Algebra Linear A

5/17/2018 Algebra Linear A - slidepdf.com

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICADO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE MATEMÁTICA

ÁLGEBRA LINEAR A

Prof. Francisco Leal Moreira

2003/1



SUMÁRIO1. MATRIZES.....................................................................................................................................................1

1.1. INTRODUÇÃO........................................................................................................................................11.2. PROPRIEDADES....................................................................................................................................21.3. RESPOSTAS............................................................................................................................................4

2. INVERSÃO DE MATRIZES .........................................................................................................................5

2.1. INTRODUÇÃO........................................................................................................................................52.2. MATRIZ INVERSA.................................................................................................................................52.3. PROPRIEDADES ..................................................................................................................................62.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ ..........................................................................62.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES........................................................62.6. RESPOSTAS............................................................................................................................................7

3. SISTEMAS LINEARES................................................................................................................................9

3.1. INTRODUÇÃO........................................................................................................................................93.2. EQUAÇÃO LINEAR .............................................................................................................................93.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES................................................................................................9

3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES..............................................................................................................103.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO. .................................................................................................103.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO....113.7. MÉTODO DE CASTILHOS..................................................................................................................12

......................................................................................123.8. RESPOSTAS..........................................................................................................................................15

4. ESPAÇOS VETORIAIS...............................................................................................................................16

4.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................................164.2. ESPAÇO VETORIAL REAL................................................................................................................174.3. RESPOSTAS..........................................................................................................................................18

5. SUBESPAÇO VETORIAL...........................................................................................................................19

5.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................................195.2. SUBESPAÇO VETORIAL....................................................................................................................195.3. RESPOSTAS..........................................................................................................................................21

6. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES...................................................................................................22

6.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................................226.2. RESPOSTAS..........................................................................................................................................23

7. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO........................................................................................................24

7.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................................247.2. RESPOSTAS..........................................................................................................................................25

8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR.........................................................................................26

8.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................................268.2. PROPRIEDADES................................................................................................................................268.3. RESPOSTAS..........................................................................................................................................28

9. BASE E DIMENSÃO...................................................................................................................................29

9.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................................299.2. BASE......................................................................................................................................................309.3. PROPRIEDADES..................................................................................................................................309.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL........................................................................................319.5. RESPOSTAS..........................................................................................................................................32



10. COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE.................................................................33

10.1. INTRODUÇÃO....................................................................................................................................3310.2. COMPONENTES DE UM VETOR.....................................................................................................3310.3. MUDANÇA DE BASE........................................................................................................................3310.4. RESPOSTAS........................................................................................................................................35

11. PRODUTO INTERNO................................................................................................................................37

11.2. INTRODUÇÃO....................................................................................................................................3711.2. RESPOSTAS........................................................................................................................................38

12. ORTOGONALIDADE................................................................................................................................39

12.1. VETORES ORTOGONAIS ................................................................................................................3912.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL..............................................................................3912.3. PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT....................................................4012.4. RESPOSTAS........................................................................................................................................40

13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES...........................................................................................................41

13.1. INTRODUÇÃO....................................................................................................................................4113.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR..........................................................................................................41

13.3. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA..............................................................................4213.4. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DE UMA BASE ..........................................4313.5. COMPOSTA DE DUAS TL................................................................................................................4413.6. RESPOSTAS........................................................................................................................................45

14. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS..........................................................................................46

14.1. INTRODUÇÃO....................................................................................................................................4614.2. REFLEXÕES........................................................................................................................................4614.3. DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES......................................................................................................4814.4. CISALHAMENTOS ...........................................................................................................................4914.5. ROTAÇÕES.........................................................................................................................................5014.6. RESPOSTAS........................................................................................................................................52

15. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR EM BASES QUAISQUER....................................55

15.1. INTRODUÇÃO....................................................................................................................................5515.2. PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR A MATRIZ .....................................................................5615.3. RESPOSTAS........................................................................................................................................56

16. OPERADORES LINEARES.......................................................................................................................57

16.1. INTRODUÇÃO....................................................................................................................................5716.2. MATRIZES SEMELHANTES............................................................................................................5716.3. RELAÇÃO ENTRE MATRIZES SEMELHANTES ..........................................................................5716.4. OPERADORES INVERSÍVEIS..........................................................................................................5816.5. MATRIZ ORTOGONAL.....................................................................................................................5816.7. OPERADOR LINEAR ORTOGONAL...............................................................................................5816.8. PROPRIEDADES................................................................................................................................59

16.9. OPERADOR LINEAR SIMÉTRICO..................................................................................................5916.10. PROPRIEDADE.................................................................................................................................6016.11. RESPOSTAS......................................................................................................................................60

17. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS....................................................................................61

17.1. INTRODUÇÃO....................................................................................................................................6117.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS.......................................................6217.3. PROPRIEDADES................................................................................................................................6317.4. RESPOSTAS........................................................................................................................................64



18. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES...............................................................................................65

18.1. INTRODUÇÃO....................................................................................................................................6518.2. DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS......................................................................6618.3. RESPOSTAS........................................................................................................................................67

19. CÔNICAS....................................................................................................................................................68

19.2. CÔNICAS NÃO-DEGENERADAS EM POSIÇÕES PADRÕES......................................................6819.3. PROCEDIMENTO PARA ELIMINAR O TERMO EM XY DA EQUAÇÃO.....................................7019.4. CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS QUANTO AOS VALORES PRÓPRIOS.................................7219.5. RESPOSTAS........................................................................................................................................72

20. BIBLIOGRAFIA.........................................................................................................................................73



1. MATRIZES

1.1. INTRODUÇÃO Esta secção, apresenta um conjunto de exercícios que possibilitam ao aluno, revisar

conceitos básicos sobre matrizes. É muito importante que o aluno se detenha nas

propriedades apresentadas, pois são de grande importância dentro da Álgebra Linear. Algumas aplicações do estudo das matrizes são resolução de sistemas de equações lineares,mudança de bases de um espaço vetorial, representação e composição de transformaçõeslineares.

E1) Construa uma matriz:

a) Retangular b) Linha c) Coluna d) Nula e) QuadradaaE2) Identifique a ordem de cada matriz do exercício E1.

E3) Escreva a forma genérica de uma matriz de ordem m x n com elementos a ji .

E4) Escreva a matriz oposta (-A é a oposta de A) de cada matriz do exercício E1.

E5) Construa a matriz A= [aij]mxn tal que:

a) m = n = 4 e a ji =

>=<

jise,2

jise,1

jise,0

b) m = 2, n = 3 e a ji = ( ) ji1 +− ( ) 3 ji −

E6) No exercício E5 a , identifique a diagonal principal e a secundária.

6E7) Escreva uma matriz diagonal ( A=[aij] nxn , a ij =0 se i ≠ j) de ordem 3.

E8) Escreva a matriz identidade ( I n =[aij] nxn , a ij =

≠=

jise,0

jise,1) para n = 4.

E9) Escreva uma matriz triangular superior ( A=[aij] nxn , a ij =0 se i>j) de ordem 3.

E10)Escreva uma matriz triangular inferior ( A=[aij] nxn , a ij =0 se i<j) de ordem 4.

1



E11) Encontre x, y, z e w de forma que A=B, sendo:

a) A =

−

− 434

30sen52

22

1

002

, B =

4wz2

1yx

b) A =

+

+8w2z3

yx413, B =

+

+w3z27

9y5x4

E12) Dadas as matrizes A =

− 542

021, B =

−−

−105

312e C =

−−

23

11determine a matriz:

7 a) A + 2B + (-A) + (-B)

8 b) A – B +2

AB −

9 c) 3( C – 2I 2 )

1.2. PROPRIEDADES

1. Propriedades da Adição

a) A + B = B + A

b) (A + B) + C = A + (B + C)

c) A + O = A

d) A + (-A) = O

sendo A, B, C e O matrizes de mesma ordem

2. Propriedades do Produto de uma Matriz por um Real

10 a) (αβ)A = α(βA)11

12 b) α (A + B) = αA + αB

c) (α + β)A = αA + βA

d) 1A = A

sendo A e B matrizes de mesma ordem e α,β∈ℜ

2



E13) Sejam as matrizes A =

−−−

151

433

012

, B =

−

−

413

202

111

e C =

− 142

321, determine:

a) AB b) AC c) CA d) (A-I 3 ) (B+I 3 )

3. Propriedades da Multiplicação de Matrizes

13 a) ABC = (AB)C = A(BC)14

15 b) A(B+C) = AB + AC16

17 c) (A+B)C = AC + BC18

19 d) α (AB) = (αA)B = A(αB) , α ∈ ℜ20

21 e) AO = O

2223 f) AI = IA = A

E14) Use V ou F :

a) Se existem AB e BA então AB = BA ( )

b) Se AB = O então necessariamente A = O ou B = O ( )

E15) Encontre a matriz transposta de:

a) A =

450

321b) B =

−

−

673

524102

4. Propriedades da Transposta

24 a) (A t ) t = A

25

26 b) (A + B) t = A t + B t

27

28 c) (AB) t = B t A t

2930 d) (αA) t = αA t , α ∈ℜ

E16) Sejam as matrizes A =

30

12, B =

−−

15

24e C =

43

21, determine:

a) ( A - B) t (B - C) t b) [(2A - I 2 ) + (C + I 2 )] t c) (AB t C) t

3



E17) Construa uma matriz simétrica (A t = A) de ordem 3.

E18) Construa uma matriz anti-simétrica (A t = -A) de ordem 4.

1.3. RESPOSTAS

E3)

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

E5) a)A=

1222

0122

0012

0001

b)A=

−

−101

810

E6) a)D p = { 1, 1, 1, 1 } e Ds= { 2, 2, 0, 0 }

E8) a)I4=

1000

0100

0010

0001

E11) a) x=-4, y=1, z=2 e w=

9

1b) x=2, y=1, z=1 e w=2

E12) a) B b)

−643

313

2

1c) 3

−−−

43

11

E13) a)

−

−

528

719

420

b) NE c)

− 1559

5811d)

−−

−

186

9510

300

E14) a) F b) F

E15) a)A

t

=

43

52

01

b)B

t

=

−−

651

720

342

E16) a)

−− 147

2114b)

104

35c)

−−

2448

1533

4



2. INVERSÃO DE MATRIZES

2.1. INTRODUÇÃO No início desta secção, o aluno encontrará alguns exercícios que possibilitam revisar

o cálculo de determinantes, importante para a identificação de uma matriz inversível. Oestudo de matriz inversa tem várias aplicações na Álgebra Linear, como por exemplo, namudança de base de um espaço vetorial e resolução de equações matriciais.

E1) Calcule os determinantes:

a) 2− b)31

12

−c)

423

145

021

−d)

300

640

311 −

e)

20101

01003

0064

0001

−

−

E2) Resolva as equações:

a)

x10

0x1

154

−−

−

= 0 b)x2

9x2=

x213

132

x321

+

−

c)

351

034

00x2

=xsenxcos

xcosxsen−

2.2. MATRIZ INVERSA

Uma matriz quadrada A é inversível se existir uma matriz quadrada B tal que AB = BA = I.A matriz B é chamada matriz inversa de A e é representada por A −1 .

E3) Use a definição acima para calcular a inversa da matriz A =

dc ba

Sugestão: Resolva os sistemas pela regra de Cramer.

DISPOSITIVO PRÁTICO

Se A =

dc

ba e det A ≠ 0 , então A −1 =

Adet

1

−

−ac

bd

0AdetA1 ≠⇔∃ −

E4) Calcule as inversas das matrizes A =

−−

12

23e B =

−−

72

51.

5



2.3. PROPRIEDADES

a) (A −1 ) −1 = A

31

b) In

−1 = In

c) (αA) −1 = (1/α)A −1 , α≠ 032

d) (AB) −1 = B −1 A −1

2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ

L ji - Permutação das linhas de ordem i e j.

kL i - Multiplicação da linha de ordem i por k ≠ 0.

L i + kL j - Substituição da linha de ordem i pela sua soma com a linha de ordem j multiplicada por k ≠ 0.

E5) Complete corretamente as matrizes:

A=

31

52L 12

........

........L 2 - 2L 1

........

........- L 2

........

........L 1 - 3L 2

10

01

Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito de operações elementares, na

matriz I

E6) Aplique a seqüência L 12 , L 2 - 2L 1 , - L 2 , L 1 - 3L 2 na matriz

10

01.

10

01L 12

........

........L 2 - 2L 1

........

........- L 2

........

........L 1 - 3L 2

=B

E7) Calcule AB e BA considerando A e B matrizes dos exercícios E5 e E6. O que se pode concluir ?

2.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES

A mesma seqüência de operações elementares que transforma uma matriz A em In

, transforma In

em A −1 .

[ A In

] seqüência de operações elementares [ In

A −1 ]

6



E8) Determine a matriz inversa, caso exista, de cada uma das matrizes dadas:

A =

−−

352

141

010

, B =

53

21, C =

1201

0301

0010

0120

e D =

−−

−

304

202

011

E9) Mostre que t11t )A()A( −− = .

