,temos(nocasoK = C):4Tu, Tv) = |T(u + v)|2|T(u v)|2+ i|T(u + iv)|2i|T(u iv)|2== |u +v|2|u v|2+i|u +iv|2i|u iv|2= 4u, v), donde Tu, Tv) =u, v). Portanto, T isometria.114CAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 115(c) (d): seja(v1, ..., vn)baseortonormal deV.ComoTisomorsmo,(Tv1, ..., Tvn) base de W. Do fato de ser Tvi, Tvj) = vi, vj) = ij, resultaque essa base de W ortonormal.(d) (e): bvio.(e) (a): seja(v1, ..., vn)base ortonormal deV tal que(Tv1, ..., Tvn)sejabase ortonormal de W. Ento:Tvi, Tvj) = vi, vj) = ij.Seu = a1v1 + ... + anvn ev= b1v1 + ... + bnvn, ento:u, v) =n

i=1aibi e Tu, Tv) = n

i=1aiT(vi),n

j=1bjT(vj)) =n

i,j=1aibjTvi, Tvj) ==n

i,j=1aibjij=n

i=1aibi.Portanto,Tu, Tv) = u, v)Corolrio 8.2.1Sejam V, W espaos vetoriais de dimenso nita sobre K,munidos de produto interno. V e W so isomtricos (isto , existe isometriaT: V W) se, e s se,dimV= dimW.Dem. Sejam(v1, ..., vn) e(w1, ..., wn) bases ortonormais de V e W, respecti-vamente. DenamosT: V Wlinear porT(vi) = wi, 1 i n. EntoT isometria. A recproca imediata.Denio 8.2SejamVumespaovetorial comprodutointerno , )eT:V Vlinear. Dizemos que T um operador unitrio se T uma isome-tria.No caso de V ter dimenso nita, a proposio 8.2 mostra que T uni-triose, esse, preservaoprodutointerno. NocasoemqueK= Rumoperador unitrio usualmente chamado de ortogonal.Exemplo 8.1.1SejaV1=C0([0, 1], R)oespaovetorial real dasfunescontnuasf: [0, 1] R com o produto interno f, g)1=_10f(t)g(t)et2dt,esejaV2=C0([0, 1], R)comoprodutointerno f, g)2=_10f(t)g(t)dt. AaplicaoT:V1 V2denida por(Tf)(t)=et22f(t), t [0, 1], linearbijetoraepreservaoprodutointernopois Tf, Tg)2=_10et2f(t)g(t)dt=f, g)1. Portanto,T: V1 V2 uma isometria.CAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 116Proposio 8.3SejamVumespaovetorial comprodutointerno, dedi-menso nita eT: V Vlinear. T unitrio se, e s se,T T= I(=T T).Dem. T unitrio se, e s se, Tu, Tv) = u, v) para todou, v V , o queequivale a TTu, v) = u, v) e, portanto, equivale aT T= I.Denio 8.3Dizemos queA Mn(K) unitria seAA=In. Lembre-mos que A= At. Se K = R temos A= Ate usual dizer que A ortogonalseAtA = In.Corolrio 8.3.1Sejam V um espao vetorial de dimenso nita, munido deum produto interno eT: V Vlinear. T unitrio se, e s se, a matrizde T em alguma (ou toda) base ortonormal de V uma matriz unitria.Dem. Imediata.Exemplo 8.1.2Consideramos o Rncom o produto interno usual.Um movimentorgidoumaaplicaoT: Rn Rntal que |Tu Tv|= |u v|paratodou, v Rn. Por exemplo,Tv0(v) = v + v0, ondev0 Rn xo, ou seja,uma translao, um movimento rgido.(a) Vamos mostrar que se T : RnRn ummovimentorgidotalqueT(0) =0, entoTlineareortogonal. Observemosque, nestecaso,|Tu| = |T(u) T(0)| = |u 0| = |u|. Alm disso,|Tu Tv|2= Tu Tv, Tu Tv) = |Tu|2+|Tv|22Tu, Tv).Por outro lado, |Tu Tv|2= |u v|2= |u|2+|v|22u, v).Resulta: Tu, Tv) = u, v), ou seja, se T movimento rgido eT(0) = 0,ento T preserva o produto interno.Temos:|T(u+v)T(u)T(v)|2= |T(u+v)|2+|Tu|2+|Tv|22T(u+v), T(u))2T(u + v), T(v)) + 2Tu, Tv) = |u + v|2+|u|2+|v|22u + v, u)2u +v, v) + 2u, v) = 2|u|2+ 2|v|2+ 2u, v) 2|u|22|v|24u, v)++2u, v) = 0. Logo: T(u + v) = T(u) + T(v).Analogamente,|T(av)aT(v)|2= |T(av)|2+a2|Tv|22aT(av), T(v)) = |av|2+a2|v|2CAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 1172aav, v) = 0.Logo: T(av) = aT(v), a R.Portanto, T uma aplicao linear ortogonal.