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SEMANA 1
TEORÍA DE EXPONENTES ECUACIÓN DE 1º GRADO
1. Efectuar:
1 1
1
3 2 24E 27 36 2
3
A) 3 B) 6 C) 2
D) 1 E) 0
RESOLUCIÓN
13 127
3*
12 1
366
*
14 3
3 4*
2 12
4*
1 1E
RPTA.: D
2. Simplificar:
0,2
2 54
3 3E 27 27 2 3
A) 2
3 B)
3
2 C) 2
D) 3 E) 1
RESOLUCIÓN
2
32
3
1 1* 27
927
5
35
3
4
1 1* 27
24327
1* 3
81
0,2 0,21 1 2 27 1 6
E9 243 81 243
20,2 0,2 5 1032 243 3
E243 32 2
3
2E
RPTA.: B
3. Calcule:
0 6
3 22
3 0 125
,
E ,
A) 8 B) 6 C) 4
D) 2 E) 5
RESOLUCIÓN
6 20 6
9 3,
1 23 32 2
3 1E
8
1 2
3 33 32 2 2E 8 8 4
RPTA.: C
4. Efectuar: 0,5
12
1
14
160,51 1
0,25625 9
A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25
RESOLUCIÓN 1 1
24 2
4
1 1 1
625 9 4
625 9 4²
5 + 3 + 16 = 24 RPTA.: D
5. Para 2n ; n
el equivalente de la expresión n
n 3n 5 2n 1n² na a² a³...a a a³ a ...a
será:
A) a B) a² C) 0
D) a E) n a
RESOLUCIÓN
22
n n
n 3 n 3n n 1 n n 1nn² n n n2 2
n 3
2
a a a a
a
n
n
n 3
1
2a a
RPTA.: D
6. Efectuar:
48 factores
33 3 3 3
1
44 factores
x x x... x xA ; x 0
xx x x... x
A) x6 B) x9 C) x4
D) x7 E) x7
RESOLUCIÓN 48
3
344
162
11
18
11
7
x xA
xx
xA x
x
xA
x
A x
RPTA.: E
7. Efectuar:
x 1
xx 2 2x 2
20
4 2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN x x
x xx 2 x 1 x
x x
20 20 20 20
4 4 4 4 4 20
5 5
RPTA.: D
8. Si:
1 12 2 1 1
1 1 2 2
a b a bP y Q
a b a b
Halle P . Q, siendo b > a > 0
A) 1
b a B)
1
a b
C)
2
a b
a b
D)
2
a b
a b
E)
2
1
b a
RESOLUCIÓN
1ab
P y Qb a ab b a
2
1
1
abPQ
b a ab b a
PQb a
RPTA.: E
9. Simplificar: a b
b aa b
14 14M
2 14 2 14
; si: a + b = ab
A) 14a+b B) 14 C) 7
D) 14
2
a b
E) 7a+b
RESOLUCIÓN
a b a b
a 1 b 1 1 a b
14 14 14 14M
2 14 14 2 14 14 14
1M
1
7
M 7
RPTA.: C
10. Si: a+b = 2ab ; {a;b} -{0;1}
Reducir:
a b1 1
aa b a1 12ab 2b b
x y
x y
A) x
y B)
y
x C)
x
y
D) y
x E) 1
RESOLUCIÓN
1 11 1
1 1
a ba b x y
x y
1
1 1 11 1 2 11 1
11
b b b
a b
b
x x
yy
(*) a + b = 2ab 1 1
2a b
1
2
1 1 2 12 2 1
a b b b
x x
y y
RPTA.: A
11. Resolver
1
1
x
5x1
5x
e indicar
el valor de: x1
A) 1
5 B) 5 C)
1
5
D) 5 E) 1
5
RESOLUCIÓN
Cambio de variable: 1
yx
y5y
y
5y
1
y 5 5y
1
y 5
y 5
y 5 y 5
y 5
x 5
RPTA.: B
12. Si:2xx 2
Calcule: 2 x 14xE x
A) 1
2 B)
1
4 C) 2
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
Elevando al cuadrado el dato m. a.m.
2x
2 2 2
1
2
x 2 x 2
1x 2 x
2
Luego: 2 x4x xE x
12
2 x 2
2
4x4x
x x
144x
x 4x 2
E x x
E x x E x
E = x² 2
1 1
22E
RPTA.: A
13. Calcule “x” en:
321 2 x3x21 2 x
x321 2 x x
A) 27 B) 3 9 C) 9 3
D) 3 21 E) 3 20
RESOLUCIÓN
Trabajando con cada miembro. xx n nx n x n x n.......( )
Luego:
321 2 x3
21 n 213
n3
2 x n 21
2 x n 21
2 x n 21.............( )
() en ():
3
3
2 21
2 21
nn n n
n n
Solo se verifica para: n = 27
27 3
9
x 3
x 3
RPTA.: C
14. Reducir:
564
3
5 3 4 7
1
xxx² x x
x²
A) x B)
3
4x C)
5
4x
D)
1
2x E)
7
4x
RESOLUCIÓN
30 6027 51x x
60 60 6054 51 105x x x
4 7
7
4
x
x
RPTA.: E
15. Si: 52x = 2(10x) 4x
Calcule: 1 42
2xx
E x
A) 236 B) 256 C) 512
D) 128 E) 0
RESOLUCIÓN
x x x x
2 2x x x x
5 2 0 5 2
5 2 2 5 2 0
x = 0
Reemplazando:
1 42
E 2
21
21 1
16 16E E
E = 16² = 256 RPTA.: B
16. Resolver:
1 3 2 2 3 10
1 2 3 4 5x x x x x x
A) 3
2 B)
2
5 C)
2
3
D) 5
2 E) 4,5
RESOLUCIÓN
2 2 2
1 3 2 1 3 3
x x 1 x 3 x 5 x 1 x 4
2 2x 5 3 2x 52x 5
x 5x x 5x 6 x 5x 4
2 2 2
1 2 32x 5 0
x 5x x 5x 6 x 5x 4
0
2x 5 0
5x
2
RPTA.: D
17. Halle el conjunto de solución de la
ecuación en “x”.
0 0a b
x a x b x ; a ; bb a
A) B) {a} C) {b}
D) {a + b} E) {a b}
RESOLUCIÓN
Multiplicando por “ab”.
a² (x a) + b² (x + b) = ab x
a²x a³ + b²x + b³ = ab x
(a² + ab + b²)x = a³ b³
(a²+ab+b²)x = (ab)(a²ab+b²)
x = a b
Cs = {a b} RPTA.: E
18. Resolver en “x”; {a; b; c; d} R+
4d ax d bx d cx d
xb c a c a b a b c
A) 1 B) d
C) d
a b c D)
2 3a b c
d
E)
RESOLUCIÓN
0
d ax d bx d cxx x x
b c a c a b
dx
a b c
0
d ax bx cx d bx ax cx
b c a c
d cx ax bx d ax bx cx
a b a b c
1 1 1 1
0d a b c xb c a c a b a b c
0
d = (a + b + c) x
dx
a b c
RPTA.: C
19. Calcule a + b sabiendo que la
ecuación en “x”
1 22
4
ax xx
b
admite
infinitas soluciones.
A) 1
4 B)
3
2 C)
2
3
D) 3 E) 1
RESOLUCIÓN
Recordando que:
ax + b = 0 tiene infinitas
soluciones, si y solo si:
a = 0 b = 0
1 1
2 04 2
a xx x
b b
1 1 1
1 2 04 2
ax
b b
1 1 1
1 24 2
a
b b
5 1 3
4 2
a
b b
2 5
3 6b a
9 3
6 2a b
RPTA.: B
20. Resolver la ecuación
2 3 53
3 5 2 5 2 3
x x x
luego indique el valor de:
2 4
6
3 2 5 2
3 5
x x
x
A) 22 B) 25 C) 3 2
D) 5 3 E) 7 5
RESOLUCIÓN
x 2 x 31 1
3 5 2 5
x 51 0
2 3
1 1 1x 2 3 5 0
3 5 2 5 2 3
0
2 3 5x
Pero nos piden:
2 4 6
5 3 2
5 9 8 22
RPTA.: A
SEMANA 2
POLINOMIOS – V.N. - GRADOS
21. Sea el polinomio:
P(X) = (xn1 + 2xn2 + n)n, si 2n
veces su término independiente es igual a la suma de sus
coeficientes, entonces “n” es: A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
T.I. = P(o) = nn
coef = P(1) = (1 + 2 + n)n
2n . nn = (3 + n)n
2n = 3 + n n = 3 RPTA.: C
22. Calcule “m” si la expresión:
m mm m m
xM x x² x³ x
se transforma a una expresión algebraica racional entera de 5to grado.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN
m 1mm
m 1 2 3 .... m 2
xM x x
m 152
XM x x
m = 9 RPTA.: B
23. Calcule “n” para que el monomio sea de 2º grado.
23n 2 2n 3 4
x 22n 4
x x xM
x x
A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
23n 6 2n 3 4 10n 4
x 2 4n 82n 4
x x xM
xx
M(x) = x6n 22 = x2 6n 22 = 2
n = 4 RPTA.: A
24. Si: a b c
a b b c a c
Halle el grado absoluto de:
2 2 2a b c 9a 8ac 8bcE x;y;z x y z
transformable a una E.A.R.E.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
El G.A. =
9a² 8ac 8bc
.....a b ² c²
de la condición:
a b ck
a b b c a c
Propiedad de proporciones:
a b c 1
2 a b c 2
a 1
a b c ka b 2
Lo reemplazamos en “”
9a² 8a² 8a² 25a²
G.A. 54a² a² 5a²
RPTA.: C
25. Si: P(x+5) = x² 3x + 1 Calcule: E = P(8) + P(6)
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 7
RESOLUCIÓN
E = 3² 3(3) + 1 + 1 3 + 1 E = 0
RPTA.: A
26. Del siguiente polinomio
P(x; y) = 7xa+3yb2z6a+5xa+2yb3za+b en donde:
G.Rx G.Ry = 3 G.A(P) = 13 Calcule: a + b
A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN
G. RX = a + 3 G.A(P) = a+b+1
G. Ry = b 2
a + b = 12 RPTA.: E
27. Sea P(x) un polinomio lineal tal
que verifica la relación
x 6XP P P 9x 21
Para todo valor de “x”. Halle P(4)
A) 17 B) 18 C) 19 D) 32 E) 33
RESOLUCIÓN
Sea P(x) = ax + b P(6X) = 6ax + b
P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b
Luego:
a²x + ab + b 6ax b = 9x+21
(a² 6a)x + ab = 9x + 21
a² 6a = 9 ab = 21
(a3)² = 0
a = 3 3b = 21 b = 7 Entonces: P(x) = 3x + 7
P(4) = 3(4) + 7 = 19 RPTA.: C
28. Calcule “n”, si el G.A. del
monomio es 6.
34 2n 4 2n 3
52n 165
x zM x;y;z;w
y w
A) 12 B) 13 C) 14
D) 11 E) 10
RESOLUCIÓN
G.A. = 2n 4 2n 3 2n 16
64 3 5 5
30n 60 + 40n + 60 24n 192 = 360
46n = 360 + 192
46n = 552
n = 12
RPTA.: A
29. Calcule “n” si el monomio es de
4to. grado 2 3n
xM x x x
A) 1 B) 3 C) 2
D) 1
2 E)
1
3
RESOLUCIÓN
6n2n
x
1 1 1
2 n 6nx
M x x² x
M x
1 1 1
42 n 6n
3n + 6 + 1 = 24n
7 = 21n
n = 1
3
RPTA.: E
30. Si: x
nx 1P
x 8
Además P(P(x)) es independiente
de “x”. Calcule “n”
A) 1 B) 8 C) 1
8
D) 8 E) 5
RESOLUCIÓN
2
x
n 1 x n 8P p
n 8 x 65
como es independiente de “x” se cumple:
n² 1 n 8
n 8 65
65n² + 65 =
n² 16n + 64
64n² + 16n + 1 = 0
8n 1 n = 1
8
8n 1
RPTA.: C
31. Si: xP P P 27x 52
Calcule: P(1)
A) 1 B) 4 C) 4
D) 5 E) 1
RESOLUCIÓN
Como xP P P es lineal,
entonces: P(x) es lineal. Luego
P(x) = ax + b
P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b
27x + 52 = a³ + a²b + ab + b
a = 3 b = 4
P(x) = 3x + 4
P(1) = 3 + 4 = 1
RPTA.: E
32. Halle la suma de los valores de
“n” que hacen que la expresión:
nn 3 7 n3
x
1P 2x 7 x x 6
3
sea
racional entera.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 12 E) 13
RESOLUCIÓN
n 3 0 n
7 n 03
n 3 n = 3 n 7
n = 6
n = 3 n = 6
de "n" 9
RPTA.: C
33. Sabiendo que:
m 2 n² 5
n 5 m 4
P x;y 5x y Q x;y
2x y
son semejantes. Calcule el menor
valor de m + n.
A) 1 B) 3 C) 5
D) 8 E) 13
RESOLUCIÓN
Si: P(x; y) Q(x; y)
m 2 = n + 5 m n = 7 ....()
n² + 5 = m+4 n²m = 1 ...()
+ : n² n 6= 0
n = 3 n = 2
Luego:
n = 3 m = 10
n = 2 m = 5
menos: m + n = 3 RPTA.: B
34. Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1
Calcule: P(P(1)) + P(P(1))
A) 0 B) 3 C) 728
D) 729 E) 730
RESOLUCIÓN
P(x)= (x+1)³ P(1)=0 P(P(1)) = 1
P(1) = (2)³ = 8
P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729
P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730 RPTA.: E
35. Si el polinomio en “x” e “y”
P(x, y) = 5xa + 3xbyc + 2xcyb + ya
es homogéneo ordenado y
completo respecto de “x” e “y”.
Calcule: 2a + b + 3c
A) 17 B) 13 C) 15
D) 16 E) 18
RESOLUCIÓN
Por ser ordenado y completo: a = 3; b = 2 y c = 1
2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17 RPTA.: A
36. Calcule “m” si el polinomio
n2n n 1n 8n 2n 2
x
n 1 m² m 3
P 7x 6x 5x
x ... x
es completo y ordenado; en forma
ascendente; de 4nn términos.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
Es ordenado en forma ascendente:
n2n 8n = 0 n = 2
Luego:
0 m³ m 3
xP 7x 6x 5x² x³ ...x
El número de términos es:
m² m + 3 + 1
m² m + 4 = 4nn
m² m + 4 = 16
m² m 12 = 0
m = 4 RPTA.: A
37. Halle a y b en la identidad: 4a 7 b 8 b 7 a 8b x b y a x a y
A) 1 y 3 B) 1 1
y2 3
C) 1 1
y2 4
D) 1 y 1
4
E) 0 y 1
RESOLUCIÓN
aa = bb
a b
ab ... ab = b4a b = 2a
a = 1 1
b4 2
RPTA.: C
38. Siendo: P(xn + 1) = x 1
Halle: “n”, si: P(3) = 7
8
A) 1
3 B)
1
2 C)
1
2
D) 2
3 E)
1
3
RESOLUCIÓN
xn + 1 = 3 xn = 2 x = n 2
Luego:
P(3) = n 72 1
8
13n n
12 2 2
8
1n
3
RPTA.: E
39. Sea P(x) un polinomio
P(x) = (3x 1)n+5x + 1; además
la suma de coeficientes es 70.
Calcule el valor de: 10 n
A) 6 B) 5 C) 4
D) 12 E) 3
RESOLUCIÓN
ncoef P 1 2 5 1 70
2n = 64 n = 6
10 6 4
RPTA.: C
40. Dado el polinomio mónico
P(x) = 5x4 7ax5 + (n2)x74x 1
Calcule el valor de: nn
A) 1 B) 4 C) 27
D) 25 E) 16
RESOLUCIÓN
Por ser mónico y de una variable “x” (coeficiente principal = 1)
(n 2) = 1 n = 3 Luego nos piden: nn = 33 = 27
RPTA.: C
SEMANA 3
PRODUCTOS NOTABLES
41. Si ,yx3x
y
y
x 22
halle
4
y
x
x
y
x
y
y
xW
0y,0x
A) 16 B)32 C)
24
D)42 E)
2/116
RESOLUCIÓN
yxxy3yx 33
yxxy3yxxy3yx3
0yx3
yx 16x
x
x
xW
4
x
x
x
x
RPTA.: A
42. Si 1aa 1 , halle
1212 aaW
A)256 B)306 C) 343
D)322 E)196
RESOLUCIÓN
a² 2 + a2 = 1
a² + a2 = 3
a4 + a4 = 7
a12 + a12 + 3(7) = 343
a12 + a12 = 322 RPTA.: D
43. Si 8 8 8m n m p p m 0,
Halle 4n 2p
4m 2n
m n 1W
m p 1
m, np R
A) mnp B)1
C) mnp D) pnm
E)12
RESOLUCIÓN
nm0nm8
pm0pm8
mp0mp8
w = 1 RPTA.: B
44. Si: ,0zyx 666 halle
0Rz,y,x,
yzxzxy
zyxxyz9W
43
A) 116 B)32 C) 18
D)16 E)8
RESOLUCIÓN
3 3 3
6 66 6x y z 3 xyz
363
66 zyx
zyzxy3x 66
262
xyz3zyx
3 xyz9yzxyxy2zyx
2
zyxxyz9yzxzxy
3
162
2
zyxxyz9
zyxxyz9W 4
4
3
3
RPTA.: D
45. Si x b c a
y c a b
z a b c
Halle:
cbacbabacacb
xyzzxyyzxW
222
A)y
x B) acb
C) zy2 D)abc
1
E)1
RESOLUCIÓN
1cbaxyz
zyxxyzW
x + y + z = a + b + c RPTA.: E
46. Simplificar: 5
4
44
128
128128W
A) 343 B) 24 C) 232
D) 28 E) 32
RESOLUCIÓN
128
128282f
4
42
2128
1282f
4
42
2f2f2
5
2W
24W RPTA.: B
47. Si ,yx3xy 11 halle
22
224
yx4
yx3yxW
A)11 B)7 C)-6
D)4 E)8
RESOLUCIÓN
3x
y
y
x
xy3yx 22
xy5yxy2x 22
xy5yx2
224yx25yx
25x²y² 3x²y²
w4x²y²
RPTA.:B
48. Simplificar:
3n2 842
32 128842
factn...121212121
12...12121231W
A) 0,5 B)2 C)4
D) 0,25 E)1
RESOLUCIÓN
121212D 2 N 3 N 32 2 2 8D 2 2 2
22 2 22 1 2 1 2 1
.
