Algebra Moderna.- Notas de Carlos Jacob Rubio Barios

Algebra Moderna I y II

Notas de Curso

Prof. Carlos J. Rubio Barrios

Agosto 2010 - Mayo 2011

Carlos Jacob Rubio Barrios

Facultad de Matematicas,Universidad Autonoma de Yucatan.

Indice general

1. Teorıa de Grupos 1

1.1. Semigrupos, monoides y grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Clases laterales y el Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 141.4.1. Sobre los grupos de orden 2p con p primo impar . . . . . . . 191.4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6. Normalidad y grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7. Los teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.8. Acciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.9. Los Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2. Teorıa de Anillos 49

2.1. Anillos y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2. Homomorfismos de anillos y anillo cociente . . . . . . . . . . . . . 532.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3. Ideales primos y maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.4. Producto directo de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5. Factorizacion en anillos conmutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.1. Maximo comun divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6. Anillo de cocientes y localizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

iii

2.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.7. Factorizacion en el anillo de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.7.1. Criterios de irreducibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.8. Extensiones de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.9. Campo de descomposicion y cerradura algebraica . . . . . . . . . . 1132.9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Algebra Moderna I y II Prof. Carlos J. Rubio Barrios

Capıtulo 1

Teorıa de Grupos

1.1. Semigrupos, monoides y grupos

Si G es un conjunto no vacıo, una operacion binaria sobre G es una funcion

G×G→ G.

Un conjunto puede tener varias operaciones binarias definidas en el. Por ejemplo,en el conjunto de los enteros Z, las operaciones usuales de suma y multiplicaciondadas por

(a, b) 7→ a+ b,

(a, b) 7→ ab,

son operaciones binarias.

Definicion 1.1.1.

1. Un semigrupo es un conjunto G 6= ∅ junto con una operacion binaria sobreG que es asociativa, es decir, a(bc) = (ab)c para todo a, b, c ∈ G.

2. Un monoide es un semigrupo que contiene un elemento identidad bilaterale ∈ G tal que ae = ea = a para todo a ∈ G.

3. Un grupo es un monoide G tal que para todo a ∈ G existe un elementoinverso bilateral a−1 ∈ G tal que a−1a = aa−1 = e.

4. Un semigrupo G se dice abeliano o conmutativo si su operacion binaria esconmutativa, es decir, ab = ba para todo a, b ∈ G.

5. El orden de un grupo G, es el numero cardinal |G|. G se dice finito (infinito)si |G| es finito (infinito).

Ejemplos 1.1.2. 1. Z con la suma usual es un grupo abeliano.

1

2. Q con la suma usual es un grupo abeliano.

3. Q− {0} con el producto usual es un grupo abeliano.

4. R+ con el producto usual es un grupo abeliano.

5. El conjuntoEn = {zkn|k = 0, 1, . . . , n− 1}

donde zn es el numero complejo cos(2πn ) + i sen(2πn ), con el producto usualde numeros complejos, zrnz

sn = zr+sn , es un grupo abeliano finito.

6. El conjunto

G = {Ta,b : R→ R|Ta,b(r) = ar + b, a, b ∈ R, a 6= 0}

con la composicion de funciones, es un grupo no abeliano.

7. Z con el producto usual no es un grupo.

8. Si S 6= ∅, definimos el conjuntoA(S) = {f : S → S|f es biyectiva}. EntoncesA(S) es un grupo con la composicion de funciones. (Los elementos de A(S)se llaman permutaciones y A(S) es el grupo de permutaciones en el conjuntoS. Si S = {1, 2, . . . , n}, entonces A(S) se llama grupo simetrico de grado ny se denota por Sn).

9. El grupo Sn es un grupo no abeliano para n ≥ 3.

Teorema 1.1.3. Si G es un monoide, entonces el elemento identidad e es unico.Si G es un grupo, entonces

1. c ∈ G y cc = c⇒ c = e;

2. para todo a, b, c ∈ G, ab = ac ⇒ b = c y ba = ca ⇒ b = c (cancelacionizquierda y derecha);

3. para cada a ∈ G, el elemento inverso a−1 es unico;

4. para cada a ∈ G, (a−1)−1 = a;

5. para a, b ∈ G, (ab)−1 = b−1a−1.

6. para a, b ∈ G, las ecuaciones ax = b, ya = b tienen soluciones unicas en G:x = a−1b, y = ba−1.

Demostracion. Si e′ tambien es un elemento identidad bilateral, entonces e = ee′ =e′.

1. Si cc = c, entonces c−1(cc) = c−1c⇔ (c−1c)c = e⇔ ec = e⇔ c = e.

2. Si ab = ac, entonces a−1(ab) = a−1(ac) ⇔ (a−1a)b = (a−1a)c ⇔ eb =ec ⇔ b = c. Analogamente, si ba = ca, entonces (ba)a−1 = (ca)a−1 ⇔b(aa−1) = c(aa−1)⇔ be = ce⇔ b = c.


3. Si b ∈ G es tal que ab = ba = e, entonces a−1 = a−1e = a−1(ab) =(a−1a)b = eb = b.

4. Ya que aa−1 = a−1a = e, por la unicidad del inverso se sigue que (a−1)−1 =a.

5. (ab)(b−1a−1) = a(bb−1)a−1 = (ae)a−1 = aa−1 = e⇒ (ab)−1 = b−1a−1.

6. ax = b ⇒ a−1(ax) = a−1b ⇒ (a−1a)x = a−1b ⇒ x = a−1b y ya = b ⇒(ya)a−1 = ba−1 ⇒ y(aa−1) = ba−1 ⇒ y = ba−1.

Dados un semigrupo G, a ∈ G y n ∈ Z+, definimos an = aa · · · a︸︷︷︸

n

, a−n = (a−1)n

y a0 = e. Note que las reglas usuales de los exponentes se cumplen, es decir,(am)n = amn y aman = am+n para cualesquiera enteros m y n.

Ejercicio. Sea G un grupo y sean a, b ∈ G tales que a2 = e y ab2 = b3a. Demuestreque b5 = e.

Los axiomas usados en la definicion de grupo se pueden debilitar considerablemente.

Proposicion 1.1.4. Sea G un semigrupo. Entonces G es un grupo si y solo si secumplen las siguientes condiciones

1. Existe un elemento e ∈ G tal que ea = a para todo a ∈ G (elemento identidadizquierdo).

2. Para cada a ∈ G, existe un elemento a−1 ∈ G tal que a−1a = e (inversoizquierdo).

Un resultado analogo se cumple para inversos derechos e identidad derecha.

Demostracion. (⇒) : Se sigue de la definicion de grupo.(⇐) : G 6= ∅ ya que e ∈ G. Para cada a ∈ G tenemos de la asociatividad en G yde las condiciones 1 y 2,

(aa−1)(aa−1) = a(a−1a)a−1 = a(ea−1) = aa−1.

Como aa−1 ∈ G, segun la condicion 2 existe un inverso izquierdo de aa−1. Mul-tiplicando ambos lados de la igualdad anterior por dicho inverso izquierdo se sigueque aa−1 = e.Finalmente, usando la asociatividad en G, lo demostrado anteriormente, y las con-diciones 1 y 2 se sigue que ae = a(a−1a) = (aa−1)a = ea = a para cada a ∈ G.Por lo tanto, G es un grupo.


1.1.1. Ejercicios

1. Demuestre que el conjunto R − {−1} con la operacion binaria ⋆ dada pora ⋆ b = a+ b + ab es un grupo.

2. En el grupo G definido en el Ejemplo 6, considere el subconjunto

H = {Ta,b ∈ G|a ∈ Q, b ∈ R}.

Demuestre que H es un grupo con la misma operacion de G y es no abeliano.

3. Sea G un grupo en el cual a2 = e para todo a ∈ G. Demuestre que G esabeliano.

4. Sea G un grupo finito de orden par. Demuestre que hay un elemento a ∈ G,a 6= e, tal que a2 = e.

5. Si G es un grupo finito, demuestre que para cada a ∈ G, existe un enteropositivo n, dependiente de a, tal que an = e.

6. Con referencia al problema anterior, demuestre que existe un entero m > 0tal que am = e para todo a ∈ G.

7. Sea G un semigrupo. Demuestre que G es un grupo si y solo si para todoa, b ∈ G, las ecuaciones ax = b, ya = b tienen soluciones en G.

8. Sean S = {(x, y)|x, y ∈ R} el plano, f ∈ A(S) definida por f(x, y) = (−x, y)(reflexion alrededor del eje y) y g ∈ A(S) la rotacion del plano alrededor delorigen por un angulo de 2π

n en sentido contrario a las manecillas del reloj(n > 2). Considere el conjunto

G = {f igj |i = 0, 1; j = 0, 1, 2, . . . , n− 1}

con la misma operacion de A(S) (ver Ejemplo 8).

a) Demuestre que f2 = gn = 1S donde 1S es el mapeo identidad en A(S).

b) Demuestre que fg = g−1f

c) Encuentre una formula para (f igj)(f sgt) en la forma fagb que expresea y b en terminos de i, j, s y t.

d) Demuestre que G es un grupo no abeliano de orden 2n.

9. En S3, demuestre que hay 4 elementos x tales que x2 = e y 3 elementos ytales que y3 = e.

10. Demuestre que |Sn| = n!.

11. Sea G un conjunto finito no vacıo con una operacion binaria asociativa talque para todo a, b ∈ G, ab = ac⇒ b = c y ba = ca⇒ b = c.

a) Demuestre que G es un grupo.


b) Demuestre que la conclusion del inciso anterior puede ser falsa si G esinfinito.

12. Demuestre que la proposicion 1.1.4 es falsa si se reemplazan las condiciones1 y 2 por las siguientes.

1’. Existe un elemento e ∈ G tal que ea = a para todo a ∈ G (elementoidentidad izquierdo).

2’. Para cada a ∈ G, existe un elemento a−1 ∈ G tal que aa−1 = e (inversoderecho).

13. Si G es un grupo en el cual (ab)n = (anbn) para tres enteros consecutivos ny para todo a, b ∈ G, demuestre que G es abeliano.

14. Demuestre que el resultado del problema anterior es falso si se reemplaza lapalabra “tres”por la palabra “dos”. En otras palabras, demuestre que existeun grupo G y dos enteros consecutivos n, n+ 1, tales que G no es abelianopero se cumple que (ab)n = anbn y (ab)n+1 = an+1bn+1 para todo a, b ∈ G.

15. Sea G un grupo en el cual (ab)3 = a3b3 y (ab)5 = a5b5 para todo a, b ∈ G.Demuestre que G es abeliano.

1.2. Subgrupos

Definicion 1.2.1. Un subconjunto no vacıo H de un grupo G, es un subgrupo deG, si H con la misma operacion de G es un grupo.Escribiremos H < G para indicar que H es un subgrupo del grupo G.

Hacemos notar que es claro que si H es un subgrupo de G, y K es un subgrupo deH , entonces K es un subgrupo de G.Observe que cada grupo G tiene dos subgrupos triviales: G y {e}. Nuestro interesestara en los subgrupos restantes, llamados subgrupos propios de G.

Serıa util tener algun criterio para decidir si un subconjunto dado de un grupo esun subgrupo.

Teorema 1.2.2 (Criterio de subgrupo). Un subconjunto no vacıo H de un grupoG es un subgrupo de G si y solo si se cumplen las siguientes condiciones.

1. ab ∈ H para todo a, b ∈ H (cerradura de H respecto a la operacion de G);

2. a−1 ∈ H para todo a ∈ H .

Demostracion. (⇒) : Trivial.(⇐) : Para demostrar que H < G basta probar que e ∈ H y que la ley asociativa severifica para los elementos de H . Como la ley asociativa es valida para G, es claroque tambien es valida paraH que es un subconjunto de G. Ahora, si a ∈ H entoncessegun la condicion 2, a−1 ∈ H , y por la condicion 1 tenemos que e = aa−1 ∈ H .


En el caso especial de un grupo finito, la situacion se hace aun mas sencilla, puesen tal caso podemos prescindir de la condicion 2.

Corolario 1.2.3. Si H es un subconjunto finito no vacıo de un grupo G, y H escerrado respecto a la operacion de G, entonces H < G.

Demostracion. De acuerdo con el criterio de subgrupo, basta demostrar que a−1 ∈H para todo a ∈ H . Sea a ∈ H . Si a = e, entonces a−1 = e ∈ H . Supongamosentonces que a 6= e y consideremos los elementos

a, a2, . . . , an+1,

donde |H | = n. Como H es cerrado, todos estos elementos estan en H que tiene nelementos. Luego, hay dos elementos de lista que son iguales, digamos que ai = aj

para algunos 1 ≤ i < j ≤ n + 1. Por la cancelacion en G tenemos que aj−i = e.Como j − i ≥ 1, tenemos que aj−i ∈ H y por lo tanto e ∈ H . Por otra parte,j − i − 1 ≥ 0 de modo que aj−i−1 ∈ H y de aquı aaj−i−1 = aj−i = e. Luego,a−1 = aj−i−1 ∈ H .

Ejemplos 1.2.4.

1. Para cada n ∈ Z sea nZ = {nk|k ∈ Z} el conjunto de los enteros multiplosde n. Entonces nZ es subgrupo de Z con la suma usual.

2. Considere el grupo C× = C − {0} con la multiplicacion usual de complejos.El conjunto

U = {a ∈ C×|a = cosx+ i senx, x ∈ R}es un subgrupo de C×.

3. SeanGL(n,R) = {A ∈ Rn×n| det(A) 6= 0}

ySL(n,R) = {A ∈ GL(n,R)| det(A) = 1}.

Entonces, GL(n,R) es un grupo con la multiplicacion usual de matrices ySL(n,R) < GL(n,R).(GL(n,R) es el grupo lineal general de grado n sobre R, y SL(n,R) es elgrupo lineal especial de grado n sobre R).

4. Considere el conjunto de 8 elementosQ8 = {±1,±i,±j,±k} con un productobasado en las reglas: q1 = q = 1q para todo q ∈ Q8, i

2 = j2 = k2 = −1,ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k, kj = −i y ik = −j. Entonces Q8 es ungrupo no abeliano.

5. Sea S un subconjunto no vacıo y sea G = A(S). Para cada a ∈ S, el conjunto

H(a) = {f ∈ A(S)|f(a) = a}

es un subgrupo de G.


6. Sea G un grupo. Para cada a ∈ G, el conjunto

C(a) = {g ∈ G|ga = ag}

es un subgrupo de G, llamado el centralizador de a en G.

7. Sea G un grupo. El conjunto

Z(G) = {x ∈ G|zx = xz ∀z ∈ G}

es un subgrupo de G, llamado el centro de G.

8. Si G es un grupo y H < G, entonces para cada a ∈ G el conjunto

a−1Ha = {a−1ha|h ∈ H}

es un subgrupo de G.

9. Sea G un grupo y sean H,K subgrupos de G. Considere el conjunto

HK = {ab|h ∈ H, k ∈ K}.

Si G es abeliano, entonces HK es un subgrupo de G.

10. Si G es un grupo y {Hi|i ∈ I} es una familia de subgrupos de G, entonces⋂

i∈I Hi es un subgrupo de G.

Concluimos esta seccion con una caracterizacion que nos dice cuando el productode dos subgrupos de un grupo dado, es subgrupo.

Teorema 1.2.5. SeanH yK subgrupos de un grupoG. Entonces,HK es subgrupode G si y solo si HK = KH .

Demostracion. (⇒) : Supongamos que HK < G. Es claro que K < HK y H <HK. Luego, KH ⊂ (HK)(HK) ⊂ HK (pues HK < G). Ahora, si hk ∈ HKentonces existe a ∈ HK tal que hk = a−1. Sea a = h1k1. Luego, hk = (h1k1)

−1 =k−11 h−1

1 ∈ KH y de aquı, HK ⊂ KH .(⇐) : Supongamos que HK = KH . Segun el Lema 1.2.2 basta demostrar que HKes cerrado y contiene a los inversos de sus elementos. Sean a, b ∈ HK. Entonces,a = h1k1 y b = h2k2 con h1, h2 ∈ H y k1, k2 ∈ K. Luego, ab = (h1k1)(h2k2) =h1(k1h2)k2. Como k1h2 ∈ KH = HK, existen h3 ∈ H y k3 ∈ K tales quek1h2 = h3k3. Luego, ab = h1(h3k3)k2 = (h1h3)(k3k2) ∈ HK. Por otra parte,como a−1 = (h1k1)

−1 = k−11 h−1

1 ∈ KH = HK, existen h4 ∈ H y k4 ∈ K talesque k−1

1 h−11 = h4k4. Luego, a

−1 ∈ HK.


1.2.1. Ejercicios

1. Si C(a) es el centralizador de a en G, demuestre que Z(G) =⋂

a∈GC(a).

2. Demuestre que a ∈ Z(G) si y solo si C(a) = G.

3. Determine C(a) para cada a ∈ S3.

4. Si G es un grupo abeliano y H = {a ∈ G|a2 = e}, demuestre que H < G.

5. Determine todos los subgrupos del grupo Q8 del Ejemplo 4. ¿Cual es el centrode este grupo?

6. Si G es un grupo y a, x ∈ G, demuestre que C(x−1ax) = x−1C(a)x.

7. Si S es un conjunto no vacıo y X ⊂ S, demuestre que el conjunto

T (X) = {f ∈ A(S)|f(X) ⊂ X}

es un subgrupo de A(S) si X es finito.

8. Con referencia al problema anterior, de un ejemplo de un conjunto S y unsubconjunto infinito X ⊂ S tal que T (X) no sea subgrupo de A(S).

9. De un ejemplo de un grupo G y dos subgrupos H , K de G tales que HK nosea subgrupo de G.

10. Determine el centro del grupo Sn.

11. Determine el centro del grupo GL(2,R).

1.3. Grupos cıclicos

Si G es un grupo y a ∈ G, es facil probar que el conjunto

〈a〉 = {an|n ∈ Z}

es un subgrupo de G y es el menor subgrupo de G que contiene al elemento a, esdecir, si K es un subgrupo de G y a ∈ K, entonces 〈a〉 ⊂ K.

Definicion 1.3.1. Sean G un grupo y a ∈ G. Al subgrupo 〈a〉 de G se le llamasubgrupo cıclico de G generado por a. Se dice que G es un grupo cıclico si G = 〈a〉para algun a ∈ G, y en este caso se dice que a es un generador de G.

Ejemplos 1.3.2. 1. Z es un grupo cıclico, pues Z = 〈1〉 = 〈−1〉.

2. Para cada entero n, el grupo nZ = {nk|k ∈ Z} con la suma usual de Z esun grupo cıclico, pues nZ = 〈n〉.


3. Sn no es cıclico para todo n ≥ 3.

4. Q con la suma usual no es cıclico.

5. Q+ con el producto usual no es cıclico.

Proposicion 1.3.3. Zn es un grupo cıclico con la suma de enteros modulo n.

Demostracion. Claramente Zn = 〈1〉.Luego, basta demostrar que Zn es un grupo. La asociatividad es el unico axioma notrivial. Denotemos con +n a la suma de enteros modulo n y con + a la suma usualde enteros. Sean a, b, c ∈ Zn. Debemos demostrar que a+n (b+n c) = (a+n b)+n c.Por el algoritmo de la division en Z tenemos que existen unicos enteros q1, q2, r1, r2tales que b + c = nq1 + r1 y a + b = nq2 + r2 donde 0 ≤ r1 < n y 0 ≤ r2 < n.Luego, b +n c = r1 y a +n b = r2. Aplicando ahora el algoritmo de la division alos enteros a + r1 y r2 + c, tenemos que existen unicos enteros q3, q4, r3, r4 talesque a+ (b +n c) = a + r1 = nq3 + r3 y (a +n b) + c = r2 + c = nq4 + r4 donde0 ≤ r3 < n y 0 ≤ r4 < n. Luego, a +n (b +n c) = r3 y (a +n b) +n c = r4. Laasociatividad de +n quedara demostrada si demostramos que r3 = r4. En efecto,en Z tenemos que a+ (b + c) = (a+ b) + c, donde

a+ (b + c) = a+ nq1 + r1 = nq3 + r3 + nq1 = n(q1 + q3) + r3

y(a+ b) + c = nq2 + r2 + c = nq2 + nq4 + r4 = n(q2 + q4) + r4.

Aplicando la unicidad en el algoritmo de la division en Z se sigue inmediatamenteque r3 = r4.Los otros axiomas se dejan de ejercicio.

Teorema 1.3.4. Cada subgrupo de un grupo cıclico es cıclico.

Demostracion. Sea G = 〈a〉 y sea H < G. Si H = {e}, entonces H = 〈e〉 y ası Hes cıclico. Supongamos que H 6= {e}. Entonces, existe am ∈ H tal que am 6= e.Como H es subgrupo, a−m ∈ H . Luego, alguno de m o −m es positivo. Sea nel menor entero positivo tal que an ∈ H . Demostraremos que H = 〈an〉. Es claroque 〈an〉 ⊂ H por definicion de 〈an〉. Recıprocamente, sea b ∈ H < 〈a〉. Entonces,b = as para algun s ∈ Z. Por el algoritmo de la division en Z, existen enteros q y rtales que s = nq + r con 0 ≤ r < n. Entonces:

as = anq+r = anqar = (an)qar.

Como H es subgrupo y as, an ∈ H , se sigue que ar = as−nq ∈ H . Por la mi-nimalidad de n no puede suceder que 0 < r < n. Por lo tanto, r = 0 y deaquı b = (an)q ∈ 〈an〉. Ası, H ⊂ 〈an〉.

Es importante hacer notar que el recıproco del teorema anterior es falso. Es decir,existen grupos que no son cıclicos que tienen todos sus subgrupos propios cıclicos.(Vease el Ejercicio 4).


Corolario 1.3.5. Los subgrupos de Z con la suma usual, son precisamente losgrupos nZ con la suma usual para n ∈ Z.

Demostracion. Sea H un subgrupo del grupo cıclico Z. Por el teorema anterior,tenemos que H es cıclico. Luego, H = 〈n〉 para algun n ∈ Z. Pero 〈n〉 = nZ.Luego, los unicos subgrupos de Z con la suma usual son los nZ con n ∈ Z.

Definicion 1.3.6. Sea G un grupo y sea a ∈ G. Definimos el orden de a como elorden del subgrupo cıclico 〈a〉. Denotaremos el orden de a por o(a) o |a|.Teorema 1.3.7. Sea G un grupo y sea a ∈ G. Si a tiene orden finito m > 0,entonces:

1. 〈a〉 = {e, a, a2, . . . , am−1} y m es el menor entero positivo tal que am = e.

2. ak = e⇔ m|k.

3. ar = as ⇔ r ≡ s (mod m).

4. Para cada entero k 6= 0, |ak| = m(m,k) . En particular, si k > 0 y k|m, entonces

|ak| = mk .

Si a tiene orden infinito, entonces:

1. ak = e⇔ k = 0.

2. Los elementos ak, con k ∈ Z, son todos distintos.

Demostracion. Supongamos que a tiene orden finito m > 0.

1. Sabemos que los elementos de 〈a〉 son de la forma an para diversos enterosn. Como |a| = |〈a〉| es finito, no todos los elementos an pueden ser distintos.Luego, existen enteros r y s, con r < s, tales que ar = as. De aquı queas−r = e con s − r > 0. Sea m′ el menor entero positivo tal que am

′

= e.Demostraremos que:

〈a〉 = {e, a, a2, . . . , am′−1}.

Claramente, {e, a, a2, . . . , am′−1} ⊂ 〈a〉. Recıprocamente, sea b ∈ 〈a〉. En-tonces, b = an para algun n ∈ Z. Por el algoritmo de la division en Z,existen enteros q y r tales que n = m′q + r con 0 ≤ r < m′. Luego,b = an = (am

′

)qar = eqar = ar, de donde b ∈ {e, a, a2, . . . , am′−1}. Ası,〈a〉 ⊂ {e, a, a2, . . . , am′−1}. Por lo tanto, 〈a〉 = {e, a, a2, . . . , am′−1}. Como|〈a〉| = m, se sigue que m = m′.

2. Supongamos que ak = e. Por el algoritmo de la division en Z, existen enterosq y r tales que k = mq + r con 0 ≤ r < m. Luego, e = ak = (am)qar = ar

ya que am = e segun el punto anterior. Como m es el menor entero positivotal que am = e, se debe tener que r = 0. Por lo tanto, k = mq y m|k.Recıprocamente, si m|k, entonces k = mq para algun q ∈ Z. Luego, ak =(am)q = eq = e.


3. Por el punto anterior, tenemos que ar = as ⇔ ar−s = e⇔ m|r− s, es decir,ar = as ⇔ r ≡ s (mod m).

4. Sea y = ak con (m, k) = d. Entonces, m = db, k = dc con (b, c) = 1. Bastademostrar que |y| = b.Observemos que

yb = akb = adcb = (adb)c = (am)c = ec = e.

Luego, segun el punto 2, tenemos que |y||b. Sea r = |y|. Entonces, akr =yr = e, y nuevamente por el punto 2 tenemos que m|kr. Es decir, db|dcr dedonde b|cr. Como (b, c) = 1, se sigue que b|r. Ası, hemos demostrado que|y||b y b||y|, de modo que b = |y| (pues b y |y| son enteros positivos).

Supongamos que |a| es infinito.

1. Es claro que si k = 0, entonces ak = e. Recıprocamente, si ak = e, entoncescomo |a| = ∞, ninguna potencia positiva de a es e y ninguna potencianegativa de a es e. Luego, k = 0.

2. Debemos probar que ak 6= ak′

para cualesquiera enteros distintos k y k′.Supongamos que ak = ak

′

para algunos enteros k y k′, con k < k′. Entonces,ak

′−k = e y k′ − k > 0, lo que contradice el punto anterior.

Corolario 1.3.8. Sea G un grupo cıclico finito de orden n y sea a ∈ G un generador.Entonces, G = 〈ak〉 si y solo si (n, k) = 1. En particular, el numero de generadoresde G es igual a ϕ(n), donde ϕ es la funcion de Euler.

Demostracion. Sea G = 〈a〉 tal que |G| = n <∞. Observemos primero que:

G = 〈ak〉 ⇔ |〈ak〉| = n.

En efecto, es claro que si G = 〈ak〉 entonces n = |G| = |〈ak〉|. Recıprocamente,supongamos que |〈ak〉| = n. Como 〈ak〉 ⊂ 〈a〉 = G, necesariamente G = 〈ak〉.Tenemos entonces que:

G = 〈a〉 = 〈ak〉 ⇔ |〈a〉| = |〈ak〉|⇔ |a| = |ak| (por definicion de orden de un elemento)

⇔ n =n

(n, k)(por el teorema anterior)

⇔ (n, k) = 1.

Finalmente, ya que G = 〈a〉 = {e, a, a2, . . . , an−1} por el teorema anterior, yak ∈ G, se sigue que el numero de generadores de G es ϕ(n).

Es claro que un grupo finito no puede tener un numero infinito de subgrupos.Demostraremos que el recıproco tambien es verdadero.


Corolario 1.3.9. Un grupo que tiene solo un numero finito de subgrupos debe serfinito.

Demostracion. Demostraremos de manera equivalente que si G es un grupo infinito,entonces G tiene un numero infinito de subgrupos.Consideremos dos casos.

1. G tiene un elemento de orden infinito. Sea a dicho elemento. Entonces, porel teorema anterior, los subgrupos

〈a〉, 〈a2〉, 〈a3〉, . . . , 〈an〉, . . .

son todos distintos, y ası tenemos un numero infinito de subgrupos.

2. Cada elemento de G tiene orden finito. Consideremos a los subgrupos cıcli-cos generados por los elementos de G. Demostraremos que hay un numeroinfinito de ellos. En efecto, supongamos que hay un numero finito, digamos〈a1〉, 〈a2〉, . . . , 〈an〉. Ya que |〈ai〉| = |ai| < ∞, tenemos que

⋃ni=1〈ai〉 es un

conjunto finito. Como G es infinito, existe b ∈ G tal que b 6∈ ⋃ni=1〈ai〉. Esdecir, b 6∈ 〈ai〉 para todo i = 1, 2, . . . , n, y por lo tanto, el subgrupo 〈b〉es distinto de cada uno de los subgrupos 〈a1〉, 〈a2〉, . . . , 〈an〉, lo cual es unacontradiccion.

Definicion 1.3.10. Sean G un grupo y X ⊂ G. Sea {Hi|i ∈ I} la familia de todoslos subgrupos de G que contienen a X . Entonces, el subgrupo

⋂

i∈I Hi se llamasubgrupo de G generado por X y se denota por 〈X〉.Los elementos de X son los generadores del grupo 〈X〉. Si X = {a1, . . . , an},escribimos 〈a1, . . . , an〉 en lugar de 〈X〉. Si G = 〈a1, . . . , an〉 con ai ∈ G, decimosque G es finitamente generado.

Teorema 1.3.11. Si G es un grupo y X es un subconjunto no vacıo de G, entoncesel subgrupo 〈X〉 consiste de todos los productos finitos:

an1

1 an2

2 · · ·ant

t

con ai ∈ X y ni ∈ Z. En particular, para cada a ∈ G, 〈a〉 = {an|n ∈ Z}.Demostracion. Sea:

S = {an1

1 an2

2 · · · ant

t |ai ∈ X, ni ∈ Z}.

Si a ∈ X , entonces a = a1 ∈ S y por lo tanto X ⊂ S. Si u, v ∈ S, entonces u =an1

1 an2

2 · · ·ant

t y v = bm1

1 bm2

2 · · · bml

l . Luego, uv = an1

1 an2

2 · · · ant

t bm1

1 bm2

2 · · · bml

l ∈S y u−1 = a−nt

t · · · a−n2

2 a−n1

1 ∈ S. De aquı, S es subgrupo de G. Por lo tanto, dela definicion de 〈X〉 se sigue que 〈X〉 < S.Ahora, si H es un subgrupo de G tal que X ⊂ H , entonces an1

1 an2

2 · · ·ant

t ∈ Hpara todo ai ∈ X y ni ∈ Z (pues H es cerrado) y por lo tanto S ⊂ H . Luego, dela definicion de 〈X〉 se sigue que S ⊂ 〈X〉. En consecuencia, 〈X〉 = S.


Si H y K son subgrupos de un grupo G, entonces H ∪K no es necesariamente unsubgrupo de G. El subgrupo 〈H ∪ K〉 generado por el conjunto H ∪ K se llamasubgrupo generado por los grupos H y K y se denota por H ∨K.

1.3.1. Ejercicios

1. Demuestre que todo grupo cıclico es abeliano, pero que el recıproco no esverdadero.

2. Si G es un grupo que no tiene subgrupos propios, demuestre que G es cıclico.

3. Si G 6= {e} es un grupo que no tiene subgrupos propios, demuestre que G escıclico de orden primo.

4. Demostrar que todo subgrupo propio de S3 es cıclico. ¿Es posible encontrar ungrupo abeliano no cıclico en el que todos sus subgrupos propios sean cıclicos?

5. Sea G un grupo cıclico infinito y sea a ∈ G un generador. Demuestre queG = 〈ak〉 si y solo si k = 1 o −1.

6. Sea G = 〈a〉 de orden n.

a) Si H < G, demuestre que |H | divide a |G|. (En la siguiente seccion segeneralizara este resultado para cualquier grupo finito G).

b) Demuestre que para cada divisor positivo m de n, existe un unico sub-grupo de G de orden m, que es 〈a n

m 〉.c) Si H y K son subgrupos de G, demuestre que H < K si y solo si |H |

divide a |K|.

7. Determine la retıcula de subgrupos de Z8 y de Z12.

8. SeaG = 〈a〉 un grupo cıclico finito de orden n. Seanm ym′ divisores positivosde n. Demuestre que 〈am〉 = 〈am′〉 si y solo si m = m′.

9. Demuestre que un grupo cıclico con un solo generador puede tener a lo mas2 elementos.

10. Sea G un grupo abeliano y sean H , K subgrupos cıclicos finitos de G. De-muestre que si |H | y |K| son primos relativos, entonces G tiene un subgrupocıclico de orden |H ||K|. (Sugerencia: Suponga que H = 〈a〉 y K = 〈b〉.Demuestre que 〈ab〉 es un subgrupo de G que satisface el problema).

11. Generalizando el problema anterior, demuestre queG tiene un subgrupo cıclicocuyo orden es el mınimo comun multiplo de |H | y |K|.


1.4. Clases laterales y el Teorema de Lagrange

Recordemos que la relacion de congruencia modulo m en Z esta dada por:

a ≡ b (mod m) ⇔ m|a− b⇔ a− b ∈ 〈m〉 = {mk|k ∈ Z}.

Extenderemos este concepto como sigue.

Definicion 1.4.1. Sea G un grupo y sea H < G. Dados a, b ∈ G decimos que aes congruente con b por la derecha modulo H si ab−1 ∈ H , y lo denotamos pora ≡r b (mod H). De manera analoga, decimos que a es congruente con b por laizquierda modulo H si a−1b ∈ H , y lo denotamos por a ≡l b (mod H).

Si G es un grupo abeliano, las congruencias por la derecha y por la izquierdacoinciden, pues:

ab−1 ∈ H ⇔ (ab−1)−1 ∈ H,⇔ ba−1 = a−1b ∈ H.

Para grupos no abelianos esto no es cierto en general.

Teorema 1.4.2. Sean G un grupo y H < G.

1. La relacion de congruencia por la derecha (izquierda) modulo H , es unarelacion de equivalencia sobre G.

2. La clase de equivalencia de a ∈ G bajo la relacion de congruencia derecha(izquierda) modulo H es el conjunto:

Ha = {ha|h ∈ H} (respectivamente aH = {ah|h ∈ H}).

3. |Ha| = |H | = |aH | para todo a ∈ G.

El conjunto Ha se llama clase lateral derecha de H en G, y el conjunto aH se llamaclase lateral izquierda de H en G.

Demostracion. Escribiremos a ≡ b para denotar a ≡r b (mod H) y demostraremosel teorema para congruencias derechas.

1. Sean a, b, c ∈ G. Entonces, a ≡ a ya que aa−1 = e ∈ H .Si a ≡ b, entonces ab−1 ∈ H . Luego, (ab−1)−1 ∈ H , es decir, ba−1 ∈ H ypor lo tanto, b ≡ a.Si a ≡ b y b ≡ c, entonces ab−1 ∈ H y bc−1 ∈ H , por lo que (ab−1)(bc−1) =ac−1 ∈ H , y por lo tanto a ≡ c.Por lo tanto, la relacion de congruencia por la derecha modulo H es unarelacion de equivalencia sobre G.


2. La clase de equivalencia de a ∈ G bajo la relacion de congruencia derechamodulo H es:

{x ∈ G|x ≡ a} = {x ∈ G|xa−1 ∈ H} = {x ∈ G|xa−1 = h ∈ H}= {x ∈ G|x = ha, h ∈ H} = {ha|h ∈ H}= Ha.

3. Sea a ∈ G. Es facil verificar que el mapeo Ha→ H dado por ha 7→ h es unabiyeccion. De manera analoga, el mapeo aH → H dado por ah 7→ h es unabiyeccion. Por lo tanto, |Ha| = |H | = |aH |.

Teorema 1.4.3 (Lagrange). Si G es un grupo finito y H < G, entonces |H | dividea |G|.

Demostracion. Sean Ha1, Ha2, . . . , Hak las distintas clases laterales derechas deH en G. Hay un numero finito de ellas porque G es finito.Como la relacion de congruencia derecha modulo H es una relacion de equivalencia,tenemos que:

G = Ha1 ∪Ha2 ∪ . . . ∪Hak y Hai ∩Haj = ∅ ∀ i 6= j.

Entonces:

|G| = |Ha1 ∪ . . . ∪Hak|

=k∑

i=1

|Hai| =k∑

i=1

|H | (por el teorema anterior)

= k|H |,

de donde se sigue el resultado.

Si G es un grupo finito y H < G, se sigue inmediatamente del Teorema de Lagrangeque hay el mismo numero de clases laterales derechas de H en G que de claseslaterales izquierdas de H en G (¡verifıquese!). En el caso en que G es infinito, setiene un resultado analogo que no es consecuencia del Teorema de Lagrange.

Teorema 1.4.4. Sea G un grupo y sea H < G. Entonces:

1. G es la union de las clases laterales derechas (izquierdas) de H en G.

2. Dos clases laterales derechas (izquierdas) de H en G, o bien son disjuntas obien son iguales.

3. Para cualesquiera a, b ∈ G, Ha = Hb si y solo si ab−1 ∈ H , y aH = bH si ysolo si a−1b ∈ H .


4. Si R es el conjunto de las clases laterales derechas distintas de H en G, y Les el conjunto de las clases laterales izquierdas distintas de H en G, entonces|R| = |L|.

Demostracion. 1, 2 y 3, son consecuencia de que las clases laterales derechas (iz-quierdas) de H en G, forman una particion de G por el Teorema 1.4.2. Por ultimo,se puede verificar facilmente que la funcion φ : R → L dada por φ(Ha) = a−1Hes una biyeccion, y por lo tanto |R| = |L|.

Notacion aditiva. Si G es un grupo con operacion + y H < G, entonces:

a ≡r b (mod H)⇔ a− b ∈ H

y la clase lateral derecha de H en G es el conjunto H + a = {h+ a|h ∈ H}.De manera analoga tenemos que

a ≡l b (mod H)⇔ b− a ∈ H

y la clase lateral izquierda de H en G es el conjunto a+H = {a+ h|h ∈ H}.

En vista del Teorema 1.4.4 tenemos la siguiente definicion.

Definicion 1.4.5. Sea G un grupo y sea H < G. El ındice de H en G, denotadopor (G : H), es el numero cardinal |R| = |L|.Nuestro interes principal es cuando (G : H) es finito, lo cual ocurre a veces auncuando G y H son grupos infinitos. Por ejemplo, (Z : mZ) = m para todo enteropositivo m. Observe que cuando H = {e}, entonces Ha = {a} para todo a ∈ G, ypor lo tanto (G : H) = |G|.Un conjunto completo de representantes de las clases laterales derechas (izquierdas)de un subgrupoH en un grupo G, es un conjunto {ai} construido de un elemento decada clase lateral derecha (izquierda) deH en G. El conjunto {ai} tiene cardinalidad(G : H). Este conjunto contiene unicamente un elemento de H ya que H = He.

Teorema 1.4.6. Si K, H y G son grupos tales que K < H < G, entonces(G : K) = (G : H)(H : K). Si dos cualesquiera de esos ındices son finitos,entonces tambien lo es el tercero.

Demostracion. Tenemos que G =⋃

i∈I Hai con ai ∈ G, |I| = (G : H) y las claseslaterales derechas Hai son disjuntas dos a dos (es decir, Hai = Haj ⇔ i = j.)Tambien tenemos que H =

⋃

j∈J Kbj con bj ∈ H , |J | = (H : K) y las claseslaterales derechas Kbj son disjuntas dos a dos. Luego:

G =⋃

i∈IHai =

⋃

i∈I

⋃

j∈JKbj

ai =⋃

(i,j)∈I×JKbjai.

Demostraremos que las clases laterales derechas Kbjai son disjuntas dos a dos.Supongamos que Kbjai = Kbrat. Entonces, bjai = kbrat para algun k ∈ K. Ya


que bj , br, k ∈ H tenemos que Hai = Hbjai = Hkbrat = Hat, de donde i = t.Luego, bj = kbr y Kbj = Kkbr = Kbr, de modo que j = r. Ası, bjai = brat y porlo tanto, las clases laterales derechas Kbjai son disjuntas dos a dos. Por lo tanto:

(G : K) = |I × J | = |I||J | = (G : H)(H : K).

La ultima afirmacion es clara.

Corolario 1.4.7. Sea G un grupo y sea H < G. Entonces, |G| = (G : H)|H |.

Demostracion. Se sigue del teorema anterior con K = {e}.

Observe que el corolario anterior es una generalizacion del Teorema de Lagrange.

Teorema 1.4.8. Sean H y K subgrupos finitos de un grupo G. Entonces:

|HK| = |H ||K||H ∩K| .

Demostracion. Por el corolario anterior, tenemos que C = H∩K es un subgrupo de

K de ındice n = |K||H∩K| . Luego, K es la union disjunta de clases laterales derechas:

K = Ck1 ∪Ck2 ∪ . . . ∪Ckn,

para algunos ki ∈ K.Ahora, es claro que HC = H , pues dados a ∈ H y b ∈ C, tenemos que a ∈ H yb ∈ H , de donde ab ∈ H . Recıprocamente, si h ∈ H , entonces h = he ∈ HC. Porlo tanto, HC = H .Demostraremos que HK = Hk1∪Hk2∪. . .∪Hkn es una union disjunta. En efecto,si h ∈ H y k ∈ K, entonces h = h′c para algunos h′ ∈ H y c ∈ C (pues H = HC),y k = c′ki para algunos c′ ∈ C y ki ∈ Ki (pues C es la union de las clases Cki).Luego, hk = (h′c)(c′ki) = (h′cc′)ki = h′′ki donde h′′ = h′cc′ ∈ H (pues HC =H). Entonces, hk ∈ Hki y por lo tanto HK ⊂ ⋃n

i=1Hki. La otra contenciones clara. Finalmente, para demostrar que la union es disjunta, supongamos queHki = Hkj . Entonces, kik

−1j ∈ H ∩K = C, y por lo tanto, Cki = Ckj de donde

se sigue que ki = kj .Por lo tanto:

|HK| =n∑

i=1

|Hki| =n∑

i=1

|H | = n|H | = |H ||K||H ∩K| .