E10) Resolva as equações matriciais na variável X, sabendo-se que A, B, C e X são matrizes inversíveis:

a) AX = B b) AXB = C c) X −1 AB −1 = C d) (AX −1 ) t = B e) AXB = BA f) A t X t = B

2.6. RESPOSTAS

E1) a) –2 b) 7 c) –16 d) 12 e) –120

E2) a) x = 1/4 ou x = 1 b) x = 0 ou x = 3 c) x = -1/6

E3) A-1=

11

23

E4) A-1=

−−

32

21B-1=

−

−

3

1

3

23

5

3

7

E8) A-1=

−

−

1213

001

1317

B-1=

−

−

13

25C-1=

−−−

−

11210021

0010

0163

D-1=

−

120

1

2

31

12

30

E10) a) X=A-1B b) X=A-1CB-1 c) X= AB-1C-1 d) X=(Bt)-1A e) X=A-1BAB-1 f) X=BtA-1

7



8



3. SISTEMAS LINEARES

3.1. INTRODUÇÃOO estudo de sistemas de equações lineares é de fundamental importância na Álgebra

Linear. Resolvendo sistemas de equações lineares podemos determinar: a dependência ouindependência linear de vetores, o subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, amatriz que representa uma transformação linear em bases dadas e vetores próprios de umoperador linear. No final dessa secção, apresentaremos o método de Castilhos que pode ser utilizado na resolução de sistemas de equações lineares.

3.2. EQUAÇÃO LINEAR

bxaxaxa nn2211 =+++ , com ℜ∈ b,a,a,a n21

Exemplos

a) No ℜ 2 , x = 3 ⇔ 1x + 0y = 3

b) No 3ℜ , x = 3 ⇔ 1x + 0y + 0z = 3

c) As seguintes equações não são lineares: x2 – 2x = 4 , 2yx =+ , cos x = 1, ey-3x = 0 e ln x + 4y = 3.

Solução de uma equação linear é uma seqüência de números que satisfaz a equação.

Conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções da equção.

Exemplos

a) No ℜ 2 , o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y) / y ℜ∈ } e (3,5) é uma solução particular.

b) No 3ℜ , o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y,z) / y,z ℜ∈ } e (3,7,9) é uma solução particular.

3.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Sistema linear de m equações com n incógnitas

=+++

=+++

=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

Solução de um sistema linear é uma seqüência de números que é solução de toda equação do sistema.

9



E1) Resolva, se possível, os sistemas escrevendo os conjuntos soluções em U.

a)

=+=−0yx

3yx2, U = 2ℜ b)

=−=−

1yx

2y2x2, U = 2ℜ c)

=+=+

3y2x2

3yx, U = 2ℜ

d)

==−+

2y0zyx

, U = 3ℜ e)

=+=++

0zy1z2y2x

, U = 3ℜ f)

=−=+

1zx3zx

, U = 3ℜ

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO ÀS SOLUÇÕES: determinado (solução única)

compatívelSistema Linear (possui solução) indeterminado (várias soluções)

incompatível (não possui solução)

REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR.A equação AX=B é a representação matricial de qualquer sistema de equações lineares. Se a matriz B é

nula, o sistema é chamado de homogêneo. Um sistema homogêneo é sempre compatível:

- Determinado se tiver apenas a solução trivial ou imprópria que apresenta todas as variáveisassumindo valor zero.

- Indeterminado se tiver a solução trivial e outras denominadas soluções próprias.

E2) Mostre que se A é uma matriz inversível então o sistema AX = B admite apenas uma solução. Qual é estasolução se B = 0 ?

E3) Escreva um sistema linear homogêneo de duas equações com duas variáveis que seja:

a) compatível e determinado b) compatível e indeterminado c) incompatível

3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES. Dois sistemas que apresentam o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes.

E4) Resolva, se possível, o sistema:

==+

=−+

4z2

1zy

0zyx3

3.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO.

Um sistema linear está na forma escalonada se o número de zeros que precede o primeiro coeficiente nãonulo aumenta de equação para equação. Todo sistema escalonado pode ser facilmente resolvido como noexercício E4.

10



Exemplo:

O sistema

=++=++=−+

4z2y0x0

1zyx0

0zyx3

do exercício E4, cuja matriz ampliada é

−

4

1

0

200

110

113

E5) Resolva o sistema:

=−=+−+

2tz

1tzy2x

3.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OUESCALONAMENTO.

Um sistema linear pode ser transformado em outro, equivalente e escalonado, com as seguintes operações:a) Permutação de duas equações;b) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero;c) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número

real diferente de zero.

Exemplo:

Resolva o sistema por triangulação:

=++=++

=++

1z2yx

0zyx

0zy3x2

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

O sistema resultante está na forma escalonada e é equivalente ao sistema dado. Logo, o sistema dado é

determinado e seu conjunto solução é S = { }),,( .

A seguir, resolva o mesmo sistema, a partir da matriz ampliada.

1

0

0

211

111

132

L 21

....

....

....

.........

.........

.........

L 2 +(-2)L 1

....

....

....

.........

.........

.........

L 3 +(-1)L1

....

....

....

.........

.........

.........

E6) Resolva, se possível, os sistemas por escalonamento:

11

Permutan-do as duas

primeirasequações

Substituindo a 2o eq. pela sua somacom a 1o multipli-cada por -2

Substituindo a 3

o

equação pela sua somacom a 1 o multiplicada

por -1



a)

−=−−−=−+

=+

4zx

1zy3x2

1yx

b)

=−+−=−+

=+−

2z2y2x

1zyx2

1zyx

CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO.

Se ao escalonar o sistema é zerada uma linha da matriz dos coeficientes sem zerar o correspondentetermo independente, o sistema é incompatível . Caso contrário o sistema é compatível:- determinado , quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas (não totalmente nulas) quantas

são as colunas da matriz dos coeficientes.- Indeterminado , quanto após escalonar obtém-se menos linhas significativas do que o número decolunas da matriz dos coeficientes.

Todo sistema homogêneo que apresentar mais incógnitas que equações é indeterminado.

E7) Determine o valor de “m” para que o sistema

=++

=+−=++

3zy2mx

0mzyx

2zyx

seja:

a) Determinado; b) Indeterminado; c) incompatível.

E8) Resolva, se possível, o sistema

=−+

=++

=++

5z2yx3

1zy3x2

4z3yx

3.7. MÉTODO DE CASTILHOS.

O método de Castilhos é uma simplificação do método do escalonamento, onde as operações aplicadassobre as equações são representadas por determinantes de 2 º ordem.

A seguir, a aplicação do método de Castilhos na resolução do exercício E8.

1º. Quadro 1 1 3 4 do 3º. quadro: ................

2 3 1 1

3 1 -2 5 do 2º. quadro com ............... em qualquer equação: ...............

2º. Quadro .... .... ....

.... .... .... do 1º. quadro com .......... e........... em qualquer equação:.........

3º. Quadro.... .... S = { }),,(

12



E9) Resolva, se possível, os sistemas:

a)

−=−−=+−−

=++ =++

3zy4x2

3zy2x

3zy4x2 4zy5x3b)

=+=+

=−+

1yx

2zy0zyx2

c)

−=−−=+

−=+

25yx

5y5x34y2x

d)

=+−=−+

0zyx2

0zyxe)

111

112

321

z

y

x

=

0

0

0

f)

−

−−−

033

103

312

321

z

y

x

=

7

2

5

4

E10) Resolva o sistema para k = -1, k = -2 e k = 3.

−−−

−

k 020k 10

20k

zy

x

=

0

0

0

E11) Se A =

− 122

121

322

e X =

z

y

x

, resolva:

a) A.X = X b) A.X = 4.X c) ( A – 2.I 3 ).X = 0

E12) Determine para que valores de a, b e c o sistema é determinado, indeterminado ou impossível:

a)

=−=−

=++

cz4y6

bz2y3az5y2x

b)

=−=−+

=+++

ctz

btzy2at3z2yx

c)

=+−=+−

=+−

cz3yx2

bzx3

az5yx4

d)

−−

−

32

21

11

y

x=

c

b

a

e)

−−−−

−

211

432

321

z

y

x

=

c

b

a

13



14



3.8. RESPOSTAS

E1) a) S={(1,-1)} b) S={ ℜ∈+ y/)y,y1( } c) S={ } d) S={ ℜ∈− z/)z,z,2z( }

e) S={ ℜ∈− z/)z,z,1( } f) S={ ℜ∈y/)1,y,2( }

E4) S={(1,-1,2)}

E5) S={ ℜ∈+− t,y/)t,2t,y,y23( }

E6) a) S={ ℜ∈+− y/)3y,y,y1( } b) S={ }

E7) a) m ≠ 0 e m ≠ 1 b) m = 1 c) m = 0

E8) S={(3,-2,1)}

E9) a) S={ } b) S={ ℜ∈−− z/)z,z2,1z( } c) S={ }

d) S={ ℜ∈z/)z,z,0( } e) S={(0,0,0)} f) S={ }

E10) k=-1, SCI, S={ ℜ∈y/)0,y,0( } ; k=-2, SCI, S={ ℜ∈− z/)z,0,z( } ; k=3 , S={(0,0,0)}

E11) a) S={(0,0,0)} b) S={ ℜ∈z/)z,2

z5,z4( } c) S={ ℜ∈

−− z/)z,

2

z3,z( }

E12) a) SI se c ≠ 2b e SCI se c=2b b) SCI, ℜ∈∀ c, b,a c) SCD, ℜ∈∀ c, b,a

d) SI, se a-b-c≠ 0 e SCD se a-b-c=0 e)SCD, ℜ∈∀ c, b,a

15



4. ESPAÇOS VETORIAIS

4.1. INTRODUÇÃONesta secção, generaliza-se o conceito de vetor enunciando uma série de axiomas que,

caso sejam todos satisfeitos por uma classe de objetos, serão chamados vetores. O conceito

de espaço vetorial ocorre em muitas aplicações tanto na Matemática quanto nas Ciências ena Engenharia.

P (ponto)2ℜ = ℜℜx = { }ℜ∈y,x/)y,x( (x 1 ,y 1 )

v (vetor)

y 2ℜ

y 1 P

v

0 x 1 x

P (ponto)3ℜ = ℜℜℜ xx = { }ℜ∈z,y,x/)z,y,x( (x 1 ,y 1 ,z 1 )

v (vetor)

z 3ℜ

z 1

Pv y 1

o y

x 1

x

Esta idéia pode ser estendida para ,..., 54 ℜℜ , { }ℜ∈=ℜ n21n21n x,...,x,x/)x,...,x,x( ,com a perda

da visão geométrica.

E1) Dê um exemplo de ponto ou vetor no:

a) 4ℜ b) 5ℜ c) 6ℜ

16



Se u = (x 1 ,x 2 ,..., xn

) e v = (y 1 ,y 2 ,..., yn

) são vetores de nℜ , tem-se:

a) u = v ⇔ x 1= y 1 , x 2 = y 2 ,..., xn

= yn

(igualdade)

b) u + v =( x1 + y 1 , x 2 + y 2 ,..., xn

+ yn

)

c) αu = (αx 1 ,αx 2 ,..., αxn

) , α ∈ ℜ (operações)

d) u.v = x 1 . y 1 + x 2 . y 2 +... + xn

. yn

e) u = 2n

22

21 xxx +++ (módulo de u)

Para o conjunto nℜ , no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é

∀ u,v nℜ∈ , u+v nℜ∈ e ∀ α ℜ∈ ,∀ u nℜ∈ , αu nℜ∈ é fácil verificar-se as seguintes propriedades:

A1 : u + v = v + u , ∀ u,v nℜ∈

A2 : (u + v) + w = u + (v + w) , ∀ u,v,w nℜ∈

A3 : ∃ 0 nℜ∈ , ∀ u nℜ∈ , u + 0 = u

A4 : ∀ u nℜ∈ , ∃ (-u) nℜ∈ , u + (-u) = 0

M1 : (α + β)u = αu + βu , ∀ α,β ℜ∈ e ∀ u nℜ∈

Μ2 : α (u + v) = αu + αv , ∀ α ℜ∈ e ∀ u,v nℜ∈

M3 : (αβ)u = α(βu) , ∀ α,β ℜ∈ e ∀ u nℜ∈

M4 : 1u = u , ∀ u nℜ∈

Este conjunto nℜ , no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar e em relação as

quais valem as dez propriedades citadas, é chamado espaço vetorial real.

4.2. ESPAÇO VETORIAL REAL

Da mesma forma que o nℜ , qualquer conjunto V φ ≠ no qual estão definidas duas operações: adição emultiplicação por escalar em relação as quais valem as dez propriedades citadas acima chama-se espaçovetorial real.Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza.

17



Outros exemplos importantes de espaços vetoriais:

1. O conjunto mxnM das matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

Observação: O conjunto 1nxM é a notação matricial do nℜ .

Se u = (x 1 ,x 2 ,..., x n ) nℜ∈ então u =

n

2

1

x

:

x

x

∈ 1nxM (as operações de adição e multiplicação por

escalar produzem o mesmo resultado).

2. O conjunto {=nP a 0 x n + a 1 x 1n− + ... + a n ; ai }ℜ∈ dos polinômios de grau menor ou igual a “n”,

incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

3. O conjunto das funções definidas no intervalo [a ; b] em relação às operações definidas por (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (αf)(x) = αf(x) , ∀ α∈ℜ .

E2) Identifique o vetor nulo, um vetor e o respectivo vetor oposto dos seguintes espaços vetoriais:

a) 2x2M b) 1x3M c) P2 d) P3

E3) Analise cada conjunto abaixo e diga porque não é um espaço vetorial com as operações usuais.,

a) V = { }1yx/)y,x( 222 ≤+ℜ∈ b) V = { }3x2y/)y,x( 2 +=ℜ∈

c) V = { }0ye0x/)y,x( 2 ≥≥ℜ∈ d) V = { }01zyx/)z,y,x( 3 =−++ℜ∈

e) V =

≠∈

0a/M

0

0

a

1x3 f) V =

≥∈

0d/M

dc

ba2x2

4.3. RESPOSTAS

E3) a) Não b) Não c)Não d) Não e) Não f) Não

18



5. SUBESPAÇO VETORIAL

5.1. INTRODUÇÃO Às vezes, é importante identificar, dentro de um espaço vetorial, subconjuntos que

sejam também, espaços vetoriais.SUBESPAÇO VETORIAL

Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V se S é tambémespaço vetorial com as mesmas operações definidas em V.