(b) Sejam T: RnRnmovimento rgido, T(0) = v0 e Tv0(v) = vv0.A composta de movimentos rgidos um movimento rgido, como fcil desevericar, demodoqueL=Tv0 TummovimentorgidoeL(0) =Tv0(T(0))=Tv0(v0)=0. Pelaparte(a)vemqueL: Rn Rnumoperador ortogonal. Como(Tv0)1= Tv0eL = Tv0 T, vemL = T1v0 T,dondeT =Tv0 L, ouseja, todomovimentorgidoacompostadeumatranslao com um operador ortogonal:T(v) = L(v) + v0, para todov Rn.Denio 8.4Sejam V um espao vetorial de dimenso nita sobre K, mu-nido de um produto interno eT: V Vlinear. Dizemos que T normalse T comuta com seu adjunto, isto , seT T=T T. claro que todooperadorauto-adjuntonormal, bemcomotodooperadorunitrio; clarotambm que se T: V V normal e a K, ento aT normal. Em geral,a soma e o produto (composta) de operadores normais no so normais, masvale o seguinte resultado.Proposio 8.4SejamVumespaovetorial dedimensonitasobreK,munidodeumprodutointernoeT1, T2: VV operadoresnormais. SeT1T2= T2 T1 (ou T2T1= T1 T2), ento T1+T2 e T1T2 so operadoresnormais.Dem. claro queT1 T2= T2 T1 se, e s se,T2 T1= T1 T2.Temos:(T1+T2)(T1+T2)= (T1+T2)(T1 +T2) = T1T1 +T1T2 +T2T1 +T2T2.E:(T1+T2) (T1+T2) = (T1 +T2)(T1+T2) = T1T1+T1T2+T2T1+T2T2.Como T1T1= T1T1, T2T2= T2T2, T1T2= T2T1 e T2T1= T1T2,vem queT1 + T2 normal.Temos tambm:T1T2(T1T2)= T1T2T2T1= T1T2T2T1= T2T1T1T2= T2T1T1T2= (T1T2)T1T2,dondeT1T2 normal.CAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 118Proposio 8.5Sejam V um espao vetorial complexo de dimenso nita,munido de um produto interno, eT:VV linear. T normal se, e sse, |Tv| = |Tv| para todov V .Dem. |Tv| =|Tv|se, e sse, Tv, Tv) =Tv, Tv) se, e sse,TTv, v) = TTv, v) para todov Vse, e s se,TT= TTpela proposi-o 7.10.Denio 8.5Dizemos queA Mn(K) normal seAA= AA.Obs. imediato vericar queT:VV normal se,e s se,a matrizde T numa base ortonormal de V uma matriz normal.Exemplo 8.1.3A =_1 ii 1_ normal poisA= At=_ 1 ii 1_eAA= AA =_2 00 2_.Exemplo 8.1.4T: V V normal T I normal, K.Temos: (T I)(T I)= (T I)(TI) = TTTT+[[2I.(T I) (T I) = (TI)(T I) = TT T T +[[2I.Logo,T I normal TT= TT T normal.Exemplo 8.1.5Se V um espao vetorial complexo, T: V V normaleTv= v,v ,= 0, entoTv= v.Defato, seTnormal, ento |(T I)v|= |(T I)(v)|=0, dondeTv=v. Se T unitrio ento Tv, Tv)= v, v)= [[2v, v)= v, v),donde [[ = 1.Proposio 8.6(Teorema Espectral para Operadores Normais)Sejam V um espao vetorialde dimenso nitan 1 sobre o corpo K,munidodeumprodutointerno,eT: VV umoperadornormal. SeopolinmiocaractersticodeTtemtodassuasrazesem K(porexemplo,seK= C),entoexistebaseortonormal TdeVformadaporautovetoresdeT, isto , a matriz[T]FF diagonal.CAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 119Dem.J vimos que existe base c de V na qual a matriz de T triangularsuperior. Usando o processo de Gram-Schmidt obtemos, a partir de c, umabase ortonormal T= (v1, ..., vn) de V na qual [T]FF= B= (bij) triangularsuperior e temos[T]FF= B= Bt. ComoT T= T TobtemosBB=BB. Comparando os elementos diagonais deBB eBB, vemos que:[b11[2+[b12[2+ ... +[b1n[2= [b11[2[b22[2+ ... +[b2n[2= [b12[2+[b22[2...[bnn[2= [b1n[2+[b2n[2+ ... +[bnn[2,donde resulta quebij= 0 parai ,= j, ou seja, B diagonal e T= (v1, ..., vn) base ortonormal de V formada por autovetores de T.Corolrio 8.6.1Se K = C e T unitrio, ento T diagonalizvel.Corolrio 8.6.2S e T auto-adjunto, ento T diagonalizvel.Obs. Arecprocadaproposio8.6tambmverdadeira, isto, seexistebaseortonormal TdeVformadaporautovetoresdeT, entoTnormal. De fato, se[T]FF= B=__10...0 n__ entoB=__10...0 n__ eBB= BB=__[1[20...0 [n[2__ e B normal, donde T normal.8.2 Operadores PositivosDenio 8.6Sejam V um espao vetorial com produto interno e T: V V linear. DizemosqueTpositivo, eescrevemos T >0, se T =TeTv, v)>0paratodov ,=0. SeT =Te Tv, v) 0paratodov V ,dizemos que T no-negativo, e escrevemosT 0.Proposio 8.7Umoperadorauto-adjuntoT: VV positivo(resp.no-negativo)se, esse, seusautovaloressotodospositivos(resp. no-negativos).Dem.Se T> 0 e Tv= v com v ,= 0, ento v, v) = v, v) = Tv, v) > 0,donde>0. Reciprocamente, seosautovaloresdeTsotodospositivos,seja(v1, ..., vn)baseortonormal deVtal queTvi=ivi, 1 i n. SeCAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 120v V entov=n

