Algebră liniară & Geometrie - II Iunie 2009 A

A.1 Să se determine (valorile lui) ∈ R astfel încât volumul paralelipipeduluiconstruit pe vectorii v1 = 2 i − 3 j + k , şi v2 = i + j − 2k şi v3 = i + 2 j să fie = 5. Cuuna din aceste valori să se determine şi dublele produse vectoriale v1 × (v2 × v3) şi(v1 × v2) × v3) .

A.2 Ecuaţia generală a planului, cazuri particulare. Poziţiile relative a două plane înspaţiu, unghiul între două plane.

Aplicaţie. Să se determine (prin cosinus) unghiul dintre planele

(p1) : 4x + 2y − 3 z − 1 = 0 şi (p2) : x − 4y + 2 z + 1 = 0.Să se găsească punctul în care dreapta lor comună intersectează planul (xOz). Să sescrie ecuaţia planului (p3) care este ortogonal pe dreapta (d ) = (p1) ∩ (p2) şi caretrece prin punctul M0(1,0,2).

A.3 Definiţia generală a conicelor în plan (prin F, (), ); ecuaţiile canonice aleelipsei şi hiperbolei (cu . ≠ 1).Aplicaţie. Dată fiind hiperbola (H ) : 16x 2 − y 2 − 48 = 0, să se determine coordonatelefocarelor ei, să se scrie ecuaţiile celor două directoare şi ecuaţiile asimptotelor.

A.4 Să se studieze (în funcţie de ∈ R ) natura conicelor din familia

(C) : x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y − 3 = 0.

Pentru cazul când conica este degenerată să se reprezinte grafic aceasta, dupărescrierea ecuaţiei sale (factorizate) în reperul iniţial (O ;x, y) .

Răspunsuri - indicaţii de rezolvare.

A.1 Se calculează produsul mixt

⟨v1,v2,v3 ⟩ = det2 −3 11 1 −2 2 0

= 2 + 6 − + 8 = 5 + 10.

Condiţia din enunţ conduce la ecuaţia

|5 + 10| = 5 5 + 10 = 5

−5 − 10 = 5

1 = −12 = −3

.

Dacă se alege prima valoare, vectorii devin v1 = 2 i − 3 j + k , şi v2 = i + j − 2k şiv3 = − i + 2 j Cele două duble produse vectoriale se pot calcula (cel mai uşor) cuformulele scrise ca determinanţi (simbolici) de ordinul 2 :

v1 × (v2 × v3) =v2 v3

v1 v2 v1 v3= … = −8v2 + 3v3 = −11 i − 2 j +16k.

(v1 × v2) × v3 =v1 v3 v2 v3v1 v2

= … = −3v2 − v1 = −5 i +5k.

A.2 Ecuaţia generală a unui plan (p) în spaţiul 3D este (p) : Ax + By + Cz + D = 0

(1). Ea se obţine, în primul caz 1 prezentat la curs, din condiţia ca n ⊥ M0M unde n(A,B,C) este o direcţie normală la plan iar M0(x0, z0,y0) este un punct dat. Diversecazuri privind ecuaţia (1) corespund unor poziţii particulare ale planului (p) în raportcu axele de coordonate, repectiv planele de coordonate ale reperului (O ; x, y, z). Deexemplu, A = 0 n (0,B,C) (yO z) (p) (Ox) ; B = C = 0 n= A i (p) (yO z).Dacă cele două plane sunt caracterizate prin ecuaţiile lor generale,

(pi) Ai x + Bi y + Ci z + Di = 0 , i = 1,2 n i (Ai,Bi,Ci) ⊥ (pi), (2)cele două plane admit trei poziţii posibile care pot fi caracterizate vectorial, apoi şianalitic folosind coeficienţii Ai,Bi,Ci şi termenii liberi Di. Planele coincid (sau suntidentice) dacă şi numai dacă cele două ecuaţii liniare din (2) sunt echivalente.

(i) (p1) ≡ (p2) A1A2

= B1B2

= C1C2

= D1A2; (3)

(ii) (p1) (p2) n1 n2 A1A2

= B1B2

= C1C2

≠ D1A2

(4)

(iii) (p1) (p2) n1 n2 A1A2

≠ B1B2

sau A1A2

≠ C1C2

… (5)

Cele trei caracterizări de mai sus, prin rapoarte, pot fi exprimate echivalent (şi maisimplu) folosind două matrici şi rangurile lor :

S =A1 B1 C1A2 B2 C2

, T =A1 B1 C1 D1A2 B2 C2 D2

. (6)

(i) (3) rang T = 1 ; (3)

(ii) (4) rang S = 1 & rang T = 2 ; ; (4)

(iii) (4) rang S = 2 (5)

Aplicaţie. Ca o consecinţă a egalităţii unghiurilor cu laturi (respectiv) perpendiculare,unghiul dintre planele

(p1) : 4x + 2y − 3 z − 1 = 0 şi (p2) : x − 4y + 2 z + 1 = 0.

este egal cu unghiul dintre normalele acestor plane, n1(4,2,−3) şi n2(1,−4,2) care sedetermină prin cosinus :

cos = n1 n2n1 n2

= −1029 21

= −10609

.

Planul (p3), care este ortogonal pe dreapta (d ) = (p1) ∩ (p2), va avea ca normalăexact vectorul director al acestei drepte care este dat de

v = n1 × n2 =i j k4 2 −31 −4 2

= −8 i−11 j−18k = −(8 i+11 j+18k), (7)

Cu acest vector normal din (7), cel dintre paranteze), se va putea scrie ecuaţiaplanului (p3) după folosind şi coordonatele lui M0(1,0,2) :

(p3) : 8 (x − 1) + 11y + 18 (z − 2) = 0 8x + 11y + 18 z − 44 = 0.

A.3 Definiţia generală a conicelor în plan (prin F, (), ) este

(C) : d (M,F)d (M, ()) = (1)

unde F este un punct dat numit focar, () este o dreaptă dată numită (dreapta)directoare iar ≥ 0 este excentricitatea conicei.; în plus, F ∉ ().Printr.o alegere adecvată a reperului (O ; x, y) în plan, din definiţia (1) se poate

ajunge la o ecuaţie analitică a conicei de cea mai simplă formă posibilă, care senumeste ecuaţie canonică. Natura conicelor definite prin (1) depinde de poziţiaconstantei faţă de 1. Pentru ≠ 1 conica poate fi o elipsă sau o hiperbolă, avândun centru de simetrie. Pentru = 1 conica va fi o parabolă, fără centru de simetrie. .Pentru ≠ 1 reperul (O ; x, y) se alege astfel încât (Ox) este perpendiculara prin F

pe (). Axa ordonatelor (O x) va fi determinată odată ce poziţia originii O pe axa (Ox)va fi cunoscută. Aceasta se determină prin condiţiile asupra coordonatelor focarului şiecuaţiei directorae:

F (a, 0) & () : x = a /. (2)

În (2), a > 0 este un număr a cărui semnificaţie geometrică va rezulta ulterior. Cuelementele din (2) şi punctul curent M (x, y) ∈ (C), distanţele care intervin în (1) sunt

d (M,F) = (x − a)2 + y2 şi d (M, ()) = |x − a /| . (3)

Introducând distanţele din (3) în (1), ridicând ecuaţia obţinută la pătrat şi efectuândcalculele necesare, se ajunge la ecuaţia

(C) : x2a2

+ y2(1 − 2)a2

− 1 = 0 . (4)

