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Capítulo 1: Álgebra Matricial (cont.)
1.7 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz es un escalar (un número), obtenido a partir de los elementos de una matriz por operaciones especificadas, y que es característico de la matriz. Los determinantes están definidos solamente para matrices cuadradas. En esta sección se estudiarán los métodos para obtener los determinantes y las propiedades de éstos.
El determinante de una matriz 2 × 2 .
€
A =a11 a12
a21 a22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
está dado por
det
€
A = A = a11a22 − a12a21
EJEMPLO
Si
€
A =3 −64 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ entonces
€
A =3 −64 1
= 3− −24( ) = 27
Si
€
A =−1 −0
6 10
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ entonces
€
A =−1 0
6 10= −10 −0 = −10
Análogamente, el determinante de una matriz 3× 3 ,
€
A =a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
está dado por
€
A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 − a13a22a31 − a23a32a11 − a33a21a12
Los términos se pueden obtener por la regla ilustrada en la figura 7.1, en donde los términos de productos positivos se forman con los elementos unidos por líneas continuas, y los términos de productos negativos se componen de los elementos unidos por líneas punteadas. Observemos que reglas similares no son válidas para matrices de orden superior.
Por definición, un determinante de orden n, o sea, n,
€
A = ai j con i, j = 1, 2…, n, es la suma algebraica de n! términos, cada uno de los cuales representa el producto de n elementos seleccionados uno de cada fila y uno de cada columna, en todas las posibles y distintas combinaciones, teniendo signo positivo o negativo, según si el número de inversiones en el orden de j (después de que se ha dispuesto i en el término del producto en orden ascendente) es par o impar.
Resulta tedioso emplear esta reglas para obtener el determinante de una matriz de orden mayor que, digamos, 3× 3 . Por ejemplo, el determinante de una matriz 4 × 4 es la suma algebraica de 4! = 24 términos, cada uno de los cuales es el producto de cuatro elementos; el determinante de una matriz 5 × 5 es la suma algebraica de 5! = 120 términos, cada uno de los cuales es el producto de cinco elementos.
Determinantes de matrices de orden mayor que 3× 3 suelen calcularse por un procedimiento conocido como desarrollo por cofactores. Por ejemplo, el determinante de la matriz 3× 3 anterior se puede escribir
€
A = a11 a22a33 − a23a32( )− a12 a21a33 − a23a31( )+ a13 a21a32 − a22a31( )
= a11a22 a23
a32 a33
− a12a21 a23
a31 a33
+ a13a21 a22
a31 a32
Observamos que cada determinante en la suma es el determinante de una submatriz de A que se obtiene omitiendo una fila y una columna particulares de A. Estos determinantes se llaman menores.
DEFINICIÓN: Sea
€
M i j la matriz n −1( )× n−1( ) obtenida al omitir la i-ésima fila y la j-ésima columna de
€
An×n .
El determinante
€
M i j es un menor de la matriz A. El escalar
€
Ci j = −1( )i+ j M i j
se denomina cofactor del elemento
€
ai j de la matriz A. La matriz n x n
€
Ci j( )′ se denomina adjunta de A y se
representa por adj A.
Como se señaló antes, el determinante de una matriz se puede obtener por un procedimiento conocido como desarrollo por cofactores. El determinante de A puede desarrollarse en términos de la fila i por la fórmula:
€
A = ai j Ci jj=1
n
∑ para cualquier fila i = 1, 2, …, n,
y en términos de la columna j por la fórmula:
€
A = ai j Ci ji=1
n
∑ para cualquier columna j = 1, 2, …, n
Por tanto el determinante de
€
A3×3 expresado antes como
€
A = a11a22 a23
a32 a33
− a12a21 a23
a31 a33
+ a13a21 a22
a31 a32
se puede escribir
€
A = a11C11 + a12C12 + a13C13 = a1 jC1 jj=1
3
∑
EJEMPLO
Evalúe el determinante de la matriz
€
A =3 0 −26 −8 10 3 4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
A = −96 +0 − 36 − 0 +9 +0( ) = −141
o bien, desarrollando en términos de la primera fila,
€
A = 3−8 1
3 4+0 −2
6 −80 3
= 3 −32 − 3( )−2 18 −0( ) = −105 − 36 = −141
Efectuando el desarrollo en función de la segunda columna,
€
A = 0 −83 −20 4
− 33 −26 1
= 0 −8 12 −0( )− 3 3+12( ) = −96 − 45 = −141
Cabe hacer notar que los cofactores son básicamente determinantes, y se puede evaluar por desarrollos posteriores en términos de determinantes de orden inferior. Por desarrollo repetido, un determinante de n-ésimo orden puede escribirse en términos de determinantes de segundo o de tercer orden, los cuales se pueden evaluar fácilmente. Para simplificar los cálculos, un determinante debe desarrollarse en términos de la fila o de la columna que tenga el mayor número de ceros.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Las siguientes propiedades de los determinantes frecuentemente son útiles en su evaluación:
1. El intercambio de las correspondientes filas y columnas de un determinante no altera su valor, es decir,
€
A = A′ .2. Si todos los elementos de una fila (o de una columna) de un determinante son iguales a cero, el valor del
determinante es nulo.3. Si todo elemento de una fila (o de una columna) de un determinante se multiplica por un misma constante, el
valor del determinante queda multiplicado por dicha constante.4. Si se intercambian dos filas (o dos columnas) de un determinante, el signo del determinante cambia, pero su
valor absoluto no.5. Si dos filas (o dos columnas) de un determinante son idénticas, el valor del determinante es cero.6. El valor de un determinante no cambia si cada elemento de cualquier fila (o cualquier columna), o cada
elemento multiplicado por la misma constante, se suma o se resta del correspondiente elemento de cualquier otra fila (o columna).
7. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de las dos matrices, es decir,
8. El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal.
EJEMPLO
Si
€
A =1 3 −32 0 1
−1 4 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥,
(Propiedad 1)
€
A =1 3 −32 0 1
−1 4 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= 0 − 3−24 − 0 + 4 −12( ) = −19
€
A′ =1 2 −13 0 4
−3 1 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= 0 −24 − 3− 0 + 4 −12( ) = −19
(Propiedad 3)
€
A* =3 3 −36 0 1
−3 4 −2= 0 −9 − 72 − 0 +12 − 36( ) = −57 = 3 A
(Nota: La primear columna de A se multiplica por 3 para formar A*)
(Propiedad 4)
€
B =1 3 −3
−1 4 −22 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= 4 −12 +0 − −24 +0 − 3( ) =19 = − A
(Nota: La segunda y la tercera filas de A se intercambian para formar B.)
(Propiedad 6)
€
C =1 3 −33 4 02 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= 4 +0 +0 − −24 +0 +9( ) =19 = B
(Nota: La segunda fila de C es igual a la segunda fila de B más dos veces la tercera fila de B.)
(Propiedad 2)
Si
€
A =1 3 −30 0 0
−1 4 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥, entonces
€
A =1 3 −30 0 0
−1 4 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= 0 +0 +0 − 0 +0 +0( ) = 0
(Propiedad 5)
Si
€
A =1 1 −32 2 1
−1 −1 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ entonces
€
A =1 1 −32 2 1
−1 −1 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= −4 −1+6 − 6 −1− 4( ) = 0
(Propiedad 7)
Si
€
A =1 3 −32 0 1
−1 4 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ y
€
B =−1 0 2
3 −2 −21 0 −1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥, entonces
€
AB =5 −6 −1
−1 0 311 −8 −8
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= 0 −198 −8 − 0 −120 − 48( ) = −38
€
A =1 3 −32 0 1
−1 4 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= −19
€
B =−1 0 2
3 −2 −21 0 −1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= −2 +0 +0 − −4 +0 +0( ) = 2
€
AB = A B = −19( ) 2( ) = −38
(Propiedad 8)
Si
€
A =3 0 00 −2 00 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥, entonces
€
A =3 0 00 −2 00 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= −6 +0 +0 − 0 +0 +0( ) = −6
1.8 INVERSA DE UNA MATRIZ
La inversa de una matriz se emplea en la resolución de ecuaciones lineales simultáneas y en otros análisis. En esta sección se define la inversa de una matriz y se analizan varios métodos de inversión; tales procedimientos incluyen la inversión por medio de la eliminación gaussiana, la inversión por medio de adjuntas y determinantes, y la inversión por medio de adjuntas y determinantes, y la inversión de matrices subdivididas. Asimismo, se consideran las propiedades de las inversas.
Si para una matriz A de orden n x n (cuadrada) existe otra matriz B de orden n x n (cuadrada) tal que su producto es la matriz identidad de orden n, es decir, si
€
An×nBn×n = In = Bn×n An×n
entonces se dice que B es la recíproca o la inversa de A, y se escribe
€
B = A−1 = ai j( )−1
= a i j( ) = bi j( )
(Se puede demostrar que
€
AB = I ⇔ BA = I ).
NOTA: En álgebra elemental, la división de una cantidad x entre una cantidad y es equivalente a multiplicar x por el recíproco de y, es decir,
€
xy
= x 1y
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟= xy−1
La obtención de la recíproca o inversa de una matriz es una operación análoga a la de la división en álgebra elemental; sin embargo, nótese que aunque todo número diferente de cero tiene un recíproco, hay matrices
cuadradas, además de la matriz nula, que no poseen inversa. Una matriz que tienen inversa se dice que es no singular; una matriz que carece de inversa recibe el nombre de singular.