i=1aivie Tv, v) =n

i,j=1aiivi, ajvj) =n

i=1i[ai[2>0,dondeT> 0. O casoT 0 anlogo.Corolrio 8.7.1Seja T 0. Se v V tal que Tv, v) = 0, ento Tv= 0.Dem. Sejam1, ..., rosautovaloresno-nulosdeTev=r

i=1aivicomoacima. Ento, Tv, v) = 0 nos dr

i=1i[ai[2= 0 dondea1= ... = ar= 0, oque implicaTv= 0.Corolrio 8.7.2T: V V positivo se, e s se, T invertvel eT 0.Dem.Se T> 0 ento T 0 e Tv ,= 0 para todo v ,= 0, donde T invertvel.Reciprocamente, se T 0 invertvel ento Tv ,= 0 para todo v ,= 0 e Tv, v) positivo pelo corolrio 8.7.1, dondeT> 0.Obs. SejaT : VV , dimV =n, umoperadornormal. Se c =(u1, ..., un)baseortonormal deVeA=[T]EEentoAA=AA. SejaT= (v1, ..., vn) base ortonormal de V formada por autovetores de T. Ento:[T]FF=__10...0 n__= D.Temos:[T]FF= [I]EF[T]EE[I]FE ,donde P1AP= D, onde P= [I]FE a matriz de passagem da base ortonormalcpara a base ortonormal T, ou seja, P unitria. Resulta que toda matriznormal pode ser unitariamente diagonalizada. Se A matriz simtrica entoP ortogonal.Exemplo 8.2.1Seja A =__1 2 22 1 22 2 1__.Ento: det(AI) =__1 2 22 1 22 2 1 __== (3 )2(3 ).(a) = 3:4x12x22x3= 02x14x22x3= 02x12x24x3= 0,CAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 121donde X1=__111__ autovetor, dondeX1=__1/31/31/3__ autovetor unitrio.(b)=3: 2x1 2x2 2x3=0, dondex1= x2 x3e X2=__110__e X3=__101__ so autovetores. Como X2 e X3 no so ortogonais, usamosGram-Schmidtparaortogonaliz-los. Obtemos: X2=__1/21/20__eX3=__1/61/62/6__.Os vetoresX1, X2, X3formam uma base ortonormal de R3de modo queH=__1/3 1/2 1/61/3 1/2 1/61/3 0 2/6__matriz ortogonal (H1=Ht) tal queH1AH= D =__3 030 3__.Denio 8.7SejaA=(aij) Mn(K). DIzemosqueApositiva(resp.no-negativa) se o operadorTA: Kn KnTA(x)=Ax, positivo (resp.no-negativo). Assim, A>0se, esse, A=At(Ahermitiana) eTA(x), x) = Ax, x) =n

i,j=1aijxixj>0paratodox =(x1, ..., xn) ,=0.Da proposio 8.7 resulta que uma matriz hermitiana positiva se, e s se,seus autovalores so todos positivos.Denio 8.8Uma matrizB= (bij) n n chama-se raiz quadrada deA = (aij) n n seA = B2.Proposio 8.8Toda matriz positiva (resp. no-negativa) A = (aij) nn tem raiz quadrada positiva (resp. no negativa).Dem.Sejam 1, ..., n os autovalores de A, todos positivos. Pelo teorema es-pectral existe matriz unitria P nn tal que P1AP= D =__10...0 n__.CAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 122SejaB=___10...0_n__; entoB2= D.SejaC=PBP1, dondeC2=PB2P1=PDP1=A, ouseja, amatrizCraizquadradadeA>0, eC>0poisauto-adjuntaeseusautovalores so positivos.Obs. Os autovalores de umoperadornormal, associadosaautovaloresdistintos, so ortogonais. De fato, sejam: Tv= v, Tu = u, ,= , u, v V .Temos: Tv, u) v, Tu) =0, donde v, u) v, u) =0, donde( )v, u) = 0, donde v, u) = 0 pois ,= .8.3 Matrizes Simtricas Positivas. Decomposi-o de CholeskyDenio 8.9SejaA=(aij) nn es n um natural. A submatrizprincipal de ordem s de A a submatrizAsobtida de A pela supresso dasltimas(n s) linhas e colunas.Exemplo 8.3.1A =__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__.Ento: A1= [a11]; A2=_a11a12a21a22_eA3= A.Proposio 8.9Seja A uma matriz simtrica de ordem n.So equivalentes:(a)Apositiva(A>0),isto, Ax, x)=xtAx>0paratodox ,=0,x =__x1...xn__ Rn.(b) As submatrizes principaisA1, ..., An de A so todas positivas.(c)Apodeserreduzidaformatriangularsuperiorusando-seapenasoperaes do tipoTij() e com pivs positivos.(d)Atemumafatorao(deCholesky) A=LLtondeLtriangularinferior com elementos diagonais positivos.Dem.(a) (b): Seja1 s n; vamosprovarque As>0. SejaXs=(x1, ..., xs)t,= 0 em RseX= (x1, ..., xs, 0, ..., 0)t Rn.CAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 123Ento: XtsAsXs= XtAX> 0, ou seja,As> 0 (dondedetAs> 0 j quedetAs o produto dos autovalores deAs, todos positivos).(b) (c): Para simplicar, vamos tomar uma matriz4 4:A =__a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44__.Porhiptese, A1>0, A2>0, A3>0, A4=A>0. Emparticular,detA1= a11> 0 e podemos us-lo como piv, de modo queA A(1)=__a11a12a13a140(1)a22 0 0 __,onde det_a11a120(1)a22_= det A2> 0, donde(1)a22=detA2a11> 0, e podemos usar(1)a22 como piv, obtendoA A(1) A(2)=__a11a12a13a140(1)a22 0 0(2)a33

0 0__.ComodetA3=a11 (1)a22 (2)a33>0,resulta(2)a33> e podemos us-lo comopiv, obtendoA A(1) A(2) A(3)=__a11a12a13a140(1)a22 0 0(2)a33