Înegalitatea ≠ 1 se explicitează în cele două inegalităţi posibile : (i) 0 ≤ < 1 şi(ii) > 1.Primul caz este cel al elipsei, iar ecuaţia (4) se rescrie notând(1 − 2)a2 = b2 :

(E) : x2a2

+ y2

b2− 1 = 0 . (5)

Cazul (ii) > 1 corespunde hiperbolei ; pentru a avea ambii numitori pozitivi în (4),se amplifică a doua fracţie cu −1 şi se obţine ecuaţia

(H) : x2

a2− y2(2 − 1)a2

− 1 = 0 . (6)

Notând (2 − 1)a2 = b2 se obţine ecuaţia canonică a hiperbolei :

(H) : x2a2

− y2

b2− 1 = 0 . (7)

Notând cu F(x, y)membrul stâng al ecuaţiei (5), respectiv (7), se constată cu uşurinţăcă atât elipsa cât şi hiperbola sunt curbe simetrice faţă de axele de coordonate (Ox) şi(Oy) precum şi în raport cu originea O , întrucâtF(−x, y) = F(x,−y) = F(−x,−y) = F(x, y). Intersecţiileelipsei cu axele de coordonate sunt

(E) ∩ (Ox) = {A(a, 0),A (−a, 0)} & (E) ∩ (Oy) = {B(0,b),B (0,−b)} .

Punctele A(a, 0) şi A (−a, 0) se numesc vârfurile elipsei iar distanţa 2a dintre ele esteaxa mare, în timp ce d (B,B ) = 2b este axa mică. Notând a = c , punctele F (c, 0) şiF (−c, 0) sunt cele două focare ale elipsei,. cu distanţa focală 2c. Ecuaţiile (4) şi (5) sepot obţine şi înlocuind focarul F , respectiv directoarea () cu simetricele lor, F (−a, 0)şi () : x = −a /.

Rescriind sub forme echivalente ecuaţia (5) a elipsei se constată că

x2 ≤ a2 |x| ≤ a x ∈ [−a,a] & y2 ≤ b2 |y| ≤ b y ∈ [−b,b] ;

Aşadar, elipsa este o curbă mărginită, fiind înscrisă în dreptunghiul [−a,a] × [−b,b] ;

Intersecţiilehiperbolei cu axele de coordonate sunt numai

(H) ∩ (Ox) = {A(a, 0),A (−a, 0)}.

Spre deosebire de elipsă, hiperbola este o curbă nemărginită întrucât

(7) x2a2

= y2b2

+ 1 [x → ±∞ x → ±∞] .

Se poate demonstra (cu mijloacele analizei matematice) că hiperbola admite douăasimptote oblice, dreptele simetrice (care trec prin origine) de ecuaţii

(As)1,2 : y = ± ba x . (8)

Rescriind ecuaţia (7), cu al doilea termen trecut în membrul drept, rezultă

x2 ≥ a2 |x| ≥ a x ∈ (−∞ − a] ∪ [a,−∞) (H ) nu are niciun punct în bandaverticală (−a,a) × .

Aplicaţie. Dată fiind hiperbola (H ) : 16x 2 − y 2 − 48 = 0, coordonatele focarelor ei seobţin rescriind ecuaţia sub forma echivalentă (prin împărţire la 48),

(H ) : x2

3− y248 − 1 = 0 a2 = 3 & b2 = 48 a = 3 , b = 4 3

(2 − 1)3 = 48(As)1,2 : y = ±4x

2 − 1 = 162 = 17

= 17c = 51

F( 51 ,0)F ( 51 ,0)

.

Ecuaţiile directoarelor vor fi

() : x = 3 /17 & () : x = − 3 /17 .

A.4 Se cere să se studieze (în funcţie de ∈ ) natura conicelor din familia

(C) : x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y − 3 = 0. (1)

Matricea conicelor reprezentate prin ecuaţia (1) este

A() =1 1

1 1 1 1 −3

. (2)

(2) = 0,I = 2,

() = −(2 − 2 + 1).

(3)(4)(5)

Din (3) rezultă că toate conicele din familie sunt de tip parabolic, deci nu au uncentru unic de simetrie. Întrucât (5) () = −( − 1)2 urmează că aceste conice

sunt nedegerate ≠ 1. Pentru = 1 se obţine o singură conică, degenerată. Eaar putea să se reducă la o dreapta sau la două drepte paralele. Cu = 1 în ecuaţia(1) se obţine ecuaţia

(C1) : x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y − 3 = 0. (6)

(6) (x + y)2 + 2 (x + y) − 3 = 0. (7)

Notând x + y = u, ecuaţia (7) devine

u2 + 2u − 3 = 0 u1 = 1 & u2 = −3.

Aşadar, ecuaţia (6) (7) se poate rescrie sub forma

(x + y − 1) (x + y + 3) = 0

(C1) = (d1) ∪ (d2) cu(d1) : x + y − 1 = 0,(d2) : x + y + 3 = 0.

(8)

Ecuaţiile liniare din (8) reprezintă două drepte paralele între ele şi paralele cubisectoarea a doua, care taie axa verticală (Oy) în punctele M1(0,1) şi M2(0,−3) .

Cazul nedegerat. Pentru ≠ 1, orice conică din familia (1) este o parabolă. Ecuaţia(1) poate fi redusă efectuând − în primul rând − o rotaţie a reperului iniţial,

(Ro) : (O ; x, y) (O ; x , y ) cuxy

= Px

y . (9)

Matricea P din (9) constă din versorii proprii u1 & u2 ai matricei a. Aceştia corespundvalorilor proprii 1 = 0 şi 2 = I = 2, respectiv. Ei se determină ca soluţii a douăsisteme liniare omogene simple, de tip 2 × 2. având matricele :

a =1 11 1

1 1 U1 =1

−1 u1 = 1

21

−1; (10)

a − 2 I2 =−1 11 −1

1 −1 U2 =11

u2 = 12

11

; (11)

(10) &(11) P = u1 u2 = 12

1 1−1 1

. (12)

Matricea P din (12) furnizează atât direcţiile noilor axe, după rotaţie, cât şitransformarea efectivă de coordonate din (9) ; direcţiile reperului rotit rezultă şi dinvectorii proprii U1 & U2 găsiţi în (10) & (11) :

(10) i i − j, (11) j i + j ; (13)

Aşadar, unghiul de rotaţie este = − /4.

(12) xy

= 12

1 1−1 1

x

y

xy

= 12

x + y

−x + y . (14)

Înlocuind coordonatele iniţiale din (14) în ecuaţia (1), folosind şi gruparea primilor 3termeni ca pătrat, ca în ecuţaia (6), găsim

(P) : 2y 2 + 2 (x + y ) + 2 (x − y ) − 3 = 0. (15)

Ecuaţia (15) se împarte prin 2 şi se grupează termenii asemenea ; se obţine astfel

(P) : y 2 + 12 (x + y ) + 1

2(−x + y ) − 3

2 = 0

. y 2 + 12

( − 1)x + 12

( + 1)y − 32 = 0 (16)

În ecuaţia (16) se grupează mai întâi termenii în y formând un pătrat perfect, ca înmetoda Gauss de la formele pătratice :

(16) y 2 + 2 y + 12 2

+ + 12 2

2

+ 12

( − 1)x − 32 + ( + 1)2

8 = 0. (17)