. 1212122 N
.
12
2
n
121244
128
12
2
D
N8
8
.
.
.
2562 1
32 256 8N 2 2
RPTA.: E
49. Operar: 33
33
721
33
721W
A)1 B)2 C)3
D) 72 E) 32
RESOLUCIÓN
W27
2813
33
721
33
721W 33
W27
132W 33
W2W3
1W2WW3 RPTA.: A
50. Si 1bcacab111
,
Halle: 1c1b1a
1c1b1aW
,
0c,b,a
A)1 B)-1 C)2
D)abc
1 E)
12
RESOLUCIÓN
1bc
1
ac
1
ab
1
abccba
0abccba
abc ac bc c ab a b 1W 1
abc ac bc c ab a b 1
W = ab bc ac 1
1ab bc ac 1
RPTA.:B
51. Si zyxaza1yaxa1 11 ,
Halle: 1 1 1x y z , x,y,z 0
A)a B)1a C)
1a
D)2a E)1
RESOLUCIÓN
x z
1 a y 1 a x y za a
zyxaazayaxa 2
xyzyzxzxyazyxaa 23
zyxaa 23
xyzyzxzxya
a
1
xyz
yzxzxy
1a
x
1
y
1
z
1
1111 azyx
RPTA.: C
52. Simplificar:
...1x1x1x1xW242222
2x11x2204821024
A)1 B) 0 C)112
D)-2 E) 4096
RESOLUCIÓN
W= 4x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x 1 ²...
1024 2048x 1 ² 1 x ² 2
W = 4x² 1 ² x² 1 ² x 1 ²...
1024 2048x 1 ² 1 x ² 2
W = 4 4x 1 ² x 1 ²...
1024 2048x 1 ² 1 x ² 2
W = 8 8x 1 ² x 1 ²....
1024 2048x 1 ² 1 x ² 2
W = 2048 2048x 1 ² x 1 ² 2
W = 2
RPTA.: D
53. Si acbcab4cban4
bcacabcba 222
y : 2 2 2a b c 8
Halle: cba,n
A) 22 B)2
2 C)2
D)4 E)8
RESOLUCIÓN
xcba 222
yacbcab
yxy4y2xn2
222 y4xy4y4xy4xn
n x²
2222 cban
8cban2222
RPTA.: E
54. Operar:
2233bcab6cbacbaW
Si: b = 0,5
A)1 B)2 C)4
1
D)16
1 E) 4
3
16
RESOLUCIÓN
a+c=n
2233bnb6bnbnW
3 2 2 3 3 2 2 3W n 3n b 3nb b n 3n b 3nb b
32 b6bn6
3b8W
12
18W
3
RPTA.: A
55. Si ,0cb,a;0cba 111
Halle:
4
444
cba
cbaabc4cbaE
A) abc4 B)4abc C)1
D)2 E)abc
RESOLUCIÓN
0c
1
b
1
a
1
220abacbc
0bca2cab2abc2bacacb 222222222
...abcabc2bacacb 222222 ()
Además:
2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2a b c a b c 2 a b a c b c ...( )
() β
abcabc22cbacba 4442222
cbaabc4cbacba 4442222
2222
2222
bc2ac2ab2cba
cba
1
bcacab2cba
cbaΕ
2222
2222
0 RPTA.: C
56. ¿Cuál es el intervalo de valores de
“”, de modo que la ecuación
2x2 2(1) 8x 0, tenga
raíces de distinto signo?
A) ,2
1 B) ;2
C) 2; D) 2;6
E) ;8
RESOLUCIÓN
0042
122
xx
0162
122
, como c<0, se
presentan 2 posibilidades:
i) 2
10120
2
120
b
ii)2
10120
2
120
ab
En este caso una respuesta seria
1 1x ; ;
2 2
RPTA.:A
57. Los valores de “x” que satisfacen
la ecuación:
63132 xxx
tiene la propiedad que su suma
es:
A)-14 B)-7 C)-9
D)-2 E)7
RESOLUCIÓN
66323132 xxxxx
189242 xx
18942 xx
14902 xx x= -7No cumple
270 xx
x=-2 Si cumple
Únicamente (-2) satisface la
ecuación. RPTA.: D
58. Sea A la suma de las raíces de
02 cbxax y B la suma de las
raíces a 0112
cxbx ,
entonces B-A es:
A)-2 B)-1 C)0
D)1 E)2
RESOLUCIÓN
a
bS
a
cx
a
bx 02
2ax 2ax a bx b c 0
022 cbaxbaax
022
a
cbax
a
bax
a
baS
2
22
a
b
a
bAB
RPTA.: A
59. En la ecuación cuadrática:
02 cbxax afirmamos:
I. Si la suma de sus raíces es igual
a su producto, entonces
b+c=0.
II. Si una raíz es la negativa de la
otra, entonces b=0.
III. Si una raíz es doble de la otra,
entonces acb 922
A) Las 3 afirmaciones son
verdaderas.
B) Solo I y II son verdaderas.
C) Solo I y III son verdaderas.
D) Solo II y III son verdaderas.
E) Solo II es verdadera.
RESOLUCIÓN
b c
S ; Pa a
I. 2121
x.xxx
0 cba
c
a
b (V)
II. ,xx21
pero a
bxx 21
a
bxx 22
a
b0
b0 (V)
III.a
bxxxx 2121
2
a
bxx 22
2
a
bx 2
3
2
bx
3a
2
2
23
a
bx
2
2
2
29a
bx
...........................(1)
Luego: a
cx.x 21
2 2
c2x x
a
a
cx 2
22
a
cx
2
2
2 ...........................(2)
De (1) y (2)
b² c
9a² 2a
2b² = 9ac RPTA.: A
60. Si las ecuaciones cuadráticas:
03122 nxmx
02332 mxnx
Son equivalentes, para
,Rnm calcule n.
A) 5
23 B)15 C)
7
15
D) 9
11 E) 9
RESOLUCIÓN
2
3
3
1
3
2
m
n
n
m
nm 3942 336 mn
2
313 nm
13 3n6n 3 3
2
32
9396
nn
693912 nn
7
15n
RPTA. C
SEMANA 4
DIVISIBILIDAD COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACIÓN I
61. ¿Cuál será aquel polinomio
cuadrático de coeficiente principal
4, capaz de ser divisible por
12 x y que al ser evaluado en
(2) toma el valor de 5?
A) 24x 4x 3 B) 24x 4x 3
C) 24x 4x 3 D) 24x 4x 2
E) 24x 4x 2
RESOLUCIÓN
Sea este Polinomio
2
xP 4x ax b :
Por condición:
2
x4x ax b 2x 1 .q'
21 1
4 a b 02 2
-a+2b=-2.............................(1)
Además:
2
x4x ax b (x 2)q'' 5
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5
2a+b = 11 .........................(2)
De: 2(1)+(2) : 5b=-15b=-3
En (2) :2a=-8a=-4
Conclusión:
2
xP 4x 4x 3
RPTA.: C
62. ¿Para qué valor de “m” el
polinomio:
2 2 2 2 2 2 2x y z x y z mx yz
es divisible por (x+y+z)?
A) 4 B) 2 C) 1
D) -8 E) -4
RESOLUCIÓN
En la base a la identidad:
yzmxzyxzyx 2222222
z,y,x'qzyx
Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando: (1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0
-8=2mm=-4 RPTA.: E
63. Busque la relación que debe
existir entre “p” y“q” a fin de que
el polinomio:
3
xP x 3px 2q
Resulte ser divisible por 2ax
A) 23 qP B)
32 qP C) qP
D) 1q.P E) 2qP
RESOLUCIÓN
Aplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad.
Si: 0332 Pa
Pa 2 332 Pa
Reemplazando en: 01
R
3 3 33a 2q a 0 a q
223 qa
Conclusión: .qP 23
RPTA.: A
64. Determine “abc” sabiendo que el
polinomio :
43226 xxxbax)cb(caxP
es divisible por 132 xx
A) -2 B) -34 C) 40
D) -1360 E) 2720
RESOLUCIÓN
Por Teorema de divisibilidad
011 R'qxP xx
012 R''qxP xx
033 R'''qxP xx
Empleando Ruffini ( tres veces)
Si: a+b+c-4=0a+b+c=4
b+c-6=0 b+c=6
a+b-38=0a+b=38
en (1) c=-34 en (2) b=40
Luego: abc=2720. RPTA.: E
65. Si el Polinomio:
;xxxP x 611623 es
divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c)
indistintamente.
¿Cuál será el residuo de:
111111 accbbax
P x?
A) 0 B)1
C) ab + bc + ca D) 1
D) ab + cb + ca
-a
-a
1
1
1
0
-a
-3P
2a
2q
apa 32
-a )pa( 32 3
23 aqap
-a 22a 0
1R
Pa 332 -2a
01R
-a
-a
1
1
1
0
-a
-3P
2a
2q
apa 32
-a )pa( 32 3
23 aqap
-a 22a 0
1R
Pa 332 -2a
01R
1
-1
-2
-2
1
-6
-2
(b+c)
-8
+21
R
-6
2R
(a+b-8)
(c+a)
-8 a+b-8 a+2b+c-8
(a+b)
(a+2b+c-81) 2(a+b+c-4)
6 -a-b+2
3
(a+b-2) b+c-6
-2
-6
-12
-36
a+b-38
3R
RESOLUCIÓN
Al ser divisible indistintamente lo será también por el producto es decir:
)x(x q)cx)(bx)(ax(P
611623 xxx 3er grado Uno
(monico)
611623 xxx
abcxcabcabxcbax 23
De donde: a + b + c = 6
ab +bc + cd= 11 abc= 6
Se pide:
x x xP P P
x 11 1 1 c a bx x
ab bc ca abc
Evaluando en x=1: 01 PR
RPTA.: A
66. ¿Cuál será aquella división notable
que genere al cociente
15253035 a...aaa .
A) 1
136
a
a B)
1
1
5
40
a
a
C) 1
1
5
40
a
a
RESOLUCIÓN
Por principio teórico de signo y
variación de exponente de 5 en 5, es la B.
RPTA.: B
67. Encuentre el valor de:
910 1 999
A) 1000001 B) 1010101
C) 1001001 D) 0
E) 1
RESOLUCIÓN
Acondicionando el divisor:
11010110
110
110
110 1323
3
33
3
9
1001001
RPTA.: C
68. Sabiendo que el cociente de la
división 2
30
yx
yxn
m
; consta de 10
términos.
Determine el valor de:nm
A) 60 B) 8000 C) 203
D) 600 E) 8
RESOLUCIÓN
Por condición:
30 m
10n 2
n=3
m=20
Luego: 20³ = 8000
RPTA.: B
69. Se desea conocer de cuántos
términos está constituido el
cociente de : 1
1
x
xsabiendo que
236
1005010xTTT
A) 396 B) 133 C) 132
D) 236 E) 131
RESOLUCIÓN
1 2 3 kx 1x x x ...x ... 1
x 1
2T 3T kT
10
10T x 10 50 100 236x .x .x x
50
50T x
100
100T x 3 160 236x x
De donde: 2361603 3963 132
Luego: # términos=132+1=133 RPTA.: B
70. Si la división indicada: P
P
yx
yx
3
432
genera un cociente notable.
Averigüe al término antepenúltimo
A) 92yx B) 6 324x y
C) 36 360x y D) 0
E) x6 y314
RESOLUCIÓN
Si la división indicada es notable,
debe cumplir que:
P 432
3 P
2P 3.432
2 3 4P 3.3 .2 2 2P 3 .2 36
Luego:
12 123 36
36 432
3 36 1 13 36
x yx y
x y x y
1 2 10 11 12T T ... T T T
antepenúltimo
12 10 10 1
3 36 6 324
antep 10T T x y x y
RPTA.: B
71. Después de dividir el cociente de
1
116
x
x n
; Nn . Entre ;x 1 se
obtiene un nuevo cociente que al
ser dividido por 12 xx
obtendremos como residuo.
A) 0 B) -x C) x+1
D) x-1 E) 1
RESOLUCIÓN
Efectuando la división notable
6n6n 1 6n 2 6n 3 2x 1
x x x x x 1x 1
Luego en: 6n 1 6n 2 6n 3 2x x x ... x x 1
x 1
Aplicando Ruffini
Existen “6n” términos
Existen “6n-1” términos
6n 2 6n 4 6n 6 4 2
xq x x x ... x x 1
Finalmente en:
2
xq x x 1
Según el teorema del residuo
Si: 2x x 1 x
Que al evaluarlo en este valor
2R q 1 0
Cero RPTA.: A
72. Factor Primo de:
b,aQ 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc
será:
A) 1+c B) 1+b C) 1+ab D) 1+bc E) 1+abc
-1
1 1 1
-1 0
1 0 1
-1
... 1 1
...0 1
1
-1
00
RESOLUCIÓN
Asociando:
bccbabccbQ b,a 11
Extrayendo factor común
abccbQ b,a 11
abcbQ b,a 111
a,b
Q 1 c 1 b 1 a
Constante
RPTA.: B
73. ¿Cuántos factores primos binómicos admite el polinomio;
.Nn;xxxxXP nnx
1232
A) 1 B) 2 C) 3
D) n E) ninguno
RESOLUCIÓN
Asociando de 2 en 2:
1232 xxxxx.xP nn
x
n 2 2 2
xP x (x 1) x(x 1) (x 1)
112 xx)x(P n
x
n
xP (x 1)(x 1) x x 1
RPTA.: B
74. Uno de los divisores de:
bcaddcba 22222
Será:
A) a-b+c-d B) a+b-c+d
C) a-b-c + d D) a+b+c-d
E) a-b-c-d
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
2 2 2 2a b c d 2ad 2bc a =
2 2 2 2a 2ad d b 2bc c =
2 2
a d b c
a d b c a d b c
RPTA.: A
75. ¿Cuál será el divisor trinomio del
polinomio en variables: m,n,p.
3 3 3m n P n P m P m n ?
A) m-n-P B) m+n-P
C) m-n+P D) m+n+P
E) mn+nP+Pn
RESOLUCIÓN
Mediante la distribución en el
segundo y tercer término:
nPmPmnPnPnm 33333
Asociando:
)pn(mpnnPPnm 33223
PnPn
22 PnpnPn
(n-P) 3 2 2 2m n P nP mn² mnP mP
(n-P) nmPnmnPnmm 222
(m+n)(m-n)
22 PnPmnmnm)Pn(
Pm(n)PmPmnm)Pn(
PnmPmnm)Pn(
RPTA.: D
76. El Polinomio:
1133
yxxyyxy,xM
Será divisible por:
A) 122 yxyxyx
B) 122 yxyxyx
C) 122 yxyxyx
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
1313
yxxyyxy,xM
Diferencia de cubos
2
M x,y x y 1 x y x y 1
-3xy(x+y-1)
… …...... ….....
… …
…......
…...... …......
Extrayendo el factor común
2 2M x,y x y 1 x xy y x y 1
RPTA.: C
77. Un factor primo racional de:
27933 abbaR a ; será:
A) a+b+3
B) a-b+3
C) ab-3(a+b)
D) 9322 baabba
E) 9322 baabba
RESOLUCIÓN
333333 abbaR a
Corresponde a la identidad Gaussiana, que proviene de:
baabbaba 3333222
baabbacba 3922
RPTA.: D
78. Cuántos divisores admitirá el
Polinomio:
82423342 yabyxabbxaP y;x
A) 8 B) 7 C) 15
D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN
Empleando el aspa simple:
82423342 yaby.xabbxaP y,x
22xa
42yb
2bx
4ay
424222 aybxybxaP y,x
4222 aybxbyaxbyaxP y,x
Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)
RPTA.: A
79. Halle la suma de los elementos de
aquellos Polinomios irreductibles
que se desprenden de:
22222242 yxzyxzQ z,y,x
A) 4x B) 4y C) 4z
D) 2(x-y) E) 2(x+y)
RESOLUCIÓN
Mediante un aspa simple
22222242 yxzyxzQ
2z 2yx
2z 2yx
2222 yxzyxzQ
yxzyxzyxzyxzQ z,y,x
Sumando estos elementos =4z
RPTA.: C
80. Un divisor del Polinomio:
x,yP 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x
será:
A) 3x-4y B) 4x-3y C)2x-3y
D) 2x-3x E) 2x-5y+12
RESOLUCIÓN
Buscando la forma de un aspa doble:
036481514822 yxyxyxP y,x
4x -3y 0
2x 5y 12
125234 yxyxP y,x
RPTA.: B
SEMANA 5
COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN
81. Hallar el menor término racional del cociente notable.
3 7 3
3
4 2 2
4 2
A) 9 B) -1 C) 3 D) 5 E) 8
RESOLUCIÓN
7 73
3
4 2
4 2 Por el término
general
k k
kT
7 1
34 2
efectuando por exponentes k
kT ....................( )
25
62
Por lo que piden:
k25
6 debe ser mínimo k ; 7
luego en :
T T
25 7
36
7 72 2 8
RPTA.: E
82. En el cociente notable
x x
;x
16 16
2
2 2
2 4halle el valor
numérico del quinto término para
x=1
A) 729 B) 126 C) 81 D) 243 E) 729
RESOLUCIÓN
Dando la forma de un C.N:
x x
x x
8 82 2
2 2
2 2
2 2
T x x (x ) (x )
3 42 2 6 8
52 2 2 2
x=1 T .( ) 6 8
53 1 729
RPTA.: E
83. Halle el grado absoluto del primer término central del C.N.
n n
n n
x y
x y
15 50 15 10
1 2
A) 11 B) 106 C) 63
D) 40 E) 72
RESOLUCIÓN
Por la condición necesaria y suficiente se debe de cumplir:
n n
nn n
15 50 15 106
1 2
luego:
x y
x y
20 207 4
7 4
Hallamos los términos centrales.