Una matriz no cuadrada puede tener inversa por la izquierda o por la derecha. Una matriz A de orden n x s se dice que tiene a B como inversa por la izquierda si BA = I; en este caso I debe ser de orden s x s, y B, de orden s x n. Análogamente, si AC = I, se dice que C es la inversa por la derecha de A; en este caso, I debe ser de orden n x n, y C de orden s x n. Es posible demostrar que si A tiene como inversa por la izquierda a B, y como inversa por la derecha a C, entonces B = C = A-1, y A es cuadrada (y no singular).
La operación de obtener la inversa de una matriz, llamada inversión de una matriz, es esencial para la resolución matricial de conjuntos de ecuaciones lineales simultáneas; tales ecuaciones aparecen, por ejemplo, en la resolución de modelos económicos y en problemas de programación lineal.
Cualquier conjunto de ecuaciones lineales simultáneas se puede escribir en notación matricial. Por ejemplo:
€
a11x1 + a12x2 + a13x3 +L + a1n xn = c1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +L + a2n xn = c2
M
am1x1 + am2x2 + am3x3 +L + amn xn = cm
se puede escribir como
€
Am×n Xn×1 = Cm×1
Si m = n y A tiene inversa, es decir, si A es cuadrada y no singular, entonces el conjunto de ecuaciones lineales simultáneas representado por
€
An×n Xn×1 = cn×1tiene la solución
€
Xn×1 = An×n−1 cn×1
La resolución de ecuaciones lineales simultáneas se considera en detalle en la sección 1.9.
INVERSIÓN DE MATRICES 2 X 2
Si n = 2, es decir, si el conjunto de ecuaciones simultáneas consta de dos ecuaciones con dos incógnitas.
€
a11x1 + a12x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
o, en notación matricial,
€
A2×2X2×1 = c2×1
Entonces
€
A2×2−1 puede obtenerse fácil y directamente a partir de su definición, como sigue.
Si
€
A =a11 a12
a21 a22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥y
€
A−1 está denotada por
€
B =b11 b12
b21 b22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
entonces, por definición,
€
AB = I , es decir,
€
a11 a12
a21 a22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥b11 b12
b21 b22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥=
1 00 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
y de ese modo
€
a11 b11 + a12b21 a11b12 + a12b22
a21 b11 + a22b21 a21 b12 + a22b22
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥=
1 00 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
y
€
a11 b11 + a12b21 =1
a11b12 + a12b22 = 0
a21 b11 + a22b21 = 0
a21 b12 + a22b22 =1
Resolviendo estas cuatro ecuaciones para determinar las cuatro
€
bi j’s,
€
b11 = a22
a11 a22 − a21a12
b12 = −a12
a11 a22 − a21a12
b21 = −a21
a11 a22 − a21a12
b22 = a11
a11 a22 − a21a12
Nótese que el denominador de cada una de esta expresiones es el determinante de
€
A
€
A =a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a21a12
Si det
€
A = 0 , las
€
bi j’s no están definidas y no se puede obtener
€
A−1. Puede demostrarse, en general, que una matriz cuadrada de cualquier tamaño tiene una inversa sólo si su determinante es distinto de cero.
EJEMPLOS
A.
Determinar, si existe, la inversa de la matriz
€
−1 64 3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
−1 64 3
= −3−24 = −27 , de manera que la inversa existe.
€
b11 = 3−27
= − 19
b12 = −6−27
= 29
b21 = −4−27
= 427
b22 = −1−27
= 127
y así,
€
−1 64 3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
−1
=− 1
929
427
127
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
Observemos que
€
−1 64 3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥=
− 19
29
427
127
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥=
1 00 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
B.
Determinar, si existe, la inversa de la matriz
€
−3 151 −5
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
−3 151 −5
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥=15 −15 = 0 , de manera que no existe la inversa (es decir, la matriz es singular).
PROBLEMAS
Para cada una de las matrices siguientes, evalúe el determinante y obtenga la inversa, si existe.Emplee matrices particionadas para verificar resultados.
€
1.1 60 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 2.
1 00 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 3.
0 11 0
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 4.
0 11 6
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
5.2 −34 −6
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 6.
2 2−4 −4
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 7.
−1 32 7
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 8.
−1 −1−1 −1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Respuestas a los Problemas de Número Impar
€
1. det =1,0 −60 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 3. det = −1,
0 11 0
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
5. det = 0, de manera que no existe la inversa 7. det = −13,− 7
133
132
131
13
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
INVERSIÓN DE MATRICES DE MAYOR ORDEN
En principio, la inversa de cualquier matriz no singular se puede obtener a partir de su definición del modo señalado para una matriz 2 x 2 . Es decir, si
€
A =
a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
M M M Man1 an 2 L ann
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
y
€
B = A−1, entonces
€
AB = I
€
a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
M M M Man1 an2 L ann
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
b11 b12 L b1n
b21 b22 L b2n
M M M Mbn1 bn2 L bnn
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥=
c11 c12 L c1n
c21 c22 L c2n
M M M Mcn1 cn2 L cnn
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥=
1 01
O0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥= In
en donde
€
ci k = ai jbb kj=1
n∑ y los n2 elementos de la matriz inversa
€
b j k( ) se pueden obtener por resolución de las
n2 ecuaciones
€
ai jb j k =1 si i = kj=1
n
∑
ai jb j k = 0 si i ≠ kj=1
n
∑en donde i = 1, 2, …, n y k = 1, 2, …, n.
Para una matriz de orden 3 x 3 o mayor, este método de inversión resulta tedioso. Afortunadamente, existen numerosos procedimientos para invertir matrices, y la inversión es también un programa estándar disponible para la mayor parte de las computadoras electrónicas. En las siguientes secciones se estudian dos métodos de inversión; ambos son factibles a no ser que la matriz sea demasiado grande, o que sus elementos consten de varios dígitos.
INVESIÓN MEDIANTE EL USO DE OPERACIONES DE FILA O DE COLUMNA
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales simultáneas, se emplean ciertas operaciones sencillas para convertir el sistema original a un sistema equivalente, es decir, a un sistema que tenga la misma solución que el sistema original, pero que sea más sencillo de resolver. Se obtiene un sistema equivalente si (1) se intercambian dos ecuaciones, (2) se multiplica una ecuación por una constante diferente de cero, y (3) la i-ésima ecuación se reemplaza por la suma de la i-ésima ecuación y k veces la j-ésima ecuación, en donde k es una constante diferente de cero.
Análogamente, tres operaciones elementales de fila para las matrices se definen como sigue: (1) intercambio de dos filas, (2) multiplicación de una fila por un escalar diferente de cero, y (3) el reemplazo de la i-ésima fila por la suma de la i-ésima fila y k veces la j-ésima fila, siendo k un escalar cualquiera distinto de cero.
Las correspondientes operaciones para las columnas de una matriz son las operaciones elementales de columna. Las operaciones elementales de fila o de columna pueden utilizarse para obtener la inversa de una matriz, como lo establece el teorema siguiente.
TEOREMA: Si una matriz
€
A se convierte en la matriz identidad por una serie de operaciones de fila o una serie de operaciones de columna, entonces la misma serie de operaciones realizadas sobre la matriz identidad la convertirán en
€
A−1.Hay un método normal, que invariablemente es apropiado, para convertir una matriz no singular en la matriz
identidad, o para establecer la singularidad de una matriz que no se puede convertir en la matriz identidad. Tal método estándar se describe e ilustra a continuación. La generalidad del método, que es apropiado para cualquier matriz y puede ser programado para computadora, lo hace especialmente útil, aunque para algunos casos particulares se dispone de métodos más breves.
Pasos para Convertir una Matriz Cuadrada en la Matriz Identidad (Eliminación de Gauss)
1. Dividir la primera fila de la matriz entre el elemento de su primera columna; usar luego la fila resultante para obtener ceros en la primera columna de cada una de las otras filas.
2. Dividir la segunda fila entre el elemento de su segunda columna; emplear la fila resultante para obtener ceros en la segunda columna de las demás filas.
€
M M Mn. Dividir la n-ésima fila entre el elemento de su n-ésima columna; usar la fila resultante para obtener ceros en la
n-ésima columna de las demás filas.
NOTA: En el procedimiento anterior, si en el paso k-ésimo el elemento en la k-ésima columna es cero intercámbiese esa fila con la siguiente que tenga un elemento diferente de cero en la k-ésima columna. Luego proceda al paso k-ésimo.
Para obtener la inversa de una matriz
€
A se acostumbra trabajar con una tabla o disposición de la forma.
€
A I[ ]
y luego cambiar, por el procedimiento típico expuesto anteriormente, a la disposición
€
I B[ ]
Entonces, por el teorema anterior,
€
B es
€
A−1.
Aun si
€
A no tuviera inversa, es posible iniciar este procedimiento. En algún paso se obtendrá alguna tabla que no es de la forma apropiada y que no se puede cambiar como se ha expuesto anteriormente. Puede demostrarse que si el procedimiento de arriba no puede ser completado para obtener
€
I B[ ] de
€
A I[ ] , entonces
€
A no tiene inversa.
EJEMPLOS
A.
Encontrar la inversa, si existe, de la matriz
€
0 −2 −31 3 3
−1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Siguiendo el procedimiento ya expresado,
€
Intercambio de la primera
y segunda filas Paso1 Paso 2
0 −2 −3 1 0 01 3 3 0 1 0
−1 −2 −2 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 3 3 0 1 00 −2 −3 1 0 0
−1 −2 −2 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 3 3 0 1 00 −2 −3 1 0 00 1 1 0 1 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 3 3 0 1 00 1 3
2 − 12 0 0
0 1 1 0 1 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Paso 2 Paso 3 Paso 3
1 0 − 32
32 1 0
0 1 32 − 1
2 0 00 0 − 1
212 1 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 0 − 32
32 1 0
0 1 32 − 1
2 0 00 0 1 −1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 0 0 0 −2 −30 1 0 1 3 30 0 1 −1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Por lo tanto,
€
0 −2 −31 3 3
−1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
−1
=0 −2 −31 3 3
−1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
y esta matriz es igual a su inversa. Observemos que
€
0 −2 −31 3 3
−1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
0 −2 −31 3 3
−1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 0 00 1 00 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
B.