Como S V⊂ , os axiomas A1 , A2 , M1 , M2 , M3 e M4 , da definição, são verificados pois todos os vetores de Ssão também de V. Portanto, para que S seja um subespaço vetorial de V, basta que os axiomas A3 e A4

também se verifiquem. Todas estas condições estão reunidas na definição abaixo.

5.2. SUBESPAÇO VETORIAL

Seja S um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V sse:i) Sv,u ∈∀ , Svu ∈+

β ii)∀ α ℜ∈ , Su ∈∀ , α Su ∈

E1)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V.

a) S=

ℜ∈∈

+

y,x/Myxy

x02x2 e V= 2x2M .

b) S = { }x2y/)y,x( 2 =ℜ∈ V = 2ℜ

c) S= { }ℜ∈+ x/)1x,x( e V= 2ℜ

d) S = 0z2yx/)z,y,x( 3 =+−ℜ∈ V = 3ℜ

e) S = { }01zyx2/)z,y,x( 3 =+−+ℜ∈ V = 3ℜ

Importante:

a) O conjunto formado apenas pelo vetor nulo de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V.

O subespaço {0} é chamado de subespaço nulo.

b) Qualquer reta do 2ℜ que passa pela origem é um subespaço vetorial do 2ℜ .

c) Qualquer reta do ℜ 3 que passa pela origem é um subespaço vetorial do ℜ 3 .

d) Qualquer plano do ℜ 3 que passa pela origem é um subespaço vetorial do ℜ 3 .

19



SUBESPAÇOS VETORIAIS DO ℜ 2

a) Triviais: ℜ 2 e {(0,0)}

b) Não triviais: S = { }0ByAx/)y,x( 2 =+ℜ∈ (retas que passam pela origem)

SUBESPAÇOS VETORIAIS DO ℜ3

a) Triviais: ℜ 3 e {(0,0,0)}

b) Não triviais: S = { } pxzemxy/)z,y,x( 3 ==ℜ∈ ou S = { }0cz byax/)z,y,x( 3 =++ℜ∈ ( retas e planos

que passam pela origem)

SUBESPAÇOS VETORIAIS DE UM ESPAÇO VETORIAL Va) Triviais: V e {0}

b) Não triviais: outros

E2)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V.

a) S = ℜ∈x/)x,x( 2 e V= 2ℜ

b) S é o conjunto solução do sistema

−=−=−

1yx

1xye V = 2ℜ

c) S = xzexy/)z,y,x( 3 −==ℜ∈ V = 3ℜ

d) S = 0x/)t,z,y,x( 4 ≥ℜ∈ V = 4ℜ

e) S é o conjunto solução de um sistema homogêneo AX = 0, onde A é uma matriz de ordem mxn e uma

solução X é um vetor de nℜ .

f) S o conjunto de todas as matrizes triangulares superiores, V = 2x2M

g) S = { }0ze1yx/)z,y,x( 223 =≥+ℜ∈ V = 3ℜ

h) S =

ℜ∈

y,x/

00

yx, V = 2x2M

i) S = { }ℜ∈+ c,a/cax , V = P 1

j) S = { }0a,c,a/cax2

≠ℜ∈+ , V = P 2

k) S é o conjunto solução do sistema

=++

=++

=−+

0z3y8x5

0z2y3x2

0zy2x

e V = 3ℜ

l) S = { }0Adet/VA ≠∈ , V = 3x3M

20



5.3. RESPOSTAS

E1) a) Sim b) Sim c) Não d) Sim e) Não

E2) a) Não b) Não c) Sim d)Não e) Sim f)Sim g) Não h) Sim i) Sim

j) Não k) Sim l) Não

21



6. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES

6.1. INTRODUÇÃO Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a determinação de

novos vetores a partir de vetores dados.

Sejam os vetores n21 v,...,v,v de um espaço vetorial V. Um vetor ∈v V é combinação linear (CL) dos

vetores n21 v,...,v,v se existem os reais n21 a,...,a,a , tais que vva...vava nn2211 =+++ .

E1) Verifique se o vetor )7,8,1(v −−= é combinação linear dos vetores )1,2,3(v1 −= e )5,1,4(v2 = . Em

caso afirmativo, escreva o vetor v como combinação linear de 1v e 2v .

A combinação linear vva...vava nn2211 =+++ pode ser representada matricialmente por MA=V,onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores n21 v,...,v,v , A é a matriz coluna formada pelos coeficientes

n21 a,...,a,a e V é a representação matricial do vetor v.

E2) Sejam os vetores )2,1,2(v1 −= , )2,3,0(v2 −= e )0,2,4(v3 = .

a) Escreva, se possível, o vetor )2,5,2(v −= como CL dos vetores 1v e 2v .

b) Escreva, se possível, o vetor 1v como CL dos vetores 2v e 3v .

c) Determine o valor de “m” para que o vetor )m,0,6(u = seja CL dos vetores 1v e 2v .

d) Determine os vetores do 3ℜ que podem ser escritos como CL dos vetores 1v , 2v e 3v .

e) Determine os vetores do 3ℜ que podem ser escritos como CL dos vetores )0,1,2(vev 43 = .

E3) Sejam os vetores

=

11

01v1 ,

−=

10

21v2 e

−=

12

10v3 de V = 2x2M .

a)Escreva, se possível, o vetor

=

50

81v como CL dos vetores 1v , 2v e 3v .

b)Escreva, se possível, o vetor v como combinação linear dos vetores 1v e 2v .

E4) Sejam os vetores tt2 pe2t p,1t2t p2

322

1 −=+=+−= de V = 2P .

a)Escreva, se possível, o vetor 7t5t5 p 2 +−= como CL dos vetores 1 p , 2 p e 3 p .

Nota: As operações de adição e multiplicação por escalar aplicadas sobre p = c btat 2 ++ e sobrep = (a,b,c) produzem o mesmo resultado. Por que ?

Sugestão: represente o vetor c btat 2 ++ pela terna (a,b,c).

b)Escreva, se possível, o vetor p como CL dos vetores 1 p e 2 p .

22



6.2. RESPOSTAS

E1) v = 3v1 - 2v2

E2) a) v=v1+2v2 b) Impossível c) m=4 d) 3v ℜ∈∀ e) v=(2y,y,0) , y ℜ∈

E3) a) v=4v1+3v2-2v3 b) Impossível

E4) a) p=3p1+2p2+p3 b) Impossível

23



7. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO

7.1. INTRODUÇÃONesta secção, veremos como determinar todos os vetores do espaço vetorial que

podem ser obtidos a partir de vetores dados.

E1) Mostre que se V é um espaço vetorial e n21 v,...,v,v V∈ , então o conjunto

S = { }ℜ∈+++=∈ inn2211 a,va...vavav/Vv é um subespaço vetorial de V.

Sejam A = { }n21 v,..,v,v um conjunto de vetores de um espaço vetorial V , e

S = { }ℜ∈+++=∈ inn2211 a,va...vavav/Vv . O conjunto S também representado por G(A)

ou [ n21 v,...,v,v ] é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores n21 v,...,v,v .

Exemplos os exercícios E2d e E2e página 20.

E2) Se V = 2ℜ , determine o subespaço gerado por:

(Quais são os subespaços do 2ℜ ? Veja página 18 )

a) )2,1(v1 = b) )2,1(v1 −= e )2,1(v 2 −= c) )0,1(v1 = e )2,2(v 2 =

d) )2,1(v1 = , )1,1(v 2 = e )1,1(v3 −= e) )2,1(v1 = e )1,0(v 2 −=

E3) Se V = 3ℜ , determine o subespaço gerado por:

(Quais são os subespaços do 3ℜ ? Veja página 18)

a) )2,3,1(v1 = b) )2,3,1(v1 = e )4,6,2(v 2 −−−= c) )2,1,1(v1 −= e )1,1,1(v 2 =

d) )1,1,1(v1 −= , )2,2,2(v 2 −−= e )1,1,1(v3 = e) )0,0,1(v1 = , )0,2,0(v 2 = e )3,0,0(v3 =

f) )0,1,1(v1 = , )1,1,0(v 2 = , )1,1,1(v3 = e )1,0,2(v 4 −=

E4) Se V = 2x2M , determine o subespaço gerado por:

a)

=

00

01v1 ,

=

00

11v2 ,

=

12

10v3 e

=

11

11v4

b)

−

−=

21

21v1 ,

=

43

12v2 e

−

−=

62

13v3

c)

=

00

01v1 e

=

00

23v2

d)

−−

=21

12v1

24



E5) Se V = P 2 , determine o subespaço gerado por:

a) 2tt2v 21 ++= , t2tv 2

2 −= e 2t3tv 23 −−−=

b) 1tv1 −= e 22 tv =

c) 2tv 21 +−= e 3t2v 2

2 −=

E6) Determine um conjunto gerador do conjunto solução do sistema:

=+−+=+−+

=−+−−=++

0t9zy4x4

0t3zyx

0t5zy2x2

0t2yx

Sugestão: Procure escrever o vetor genérico do conjunto solução como combinação linear de vetores do 4ℜ .

7.2. RESPOSTAS

E2) a) { }x2y/)y,x(2

=ℜ∈ b) { }x2y/)y,x(2

−=ℜ∈ c)2

ℜ d)2

ℜ e)2

ℜ

E3) a) { }x2zex3y/)z,y,x(3 ==ℜ∈ b) { }x2zex3y/)z,y,x(

3 ==ℜ∈

c) { }0z2y3x/)z,y,x( 3 =+−ℜ∈ d) { }xz/)z,y,x( 3 =ℜ∈ e) 3ℜ f) 3ℜ

E4) 4) a) M2x2 b)

ℜ∈

c, b,a/

a2c

bac)

ℜ∈

b,a/

00

bad)

ℜ∈

−−

b/ b2 b

b b2

E5) a) { }0c5 b2a4/c btat 2 =−+++ b) { }0c b/c btat 2 =+++ c) { }ℜ∈+ c,a/cat 2

E6) S= { }ℜ∈−− t,y/)t,t,y,t2y(

25



8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

8.1. INTRODUÇÃOEm nosso estudo, temos grande interesse na determinação do menor conjunto de

vetores que gera um espaço vetorial, para isto, precisamos das noção de dependência eindependência linear.

Sejam os vetores n21 v,...,v,v de um espaço vetorial V e a equação 0va...vava nn2211 =+++ (1).

Os vetores n21 v,...,v,v são linearmente independentes (LI) caso a equação (1) admita apenas a

solução trivial 0a...aa n21 ==== .

Se a equação (1) admitir soluções distintas da trivial, isto é, algum 0a i ≠ , então os vetores n21 v,...,v,v são linearmente dependentes (LD).

E1) Verifique se os vetores são LI ou LD.

a) )3,2,1(v1 = e )6,4,2(v2 −−−= b) )2,1,1(v1 −= , )3,0,2(v2 = e )1,2,0(v3 −=

c) )2,1,0(v1 = , )3,2,1(v 2 = e )0,3,1(v3 =

8.2. PROPRIEDADES

a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD sse pelo menos um dos vetores é CL dos demais.

b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD.

c) Se um conjunto é LD então qualquer conjunto que contém este também é LD.

d) Se um conjunto é LI então qualquer subconjunto deste também é LI.

E2) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação

y 2ℜ

3v

1v

4v

2v

0 x

a) 0 é LD b) 1v é LI c) 2v e 4v são LD d) 1v e 2v são LI e) 1v , 2v e 3v são LD

f) 1v , 2v , 3v e 4v são LD

26



E3) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação.z

5v

3v

0

1v 2v y

4v

x xoy

a) 0 é LD b) 1v é LI c) 3v e 5v são LD d) 1v e 3v são LI e) 1v , 2v e 4v são LD

f) 1v , 2v e v3 são LI g) 1v , 2v , 3v e 4v são LD h) 1v , 2v , 3v , 4v e 5v são LD.

E4) Complete a tabela abaixo:

número de vetores LD LI

1

2ℜ 2

3 ou mais

1

3ℜ 2

3

4 ou mais

E5) Verifique se os vetores são LI ou LD.

a)

=

13

20v

1 ,

−=

12

01v

2 e

−=

01

12v

3

χ

b)

=

00

01v1 ,

=

00

12v2 ,

−

=01

23v3 e

−=

01

10v4

c) 1xv1 −= , 5x3x2v 22 −−= e 1x3xv 2

3 −−=

d) x1v1 += , xv2 = e 23 xv =

27



8.3. RESPOSTAS

E1) a) LD b)LD c) LI

E5) a)LI b)LD c)LD d)LI

28



9. BASE E DIMENSÃO9.1. INTRODUÇÃO

Nesta secção, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial V, osmenores conjuntos finitos de vetores, tais que qualquer vetor de V seja combinação linear deum deles, isto é, queremos determinar os conjuntos com um número mínimo de vetores que gere V. Um conjunto com estas propriedades será denominado base do espaço vetorial V e onúmero de vetores desses conjuntos de dimensão de V.

Exemplo: Com base na figura abaixo, determine um conjunto com o menor número de vetores que gere o 2ℜ .

Solução: Queremos determinar um conjunto de vetores que gere o 2ℜ e que tenha o menor número de

vetores escolhidos dentre 1v , 2v , 3v , 4v e 5v .

a) Seja A o conjunto { 1v , 2v , 3v , 4v , 5v }. A é LI ou LD ? ......

3v 2ℜ

1v Qual é o subespaço vetorial do 2ℜ , gerado por A? ................

4v 2v b) Construa um conjunto B, retirando um vetor do conjunto A

5v B = {..... , ..... , ..... , ..... }. O conjunto B é LI ou LD ?..............