T x y T x y 10 9
7 4 70 36
10 10
T x y T x y 9 10
7 4 63 40
11 11
G.A. 10T 106
RPTA.: B
84. Si…x y x y ... 195 140 190 147
son términos consecutivos del desarrollo de un C.N. Halle el
número de términos.
A) 61 B) 59 C) 58 D) 60 E) 65
RESOLUCIÓN
Formando un C.N. de:
5... x y x y39 20 38 21
7 5 7
Número de términos = G.A +1
TN 59 1 60
RPTA.: D
85. En el siguiente cociente notable
x y
x y
20 30
2 3. Calcule el lugar que
ocupa el término que contiene a
x10.
A) sexto B) quinto
C) octavo D) cuarto
E) décimo
RESOLUCIÓN
k k
?
kT x y x y
10 1
2 3 10
kx x k 20 2 10
5
El lugar es quinto RPTA.: B
86. Luego de factorizar:
P(x) x x ; 8 41 halle la suma
de los factores primos.
A) x x 4 23
B) x 23
C) x 23
D) x 42
E) x 41
RESOLUCIÓN
Aplicando la identidad de Argan a
P(x) x x x x x x 2 2 4 21 1 1
Luego:
fac. primos= x x 4 23
RPTA.: A
87. Luego de factorizar
P(x) x x x x x 8 7 5 4 31
en x , indique el número de
factores primos. A) 5 B) 3 C) 4
D) 6 E) 2
RESOLUCIÓN
P(x) x x x x x 8 4 7 5 31
P(x) x x x x 2 21 1
4 2 3 4 2x x 1 x x x 1
P(x) x x x x 2 21 1
x x x 4 2 31
P(x) x x x x 2 21 1
x x x 4 2 31
P(x) x x x x 2 21 1
x x x x x 2 2 21 1 1
P(x) x x x x x 2 21 1 1
x x 31
Hay 4 factores primos RPTA.: C
88. Factorizar:
P x x x x 6 4 22 1 indicar la
suma de coeficientes de un factor primo.
A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) -2
RESOLUCIÓN
6 4 2P x x x 2x 1
2
6 2P x x x 1
3 2 3 2x x 1 x x 1
de coef = 1
RPTA.: C
89. Factorizar:
2 2 2F x abx a b x ab , e
indicar la suma de los T.I. de los factores primos.
A) a+b B) a-b C) a D) b E) ab
RESOLUCIÓN
F(x) abx a b x ab 2 2 2
ax b
bx a
F(x) ax b bx a
RPTA.: A
90. Al factorizar:
2 2P(x) 10x 17xy 3y 5x y
Indicar la suma de sus términos
de sus factores primos. A) 7x-4y+1 B) 7x-1
C) 4x-7y-1 D) 4y-1
E) 5x+2y-1
RESOLUCIÓN 2 2P(x) 10x 17xy 3y 5x y 0
5x -y 0 2x -3y 1
P(x) x y x y 5 2 3 1
RPTA.: A
91. Factorizar:
3 2P(x) 12x 8x 3x 2 , e
indicar un factor primo lineal.
A) 3x +2 B) -3x1 C) -2x+1
D) x+2 E) 4x+3
RESOLUCIÓN
Aplicando Ruffini
P(x) x x x 22 1 6 7 2
3x 2
2x 1
P(x) x x x 2 1 3 2 2 1
RPTA.: A
92. Factorice:
P(x) x x x x x 5 4 3 25 7 8 4
Indique el promedio aritmético de
los T.I. de los factores primos.
A) 4
3 B)
6
5 C)
1
4
D) 3
2 E)
2
3
RESOLUCIÓN
2P(x) x 1 x 1 x 2 x 3x 2
12 8
6
-3 -2
7 2
12 14 4 0
1
2
6 7 2
1 5
1
7 -1
6 13
1 6 13
1 5 8
-8 -4
12 4
0412
-1
1
-1 -5 -8 -4
4 0
-2 -6 -4-2
1 3 2 0
x 2 x 1
2 2
P(x) x 1 x 1 x 2
Luego: 1 1 2 2
M.A3 3
RPTA.: E
93. Al factorizar:
P(x;y) x y 4 44
Calcule el número de factores
algebraicos.
A) 4 B) 3 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
24 4 2 2P(x;y) x 4y 4x y 2xy
2 22 2P(x;y) x 2y 2xy
2 2 2 2P(x;y) x 2xy 2y x 2xy 2y
fN.A 2 2 1 4 1 3
RPTA.: B
94. Factorice
4 2P(x) x 2x 9 ,
e indicar el número de factores.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
4 2 2 2P(x) x 2x 9 4x 4x
4 2 2P(x) x 6x 9 (2x)
2 22P(x) x 3 2x
2 2P(x) x 2x 3 x 2x 3
fN 2 2 4
RPTA.: C
95. Factorizar3 2P(x) x x x 1
en (x), luego indique la cantidad
de factores algebraicos.
A) 2 B) 5 C) 3
D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN
P(x) x x x 21 1
2P(x) x 1 x 1
P(x) x x x 1 1 1
2
P(x) x 1 (x 1)
f.AN 3 2 1 6 1 5
RPTA.: B
96. Calcule la suma de coeficientes,
de un factor primo del polinomio
factorizado.
25 20P(x) x x 1
A) 7 B) 4 C) 3
D) 5 E) 2
RESOLUCIÓN
Cambio de variable: x y5
P(x) y y 5 41
P(x) y y y y 2 31 1
P(x) x x x x 10 5 15 51 1
coef 3 1
RPTA.: C
97. Factorice:
2 2
2 2 2P(x) x x 1 x 1 x
Indique el número de factores
cuadráticos.
A) 2 B) 3 C) 1
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
2 4 3 2 4 2P(x) x x 2x 1 x 1 x 2x
3 2 2P(x) 2x 2x 2x (1 x)
x x( x) 21
Son 2 factores cuadráticos RPTA.: A
98. Señale un factor primo de:
7
P(x) 2x 1 4x(x 1) 2
A) 24x 6x 3 B)
24x 5x 1
C) 24x 7 D)
24x 7x 1
E) 2x² + 3x + 1
RESOLUCIÓN
P(x) x x x 7 2
2 1 4 4 1 1
P(x) x x 7 2
2 1 2 1 1
Cambio de variable: y=2x+1
7 2 2 5 4y y 1 y y 1 y y y² y 1
un factor es : 4x² + 6x + 3 RPTA.: A
99. Cuántos factores lineales
presenta:
P(x;y) x y x y 4 4 4
A) 1 B) 0 C) 2
D) 3 E) 6
RESOLUCIÓN
P(x;y) x y xy x y 2
2 2 4 42
P(x;y) x x y x y xy y 4 3 2 2 3 42 2 3 2
x² xy 2y
x² xy 2y
P(x;y) x xy y 2
2 22
No tiene factores lineales. RPTA.: B
100. Calcule el número de factores
algebraicos en (x), el polinomio.
2 5 2 3P(X;Z) 3 x y z
A) 23 B) 8 C) 10
D) 72 E) 71
RESOLUCIÓN
F.AN 6 4 1 24 1 23
Ojo: y2 no es variable, es
parámetro RPTA.: A
SEMANA 6
MCD – MCM - FRACCIONES
101. Halle el MCD de los polinomios
P(x) y Q(x).
P(x)= x x x x x 5 4 3 212 8 45 45 8 12
Q(x)= x x x x 4 3 22 5 8 17 6
A) x+1 B) (x+1)(x-2)
C) (x-2)(2x-1) D) 3x+2
E) (2x+3)(2x-1)
RESOLUCIÓN Factorizando P(x)
Luego el cociente c(x) 4 3 2c(x) 12x 4x 41x 4x 12
2 2
2
1 1c(x) x 12 x 4 x 41
xx
x p x px x
2 2
2
1 12
2 2c(x) x 12p 4p 65
c(x) 6p 13 2p 5
2 2c(x) 6x 13x 6 2x 5x 2
P(x) x 1 3x 2 2x 3 2x 1 x 2
Factorizando Q:
Q(x) x x x x 4 3 22 5 8 17 6
Q(x) x x x x 1 2 3 2 1
12 8 -45 -45
4
12
-1 -12 4 41
8
-12
12 -4 -41 -4 12 0
Por tanto:
MCD(P,Q) x 1 x 2
RPTA.: B
102. Indicar el grado del M.C.M. de los
polinomios P(x) y Q(x) , donde:
P(x) x x x x x x x 7 6 5 4 3 28 17 9 9 17 8 1
Q(x) x x x x x 5 4 3 25 5 1
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN Factorizando P (x); el polinomio es recíproco.
el polinomio cociente es reciproco
también, pero de grado par:
3 3 2
3 2
1 1 1c (x) x x 7 x 10 x 1
xx x
Haciendo:
x m x mx x
2 2
2
1 12
x m mx
3 3
3
13
2 2 2P (x) x 1 x 3x 1 x 5x 1 x x 1
Factorizando Q(x) similarmente:
Q x x x x x x 2 21 5 1 1
Por tanto:
2 2 2MCM x 1 x 5x 1 x x 1 x 3x 1
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7 RPTA.: E
103. Halle el M.C.D. de:
4 3 2 2 3 4A x 4x 4ax 36a x 44a x 16a
4 3 2 2 3 4B x 6x 6ax 18a x 30a x 12a
A) x a2
2 B) x-a
C) x a2
D) x a3
2
E) x a²
RESOLUCIÓN Factorizando A por el aspa doble especial:
4 3 2 2 3 4A x 4 x ax 9a x 11a x 4a
x2 ax 3 a 2
4
x2 ax 2 a2
Por tanto:
3
A(x) 4 x 4a x a
Similarmente
4 3 3 2 3 4B x 6 x ax 2a x 5a x 2a
x2 ax a 2
2
x2 ax2 a2
B x x a x a 3
6 2
Por consiguiente el MCD= x a3
2
RPTA.: D
104. Sabiendo que el M.C.D. de los
polinomios:
A x x x x m 3 22 3
B x x x n 3 2 , es:
x x 22 . Halle “m+n”
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 0
RESOLUCIÓN Usando el método de Horner:
1 8 17 9
1
17
-1 -1 -7 -10
9
-10
1 7 10 -1 10 7
8 1
-7 -1
01
Conclusión: m+n=6 RPTA.: C
105. Halle el MCD de los polinomios:
m n m nP(x) X x x 1
m n m mQ(x) m n x mx nx 1 1 1
Sabiendo que m;n; m
n
A) kx 1 B)
mx 1 C) nx 1
D) kx 1
1 E) kx 1
1
RESOLUCIÓN Consideremos: m=nk
Entonces: nk n nk nP(x) x x x 1
n nkP(x) x x 1 1
Similarmente:
nk n nk nkQ(x) nk n x nk x n x 1 1 1
nk nQ(x) nk n x x 11
Por lo tanto:
M.C.D nP(x),Q(x) x 1
RPTA.: C
106. Sean los polinomios:
P(x) ax bx a c x bx c 4 3 2
Q(x) ax b a x c b x c 3 24 4 5 4 5 5
Los cuales verifican:
P(x) Q(x) MCD P Q 2
Calcule: "a b c"
A) 27 B) 16 C) 64
D) 125 E) 9
RESOLUCIÓN
Sumando P(x) Q x se obtiene:
4 3 2ax b 4a x 4b 4a c x
4c 4b x 4c.............................(1)
Por otro lado factorizando los
polinomios
P(x) ax bx a c x bx c 4 3 2
ax2 bx c
x2 ox -1
P(x) ax bx c x 2 21
Factorizando Q x :
Q(x) x ax bx c 24 5
Por lo tanto:
MCD=ax bx c 2
Desarrollamos
MCD ax bx c 22 2
2 2 4 3 2 2
2
MCD a x 2abx 2ac b x
2bcx c ...............................(2)
Comparando coeficientes de
y + a=1; b=4; c=4
a + b + c = 9 RPTA.: E
107. Sea D(x) el Mínimo común
múltiplo de los polinomios M(x) y
N(x) si:
M(x).N(x)
A(x)D(x)
Halle el resto de
dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo
que:
2
3
-2
-4
2 1 0
1 2 -1
1
1
m
-2
m-2=0 m 2
1
0
-2
-2
1 2 0
1 1 1
2
1
n
-4
n-4=0 n = 4
1 2
4 3 2 2 3 4M(x) x nx 7n x n x 6n 3 2 2 3N(x) x 4nx n x 6n
A) 0 B) n26 C) n 2
6
D) n210 E) n2
12
RESOLUCIÓN Como D(x) es MCM entonces A (x)
representa MCD (M.N). Factorizando los polinomios obtenemos.
M(x) x n x n x n x n 3 2
N(x) x n x n x n 2 3
Por lo tanto: MCD (M,N)= (x-n) (x+2n)
MCD (M,N)= x nx n 2 22
Se pide el resto de la división:
x nx nR(x) n
x n
2 2
2210
3
RPTA.: D
108. Si la fracción x x
x x
2
2
4 2 3
2 1se
transforma en otra equivalente
B CA
x x
1 2 1 donde A,B,C son
constantes reales. Calcule:
AB C
3
A) -1 B) 1 C) 3
D) 1
3 E)
5
3
RESOLUCIÓN Dividendo:
2
2 2
4x 2x 3 52
2x x 1 2x x 1
x x
52
2 1 1
Descomponiendo por fracciones parciales
5 10
3 32x 1 2x 1
Por tanto:
A= 2 ; B= 5
3 ; c
10
3
A
B C
2 5 101
3 3 3 3
RPTA.: A
109. Sabiendo que A,B,C y D son los numeradores de las fracciones
parciales en que puede ser descompuesta la siguiente fracción:
3 2
22
4x x 3x 2
x x 1
Halle: A+B+C+D
A) 2 B) -5 C) 1
D) -1 E) 0
RESOLUCIÓN Descomponiendo en fracciones parciales:
x x x A B C D
x x xx x x
3 2
2 2 22
4 3 2
11 1
x x x
x x
3 2
22
4 3 2
1
Ax x B(x ) Cx x Dx
x x
2 2 2 2
22
1 1 1
1
Desarrollando y luego comparando coeficientes se
obtiene: A=1; B= -2; C=3; D=-4
Por lo tanto: A+B+C+D= -2
RPTA.: D
110. Sabiendo que la fracción se transforma en otra equivalente.
2
3 2 2
5x 9x 4 A Bx C
x 2x 3x 3x 2 x x 1
Halle: A + B + C
A) 1 B) 5 C) 6 D) 8 E) -5
RESOLUCIÓN
2 25x 9x 4 A x x 1 Bx C x 2
Comparando coeficientes se tiene
A B 5 A=2
A B C 2 9 B=3
A C 2 4 C=1
A+B+C=6 RPTA.: C
111. Si la fracción se descompone en fracciones parciales de la forma:
2
3 2 2
x 1 A Bx C
x 2x 3x 3x 2 x x 1
Halle el grado del MCM de los
polinomios P y Q.
Donde:
3 2P(x) x 5x 2x 8
2Q(x) 2x mx 4 ;
m (A B C) 9
A) 4 B) 2 C) 3
D) 3 E) 5
RESOLUCIÓN Desarrollando fracciones parciales
x A B x A B C x A C 2 21 2 2
A B 1, A+ 2B + C = 0,
A + 2C = 1
A 5
3, B
2
3, C
1
3
A + B + C = 2
3
Por lo tanto: m= 6
Factorizando P (x) y Q(x)
P(x) x 1 x 2 x 4
Q(x) 2 x 1 x 2
MCM = 2 x 1 x 4 x 2 x 2
Grado =3 RPTA.: A
112. Al descomponer la expresión en
fracciones parciales se tiene los
numeradores A, B y C:
2
3 2
x 5
x 8x 17x 10
Luego se dan los polinomios:
P(x) x m x x 3 25 11 6
Q(x) x m x x m 3 21 3
siendo : m= A + B + C
Halle el grado del MCM
A) 2 B) 4 C) 5
D) 6 E) 3
RESOLUCIÓN Descomponiendo fracciones parciales se tiene:
x A B C
x x x x x x
25
1 2 5 1 2 5
x A x x B(x ) x C x x 25 2 5 1 5 1 2
Si x= -2B=-3
Si x=-1A= 3
2 A+B+C=1=m
Si x=-5C= 5
2
Entonces: 3 2P(x) x 6x 11x 6 3 2Q(x) x 2x x 2
Factorizando se tiene
P(x) x x x 3 1 2
Q(x) x x x 1 2 1
MCM P,Q = x x x x 1 2 3 1
Grado =4 RPTA.: B
113. Si: a,b,c, son números diferentes
y:
P(x) x x xx d
(x a) (x b)(x c) x a x b x c
Calcule: a b c
p(a) p(b) p(c)
2 2 2
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN Desarrollando se tiene:
P(x) x x a x b x b x c x a x c
+ x - d
Evaluando:
p(a) a(a b)(a c)
p(b) b(b a)(b c)
p(c) c(c a)(c b)
reemplazando en M:
a b c
Ma a b a c b b a b c c(c a)(c b)
2 2 2
M = 0
RPTA.: C
114. Indicar la respuesta correcta, luego de simplificar:
1 x1
1 3x11 x
1 31 3x
E1 x
11 3x1 31 x
1 31 3x
A) 1 B) x C) 2x
D) 3x E) -1
RESOLUCIÓN Desarrollando el numerador se
tiene:
x
x
8
2 6
y el denominador : x
8
2 6
reemplazando y simplificando
x
xE
8
2 6
x
8
2 6
x
RPTA.: B
115. Si: ab bc ac abc 2 2 2 2
Simplificar:
a b b c c ac a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 11 1 1
2 1 2 1 2 1
A) 0 B) 1
C) a b c 2 2 2 D)
a b c 2 2 2
2
E) abc
RESOLUCIÓN De la condición se tiene:
2
2 2 2
1 1 c 1
a b c
2
2 2 2
1 1 a 1
b c a
2
2 2 2
1 1 b 1
c a b
Entonces reemplazando en la expresión:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
c 1 a 1 b 11 1 1
c a b
2c 1 2a 1 2b 1
2 2 2
1 1 11
c a b
RPTA.: B
116. Si se verifica que:
2 a b 2ab a b a 1 b 1
Simplificar:
ab a 2 ba b 2E
b 1 a 1
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
a b b aE
b a
1 2 1 2
1 1
E a bb a
2 2
1 1
de la ecuación se tiene:
a ba b
a b
2 2
1 1
Entonces reemplazando en E
a bE
a b b a
2 2 2 2
1 1 1 1
E = 4 RPTA.: D
117. Simplificar la siguiente expresión
y halle: a
c
a a c a c c c. .
a ac c a b bc a c c
c c a
bc
3 3
2 2 2 2
11
21
A) 1 B) 2 C) -1
D) -2 E) 3
RESOLUCIÓN
a a c
a ac c 2 2
a c a ac c.