Obtener la inversa, si existe, de la matriz
€
1 2 3−1 0 4
0 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
€
Paso1 Paso 2 Paso 2
1 2 3 1 0 0−1 0 4 0 1 00 2 2 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 2 3 1 0 00 2 7 1 1 00 2 2 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 2 3 1 0 00 1 7
212
12 0
0 2 2 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 0 −4 0 −1 00 1 7
212
12 0
0 0 −5 −1 −1 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Paso 3 Paso 3
1 0 −4 0 −1 00 1 7
212
12 0
0 0 1 15
15 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 0 0 45 − 1
5 − 45
0 1 0 − 15 − 1
57
10
0 0 1 15
15 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
En consecuencia,
€
1 2 3−1 0 4
0 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
−1
=
45 − 1
5 − 45
− 15 − 1
57
1015
15 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Observemos que
€
1 2 3−1 0 4
0 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
45 − 1
5 − 45
− 15 − 1
57
1015
15 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 0 00 1 00 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
y
€
45 − 1
5 − 45
− 15 − 1
57
1015
15 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 2 3−1 0 40 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 0 00 1 00 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
C.
Obtener la inversa, si existe, de la matriz
€
1 2 −1−3 4 5−4 2 6
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Siguiendo el método normal,
€
Paso1 Paso 2 Paso 2
1 2 −1 1 0 0−3 4 5 0 1 0−4 2 6 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 2 −1 1 0 00 10 2 3 1 00 10 2 4 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 2 −1 1 0 00 1 1
53
101
10 00 10 2 4 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 0 − 75
25 − 1
5 00 1 1
53
101
10 00 0 0 1 −1 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
No puede continuar el procedimiento, y por lo tanto, la matriz no tiene inversa. Observemos que el proceso pudo interrumpirse al final del Paso 1; al final del mismo, la matriz izquierda tiene dos filas idénticas, y por consiguiente, el determinante de la matriz es cero (Propiedad 5), y no tiene inversa. El determinante de la matriz original es cero también (Propiedad 6) y no tiene inversa.
INVERSIÓN MEDIANTE ADJUNTAS Y DETERMINANTES
Un método alternativo de inversión de matrices implica la obtención de la adjunta y el determinante de la matriz que se desea invertir. Si
€
A es no singular, es decir, si
€
A ≠ 0 , entonces
€
A−1 = 1A
adj A
EJEMPLOS
A.
Encontrar la inversa, si existe, de la matriz
€
A =0 −2 −31 3 3
−1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
A = 0 +6 +6 − 9 +0 + 4( ) = −1
o bien, desarrollando con los elementos de la primera fila,
€
A = 0 + −2( ) −1( )1+2 1 3
−1 −2+ −3( ) −1( )
1+3 1 3−1 −2
= 0 +2 −2 + 3( )+ −3( ) −2 + 3( ) = −1
o efectuando el desarrollo con los elementos de la segunda columna,
€
A = −2( ) −1( )1+2 1 3
−1 −2+ 3( ) −1( )
2+2 0 −3−1 −2
+ −2( ) −1( )3+2 0 −3
1 3= 2 −2 + 3( )+ 3 0 − 3( )+2 00 + 3( ) = −1
Obteniendo las adjuntas
€
C11 = −1( )1+1 3 3
−2 −2= −6 +6 = 0 C12 = −1( )
1+2 1 3−1 −2
= − −2 + 3( ) = −1 C13 = −1( )1+3 1 3
−1 −2= −2 + 3 =1
C21 = −1( )2+1 −2 −3
−2 −2= − 4 −6( ) = 2 C22 = −1( )
2+2 0 −3−1 −2
= 0 − 3 = −3 C23 = −1( )2+3 0 −2
−1 −2= − 0 −2( ) = 2
C31 = −1( )3+1 −2 −3
3 3= −6 +9 = 3 C32 = −1( )
3+2 0 −31 3
= − 0 + 3( ) = −3 C33 = −1( )3+3 0 −2
1 3= 0 +2 = 2
Por lo tanto,
€
adj A = Ci j( )′=
0 2 3−1 −3 −3
1 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
€
A−1 = 1A
adj A =0 −2 −31 3 3
−1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
(como se obtuvo en un ejemplo anterior por el procedimiento típico de operaciones de fila).
B.
Obtener la inversa, si existe, de la matriz
€
A =1 2 3
−1 0 40 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
A = 0 +0 −6 − 0 +8 − 4( ) = −10
O bien, desarrollando con los elementos de la primera columna,
€
A = −1( )1+1 0 4
2 2− −1( )
2+1 2 32 2
+0 = 0 −8( )+ 4 −6( ) = −10
Efectuando el desarrollo con los elementos de la segunda fila,
€
A = −1( ) −1( )2+1 2 3
2 2+0 + 4 −1( )
2+3 1 20 2
= 4 −6( )+0 + −4( ) 2 −0( ) = −10
Obteniendo las adjuntas queda
€
C11 = −1( )1+1 0 4
2 2= 0 −8 = −8 C12 = −1( )
1+2 −1 40 2
= − −2 +0( ) = 2 C13 = −1( )1+3 −1 0
0 2= −2 +0 = −2
C21 = −1( )2+1 2 3
2 2= − 4 −6( ) = 2 C22 = −1( )
2+2 0 30 2
= 2 +0 = 2 C23 = −1( )2+3 1 2
0 2= − 2 +0( ) = −2
C31 = −1( )3+1 2 3
0 4= 8 +0 = 8 C32 = −1( )
3+2 1 3−1 4
= − 4 + 3( ) = −7 C33 = −1( )3+3 1 2
−1 0= 0 +2 = 2
Por tanto,
€
adj A = Ci j( )′=
−8 2 82 2 −7
−2 −2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
€
A−1 = 1A
adj A =
45 − 1
5 − 45
− 15 − 1
57
1015
15 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
(como se obtuvo en un ejemplo anterior por el procedimiento estándar de operaciones de fila).
C.
Obtener la inversa, si existe, de la matriz
€
A =1 2 −1
−3 4 5−4 2 6
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
A = 24 +6 − 40 − 16 +10 − 36( ) = 0
Luego A es singular, es decir, A carece de inversa
En general, la inversión por operaciones de fila o de columna es menos laboriosa si los elementos de la matriz son números enteros pequeños; la inversión por determinantes y adjuntas implica menos trabajo si los elementos de la matriz son fracciones o números grandes. En el caso de matrices voluminosas ambos métodos resultan tediosos y se deben usar computadoras electrónicas.
A no ser que se tenga una buena razón para pensar que una matriz es no singular, como en algunas aplicaciones prácticas, resulta aconsejable primero encontrar su determinante, aun si se pretende utilizar el método de inversión por operaciones de fila o de columna. Pueden necesitarse algunas operaciones de fila o de columna antes de que la singularidad de una matriz se haga evidente usando este método de inversión, y por consiguiente, muchos cálculos innecesarios pueden evitarse estableciendo primero la existencia de la inversa antes de pretender obtenerla (por cualquier método).
INVERSIÓN DE MATRICES SUBDIVIDIDAS
Algunas veces es conveniente obtener la inversa de una matriz dispuesta en la forma particionada. Si una matriz A, de orden n x n se subdivide como sigue
€
A =A11 A12
A21 A22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
en donde
€
A11 es n1 x n1,
€
A12 es n1 x n2,
€
A21 es n2 x n1,
€
A22 es n2 x n2, y n1 + n2 = n, entonces,
€
A−1 =A11
−1 I + A12 B−1 A21 A11−1
[ ] −A11−1 A12 B−1
−B−1 A21 A11−1 B−1
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
en donde
€
B = A22 − A21 A11−1 A12 y A11 y B son no singulares. Este resultado se puede probar directamente por
multiplicación:
€
A11 A12
A21 A22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥=
A11−1 I + A12 B−1 A21 A11
−1[ ] −A11
−1 A12 B−1
−B−1 A21 A11−1 B−1
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥=
I 00 I
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
puesto que
€
A11A11−1 I + A12 B−1 A21 A11
−1[ ] − A12 B−1 A21 A11
−1 = I
−A11 A11−1 A12 B−1 + A12 B−1 = 0
A21A11−1 I + A12 B−1 A21 A11
−1[ ] − A22 B−1 A21 A11
−1 = I + A21 A11−1 A12 B−1 − A22 B−1
[ ]A21 A11−1
A21 A11−1 A12 − A22[ ]B−1
= I −BB−1[ ]A21 A11
−1
= 0
−A21A11−1A12B−1 + A22 B−1 = −A21 A11
−1 A12 + A22[ ]B−1
= BB−1
= I
EJEMPLOS
A.
Encontrar la inversa, si existe, de la matriz
€
0 −2 −31 3 3
−1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Subdividiendo la matriz,
€
0 −2 −31 3 3
−1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
A11 A12
A21 A22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
y
€
A11−1 I + A12 B−1 A21 A11
−1[ ] =
32 1
− 12 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1 00 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥+
−33
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥−2[ ] −1, −2[ ]
32 1
− 12 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
=32 1
− 12 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1 00 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥+
−6 −126 12
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
32 1
− 12 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
=32 1
− 12 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1 00 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥+
−3 −63 6
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
=32 1
− 12 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥−2 −6
3 7
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
=0 −21 3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
en donde
€
B = A22 − A21A11−1A12 = −2[ ] − −1, −2[ ]
32 1
− 12 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥−3
3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥= −2[ ] − − 1
2 , −1[ ]−3
3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥= −2 − − 3
2( ) = − 12
y
€
B−1 = −2[ ]
A11−1A12 B−1 =
32 1
− 12 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥−3
3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ −2[ ] =
32 1
− 12 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
6−6
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥=
3−3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
B−1A21A11−1 = −2[ ] −1, −2[ ]
32 1
− 12 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥= −2, −4[ ]
32 1
− 12 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥= −1, −2[ ]
luego entonces
€
0 −2 −31 3 3
−1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
−1
=0 −2 −31 3 3
−1 −2 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥como se obtuvo anteriormente.
