ING1111 Álgebra 2014-10Profesor Leonardo Sánchez - Erwin Topp - Luis Zegarra

Pauta Examen16 de junio del 2014

1. (a) (3 ptos.) Sean n, r ∈ N tales que 0 ≤ n < r. Pruebe, usando inducción sobre n, quen∑

k=0

(r

k

)(−1)k = (−1)n

(r − 1

n

)Indicación: Puede usar, donde corresponda, la igualdad de Pascal:(

a

b + 1

)=(

a− 1b + 1

)+(

a− 1b

)a, b ∈ N, a > b

Solución:• Caso base: n = 0

0∑k=0

(r

k

)(−1)k = (−1)0

(r − 1

0

)

⇔(

r

0

)(−1)0 = (−1)0

(r − 1

0

)⇔ 1 · 1 = 1 · 1⇔ V

• Hipótesis:n∑

k=0

(r

k

)(−1)k = (−1)n

(r − 1

n

), algún n ∈ N

• P.d.q.:n+1∑k=0

(r

k

)(−1)k = (−1)n+1

(r − 1n + 1

)1.0 pto.

n+1∑k=0

(r

k

)(−1)k =

n∑k=0

(r

k

)(−1)k

︸ ︷︷ ︸H.I.

+(

r

n + 1

)(−1)n+1

= (−1)n

(r − 1

n

)︸ ︷︷ ︸indicación

+(

r

n + 1

)(−1)n+1

= (−1)n

[(r

n + 1

)−(

r − 1n + 1

)]− (−1)n

(r

n + 1

)

= (−1)n

(r

n + 1

)− (−1)n

(r − 1n + 1

)− (−1)n

(r

n + 1

)

= (−1)n+1(

r − 1n + 1

)

2.0 ptos.

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1

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(b) (3 ptos.) Calcule el valor de la suman∑

k=0(3k + 1)

(n

k

)

Solución:

n∑k=0

(3k + 1)(

n

k

)=

n∑k=0

3k

(n

k

)+

n∑k=0

(n

k

)

= 3n∑

k=0k

(n

k

)+ 2n

0.5 ptos.

Para la otra sumatorian∑

k=0k

(n

k

)=

n∑k=1

kn!

k!(n− k)!

=n∑

k=1

n · (n− 1)!(k − 1)!(n− k)!

= nn∑

k=1

(n− 1k − 1

)

= nn−1∑k=0

(n− 1

k

)= n · 2n−1

Sigue quen∑

k=0(3k + 1)

(n

k

)= 3

n∑k=0

k

(n

k

)+

n∑k=0

(n

k

)= 3n2n−1 + 2n = 2n−1(3n + 2)

2.5 ptos.

2. Sea f : Q → Q una función. Se dice que f es lineal afín si existen a, b ∈ Q, a 6= 0 tal quef(x) = ax + b para todo x ∈ Q. Se define el conjunto:

I = {f : Q→ Q / f es una función lineal afín }

(a) (4 ptos.) Pruebe que (I, ◦) es un grupo, donde ◦ es la composición de funciones.Solución:

• Primero: ◦ debe ser ley interna en I, es decir, ∀f, g ∈ I debe cumplirse que f ◦g ∈ I.Sea f(x) = ax + b; g(x) = cx + d; a, b, c, d ∈ Q, a, c 6= 0(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = ag(x) + b = a(cx + d) + b = acx + ad + bDonde ac ∈ Q, ac 6= 0 ∧ (ad + b) ∈ Q⇒ f ◦ g ∈ I.

1.0 pto.

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2

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• Neutro: idQ(x) es neutro en I pues ∀f ∈ I,f ◦ idQ = idQ ◦ f = f (propiedad de clases)

0.5 ptos.• Asociatividad: La composición de funciones es asociativa, por lo tanto es herencia

y no es necesario demostrarlo.0.5 ptos.