2 2
b a c a c .
1c
a c c
11
c c a
bc
2
2
a a c
c a c.
b a c a c c
2
c c a
bc
2
2
abc c a c 2
cb a c c c a 2
2
a
a c
2
a
c 2
RPTA.: D
118. Al reducir la expresión:
2
2
x 1 x 1 2
1 1 1x 1 x 1 x
1 1 xx 1 x 1
x 1 x 1
Se obtiene:
A) 1 B) x x 21
C) x x 21 D)x x 4 2
1
E) x x 4 21
RESOLUCIÓN
Desarrollando:
2
4
2 2
x 1 x 1 2x
x 1 x 1 x 1x 1 x 1
x x
2 2 2
2 2 4
x x 2x
x 1 x 1 x 1
2 2
4 4
2x 2x1
x 1 x 1
RPTA.: A
119. Sabiendo que la fracción:
ax by
p x m xy m y
2
2 2 2 2 22
toma un valor constante k.
k 0, para todo valor de x,y; xy
0 , Halle:
a b p m
a b p m
2 2 2 2
2 2 2 2 en términos de
k.
A) k
k
1
1 B)
k
k
2
2
1
1 C) k+1
D) k-1 E) k 21
RESOLUCIÓN
ax by k p x m xy m y 2 2 2 2 2 2
2
a x abxy b y k p x m xy m y 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
Comparando coeficientes:
a kp ;2 2 b km ;2 2
ab km 2
Entonces reemplazando en:
a b p m kp km p m
a b p m kp km p m
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
m p ka b p m
a b p m m p k
2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
1
a b p m k
a b p m k
2 2 2 2
2 2 2 2
1
1
RPTA.: A
120. Simplificar:
ax ax ax ax
ax ax ax a x
4 4
1 2 3 1
1 1 2 1 3
A) ax
ax
1
2 B)
a x
a x
2 C)
x a
x a
2
D) 1 E) a
x
RESOLUCIÓN Haciendo: ax=m
m m m m
m m m m
4
1 2 3 1
1 1 2 1 3
Agrupando:
m m m
m m m m
2 2
2 4
3 3 2 1
2 3 1 3 1
Factorizando:
m m
m m
22
22
3 11
3 1
RPTA.: D
SEMANA 7
NÚMEROS COMPLEJOS
121. Sea el complejo : 1 i
Calcule 12
A) 32 B) -32 C) -64
D) 64 E) 128
RESOLUCIÓN
Si: 22Z 1 i Z 1 i 2i
Si: 22 4Z 2i Z 2i 4
312 4 64
RPTA.: C
122. El equivalente de:
8
1 i 1 i
1 i 1 i1 1
1 i 1 i1 1
1 i 1 i
será:
A) 2i B) 0 C) -2i
D) 64 E) 256
RESOLUCIÓN
Sabemos: 1 i 1 i
i i1 i 1 i
Operando:
8 8
i i 2i 256
RPTA.: E
123. Si, n , calcule el valor de
4n 6
1 2i
22
A) 4 B) i
C) n 1
1 i
D) n 1
1 i
E) 1
RESOLUCIÓN
2n 34n 6 2 2n 3
2n 31 1 1 i 2ii i
22 2 2
n n n 12 2i i i 1 ( 1)i 1 i
RPTA.: D
124. Calcule el valor de :
n
n 2
1 i
1 i
; donde n
A) -2 B) n2i C)
n 12i
D) -2i E) n 12i
RESOLUCIÓN
n n2
n 2
1 i 1 i1 i
1 i1 i 1 i
n n 1i 2i 2i
RPTA.: C
125. El equivalente de:
17 51
11 2i 1 2i 1 ; es:
A) 1 B) -3 C) -2
D) -i E) 1 3
i2 2
RESOLUCIÓN
17
3 17 171 2i 11 2i 11 2i
Luego:
17 17
E 11 2i 11 2i 1 1
RPTA.: A
126. Halle “m + n”; a partir de
21 1 i
1 im ni 1 1
A) 2
5 B)
1
5 C)
1
5
D) 1
7 E)
2
7
RESOLUCIÓN
*
21 i 1 i
i 11 i 1 i
1
i 2m ni
1 2 i
m ni2 i 2 i
2m
2 i 2 1 5m ni i
5 5 5 1n
5
1
m n5
RPTA.: C
127. ¿Qué valor asume “k”, si k 3i
2 5i
es
un complejo imaginario puro?
A) 2 B) -2 C) 15
D) 15
2 E) 1
RESOLUCIÓN
15
2k 15 k2
RPTA.: D
128. Sabiendo que: a bi x yi .
Calcule:
2
2 4
b
ay y
A) 4 B) -4 C)-2 D) 2 E) 1
RESOLUCIÓN
2 2a bi x y 2xyi
2 2a x y b 2xy
2 2 2 2 2x a y b 4x y
2 2 2b 4 a y y
2 2 4b 4 ay y
2
2 4
b4
ay y
RPTA.: A
129. Calcule:
39
40
1 3i
1 i
A) 2 B) 202 C)
192
D) 202 E)
192
RESOLUCIÓN
39 39 391 3i 2Cis60º 2 Cis 2340º
10
40 4 201 i 1 i 2
Cis 2340º Cis 6 360º 180º
39
19
20
2 12
2
RPTA.: E
130. Si: Z C Z Z 7Im(z)
Calcule: Z 3,5i
A) 3,5 B) 2,2 C) 2,1
D) 2,4 E) 1,2
RESOLUCIÓN
Sea: Z a bi
a bi a bi 7b
2 2a b 7b
nos piden : 7
Z 3,5i a bi i2
2 27 49a b i a b 7b
2 4
49 7
7b 7b 3,54 2
RPTA.: A
131. Calcule:
6
2 cos isen12 12
A) 8i B) 8 C) -8i
D) -8 E) 32
RESOLUCIÓN
6
2 cos isen2 2
32 0 i 1 8i
RPTA.: A
132. Sean los complejos
1 2Z 1 i Z 3 6i
Halle el módulo de 2 3
1 2Z Z
A) 1
2 B)
7
2 C)
27
2
D) 13
2 E)
29
2
RESOLUCIÓN
2 12
1Z 1 i 2i
3 2
3
2Z 3 6i 3 6 i 3 6 i
15 3 3 6i
Piden:
32 3 2
1 2 2
1
Z 15 3 3 6IZ Z
Z 2I
3 6 15
3i2 2
2 2
3 6 15 3 3 6 15 3i
2 2 2 2
El módulo es: 27
2
RPTA.: C
133. Calcule:
2343 331 542 300
55 242 328
i i i i
i i i
A) -3 B) -4 C) -5 D) -2 E) -1
RESOLUCIÓN o o
2343 4 3 ;300 4 o
331 4 3 ; o
542 4 32;
3 3 2
2
i i i 1 2i2
i i 1 i
RPTA.: D
134. Calcule: 555555 333i i
A) i B) -i C) 2i D) -2i E) 0
RESOLUCIÓN
o o
555555 4 3 333 4 1
3333 1i 1 i i i 21
RPTA.: D
135. Halle un número complejo cuyo
cuadrado sea igual a su
conjugado.
A) 1
i2
B) 1
1 i2
C) 1 3
i2 2
D) 1 3
i2 2
E) 1
RESOLUCIÓN
Sea el complejo: Z a bi
Z a bi
Luego: 2
a bi a bi
2 2a b 2abi a bi
2 2a b a
2ab b
Resolviendo: 1
a =-2
Luego:
2
21 1b
2 2
2 21 1 3b b
4 2 4
3
b2
Luego el complejo buscado será
1 3
Z i2 2
RPTA.: C
136. Si: 2
Z 3Re Z
Halle: 3
Z2
A) 1
2 B)
3
2 C)
3
2
D) 2 E) 1
RESOLUCIÓN
Sea: Z = a + bi
Por condición:
(a+bi)² = 3a
(a²b²) + 2abi = 3a + 0i
a² b² 3a;
2ab 0
Resolviendo el sistema:
1 2
1 2
a 0 a 3
ó
b 0 b 0
3 3
Z2 2
RPTA.: B
137. Calcule : 5 12i
A) 3 2i B) 2 3i
C) 3i D) 2i
E) 1 + i
RESOLUCIÓN
Recordemos:
Z a Z aa bi i
2 2
5 12 i 25 144 169 13
Luego:
13 5 13 55 12i i
2 2
5 12i 3 2i
RPTA.: A
138. Indicar uno de los complejos
resultantes de: 3 4i 3 4i
A) 4 B) 4 C) + 2
D) 2 i E) 2i
RESOLUCIÓN
E 3 4i 3 4i
2
4E 3 4i 3 4i
4E 3 4i 3 4i 2 9 16
4E 6 2 25
4 4E 6 10 E 16
E = 2
RPTA.: C
139. Resolver la ecuación en C/ C
2Ln 3iLn 4 0
A) 4i B) ei C) 4ie
D) 4i ie ;e E) i 4ie ; e
RESOLUCIÓN
(LnZ)² 3i LinZ 4i2 = 0
LnZ 4i
LnZ i
De donde:
LnZ = 4i ó LnZ = i
Z1 = e4i Z2 = ei
RPTA.: E
140. Calcule:
4 12i 3 4i
A) 13 B) 14 C) 16
D) 17 E) 20
RESOLUCIÓN
* 3 4i 5
* 12i 5 144 25 13
4 13 17 17
RPTA.: D
SEMANA 8
TEORÍA DE ECUACIONES
141. Calcule “k” para que la ecuación
se reduzca a una de primer grado.
2k 3 3kx 22k 3
x 1 x 1
A) -2 B) -3 C)1 D) 2 E) 3
RESOLUCIÓN
22k 3 x 1 3kx 2 x 1 2k 3 x 1
2 22kx 2kx 3x 3kx 3kx 2x 2
=2 22kx 2k 3x 3
2 2 25kx kx 5x 1 2kx 3x 2k 3
2 23kx 3x k 5 x 2k 2 0
23k 3 x k 5 x 2k 2 0
3k 3 0 k 1 RPTA.: C
142. Calcule el valor de x en:
x n x m1
n m
A) m B) n
C) mn
m n D)
m
n n
E) n
n m
RESOLUCIÓN
xm mn nx mn mn
x(m n) mn
mn mn
xm n m n
RPTA.: C
143. Halle 2x en :
; x C2 x
2x xx 2
A) 4
3 B)
3
4
C) x C
D) -3 E) -4
RESOLUCIÓN
2 2 2 2 2x 4 4x 2x 5x 2x 4
2 2 43x 4 x
3
RPTA.: C
144. Resolver en “x”
a bx a bx abx
a ba b a b a b
A) -2 B) 1 C) 2 D) 3 E) a + 2b
RESOLUCIÓN
a b
a bx a b a bx a b
a b
a b
abx
a b
ab x = 2 ab
x = 2 RPTA.: C
145. Si 1 2 3x ;x ;x son las raíces de la
ecuación
3 2x n 1 x 2nx n 3 0
Calcule: 1 2 3x 1 x 1 x 1
A) 1 B) 2 C) -3 D) 4 E) -1
RESOLUCIÓN
Por cardano:
* 1 2 3x x x n 1
* 1 2 1 3 2 3x x x x x x 2n
* 1 2 3x x x n 3
lo pedido es : 1 2 31 x x x
1 2 1 3 2 3 1 2 3x x x x x x x x x 3
RPTA.: C
146. Si la ecuación paramétrica en “x” presenta infinitas soluciones
calcule el valor de a + b.
2ax 1 2x b
A) -2 B) 2 C) 3 D) -2 E) -3
RESOLUCIÓN
2
2 b 1a 2 x b 1 x
a 2
a = 2 2b 1 b 1
a + b = 3 a +b = + 1 RPTA.: C
147. Si a y b son las soluciones de la
ecuación cuadrática
2x 2x 7 0
Calcule 2 2a 5 b 5
a 1 b 1
A) 3 B) 2 C) 4
D) 5 E) 7
RESOLUCIÓN
2 2a 2a 7 0 a 5 2a 2
2
2a 52 b 2b 7 0
a 1
2b 5
2b 1
a² 5 b² 5
4a 1 b 1
RPTA.: C
148. ¿Qué podemos afirmar acerca de
esta ecuación?
1
x x 2 x 3 x 2 2 0x
A) Tiene 5 soluciones
B) Tiene 4 soluciones
C) la suma de las soluciones es 7
2
D) es incompatible E) 3 soluciones
RESOLUCIÓN
x 0 x 0 (no)
x 2 0 (no)
x 3 0 x 3
1 1
2 0 xx 2
1 2
1 7x x 3
2 2
RPTA.: C
149. Calcule el valor de si la ecuación de segundo grado
24 x 2 x 1 0; tiene
solución única.
A) 2 B) 4 y -2 C) -4 y 2 D) 2 y 4 E) 2
RESOLUCIÓN
4 0
2 2 8 0
4 2 0 4
2 RPTA.: C
150. Si 3 2 2 es una raíz irracional
de: 3 22x 11x mx n
m,n , calcule el valor: mn
A) 4 B) 8 C) 1 D) 7 E) *
RESOLUCIÓN
Si: 1 2x 3 2 2 x 3 2 2
de la ecuación 1 2 3
11x x x
2
6
3
1x
2
además: 1 2 3
nx x x n 1
2
luego: 1 2 1 3 2 2
mx x x x x x
2
2 m = 4
41 1
RPTA.: C
151. Encontrar el conjunto de solución
de:
1 14x 2 x 4
x 2 x 2
A) 2 B) 1;2 C)
D) 2 E) 4
RESOLUCIÓN
x 2 4x-x=4+2
3x 6
x 2 Pero x 2 x
RPTA.: C
152. Calcule el menor valor de k, si las
raíces de la ecuación
4 2x k 4 x 4k 0 ; están en
progresión aritmética.
A) -4 B) -9 C) 4
9
D) 36 E) 2
3
RESOLUCIÓN Si: las raíces de:
4 2ax bx c 0
están en P.A. 29b 100ac
2
9 k 4 100 1 4k ; k 0
3k 20 k 12 0
4
k k 369
RPTA.: C
153. Indique una solución de la ecuación.
4 29x 7x 2 0
A) – 9 B) – 2 C) – 1 D) 3 E) -3
RESOLUCIÓN 4 29x 7x 2 0 29x + 2
2x - 1
2 29x 2 x 1 0
2x 1 x 1
RPTA.: C
154. Si: 1 2 3 4x ;x ;x ;x son raíces de la
ecuación: 4 210x 7x 1 0
Calcule el valor de 4 4 4 4
1 2 3 4x x x x
A) 2
25 B)
1
2 C)
29
50
D) 1
25 E)
1
4
RESOLUCIÓN Factorizando:
2 25x 1 5x 1 0
5x 1 5x 1 2x 1 2x 1 0
1
1x
5 2
1x
5
3
1x
2 4
1x
2
4 4 4 4
1 2 3 4
1 1 1 1x x x x
25 25 4 4
4 4 4 4
1 2 3 4
2 1 29x x x x
25 2 50
RPTA.: C
155. Luego de resolver:
2
2
1x x 1 2
x x 1
Señale el menor valor de
3x
2
A) 1
4 B)
1
4 C)
1
8
D) 4 E) 2
RESOLUCIÓN
2 2x x 1 1 x x 2 0
x 2 x 1 0
x 2 x 1
31 1
2 8
RPTA.: C
156. Resuelve la ecuación 32x 1 x 4 5 e indique el
valor de 2x
A) 4 B) 3 C) 16
D) 19 E) 1
4
RESOLUCIÓN
Sea: 33 x 4 a x a 4
32 a 4 1 a 5
32a 7 5 a; a 5
al cuadrado miembro a miembro
3 2 a2a 7 25 a 10
3 22a a 10a 32 0
2a 2 a 3a 16 0
aquí a R
a = 2
3 x 4 2 x 4 8
x = 4
nos piden : 2x 16
RPTA.: C
157. Dadas las ecuaciones 3 2 3x mx 18 0; x nx 12 0
que tienen dos raíces comunes señale el valor de m.