B.
Obtener la inversa, si existe, de la matriz
€
1 2 3−1 0 4
0 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Efectuando la subdivisión de la matriz
€
1 2 3−1 0 40 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
A11 A12
A21 A22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
y
€
A11−1 I + A12 B−1 A21 A11
−1[ ] = 1[ ] 1[ ] + 2, 3[ ]
− 15
710
15 − 1
5
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥−1
0
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 1[ ]
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
= 1[ ] 1[ ] + 15 , 4
5[ ]−1
0
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
=1 1− 15( ) = 4
5
en donde
€
B = A22 − A21A11−1A12 =
0 42 2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥−
−10
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 1[ ] 2, 3[ ] =
0 42 2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥−
−2 −30 0
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥=
2 72 2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
y
€
B−1 =− 1
57
1015 − 1
5
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
−A11−1A12 B−1 = −1[ ] 2, 3[ ]
− 15
710
15 − 1
5
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥= − 1
5 , − 45[ ]
−B−1A21A11−1 =
15 − 7
10
− 15
15
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥−10
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 1[ ] =
− 1515
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
Por lo tanto,
€
1 2 3−1 0 40 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
−1
=
45 − 1
5 − 45
− 15 − 1
57
1015
15 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ como se obtuvo con anterioridad.
PROPIEDADES DE LAS INVERSAS
Las siguientes propiedades de las inversas frecuentemente son útiles en su valuación.1. La inversa de la inversa de una matriz es la matriz original, es decir,
€
A−1[ ]
−1= A .
2. El determinante de la inversa de una matriz es igual al recíproco del determinante de la matriz; es decir,
€
A−1 =1 / A .
3. La inversa de la transpuesta de una matriz es igual a la transpuesta de la inversa de la matriz; es decir,
€
A′[ ]
−1= A−1
[ ]′ .
4. La inversa del producto de dos matrices es igual al producto de sus inversas en orden contrario; es decir,
€
AB[ ]−1 = B−1A−1 .
EJEMPLO
Si
€
A =1 2 3
−1 0 40 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥, entonces
€
A−1 =
45 − 1
5 − 45
− 15 − 1
57
1015
15 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ (ver ejemplo anterior)
(Propiedad 1)
€
A−1[ ]
−1=
45 − 1
5 − 45
− 15 − 1
57
1015
15 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
−1
=1 2 3
−1 0 40 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= A es decir,
€
A−1[ ]
−1= A
(Propiedad 2)
€
A =1 2 3
−1 0 40 2 2
= 0 +0 −6 − 0 +8 − 4( ) = −10
A−1 =
45 − 1
5 − 45
− 15 − 1
57
1015
15 − 1
5
= 1125 4 − 7
2 + 4 − 4 +14 −1( )[ ] = 1125( ) − 25
2( ) = − 110
es decir,
€
A−1 = 1A .
(Propiedad 3)
€
A′( )
−1=
1 −1 02 0 23 4 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
−1
=
45 − 1
515
− 15 − 1
515
− 45
710 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
€
A−1[ ]
′=
45 − 1
5 − 45
− 15 − 1
57
1015
15 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
45 − 1
515
− 15 − 1
515
− 45
710 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Así pues,
€
A′[ ]
−1= A−1
[ ]′.
(Propiedad 4)
Si
€
B =−1 3 10 2 0
−2 0 4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥, entonces
€
B−1 =−2 3 1
2
0 12 0
−1 32
12
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
€
AB =1 2 3
−1 0 40 2 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
−1 3 10 2 0
−2 0 4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
−7 7 13−7 −3 15−4 4 8
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
€
AB−1 =−7 7 13−7 −3 15−4 4 8
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
−1
=− 21
10 − 110
185
− 110 − 1
107
20
−1 0 74
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
€
B−1A−1 =−2 3 1
2
0 12 0
−1 32
12
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
−1
=
45 − 1
5 − 45
− 15 − 1
57
1015
15 − 1
5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
− 2110 − 1
10185
− 110 − 1
107
20
−1 0 74
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
De modo que
€
AB[ ]−1 = B−1A−1 .
PROBLEMAS
Para cada una de las siguientes matrices, evaluar el determinante y obtener su inversa, si existe.Emplear matrices particionadas para verificar los resultados.
€
1.0 −2 −11 −3 4
−1 −1 −1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
2.3 1 33 3 12 0 3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
3.3 2 −14 3 −1
−1 2 4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
4.1 2 −10 −3 24 1 0
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
5.2 4 6
−1 2 31 4 9
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
6.2 3 44 3 11 2 4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
7. Si
€
A =3 2 −20 1 4
−1 0 5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
B =1 00 10 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
C =1 1 11 1 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ D =
3 −22 3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
encuentre
€
a. det AB[ ]′ C ′ − D[ ]
€
b. BC[ ]−1
€
c. D 2[ ]
−1
8. Si
€
A =3 −1
−4 02 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
B =2 1
−1 −21 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
C =3 42 2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
encuentre
€
a. A − BC[ ]′
€
b. A′B[ ]−1
9. Si
€
A =2 11 2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ B =
1 00 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ C =
1 23 41 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
D =0 1 01 1 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
encuentre
€
a. A + B−2DC
€
b. A−1B−1
€
c.C A + B[ ]B−1
€
d.CA−1B−1D
10. Si
€
A =0 1 −13 −2 32 −2 3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
B =4 −3 32 −1 2
−3 3 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
demuestre que
€
a. A2 = B2 = 12 A + B[ ][ ]
2= I
€
b. A − B[ ]2 = O
Respuestas a los Problemas de Número Impar
€
1. det =10,
110 − 1
10 − 1110
− 310 − 1
10 − 110
− 25
15
15
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
3. det =1,14 −10 1
−15 11 −111 −8 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
5. det = 24 ,
14 − 1
2 012
12 − 1
2
− 14 − 1
613
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
€
1. det =10,
110 − 1
10 − 1110
− 310 − 1
10 − 110
− 25
15
15
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
3. det =1,14 −10 1
−15 11 −111 −8 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
5. det = 24 ,
14 − 1
2 012
12 − 1
2
− 14 − 1
613
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
7. a.− 39 b. no existe la inversa c.5
16912169
− 12169
5169
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
9. a.−3 −7−9 −13
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ b.
23 − 1
3
− 13
23
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ c.
5 713 155 7
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
d.1 1 153
73
53
1 1 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
1.9 ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS
Muchos análisis de modelos económicos y otros sistemas lineales requieren la resolución de conjuntos de ecuaciones lineales simultáneas. Los conceptos y las operaciones del álgebra matricial son de gran utilidad en la determinación de la existencia y naturaleza de soluciones de sistemas o conjuntos de ecuaciones lineales simultáneas, y en la obtención de dichas soluciones cuando existen. En esta sección se definen los conceptos de dependencia lineal de un conjunto de vectores y el concepto de rango de una matriz, y además se aplican tales nociones para determinar si un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas tiene solución única. Por último, se exponen métodos para resolver un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas.
DEPENDENCIA LINEAL Y RANGO
Un conjunto de m vectores
€
a1 , a2 ,...,am cada uno con n elementos, se dice que es linealmente dependiente si existe una combinación lineal (no trivial) de los vectores, que sea igual al vector cero con n elementos. Es decir, si existe un conjunto de números
€
λ1 , λ 2 ,...λ m con al menos uno de ellos (distinto de cero).
€
λ1a1 + λ 2a2 + ...+ λ mam = λ i aii=1
m
∑ = 0
entonces el conjunto de vectores
€
a1 , a2 ,...,am se dice que es linealmente dependiente. Si no existe un conjunto
de términos (excepto cuando todos valen cero) de modo que
€
λ i aii=1
m∑ = 0 , se dice que el conjunto de vectores
es linealmente independiente.Puede considerarse a una matriz como un conjunto de vectores fila o un conjunto de vectores columna. Es
demostrable que para cualquier matriz, el número de filas linealmente independiente es igual al número de columnas linealmente independientes; este número es el rango de la matriz. De modo que si una matriz es m x n y su rango se denota por r, entonces r min (m, n).
EJEMPLOS A.
Determinar el rango de la matriz
€
1 45 103 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Min (m, n) = 2, por tanto, r 2.Cada posible par de filas es linealmente independiente, También lo son las dos columnas. De ahí que el rango
de la matriz es 2.
B.
Determinar el rango de la matriz
€
3 61 22 4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Min (m, n) = 2, por tanto, r 2.
Cada posible par de filas es linealmente dependiente. ya que
(primera fila) - 3(segunda fila) = 0 2(primera fila) - 3(tercera fila) = 0 2(segunda fila) - (tercera fila) = 0
Nótese que las dos columnas son también linealmente dependientes, puesto que 2 (primera columna) - (segunda columna) = 0.
El rango de la matriz es 1.
El siguiente resultado (muy útil) proporciona un método sistemático para probar la dependencia lineal: Considerar todas las submatrices cuadradas de A cuyos determinantes sean distintos de cero. El rango de A es el orden del determinante de mayor orden. Por lo tanto, un método para calcular el rango de una matriz es buscar el determinante no nulo de mayor orden de la matriz o de una submatriz; el orden de este determinante es el rango de la matriz.