Se poate continua cu calculele în această ecuaţie (17) spre a ajunge la ecuaţiacanonică a unei parabole care depinde de parametrul Dar este cazul săparticularizăm ecuaţia luând, pentru , .o valoare diferită de 1 : de exemplu, = 2 . Această valoare, introdusă în (1), conduce la ecuaţia (şi curba) particulară

(C2) : x2 + 2xy + y2 + 4x + 2y − 3 = 0. (18)

Ecuaţia (obţinută după rotaţie) (17) devine

(C2) : y 2 + 2 y 32 2

+ 32 2

2

+ 12x − 3

2 + 98 = 0

y + 32 2

2

+ 12x − 218 = 0

y + 32 2

2

+ 12

x − 21 28 = 0 (19)

Funcţiile liniare dintre cele două perechi de paranteze ce intervin în (19) oferă exacttranslaţia necesară spre a transforma această ecuaţia în ecuaţia canonică a parabolei(C2) = (P) :

TrOO

:X = x − 21 2

8 ,

Y = y + 32 2

. (20)

(19) & (20) (C2) = (P) : Y 2 + 12X = 0 Y 2 = − 2

2 2X . (21)

Studiul complet al unei conice implică şi schiţarea (desenarea) graficului acesteia înreperul iniţial (O ; x, y). Pentru aceasta mai sunt necesare coordonatele vârfului O allui (P). Ele se pot obţine intersectând parabola de ecuaţie (18) cu axa sa de simetriecare - în general - are ecuaţia

Ia11 x + Ia12 y + a11 a10 + a12 a20 = 0 . (22)

În cazul particular al parabolei caracterizate prin ecuaţia (18), având matricea şiinvariaţii

A(2) =1 1 21 1 12 1 −3

(2)

= 0,I = 2,

(2) = −1,

,(23)(24)(25)

ecuaţia (22) devine

2x + 2y + 3 = 0 x + y + 3 /2 = 0 . (26)

(26) x + y = −3 /2(18) (−3 /2)2 + 4x + 2y − 3 = 0

4x + 2y − 3 /4 = 0 2x + y − 3 /8 = 0 ; (27)

(26) & (27) 2x + 2y = −3,2x + y = 3 /8

x = 15 /8,y = −27 /8.

O(15 /8,−27 /8) (28)

este vârful parabolei, fiind originea ultimului reper (O ; X, Y ) obţinut din reperul iniţialprin rotaţia (14) şi apoi translaţia (20). În acest reper,e cuaţia canpnică a parabolei este(21). Cea de a doua formă a ei, comparată cu ecuaţia canonică generală Y 2 = 2pX ,ne oferă parametrul parabolei care este p = − 2 /2 . În acest moment se poate face omică verificare cu formula care leagă invariaţii din I şi de acest parametru p :

p2 = − I 3

= 18 p = ± 1

2 2,

valoare ce este compatibilă cu cea găsită în urma rotaţiei şi translaţiei. Faptul căp = −1 /2 2 < 0 are drept consecinţă faptul că parabola va fi situată în semiplanul(X ≤ 0) al reperului final.

Notă. Celor interesaţi li se recomandă să deseneze graficul acestei parabole, ca şi pecel al hiperbolei de la Aplicaţia A.3 , precum si configuraţia celor trei plane

(p1), (p2), (p3) de la Aplicaţia la A.2 .Programul SWP5.0 (sau SciWord), folosit laredactarea acestor Răspunsuri şi indicaţii de rezolvare, face mai dificilă elaborarea

si inserarea de figuri.

Revenind la graficul parabolei din (18), se va desena reperul (O ; x, y). apoi se vaplasa originea ultimului reper O cu coordonatele din (28), calculate aproximativ :O(1.875,−3.375). În acest punct se vor plasa vectorii directori ai celor două axe decoordonate, (O X ) i − j şi (O Y ) i + j. Aşadar, vârful parabolei se află în cadranulIV iar parabola va avea deschiderea în direcţia NW, a vectorului − i + j .Se poateobţine un grafic mai exact dacă se determină punctele de intersecţie ale parabolei (P)cu cele două axe ale reperului iniţial (O ; x, y), (Ox) şi respectiv (Oy) :

(P) ∩ (Ox) : (18)y=0

x2 + 4x − 3 = 0 x1 = −2 − 7 , x2 = −2 + 7 ;

(P) ∩ (Oy) : (18)x=0

y2 + 2y − 3 = 0 y1 = −1 − 2 = −3, , y2 = −1 + 2 = 1 ,

Aşadar, parabola trece prin punctele A1(−2 − 7 ,0) & A1(−2 + 7 ,0) ∈ (Ox) şirespectiv B1(0,−3) & B2(0,1) ∈ (Oy) .

Am prezentat în detaliu studiul unei familii de parabole, cu cazul degenerat şi apoicu cel nedegerat, inclusiv unul particular, întrucât studiul conicelor de acest tip esteceva mai laborios decât cel al conicelor de tip eliptic şi de tip hiperbolic.

Algebră liniară & Geometrie - II Iunie 2009 B

Răspunsuri - indicaţii de rezolvare.B.1 Produsul mixt ⟨a ,b ,c⟩ se defineşte în două moduri care se vor dovedi a fiechivalente, anume

a (b × c) sau (a × b) c . (1)

Proprietăţile produsului mixt se grupează în : (i) cazuri de anulare, (ii) proprietăţide liniaritate, (iii) interpretarea geometrică, (iv) comportarea la permutări si inversiuni defactori. .

(i) a (b × c) = 0 a = 0 sau b = 0 sau c = 0 , sau

b c , saua ⊥(b × c) a (p) b ,c.

(2)

Aceste cazuri de anulare rezultă imediat din proprietăţile de anulare ale produsulscalar, respectiv ale celui vectorial ; ultimul caz din (2) urmează − de asemenea − dinanularea produsului scalar de vectori ortogonali, iar ultima caracterizare înseamnă căvectorul a este paralel cu planul determinat de vectorii b ,c ceea ce este ecvhivalentcu coplanaritatea celor trei vectori. Să mai observăm că produsul mixt se anuleazădacă cel puţin doi dintre cei trei factori sunt colineari, întrucât − în acest caz − cei treivectori sunt coplanari.

(ii) Produsul mixt este liniar în fiecare dintre cei trei factori, ceea ce rezultă dinliniaritate produslui vectorial şi a celui scalar. Există deci trei proprietăţi de liniaritate, şiapoi combinaţii ale acestora de câte două precum şi liniaritatea simultană în toate celetrei argumente-vectori. Evident că nu este cazul să fie scrise toate aceste ci doarcâteva.

(1a1 + 2a2) (b × c) = 1[a1 (b × c)] + 2[a2 (b × c)] , (LIN1) ,

a [(1b1 + 2b2) × c] = 1[a (b1×c)] + 2[a (b2×c)] , (LIN2) ,

a [b×(1c1 + 2c2)] = 1[a (b × c1)] + 2[a (b × c2)] , (LIN3) .

Aceste trei proprietăţi de liniaritate rezultă din proprietăţile corespunzătoare aleprodusului scalar, respectiv ale produsului vectorial, în fiecare argument. Ele se extindprin inducţie la proprietăţile de liniaritate extrinsă (tot în fiecare argument, apoisimultan în toate cele trei).