Proposicion 1.4.9. Si H y K son subgrupos de un grupo G, entonces (H : H ∩K) ≤ (G : K). Si (G : K) es finito, entonces (H : H ∩K) = (G : K) si y solo siG = KH .


Demostracion. Sean A el conjunto de las clases laterales derechas de H ∩K en H ,y B el conjunto de las clases laterales derechas de K en G. Es decir:

A = {(H ∩K)h|h ∈ H} y B = {Kg|g ∈ G}.

El mapeo ϕ : A → B dado por (H ∩K)h 7→ Kh, con h ∈ H , esta bien definido,ya que si (H ∩ K)h′ = (H ∩ K)h, entonces h′h−1 ∈ H ∩ K ⊂ K y de aquı,Kh′ = Kh.Demostraremos que ϕ es inyectiva, lo que mostrara la desigualdad. En efecto, siKh′ = Kh con h, h′ ∈ H , entonces h′h−1 ∈ K ∩H , y por lo tanto (H ∩K)h′ =(H ∩K)h. Luego, ϕ es inyectiva, y por lo tanto (H : H ∩K) ≤ (G : K).Para la segunda afirmacion, es claro que si (G : K) es finito, entonces (G : K) =(H : H ∩ K) si y solo si ϕ es suprayectiva. Luego, basta demostrar que ϕ essuprayectiva si y solo si G = KH .Supongamos que ϕ es suprayectiva y sea g ∈ G. Entonces, existe (H ∩K)h ∈ Atal que Kg = Kh. Luego, gh−1 ∈ K, digamos que gh−1 = k. Entonces, g =kh ∈ KH . Ası, G ⊂ KH . Es claro que KH ⊂ G. Por lo tanto, G = KH .Recıprocamente, supongamos que G = KH y sea Kg ∈ B con g ∈ G. Entonces,g = kh para algunos k ∈ K y h ∈ H . Luego, gh−1 ∈ K y ası Kg = Kh. Por lotanto, ϕ((H ∩K)h) = Kh = Kg y ası, ϕ es suprayectiva.

Ejercicio. Sean H y K subgrupos de ındice finito de un grupo G. Demuestre que(G : H ∩K) es finito y (G : H ∩K) ≤ (G : H)(G : K). Demuestre tambien que(G : H ∩K) = (G : H)(G : K) si y solo si G = HK.

Proposicion 1.4.10. Todo grupo de orden primo es cıclico.

Demostracion. Sea G un grupo de orden primo p y sea H < G. Por el Teoremade Lagrange, |H | divide a |G| = p. Como p es primo, |H | = 1 o p, y por lo tantoH = {e} o H = G.Es claro que G 6= {e} ya que |G| > 1. Sea a ∈ G, con a 6= e. Como 〈a〉 < G y〈a〉 6= {e}, se sigue que 〈a〉 = G, y por lo tanto G es cıclico.

Proposicion 1.4.11. Sea G un grupo finito.

1. |a| divide a |G| para todo a ∈ G.

2. a|G| = e para todo a ∈ G.

Demostracion. 1. ComoG es finito y 〈a〉 < G, se sigue del Teorema de Lagrangeque |a| = |〈a〉| divide a |G|.

2. Por el punto anterior, tenemos que |G| = |a| · k para algun entero positivo k.Luego, a|G| = a|a|·k = (a|a|)k = ek = e.


1.4.1. Sobre los grupos de orden 2p con p primo impar

Concluimos esta seccion con un caso particular del Teorema de Cauchy para gruposde orden 2p con p numero primo impar, el cual es una consecuencia del Teoremade Lagrange.

Teorema 1.4.12. [Teorema de Cauchy para grupos de orden 2p con p > 2 primo]Si G es un grupo de orden 2p con p numero primo impar, entonces G contiene unelemento de orden 2 y uno de orden p.

Segun el Ejercicio 4 de la Seccion 1.1, todo grupo de orden par tiene un elementode orden 2. De modo que solo debemos probar que G tiene un elemento de ordenp.

Para esto, necesitamos un resultado preliminar.

Lema 1.4.13. Si G es un grupo finito tal que todo elemento distinto de la identidadtiene orden 2, entonces |G| = 2k para algun k ∈ Z+.

Demostracion. Ya que todos los elementos de G distintos de la identidad tienenorden 2, tenemos que G es abeliano segun el Ejercicio 3 de la Seccion 1.1. Sea Hun subgrupo de G. Demostraremos que H ∪ xH es un subgrupo de G para todox ∈ G.Si x ∈ H el resultado es inmediato, pues H = H ∪ xH . Luego, podemos suponerque x 6∈ H . Un elemento de H ∪ xH se escribe como h ∈ H, o xh con h ∈ H,ası que es facil ver que H ∪ xH es cerrado bajo productos, ya que por ejemploxhxh′ = hh′ puesto que G es abeliano y todo elemento distinto de la identidadtiene orden 2. Tambien es inmediato que H ∪ xH es cerrado bajo inversos, pues(xh)

−1= xh. Se sigue entonces que H ∪ xH es subgrupo de G.

Bajo la hipotesis de que x 6∈ H se cumple que H ∩ xH = ∅, pues si h = xh0entonces hh−1

0 = x implicarıa que x ∈ H lo que es una contradiccion. Luego,podemos afirmar que |H ∪ xH | = |H |+ |xH | = |H |+ |H | = 2|H |.Continuando de esta manera y haciendo H = {e}, obtenemos una cadena de sub-grupos {e} < H1 < H2 < · · · < Hn < · · · , donde |Hi| = 2i. Como G es finito,esta cadena debe detenerse en algun subgrupo Hk, y esto solo puede suceder si ysolo si Hk = G, de donde se sigue que |G| = 2k con k ≥ 1.

Continuando con la demostracion del Teorema 1.4.12, el Teorema de Lagrange ase-gura que los elementos de G solamente pueden tener ordenes 1, 2, p y 2p. Si todoslos elementos distintos de la identidad tuvieran orden 2, entonces, por el lema an-terior, el orden de G serıa una potencia de 2, lo que es una contradiccion. Luego, Gtiene un elemento de orden p, o bien G tiene un elemento a de orden 2p, y en esteultimo caso a2 es un elemento de orden p. En cualquier caso, G tiene un elementode orden p, como querıamos probar.

Ejercicio. Con las hipotesis del Teorema 1.4.12 demuestre que G contiene un unicosubgrupo de orden p.


1.4.2. Ejercicios

1. Sea G un grupo y sea {Hi|i ∈ I} una familia de subgrupos. Demuestre que:

(⋂

i

Hi

)

a =⋂

i

Hia,

para todo a ∈ G.

2. Sea G un grupo abeliano de orden 2n con n impar. Demuestre que G contieneun unico elemento de orden 2.

3. Sea G un grupo y sean a, b ∈ G tales que a5 = e y aba−1 = b2. Determine|b| si b 6= e.

4. Sea G un grupo finito y sean H , K subgrupos de G. Si |H | >√

|G| y|K| >

√

|G|, demuestre que H ∩K 6= {e}.

5. Use el ejercicio anterior para demostrar que si G es un grupo de orden pq conp y q numeros primos tales que p > q, entonces G tiene a lo mas un subgrupode orden p.

6. Sea G un grupo de orden pkm con p primo y (p,m) = 1. Sea H un subgrupode orden pk y sea K un subgrupo de orden pd, con 0 < d ≤ k y K 6⊂ H .Demuestre que HK no es un subgrupo de G.

7. Sean H y K subgrupos de ındice finito de un grupo G tales que (G : H) y(G : K) son primos relativos. Demuestre que G = HK.

8. Sea G un grupo cıclico de orden n. Demuestre que para cada divisor positivom de n hay ϕ(m) elementos de orden m.

9. Usando el resultado del ejercicio anterior, demuestre que n =∑

m|n ϕ(m).

10. Sea G un grupo abeliano de orden n para el cual el numero de soluciones de laecuacion xm = e es a lo mas m para cada divisor positivo m de n. Demuestreque G debe ser cıclico. (Sugerencia: Sea ψ(m) el numero de elementos enG de orden m. Demuestre que ψ(m) ≤ ϕ(m) y use el resultado del ejercicioanterior.)

1.5. Homomorfismos

Definicion 1.5.1. Sean G y G′ semigrupos. Una funcion f : G → G′ es unhomomorfismo si:

f(ab) = f(a)f(b) ∀a, b ∈ G.Si f es inyectivo, decimos que f es un monomorfismo; si f es sobre, f es unepimorfismo; si f es biyectiva, f es un isomorfismo y decimos que G y G′ son


isomorfos (escrito G ∼= G′). Un homomorfismo f : G→ G es un endomorfismo deG, y un isomorfismo f : G→ G es un automorfismo de G.

Ejemplos 1.5.2. 1. El grupo R+ con el producto usual y el grupo R con lasuma usual, son isomorfos. La funcion f : R+ → R dada por f(x) = log x esun isomorfismo.

2. Si G es un grupo abeliano, la funcion f : G → G dada por f(a) = a2 esun endomorfismo. En general, f no es suprayectiva, ya que por ejemplo siG = {a ∈ Z8|(a, 8) = 1} = {1, 3, 5, 7} con el producto modulo 8, entoncesIm(f) = {1}.

3. Sean G = Z con la suma usual y G′ = {1,−1} el subgrupo de R con elproducto usual. La funcion f : G→ G′ dada por:

f(m) =

{1 si m es par,−1 si m es impar.

es un homomorfismo.

4. Sean G un grupo y a ∈ G. La funcion f : G → G dada por f(x) = a−1xapara todo x ∈ G, es un isomorfismo.

5. Sea G = R con la suma usual y sea G′ = C−{0} con la multiplicacion usual.La funcion f : G→ G′ dada por f(x) = cosx+ i senx es un homomorfismoque no es inyectivo ni suprayectivo. Sin embargo, esto no significa que losgrupos G y G′ no sean isomorfos.

6. Sea G un grupo y sea A(G) el grupo {f : G→ G|f es biyectiva}. Para cadaa ∈ G definimos Ta : G→ G dada por Ta(x) = ax para todo x ∈ G. Es claroque Ta ∈ A(G) y que TaTb = Tab para todo a, b ∈ G. Entonces, la funcionf : G → A(G) definida por f(a) = Ta, es un monomorfismo. En general fno es suprayectiva, pues si |G| = n > 2, entonces |A(G)| = n! > n.

Teorema 1.5.3 (Teorema de Cayley). Todo grupo G es isomorfo a un subgrupode A(G). En particular, si G es finito de orden n, entonces G es isomorfo a unsubgrupo de Sn.

Demostracion. Del ejemplo anterior inciso 6, se sigue que la funcion f : G→ Im(f)es un isomorfismo y es facil verificar que Im(f) es un subgrupo de A(G). Luego, losgrupos G y Im(f) son isomorfos. En particular, si |G| = n, entonces A(G) ∼= Sn(vease el Ejercicio 8).

Proposicion 1.5.4. 1. Si f : G → G′ y g : G′ → G′′ son homomorfismos desemigrupos, entonces g ◦ f : G→ G′′ es un homomorfismo.

2. Si G y G′ son grupos con identidades e y e′, respectivamente, y f : G→ G′

es un homomorfismo, entonces f(e) = e′ y f(a−1) = (f(a))−1 para todoa ∈ G.


Demostracion. 1. Se deja al lector.

2. Como e = ee y f es un homomorfismo, tenemos que f(ee) = f(e)f(e) = f(e)y por la cancelacion valida en G′, se sigue que f(e) = e′. Ahora, para cadaa ∈ G, existe a−1 ∈ G tal que aa−1 = e. Luego, f(aa−1) = f(e), es decir,f(a)f(a−1) = e′ (pues f es homomorfismo y f(e) = e′). De aquı se sigueque f(a−1) = (f(a))−1.

Definicion 1.5.5. Sea f : G → G′ un homomorfismo de grupos, y sean e, e′ lasidentidades de G y G′, respectivamente.

1. El kernel de f , denotado por ker(f), es {a ∈ G|f(a) = e′ ∈ G′}.2. Si A ⊂ G, entonces f(A) = {b ∈ G′|b = f(a) para algun a ∈ A} es la

imagen de A.

3. f(G) es la imagen de f y se denota por Im(f).

4. Si B ⊂ G′, entonces f−1(B) = {a ∈ G|f(a) ∈ B} es la imagen inversa deB.

Teorema 1.5.6. Sea f : G → G′ un homomorfismo de grupos, y sean e, e′ lasidentidades de G y G′, respectivamente. Entonces:

1. ker(f) es un subgrupo de G.

2. a−1 ker(f)a ⊂ ker(f) para todo a ∈ G.3. Im(f) es un subgrupo de G′.

4. f es un monomorfismo si y solo si ker(f) = {e}.Demostracion. 1. Si a, b ∈ ker(f), entonces f(a) = f(b) = e′, de modo que

f(ab) = f(a)f(b) = e′ y por lo tanto ab ∈ ker(f). Por otra parte, si a ∈ker(f), entonces f(a) = e′ y por la Proposicion 1.5.4 tenemos que f(a−1) =(f(a))−1 = e′, de modo que a−1 ∈ ker(f).

2. Sean k ∈ ker(f) y a ∈ G. Entonces f(k) = e′ y:

f(a−1ka) = f(a−1)f(k)f(a) = f(a−1)e′f(a)

= f(a−1)f(a) = f(a−1a) = f(e) = e′,

de donde se sigue que a−1ka ∈ ker(f). Luego, a−1 ker(f)a ⊂ ker(f).

3. Se deja de ejercicio al lector.

4. Si f es un monomorfismo y a ∈ ker(f), entonces f(a) = e′ = f(e), dedonde a = e y por lo tanto ker(f) = {e}. Recıprocamente, si ker(f) = {e}y f(a) = f(b), entonces e = f(a)(f(b))−1 = f(a)f(b−1) = f(ab−1), demodo que ab−1 ∈ ker(f) y por lo tanto ab−1 = e. Luego, a = b y f es unmonomorfismo.


Teorema 1.5.7. Todo grupo cıclico infinito es isomorfo al grupo aditivo Z, y todogrupo cıclico finito de orden n es isomorfo al grupo aditivo Zn.

Demostracion. Supongamos que G = 〈a〉 es infinito. Consideremos el mapeo α :Z→ G dado por k 7→ ak (se deja de ejercicio demostrar que α esta bien definido).Demostraremos que α es un isomorfismo. Tenemos que:

α(k + l) = ak+l = akal = α(k)α(l),

y ası α es un homomorfismo.Ahora, si g ∈ G, entonces g = ak, para algun k ∈ Z, y por lo tanto α(k) = g,es decir, α es epimorfismo. Por otra parte, si k ∈ ker(α), entonces ak = e ∈ G ypor el Teorema 1.3.7 tenemos que k = 0. Ası, ker(α) = {0} y por lo tanto, α esmonomorfismo. En consecuencia, α es isomorfismo.Supongamos ahora que G = 〈a〉 es finito de orden n, y consideremos el mapeoβ : Zn → G dado por k 7→ ak (se deja de ejercicio demostrar que β esta biendefinido). Demostraremos que β es un isomorfismo. Tenemos que:

β(k + l) = ak+l = akal = β(k)β(l),

y ası β es un homomorfismo. Ahora, si g ∈ G = {e, a, a2, . . . , an−1}, entoncesg = ak para algun entero k tal que 0 ≤ k ≤ n− 1, y por lo tanto β(k) = g. Ası, βes epimorfismo y por lo tanto, isomorfismo (pues |Zn| = |G| = n).

1.5.1. Ejercicios

1. Sea f : G → G′ un isomorfismo de grupos con G abeliano. Demuestre queG′ es abeliano.

2. Sea f : G→ G′ un isomorfismo de grupos con G cıclico. Demuestre que G′

es cıclico.

3. Demuestre que los grupos aditivos Z y Q no son isomorfos.

4. Demuestre que los grupos aditivos 2Z y 3Z son isomorfos.

5. Sea Z[x] el grupo de los polinomios con coeficientes enteros en una variablecon la suma usual de polinomios. Demuestre que este grupo es isomorfo conel grupo multiplicativo Q+.

6. Sea G un grupo cıclico de orden n y sea m un entero positivo. Si f : G→ Gesta definida por f(a) = am para todo a ∈ G, encuentre una condicionnecesaria y suficiente para que f sea un automorfismo.

7. Demuestre que las siguientes condiciones en un grupo finito G son equivalen-tes:

a) |G| es primo.

b) G 6= {e} y G no tiene subgrupos propios.


c) G ∼= Zp para algun primo p.

8. Sean X , Y dos conjuntos no vacıos de la misma cardinalidad. Demuestre quelos grupos A(X) y A(Y ) son isomorfos.

9. Sea G un grupo finito con identidad e y sea ϕ un automorfismo de G conla propiedad de que ϕ(x) = x si y solo si x = e. Demuestre que para cadag ∈ G existe x ∈ G tal que g = x−1ϕ(x).

10. Sea G1 el grupo de los numeros reales distintos de −1 con la operaciondefinida por a ∗ b = a + b + ab, y sea G2 el grupo multiplicativo de losnumeros reales distintos de 0. Demuestre que G1

∼= G2.

11. Demuestre que un grupo infinito es cıclico si y solo si es isomorfo a cada unode sus subgrupos propios.

1.6. Normalidad y grupo cociente

Estudiaremos ahora los subgrupos N de un grupo G tales que la relacion de con-gruencia derecha e izquierda modulo N coinciden.

Teorema 1.6.1. Sean G un grupo y N < G. Las siguientes condiciones son equi-valentes.

1. Las relaciones de congruencia izquierda y congruencia derecha modulo Ncoinciden (es decir, definen la misma relacion de equivalencia sobre G).

2. Toda clase lateral izquierda de N en G es una clase lateral derecha de N enG.

3. aN = Na para todo a ∈ G.

4. aNa−1 ⊂ N para todo a ∈ G, donde aNa−1 = {ana−1|n ∈ N}.

5. aNa−1 = N para todo a ∈ G.

Demostracion. Es claro que 1⇒ 2.Demostraremos que 2⇒ 3. Sea a ∈ G. Segun 2, tenemos que aN = Nb para algunb ∈ G. Como a ∈ Na, tenemos que a ∈ Na∩Nb, de donde se sigue que Nb = Naya que dos clases laterales derechas son disjuntas o iguales. Por lo tanto, aN = Na.Demostraremos ahora que 3⇒ 1. SeanR = {(a, b)|ab−1 ∈ N} y L = {(a, b)|a−1b ∈N} las relaciones de congruencia derecha e izquierda modulo N , respectivamente.Supongamos que ab−1 ∈ N . Como N es subgrupo de G, se sigue que (ab−1)−1 =ba−1 ∈ N , es decir, a−1 ∈ b−1N . Aplicando 3, obtenemos que a−1 ∈ Nb−1 y porlo tanto a−1b ∈ N . Ası, R ⊂ L. De manera analoga se demuestra que L ⊂ R.Hasta ahora hemos demostrado que 1⇔ 2⇔ 3.La demostracion de 3⇒ 4 es trivial.


Demostraremos que 4⇒ 5. Si aNa−1 ⊂ N para todo a ∈ G, entonces a−1Na ⊂ Npara todo a ∈ G. Luego, para todo n ∈ N , tenemos que n = a(a−1na)a−1 ∈aNa−1, de donde N ⊂ aNa−1. Ası, aNa−1 = N .Demostraremos ahora que 5 ⇒ 3. Si b ∈ aN , entonces b = an para algun n ∈ N .Sea ana−1 = n′ ∈ N . Luego, b = n′a ∈ Na, y ası aN ⊂ Na. Recıprocamente,si b ∈ Na, entonces b = na para algun n ∈ N . Luego, como a−1na = n′ ∈ N ,tenemos que b = an′ ∈ aN , y ası Na ⊂ aN . Por lo tanto, aN = Na.Hemos demostrado entonces que 3⇔ 4⇔ 5, y por lo tanto, el resultado.

Definicion 1.6.2. Un subgrupo N de un grupo G que satisface las condicionesequivalentes del teorema anterior, se llama normal en G, y se denota por N ⊳G.

Ejemplos 1.6.3. 1. Cada subgrupo de un grupo abeliano es normal. El recıpro-co, sin embargo, no es cierto. Es decir, existen grupos no abelianos que tienentodos sus subgrupos normales. Un ejemplo de tales grupos es el grupo Q8 delos Ejemplos 1.2.4.

2. SiG es un grupo yN < G con (G : N) = 2, entoncesN⊳G. (Si (G : N) = 2,entonces N y Na, con a 6∈ N , son todas las clases laterales derechas de Nen G. Si g ∈ G, analizar los casos g ∈ N y g 6∈ N).

3. La interseccion de cualquier familia de subgrupos normales de un grupo G, esun subgrupo normal en G.

4. Si N ⊳G y N ⊂ H < G, entonces N ⊳H .

5. Si H ⊳ G, N ⊳ G y H ∩ N = {e}, entonces nh = hn para todo h ∈ H yn ∈ N . En efecto, si h ∈ H y n ∈ N , entonces nhn−1 ∈ H ya que H ⊳G, yhn−1h−1 ∈ N ya que N⊳G. Luego, (nhn−1)h−1 = n(hn−1h−1) ∈ N∩H ={e}, de donde se sigue que hn = nh.

6. Si f : G → G′ es un homomorfismo de grupos, entonces ker(f) ⊳ G (veaseel Teorema 1.5.6).

Teorema 1.6.4. Sean K y N subgrupos de un grupo G con N normal en G.Entonces:

1. N ⊳ (N ∨K).

2. NK = (N ∨K) = KN .

Demostracion. Se deja de ejercicio al lector.

Teorema 1.6.5. Sea G/N = {Na|a ∈ G}.

1. Si N ⊳G, entonces G/N es un grupo con la operacion (Na)(Nb) = Nab.

2. Si G/N es un grupo con la operacion (Na)(Nb) = Nab, entonces N ⊳G.

Si N ⊳G, el grupo G/N se llama grupo cociente o grupo factor de G por N .


Demostracion. 1. Demostraremos primero que la operacion esta bien definida.Es decir, si Na = Na′ y Nb = Nb′, entonces Nab = Na′b′. Supongamosque Na = Na′ y Nb = Nb′. Entonces, a′ = na para algun n ∈ N y b′ = n′bpara algun n′ ∈ N . Luego, a′b′ = nan′b = n(an′a−1)ab. Como N ⊳ G,an′a−1 ∈ N y ası n(an′a−1) = n1 ∈ N . Luego, a′b′ = n1ab ∈ Nab ypor lo tanto, a′b′ ∈ Nab ∩ Na′b′. Como dos clases laterales derechas no seintersectan o son iguales, se sigue que Nab = Na′b′.Una vez demostrado que la operacion esta bien definida, demostraremos quese satisfacen los axiomas de grupo.La cerradura se sigue de la definicion del producto en G/N .Si Na,Nb y Nc son cualesquiera elementos de G/N , tenemos que:

(Na)((Nb)(Nc)) = (Na)(Nbc)

= N(a(bc))

= N((ab)c)

= (Nab)(Nc)

= ((Na)(Nb))(Nc)

donde se ha usado la asociatividad del producto de G en la tercera igualdad.Esto prueba que el producto en G/N es asociativo.Observemos que (Na)(N) = Na, de modo que N es la identidad de G/N .Para cada a ∈ G, tenemos que (Na)(Na−1) = Naa−1 = N , y ası, (Na)−1 =Na−1.Por lo tanto, G/N es un grupo.

2. Si G/N es un grupo con la operacion (Na)(Nb) = Nab, entonces estaoperacion debe estar bien definida. Como Nnb = Nb para todo n ∈ N y b ∈G, y el producto en G/N esta bien definido, se debe tener que (Na)(Nb) =(Na)(Nnb) para todo a, b ∈ G y n ∈ N , es decir, Nab = Nanb y por lotanto Na = Nan. Luego, ana−1 ∈ N para todo a ∈ G y n ∈ N , de dondese sigue que aNa−1 ⊂ N . Por lo tanto, N ⊳G por el teorema anterior.

Si N ⊳ G y G se escribe aditivamente, entonces la operacion de grupo en G/Nesta dada por (N + a) + (N + b) = N + (a+ b).

Observe que si G es un grupo finito y N < G, entonces |G/N | = |G||N | (vease el

Corolario 1.4.7).

Estamos listos para demostrar que todo subgrupo normal es el kernel de un homo-morfismo.

Teorema 1.6.6. Si N ⊳G, entonces el mapeo π : G→ G/N dado por π(a) = Naes un epimorfismo con kernel N .El mapeo π se llama epimorfismo canonico o proyeccion.


Demostracion. Es facil ver que el mapeo π esta bien definido y es suprayectivo. Porotra parte, dados a, b ∈ G, tenemos que:

π(ab) = Nab = (Na)(Nb) = π(a)π(b)

y ası, π es un epimorfismo.Finalmente, tenemos que:

ker(π) = {a ∈ G|π(a) = N} = {a ∈ G|Na = N} = {a ∈ G|a ∈ N} = N.

Concluimos esta seccion con el Teorema de Cauchy para grupos abelianos.

Teorema 1.6.7 (Teorema de Cauchy: caso abeliano). Si G es un grupo abelianofinito y p es un numero primo que divide a |G|, entonces G tiene un elemento deorden p, y por lo tanto, un subgrupo de orden p.

Demostracion. Sea G un grupo abeliano finito. La prueba la haremos por induccionen |G|. Si |G| = 1, entonces no existe tal p y el resultado es verdadero por vacuidad.Supongamos que el resultado es cierto para todos los grupos abelianos de ordenmenor que |G|.Supongamos que G no tiene subgrupos no triviales. Por un ejercicio anterior, sesigue entonces que G es cıclico y de orden primo. Luego, necesariamente |G| = p(pues p||G| y p, |G| son primos). Por lo tanto, todo elemento a 6= e en G satisfaceque ap = e y en consecuencia, todo elemento de G es de orden p.Supongamos entonces queG tiene un subgrupo no trivialN , es decir, {e} 6= N 6= G.Si p divide a |N |, entonces podemos aplicar la hipotesis de induccion a N , ya que|N | < |G| (pues N 6= G) y N es abeliano y finito, de modo que existe un elementode orden p en N , y en consecuencia, en G, y el resultado queda establecido.Supongamos entonces que p ∤ |N |. Como G es abeliano, tenemos que N ⊳G y porlo tanto G/N es un grupo abeliano finito (pues G es abeliano finito). Como p||G|,p ∤ |N | y |G/N | = |G|

|N | , tenemos que p divide a |G/N |. Por otra parte, ya que

|N | > 1 (pues N 6= {e}), tenemos que |G/N | = |G||N | < |G|. Luego, por la hipotesis

de induccion, hay un elemento en G/N de orden p. Es decir, existe a ∈ G tal que(Na)p = N . De aquı que Nap = N y por lo tanto, ap ∈ N . Ademas, es claro queNa 6= N pues Na tiene orden p y N tiene orden 1. Luego, a 6∈ N .Supongamos que |N | = m. Tenemos que m < |G| ya que N 6= G. Como ap ∈ N ,tenemos que (ap)m = e, es decir, (am)p = e. Si demostramos que am 6= e,entonces am sera un elemento de orden p buscado (¿por que?). Supongamos, porcontradiccion, que am = e. Entonces, Nam = N , de donde (Na)m = N . Luego,o(Na) = p|m = |N |, lo cual es una contradiccion. Ası, am es un elemento de ordenp en G, como querıamos.

1.6.1. Ejercicios

1. Demuestre que si N ⊳G y H < G, entonces N ∩H ⊳H .


2. Si K ⊳ G y G es cıclico, demuestre que el grupo cociente G/K tambien escıclico.

3. Demuestre que para todo grupo G, Z(G)⊳G.

4. Demuestre que si G/Z(G) es un grupo cıclico, entonces G es abeliano.

5. Sea G un grupo no abeliano de orden pq con p y q primos distintos. Demuestreque Z(G) = {e}.

6. Sea G un grupo finito y sea H < G tal que |H | = n. Si H es el unicosubgrupo de G de orden n, demuestre que H ⊳G.

7. Sea G un grupo finito con identidad e y sea N ⊳ G. Suponga que el ındicede N en G y el orden de N son primos relativos. Demuestre que si x|N | = e,entonces x ∈ N .

8. Sean H1 y H2 subgrupos de un grupo G. Si N ⊳H1 y N ⊳H2, demuestreque N ⊳ (H1 ∨H2).

9. Se dice que un grupo G es libre de torsion, si ningun elemento de G distintode la identidad es de orden finito. Se sabe que en un grupo abeliano G, elconjunto de todos los elementos de orden finito, es un subgrupo de G y sellama subgrupo de torsion de G. Si T es el subgrupo de torsion de un grupoabeliano G, demuestre que G/T es un grupo libre de torsion.

10. Un subgrupo H de un grupo G se llama caracterıstico si f(H) ⊂ H para todoautomorfismo f de G. Demuestre que si H es un subgrupo caracterıstico deG, entonces H ⊳G.

11. Demuestre, con un ejemplo, que un subgrupo normal de un grupo no necesa-riamente es caracterıstico.

12. Suponga que N ⊳ G y que H ⊂ N es un subgrupo caracterıstico de N .Demuestre que H ⊳G.

13. Sea G un grupo tal que |G| = pm con p numero primo tal que p ∤ m. SiH ⊳ G con |H | = p, demuestre que H es caracterıstico. (Sugerencia: Si Hes de orden p, entonces H es cıclico. Demuestre que H es el unico subgrupocıclico de G de orden p. Para esto, suponga que hay otro H ′. Pruebe queH ∩ H ′ = {e} y que HH ′ es subgrupo de G con |HH ′| = p2. Obtengauna contradiccion. Por ultimo, si f es un automorfismo de G, demuestre quef(H) < G y que |f(H)| = p para concluir que H es caracterıstico.)


1.7. Los teoremas de isomorfismo

Proposicion 1.7.1. Si f : G → G′ es un homomorfismo de grupos, N ⊳ G yN ⊂ ker(f), entonces existe un unico homomorfismo f : G/N → G′ tal quef(Na) = f(a) para todo a ∈ G, es decir, el siguiente diagrama es conmutativo:

Gf

//

π

��

G′

G/Nf

<<zzzzzzzz

f ◦ π = f

Ademas:

1. Im(f) = Im(f) y ker(f) = ker(f)/N .

2. f es un isomorfismo si y solo si f es un epimorfismo y N = ker(f).

Demostracion. Sea f : G/N → G′ dada por f(Na) = f(a) para todo a ∈ G.Veamos que f esta bien definida. Supongamos que Na = Nb. Como b ∈ Nb =Na, tenemos que b = na para algun n ∈ N , de modo que f(b) = f(na) =f(n)f(a) = e′f(a) = f(a) donde e′ es la identidad de G′ (pues N ⊂ ker(f)).Luego, f(Na) = f(a) = f(b) = f(Nb) y ası, f esta bien definida.Por otra parte, tenemos que:

f(NaNb) = f(Nab) = f(ab) = f(a)f(b) = f(Na)f(Nb),

de donde f es un homomorfismo.Si g : G/N → G′ es otro homomorfismo tal que g(Na) = f(a) para todo a ∈ G,entonces f(Na) = g(Na) para todo a ∈ G, y por lo tanto g = f , es decir, f esunico.Es claro que Im(f) = Im(f). Por otro lado:

ker(f) = {Na|f(Na) = e′} = {Na|f(a) = e′} = {Na|a ∈ ker(f)} = ker(f)/N.

Finalmente, ya que π es un epimorfismo y f ◦ π = f , es facil verificar que f esun epimorfismo si y solo si f lo es. Luego, f es un isomorfismo si y solo si f esepimorfismo y monomorfismo, si y solo si f es epimorfismo y ker(f) = ker(f)/Nes el subgrupo trivial de G/N , es decir, ker(f)/N = {N}, pero esta igualdad escierta si y solo si ker(f) = N .

Corolario 1.7.2 (Primer teorema de isomorfismo). Si f : G→ G′ es un homomor-fismo de grupos, entonces f induce un isomorfismo

G/ ker(f) ∼= Im(f).


Demostracion.

Gf

//

π

��

Im(f)

G/ ker(f)

f

99ssssssssss

Tenemos que f : G → Im(f) es un epimorfismo. Tomando N = ker(f) en laproposicion anterior, se sigue que f : G/ ker(f)→ Im(f) es un isomorfismo.

Ejemplos 1.7.3. 1. Sea G = R−{0} con el producto usual y sea N el subgrupo{−1, 1} de G. Entonces, el grupo multiplicativo R+ es isomorfo con el grupoG/N . (El mapeo f : G → R+ dado por f(x) = |x| es un epimorfismo conkernel N . Tambien el mapeo f(x) = x2 es un epimorfismo con kernel N .)

2. Sea G el grupo de las funciones reales definidas en el intervalo [0, 1], dondepara todo f, g ∈ G, f + g se define por (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todox ∈ [0, 1]. Si N = {f ∈ G|f(14 ) = 0}, entoncesG/N es isomorfo con el grupoaditivo R. (El mapeo ϕ : G → R dado por ϕ(f) = f(14 ) es un epimorfismocon kernel N .)

3. Los grupos Z/nZ y Zn son isomorfos.

4. Considere el grupo aditivo [0, 1) ∩ Q con la suma modulo 1. Entonces, losgruposQ/Z y [0, 1)∩Q son isomorfos. (Q/Z es llamado grupo de los racionalesmodulo 1.)

Corolario 1.7.4 (Segundo teorema de isomorfismo). Si K y N son subgrupos deun grupo G con N ⊳G, entonces K/N ∩K ∼= KN/N .

Demostracion. Como N∩K < N⊳G, tenemos que N∩K⊳K, de dondeK/N∩Kes grupo. Por el Teorema 1.6.4 tenemos que N ⊳ ((N ∨K) = KN), y ası, KN/Nes grupo.Consideremos el homomorfismo composicion f = π ◦ ι : K → KN/N dondeπ : KN → KN/N es la proyeccion canonica y ι : K → KN es el homomorfismodado por ι(k) = k para todo k ∈ K. Observemos que ker(f) = K ∩ N , puesk ∈ ker(f)⇔ k ∈ K ∧ f(k) = N ⇔ k ∈ K ∧Nk = N ⇔ k ∈ K ∧ k ∈ N ⇔ k ∈K ∩N .Luego, por el Primer teorema de isomorfismo, existe un isomorfismo f : K/K∩N →Im(f). Demostraremos que Im(f) = KN/N demostrando que f es suprayectiva.Cada elemento en KN/N es de la forma Nkn con k ∈ K y n ∈ N . Como N ⊳G,tenemos que kn = n1k para algun n1 ∈ N , de modo que Nkn = Nn1k = Nk =f(k), de donde se sigue que f es suprayectiva. Por lo tanto,K/N∩K ∼= KN/N .

Corolario 1.7.5. Si f : G→ G′ es un homomorfismo de grupos, N ⊳G, M ⊳G′

y f(N) < M , entonces f induce un homomorfismo f : G/N → G′/M dado por


Na 7→Mf(a) para todo a ∈ G, es decir, el siguiente diagrama es conmutativo.

Gf

//

π1

��

G′

π2

��G/N

f

// G′/M

f ◦ π1 = π2 ◦ f

Ademas, f es un isomorfismo si y solo si (Im(f) ∨M) = G′ y f−1(M) ⊂ N .En particular, si f es un epimorfismo tal que f(N) = M y ker(f) ⊂ N , entoncesf es un isomorfismo.

Demostracion. Observemos que N ⊂ ker(π2 ◦ f), pues para cada n ∈ N , tenemosque π2(f(n)) =Mf(n) =M (ya que f(N) < M). Luego:

N ⊂ ker(π2 ◦ f) = {a ∈ G|(π2 ◦ f)(a) =M}= {a ∈ G|Mf(a) =M}= {a ∈ G|f(a) ∈M}= f−1(M).

Por la proposicion anterior, el mapeo f : G/N → G′/M dado porNa 7→ π2(f(a)) =Mf(a) para todo a ∈ G, es un homomorfismo, y es un isomorfismo si y solo si π2◦fes un epimorfismo y N = ker(π2 ◦ f). Como N = ker(π2 ◦ f) ⇔ ker(π2 ◦ f) ⊂N ⇔ f−1(M) ⊂ N , basta demostrar que π2 ◦ f es un epimorfismo si y solo si(Im(f) ∨M) = G′.Supongamos que π2 ◦ f es suprayectiva. Como Im(f) ∨M < G′, basta demostrarque G′ ⊂ Im(f) ∨M . Sea x ∈ G′. Como Mx ∈ G′/M y π2 ◦ f es suprayec-tiva, existe a ∈ G tal que (π2 ◦ f)(a) = Mx, es decir, Mf(a) = Mx. Luego,f(a)x−1 = m para algun m ∈ M , y por lo tanto x = m−1f(a) ∈ Im(f) ∨M .Ası, G′ ⊂ Im(f) ∨M . Recıprocamente, supongamos que (Im(f) ∨M) = G′ y seaMx ∈ G′/M con x ∈ G′. Entonces:

x = (f(a1))n1mk1

1 (f(a2))n2mk2

2 · · · (f(ak))nkmkll ,

con f(ai) ∈ Im(f), mi ∈ M , y ni, ki enteros. Como M ⊳ G′, tenemos que(f(a1))

n1mk11 = m′(f(a1))n1 con m′ ∈M . Luego:

x = m′(f(a1))n1(f(a2))

n2mk22 · · · (f(ak))nkmkl

l .

Continuando de esta forma, la normalidad deM en G′ implica que x = mf(a) paraalgun m ∈ M y a ∈ G. Luego, (π2 ◦ f)(a) = Mf(a) = Mm−1x = Mx, y por lotanto π2 ◦ f es suprayectiva.Finalmente, si f es un epimorfismo, entonces π2 ◦ f tambien es un epimorfismoy por lo tanto, G′ = Im(f) ∨M . Ademas, si f(N) = M y ker(f) ⊂ N , es facildemostrar que f−1(M) ⊂ N (ejercicio), y por lo demostrado anteriormente se sigueque f es un isomorfismo.


Corolario 1.7.6 (Tercer teorema de isomorfismo). Si H ⊳ G, K ⊳ G y K < H ,entonces H/K ⊳G/K y (G/K)/(H/K) ∼= G/H .

Demostracion. Consideremos el homomorfismo identidad 1G : G → G. Como1G(K) = K < H , se sigue del corolario anterior que el diagrama:

G1G //

π1

��

G

π2

��G/K

I// G/H

es conmutativo. Es decir, 1G induce un epimorfismo I : G/K → G/H dado porI(Ka) = Ha. Luego:

ker(I) = {Ka|I(Ka) = H} = {Ka|Ha = H} = {Ka|a ∈ H} = H/K ⊳G/K,

y por el Primer teorema de isomorfismo, se sigue que:

G/H = Im(I) ∼= (G/K)/(ker(I)) = (G/K)/(H/K).

Proposicion 1.7.7. 1. Si f : G→ G′ es un homomorfismo de grupos con kernelN y K < G, entonces f−1(f(K)) = KN . Ademas, f−1(f(K)) = K si ysolo si N < K.

2. Si f : G→ G′ es un epimorfismo de grupos y J < G′, entonces f(f−1(J)) =J .

Demostracion. 1. Primero demostraremos que f−1(f(K)) = KN . Sea kn ∈KN (k ∈ K y n ∈ N). Entonces, f(kn) = f(k)f(n). Como n ∈ N = ker(f),tenemos que f(n) = e′ (con e′ la identidad deG′). Luego, f(kn) = f(k) y porlo tanto f(kn) ∈ f(K). De aquı, kn ∈ f−1(f(K)) y en consecuencia KN ⊂f−1(f(K)). Recıprocamente, sea g ∈ f−1(f(K)). Entonces, f(g) ∈ f(K).Luego, existe k1 ∈ K tal que f(g) = f(k1), es decir, (f(k1))

−1f(g) = e′.Luego, f(k−1

1 g) = e′ y por lo tanto k−11 g ∈ ker(f) = N . Ası, existe n ∈ N tal

que k−11 g = n, de donde g = k1n ∈ KN . En conclusion, f−1(f(K)) ⊂ KN .