Qual é o subespaço vetorial do 2ℜ , gerado pelo conjunto B? ..............

c) Construa um conjunto C, retirando um vetor do conjunto B. C = {..... , ..... , ..... }.

O conjunto C é LI ou LD ? .............

Qual é o subespaço vetorial do 2ℜ , gerado pelo conjunto C? ....................

d) Construa um conjunto D, retirando um vetor do conjunto C, de modo que o gerado continue sendo

o 2ℜ . D = {..... , ..... },

Este conjunto é LI ou LD ? ............

Se for retirado um vetor do conjunto D, o gerado será o 2ℜ ? ............

Portanto, D é um conjunto com o menor número de vetores que gera o 2ℜ . Note que dos conjuntos

considerados D é o único LI.

Um conjunto com estas propriedades, LI e que gera um espaço vetorial V, é denominado de base

de V. Portanto D é uma base do 2ℜ .

Apresente, a partir da figura acima, outra base do 2ℜ : E = {..... , ..... }

Quantas bases podemos construir com vetores do 2ℜ ?.........

Quantos vetores tem uma base qualquer do 2ℜ ?..........

29



9.2. BASE

Seja B = { }n21 v,...v,v um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se:a) B é LI;b) B gera V.

E1) Sejam os vetores v1 = (1,0), v2 = (-2,0) e v3 = (1,2). Verifique se B é uma base do 2ℜ .

a) B = { 1v } b) B = { 1v , 2v } c) B = { 1v , 2v , 3v } d) B = { 1v , 3v }

E2) Sejam os vetores )0,2,1(v1 = , )1,1,0(v2 = , )0,0,1(v3 −= e )1,1,1(v 4 −= .Verifique se B é uma base do 3ℜ .

a) B = { 1v } b) B = { 1v , 2v } c) B = { 1v , 2v , 3v } d) B = { 1v , 2v , 4v }

e) B = { 1v , 2v , 3v , 4v }

E3) Seja o conjunto B = {(1,-3,-2),(2,-1,1)}.

B é LI ou LD ?...........

B é uma base do 3ℜ ?

Qual é o subespaço S do 3ℜ gerado por B ? S = ...................................................

Logo, B é uma base de ..........

9.3. PROPRIEDADES

1. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado.

E4) Seja o conjunto B do exercício E3 anterior. Se for acrescentado ao mesmo, um ou mais vetores de S , oo conjunto resultante será LI ou LD?

2. Se B = { 1v , 2v ,..., nv } é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de“n” vetores é LD.

3. Se B = { 1v , 2v ,..., nv } é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo

único como combinação linear dos vetores de B, isto é, existe uma única n-upla ( n21 a,...,a,a ), tal que

vva...vava nn2211 =+++ .

4. Todas as bases de um espaço vetorial V, têm o mesmo número de vetores.

Exemplo: Qualquer base do 2ℜ tem ........ vetores e qualquer base do 3ℜ tem ........ vetores.

30



9.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL

A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V.

Exemplo: ..........dim 2 =ℜ e ..........dim 3 =ℜ

E5) Qual a dimensão do espaço vetorial S = 0zyx/)z,y,x( 3 =−+ℜ∈ ?

Solução: Podemos escrever o vetor genérico de S em função de duas variáveis: v = ( x , y ,x + y ).

∈∀ )z,y,x( S =)z,y,x( ( x , y , x + y.) ⇔ )y,y,0()x,0,x()z,y,x( +=

)1,1,0.(y)1,0,1.(x)z,y,x( += (1)

Logo, qualquer vetor (x,y,z) de S é CL dos vetores v1=(1,0,1) e v2 =(0,1,1), isto é, o gerado pelos vetores

v1 e v2 é o conjunto S . Além disso, como B = {v1,v2}é LI , B é uma base de S. Portanto, dim S = 2 ( B tem

dois vetores). Na igualdade (1), pode-se observar que o número de vetores é igual ao número de variáveis.

Então, podemos dizer que:

A dimensão de um espaço vetorial V é igual ao número de variáveis livres do vetor genérico de V.

Se a dimensão de um espaço vetorial V é n, então qualquer conjunto LI de “n” vetores de V é uma base de V.

E6) Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços:

a) 41S ℜ= b) 22 PS = c) 1x23 MS = d) { }x2y/)y,x(S 2

4 =ℜ∈=

e) 0zyx2/)z,y,x(S 35 =−−ℜ∈= f)

=+=∈

= 0teyxz/M

tz

yxS 2x26

E7)Determine a dimensão de cada um dos subespaços:

a) S1 = nℜ b)S2 = mxnM c) S3 = nP

E8)Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços:

a) 51S ℜ= b) 32 PS = c) 2x23 MS = d) { }xy/)y,x(S 24 −=ℜ∈=

e) 0z2yx/)z,y,x(S 35 =+−ℜ∈= f)

==∈

= 0texz/M

tz

yxS 2x26

31



E9) Sejam os vetores 1v

=

00

01, 2v

=

00

12, 3v

−

=01

23, 4v

−=

13

12e

−

=01

10v5

verifique se B é uma base de 2x2M .

a) B = { 1v } b) B = { 1v , 2v } c) B = { 1v , 2v , 3v } d) B = { 1v , 2v , 3v , 4v }

e)B = { 1v , 2v , 3v , 4v , 5v }

E10) Sejam os vetores 1v = 2x , 2v = 2x1− , 3v = x2 − , 4v = 2xx + verifique se B é uma base de 2P .

a) B = { 1v } b) B = { 1v , 2v } c) B = { 1v , 2v , 3v } d) B = { 1v , 2v , 3v , 4v }

E11) Um certo espaço vetorial V é gerado por cinco vetores LD. O que pode ser dito sobre a dimensão de V?

E12) Determine um vetor “u”, tal que B= {u,(1,0,2),(0,1,1)} seja uma base do 3ℜ .

E13) Mostre que o conjunto solução de cada sistema abaixo é um subespaço vetorial e ache uma base para

cada um deles:

a)

=−+−=−++

0tzyx

0tzyxb)

=−−+=−−+

=−++

0t3zy2x2

0tzyx

0t4z2yx

E14)Dê um exemplo de um subespaço de 2x2M de dimensão 3.

E15)Encontre uma base para o ℜ 3 que inclua:

a) (-1,2,0) b) (-1,2,0) e (1,0,3)

9.5. RESPOSTASE1) a) Não b) Não c) Não d) Sim

E2) a) Não b) Não c) Sim d) Não e) Não

E6) a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 2 f) 2

E7) a) n b) mxn c) n + 1

E8) a) 5 b) 4 c) 4 d) 1 e) 2 f) 2

E9) a) Não b) Não c) Não d) Sim e) Não

E10) a) Não b) Não c) Sim d) Não

E11) dim V < 5 E12) Qualquer vetor do conjunto }0zyx2/)z,y,x{( 3 ≠−+ℜ∈

32



10. COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE

10.1. INTRODUÇÃO

Existe uma estreita ligação entre a noção de base e a de um sistema de coordenadas. Por exemplo, no

ℜ2

, cada base representa um sistema de coordenadas, onde os vetores determinam a direção, sentido eunidade dos eixos OX e OY, respectivamente. Portanto, cada vetor do espaço pode ser escrito de forma únicacomo combinação linear dos vetores da base.

10.2. COMPONENTES DE UM VETOR

Seja B = { n21 v,...,v,v } uma base de um espaço vetorial V. ∈∀v V, nn2211 va...vavav +++= .

Os reais n21 a,...,a,a são chamados de componentes ou coordenadas de v na base B e se representa por

)a,...,a,a(v n21B = .

Notação matricial:

=

n

2

1

B

a

:

a

a

v .

E1) Sejam as bases A = { )1,0(v),0,1(v 21 == } e B = { )3,1(u),0,2(u 21 == } do 2ℜ e o vetor )6,8(v = .

Determine Av e Bv .

E2) Considere o exercício E1 e apresente, nos gráficos abaixo, as representações do vetor v nas bases

A={v1,v2} e B={u1,u2}.

y y y’

v v

2u

2v

0 1v x 0 1u x’ x

v = ......v1 + .....v2 ⇔ vA= (..... , ..... ) v = ......u1 + .....u2 ⇔ vB= (..... , ..... ) 10.3. MUDANÇA DE BASE

Como a cada base, corresponde um sistema de coordenadas, realizar uma mudança de base, é substituir osistema de coordenadas por outro, isto é, é substituir as componentes de um vetor do espaço em relação ao

primeiro sistema pelas componentes do mesmo vetor do espaço em relação ao outro.

33



E2) Sejam A = {v1= (-1,2),v2= (3,-1)} e B = {u1= (1,-1),u2= (2,0)} bases do 2ℜ . Calcule Bv , sabendo que

)3,4(v A = .

Se vA = (a1,a2) ⇔ ⇔+= 2211 vavav )1,3.(3)2,1.(4v −+−= ⇔ v = ⇔

−

−3

4

12

31v = AvA (1)

Se vB = (b1,b2) ⇔ ⇔+= 2211 u bu bv ⇔+−= )0,2.( b)1,1.( bv 21 v =

− 2

1

b

b

01

21⇔ v = BvB (2)

De (1) e (2) , AvA. = BvB que é a relação entre vetores nas bases A e B.

Da relação acima, ABv 1B

−= vA e BAv 1A

−= vB , onde:

- A1B− é denominada matriz mudança de base de A para B e é representada por ABM .

- BA 1− é denominada matriz mudança de base de B para A e é representada por BAM .

Retornando o exercício E2:

−

== −

2

1

2

1

10

.ABM 1AB

−

=

−

−

12

1

12

12

31logo Bv = A

BM .vA

−=

−

=5

5

3

4

12

1

12

vB= (-5,5)

Interpretação gráfica:

v

ABM

Av Bv

E3) Sabendo que A = {(1,2),(-3,-5)} e B = {(1,1),(1,0)} são base do 2ℜ , determine:

a) Bv , sabendo que )1,1(vA −= b) Av , sabendo que )1,2(vB −=

E4) Mostre que as matrizes ABM e B

AM são inversas.

E5) Se

−−

−=

51

90MA

B e B = {(1,-2),(-2,3)}, determine a base A.

E6) Se

−

−=

101

110

011

MBA e

−

=

3

2

1

vB , determine Av .

E7) Se A é uma base de um espaço vetorial de dimensão n, qual é a matriz mudança de base de A para A.

34



E8) Considere as bases }

1

6

1

v,

1

2

3

v,

1

0

1

v{A 321

−=

−

−=

== e }

0

3

2

u,

1

3

2

u,

0

1

1

u{B 321

=

=

== do

espaço 1x3M .

a)Determine a ABM . b) Se

−

−

=58

5

W calcular BW .

E9) Considere as bases }x23 p,x34 p{A 21 −=−== e }3x2q,2xq{B 21 +=+==

a) Determinar a matriz ABM .

b) Calcular A p , onde 4x p −=

c) Use a matriz mudança de base para encontrar B p

d) Calcular a matriz BAM

e) Com o resultado de “c” e de “d”, calcule A p .

E10) Os sistemas xOy e x’Oy’ da figura ao lado são definidos pelas bases y x’a

S={(1,0),(0,1)} e P = {u1=

−=

2

1,

2

3u,

2

3,

2

12 }, y’ 2 vS

respectivamente. Utilizando a matriz u2 u1

4 xmudança de base, determine:

ba) vP = (a,b), sendo vS = (4,2)

b) vS, sendo vP = (4,2 )

10.4. RESPOSTAS

E1) vA= (8,6) e vB= (3,2)

E2) vB= (-5,5)

E3) a) vB=(-7,3) b) vA=(1,0)

E5) A={(2,-3),(1,3)}

E6) vA=(1,1,-4)

E7) In

E8) a)

−−−−−

=662

111

9133

M AB b) WB=

−

−

18

5

31

E9) a)

−−

=710

1217M A

B b) pA= 5x - 8 c) pB= -11x + 6 d)

−−=

1710

127MB

A

35



E10) a) V p= (2 + 3 , -2 3 +1) b) Vs= (2 - 3 , 2 3 +1)

36



11. PRODUTO INTERNO

11.2. INTRODUÇÃO

Nesta secção estamos interessados em formalizar o conceito de comprimento de um vetor . Com isso,teremos um processo para medir num espaço vetorial, da mesma forma que se mede no plano e no espaço. O produto interno apresenta aplicações na Estatística e no Cálculo Diferencial e Integral. Poderíamos definir também,com o produto interno, ângulo e distância entre vetores .

Seja V um espaço vetorial real . Um produto interno sobre V é uma função que a cada par de vetores u,v∈V,associa um número real, denotado por <u,v> ou por u.v, satisfazendo as propriedades :i) u.u ≥ 0, e u.u = 0 sse u = 0ii) u.v = v.uiii) (α u).v = u.(α v) = α (u.v) , ℜ∈∀α

iv) u.(v+w) = u.v + u.wO espaço vetorial V, neste caso, é chamado espaço vetorial euclidiano.

Exemplos :

a) V = 2ℜ , u = (x1 ,y1) 2ℜ∈ , v = (x2,y2) 2ℜ∈ com u.v = 2x1x2 + 3y1y2.

b) O produto escalar usual do nℜ .

c) V=P2 , p = a2x2 +a1x +a0 , q = b2x2 + b1x +b0 com p.q = a2 b2 + a1 b1 + a0 b0.

d) O espaço V das funções reais continuas no intervalo [a,b] com f,g∈V e f.g = ∫ b

adx)x(g)x(f

e) V=M2x2 e dhcg bf aehg f e.dc ba +++=

E1) Seja o exemplo c . Se p=5x²+3x-2 e q=4x²-6 , calcule p.q e q.q .