Las siguientes propiedades son útiles para determinar el rango de una matriz:
1. Puesto que el determinante de una matriz diagonal es igual al producto de sus elementos diagonales, si
€
A es una matriz diagonal, entonces
€
r A( ) es el número de elementos diagonales distintos de cero en
€
A . En particular
€
r In( ) = n .
2. Puesto que cualquier submatriz de
€
′ A es la transpuesta de una submatriz de A y como
€
B = ′ B , entonces
€
r ′ A ( ) = r A( ).3. El rango del producto de dos matrices no puede exceder al menor rango de las dos matrices; es decir,
€
r AB( ) ≤ min r A( ), r B( ){ } .4. Si
€
A es una matriz n x n, (cuadrada), entonces
€
r A( ) = n si y sólo si
€
A es no singular;
€
r A( ) < n sólo si
€
A es singular. Luego, si una matriz cuadrada es singular; sus filas (y también sus columnas) son linealmente dependientes; si es no singular, son linealmente independientes.
Considere la solución de un sistema general de n ecuaciones lineales en n variables
€
x1 , x2 ,...xn ,
€
y = Ax
en donde
€
y es n x 1,
€
A es n x n y x es n x 1. Si
€
A es no singular, la única solución es
€
x = A−1y
y recíprocamente, si
€
y = Ax tiene una única solución, entonces
€
A es no singular.
Más generalmente, si
€
y = Ax , entonces el conjunto completo de ecuaciones es compatible y tiene por lo menos una solución si
€
r A( ) = r A y( ) . La solución es única sólo si
€
r A( ) = r A y( ) = n , es decir si y sólo si
€
A es no singular.En el caso especial (homogéneo)
€
y = 0, si
€
A es no singular, la única solución es
€
x = 0, y no puede haber solución distinta de cero. Por lo tanto, cuando el conjunto de ecuaciones
€
Ax = 0 tiene una solución diferente de cero,
€
A debe ser singular.Supóngase que
€
y = Ax y
€
A es m x n (no cuadrada), es decir, que hay m ecuaciones en n variables, en donde m puede ser menor que, igual a, o mayor que n; entonces
€
r A( ) ≤ min m, n( ) .El siguiente resumen acerca de la solución de ecuaciones lineales simultáneas se aplica al caso general de m
ecuaciones en n variables, y también al caso especial de n ecuaciones en n variables. Si
€
r A y( ) = r A( ) , entonces todas las ecuaciones en el conjunto son lógicamente compatibles y hay por lo menos una solución.
Si
€
r A y( ) = r A( ) = n , hay una solución única.
Si
€
r A y( ) = r A( ) < n , hay un número infinito de soluciones y las filas (y columnas) de
€
A son linealmente dependientes.
Si
€
r A y( ) ≠ r A( ) , no son lógicamente compatibles las ecuaciones del conjunto y no hay solución.
EJEMPLOS
A. Considerar el siguiente conjunto de ecuaciones lineales simultáneas,
€
x +2y − z =10
2x + 4 y −2z = 5
x + y + z = 6
El determinante de la matriz
€
A de coeficientes es igual a cero
€
1 2 −12 4 −21 1 1
= 4 − 4 −2 − −4 −2 + 4( ) = 0
y el rango de la matriz no es 3, sino que es igual a 2, ya que, por ejemplo,
€
2 41 1
= 2 − 4 = −2 ≠ 0
La matriz aumentada
€
A Y[ ]
€
1 2 −1 102 4 −2 51 1 1 6
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
tiene rango 3 ya que, por ejemplo,
€
2 −1 104 −2 51 1 6
= −24 −5 + 40 − −20 +10 −24( ) = 45 ≠ 0
Por tanto,
€
r A( ) ≠ r A y( ) y el conjunto de ecuaciones no tiene solución, puesto que no todas son compatibles. Nótese que, por ejemplo, la primera y la segunda ecuaciones son claramente incompatibles.
B. Considerar el siguiente conjunto de ecuaciones lineales simultáneas:
€
x +2y − z =10
2x + 4y −2z = 20
x + y + z = 6
La matriz de los coeficientes es igual a la del ejemplo anterior, y su rango es 2. La matriz aumentada
€
A y( )
€
1 2 −1 102 4 −2 201 1 1 6
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
también es de rango 2, ya que
€
1 2 102 4 201 1 6
=1 −1 102 −2 201 1 6
=2 −1 104 −2 201 1 6
= 0
Por tanto,
€
r A( ) = r A y( ) = 2 ≠ n = 3 , puesto que n = 3, y el conjunto de ecuaciones tiene un número no finito de soluciones; las filas (y las columnas) de la matriz de coeficientes son linealmente dependientes. Nótese que la primera y la segunda ecuaciones son linealmente dependientes. C. Considerar el siguiente sistema o conjunto de ecuaciones lineales simultáneas,
€
x +2y − z =10
2x + 4 y −2z = 5
x + y + z = 6
El determinante de la matriz de coeficientes
€
A es diferente de cero.
€
1 2 −12 −4 −21 1 1
= −4 − 4 −2 − 4 −2 + 4( ) = −16
y el rango de la matriz es 3; el rango de la matriz aumentada es también igual a 3. Por lo tanto,
€
r A( ) = r A y( ) = 3 = n y el conjunto de ecuaciones tiene una solución única.
PROBLEMAS
Determinar el rango de cada una de las matrices siguientes:
€
1.1 20 1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 2.
1 2 3−1 0 1
0 4 8
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
3.1 −1 0
−1 2 30 1 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
4.1 −1 0
−1 1 02 −2 0
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
5.1 32 6
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
6.−2 1 4
0 −1 5−2 0 −9
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
7.3 1 −22 5 4
−4 3 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
8.−1 2 −3
2 −3 10 1 −5
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
9.
3 −1 0 2−2 1 5 −2
0 −4 6 −3−3 5 −6 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
10.
2 −1 3 0−3 3 4 24 −5 −11 −4
−1 2 7 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
Respuestas a los Problemas de Número Impar
€
1. rango 2 3. rango 3 5. rango1 7. rango 3 9. rango 3
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS
Hay varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales simultáneas que tiene solución única. Varios de estos métodos se tratan en esta sección. Si uno de los métodos se aplica a un conjunto de ecuaciones lineales que no tiene solución única, el método no puede terminar, indicando, por consiguiente, que no hay solución única.
Como se indicó antes, un conjunto de n ecuaciones lineales simultáneas en n incógnitas se puede escribir en forma matricial como
€
An×n Xn×1 = cn×1
y la solución obtenida por inversión de
€
A se puede denotar por
€
Xn×1 = An×n
−1 cn×1
De otra forma, el procedimiento estándar descrito previamente se puede usar para cambiar la disposición
€
A I c( )
a la forma
€
I A−1 x( )
el cual se puede obtener la solución directamente.
Un tercer método matricial para resolver ecuaciones lineales simultáneas está dado por la regla de Cramer:
La solución de
€
An×n Xn×1 = cn×1
se puede obtener como los cocientes de determinantes
€
x1 =
c1 a12 L a1n
c2 a22 L a2n
M M Mcn an 2 L ann
Ax2 =
a11 c1 L a1n
a21 c2 L a2n
M M Man1 cn L ann
Axn =
a11 a12 L c1
a21 a22 L c2
M M Man1 an 2 L cn
A
Para cada
€
xi , i =1,2,..., n , el denominador es el determinante de la matriz de los coeficientes, y el numerador es el determinante de la matriz de los coeficientes con la i-ésima columna reemplazada por la columna de los términos constantes del segundo miembro de las ecuaciones. Observemos que si no hay solución única para un conjunto de ecuaciones lineales,
€
A = 0 y estos cocientes no están definidos,
EJEMPLOS
A. Resolver el sistema de ecuaciones lineales simultáneas
€
3x1 + x2 − x3 = 2
x1 −2x2 + x3 = −9
4 x1 + 3x2 +2x3 =1
Aplicar el procedimiento normal a la disposición
€
A I c( )
para obtener
€
I A−1 x( )
Entonces la solución se puede obtener directamente de
€
I x( )
o bien, obtenerse como
€
x = A−1c
€
3 1 −1 1 0 0 21 −2 1 0 1 0 −94 3 2 0 0 1 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 −2 1 0 1 0 −93 1 −1 1 0 0 24 3 2 0 0 1 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 −2 1 0 1 0 −90 7 −4 1 −3 0 290 11 −2 0 −4 1 37
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
1 0 − 17
27
17 0 − 5
7
0 1 − 47
17 − 3
7 0 297
0 0 307 − 11
757 1 − 60
7
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 0 0 730
16
130 −1
0 1 0 − 115 − 1
32
15 30 0 1 − 11
3016
730 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Por tanto, leyendo directamente en la tabla
€
x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
−13
−2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
o usando la matriz inversa,
€
x = A−1c ,
€
x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
730
16
130
− 115 − 1
32
15
− 1130
16
730
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
2−9
1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
−13
−2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
En la práctica, se obtendría la solución a partir de
€
x = A−1c si y sólo si
€
A−1 se hubiera obtenido sin la tabla
€
I A−1 x( ) .
Por medio de la regla de Cramer.