A) -3 B) 3 C) 1 D) 2 E) -2
RESOLUCIÓN De:
3 2
sx mx 18 C ; ;
3 2
sx nx 12 C ; ;
Por cardano –
...(I)
además:
3k 2k
en (I): - k = m 3m
En la ecuación:
2 -1 10 -32
2 4 6 32
2 3 16 0
m
= - m
= 0
18
12
3
2
3 327m 9m 18 0
318m 18 m 1
RPTA.: C
158. Si: 3 25 es una raíz de la
ecuación: 5 4 3 2x bx cx 34x 0 Calcule
el valor de “b” ; b y c R
A) 2 B) 3 E) 5 D) 4 E) 7
RESOLUCIÓN
2 3 2x x bx cx 34 0
2x 0 ( raíz doble)
3 2x bx cx 34 0
Si 1 2x 3 5i x 3 5i
Por cardano:
1 2 3x x x 34
3 334 x 34 x 1
Además: 1 2 3x x x b
6 + -1 =b b = 5 RPTA.: C
159. Resolver:
2 2 2x 4x 8 x 4x 4 2x 8x 12
A) x = 2 B) x = 1 C) x = -2
D) x = 3 E) x = 0
RESOLUCIÓN 2x 4x 6 n n 2 n 2 2n
al cuadrado m.a.m:
n 2 n 2 2
22 n 4 2n
2n 22 n 4 2n
2n 4 n 2 n 0
(I) n = 2
luego : 2x 4x 6 2
2x 4x 4 0
2
x 2 0 x 2
RPTA.: C
160. Halle “k” para que la diferencia de raíces sea uno.
22x k 1 x k 1 0
A) - 2 B) -3 C) 11
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN 2
1 2 1 2
b 4acx x x x
a
2k 1 4 2 k 1
12
22 k 2k 1 8k 8
24 k 10k 7
2k 10k 11 0
k 11 (k 1) 0
k = 11 k = -1 RPTA.: C
SEMANA 9 SISTEMAS DE ECUACIONES
161. ¿Qué valores de “K” haría que el
sistema
K 3 x 2K 3 y 24
K 3 x K 1 y 8
no acepte solución?
A) 2 B) 1 C) - 1
D) 3 E) 6
RESOLUCIÓN
Como:
1 1 1a x b y c
2 2 2a x b y c 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
solución
K 3 2K 3
K 3 K 1 2K 3 K 3K 3 K 1
2 2K 2K 3 2K 3K 9
2K 5K 6 0
K - 6 K + 1
K 6 K 1 0
K = 6 K = -1
Además:
K 3 24
K 3 8
K 3
3K 3
K 3 3K 9
12 2K
6 K
K = -1
RPTA.: C
162. Examine para que valores de a y b el sistema:
x y z 0
x y 2z 1
2x 4y az b
posee infinitas soluciones, indique
a x b.
A) 0 B) 1 C) -1
D) 2 E) -2
RESOLUCIÓN
Para infinitas soluciones:
g 0
x 0
A + 4 + 2b – (- b + 1) = 0 3b = - 3
b = - 1 a x b = -1
RPTA.: C
163. Señale una raíz de la ecuación:
3 2x 4x 6x 4 0
A) 1 + i B) 1 - i C) 3 + i
D) 3 - i E) A y B
RESOLUCIÓN
Divisores del T.I.: 1,2,4
evaluando para x = 2
Una raíz es x = 2
Las otras raíces se obtienen al
resolver.
2 2 4x 2x 2 0 x
2
RPTA.: E
164. El conjunto solución de la ecuación:
3 2K 4 x K 3 x 3 0
es 1; ; Calcule el valor de
A) 1 B) 3 C) - 3
D) 2 3 E) 4 3
RESOLUCIÓN
Como una raíz es x = 1 K – 4 + K - 3 - 3 = 0
g
1 1 1
1 -1 1
2 4 a
1 1 1
1 -1 2
0 a 4 4 2 8 a 0
x
1 1 1
1 -1 2
b 4 1
0 1 1
1 -1 2
= 0
X = 2
1 - 4 + 6 - 4
2 - 4 + 4
1 - 2 + 2 0
K = 5
La ecuación es: 3 2x 2x 3 0
Por Ruffini:
3 3 i 3 3x i; 3
2 2 2
3 3 i 3 3x i; 3
2 2 2
2 3
RPTA.: B
165. Formar la ecuación de cuarto grado de coeficientes reales; si
dos de sus raíces son: 1 2i y
1 2i .
A)4 3 2x 4x 12x 16x 15 0
B)4 3 2x 4x 12x 16x 15 0
C)4 3 2x 4x 12x 16x 15 0
D)4 3 2x 4x 12x 16x 15 0
E)4 3 2x 4x 12x 16x 15 0
RESOLUCIÓN
1x 1 2i
2x 1 2i S 2 y P 5
2x 2x 5 0
1x 1 2i
2x 1 2i S 2 y
P 3
2x 2x 3 0
Multiplicando:
2
2 2x 2x 8 x 2x 15 0
Ecuación resultante:
2 3 2x 4x 12x 16x 15 0
RPTA.: A
166. Formar la ecuación de cuarto grado de coeficientes racionales si
una de sus raíces es 3 5i .
A) 4 2x 4x 64 0
B) 4 2x 8x 16 0
C) 4 2x 4x 16 0
D) 4 2x 16x 64 0
E) 4 2x 16x 16 0
RESOLUCIÓN
x 3 5i
Elevando al cuadrado.
2x 3 5 2 15i
2x 2 2 5i
Elevando al cuadrado.
4 2x 4x 4 60
4 2x 4x 64 0
RPTA.: C
167. En el polinomio cúbico
3P(x) x x 1
Se observa que
P a P b P c 0
Calcule el valor numérico de
3 3 3P a b c ab ac bc abc
A) - 17 B) - 11 C) - 21
D) - 28 E) - 29
RESOLUCIÓN
Se cumple que
3x x 1 x a x b x c
3 3 2x x 1 x a b c x
ab ac bc x abc
3 3 3a b c 0 a b c 3abc
ab + ac + bc = + 1
abc = -1 3 abc = - 3
P 3 1 1 P 3 27 3 1
P 3 29
RPTA.: E
X=1
1 2 0 - 3
1 3 3
1 3 3 0
168. Calcule el valor de (a + b) en la ecuación:
4 3 22x x 3x ax b 0 ; {a;b}
Si se sabe que una de sus raíces es: 1 + 2 i
A) 31 B) 34 C) 35 D) 38 E) 39
RESOLUCIÒN
x1 = 1 + 2i
x2 = 1 2i x1.x2 = 2; x1.x1 = 5
x² 2x + 5 = 0 Por Horner:
a = 19 ; b = 15 a + b = 34
RPTA.: B
169. Halle el término independiente de una ecuación de grado mínimo de
coeficientes reales, si se sabe que su conjunto solución es
i; i; 2i; 2i;.......; ni; ni
A) nn B)
2n C) D) E)
RESOLUCIÓN
Obsérvese que:
2x i x i x 1
2x 2i x 2i x 4
. .
.
2 2x ni x ni x n
2T.I 1 4 ... n
2
T.I 1 2 ... n
RPTA.: E
170. Señale el valor de “a” en la ecuación:
7 6 22a 7 x 2x 5x a 6 0
si se sabe que la suma de sus raíces excede al producto de las mismas en una unidad.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÒN
Suma= 2
2a 7; Producto=
6 a
2a 7
Ecuación:
2 6 a
12a 7 2a 7
; operando
a – 4 = 2 a – 7
3 = a
RPTA.: C
171. No es solución de la ecuación:
10 10
x 1 x 1 48x x
; es
A) -1 B) 2 C) -5
D) 4 E) A ó D
RESOLUCIÓN
210x z z 1 48
x
z 7
Si: 10
x 7x
10
x 7x
2x 7x 10 0 ;
2x 7x 10 0
(x 2) (x 5) = 0 ; (x+2)(x+5) = 0 x = 5 x = - 2
ó ó x = 2 x = - 5
RPTA.: E
2
T.I n
n2n
2n
1
2
- 5
2 1 3
4 - 10
a b
6 - 15
2 5 3 0 0
10 - 25
172. Halle la relación entre los coeficientes de la ecuación:
4 2ax bx c 0
para que sus raíces reales estén en progresión aritmética.
A) 24b 49ac
B) 28b 49ac
C) 29b 100ac
D)216b 100ac
E) 225b 100ac
RESOLUCIÓN
3
(x + 3) (x+)(x)(x3) = 0
2 2 2 2x 9 x 0
Equivalencia resultante
4 2 2 4 4 2b cx 10 x 9 x x
a a
2
2 4
12
b b10 100 ...
a a
2 4
2
b c10 9 ...
a a
También:
2
2
1 2
100 b9b 100ac
9 ac
RPTA.: C
173. Resolver: La ecuación
x 5 x 7 x 4 x 6 504
y halle la suma de los cuadrados
de las raíces negativas.
A) 53 B) 57 C) 61 D) 62 E) 64
RESOLUCIÒN
Multiplicando convenientemente
x 5 x 4 x 7 x 6 504
2 2x x 20 x x 42 504
Haciendo 2x x z
z 20 z 42 504
2z 62z 336 0
z 56 z 6 0
Regresando a la variable original.
2 2x x 56 x x 56 0
x 8 x 7 x 3 x 2 0
x 7 ó x = -2
2 2
7 2 53
RPTA.: A
174. Resolver:
x y 3 335
x y 5
A) c.s ; 2 3
B) c.s ; 3 2
C) c.s ; ; ; 1 2 2 3
D) c.s ; ; ; 2 3 3 2
E) c.s ; ; ; 3 2 1 2
RESOLUCIÓN
x y 3 335; x+ y = 5
x y x xy y 2 235 x = 5 – y
x xy y 2 25 35
x xy y 2 27
y y y y 2 2
5 5 7
y y 23 15 18 0
y y 25 6 0
y x 3 2
y x 2 3 c.s ; ; 2 3 3 2
RPTA.: D
175. Resolver:
y x 2 25 7 17
xy x 25 6 6
e indicar como respuesta la suma de todos los valores de “y”
A) 7 B) 14 C) 0 D) -7 E) 1
RESOLUCIÓN
y x 2 25 7 17
xy x 25 6 6
y x 2 230 42 102
xy x 285 102 102
y xy x 2 230 85 60 0
y xy x 2 26 17 12 0
3 y - 4 x y
x 3
4
2y - 3 x y
x 2
3
Si y y
x y
2
23 35 7 17
4 4
y 4
Si y y
x y
2
22 25 7 17
3 3
y 3
4 3 0
RPTA.: C
176. Resolver:
x y 2 2180
x y
1 1 1
4
e indicar como respuesta la suma de todos los valores posibles de
“x”
A) 7 B) 8 C) 28
D) 4 E) -4
RESOLUCIÓN
Haciendo x v y v
v v 2 2
180
v 2 290
x y
xy
1
4
v v v v 4
v 2 28
v 2 290
20 2 8 90
20 4 45
v 9 3
v 5 65
;vC.S. ; ; ; ; ;
9 3 9 3 5 65 5 65
C.S. ; ; ; ; 12 6 6 12 5 65 5 65
; 5 65 5 65
x 12 6 5 65 5 65
x 8
RPTA.: B
177. Resolver:
x xy y 2 23 2 3
x xy y 2 25 6 15
Se obtuvo: C.S.= a;b c;d ,
según esto halle (a + b + c + d).
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) -2
RESOLUCIÓN
x xy y 2 23 2 3 x (-5)
x xy y 2 25 15 10 15
x xy y 2 25 6 15
x xy y 2 24 10 4 0
2 22x 5xy 2y 0
x2 y y = - 2x
x 2 y y = x
2
Si y = - 2x x x x x 22
3 2 2 2 3
x 1
Si x y ; 1 2 1 2
Si x y ; 1 2 1 2
Si x
y
2
x xx x
2
25 6 15
2 2
x x x ( ) 2 2 22 5 3 15 2
0 30
C.S. ; ; ; ; 1 2 1 2
Luego a + b + c + d = 0
RPTA.: A
178. Halle la suma de las raíces de la ecuación:
x x x x 2 22 2 2 2 1
A) 1 B) 2 C) 3 D) -4 E) 4
RESOLUCIÓN
Haciendo x x a 22
a a 2
2
1 2 2
a a a 22 1 4 8
a a 26 7 0
x x x x 2
2 22 6 2 7 0
x x x x x 4 3 2 24 4 6 12 7 0
x4 4x³ 2x² + 12x 7 = 0
1
0
a 4S 4
a 1
RPTA.: E
179. Al resolver:
x x
x x
3 3
2 2
3 47
3 4
indicar como respuesta la diferencia de los cuadrados de sus
raíces.
A) 7 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN
Haciendo:
3 x a +
4 x b
7 = a + b
Luego:
3 3
2 2
a ba b
a b
3 3 3 2 2 3a b a ab a b b
0 ab b a
b a 0 ab 0
7 0 3 x 4 x 0
x 3 x 4
C.S. 4;3
2 2
4 3 7
RPTA.: A
180. Halle el valor de “x” , sabiendo que es un número entero positivo
de:
x x x 4 3
5 3 296
A) 4 B) 11 C) 31 D) 16 E) 17
RESOLUCIÓN
x x 43 3
5 3 296
haciendo x a4 3
a a a a , 25 3 296 0 8 7 4
x 4 3
8 x , 4 3
7 8
x 4
3 32
x = 16
RPTA.: D
SEMANA 10
INECUACIONES
181. Resolver:
x 1 x 2 x 2 x 3 0 , e
indicar el menor valor entero.
A) - 2 B) - 1 C) 0
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
2 2x x 2 x x 6 0
2 2x x 2 x x 6 0
2x 4 0
x 2
x 2;
El menor valor entero será: -1
RPTA.: B
182. Si: x , ¿a que intervalo
pertenece la expresión algebraica:
2
5
x 4
A) 5
,4
B)
4
50,
C) 50, D) 0,4
E) 5
0,4
RESOLUCIÓN x
2x 0
2
1 10
4x 4
2
5 50
4x 4
RPTA.: E
183. Si a>0, b>0, 3a 5b hallar el
mayor numero M que cumpla lo
siguiente: 3a 5b
M5b 3a
.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN Como 3a 5b
2
3a 5b 0
2 29a 25b 30ab
3a 5b
25b 3a
RPTA.: B
184. Si 1< x < 5
Simplificar:2 2E x 2x 1 x 10x 25
A) 2 B) 4 C) 2 x-6 D) x-3 E) x + 3
RESOLUCIÓN
2 2
E x 1 x 5
E x 1 x 5
Como:
1 x 5
0 x 1 4
y:
1 x 5
4 x 5 0
E x 1 5 x 4 RPTA.: B
185. Halle el menor numero impar que
se debe asignar a “K” en: 2k x 8x 4 0 , con la condición
que sus raíces sean números
complejos:
A) 1 B) 3 C) 5
D) 7 E) 9
RESOLUCIÓN 2k x 8x 4 0
20 b 4ac 0
28 4k x4 0
64 16k 0
4 k 0 k 4
menor impar: k = 5 RPTA.: C
186. Halle el complemento del conjunto
solución de:1
3x
A)
3
10, B)
10,
3
C) 1
0,3
D) 1
0,3
E) 1
,3
RESOLUCIÓN
1
3x
1
3 0x
1 3x0
x
1 3x
0x
3x 1
0x
Puntos críticos
Complemento: 1
0;3
RPTA.: A
187. Si: 02 x , a que intervalo
pertenece la expresión: 234 x
2
A) 4,0 B) 0,2
C) 0,3 D) 0,4
E) 3
0,2
RESOLUCIÓN Si: 2 x 0
20 4 x 4
20 4 x 2
230 4 x 3
2
RPTA.: C
188. Resolver: 2x 6x 16 0
A) 7
, 24
B) x
C) 8,4 4,
D) , 8 4,
E) x
RESOLUCIÓN
01662 xx
07962 xx
0732
x
RPTA.: E
189. Indicar el intervalo solución que satisface la desigualdad:
24x 3x 7
0x 2
A) x 1;
B) x 7 /4;1 2;
C) 7
x ; 1;24
D) x 1;2
E) 7
x ;4
RESOLUCIÓN
24x 3x 7
x
+-+
0 1
3
0 1
3
4x 7 x -1
4x 7 x 1
0;x 2x 2
Puntos
críticos x 1 0 x 1
x 2 0 x 2
7
x ;1 2;4
RPTA.: B
190. Halle la suma de todos los números enteros que satisfacen la
siguiente inecuación:
24x 3x 2x 1
A) 5
4 B) 0 C)1
D) 3 E)
RESOLUCIÓN
24x 3x 2x 1 0
24x 5x 1 0
4x - 1 x - 1
4x 1 x 1 0
Puntos críticos:
1
x ;14
RPTA.: C
191. Resolver: 22x 3x 5 0
A) x B) x
C) 31
x16
D) 31 3
x ;16 4
E) 3
x4
RESOLUCIÓN
22x 3x 5 0 2
2 3 5x x 0
2 2
2 2
2 3 3 3 5x 0
2 4 4 2
la mitad
23 9 5
x 04 16 2
23 9 5
x4 16 2
23 31
x4 16
+ > - x
RPTA.: A
192. El intervalo en el cual se satisface
la inecuación: 2
2
x x 60
x x 6
es: a;b c;d ; Calcule:
2 2 2 2a b c d
A) 13 B) 18 C) 23
D) 26 E) 32
RESOLUCIÓN
Factorizando el númerador y denominador; vemos que:
x 3 x 20
x 3 x 2
74x 7 0 x
4
- + - +
7
4
1 2
14x 1 0 x
4
x 1 0 x 1
- - +
1
4
1
P.CN
x = 3
x = - 2
x = - 3
x = 2D
En la recta real:
x 3; 2 2;3
a = - 3
b = - 2 2 2 2 2a b c d 26
c = 2 d = 3
RPTA.: D
193. Indique el conjunto solución de la
inecuación: 2
2
x x 61
x x 6
A) ; 2 0;3
B) ; 1 1;
C) ;0 3;
D) ; 2 1;6
E) ; 2 1;
RESOLUCIÓN
Pasando todo al primer miembro 2
2
x x 61 0
x x 6
2 2
2
x x 6 x x 60
x x 6
2x
x 3 x 2
x ; 2 0,3
RPTA.: A
194. Resolver:
x a x b
2 x 0x a x b
Si: 0 < b < a
A) 2ab
b;a b
B) a;0
C) a;b
D) b;0
E) a;b
RESOLUCIÓN
x a x b
2x a x b
2 a b x 4ab0
x a x b
Puntos referenciales:
2ab
x ;x a;x ba b
Como x 0
x a,0
RPTA.: B
195. Calcule el conjunto solución de: 3 2x 1 x x
A) 4, 1 B) 1,1
C) 1, D) ,1
E) 1,
RESOLUCIÓN 3 2x 1 x x
3 2x x x 1 0
2 2x x 1 x 1 0
2 2x x 1 x 1 0
2x 1 x 1 0
x 1 x 1 x 1 0
2
x 1 x 1 0
-+ +-+
- 2 0 2 3-3
P.C
Nx = 0
x = 3
x = -2D
-+ +-
- 2 0 3
- a b 2ab
a b
Puntos críticos:
x 1,
RPTA.: E
196. Resolver:
2x x 20 0 ………………………….(1)
2x 6x 9 0 ………………….………(2)
2x x 2 0 ………..……….………..(3)
A) x 4 B) x 5
C) x 4 D) solución
E) 4 x 5;x 3
RESOLUCIÓN De (1):
2x x 20 0
x - 5 x + 4
x 5 x 4 0
5 - 4
Por puntos críticos:
De (2):
2x 6x 9 0
2
x 3 0
x 3
De (3): 2x x 2 0
2 1 7x x 0
4 4
2
1 7x 0
2 4
x
Al interceptar:
x 4,5 3
RPTA.: E
197. El conjunto solución de la
inecuación: 2ax bx c 0
Es: ;3 6; Calcule a+b+c.