E2) Seja o exemplo d , com a=0 e b=1 . Se f(x) = x e g(x) = x² . Calcule f.g , f.f e g.g .

E3) Seja o exemplo e . Se u =

−−=

−

05

32ve

32

12calcule u.v e u.u .

Norma, módulo ou comprimento de um vetor v de um espaço euclidiano é o número real não-negativo,indicado por ||v|| ou por | v | e definido por | v | = v.v .

E4) Nos exercícios E1 , E2 e E3 , calcule | p | , | q | , | f | , | g | , | u | , e | v | .

37



Se | v |=1 , isto é, v.v=1, v é chamado vetor unitário. Neste caso , dizemos que v está normalizado.

Todo vetor não-nulo v pode ser normalizado, fazendo-se|v|

v.

E5) Nos exercícios E1, E2 e E3 , normalize os vetores p , q , f , g , u e v.

11.2. RESPOSTAS

E1) p.q = 32 q.q = 52

E2) f.g =4

1f.f =

3

1g.g =

5

1

E3) u.v =11 u.u =16

E4) | p | = 38 | q | =2 13 | f | =3

3 | g | =5

5 | u | = 4 | v | = 6

E5)19

38x

38

383x

38

385

| p|

p 2 −+= 13

133x

13

132

|q|

q 2 −= x3|f |

f =

2x5|g|

g=

−

=

4

3

2

14

1

4

2

|u|

u

−−

=0

6

52

1

6

2

|v|

v

38



12. ORTOGONALIDADE

12.1. VETORES ORTOGONAIS

Dois vetores u e v de V são ortogonais se e somente se u.v=0 .u⊥ v ⇔ u.v = 0

E1) Verifique se os vetores do espaço vetorial V são ortogonais

a) u = (-1,2) , v = (2,1) , V = 2ℜ

b) u = ( -1,3,-4), v = (2,-2,1), V = 3ℜ

c) u = (0,-2,3, -5), v = (7,-2, 2,-2), V = 4ℜ

d) p = x2 , q = x, V = P2 , com p.q = ∫ −1

1dx)x(q)x( p

e) A=

−=

− 24 13B,31 42 , V = M2x2 , com dhcg bf aehg

f e.dc

ba+++=

f) A=

−−

24

53, B=

−185

31, V = M2x2 , com o produto interno de 1e.

12.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL

Uma base B de um espaço vetorial V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais.Uma base B de um espaço vetorial é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários.

B é ortogonal : vi.v j = 0 para i ≠ j.B é ortonormal : vi.vj =0 para i ≠ j e vi.vj = 1 para i=j.

E2)Construa uma base ortogonal do 2ℜ .

E3)Construa uma base ortonormal a partir da base considerada no exercício E2.

E4)Repita os exercícios E2 e E3 para o 3ℜ .

Nos exercícios E5 a E8, considere V= 3ℜ .

E5) Determine o vetor v3 de modo que B={v1=(2,-2,1), v2=(1,2,2),v3} seja uma base ortogonal.

E6) Construa uma base ortonormal a partir da base B do exercício E5.

E7) Determine os vetores v2 e v3 de modo que B={v1=(1,2,-1),v2,v3} seja uma base ortogonal.

E8) Construa uma base ortonormal a partir da base B do exercício E7.

E9) Determine uma base ortogonal para cada um dos seguintes subespaços:

a) S={(x,y,z)∈ 3ℜ / x-y+z = 0} b) S={(x,y,z) 3ℜ∈ / z=2x } c) S={(x,y,z,w) 4ℜ∈ / w-y=0}

E10)Construa bases ortonormais para os subespaços do exercício E9.

39



E11)Encontre as componentes do vetor v=(-4,0,5) na base A={(1,1,0),(-1,1,1),(1,-1,2)}

E12) Encontre as componentes de v na base ortonormal construída a partir de A.

E13) Mostre que as componentes de um vetor v de um espaço vetorial V em relação a uma base ortogonalB={v1,v2,...vn} de V são ai = v.vi / vi.vi , com i = 1,...,n. Estas componentes são chamadas coeficientesde Fourier.

Sugestão: Suponha que B={v1,v2,...,vi,...,vn} seja ortogonal e multiplique escalarmente os dois membrosda equação a1v1+a2v2+...+aivi+...+anvn = v por vi.

E14) Como ficam os coeficientes de Fourier se a base B for ortonormal?

E15) Resolva os exercícios E11 e E12 com os resultados dos exercícios E13 e E14.

12.3. PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT

O processo de Gram-Schmidt que nos possibilita construir uma base ortogonal B={u1,u2,...,un} de umespaço vetorial V a partir de uma base qualquer A={v1,v2,...,vn} de V, consiste no seguinte:

Considera-se u1 = v1 e ui = vi - 1i1i1i

1ii1

11

1i u.u.u

u.v....u.

u.u

u.v−

−−

−

−−

, para i=2,...,n.

E16)Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal:

a) B={(1,-2),(0,3)} b) B={(1,1,1),(1,0,1),(1,2,-2)}

c) B={(0,1,-1),(0,1,1),(1,1,1)} d) B={(1,0,0,1),(0,1,1,0),(1,0,0,-1),(1,1,1,1)}

e)B={(-1,1,0),(2,0,1)} f) B={(0,0,1,0),(1,0,0,2),(1,-1,0,1)}

E17)Use as bases ortogonais obtidas no exercício E16 para construir bases ortonormais.

12.4. RESPOSTAS

E1) a) SIM b) NÃO c) NÃO d) SIM e) SIM f) NÃO

E5) 0y,)y2,y,y2(v ≠−= E6)

−

−

3

2,

3

1,

3

2,

3

2,

3

2,

3

1,

3

1,

3

2,

3

2

E11) vA=(-2,3,1) E12) vA= )6,33,22(− E14) ai = v.vi com i = 1,...,n.

40



13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES

13.1. INTRODUÇÃO As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são espaços

vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variável dependentes sãovetores. Este tipo de função possui uma propriedade importante: preserva a soma e a

multiplicação por escalar. As transformações lineares apresentam aplicações na Física, Engenharia, Ciências Sociais e em vários ramos da Matemática.

13.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR

Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chamada transformação linear (TL) , sei) f(u+v) = f(u) + f(v) , Vv,u ∈∀

ii) f(α u) = α f(u), ℜ∈∀α e Vu ∈∀No caso de V = W, f é chamada operador linear sobre V.

E1) Mostre que as transformações abaixo são lineares. .

a) f: ℜ→ℜ , dada por f(x) = 2x b) f: 32 ℜ→ℜ , dada por f(x,y) = (x , x+y , y).

E2) Quais das seguintes transformações são lineares ?

a) f(x)= 2x + 1 b)f(x,y) = xy c)f(x,y,z) = ( 0 , 0 , z ) d)f(x,y) = | x+y |

E3) Numa TL. f: V → W, f (u) =2u e f(v)=3v , calcule :

a) f(u+v) b) f(3u) c) f(u-v) d) f(2u+5v)

Importante:

a) Se f: V→ W é uma TL então f(0V) = 0W.

b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação linear das

imagens com os mesmos coeficientes, isto é, f(a1v1 + a2v2 + ... + anvn ) = a1f(v1) + a2f(v2) + ...+ anf(vn).

E4) Mostre que a transformação identidade : f: V→ V , f(v) = v é linear.

E5) Seja f: →ℜ3 w a projeção ortogonal do 3ℜ sobre o plano xy, indicado por w .

a)Encontre a f(x,y,z) b)Determine f (2,-1,3)

E6) Se f: 32 ℜ→ℜ é linear e u=(1,2), v=(-1,3), f(u)= (2,-1,-2) e f(v)=(-2,-4,-3) calcule:

a) f(u+v) b) f(3u) c) f(2,4) d) f(2u-3v)

41



E7) Seja V o espaço vetorial das funções diferenciáveis. Mostre que f: V→ W, com f(v) = v’ é linear.

E8) Seja V o espaço vetorial das funções definidas em [0,1]. Mostre que f:V → W, com f(v)= ∫ 1

0dx)x(v é

linear

E9) Quais das seguintes transformações são lineares ?

a) f wz

yx

wz

yx=

b) f

++

=

zy

1x

z

y

x

c) f(ax + b) = ax2 + bx

E10) Seja f:P2→ P3 a TL tal que f(1)=1, f(t)=t2 , e f(t2)= t3+ t. Encontre f(2t2-5t+3)

13.3. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA

Seja a matriz A=

−

−

45

03

12

. Se pensarmos na matriz A como um objeto que atua sobre um vetor v =

yx ,

por multiplicação, o resultado será o vetor u = Av =

.................

.................

.................

. Logo, a matriz A define uma

transformação f: 32 ℜ→ℜ , onde f(v) = A.v ou f(x,y) = .........................................................

Importante:

A transformação f: mn ℜ→ℜ definida por f(v)= A.v é linear.

Toda matriz Amxn define uma TL f: mn ℜ→ℜ , com f(v)= A.v. Neste caso, A é chamada matriz naturalou matriz canônica de f e A pode ser representada também por [f].

Se a matriz A define a TL f, então as linhas de A são, respectivamente, os coeficientes das componentesda imagem de f.

E11) Seja a matriz A=

−354

321, determine :

a) a lei da TL definida por A. b) a imagem de v=(1,-1,1), usando a matriz A.

c) a imagem de v=(1,-1,1), usando a lei. d) o vetor u , tal que f(u)=0

E12) Escreva a matriz natural associada a transformação linear f (x,y)=(x+2y,x-y,3x-5y)

E13) Escreva a matriz natural associada a transformação linear :

42



a) f(x,y,z)=(x+y-z,0) b) f(x)=(2x,0,-x) c) f(x,y)=x+y d) f(x)=3x

E14)Um operador linear no 2ℜ é definida pela matriz [ ]

−=

10

21f . Determine u e v , tal que :

a) f(u)=u b) f(v)=-v

E15)Um operador linear no 3ℜ é definido pela matriz

−−−

−=

301

121211

A . Determine v e w tal que:

a) f(v) = 0 b) f(w) = (2,-1,-3)

E16)Um operador linear é definido pela matriz A=

43

12. Determine v ≠ 0 e u ≠ 0 tal que:

a) Av = 5v b) Au = -2u

13.4. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DE UMA BASE

Se B = {v1,v2, ... ,vn} é uma base do espaço vetorial V então Vv ∈∀ , v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn(1), isto é,

podemos encontrar ai com i = 1,2,...,n.

Se f: V→ W é uma TL, f(v) = a1f(v1) + a2f(v2) + ...+ anf(vn), isto é, f(v) é CL das imagens com os mesmos

coeficientes ai , calculados em (1). Portanto, é possível calcular f(v), quando são conhecidas as imagens

dos vetores de uma base do domínio de f.

Uma TL f: V→ W está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores de uma base do domínio de f.

E17) Seja f: 32 ℜ→ℜ a TL definida por f(1,-1) = (3,2,1) e f(0,1) = (-2,4,-3). Determine:

a) f(5,4) b) f(x,y) c) f(5,4) pela lei

E18) Seja f: 23 ℜ→ℜ a TL definida por f(1,0,0) = (2,3), f (0,1,0) = (-4,1) e f(0,0,1) = (-2,-1) . Encontre

f(x,y,z) e [f].

E19) Seja f a TL definida por f(1,0) = (3,-2,1) e f(0,1) = (4,0,2). Encontre f(x,y) e [f].

E20) Seja f a TL definida por f(1,1,1) = (1,0), f (1,1,0) = (2,-1) e f(1,0,0) = (4,3). Encontre f(x,y,z) e [f].

43



13.5. COMPOSTA DE DUAS TL

Sejam f 1: V→ W e f 2: W→ U transformações lineares. A composta de f 2 com f 1 é a TL f 2of 1: V→ U

definida por (f 2of 1)(v) = f 2(f 1(v)).W

w=f 1(v)= [f 1].v f 1 f 2

[f 1] [f 2]

V U

f 2of 1v u= f 2(w)= [f 2].[f 1].v

[f 2of 1] = [f 2]. [f 1] Importante:

A matriz que representa uma seqüência de TL é o produto das matrizes das TL na ordem inversa.

E21) Sejam os operadores lineares definidos por f 1(x,y) = (3x+y , y-x) e f 2(x,y) = (2x-y , 3x). Determine:a

b a) as matrizes das compostas f 1of 2 e f 2of 1.

b) as leis das compostas f 1of 2 e f 2of 1.

E22) Sejam as TL dadas por f 1(x,y) = (2x +3y , x+y , 2x) e f 2(x,y,z) = ( x-y , y-z). Determine:c

d a) as matrizes das compostas f 1of 2 e f 2of 1.

b) as leis das compostas f 1of 2 e f 2of 1.