0 0 0(3)a44__= U,comdetA4=detA3 (3)a44>0,donde(3)a44>0 e U triangular superior comelementos diagonais positivos.(c) (d): SeApodeserreduzidaformatriangularsuperior U =(uij), ukk> 0, usando-se apenas operaes elementares do tipoTij(), entoCAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 124A=LU, ondeLtriangularinferiorcomdiagonal formadaapenaspornmeros 1:L =__1 0......e211... ... .........en1en2... 1__= (eij),ondeekk= 1 e, parai > j,eij= oposto do multiplicador usado emTij()(veja a observao no m do captulo 5). Ento:A = LU=__1 0...e211... ... ......en1en2... 1____u110...u22...0 unn____1u12u11...u1nu11...1 ...u2nu22...0 1__== LDU1.Essa decomposio nica pois se fosseA = L1D1U1= L2D2U2comL1, L2triangulares inferiores,D1, D2diagonais,U1, U2triangulares superiores,L1,L2, U1, U2 com diagonais formadas apenas por nmeros 1, viria D12L12L1D1=U2U11ondeoprimeiromembrotriangularinferioreosegundomembrotriangularsuperior, amboscomdiagonal formadaapenaspornmeros1,dondeU2U11=In, oqueimplicaU1=U2eD12L12L1D1=In, ouseja,L12L1=D2D11,a diagonal do primeiro membro tendo todos os elementosiguais a 1, dondeD2D11= In, que implicaD1= D2 eL1= L2.Logo, A=LDU1,dondeAt=Ut1DLt=A=LDU1,dondeU1=LteA = LDLt= LD1/2D1/2Lt= L1Lt1, que a decomposio de Cholesky.(d) (a): TemosA=LLt=At. Sejax ,=0, dondey=Ltx ,=0extAx = xtLLtx = yty= |y|2> 0, ou seja,A > 0.8.4 Teorema dos Valores SingularesLema 8.4.1SejaT: V Wuma aplicao linear entre espaos vetoriaisde dimenso nita sobre K, munidos de produto interno. Ento ^(TT)=^(T).Dem. claro que ^(TT) ^(T). Sejav ^(TT), isto ,TTv= 0,donde Tv ^(T) = (Im T), donde Tv Im T (Im T), donde Tv= 0,ou seja,v ^(T), resultando a tese.CAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 125Proposio 8.10SejamV, WespaosvetoriaisdedimensonitasobreK, munidos deprodutointerno, e T : V Wlinear. Os operadoresTT:VV eTT:W Wso no-negativos e tm o mesmo postode T; eles so positivos se, e s se, T invertvel.Dem. Como(TT)=TT, resultaque TT auto-adjunto; analo-gamentepara TT. Se vV , tem-se TTv, v) =|Tv|20, dondeTT0; analogamenteparaTT; almdisso, TTv, v) >0se v,=0se, e s se, |Tv| > 0, isto , se, e s se, T invertvel. Pelo Lema anterior,^(TT) = ^(T), donde resultaposto(TT) = dimV dim ^(TT) == dimV dim ^(T) = posto(T) = posto(T) = posto(TT).Corolrio 8.10.1T: V Wlinear injetora se, e s se,TT invert-vel; T sobrejetora se, e s se,TT invertvel.Dem. Tinjetora posto(T)=dimVposto(TT)=dimVTT invertvel. Analogamente paraTT.Obs. SejaA = (aij) m n. Seposto(A) = n entoAA invertvel,donde positiva, eAA 0. Seposto(A) = m entoAA> 0 eAA 0.Exemplo 8.4.1A =_1 0 21 1 3_ tem posto igual a 2. Ento,AA=_5 55 11_ positiva eAA =__2 1 11 1 31 3 13__ no-negativa.Proposio 8.11(Teorema dos Valores Singulares)SejamUeVespaosvetoriaisdedimensonitasobre K,munidosdeprodutointerno, eT : UV lineardepostoigual ar. Existembasesortonormais c= (u1, ..., un) de U, T= (v1, ..., vm) de V tais queTui= ivi, 1 i r ; Tvi= iui, 1 i rTuj= 0 , r + 1 j n ; Tvk= 0 , r + 1 k m,onde os nmeros1, ..., rso positivos: so os valores singulares de T.Dem. TT: U U no-negativa e tem posto r. Pelo teorema espectralexiste base ortonormal c= (u1, ..., un) de V tal que [TT]EE=__10...r0...0 0__,onde1= 21, ..., r= 2rso positivos. Ento,CAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 126(1 i, j r) Tui, Tuj) = TTui, uj) = 2iij, e os vetoresTui, Tujso 2 a 2 ortogonais e no-nulos, j que |Tui| = i(1 i r). Alm disso,Tuk= 0, r + 1 k n, pois ^(T) = ^(TT).Para1 i r, sejavi=1iTui, donde |vi| = 1 eTui= ivi, 1 i rTuj= 0 , r + 1 j n.Osvetoresv1, ..., vrformamumabaseortonormal deImT, queesten-demosaumabaseortonormal T=(v1, ..., vm)deVtomando(vr+1, ..., vm)base ortonormal de ^(T) = (ImT). Portanto,Tvk= 0,r + 1 k meTvi=1iTTui= iui, 1 i r. T base ortonormal de autovetores deTT j queTTvi= T(iui) = 2ivi= ivi.Obs. A aplicao linearT+: V Udenida porT+(vi) =1iui, 1 i r ; T+(vk) = 0, r + 1 k m, tal queTT+(vi) = T_1iui_= vi, 1 i rTT+(vk) = 0, r + 1 k mT+T(ui) = T+(ivi) = ui, 1 i rT+T(uj) = 0, r + 1 j nDenio 8.10T+: V U a pseudo-inversa deT: U V .Obs. Nas condies do Teorema dos Valores Singulares, sejaA=[T]E1F1m n onde c1e T1so bases ortonormais de U e V, respectivamente.TemosCAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 127[I]F1F[T]E1F1[I]EE1=QAP,ouseja,existemmatrizesunitriasQ=matrizde passagem de Tpara T1,P= matriz de passagem de c1 para c, tais queonde1, ..., rso os valores singulares da matriz A de posto r.Obs.Sejam V um espao vetorial de dimenso nita sobre (K) munido deproduto interno, eT: V Vlinear invertvel. Pelor Teorema dos ValoresSingulares existem bases ortonormais c=(u1, ..., un) e T=(v1, ..., vn) taisqueTTui= 21ui eTui= ivi, 1 i n.SejaHtal queH2=TT. EntoH>0. DenaU=TH1U=H1TUU =H1TTH1=H1H2H1=I, isto, Uunitriae T =UH, ouseja, todaaplicaolinearinvertvel oprodutodeumaaplicao unitria por uma aplicao positiva.8.5 Exerccios do Captulo 81. Sejam V um espao vetorial de dimenso nita, munido de um produtointerno , eT: V Vlinear. Sea, b K so tais que [a[ = [b[, provequeaT+ bT normal.2. Seja R2com o produto interno usual. SeT: R2 R2 um opera-dor unitrio (ortogonal) mostre que a matriz de T na base cannica _cos sensen cos_ ou_cos sensen cos_ para algum real,0 2.3. Seja V= C2com o produto interno usual.Seja T: V Vo operadorlinearcujamatriznabasecannicaA=_1 ii 1_. MostrequeTCAPTULO 8. OPERADORES UNITRIOS E NORMAIS 128normal e ache uma base ortonormal de V formada por autovetores deT.4. Ache a decomposio de CholeskyLLtda matrizA =_4 22 10_.5. Seja A n n (simtrica e) positiva, A = QDQtonde Q ortogonale D diagonal. Ache matriz invertvel B tal queA = BtB.6. Seja A n n (simtrica e) negativa(A < 0).(a) Qual o sinal dedetA?(b) Mostre que as submatrizes principais de A so negativas.(c) Mostre que os determinantes das submatrizes principais de A alter-nam em sinal.Captulo 9Formas Bilineares e Quadrticas9.1 GeneralidadesDenio 9.1Seja K um corpo de caracterstica ,= 2; por exemploK= RouK= C. SejamU,V,WespaosvetoriaissobreK.UmaaplicaoT:U V W bilinear se T linear em cada varivel separadamente, isto, seT(u1 + u2, v) = T(u1, v) + T(u2, v); T(u, v) = T(u, v)T(u, v1 + v2) = T(u, v1) + T(u, v2); T(u, v) = T(u, v)quaisquer que sejamu, u1, u2 U,v, v1, v2 Ve K.Com as leis usuais de adio e produto por escalar, o conjunto das apli-caesbilineares T : U V Wumespaovetorial sobreK, ano-tado /(U, V ; W). QuandoU=V eW=K, representamos /(V, V ; K) por/2(V ; K) e dizemos quef /2(V ; K) uma forma bilinear.Exemplo 9.1.1(x, y) RnRn x, y) =n