(∑ i=1m ia i) (b × c) = ∑ i=1

m i [ai (b × c)] ; (LIN.Ext1) ,

a [(∑ j=1n j bj) × c] = ∑ j=1

n j [a (bj×c)] ; (LIN.Ext3) ,

a [b×(∑k=1p k ck)] = ∑k=1

p k [a (b × ck)] . (LIN.Ext3) ,

Combinând aceste trei proprietăţi de liniaritate extinsă va rezulta că produsul mixt detrei combinaţii liniare, prima de m vectori a i, a doua de n vectori bj, a treia de pvectori ck, se va desvolta ca o sumă triplă de mnp termeni, fiecare conţinut un produsmixt de forma ai (bj×ck). Cititorul este invitat să scrie această proprietate.

(iii) Interpretarea geometrică a produsului mixt se deduce construind unparalelipiped având drept muchii adiacente vectorii necoplanari

a = OA , b = OB , c = OC

fixaţi − evident − în acelaşi punct O. Celelalte patru vârfuri ale paralelipipedului se pot

nota D,E,F,G.Astfel, b = OB şi c = OC sunt laturile adiacnte ale paralelogramuluiOBDC care poate fi considerat ca bază a pararelipipedului. Înălţimea acestuia poatefi distanţa de la vârful A pe planul (OBDC ). Această înălţime, pe care o putem nota

hA, este egală cu lungimea vectorului a = OA înmulţită cu cosinusul unghiului dintreacest vector şi normala la planul bazei, care este exact b × c. Aria bazei este

[OBDC] = |b × c| .

Prin urmare, volumul paralelipipedului va fi

Vol [OADBCEFG] = OBDC hA = a cos (a , b × c)|b × c| = a (b × c) , (3)

conform definiţiei produsului scalar (aplicată vectorilor a şi b × c . Întrucât produsul mixteste - în fond - un produs scalar, el are ca valoare un număr real care ar putea fi şinegativ, în timp ce un volum nu poate fi decât pozitiv. În consecinţă, asupra produsulmixt din (3) trebuie aplicată funcţia valoare absolută :

Vol [OADBCEFG] = |a (b × c)| , (4)

(iv) Comportarea la permutări şi inversiuni. Interpretarea geometrică a produsuluimixt, în prima sa variantă din (1), conduce la constatarea că prin permutari curculareale celor trei factori valoarea produsului mixt rămâne aceeaşi. Aceasta deoareceparalelogramul de bază OBDC ,de arie |b × c| , poate fi înlocuit cu OCEA de arie|c × a| ; înălţimea hA se va înlocui cu hB, iar volumul paralelipipedului va fi acelaşi. Sepoate opera şi o a doua permutare circulară, lucrând cu baza OAFB şi înălţimea hC .Aşadar, obţinem egalităţile

Vol [OADBCEFG] = |a (b × c)| = |b (c × a)| = |c (a × b)|. (5)

Dacă se renunţă la valorile absolute care intervin în (5) ar fi - teoretic - posibil ca celetrei produse mixte să aibă valori absolute egale dar să difere ca semn. Se poate însădemonstra că semnul produselor mixte obţinute prin permutări circulare este acelaşi ;v. o demonstraţie în Cărăuşu, 2003 .Aşadar, se poate scrie egalitatea

a (b × c) = b (c × a) = c (a × b). (6)

Dacă se inversează doi factori ai unui produs mixt, semnul acestuia se schimbă.Această proprietate rezultă din proprietăţile produsului scalar, a celui vectorial şi dininverianţa le permutări circulare din (5). De exemplu,

c (b × a) = c [− (a × b)])) = −c (a × b) = −a (b × c). (7)

Analog ase demonstrează schimbarea semnului la celelalte două inversiuni posibilede factori. În egalităţile din (7) a intervenit simetria produslui scalar şi antisimetria celuivectorial. În fine, o ultimă consecinţă a acestor proprietaăţi constă în echivalenţa celordouă definiţii ale produslului mixt din (1) :

(a × b) c = c (a × b)(6)= a (b × c). (8)

În consecinţă, ordinea celor trei factori contează (în acest caz, ordinea alfabetică sau"naturală") dar nu şi ordinea celor două operaţii − produsul scalar şi cel vectorial −care se pot inversa, dar cu păstrarea parantezelor în jurul factorilor produsuluivectorial. Această proprietate a dus la adoptarea unei notaţii specifice pentru produsulmixt,

a (b × c)(6)= (a × b) c

not= ⟨a,b,c⟩ . (9)

Toate proprietăţile anterior formulate (şi demonstrate) pot fi rescrise folosind notaţiadin (9). De exemplu,

Vol [OADBCEFG] = |⟨a,b,c⟩| .

Expresia produslui mixt în baza standard i j k rezultă din expresiile celor treivectori-argumente în acestă bază şi din proprietatea de liniaritate extinsă (în toate celetrei argumente):

a = xai +ya j + za k ,b = xbi +yb j + zb k ,c = xci +yc j + zc k

⟨a,b,c⟩ = ⟨xai +ya j + za k , xbi +yb j + zb k , xci +yc j + zc k ⟩(9)=

= (xai +ya j + za k ) [(xbi +yb j + zb k ) × (xci +yc j + zc k )] =

= (xai +ya j + za k ) i j kxb yb zbxc yc zc

=

= xayb zbyc yc

− yaxb zbxc yc

+ zayb zbyc zc

=

=xa ya zaxb yb zbxc yc zc

. (10)

Aplicaţie. Daţi fiind vectorii a = i + j + 2k. , b = 2 i − j+k , c = i − 2 j + k, se cere să sedetermine ∈ astfel încât a × (b × c) să fie paralel cu planul (xOy) al versorilori & j .Produsul dublu vectorial a × (b × c) se poate calcula cu prima formulă care aintervenit în răspunsul la subiectul A.1 :

a × (b × c) =b ca b a c

=b c

2 + 1 1= b − (2 + 1)c =

= 2 i − j+k − (2 + 1) (i − 2 j + k) = (1 − 2) i + (4 + 1) j − ( + 1)k. (11)

Condiţia a × (b × c) (xOy) revine la anularea celei de a treia coordonate a acestuidublu produs, care apare în (11) : aşadar,

−( + 1) = 0 = −1 b = 2 i − j−k. (12)

Cu al doilea vector astfel precizat, al doilea dublu produs vectorial se calculează cuformula corespunzătoare,

(a × b) × c =a c b ca b

=1 3a b

= b − 3a= 2 i − j−k − 3 (i + j + 2k) =

= − i − 4 j−7k .

Produsul mixt al celor 3 vectori se calculează imediat, cu formula analitică din (10):

⟨a,b,c⟩ =1 1 22 −1 −11 −2 1

= −12.

B.2 Poziţia relativă a dreptelor

(d1) : x − 12 = y − 43 = z − 7

−5 şi (d2) : x + 73 = y + 12 = z + 3

5 (1)

se determină cu ajutorul produsului mixt al celor doi vectori directori şi al vectoruluiM1M2 sau M2M1 care uneşte punctele ce intervin în caracterizările celor două drepteprin ecuaţiile (1).