€
A =3 1 −11 −2 14 3 2
= −12 + 4 − 3− 8 +9 +2( ) = −30
€
x1 =
2 1 −1−9 −2 1
1 3 2−30
=−8 +1+27 − 2 +6 −18( )
−30= 30
−30= −1
€
x2 =
3 2 −11 −9 14 1 2
−30=
−54 +8 −1− 36 + 3+ 4( )−30
= −90−30
= 3
€
x3 =
3 1 21 −2 −94 3 1
−30=
−6 − 36 +6 − −16 −81+1( )−30
= 60−30
= −2
B. Resolver el sistema de ecuaciones lineales simultáneas
€
x1 + x2 − x3 = 6
3x1 − 4 x2 +2x3 = −2
2x1 +5x2 + x3 = 0
Aplicando el procedimiento normal a la disposición
€
A I c( )
para obtener la tabla
€
I A−1 x( )
€
1 1 −1 1 0 0 63 −4 2 0 1 0 −22 5 1 0 0 1 0
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 1 −1 1 0 0 60 −7 5 −3 1 0 −200 3 3 −2 0 1 −12
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
1 0 − 27
47
17 0 22
7
0 1 − 57
37 − 1
7 0 207
0 0 367 − 23
737 1 − 144
7
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
1 0 0 718
16
118 2
0 1 0 − 136 − 1
12536 0
0 0 1 − 2336
112
736 −4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
De modo que leyendo directamente en la tabla,
€
x = A−1c
€
x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
20
−4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
o, haciendo uso de la matriz inversa,
€
x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
718
16
118
− 136 − 1
125
36
− 2336
112
736
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
6−2
0
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
20
−4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
Por la regla de Cramer.
€
A =1 1 −13 −4 22 5 1
= −4 + 4 −15 − 8 +10 + 3( ) = −36
€
x1 =
6 1 −1−2 −4 2
0 5 1−36
=−24 +0 +10 − 0 +60 −2( )
−36= −72
−36= 2
€
x2 =
1 6 −13 −2 22 0 1
−36=
−2 +24 +0 − 4 +0 +18( )−36
= 0
€
x3 =
1 1 63 −4 −22 5 0
−36=
0 − 4 +90 − −48 −10 +0( )−36
= 144−36
= −4
PROBLEMAS
Para cada uno de los siguientes conjuntos de ecuaciones lineales simultáneas, determine si hay una solución única y obtenga la solución si existe.
€
1. x +2y =1 2. x + y −2z = 5 3. x1 + x2 + x3 = 3 4. 3x − y + 2z = −2
3x +2y =1 2x − 4 y + 3z = 6 2x1 − x2 − x3 = 0 x + y + z = 5
3x − 3y + z =11 3x1 + 4 x2 + x3 = 8 2x −2y + z = 3
€
5. x −5y +6z = 7 6. x1 − 3x2 = −2 7. x1 − 4x2 = −1 8. x1 + x2 + x3 = 9
3x + 3y − z = 8 2x1 + 7x2 = 3 3x1 −2x2 − x3 = 0 3x1 +2x3 =17
2x +8y − 7z x1 + x3 = 3 x2 + x3 =10
€
9. 3x − y = 0 10. 3x1 − 4 x2 = −3 11. 4 x1 −5x2 − 7x3 =15 12. 5x1 −2x2 + x3 =12
2x + 4 y = −14 6x1 + x2 = 3 3x1 +2x2 −6x3 = 8 2x1 +2x2 − 3x3 = 7
x1 − 7x2 − x3 = 6 x1 −6x2 + 7x3 = −2
€
13. 2x1 + 3x2 + x3 = 0 14. x1 +5x2 − 4x3 = 0 15. 3x1 − 3x2 + 4x3 = −18 16. x1 + x2 +6x3 = −2
4 x1 −8x2 −6x3 = 2 3x1 − x2 + 4x3 = −4 4x1 − 4x2 + 4x3 = −24 3x1 +2x2 + x3 = 0
6x1 + x2 − x3 = 0 2x1 + 3x2 −8x3 = 0 2x1 −2x2 + 4 x3 = 6 2x1 + x2 +5x3 = 2
€
17. x1 +2x2 = 0 18. x1 + x2 + x3 = 4
x1 + x2 + x3 = 2 2x1 + 3x2 +2x3 = 5
2x1 +2x2 + 3x3 = 7 3x1 + 4 x2 − 3x3 = −3
Respuestas a los Problemas de Número Impar
€
1. x = 0, y = 12 3. x1 =1, x2 =1, x3 =1 5. linealmente dependientes, no hay solución única
7. x1 =1, x2 = 12 , x3 = 2 9. x = −1, y = −3 11. incompatibles, no hay solución
13. x1 = − 12 , x2 =1, x3 = −2 15. incompatibles, no hay solución 17. x1 = −2, x2 =1, x3 = 3
1.10 RAÍCES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA MATRIZ
Las raíces y vectores característicos de una matriz A de orden n x n se obtienen resolviendo la ecuación
€
Ax = λxpara determinar un
€
λ y un vector
€
x ≠ 0. El escalar
€
λ es una raíz característica de
€
A , y
€
x es un vector característico de
€
A . Asimismo, las raíces y los vectores característicos se conocen como raíces y vectores latentes, o bien, eigenvalores y eigenvectores.*
DETERMINACIÓN DE LAS RAÍCES CARÁCTERÍSTICAS
La ecuación
€
Ax = λx o A − λ I[ ]x = 0 tiene una solución no trivial,
€
x ≠ 0, si y sólo si
€
A − λ I[ ] es singular, es decir, sólo si
€
A − λ I = 0
este determinante es un polinomio de n-ésimo grado en
€
λ , y por lo tanto,
€
A tiene n raíces características,
€
λ1 , λ 2 ,..., λ n , que no necesariamente son distintas.
Consideremos la matriz general 2 x 2
€
A =a11 a12
a21 a22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
De ahí que,
€
Ax = λx o A − λ I[ ]x = 0 puede expresarse como
* N. del S. La partícula eigen utilizada como prefijo en estos términos significa propio o característico. Proviene del alemán y se pronuncia “aiguen”. De manera que la palabra híbrida eigenvalor se dice “aiguenvalor”.
€
a11 − λ( )x1 + a12x2 = 0 a21x1 + a22 − λ( )x2 = 0
que tiene un solución no trivial,
€
x ≠ 0, si y sólo si
€
A − λ I = 0 ; es decir,
€
a11 − λ a12
a21 a22 − λ= 0
a11 − λ( ) a22 − λ( )− a122 = 0
λ2 − a11 + a22( )λ + a11a22 − a12a21( ) = 0
cuya solución es
€
λ1 = 12 a11 + a22( )+ a11 + a22( )
2 − 4 a11a22 − a12a21( ) ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ λ 2 = 1
2 a11 + a22( )+ a11 + a22( )2 − 4 a11a22 − a12a21( )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Para el caso especial de una matriz simétrica
€
a12 = a21, la solución es
€
λ1 = 12 a11 + a22( )+ a11 + a22( )
2 − 4a122 ⎡
⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ λ 2 = 1
2 a11 + a22( )+ a11 + a22( )2 − 4a12
2 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Obsérvese que las raíces características de una matriz simétrica siempre son reales, ya que la expresión
€
a11 − a22( )2 + 4a12
2 siempre es no negativa.
EJEMPLO
Obtener las raíces características de la matriz
€
A =10 3
3 2 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
A es una matriz simétrica, y sus raíces características están dadas por
€
λ =12 a11 + a22( )
2 ± a11 − a22( )2 + 4a12
2 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ = 1
2 12 ± 64 + 36[ ] =11,1
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES CARACTERÍSTICAS
Estos elementos tienen las siguientes propiedades:
1. Las raíces características de una matriz simétrica real son reales.2. El producto de las raíces características de una matriz
€
A es igual
€
A ; es decir,
€
i=1n∏ λ i = A .
3. La suma de las raíces características de una matriz
€
A es igual a la traza* de
€
A ; esto es,
€
λ ii=1
n∑ = tr A( ) .
4. La raíces características de una matriz diagonal son sus elementos diagonales. Obsérvese que en el ejemplo
anterior
€
i=12∏ λ i =11 = A y λ ii=1
2∑ =12 = tr A( ) .
DETERMINACIÓN DE LOS VECTORES CARACTERÍSTICOS
Un vector característico,
€
xi se halla relacionado con cada raíz característica
€
λ i de
€
A , lo cual satisface el sistema homogéneo de ecuaciones
€
A − λ iI[ ]x i = 0
* N del R. La traza es la suma de los elementos de las diagonal principal.
Por definición de las raíces características,
€
A − λ I[ ] = 0 , y siempre existe una solución no trivial para
€
xi . No obstante, los elementos de
€
xi sólo se determinan con base en un factor de escala, dado que si
€
xi satisface a
€
A − λ iI[ ]x i = 0 , también lo hace
€
kxi en donde
€
k es una constante arbitraria. Los vectores característicos suelen normalizarse de manera que
€
′ x ix j = 1 para todo valor de
€
i .
EJEMPLO
En el caso de la matriz
€
A dada en el ejemplo anterior, las raíces características son
€
λ1 =11 y λ 2 =1. Los vectores característicos correspondientes se pueden obtener como sigue.
Para
€
λ1 = 11 ,
€
A − λ1I[ ]x1 =10 3
3 2 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥−
11 00 11 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
x11
x12
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥=
00 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
−x11 + 3x12 = 03x11 − 9x12 = 0
x11 = 3x12
Normalizando de modo que
€
′ x 1x1 = 1
€
x112 + x12
2 =1
9x122 + x12
2 =1
x12 = 110
x11 = 310
′ x 1 = 310
, 110
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Para
€
λ2 = 1,
€
A − λ I[ ]x2 =10 3
3 2 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥−
1 00 1 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
x21
x22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥=
00 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
9x21 + 3x22 = 03x21 + x22 = 0
x22 = −3x21
Al normalizar de modo que
€
′ x 2x2 = 1
€
x212 + x22
2 =1
x212 + x21
2 =1
x21 = 110
x22 = − 310
′ x 2 = 110
, −310
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Observemos que
€
′ x 1x2 = ′ x 2x1 = 0. Así pues,
€
x1 y
€
x2 son vectores ortogonales. Un conjunto de vectores ortogonales normalizados es un conjunto ortonormal. Como
€
x1 y
€
x2 están normalizados, constituyen un conjunto ortonormal.