Demostraremos ahora que f−1(f(K)) = K si y solo si N < K. Supongamosque f−1(f(K)) = K. Entonces, por lo demostrado previamente tenemos queK = KN . Como N ⊂ KN , se sigue que N ⊂ K y por lo tanto N < K.Recıprocamente, supongamos que N < K. Entonces, KN ⊂ KK = K yes claro que K ⊂ KN . Luego, KN = K y por lo demostrado previamente,concluimos que f−1(f(K)) = K.

2. Sea x ∈ f(f−1(J)). Entonces, x = f(y) para algun y ∈ f−1(J). Luego,f(y) ∈ J y por lo tanto x ∈ J . Ası, f(f−1(J)) ⊂ J . Recıprocamente, seax ∈ J < G′. Como f es suprayectiva, existe g ∈ G tal que f(g) = x, es decir,g ∈ f−1(J). Luego, x = f(g) ∈ f(f−1(J)) de donde J ⊂ f(f−1(J)).


Teorema 1.7.8 (Teorema de la correspondencia biyectiva o cuarto teorema deisomorfismo). Sea f : G→ G′ un epimorfismo de grupos.

1. La correspondencia K 7→ f(K) entre el conjunto Sf (G) de los subgruposde G que contienen a ker(f) y el conjunto S(G′) de los subgrupos de G′ esbiyectiva.

2. Si K ⊳G, entonces f(K)⊳G′; y si J ⊳G′, entonces f−1(J)⊳G. Es decir,subgrupos normales corresponden a subgrupos normales.

Demostracion. 1. Sea ϕ : Sf (G) → S(G′) dada por ϕ(K) = f(K). Veamosprimero que ϕ esta bien definida. Sean K1,K2 ∈ Sf (G) tales que K1 = K2.Entonces, ϕ(K1) = f(K1) y ϕ(K2) = f(K2). Veamos que f(K1) = f(K2).Sea f(k1) ∈ f(K1). Como k1 ∈ K1 = K2, tenemos que f(k1) ∈ f(K2) yası f(K1) ⊂ f(K2). De manera analoga se prueba que f(K2) ⊂ f(K1). Porlo tanto, ϕ(K1) = ϕ(K2) y ası ϕ esta bien definida.Demostraremos que ϕ es suprayectiva. Sea J ∈ S(G′). Es facil demostrarque f−1(J) < G. Afirmamos que ker(f) ⊂ f−1(J). En efecto, si g ∈ ker(f)entonces f(g) = e′, donde e′ es la identidad de G′ y de J (pues J < G′).Luego, f(g) ∈ J y ası g ∈ f−1(J). En consecuencia, ker(f) ⊂ f−1(J). Comof es un epimorfismo, se sigue de la proposicion anterior que f(f1(J)) = J ,es decir, ϕ(f−1(J)) = J , y ası ϕ es suprayectiva.Solo resta demostrar que ϕ es inyectiva. Sean K1,K2 ∈ Sf (G) tales queϕ(K1) = ϕ(K2). Tenemos que ker(f) ⊂ K1, ker(f) ⊂ K2 y f(K1) = f(K2).Luego, ker(f) < K1, ker(f) < K2 y f−1(f(K1)) = f−1(f(K2)). Aplicandola proposicion anterior, se sigue que K1 = K2 y ası, ϕ es inyectiva.


Corolario 1.7.9. Si N es un subgrupo normal de un grupo G, entonces cadasubgrupo de G/N es de la forma K/N , donde K es un subgrupo de G que contienea N . Ademas, K/N ⊳G/N si y solo si K ⊳G.

Demostracion. Consideremos el epimorfismo canonico π : G → G/N . Sea M <G/N . Por el Teorema de la correspondencia biyectiva, existe K < G tal que N =ker(π) ⊂ K y π(K) = M . Como π(K) = {Nk|k ∈ K} = K/N , se sigue queM = K/N con K < G y N ⊂ K.Finalmente, si K ⊳ G entonces por el Teorema de la correspondencia biyectiva,π(K) ⊳ π(G), es decir, K/N ⊳ G/N . Recıprocamente, si K/N ⊳ G/N , entoncespor el Teorema de la correspondencia biyectiva, π−1(K/N) ⊳ π−1(G/N) . Comoπ−1(K/N) = π−1(π(K)) = K y π−1(G/N) = π−1(π(G)) = G (por la proposicionanterior), se sigue que K ⊳G.

Concluimos esta seccion con dos definiciones importantes.


Definicion 1.7.10. Si G y G′ son grupos con operaciones · y ⋆, respectivamente,entonces el producto directo de G y G′ es el grupo G×G′ con la operacion definidapor (a, a′)(b, b′) = (a · a′, b ⋆ b′). La asociatividad de la operacion en G × G′ sehereda de la asociatividad de las operaciones · y ⋆. Si e y e′ son las identidadesde G y G′, respectivamente, es facil ver que (e, e′) es la identidad de G×G′, y elinverso de (a, a′) ∈ G×G′ es (a−1, a′−1).

Definicion 1.7.11. Sea G un grupo. Si los unicos subgrupos normales de G son{e} y G, entonces decimos que G es simple.

1.7.1. Ejercicios

1. Sean G un grupo y H < G. El normalizador de H en G es el conjunto:

NG(H) = {g ∈ G|g−1Hg = H}.

a) Demuestre que H ⊳NG(H).

b) Demuestre que g−1Hg < G y que |g−1Hg| = |H | para todo g ∈ G.c) Si g1, g2 ∈ G, demuestre que g−1

1 Hg1 = g−12 Hg2 ⇔ g1 ∈ NG(H)g2.

d) Demuestre que |{g−1Hg|g ∈ G}| = (G : NG(H)).

e) Si G es finito y H es un subgrupo propio de G, demuestre que:

G 6=⋃

g∈Gg−1Hg.

f ) Demuestre que el inciso anterior es falso para grupos infinitos, conside-rando el grupo G = GL2(C) y el subgrupo propio H de las matricestriangulares superiores.

2. Sean G un grupo y H < G. Para cada b ∈ G, sea Tb : G/H → G/Hel mapeo dado por Tb(Ha) = Hab−1. (G/H es el conjunto de las claseslaterales derechas de H en G).

a) Demuestre que el mapeo ϕ : G → A(G/H) dado por ϕ(b) = Tb paratodo b ∈ G, es un homomorfismo.

b) Demuestre que ker(ϕ) ⊂ H , y que si N ⊳ G y N ⊂ H entonces N ⊂ker(ϕ).

c) Suponga que G es un grupo no abeliano de orden 6.

1) Demuestre que G tiene un subgrupo H de orden 2 que no es normalen G. (Sugerencia: demuestre que G tiene un elemento de orden 2y un elemento de orden 3.)

2) Use los incisos (a) y (b) para demostrar que G ∼= S3.

3. Considere el grupo aditivo Z. Demuestre que (Z× Z)/〈(1, 1)〉 ∼= Z.


4. Sean G y G′ grupos con identidades e y e′, respectivamente. Demuestre que:

a) N = {(a, e′) ∈ G×G′|a ∈ G} es un subgrupo normal de G×G′.

b) (G×G′)/N ∼= G′.

5. Sean M y N subgrupos normales de un grupo G tales que G = MN . De-muestre que:

G/(M ∩N) ∼= G/M ×G/N.

6. Sea G el grupo de los numeros racionales (en forma reducida) cuyos denomi-nadores no son multiplos de p, con p un primo fijo. Sea:

H ={a

b∈ G | p|a

}

.

Demuestre que G/H ∼= Zp.

7. Sea G un grupo tal que |G| = p2 con p primo. Demuestre que |Z(G)| 6= p.

8. Sea p un numero primo y sea G un grupo de orden p3. Suponga que |Z(G)| ≥p2. Demuestre que G es abeliano.

9. Sea M un subgrupo normal de un grupo G, con M 6= G, que tiene la pro-piedad de que si N es un subgrupo normal de G y M < N < G, entoncesN =M o N = G. Es decir,M tiene la propiedad de que los unicos subgruposnormales entre M y G son precisamente M y G. Demuestre que G/M tieneexactamente dos subgrupos normales.

10. Sea Af

// Gg

// B una sucesion exacta corta de grupos, es decir, fes un monomorfismo, g es un epimorfismo y ker(g) = Im(f). Si A y B songrupos simples y N es un subgrupo propio normal no trivial de G, demuestreque N ∼= A o N ∼= B. (Sugerencia: Segundo teorema de isomorfismo.)

1.8. Acciones de grupos

Cuando demostramos el Teorema de Cayley (Teorema 1.5.3), probamos que todogrupo G es isomorfo a un subgrupo de A(S) para un S apropiado.Cuando G es finito de orden n, entonces haciendo S = G, como en la demostra-cion del Teorema de Cayley, A(S) tiene n! elementos. Luego, nuestro grupo G deorden n es algo perdido en el grupo A(G) que, con sus n! elementos es gigantes-co en comparacion de G. Ası que nos preguntamos: ¿no podrıa encontrarse un Smas economico, para el cual A(S) fuera menor? Esto es lo que vamos a intentarconseguir.

Proposicion 1.8.1. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Sea G/H elconjunto de todas las clases laterales derechas deH enG, es decir,G/H = {Ha|a ∈G}. Para cada b ∈ G, sea Tb : G/H → G/H el mapeo dado por Tb(Ha) = Hab−1.Entonces:


1. El mapeo ϕ : G→ A(G/H) dado por ϕ(b) = Tb es un homomorfismo.

2. ker(ϕ) es el mayor subgrupo normal de G contenido en H , en el sentido deque si N ⊳G y N ⊂ H , entonces N ⊂ ker(ϕ).

3. Si H no contiene ningun subgrupo normal de G distinto de {e}, entonces ϕes un homomorfismo inyectivo.

Demostracion. 1. Se deja de ejercicio al lector.

2. Tenemos que:

ker(ϕ) = {b ∈ G|Hab−1 = Ha ∀a ∈ G}.

Por resultados previos sabemos que ker(ϕ) ⊳ G. Veamos que ker(ϕ) ⊂ H .En efecto, si b ∈ ker(ϕ) entonces Hab−1 = Ha para todo a ∈ G. Luego,en particular Heb−1 = Hb−1 = H de donde b−1 ∈ H y en consecuenciab ∈ H . Finalmente, supongamos que N es un subgrupo normal de G queesta contenido en H . Si n ∈ N y a ∈ G, entonces an−1a−1 ∈ N ⊂ H , demodo que Han−1a−1 = H . Por lo tanto, Han−1 = Ha para todo a ∈ G,de manera que n ∈ ker(ϕ).

3. Demostraremos, de manera equivalente, que si ϕ no es un homomorfismoinyectivo, entonces H contiene un subgrupo normal de G distinto de {e}. Enefecto, si ϕ no es un homomorfismo inyectivo, entonces ker(ϕ) 6= {e}. Luego,ker(ϕ) es un subgrupo normal no trivial de G que esta contenido en H porel punto anterior.

De acuerdo con lo anterior, si resulta que H no contiene ningun subgrupo normal deG distinto de {e}, entonces el mapeo G→ Im(ϕ) < A(G/H) es un isomorfismo, yen este caso habrıamos disminuido el tamano del S usado en la prueba del Teoremade Cayley (en la prueba del Teorema de Cayley se uso S = G y ahora S = G/H ,de modo que si G es finito y H 6= {e}, entonces |G/H | = |G|/|H | < |G|).

Como consecuencia de la proposicion anterior, demostraremos que ciertos gruposfinitos tienen subgrupos normales no triviales.

Teorema 1.8.2. Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G tal que H 6= Gy |G| ∤ (G : H)!, entonces H contiene un subgrupo normal no trivial de G.

Demostracion. Como (G : H)! = |A(G/H)| y |G| ∤ |A(G/H)|, por el Teorema deLagrange, A(G/H) no puede tener ningun subgrupo de orden |G| y por lo tanto,A(G/H) no puede tener ningun subgrupo isomorfo a G. Es decir, el mapeo ϕ de laproposicion anterior no puede ser inyectivo, y por lo tanto H contiene un subgruponormal no trivial de G.


Ejemplo 1.8.3. Si G es un grupo de orden 36 y H es un subgrupo de G de orden9, entonces H⊳G, o bien, existe N⊳G tal que N ⊂ H y |N | = 3. En efecto, como

G es finito, tenemos que (G : H) = |G||H| = 36

9 = 4 y ademas 36 ∤ 4!. El teorema

anterior implica que existe N ⊳G tal que N ⊂ H y N 6= {e}. Luego, N < H . Porel Teorema de Lagrange, tenemos que |N | divide a |H | = 9. Luego, |N | = 1, 3 o 9.Si |N | = 1, entonces N = {e}, que no puede ser. Entonces, |N | = 3 o 9, y en esteultimo caso N = H ⊳G.

En la proposicion 1.8.1, el conjuntoG/H de las clases laterales derechas de H en G,no necesariamente es un grupo. Serıa un grupo solo si H⊳G. Sin embargo, pudimoshacer que nuestro grupo G “actuara” sobre el conjunto S = G/H al considerar elmapeo Tb. A continuacion definimos que es una accion de un grupo G sobre unconjunto S.

Definicion 1.8.4. Una accion de un grupo G sobre un conjunto S 6= ∅, es unafuncion G × S → S, usualmente denotada por (g, x) 7→ g · x, tal que para todox ∈ G y g1, g2 ∈ G:

1. e · x = x.

2. (g1g2) · x = g1 · (g2 · x).Cuando dicha accion es dada, decimos que G actua sobre S.

Ejemplos 1.8.5. Sean G un grupo y H < G.

1. Una accion de G sobre el conjunto G/H de las clases laterales derechas deH en G, esta dada por (b,Ha) 7→ Hab−1.

2. Una accion de H sobre el conjunto G esta dada por (h, a) 7→ ha donde haes el producto en G. Esta accion de H sobre G se llama traslacion izquierda.

3. Una accion de H sobre G esta dada por (h, a) 7→ hah−1. Esta accion de Hsobre G se llama conjugacion de H , y el elemento hah−1 es un conjugado dea.

Teorema 1.8.6. Sea G un grupo que actua sobre un conjunto S.

1. La relacion en S dada por:

x ∼ x′ ⇔ a · x = x′ para algun a ∈ G

es una relacion de equivalencia.

2. Para cada x ∈ S, Gx = {a ∈ G|a · x = x} es un subgrupo de G.

Demostracion. Ejercicio.

Las clases de equivalencia de esta relacion se llaman orbitas de G sobre S. La orbitade x ∈ S es el conjunto Ox = {a · x|a ∈ G} ⊂ S y el subgrupo Gx de G es elestabilizador de x en G.


Ejemplo 1.8.7. Cuando GL2(R) actua de la manera usual sobre R2, la orbita delvector ( 00 ) es {( 00 )} ya que A ( 00 ) = ( 00 ) para todo A ∈ GL2(R); mientras que elestabilizador del vector ( 00 ) es GL2(R). ¿Cual es la orbita del vector ( 10 )? ¿Cual essu estabilizador?

Teorema 1.8.8 (Formula orbita-estabilizador). Si un grupo G actua sobre un con-junto S, entonces |Ox| = (G : Gx) para todo x ∈ S.

Demostracion. Sea x ∈ S. Tenemos que Ox = {a · x|a ∈ G} y G/Gx = {Gxa|a ∈G}. Sea f : G/Gx → Ox definida por Gxa 7→ a−1 · x. Veamos que f esta biendefinida. Sean a, b ∈ G tales que Gxa = Gxb. Entonces:

Gxa = Gxb⇔ ab−1 ∈ Gx ⇔ ab−1·x = x⇔ b−1·x = a−1·x⇔ f(Gxa) = f(Gxb).

Ası, f esta bien definida y es inyectiva. Ademas, es claro que f es suprayectiva. Porlo tanto, f es biyectiva y |Ox| = |G/Gx| = (G : Gx).

Ejemplo 1.8.9. Veremos una aplicacion bella de la formula orbita-estabilizador,

demostrando que |HK| = |H||K||H∩K| para cualesquiera subgrupos H y K de un grupo

finito G.Para contar el numero de elementos del conjunto HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K},hagamos actuar al grupo H × K sobre el conjunto HK de la siguiente manera:(h, k) ·x = hxk−1. Se deja al lector verificar que este mapeo es una accion. Observeque HK = Oe, ya que e = ee ∈ HK y hk = (h, k−1) · e. Luego, aplicando laformula orbita-estabilizador, tenemos que:

|Oe| = |HK| =|H ×K||(H ×K)e|

=|H ||K|

|{(h, k)|(h, k) · e = e}| .

Se deja al lector demostrar que {(h, k)|(h, k) · e = e} = {(h, h)|h ∈ H ∩K}, dedonde se sigue el resultado.

Si un grupo G actua sobre si mismo por conjugacion, entonces la orbita de x enG, Ox = {axa−1|a ∈ G} se llama clase de conjugacion de x. Si un subgrupo Hde un grupo G actua sobre G por conjugacion, entonces el estabilizador de x enG, Hx = {h ∈ H |h · x = x} = {h ∈ H |hxh−1 = x} = {h ∈ H |hx = xh} esel centralizador de x en H , CH(x). Cuando H = G, CG(x) es el centralizador de x.

Si H actua por conjugacion sobre el conjunto S de todos los subgrupos de G,entonces el subgrupo de H que deja fijo a K ∈ S, {h ∈ H |hKh−1 = K}, es elnormalizador de K en H y se denota por NH(K). Cuando H = G, NG(K) es elnormalizador de K.

Es facil ver que cada subgrupo K de G es normal en NG(K), y que K ⊳ G ⇔NG(K) = G.

Corolario 1.8.10. Sea G un grupo finito.


1. Si G actua sobre sı mismo por conjugacion, entonces:

a) El numero de elementos en la clase de conjugacion de x ∈ G es igual a(G : CG(x)), el cual divide a |G|.

b) Si Ox1, . . . , Oxn

son las clases conjugadas de G, con xi ∈ G, entonces:

|G| =n∑

i=1

(G : CG(xi)) ←− Ecuacion de clase.

2. Si K < G, entonces el numero de subgrupos de G conjugados a K es (G :NG(K)), el cual divide a |G|. (Dos subgrupos H y N de G son conjugadossi N = aHa−1 para algun a ∈ G.)

Demostracion. 1. a) Por el teorema anterior tenemos que |Ox| = (G : Gx)donde Gx = {a ∈ G|axa−1 = x} = CG(x). Luego, |Ox| = (G :

CG(x)). Como G es finito, tenemos que (G : CG(x)) = |G||CG(x)| , es

decir, (G : CG(x)) · |CG(x)| = |G|, de donde se sigue que (G : CG(x))divide a |G|.

b) Como la conjugacion es una relacion de equivalencia sobre G, tenemosqueG es una union disjunta de clases de conjugacion. SeanOx1

, . . . , Oxn,

con xi ∈ G, las distintas clases de conjugacion. Entonces, por lo demos-trado en el inciso 1, tenemos que |Oxi

| = (G : CG(xi)) para todoi = 1, . . . , n, y por lo tanto:

|G| =n∑

i=1

|Oxi| =

n∑

i=1

(G : CG(xi)).

2. Sea S el conjunto de los subgrupos de G. Consideremos la accion conjugacionde G sobre S, G × S → S, dada por (a,K) 7→ aKa−1. Entonces, la orbitade K ∈ S es:

OK = {H ∈ S|aKa−1 = H para algun a ∈ G} = {aKa−1|a ∈ G}

y el estabilizador de K es:

GK = {a ∈ G|a ·K = K} = {a ∈ G|aKa−1 = K} = NG(K).

Luego, OK contiene a los subgrupos de G conjugados a K, y por el teoremaanterior, tenemos que |OK | = (G : NG(K)). Finalmente, como G es finito

tenemos que (G : NG(K)) = |G||NG(K)| , es decir, (G : NG(K)) · |NG(K)| =

|G|, de donde se sigue que (G : NG(K)) divide a |G|.

Corolario 1.8.11. Si G es un grupo de orden pa con p numero primo y a ≥ 1entero, entonces Z(G) tiene orden pb con b ≥ 1, es decir, el centro de G es notrivial.


Demostracion. Como Z(G) < G y G es finito, el Teorema de Lagrange implica que|Z(G)| divide a |G|. Luego, |Z(G)| = pb para algun entero b ≥ 0. Ası que solofaltara demostrar que b 6= 0.Segun la ecuacion de clase, tenemos que:

|G| =n∑

i=1

(G : CG(xi))

donde CG(xi) = {a ∈ G|axia−1 = xi} = {a ∈ G|axi = xia}. Ademas, sabemospor el corolario anterior que (G : CG(xi)) divide a |G|.Por otro lado, tenemos que (G : CG(xi)) = 1 ⇔ |G| = |CG(xi)| (ya que Ges finito), y esto ultimo es equivalente a que G = CG(xi) pues CG(xi) ⊂ G y|G| = |CG(xi)| es finito. Por lo tanto, tenemos que (G : CG(xi)) = 1 ⇔ G =CG(xi)⇔ xi ∈ Z(G), y la ecuacion de clase se puede escribir en la forma:

|G| = |Z(G)| +l∑

j=1

(G : CG(xj))

donde (G : CG(xj)) > 1 para todo j = 1, . . . , l. Luego, p|(G : CG(xj)) para todoj = 1, . . . , l (pues |Oxj

| = (G : CG(xj)) > 1 es divisor de |G| = pa). Por lo

tanto, p es divisor de |G| −∑lj=1(G : CG(xj)) = |Z(G)| de donde se sigue que

|Z(G)| > 1. Ası, b 6= 0.

Teorema 1.8.12. Sea G un grupo finito con |G| > 1 y sea p el menor divisor primode |G|. Entonces, todo subgrupo de G de ındice p es normal en G.

Demostracion. Sea H un subgrupo de G de ındice p, es decir, |G/H | = p. Demos-traremos que H⊳G, mostrando que H es el kernel de un homomorfismo. Hagamosactuar a G sobre el conjunto de las clases laterales derechas G/H , de la siguientemanera (b,Ha) 7→ Hab−1. De acuerdo con la Proposicion 1.8.1, esta accion induceun homomorfismo f : G → A(G/H) dado por f(b) = Tb, donde la permutacionTb ∈ A(G/H) esta definida por Tb(Ha) = Hab−1.Como |G/H | = p, tenemos que A(G/H) ∼= Sp. Luego, si K es el kernel del homo-morfismo f , el Primer teorema de isomorfismo implica que G/K es isomorfo a unsubgrupo de Sp. Luego, por el Teorema de Lagrange, |G/K| divide a p!.Por otro lado, de acuerdo con la Proposicion 1.8.1, tenemos que K ⊂ H , de modoque K < H < G. Por lo tanto:

|G/K| = (G : K) = (G : H)(H : K) = p · (H : K).

Se sigue entonces que (H : K) divide a (p− 1)!. Como (H : K) tambien es divisorde |G|, su divisor primo mas pequeno debe ser mayor o igual que p. Pero esto nopuede ser, porque (H : K) divide a (p−1)!. Por lo tanto, (H : K) no tiene divisoresprimos. Luego, (H : K) = 1 o bien |H | = |K|, y de aquı H = K (pues K ⊂ Hy |H | = |K| es finito). Ası, H es el kernel del homomorfismo f y por lo tanto,H ⊳G.


Usaremos las acciones de grupos para demostrar el Teorema de Cauchy en el casogeneral. Antes, necesitamos un resultado preliminar.

Si G es un grupo que actua sobre un conjunto S, definimos el conjunto de loselementos de S que quedan fijos bajo la accion de G, como el conjunto:

S0 = {x ∈ S|a · x = x ∀ a ∈ G}.Teorema 1.8.13. Sea G un grupo de orden pn, con p numero primo, que actuasobre un conjunto finito S. Entonces, |S| ≡ |S0| (mod p).

Demostracion. Sea x ∈ S. Es facil ver que |Ox| = 1 si y solo si x ∈ S0 (si |Ox| = 1,entonces a · x = b · x para cualesquiera a, b ∈ G. En particular, a · x = e · x = xpara todo a ∈ G, de donde x ∈ S0). Luego, S es la union disjunta:

S = S0 ∪Ox1∪Ox2

∪ . . . ∪Oxl

donde |Oxi| > 1 para i = 1, . . . , l.

Entonces, |S| = |S0|+ |Ox1|+ · · ·+ |Oxl

|. Aplicando la formula orbita-estabilizador,tenemos que |Oxi

| = (G : CG(xi)) el cual divide a |G| = pn. Como |Oxi| > 1,

resulta que p es divisor de |Oxi| para todo i = 1, . . . , l. Por lo tanto, |Ox1

|+ · · ·+|Oxl| ≡ 0 (mod p), o bien, |S| ≡ |S0| (mod p).

Teorema 1.8.14 (Teorema de Cauchy). Si G es un grupo finito y p es un divisorprimo de |G|, entonces G tiene un elemento de orden p.

Demostracion. Supongamos que |G| = n y consideremos el conjunto:

S = {(a1, a2, . . . , ap)|ai ∈ G, a1a2 · · · ap = e}.Como ap esta determinado de manera unica como el inverso de a1a2 · · · ap−1, te-nemos que |S| = np−1. Como p|n, tenemos que |S| ≡ 0 (mod p). Consideremos algrupo Zp actuando sobre S mediante una permutacion cıclica, es decir, para k ∈ Zpdefinimos:

k · (a1, a2, . . . , ap) = (ak+1, ak+2, . . . , ap, a1, a2, . . . , ak).

Veamos que (ak+1, ak+2, . . . , ap, a1, . . . , ak) ∈ S. Sean a = a1a2 · · ·ak y b =ak+1ak+2 · · · ap. Como ab = e, tenemos que ba = (a−1a)(ba) = a−1(ab)a =a−1ea = e y ası (ak+1, ak+2, . . . , ap, a1, . . . , ak) ∈ S.Demostraremos que el mapeo dado es una accion.

1. Si x = (a1, a2, . . . , ap) ∈ S, entonces:0 · (a1, a2, . . . , ap) = (a0+1, a0+2, . . . , a0+p) = (a1, a2, . . . , ap).

2. Si r, s ∈ Zp y x = (a1, a2, . . . , ap) ∈ S, entonces:(r + s) · x = (ar+s+1, ar+s+2, . . . , ap, a1, . . . , ar+s)

= r · (as+1, as+2, . . . , ap, a1, . . . , as)

= r · (s · x).


Demostraremos que (a1, a2, . . . , ap) ∈ S0 si y solo si a1 = a2 = · · · = ap. Enefecto:

(a1, a2, . . . , ap) ∈ S0 ⇔ k · (a1, a2, . . . , ap) = (a1, a2, . . . , ap) ∀k ∈ Zp

⇔ (a1+k, a2+k, . . . , ap, a1, . . . , ak) = (a1, . . . , ap) ∀k ∈ Zp

⇔ a1 = a1+k, a2 = a2+k, . . . , ap = ak ∀k ∈ Zp

⇔ a1 = a2 = · · · = ap.

Luego, tenemos que (e, e, . . . , e) ∈ S0 y de aquı, |S0| 6= 0. Por otra parte, si hacemosG = Zp en el teorema anterior, tenemos que 0 ≡ |S| ≡ |S0| (mod p). Ası, |S0| 6= 0y |S0| ≡ 0 (mod p), de donde se sigue que en S0 hay al menos p elementos. Luego,existe a ∈ G, con a 6= e, tal que (a, a, . . . , a) ∈ S0 ⊂ S, de modo que ap = e.Como p es primo, se sigue que |a| = p. Es decir, a es un elemento de orden p enG.

1.8.1. Ejercicios

1. Si G es un grupo de orden 21 y a ∈ G es tal que |a| = 7, demuestre que〈a〉⊳G.

2. Demuestre que todo grupo de orden p2, con p numero primo, tiene un sub-grupo normal de orden p.

3. Demuestre que todo grupo de orden p2, con p numero primo, es abeliano.

4. Sea G un grupo de orden pa con p numero primo y a ≥ 1 entero. SeaN un subgrupo normal no trivial de G. Demuestre que N ∩ Z(G) 6= {e}.(Sugerencia: use la accion conjugacion eligiendo cuidadosamente el grupo yel conjunto.)

1.9. Los Teoremas de Sylow

Si un entero positivo m divide al orden de un grupo finito G, ¿podemos afirmarque G tiene un subgrupo de orden m? Si la respuesta fuera afirmativa, este serıael recıproco del Teorema de Lagrange. Sin embargo, se puede demostrar que S4

tiene un subgrupo H de orden 12 y H no tiene subgrupos de orden 6. Es decir, elrecıproco del Teorema de Lagrange no es verdadero.Sin embargo, cuando m es potencia de un numero primo, el recıproco del Teoremade Lagrange sı es verdadero (primer teorema de Sylow).

Definicion 1.9.1. Sea p un numero primo. Un grupo en el cual cada elementodistinto de la identidad tiene orden una potencia de p, se llama p-grupo. Si H < Gy H es un p-grupo, se dice que H es un p-subgrupo de G.

Proposicion 1.9.2. Un grupo finito G es un p-grupo si y solo si |G| es una potenciade p.


Demostracion. Si G = {e} no hay nada que demostrar. Supongamos entonces queG 6= {e}.(⇒) : Si |G| no es una potencia de p, entonces existe un numero primo q tal queq 6= p y q | |G|. Luego, por el Teorema de Cauchy, G tiene un elemento de orden q,lo que es una contradiccion, pues q no es potencia de p.(⇐) : Si |G| = pm para algun entero m ≥ 1, entonces por el Teorema de Lagrange,para cada g ∈ G, con g 6= e, existe a(g) entero positivo tal que |g| = pa(g), dedonde se sigue que G es un p-grupo.

Lema 1.9.3. Si H es un p-subgrupo de un grupo finito G, entonces:

(NG(H) : H) ≡ (G : H) (mod p).

Demostracion. Hagamos actuar al subgrupo H sobre el conjunto G/H de las claseslaterales derechas de H en G como sigue:

(h,Hx) 7→ Hxh−1.

Como G es finito, tenemos que |G/H | = (G : H) tambien es finito.Recordando que S0 es el conjunto de los elementos de G/H que quedan fijos bajola accion, tenemos que S0 = {Hx|Hxh−1 = Hx∀h ∈ H}. Luego:

Hx ∈ S0 ⇔ Hxh−1 = Hx∀h ∈ H⇔ xhx−1 ∈ H ∀h ∈ H⇔ xHx−1 ⊂ H⇔ xHx−1 = H (xHx−1 ⊂ H y |xHx−1| = |H | es finito)⇔ x ∈ NG(H),

de donde |S0| = (NG(H) : H). El resultado se sigue aplicando el Teorema 1.8.13.

Corolario 1.9.4. Si H es un p-subgrupo de un grupo finito G tal que p|(G : H),entonces NG(H) 6= H .

Demostracion. Por el lema anterior, tenemos que:

0 = (G : H) ≡ (NG(H) : H) (mod p).

Por otra parte, tenemos que (NG(H) : H) ≥ 1, pues H ∈ NG(H)/H . Luego,(NG(H) : H) > 1 y por lo tanto, NG(H) 6= H (observe que (NG(H) : H) = 1⇔NG(H) = H , si NG(H) es finito).

Teorema 1.9.5 (Primer teorema de Sylow). Sea G un grupo de orden pnm conn ≥ 1, p numero primo y (p,m) = 1. Entonces G contiene un subgrupo de ordenpi para cada 1 ≤ i ≤ n, y cada subgrupo de G de orden pi, con i < n, es normalen algun subgrupo de orden pi+1.


Demostracion. Procederemos por induccion sobre i.Caso base: i = 1. Como p divide a |G|, por el Teorema de Cauchy G tiene unelemento de orden p, y en consecuencia G contiene un subgrupo de orden p. Bastademostrar entonces que cada subgrupoH de G de orden p (con n > 1) es normal en

algun subgrupo de orden p2. Como (G : H) = |G||H| =

pnmp = pn−1m y n− 1 > 0,

tenemos que p divide a (G : H). Luego, por el corolario anterior, tenemos queH 6= NG(H), y por el lema anterior tenemos que (NG(H) : H) ≡ 0 (mod p). SeaN1 = NG(H). Como H ⊳N1 (¡pruebese!), segun el Teorema de Cauchy tenemosque el grupo N1/H tiene un elemento de orden p, y por lo tanto N1/H contieneun subgrupo H1 de orden p. Luego, por el Corolario 1.7.9, H1 = N2/H dondeN2 es un subgrupo de N1 y N2 contiene a H . Entonces, p = |H1| = |N2/H | =|N2|/|H | = |N2|/p de donde se sigue que |N2| = p2. Ası, H es un subgrupo normalde N2 (pues H1 = N2/H es un grupo) y el orden de N2 es p2.Supongamos que G contiene un subgrupo H de orden pb con b < n.

Como (G : H) = |G||H| = pnm

pb= pn−bm y n − b > 0, tenemos que (G : H) ≡ 0

(mod p). Luego, por el lema anterior (NG(H) : H) ≡ 0 (mod p), y por el Teoremade Cauchy, el grupo NG(H)/H contiene un subgrupo de orden p. Nuevamente porel Corolario 1.7.9, dicho subgrupo es de la forma H ′/H donde H ′ es un subgrupo deNG(H) que contiene a H . Ası, H ⊳H ′ y |H ′| = |H | · |H ′/H | = pb · p = pb+1.

Definicion 1.9.6. Un subgrupo P de un grupo G es un p-subgrupo de Sylow siP es un p-subgrupo de G maximal en el sentido de que si P < H < G con Hp-grupo, entonces P = H .

Corolario 1.9.7. Sea G un grupo de orden pnm con p numero primo, n ≥ 1 y(m, p) = 1. Sea H un p-subgrupo de G.

1. H es un p-subgrupo de Sylow de G si y solo si |H | = pn.

2. Cada conjugado de un p-subgrupo de Sylow es un p-subgrupo de Sylow.

3. Si P es el unico p-subgrupo de Sylow de G, entonces P ⊳G.

Demostracion. 1. Sea H un p-subgrupo de Sylow de G. Como H es un p-grupo,tenemos que |H | es una potencia de p segun la Proposicion 1.9.2. Si |H | < pn,entonces por el Primer teorema de Sylow H es normal en un subgrupo H ′ deG de orden pa+1 donde |H | = pa con a < n. Entonces, H ′ es un p-grupo talque H < H ′ < G, y por la maximalidad de H se sigue que H = H ′, lo quees una contradiccion, pues |H | = pa y |H ′| = pa+1. Por lo tanto, |H | = pn.Recıprocamente, supongamos que |H | = pn y sea P un p-grupo tal queH < P < G. Por la Proposicion 1.9.2 tenemos que |P | = pk con k ≥ n.Supongamos que k > n. Como pnm = |G| = (G : P ) · |P | = (G : P ) · pk,tenemos que m = (G : P ) ·pk−n con k−n > 0. Luego, p|m lo que contradiceel hecho de que (m, p) = 1. Por lo tanto, k = n y P = H , es decir, H es unp-subgrupo de Sylow de G.


2. Sea H un p-subgrupo de Sylow de G. Por el inciso 1, tenemos que |H | = pn.Como cada conjugado de H es de la forma g−1Hg con g ∈ G, y |g−1Hg| =|H |, tenemos nuevamente por el inciso 1 que g−1Hg es un p-subgrupo deSylow de G para cada g ∈ G.

3. Sea P el unico p-subgrupo de Sylow de G. Por el inciso 2 tenemos que g−1Pges un p-subgrupo de Sylow de G para todo g ∈ G. Luego, P = g−1Pg paratodo g ∈ G, y por lo tanto P ⊳G.

Teorema 1.9.8 (Segundo teorema de Sylow). Si H es un p-subgrupo de un grupofinito G y P es un p-subgrupo de Sylow de G, entonces existe x ∈ G tal que H <x−1Px. En particular, cualesquiera dos p-subgrupos de Sylow de G son conjugados.

Demostracion. Sea |G| = pnm donde p es un numero primo tal que (m, p) = 1 yn ≥ 1. Hagamos actuar al subgrupo H sobre el conjunto finito G/P de las claseslaterales derechas de P en G de la siguiente manera:

(h, Px) 7→ Pxh−1.

Luego, en este caso, el conjunto de los elementos de G/P que quedan fijos bajo laaccion es S0 = {Px|Pxh−1 = Px ∀h ∈ H}. Por el Teorema 1.8.13 tenemos que|S0| ≡ |G/P | (mod p). Por otra parte, como P es un p-subgrupo de Sylow de G,

el corolario anterior implica que |P | = pn, y por lo tanto |S0| ≡ |G||P | = m (mod p).

Como (m, p) = 1, se sigue que |S0| 6= 0. Luego, existe x ∈ G tal que Px ∈ S0.Ahora, es facil ver que:

Px ∈ S0 ⇔ P = Pxhx−1 ∀h ∈ H⇔ xhx−1 ∈ P ∀h ∈ H⇔ xHx−1 < P

⇔ H < x−1Px.

Hemos demostrado ası que existe x ∈ G tal que H < x−1Px. En particular, si Hes un p-subgrupo de Sylow de G, entonces por el corolario anterior tenemos que|H | = pn = |P | = |x−1Px| y por lo tanto H = x−1Px. Es decir, H y P sonconjugados.

Teorema 1.9.9 (Tercer teorema de Sylow). Sea G un grupo finito tal que |G| =pnm donde p es un numero primo, (m, p) = 1 y n ≥ 1. Si np es el numero dep-subgrupos de Sylow de G, entonces np|m y np ≡ 1 (mod p).

Demostracion. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G. De acuerdo con el Corola-rio 1.9.7 y el Segundo teorema de Sylow, np es igual al numero de conjugados deP . Luego, segun el Corolario 1.8.10 tenemos que np = (G : NG(P )) y np dividea |G|. Entonces, np = pkr con k ≥ 0 y r|m. Hagamos actuar al grupo P sobreel conjunto S de todos los p-subgrupos de Sylow de G por conjugacion. Tenemos


que |S| = np y el conjunto de elementos de S que quedan fijos bajo la accion esS0 = {Q ∈ S|xQx−1 = Q ∀x ∈ P}. Luego, es facil ver que:

Q ∈ S0 ⇔ xQx−1 = Q ∀x ∈ P ⇔ P < NG(Q) = {g ∈ G|gQg−1 = Q}.

Como P y Q son subgrupos de NG(Q), y ambos son p-subgrupos de Sylow de G,se sigue que P y Q son p-subgrupos de Sylow de NG(Q). Luego, de acuerdo con elSegundo teorema de Sylow, los grupos P y Q son conjugados en NG(Q). Es decir,Q = x0Px

−10 para algun x0 ∈ NG(Q). Por otra parte, como Q⊳NG(Q) tenemos

que xQx−1 = Q para todo x ∈ NG(Q), en particular, x0Qx−10 = Q. Entonces,

x0Qx−10 = x0Px

−10 y de aquı Q = P . Por lo tanto, S0 = {P}. Finalmente, de

acuerdo con el Teorema 1.8.13 tenemos que |S| ≡ |S0| (mod p), es decir, np =pkr ≡ 1 (mod p). Luego, la unica posibilidad es k = 0 y de aquı, np = r.

Ejemplo 1.9.10. Todo grupo de orden 15 es cıclico, es decir, es isomorfo a Z15.

En efecto, sea G un grupo de orden 15. Aplicando el Tercer teorema de Sylow,tenemos que n3|5 y n3 ≡ 1 (mod 3). Luego, es facil ver que la unica posibilidad esn3 = 1. Por lo tanto, G tiene un unico 3-subgrupo de Sylow H el cual es normal enG y |H | = 3. De manera analoga, tenemos que n5|3 y n5 ≡ 1 (mod 5), de donden5 = 1. Ası, G tiene un unico 5-subgrupo de Sylow K el cual es normal en G y|K| = 5. Como K ∩H es subgrupo de H y de K, el Teorema de Lagrange implica

que |K ∩H | = 1 y por lo tanto |HK| = |H|·|K||H∩K| = 15. Como HK ⊂ G, se sigue

que HK = G. Por otra parte, como los ordenes de H y K son numeros primos,ambos grupos son cıclicos y en consecuencia abelianos. Ademas, segun el Ejemplo5 de los Ejemplos 1.6.3 tenemos que hk = kh para todo h ∈ H y k ∈ K. Estoimplica que G = HK tambien es abeliano (¡pruebese!), y por el Ejercicio 10 de laSeccion 1.3 se sigue que G tiene un subgrupo cuyo orden es igual a 3 · 5 = 15, loque significa que G es cıclico.

En el ejemplo anterior, se ha demostrado implıcitamente que ningun grupo de orden15 es simple. Veamos tres aplicaciones mas de los Teoremas de Sylow para demostrarque ciertos grupos finitos no son simples.

Proposicion 1.9.11. Si G es un grupo de orden n = pqa con p y q numeros primostales que p < q y a ≥ 1, entonces G no es simple.