(1.1) M1(1, 4, 7) & v1(2,3,−5), (2)

(1.1) M2(−7,−1,−3) & v2(3, 2, 5). (3)

(2) & (3) M2M1 (8, 5,10). (4)

(2) , (3) & (4) M2M1 ,v1,v2 =

=8 5 102 3 −53 2 5

=2 1 05 5 03 2 5

= 25 ≠ 0, (5)

deci dreptele sunt necoplanare. În consecinţă, este relevantă determinarea ecuaţiilorperpendicularei comune şi a distanţei dintre cele două drepte. Perpendiculara comunăva avea direcţia vectorului .

n = v1 × v2 =i j k2 3 −53 2 5

= 25 i − 25 j−5k = 5 (5 i − 5 j − k), (6)

Ecuaţiile perpendicularei comune (d ⊥) se obţin din (d ⊥) = (p1) ∩ (p2) , unde celedouă plane trec (respectiv) prin punctele din (2) & (3) si sunt respectiv paralele cuvectorii v1 & n, v2 & n ; spre a simplifica ecuaţiile, în loc de n din (6) se poate lucra cuun vector de 5 ori mai scurt - cel tditre paranteze :

(p1) : M1M ,v1, n = 0 x − 1 y − 4 z − 72 3 −55 −5 −1

= 0

(p1) : −28 (x − 1) − 23 (y − 4) − 25 (z − 7) = 0 28x + 23y + 25 z − 295 = 0 ; (7)

(p2) : M2M ,v2, n = 0 x + 7 y + 1 z + 33 2 55 −5 −1

= 0

(p1) : 23 (x + 7) + 28 (y + 1) − 25 (z + 3) = 0 27x − 28y + 25 z + 236 = 0 . (8)

(7) & (8) (d ⊥) :28x + 23y + 25 z − 295 = 0,23x + 28y − 25 z + 114 = 0.

(9)

În acest moment se poate face o mică verificare : vectorul director al dreptrei (d ⊥) cuecuaţiile (9)trebuie să fie colinear cu vectorul din (6) ;

n1 × n2 =i j k28 23 2523 28 −25

= −25 51 i + 25 51 j + 5 51k = −51(5 i − 5 j − k) n : OK

Distanţa d((d1), (d2)) = se poate calcula cu formula prezentată la curs, ca fiind

raportul dintre volumul paralelipipedului construit pe vectorii M2M1 ,v1,v2 ca muchiiadiacente şi aria bazei acestui paralelipiped, cu v1,v2 ca laturi adiacente. Volumul afost deja calculat în ecuaţia (5), iar aria rezultă din expresia (6) a lui v1 × v2 :

Vol [M2M1…] = M2M1 ,v1,v2 = 25 ; (10)

[M2M1. ] = |v1 × v2 | = 5 51 . (11)

(7) & (8) d((d1), (d2)) = = 255 51

= 551

.

B.3 Date fiind (în plan) dreptele de ecuaţii (d1) : x − y + 3 = 0, , (d2) : x + y − 5 = 0,

(d3) : y + 4 = 0, vârfurile A,B,C ale triunghiului având aceste drepte ca laturi segăsesc uşor intersectând dreptele, două câte două.

(d1) ∩ (d2) = {A} :x − y = −3,x + y = 5

A(1,4) ; (1)

(d1) ∩ (d3) = {B} :x − y = −3,y = −4

B(−7,−4) ; (2)

(d2) ∩ (d3) = {C} :x + y = 5,y = −4

C(9,−4) . (3)

Ecuaţia înălţimii (hB) din B = (d1) ∩ (d3) pe latura (AC) = (d2) va fi de formay + 4 = m(x − 1), avâbnd în vedere coordonatele din (2). Panta acestei drepte va fiopusa înversei pantei lui (d2), m2 = −1, deci luăm m = 1 şi avem .

(hB) : y + 4 = x − 1 x + y − 5 = 0 (hB) ≡ (d2) & A = /2. (4)

Lungimea înălţimii, hB = d (B, (AC)), rezultă din (4) întrucât triunghiul fiind dreptunghicîn A,

hB = d (B, A) = 64 + 64 = 8 2 .Cei interesaţi sunt invitaţi să schiţeze configuraţia geometrică corespunzătoare acesteiprobleme.

B.4 Studiul conicelor cu centru pe ecuaţia lor generală pleacă de la ecuaţia

(C) : a11 x2 + 2a12 xy + a22 y2 + 2a10x + 2a20 y + a00 = 0. (1)

Ecuaţiei (1) i se asociază o matrice simetrică de ordinul trei, dup ce se noteazăa12 = a21, a10 = a01 , a20 = a02 . Indicele 1 corespunde variabile x, 2 − variabilei y iar

indicele 0 elementelor de pe coloana / linia a 3-a. Aşadar, .

A =a11 a12 a10a21 a22 a20a01 a02 a00

; (2)

Submatricea de ordinul 2 formată cu primele două linii şi primele două coloane senotează a ; ea conţine coeficienţii celor 4 termeni de ordinul 2, care formează o formăpătratică. Matricelor A şi li se asociază trei numere reale numite invarianţii conicei,

= deta =a11 a22 − a122 , I =Tra = a11 + a22, = detA. (3)

Cele trei numere din 3 se numesc invarianţi deoarece sunt invariante la transformăride tip translaţii şi rotaţii ale reperului (sistemului de coordonate). Ele permit stabilireanaturii conicei.

≠ 0 ⇒(C) are centrude simetrie ;

> 0 ⇒ (C) este de tip eliptic ; < 0 ⇒ (C) este de tip hiperbolic ;

= 0 ⇒ (C) nu are (un singur) centru de simetrie

(4.1)(4.2)(5)

În raport cu determinantul = detA, conica (C) poate finedegenrată pentru ≠ 0,degenerată pentru = 0.

(6)(7)

Evident, cazurile din (4) & (5) pot fi combinate cu cele din (6) & (7): conica poate fi detip eliptic şi nedegenerată, de tip hiperbolic şi degenerată etc. Aceste concluzii asupratipului / naturii conicei vor rezulta după reducerea ecuaţiei generale la forme maisimple, prin transformări de tip translaţie / rotaţie ale reperelor.

≠ 0 În acest caz, transformările la care vor fi supuse sistemele de coordonatevor fi o translaţie (Tr) urmată de o rotaţie (Ro). Originea reperului iniţial (O ; x, y). setranslează în noua origine O . rezultând noul sistem de coordonate, (O ; x , y ). ,direcţiile axelor de coordonate nu se schimbă, rămânând paralele cu versorii standardi & j, respectiv. Notând coordonatele noii origini în reperul iniţial O (x0, y0), vectorultranslaţiei şi vectorii de poziţie ai unui punct curent în reperul iniţial şi în cel translatvor fi (respectiv)

OO (x0, y0), OM = rM (x, y), O M = rM (x , y ) cu rM = OO + rM , (8)

Din (8) rezultă legătura dintre coordonatele iniţiale şi cele de după translaţie alepunctului curent, fiind implicate şi coordonate noii origini.

(Tr)OO

:x − x0 = x ,y − y0 = y

x = x0 + x ,y = y0 + y .

(9)

Introducând (x, y) din (9) în ecuaţia (1) şi operând grupările termenilor asemenea, seajunge la noua ecuaţie în coordonatele (x , y ) :

(C) : a11 x 2 + 2a12 x y + a22 y 2 +2 (a11x0 + a12 y0 + a10) x + 2 (a21x0 + a22 y0 + a20)y + F(x0, y0) = 0. (10)

Funcţia F care intervine în (termenul liber al ecuaţiei) (10) este membrul stâng alecuaţiei (1). Curba (C), caracterizată prin ecuaţia (10) în reperul (O ; x , y ) , va fisimetrică în raport cu originea O dacă şi numai dacă F (x , y ) = F (x , y ), undeF (x , y ) este membrul stâng al ecuaţiei (10). Evident, schimbarea semnelor celordouă variabile nu afectează termenii de ordinul 2, care şi-au păstrat coeficienţii dinecuaţia (1). Singurii care sunt afectaţi de schimbarea semnelor sunt termenii liniari,care apar pe al doilea rând din ecuaţia (10). Aşadar, pentru a asigura simetria faţă deorigine, coeficienţii acestor termeni trebuie să se anuleze ; se ajunge astfel la sistemulliniar neomogen

a11x0 + a12 y0 + a10 = 0,a21x0 + a22 y0 + a20 = 0.

