Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Conceituar espaço vetorial; Realizar mudança de base; Conhecer e calcular transformações Lineares

...............Unidade 5 Espaço Vetorial........

Espaço Vetorial Algebra LinearBoldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler

Objetivo:Conceituar espaço vetorial;Realizar mudança de base;Conhecer e calcular transformações Lineares

• Introdução• Definição de Espaço Vetorial• Subespaço• Combinação Linear• Representação dos vetores no espaço• Dependência Linear• Base de um Espaço Vetorial• Mudança de Base


IntroduçãoAntes de definir espaço vetorial vamos reescrever os vetores no espaço em notação matricial.Dado um ponto P(x,y,z) no espaço associado a um vetor

pode ser escrito da seguinte forma.

),,( zyxOPv

v

zyxv

z

y

x

v

x

y

z

v

O

P(x,y,z)

V é um conjunto no espaço.3

321 }/),,{( RRRRRxxxxV i


Desta forma:

Vetor nulo no espaço R3

Vetor oposto em R3

Operações com vetores no espaço V=R3

Dados:

e

Soma:

0

0

0

0

z

y

x

v

z

y

x

u

u

u

u

z

y

x

v

v

v

v

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

vu

vu

vu

v

v

v

u

u

u

vu


Produto de um vetor com um escalar:

3

1

2

u

5

1

0

v

2

2

2

vu

Exemplo:

ux

y

v

z

vu

z

y

x

ku

ku

ku

uk Exemplo:

3

2

0

u

2k

6

4

0

3

2

0

2uk u

x

y

z u2


Propriedades:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

)()( wvuwvu

uvvu

uuV

0/0

0)(/

uuVu

vauavua

)(

vbvavba

)(

)()( vbavab

uu

1


Definição de Espaço Vetorial

É um conjunto V≠ com duas operações VxV V e RxV V, tais que para quaisquer u,v,w Є V e a,b Є R e as propriedades i a viii sejam satisfeitas.

Havendo números complexos, V será um espaço vetorial complexo.O vetor é um elemento do espaço vetorial.Desta forma um vetor poderá ser:

•Vetor n-dimensional•Matriz de qualquer ordem•Polinômio de qualquer grau

Vejamos alguns exemplos:Exemplo1: Conjunto de Vetores no espaço.

RxxxxRV i );,,( 3213

5

3

1

u

4

2

1

v

1

5

0

vu

10

6

2

2u

É espaço vetorial


RxxxxRV in );,.....,,( 321

nx

x

x

u

.

.2

1

Exemplo2: considerando n-uplos de nos reais

Ra

nn yx

yx

yx

vu

.

.22

11

nn ax

ax

ax

x

x

x

aua

.

.

.

.2

1

2

1

ny

y

y

v

.

.2

1

n=5 RxxxxxxRV i );,,,,( 543215

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

u

55

44

33

22

11

yx

yx

yx

yx

yx

vu

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

2

2

2

2

2

22

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

u

5

4

3

2

1

y

y

y

y

y

v

Neste caso o vetor nulo é:

0

0

0

0

0

0


Exemplo3: V=M(m,n), o conjunto de matrizes mxn com soma e produto por escalar:

Rdcba

dc

baMV ,,,;)2,2(

43

21A

21

31B

22

10BA

63

933B Neste caso o vetor nulo é:

00

000

Exemplo4: V=Pn o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n incluindo o zero.

n=2 RaxaxaaP i );( 22102

21 21)( xxxf 2

2 43)( xxxf

xxff 64)(21 21 242)(2 xxxf


•Subespaços VetoriaisSão espaços vetoriais contidos no espaço vetorial maior:

u

x

y

v

vu

W Exemplo:Seja V=R2, plano onde W é uma reta deste plano.

A soma de quaisquer dois vetores de W resulta em outro vetor de W. O mesmo ocorre se multiplicarmos um número por um vetor de W.Nestas condições, W é “fechado” em relação à soma de vetores e o produto de um escalar pelos vetores de W.