i=1xiyi uma forma bilinearem Rn.Exemplo 9.1.2Sef, g Vdenimosseuprodutotensorial f geseuproduto exteriorf g por:(f g)(u, v) = f(u)g(v) ; (f g)(u, v) = f(u)g(v) f(v)g(u). fcil ver quef g ef g so formas bilineares em V.Exemplo 9.1.3Se V =C0([a, b], R) = f : [a, b]R, contnua ef, g V , ento(f, g) _baf(t)g(t)dt uma forma bilinear em V.129CAPTULO 9. FORMAS BILINEARES E QUADRTICAS 130Exemplo 9.1.4 : /(U, V ) /(V, W) /(U, W)(S, T) (S, T) = T S uma aplicao bilinear.Proposio 9.1Seja : /(U, V ; W) /(U, /(V, W))T T: U /(V, W)u T(u) : V Wv T(u)(v) = T(u, v)onde U, V, W so espaos vetoriais sobre K.Ento, um isomorsmo cannico.Dem. Seja: /(U; /(V, W)) /(U, V ; W)S S: U V W(u, v) S(u, v) = S(u)(v)fcil vericarqueeestobemdenidas, solineares, =id, = id, ou seja, e so isomorsmos e= 1.Corolrio 9.1.1 : /2(V ; K) /(V, V)f f: V Vu f(u) : V Kv f(u, v) um isomorsmo cannico que nos permite identicar /2(V ; K) com /(V, V).Denio 9.2f /2(V ; K) simtrica sef(u, v) = f(v, u) quaisquer quesejamu, v V .f /2(V ; K) antissimtrica sef(u, v) = f(v, u) quaisquer que sejamu, v V ; neste caso,f(v, v) = f(v, v) dondef(v, v) = 0 para todov V ,isto , f alternada.Obs. O conjunto das formas bilineares simtricas (resp. antissimtricas)emVumsubespaovetorial o2(V ; K)(resp. /2(V ; K))de /2(V ; K)etemos /2(V ; K) = o2(V ; K) /2(V ; K). De fato, o2(V ; K) e /2(V ; K) tminterseo igual a 0 e sef /2(V ; K) entog(u, v) =12[f(u, v)++f(v, u)] eh(u, v) =12[f(u, v) f(v, u)] sotaisqueg o2(V ; K), h /2(V ; K) ef= g + h.CAPTULO 9. FORMAS BILINEARES E QUADRTICAS 1319.2 Matriz de uma forma bilinearSejam: c= (u1, ..., um) base ordenada de U T= (v1, ..., vn) base ordenada de Vf: U V Kforma bilinearSe u U, v V , u =m

i=1xiui, v=n

j=1yjvj, ento f(u, v) =m

i=1n

j=1xiyjf(ui, vj).Pondo aij= f(ui, vj) vem f(u, v) =m

i=1n

j=1aijxiyj. A matriz A = (aij) mn chamada de matriz de f em relao s bases ce T.SeX=__x1...xm__= [u]EeY=__y1...yn__= [v]F, entof(u, v) = (x1, ..., xm)__a11... a1n.........am1... amn____y1...yn__= XtAY.Fixadas as bases c e T, a aplicao f /(U, V ; K) A Mmn(K) um isomorsmo, como se verica facilmente, de modo que dim /(U, V ; K) =dimUdimV= mn, em particular,dim /2(V ; K) = n2.Obs.Se (v1, ..., vn) base ordenada de V e A = (aij) com aij= f(vi, vj),vemos que f /2(V ; K) simtrica se, e s se, aij= aji para todo par (i, j).9.3 Mudanas de BasesSejam: c =(u1, ..., um); c

=(u

1, ..., u

m) bases ordenadas deU, T =(v1, ..., vn), T

= (v

1, ..., v

n) bases ordenadas de V. Ento:u

i=m

r=1priurv

j=n

s=1qsjvs,ondePeQsoasmatrizesdepassagemde cpara c

ede Tpara T

,respectivamente.CAPTULO 9. FORMAS BILINEARES E QUADRTICAS 132Temos:f(u

i, v

j) = a

ij=m

r=1n

s=1priqsjars=n

s=1_m

r=1ptirarj_qsj,dondeA

=Pt AQ, que a relao entre a matrizA

def /(U, V ; K)nas bases c

e T

e a matriz A de f nas bases c e T. No caso em que U= V ,c= T, c

= T

ev

j=n

i=1pijvi, temosP= Q eA

= Pt AP.9.4 Formas QuadrticasDenio 9.3Sejaf /2(V ; K). Afunoq : V Kdenidaporq(v) = f(v, v) chama-se uma forma quadrtica em V. O conjuntoQ(V ) dasformas quadrtivas em V um espao vetorial com as leis usuais de adioeprodutoporescalar. Aaplicaof /2(V ; K) q Q(V )linearsobrejetora, mas no injetora. Seg(u, v) =12[f(u, v) + f(v, u)], ento g simtrica eg(v, v) = f(v, v) = q(v) de modo que podemos sempre supor quea forma bilinear que dene q simtrica e a aplicaog /2(V ; K) q Q(V ) bijetora. Para obter g a partir de q, observemos queq(u + v) = g(u + v, u + v) = g(u, u) + g(v, v) + 2g(u, v),donde g(u, v) =12[q(u+v)q(u)q(v)]; g a forma polar de q. Se A = (aij) nn a matriz de g na base c de V e se X= [v]E, ento q(v) = XtAX,e dizemos tambm que A matriz de q na base c.Exemplo 9.4.1q: Rn R, q(x)=q(x1, ..., xn)=n