44



13.6. RESPOSTAS

E2) a) Não b) Não c) Sim d) Não

E3) a) 2u + 3v b) 6u c) 2u – 3v d) 4u + 15v

E5) a) (x,y,0) b) (2,-1,0)

E6) a) (0,-5,-5) b) (6,-3,-6) c) (4,-2,-4) d) (10,10,5)

E9) a) Não b) Não c) Sim

E10) f(2t2- 5t + 3) = 2t3+ 2t – 5t2+ 3

E11) a) f(x,y,z) = (x + 2y – 3z, 4x + 5y + 3z) b) (-4,2) c) (-4,2) d) (-7z,5z,z) , z ℜ∈

E12) A =

−

−

53

11

21

E13) a) A =

−000

111b) A =

−1

0

2

c) A = [ ]11 d) A =[3]

E14) a) (y , y) , y ℜ∈ b) (x , 0) , x ℜ∈

E15) a) (3z , z , z) , z ℜ∈ b) (3z – 3 , z – 1 , z) , z ℜ∈

E16) a) (x , 3x) xℜ∈

b) NE

E17) a) (-3 , 46 , -22) b) f(x,y) = (x – 2y , 6x + 4y , -2x – 3y) c) (-3 , 46 , -22)

E18) f(x,y,z) = (2x –4y –2z , 3x + y – z ) [ f ] =

−−−

113

242

E19) f(x,y) = (3x + 4y , -2x , x + 2y) [ f ] =

−

21

02

43

E20) f(x,y,z) = (4x – 2y – z , 3x - 4y + z ) [ f ] =

−

−−143

124

E21) a)

−11

39e

39

17b) b) f(x,y) = (9x - 3y , x + y ) e f(x,y) = (7x + y , 9x + 3y)

E22) a)

−

−

−

022

101

312

e

− 11

21b) f(x,y,z) = (2x + y - 3z , x – z , 2x – 2y ) e f(x,y) = (x + 2y , -x + y)

45



14. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS

14.1. INTRODUÇÃONesta secção, apresentaremos alguns operadores lineares 22:f ℜ→ℜ utilizados na

computação gráfica bidimensional. A computação gráfica tem importante papel nas áreas de

videogames e de efeitos especiais para a indústria cinematográfica.

E1) Seja o operador linear f definido por f(1,0) = (-2,5) e f(0,1) = (3,4). Encontre f(x,y) e [f].

14.2. REFLEXÕES

1. Reflexão em relação ao eixo das abscissas.ye2

f(e1)=e1 o x

f(e2)=-e2

f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) ⇒ [f] =

........

........, f(x,y) = ( .......... , ...........)

2. Reflexão em relação ao eixo das ordenadas.y

f(e2)=e2

f(e1)=-e1 o e1 x

f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) ⇒ [f] =

........

........, f(x,y) = ( ........... , ...........)

E2) Esboce a imagem do ponto P(-2,3), através de:

a) reflexão em torno do eixo x;

b) reflexão em torno do eixo y;

E3) Esboçar a imagem do vetor v = (2,1), através de:

a) reflexão em torno do eixo x;

b) reflexão em torno do eixo y;

46



3. Reflexão em relação à origemy

e2

f(e1)=-e1 o e1 x

f(e2)=-e2

f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) ⇒ [f] =

........

........, f(x,y) = ( ........... , ...........)

4. Reflexão em relação à reta y = x.

y

f(e1)=e2

o f(e2)=e1 x

f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) ⇒ [f] =

........

........, f(x,y) = ( ........... , ...........)

5. Reflexão em relação à reta y = -x.

ye2

f(e2)=-e1 o e1 x

f(e1)=-e2

f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) ⇒ [f] =

........

........, f(x,y) = ( ........... , ...........)

E4) Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:

a) reflexão em torno da origem;

b) reflexão em torno da reta y=x;

e c) reflexão em torno da reta y=-x.

47



E5) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo x, seguida de umareflexão em relação à reta y=-x.

E6) Esboçar a imagem da reta y=2x, através de: a a) relexão em torno do eixo das abscissas b) reflexão em torno da origem;

c) reflexão em torno da reta y=x; d) reflexão em torno da reta y=-x.

14.3. DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES

1. Dilatação e Contração de fator α

Contração: 10 <≤α

ye2

f(e2)

o f(e1) e1 x

f(e1) =α e1 f(e2) =α e2

Dilatação: α >1

yf(e2)

e2

o e1 f(e1) x

f(e1) =α e1 f(e2) =α e2

f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) ⇒ [f] =

........

........, f(x,y) = ( ........... , ............)

2. Dilatação e Contração na direção do eixo das abscissas.

y yf(e2)=e2 f(e2)=e2

o e1 f(e1) x o f(e1) e1 x

f(e1) =α e1

1>α 10 <≤α

f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) ⇒ [f] =

........

........, f(x,y) = ( ........... , ...........)

48



3. Dilatação e Contração na direção do eixo das ordenadas.y y

f(e2)

e2 e2

f(e2)

o f(e1)=e1 x o f(e1)=e1 x f(e2) =α e2

1>α 10 <≤α

f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) ⇒ [f] =

........

........, f(x,y) = ( ........... , ............)

E7) Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:

a) contração de fator 1/2 na direção x; b) dilatação de fator 2 na direção x;

c) contração de fator 1/3 na direção y; d) dilatação de fator 3 na direção y.

E8) Esboçar a imagem do retângulo de vértices A(0,0) , B(2,0) , C(2,1) e D(0,1) , através de:

b a) contração de fator 1/3 na direção x; b) dilatação de fator 2 na direção x;

c c) contração de fator 1/2 na direção y; d) dilatação de fator 3 na direção y.

E9) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo y, seguida de umareflexão em relação à reta y=x e, finalmente uma dilatação de fator 3 na direção x.

14.4. CISALHAMENTOS

1. Cisalhamento na direção do eixo das abscissas

ye2 f(e2)

o α f(e1)=e1 x

f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) ⇒ [f] =

........

........, f(x,y) = ( ........... , ...........)

2. Cisalhamento na direção do eixo das ordenadas.

y

f(e2)=e2

α f(e1)

o e1 x

f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) ⇒ [f] =

........

........, f(x,y) = ( ........... , ............)

E10) Esboce a imagem do retângulo de vértices A(0,0) , B(2,0) , C(2,1) e D(0,1) , através de:

49



a) cisalhamento por um fator 3 na direção x;

b) cisalhamento por um fator 1/2 na direção x;

c) cisalhamento por um fator 2 na direção y;

d) cisalhamento por um fator 1/3 na direção y.

E11) Seja o triângulo de vértices A(0,0), B(2,0) e C(0,2). Esboçar a imagem do triângulo através de umacontração de fator 1/2 na direção y, seguida de uma reflexão em relação ao eixo x e, finalmenteum cisalhamento de fator 1/2 na direção x.

E12) Achar a matriz de cisalhamento na direção x que transforma o triângulo de vértices (0,0),(2,1) e (3,0)num triângulo retângulo cujo ângulo reto está na origem.

E13) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo x, seguida de umadilatação de fator 2 na direção y e, finalmente um cisalhamento de fator 3 na direção y.

14.5. ROTAÇÕES

1. Rotação no sentido anti-horário.y

e2 f(e2) f(e1)

θ

θ o e1 x

f(e1) = (..........,..........) f(e2) = (..........,..........) ⇒ [ ] [ ] π<θ≤

== θθθ 20,

....................

....................f ondev.f )v(f

2. Se θ < 0(sentido horário) considera-se o ângulo -θ .y

e2 f(e2)

θ

o θ e1 x

f(e1)

f(e1) = (............,.............) f(e2) = (.............,..............) ⇒ [ ]

=− .....................

.....................f )( θ

E14) Ache a matriz que gira um ponto do plano em torno da origem um ângulo de:

a) 450 b) -600

E15)Esboce a imagem do vetor:

50



a)v=(2,4) através de uma rotação de 900;

f b)v=(3, 3 ) através de uma rotação de –300.

E16) Determine, em cada item, a matriz que representa a seqüência de operações indicada:

a)efetuar uma rotação de 300, depois cisalhar por um fator –2 na direção y; e finalmente dilatar por um fator 3 na direção y.

b)comprimir por um fator 1/2 na direção x; a seguir dilatar num fator 5 na direção y.

c)refletir em torno de y=x; a seguir, girar um ângulo de 1800.

y3

2

-1 0 2 3 x

E17)Encontre a figura resultante das imagens dos vértices da figura acima através de:

a)reflexão em torno do eixo x; b) reflexão em torno do eixo y;

c) reflexão em torno do eixo y; d) contração por um fator 1/2;

e)dilatação de fator 2; f)contração por um fator 1/2 na direção do eixo x;

g)dilatação por um fator 2 na direção do eixo y; h)cisalhamento por um fator 2 na direção do eixo x;

i)rotação de 450; j) rotação de -900.

51



14.6. RESPOSTAS

E1) f(x,y) = (-2x + 3y , 5x + 4y ) e [f] =

−45

32

yE2) a) y b) 3

3

v v f(v)

-2 0 x -2 0 2 xf(v)

-3

E3) a) y b) y

1 v f(v) 1 v

0 2 x -2 0 2 x-1 f(v)

f(v)=(1,2) yE4) a) y b) y y=x c) y= -x

v=(2,1) v=(2,1) v=(2,1)0 x 0 x 0 x

f(v)=(-2 ,-1)f(v)=(-1,-2)

E5)

− 01

10

E6)a) s=f(r) y r b) y f(r) = r 2 2

-1 0 1 x -1 0 1 x

-2

E7)a) y b) y c) y

f(v)=(1,1) v=(2,1) v=(2,1) f(v)=(4,1)v=(2,1)

f(v)=(2,1/3)0 x 0 x 0 x

d) y f(v)=(2,3)

v=(2,1)

0 x

52



E8) a) y b) y1 1

0 2/3 2 x 0 2 4 x

c) y d) y

3

1 1

1/2

0 2 x 0 2 x

E9)

− 01

30

E10) a) y b) y

1 1

0 1 2 3 4 5 x 0 1/2 1 3/2 2 5/2 x

c) y d) y5

4

5/31 12/3

0 1 2 x 0 1 2 x

53



E11) y2

1

0 1 2x

(-1/2 ,-1)

E12)

−10

21

E13)

− 23

01

E14) a)

−

2

2

2

2

2

2

2

2

b)

−2

1

2

3

2

3

2

1

E15) a) y b) y

v=(2,4)

f(v)=(-4,2) v=(3, 3 )

f(v)=( 32 ,0)0 x 0 x

E16) a)

+−

−

2

336

2

363

2

1

2

3

b)

50

02

1

c)

−

−01

10

E17)

−

1021

54



15. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR EMBASES QUAISQUER

15.1. INTRODUÇÃONa secção 13, vimos que cada TL f: mn ℜ→ℜ está associada a uma matriz Amxn , tal

que f(v) = Av. Esta idéia pode ser estendida para qualquer TL f:V → W. Nesta secçãoveremos que uma TL f:V → W pode ser representada por infinitas matrizes,no entanto, fixadas uma base de V e uma base de W , a matriz que representa f é única.

Sejam f:V→ W uma TL, A= { }n21 v,...v,v uma base de V e B={w1,w2,...wm}uma basede W. Como f(v1),f(v2),...f(vn)∈W, podemos escrever:

f(v1)=a11w1+a21w2+ . . . +am1wm ⇔ f(v1)B= (a11,a21, . . . am1)

f(v2)=a12w1+a22w2+ . . . +am2wm ⇔ f(v2)B= (a12,a22, . . . am2). . . . . .

. . . . . .

. . . . . .f(vn)=a1nw1+a2nw2+ . . . +amnwm ⇔ f(vn)B= (a1n,a2n, . . . amn)

A matriz que representa a TL f em relação as bases A e B é

=

mn2m1m

n22221

n11211

AB

aaa

a...aa

a...aa

]f [

f(vn)Bf(v2)B

f(v1)B

A matriz AB]f [ é tal que f(v)B= A

B]f [ .vA

E1) Seja a TL f: 23 ℜ→ℜ , dada por f(x,y,z)= (2x+y-z,3x-2y+4z) , v=(1,2,3) e A={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} e

B={(1,3),(1,4)} são bases do 3ℜ e 2ℜ , respectivamente, determine:

a) f(v) b) vA c) f(v)B d) AB]f [ e) f(v)B usando A

B]f [

55



15.2. PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR A MATRIZ AB]f [

Para encontrar a matriz de uma TL f: mn ℜ→ℜ em relação as bases A= { }n21 v,...v,v eB={w1,w2,...wm}, podemos adotar o seguinte procedimento:

1º ) calcular f(vi) para i = 1,2,...n.

2º ) formar a matriz [ w1,w2,...wm f(v1),f(v2),...f(vn) ] e coloca-la na forma escalonada, obtendo

assim a matriz[ In M ].

3º ) AB]f [ = M.

E2) Resolva o exercício E1d usando o procedimento 15.2.

E3) Encontre AB]f [ , sendo f a TL do exercício E1 e A e B as bases canônicas.

E4) Sejam f(x,y,z) = (2x-y+z , 3x+y-2z), A= {(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}, B ={(2,1),(5,3)} e

v = (3,-4,2). Determine:

a) f(v) b) vA c) f(v)B d) AB]f [ e) f(v)B usando A

B]f [

E5) Sejam f(x,y) = (2x-y , x+y) , A = {(1,-2), (-1,3)} e B = {1,1) , (-1,0)}. Determine;

a) AB]f [ b) A]f [ c) B]f [ d) f(v)B para v = (3,4) , usando A

B]f [ e B]f [

e) BA]f [ f) f(v)A , para v = (3,4) , usando B

A]f [ e A]f [

15.3. RESPOSTAS

E1) a) (1, 11) b) (-1,-1, 3) c) (-7,8) d)

−−− 183

3115e) (-7,8)

E3)

−

−423

112

E4) a) (12,1) b) (3,-7,6) c) (31,-10) d)

−−

−522

1354e) (3,-7,6)

E5) a)

−−

75

21b)

−

−87

1311c)

−11

12d) (7,5) e)

−−

54

75f) (13,11)

56



16. OPERADORES LINEARES

16.1. INTRODUÇÃO Um dos problemas fundamentais da álgebra linear é escolher uma base de v de modoque o operador f : v→ v seja o mais simples possível. muitas vezes a matriz

canônica(natural) que representa o operador na base canônica não é a matriz mais simples de f. neste caso, procura-se , através de mudança se base, encontrar uma matrizmais simples . nesta secção, serão apresentadas propriedades particulares de algunsoperadores e de suas matrizes.