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
RESOLUCIÓN La solución se deduce de la inecuación
x 3 x 6 0 2x 9x 18 0
Con lo cual 2 2ax bx c x 9x 18
a + b + c = 10 RPTA.: C
198. Señale el valor máximo de k en la
inecuación: 22x k x 2 3x de
modo que la desigualdad se
cumpla para todo valor de “x”.
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
RESOLUCIÓN Preparando la inecuación, se
tendría 22x k 3 x 2 0
la condición es : 0 ; es decir
2
k 3 4 2 2 0
2 2k 3 4 0
k 3 4 k 3 4 0
k 1 k 7 0
Los puntos críticos son k= -1; k=7 en la recta real
+ +-
-1 1
- ++
- 4 5
a = 1
b =-9
c =18
+
-1 7
- +
0- 4 5
3
k 1;7
maxk 6
RPTA.: C
199. Señale el valor entero que
satisface al sistema.
2x 5x 24...(1)
2x 2x 24...(2)
A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN 1. 2x 5x 24 0 x 8 x 3 0
2. 2x 2x 24 0
x 6 x 4 0
3. Interceptando
x = 7
RPTA.: D
200. El mayor valor entero negativo
que satisface a la inecuación:
2 36 4
2
x 1 x 1 x 20
x 4x 3
es:
A) - 4 B) - 5 C) - 2 D) - 3 E) -1
RESOLUCIÓN
Factorizando, se tiene
2 2 33 3 4x 1 x 1 x 1 x 2
0x 1 x 3
3
4x 1 ; se descarta ya que sus
raíces sus complejas.
Factorizando de nuevo.
2 22 22 2x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 20
x 1 x 3
se descartan los factores: 2x x 1 y
2x x 1 con lo cual
Recta real:
x 3, 1 1 2;
RPTA.: C
201. Halle el intervalo solución al
resolver: 22x x 1 3x 1 4 2 1 4x
A) 3
x ;05
B) 3
x ;05
C) 3
x ;5
D) x 0;
E) 3
x ; 0;5
RESOLUCIÓN
+
-3 8
- +
0
+
- 4 6
- +
0
8 6
2 2x 1 x 1 x 2
0x 1 x 3
P.C
D
N
x =1
x = - 1
x = 2
x = - 1
x = - 3
1 0
+-- +
2-1-3
-
2 2x x 2x 1 3x 1 3x 1 2 8x
2 2x x 2x 1 3x 1 5x 3
2x 3x 5x 3
0 x 3
x5
x 0;
RPTA.: D
202. Indicar la suma de aquellos
números enteros que satisfacen la inecuación:
2 1748 4 2x 5 2x 32 3x x 2 0
A) 1 B) 0 C) 4 D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
2 1748 4 2x 5 2x 32 3x x 2 0
X = 5 4x 16 0 3x 2
“par” 2 2x 4 x 4 0 x -1
x 2 x 2
x3
“par”
2
x ;1 2;53
1 + 2 -2 + 5 = 5 RPTA.: D
203. Halle la suma de los , al
resolver la inecuación: 3 2
4 2
16x 35x 51x0
x x 1
A) 1 B) 2 C) 5
D) 6 E) 11
RESOLUCIÓN
4 2 2 2x x 1 x x 1 x x 1
3 3
x
3 216x 35x 51x 0
2x 16x 35x 51 0
16 x 51 x - 1
x 16x 51 x 1 0
Puntos críticos
x = 0 x = 0
16 x + 51 =0 x = 51
16
x – 1 = 0 x = 1
51
x ; 0;116
1
RPTA.: A
204. Si: x 5,10 , halle : 32 M-17 N
tal que: 2x 1
N M3x 2
A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10
03
5
+ + - + + +- 2 2
3
1 2 5
- + - +051
16
1
RESOLUCIÓN
2 x 1 2 7
3x 2 3 3 3x 2
Como: 5 x 10
9 2 7 19
17 3 3 3x 2 32
19 9
M ; N32 17
32M 17N 10
RPTA.: E
205. Encontrar el número mayor M con la propiedad de que para todo
x se cumple: 2 1
5 5M x x 2
A) 2
3 B)
5
6 C)
9
4
D) 6
5 E)
2
5
SOLUCIÓN
2 1
5 5M x x 2
Haciendo cambio de variable
1
5y x
2M y y 2
2y y M 2 0 ; y
0
1 4 M 2 0
9
M4
El mayor valor 9
M4
RPTA.: C
SEMANA 11
INECUACIONES, VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES
EXPONENCIALES
206. Halle el conjunto solución de:
4x 3 2 3x
A) B) 1 C) 5
7
D) 5
1;7
E) 0
RESOLUCIÓN
4x 3 2 3x
2
2 3x 0 3x 2 0 x3
4x 3 2 3x 4x 3 2 3x
7x = 5 - 4x+3 = 2-3x
5
x7
1 =x
C.S.
RPTA.: B
207. Resolver: 4x 7
2x 33
A) 5
C.S. 1;8
B) 8
C.S. 1;5
C) 8
C.S.5
D) C.S. 1;3
E) C.S.
RESOLUCIÓN
4x 7
2x 33
3
2x 3 0 x2
5
7
12
3
4x 7 4x 7
2x 3 2x 33 3
4x-7=6x-9 -4x+7=6x-9 2=2x 16 = 10x
1 = x 1,6= x
8
C.S.5
RPTA.: C
208. Resolver: 4x 3 2x 1 , e
indicar como respuesta el mayor de los números enteros que
pertenece a su conjunto solución.
A) 2
3 B)1 C) 2
D) 3 E) 5
RESOLUCIÓN
4x 3 2x 1
4x 3 2x 1 4x 3 2x 1 0
6x 4 2x 2 0
2
x3
x = 1
2
x ;13
=1
RPTA.: B
209. Al resolver, indicar el menor valor
entero que satisface la
desigualdad: 2 24x 3x 1 x 2x 1
A) 0 B) C) 1
D) 2 E) -2
RESOLUCIÓN
2 24x 3x 1 x 2x 1
2 2 2 24x 3x 1 x 2x 1 4x 3x 1 x 2x 1 0
2 25x x 3x 5x 2 0
x 5x 1 3x 2 x 1 0
x = 0 1
x5
2
x3
x = 1
1 2
x 0; ;15 3
El menor número entero
RPTA.: B
210. Halle la suma de los valores enteros que pertenecen al
complemento del conjunto solución de la inecuación:
x 2 1
x x 2
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN
x 2 1
x x 2
elevando al
cuadrado y por diferencia de cuadrados:
x 2 1 x 2 1
0x x 2 x x 2
2 2x 4 x x 4 x0
x x 2 x x 2
2 2
22
x x 4 x x 4
x x 2
C.S. 1 17 1 17 1 17 1 17, , ,
2 2 2 2
1
6
2
31
-+ +
12
3
-+ -
12
3
+ +
1
50
Entonces:
{2, 2}
RPTA.: B
211. Si el conjunto solución de la
inecuación 2
x 1 1
x 1x 4x 8
tiene
la forma: a
; cb
Halle:
a + b + c
A) 5 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
RESOLUCIÓN
Elevando al cuadrado
2 2
2
x 1 1
x 1x 4x 8
Luego:
2 2
x 1 1 x 1 10
x 1 x 1x 4x 8 x 4x 8
2 2 2 2
2 2
x 2x 1 x 4x 8 x 2x 1 x 4x 80
x 4x 8 x 1 x 4x 8 x 1
2
2 22
2x 7 2x 6x 90
x 4x 8 x 1
7
x ; 12
a + b + c = 7 + 2+1 = 10
RPTA.: E
212. Si la expresión 4x 7 x 7
Ex
se resuelve a una constante, para
x 2,5 ; halle dicha constante.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
4x+7; 7
x4
4x 7
-4x-7; 7
x4
x-7; x 7
x 7
7-x; x<7
para x 2;5
4x 7 7 x
E 5x
RPTA.: E
213. Halle la suma de los valores enteros que verifican a la
inecuación x 6 x 12 0
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
RESOLUCIÓN
x 6 0 x 12 0
x 6 x 12
x= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
RPTA.: D
214. Resuelva la inecuación x 1 x
A) 0; B) 1;
C) ;1 D) 1;1
E) ;0
RESOLUCIÓN
x 1 0 x 0
x 1 x 0
Universo: x 1 Elevando al cuadrado
2x 1 x
2x x 1 0 ; 3
1
x interceptando
x 1;
RPTA.: B
215. Indicar el conjunto solución de
x 2 x 5 3
A) 5; B) 6; C) 5;
D) 6; E) 2;5
RESOLUCIÓN
Universo
x 2 0 x 5 0 x 5
x 5 3 x 2
Elevando al cuadrado
x 5 9 6 x 2 x 2
6 x 2 12
x 2 2
x 2 4 x 6
RPTA.: B
216. Indique el conjunto solución de 3 23 x 3x 5x 2 x 1
A) ;0 B) 0;
C) 1
;2
D)
1;
2
E) 1
0;2
RESOLUCIÓN
Elevando al cubo.
3 2 3 2x 3x 5x 2 x 3x 3x 1
2x 1
1
x2
1
x ;2
RPTA.: C
217. Cuántos valores enteros satisfacen a la inecuación
4 4
1 10
x 2 9 x
A) 31 B) 32 C) 33
D) 34 E) 35
RESOLUCIÓN
1. x – 2 > 0 x > 2
2. 9 – x > 0 x < 9 3. 3; 4; 5; 6; 7; 8.
4. 3 4 5 6 7 8
RPTA.: C
218. Señale el intervalo en el cual le satisface la inecuación
2
2x 5
x 5x 6
A) 5
2;2
B) 3;0
C) 5
;42
D) 3;6
E) 5
7;2
RESOLUCIÓN
1. 2x 5x 6 0
2x 5x 6 0
x 3 x 2 0
2. 2x – 5 < 0
5
x2
3. De …(1) y …(2) 5
x 2;2
RPTA.: A
219. Al resolver: x 4 3 x 1 4 ,
indicar como respuesta la suma de sus raíces.
++
0 2 3
A) 9
11 B)
7
8 C)
4
7
D) 2
7 E)
9
4
RESOLUCIÓN
x + 4 = 0 x -1 = 0
x = - 4 x = 1
Cálculo de
- (x+4) + 3(x-1) = 4
- x – 4 + 3x -3 = 4 2x = 11
x =11
2 ; 4
x
Cálculo de
(x+4) +3 (x-1) = 4 x + 4 + 3x – 3 = 4
4x = 3
3
x 4;14
3
x4
Cálculo de ():
(x + 4) 3(x1) = 4
x = 3
2 1
Luego:
3 3,
4 2
3 3 9
4 2 4
RPTA.: E
220. Indicar el menor valor entero positivo que satisface la
desigualdad:
x 2 x 3
x 1 3 x 20,008 0,04
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0
RESOLUCIÓN
x 2 x 3
3 2
x 1 x1 1
25 25
x 2 x 3
x 1 x1 1
5 5
x 2 x 3
x 1 x
x 2 x 3
0; x 0;1x 1 x
2 2x 2x x 4x 30
x x 1
6x 3
0x x 1
puntos críticos 1
x ;0;12
1
x 0; 1;2
2 RPTA.: B
221. Al resolver: 2x 1 x 3 1 ,
se obtiene x a;b ;
según esto, hallar (b+c).
A) 17 B) 16 C) 15
D) 14 E) 13
RESOLUCIÓN
2x 1 x 3 1
12x 1 0 x
2
x 3 0 x 3
x 4 3 x 1 4
-4 1
x ; 4
x 4;1
x 1;
-
+
+ +
-
- ….
….
….
-+-
0
+
11
2
1x ;
2
..Universo
22
2x 1 1 x 3
2x 1 1 2 x 3 x 3
22
x 5 2 x 3
2x 10x 25 4x 12
2x 14x 13 0
x 13 x 1 0
x = 13 x = 1
1
x ;1 13;2
b c b + c = 1 + 13 =14
RPTA.: D
222. Halle el valor de “x” que satisface la desigualdad.
2 4x 7 8 4 x 13 64
4 27
A) B) C)
9;10
D)9
;10
E)
5;
2
RESOLUCIÓN
4 x 12 4x 7 8 3
3 3
4 4
2 4x 7 8 12x 123 3
4 4
2 4x 7 8 12x 12
2 4x 7 12x 4
4x 7 6x 2
1
6x 2 0 x3
2 6x 4x 7 6x 2
2 6x 4x 7 4x 7 6x 2
9 < 10x -5 < 2x
9
x10
5
x2
9
C.S.x ;10
RPTA.: B
223. Halle la suma de los valores
enteros positivos que pertenecen al complemento del conjunto solución de la inecuación x 5 x 1x 4 2x4 2
A) 6 B) 12 C) 15
D) 17 E) 20
RESOLUCIÓN
2 x 4 2x
x 5 x 12 2
2 x 4 2x
x 5 x 1
x 4 x
0x 5 x 1
2 2x 3x 4 x 5x0
x 5 x 1
2 x 20
x 5 x 1
C.S. 1;2 5;
C
C.S. 3 4 5 12
RPTA.: B
5
2
1
3
9
10
13 11
2
+ +-
-12 5
224. Halle el conjunto solución de la
inecuación:
2 x
xx 3 x 21 1
3 93 9
A) 3; B) ; 3
C) ;3 D) 3;
E) 2;3
RESOLUCIÓN
x 2 1 x
x 3 x 23 9
1 xx 2 2x 2x 33 3
x 2 1 x
2x 3 x 2
2 x 1x 2
0x 3 x 2
23x 4x 100
x 3 x 2
C.S. 2;3
RPTA.: E
225. Indicar el mayor valor entero del conjunto solución de la inecuación
2x 2x 15 x 1
A) -1 B) -2 C) -3
D) - 4 E) -5
RESOLUCIÓN
Si:
2x 2x 15 0
x 3 x -5
Si además x+ 1 0
x 1
C.S. ; 3
mayor valor entero = -3
RPTA.: C
SEMANA 12
FUNCIONES
226. Sea la función:
2
xf ax b , a b
constantes y “x” un número real
cualquiera. Los pares ordenados (0;3); (2;2) y (3;R) corresponden a los puntos de la función,
¿Calcular el valor de “R”?
A) 1 B) 3
4 C) 1; 3
D) 2 E) 5
RESOLUCIÓN
2
xf ax b
2y ax b
Evaluando:
(0;3) 2
3 a 0 b b 3
(2;2) 2 1
2 a 2 b b 2 4a b a4
(3;R) 2
R a 3 b
1
R 9 34
R=3
4
RPTA.: B
227. Halle el dominio de
2 2
xf 2 x
A)
B) x / 4 x 4
C) 2;2
D) 2;
E) 2;2
RESOLUCIÓN
Como xf 0 , entonces esta
definida solo si 24 x 0
Luego: 2x 4 0
x 2 x 2 0
-3 5
x = 2 x = -2
x 2;2 Dom f 2;2 ó x / 2 x 2
RPTA.: C
228. Halle el dominio de la función:
xy f ; tal que
xf x 2 6 x
A) 2;4 B) 2;6 C) 2;4
D) 2;6 E) 6;
RESOLUCIÓN
x 2 0 6 x 0
x 2 x 6
x 2;6
RPTA.: B
229. Halle el rango de la función f cuya
regla es x
x 2f
x 3
A) 1 B) 1
C)2
3
D)2
;13
E)
RESOLUCIÓN
x 2
yx 3
xy 3y x 2
xy x 3y 2
x y 1 3y 2
3y 2
xy 1
Rang f 1
RPTA.: B
230. Dada las funciones f y g cuyas reglas de correspondencia son
2
xf 3 x 1 6
2
xg 2 x 1 3
Señale Rang f Rang g
A) 2;6 B) 3;6
C) 6; D) ; 3
E) 3;6
RESOLUCIÓN
Rang f ;6
Rang g 3;
Interceptando
Rang f Rang g = 3;6
RPTA.: B
231. Halle “p” para que el conjunto de pares ordenados de:
f 2;3 ; 1;3 ; 2;P 6 sea
función
A) -5 B) - 4 C) - 3 D) 2 E) - 1
RESOLUCIÓN
(2;3) = (2; P + 6) Luego: 3= P + 6
- 3 =P
RPTA.: C
232. Señale el dominio de la función f;
si
2
x 2
xf
x 1
A) ; 1 1; 0
B) 1;1 1;
C) ; 1 U;1
D) 1;1
E)
RESOLUCIÓN
2
2
x0
x 1
+-+
2-2
2x0
x 1 x 1
N x = 0 P.C. x = 1
D x = -1
Dom f ; 1 1; 0
RPTA.: A
233. Halle el dominio de
2
x
1f 1 x
x
A) ; 1
B) 0
C) 1;1 0
D) E) 1;1
RESOLUCIÓN
Como xf 0 , pues x 0 ,
entonces: 21 x 0
2x 1 0
x 1 x 1 0
x = 1 x = -1
x 1;1
dom f 1;1 0
RPTA.: C
234. Si x
x 3f
2x 1
, halle su dominio.