Definição:

Dado um espaço vetorial V, um supconjunto W, não vazio, será subespaço vetorial de V se:

1) Quaisquer u,v Є W tivermos u+v Є W

2) Para qualquer a Є R, u Є W tivermos au Є W.

Obs:

a) Não é necessário verificar as propriedades i a viii pois V V W;

b) Qualquer subespaço W de V precisa conter o vetor nulo para garantir a condição (2) quando a=0;

c) Todo o espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.


Exemplo1: V=R3

e WTV, é um plano passando pela origem do sistema .

Se W não passar pela origem ele não é um subespaço vetorial.

Exemplo2: V=R5 e

W é um conjunto de vetores do R5 cuja primeira coordenada seja nula:

i)

ii)

RxxxxxW i );,,,,0( 5432

),,,,0( 5432 yyyyv

),,,,0( 5432 xxxxu

Wyxyxyxyxvu ),,,,0( 55443322

Wkxkxkxkxuk ),,,,0( 5432


Exemplo3: V=M(m,n) é subconjunto das matrizes triangulares superiores.

W⊂R⇨W é subespaço do V pois a matriz resultante da soma e do produto por um escalar é triangular superior.


• Combinação Linear

Definição:Seja V um espaço vetorial real (ou complexo)

v1,v2,....,vn ∈ V e a1,a2,......,an X R (ou C)

nnvavavav

......2211

É um elemento de V chamado de combinação linear de v 1,v2,....,vn

Fixando-se v 1,v2,....,vn em V, o conjunto W formado da combinação linear de todos os vetores de V, é subespaço vetorial.

Notação:

nvvvW ,......,, 21

Subespaço gerado pela combinação linear de v 1,v2,....,vn

Formalmente:

niRavavavavVvW inn 1,,......; 2211


1

1

2

1v

Exemplo5:Dados dois vetores: v1=(1,3), v2=(-5,4) escreva o vetor u=(-13,18) como uma

combinação linear de v1 e v2: W=[v1,v2]

2

4

3

2v

21 2vvr

212 vvu

Solução:

0

6

1

2

4

3

1

1

2

2u

3

9

4

2

4

3

2

1

1

2

r

Exemplo4:Dados dois vetores: e determine os vetores:

Solução:

18

13

43

5

4

5

34

5

3

1

ba

ba

b

b

a

abau


18

13

43

5

ba

ba

2

215133.513

3319

57

5719

1841539

184)513(31843

513135

a

a

bb

b

bb

bbba

baba

4

53

3

12u

21 32 vvu


• Dependência LinearSeja V um espaço vetoria e v1,v2,....,vn ∈ V . Dizemos que {v1,v2,....,vn } é LI (Linearmente independente se a1v1+a2v2+....+anvn =0 ⇨ a1=a2=....=an=0

Se ai≠0 ⇨ {v1,v2,....,vn } é LD (linearmente dependente)


• Base de um Espaço VetorialDefinição: Um conjunto {v1,v2,.....,vn} de vetores de V é uma base de V se:

i) {v1,v2,.....,vn} é LIii) [v1,v2,.....,vn] = V

Exemplo1: , 2RV

)1,0(ˆ)0,1(ˆ 21 eee

21 ˆ,ˆ ee

0

0

0

00

0

0

0

1

0

0

1

0ˆˆ 21

b

a

b

a

b

a

ba

ebea

é base de V, conhecida como base canônica de V=R3


Exemplo2: Vamos examinar os vetores: )1,0()1,1( 21 vev

21

21

,0

0

0

00

0

0

1

0

1

1

0

vvb

a

ba

a

ba

a

ba

vbva

é uma base no espaço V


Exemplo3: Verificar se é base em R2 21,vv

)2,0()1,0( 21 vv

baba

baba

ba

vbva

202

0

0

2

0

2

00

0

0

2

0

1

0

021

Portanto a e b não são necessariamente zero.

é LD e portanto não pode forma uma base. 21,vv


•Mudança de BaseDadas duas bases:

n

n

bbbB

eaaaA

,.......,,

,.......,,

21

21

Ordenadas de um espaço vetorial V. Dado o vetor vXV, podemos escrevê-lo:

nn

nn

bybybyv

axaxaxv

...