E1) Sabendo que f(x,y) = ( 2x-y , x + y ) e que A = {(1,-2),(-1,3)} e B = {(1,1),(1,0)} são bases do 2ℜ ,determine [f]A e [f]B.

16.2. MATRIZES SEMELHANTES

Seja f :V→ V um operador linear. As matrizes [f]A e [f]B são chamadas matrizes semelhantes por representarem o mesmo operador linear em bases distintas.

16.3. RELAÇÃO ENTRE MATRIZES SEMELHANTES .

Seja f: V → V um operador linear . [f]B

vB f(v)B

Q = MBA A

BM = ( MBA )-1= Q-1

[f]A

vA f(v)A

A figura acima mostra que existem dois caminhos para ir de vB para f(v)B.

(1) f(v)B =[f]B.vB e (2) f(v)B =Q-1.[f]A.Q.vB

Comparando (1) e (2) , vem : [f]B= Q-1.[f]A.Q com Q= MBA = A-1.B

E2) No exercício 1 , use a relação entre matrizes semelhantes para encontrar :

a) [f]B , partindo de [f]A b) [f]A , partindo de [f]B c) [f] , partindo de [f]A

E3) Calcule det[f]A , det[f]B e det[f].

Se [f]A e [f]B são matrizes semelhantes então det[f]A =det[f]B.

57



16.4. OPERADORES INVERSÍVEIS

Seja f: V → V um operador linear .V V

f f(v) = [f].v

v f(v) Se existe [f]-1 , [f]-1.f(v) = [f]-1.[f].vf -1

ou v = ...................

Logo, existe f -1 se det[f] ≠ 0 e a matriz canônica de f -1 é .............

E4) Um operador linear f é definido por f(x,y) = ( x + 3y , x + 2y ), determine, caso exista,o operador f -1.

16.5. MATRIZ ORTOGONAL Uma matriz quadrada A é ortogonal se A-1 = At

E5) Verifique se as matrizes são ortogonais

a)

−5

3

5

45

4

5

3

b)

−θ θ

θ θ

cossen

sencosc)

−

−

100

010

001

d)

01

11

16.6. PROPRIEDADES

a) Se A é uma matriz ortogonal então detA = 1± .

b) Se A é uma matriz ortogonal e det A = 1 então A é uma matriz rotação.

c) Uma matriz A é ortogonal sse as colunas(ou linhas) de A são vetores ortonormais.

E6) Repita o exercício E5 usando a propriedade c de 16.6.

E7) Construa uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja o vetor

a) v = ( -3/5 , 4/5 ) b) v = ( 22,0,22 − )

E8) Sejam as bases ortonormais do 2ℜ : A = { (1,0),(0,1) } e B = { (1/2, 3 /2),(- 3 /2,1/2)}

a) determine ABM b) se v = (-2 , 4 ), calcule vB, usando A

BM

16.7. OPERADOR LINEAR ORTOGONAL

Seja f: V → V um operador linear e B uma base ortonormal de V. f é ortogonal se B]f [ é uma matrizortogonal.

58



E9) Verifique se os operadores abaixo são ortogonais

a) f(x,y) = (5

y3

5

x4,

5

y4

5

x3+− ) b) f(x,y) = ( x + y, x – y )

E10) Seja o operador definido por f(x,y) =

+−+

2

y

2

x3,

2

y3

2

x.

a) Mostre que f é ortogonal.

g b) Escolha dois vetores 2v,u ℜ∈ e calcule u.v e f(u).f(v). Compare os resultados.

h c) Para os vetores escolhidos em b, calcule | u |, | v |, | f(u) | e | f(v) |. Compare os resultados.

i d) Construa uma base ortonormal A = { v1, v2 } do 2ℜ e encontre o conjunto

B = { f(v1), f(v2) }. B é uma base ortonormal do 2ℜ ?

E11) Verifique se os operadores abaixo são ortogonais

a) f(x,y) = (

2

y3

2

x,

2

y

2

x3−−− )

d b) f é a composição da reflexão em relação ao eixo das abscissas e da dilatação de fator 2 nadireção do eixo das ordenadas.

a) f é a composição da reflexão em relação à reta y = x e da rotação de 45º.

d) f(x,y,z,w) = ( y,-z, x, -w)

E12) Para que valores de m e n, o operador linear f definido por

f(x,y,z) = ( x , my +2

2 z , ny +2

2 z ) é ortogonal ?

16.8. PROPRIEDADES

Seja f: V → V um operador linear ortogonal.a) f preserva o produto escalar, isto é, u.v = f(u).f(v), Vv,u ∈∀ .b) f preserva o módulo de cada vetor, isto é, | f(u) | = | u | , Vu ∈∀ .

Conseqüência: f preserva o ângulo dos vetores e f transforma bases ortonormais em bases ortonormais

E13) Construa uma matriz simétrica de ordem

a) 2x2 b) 3x3 c)4x4

E14) As matrizes construídas no exercício E13 definem operadores lineares. Identifique estesoperadores determinando suas leis.

16.9. OPERADOR LINEAR SIMÉTRICO

Seja f: V → V um operador linear e B uma base ortonormal de V. f é um operador linear simétrico se

B]f [ é uma matriz simétrica(secção 1, exercício E17).

59



E15) Verifique se os operadores abaixo são simétricos

a) f(x,y) = ( x + y, x – y ) b) f(x,y,z) = ( x + y, x – y – 2z , 2y)

E16) Seja o operador linear simétrico definido pela matriz do exercício E11 a . Escolha dois vetores 2v,u ℜ∈ e calcule u.f(v) e v.f(u). Compare os resultados.

16.10. PROPRIEDADE

Se f: V → V um operador linear simétrico então u.f(v) = v.f(u), Vv,u ∈∀ .

16.11. RESPOSTAS

E1) [ ] [ ]

−=

−

−= 11

12f e87

1311f BA

E2) a)

− 11

12b)

−

−87

1311c )

−11

12d)

−11

12

E3) det[f]A = det [f]B = det[f]=3

E4) f -1(x , y)=(-2x +3y , x -y)

E5) a) Sim b) Sim c) Sim d) Não

E7) a)

−

5

3

5

454

53

b)

− 01

2

2

2

100

02222

( não é única )

E8) a)

−2

1

2

3

2

3

2

1

b) vB = )23,132( +−

E9) a) Sim b) Não

E11) a) Sim b) Não c) Sim d) Sim

E12) m =2

2 e n =2

2− ou m = –

2

2 e n =2

2

E15) a) Sim b) Não

60



17. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS

17.1. INTRODUÇÃOEm muitos problemas aplicados, apresenta-se um operador linear f e a necessidade de

encontrar os escalares para os quais a equação f(v) = λ v possui soluções não-nulas. Taisquestões aparecem em aplicações envolvendo vibrações, em aerodinâmica, elasticidade, física nuclear, mecânica, engenharia, biologia e equações diferenciais.Outra aplicaçãoimportante é a classificação de cônicas e quádricas. Nela, vetores e valores próprios sãousados para encontrar mudanças de referencial que permitam identificar quais as figuras geométricas que representam certas equações no plano e no espaço.

Seja f:V→ V um operador linear . Um vetor não-nulo v∈V é chamado vetor próprio ou autovetor de f se existe ℜ∈λ , tal que f(v) =λ v. O real λ é chamado valor próprio ou autovalor de f associado aovetor próprio v.

E1) Considere a figura abaixo e identifique os vetores próprios e os valores próprios correspondentes dooperador linear f.

yf(v2)

v3 f(v3) v1

v2

0 x

f(v1)

2 E2) Mostre que se v é um vetor próprio de um operador linear f associado ao valor próprio λ então qualquer

vetor α v, com α 0≠ , é também vetor próprio associado ao mesmoλ .

E3) Sejam v1 = (2,3) e v2 = (1,-1) vetores próprios de um operador linear associados aos λ 1 = 4 e λ 2 = -1,respectivamente. Encontre:

a) f(4 , 6) b) f(2 , -2) c) f(2/3 , 1) d) f(1/2 , -1/2)

E4) Verifique se o vetor v é vetor próprio da matriz A, em caso afirmativo, determine o valor própriocorrespondente.

a) v = (5 , 2) , A =

12

54b) v = (1 , 2) , A =

23

21

61



17.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS

Seja f:V→ V um operador linear e [f] = A.

Valores próprios:

f(v) = λ v ⇔ A.v = λ vA.v - λ v = 0A.v - λ I.v = 0(A - λ I).v = 0

O sistema homogêneo correspondente admitirá soluções v 0≠ , se det(A - λ I) = 0 (1).A equação (1) é chamada “equação característica de f ” e suas raízes são os valores próprios de f.

Vetores próprios:

Os vetores próprios são as soluções da equação (A - λ I).v = 0 para cada valor próprio encontrado.

Exemplo: Encontre os valores e vetores próprios do operador linear definido por f(x,y) = (3x,4x+y).

Solução:

Cálculo dos valores próprios :

det(A - λ I) = 0

A =

..........

.......... ⇒ A - λ I =

......................

......................

det(A - λ I) =....................

....................= 0 ⇔ ........................ , λ 1= ..... ou λ 2= .....

Cálculo dos vetores próprios:

(A - λ I).v = 0

Para λ 1= .... e v = (x,y)

(A - λ I).v = 0 ⇔

..........

..........

. ⇔

=

0

0

y

x

..................... , v = ............ com ...........

Para λ 2= ..... e v = (x,y)

(A - λ I).v = 0 ⇔

..........

........... ⇔

=

0

0

y

x..................... , v = ........... com ...........

E5) Calcule os valores e vetores próprios :

62



a) do operador linear definido por f(x,y) = (4x + 5y , 2x + y)

b) do operador linear definido por f(x,y) = (x + 2y , 3x + 2y)

c) do operador linear definido por f(x,y,z) = (x , -2x - y , 2x + y + 2z)

d) da matriz A =

040

900 000

E6) Sabendo que λ = 2 é valor próprio de A =

321

141

123

calcule os vetores próprios

correspondentes.

E7) Mostre que se λ é um valor próprio de um operador linear f então o conjunto S formado

pelo vetor nulo e pelos vetores próprios associados a λ é um subespaço vetorial de V.

S },v)v(f /Vv{ ℜ∈=∈= λ λ

E8) Sejam A= { (1,0),(0,1)} B = { (1,1),(1,0)} bases do 2ℜ e o operador linear 22:f ℜ→ℜ definido por f(x,y) = (x-y , x+y ). Determine as matrizes [f]A e [f]B.

E9) Calcule os valores próprios da TL f do exercício E8 usando [f]A e [f]B e compare os resultados.

17.3. PROPRIEDADES

Seja f:V→ V um operador linear.a) Se λ é um valor próprio de f então o conjunto S formado pelo vetor nulo e pelos vetores próprios

associados a λ é um subespaço vetorial de V.

b) Se A e B são bases de V então as matrizes semelhantes [f]A e [f]B têm os mesmos valores próprios.

c) Os vetores próprios associados a valores próprios distintos de f são linearmente independentes.

E10) Sejam v1 = (2,3) e v2 = (1,-1) vetores próprios de um operador linear associados aos λ 1 = 4 e λ 2 = -1,respectivamente. Encontre f(1 , 4) e f( x , y).

E11) Verifique se o vetor v é vetor próprio da matriz A, em caso afirmativo, determine o valor próprio

a) v = (1 , 1 , -2) , A =

−

420

110

012

b) v = (1 , 2 , 1) , A =

231

220

321

E12) Calcule os valores e vetores próprios :

a) da matriz A =

−−

−

302

020

200

b) da matriz A =

3000

0400

0030

0013

α c) do operador linear definido por f(1,0) =(-2,2) e f(0,1) = (5,-5)

β d) do operador linear definido por f(1,0,0) = (1,-1,3) , f(0,1,0) = (0,3,2) e f(0,0,1) = (0,0,-2)

63



17.4. RESPOSTAS

E1) v1=(2,2) , 11 −=λ e v2=(4,2) , 22 =λ

E3) a) (16,24) b) (-2,2 ) c) (8/3,4) d) ( -1/2 , 1/2 )

E4) a) Sim 6=λ b) Não

E5) a) 11 −=λ , 0x),x,x(v1 ≠−= e 62 =λ e )t2,t5(v 2 = , 0t ≠

b) 11 −=λ , 0x),x,x(v1 ≠−= e 42 =λ e )t3,t2(v 2 = , 0t ≠

c) 11 −=λ , 0z),z,z3,0(v1 ≠−= e 12 =λ e )z,z,z(v 2 −= , 0z ≠ e 23 =λ , 0z),z,0,0(v3 ≠=

E6) v= (x ,y ,- x - 2y) com x e y não simultaneamente nulos

E8) [f]A=

44

11[f]B =

−− 33

45

E9) 31 =λ e 12 −=λ

E10) a) (9,11) b) f(x , y)=(x +2y, 3x +2y)

E11) a) Sim, 3=λ d) Não

E12) a) 21 −=λ , 0y),0,y,0(v1 ≠= e 12 −=λ e )z,0,z2(v2 = , 0z ≠ e 43 =λ , 0x),x2,0,x(v3 ≠−=

b) 31 =λ , ),w,0,0,x(v1 = com x e w não simultaneamente nulos, 42 =λ e )0,z,0,0(v 2 = , 0z ≠ .

c) 71 −=λ , 0x),x,x(v1 ≠−= , 02 =λ e )t2,t5(v 2 = , 0t ≠ .

d) 21 −=λ , 0z),z,0,0(v1 ≠= e 12 =λ e )t8,t3,t6(v 2 = , 0t ≠ e 33 =λ , 0t),t2,t5,0(v3 ≠=

64



18. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES

18.1. INTRODUÇÃONesta secção, estamos interessados em encontrar uma base do espaço vetorial V, de

modo que a matriz que representa o operador f:V → V seja a mais simples. Veremosque essa matriz é uma matriz diagonal.