Demostracion. Aplicando el Tercer teorema de Sylow, tenemos que nq|p y nq ≡ 1(mod q). Como p < q, la unica posibilidad es que nq = 1. Luego, G tiene un unicoq-subgrupo de Sylow Q, y por lo tanto Q ⊳ G. Como |Q| = qa (ver el corolarioanterior), tenemos que Q es un subgrupo propio normal no trivial de G, lo quesignifica que G no es simple.

El resultado anterior se puede generalizar si hay un primo que “domina” al ordendel grupo.

Proposicion 1.9.12. Sea G un grupo de orden pam con p numero primo, (m, p) =1, a ≥ 1 y m > 1. Si p > m, entonces G no es simple.


Demostracion. Demostraremos que G tiene un unico p-subgrupo de Sylow. En efec-to, supongamos que G tiene dos p-subgrupos de Sylow distintos K y L. Entonces,|K| = |L| = pa, y en consecuencia |K ∩ L| = pb (pues K ∩ L es subgrupo de K).

Como K 6= L, tenemos que b < a. De aquı que |KL| = |K|·|L||K∩L| = p2a−b. Como

KL ⊂ G, tenemos que |KL| ≤ |G|, es decir, p2a−b ≤ pam, de donde pa−b ≤ m.Luego, p ≤ pa−b ≤ m < p lo que es una contradiccion. Por lo tanto, G tiene ununico p-subgrupo de Sylow, el cual es normal en G (ver Corolario 1.9.7) y es distintode {e} y de G, lo que significa que G no es simple.

Concluimos esta seccion demostrando que ningun grupo de orden 12 es simple. Co-mo 12 = 22 · 3, el Tercer teorema de Sylow nos dice que n3 = 1 o 4, y que n2 = 1o 3.Si G es simple, entonces n3 = 4. Sean K y L 3-subgrupos de Sylow distintos.Entonces, |K| = |L| = 3. Por el Teorema de Lagrange, |K ∩ L| = 1 o 3. ComoK 6= L, la unica posibilidad es |K ∩ L| = 1, de donde K ∩ L = {e}. Por lo tanto,cualesquiera dos de los cuatro 3-subgrupos de Sylow de G se intersectan solo enla identidad e, de modo que cada uno de ellos (cada uno tiene orden 3) tiene 2elementos de orden 3. Es decir, entre los cuatro hay 8 elementos de orden 3.Por otra parte, como G es simple, tenemos tambien que n2 = 3. Sean H y N 2-subgrupos de Sylow distintos. Entonces, |H | = |N | = 22 = 4. Nuevamente, por elTeorema de Lagrange |H∩N | = 1, 2 o 4. Como H 6= N , tenemos que |H∩N | 6= 4.Si |H ∩N | = 1, entonces G tendrıa al menos 6 elementos de orden 2 o 4, que juntocon los 8 elementos de orden 3 y la identidad, G tendrıa al menos 8 + 6 + 1 = 15elementos, lo que es una contradiccion. Finalmente, si |H ∩ N | = 2, entonces Gtendrıa por lo menos 5 elementos de orden 2 o 4, que junto con los 8 elementos deorden 3 y la identidad, G tendrıa por lo menos 8+ 5+ 1 = 14 elementos, lo que esuna contradiccion. Por lo tanto, G no es simple.

Ejercicio. Demuestre que ningun grupo de orden 28 es simple.

1.9.1. Ejercicios

1. Sea G un grupo no necesariamente finito, y sea N ⊳ G. Si N y G/N sonambos p-grupos, demuestre que G es un p-grupo.

2. Sea G un p-grupo infinito. Demuestre que G tiene un subgrupo de orden pn

para cada n ≥ 1 o existe un entero positivo m tal que cada subgrupo finitode G tiene orden menor o igual que pm.

3. Sea G un grupo finito tal que |G| = pnq con p > q, donde p y q son numerosprimos. Demuestre que G contiene un unico subgrupo normal de ındice q.

4. Imite la demostracion del Ejemplo 1.9.10 para demostrar que un grupo deorden pq con p y q numeros primos tales que p < q y q 6≡ 1 (mod p) escıclico, y en consecuencia isomorfo a Zpq.


5. Sea G un grupo finito tal que |G| = pnm donde p es un numero primo queno divide a m. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G y sea H un subgrupo deG que contiene a P . Demuestre que P es un p-subgrupo de Sylow de H .

6. ¿Cuantos elementos de orden 7 tiene un grupo simple de orden 168? Justifiquesu respuesta.

7. Sea G un grupo finito y sea H ⊳ G tal que |H | = pk con p numero primo.Demuestre que H esta contenido en cada p-subgrupo de Sylow de G.

8. Sea G un grupo finito. Si P es un p-subgrupo de Sylow de G tal que P ⊳G yf : G→ G es un homomorfismo, demuestre que f(P ) es un subgrupo de P .

9. Sea G un grupo finito. Si P es un p-subgrupo de Sylow de G y P ⊳ G,demuestre que P es el unico p-subgrupo de Sylow de G.

10. Sea G un grupo finito tal que |G| = pn con p numero primo y n ≥ 1.Demuestre que para cada entero k, con 0 ≤ k ≤ n, G contiene un subgruponormal de orden pk.

11. Sea G un grupo de orden p2q con p y q numeros primos distintos. Demuestreque G no es simple.

12. Sea G un grupo de orden pqr con p, q, r numeros primos tales que p < q < r.Demuestre que G contiene un subgrupo de Sylow normal en G para algunp, q o r.


Capıtulo 2

Teorıa de Anillos

2.1. Anillos y propiedades basicas

Definicion 2.1.1. 1. Un anillo R es un un conjunto junto con dos operacionesbinarias + y · (llamadas suma y multiplicacion) que satisfacen los siguientesaxiomas:

a) (R,+) es un grupo abeliano,

b) ∀a, b, c ∈ R, (a · b) · c = a · (b · c),c) ∀a, b, c ∈ R, (a+ b) · c = (a · c) + (b · c) y (a · (b+ c) = (a · b) + (a · c).

2. R es conmutativo si ∀a, b ∈ R, a · b = b · a.

3. R tiene unitario 1 si existe un elemento 1 ∈ R tal que 1 · a = a = a · 1 paratodo a ∈ R. (Z es un anillo con unitario y 2Z es un anillo sin unitario, conlas operaciones usuales de suma y multiplicacion).

Escribiremos ab en lugar de a · b para a, b ∈ R.

La condicion sobre R de ser un grupo con la suma es un tanto natural, sin embargoparece no ser tan natural pedir que este grupo sea abeliano. Una motivacion de estose debe a que si R tiene 1, la conmutatividad de la suma es forzada por las leyesdistributivas, como veremos a continuacion.

Si R tiene unitario 1, entonces:

(1 + 1)(a+ b) = 1(a+ b) + 1(a+ b)

= 1a+ 1b+ 1a+ 1b

= a+ b+ a+ b,

49

y

(1 + 1)(a+ b) = (1 + 1)a+ (1 + 1)b

= 1a+ 1a+ 1b+ 1b

= a+ a+ b+ b.

Luego:a+ b+ a+ b = a+ a+ b+ b⇒ b+ a = a+ b.

Definicion 2.1.2. Un anillo R con unitario 1, donde 1 6= 0, es un anillo de divisionsi cada elemento distinto de 0, a ∈ R, tiene un inverso multiplicativo, es decir,existe b ∈ R tal que ab = ba = 1. Un anillo conmutativo de division es un campo.

Ejemplos 2.1.3. 1. Z con las operaciones de suma y multiplicacion usuales esun anillo con unitario.

2. Q, R y C con las operaciones usuales de suma y multiplicacion son anilloscon unitario.

3. (Los cuaterniones reales) Sea H la coleccion de los elementos de la formaa+bi+cj+dk donde a, b, c, d ∈ R, con la suma definida “por componentes”de la siguiente manera:

(a+bi+cj+dk)+(a′+b′i+c′j+d′k) = (a+a′)+(b+b′)i+(c+c′)j+(d+d′)k

y la multiplicacion se define expandiendo (a+bi+cj+dk)(a′+b′i+c′j+d′k)usando la ley distributiva y simplificando usando las relaciones:

i2 = j2 = k2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j,

donde los numeros reales conmutan con i, j, k. Por ejemplo:

(1 + i+ 2j)(j + k) = 1(j + k) + i(j + k) + 2j(j + k)

= j + k + ij + ik + ik + 2j2 + 2jk

= j + k + k + (−j) + 2(−1) + 2i = −2 + 2i+ 2k.

Se deja al lector verificar que H es un anillo no conmutativo con unitario(1 = 1 + 0i + 0j + 0k). De manera analoga se puede definir el anillo de loscuaterniones racionales, considerando a, b, c, d numeros racionales. Los cua-terniones reales y racionales son ambos anillos de division, donde los inversosde los elementos distintos de cero estan dados por:

(a+ bi+ cj + dk)−1 =a− bi− cj − dka2 + b2 + c2 + d2

.

Proposicion 2.1.4. Si R es un anillo, entonces:

1. 0a = a0 = 0 para todo a ∈ R.


2. (−a)b = a(−b) = −(ab) para todo a, b ∈ R.

3. (−a)(−b) = ab para todo a, b ∈ R.

4. Si R tiene unitario 1, entonces es unico y −a = (−1)a.

Demostracion. 1. 0a = (0 + 0)a = 0a+ 0a⇒ 0a = 0.

2. ab+ (−a)b = (a+ (−a))b = 0b = 0⇒ (−a)b = −(ab).Las propiedades 3 y 4 se dejan de ejercicio.

Ejemplo 2.1.5. Sea R un anillo tal que x2 = x para todo x ∈ R. Demostrar queR es conmutativo.

Demostracion. Sean x, y ∈ R. Entonces:

x+ y = (x+ y)2 = x2 + xy + yx+ y2

= x+ xy + yx+ y

xy + yx = 0.

Luego, 0 = x(xy+ yx) = x2y+xyx = xy+xyx y 0 = (xy+ yx)x = xyx+ yx2 =xyx+ yx, de donde:

xy + xyx = xyx + yx⇔ xy = yx.

Ejercicio 2.1.6. Sea R un anillo tal que x3 = x para todo x ∈ R. Demostrarque R es conmutativo. (Sugerencia: Dados x, y ∈ R, demuestre que xy2 = y2xy2

considerando la igualdad xy2 − y2xy2 = (xy2 − y2xy2)3. Luego demuestre demanera analoga que y2x = y2xy2. Use esto y la igualdad xy = (xy)3 para obtenerel resultado.)

Definicion 2.1.7. Sea R un anillo.

1. Un elemento distinto de 0, a ∈ R, se llama divisor de cero si existe un elementob 6= 0 en R tal que ab = 0 o ba = 0.

2. Si R tiene unitario 1 6= 0, un elemento u ∈ R se llama unidad si existe v ∈ Rtal que uv = vu = 1.

Observe que las unidades en un anillo R forman un grupo bajo la multiplicacion.(Si F es un campo, entonces su grupo de unidades es F − {0}). Ningun divisor decero puede ser una unidad, pues si a ∈ R es una unidad y ab = 0 para algun b ∈ R,b 6= 0, entonces existe v ∈ R tal que va = 1 y por lo tanto, b = 1b = (va)b =v(ab) = v0 = 0, que es una contradiccion. En particular, un campo no contienedivisores de cero.


Definicion 2.1.8. Un anillo conmutativo con unitario 1 6= 0 se llama dominio enterosi no tiene divisores de cero.

Z es un dominio entero que no es campo.

Proposicion 2.1.9. Todo dominio entero finito es un campo.

Demostracion. Si R es un dominio entero finito y a ∈ R, a 6= 0, definimos la funcionf : R → R dada por f(x) = ax. Esta funcion es inyectiva (ejercicio). Como R esfinito, f tambien es suprayectiva. Luego, dado 1 ∈ R, existe b ∈ R tal que ab = 1.Como R es conmutativo, ba = ab = 1. Por lo tanto, R es un campo.

Definicion 2.1.10. S ⊂ R es un subanillo de un anillo R si S es un subgrupo deR que es cerrado bajo la multiplicacion, es decir, si para cualesquiera a, b ∈ S, setiene que a− b ∈ S y ab ∈ S.

Ejemplos 2.1.11.

Si R y S son anillos, entonces el producto de anillos R×S es un anillo con las ope-raciones de suma y multiplicacion por componente. Ademas, R×S es conmutativosi y solo si R y S son conmutativos. Tambien, R× S tiene unitario si y solo si R yS tienen unitarios.

El centro de un anillo R:

C(R) = {r ∈ R|rs = sr ∀s ∈ R}

es un subanillo de R.

2.1.1. Ejercicios

1. De un ejemplo de un anillo con unitario 1 que tenga un subanillo con unitario1′ tal que 1′ 6= 1.

2. Sea R un anillo que contiene al menos dos elementos. Suponga que para cadaa ∈ R, a 6= 0, existe un unico b ∈ R tal que aba = a. Demuestre que:

a) R no tiene divisores de cero.

b) bab = b.

3. Sea R un anillo con unitario 1 6= 0. Un elemento no nulo a es un divisorizquierdo (derecho) de cero en R, si existe en R un elemento no nulo b talque ab = 0 (ba = 0). Un elemento u ∈ R tiene un inverso izquierdo (derecho)en R, si existe algun elemento u′ ∈ R tal que u′u = 1 (uu′ = 1).

a) Demuestre que si u tiene un inverso derecho, entonces u no es un divisorderecho de cero.

b) Demuestre que si u tiene mas de un inverso derecho, entonces u es undivisor izquierdo de cero.


4. Sea R un anillo tal que x4 = x para todo x ∈ R. Demostrar que R esconmutativo. (Sugerencia: Notar que xy = 0 ⇒ yx = 0. Mostrar que estoimplica que xy3 = y3x para todo x, y ∈ R. Mostrar que x = −x para todox ∈ R y que esto implica que (x + x2)n = x + x2 para todo n ∈ Z+. Usaresta relacion con n = 3 y con (x+ y2) + (x+ y2)2.)

5. Sea R un anillo con unitario 1. Un elemento a ∈ R se dice tener un inversoizquierdo si ba = 1 para algun b ∈ R. Demuestre que si el inverso izquierdo bde a es unico, entonces ab = 1, de modo que b tambien es un inverso derechode a.

2.2. Homomorfismos de anillos y anillo cociente

Definicion 2.2.1. Sean R y S anillos.

1. Un homomorfismo de anillos es un mapeo f : R→ S que satisface:

a) f(a+ b) = f(a) + f(b) para todo a, b ∈ R.b) f(ab) = f(a)f(b) para todo a, b ∈ R.

2. El kernel del homomorfismo de anillos f , ker(f), es el conjunto:

ker(f) = {r ∈ R|f(r) = 0}.

3. Un homomorfismo de anillos biyectivo es un isomorfismo. Si f es un isomor-fismo de anillos, decimos que los anillos R y S son isomorfos y escribimosR ∼= S.

Proposicion 2.2.2. Sea f : R→ S un homomorfismo de anillos.

1. Si R′ es un subanillo de R, entonces f(R′) es un subanillo de S. En particular,la imagen de f es un subanillo de S.

2. Si S′ es un subanillo de S, entonces f−1(S′) es un subanillo de R. En parti-cular, ker(f) es un subanillo de R.


Definicion 2.2.3. Sea R un anillo.

1. Si n ∈ Z y a ∈ R, definimos na = a+ a+ · · ·+ a︸︷︷︸

n

si n > 0, na =

(−a) + (−a) + · · ·+ (−a)︸︷︷︸

|n|

si n < 0 y na = 0 si n = 0.

2. Si existe un entero positivo n mas pequeno tal que na = 0 para todo a ∈ R,decimos que R tiene caracterıstica n. Si no existe dicho entero decimos queR tiene caracterıstica 0.


El anillo Zn tiene caracterıstica n y el anillo Z tiene caracterıstica 0.

Teorema 2.2.4. Sea R un anillo con unitario 1 6= 0 y caracterıstica n > 0.

1. Si f : Z → R esta dado por m 7→ m1, entonces f es un homomorfismo deanillos con kernel nZ.

2. n es el menor entero positivo tal que n1 = 0.

3. Si R no tiene divisores de cero (en particular, si R es un dominio entero),entonces n es primo.

Demostracion. 1. La funcion f : Z → R dada por m 7→ m1 es claramente unhomomorfismo de anillos.En efecto, demostremos que f es un homomorfismo de grupos. Seanm, l ∈ Z.Supongamos que m ≤ 0 y l ≥ 0. Tenemos dos casos:1. l ≤ |m|. En este caso, se sigue que m+ l ≤ 0. Luego:

f(m+ l) = (m+ l)1 = (−1) + (−1) + · · ·+ (−1)︸︷︷︸

|m+l|=−(m+l)=−m−l=|m|−l

= (−1) + · · ·+ (−1)︸︷︷︸

|m|

+1+ · · ·+ 1︸︷︷︸

l

= m1 + l1 = f(m) + f(l)

2. l > |m|. En este caso, se sigue que m + l > 0. Ademas, como m ≤ 0tenemos que l +m = l − |m|. Luego:

f(m+ l) = (m+ l)1 = 1 + 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸

m+l=l−|m|

= 1 + 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸

l

+(−1) + (−1) + · · ·+ (−1)︸︷︷︸

|m|

= f(l) + f(m).

Los casos m ≥ 0, l ≥ 0; m ≤ 0, l ≤ 0; y m ≥ 0, l ≤ 0 se desarrollan demanera similar.Se deja de ejercicio al lector verificar que f(ml) = f(m)f(l) para todo m, l ∈Z.Supongamos que m ∈ ker(f), entonces m1 = 0. Luego, si m > 0 tenemosque:

ma = m(1 · a) = 1 · a+ 1 · a+ · · ·+ 1 · a︸︷︷︸

m

= (1 + 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸

m

)a

= (m1)a = 0a = 0


para todo a ∈ R. De manera analoga, si m ≤ 0 entonces ma = 0 para todoa ∈ R.Por el algoritmo de la division en Z tenemos que m = nq+ r con 0 ≤ r < n,y por lo tanto:

0 = ma = (nq + r)a = (nq)a+ ra = ra,

de donde r = 0 (pues la caracterıstica de R es n). Ası, m = nq o bienker(f) ⊂ nZ. La otra contencion es clara.

2. Debemos demostrar que la caracterıstica de R es n si y solo si n es el menorentero positivo tal que n1 = 0.Si la caracterıstica de R es n, tenemos que na = 0 para todo a ∈ R, enparticular n1 = 0. Ahora, si m1 = 0 con 0 < m < n, entonces (m1)a =0a = 0 para todo a ∈ R (observe que m1 ∈ R), es decir, m(1 · a) = 0 paratodo a ∈ R. Como 1 · a = a, se sigue que ma = 0 para todo a ∈ R, loque contradice la definicion de n. Recıprocamente, supongamos que n es elmenor entero positivo tal que n1 = 0. Entonces, (n1)a = 0a = 0 para todoa ∈ R y por lo tanto na = 0 para todo a ∈ R (pues (n1)a = n(1a) = na).Finalmente, si ma = 0 para todo a ∈ R con m < n, tenemos en particularque m1 = 0 lo que contradice la hipotesis.

3. Si n no es primo, entonces n = kr con 1 < k < n y 1 < r < n. Luego:

0 = n1 = (kr)1 = (k1)(r1).

Como R no tiene divisores de cero y k1, r1 ∈ R, se sigue que k1 = 0 or1 = 0. En cualquier caso, contradecimos la definicion de n segun el incisoanterior.

Definicion 2.2.5. Sean R un anillo e I un subanillo de R. Diremos que I es unideal izquierdo (derecho) si rI ⊂ I para todo r ∈ R (Ir ⊂ I para todo r ∈ R). SiI es un ideal izquierdo y derecho, diremos que I es un ideal bilateral o simplementeun ideal de R.

Proposicion 2.2.6. Sea f : R → S un homomorfismo de anillos. Si J es unideal (izquierdo, derecho o bilateral) de S, entonces f−1(J) es un ideal (izquierdo,derecho o bilateral) de R. En particular, ker(f) es un ideal de R.

Demostracion. Sea J un ideal izquierdo de S. Entonces sJ ⊂ J para todo s ∈ S.Sean r ∈ R y z ∈ f−1(J). Entonces f(r) ∈ S y f(z) ∈ J . Luego, f(r)f(z) ∈ J yaque J es ideal de S, y como f es homomorfismo tenemos que f(rz) ∈ J . Luego,rz ∈ f−1(J) y ası f−1(J) es un ideal izquierdo de R. De manera analoga se hacela prueba para ideales derechos y bilaterales.

De acuerdo con lo visto en grupos, si J es subanillo de R, entonces (J,+) es unsubgrupo normal de (R,+) y R/J es un grupo cuyos elementos son de la formax+ J , con x ∈ R. La pregunta natural es que debe cumplir J adicionalmente paraque R/J sea un anillo.


Proposicion 2.2.7. Sean R un anillo y J un subanillo de R. Entonces R/J conlas operaciones (a+ J) + (b + J) = (a+ b) + J y (a+ J)(b + J) = ab + J es unanillo si y solo si J es un ideal de R. A este anillo R/J se le llama anillo cociente.

Demostracion. (⇐): Sea J un ideal de R. Demostraremos que el producto (a +J)(b+J) = ab+J en R/J esta bien definido. En efecto, supongamos que a+J =a′+J y b+J = b′+J . Debemos demostrar que (a+J)(b+J) = (a′+J)(b′+J),es decir que ab+ J = a′b′ + J .De la igualdad a+J = a′ + J tenemos que a− a′ ∈ J , de modo que (a− a′)b ∈ Jya que J es ideal de R. De manera analoga, de la igualdad b+ J = b′ + J tenemosque b − b′ ∈ J y por lo tanto a′(b − b′) ∈ J ya que J es ideal de R. Luego,(a− a′)b = ab− a′b ∈ J y a′(b − b′) = a′b− a′b′ ∈ J , de donde:

(ab− a′b) + (a′b− a′b′) = ab− a′b′ ∈ J.

Por lo tanto, ab+ J = a′b′ + J .Ahora es facil verficar que se satisfacen los axiomas de anillo con este producto.(⇒): Supongamos que R/J es un anillo con las operaciones (a + J) + (b + J) =(a + b) + J y (a + J)(b + J) = ab + J . Demostraremos que J es ideal de R. Enefecto, sean r ∈ R y x ∈ J . Tenemos que:

(r + J)J = (r + J)(0 + J) = r0 + J = 0 + J = J.

Como x + J = J y el producto esta bien definido, tenemos que (r + J)J =(r + J)(x + J), es decir, J = rx + J de donde rx ∈ J . Ası, rJ ⊂ J para todor ∈ R. De manera analoga se demuestra que Jr ⊂ J para todo r ∈ R.

Teorema 2.2.8. Si f : R → S es un homomorfismo de anillos e I es un ideal deR, entonces el mapeo π : R → R/I dado por r 7→ r + I es un homomorfismo deanillos suprayectivo con kernel I. (El mapeo π se llama proyeccion canonica).

Demostracion. Por el teorema analogo en grupos, el mapeo π es un homomorfismosuprayectivo de grupos con kernel I. Como π(ab) = ab + I = (a + I)(b + I) =π(a)π(b) para todo a, b ∈ R, se sigue que π es un homomorfismo de anillos.

Teorema 2.2.9. Si f : R→ S es un homomorfismo de anillos e I es un ideal de Rcontenido en ker(f), entonces existe un unico homomorfismo de anillos f : R/I →S tal que f(a + I) = f(a) para todo a ∈ R, es decir, el siguiente diagrama esconmutativo:

Rf

//

π

��

S

R/If

>>||||||||

f ◦ π = f

Ademas, Im(f) = Im(f), ker(f) = ker(f)/I y f es un isomorfismo si y solo si fes un homomorfismo suprayectivo con kernel I.


Demostracion. Se sigue del teorema analogo de grupos. Solo falta ver que f eshomomorfismo de anillos. En efecto:

f((a+ I)(b + I)) = f(ab+ I) = f(ab) = f(a)f(b) = f(a+ I)f(b+ I).

Corolario 2.2.10 (Primer teorema de isomorfismo de anillos). Si f : R → S esun homomorfismo de anillos, entonces f induce un isomorfismo de anillos tal queR/ ker(f) ∼= Im(f).

Demostracion. El mapeo f : R→ Im(f) es un homomorfismo de anillos suprayec-tivo (pues la imagen de f es un subanillo de S). El resultado se sigue aplicando elteorema anterior con I = ker(f).

Corolario 2.2.11 (Segundo teorema de isomorfismo de anillos). Sea R un anillo.Si K es un subanillo de R e I es un ideal de R, entonces K/(I ∩K) ∼= (K + I)/I.

Demostracion. Adapte la prueba del segundo teorema de isomorfismo de grupos.Demuestre primero que K + I es un subanillo de R y que I ∩ K es un ideal deK.

Corolario 2.2.12 (Tercer teorema de isomorfismo de anillos). Sea R un anillo.Si I y J son ideales de R tales que I ⊂ J , entonces J/I es un ideal de R/I y(R/I)/(J/I) ∼= R/J .

Demostracion. Adapte la prueba del tercer teorema de isomorfismo de grupos.

Teorema 2.2.13 (Teorema de la correspondencia biyectiva o cuarto teorema deisomorfismo de anillos). Sea f : R→ R′ un homomorfismo suprayectivo de anillos.

1. La correspondencia K 7→ f(K) entre el conjunto Sf (R) de los subanillosde R que contienen a ker(f) y el conjunto S(R′) de los subanillos de R′ esbiyectiva.

2. Si I es un ideal de R, entonces f(I) es un ideal de R′; y si J es un idealde R′, entonces f−1(J) es un ideal de R. Es decir, ideales corresponden aideales.

Demostracion. Adapte la prueba del teorema de la correspondencia biyectiva paragrupos.

Corolario 2.2.14. Si I es un subanillo de un anillo R, entonces cada subanillo deR/I es de la forma J/I, donde J es un subanillo de R que contiene a I. Ademas,J/I es un ideal de R/I si y solo si J es ideal de R.

Demostracion. Se sigue del teorema anterior.

Ejemplos 2.2.15. 1. Sea R el anillo de las funciones reales definidas en el in-tervalo [0, 1] con las operaciones de suma y producto usuales. Sea I = {f ∈R|f(12 ) = 0}. Entonces, I es un ideal de R y R/I ∼= R.


2. Sea R = {( a b0 a ) |a, b ∈ R}. R es un subanillo de R2×2. Sea I = {( 0 b0 0 ) |b ∈ R}.Entonces I es un ideal de R y R/I ∼= R.

3. Sea R el anillo de los cuaterniones enteros, es decir, R = {a + bi + cj +dk|a, b, c, d ∈ Z}. Sea p un numero primo y sea:

Ip = {a+ bi+ cj + dk ∈ R|p|a, p|b, p|c, p|d}.

Entonces, Ip es un ideal de R y R/Ip ∼= H(Zp), donde H(Zp) es el anillo delos cuaterniones con coeficientes en Zp.

2.2.1. Ejercicios

1. Sean R y S anillos con unitarios 1R y 1S , respectivamente. Sea f : R → Sun homomorfismo de anillos no nulo. Demuestre que si f(1R) 6= 1S , entoncesf(1R) es un divisor de cero en S.

2. Demuestre que todo dominio entero de caracterıstica 0 es infinito.

3. Demuestre que los anillos 2Z y 3Z no son isomorfos.

4. Demuestre que los anillos Z y Q no son isomorfos.

5. Demuestre que los anillos Z[x] y Q[x] no son isomorfos.

6. ¿Son isomorfos los anillos 2Z/8Z y Z4?

7. Sea R = R2×2. Determine el centro de R y demuestre que no es un ideal deR.

8. Demuestre que el anillo R2×2 contiene un subanillo isomorfo a C.

9. Demuestre que el anillo C2×2 contiene un subanillo isomorfo al anillo de loscuaterniones reales.

10. Demuestre que el anillo R4×4 contiene un subanillo isomorfo al anillo de loscuaterniones reales.

11. a) De un ejemplo de un homomorfismo no nulo f : R → S de anillos conunitarios 1R y 1S respectivamente, tal que f(1R) 6= 1S .

b) Si f : R→ S es un epimorfismo de anillos con unitarios, demuestre quef(1R) = 1S .

c) Si f : R → S es un homomorfismo de anillos con unitarios y u es unaunidad en R tal que f(u) es una unidad en S, demuestre que f(1R) = 1Sy que f(u−1) = (f(u))−1. (Observe que hay ejemplos que muestran quef(u) no necesariamente es una unidad en S aun cuando u sea una unidaden R.)


12. Sea f : R→ S un homomorfismo de anillos tal que f(r) 6= 0 para algun r ∈ Rno cero. Si R tiene unitario 1R y S no tiene divisores de cero, demuestre queS es un anillo con unitario f(1R).

13. Sean f : R → S un homomorfismo de anillos, I un ideal de R y J un idealde S. Demuestre que:

a) f−1(J) es un ideal de R que contiene a ker(f).

b) Si f es suprayectivo, entonces f(I) es un ideal de S.

c) Si f no es suprayectivo, entonces f(I) no necesariamente es un ideal deS.

14. Sea C el campo de los numeros complejos. Construya un homomorfismo deanillos α : Q[x]→ C tal que α no sea inyectiva y α(1) = 1.

15. Sea p un numero primo y sean:

R ={a

b∈ Q|(a, b) = 1, p ∤ b

}

,

I ={a

b∈ R|p|a

}

.

Demuestre que I es un ideal de R y que R/I ∼= Zp.

16. Sea R el anillo R2×2. Suponga que I es un ideal de R. Demuestre que I = {0}o I = R.

2.3. Ideales primos y maximales

Proposicion 2.3.1 (Criterio de ideal). Sea R un anillo. Entonces, I ⊂ R es unideal de R si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones:

1. a− b ∈ I para todo a, b ∈ I;

2. rI ⊂ I y Ir ⊂ I para todo r ∈ R.


Proposicion 2.3.2. Si {Ai|i ∈ I} es una familia de ideales (bilaterales, izquierdos o

derechos) en un anillo R, entonces⋂

i∈IAi es un ideal (bilateral, izquierdo o derecho)

en R.



Definicion 2.3.3. Sea X un subconjunto de un anillo R. Sea {Ai|i ∈ I} la familia

de todos los ideales en R que contienen a X . Entonces,⋂

i∈IAi es el ideal generado

por X , y se denota por (X). Los elementos de X son los generadores del ideal(X). Si X = {x1, . . . , xn}, entonces el ideal (X) se denota por (x1, . . . , xn) y sedice finitamente generado. Un ideal (x) generado por un solo elemento se llamaideal principal. Un anillo en el cual cada ideal es principal se llama anillo de idealesprincipales. Si un anillo de ideales principales es un dominio entero, entonces sellama dominio de ideales principales (DIP).

Ejemplos 2.3.4. 1. Z es un DIP.

2. Zn no es DIP si n no es primo. Sin embargo, Zn es un anillo de idealesprincipales (vease el Ejercicio 5.)

Teorema 2.3.5. Sean R un anillo, a ∈ R y X ⊂ R.1. El ideal principal (a) consiste de todos los elementos de la forma:

ra+ as+ na+

m∑

i=1

riasi,

con r, s, ri, si ∈ R, n ∈ Z y m ∈ Z+.

2. Si R tiene unitario, entonces:

(a) =

{n∑

i=1

riasi|ri, si ∈ R, n ∈ Z+

}

.

3. Si a esta en el centro de R, entonces:

(a) = {ra+ na|r ∈ R, n ∈ Z}.

(El centro de R es el conjunto C(Z) = {r ∈ R|rs = sr ∀s ∈ R} el cual esun subanillo de R pero no necesariamente es ideal de R. Vease el Ejercicio 7de la seccion anterior).

4. El conjunto Ra = {ra|r ∈ R} es un ideal izquierdo en R que podrıa nocontener al elemento a. (Analogamente, el conjunto aR = {ar|r ∈ R} es unideal derecho en R que podrıa no contener al elemento a). Si R tiene unitario,entonces a ∈ Ra y a ∈ aR.

5. Si R tiene unitario y a ∈ C(R), entonces Ra = (a) = aR.

6. Si R tiene unitario y X ⊂ C(R), entonces el ideal (X) consiste de todas lassumas finitas:

r1a1 + · · ·+ rnan,

donde n ∈ Z+, ri ∈ R y ai ∈ X .


Demostracion. 1. Sea:

I =

{

ra+ as+ na+

m∑

i=1

riasi|r, s, ri, si ∈ R, n ∈ Z, m ∈ Z+

}

.

Observemos que a ∈ I, pues a = 0a+a0+a+0a0. Por otra parte, si x, y ∈ Iy r′ ∈ R, tenemos que:

x− y = (ra+ as+ na+

m∑

i=1

riasi)− (r′a+ as′ + n′a+m∑

i=1

r′ias′i)

= (r − r′)a+ a(s− s′) + (n− n′)a+m∑

i=1

(ri − r′i)asi +

+

m∑

i=1

r′ia(si − s′i) ∈ I,

r′(

ra+ as+ na+m∑

i=1

riasi

)

= r′ra+ r′as+ (nr′)a+m∑

i=1

(r′ri)asi ∈ I

y

(

ra+ as+ na+

m∑

i=1

riasi

)

r′ = rar′ + asr′ + a(nr′) +m∑

i=1

ria(sir′) ∈ I,

de donde se sigue que I es un ideal de R.

Finalmente, demostraremos que I = (a), es decir, I =⋂

i∈I′Ai donde {Ai|i ∈

I ′} es la familia de todos los ideales de R que contienen al elemento a. Paraesto, observemos que si J es un ideal de R con a ∈ J , entonces ra, as, nay∑mi=1 riasi tambien son elementos de J y por lo tanto ra + as + na +

∑mi=1 riasi ∈ J , es decir, I ⊂ J . Como

⋂

i∈I′ Ai = (a) es un ideal de R quecontiene al elemento a, se sigue que I ⊂ (a). Recıprocamente, como I es unideal de R con a ∈ I, tenemos que (a) =

⋂

i∈I′ Ai = I∩(⋂i∈I′, Ai 6=I Ai) ⊂ Iy por lo tanto (a) = I.

2. Si R tiene unitario 1, entonces:

ra = ra1, as = 1as, na = n(1a) = ( n1︸︷︷︸

∈R

)a = (n1)a1,

y el resultado se sigue del inciso anterior.

3. Si a ∈ C(R), entonces as = sa para todo s ∈ R y riasi = risia para todori, si ∈ R. El resultado se sigue del inciso 1.


4. Sean ra, r′a ∈ Ra. Entonces:

ra− r′a = (r − r′)a ∈ Ra y r′(ra) = (r′r)a ∈ Ra.

Ademas, Ra 6= ∅ pues 0 = 0a ∈ Ra. Luego, Ra es un ideal izquierdo de R.Analogamente se prueba que aR es un ideal derecho de R.Si R tiene unitario 1, entonces a = 1a ∈ Ra y a = a1 ∈ aR.

5. Si R tiene unitario, entonces de acuerdo con el inciso 2 tenemos que:

(a) =

{n∑

i=1

riasi|ri, si ∈ R, n ∈ Z+

}

.

Si ademas, a esta en el centro de R, entonces:

n∑

i=1

riasi =

n∑

i=1

risia =

(n∑

i=1

risi

)

a ∈ Ra,

de donde (a) ⊂ Ra. Recıprocamente, si ra ∈ Ra, entonces ra = ra1 ∈ (a)por el inciso 2. Luego, Ra ⊂ (a) y por lo tanto Ra = (a). De manera similarse prueba que (a) = aR.

6. Supongamos que R tiene unitario 1 y que X ⊂ C(R). Demostraremos que:

(X) =

{n∑

i=1

riai|n ∈ Z+, ri ∈ R, ai ∈ X}

.

Sea I =

{n∑

i=1

riai|n ∈ Z+, ri ∈ R, ai ∈ X}

. Veamos primero que I es un

ideal de R. Sean x, y ∈ I y r ∈ R. Entonces:

x− y =

n∑

i=1

riai −m∑

j=1

r′ja′j =

n∑

i=1

riai +

m∑

j=1

(−r′j)a′j ∈ I

por ser una suma finita de elementos de la forma ra con r ∈ R y a ∈ X .Ademas:

rx = r

(n∑

i=1

riai

)

=

n∑

i=1

( rri︸︷︷︸

∈R

)ai ∈ I y

(n∑

i=1

riai

)

r

=

n∑

i=1

riair =

n∑

i=1

(rir)ai ∈ I,

donde la ultima igualdad se sigue de que ai ∈ C(R). Esto prueba que I esun ideal de R.


Por otro lado, observemos que para todo x ∈ X tenemos que x = 1x ∈ Iy por lo tanto X ⊂ I. Luego, por definicion de (X) tenemos que (X) ⊂ I.Recıprocamente, si J es un ideal de R que contiene aX , entonces

∑ni=1 riai ∈

J (pues ai ∈ X ⊂ J) y por lo tanto, I ⊂ J . En particular, se sigue que Iesta contenido en la interseccion de todos los ideales de R que contienen aX , es decir, I ⊂ (X). Ası, I = (X).

Definicion 2.3.6 (Operaciones con ideales). Sea R un anillo y sean A1, A2, . . . , Akideales (bilaterales, izquierdos o derechos) de R. Entonces:

1. A1 +A2 + · · ·+Ak = {a1 + a2 + · · ·+ ak | ai ∈ Ai}.

2. A1A2 · · ·Ak =

n∑

j=1

a1ja2j · · · akj | aij ∈ Ai, n ∈ Z+

.

Teorema 2.3.7. Sea R un anillo y sean A1, . . . , Ak, B, C ideales (bilaterales, iz-quierdos o derechos) de R. Entonces:

1. A1 +A2 + · · ·+Ak y A1A2 · · ·Ak son ideales (bilaterales, izquierdos o dere-chos) de R.

2. (A+B) + C = A+ (B + C).

3. (AB)C = A(BC).

4. (A1+· · ·+Ak)B = A1B+· · ·+AkB y C(A1+· · ·+Ak) = CA1+· · ·+CAk.

Demostracion. Demostraremos solo el primer inciso para ideales izquierdos y deja-remos de ejercicio al lector la demostracion de los otros incisos.Sea I = A1 + A2 + · · · + Ak. Ya que 0 ∈ Ai, tenemos que 0 ∈ I, de modo queI 6= ∅. Sean α, β ∈ I y r ∈ R. Entonces, α =

∑ki=1 ai y β =

∑ki=1 a

′i, de donde

α − β =∑ki=1(ai − a′i). Cada ai − a′i ∈ Ai ya que Ai es un ideal. De manera

analoga, rα =∑ki=1(rai) y cada rai ∈ Ai. Luego, α − β ∈ I y rα ∈ I, de donde

se sigue que I es ideal izquierdo de R.Sea J = A1A2 · · ·Ak. Ya que 0 ∈ Ai, tenemos que 0 ∈ J , de donde J 6= ∅. Seanα, β ∈ J y r ∈ R. Entonces α =

∑kj=1(a1j · · · akj) y β =

∑kj=1(a

′1j · · · a′kj),

de donde α − β =∑kj=1

(

a1j(a2j · · · akj + (−a′1j)(a′2j · · · a′kj))

∈ J . De manera

analoga, rα =∑kj=1(ra1j)(a2j · · ·akj). Cada raij ∈ Ai, de donde rα ∈ J . Luego,

J es un ideal izquierdo de R.

Definicion 2.3.8. Un ideal P en un anillo R es llamado primo si P 6= R y paracualesquiera ideales A y B de R se tiene que:

AB ⊂ P ⇒ A ⊂ P o B ⊂ P.

A continuacion daremos una caracterizacion muy util para ideales primos.


Teorema 2.3.9. Si P es un ideal en un anillo R tal que P 6= R y:

∀ a, b ∈ R, (ab ∈ P ⇒ a ∈ P ∨ b ∈ P ), (2.1)

entonces P es primo. Recıprocamente, si P es primo y R es conmutativo, entoncesP satisface la condicion (2.1).Observacion: Si R no es conmutativo y P es un ideal primo de R, no necesariamentese satisface la condicion (2.1). (Ver Ejercicio 6.)

Demostracion. Sea P 6= R un ideal en un anillo R tal que P satisface la condi-cion (2.1). Demostraremos que P es un ideal primo. En efecto, sean A y B idealesde R tales que AB ⊂ P y A 6⊂ P . Entonces, existe a ∈ A−P . Luego, ab ∈ AB ⊂ Ppara todo b ∈ B, y por lo tanto a ∈ P o b ∈ P . Como a 6∈ P , tenemos que b ∈ Py ası B ⊂ P , de donde P es primo.Recıprocamente, supongamos que P es primo y R es conmutativo. Sean a, b ∈ Rtales que ab ∈ P . Entonces, (ab) ⊂ P y por el Ejercicio 3 tenemos que (a)(b) =(ab) ⊂ P . Como P es primo, se sigue que (a) ⊂ P o (b) ⊂ P . Por lo tanto, a ∈ Po b ∈ P .Ejemplos 2.3.10. 1. El ideal {0} en un dominio entero es un ideal primo, ya

que ab = 0⇒ a = 0 o b = 0.