PROPIEDADES DE LOS VECTORES CARACTERÍSTICOS
Estos elementos tienen las siguientes propiedades:1. Los vectores característicos de una matriz simétrica real son ortogonales.2. Si una raíz característica tiene multiplicidad
€
k , esto es, si es repetida
€
k veces, habrá
€
k vectores ortogonales correspondientes a esta raíz.
EJEMPLO
Determinar las raíces y los vectores característicos de la matriz
€
A =2 1 11 2 11 1 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
A fin de que los vectores característicos no sean triviales,
€
A − λ I[ ] = 0 ; esto es,
€
2 − λ 1 11 2 − λ 11 1 2 − λ
= 8 −12λ +6λ2 − λ3 +2 − 3 2 − λ( ) = 0
λ3 −6λ2 +9λ − 4 = 0
λ = 4 ,1,1
Para
€
λ =4 , el vector característico correspondiente es la solución de las ecuaciones lineales simultáneas.
€
A − λ I[ ]x1 = 0
€
−2 1 11 −2 11 1 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
x11
x12
x13
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
000
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
−2x11 + x12 + x13 = 0
x11 −2x12 + x13 = 0
x11 + x12 −2x13 = 0
de modo que
€
x11 = x12 = x13
Al normalizar de modo que
€
′ x 1x1 = 1,
€
x112 + x12
2 + x132 =1 x11 = x12 = x13 = 1
3y ′ x 1 = 1
3, 1
3, 1
3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Para
€
λ =1, el vector característico correspondiente es la solución de las ecuaciones lineales simultáneas,
€
A − λ I[ ]x2 = 0
1 1 11 1 11 1 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
x21
x22
x23
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥=
000
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
x21 + x22 + x23 = 0
cuya solución general es
€
a, b, − a − b[ ]
en donde pueden elegirse a y b para generar dos vectores característicos independientes lineales, ya que
€
λ =1 ocurre dos veces. Obsérvese que cualquier selección de a y b dará un vector ortogonal al primer vector característico (1, 1, 1).
Si se normalizan los vectores,
€
a2 + b2 + a2 +2ab + b2 =1 a2 + ab + b2 − 12
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟= 0
a =−b ± b2 − 4 b2 − 1
2 ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
2= −b ± 2 − 3b2
2
Si, por ejemplo, b = 0, entonces
€
a = ±2
2 y
€
′ x 2 =2
2, 0, −
22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
′ x 3 = −2
2, 0,
22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Obsérvese que las propiedades de raíces y vectores característicos señalados antes son satisfechas por las raíces características
€
λ1 = 4, λ 2 = λ 3 = 1 y los vectores característicos correspondientes
€
′ x 1 =13
,13
,13
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥, ′ x 2 =
22
, 0, −2
2 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥, ′ x 3 = −
22
, 0,2
2 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
λ i = 4 = Ai=1
3
∏ , dado que A = 8 +1+1− 2 +2 +2( ) = 4
λ i = 6 = tr a( )i=1
3
∏ , dado que tr A( ) = 2 +2 +2 = 6
′ x ix j =1 si i = j =1,2, 3
0 si i , j =1,2, 3 y i ≠ j
⎧ ⎨ ⎩
PROBLEMAS
Para cada una de las matrices siguientes, determine las raíces y los vectores característicos, y verifique que satisfagan las propiedades señaladas.
1.
€
1.5 −2
−2 2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 2.
4 33 4
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 3.
3 0 00 2 00 0 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
4.−1 0 0
0 −2 00 0 3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
5.1 2 22 1 22 2 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
6.10 44 4
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Respuestas a los Problemas de Número Impar
€
1. λ 1 = 6, λ 2 =1 ′ x 1 = −25
, 15
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ′ x 2 = 1
5, 2
5
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
3. λ 1 = 3, λ 2 = 2, λ 3 = −2 ′ x 1 = 1,0,0[ ] ′ x 2 = 0,1,0[ ] ′ x 3 = 0,0,1[ ]
€
5. λ 1 = 5, λ 2 = λ 3 = −1 ′ x 1 = 13
, 13
, 13
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ′ x 2 = 2
2,0,− 2
2
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ′ x 3 = − 2
2,0, 2
2
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1.11 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL
En algunos problemas de maximización y minimización, deben diferenciarse expresiones que contienen vectores y matrices. Las derivadas de las expresiones simples en que intervienen vectores y matrices, se pueden obtener directamente a partir de la definiciones. En esta sección se definirán las derivadas vectoriales de funciones lineales, formas cuadráticas y formas bilineales. No se analizarán explícitamente las derivadas vectoriales de segundo y mayor orden, pero pueden obtenerse por diferenciación sucesiva en la manera usual.
DIFERENCIACIÓN VECTORIAL DE UNA FUNCIÓN LINEAL
Una expresión de la forma
€
′ a x en donde
€
a es n x 1 y
€
x es n x 1 es una función lineal. En el caso de la función lineal
€
′ a x = a1 , a2 ,..., an[ ]
x1
x2
Mxn
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥= a1x1 + a2x2 +L + an xn
las derivadas parciales de
€
′ a x con respecto al escalar xi, i = 1, 2,…, n, son
€
∂ ′ a x( )∂x1
= a1 ,∂ ′ a x( )∂x2
= a2 , L ,∂ ′ a x( )∂xn
= an
esto es, las derivadas parciales son los elementos del vector
€
a . De modo que si las
€
n derivadas parciales se
ordenan como un vector
€
a , el proceso de diferenciación vectorial se define por
€
∂ ′ a x( )∂x
= a
en donde
€
∂ ′ a x( )∂x1
indica la operación de diferenciar
€
′ a x con respecto a los elementos del vector
€
x .
EJEMPLO
€
Si a =
2a−a3aa
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
y x =
x1
x2
x3
x4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥, entonces ′ a x = 2ax1 − ax2 + 3ax3 + ax4
y
€
∂∂x1
′ a x( ) = 2a ∂∂x2
′ a x( ) = −a ∂∂x3
′ a x( ) = 3a ∂∂x4
′ a x( ) = a
Por lo tanto,
€
∂∂x
′ a x( ) =
2a−a3aa
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥= a
DIFERENCIACIÓN VECTORIAL DE UN VECTOR DE FUNCIONES
Si y designa un vector columna n-dimensional, en el cual cada elemento es una función de los m elementos de x, es decir, si
€
y i = f i x1, x2,..., xm( ) i = 1,2,...,n
por consiguiente, cada yi puede diferenciarse parcialmente con respecto a cada xj, y tales derivadas parciales pueden ordenarse en un matriz m x n como sigue:
€
∂y∂x
=
∂y1
∂x1
∂y2
∂x1
L∂yn
∂x1∂y1
∂x2
∂y2
∂x2
L∂yn
∂x2M M M
∂y1
∂xm
∂y2
∂xm
L∂yn
∂xm
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
EJEMPLO
Si
€
y =x1
2 + 2x22 − 3x1x3
3x1x22 − x2
2 + 4x2x32
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
entonces
€
∂y∂x
=
2x1 − 3x3 3x22
4 x2 6x1x2 − 2x2 + 4x32
− 3x1 8x2x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
DIFERENCIACIÓN VECTORIAL DE UNA FORMA CUADRÁTICA
Una expresión de la forma
€
′ x Ax , en donde
€
A es una matriz simétrica n x n, recibe el nombre de forma cuadrática. La forma cuadrática
€
′ x Ax puede desarrollarse como sigue
€
′ x Ax = x1,x2,...,xn[ ]
a11 a12 ... a1n
a12 a22 ... a2n
M M Ma1n a2n ... ann
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
x1
x2
Mxn
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
= a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +L + 2a1n x1xn
+ a22x22 + 2a23x2x3 +L + 2a2n x2n
+ K .. .
. .+ ann xn
2
Tomando las derivadas parciales con respecto a los elementos de x,
€
∂∂x1
′ x Ax( ) = 2 a11x1 + a12x2 + a13x3 +L + a1n xn( )
∂∂x2
′ x Ax( ) = 2 a12x1 + a22x2 + a23x3 +L + a2n xn( )
M M∂
∂xn
′ x Ax( ) = 2 a1n x1 + a2n x2 + a3n x3 +L + ann xn( )
Además del factor 2, el segundo miembro de este conjunto de ecuaciones contiene los elementos de
€
Ax , que es un vector columna n-dimensional; en forma alternativa, el citado segundo miembro contiene los elementos de
€
′ x Ax , que es un vector fila n-dimensional. Así pues
€
∂∂x
′ x Ax( ) = 2Ax o bien ∂∂x
′ x Ax( ) = 2 ′ x A
En la práctica, la elección entre dos formas generalmente depende del contexto en el que ocurren la diferenciación, ya que las matrices sólo se pueden igualar si son del mismo orden; específicamente, un vector fila puede ser igual a otro vector fila que tenga el mismo número de elementos, pero no puede ser igual a un vector columna.