(11)

Sistemul niliar (11) este de tip Cramer (compatibil şi determinat) având determinantul ≠ 0 ; aşadar, el admite o soluţie unică ce constă tocmai din coordonatele centruluide simetrie, O (x0, y0).

Se demonstraeză (v. Cărăuşu,2003 ) că termenul liber din (10) este

F(x0, y0) = .

Aşadar, în urma translaţiei (9) de la O la O cu coordonatele verificând sistemul (11),ecuaţia (10) devine

(C) : a11 x 2 + 2a12 x y + a22 y 2 +

= 0 . (12)

În continuare, grupul termenilor de gradul 2 trebuie transformat astfel încât termenul înx y . Întrucât aceşti termeni constituie o formă patratică, metoda (cea mai) adecvatăconstă în diagonalizarea acestei (x y ). Matricea lui este a , pentru care trebuiegăsite valorile proprii şi doi vectori proprii corespunzători.

det (a −I2) =a11 − a12a21 a22 −

= 2 − I + (13)

este polinomul caracteristic al matricei a , Pa(). Rădăcinile ecuaţiei caracteristicePa () = 0 sunt 1, 2 - cele două valori proprii. Întrucât ele verifică ecuaţia

2 − I + = 0 1 + 2 = I & 12 = . (14)

Cei doi vectori proprii corespunzători valorilor proprii din (14) sunt U1 , U2 ; dupăverificarea ortogonalităţii lor şi transformarea lor în versorii proprii u1 , u2, seconstruieşte matricea

P = u1 u2 cu proprietatea că P TaP = 1 2 =1 00 2

. (15)

Din teoria diagonalizării formelor pătratice prin transformări ortogonale (v.Cărăuşu, 1999 ) , se ştie că P este transpusa matricei de transformare care reduceforma pătratică (x y ).ce intervine în (12) în expresia sa diagonală, având dreptcoeficienţi valorile proprii din (15). Legătura între variabilele dinainte şi de după rotaţieeste

(Ro) :x

y = P

XY

. (16)

Expresia diagonală (sau canonică) a formei pătratice devine

(X Y ) = 1X 2 + 2 Y 2 ; (17)

(12) & (17) (C) : 1X 2 + 2 Y 2 +

= 0 . (18)

(18) este ecuaţia redusă a conicei în ultimul reper (O ; X, Y ) , obţinut prin translaţia (9)şi rotaţia (16) .Ecuaţia (18) permite identificarea a două cazuri - cu câte trei sau două subcazuri

fiecare - prin comparaţie cu ecuaţiile canonice ale elipsei şi hiperbolei.

(i) > 0(14) 12 > 0 (C) este de tip eliptic.

Cazul nedegenerat. ≠ 0 ecuaţia (18) are termen liber nenul, deci ea poatereprezenta o elipsă, dar aceasta poate fi reală sau imaginară. Suma primilor 2 termeniare semnul lui 1 + 2 = I , care se compară cu semnul lui :

(i. 1) I > 0 membrul stâng al ecuaţiei (18) este strict pozitiv (> 0), deci aceastanu reprezintă o curbă reală şi se spune că (C) este o elipsă imaginară ;

(i. 2) I < 0 suma primilor 2 termeni din (18) are semn contrar termenului liber,deci ecuaţia reprezintă o curbă reală, care este o elipsă reală. Ecuaţia sa canonică sepoate obţine uşor, după înmulţirea ecuaţiei (18) cu − / , ceeace ce va producetermenul liber = −1, ca în ecuaţia canonică.

Determinarea centrului de simetrie O, valorile proprii şi ecuaţia redusă în X,Y,determinarea direcţiilor axelor de simetrie cu ajutorul vectorilor proprii ; efectultranslaţiei şi apoi al rotaţiei asupra ecuaţiei generale, respectiv al celei în x , y .

Cazul degenerat. (18) & = 0

(C) : 1X 2 + 2 Y 2 = 0 X = Y = 0 (C) = {O }.Deci, o conică de tip eliptic care este degenerată se reduce la un singur punct,originea ultimului reper.

(ii) < 0(14) 12 < 0 (C) este de tip hiperbolic.

Cazul nedegenerat. ≠ 0 ecuaţia (18) are termen liber nenul, deci ea poatereprezenta o hiperbolă. Obţinerea ecuaţiei canonice se realizează ca mai sus, prinformarea termenului liber = −1

Cazul degenerat. (18) & = 0 (pentru 1 > 0 şi 2 < 0, de exemplu)

(C) : 1X 2 + 2 Y 2 = 0 1 X − −2 Y 1 X + −2 Y = 0. (19)

Evident, ecuaţia (19) este echivalentă cu două ecuaţii liniare care reprezintă douădrepte, secante în originea O .

(C) = (d1 ) ∪ (d2 ), (d1 ) ∩ (d2 ) = {O },(d1 ) : 1 X − −2 Y = 0,

(d2 ) : 1 X + −2 Y = 0.

Dreptele sunt simetrice faţă de axele ultimului reper. Dacă semnele celor douărădăcini sunt 1 < 0 şi 2 > 0, se vor rescrie în mod adecvat coeficienţii care apar subradicali. Înacest caz, al unei hiperbole degenerate care se reduce la două dreptesecante, se recomandă determinarea ecuaţiilor lor în reperul iniţial, folosind ecuaţiaunei drepte care trece printr-un punct de coordonate cunoscute, în cazul nostruO (x0, y0) :

(d) : y − y0 = m1,2 (x − x0). (20)

Efectuând produsul membrilor stângi ai celor două ecuaţii din (20) şi identificându-l cumembrul stâng al ecuaţiei (1) se vor putea deduce cele două pante care intervin în(20).

Aplicaţie. Se cere să se studieze conica dată prin ecuaţia

(C) : 9x2 − 4xy + 6y2 + 6x − 8y + 2 = 0. (21)

Se poate proceda aşa cum s-a descris mai sus studiul unei conice cu centru : se scriematricea A, se determină invarianţii şi natura conicei, se determină centrul desimetrice, se determină valorile şi vectorii proprii ai matricei a, se scrie ecuaţia redusă(18) şi apoi cea canonică, se trasează graficul conicei folosind şi direcţiile axelor desimetrie (O x ) şi (O y ) date de vectorii proprii.

(21) A =9 −2 3

−2 6 −43 −4 2

; (22)

(22) = deta =50, I = 15, = −50. (23)

(23) (C) = (E) − elipsă reală.

O (x0, y0) :9x − 2y + 3 = 0,

−2x + 6y − 4 = 0. O (−1/5, 3 /5) ; (24)

(23) 2 − 15 + 50 1 = 5 & 2 = 10 (25)

a −5 I2 =4 −2

−2 1 −2 1 U1 =

12

; (26)

a −10 I2 =−1 −2−2 −4

1 2 U2 =−21

; (27)

Ecuaţia redusă :

(25) (E) : 5X 2 + 10Y 2 − 1 = 0 . (28)

Ecuaţia (27) are deja termenul liber = −1, dar pentru a obţine ecuaţia canonicăpropriu-zisă cei doi coeficienţi trebuie "coborâţi cu 2 etaje":

(28) (E) : X2

1/5 + X 21/10 + 1 = 0. (29)

Direcţiile axelor de simetrie:

(26) & (27) (O X ) i + 2 j(O Y ) −2 i + j .