A) 1
;2
B)
C) 1
;42
D) 3;
E)
RESOLUCIÓN
Como xf 0, entonces esta
definida si: x 3 1
0 x2x 1 2
Luegox 3 0 x 3 puntos
1
2x 1 0 x2
críticos
1
x ; 3;2
Dom 1
f ;32
RPTA.: B
235. Si la función parabólica
2 2f x,y /y ax bx c
pasa por los puntos A (1,2);
B (-1;12); C (0;4) Calcule a b c
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
x = 0 c = 4
x = 1 a + b+ 4 = 2
a + b = -2……………….…
x = -1 a-b +4 = 12
a – b = 8……………………
De y a = 3 y b = -5
2
xf 3x 5x 4
1f 3 5 4 2
RPTA.: B
+--+
-1 1
+-+
1-1
+-+
31
2
236. Señale el valor máximo de la función f, si la regla de
correspondencia es:
2 2 2
xf x 1 x 2 x 3
A) - 1 B) - 2 C)- 3
D) - 4 E) - 5
RESOLUCIÓN
Operando:
2
xf x 2x 1
2
xf x 4x 4
2
xf x 6x 9
2
xf 3x 12x 14
a = -3; b = 12; c = - 14
máxf
4a
144 4 3 14
144 168 24
máx
24f 4
2 3
RPTA.: D
237. Halle el rango de la función f
definida por: xf 2x 1 x
A) 1
;2
B)
1;
2
C) 1
;2
D)
1;
2
E) 1 1
;2 2
RESOLUCIÓN
2x-1; 1
x2
2x 1 =
1-2x; 1
x2
1-3x; 1
x2
xf
x- 1; 1
x2
Si: 1
x2
1
y2
Si: 1
x2
1
y2
f
1R ;
2
RPTA.: B
238. Dada la función
xf ax b; x
donde a y b son ctes reales, si
x y x yf f f
x,y , y si
x 2f 6
Halle: a +b
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
Como x y x yf f f
a x y b ax b ay b
b = 0 luego:
xf ax
2f 2a 6 a 3
a +b = 3 RPTA.: C
239. Halle la suma de los valores enteros del dominio de la función:
2
x 2
x 3x 4f
21 x 4
A) 0 B) 1 C) - 1 D) 5 E) - 5
RESOLUCIÓN
El dominio esta dado por la solución de la inecuación:
2
2
x 3x 40
21 x 4
2x 3x 4 0 x , 1 4;
2 221 x 4 0 x 4 21
2x 4 0
2x 25 0
x ; 2 2;
x 5,5
f
Dom 5; 2 4;5
RPTA.:E
240. Si M 2;6 ; 1;a b ; 1;4 ; 2;a b ; 3;4
es una función, halle: 2 2a b
A) 12 B) 16 C) 32 D) 26 E) 27
RESOLUCIÓN
(2;6)= (2;a+b) 1;a b 1;4
6 = a+b a – b = 4
a +b = 6 + a – b = 4 2a = 10
a = 5
b = 1 2 2 2 2a b 5 1 26
RPTA.: D
241. Sea una función definida en el conjunto de los números reales,
por xf ax b y además
1f 1 f 3 13, hallar:
(3a-2b)
A) 17 B) 16 C) 15
D) 19 E) 23
RESOLUCIÓN
Si xf ax b , evaluando:
* 1f 1 a 1 b 1
a +b = -1
* 3f 13 a 3 b 13
- 3a+b = -13
a + b = - 1 (-)
-3a + b = - 13
4a = 12 a = 3 b = - 4
3a – 2 b = 3 (3) – 2 (-4) = 17 RPTA.: A
242. Halle el rango de:
2
xf x 6 3
A) 7;1 B)
C) 0 D) 7;1
E) 1;
RESOLUCIÓN
Como xf 0 , entonces esta
definida solo si: 2x 16 0 pero,
como nos solicitan el rango, entonces:
2y x 16 3
22 2y 3 x 16
2 2y 6y 9 x 16
2 2x y 6y 7
2x y 6y 7
0
2y 6y 7 0
y 7 y 1 0
y = -7 y =1
y ; 7 1;
Ranf 7;1
RPTA.: A
+-+
1 -7
243. Si
2
xf x 2 ;
xg x a ,
determinar el valor de “a” de
modo que (f o g) (3) =(g o f)(a-1)
A) -8 B) -8
7 C)
7
8
D) 1
7 E)
1
8
RESOLUCIÓN
2f og 3 f g 3 f 3 a a 6a 11
2
gof a 1 g f a 1 g a 1 2
2gof a 1 g f a 1 a a 3
Reemplazando resultados:
(fog) (3) = (gof) (a1)
a² + 6a + 11 = a² a+3
a = 8
7
RPTA.: B
244. Si:
xf 2x 3b , determinar el
valor de “b” de manera que
2f b 1 3f * b ;b
A) 3 B) 4 C) -3 D) - 4 E) 2
RESOLUCIÓN
Calculando
*
xf :
*
fxf f x,x D *
*
a2f 3b x
*
fx
x 3bf ;x D *
2
Como: * 2f b 1 3f b
2b 3b
2 b 1 3b 32
23b 11b 4 0
b = 1
3 b = - 4
RPTA.: D
245. Señale el valor de “n” en la
función f ; si xf x 2 x 3 ... x n
y el dominio es 10;
A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) 13
RESOLUCIÓN
x 2 0 x 2
x 3 0 x 3
.
. . x n 0 x n
Como : n > 2 > 3...
Domf n;
n = 10
RPTA.: D
SEMANA 13
TEMA:
246. Calcule el siguiente límite
3 2
3 2x 1
x 5x 3x 3lim
3x 6x 9x
A) 5 B) 1
3 C)
5
6
D) 1
6 E)
6
5
RESOLUCIÓN
Factorizando numerador denominador.
2
x 1
x 1 x 6x 3lim
3x x 1 x 3
2
x 1
x 6x 3 5lim
3x(x 3) 6
RPTA.: C
247. Calcule el siguiente limite:
3x 64
x 8lim
x 4
A) 4 B) 3 C) 1
3
D) 1
4 E) 2
RESOLUCIÓN
Hacemos un cambio de variable
6y x 3x y
23 x y
3
23x 64 y 2
x 8 y 8lim lim
y 4x 4
2
y 2
y 2 y 2y 4lim
y 2 y 2
3
RPTA.: B
248. 2
x a
a ax xlim
a ax
A) 3a B) a C) -a
D) 1 E) 2a
RESOLUCIÓN
Multiplicando al numerador y denominador por su conjugada se
tiene:
2 4
2 2x a
a ax x a axlim
a ax a ax x
2 2
2x a
a a x a ax x a axlim
a a x a ax x
= 3a RPTA.: A
249. Hallar el valor límite de la
expresión
2
x 2
8x 2x 3P
12x 2x 2
;
para x=0,5
A) -3 B) 2 C) 1
D) 3
4 E)
1
2
RESOLUCIÓN
Evaluando: 2
1 2
2
1 18 2 3
2 2 2 1 3 0P
3 1 2 01 112 2 2
2 2
Factorizando:
Luego:
x
2x 1 4x 3 4x 3P
6x 22x 1 6x 2
, y
como
14 3
1 52x P 1
12 56
2
RPTA.: C
250. Halle el V.V. de la expresión 2 2
2
x x 12xT
x 5x 4
, para x =4
A) 1
112
B) 1
93
C) 2
73
D) 1
63
E) 1
52
RESOLUCIÓN
3 2
2
4 4 12 4 64 16 48 0T
16 20 4 04 5 4 4
Factorizando num. y den.
N = 2x x x 12
x -4 x 3
= x x 4 x 3
D = 2x 5x 4
x -1
x -4 = (x-1)(x-4)
x x 4 x 3 x x 3T
x 1 x 4 x 1
, y
como x = 4
4 7 28
T3 3
RPTA.: B
251. Halle el xlim
2
2
8x 5x 6
4x x 1
A) 6 B) 0 C) 1 D) 2 E)
RESOLUCIÓN
2
2x
8 5lim
4 1
Dividiendo numerados y denominados entre x²
2
2 2
x2
22
5 6 5 6x 8 88 0 0x x
lim 21 11 1 4 0 0
x 4x x
RPTA.: D
252. Calcule:3
2x 1
x 1lim
x 1
A) 2
3 B)
3
2 C)
1
2
D) 1
4 E)
5
4
RESOLUCIÓN
2
x 1
x 1 x x 1 3lim
x 1 x 1 2
RPTA.: B
253. Calcule: x 1
x 1lim
x 1
A) 1 B) 1
2 C)
1
3
D) 1
4 E)
1
5
RESOLUCIÓN
x 1
x 1 x 1 1lim
x 1 2x 1
RPTA.: B
254. Halle 10 10
5 5x a
x alim
x a
A) 2 B) 2a C) 5
D) 5a E) 52a
RESOLUCIÓN
Factorizando:
5 5 5 5
5
5 5x a
x a x alim 2a
x a
RPTA.: E
255. Halle el valor de
20 10
20 5x
2x 3x 1lim
4x 2x 1
A) 2 B) 1
2 C) -2
D) 3
4 E)
RESOLUCIÓN
20
20x
Coef de x Númeradorlim
Coef de x Denominador
x
2 1lim
4 2
RPTA.: B
256. Calcule 10
2x
x x 2lim
x x 1
A) 0 B) C)
D) -1 E)
RESOLUCIÓN 10
2x
x x 2lim
x x 1
; ya que el
exponente de númerador es mayor que el exponente del
denominador.
RPTA.: B
257. Halle el 2 2
xlim x 4x x x
A) B) 2
3 C)
2
3
D) 3
2 E)
5
7
RESOLUCIÓN
2 2
xlim 4
Multiplicando la expresión por la
conjugada
2 2
2 2
x 4x x x
x 4x x x
2 2
2 2x
x 4x x x 3xlim
4 4x 4x x xx 1 x 1
x x
3 3
24 11 1
RPTA.: D
258. Halle el valor aproximado de
la función x 2 2
x 6 x 1T
x 16 x 4x
, para
x = 4
A) 52 B) 42 C) 32
D) 1
3 E) 0,25
RESOLUCIÓN
2 2
4 6 4 1 10 5T
0 04 16 4 4 4
Efectuando operaciones:
x x 6 x 1 x 6x 6 x 1T
x 4 x 4 x x 4 x x 4 x 4
x 4 1
x x 4 x 4 x x 4
y como
x = 4
1 1T
4 4 4 32
ó 52
RPTA.: A
259. Halle el 3 3 2x
4xlim
27x 6x 5 16x 5x 2
A) 6 B) 0 C) 1
7
D) E) 4
7
RESOLUCIÓN
3 2x
3
4lim
27 6 5 16 5 2
Indeterminado
Transformando adecuadamente
3x23
2 3 2
4x 4x 4lim
76 5 5 2 x 27 1627 x 16
xx x x
2
6
2
5
5
2
2
6
5
5
2
0 0 0 0
RPTA.: E
260. Si: x 0
senkxlim 1
kx
Calcule x 0
sen3x sen5xlim
5x 3x
A) 34
15 B)
15
34 C)
20
31D)
17
19
E) 5
3
RESOLUCIÓN
x 0
3 sen3x 5 sen5xE lim
5 3x 3 5x
3 5 9 25 34E
5 3 15 15
RPTA.: A
261. Halle la suma de las constantes k
y b, que cumple 3
2x 0
x 1lim k x b 0
x 1
A) 1 B) 0 C) 2
D) 3 E) -1
RESOLUCIÓN
3
2x 0
x 1lim k x b
x 1
2 3
2x 0
kx b x 1 x 1lim
x 1
3 2 3
2x 0
kx b kx b x 1lim
x 1
3 2
2x 0
k 1 x bx kx b 1lim
x 1
como el limite es cero, entonces
k = 1, b = 0 k +b = 1
RPTA.: A
262. Calcule el siguiente limite:
x
6x sen2xlim
2x 3sen4x
A) 3 B) 0 C) 6
5
D) 2
7 E)
1
6
RESOLUCIÓN
x 0
6x 5sen2x
xlim2x 3sen4x
x
x 0
sen2x6
xlimsen4x
2 3x
x 0
sen2x6 2
xlimsen4x
2 3 44x
6 2 2
2 12 7
RPTA.: D
263. Calcule el siguiente limite
x 0
1 cos6xlim
sen6x
A) 0 B) 1
6 C) 1
D) 6 E) 2
RESOLUCIÓN
Aplicando la Regla de H´ospiral
x 0 x 0
d1 cos6x 0 sen 6x 6dxlim lim
d cos 6xsen6x
dx
Evaluando:
0
0uno
RPTA.: A
264. Calcule el siguiente limite:
3x
tgx senxlim
x
A) B) C)
D) E)
RESOLUCIÓN
3x
senxsenx
cosxlim
x
3x
senx 1 cosxlim
x cosx
2x
senx 1 cosx 1lim
x cosxx
1
2
RPTA.: B
265. Halle el valor de “a”, a > 0 sabiendo que:
3 2 2
2x
x 2a x axlim 2a 5
2ax x
A) 1 B) 1
2 C) 2
D) 1
3 E) 3
RESOLUCIÓN
Factorizando numerador y denominador:
x
x x 2a x alim
x x 2a
x
x x alim 1 a
x
Este resultado igualamos con:
2a-5
a = 2 RPTA.: C
SEMANA 14
PROGRESIONES
266. Cuántos términos debe tener una P.A. cuya razón es 2. Sabiendo
que el noveno término es 21 y la suma de todos ellos es 437.
A) 11 B) 19 C) 21 D) 23 E) 25
RESOLUCIÓN
9 1a a 8r
121 a 8 2
1a 5
12a n 1 r
S n2
2 5 n 1 2
437 n2
437 4 n n
n = 19
RPTA.: B
267. Encontrar la mayor edad de tres personas; sabiendo que forman una P.A creciente, cuya suma es
63 y la suma de sus cuadrados es 1373.
A) 27 B) 26 C) 25
D) 24 E) 23
RESOLUCIÓN
a - r , a , a + r
S = 63 3a = 63 a = 21
2 22a r a a r 1 373
2 2 22 a r a 1 373
2 2 22 21 r 21 1 373
22 441 r 441 1 373
2r 25 r 5
16 , 21 , 26
RPTA.: B
268. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es 42, la suma de los tres últimos es 312, y
la suma de todos los términos 1062, ¿de cuántos términos
consta dicha progresión?
A) 14 B) 16 C) 17
D) 18 E) 19
RESOLUCIÓN
1 2 3 n 2 n 1 na ,a ,a .....a ,a ,a
1 2 3a a a 42 +
n n 1 na ,a a 312
1 n n 1 1 na a a a a a 354
1 n3 a a 354
1 na a 118
S 1 062
1 na an 1 062
2
118
n 1 0622
n = 18
RPTA.: D
269. En una P.A. los términos de
lugares 11 y 21 equidistan de los extremos y suman 48. Determinar
la suma de todos los términos de dicha progresión.
A) 360 B) 372 C) 720 D) 744 E) 804
RESOLUCIÓN
1 11 21 n
10 10
a ,........a ................a ..........a
1 n 11 21
48
a a a a
Último: 31a n 31
1 na aS n
2
48
S 312
S = 744 RPTA.: D
270. En una P.A el tercer término es
igual a 4 veces el primero y el sexto término es igual a 17. Halle la suma de los 8 primeros
términos.
A) 50 B) 30 C) 80 D) 10 E) 20
RESOLUCIÓN
3 1a 4a ....
6a 17
De :
6 6a 3r 4 a 5r
17 3r 4 17 5r
17 3r 4 17 20r
17r 3 17
r = 3
1 6a a 5r
1a 17 5 3
1a 2
8 6a a 2r
8a 17 2 3
8a 23
1 81 2 8
a aa a ..... a 8
2
1 2 8
2 23a a ..... a 8
2
1 2 8a a ..... a 25 4 100
RPTA.: C
271. Dadas las progresiones
aritméticas:
* x 2y 4x 1 ...
* y x y 2y 2 ...
Calcule el valor de (xy)
A) 3 B) 4 C) 7 D) 9 E) 12
RESOLUCIÓN
2y – x = 4 x + 1 - 2y 4y - 5x = 1
x + y – y = 2 y + 2 – x –y x = y + 2 – x
2x –y = 2 y = 2 x - 2
4 2x 2 5x 1
8x - 8 - 5x = 1
3x = 9 x = 3 y = 4
x y = 12 RPTA.: E
272. Calcule:
6
2 6 10
2 2 242K 1 ...
3 3 3
A) 201
80 B)
101
80 C)
301
80
D) 80
201 E)
200
81
RESOLUCIÓN
2 6 10
2 26 242K 1 ....
3 3 3
2 2 6 6 10 10
3 1 27 1 243 1K 1 ....
3 3 3 3 3 3
3 5 3 5
1 1 1 1 1 1K 1 ... ...
3 93 3 9 9
2 2
1 1
3 9K 11 1
1 13 9
1 1
3 93 9K 1 18 80 8 80
9 81
201
K80
RPTA.: A
273. La suma de los “n” términos de
una P.A. es:
n
7n 1S n
2
Calcule el término que ocupa el
lugar 21.
A) 122 B) 144 C) 169 D) 105 E) 100
RESOLUCIÓN
n 21
7n 1S n,a ??