...

2211

22111

Base A

Base B


n

A

x

x

x

v

.

.2

1

n

B

y

y

y

v

.

.2

1

Base A Base B

Desta forma podemos escrever os vetores da base B (bi) como combinação linear dos vetores da base A (ai):

nnnnnn

nn

nn

aaaaaab

aaaaaab

aaaaaab

...

......

.....

...

...

2211

22221122

12211111

2


Substituindo-se (2) em (1)

)...(

.

.

)...(

)...(

...

2211

22221122

12211111

2211

nnnnnn

nn

nn

nn

aaaaaay

aaaaaay

aaaaaay

bybybyv


nnnnnn

nn

nn

nn

ayayaya

ayayaya

ayayaya

axaxax

)...(

....)...(

)...(

...

2211

22222121

11212111

2211

nnnnn

n

n

n y

y

y

aaa

aaa

aaa

x

x

x

.

.

..

..

.

.2

1

11

22121

11211

2

1

Base BBase AMatriz de transformação da base B para base A


BBAA VIV

Portanto pode-se escrever simplificadamente

Onde é a matriz de transformação da base B para base A.

A partir desta matriz é possível obter-se a matriz de transformação de A para utilizando-se a álgebra matricial desta forma:

BAI

BBA

BAA

BA VIIVI

11

I Que é a matriz identidade

ABAB VIV

1

E Portanto: 1 BA

AB II


Exemplo 1:Sejam as bases:

},{)}1,0(),0,1{(

},{)}4,3(),1,2{(

212

211

eeB

iiB

Bases de R2

Determinando-se a matriz de transformação de B2 para B1:

Escreve-se os vetores de B2 momo combinação linear dos vetores de B1:

4

3

1

2

1

0

4

3

1

2

0

1

2212

2111

2221122

2211111

aa

aa

iaiae

iaiae

2

1

BBI

1

2


De (1):

11/44410

11/1381321

1121112111

2121212111

aaaaa

aaaaa

De (2):

11/2832

42

3141

11/32

3320

222222

22222212

1222122212

aaa

aaaa

aaaaa

11

2

11

111

3

11

42

1

BBI


Exemplo 2:Determinar v=[5,-8]B2 na base B1

2

2

11 BBBB VIV

1

4

8

5

21

34

11

11B

V

Para passar da base B1 para base B2, basta fazer a inversão da matriz . 2

1

BBI

11

4;

11

3;

11

1;

11

2;

11

1det 22211211

2

1B

BI

41

321

2

2

1

1 BB

BB II


Outra maneira de se obter é considerar a transformação algébrica inversa:

1

0

0

1

4

3

1

0

0

1

1

2

2212

2111

2221122

2211111

aa

aa

eaeai

eaeai

4;3

;1;2

2212

2111

aa

aa

41

321

2

BBI


Exemplo 3: Só para verificar o exemplo anteriorDeterminar v=[4,-1]B1 na base B2

8

5

1

4

41

322B

V

Observando as bases graficamente no espaço R2:

2B

1B


Exemplo 4:Consideremos em R2 a base B1={e1,e2} e a base B2={f1,f2} , obtida

da base canônica B1 pela rotação do ângulo q. Dado o vetor vXR2 de coordenadas:

2B

1B

1e

1f

2f

2e

2

1

1 x

xv B

2

1

2 y

yv B

Pode-se escrever f1 e f2 em função de e1 e e2 :

cos

cos

212

211

esenef

seneef

cos

cos2

1 sen

senI BB

cos

cos1

2 sen

senI BB

Como é ortogonal então: 2

1

BBI


Considerando:

E q=600

Determinar:

3

21B

v

2B

v

2

1

2

32

3

2

11

2

BBI

2

3232

332

3

2

2

1

2

32

3

2

1

2Bv


Documents

Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Conceituar espaço vetorial; Realizar mudança de base; Conhecer e calcular transformações Lineares