(30)

Cu centrul din (24), cu direcţiile axelor din (30) şi cu semiaxele a = 1/ 51 şib = 1/ 10 , care rezultă din (29), se poate trasa graficul elipsei dată prin ecuaţia (21).

Algebră liniară & Geometrie - II Iunie 2009 C

C.1 Produsul vectorial a × b şi proprietăţile sale.

Aplicaţie. Folosind produsul vectorial, să se determine parametrii & cu condiţia cavectorii v1 = i + ( − ) j + k. , v2 = − i + j+k să fie colineari. După determinarea celor2 parametri, să se determine o relaţie de colinearitate (proporţionalitate) între cei doivectori. Dat fiind şi vectorul v3 = i − 2 j + 3k, să se determine aria tringhiului avândvectorii v1 & v3 ca două laturi adiacente. .

C.2 Date fiind, în spaţiu, dreptele

(d1) :2x + 2y − z = 0,x − y − z − 22 = 0

şi (d2) : x + 73 = y − 5−1 = z − 9

4 .

Să se verifice că (d1) || (d2), să se determine distanţa între aceste drepte precum şiecuaţia planului care le conţine.Sugestii. Se recomandă determinarea direcţiei v1 || (d1) şi a unui punct M1 ∈ (d1).Utilizând şi punctul M2 ∈ (d2), se poate determina = d ((d1), (d2)) fie utilizând

vectorii M2M1 şi v2 || (d2) + o funcţie trigonometrică, fie determinândpunctul M2

∈ (d1), M2 = Proj(d1) M2 = (d1) ∩ (p2) unde planul (p2) ⊥ v1 || (d1)

prin M2. Ecuaţia planului (p) ⊃ (d1), (d2) se poate determina utilizând vectorii M2M1

şi v2 (sau v1) plus unul din punctele M1, M2.

C.3 Să se studieze conica dată prin ecuaţia

(C) : 3x2 + 4xy + 8y − 16 = 0.

C.4 Hiperboloidul cu o pânză (H1) şi proprietăţile sale geometrice (forma sa). (H1)

ca suprafaţă riglată.Aplicaţie. Să se scrie ecuaţiile celor două familii de generatoare rectilinii ale suprafeţei

(H1) :.x225 + y2

16 − z29 − 1 = 0 ;

Caz particular : Ecuaţiile generatoarelor rectilinii care trec prin punctul M0(5,4,3)(după verificarea poziţiei M0 ∈ (H1)).

Indicaţii de rezolvare.C.1 Aplicaţie. Colinearitatea celor doi vectori se va caracteriza prinproporţionalitatea coordonatelor lor (dubla egalitate a celor trei rapoarte) ; va rezultaun sistem liniar de două ecuaţii în & , a cărei soluţie va permite scrierea vectorilorparticulari şi a unei relaţii de proporţionalitate de forma v1 = v2 sau v2 = v1. Ariatringhiului construit pe vectorii v1 şi v3 (ca laturi adiacente) fi jumatate din lungimeaprodusului vectorial v1 × v3.

C.2 Vectorul director al dreptei (d2) apare în enunţ, iar cel al dreptei (d1) se vadetermina ca în cazul dreptei definite ca intersecţie a două plane. Se vvor compara ceidoi vectori (care trebuie să fie proporţionali). Se va urma procedura recomandată înSugestii.

C.3 Se va urma procedura descrisă la subiectul (teoretic) B.4 ; se va constata că(C) este de tip hiperbolic, însă degenerată. Se va proceda ca în descrierea moduluide studiu al conicelor cu centru, cazul < 0 şi = 0.

C.4 Suprafaţa (H1) are ecuaţia canonică

(H1) :.x2a2

+ y2b2

− z2c2

− 1 = 0 . (1)

Este o suprafaţă nemărginită. Intersecţiile cu plane orizontale (z = h) sunt elipse, iarcele cu plane verticale (x = k), respectiv (y = ), sunt hiperbole. (H1) este o suprafaţăriglată, în sensul că există două familii de generatoare rectilinii situate pe aceastăsuprafaţă. Determinarea ecuaţiilor acestora se face ca în aplicaţia ce urmează.

Aplicaţie. Să se scrie ecuaţiile celor două familii de generatoare rectilinii ale suprafeţei

(H1) :.x225 + y2

16 − z29 − 1 = 0 x2

52− z232

= 1 − y242

x5 − z

3x5 + z

3 = 1 − y4 1 + y4

(g ) :x5 − z

3 = 1 − y4 ,

x5 + z

3 = 11 + y4 ;

& (g ) :x5 − z

3 = 1 + y4 ,

x5 + z

3 = 1 1 − y4 .

(2)

Cele două perechi de ecuaţii din (2) reprezintă cele două familii de generatoarerectilinii. Pentru a găsi ccuaţiile generatoarelor rectilinii care trec prin punctulM0(5,4,3), se introduc coordonatele acestui punct în fiecare perche de ecuaţii din (2)determinându-se parametrul , respecziv parametrul :

(2) M0 prima ecuaţie e banală (0=0) iar a doua devine 2 = (1/)2 = 1,

valoare care introdusă în (1) oferă ecuaţiile primei generatoare.

(2) M0 prima ecuaţie devine 2 = 0 = 0 3x − 5 z = 0; ; a doua ecuaţie

amplificată cu , apoi luat = 0, devine (în punctul M0) y = 4. Acestea sunt ecuaţiilecelei de a doua generatoare, din a doua familie, care trece prin punctul M0.

Algebră liniară & Geometrie - II Iunie 2009 D

D.1 Vectori colineari (a ||b ) : definiţie şi caracterizări. Baze de vectori în plan(V2)..Vectori coplanari în V3, baze de vectori în spaţiul 3D al vectorilor liberi ; bazeortogonale şi ortonormate, baza standard (sau canonică) E = (i, j , k ).Aplicaţie. Se consideră în spaţiul V3 5 vectori, v1 = 3 i − 2 j + k, v2 = 3 i − j ,v3 = i − 2 j + 5k, v4 = i − j + 3k, v5 = − j + k. .

(i) Să se determine şi astfel încât {v1,v2,v3} şi {v3,v4,v5} să fie familii devectori coplanari.(ii) Cu valorile găsite mai sus, să se determine direcţia dreptei comune aplanelor (p1) ⊃ {v1,v2,v3} şi (p2) ⊃ {v3,v4,v5}.Sugestie. După determinarea parametrilor şi , fiecare din cele două familii poate firedusă la câte 2 vectori independenţi ; se recomandă eliminarea lui v3.Scriindegalitatea unui vector generat de {v1,v2} cu unul generat de {v3,v4} se obţine unsistem omogen (de tip 3 × 4) a cărui soluţie generală este un vector din R3,componentele acestuia fiind coordonatele vectorului director al dreptei comune(d) =.(p1) ∩ (p2).