EJEMPLO
€
Si x =x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
y A =3 1 −21 0 3
−2 3 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥, entonces
′ x Ax = x1 , x2 , x3[ ]
3 1 −21 0 3
−2 3 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
= 3x1 + x2 −2x3 , x1 + 3x3 , −2x1 + 3x2 +2x3[ ]
x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
= 3x12 + x1x2 −2x1x3 + x1x2 + 3x2x3 −2x1x3 + 3x2x3 +2x3
2
= 3x12 +2x3
2 +2x1x2 − 4 x1x3 +6x2x3
y
€
∂∂x1
′ x Ax( ) = 6x1 +2x2 − 4x3∂
∂x2
′ x Ax( ) = 2x1 +6x3∂
∂x3
′ x Ax( ) = 4x3 − 4x1 +6x2
Por lo tanto,
€
∂∂x
′ x Ax( ) = 23x1 + x2 − 2x3
x1 + 3x3
−2x1 + 3x2 + 2x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= 2Ax
o bien,
€
∂∂x
′ x Ax( ) = 2 3x1 + x2 −2x3 , x1 + 3x3 , −2x1 + 3x2 +2x3[ ] = 2 ′ x A
DIFERENCIACIÓN VECTORIAL DE UNA FORMA BILINEAL
Una expresión de la forma
€
′ x Bz , en donde
€
′ x es 1 x m,
€
B es m x n y
€
z es n x 1, se denomina forma bilineal. Las derivadas siguientes para una forma bilineal pueden verificarse usando los procedimientos anteriores:
€
∂∂x
′ x Bz( ) = Bz ∂∂x
′ x Bz( ) = ′ B x
EJEMPLO
Si
€
x =x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
B =2b1 b1 + b2
b2 + 2b3 3b2
b1 + b3 4b32
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
z =z1
z2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
entonces
€
′ x Bz = x1 , x2 , x3[ ]
2b1 b1 + b2
b2 +2b3 3b2
b1 + b3 4b32
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
z1
z2
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
= 2b1x1 + b2x2 +2b3x2 + b1x3 + b3x3 , b1x1 + b2x1 + 3b2x2 + 4b32x3[ ]
z1
z2
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
= 2b1x1z1 + b2x2z1 +2b3x2z1 + b1x3z1 + b3x3z1 + b1x1z2
+ b2x1z2 + 3b2x2z2 + 4b32x3z2
y
€
∂∂x1
′ x Bz( ) = 2b1z1 + b1z2 + b2z2∂
∂x2
′ x Bz( ) = b2z1 +2b3z1 + 3b2z2∂
∂x3
′ x Bz( ) = b1z1 + b3z1 + 4b32z2
Así pues,
€
∂∂x
′ x Bz( ) =2b1z1 + b1z2 + b2z2
b2z1 + 2b3z1 + 3b2z2
b1z1 + b3z1 + 4b32z2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= Bz
y
€
∂∂z1
′ x Bz( ) = 2b1x1 + b2x2 +2b3x2 + b1x3 + b3x3∂
∂z2
′ x Bz( ) = b1x1 + b2x1 + 3b2x2 + 4b32x3
De ahí que
€
∂∂z
′ x Bz( ) =2b1x1 + b2x2 +2b3x2 + b1x3 + b3x3
b1x1 + b2x1 + 3b2x2 + 4b32x3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥=
2b1 b2 +2b3 b1 + b3
b1 + b2 3b2 4b32
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥= ′ B x
APLICACIONES DE LA DIFERENCIACIÓN VECTORIAL EN MAXIMIZACIÓN Y MINIMIZACIÓN
La diferenciación vectorial se emplea en la resolución de muchos problemas en los que interviene la maximización y la minimización. En particular, las deducciones de la mayor parte de los estimadores en el análisis multivariante, utilizan la diferenciación vectorial. Como ejemplo de estas aplicaciones, se estudia en esta sección cómo se obtienen los estimadores de regresión multivariante de mínimos cuadrados.
En el análisis de regresión multivariante, el modelo supone una relación lineal entre una variable predecible
€
y , y
€
k variables predictoras
€
x1 , x2 ,..., xk , y un término de aleatoriedad
€
u . En el caso de una muestra de
€
n observaciones sobre
€
y y las
€
x ,
€
yi = β 0 +β1x1i +β 2x2i +K +β k xk i + ui i =1,2,K , n
Las
€
n ecuaciones pueden representarse en la notación matricial como
€
y = x β + uen donde
€
y =
y1
y2
Myn
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
x =
1 x21 L xk1
1 x22 L xk2
M M1 x2n L xkn
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
β =
β1
β 2
Mβ n
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
u =
u1
u2
Mun
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
La intercepción
€
β0 está representada por la columna de unos en la matriz
€
x . Como resultado de la convención de denotar la observación i-ésima de la variable k-ésima por
€
Xk i , los subíndices de la matriz
€
x están al contrario de lo usual, donde se indica la fila por medio del primer subíndice, y la columna, por el segundo.El problema consiste en obtener estimaciones de las
€
β . Tales estimaciones suelen obtenerse con el criterio de los mínimos cuadrados. Supóngase que
€
ˆ β =
ˆ β 1ˆ β 2M
ˆ β k
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
denota un vector de estimaciones de
€
β . Por lo tanto,
€
y = x ˆ β +e en donde
€
e designa el vector columna de los
€
n errores de predicción
€
y − x ˆ β ( ) . El criterio de mínimos cuadrados requiere que se minimice la suma de los cuadrados de los errores de predicción.
€
ei2 = ′ e e = y − xˆ β ( )
′ y − xˆ β ( )i=1
n
∑ = ′ y y −2ˆ β ′ x y + ˆ ′ β ′ x x ˆ β
Observemos que
€
y − x ˆ β ( )′ = ′ y − ˆ ′ β ′ x y ˆ ′ β ′ x y es un escalar, y por tanto, es igual a su transpuesta
€
′ y x β . Para obtener las estimaciones
€
ˆ β que minimizan la suma de los cuadrados de los errores de predicción, derívese
€
′ e e con respecto a
€
ˆ β ,
€
∂∂ ˆ β
′ e e( ) = −2 ′ x y + ′ x x ˆ β + ˆ ′ β ′ x x( )′ = −2 ′ x y +2 ′ x x ˆ β
Si
€
∂∂ ˆ β
′ e e( ) = 0 ′ x x ˆ β = ′ x y y ˆ β = ′ x x( )−1 ′ x y
De otra forma,
€
∂∂ ˆ β
′ e e( ) = −2 ′ y x +2ˆ ′ β ′ x x
Si
€
∂∂ ˆ β
′ e e( ) = 0 ˆ ′ β ′ x x = ′ y x ⇒ ˆ ′ β = ′ y x ′ x x[ ]−1 y ˆ β = ′ x x[ ]
−1 ′ x y
es el vector de estimaciones por mínimos cuadrados para los coeficientes de regresión.
NOTA: Para demostrar que
€
ˆ β = ′ x x[ ]−1 ′ x y es una solución minimizante, debe considerarse la segunda
derivada:
€
∂2
∂ ˆ β 2′ e e[ ] = ∂
∂ ˆ β −2 ′ x y +2 ′ x x ˆ β [ ] = 2 ′ x x
Así pues la condición de segundo orden para la minimización que requiere que
€
′ x x sea definida y positiva, es decir, que
€
′ y ′ x x[ ] ′ y > 0 para toda
€
y > 0. En los ejemplos prácticos,
€
′ x x es definida y positiva.
EJEMPLO
Si
€
x =
1 −11 01 11 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
y =
53
−28
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
Obtener las estimaciones
€
ˆ β por mínimos cuadrados para la ecuación de regresión
€
y = x β + u
€
′ x x =1 1 1 1
−1 0 1 −2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
1 −11 01 11 −2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥=
4 −2−2 6
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ′ x x = 24 − 4 = 20 ′ x x[ ]
−1 =3
101
101
1015
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
y
€
ˆ β = ′ x x[ ]−1 ′ x y =
310
110
110
15
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1 1 1 1−1 0 1 −2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
53
−28
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥=
1910
− 165
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
Así pues, la ecuación de regresión estimada es
€
ˆ y = 1910 − 16
5 x .
PROBLEMAS
€
1. Si b =3
−21
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
y x =x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥, det er min e ∂
∂x′ b x[ ] .
€
2. Si c =
−c02c−3c
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
y y =
y1
y2
y3
y4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥, det er min e ∂
∂y′ c y[ ] .
€
3. Si c =
c2 +13c
4c −5c 3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
y x =
x1
x2
x3
x4
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥, obtenga ∂
∂x′ c x[ ] .
€
4. Si y =2x1
2 − 3x2x3
x1 − 4x1x2x3
x12 −2x2 + x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥, encuentre ∂y
∂x.
€
5. Si y =
x12 − 3x2
2x1x2 − x2
2x1 + x1x2 − 3x22
3x12 − x1
2x2 − x23
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥, obtenga ∂y
∂x.
€
6. Si x =x1
x2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥, B = 3+ b1 b1 +2b2 4b2
2
b22 4b1 b1b2
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ y y =
y1
y2
y3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥,
encuentre ∂∂x
′ x By[ ] y ∂∂y
′ x By[ ].
€
7. Si x =x1
x2
x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥, A =
3 0 −12 1 4
−1 0 3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
y y =y1
y2
y3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥,
obtenga ∂∂x
′ x Ay[ ] y ∂∂y
′ x Ay[ ].
€
8. Si x =1 −11 11 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
y y =−3
511
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥,
det er min e la estimación ˆ β por mínimos cuadrados para la ecuación de regresión v = x β + u.
Respuestas a los Problemas de Número Impar
€
1.3
−21
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
3.
c 2 +13c
4c −5c 3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
5.2x1 2x2 2 + x2 6x1 −2x1x2
3 2x1 −1 x1 −6x2 −x1 − 3x22
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ 7.
2y1 − y3
2y1 + y2 + 4y3
−y1 + 3y3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥,
3x1 +2x2 − x3
x2
−x1 + 4x2 + 3x3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