2. Si p ∈ Z es un numero primo, entonces el ideal (p) es primo ya que:

ab ∈ (p)⇒ p | ab⇒ p | a ∨ p | b⇒ a ∈ (p) ∨ b ∈ (p).

(Observe que Z es un anillo conmutativo con unitario y por el inciso 5 delTeorema 2.3.5, (p) = pZ.)

Del teorema anterior se sigue el siguiente resultado.

Teorema 2.3.11. En un anillo R conmutativo con unitario 1 6= 0, un ideal P esprimo si y solo si el anillo cociente R/P es un dominio entero.

Demostracion. Sea R un anillo conmutativo con unitario 1 6= 0. Es claro que R/Pes un anillo conmutativo con unitario 1 + P y elemento cero P .(⇒) : Si P es primo, entonces 1 + P 6= P (pues P 6= R). Por otra parte, tenemosque:

(a+ P )(b + P ) = P ⇒ ab+ P = P ⇒ ab ∈ P⇒ a ∈ P ∨ b ∈ P⇒ a+ P = P ∨ b+ P = P,

y por lo tanto R/P es un dominio entero.(⇐) : Si R/P es un dominio entero, entonces 1 + P 6= P (recuerde la definicionde dominio entero), es decir, 1 6∈ P , y por lo tanto P 6= R. Como R/P no tienedivisores de cero, tenemos que:

ab ∈ P ⇒ ab+ P = P ⇒ (a+ P )(b+ P ) = P

⇒ a+ P = P ∨ b+ P = P

⇒ a ∈ P ∨ b ∈ P,


de donde se sigue que P es primo.

Definicion 2.3.12. Un ideal (bilateral, izquierdo o derecho) M en un anillo R esmaximal si M 6= R y para cada ideal (bilateral, izquierdo o derecho) N tal queM ⊂ N ⊂ R, o bien N =M o N = R.

Ejemplo 2.3.13. El ideal (3) es maximal en Z. Sin embargo, el ideal (4) no esmaximal en Z, ya que (4) ( (2) ( Z.

Ejemplo 2.3.14. Consideremos el subanillo de los numeros complejos R = {a +bi|a, b ∈ Z}. Demostraremos que el conjunto M = {a+ bi ∈ R | 3 | a, 3 | b} es unideal maximal de R.

Es facil verificar que M es un ideal de R. Es claro que M 6= R pues 1 6∈M . Sea Nun ideal de R tal que M ⊂ N ⊂ R y M 6= N . Entonces existe r + si ∈ N tal que3 ∤ r o 3 ∤ s. En cualquier caso no es difıcil demostrar que 3 ∤ r2 + s2 (ejercicio).Como r2 + s2 = (r + si)(r − si) y r + si ∈ N , tenemos que t = r2 + s2 ∈ N yaque N es ideal de R. Por lo tanto, N tiene un entero t que no es divisible entre3. Luego, 3 y t son primos relativos, de modo que existen enteros u, v tales que1 = 3u + tv. Como t ∈ N , tenemos que tv ∈ N (pues N es ideal), y ya que3 ∈ M ⊂ N , tenemos tambien que 3u ∈ N . Por lo tanto, 1 ∈ N y ası N = R.Luego, M es maximal.

El siguiente resultado lo presentamos sin demostracion debido a que utiliza el Lemade Zorn. El lector interesado puede consultar una demostracion en [4].

Teorema 2.3.15. En un anillo R con unitario 1 6= 0 los ideales (bilaterales, iz-quierdos o derechos) maximales siempre existen. De hecho, cada ideal (bilateral,izquierdo o derecho) de R (distinto de R) esta contenido en un ideal (bilateral,izquierdo o derecho) maximal.

Teorema 2.3.16. Si R es un anillo conmutativo tal que R2 = R (en particular siR tiene unitario), entonces cada ideal maximal M de R es primo. (El recıproco esfalso, pues {0} es un ideal primo en Z, pero no es maximal.)

Demostracion. Sea M un ideal maximal en R y supongamos que M no es primo.Entonces, existen a, b ∈ R tales que ab ∈M , a 6∈M y b 6∈M . Luego,M (M+(a)(pues a ∈M + (a) y a 6∈M) y M (M + (b). Como M es maximal, tenemos queM 6= R y M + (a) = R = M + (b). Como R es conmutativo y ab ∈ M , se siguedel Ejercicio 3 que (a)(b) = (ab) ⊂M y por lo tanto:

R = R2 = (M + (a))(M + (b)) =M2 + (a)M +M(b) + (a)(b) ⊂M,

donde la ultima igualdad se sigue del Teorema 2.3.7. Luego, M = R, lo que es unacontradiccion.

Teorema 2.3.17. Sea M un ideal en un anillo R con unitario 1 6= 0.


1. Si M es maximal y R es conmutativo, entonces el anillo cociente R/M es uncampo.

2. Si el anillo cociente R/M es un anillo de division, entonces M es maximal.

1 es falso si R no tienen unitario (vease el Ejercicio 18.)Si M es maximal y R no es conmutativo, entonces R/M no necesariamente es unanillo de division (vease el Ejercicio 6.)

Demostracion. 1. SiM es maximal y R es conmutativo, entonces por el teoremaanterior M es primo y por el Teorema 2.3.11 R/M es un dominio entero.Luego, basta demostrar que si a +M 6= M , entonces a +M tiene inversomultiplicativo en R/M . Si a + M 6= M , entonces a 6∈ M y por lo tantoM (M + (a) (pues a ∈M + (a) y a 6∈M). Como M es maximal, tenemosque M + (a) = R. Como R es conmutativo y tiene unitario, (a) = Ra (verinciso 5 del Teorema 2.3.5) y por lo tanto 1 = m+ ra para algun m ∈ M yr ∈ R. Luego, 1− ra ∈M y 1+M = ra+M = (r+M)(a+M). Es decir,r +M es un inverso multiplicativo de a +M en R/M , lo que implica queR/M es un campo.

2. Si R/M es un anillo de division, entonces 1 +M 6= M (por definicion deanillo de division). Luego, 1 6∈ M y por lo tanto M 6= R. Sea N un idealde R tal que M ( N y sea a ∈ N −M . Tenemos que a +M tiene inversomultiplicativo en R/M (pues a+M 6=M ya que a 6∈M). Supongamos que(a+M)(b+M) = 1+M . Entonces, ab+M = 1+M y de aquı ab−1 ∈M .Si ab− 1 = c, entonces 1 = ab− c con ab ∈ N y c ∈M ⊂ N . Luego, 1 ∈ Ny por lo tanto N = R. Ası, M es maximal.

Corolario 2.3.18. Las siguientes condiciones son equivalentes en un anillo conmu-tativo R con unitario 1 6= 0.

1. R es un campo.

2. R no tiene ideales propios.

3. {0} es un ideal maximal en R.

4. Cada homomorfismo no nulo de anillos R→ S es inyectivo.

Demostracion. (1 ⇒ 2) : Supongamos que R es un campo y sea a ∈ R, a 6= 0.Entonces, (a) 6= (0) (pues a ∈ (a)). Como R es campo, existe b ∈ R tal que ab = 1.Al ser (a) ideal de R con a ∈ (a), se sigue que ab ∈ (a), es decir, 1 ∈ (a) y por lotanto (a) = R. Por lo tanto, los unicos ideales de R son {0} y R.(2⇒ 1) : Supongamos que R no tiene ideales distintos de (0) y R. Sea a ∈ R cona 6= 0. Entonces, (a) 6= (0) y por lo tanto (a) = R (pues (a) es ideal de R). ComoR es un anillo conmutativo con unitario, tenemos que R = (a) = Ra. Luego, elunitario 1 ∈ R es de la forma 1 = ba para algun b ∈ R. Ası, cada elemento a 6= 0


en R tiene inverso y por lo tanto R es un campo.(1 ⇔ 3) : Aplicando el teorema anterior, tenemos que R ∼= R/{0} es un campo siy solo si {0} es un ideal maximal en R.(2 ⇒ 4) : Supongamos que R no tiene ideales propios y sea f : R → S unhomomorfismo no nulo de anillos. Como ker(f) es un ideal de R, tenemos queker(f) = {0} o ker(f) = R. Como f no es el homomorfismo nulo, tenemos queker(f) 6= R. Por lo tanto, ker(f) = {0} lo que significa que f es inyectivo.(4 ⇒ 2) : Supongamos que cada homomorfismo no nulo de anillos R → S esinyectivo y sea I 6= R un ideal de R. Considerando la proyeccion π : R → R/I,sabemos que π es un homomorfismo con kernel I. Ademas, como I 6= R, tenemosque π es no nulo. Luego, π es inyectivo y por lo tanto ker(π) = I = {0}. Es decir,los unicos ideales de R son {0} y R.

Definicion 2.3.19. Un anillo local es un anillo conmutativo con unitario que tieneun unico ideal maximal.

Ejemplo 2.3.20. Si p es un numero primo y n ≥ 1 es un entero, entonces Zpn esun anillo local con unico ideal maximal (p).

Observacion. Ya que cada ideal en un anillo con unitario esta contenido en un idealmaximal, el unico ideal maximal de un anillo local R debe contener a cada ideal deR (excepto a R mismo por definicion de ideal maximal).

Teorema 2.3.21. Si R es un anillo conmutativo con unitario, entonces las siguientescondiciones son equivalentes:

1. R es un anillo local.

2. Todos los elementos de R que no son unidades estan contenidos en algunideal M 6= R.

3. Los elementos que no son unidades de R forman un ideal.

Demostracion. (1 ⇒ 2) : Supongamos que R es un anillo local con unico idealmaximal M . Sea a ∈ R una no unidad. Entonces (a) 6= R (¿por que?). Luego, porla observacion anterior, el ideal (a) y en consecuencia a, esta contenido en M .(2 ⇒ 3) : Supongamos que todos los elementos de R que no son unidades estancontenidos en algun ideal M 6= R y sea I el conjunto de las no unidades de R.Demostraremos queM = I. Ya tenemos que I ⊂M . Recıprocamente, supongamosque existe x ∈ M tal que x 6∈ I. Entonces, x es una unidad de R y como x ∈ M ,se sigue que M = R lo que es una contradiccion. Por lo tanto, I = M y ası I esideal.(3 ⇒ 1) : Supongamos que los elementos que no son unidades de R forman unideal I y sea M un ideal maximal de R. Demostraremos que I = M . Como M esmaximal, tenemos que M 6= R y de aquı, M esta formado solo por no unidades(¿por que?). Luego, M ⊂ I. Como 1 6∈ I (pues 1 es unidad), tenemos que I ( R.Luego, M ⊂ I ( R de donde se sigue que I = M ya que M es maximal. Por lotanto, I es el unico ideal maximal de R y ası, R es un anillo local.


2.3.1. Ejercicios

1. Sea R un anillo con unitario 1 6= 0. Sean A,B y C ideales de R. Demuestreque si B ⊂ A, entonces A ∩ (B + C) = B + (A ∩ C).

2. Sea R un anillo con unitario 1 6= 0. Sean I, J ideales de R. Demuestre quesi R es conmutativo y I + J = R, entonces IJ = I ∩ J .

3. Sean R un anillo y a, b ∈ R. Demuestre que:

a) (ab) ⊂ (a)(b).

b) Si R es conmutativo, entonces (a)(b) ⊂ (ab), y por lo tanto (a)(b) =(ab).

4. Sea I un ideal no cero en el anillo de los enteros Z. Demuestre que lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

a) I es primo.

b) I es maximal.

c) I = (p) con p numero primo.

5. a) Determine todos los ideales del anillo Zn. (Sugerencia: teorıa de grupos.)

b) Demuestre que un ideal I en Zn es maximal si y solo si I = (p) dondep es un primo que divide a n.

c) Determine todos los ideales primos de Zn.

6. Sea R el anillo de las matrices 2× 2 sobre un anillo de division D.

a) Demuestre que R no tiene ideales propios, es decir, {0} es un idealmaximal de R. (Un ideal I de R tal que I 6= {0} e I 6= R es un idealpropio.) (Sugerencia: Si I 6= {0} es un ideal de R, demuestre que 1 ∈ I,donde 1 es la matriz identidad de 2× 2.)

b) Demuestre que R tiene divisores de cero. En consecuencia, S ∼= S/{0}no es un anillo de division (¿por que?) y {0} es un ideal primo (¿porque?) que no satisface la condicion (2.1) del Teorema 2.3.9.

7. Si F es un campo finito de q elementos, demuestre que q = pn para algunprimo p y algun entero positivo n. (Sugerencia: Teorema de Cauchy).

8. Sean R = {a+ bi | a, b ∈ Z} y M = {a+ bi ∈ R | 3 | a y 3 | b} como en elEjemplo 2.3.14. Demuestre que R/M es un campo de 32 elementos.

9. Sea R como en el ejercicio anterior y sea I = {a + bi ∈ R | 5 | a y 5 | b}.Demuestre que I no es un ideal maximal de R. (Sugerencia: Considere el idealM = {x(2 + i) | x ∈ R}.)

10. Con referencia al ejercicio anterior, demuestre queM = {x(2+ i) | x ∈ R} esun ideal maximal de R y que R/M ∼= Z5. (Sugerencia: Observe que 2+M =−i+M . Use esto para caracterizar a los elementos de R/M .)


11. Sea R = {a+ b√2 | a, b ∈ Z} un subanillo de R y sea:

M = {a+ b√2 ∈ R | 5 | a y 5 | b}.

Demuestre que M es un ideal maximal de R y que R/M es un campo de 52

elementos.

12. Sea R el anillo de las funciones reales continuas en [0, 1] y sea:

I =

{

f ∈ R | f(1

3

)

= f

(1

2

)

= 0

}

.

Demuestre que I no es un ideal primo de R.

13. Sea C([0, 1]) el conjunto de las funciones reales continuas en el intervalo [0, 1].Es decir:

C([0, 1]) = {f : [0, 1]→ R|f es continua}.

a) Demuestre que C([0, 1]) es un anillo conmutativo con unitario con lasoperaciones usuales de suma y multiplicacion de funciones.

b) Para cada x ∈ [0, 1] sea Mx = {f ∈ C([0, 1])|f(x) = 0}. Demuestreque Mx es un ideal maximal de C([0, 1]).

c) Demuestre que cada ideal maximal de C([0, 1]) es de la forma Mx paraalgun x ∈ [0, 1]. (Sugerencia: Sea M un ideal maximal de C([0, 1]).Considere el conjunto:

V (M) = {x ∈ [0, 1]|f(x) = 0 ∀ f ∈M}.

Suponga que y ∈ V (M). Entonces M ⊂ My y por lo tanto M = My

(¿por que?). Luego, basta demostrar que V (M) 6= ∅. Suponga queV (M) = ∅. Entonces, para cada x ∈ [0, 1] existe fx ∈ M tal quefx(x) 6= 0.

1) Demuestre que hay un intervalo abierto Ix ∋ x tal que fx(y) 6= 0para todo y ∈ Ix.

2) Demuestre que existen x1, . . . , xn ∈ [0, 1] tales que:

[0, 1] = Ix1∪ Ix2

∪ . . . ∪ Ixn.

3) Demuestre que la funcion g = f2x1

+ f2x2

+ · · ·+ f2xn

es una unidaden C([0, 1]) y obtenga una contradiccion. Nota: f2 = f · f .Si se hubiera considerado la funcion h = fx1

+ fx2+ · · ·+ fxn

enlugar de la funcion g, ¿se podrıa afirmar que h es una unidad enC([0, 1])?)

14. Sea p un numero primo impar. Si a es un entero tal que p ∤ a y la congruenciax2 ≡ a (mod p) tiene solucion para x entero, decimos que a es un residuocuadratico modulo p. En caso contrario, a es un residuo no cuadratico modulo


p. Demuestre que entre los numeros 1, 2, . . . , p−1 hay p−12 residuos cuadrati-

cos y p−12 residuos no cuadraticos modulo p. (Sugerencia: Demuestre que el

conjunto {x2|x 6= 0, x ∈ Zp} forma un grupo de orden p−12 .)

15. Sea m > 0 un entero tal que m no es un cuadrado en Z. Sea R = {a +√mb|a, b ∈ Z}. Demuestre que R es un anillo con las operaciones usuales de

suma y producto en R.

16. Sea p un numero primo impar y sea R el anillo del ejercicio anterior con mun residuo no cuadratico modulo p. Sea Ip = {a+√mb ∈ R | p | a y p | b}.Demuestre que Ip es un ideal maximal de R y que R/Ip es un campo de p2

elementos.

17. Sea f : R→ S un epimorfismo de anillos con kernel K. Demuestre que:

a) Si P es un ideal primo de R que contiene a K, entonces f(P ) es unideal primo de S.

b) Si Q es un ideal primo de S, entonces f−1(Q) es un ideal primo de Rque contiene a K.

c) Hay una correspondencia biyectiva entre el conjunto de todos los idealesprimos de R que contienen a K y el conjunto de todos los ideales primosde S, dada por P 7→ f(P ).

d) Si I es un ideal de R, entonces cada ideal primo de R/I es de la formaP/I donde P es un ideal primo de R que contiene a I.

18. Demuestre que el anillo 2Z de los enteros pares contiene un ideal maximal Mtal que 2Z/M no es un campo.

19. Demuestre que un ideal M 6= R en un anillo conmutativo R con unitario 1 esmaximal si y solo si para cada x ∈ R−M , existe r ∈ R tal que 1− rx ∈M .

2.4. Producto directo de anillos

Recordemos primero el caso del producto de n grupos, con n > 1. SeanG1, G2, . . . , Gngrupos. Sea:

G = G1 ×G2 × · · · ×Gn = {(g1, . . . , gn)|gi ∈ Gi}.

Se define un producto en G componente a componente:

(g1, g2, . . . , gn)(g′1, g

′2, . . . , g

′n) = (g1g

′1, g2g

′2, . . . , gng

′n).

Entonces, G es un grupo con elemento identidad (e1, . . . , en) donde ei ∈ Gi es elelemento identidad de Gi para todo i = 1, . . . , n, y:

(g1, . . . , gn)−1 = (g−1

1 , . . . , g−1n ).


Llamamos a este grupo G el producto directo externo de G1, . . . , Gn.

Si R1, R2, . . . , Rn son anillos, su producto directo externo es su producto directoexterno como grupos abelianos aditivos.

R1×· · ·×Rn es un anillo con las operaciones de suma y multiplicacion componentea componente. Es decir:

(r1, r2, . . . , rn) + (s1, s2, . . . , sn) = (r1 + s1, r2 + s2, . . . , rn + sn),

(r1, r2, . . . , rn)(s1, s2, . . . , sn) = (r1s1, r2s2, . . . , rnsn).

Para cada 0 ≤ k ≤ n, la proyeccion canonica:

πk : R1 × · · · ×Rn → Rk

(a1, . . . , ak, . . . , an) 7→ ak

es un epimorfismo de anillos, y la inyeccion canonica:

ιk : Rk → R1 × · · · ×Rnak 7→ (0, . . . , ak, . . . , 0)

es un monomorfismo de anillos. Si Ai es un ideal de Ri, entonces A1× · · · ×An esun ideal de R1 × · · · ×Rn.

Ejercicio 2.4.1. 1. Si R1 y R2 son anillos con unitario e I es un ideal de R1×R2,entonces I = A1×A2 donde Ai es un ideal de Ri para i = 1, 2. (Sugerencia:Dado I sea Ak = πk(I), donde πk : R1 × R2 → Rk es el epimorfismocanonico.)

2. Demuestre que la conclusion del inciso anterior no necesariamente se cumplesi los anillos R1 y R2 no tienen unitario.

Teorema 2.4.2. Sean A1, . . . , An ideales en un anillo R tales que:

1. A1 +A2 + · · ·+An = R, y

2. para cada 1 ≤ k ≤ n, Ak ∩ (A1 + · · ·+Ak−1 +Ak+1 + · · ·+An) = {0},

entonces existe un isomorfismo de anillos R ∼= A1 × · · · ×An.

Demostracion. Sea ϕ : A1 × · · ·An → R dado por:

ϕ(a1, . . . , an) = a1 + · · ·+ an.

Demostraremos que ϕ es un isomorfismo de grupos abelianos aditivos. En efecto,ϕ es suprayectiva pues R = A1 +A2 + · · ·+An por la hipotesis 1. Tambien, ϕ esinyectiva pues si (a1, . . . , an) ∈ ker(ϕ) entonces a1 + a2 + · · ·+ an = 0, de donde−a1 = a2 + · · · + an ∈ (A2 + · · · + An) ∩ A1 = {0} y ası, a1 = 0. De manera


analoga se demuestra que a2 = · · · = an = 0 y por lo tanto ker(ϕ) = {0}. Porultimo, es facil verificar que ϕ es un homomorfismo de grupos.Resta demostrar entonces que ϕ es un homomorfismo de anillos. En efecto, si i 6= jy ai ∈ Ai, aj ∈ Aj , entonces aiaj ∈ Ai ∩ Aj (pues Ai y Aj son ideales de R) ypor la hipotesis 2 tenemos que:

aiaj ∈ Ai ∩ Aj ⊂ Ai ∩ (A1 + · · ·+Ai−1 +Ai+1 + · · ·+An) = {0},

de donde aiaj = 0 si i 6= j. Luego, para cada ai, bi ∈ Ai tenemos que:

(a1 + a2 + · · ·+ an)(b1 + b2 + · · ·+ bn) = a1b1 + · · ·+ anbn,

de donde ϕ es un homomorfismo de anillos.

Ejemplo 2.4.3. Sea R un anillo con unitario 1 6= 0. Un elemento a ∈ R se llamaidempotente si a2 = a. Suponga que a es un elemento idempotente en R y quea esta en el centro de R. Entonces, Ra y R(1 − a) son ideales de R tales queR ∼= Ra×R(1− a).Sea A un ideal en un anillo R. Si a, b ∈ R, diremos que a es congruente con bmodulo A si a − b ∈ A, y lo denotaremos por a ≡ b (mod A). Luego, a ≡ b(mod A) si y solo si a− b ∈ A si y solo si a+A = b+A.Como A es ideal se sigue que si a1 ≡ a2 (mod A) y b1 ≡ b2 (mod A), entoncesa1 + b1 ≡ a2 + b2 (mod A) y a1b1 ≡ a2b2 (mod A).

Teorema 2.4.4 (Chino del residuo). Sean A1, . . . , An ideales en un anillo R talesque R2 + Ai = R para todo i = 1, . . . , n y Ai + Aj = R para cualesquierai 6= j. Si b1, . . . , bn ∈ R, entonces existe b ∈ R tal que b ≡ bi (mod Ai) paratodo i = 1, . . . , n. Ademas, b esta determinado de manera unica salvo congruenciamodulo el ideal

⋂ni=1Ai.

Observacion: Si R tiene unitario, entonces R2 = R y por lo tanto R2+A = R paratodo ideal A de R.

Demostracion. Demostraremos primero que R = Ak +⋂

i6=k Ai para todo k =1, . . . , n. Demostraremos por induccion el caso k = 1.Como A1 +A2 = R y A1 +A3 = R, tenemos que:

R2 = RR = (A1 +A3)(A1 +A3) = A21 +A1A3 +A2A1 +A2A3

⊂ A1 +A2A3 (pues A21 +A1A3 +A2A1 ⊂ A1)

⊂ A1 + (A2 ∩ A3) (pues A2A3 ⊂ A2 ∩ A3).

Luego, como R2 +A1 = R tenemos que:

R = R2 +A1 ⊂ A1 + (A2 ∩A3) +A1 = A1 + (A2 ∩ A3),

de donde se sigue que R = A1 + (A2 ∩ A3).Supongamos, como hipotesis de induccion, que:

R = A1 + (A2 ∩ A3 ∩ . . . ∩Ak−1).


Entonces:

R2 = (A1 + (A2 ∩ . . . ∩ Ak−1))(A1 +Ak)

= A21 +A1Ak + (A2 ∩ . . . ∩ Ak−1)A1 + (A2 ∩ . . . ∩ Ak−1)Ak

⊂ A1 + (A2 ∩ . . . ∩Ak−1)Ak

⊂ A1 + (A2 ∩ . . . ∩Ak),

de donde se sigue que R = R2 + A1 ⊂ A1 + (A2 ∩ . . . ∩ Ak) y por lo tantoR = A1 + (A2 ∩ . . . ∩ Ak) = A1 +

⋂

i6=1 Ai.

Un argumento similar muestra que para todo k = 1, . . . , n se tiene que:

R = Ak +⋂

i6=kAi.

Por lo tanto, para cada k = 1, . . . , n, existen ak ∈ Ak y rk ∈⋂

i6=k Ai tales quebk = ak + rk. Ademas, rk ≡ bk (mod Ak) y rk ≡ 0 (mod Ai) para i 6= k. Seab = r1 + · · · + rn. Es facil ver que b ≡ bi (mod Ai) para todo i = 1, 2, . . . , n.Finalmente, si c ∈ R es tal que c ≡ bi (mod Ai) para todo i = 1, . . . , n, entoncesb ≡ c (mod Ai) para todo i = 1, . . . , n, es decir, b−c ∈ Ai para todo i = 1, . . . , n.Luego, b− c ∈ ⋂ni=1Ai y ası b ≡ c (mod

⋂ni=1 Ai).

Corolario 2.4.5. Si A1, . . . , An son ideales en un anillo R, entonces existe unmonomorfismo de anillos:

f : R/ ∩ni=1 Ai → R/A1 × · · · ×R/An.

Ademas, si R2 +Ai = R para todo i = 1, . . . , n y Ai + Aj = R para cualesquierai 6= j, entonces f es un isomorfismo de anillos.

Demostracion. Consideremos el mapeo:

f1 : R→ R/A1 × · · · ×R/An

dado por f1(r) = (r + A1, . . . , r + An). Es un ejercicio verificar que f1 esta biendefinido y es homomorfismo de anillos.Por otro lado, tenemos que:

r ∈ ker f1 ⇔ (r +A1, . . . , r +An) = (A1, . . . , An)

⇔ r ∈ Ai ∀i = 1, . . . , n

⇔ r ∈ ∩ni=1Ai,

de donde se sigue que ker f1 =⋂ni=1Ai.

Luego, por el Teorema 2.2.9 existe un unico homomorfismo de anillos:

f : R/ ∩ni=1 Ai → R/A1 × · · · ×R/An


tal que f(r +⋂ni=1Ai) = f1(r) para todo r ∈ R y ker f = ker f1/ ∩ni=1 Ai.

Como ker f1 = ∩ni=1Ai, se sigue que:

ker f = ∩ni=1Ai/ ∩ni=1 Ai = {∩ni=1Ai},es decir, f es un homomorfismo inyectivo.Finalmente, supongamos queR2+Ai = R para todo i = 1, . . . , n y que Ai+Aj = Rpara cualesquiera i 6= j. Sea (b1 + A1, b2 + A2, . . . , bn + An) ∈ R/A1 × R/A2 ×· · ·×R/An. Por el Teorema chino del residuo, existe b ∈ R tal que b ≡ bi (mod Ai)para todo i = 1, . . . , n. Luego:

f(b+ ∩ni=1Ai) = f1(b) = (b+A1, . . . , b+An) = (b1 +A1, . . . , bn +An)

y por lo tanto f es suprayectivo, es decir, f es un isomorfismo.

Corolario 2.4.6 (Teorema chino del residuo en Z). Sean a1, . . . , an enteros positi-vos tales que (ai, aj) = 1 si i 6= j. Si b1, . . . , bn son enteros arbitrarios, entonces elsistema de congruencias:

x ≡ b1 (mod a1),

x ≡ b2 (mod a2),

...

x ≡ bn (mod an),

tiene solucion en los enteros y esta determinada de manera unica modulo m =a1 · · · an.Demostracion. Para cada i = 1, . . . , n, sea Ai = (ai). Como Z es un anillo conunitario, tenemos que Z satisface la primera hipotesis del Teorema chino del residuo,es decir, Z2 +Ai = Z para todo i = 1, . . . , n.Demostraremos que

⋂ni=1Ai = (m). En efecto:

z ∈n⋂

i=1

Ai ⇔ z ∈ (ai) ∀ i = 1, . . . , n

⇔ ai | z ∀ i = 1, . . . , n

⇔ m | z (pues (ai, bj) = 1 si i 6= j)

⇔ z ∈ (m).

Por otra parte, como (ai, aj) = 1 para cualesquiera i 6= j, existen enteros qi y rjtales que 1 = miqi+mjrj . Luego, si z ∈ Z tenemos que z = mi(zqi)+mj(zrj) ∈Ai + Aj , de donde Z = Ai +Aj . Luego, el Teorema chino del residuo implica queel sistema de congruencias:

x ≡ b1 (mod a1),

x ≡ b2 (mod a2),

...

x ≡ bn (mod an),


tiene solucion en los enteros la cual esta determinada de manera unica salvo con-gruencia modulo

⋂ni=1Ai = (m).

Ejercicio 2.4.7. Sean m y n enteros positivos primos relativos.

1. Demuestre que Zmn ∼= Zm × Zn.

2. Demuestre que U(Zmn) ∼= U(Zm)× U(Zn).

3. Demuestre que ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(b), donde ϕ es la funcion de Euler.

2.5. Factorizacion en anillos conmutativos

En esta seccion extenderemos los conceptos de divisibilidad, maximo comun divisory primo en los enteros, a anillos conmutativos arbitrarios.

Definicion 2.5.1. Sea R un anillo conmutativo. Un elemento a 6= 0 en R divide aun elemento b ∈ R, y se denota a | b, si existe x ∈ R tal que ax = b. Se dice quea es divisor de b.Dos elementos a y b de R se llaman asociados si a | b y b | a.Podemos parafrasear todos los enunciados acerca de divisibilidad en terminos deideales principales.

Teorema 2.5.2. Sea R un anillo conmutativo con unitario y sean a, b, u ∈ R.Entonces:

1. a | b si y solo si (b) ⊂ (a).

2. a y b son asociados si y solo si (a) = (b).

3. u es una unidad si y solo si u | r para todo r ∈ R.

4. u es una unidad si y solo si (u) = R.

5. La relacion “a es asociado de b” es una relacion de equivalencia sobre R.

6. Si a = br con r ∈ R una unidad, entonces a y b son asociados. Si R es undominio entero, el recıproco es verdadero, es decir, si a y b son asociados,entonces difieren por una unidad.

Demostracion. Como R es un anillo conmutativo con unitario, tenemos que:

(a) = Ra = aR,

por el Teorema 2.3.5 apartado 5.

1. Si a | b, entonces ax = b para algun x ∈ R, y de aquı b ∈ (a). Esto implicaque (b) ∈ (a). Recıprocamente, si (b) ⊂ (a), entonces b ∈ (a) y de aquı,b = ax para algun x ∈ R, lo que significa que a | b.


2. Si a y b son asociados, entonces a | b y b | a. Por el inciso anterior, tenemosque (b) ⊂ (a) y (a) ⊂ (b), de donde (a) = (b). Recıprocamente, si (a) = (b)de nuevo por el inciso 1, tenemos que a | b y b | a, es decir, a y b sonasociados.

3. Si u es una unidad, entonces existe v ∈ R tal que uv = 1 (1 es el unitariode R). Luego, para todo r ∈ R tenemos que u(vr) = 1r = r y por lo tantou | r. Recıprocamente, si u | r para todo r ∈ R, en particular u | 1 y por lotanto 1 = uv para algun v ∈ R, es decir, u es una unidad.

4. Tenemos que:

u es una unidad ⇔ u | r ∀ r ∈ R (por el inciso anterior)

⇔ (r) ⊂ (u) ∀ r ∈ R (por el inciso 1)

⇔ R = (u).


6. Si a = br con r unidad, entonces ar−1 = b, de donde b | a y a | b, es decir, ay b son asociados. Supongamos que R es un dominio entero y que a y b sonasociados. Entonces, ax = b y by = a para algunos x, y ∈ R, con a 6= 0 yb 6= 0. Luego, byx = ax = b. Como b 6= 0 y R es un dominio entero, se sigueque yx = 1, y por lo tanto x, y son unidades.

Definicion 2.5.3. Sea R un anillo conmutativo con unitario. Un elemento c ∈ Res irreducible si se satisfacen las siguientes condiciones:

1. c 6= 0 y c no es unidad,

2. Si c = ab, con a, b ∈ R, entonces a es unidad o b es unidad.

Un elemento p ∈ R es un primo si se satisfacen las siguientes condiciones:

1. p 6= 0 y p no es unidad.

2. Si p | ab, con a, b ∈ R, entonces p | a o p | b.

Ejemplo 2.5.4. En el anillo Z6, 2 es primo. En efecto, 2 6= 0 y 2 no es unidad enZ6. Supongamos que 2 | ab. Es facil ver entonces que ab ≡ 0, 2 o 4 (mod 6). Siab ≡ 0 (mod 6), entonces 6 | ab ∈ Z y por lo tanto 2 | ab ∈ Z, de donde 2 | a o2 | b en Z y por lo tanto 2 | a o 2 | b en Z6. Si ab ≡ 2 (mod 6), entonces 6 | ab− 2en Z y por lo tanto 2 | ab − 2 en Z. Luego, 2 | ab en Z y concluimos como antes.De manera analoga se trata el caso ab ≡ 4 (mod 6).Sin embargo 2 no es irreducible en Z6, pues 2 = 2 ·4 en Z6 y ni 2 ni 4 son unidadesen Z6.


Para un ejemplo de un elemento irreducible que no es primo, vease el Ejercicio 1.

Existe una relacion entre los elementos primos y los ideales principales primos en undominio entero R, ası como entre los elementos irreducibles y los ideales principalesmaximales.

Teorema 2.5.5. Sean p y c elementos distintos de cero en un dominio entero R.

1. p es primo si y solo si (p) es un ideal primo distinto de cero.

2. c es irreducible si y solo si (c) es un ideal maximal en el conjunto S de todoslos ideales principales propios de R.

3. Cada elemento primo de R es irreducible.

4. Si R es un dominio de ideales principales (DIP), entonces p es primo si y solosi p es irreducible.

5. Cada asociado de un irreducible en R es irreducible.

6. Cada asociado de un primo en R es primo.

7. Los unicos divisores de un elemento irreducible de R son sus asociados y lasunidades de R.

Demostracion. 1. Si p es primo, entonces p no es unidad y por lo tanto (p) 6= R.Supongamos que ab ∈ (p). Entonces p | ab, de donde p | a o p | b. Luego,a ∈ (a) ⊂ (p) o b ∈ (b) ⊂ (p). Por el Teorema 2.3.9 se sigue que (p) es unideal primo y (p) 6= (0) porque p 6= 0. Recıprocamente, supongamos que (p)es un ideal primo distinto de cero. Entonces, (p) 6= R y p 6= 0, es decir, pno es unidad y p 6= 0. Supongamos que p | ab. Entonces, ab ∈ (p) y por elTeorema 2.3.9 tenemos que a ∈ (p) o b ∈ (p). De aquı, p | a o p | b, y ası pes primo.

2. Si c es irreducible, entonces c 6= 0 y c no es unidad, es decir, (c) es un idealpropio. Sea (d) ∈ S tal que (c) ⊂ (d) ⊂ R. Entonces, c = dx para algunx ∈ R. Como c es irreducible, o bien d es unidad o x es unidad. Si d es unidad,entonces (d) = R. Si x es unidad, entonces (c) = (d), de donde se sigue que(c) es maximal en S. Recıprocamente, si (c) es maximal en S, entonces (c)es un ideal propio de R, es decir, (c) 6= 0 y (c) 6= R. Luego, c 6= 0 y c no esunidad. Supongamos que c = ab. Entonces, (c) = (ab) = (a)(b) ⊂ (a), dedonde (c) = (a) o (a) = R (pues (c) es maximal en S). Si (a) = R, entoncesa es unidad. Si (c) = (a), entonces c | a y de aquı c = ab = (cy)b = c(yb)con y ∈ R. Como c 6= 0 y R es un dominio entero, tenemos que 1 = yb dedonde b es unidad. Por lo tanto, c es irreducible.

3. Sea p un primo de R. Entonces, p 6= 0 y p no es unidad. Supongamos quep = ab con a, b ∈ R. Como p es primo y p | ab, tenemos que p | a o p | b.Si p | a, entonces a = px para algun x ∈ R de modo que p = ab = pxb,


que a su vez implica que 1 = xb lo que significa que b es unidad. De maneraanaloga se demuestra que si p | b, entonces a es unidad. Por lo tanto, p esirreducible.

4. Si R es DIP, en particular R es un dominio entero y por el inciso anteriorse sigue que todo primo en R es irreducible. Recıprocamente, supongamosque p ∈ R es irreducible con R un DIP. Por el inciso 2, tenemos que (p)es maximal en el conjunto S. Como R es DIP, todos los ideales de R sonprincipales y por lo tanto (p) es maximal en R. Luego, por el Teorema 2.3.16,(p) es un ideal primo en R, y (p) es distinto de cero porque p 6= 0 al serirreducible. Luego, por el inciso 1 se sigue que p es primo.

5. Si c es irreducible y d es asociado de c, el inciso 6 del teorema anterior implicaque c = du con u ∈ R una unidad. Como c 6= 0 y c no es unidad, tenemostambien que d 6= 0 y d no es unidad (recuerde que las unidades de un anillocon unitario forman un grupo con la operacion de multiplicacion del anillo).Supongamos que d = ab con a, b ∈ R. Entonces, c = abu de donde a esunidad o bu es unidad (pues c es irreducible). Si a es unidad, entonces d esirreducible. Si bu es unidad, entonces b tambien es unidad y por lo tanto d esirreducible.


7. Si c es irreducible y a | c, entonces (c) ⊂ (a) de donde (c) = (a) o (a) = R,ya que (c) es maximal en el conjunto S por el inciso 2. Si (a) = (c), entoncesa y c son asociados por el inciso 2 del teorema anterior. Si (a) = R, entoncesa es una unidad por el inciso 4 del teorema anterior.

Corolario 2.5.6. Cada ideal no cero en un DIP es maximal si y solo si es primo.


Ejemplo 2.5.7. De acuerdo con el inciso 4 del teorema anterior, el dominio enteroZ[√10] = {a + b

√10 | a, b ∈ Z} no es un DIP, pues los elementos irreducibles

2, 3, 4 +√10 y 4−

√10 no son primos (vease el Ejercicio 1.)

Proposicion 2.5.8. Si D es un dominio entero que no es campo, entonces el anillode polinomios D[x] no es DIP.

Demostracion. Sea c ∈ D un elemento distinto de 0 que no es unidad (observe quetal elemento existe porque D no es campo). Demostraremos que el ideal (c, x) noes principal.Por el Teorema 2.3.5 tenemos que:

(c, x) = {cp(x) + xq(x) | p(x), q(x) ∈ D[x]}.

Observemos que si 1 ∈ (c, x), entonces 1 = cp(x)+xq(x) para algunos p(x), q(x) ∈D[x], y por lo tanto 1 = cp(0), lo que implica que c es una unidad lo cual no puede


ser (note que p(0) 6= 0 ya que 1 6= 0.) Por lo tanto, 1 6∈ (c, x) y en consecuencia(c, x) 6= D[x].Supongamos que el ideal (c, x) es principal, es decir, (c, x) = (a(x)) para alguna(x) ∈ D[x]. Por el Teorema 2.3.5 tenemos que (a(x)) = a(x)D[x] y por lo tanto:

c ∈ (c, x) = (a(x))⇒ c = a(x)h(x), para algun h(x) ∈ D[x].

Como grado(a(x)h(x)) = grado(a(x))+grado(h(x)) y grado(c) = 0, los polinomiosa(x) y h(x) deben ser constantes. Sean a(x) = r y h(x) = s. Observe que r y sson distintos de 0, ya que c 6= 0. Ahora bien, como x ∈ (c, x) = a(x)D[x] = rD[x]tenemos que x = rg(x) para algun g(x) ∈ D[x]. Esta igualdad de polinomiosimplica que g(x) es un polinomio de grado 1, digamos g(x) = b0 + b1x. Entonces,1 = rb1 y ası r es unidad, lo que implica que (a(x)) = (r) = D[x], es decir,(c, x) = D[x] lo que es una contradiccion.

Corolario 2.5.9. El anillo de polinomios Z[x] no es DIP.

Definicion 2.5.10. Un dominio entero R es un dominio de factorizacion unica(DFU) si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Cada elemento r distinto de cero y que no sea unidad puede ser escrito comor = c1c2 · · · cn, con c1, c2, . . . , cn irreducibles no necesariamente distintos.

2. Si c1c2 · · · cn y d1d2 · · · dm son factorizaciones de r como producto de irre-ducibles, entonces n = m y para alguna permutacion σ de {1, 2, . . . , n}, ci ydσ(i) son asociados.