i=1(xi)2 uma formaquadrtica em Rn.Exemplo 9.4.2q : C0([0, 1], R) R, q(f) =_10[f(t)]2dtumaformaquadrtica emC0([0, 1], R).9.5 Formas Bilineares Simtricas ReaisProposio 9.2Seja V um espao vetorial real de dimenso nita, munidodeumprodutointerno. Paracadaformabilinearf : VV RexisteCAPTULO 9. FORMAS BILINEARES E QUADRTICAS 133uma e uma nica aplicao linearF:VV tal quef(u, v)= u, F(v))parau, v Vquaisquer.Dem. Sejav Varbitrrio. A funou V f(u, v) uma formalinearemV,isto, umelementodeV. Portanto, existeumeumnico= F(v) Vtal quef(u, v) = u, ) = u, F(v)), e obtemosF: V V .Seu, v1, v2 Ve R, temos:u, F(v1+v2)) = f(u, v1+v2) = f(u, v1)+f(u, v2) = u, F(v1))+u, F(v2)) = u, F(v1)+F(v2)),resultandoF(v1 + v2) = F(v1) + F(v2), donde F linear.Proposio 9.3Sejaq:V R uma forma quadrtica denida num es-paovetorial real Vdedimensonmunidodeumprodutointerno. Existebase ortonormal T= (u1, ..., un) de V relativa qual q(v) = 1x21+... +nx2n,ondev= x1u1 + ... + xnun, e1, ..., n so os autovalores de q.Dem. Sejaf : VV Rbilinearsimtricatal queq(v)=f(v, v)parav V qualquer, e sejaF:VV linear tal quef(u, v)= u, F(v))parau, v V quaisquer. Se c=(v1, ..., vn)baseortonormal deVentof(vi, vj) = vi, F(vj))mostraqueamatrizdef nabase ccoincidecomamatrizdeFnamesmabase. Resultaque: f /2(V ; R) F /(V )umisomorsmoequefsimtricase,esse,Fauto-adjunta. Nestecaso, existebaseortonormal deVformadaporautovetoresdeF(oudef,ou de q),isto ,existe base ortonormal T=(u1, ..., un) tal quef(ui, uj)=ui, F(uj)) = jij. Sev=n

i=1xiui entoq(v) = f(v, v) =n

i,j=1f(ui, uj)xixj=

i,jjijxixj=n

i=1i(xi)2= 1x21+...+nx2n,combinao de quadrados.Corolrio 9.3.1Nascondiesdaproposio9.3, existebaseortonormal(= (w1, ..., wn) de V relativa qual se temq(v) =s

i=1(xi)2s+t

j=s+1(xj)2para todov=n

i=1xiwi V .CAPTULO 9. FORMAS BILINEARES E QUADRTICAS 134Dem. Reordenamosabase T=(u1, ..., un)daproposio9.3demodoquef(ui, ui) = q(ui) = i> 0 para1 i sf(uj, uj) = q(uj) = j< 0 paras + 1 j s + tf(uk, uk) = q(uk) = 0 paras + t + 1 k n.Pondo:wi=uiipara1 i swj=uj_jparas + 1 j s + twk= ukparas + t + 1 k n,obtemosf(wi, wi) = 1 para1 i sf(wj, wj) = 1 paras + 1 j s + tf(wk, wk) = 0 paras + t + 1 k n.Portanto, sev=n