• Inversos: Todas las funciones afines del tipo f(x) = ax + b (rectas) son biyectivasy por lo tanto tienen inverso.Sea f(x) = ax + b⇒ f−1(x) = 1

ax− ba , con

1a 6= 0 y 1

a ∈ QAsí f−1 ◦ f = f ◦ f−1 = idQ

Sigue que (I, ◦) es grupo.

2.0 ptos.

(b) (2 ptos.) Pruebe que el conjunto de las funciones de la forma f(x) = x + b, b ∈ Q con laley de composición de funciones, es subgrupo del grupo original.

Solución:

Por la propiedad compacta, sean f, g elementos de H, dondeH = {f : Q→ Q \ f(x) = x + b, b ∈ Q}. Por demostrar que f ◦ g−1 ∈ H.

0.5 ptos.

En efecto, f = x + b ∧ g = x + c⇒ g−1 = x− c, entoncesf ◦ g−1 = f(g−1(x)) = g−1(x) + b = x− c + b con b− c ∈ QAsí f ◦ g−1 ∈ H y por lo tanto (H, ◦) es subgrupo de (I, ◦)

1.5 ptos.

3. (a) (3 ptos.) Considere el polinomio p(x) = 2x5 − 7x4 + 6x3 + kx2 + 4x + 3. Determine k,k ∈ Q de modo que x = i sea una raíz de p(x) y luego encuentre todas sus raíces.

Solución:

p(x) = 2x5 − 7x4 + 6x3 + kx2 + 4x + 3 admite a x = i como raíz.⇒ p(i) = 2i− 7− 6i− 4k + 4i + 3⇒ k = −4.

Con k = −4 ∈ Q, p(x) ∈ R[x], es decir, p tiene coeficientes reales de modo que si x = ies raíz de p, también lo es x = −i.Así, p es divisible por (x− i)(x + i) = x2 + 1

1.0 pto.

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Entonces(2x5 − 7x4 + 6x3 − 4x2 + 4x + 3) : (x2 + 1) = 2x3 − 7x2 + 4x + 32x5 + 2x3

−7x4 + 4x3 − 4x2 + 4x + 3−7x4 − 7x2

4x3 + 3x2 + 4x + 34x3 + 4x

3x2 + 33x2 + 3

0Sigue que p(x) = (x2 + 1)(2x3 − 7x2 + 4x + 3)Además, si p tiene raices racionales, estas podrían ser de la forma r

s , con r = ±1,±3 ys = ±1,±2⇒ r

s = ±1,±3,±12 ,±3

2 . Es inmediato descartar las negativas.Así, p(3

2) = 2278 −

634 + 12

2 + 3 = 0

1.0 pto.

Dividiendo(2x3 − 7x2 + 4x + 3) : (x− 3

2) = 2x2 − 4x− 22x3 − 3x2

−4x2 + 4x + 3−4x2 + 6x

−2x + 3−2x + 3

0Las raices que faltan son raices de 2x2 − 4x− 2 = 0⇒ x = 4±

√16+164 = 1±

√2

Por lo tanto, las raices son {i,−i, 32 , 1 +

√2, 1−

√2}

1.0 pto.

(b) (3 ptos.) Expresar en la forma a + bi, la suma

S = 1 + 11 + i

+ 1(1 + i)2 + · · ·+ 1

(1 + i)28

Indicación: Recuerde que 1 + q + q2 + q3 + · · ·+ qn−1 = 1−qn

(1−q)

Solución:

S = 1 + 11 + i

+ 1(1 + i)2 + · · ·+ 1

(1 + i)28 =1− ( 1

1+i)29

1− 11+i

=(1 + i)

[1− 1

(1+i)29

]i

= (1 + i)30 − (1 + i)i(1 + i)29

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Con (1 + i)30 = −215i y (1 + i)29 = −214(1 + i)

1.5 ptos.

⇒ S = −215i− 1− i

−i214(1 + i)

= −(215 + 1)i + 1214(1− i)

= 1− (1 + 2−14)i

1.5 ptos.

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