D.2 Să se scrie ecuaţia unui plan (p) care trece prin punctele M1(1,2,1), M2(2,3,4)şi este ortogonal pe planul (p0) : 2x + y − 3 z + 5 = 0.Apoi să se scrie ecuaţiile drepteicomune (d) = (p) ∩ (p0), să se determine direcţia v a acesteia şi un punct Q ∈ (d),colinear cu M1, M2.Sugestie. Se recomandă scrierea ecuaţiilor dreptei (M1M2) şi ecuaţia fascicolului deplane având aceasta dreaptă ca axă. Coordonatele punctului de intersecţie Q se potobţine prin rezolvarea unui sistem liniar (neomogen) de 3 sau 4 ecuaţii în (x,y, z).Pentru determinarea ecuaţiei lui (p) se poate utiliza şi ecuaţia generală a planului daraceasta presupune eliminarea a 4 parametru în loc de a unuia singur (sau a doiparametri).

D.3 Să se determine natura conicei date prin ecuaţia

(C) : 6x2 − 4xy + 9y2 − 4x − 32y − 6 = 0,apoi centrul de simetrie O şi direcţiile axelor de simetrie. Să se scrie ecuaţia saredusă (în X,Y ), ecuaţia polarei lui (C) în raport cu polul P0(−1,3) şi ecuaţiadiametrului conjugat cu direcţia v = −3 i + 2 j.

D.4 Paraboloidul hiperbolic (PH) şi proprietăţile sale geometrice (forma sa). (PH )

ca suprafaţă riglată.Aplicaţie. Să se scrie ecuaţiile celor două familii de generatoare rectilinii ale suprafeţei

(PH ) :.x249 − y2

9 = 2 z ;

Caz particular : Ecuaţiile generatoarelor rectilinii care trec prin punctul M0(7,3,0)(după verificarea poziţiei M0 ∈ (PH ) ).

Indicaţii de rezolvare.D.1 Aplicaţie. (i) Condiţia de coplanaritate pentru vectorii v1,v2,v3 - exprimată cuprodusul mixt - conduce la valoarea = −3. Analog, v3,v4,v5 coplanari = 2. (ii)Cu aceste valori gasite, se consideră câte un vector din planul genetrat de familiile{v1,v2,v3}, {v3,v4,v5} Întrucât fiecare din ele este o familie liniar depedndentă, sepoate elimina câte un vector, iar cea mai logică este eliminarea lui v3. Se scrieegalitatea între doi vectori, fiecare generat de câte o subfamilie :

1v1 + 2v2 = 4v4 + 5v5. (1)

Ecuaţia (1) este una tipică pentru determinarea intersecţiei a două subspaţii. Ea esteechivalentă cu un sistem omogen ale cărui coloane sunt formate cu coloanele celor 4vectori implicati :

3 3 −1 0−2 −1 1 13 0 −3 −2

∼2 1 −1 −1

−3 0 2 33 0 −3 −2

∼2 1 −1 −10 0 −1 13 0 −3 −2

∼

∼2 1 0 −20 0 1 −13 0 0 −5

∼2 1 0 −20 0 1 −1

−3/5 0 0 1

∼4/5 1 0 0

−3/5 0 1 0−3/5 0 0 1

; (2)

(2) () =

5−433

. (3)

Rezultă din soluţia generală (3) că un vector comun celor două plane respectivgenerate de perechile de vectori consideraţi va avea coordonatele de forma de forma

53

−23

− 43

−10

=3

−615

= 31

−25

;

aşadar, acest vector comiun, care dă şi direcţia dreptei comune, este (de forma)v = 3( i − 2 j + 5k) = 3v3 ceea ce era previzibil, întrucât acest v3 face parte dinamble efamilii generaroare. O verificare se poate face lucrând şi cu celelalte douăcomponente ale soluţiei generale din (3) :

31

−13

+ 30

−12

=3

−615

= 31

−25

: OK

D.2 Ecuaţia unui planului (p) care trece prin punctele M1(1,2,1), M2(2,3,4) şi esteortogonal pe planul (p0) : 2x + y − 3 z + 5 = 0 se poate obţine urmând recomandările.

(M1M2) : x − 11 = y − 21 = z − 1

3 x − y + 1 = 0,3x − z − 2 = 0

(1)

(p) : (3 + 1)x − y − z + 1 − 2 = 0 : (2)

(p) ⊥ (p0)(2) 9 + 1 = 0 = −1/9. (3)

Valoarea din (3) se introduce în (2) şi se obţine ecuaţia planului (p). Aceasta,împreună cu ecuaţia dată a lui (p0), caracterizează analitic dreapta de intersecţie (d) acelor doză plane. Direcţia s-a se determină în mod obişnuit, cu ajutorul produsuluivectorial. Punctul Q ∈ (d) se poate obţine rezolvând sistemul de tip 4x3 care esteformat din (1) şi ecuaţiile dreptei (d).

D.3 Natura conicei date prin ecuaţia

(C) : 6x2 − 4xy + 9y2 − 4x − 32y − 6 = 0, (1)şi elementele sale geometrice se determină ca în cazul general. similar cu studiulconicei de la Aplicaţia subiectului B.4 .

(1) A =6 −2 −2

−2 9 −16−2 −16 −6

; (2)

(2) = deta =50, I = 15, = −2000. (3)

(3) (C) = (E) − elipsă reală.

O (x0, y0) :6x − 2y − 2 = 0,

−2x + 9y − 16 = 0. O (1, 2) ; (4)

Polinomul caracteristic şi valorile proprii sunt aceleaşi ca la elipsa anterior studiată.

Polara lui (C) în raport cu polul P0(−1,3) se obţine uşor din ecuaţia (1) prinprocedeul "dedublării" sau al polarizării.:

(pP0 ) : −6x − 2 (3x − y) + 27y − 2 (x − 1) − 16 (y + 3) − 6 = 0 … (5)

(dv ) : −3 (6x − 2y − 2) + 2 (−2x + 9y − 16) = 0 … (6)

Se recomandă şi verificarea faptului că diametgrul conjugat din (6) trece prin centrulde simetrie din (4).

D.4 Paraboloidul hiperbolic (PH) este caracterizat prin ecuaţia canonică

(PH) :.x2a2

− y2b2

= 2 z . (1)

Este o suprafaţă nemărginită. Intersecţiile cu plane orizontale (z = h) sunt hiperbole,iar cele cu plane verticale (x = k), respectiv (y = ), sunt parabole. (PH) este osuprafaţă riglată, în sensul că există două familii de generatoare rectilinii situate peaceastă suprafaţă. Determinarea ecuaţiilor acestora se face ca în aplicaţia ceurmează.

Aplicaţie. Ecuaţiile celor două familii de generatoare rectilinii ale suprafeţei din enunţse obţin prin factorizări echivalente ale ecuaţiei sale :

(PH ) :.x249 − y2

9 = 2 z x272

− z232

= 2 z (2)

x7 − y3

x7 + y3 = 2 z

(g ) :x7 − y3 = 2,

x7 + y3 = 1

z;

& (g ) :x7 + y3 = 2,

x7 − y3 = 1

z;(3)

Caz particular : Ecuaţiile generatoarelor rectilinii care trec prin punctul M0(7,3,0) seobţin (ca şi în cazul hiperboloidului cu o pânză de la subiectul C.4 ) înlocuindcoordonatele punctului M0 în ecuaţii din (3), alese adecvat.

(3) M0 prima ecuaţie devine = 0 3x − 7y = 0 , iar a doua, amplificată cu

(= 0), devine z = 0 .Aşadar, prima generatoare este o dreaptă situată în planul(xOy).

(3) M0 prima ecuaţie devine 2 = 2 = 1 3x + 7y = 42 ; a doua − cu

= 1 şi amplificată cu 21 − devine . 3x − 7y = 21 z Acestea sunt ecuaţiile celei de adoua generatoare, din a doua familie, care trece prin punctul M0.