i=1xiwi, temosq(v) =s

i=1(xi)2s+t

j=s+1(xj)2.Corolrio 9.3.2Se c= (v1, ..., vn) e c

= (v

1, ..., v

n) so bases ortonormaisdeVnasquais q(v) =s

i=1(xi)2s+t

j=s+1(xj)2=s

i=1(xi)2s

+t

j=s

+1(xj)2parav=

xivi=

xjv

jqualquer, entos = s

et = t

.Dem. Sejam:U= subespao de V gerado porv1, ..., vsW

= subespao de V gerado porv

s

+1, ..., v

n.Ento: dimU= s edimW

= n s

.Sev U, v ,=0,temosq(v)>0. Sev W

,entoq(v) 0. ResultaqueU W

= 0 e, portanto,dimU+ dimW

= dim(U+ W

) dimV= n,donde: s + n s

n, ou seja,s s

.Por simetria, obtemos: s

s. Logo,s = s

.Comos + t = s

+ t

= r= posto de F (=posto de f=posto de q), resultat = t

.Obs. O par(s, t) univocamente determinado por q; t a maior dimen-so de um subespao de V restrita ao qual q negativa: t a dimenso doCAPTULO 9. FORMAS BILINEARES E QUADRTICAS 135subespao de V gerado porvs+1, ..., vs+t. Por denio, t o ndice da formaquadrticaq. Quandoq(v) 0parav V qualquer,dizemosqueondicede q zero.Exemplo: q: R4R, q(x, y, z, t) = x2+y2+z2+t2tem posto r = 4e ndicet = 1.Vamos apresentar, por meio de exemplos, o mtodo de Lagrange para adiagonalizao de uma forma quadrtica.Exemplo 9.5.1q(x, y, z) = x2+ z24xy + 4xz.Como existe o termo quadrado puro x2vamos completar o quadrado:q(x, y, z) = x24x(yz)+z2= [x2(yz)]24(yz)2+z2= (x2y+2z)24y23z2+8yze a existncia dey2nos permite completar o quadrado:q(x, y, z) = (x 2y + 2z)24(y z)2+ z2Pondo:u = x 2y + 2zv= y z,obtemosq(u, v, z) = u24v2+ z2,forma de postor = 3 e ndicet = 1.Exemplo 9.5.2q(x, y, z) = 4xy 2xz + yxComo no existe nenhum quadrado puro, fazemosx = u + vy= u v,dondexy= u2v2eq(u, v, z) = 4u24v22z(u + v) + z(u v) = 4u24v2uz 3vz== 4_u2z4u_4_v2+3z4v_= 4__u z8_2z2164_4_v +3z8_2+9z216=4_u z8_24_v +3z4v_2+z22 .Fazendo: = u z8;= v +3z8 , vem:q(, , z) = 4242+z22 ,forma de postor = 3 e ndicet = 1.Captulo 10Miscelnea10.1 OrientaoSeja V um espao vetorial real, de dimenso nita n 1, e seja B o conjuntodas bases ordenadas de V.Denio 10.1Duas bases ordenadas c= (u1, ..., un) e T= (v1, ..., vn) deV so equivalentes, anotado c T, se o determinante da matriz de passagemde cpara T positivo.Sevj=n

i=1pijui, entoamatrizdepassagemde cpara Tamatrizinvertvel P =(pij) e c Tse, esse, det P >0. ObservemosqueP= [I]FE , ondeI: V V a identidade.Proposio 10.1A relao c T uma relao de equivalncia sobre B.Dem. (a) c c, poisdet[I]EE= detIn= 1 > 0.(b) c T T c: comefeito, se P =[I]FE , entoP1=[I]EF.Portanto,detP> 0 detP1> 0.(c) c T, T ( c (: sejamP=[I]FE , Q=[I]GF. A matriz depassagem de cpara (R = [I] = PQ. Logo,detR = detPdetQ > 0.Proposio 10.2A relao c Tdetermina duas classes de equivalnciano conjunto B de todas as bases ordenadas de V.Dem.Fixemos uma base c= (u1, ..., un) em V e seja c= (u1, u2, ..., un).A matriz de passagem de cpara ctem determinante igual a1 0 0 ... 00 1 0 ... 00 0 1 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 1= 1,136CAPTULO 10. MISCELNEA 137ouseja, ce cestoemclassesdistintas, B1eB2. Se Tbaseordenadaarbitrria de V, temosR = [I]FE= [I]EE[I]FE= PQ,onde P, Q e R so as matrizes de passagem de cpara c, de cpara Te decpara T, respectivamente. Ento:det R = det P det Q = det Q, donde resulta que ou T B1 ou T B2,ou seja, s existem duas classes de equivalncia.Denio 10.2Qualquer uma das classesB1 ouB2 diz-se uma orientaode V. V possui, portanto, duas orientaes.Denio 10.3Um espao vetorial orientado um espao vetorial associ-ado a uma de suas orientaes. Mais precisamente, um par(V, O) onde O uma orientao do espao vetorial real V.Denio 10.4Se(V, O) um espao vetorial orientado, as bases que per-tencem orientao O chamam-se positivas.As outras so chamadas negativas.Exemplo 10.1.1O espao Rnpossui uma orientao cannica, que aqueladeterminada pela base cannica(e1, ..., en).Obs. Oconceitodeorientaodependeessencialmentedarelaodeordem dos nmeros reais, no podendo ser estendido a espaos vetoriais sobreum corpo qualquer.10.2 Volume de ParaleleppedoSejamVumespaovetorial real dedimenson, munidodeumprodutointerno, ev1, ..., vn V .Denio 10.5O paraleleppedo de arestasv1, ..., vn o conjuntoP(v1, ..., vn) = x = t1v1 + ... + tnvn; 0 ti 1.Seja c=(e1, ..., en)umabaseortonormal deV.Sevj=n

i=1aijei, A=(aij) nn dene-se o volume de P(v1, ..., vn) por v_P(v1..., vn)_= [det A[.Se c

=(e

1, ..., e

n)outrabaseortonormal deVee

i=n

k=1pkiek, P=(pij) nn matriz ortogonal, de transio da base cpara a base c, entoCAPTULO 10. MISCELNEA 138[detP[ = 1 evj=n

i=1a

ije

i=n

i=1a

ijn

k=1pkiek=n

k=1n

i=1pkia

ijek=n

k=1akjek,dondeA=PA

e [detA[= [detA

[, o que mostra quev_P(v1, ..., vn)_ nodepende da base ortonormal usada na sua denio.Proposio 10.3SejaT: V Vlinear. Ento:v_P(Tv1, ..., Tvn)_= [detT[v_P(v1, ..., vn)_.Dem. Com as notaes usadas acima, temos: vj=n

i=1aijei, dondeTvj=n

i=1aijT(ei) =n

i,k=1aijbkiek=n

k=1_n

i=1bkiaij_ek,ondeB= [T]EE; portanto,v_P(Tv1, ..., Tvn_= [detBA[ = [detT[[detA[ = [detT[v_P(v1, ..., vn)_.10.3 Matriz de GramSejam v1, ..., vk V , onde V um espao vetorial real de dimenso n, munidode um produto interno.Segij= vi, vj), a matriz de Gram dev1, ..., vkG = (gij) k k. SejaW um subespao de dimenso k contendov1, ..., vk(sev1, ..., vkso LI, W nico). Seja c= (e1, ..., en) base ortonormal de V tal que (e1, ..., ek) seja baseortonormal de W. Ento: vj=k

i=1aijei, v_P(v1, ..., vk)_= [det A[ e v1, ..., vkso LI detA ,= 0 v_P(v1, ..., vk)_> 0.Proposio 10.4v_P(v1, ..., vk)_=detG.Dem. Com as notaes acima, temos:gij= vi, vj) = k