Ejemplos 2.5.11. 1. El dominio entero Z es un DFU.

2. El dominio entero Z[√10] no es un DFU, pues 3 ·2 = 6 = (4+

√10)(4−

√10)

y ni 2 ni 3 son asociados de 4 +√10 y 4−

√10.

3. Mas adelante demostraremos que si D es un DFU, entonces el anillo depolinomios D[x] tambien es un DFU. En particular Z[x] es un DFU.

Proposicion 2.5.12. Si R es un DFU, entonces todo elemento de R es primo si ysolo si es irreducible.

Demostracion. Sabemos que todo primo en un dominio entero es irreducible. Luego,basta demostrar que cada elemento irreducible es primo. Sea p ∈ R irreducible.Supongamos que p | ab, con a, b ∈ R, pero que p ∤ a. Entonces, ab = pq paraalgun q ∈ R. Como R es DFU, podemos escribir a = q1 · · · qn y b = r1 · · · rm.Luego, pq = (q1 · · · qn)(r1 · · · rm). Como p ∤ a, p no puede ser asociado de ningunqi. Luego, p es asociado de algun rj (ya que R es un DFU) y por lo tanto p | b.Ası, p es primo.

Nuestro objetivo es demostrar que todo DIP es un DFU. Sin embargo, el recıprocoes falso como lo muestra el Corolario 2.5.9 y el Ejemplo 2.5.11.Para demostrar que todo DIP es un DFU, primero demostraremos un lema prelimi-nar.


Lema 2.5.13. Si R es un anillo de ideales principales y (a1) ⊂ (a2) ⊂ · · · es unacadena de ideales en R, entonces existe un entero positivo n tal que (aj) = (an)para todo j ≥ n.

Demostracion. Sea A =⋃

i≥1

(ai). Afirmamos que A es un ideal de R. En efecto, si

b, c ∈ A, entonces b ∈ (ai) y c ∈ (aj). Luego, o bien i ≤ j o bien i ≥ j. Sin perdidade generalidad, supongamos que i ≥ j. Entonces, (aj) ⊂ (ai) y b, c ∈ (ai). Como(ai) es ideal, se sigue que b− c ∈ (ai) ⊂ A. De manera analoga, si r ∈ R y b ∈ A,entonces b ∈ (ai), y por lo tanto rb ∈ (ai) ⊂ A y br ∈ (ai) ⊂ A. Ası, A es un idealde R.Por otra parte, como R es un anillo de ideales principales, A = (a) para alguna ∈ R. Ya que a ∈ A =

⋃

i≥1(ai), se sigue que a ∈ (an) para algun n. Luego,por definicion de ideal generado, se sigue que (a) ⊂ (an). Por lo tanto, para cadaj ≥ n, (a) ⊂ (an) ⊂ (aj) ⊂ A = (a), de donde (aj) = (an).

Teorema 2.5.14. Cada dominio de ideales principales R es un dominio de factori-zacion unica.

Demostracion. Sea 0 6= x ∈ R un elemento que no es una unidad. Si (x) es unideal maximal, entonces por el Teorema 2.5.5, x es irreducible.Supongamos que (x) no es ideal maximal. Luego, (x) es parte de una cadenaascendente de ideales (x) ( (w1) ( · · · ( (wl) ( · · · . Luego, por el lema anterioresta cadena se estabiliza para algun (wn) = (x1). Como (x1) no se puede incluirde manera estricta en otro ideal, se sigue que (x1) es maximal y por lo tanto x1es irreducible. Entonces, x ∈ (x) ( (x1), de donde existe y2 ∈ R (y2 6= 0)tal quex = x1y2 con x1 irreducible. Continuando de esta forma, existen factorizaciones:

y2 = x2y3, y3 = x3y4, . . . , yn = xnyn+1, . . .

donde yn+1 | yn y los xi son irreducibles. Luego, tenemos una cadena ascendentede ideales:

(x) ⊂ (y2) ⊂ (y3) ⊂ · · · ⊂ (yn) ⊂ · · ·Nuevamente por el lema anterior, esta cadena se estabiliza a partir de cierto m.Luego, x = x1x2 · · ·xm es producto de irreducibles.(Unicidad) Verifiquemos que la factorizacion en irreducibles es unica salvo orden yunidades mediante induccion en el numero de elementos de alguna factorizacion.Supongamos que p1p2 · · · pr = q1q2 · · · qs son factorizaciones de x como productode irreducibles. Si r = 1 y s > 1, entonces p1 = q1 · · · qs. Como p1 es irreducible,alguno de los qi es unidad, lo que es una contradiccion. Por lo tanto, s = 1. Supon-gamos que el resultado es cierto para r = k y sean p1p2 · · · pkpk+1 = q1q2 · · · qsfactorizaciones de x en irreducibles. Como R es un DIP y pk+1 es irreducible, sesigue que pk+1 es primo. Luego, existe 1 ≤ j ≤ s tal que pk+1 | qj , es decir,qj = pk+1u con u unidad. Entonces:

p1 · · · pkpk+1 = q1q2 · · · qj−1pk+1uqj+1 · · · qs.


Como R es dominio entero y pk+1 6= 0, se tiene que:

p1 · · · pk = uq1 · · · qj−1qj+1 · · · qs

y el resultado se sigue aplicando la hipotesis de induccion.

Definicion 2.5.15. Sea R un anillo conmutativo. Decimos que R es un anilloeuclidiano si existe una funcion ϕ : R−{0} → Z+∪{0} tal que si a, b ∈ R y b 6= 0,entonces a = bq + r para algunos q, r ∈ R, donde r = 0 o ϕ(r) < ϕ(b).Un anillo euclidiano que es un dominio entero se llama dominio euclidiano.

Ejemplos 2.5.16. 1. El anillo Z con ϕ : Z−{0} → Z+∪{0} dada por x 7→ |x|,es un dominio euclidiano.

2. Todo campo F con ϕ : F −{0} → Z+ ∪ {0} dada por x 7→ 1, es un dominioeuclidiano.

3. Si F es un campo, entonces el anillo de polinomios en una variable F [x] es undominio euclidiano con ϕ : F [x] − {0} → Z+ ∪ {0} dada por f 7→ grado(f)(ver Teorema 2.7.6).

Teorema 2.5.17. Cada anillo euclidiano es un anillo de ideales principales conunitario. En particular, cada dominio euclidiano es un DIP y en consecuencia unDFU.

Demostracion. Sea (R,ϕ) un anillo euclidiano y sea I un ideal de R. Si I = {0},entonces I es principal. Supongamos que I 6= {0}. Sea d ∈ I tal que ϕ(d) =mın{ϕ(x) | x 6= 0, x ∈ I}. Es claro que (d) ⊂ I. Recıprocamente, sea a ∈ I.Como R es euclidiano y d 6= 0, existen q, r ∈ R tales que a = qd + r con r = 0 oϕ(r) < ϕ(d). Como r = a−qd ∈ I (pues a ∈ I y qd ∈ I), se sigue de la minimalidadde ϕ(d) que r = 0. Luego, a = qd ∈ Rd ⊂ (d) y de aquı I ⊂ Rd ⊂ (d) ⊂ I. Por lotanto, I = Rd = (d) y R es un anillo de ideales principales.Tomando R = I, tenemos que R = Rd para algun d ∈ R. Luego, d = ed = de paraalgun e ∈ R. Demostraremos que be = b para todo b ∈ R. En efecto, si b ∈ R = Rd,entonces b = xd para algun x ∈ R. Luego, be = (xd)e = x(de) = xd = b, de dondee es el unitario de R.

Ejemplo 2.5.18. Z[x] no es dominio euclidiano debido a que Z[x] no es DIP.

Existen ejemplos de dominios de ideales principales que no son dominios euclidianos.Un ejemplo, es el anillo:

Z

[1 +√−19

2

]

.

Para mas detalles, el lector puede consultar [4].


2.5.1. Maximo comun divisor

Definicion 2.5.19. Sea R un DFU y sean a, b ∈ R. Un elemento d ∈ R es unmaximo comun divisor de a y b si se cumplen las siguientes condiciones:

1. d | a y d | b.2. Para cualquier e ∈ R tal que e | a y e | b, se tiene que e | d.

Estas condiciones se pueden reescribir en terminos de ideales como sigue:

1’. (a) ⊂ (d) y (b) ⊂ (d).2’. Para cualquier e ∈ R tal que (a) ⊂ (e) y (b) ⊂ (e), se tiene que (d) ⊂ (e).

Observe que si d y d′ son ambos maximos comunes divisores de a y b, por la segundapropiedad tenemos que (d) ⊂ (d′) y (d′) ⊂ (d), de donde (d) = (d′) y por lo tantod y d′ son asociados. Como la relacion d ∼ d′ si y solo si d y d′ son asociados,es una relacion de equivalencia (ver Teorema 2.5.2), podemos decir que el maximocomun divisor de a y b (cuando existe), es unico (salvo asociados).

Ejemplos 2.5.20. 1. Si a = 0, entonces para cualquier b ∈ R se tiene que(a, b) = b.

2. Si a ∈ R es una unidad, entonces para cualquier b ∈ R se tiene que (a, b) =a ∼ 1.

3. Si R es un DFU y a, b ∈ R no son unidades, entonces podemos escribira = upα1

1 · · · pαrr y b = vpβ1

1 · · · pβrr donde u, v ∈ R son unidades, pi ∈ R son

primos distintos, y αi, βi son enteros no negativos. En este caso el elementod = pγ11 · · · pγrr es un maximo comun divisor de a y b, donde γi = mın{αi, βi}.En particular, los maximos comunes divisores siempre existen en un DFU.

4. Si R es un DIP (y por lo tanto DFU), y a, b ∈ R, el ideal (a) + (b) debeser principal. Luego, existe d ∈ R tal que (a) + (b) = (d). Entonces, d es unmaximo comun divisor de a y b. Ademas, ya que d ∈ (d) = (a) + (b), existenh, k ∈ R tales que d = ha+ kb. En otras palabras, tenemos una identidad deBezout para un maximo comun divisor en un DIP.

5. Si R es un dominio euclidiano (en particular R es un DIP), entonces por elinciso anterior sabemos que d = (a, b) existe para todo a, b ∈ R y d = ah+bkpara algunos h, k ∈ R. En este caso, d, h y k se pueden determinar explıcita-mente mediante el algoritmo de la division. Este algoritmo es exactamente elmismo que el algoritmo euclidiano conocido para calcular el maximo comundivisor de dos enteros.

Definicion 2.5.21. Sea R un DFU. Se dice que a, b ∈ R son primos relativos si(a, b) = 1 ∼ u, u una unidad, es decir, si (a) + (b) = R.

Proposicion 2.5.22. Sea R un DFU y sea r ∈ R. Entonces, (ra1, . . . , rak) =r · (a1, . . . , ak) para cualesquiera a1, . . . , ak ∈ R. En particular, si d = (a1, . . . , ak),entonces (a1d , . . . ,

akd ) = 1.


2.5.2. Ejercicios

1. Considere el dominio entero Z[√10] = {a+ b

√10 | a, b ∈ Z}.

a) Demuestre que el mapeo N : Z[√10] → Z dado por a + b

√10 7→

(a+ b√10)(a− b

√10) = a2 − 10b2 satisface N(uv) = N(u)N(v) para

todo u, v ∈ Z[√10], y N(u) = 0 si y solo si u = 0.

b) Demuestre que u es una unidad en Z[√10] si y solo si N(u) = ±1.

c) Demuestre que 2, 3, 4 +√10 y 4 −

√10 son elementos irreducibles en

Z[√10].

d) Demuestre que 2, 3, 4 +√10 y 4 −

√10 no son primos en Z[

√10].

(Sugerencia: 3 · 2 = 6 = (4 +√10)(4 −

√10).)

2. De acuerdo con el Corolario 2.5.6 y el Teorema 2.5.14 tenemos que si R es unDIP, entonces R es un DFU y cada ideal primo no cero de R es maximal. Elobjetivo de este ejercicio es demostrar que el recıproco tambien es verdadero.Es decir, si R es un DFU y cada ideal primo no cero de R es maximal, entoncesR es un DIP.Sea I un ideal de R. Ya que {0} es principal, podemos asumir que I 6= {0}.Como R es un DFU, cada elemento no cero de I se puede escribir comoup1p2 · · · pt donde u es una unidad y los pi son irreducibles, y en consecuenciaprimos. Sea r = r(I) el mınimo de las t. Use induccion en r para demostrarque I es principal siguiendo los siguientes pasos:

a) Si r = 0, demuestre que I = (1) = R.

b) Si el resultado se satisface para todo r < n, sea r = n, con up1 · · · pn ∈I, y por ende p1 · · · pn ∈ I. Como p1 es primo, (p1) es un ideal primo,necesariamente maximal por hipotesis. Luego, R/(p1) es un campo. Sib ∈ I pero b 6∈ (p1), pruebe que bc− 1 ∈ (p1) para algun c ∈ R.

c) Por el inciso anterior, tenemos que bc − dp1 = 1 para algun d ∈ R.Demuestre que p2 · · · pn ∈ I, contradiciendo la minimalidad de n. Porlo tanto, si b ∈ I, entonces b ∈ (p1), es decir, I ⊂ (p1).

d) Sea J = {x ∈ R | xp1 ∈ I}. Demuestre que J es un ideal de R.

e) Demuestre que Jp1 = I.

f ) Ya que p1p2 · · · pn = (p2 · · · pn)p1 ∈ I, tenemos que p2 · · · pn ∈ J . Usela hipotesis de induccion para concluir que I es principal.

3. a) Si a y n son enteros con n > 0, demuestre que existen enteros q y rtales que a = qn+ r y |r| ≤ n

2 .

b) Demuestre que Z[i] = {a+ bi | a, b ∈ Z} es un dominio euclidiano conϕ : Z[i]−{0} → Z+∪{0} dada por a+ bi 7→ (a+ bi)(a− bi) = a2+ b2.(Sugerencia: Sea y = a + bi ∈ Z[i] y supongamos que x es un enteropositivo. Por el inciso anterior, existen enteros q1, q2, r1 y r2 tales quea = q1x+ r1 y b = q2x+ r2 con |r1| ≤ x

2 y |r2| ≤ x2 . Sean q = q1 + q2i


y r = r1 + r2i. Entonces, y = qx + r con r = 0 o ϕ(r) < ϕ(x). En elcaso general, observe que para x = c + di 6= 0 y x = c − di, se tieneque xx > 0. Luego, existen q, r0 ∈ Z[i] tales que yx = q(xx) + r0, conr0 = 0 o ϕ(r0) < ϕ(xx). Sea r = y − qx. Entonces, y = qx + r conr = 0 o ϕ(r) < ϕ(x).)

c) Determine todas las unidades en el anillo Z[i].

d) Si α = a+ bi ∈ Z[i] es tal que a2+ b2 = p con p primo en Z, demuestreque α es primo en Z[i].

2.6. Anillo de cocientes y localizacion

Definicion 2.6.1. Un subconjunto S 6= ∅ de un anillo R es multiplicativo si:

∀a, b ∈ S ⇒ ab ∈ S.

Ejemplos 2.6.2. 1. Si R es un anillo no cero con unitario, el conjunto S = {x ∈R | x 6= 0, x no es divisor de cero} es multiplicativo. En efecto, si a, b ∈ S yab 6∈ S entonces existe c 6= 0 tal que a(bc) = 0. Como b ∈ S, se sigue quebc 6= 0 lo cual implica que a 6∈ S (contradiccion).

2. Si R es un dominio entero, el conjunto R − {0} es multiplicativo.

3. El conjunto de unidades en cualquier anillo con unitario es un conjunto mul-tiplicativo.

4. Si P es un ideal primo en un anillo conmutativo R, entonces ambos P y R−Pson conjuntos multiplicativos.

Construccion de Q.El conjunto S = Z− {0} es un conjunto multiplicativo.Intuitivamente:

Q ={a

b| a ∈ Z, b ∈ S

}

sujeto a:a

b=c

d⇔ ad− bc = 0.

Formalmente:La relacion sobre el conjunto Z× S definida como:

(a, b) ∼ (c, d)⇔ ad− bc = 0,

es una relacion de equivalencia. Q es el conjunto de clases de equivalencia de Z×Sbajo esta relacion de equivalencia. La clase de equivalencia de (a, b) se denota por aby la suma y multiplicacion se definen de la manera usual: ab+

cd = ad+bc

bd , ab · cd = ac

bd .Uno verifica que estas operaciones estan bien definidas y que Q es un campo. El


mapeo Z→ Q dado por a 7→ a1 es una inmersion.

Ahora extenderemos la construccion esbozada a un subconjunto multiplicativo decualquier anillo conmutativo (posiblemente sin unitario).

Teorema 2.6.3. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo R.La relacion definida sobre el conjunto R× S como:

(r, s) ∼ (r′, s′)⇔ s1(rs′ − r′s) = 0 para algun s1 ∈ S,

es una relacion de equivalencia. Ademas, si R no tiene divisores de cero y 0 6∈ S,entonces:

(r, s) ∼ (r′, s′)⇔ rs′ − r′s = 0.

Demostracion. La prueba de la primera parte se deja de ejercicio al lector.Si R no tiene divisores de cero y 0 6∈ S, entonces:

(r, s) ∼ (r′, s′) ⇔ s1(rs′ − r′s) = 0 para algun s1 ∈ S

⇔ rs′ − r′s = 0.

La clase de equivalencia de (r, s) ∈ R × S sera denotada por rs . El conjunto de

clases de equivalencia de R× S bajo la relacion ∼ se denota por S−1R.

Ejercicio 2.6.4. Verifique que:

1. rs = r′

s′ si y solo si s1(rs′ − r′s) = 0 para algun s1 ∈ S.

2. trts = r

s para todo r ∈ R, y s, t ∈ S.

3. Si 0 ∈ S, entonces S−1R consiste de una sola clase de equivalencia.

Teorema 2.6.5. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo Ry sea S−1R el conjunto de las clases de equivalencia de R × S bajo la relacion deequivalencia del teorema anterior.

1. S−1R es un anillo conmutativo con unitario, donde la suma y la multiplicacionestan definidas como:

r

s+r′

s′=rs′ + r′s

ss′y(r

s

)(r′

s′

)

=rr′

ss′.

2. Si R es un anillo no cero sin divisores de cero y 0 6∈ S, entonces S−1R es undominio entero.

3. Si R es un anillo no cero sin divisores de cero y S = R−{0}, entonces S−1Res un campo.


Demostracion. 1. Demostraremos que las operaciones de suma y multiplicacionen S−1R estan bien definidas. Supongamos que r

s = tu y que r′

s′ = t′

u′.

Entonces, existen v, v′ ∈ S tales que v(ru − ts) = 0 y v′(r′u′ − t′s′) = 0.Luego, vv′s′u′(ru − ts) = 0 y vv′su(r′u′ − t′s′) = 0, de donde:

vv′(rus′u′ + sur′u′ − tss′u′ − sus′t′) = 0.

Esto implica que rs′+r′sss′ = tu′+t′u

uu′, pues vv′ ∈ S, y por lo tanto r

s + r′

s′ =tu + t′

u′. Luego, la suma esta bien definida.

De manera analoga, de las igualdades v(ru − ts) = 0 y v′(r′u′ − t′s′) =0 se sigue que vv′r′u′(ru − ts) = 0 y vv′ts(r′u′ − t′s′) = 0, de donde

vv′(rur′u′ − tst′s′) = 0. Como vv′ ∈ S, se sigue que rr′

ss′ = tt′

uu′, es decir,

( rs )(r′

s′ ) = ( tu )(t′

u′) y ası, la multiplicacion esta bien definida.

Se deja de ejercicio al lector verificar que S−1R con estas operaciones, sa-tisface los axiomas de anillo. El ser S−1R conmutativo se sigue de que R esconmutativo.Por ultimo, dados s, s′ ∈ S, tenemos que 0

s = 0s′ de donde 0

s ∈ S−1R es el

neutro aditivo. El inverso aditivo de rs es −r

s . Ya que ss = s′

s′ , se sigue que ss

es el unitario de S−1R.

2. Si R no tiene divisores de cero y 0 6∈ S, entonces rs = 0

s si y solo si r = 0 en

R. Por lo tanto, ( rs )(r′

s′ ) = 0 en S−1R si y solo si rr′ = 0 en R. Ya que Rno tiene divisores de cero, tenemos que rr′ = 0 si y solo si r = 0 o r′ = 0,de donde se sigue que S−1R es un dominio entero.

3. Si R no tiene divisores de cero y S = R− {0}, el inciso anterior implica queS−1R es un dominio entero. Ahora, si r 6= 0, entonces el inverso multiplicativode r

s ∈ S−1R es sr ∈ S−1R, y por lo tanto S−1R es un campo.

El anillo S−1R se llama anillo de fracciones o anillo cociente de R por S.Caso especial. Si R es un dominio entero y S = R−{0}, entonces el campo S−1Rse llama campo de cocientes del dominio entero R. De este modo, si R = Z, sucampo de cocientes es Q.Generalizacion. Sean R 6= 0 un anillo conmutativo y

S = {r ∈ R | r 6= 0, r no es divisor de cero}.

Si S es no vacıo (como es siempre el caso si R tiene unitario), entonces S−1R sellama anillo completo de cocientes (o fracciones) del anillo R.

Teorema 2.6.6. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo R.

1. El mapeo ϕS : R → S−1R dado por r 7→ rss (para cualquier s ∈ S) es un

homomorfismo de anillos tal que ϕS(s) es una unidad en S−1R para cadas ∈ S.


2. Si 0 6∈ S y S no tiene divisores de cero deR, entonces ϕS es un monomorfismo.En particular, cualquier dominio entero puede ser sumergido en su campo decocientes.

3. Si R tiene unitario y S consiste de unidades, entonces ϕS es un isomorfismo.En particular, el anillo completo de cocientes (que en realidad es campo decocientes) de un campo F es isomorfo a F .

Demostracion. 1. Si s, s′ ∈ S, entonces rss = rs′

s′ . Supongamos que r1 = r2 ∈R. Entonces, ϕS(r1) =

r1ss = r2s

s = r2s′

s′ = ϕS(r2) para cualesquiera s, s′ ∈S, de donde el mapeo ϕS esta bien definido. Se deja de ejercicio verificarque ϕS es un homomorfismo de anillos. Por ultimo, si s ∈ S tenemos que

(ϕS(s))−1 = ( s

2

s )−1 = s

s2 , ya que ( s2

s )(ss2 ) =

s2·ss·s2 = s3

s3 = ss , el unitario del

anillo S−1R.

2. Sea r ∈ ker(ϕS). Entonces, ϕS(r) = 0 en S−1R, de modo que rss = 0

s ypor lo tanto rs2s1 = 0 para algun s1 ∈ S. Ya que s2s1 ∈ S, se sigue ques2s1 6= 0. Como S no tiene divisores de cero, resulta que r = 0. Luego,ker(ϕS) = {0} y ası ϕS es inyectivo. En particular, si R es dominio enteroy S = R − {0}, entonces S no tiene divisores de cero. Luego, R se puedesumergir en su campo de cocientes S−1R.

3. Como cada unidad no es divisor de cero y es diferente de cero, basta demostrar,por el inciso anterior, que ϕS es suprayectivo. Dado r

s ∈ S−1R con s ∈ S una

unidad de R, tenemos que ϕS(rs−1) = (rs−1)(s)

s = r(s−1s)s = r

s de donde ϕSes un epimorfismo. En particular, si F es un campo y S = F −{0}, entoncesS consiste de unidades. Luego, F es isomorfo a su campo de cocientes.

En vista del inciso 2 de este teorema, es costumbre identificar a un dominio enteroR con su imagen bajo el mapeo ϕS y considerar R como un subanillo de su campode cocientes. Ya que 1 ∈ S en este caso, r ∈ R es identificado por r1 ∈ S−1R.

El siguiente teorema muestra que el anillo de cocientes se puede caracterizar por lasiguiente propiedad universal.

Teorema 2.6.7. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo R ysea T cualquier anillo conmutativo con unitario. Si f : R→ T es un homomorfismode anillos tal que f(s) es una unidad en T para todo s ∈ S, entonces existe ununico homomorfismo de anillos f : S−1R→ T tal que f ◦ ϕS = f . El anillo S−1Resta completamente determinado por esta propiedad (salvo isomorfismo).

Demostracion. Es facil verificar que el mapeo f : S−1R → T dado por f( rs ) =

f(r)(f(s))−1 esta bien definido y es un homomorfismo de anillos tal que f ◦ϕS = f .


Es decir, el siguiente diagrama es conmutativo:

RϕS //

f""EE

EEEE

EEE S−1R

f

��T

Supongamos que g : S−1R → T es otro homomorfismo tal que g ◦ ϕS = f .Entonces, para cada s ∈ S, g(ϕS(s)) es una unidad en T . Demostraremos queg((ϕS(s))

−1) = (g(ϕS(s)))−1 para todo s ∈ S. Observe que (ϕS(s))

−1 existe porel teorema anterior. Tenemos que:

1T = g(ϕS(s))(g(ϕS(s)))−1 = g(1S−1R)g(ϕS(s))(g(ϕS(s)))

−1 = g(1S−1R),

donde 1T y 1S−1R denotan los unitarios de T y S−1R, respectivamente.De aquı:

g((ϕS(s))−1) = g((ϕS(s))

−1)g(ϕS(s))(g(ϕS(s)))−1

= g(1S−1R)(g(ϕS(s)))−1

= (g(ϕS(s)))−1.

Por otra parte, para cada s ∈ S, ϕS(s) = s2

s , de donde (ϕS(s))−1 = s

s2 ∈ S−1R. Deeste modo, para cada r

s ∈ S−1R, tenemos que (ϕS(r))(ϕS (s))−1 = ( rss )(

ss2 ) =

rs .

Luego:

g(r

s

)

= g(ϕS(r)(ϕS(s))−1) = g(ϕS(r))g((ϕS(s))

−1)

= g(ϕS(r))(g(ϕS(s)))−1

= f(r)(f(s))−1 = f(r

s

)

,

de donde f = g.

Para demostrar la segunda afirmacion, sea Q un anillo conmutativo con unitario talque existe un homomorfismo de anillos ϕ : R→ Q con ϕ(s) una unidad en Q paratodo s ∈ S. Supongamos ademas que para cualquier homomorfismo f : R → T ,con T anillo conmutativo con unitario y f(s) unidad en T para todo s ∈ S, existeun unico homomorfismo f : Q→ T tal que el siguiente diagrama es conmutativo:

Rϕ

//

f��?

????

???

Q

f

��T

f ◦ ϕ = f


Demostraremos que S−1R ∼= Q.Tenemos que:

S−1R

ϕ

��R

ϕS

<<zzzzzzzzz

ϕS

""DDDD

DDDD

D

ϕ// Q

ϕS

��

ϕ ◦ ϕS = ϕ

S−1R ϕS ◦ ϕ = ϕS

Luego,

RϕS //

ϕS""DD

DDDD

DDD S−1R

ϕS◦ϕ��

S−1R (ϕS ◦ ϕ) ◦ ϕS = ϕS

Como la funcion identidad sobre S−1R, idS−1R, satisface que el diagrama:

RϕS //

ϕS""DD

DDDD

DDD S−1R

idS−1R

��S−1R idS−1R ◦ ϕS = ϕS

es conmutativo, se sigue de la unicidad que ϕS ◦ ϕ = idS−1R. De manera analoga,tenemos que (ϕ ◦ ϕS) ◦ ϕ = ϕ de donde ϕ ◦ ϕS = idQ. Por lo tanto, ϕ y ϕS sonisomorfismos y ası S−1R ∼= Q.

Corolario 2.6.8. Sea R un dominio entero considerado como un subanillo de sucampo de cocientes F . Si E es un campo y f : R → E es un monomorfismo deanillos, entonces existe un unico monomorfismo de campos f : F → E tal quef |R = f . En particular, cualquier campo E1 conteniendo R contiene una copiaisomorfa F1 de F con R ⊂ F1 ⊂ E1, es decir, el campo de cocientes de un dominioentero R es el campo mas pequeno que contiene a R.

Demostracion. Sea S = R − {0}. Por el teorema anterior, existe un unico homo-morfismo f : S−1R = F → E tal que f ◦ ϕS = f , donde f( rs ) = f(r)(f(s))−1. Sirs ∈ ker(f), entonces f(r)(f(s))−1 = 0, lo que implica que f(r) = 0. Como f esinyectivo, se sigue que r = 0 y por lo tanto, rs = 0

s = 0 ∈ S−1R, lo que significa

que ker(f) = {0} y f es inyectivo.Por otra parte, la igualdad f = f ◦ ϕS significa que f(r) = f(ϕS(r)) para todor ∈ R, es decir, f(r) = f( rss ) para cualquier s ∈ S. Tomando s = 1, tenemos que

f(r) = f( r1 ) para todo r ∈ R. Ya que r ∈ R es identificado por r1 ∈ S−1R = F ,

esto significa que f |R = f .


Finalmente, supongamos que E1 es un campo tal que R ⊂ E1 y sea ι : R→ E1 elhomomorfismo inclusion. Es claro que ι es un monomorfismo. Luego, por lo demos-trado previamente, existe un unico monomorfismo de campos f : F → E1 tal quef |R = ι. Como R ⊂ F ∼= f(F ) y f(F ) ⊂ E1, tenemos que R ⊂ F1 ⊂ E1 dondeF1 = f(F ).

Teorema 2.6.9. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo R.

1. Si I es un ideal en R, entonces S−1I = {as | a ∈ I, s ∈ S} es un ideal enS−1R.

2. Si J es otro ideal en R, entonces:

S−1(I + J) = S−1I + S−1J,

S−1(IJ) = (S−1I)(S−1J),

S−1(I ∩ J) = S−1I ∩ S−1J.

El ideal S−1I es llamado la extension de I en S−1R.


Teorema 2.6.10. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo Rcon unitario, y sea I un ideal de R. Entonces S−1I = S−1R si y solo si S ∩ I 6= ∅.

Demostracion. Si s ∈ S∩I, entonces 1S−1R = ss ∈ S−1I y de aquı, S−1I = S−1R.

Recıprocamente, si S−1I = S−1R, entonces ϕS : R → S−1I y ϕS(1R) = as

para algun a ∈ I, s ∈ S. Por otro lado, tenemos que ϕS(1R) = 1Rss . Luego,

(as − s2)s1 = 0 para algun s1 ∈ S, es decir, s2s1 = ass1. Como s2s1 ∈ S yass1 ∈ I, se sigue que S ∩ I 6= ∅.

Si J es un ideal en un anillo de cocientes S−1R, entonces ϕ−1S (J) es un ideal de R

(ejercicio), llamado la contraccion de J en R.Para caracterizar a los ideales primos en un anillo de cocientes, necesitamos unresultado preliminar.

Lema 2.6.11. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo Rcon unitario 1R, y sea I un ideal en R.

1. I ⊂ ϕ−1S (S−1I).

2. Si I = ϕ−1S (J) para algun ideal J en S−1R, entonces S−1I = J . En otras

palabras, cada ideal en S−1R es de la forma S−1I para algun ideal I en R.

3. Si P es un ideal primo en R y S ∩ P = ∅, entonces S−1P es un ideal primoen S−1R y ϕ−1

S (S−1P ) = P .

Demostracion. 1. Si a ∈ I, entonces as ∈ I para todo s ∈ S. Luego, ϕS(a) =ass ∈ S−1I, de donde a ∈ ϕ−1

S (S−1I). Ası, I ⊂ ϕ−1S (S−1I).


2. Si I = ϕ−1S (J) para algun ideal J en S−1R, entonces cada elemento de S−1I

es de la forma rs con ϕS(r) ∈ J . Por lo tanto, rs = (1Rs )( rss ) = (1Rs )ϕS(r) ∈ J

(ya que J es ideal), de donde S−1I ⊂ J . Recıprocamente, si rs ∈ J , entoncesϕS(r) =

rss = ( rs )(

s2

s ) ∈ J , de donde r ∈ ϕ−1S (J) = I. Luego, rs ∈ S−1I y

de aquı J ⊂ S−1I.

3. Sea P un ideal primo en R tal que S ∩ P = ∅. Por el teorema anterior,tenemos que S−1P 6= S−1R. Supongamos que ( rs )(

r′

s′ ) ∈ S−1P . Entonces,rr′

ss′ = at con a ∈ P y t ∈ S. Luego, s1trr′ = s1ss

′a ∈ P para algun s1 ∈ S.Como P es ideal primo, se sigue que s1t ∈ P o rr′ ∈ P . Pero, ya que s1t ∈ S(pues S es multiplicativo) y S ∩ P = ∅, resulta que rr′ ∈ P . Nuevamente,como P es ideal primo, se sigue que r ∈ P o r′ ∈ P , de donde r

s ∈ S−1P or′

s′ ∈ S−1P . Ası, S−1P es un ideal primo en S−1R.

Finalmente, tenemos por la condicion 1, P ⊂ ϕ−1S (S−1P ). Recıprocamente,

si r ∈ ϕ−1S (S−1P ), entonces ϕS(r) ∈ S−1P . De aquı, ϕS(r) =

rss = a

t cona ∈ P y s, t ∈ S. Luego, s1str = s1sa ∈ P para algun s1 ∈ S. Como Pes ideal primo, tenemos que s1st ∈ P o r ∈ P . Pero, ya que s1st ∈ S yS ∩ P = ∅, se sigue que r ∈ P y por lo tanto, ϕ−1

S (S−1P ) ⊂ P .

Teorema 2.6.12. Sea S un subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativoR con unitario. Entonces, existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto Ude ideales primos de R que son disjuntos de S y el conjunto V de ideales primos deS−1R, dada por P 7→ S−1P .

Demostracion. Sean P y Q ideales primos de R tales que P ∩ S = Q ∩ S = ∅y S−1P = S−1Q. Entonces, ϕ−1

S (S−1P ) = ϕ−1S (S−1Q) y por el apartado 3 del

lema anterior, se sigue que P = Q. Ası, el mapeo U → V dado por P 7→ S−1Pes inyectivo. Para demostrar que este mapeo tambien es suprayectivo, sea J unideal primo de S−1R y sea P = ϕ−1

S (J). De acuerdo con el apartado 2 del lemaanterior, tenemos que J = S−1P . Luego, es suficiente demostrar que P es primo.Como J = S−1P es ideal primo, tenemos que S−1P 6= S−1R y por el teoremaanterior, P ∩ S = ∅ lo que implica que P 6= R. Ahora, si ab ∈ P , entoncesϕS(a)ϕS(b) = ϕS(ab) ∈ J ya que P = ϕ−1

S (J). Como J es primo, se sigue queϕS(a) ∈ J o ϕS(b) ∈ J , es decir, a ∈ ϕ−1

S (J) = P o b ∈ ϕ−1S (J) = P , de donde

P es primo.

Si R es un anillo conmutativo con unitario y P es un ideal primo de R, entoncesS = R − P es un subconjunto multiplicativo de R. El anillo de cocientes S−1Res llamado la localizacion de R en P y se denota por RP . Si I es un ideal de R,entonces el ideal S−1I en RP se denota IP .

Teorema 2.6.13. Sea P un ideal primo en un anillo conmutativo R con unitario.

1. Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de los ideales primosde R que estan contenidos en P y el conjunto de los ideales primos de RP ,dada por Q 7→ QP .


2. RP es un anillo local con unico ideal maximal PP .

Demostracion. 1. Sea Q un ideal primo de R tal que Q ⊂ P . Es claro queQ∩ (R−P ) = ∅ si y solo si Q ⊂ R− P = P . Luego, los ideales primos de Rcontenidos en P son precisamente aquellos que son disjuntos de S = R− P .Luego, por el teorema anterior hay una correspondencia biyectiva entre elconjunto de los ideales primos de R que estan contenidos en P y el conjuntode los ideales primos de S−1R = RP dada por Q 7→ S−1Q = QP .

2. SiM es un ideal maximal de RP , entoncesM es primo, y por el inciso anteriorexiste Q ideal primo de R tal que Q ⊂ P y QP = M . Pero, Q ⊂ P implicaque S−1Q ⊂ S−1P , es decir, QP ⊂ PP . Finalmente, por el Teorema 2.6.10tenemos que PP 6= RP (pues S ∩ P = (R − P ) ∩ P = ∅), y como M esmaximal se sigue que M = PP .

2.6.1. Ejercicios

1. Determine el anillo completo de cocientes del anillo Zn para todo n ≥ 2.

2. a) Demuestre que el conjunto E de los enteros positivos pares es un sub-conjunto multiplicativo de Z tal que E−1Z es el campo de los numerosracionales.

b) De condiciones para un subconjunto multiplicativo S de Z que asegurenque S−1Z sea el campo de los numeros racionales.

3. Si S = {2, 4} y R = Z6, entonces S−1R es isomorfo al campo Z3. Enconsecuencia, el recıproco del Teorema 2.6.5-2 es falso.

4. Sea R un dominio entero con campo de cocientes F . Si T es un dominioentero tal que R ⊂ T ⊂ F , demuestre que F es isomorfo al campo decocientes de T .

5. Sea S un subconjunto multiplicativo de un dominio entero R tal que 0 6∈ S.Si R es un DIP (respectivamente DFU), demuestre que tambien lo es S−1R.

6. Sea p un numero primo en Z. Demuestre que (p) es un ideal primo. ¿Que re-lacion hay entre Zp y la localizacion Z(p)?

2.7. Factorizacion en el anillo de polinomios

En esta seccion R denotara un anillo conmutativo con unitario 1 6= 0. EscribiremosR∗ para denotar al conjunto de los elementos de R distintos de 0.El anillo de polinomios R[x] en la indeterminada x con coeficientes en R, es elconjunto de todas las sumas formales a0 + a1x + · · · + anx

n con n ≥ 0 entero yai ∈ R para i = 0, . . . , n.


Si an 6= 0, se dice que el polinomio f = a0 + a1x + · · · + anxn es de grado n y

se denota por gr(f) = n; anxn es el termino principal de f y an es el coeficiente

principal de f . El polinomio es monico si an = 1.Definimos la suma de polinomios:

n∑

i=0

aixi +

n∑

i=0

bixi =

n∑

i=0

(ai + bi)xi,

donde los ai o los bi pueden ser cero para que la suma de polinomios de gradosdistintos este bien definida.Para la multiplicacion definimos (axi)(bxj) = abxi+j y por la distributividad en R,extendemos el producto en R[x] como sigue:

(n∑

i=0

aixi

)(m∑

i=0

bixi

)

=

n+m∑

k=0

(k∑

i=0

aibk−i

)

xk.

Ası, el anillo R[x] es un anillo conmutativo con unitario 1, el unitario de R.

Teorema 2.7.1. Si R es un dominio entero, entonces:

1. R[x] es un dominio entero.

2. gr(fg) = gr(f) + gr(g) para cualesquiera f, g ∈ R[x] no nulos.

3. Las unidades de R[x] son precisamente las unidades de R.

Demostracion. Sean f =∑m

i=0 aixi y g =

∑ni=0 bix

i polinomios no nulos de gradosm y n, respectivamente. Entonces, am 6= 0 y bn 6= 0. Como R es un dominio entero,se sigue que ambn 6= 0 y por lo tanto el polinomio fg = ambnx

m+n + · · · es nonulo. Ası, R[x] es un dominio entero y gr(fg) = gr(f) + gr(g).Por otra parte, es claro que si c ∈ R es unidad, entonces c ∈ R[x] es unidad.Recıprocamente, si f ∈ R[x] es unidad entonces existe h ∈ R[x] tal que fh = 1.Luego, gr(f)+gr(h) = 0 y por lo tanto gr(f) = gr(h) = 0. De aquı que f y h sonconstantes distintas de cero en R, de donde se sigue que f es unidad en R.

Ejercicio 2.7.2. Demuestre que la igualdad en 2 en el teorema anterior no necesa-riamente se cumple si R no es dominio entero.

Teorema 2.7.3. Si I es un ideal de R, entonces I[x] es un ideal de R[x] y:

R[x]/I[x] ∼= (R/I)[x].

En particular, si I es un ideal primo de R, entonces I[x] es un ideal primo de R[x].

Demostracion. Es un ejercicio de rutina verificar que I[x] es ideal de R[x].Consideremos el mapeo ϕ : R[x]→ (R/I)[x] dado por:

ϕ(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = (a0 + I) + (a1 + I)x+ · · ·+ (an + I)xn.


Se deja de ejercicio al lector verificar que este mapeo es un homomorfismo de anillos.Claramente ϕ es suprayectivo. Ademas, f = a0 + a1x + · · ·+ anx

n ∈ ker(ϕ) si ysolo si:

(a0 + I) + (a1 + I)x+ · · ·+ (an + I)xn = I + Ix+ · · ·+ Ixn,

es decir, si y solo si ai + I = I para todo i = 0, . . . , n. Luego, ai ∈ I para todoi = 0, . . . , n y ası f ∈ I[x]. Por lo tanto, ker(ϕ) = I[x]. Aplicando el primer teo-rema de isomorfismo de anillos, se sigue que los anillos R[x]/I[x] y (R/I)[x] sonisomorfos.Por ultimo supongamos que I es un ideal primo de R. Como R es un anillo con-mutativo con unitario, tenemos que R/I es un dominio entero y por el apartado 1del teorema anterior se sigue que (R/I)[x] ∼= R[x]/I[x] tambien es dominio enteroy por lo tanto, I[x] es un ideal primo de R[x] (pues R[x] es un anillo conmutativocon unitario).