E1)Seja o operador linear f: 22 ℜ→ℜ . Se v1= (1,1) e v2=(4,1) são vetores próprios de f associados a 1λ = 1

e 2λ = -2, respectivamente, encontre f(x,y) e a matriz que representa f na base B ={ v1,v2 } .

Seja o operador linear f:V→ V com dim V = n. Se os valores próprios de f são distintos, o conjunto P,formado pelos correspondentes vetores próprios é LI (17.3.c), e portanto, P é uma base de V.

Sejam λ 1, λ 2,..., λ n os valores próprios de f e P= { }n21 v,...v,v a base dos vetores próprioscorrespondentes. De 15.1, podemos escrever:

f(v1) = λ 1v1 = λ 1v1 + 0.v2 + . . . + 0.vn ⇔ f(v1)P = (λ 1,0, . . .,0)f(v2) = λ 2v2 = 0.v1 + λ 2v2 + . . . + 0.vn ⇔ f(v2)P = (0, λ 2,. . . ,0)

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .f(vn) = λ nvn = 0.v1 + 0.v2 + . . . + λ nvn ⇔ f(vn)P = (0,0, . . ., λ n)

Logo, a matriz que representa f em relação a base P é

=

n1

2

1

P

00

0...0

0...0

]f [

λ

λ

λ

= D

A matriz D é tal que f(v)P =D.vP

Sejam f:V→ V um operador linear , D a matriz diagonal que representa f na base P dos vetores própriose A a matriz que representa f na base canônica C.

As matrizes [f]P = D e [f]C = A são semelhantes. Veja 16.1. página 43.

De relação entre matrizes semelhantes, [f]P = Q-1 .[f]C . Q com Q = MPC = C-1.P = P.

Logo, D = P-1.A.P

E2) Use a relação entre matrizes semelhantes para calcular cada matriz D do exercício E1.

Importante:

a) Uma matriz quadrada A é diagonalizável sse existe uma matriz P, tal que P-1.A.P é diagonal. Nessecaso, dizemos que P é uma matriz diagonalizadora da matriz A.

b) Um operador linear f:V→ V é diagonalizável sse existe uma base de V formada pelos vetores próprios de f.

65



E3) Verifique se A é diagonalizável , em caso afirmativo, encontre uma matriz diagonalizadora P.

3 a) A=

−

−

420

110

012

b) A=

300

320

321

c) A=

−

−

100

530

403

E4) Seja a matriz A =

−− −

302

020200

.

a) Calcule os valores e vetores próprios de A.

b) Construa, se possível, uma base P do 3ℜ com vetores próprios de A.

c) A é diagonalizável ? Em caso afirmativo, encontre uma matriz diagonalizadora de A.

d) A base P é ortogonal ?

18.2. DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS

Se A é uma matriz simétrica e seus valores próprios são distintos então os vetores próprios correspondentessão ortogonais.

E5) Considere a matriz A do exercício E4.

a) Construa uma base ortonornal P’ , a partir de P.

b) A matriz P’ é ortogonal ?

c) A matriz P’ diagonaliza A ?

Seja A uma matriz simétrica com valores próprios distintos. A matriz P formada pelos vetores próprios

unitários é ortogonal, isto é , P-1

= Pt

. Nesse caso, dizemos que P diagonaliza A ortogonalmente e D =Pt

AP.

E6) Determine, caso exista, uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente, sendo:

a) A=

− 43

34b) A=

20

02c) A =

−−−

−

311

151

110

E7) No exercício anterior, calcule a matriz D usando a relação entre matrizes semelhantes.

E8)Verifique se A é diagonalizável , em caso afirmativo, encontre uma matriz diagonalizadora P.

a) A=

−

−−

100530

433

b) A=

−−

−

1000

0100

0530

0403

E9) Determine, caso exista, uma matriz que diagonaliza A=

3000

0200

0020

0002

ortogonalmente.

E10) No exercício anterior, calcule a matriz D usando a relação entre matrizes semelhantes.

66



18.3. RESPOSTAS

E1) f(x,y) = (4x-3y, 2y –x) e D=

− 20

01

E3) a) Não b)Sim P =

200

610

921

c) Sim P =

−

400

510

401

E4) a) 21 −=λ , 0y),0,y,0(v1 ≠= , 12 −=λ e )z,0,z2(v 2 = , 0z ≠ e 43 =λ , 0x),x2,0,x(v3 ≠−=

b) P= { (0,1,0) , (2,0,1) , (1,0,-2) } c) Sim P =

− 210

001

120

d) Sim

E5) a) P’= ( )

−

5

2,0,

5

1,

5

1,0,

5

2,0,1,0 b) Sim c) Sim

E6) a )

−10

1

10

3

10

3

10

1

b)I2 c)

−

−

6

1

3

1

2

1

6

2

3

10

61

31

21

E7) a)

−50

05b)

20

02c)

600

030

002

E8) a) Não e) Sim P=

−

1000

0400

0510

0401

E9) I4

E10) D = A

67



19. CÔNICAS

19.1. INTRODUÇÃONesta secção , estamos interessados em classificar e esboçar os gráficos das cônicas

mais importantes, conhecidas as suas equações quadráticas .

Cônica é um conjunto de pontos do plano cujas coordenadas x e y em relação à base conônica satisfazema equação : ax2 + by2 + 2cxy + dx + ey + f =o (equação quadrática), onde a,b,c,d,e,f ℜ∈ com a,b e c nãosimultaneamente nulos.

19.2. CÔNICAS NÃO-DEGENERADAS EM POSIÇÕES PADRÕES

1

b

y

a

x2

2

2

2

=+

a = b y a < b y a > b y

a bb

-a o a x -a o a x -a o a x-b

-a -b

1 b

y

a

x2

2

2

2

=− y 1 b

x

a

y2

2

2

2

=− y

ao o

-a a x x-a

y2 = 2px y y

p > 0 o x o p < 0 x

x2 = 2py y y

p > 0 o p < 0 xo x

68



E1) Identifique e esboce os gráficos das cônicas de equações :45 a) x2- y2 = -1 b) y2- 4x = 0 c) x2+ 4y2- 4 = 0

A equação de uma cônica na posição padrão não possui o termo em xy (chamado de termo cruzado).A presença do termo cruzado na equação indica que cônica saiu da posição padrão devido a uma rotação.Observe também, que a equação de uma cônica na posição padrão não possui, simultaneamente, ostermos x2 e x ou os termos y2 e y. Se um desses casos ocorrer e se a equação não apresentar o termocruzado, significa que a cônica saiu da posição padrão devido a uma translação.

y y y

0 x 0 x 0 x

Parábola após uma Hipérbole após uma Elipse após uma rotaçãorotação translação e uma translação

Para identificar a cônica não-degenerada cujo gráfico não está na posição padrão e cuja equação nãotem o termo cruzado, mas tem um termo em x2 e um termo em x, ou um termo em y2 e um termo em y,realiza-se uma translação de eixos de modo que o gráfico da equação resultante fique na posição padrãoem relação ao novo sistema de coordenadas. .

Exemplo: Identifique e esboce o gráfico da cônica de equação 2x2+ 4x – 4y + 6 = 0

Solução : Devemos colocar a equação na forma padrão, neste caso: )k y( p2)hx( 2 −=− .

2x2+ 4x = 4y – 6 ⇔ 2(x2+ 2x) = 4y – 6 ⇔ 2(x2+ 2x + 1) = 4y – 6 + 2

(x + 1)2 = 2 (y – 1) que é a equação de uma parábola na forma padrão.

Fazendo x + 1 = x’ e y – 1 = y’ , obtemos a equação reduzida da parábola ,2, y2x = de vértice em O’( -1 , 1).

Transladando o sistema de coordenadas xOy para x’O’y’ , de origem em O’( -1 , 1) teremos a parábola

na posição padrão em relação ao sistema x’O’y’ (vértice na origem e eixo de simetria em y’) .y’ y

x’0’

x0

69



E2) Identifique e esboce os gráficos das equações :

a) x2+ 4x + 2y + 6 = 0 b) x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 c) 9x2 - y2 + 54x + 2y + 89 = 0

Para identificar a cônica não-degenerada cujo gráfico não está na posição padrão e cuja equaçãoapresenta o termo cruzado, realiza-se uma rotação ou mudança de sistema de coordenadas, através demudança de base, da canônica para uma base de vetores próprios ortonormais.

19.3. PROCEDIMENTO PARA ELIMINAR O TERMO EM xy DA EQUAÇÃO

Passo 1. Escrever a equação da cônica ax2 + by2 + 2cxy + dx + ey + f =o na forma matricial.

[ ] [ ] 0f yx.ed

yx.

bcca.yx =+

+

(1) onde ( ) ( ){ }1,0,0,1Ce

bccaA,)y,x(vC =

==

Passo 2. Calcular os valores e vetores próprios de A, construir uma matriz P que diagonaliza Aortogonalmente e a matriz diagonal D correspondente.

Passo 3. Mudança da base da canônica C para a base dos vetores próprios unitários P.

Como PP1

PPCC v.Pv.P.CvMv === − . substituir na equação (1) vC por P.vP

Se )'y,'x(vP = , podemos escrever : [ ] [ ] tP'y'xyx'y

'xP

y

x=⇔

=

Substituindo [ ]yxey

x

na equação (1), vem: [ ] [ ] 0f

'y

'xP.ed

'y

'xP.

bc

caP.'y'x t =+

+

Como Pt .A. P = D, a equação assume a forma [ ] [ ] 0f 'y

'x.P.ed

'y

'x.

0

0.'y'x

2

1 =+

+

λ

λ

ou .0f yexdyx '''''2

'1

22

=++++ λ λ Que é a equação do cônica em relação do sistema x’y’.

yy’ x’

u2 u1

xo

Onde os eixos x’ e y’ foram determinados, respectivamente, pelos vetores próprios ortonormais u1 e u2 da base P, escolhida dentre oito possíveis .

70



Exemplo: Identifique e esboce o gráfico do equação 2xy –1 = 0

Passo 1. [ ] [ ] 01

y

x00

y

x

01

10yx =−

+

Passo 2. A=

01

10

Cálculo dos valores próprios :

1,1;0101

121

2 =−==−⇔=−

−λ λ λ

λ

λ

Cálculo dos vetores próprios :

0x),x,x(v,0

0

y

x

11

11,1 11 ≠−==−=λ

0x),x,x(v,0

0

y

x

11

11,1 12 ≠=

=

−

−=λ

−=

2

1,

2

1,

2

1,

2

1P

−=

−=

10

01.D

2

1

2

12

1

2

1

P

Passo 3. 01'y

'x

2

1

2

1

2

1

2

1

.]00['y

'x

10

01..]'y'x[ =−

−

+

−

01'y'x 22 =−+− ou 1'x'y 22 =−

Que é a equação de uma hipérbole na posição padrão em relação ao sistema x’O y’(centro na origem e eixotransverso sobre o eixo y’).

Y y’

0 x

71



x’

19.4. CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS QUANTO AOS VALORES PRÓPRIOS

Parábola : 0ou0 21 == λ λ Hipérbole: 21.λ λ < 0

Elipse: 21.λ λ > 0

Importante:

Para encontrar a equação reduzida da cônica de equação ax2 + by2 + 2cxy + dx + ey + f =o, devemos:

1) Eliminar o termo em xy, caso exista, através de uma mudança de base(19.6.)

2) Realizar uma translação de eixos, caso a equação obtida em (1) apresente os temos x2 e x ou y2 e y(19.4.)

E3) Determine as equações reduzidas e esboce os gráficos das cônicas de equações:

a) x2 + 2xy + y2 - 8x + 4 = 0 b) 4x2 - 3y2 + 24xy - 156 = 0

c) 5x2+5y2- 6xy +10 2 x - 22 2 y +42 = 0

E4) Identifique e esboce os gráficos das cônicas de equações :

a) 4y2+ 9x2- 36 = 0 b)2y - 3x2 = 0 c) 25y2- 4x2 +100 = 0 d) x2+ y2- 9 = 0 e) 4x2- y2 = -4

E5) Identifique e esboce os gráficos das equações :

a) 9x2

+ 4y2

+ 54x - 16y + 61 = 0 b) x2

– y2

+ 4x + 10y – 22 = 0 c) y2

- x – 2 = 0

E6) Determine as equações reduzidas e esboçar os gráficos das cônicas de equações:

a) 11x2 - 24xy + 4y2+20x - 40y – 20 = 0 b) 2x2+2y2+ 4xy +4 2 x +12 2 y – 8 = 0

c) 2x2+2y2 + 2xy +7 2 x +5 2 y +10 = 0 d) 2xy- 4y – 1 =0

19.5. RESPOSTAS

E1) a) Hipérbole , a = b = 1 b) Parábola, p = 2 e F(1,0) c) Elipse, a = 2 e b = 1

E2) a) Parábola, x’2= - 2 y’ , V ( -2 , -1) b) Circunferência , x’2 + y’2 = 4 , C (1,-2)

c) Hipérbole , 1'x9

y 2

2'

=− , C (-3,1)

E4) a) Elipse, a = 2 e b = 3 b) Parábola, p =3

1e F (0,

6

1) c) Hipérbole , a = 5, b = 2

d) Circunferência , r = 3 e) Hipérbole , a = 2 , b = 1

72



E5)a) Elipse , 19

y

4

x2'2'

=+ , C (-3,2) b) Hipérbole, x’2 – y’2 = 1 , C ( -2 , 5 ) c) Parábola, y’2= x’ , V ( -2,0)

20. BIBLIOGRAFIA

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73

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