r=1arier,k

s=1asjes) =k

r=1atirarj,dondeG = AtA edetG = (detA)2, resultandov_P(v1, ..., vk)_ = [detA[ =detG. Alm disso, detG 0, edetG=0 detA=0 v1, ..., vksoLD.CAPTULO 10. MISCELNEA 139Obs. Sev1, ..., vk so 2 a 2 ortogonais, entodetG =__[v1[20...0 [vk[2__= [v1[2...[vk[2= (detA)2,donde [detA[ = v_P(v1, ..., vk)_ = [v1[...[vk[. Se v1, ..., vk conjunto orto-normal, entoP(v1, ..., vk) o cubo unitrioIk ev(Ik) = 1.10.4 Produto VetorialSejam V um espao vetorial real, de dimenso (n+1), munido de um produtointerno , ), orientado, ev1, ..., vn V . A funof: V Rx f(x) = detE(v1, ..., vn, x),onde c= (e1, ..., en+1) base positiva de V, ortonormal, linear, donde existeumeumnicou V , u=v1...vn, talquef(x)= u, x)paratodox V . Este vetoru = v1... vn chama-se o produto vetorial dev1, ..., vn.Obs. (a)u = v1... vn forma n-linear dos vetoresv1, ..., vn.(b) Seja A = [v1, ..., vn] a matriz (n+1)n cujas colunas so os vetores vjescritos na base c. Seja A(i) n n a submatriz obtida de A pela omissoda linha i. Temos:u, ej) = det[v1, ..., vn, ej] = (1)n+1+jdetA(j).Ento:u =n+1

i=1(1)n+1+idetA(i) ei,donde [u[2=n+1

i=1(det A(i))20e [u[ =0 det A(i)=0paratodoi,1 i n + 1 postoA < n v1, ..., vn so LD.(c)uvj(1 j n) pois u, vj) = det(v1, ..., vn, vj) = 0.(d) [u[2= detE[v1, ..., vn] = v_P(u, v1, ..., vn)_= [u[v_P(v1, ..., vn)_, donde[u[ = v_P(v1, ..., vn)_.(e) v1, ..., vn so LI v_P(v1, ..., vn)_= [u[ > 0.Neste caso, det(u, v1, ..., vn) =[u[2> 0 e(v1, ..., vn, v1... vn) tem a mesma orientao que(e1, ..., en+1). fcil ver que o produto vetorialu=v1...vn o nico vetor de Vsatisfazendo (c), (d) e (e).CAPTULO 10. MISCELNEA 140Pode-se representaru = v1... vn pelo determinante simblicov11... v1ne1v21... v2ne2............vn+1,n... vn+1,nen+1=n+1

i=1(1)n+1+idetA(i)ei= u.Exerccios de Reviso1. Sejamp1, ..., pnPn(K), isto, polinmios degraumenor quen.Se, paraj =1, ..., n, pj(2)=0, prove que p1, ..., pn umconjuntolinearmente dependente.2. Prove que no existe T: R5R2linear cujo ncleo seja (x1, ..., x5) R5[x1= x2ex3= x4= x5.3. SejaT : V Wlinear, Vdedimensonita. ProvequeexistesubespaoU Vtal que ^(T) U= 0 eImT= T(U).4. Seja T: RnRn, T(x1, ..., xn) = (x1+... +xn, ..., x1+... +xn). Acheos autovalores e autovetores de T.5. Sejam V= U W, P: V W, P(u+w) = w, onde u U e w W.Mostre que 0 e 1 so os nicos autovalores de P e ache os autovetorescorrespondentes.6. D exemplo de um operador linear invertvel T: V V , dim V= n,cuja matriz em alguma base s tem zeros na diagonal principal.7. Sea1, ..., an, b1, ..., bn R, prove que_n

j=1ajbj_2_n

j=1ja2j__n

j=1b2jj_.8. SejaT: CnCn,T(z1, ..., zn) = (0, z1, ..., zn1). AcheT.9. Provequetodooperadorauto-adjuntoT : V V temumaraizcbica,dimV= n.10. Sejam T: V Vlinear,dim V= n. Prove que V tem base formadapor autovetores de T se, e s se, existe produto interno em V que tornaT auto-adjunto.141EXERCCIOS DE REVISO 14211. SeT: V V normal, prove queImT= ImT.12. Se K= C prove que todo operador normal T:VV , dimV =ntem uma raiz quadrada.13. Sejam K = C eT: V Voperador normal,dimV= n. Prove queT= T todos os autovalores de T so reais.14. SejamT:VVlinear, dimV =n, T=T. Prove que os valoressingulares de T so os mdulos de seus autovalores.15. Prove que todo polinmio mnico o polinmio caracterstico de algumoperador linear. Para isso, considere a matrizA =__0 0 ... 0 0 a01 0 ... 0 0 a10 1 ... 0 0 a2... ... ... ... ... ...0 0 ... 1 0 an20 0 ... 0 1 an1__.16. SejamT: V V ,dimV= n,T> 0 etrT= 0. Prove queT= 0.17. Sejam(e1, ..., en) base ortonormal de V eT:VV linear. Prove:tr(TT) = [Te1[2+ ... +[Ten[2.18. Sejam K = C,T:V Vlinear, c= (e1, ..., en) base ortonormal deV, e 1, ..., n os autovalores de T. Se A = [T]EE= (aij) n n proveque[1[2+ ... +[n[2n

i,j=1[aij[2.Referncias Bibliogrcas[1] Axler, S. Linear Algebra Done Right Springer, New York, 1996.[2] Gelfand, I. Lectures on Linear Algebra Interscience, New York, 1961.[3] Homan, K.; Kunze, R. Linear Algebra Prentice-Hall, New Jersey,1971.[4] Jdice, E.D. Introduo lgebra Linear Belo Horizonte, 1960.[5] Lang, S. Linear Algebra Springer, New York, 2004.[6] Leon, S. lgebra Linear LTC, Rio de Janeiro, 1999.[7] Lima, E.L. lgebra Linear IMPA, Rio de Janeiro, 1996.[8] Queysanne, M. Algbre Armand Colin, Paris, 1964.[9] Simmons, G. Introduction to Topology and Modern Analysis McGraw-Hill, New York, 1963.143