Ejercicio 2.7.4. Sean p ∈ Z un numero primo y f =∑n

i=0 aixi ∈ Z[x]. Sea

f =∑ni=0 aix

i ∈ Zp[x], donde a es la imagen de a bajo el epimorfismo canonicoZ→ Zp.

1. Si f es monico y f es irreducible en Zp[x] para algun primo p, demuestre quef es irreducible en Z[x].

2. De un ejemplo que muestre que la conclusion del inciso anterior es falso si fno es monico.

3. Generalize el apartado 1 a polinomios sobre un DFU.

Ejercicio 2.7.5. Demuestre que si I es un ideal maximal de R, no necesariamenteI[x] es un ideal maximal de R[x].

Ahora consideraremos mas cuidadosamente la situacion donde los coeficientes sontomados de un campo F .

Teorema 2.7.6. Sea F un campo. El anillo de polinomios F [x] es un dominioeuclidiano y en consecuencia es un DIP. Mas precisamente, si a y b son polinomiosen F [x] con b 6= 0, entonces existen polinomios unicos q y r en F [x] tales que:

a = qb+ r, con r = 0 o gr(r) < gr(b).

Demostracion. Si a es el polinomio cero, entonces hacemos q = r = 0. Supongamosentonces que a 6= 0. Demostraremos la existencia de q y r por induccion en gr(a) =n. Supongamos que gr(b) = m. Si n < m, hacemos q = 0 y r = a. Si n ≥ m,sean:

a = a0 + · · ·+ an−1xn−1 + anx

n,

b = b0 + · · ·+ bm−1xm−1 + bmx

m.


Si n = 0, entonces m = 0 (pues m ≤ n) y por lo tanto a = qb+ r con q = ab ∈ F y

r = 0. Supongamos que el resultado es cierto para todos los polinomios a de gradomenor que n. Si a es un polinomio de grado n, entonces el polinomio:

a′ = a− anbm

xn−mb

es de grado menor que n (observe que bm 6= 0). Aplicando la hipotesis de induccion,garantizamos la existencia de polinomios q′ y r tales que:

a′ = q′b+ r, con r = 0 o gr(r) < gr(b).

Entonces:

a = a′ +anbmxn−mb

= (q′b+ r) +anbm

xn−mb

= qb+ r,

donde q = q′ + anbmxn−m y r = 0 o gr(r) < gr(b). Esto completa la induccion.

Para la unicidad, supongamos que q1 y r1, ademas de q y r, satisfacen las condi-ciones del teorema. Dividimos en casos:

Caso 1: r = 0 = r1 = 0. En este caso, a = qb y a = q1b, de donde b(q − q1) = 0.Como b 6= 0 y F [x] es dominio entero, se sigue que q = q1.Caso 2: r = 0 y r1 6= 0. En este caso tenemos que a = qb y a = q1b + r1 congr(r1) < gr(b) = m. Luego, b(q − q1) = r1 y de aquı gr(b(q − q1)) = gr(r1).Si q − q1 6= 0, entonces gr(b) + gr(q − q1) = gr(r1) (pues b 6= 0) y por lo tantom ≤ m + gr(q − q1) = gr(r1) < m, lo que es una contradiccion. Por lo tanto,q = q1. Esto implica que q1b = a = q1b + r1 y de aquı r1 = 0, lo que es unacontradiccion. Por lo tanto, este caso no puede suceder.Caso 3: r 6= 0 y r1 6= 0. En este caso, tenemos que gr(r) < m y gr(r1) < m.Luego, los polinomios a−qb y a−q1b son de grado menor que m, y en consecuenciasu diferencia b(q−q1) tambien es de grado menor que m. Por lo tanto, si q−q1 6= 0entonces:

m > gr(b(q − q1)) = gr(b) + gr(q − q1) ≥ m,lo que es una contradiccion. Por lo tanto, q = q1 y r = r1.

En lo que resta de la seccion demostraremos que R es un DFU si y solo si R[x]es un DFU. La parte no trivial es demostrar que si R es un DFU entonces R[x]tambien lo es. La idea principal que usaremos para logar esto sera ir del anillo R[x]al anillo Q[x], donde Q es el campo de cocientes de R, y luego usar el hecho deque Q[x] es un DIP y en particular un DFU .Observe que un polinomio f ∈ R[x] podrıa ser irreducible en Q[x] pero no en R[x].Por ejemplo, f(x) = 2x2 + 4 es irreducible en Q[x], pero en Z[x] tenemos quef(x) = 2(x2 + 2). Esto sucede porque 2 es unidad en Q pero no en Z.


Definicion 2.7.7. Sea R un DFU. Un polinomio no nulo f = a0+a1x+· · ·+anxn ∈R[x] se llama primitivo si (a0, . . . , an) = 1, es decir, si no existe ningun primo p ∈ Rtal que p | ai para todo i = 0, . . . , n.

Ejemplos 2.7.8. 1. Si f = xn+ an−1xn−1 + · · ·+ a0 es monico, entonces f es

primitivo.

2. El polinomio 2x2 + 4x + 3 es primitivo en Z[x], pero el polinomio 20x4 +10x3 − 2x2 + 4x+ 4 no lo es, ya que (4, 4,−2, 10, 20) = 2.

3. Si f ∈ R[x] es irreducible, entonces f es primitivo. (Ejercicio.)

Lema 2.7.9. Sea R un DFU con campo de cocientes Q = {ab | a, b ∈ R, b 6= 0},y sea f ∈ Q[x] un polinomio no nulo. Entonces, f se puede escribir en la formaf = λf donde λ ∈ Q∗ y f ∈ R[x] es primitivo. Ademas, λ y f son unicos salvomultiplicacion por unidad en R.

Demostracion. Sea f = a0b0

+ · · ·+ anbnxn ∈ Q[x] un polinomio no nulo. Tomemos

r = b0 · · · bn ∈ R∗ y a′i = airbi

. Sea d = (a′0, . . . , a′n) y hagamos ci =

a′id ∈ R.

Tenemos entonces:

f =d

r(c0 + · · ·+ cnx

n).

Como cada bi ∈ R∗ y R es dominio entero, tenemos que r ∈ R∗ y ası λ = dr ∈ Q∗.

Ademas, por la Proposicion 2.5.22 tenemos tambien que (c0, . . . , cn) = 1. Luego,f = c0 + · · ·+ cnx

n es primitivo y ası f = λf .Supongamos ahora que f = λf = µg donde λ, µ ∈ Q∗ y f = a0 + · · · + anx

n yg = b0 + · · ·+ bnx

n son primitivos. Escribamos λ = ab , µ = c

d , con a, b, c, d ∈ R∗.

De la igualdad λf = µg tenemos que:

ad(a0 + · · ·+ anxn) = bc(b0 + · · ·+ bnx

n),

de donde adai = bcbi para todo i = 0, . . . , n. Luego:

ad · (a0, . . . , an) = (ada0, . . . , adan)

= (bcb0, . . . , bcbn)

= bc · (b0, . . . , bn).

Como (a0, . . . , an) y (b0, . . . , bn) son unidades (pues f y g son primitivos), se sigueque bc = uad para alguna unidad u ∈ R. Luego, µ = c

d = u(ab ) = uλ.Finalmente, ya que adai = bcbi = uadbi, con a, d distintos de cero, se sigue quebi = u−1ai y por lo tanto g = u−1f . Ası, λ y f son unicos salvo multiplicacion poruna unidad de R.

Definicion 2.7.10. Si f ∈ Q[x] se escribe en la forma f = λf como en el lemaanterior, el elemento λ ∈ Q∗ es el contenido de f , y se denota por λ = c(f). Elpolinomio f es la parte primitiva de f .


Ejemplo 2.7.11. Sea f = 43 + 8

21x + 2x2 ∈ Q[x]. Entonces, c(f) = 221 y f =

14 + 4x+ 21x2 ∈ Z[x].

Proposicion 2.7.12. Sean R un DFU con campo de cocientes Q, f ∈ Q[x], f 6= 0.Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones.

1. Si λ ∈ Q∗, entonces c(λf) = λc(f) y λf = f .

2. f ∈ R[x] si y solo si c(f) ∈ R.

3. f ∈ R[x] es primitivo si y solo si c(f) = 1.

4. Si f, g ∈ R[x] son primitivos, y f es asociado de g en Q[x], entonces f esasociado de g en R[x].

Demostracion. 1. Tenemos que f = c(f)f donde f es primitivo. Luego, λf =λc(f)f . Por la unicidad del contenido y de la parte primitiva, se sigue quec(λf) = λc(f) y λf = f .

2. Si f = a0 + · · · + anxn ∈ R[x] y d = (a0, . . . , an), entonces f = d(a0d +

· · · + and x

n) y (a0d , . . . ,and ) = 1. Luego, c(f) = d ∈ R. Recıprocamente, si

c(f) ∈ R, como f ∈ R[x], se sigue que f = c(f)f ∈ R[x].

3. Si f ∈ R[x] es primitivo, entonces f = f = c(f)f , de donde c(f) = 1.Recıprocamente, si c(f) = 1, entonces f = c(f)f = f ∈ R[x], y de aquı fes primitivo.

4. Sean f, g ∈ R[x] polinomios primitivos. Entonces, c(f) = c(g) = 1 (salvomultiplicacion por unidad en R). Si f y g son asociados en Q[x], existe unaunidad λ ∈ Q[x] y por lo tanto λ ∈ Q (por el Teorema 2.7.1) tal que g = λf(ver Teorema 2.5.2). Entonces:

1 = c(g) = c(λf) = λc(f) = λ,

de donde λ = 1 (salvo producto por unidad en R). Luego, f y g son asociadosen R[x].

Teorema 2.7.13 (Lema de Gauss). Sea R un DFU. Si f, g ∈ R[x] son polinomiosno nulos primitivos, entonces fg tambien es primitivo.

Demostracion. Escribamos f = a0 + · · ·+ anxn y g = b0 + · · ·+ bmx

m. Entonces,fg = c0 + · · · + cm+nx

m+n, donde ci =∑

j+k=i ajbk = a0bi + · · · + aib0. Su-pongamos que fg no es primitivo. Entonces existe p ∈ R primo tal que p | ci paratodo i. Ahora, como f y g son primitivos, cada uno de ellos debe tener un primercoeficiente no divisible entre p, es decir, existen j, k tales que p | a0, . . . , p | aj−1,p ∤ aj, y p | b0, . . . , p | bk−1, p ∤ bk. Entonces:

cj+k = a0bj+k + · · ·+ aj−1bk+1︸︷︷︸

A

+ajbk + aj+1bk−1 + · · ·+ aj+kb0︸︷︷︸

B

,


donde p | A y p | B. Por hipotesis tenemos que p | cj+k y como ajbk = cj+k−A−B,se sigue que p | ajbk. Usando que p es primo, tenemos que p | aj o p | bk lo que esuna contradiccion. Por lo tanto, fg es primitivo.

Proposicion 2.7.14. Sea R un DFU con campo de cocientes Q, y sean f, g ∈ Q[x]polinomios no nulos. Entonces, fg = fg y c(fg) = c(f)c(g).

Demostracion. Como f = c(f)f y g = c(g)g, tenemos que fg = c(f)fc(g)g =c(f)c(g)fg. Por el lema de Gauss, el polinomio fg es primitivo, ya que f y g sonprimitivos. Luego, de la unicidad del contenido y de la parte primitiva se sigue quefg = fg y c(fg) = c(f)c(g).

Estamos en condiciones de describir los irreducibles de R[x] en terminos de losirreducibles de Q[x].

Proposicion 2.7.15. Sea R un DFU con campo de cocientes Q y sea f ∈ R[x] unpolinomio no nulo.

1. Si gr(f) = 0 (es decir, f ∈ R∗), entonces f es irreducible en R[x] si y solo sif es irreducible en R.

2. Si gr(f) ≥ 1, entonces f es irreducible en R[x] si y solo si f es primitivo eirreducible en Q[x].

Demostracion. 1. Supongamos que gr(f) = 0. Es claro que si f es irreducibleen R[x] entonces f es irreducible en R.Supongamos que f es irreducible en R y que f = gh con g, h ∈ R[x].Entonces, 0 = gr(f) = gr(g) + gr(h) de donde gr(g) = gr(h) = 0, es decir,g, h ∈ R. Como f = gh es irreducible en R, se sigue que g es una unidaden R o h es una unidad en R. Como las unidades de R y R[x] coinciden, sesigue que g es una unidad en R[x] o h es una unidad en R[x] y por lo tanto,f es irreducible en R[x].

2. Supongamos que gr(f) ≥ 1. Si f es irreducible en R[x], entonces f es pri-mitivo en R[x] (ver Ejemplos 2.7.8) y por lo tanto f es primitivo en Q[x].Luego, la parte primitiva de f coincide con f , es decir f = f . Supongamosque f no es irreducible en Q[x]. Entonces, podemos escribir f = gh paraalgunos g, h ∈ Q[x] de grado positivo. Luego, por el Lema 2.7.9 tenemos queg = c(g)g y h = c(h)h donde g, h ∈ R[x] son de grado positivo. Entonces,f = c(g)c(h)gh y f = gh = gh. Como f = f , se sigue que c(g)c(h) = 1, ypor lo tanto f = gh. De aquı tenemos que f no es irreducible en R[x] (puesg y h son de grado positivo), lo que es una contradiccion. Por lo tanto, f esirreducible en Q[x].Recıprocamente, demostraremos de manera equivalente que si f no es irre-ducible en R[x], entonces o bien f no es irreducible en Q[x] o bien f noes primitivo en Q[x]. Si f no es irreducible en R[x], entonces f = gh cong, h ∈ R[x] de grado positivo. Como R[x] ⊂ Q[x], se sigue que g y h son degrado positivo en Q[x] y por lo tanto f no es irreducible en Q[x].


Teorema 2.7.16. Si R es un DFU, entonces R[x] tambien es un DFU.

Demostracion. Sea Q el campo de cocientes de R y sea f ∈ R[x] un polinomio nonulo ni unidad. Si gr(f) = 0, entonces f ∈ R, y como R es un DFU, f se puedeescribir en la forma f = p1 · · · ps donde cada pi es irreducible en R. Luego, por laproposicion anterior se sigue que cada pi tambien es irreducible en R[x].Supongamos entonces que gr(f) > 0. Como R[x] ⊂ Q[x], podemos considerar af como un elemento de Q[x]. Entonces f = c(f)f con c(f) ∈ R y f primitivo enR[x] de grado positivo. Como R es un DFU, o bien c(f) es una unidad en R oc(f) = c1 · · · cm donde cada ci es irreducible en R y en consecuencia en R[x] porla proposicion anterior. Como Q es un campo, tenemos que Q[x] es un DFU quecontiene a R[x]. Luego, f = f1f2 · · · fn con cada fi un polinomio irreducible enQ[x]. Entonces, para cada i:

fi =aibifi con ai, bi ∈ R∗,

aibi∈ Q∗ y fi ∈ R[x] primitivo.

(Observe que ai 6= 0, ya que ai = 0⇒ fi = 0⇒ f = 0 lo que es una contradiccion.)Si a = a1a2 · · · an y b = b1b2 · · · bn, entonces:

f =a

bf1 · · · fn,

con ab ∈ Q∗. Esto significa que f y f1 · · · fn son asociados en Q[x] (pues ab es unidad

en Q). Como f y f1 · · · fn son polinomios primitivos en R[x] (lema de Gauss) yademas son asociados en Q[x], se sigue por la Proposicion 2.7.12 que f y f1 · · · fnson asociados en R[x]. Luego, f = uf1 · · · fn con u unidad en R (recuerde que lasunidades de R[x] son precisamente las unidades de R), y por lo tanto:

f = c(f)uf1 · · · fn.

Por otra parte, como aibi

es una unidad en Q y fi =aibifi, tenemos que fi y fi son

asociados en Q[x]. Como fi es irreducible en Q[x], se sigue que fi es irreducibleen Q[x] (pues cada asociado de un irreducible es un irreducible). Luego, por laproposicion anterior, se sigue que cada fi es irreducible en R[x].Si c(f) no es unidad en R, entonces:

f = c(f)f = c1 · · · cm(uf1) · · · fn,

con ci, fi y uf1 irreducibles en R[x].Si c(f) = v es unidad en R, entonces:

f = c(f)f = (vuf1) · · · fn,

con vuf1 y fi irreducibles en R[x].

Ahora, demostraremos la unicidad de la factorizacion. Sea f ∈ R[x] un polinomio nonulo y no unidad. Por lo demostrado previamente, consideremos una factorizacion


de f como producto de irreducibles en R[x]. Reacomodando los factores (si esnecesario) podemos escribir tal factorizacion en la forma f = c1 · · · crf1 · · · fs dondeci ∈ R∗ para todo 1 ≤ i ≤ r (pues f 6= 0), y fj ∈ R[x] tiene grado positivo paratodo 1 ≤ j ≤ s. Como los polinomios fj tienen grado positivo y son irreduciblesen R[x], se sigue de la proposicion anterior que los polinomios fj tambien sonirreducibles en Q[x]. Sean a = c1 · · · cr y p = f1 · · · fs. Si r = 0, hacemos a = 1;y si s = 0, hacemos p = 1. Tenemos entonces que f = ap con a ∈ R∗ y p ∈ R[x]de grado positivo y primitivo por ser producto de polinomios primitivos (recuerdeque los fj son irreducibles en R[x] y por lo tanto, son primitivos). Cualquier otrafactorizacion de f como producto de irreducibles f = d1 · · · dr′g1 · · · gs′ se puedeescribir de manera similar, en la forma f = a′p′ con a′ ∈ R∗ y p′ ∈ R[x] de gradopositivo y primitivo. Entonces, f = ap = a′p′ y por el Lema 2.7.9, tenemos que a ya′ son asociados en R, y p y p′ son asociados en R[x] (recuerde que las unidades deR[x] son precisamente las unidades de R). Luego, p y p′ son asociados en Q[x] (puesR[x] ⊂ Q[x]). Como R y Q[x] son dominios de factorizacion unica, se sigue quer = r′ y s = s′. Reordenando (si es necesario), se sigue que cada ci es un asociadode di en R, y en consecuencia en R[x] (pues las unidades de R son precisamentelas unidades de R[x]); y cada fi es asociado de gi en Q[x] y por lo tanto en R[x],por la Proposicion 2.7.12 (recuerde que los fi y los gi son polinomios primitivos enR[x]).

2.7.1. Criterios de irreducibilidad

Proposicion 2.7.17. Sea F un campo y sea p ∈ F [x]. Entonces, p tiene un divisorde grado 1 si y solo si p tiene una raız en F , es decir, existe α ∈ F tal que p(α) = 0.

Demostracion. Si p tiene un divisor de grado 1, podemos asumir que tal divisores monico ya que F es un campo. Luego, este divisor es de la forma x − α paraalgun α ∈ F . Entonces, p = (x− α)h con h ∈ F [x], de donde p(α) = 0h(α) = 0.Recıprocamente, supongamos que p(α) = 0 para algun α ∈ F . Entonces, de acuerdocon el Teorema 2.7.6 tenemos que p = (x − α)q + r con r una constante, y deaquı 0 = p(α) = r. Esto significa que x− α es divisor de p.

Esta proposicion nos permite dar un criterio de irreducibilidad para polinomios degrado pequeno.

Teorema 2.7.18. Sea F un campo y sea f ∈ F [x] de grado 2 o 3. Entonces, f esirreducible en F [x] si y solo si f no tiene raıces en F .

Demostracion. Demostraremos de manera equivalente que f no es irreducible enF [x] si y solo si f tiene una raız en F .Supongamos que f no es irreducible en F [x]. Entonces f = gh con g, h ∈ F [x] nounidades. Como gr(f) = 2 o 3, tenemos que g o h es de grado 1. Supongamos quegr(g) = 1. Entonces, g = ax − b con a 6= 0, de donde g( ba ) = 0 y f( ba ) = 0. Porlo tanto, f tiene una raız en F . Recıprocamente, supongamos que f(a) = 0 paraalgun a ∈ F . Por la proposicion anterior se sigue que x − a es divisor de f y porlo tanto f = (x − a)h con h ∈ F [x]. Como gr(f) = 2 o 3, y x − a tiene grado


1, se sigue que el grado de h es al menos 1, lo que significa que ni x − a ni h sonunidades en F [x]. Por lo tanto, f no es irreducible en F [x].

Ejemplos 2.7.19. 1. Sea p = x2 − 2 ∈ Q[x]. Como p no tiene raıces en Q(pues

√2 6∈ Q), tenemos que p es irreducible en Q[x]. Sin embargo, p no es

irreducible sobre R, pues p = (x+√2)(x−

√2) ∈ R[x].

2. El polinomio x2 + 1 no es irreducible en Z2[x] ya que 1 es raız. De hecho,x2+1 = (x+1)(x+1). Sin embargo, el polinomio x2+x+1 sı es irreducibleen Z2[x], pues ni 0 ni 1 son raıces de x2 + x+ 1.

Teorema 2.7.20 (Criterio de Eisenstein). Sea R un DFU con campo de cocientesQ. Si f =

∑ni=0 aix

i ∈ R[x] es un polinomio de grado positivo y p ∈ R es unelemento irreducible tal que:

p ∤ an, p | a0, p | a1, . . . , p | an−1, p2 ∤ a0,

entonces f es irreducible en Q[x].

Demostracion. Escribamos f = c(f)f con f primitivo en R[x] y c(f) ∈ R. Ya quec(f) es una unidad en Q, es suficiente demostrar que f es irreducible en Q[x]. Porla Proposicion 2.7.15 necesitamos demostrar unicamente que f es irreducible enR[x]. Supongamos, por el contrario, que f = gh con:

g = brxr + · · ·+ b0 ∈ R[x], gr(g) = r ≥ 1,

h = csxs + · · ·+ c0 ∈ R[x], gr(h) = s ≥ 1.

Observemos que p ∤ c(f) ya que p ∤ an. Luego, los coeficientes de f =∑ni=0 a

∗i xi

satisfacen las mismas condiciones de divisibilidad con respecto a p como lo hacenlos coeficientes de f , pues a∗i c(f) = ai y:

p | a∗n ⇒ p | an,p | ai ⇒ p | a∗i c(f)⇒ p | a∗i , i = 0, . . . , n− 1,

p2 | a∗0 ⇒ p2 | a0.

(Observe que p es primo ya que es irreducible en un DFU.)Luego, p | a∗0 = b0c0 de donde p | b0 o p | c0. Sin perdida de generalidad, suponga-mos que p | b0. Ya que p2 ∤ a∗0, se sigue que p ∤ c0. Por otra parte, algun coeficientebk de g no es divisible por p (pues de otro modo p dividirıa a cada coeficiente degh = f , lo que serıa una contradiccion). Sea k el menor entero tal que p | bi parai < k y p ∤ bk. Entonces, 1 ≤ k ≤ r < n y:

a∗k = b0ck + b1ck−1 + · · ·+ bk−1c1 + bkc0.

Como p | bi para i = 0, . . . , k − 1 y tambien p | a∗k, se sigue que p | bkc0, dedonde p | bk o p | c0, lo que es una contradiccion. Por lo tanto, f es irreducible enR[x].


Ejemplos 2.7.21. 1. Si f = 2x5 − 6x4 + 9x2 − 15 ∈ Z[x], entonces el criteriode Eisenstein con p = 3 muestra que f es irreducible en Q[x], y por lo tantoen Z[x] ya que f es primitivo en Q[x].

2. Consideremos el polinomio f = x4 + 1 ∈ Z[x]. Demostraremos que f esirreducible en Q[x]. El criterio de Eisenstein no se puede aplicar directamentea f . Sin embargo, si consideramos el polinomio g = f(x+1) = (x+1)4+1 =x4 +4x3 +6x2 +4x+2, tenemos que g es irreducible en Q[x] por el criteriode Eisenstein con p = 2. Por lo tanto, f es irreducible en Q[x].

3. Si p es un numero primo, el polinomio:

Φp =xp − 1

x− 1= xp−1 + xp−2 + · · ·+ x+ 1

es irreducible en Q[x]. En efecto, consideremos el polinomio:

Φp(x+ 1) =(x + 1)p − 1

x

= xp−1 +

(p

1

)

xp−2 + · · ·+(

p

p− 2

)

x+

(p

p− 1

)

.

Como p divide a(pk

)para todo k = 1, . . . , p− 1, y p2 no divide a

(pp−1

)= p,

el criterio de Eisenstein implica que Φp(x+ 1) es irreducible en Q[x] y por lotanto Φp tambien.

2.7.2. Ejercicios

1. Si R es un anillo conmutativo con unitario 1 6= 0 y f =∑ni=0 aix

i ∈ R[x],demuestre que f es una unidad en R[x] si y solo si a0 es una unidad en R ya1, . . . , an son elementos nilpotentes de R. (Sugerencia: Demuestre primeroque en un anillo conmutativo, a+ b es nilpotente si a, b ∈ R son nilpotentes.)

2. Sea F un campo y sea f ∈ F [x]. Demuestre que F [x]/(f) es un campo si ysolo si f es irreducible en F [x].

3. Sea F un campo finito de orden q y sea f ∈ F [x] un polinomio de gradon ≥ 1. Demuestre que F [x]/(f) tiene orden qn.

4. Construya campos de ordenes 9, 49, 8 y 81.

5. Sea p ∈ Z un numero primo.

a) Demuestre que existe un polinomio de grado 2 que es irreducible enZp[x].

b) Construya un campo de orden p2.


6. Sea R un DFU con campo de cocientes Q y sea f =∑n

i=0 aixi ∈ R[x] un

polinomio de grado n. Si cd ∈ Q es una raız de f , con (c, d) = 1, demuestreque c | a0 y d | an.

7. Sea p ∈ Z un numero primo. Demuestre que los polinomios x2 − p y x3 − pson irreducibles en Q[x].

8. Demuestre que el polinomio (x+2)p−xp

2 es irreducible sobre Z[x], para todonumero primo impar p.

9. Demuestre que el polinomio xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 es irreducible sobreZ[x] si y solo si n es primo.

10. Observe que si F es un campo infinito, los polinomios de grado 1 forman unconjunto infinito de polinomios irreducibles en F [x]. Demuestre que si F esun campo finito, F [x] contiene infinitos polinomios irreducibles. (Sugerencia:Imite la demostracion de Euclides sobre la infinitud de los numeros primos enZ.)

11. Demuestre que el polinomio (x− 1)(x− 2) · · · (x−n)− 1 es irreducible sobreZ[x] para todo n ≥ 1. (Sugerencia: Si el polinomio se factoriza, considere losvalores de los factores en x = 1, 2, . . . , n.)

12. Sean p = x3 − 2 y q = x3 +2 polinomios en Z7[x]. Demuestre que p y q son

irreducibles en Z7[x] y que los campos Z7[x](p) y Z7[x]

(q) son isomorfos.

2.8. Extensiones de campos

Si F y K son campos tales que F ⊂ K, se dice que K es una extension de F . Nosreferimos al par F ⊂ K como la extension K/F y a F como el campo base. K esun espacio vectorial sobre F al definir la multiplicacion por escalar F × K → Kpor (α, a) 7→ αa. Escribimos [K : F ] para la dimension de K como un F -espaciovectorial. Esta dimension es llamado el grado de K/F . Si [K : F ] < ∞, entoncesK es llamado una extension finita de F . De otro modo, K es una extension infinitade F .

Ejemplos 2.8.1. 1. La extension C/R es una extension finita ya que [C : R] =2. Una base de C como un R-espacio vectorial es {1, i}.

2. Las extensiones R/Q y C/Q son extensiones infinitas de Q (vease el Ejerci-cio 1). Las extensiones finitas de Q se denominan campos de numeros alge-braicos.

3. Sea p = x3 − 2 ∈ Q[x]. Es facil ver que p es irreducible sobre Q por elcriterio de Eisenstein con p = 2. Entonces, el ideal (p) es maximal en Q[x]y por lo tanto K = Q[x]/(p) es un campo. El conjunto de clases laterales


{a + (p) | a ∈ Q} es un campo isomorfo a Q bajo el mapeo a 7→ a + (p)(ejercicio). Ası, identificandoQ con su imagen, vemos aK como una extensionde Q.Por el algoritmo de la division en Q[x], si f ∈ Q[x] tenemos que:

f = qp+ r con gr(r) < gr(p) = 3.

Luego, f + (p) = r + (p) y K = {a + bx + cx2 + (p) | a, b, c ∈ Q}. Lasclases laterales 1+(p), x+(p) y x2+(p) forman una base de K/Q, de donde[K : Q] = 3.

Definicion 2.8.2. Sea K/F una extension. Si X es un subconjunto de K, entoncesel anillo F [X ] generado por F y X es la interseccion de todos los subanillos de Kque contienen a F y a X . El campo F (X) generado por F y X es la interseccionde todos los subcampos de K que contienen a F y a X . Si X = {a1, . . . , an} esfinito, escribimos F [X ] = F [a1, . . . , an] y F (X) = F (a1, . . . , an). Si X es finito,decimos que F (X) es una extension de F finitamente generada.

Lema 2.8.3. Si K/F es una extension y a ∈ K, el mapeo eva : F [x] → K dadopor eva(f) = f(a) es un homomorfismo de anillos.

Demostracion. Si f, g ∈ F [x], entonces:

eva(f + g) = (f + g)(a) = f(a) + g(a) = eva(f) + eva(g)

yeva(fg) = (fg)(a) = f(a)g(a) = eva(f)eva(g).

Teorema 2.8.4. Si K/F es una extension y a ∈ K, entonces:

F [a] = {f(a) | f ∈ F [x]},

F (a) =

{f(a)

g(a)| f, g ∈ F [x], g(a) 6= 0

}

.

Mas aun, F (a) es el campo de cocientes de F [a].

Demostracion. Consideremos el homomorfismo evaluacion eva del lema anterior.Tenemos que Im(eva) = {f(a) | f ∈ F [x]}, de donde {f(a) | f ∈ F [x]} es unsubanillo de K que ademas contiene a F y a. Ahora, si R es un subanillo de Kque contiene a F y a, entonces dado f = α0 + α1x + · · · + αnx

n ∈ F [x] conαi ∈ F , f(a) = α0 + α1a + · · · + αna

n ∈ R. Por lo tanto, {f(a) | f ∈ F [x]}esta contenido en todos los subanillos de K que contienen a F y a. De aquı que{f(a) | f ∈ F [x]} ⊂ F [a] y por lo tanto {f(a) | f ∈ F [x]} = F [a] (por definicionde F [a]).Observemos que F [a] = {f(a) | f ∈ F [x]} es un dominio entero ya que F [a] ⊂ Ky K es campo.


El campo de cocientes de F [a] es el conjunto{f(a)g(a) | f, g ∈ F [x], g(a) 6= 0

}

el cual

esta contenido en cualquier subcampo de K que contiene a F [a]. Como F (a) esun subcampo de K que contiene a F [a] (pues F (a) es un subcampo de K que

contiene a F y a), se sigue que{f(a)g(a) | f, g ∈ F [x], g(a) 6= 0

}

⊂ F (a), de donde{f(a)g(a) | f, g ∈ F [x], g(a) 6= 0

}

= F (a).

De manera similar, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 2.8.5. Sea K/F una extension y sean a1, . . . , an ∈ K. Entonces:

F [a1, . . . , an] = {f(a1, . . . , an) | f ∈ F [x1, . . . , xn]}

y

F (a1, . . . , an) =

{f(a1, . . . , an)

g(a1, . . . , an)| f, g ∈ F [x1, . . . , xn], g(a1, . . . , an) 6= 0

}

.

Ası, F (a1, . . . , an) es el campo de cocientes de F [a1, . . . , an].


Para subconjuntos arbitrarios X de K podemos describir F (X) en terminos de sub-conjuntos finitos de X . Esta descripcion es util para convertir cuestiones acerca deextensiones de campos, en cuestiones acerca de extensiones finitamente generadas.

Teorema 2.8.6. Sea K una extension de F y sea X ⊂ K. Si α ∈ F (X), entoncesα ∈ F (a1, . . . , an) para algunos a1, . . . , an ∈ X . Por lo tanto:

F (X) =⋃

{F (a1, . . . , an) | a1, . . . , an ∈ X} ,

donde la union es sobre todos los subconjuntos finitos de X .

Demostracion. Es claro que⋃ {F (a1, . . . , an) | a1, . . . , an ∈ X} ⊂ F (X). Esta

union contiene a F y X (pues la union contiene a todos los subconjuntos fini-tos de X y por lo tanto contiene a la union de todos ellos que es X), ası quesi es un campo, entonces es igual a F (X), ya que F (X) es el subcampo maspequeno que contiene a F y X . Para mostrar que la union es un campo, seanα, β ∈ ⋃ {F (a1, . . . , an) | ai ∈ X}. Entonces, existen ai, bj ∈ X tales que α ∈F (a1, . . . , an) y β ∈ F (b1, . . . , bm). Entonces, α y β son elementos del campoF (a1, . . . , an, b1, . . . , bm), de modo que α ± β, αβ y α

β (si β 6= 0), son elementos

de⋃ {F (a1, . . . , an) | ai ∈ X}. Por lo tanto, esta union es un campo.

Definicion 2.8.7. Sean L y M subcampos de un campo K. El compuesto de L yM en K, denotado LM , es el campo L(M) =M(L).

Las relaciones de las dimensiones [L : K], [M : K], [LM : K], etc. son consideradasen los ejercicios.


Ejemplo 2.8.8. El compuesto de Q(√2) y Q(

√3) en R es Q(

√2,√3) = Q(

√2 +√

3). La inclusion Q(√2 +√3) ⊂ Q(

√2,√3) es clara. Para demostrar la inclusion

recıproca, sea a =√2+√3. Entonces, (a−

√2)2 = 3 es decir, a2− 2

√2a+2 = 3,

de donde√2 = a2−1

2a ∈ Q(a). De manera analoga tenemos que√3 = a2+1

2a ∈ Q(a).

Por lo tanto, Q(√2,√3) ⊂ Q(a) y ası Q(

√2,√3) = Q(a).

Definicion 2.8.9. Sea K/F una extension de campos. Un elemento α ∈ K esalgebraico sobre F si existe un polinomio no nulo f ∈ F [x] tal que f(α) = 0. Siα no es algebraico sobre F , entonces α es trascendente sobre F . Si cada elementode K es algebraico sobre F , entonces K es llamado algebraico sobre F y K/F esllamado una extension algebraica.

Ejemplos 2.8.10. 1.√2 es algebraico sobre Q, ya que

√2 es raız de x2 − 2.

2. Si r ∈ Q y n ∈ Z+, entonces n√r es algebraico sobre Q ya que n

√r es raız de

xn − r.

3. i es algebraico sobre Q ya que i es raız de x2 + 1.

4. ω = e2πi/n es algebraico sobre Q ya que ω es raız de xn − 1.

5. (Hermite, 1873) e es trascendente sobre Q.

6. (Lindemann, 1882) π es trascendente sobre Q.

7.√π es trascendente sobre Q. (Ejercicio).

8.√π es algebraico sobre Q(π) ya que

√π es raız de x2 − π ∈ Q(π)[x].

Si K es una extension de F y α ∈ K es algebraico sobre F , entonces existe unpolinomio no nulo f ∈ F [x] tal que f(α) = 0. Si f = a0 + a1x + · · ·+ anx

n conan 6= 0, entonces f = anq con q ∈ F [x] un polinomio monico tal que q(α) = 0(pues 0 = f(α) = anq(α) y an 6= 0.) Luego, hay al menos un polinomio monico degrado mınimo en F [x] que tiene a α como raız.Si p y q son dos de tales polinomios con p 6= q, entonces f = p− q 6= 0, f ∈ F [x] yf(α) = 0. De aquı que por el argumento anterior f = cg para algun c ∈ F y algung ∈ F [x] monico tal que g(α) = 0. Como gr(g) = gr(f) < gr(p), tenemos queg es un polinomio monico tal que g(α) = 0 y gr(g) < gr(p), lo que contradice ladefinicion de p. Por lo tanto, hay un unico polinomio monico de grado mınimo quetiene a α como raız.

Definicion 2.8.11. Sea K una extension de F y sea α ∈ K. Si α es algebraicosobre F , el polinomio mınimo de α sobre F es el unico polinomio monico p ∈ F [x]de grado mınimo tal que p(α) = 0, y es denotado por min(F, α).

Ejemplo 2.8.12. min(Q, i) = x2+1 = min(R, i), pero min(C, i) = x− i. Luego,el polinomio mınimo de un elemento depende del campo base.

Ejercicio 2.8.13. 〈min(F, α)〉 = ker(evα).


El siguiente teorema nos da una relacion entre el grado de una extension y elpolinomio mınimo de un elemento.

Teorema 2.8.14. Sea K una extension de F y sea α ∈ K algebraico sobre F .

1. El polinomio min(F, α) es irreducible en F [x] y F (α) = F [α].

2. Si g ∈ F [x], entonces g(α) = 0 si y solo si min(F, α) | g.

3. Si n = gr(min(F, α)), entonces los elementos 1, α, α2, . . . , αn−1 forman unabase para F (α) sobre F y por lo tanto [F (α) : F ] = gr(min(F, α)) <∞.

Demostracion. 1. Por el Ejercicio 2.8.13, tenemos que ker(evα) = 〈min(F, α)〉y por el Teorema 2.8.4 tenemos que Im(evα) = F [α]. Luego, aplicando el

primer teorema de isomorfismo de anillos, se sigue que F [x]〈min(F,α)〉

∼= F [α].

Como F [α] es dominio entero, F [x]〈min(F,α)〉

∼= F [α] tambien lo es y por lo tanto

〈min(F, α)〉 es un ideal primo no cero de F [x]. Como F [x] es un DIP, se sigueque 〈min(F, α)〉 es maximal y por lo tanto, min(F, α) es irreducible en F [x].

Mas aun, F [α] ∼= F [x]〈min(F,α)〉 es un campo y ası F [α] = F (α) (pues F (α) es

el campo de cocientes de F [α]).

2. Sea g ∈ F [x]. Entonces:

g(α) = 0 ⇔ g ∈ ker(evα)

⇔ g ∈ 〈min(F, α)〉 (por el Ejercicio 2.8.13)

⇔ min(F, α) | g.

3. Sea n = gr(min(F, α)). Si b ∈ F (α), entonces b = g(α) para algung ∈ F [x] (pues F [α] = F (α)). Por el algoritmo de la division en F [x],g = q · min(F, α) + r donde gr(r) < n. Como α es raız del polinomiomin(F, α), tenemos que b = g(α) = r(α). Como gr(r) < n, se sigue que bes una F -combinacion lineal de 1, α, . . . , αn−1 y por lo tanto los elementos1, α, . . . , αn−1 generan a F (α). Luego:

F (α) = {a0 + a1α+ · · ·+ an−1αn−1 | a0, a1, . . . , an−1 ∈ F}.

Por ultimo, supongamos que c0 + c1α + · · · + cn−1αn−1 = 0. Entonces, el

polinomio g = c0 + c1x+ · · ·+ cn−1xn−1 tiene a α como raız, y por el inciso

anterior min(F, α) | g. Esto no puede suceder si g 6= 0, pues gr(g) ≤ n− 1y gr(min(F, α)) = n. Por lo tanto, g = 0 y ası c0 = c1 = · · · = cn−1 = 0.Por lo tanto, {1, α, . . . , αn−1} es una base para F (α) y de aquı [F (α) : F ] =n <∞.

Ejemplos 2.8.15. 1. 3√2 es algebraico sobre Q, ya que satisface el polinomio

p = x3−2. Como p es irreducible en Q[x], se sigue que min(Q, 3√2) = p (si p


no fuera el polinomio mınimo de 3√2 sobre Q, entonces por el teorema anterior

min(Q, 3√2) | p (pues p( 3

√2) = 0) y ası p no serıa irreducible.) Ademas:

Q(3√2) = {a+ b

3√2 + c

3√4 | a, b, c ∈ Q}

y en consecuencia [Q( 3√2),Q] = 3.

2. Sea p un numero primo. El numero complejo ω = cos(2πp )+i sen(2πp ) satisface

el polinomio xp − 1 = (x− 1)(xp−1 + xp−2 + · · ·+ 1). Como p 6= 1, se sigueque ω satisface el polinomio Φp = xp−1+xp−2+ · · ·+1 el cual es irreducibleen Q[x]. Por lo tanto, Φp = min(Q, ω), [Q(ω) : Q] = p− 1 y:

Q(ω) = {a0 + a1ω + · · ·+ ap−2ωp−2 | a0, a1, . . . , ap−2 ∈ Q}.

Supongamos que K = F (a1, . . . , an) y sean Li = F (a1, . . . , ai) y L0 = F . Es claroque:

F ⊂ F (a1) ⊂ F (a1, a2) ⊂ · · · ⊂ F (a1, . . . , an),es decir:

F = L0 ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ · · · ⊂ Ln = K,

con Li+1 = Li(ai+1). Por lo tanto, podemos descomponer la extension K/F enuna serie de subextensiones Li+1/Li, cada una generada por un solo elemento.

Lema 2.8.16. Si K/F es una extension finita, entonces K es algebraico y finita-mente generado sobre F .

Demostracion. Supongamos que [K : F ] = n y sea {α1, . . . , αn} una base deK/F .Luego, cada elemento de K es de la forma

∑ni=1 aiαi con ai ∈ F , de donde K ⊂

F (α1, . . . , αn) por el Teorema 2.8.5. Recıprocamente, ya queK ⊃ F∪{α1, . . . , αn}se sigue que K ⊃ F (α1, . . . , αn). Por lo tanto, K = F (α1, . . . , αn) es finitamentegenerado sobre F .Ahora, si a ∈ K, entonces los n + 1 elementos (no necesariamente distintos)1, a, a2, . . . , an son linealmente dependiente sobre F . Luego, existen escalares notodos cero β0, . . . , βn ∈ F tales que

∑ni=0 βia

i = 0. Si f =∑ni=0 βix

i, entoncesf ∈ F [x], f 6= 0 y f(a) = 0. Por lo tanto, a es algebraico sobre F y ası K es unaextension algebraica.

El siguiente resultado sobre transitividad sera usado frecuentemente.

Teorema 2.8.17. Sean K/L y L/F extensiones finitas. Entonces:

[K : F ] = [K : L][L : F ].

Demostracion. Sea β = {a1, . . . , an} una base para la extension L/F y sea β′ ={b1, . . . , bm} una base para la extensionK/L. Demostraremos que el conjunto β′′ ={aibj | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es una base para la extensionK/F . Sea x ∈ K. Con-siderando a K como un L-espacio vectorial, tenemos que x =

∑mj=1 αjbj con αj ∈


L. Considerando a L como un F -espacio vectorial, tenemos que αj =∑ni=1 βijai

con βij ∈ F para todo j = 1, . . . ,m. Luego, x =∑m

j=1

∑ni=1 βijaibj y ası β′′ ge-

nera a K sobre F . Para la independencia lineal, supongamos que∑

i,j βijaibj = 0con βij ∈ F . Como β′ es base de K/L, tenemos que

∑

i βijai = 0 para to-do j = 1, . . . ,m, y como β es base de L/F , tenemos que βij = 0 para todoi = 1, . . . , n y j = 1, . . . ,m. Por lo tanto, β′′ es linealmente independiente sobre Fy de aquı:

[K : F ] = |β′′| = |β × β′| = |β| · |β′| = [K : L][L : F ].

Ejemplo 2.8.18. [Q(√2,√3) : Q] = 4. En efecto, tenemos que [Q(

√2) : Q] = 2

pues min(Q,√2) = x2 − 2. Por otra parte, como Q(

√2,√3) = Q(

√2)(√3) y

min(Q(√2) :√3) = x2 − 3, tenemos que [Q(

√2,√3) : Q(

√2)] = 2. Finalmente,

aplicando el teorema anterior se sigue que:

[Q(√2,√3) : Q] = [Q(

√2) : Q][Q(

√2,√3) : Q(

√2)] = 4.

Demostraremos ahora el recıproco del Lema 2.8.16.

Proposicion 2.8.19. SeaK una extension de F . Si α1, . . . , αn ∈ K son algebraicossobre F , entonces F [α1, . . . , αn] es un campo y es una extension finita de F con:

[F [α1, . . . , αn] : F ] ≤n∏

i=1

[F (αi) : F ].

Como consecuencia, se sigue que F [α1, . . . , αn] = F (α1, . . . , αn) es una extensionalgebraica sobre F por el Lema 2.8.16.

Demostracion. Haremos la demostracion por induccion sobre n. El caso n = 1 sesigue del Teorema 2.8.14. Supongamos entonces que L = F [α1, . . . , αn−1] es un

campo y que [L : F ] ≤ ∏n−1i=1 [F (αi) : F ]. Es claro que F [α1, . . . , αn] = L[αn].

Como αn es algebraico sobre F y F ⊂ L, se sigue que αn es algebraico sobre L.Entonces, por el Teorema 2.8.14 tenemos que F [α1, . . . , αn] = L[αn] es un campoy:

[F [α, . . . , αn] : L] = [L[αn] : L] = gr(min(L, αn)).

Ademas, por el Teorema 2.8.14 tenemos que min(L, αn) | min(F, αn), de donde[L[αn] : L] = gr(min(L, αn)) ≤ gr(min(F, αn)) = [F (αn) : F ]. Aplicando lahipotesis de induccion y el Teorema 2.8.17, obtenemos que:

[F [α1, . . . , αn] : F ] = [L[αn] : F ] = [L[αn] : L] · [L : F ]

≤ [F (αn) : F ] ·n−1∏

i=1

[F (αi) : F ] =n∏

i=1

[F (αi) : F ].

Finalmente, observe que:

F [α1, . . . , αn] = F [α1, . . . , αn−1][αn] = F (α1, . . . , αn−1)[αn],


ya que F [α1, . . . , αn−1] es un campo por hipotesis de induccion y coincide con sucampo de fracciones F (α1, . . . , αn−1).Como αn es algebraico sobre F ⊂ F (α1, . . . , αn−1), tenemos que αn es algebraicosobre F (α1, . . . , αn−1), y por el Teorema 2.8.14 se sigue que F (α1, . . . , αn−1)[αn] =F (α1, . . . , αn−1)(αn) = F (α1, . . . , αn).Por lo tanto, F [α1, . . . , αn] = F (α1, . . . , αn) y ası F [α1, . . . , αn] es un campo.

La desigualdad de la proposicion anterior puede ser estricta. Por ejemplo, si a = 4√2

y b = 4√18, entonces [Q(a) : Q] = [Q(b) : Q] = 4, ya que los polinomios x4 − 2

y x4 − 18 son irreducibles en Q[x] por el criterio de Eisenstein. Demostraremos

que Q(a, b) = Q( 4√2,√3). En efecto, tenemos que

(ba

)4= 9 de donde b

a =√3.

Por lo tanto,√3 ∈ Q(a, b) y ası Q(a, b) ⊃ Q( 4

√2,√3). La contencion Q(a, b) ⊂

Q( 4√2,√3) es clara. Por lo tanto, Q(a, b) = Q( 4

√2,√3).

Por otro lado, como b = 3a2 es raız del polinomio x2 − 3a2 ∈ Q(a)[x], tenemosque [(Q(a))(b) : Q(a)] ≤ 2 (pues min(Q(a), b) | x2 − 3a2). Por lo tanto:

[Q(a, b) : Q] = [(Q(a))(b) : Q]

= [(Q(a))(b) : Q(a)][Q(a) : Q]

≤ 2 · 4 = 8

< [Q(a) : Q][Q(b) : Q] = 16.

Se puede demostrar que [Q(a, b) : Q] = 8 (ejercicio para el lector).

Corolario 2.8.20. Sea K/F una extension y sea α ∈ K. Entonces, α es algebraicosobre F si y solo si [F (α) : F ] < ∞. Mas aun, si [K : F ] < ∞ entonces K esalgebraico sobre F .

Demostracion. Sea α ∈ K. Si α es algebraico sobre F , entonces por el Teore-ma 2.8.14, [F (α) : F ] = gr(min(F, α)) <∞. Recıprocamente, si [F (α) : F ] <∞,entonces por el Lema 2.8.16 se sigue que F (α) es una extension algebraica sobreF , y por lo tanto α ∈ F (α) ⊂ K es algebraico sobre F . La segunda parte se siguedel Lema 2.8.16.

El recıproco de la segunda parte del corolario anterior no es verdadero. Existenextensiones algebraicas de grado infinito. Por ejemplo, el conjunto A de los numeroscomplejos que son algebraicos sobre Q es un campo (ver el Corolario 2.8.23) queademas es una extension infinita de Q. En efecto, supongamos que [A : Q] = n <∞. El polinomio xn+1 − 2 ∈ Q[x] es irreducible por el criterio de Eisenstein. Por lotanto, min(Q, n+1

√2) = xn+1 − 2 y n+ 1 = [Q( n+1

√2) : Q] > [A : Q] = n, lo que

es una contradiccion ya que Q( n+1√2) es un Q-subespacio vectorial de A.

La Proposicion 2.8.19 se puede extender facilmente al caso de extensiones generadaspor un numero arbitrario de elementos.

Proposicion 2.8.21. Sea K/F una extension, y sea X un subconjunto de K talque cada elemento de X es algebraico sobre F . Entonces, F (X) es algebraico sobreF . En particular, si |X | <∞, entonces [F (X) : F ] <∞.


Demostracion. Sea a ∈ F (X). De acuerdo con el Teorema 2.8.6 existen α1, . . . , αn ∈X tales que a ∈ F (α1, . . . , αn). Ahora, ya que cada elemento de X es algebraico so-bre F , los elementos α1, . . . , αn son algebraicos sobre F , y por la Proposicion 2.8.19,tenemos que F (α1, . . . , αn) es una extension finita de F . Luego, por el Lema 2.8.16se sigue que F (α1, . . . , αn) es una extension algebraica de F . Por lo tanto, a esalgebraico sobre F y de aquı, F (X) es algebraico sobre F . Si |X | < ∞, entonces[F (X) : F ] <∞ por la Proposicion 2.8.19.

Ahora demostraremos que la propiedad de ser algebraico es transitiva.

Teorema 2.8.22. Sean F ⊂ L ⊂ K campos. Si L/F y K/L son algebraicas,entonces K/F es algebraica.

Demostracion. Sea α ∈ K y sea f = a0+ a1x+ · · ·+ an−1xn−1 +xn el polinomio

mınimo de α sobre L. Ya que L/F es algebraica y a0, . . . , an−1 ∈ L, el campoL0 = F (a0, . . . , an−1) es una extension finita de F por la Proposicion 2.8.19.Ahora f ∈ L0[x], de modo que α es algebraico sobre L0. Luego:

[L0(α) : F ] = [L0(α) : L0][L0 : F ] <∞.

Finalmente, ya que F (α) ⊂ L0(α), se sigue que [F (α) : F ] <∞, y por lo tanto αes algebraico sobre F por el Corolario 2.8.20. Ası, K/F es algebraico.

Teorema 2.8.23. Si K/F es una extension y E es el conjunto de todos los ele-mentos de K que son algebraicos sobre F , entonces E es un subcampo de K, ypor lo tanto E es la extension algebraica mas grande de F contenida en K.

Demostracion. Sean a, b ∈ E. Por la Proposicion 2.8.19, F (a, b) es una extensionfinita de F y por lo tanto, F (a, b) es algebraico sobre F (por el Lema 2.8.16), demodo que F (a, b) ⊂ E. Como a±b, ab, ab (con b 6= 0) son elementos de F (a, b) ⊂ E(pues F (a, b) es un campo que contiene a a y b), se sigue que E es un subcampode K. Ahora, si E′ ⊂ K y E′/F es algebraico, entonces cada elemento de E′ esalgebraico sobre F y por lo tanto E′ ⊂ E, lo que significa que E es la extensionalgebraica mas grande de F contenida en K.

2.8.1. Ejercicios

1. Usando que π es trascendente sobre Q, demuestre que la extension R/Q esde grado infinito.

2. Sea K una extension de F . Demuestre que [K : F ] = 1 si y solo si K = F .

3. Determine min(Q, 1 + i).

4. Determine [Q(2 +√3) : Q].

5. Determine el polinomio mınimo de α =√2 + 3√2 sobre Q y encuentre una

base para Q(α) sobre Q.


6. Sea ϕ = 1+√5

2 y sea ω una raız quinta de la unidad distinta de 1.

a) Determine [Q(ϕ) : Q] y [Q(ω) : Q].

b) Demuestre que Q(ϕ) ⊂ Q(ω).

c) Determine [Q(ω) : Q(ϕ)].

(Sugerencia: ϕ es la unica raız positiva de un polinomio cuadratico. Compareω + ω−1 con ϕ.)

7. Sea F = Q(i). Demuestre que los polinomios x3− 2 y x3− 3 son irreduciblesen F [x].

8. Demuestre que Q(√2) y Q(

√3) no son isomorfos como campos, pero sı son

isomorfos como espacios vectoriales sobre Q.

9. Determine [Q(√2,√3,√5) : Q].

10. Si K es una extension de F tal que [K : F ] es un numero primo, demuestreque no hay campos intermedios entre K y F . En particular, no hay camposintermedios entre C y R.

11. Si K es una extension de campo de F y a ∈ K satisface que [F (a) : F ] esun entero impar, demuestre que F (a) = F (a2). De un ejemplo para mostrarque lo anterior no necesariamente se cumple si el grado de F (a) sobre F espar.

12. Demuestre que Q(√5,√7) = Q(

√5 +√7).

13. Sean L y M campos intermedios en la extension K/F .

a) Demuestre que [LM : F ] es finito si y solo si [L : F ] y [M : F ] sonfinitos.

b) Si [LM : F ] es finito, demuestre que [L : F ] y [M : F ] dividen a[LM : F ] y que [LM : F ] ≤ [L : F ][M : F ].

c) Si [L : F ] y [M : F ] son finitos y primos relativos, demuestre que[LM : F ] = [L : F ][M : F ].

d) Si L y M son algebraicos sobre F , demuestre que LM es algebraicosobre F .

14. Construya un homomorfismo inyectivo de anillos f : Q[x]→ C tal que f(1) =1. ¿Es posible que f sea suprayectiva?

15. Sea K una extension de F y sean u, v ∈ K algebraicos sobre F . Si lospolinomios mınimos de u y v sobre F tienen grados m y n, respectivamente,demuestre que [F (u, v) : F ] ≤ mn. Si (m,n) = 1, demuestre que [F (u, v) :F ] = mn.

16. Sea K una extension de F y sea a ∈ K. Sean m y n enteros positivos talesquem | n. Suponga que el polinomio xn−a es irreducible enK[x]. Demuestreque si u ∈ F es raız de xn − a, entonces [K(um) : K] = n

m .


2.9. Campo de descomposicion y cerradura alge-

braica

Definicion 2.9.1. Sean K una extension de F y f ∈ F [x] un polinomio de gradopositivo.

1. f se escinde o se descompone sobre K si f = a0∏ni=1(x − αi) con a0 ∈ F

y α1, . . . , αn ∈ K.

2. K es un campo de descomposicion de f sobre F si f se escinde sobre K yK = F (α1, . . . , αn) donde α1, . . . , αn son las raıces de f en K. (Observeque K es una extension finita y algebraica de F por la Proposicion 2.8.19).

3. Si S es un conjunto de polinomios de grado positivo en F [x], entonces Kes un campo de descomposicion de S sobre F si cada polinomio de S seescinde sobre K y K = F (X) donde X es el conjunto de todas las raıcesde todos los polinomios de S. (Observe que K es algebraico sobre F por laProposicion 2.8.21).

Ejemplos 2.9.2. 1. El campo Q(ω, 3√2) es un campo de descomposicion del

polinomio x3 − 2 sobre Q, donde ω = e2πi/3, pues las raıces de x3 − 2 son3√2, ω 3√2 y ω2 3

√2, y Q( 3

√2, ω 3√2, ω2 3

√2) = Q(ω, 3

√2).

2. C es el campo de descomposicion de x2 + 1 sobre R, ya que C = R(i,−i).

3. En general, si F es un campo y a ∈ F , entonces F (√a) es un campo de

descomposicion de x2 − a sobre F ya que F (√a) = F (

√a,−√a).

4. El campo Q(i) es un campo de descomposicion de x4+4 sobre Q. En efecto,tenemos que:

x4 + 4 = (x2 + 2)2 − 4x2 = (x2 − 2x+ 2)(x2 + 2x+ 2).

Las raıces de x2 − 2x + 2 son 1 + i y 1 − i; las raıces de x2 + 2x + 2 son−1 + i y −1− i; y Q(1 + i, 1− i,−1 + i,−1− i) = Q(i).

El siguiente teorema muestra que cada polinomio f ∈ F [x], tiene un campo dedescomposicion.

Teorema 2.9.3. Si F es un campo y f ∈ F [x] tiene grado n ≥ 1, entonces existeun campo de descomposicion K de f con [K : F ] ≤ n!.

Demostracion. Demostraremos primero que existe una extension de F de gradomenor o igual que n y que contiene una raız de f .Como F [x] es DFU, f(x) es producto de irreducibles. Sea p(x) un factor irreduciblede f(x) en F [x], y consideremos el campo F [x]/(p(x)). La proyeccion canonicaπ : F [x] → F [x]/(p(x)) cuando se restringe a F , es un monomorfismo (ejercicio).Luego, F [x]/(p(x)) contiene a π(F ) ∼= F , de modo que podemos considerar a


F [x]/(p(x)) una extension de F (identificando a F con π(F ) bajo el isomorfismo).Dado x ∈ F [x], sea u = π(x) ∈ F [x]/(p(x)). Tenemos que:

p(u) = p(π(x)) = p(x+ (p(x))) = p(x) + (p(x)) = (p(x)) = 0 ∈ F [x]/(p(x)),

es decir, u es raız de p(x) en F [x]/(p(x)), y por lo tanto, u es raız de f(x).Luego, u es algebraico sobre F , de modo que F (u) = {f(u) | f ∈ F [x]}. Comof(u) = f(x + (p(x))) = f(x) + (p(x)), se sigue que F [x]/(p(x)) = F (u). Por lotanto, [F [x]/(p(x)) : F ] = [F (u) : F ] = gr(p(x)) ≤ n.Para concluir la prueba, usaremos induccion en n = gr(f). Si n = 1 o si f se escindesobre F , entonces K = F satisface las condiciones del teorema. Supongamos queel resultado es cierto para polinomios de grado menor que n, con n > 1, y que fno se escinde sobre F . Sea g ∈ F [x] un factor irreducible de f de grado mayor que1 (observe que tal g existe porque f no se escinde sobre F ). Por lo demostradopreviamente, F (u) es una extension de F donde u es una raız de g (y en consecuenciade f) y [F (u) : F ] = gr(g) > 1. Entonces, podemos escribir f = (x − u)h conh ∈ F (u)[x] de grado n − 1. Por hipotesis de induccion, existe un campo dedescomposicion K de h sobre F (u) con [K : F (u)] ≤ (n − 1)!. Pero entonces, Kes un campo de descomposicion de f = (x − u)h sobre F (pues u ∈ F (u) ⊂ K yh se escinde sobre K) tal que:

[K : F ] = [K : F (u)][F (u) : F ] ≤ (n− 1)!gr(g) ≤ n!

Corolario 2.9.4. Si f1, . . . , fn ∈ F [x] son polinomios de grado positivo, entoncesexiste un campo de descomposicion para {f1, . . . , fn} sobre F .

Demostracion. Es un ejercicio verificar que K es un campo de descomposicion para{f1, . . . , fn} sobre F si y solo si K es un campo de descomposicion del polinomiof = f1f2 · · · fn sobre F . Luego, si f = f1f2 · · · fn, entonces segun el teoremaanterior existe un campo de descomposicion K de f sobre F y por lo tanto K esun campo de descomposicion para {f1, . . . , fn} sobre F .

Teorema 2.9.5. Si F es un campo, las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. F no tiene extensiones algebraicas distintas de F .

2. No hay extensiones finitas de F distintas de F .

3. Si K/F es una extension, entonces F = {a ∈ K | a es algebraico sobre F}.

4. Cada polinomio no constante f ∈ F [x] se escinde sobre F .

5. Cada polinomio no constante f ∈ F [x] tiene una raız en F .

6. Cada polinomio irreducible en F [x] tiene grado 1.


Demostracion. (1⇒ 2): Se sigue de que toda extension finita de F es una extensionalgebraica de F .(2⇒ 3): Es claro que F ⊂ {a ∈ K | a es algebraico sobre F}. Recıprocamente, seaa ∈ K algebraico sobre F . Entonces, F (a) es una extension finita de F por el Corola-rio 2.8.20. Como no hay extensiones finitas de F distintas de F por hipotesis, se sigueque F (a) = F . Ası, a ∈ F . Por lo tanto, F = {a ∈ K | a es algebraico sobre F}.(3 ⇒ 4): Sea f ∈ F [x] y sea K un campo de descomposicion de f sobre F . Yaque K es algebraico sobre F (¿por que?) y F = {a ∈ K | a es algebraico sobre F}(por hipotesis), tenemos que K = F , es decir, f se escinde sobre F .(4⇒ 5): Es claro.(5 ⇒ 6): Sea f ∈ F [x] irreducible. Como f tiene una raız en F , f tiene un factorlineal. Como f es irreducible, lo anterior significa que f es lineal, es decir, gr(f) = 1.(6⇒ 1): Sea K una extension algebraica de F . Sean a ∈ K y p = min(F, a). Comop es irreducible, tenemos que gr(p) = 1 por hipotesis, y por lo tanto [F (a) : F ] = 1.De aquı que F (a) = F y ası a ∈ F . Luego, K ⊂ F ⊂ K, es decir, K = F .

Definicion 2.9.6. Un campo que satisface las condiciones equivalentes del teoremaanterior se dice que es algebraicamente cerrado. Si K es una extension algebraicade F y K es algebraicamente cerrado, entonces se dice que K es una cerraduraalgebraica de F .

Ejemplo 2.9.7. El campo de los numeros reales R no es algebraicamente cerradoya que el polinomio x2 + 1 no tiene raıces reales.

Ejemplo 2.9.8. Si A = {a ∈ C | a es algebraico sobre Q}, entonces A es algebrai-camente cerrado (vease el Ejercicio 8). Ademas A es una cerradura algebraica deQ. Sin embargo, C no es una cerradura algebraica de Q ya que C no es algebraicosobre Q.

El siguiente lema se necesita en la prueba de la existencia de una cerradura alge-braica.

Lema 2.9.9. SiK es una extension algebraica de F , entonces |K| ≤ max{|F |, |N|}.Demostracion. Sea a ∈ K y sean a1, . . . , an las raıces del polinomio min(F, a)en K (observe que a es una de las raıces ai). Si M es el conjunto de todos lospolinomios monicos de grado positivo en F [x], defina f : K → M × N comof(a) = (p, r) donde p = min(F, a) y a = ar. Esta funcion es iynectiva, puessi f(a) = f(a′), entonces p = p′ y r = r′ de donde a = ar = ar′ = a′. Ası,|K| ≤ |M × N| = max{|M |, |N|}.Mostraremos ahora que |M | = max{|F |, |N|}. SeaMn el conjunto de los polinomiosmonicos de grado n en F [x]. Entonces, |Mn| = |Fn|. Si F es finito, tenemos que|Fn| = |F |n y si F es infinito, |Fn| = |F | (vease la Introduccion de [4]). Por lotanto, ya que M es la union de los conjuntos disjuntos Mn, tenemos que:

|M | =∣∣∣∣∣

⋃

n

Mn

∣∣∣∣∣= max{|F |, |N|}.


Teorema 2.9.10. Sea F un campo. Entonces F tiene una cerradura algebraica.

Demostracion. Sea S un conjunto conteniendo F tal que |S| > max{|F |, |N|} (estoes posible, pues |A| < |P (A)| para todo conjunto A, donde P (A) es el conjuntopotencia de A). Sea A la clase de las extensiones algebraicas de F contenidas en S.Observe que A 6= ∅ pues F ∈ A. Ordenemos parcialmente a A definiendo K ≤ Lsi K ⊂ L. Sea {Ki | i ∈ I} una cadena en A. Entonces T =

⋃

i∈I Ki ⊂ S esuna extension algebraica de F . Sean a, b ∈ T . Entonces, a ∈ Ki y b ∈ Kj paraalgunos i, j ∈ I. Si Ki ⊂ Kj, entonces a± b, ab y a

b (con b 6= 0) estan en Kj ⊂ T .Por el lema de Zorn, existe un elemento maximal M de A. Si L es una extensionalgebraica de M , entonces por el lema anterior tenemos que:

|L−M | ≤ |L| ≤ max{|M |, |N|} ≤ max{|F |, |N|} < |S|.

Como |M | < |S| y |S| = |(S −M) ∪M | = |S −M | + |M |, debemos tener que|S| = |S −M | (en general, si α y β son numeros cardinales tales que β ≤ α y α esinfinito, entonces α+ β = α. Vease la Introduccion de [4]).De este modo, existe una funcion f : L → S con f |M= id. Definiendo + y · enf(L) como f(a) + f(b) = f(a + b) y f(a) · f(b) = f(ab), tenemos que f(L) esuna extension de M y f es un homomorfismo. Como M es maximal, se sigue quef(L) = M y por lo tanto L = M . Por lo tanto, M es algebraicamente cerrado.Finalmente, ya que M es una extension algebraica de F , se sigue que M es unacerradura algebraica de F .

La existencia de una cerradura algebraica muestra inmediatamente la existencia deun campo de descomposicion de un conjunto arbitrario de polinomios no constantes.

Corolario 2.9.11. Sea S un conjunto de polinomios no constantes sobre F . Enton-ces S tiene un campo de descomposicion sobre F .

Demostracion. Sea K una cerradura algebraica de F . Por el Teorema 2.9.5 cadapolinomio f ∈ S se escinde sobre K. Sea X ⊂ K el conjunto de las raıces de todof ∈ S. Entonces F (X) ⊂ K es un campo de descomposicion para S sobre F .

Una interpretacion util de una cerradura algebraica es la siguiente.

Corolario 2.9.12. Si F es un campo, entonces un campo de descomposicion delconjunto de todos los polinomios no constantes sobre F es una cerradura algebraicade F .

Demostracion. SeaX el conjunto de las raıces de todos los polinomios no constantessobre F . Por el corolario anterior tenemos que F (X) es un campo de descomposi-cion del conjunto de todos los polinomios no constantes sobre F .Por otra parte, F (X) es una extension algebraica de F por la Proposicion 2.8.21.Demostraremos que F (X) es algebraicamente cerrado demostrando que F (X) notiene extensiones algebraicas distintas de F (X) (ver Teorema 2.9.5). Supongamosque K es una extension algebraica de F (X). Entonces, por la propiedad de transi-tividad en las extensiones algebraicas, tenemos que K es una extension algebraica


de F , y por lo tanto todo elemento de K es una raız de algun polinomio en F [x].Luego, K ⊂ X ⊂ F (X) y de aquı K = F (X). Ası F (X) es algebraicamentecerrado y por lo tanto F (X) es una cerradura algebraica de F .

Demostraremos ahora que los campos de descomposicion son unicos salvo isomor-fismo.Si σ : F → F ′ es un homomorfismo (isomorfismo) de campos, entonces σ induceun homomorfismo (isomorfismo) de anillos σ : F [x]→ F ′[x] dado por:

σ(∑

aixi)

=∑

σ(ai)xi.

Es facil ver que si f(x) = (x − a1)(x− a2) · · · (x− an) ∈ F [x], entonces:σ(f(x)) = (x− σ(a1))(x − σ(a2)) · · · (x− σ(an)).

(Vease el Ejercicio 11 de la Seccion 2.2.)

Definicion 2.9.13. Sean K y L extensiones de F . Un F -homomorfismo τ : K → Les un homomorfismo de anillos tal que τ(a) = a para todo a ∈ F , es decir, τ |F= id.Si τ es una biyeccion, se dice que τ es un F -isomorfismo. Un F -isomorfismo de uncampo en si mismo es un F -automorfismo.

Observe que un F -homomorfismo τ : K → L es una transformacion lineal de F -espacios vectoriales pues τ(αa) = τ(α)τ(a) = ατ(a) para todo α ∈ F y a ∈ K.Ademas τ 6= 0 (pues τ(1K) = 1L), de modo que τ es inyectivo pues K es uncampo. Tambien, si [K : F ] = [L : F ] < ∞, entonces τ es suprayectivo pues[K : F ] = dim(Im(τ)). En particular, cualquier F -homomorfismo de K en simismo es una biyeccion, suponiendo que [K : F ] <∞.

Lema 2.9.14. Sea σ : F → F ′ un isomorfismo de campos. Sean f ∈ F [x] unpolinomio irreducible, α una raız de f en una extension K de F y α′ una raız deσ(f) en una extensionK ′ de F ′. Entonces existe un isomorfismo τ : F (α)→ F ′(α′)con τ(α) = α′ y τ |F= σ.

Demostracion. Como f ∈ F [x] es irreducible y f(α) = 0, el polinomio mınimo deα sobre F es un multiplo constante de f . Luego, f y min(F, α) generan el mismoideal principal en F [x], es decir, (f) = (min(F, α)).Como α es algebraico sobre F , tenemos que F [α] = F (α). Consideremos el epi-morfismo φ : F [x] → F (a) = F [α] dado por φ(g) = g(α). Como g(α) = 0 ⇔min(F, α) | g ⇔ g ∈ (min(F, α)), tenemos que ker(φ) = (min(F, α)) = (f). Lue-go, por el primer teorema de isomorfismos de anillos se sigue que F [x]/(f) ∼= F (α),es decir, el siguiente diagrama es conmutativo.

F [x]φ

//

π

��

F (α)

F [x](f)

ϕ

==zzzzzzzz

ϕ ◦ π = φ


Entonces, tenemos un isomorfismo ϕ : F [x]/(f) → F (α) dado por ϕ(g + (f)) =g(α). De manera analoga tenemos un isomorfismo ψ : F ′[x]/(f ′) → F ′(α′) dadopor ψ(g + (f ′)) = g(α′), donde f ′ = σ(f) (observe que f ′ = σ(f) ∈ F ′[x] esirreducible, ya que f ∈ F [x] es irreducible y el isomorfismo σ : F → F ′ induceel isomorfismo σ : F [x] → F ′[x]). El mapeo θ : F [x]/(f) → F ′[x]/(f ′) dado porθ(g+(f)) = σ(g)+(f ′) es un isomorfismo bien definido tal que θ |F= σ (ejercicio),es decir, extiende σ. Entonces, tenemos la sucesion de isomorfismos de campos:

F (α)ϕ−1

−−−−→ F [x]

(f)

θ−−−→ F ′[x]

(f ′)ψ−−−→ F ′(α′).

Por lo tanto, la composicion τ = ψ ◦ θ ◦ ϕ−1 : F (α) → F ′(α′) es un isomorfismoque extiende σ con α 7→ x+ (f) 7→ x+ (f ′) 7→ α′.

Lema 2.9.15. Sean σ : F → F ′ un isomorfismo de campos, K una extension deF y K ′ una extension de F ′. Si K es un campo de descomposicion de {fi} sobreF y τ : K → K ′ es un homomorfismo con τ |F= σ, entonces τ(K) es un campode descomposicion de {f ′

i} sobre F ′, donde f ′i = σ(fi) y σ : F [x] → F ′[x] es el

isomorfismo que extiende a σ : F → F ′.

Demostracion. Ya que K es un campo de descomposicion de un conjunto {fi}de polinomios de F [x], dado fi existen a0 ∈ F y α1, . . . , αn ∈ K tales quefi = a0

∏nj=1(x − αj). Luego, τ(fi) = τ(a0)

∏nj=1(x − τ(αj)). De aquı, cada

f ′i = σ(fi) = τ(fi) se escinde sobre τ(K) (observe que τ : K[x] → K ′[x] es elhomomorfismo que extiende a τ : K → K ′). Ya que K esta generado sobre F porlas raıces de los fi, el campo τ(K) esta generado sobre F ′ por las imagenes bajo elhomomorfismo τ : K → K ′ de las raıces de los f ′

i . Por lo tanto, τ(K) es un campode descomposicion sobre F ′ para {f ′

i}.

Teorema 2.9.16 (Teorema de extension de isomorfismos (el caso de un polinomio)).Sean σ : F → F ′ un isomorfismo de campos, f ∈ F [x] y σ(f) el polinomiocorrespondiente en F ′[x]. SeaK un campo de descomposicion de f sobre F y seaK ′

un campo de descomposicion de σ(f) sobre F ′. Entonces, existe un isomorfismo τ :K → K ′ con τ |F= σ. Ademas, si α ∈ K y si α′ es cualquier raız de σ(min(F, α))en K ′, entonces τ se puede escoger de modo tal que τ(α) = α′.

Demostracion. La demostracion la haremos por induccion en n = [K : F ]. Sin = 1, entonces K = F y f se escinde sobre F . Luego, σ(f) se escinde sobreF ′ y por el Teorema 2.9.5 K ′ = F ′ (pues K ′ es una extension algebraica de

F ′). De aquı, τ = σ es el isomorfismo deseado: K = Fσ−→ F ′ = K ′. Ademas,

min(F, α) = x − α de donde σ(x − α) = x − σ(α) cuya unica raız es α′ = σ(α)y por lo tanto τ(α) = σ(α) = α′. Supongamos ahora que n > 1 y que el resultadoes cierto para campos de descomposicion de grado menor que n. Sea p ∈ F [x]un factor irreducible de f ∈ F [x] de grado mayor que 1 (observe que si todos losfactores irreducibles q ∈ F [x] de f fueran de grado 1, entonces f se escindirıa sobreF y caemos en el caso anterior). Sea α una raız de p en K y sea α′ una raız deσ(p) en K ′. Es claro que σ(p) es irreducible en F ′[x] (pues p es irreducible en


F [x]). Por el Lema 2.9.14, existe un isomorfismo de campos p : F (α) → F ′(α′)con p(α) = α′ que extiende a σ. Como [F (α) : F ] = gr(p) > 1, debemos tenerque [K : L] < n (transitividad en los grados de las extensiones). Como K es uncampo de descomposicion de f sobre F (α) y K ′ es un campo de descomposicionde σ(f) sobre F ′(α′) (ver Ejercicio 3), por la hipotesis de induccion el isomorfismop se extiende a un isomorfismo τ : K → K ′. El isomorfismo τ es una extension deσ (y de p) y τ(α) = p(α) = α′.

Teorema 2.9.17 (Teorema de extension de isomorfismos (caso general)). Sea σ :F → F ′ un isomorfismo de campos. Sea S = {fi} un conjunto de polinomios(de grado positivo) en F [x] y sea S′ = {σ(fi)} el conjunto correspondiente enF ′[x]. Sea K un campo de descomposicion para S sobre F y sea K ′ un campo dedescomposicion para S′ sobre F ′. Entonces, existe un isomorfismo τ : K → K ′ conτ |F= σ. Ademas, si α ∈ K y α′ es una raız cualquiera de σ(min(F, α)) en K ′,entonces τ se puede escoger de modo que τ(α) = α′.

Demostracion. Sean Z el conjunto de todos los pares (L,ϕ) tales que L es unsubcampo de K y ϕ : L→ K ′ un homomorfismo que extiende a σ. Este conjuntoes no vacıo ya que (F, σ) ∈ Z. Ademas, Z es parcialmente ordenado definiendo(L,ϕ) ≤ (L′, ϕ′) si L ⊂ L′ y ϕ′

L = ϕ. Sea {(Li, ϕi)} una cadena en Z. SiL =

⋃

i Li y ϕ : L → K ′ se define como ϕ(a) = ϕi(a) si a ∈ Li, entonces no esdifıcil probar que L es un campo extendiendo todos los Li y ϕ es un homomorfismoextendiendo σ. De este modo, (L,ϕ) es una cota superior en Z para esta cadena.Por el lema de Zorn existe un elemento maximal (M, τ) en Z. Afirmamos queM = K y τ(M) = K ′. En efecto, si M 6= K, entonces existe un f ∈ S que no seescinde sobreM . Sea α ∈ K una raız de f que no esta en M , y sea p = min(F, a).Sea p′ = σ(p) ∈ F ′[x] y sea α′ ∈ K ′ una raız de p′. Dicha α′ existe ya que p′

divide a f ′ y f ′ se escinde sobre K ′. Por el lema anterior, existe un isomorfismoτ1 : M(α) → τ(M)(α′) que extiende a τ . Entonces (M(α), τ1) ∈ Z es tal que(M, τ) < (M(α), τ1), lo que contradice la maximalidad de (M, τ). Por lo tanto,M = K. Finalmente, tenemos que τ(M) = τ(K) = K ′ ya que τ(K) ⊂ K ′ es uncampo de descomposicion para S′ sobre F ′ por el lema anterior.

Corolario 2.9.18. Sea F un campo y sea S un subconjunto de F [x]. Dos camposde descomposicion cualesquiera de S sobre F son F -isomorfos. En particular, doscerraduras algebraicas cualesquiera de F son F -isomorfas.

Demostracion. El teorema de extension de isomorfismos da un isomorfismo exten-diendo id sobre F , entre dos campos de descomposicion cualesquiera de S. Elsegundo enunciado se sigue del primero ya que cualquier cerradura algebraica de Fes un campo de descomposicion del conjunto de todos los polinomios no constantesen F [x].

Como un corolario a la existencia y unicidad de cerraduras algebraicas, podemosprobar que cualquier extension algebraica de un campo F puede ser vista comoviviendo dentro de una cerradura algebraica de F .


Corolario 2.9.19. Sean F un campo y N una cerradura algebraica de F . Si K esuna extension algebraica de F , entonces K es isomorfo a un subcampo de N .

Demostracion. Sea M una cerradura algebraica de K. M es algebraica sobre F(pues M es algebraica sobre K y K es algebraica sobre F ) y por el Ejercicio 1,M es una cerradura algebraica de F . Luego, por el corolario anterior, existe unF -isomorfismo f :M → N y de aquı, K ∼= f(K) con f(K) subcampo de N .

Si K es el campo de descomposicion de un conjunto S de polinomios sobre F ,¿podemos determinar todos los polinomios en F [x] que se escinden sobre K?, ¿po-demos dar una caracterizacion intrınseca de K que no haga referencia al conjuntoS? La respuesta a ambas preguntas es afirmativa.

Definicion 2.9.20. Si K es una extension de F , entonces K es normal sobre F siK es un campo de descomposicion de un conjunto de polinomios sobre F .

Proposicion 2.9.21. 1. Si [K : F ] = 2, entonces K es normal sobre F .

2. Si F ⊂ L ⊂ K y K es normal sobre F , entonces K es normal sobre L.

Demostracion. 1. Sea a ∈ K − F . Entonces F (a) 6= F y en consecuencia[F (a) : F ] 6= 1. Luego, 2 = [K : F ] = [F (a) : F ][K : F (a)] implica que[F (a) : F ] = 2 y [K : F (a)] = 1, de donde a es algebraico sobre F yK = F (a). Si p ∈ F [x] es el polinomio mınimo de a sobre F , tenemos quep tiene una raız en K, a saber a. Como gr(p) = 2, se sigue que p se escindesobre K y por lo tanto K es un campo de descomposicion de p sobre F .

2. Si K es un campo de descomposicion sobre F de un conjunto de polinomiosS ⊂ F [x], entonces K esta generado sobre F por las raıces de los polinomiosen S. Por consiguiente, K esta generado por las raıces como una extensionde L, y por lo tanto K es normal sobre L.

2.9.1. Ejercicios

1. Sea K una extension de F . Si K es algebraicamente cerrado y E consiste detodos los elementos de K que son algebraicos sobre F , demuestre que E esuna cerradura algebraica de F .

2. Demuestre que ningun campo finito F es algebraicamente cerrado. (Sugeren-cia: Si F = {a0, . . . , an} considere a1+(x− a0)(x− a1) · · · (x− an) ∈ F [x],donde a1 6= 0.)

3. Si K es un campo de descomposicion de f sobre F y E es un campo inter-medio, demuestre que K es un campo de descomposicion de f sobre E.

4. Determine un campo de descomposicion y su grado sobre Q para el polinomiox4 + 2.


5. Determine un campo de descomposicion y su grado sobre Q para el polinomiox4 + x2 + 1.

6. Determine un campo de descomposicion y su grado sobre Q para el polinomiox6 − 4.

7. Sea K una extension de F . Si f ∈ F [x] tiene grado n y K es un campo dedescomposicion de f sobre F , demuestre que [K : F ] divide a n!.

8. a) Sea F ⊂ C un Q-espacio vectorial de dimension finita. Demuestre quesi α ∈ F , entonces α ∈ A.

b) Demuestre que el campo A es algebraicamente cerrado.

9. Sea K una extension de F de grado 2 y sea a ∈ K − F . Demuestre queK = F (a) y que K es el campo de descomposicion del polinomio min(F, a)sobre F .

10. Demuestre queK es una cerradura algebraica de F si y solo si K es algebraicosobre F y para cada extension algebraica E de F existe un F -monomorfismoE → K.



Bibliografıa

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Algebra Moderna.- Notas de Carlos Jacob Rubio Barios