2
1 nn
a aS n
2
1 na a 7n 1n n
2 2
1 n 1a a 7n 1 S :n 1
12a 8
1a 4
1S :n 2
1 2a a 15 r 7
4 11
21 1a a 20r
21 21a 4 20 7 a 144
RPTA.: B
274. En una P.A. la suma de sus “n” términos está dada por:
2S 3n n , ¿Cuál será la
expresión de la suma sino se
considera el primero ni el último?
A) 23n 5n 2
B) 23n 5n 2
C) 23n 5n 2
D) 23n 5n 2
E) 23n 5
RESOLUCIÓN
2S 3n n
21 n 1 na a a an 3n n 3n 1
2 2
Sin considerar 1 na y a
2 n 1a aS n 2
2
2 na aS n 2
2
2S 3n 1 n 2 3n 5n 2
RPTA.: D
275. En una P.G. de tres términos la suma de ellos es 248 y su producto es 64 000. Escribir la
progresión y dar como respuesta el mayor de sus términos.
A) 50 B) 100 C) 150
D) 200 E) 220
RESOLUCIÓN
1 2 3T ,T ,T
T
,T,T qq
T
T T q 248q ………………….
T
T T q 64 000q
3T 64 000
T = 40
En
1
40 1 q 248q
Resolviendo: q = 5
T q 40 5
T q 200
RPTA.: D
276. Determinar “x”, si el primer término de una P.G. es igual a
(x-2); el tercer término es igual a (x+6) y la media aritmética de sus términos primero y tercero se
refiere al segundo como 5
3.
A) 7 B) 3 C) 4
D) 5 E) 2
RESOLUCIÓN
1 3T x 2,T x 6
1 3
2 2
T T
5 x 2 52T 3 T 3
2
3T x 2
5
Además:
23 22 1 3
2 1
T TT T T
T T
29
x 2 x 6 x 225
Resolviendo x = 3 RPTA.: B
277. La suma de los términos que
ocupan el lugar impar en una PG. De 6 términos es 637 y la suma
de los que ocupan el lugar por 1 911. Halle la razón.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN
2 3 4 5
1 1 1 1 1 1T ,T q,T q ,T q ,T q ,T q
2 4
1 1 1T T q T q 637
2 4
1T 1 q q 637
3 5
1 1 1T q T q T q 1911
2 4
1qT 1 q q 1 911
q = 3 RPTA.: A
278. La suma de los términos de una
P.G. de 5 términos es 484. La
suma de los términos de lugar par es 120. ¿Cuál es la razón entera
de la progresión?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN
2 3 4
1 1 1 1 1T T q T q T q T q 484
2 3 4
1T 1 q q q q 484
3
1 1T q T q 120
3
1T q q 120
:
2 3 4
3
1 q q q q 121
30q q
Resolviendo: q = 3
RPTA.: A
279. La suma de 3 números en P.A. es 15, si a estos números se agregan el doble de la razón excepto al
término central entonces ahora se encontrarán en P.G. indicar la
razón de esta última progresión.
A) 20
3 B) -3 C) 5
D) 10
3 E)
5
3
RESOLUCIÓN
a - r, a, a + r
3a = 15 a = 5
5 – r, 5, 5 + r
5+r, 5, 5+ 3r P.G.
5 5 3r
5 r 5
25 5 r 5 3r
225 25 20r 3r
23r 20r
20
r3
RPTA.: A
280. En la P.A.
100 96 92....
Calcule el término que ocupe el lugar 18.
A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34
RESOLUCIÓN
1a 100
na ?
r = 96-100= -4 n = 18
n 1a a n 1 r
18a 100 18 1 4
18a 100 68
18a 32
RPTA.: C
281. Calcule el séptimo término de la
sucesión 1 22 2 .....
A) 62 B) 72 C) 02
D) 02 E) 22
RESOLUCIÓN
1
1a
2
n = 7
1 1 1
r4 2 4
7
1 1a 6
2 4
7
1 3a
2 2
7
2a 1
2
RPTA.: C
282. Señale el valor de:
1 1 1 1 1
P 1 ...2 3 4 9 8
A) 0,2 B) 0,4 C) 0,5
D) 0,8 E) 1, 0
RESOLUCIÓN
1
11 1 1 32S 1 .....
13 9 3 21
3
2
1 11 1 1 2 2S ..... 1
1 12 4 81
2 2
2S 1
3 3 2 1
P 12 2 2
RPTA.: C
283. Halle el n-esimo término de la
sucesión 8 13 18....
A) 216n 30n 6
B) 225n 30n 9
C) 216n 25n 9
D) 24n 2n 1
E) 264n 8n 21
RESOLUCIÓN
a1 = 8 = 5 + 3
a2 = 13 = 5 2 + 3
a3 = 18 = 5 3 + 3 an = 5n + 3
an² = 25n² + 30n + 9
RPTA.: C
284. Calcule el valor de P 1 2 3 4 ... n
A) -n B) n C) n+1
D) n -1 E) n
2
RESOLUCIÓN
n: es un número par Para 2 términos: 1- 2 = -1
Para 4 términos: 1 - 2 + 3 - 4= -2
Para 6 términos:1-2+3-4+5-6=3
Para n términos:n
2
RPTA.: E
285. Señale el valor de “x” en la ecuación
2 2 2 2 2x 1 x 2 x 3 ... x n nx
A) 2n 1
6
B)
2n 1
6
C) n 1
2
D)
n 1
2
E) n n 1
6
RESOLUCIÓN
Operando
2x 2x 1
2x 4x 4
2x 6x 9
2 2 2x 2nx n nx
2 2 2 2 2 2nx 2x 1 2 3 ... n 1 2 3 ... n nx
n n 1 n n 1 2n 12x
2 3
2n 1 2n 12x , x
3 6
RPTA.: C
SEMANA 15
LOGARITMOS E INECUACIONES LOGARÍTMICAS
286. Determine el valor “N”, si 9
100 512L og N 1,5 L og 2
A) 10 B) 100 C) 1 000 D) 2 200 E) 512
RESOLUCIÓN
100 512 100
3 3Log N Log 512 Log N
2 2
3
2N = 100
3
2 2N = 10 1 000
RPTA.: C
1
287. Calcule 0,5
1 225
k L og 0,00032 L og 2
A) 5
2 B)
3
2 C)
3
2
D) 7
2 E) 3,7
RESOLUCIÓN
1
5 21 2
25
k L og 32 10 L og 2
x 1
x
5512 2 5
25
2x 5 5 55 2 2 5
2x 55 5
-2x=-5
5
x2
5 7
K 12 2
RPTA.: D
288. La expresión:
1 1
antilog L oga L ogb 2L ogc3 2
es
igual a:
A)ab
c B)
2
a b
c C) 3
ab
2c
D) 32
a b
c E) 3
2
ab
c
RESOLUCIÓN
21antilog L oga L og b L ogc
3
2
1 a bantilog L og
3 c
3 32 2
a b a bantilog L og
c c
RPTA.: D
289. Halle el valor de
2 3 3 1,5W=Log L og antilog L og 2,25
A) 0 B) 1 C) 2 D) 1,5 E) 0,75
RESOLUCIÓN
2
2 3 3 1,5w Log Log antilog Log 1,5
2
2 3 3w Log L og antilog 2 1
RPTA.: B
290. Resolver 2
3 3Log x 2Log x 3 , e
indicar el producto de sus raíces.
A) -4 B) 9 C) 1
9
D) -3 E) 1
RESOLUCIÓN
2
3 3Log x 2 Log x 3 0
a
2a 2a 3 0
a 3 a 1 0
a = -3 a = 1
3Log x 3 3Log x 1
1
1x
27 2x 3
x1x2 = 1 1
32 9
RPTA.: C
291. Resolver: xx x 2
x 2
xLog x x
, e
indicar el valor 2x 1
A) 15 B) 8 C) 24
D) 37 E) 48
RESOLUCIÓN
xx x 2x 4
xx Log x x
x
2x
x
4
xx x
x
x 4 2xx x x x
x 5 2xx x x + 5 = 2x x = 5
25 1 24 RPTA.: C
292. Resolver Ln 12 Ln x 1 Ln(x 2) ,
e indicar su conjunto solución:
A) 5; 2 B) 2 C) 5
D) 1;5 E) 3; 2
RESOLUCIÓN
Ln12 Ln x 2 Ln x 1
Ln12 Ln x 2 x 1
212 x 3x 2
20 x 3x 10
x -5
x 2 (x-5)(x+2)=0 x = 5 x = -2
Verificando, no será valor de la ecuación
C.S.= 5
RPTA.: C
293. Calcule el logaritmo de 2 2 en
base 48 2
A) 7
2 B)
11
3 C)
6
13
D) 8
7 E)
9
4
RESOLUCIÓN
1 3
2 2Log2 2 Log2 2 Log2
1 13
34 4 48 2 2 2 2
4 1
3 4
13
4
1
2
8 22 2
3
2
2
Log 2 2 Log 2 2
Log 2
3
213
4
6
13
RPTA.: C
294. Señale el valor de x que satisface
a la igualdad.
5
2Log (x 3) 7x 1
57x 3
A) 12
5
B) 5
12
C) Indeterminado
D) Incompatible E) x
RESOLUCIÓN
27x 1
x 37x 3
2 27x 3x 21x 9 7x 1
- 24 x +9 = - 1 10 = 24 x
5
x12
RPTA.: B
295. Resolver la ecuación
2
2
x x
x xLog x Log x 24
A) 3 B) 4 C) 6 D) -8 E) C ó D
RESOLUCIÓN
Como: n
m
a
mLog a
n
2x
x 242
22x x 48
2x 2x 48 0
x 8 x 6 0
x = - 8 ó x = 6
x = 6 RPTA.: C
296. Resuelva la ecuación
1
Logx Log x2
A) 6 B) 8 C) 10
D) 100 E) Incompatible
RESOLUCIÓN
x
1 1Log a a a
2 2
2 a a 1
2 a a 1
Elevando al cuadrado
24a a 2a 1
20 a 2a 1
a = 1 Logx = 1 x = 10
Incompatible RPTA.: E
297. Señale el producto de las raíces
de la ecuación: xLog 381 27x
A) 1
3 B)
1
9 C)
1
27
D)1
81 E)
1
243
RESOLUCIÓN
1. Tomando logaritmo en base “x”
x x x xLog 3 Log 81 Log 27 Log x
x x xLog 3 4Log 3 3Log 3 1
2. 2
xLog 3 z 4z 3z 1
24z 3z 1 0
4z 1 z
z -1-4z - 3z
4z 1 z 1 0
a) z = 1 x=3
b) z =1
4
1
42x 3
x2=1
81
1 2
1x x
27
RPTA.: C
298. Señale el valor de “x” que verifica
la igualdad
n
nlog x n
nnlog x n
A) n B) nn C) n 1n
D) n 1n E) n 1nn
RESOLUCIÓN
Elevando a la potencia “n”
n
nnnLog x n
nnLog x n
n
nnLog x n
n 1
nLog x n
n 1nx n
RPTA.: E
299. Halle la suma de las raíces de la
siguiente ecuación
2 2Log x Log x
A) 16 B) 17 C) 19 D) 21 E) 32
RESOLUCIÓN
2Log x z
2 z z
24z z z = 0 z = 4
2Log x 0 2Log x 4
0x 2 4x 2
x = 1 x = 16 16 + 1 = 17
RPTA.: B
300. Indicar el producto de las raíces
de la siguiente ecuación
5Log x 2x 125
A) 5 B) 15 C) 125
D) 25 E) 1
5
RESOLUCIÓN
Tomando logaritmos en base “x”
5 x xLog x 2 Log x Log 125
5 xLog x 2 3Log 5
Haciendo 5Log x z; se tiene
z- 2= 3
z
2z 2z 3 0
z 3 z 1 0
5Log x 3
x = 125
5Log x 1
x = 1
5
Por consiguiente: Producto = 25
RPTA.: D
301. Resolver el sistema:
2 2 xLog xy Log 8
y ,
Logx Logy2 4
e indicar el producto de valores “x”
A) 10 B) 100 C)1
10
D) 1 E) 0
RESOLUCIÓN
Losx 2Logy2 2 Logx 2Logy
2Logx Logy
2x y
2 2 xLog xy Log 8
y
2
2 2 2 yLog y y Log 8
y
2 3 2Log y Log y 8
3 3Logy Logy Logy Logy 8
3Logy Logy 3Logy Logy 8
2Logy 4Logy 8
2Log y 1
Logy 1
Logy 1 Logy 1
1y 10 1
2y 10
2
1x 10 2
2x 10
2 2 0
1 2x x 10 10 10 1
RPTA.: D
302. Si a;b distintos de la unidad y
además: ab = 1 averigüe el valor
de: b aLog 0,5 Log 0,2a b
A) 2 B) 5 C) 7 D) 10 E) 12
RESOLUCIÓN
De: ab= 1 11b b a
a
Ahora reemplazando:
1 1a ba b
5 2Log Log
10 10 Log 2 Log 5a b a b 2 5 7
RPTA.: C
303. Halle el Log 6!, sabiendo que Log 2=a; Log 3=b
A) 2a+3b+1
B) 3a+2b+1
C) 4a+b+1 D) a+2b+1
E) 3a+b+1
RESOLUCIÓN
Log 6!= Log 1 2 3 4 5 4 6
Log 6!= Log 1 Log2 Log3 Log4 Log5 Log6
Pero la necesidad es expresado en términos de 2 y 3. Por ello.
2
2
10Log 6!=0 a b Log 2 Log Log2 3
2
Log 6!=a b 2Log2 1 Log2 Log2 Log3
Log 6!=3a+2b+1
RPTA.: B
304. El valor de la expresión:
LogLog 9 44 3Log 279
10 ; será:
A) 0,001 B) 0,1 C) 10 D) 1 000 E) 100 000
RESOLUCIÓN
Aplicando la regla del sombrero dos veces en:
Log 43Log 9 343 32 Log 4 Log 3Log 27
4 910 10 Log 9 Log 27 10
310 1 000
RPTA.: D
305. Halle el producto de los raíces de:
xLog 2x 2x 2
A) 2 B) 4 C) 8
D) 2 E) 2
2
RESOLUCIÓN
2
2 2
x
1Log x Log 2
Log 2x
2 22
2
Log 2xLog x
Log x
2
2 22 Log x 1 Log x
2 22Log x Log x 1 0
22Log x +1
2Log x - 1
2Log x 1 x 2
2
1Log x
2
1 2
x22
1 2x x 2
RPTA.: D
SEMANA 16
BINOMIO DE NEWTON Y RADICACIÓN
306. Halle la suma de valores de “n” que satisfagan la igualdad
n! 3 n! 2
3n! 6
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
Sea n! = z
2z z 6 3z 18
2z 2z 24 0
z 6 z 4 0
z = 6 ó z = -4 n = 3 n 4 no existe
n = 3
RPTA.: C
307. Reducir:
12! 13! 14!
K12! 13! 12!x7
A) 28 B) 14
3 C) 14
D) 28
3 E)
7
3
RESOLUCIÓN
12! 13! 14!
K12! 13! 12! 7
12! 1 13 13 14K
12! 1 13 7
14 14 28
K3 7 3
RPTA.: D
308. Calcule la suma de valores de “n”
2 2n 3 ! n 3n 2 n 3n
A) 3 B) -3 C) 8
D) - 8 E) 9
RESOLUCIÓN
2 2n 3 ! n 3n 2 n 3n
n 3 ! n 1 n 2 n n 3
n 3 ! n n 1 n 2 n 3
n 1 !n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3
n 1 ! 1 n = 1
n = 2
3
RPTA.: A
309. Halle el valor de “n” en:
5! n!! n!!119!720! 719! 6!
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN
5! n!! n!!119!720! 719! 6!
n!!
119!x120
720
720! 719! 6!
n!!120!720! 720!
n!!=120!
n!=5! n= 5
RPTA.: C
310. Simplificar:
8 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 4P C C C C C C
A) 12
8C B) 12
82C C) 13
5C
D) 13
4C E) 12
5C
RESOLUCIÓN
8 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 4P C C C C C C
9 9 10 11 12
4 5 6 7 4P C C C C C
10 10 11 12
5 6 7 4P C C C C
11 11 12 12 12
6 7 4 7 8P C C C C C
13 13
8 5P C C
RPTA.: C
311. Resolver:
18 18 19 20
5 6 7 8
21 21
13 8
C C C CE
C C
A) 2 B) 4 C) 1
2
D)1
4 E) 6
RESOLUCIÓN
18 18 19 20
5 6 7 8
21 21
13 8
C C C CE
C C
19 19 20 21
6 7 8 8
21 21 21
8 8 8
C C C C 1E
2C C 2C
RPTA.: C
312. Si se cumple que
x 2 y 5
y 1 6C C
Halle x + y
A) 13 B) 15 C) 16
D) 17 E) 18
RESOLUCIÓN
1) y -1 = 6 y = 7
x + 2 = y + 5 x = 10
2) y - 1 = 6 y-1+6 = x+2 = y+5
y = 7 12 = x + 2 = 12
x = 10
X +y = 17
RPTA.: D
313. Reduzca
20 26 19 26
10 20 9 6
25 19 25 19
5 9 6 10
C C C C
C C C C
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
26 20 19
6 10 9
19 25 25
9 5 6
C C CE
C C C
26 19
6 9
19 26
9 6
C .3CE
C .C
E= 3
RPTA.: C
314. Determine el valor de “n” , si
cumple 19 18 17 16 15 20
11 7 10 7 8 84C C C C 2C n C
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
1. 15 15 15 16
8 8 7 82C C C C
2. 16 16 16 16 17
7 8 9 8 9C C C C C
3. 17 17 18
10 9 10C C C
4. 18 18 18 18 19
7 10 11 10 11C C C C C
5. 19 19 20
11 11 84C C nC
19 20
11 125C nC
19 11
11 19
205C n C n 3
12
RPTA.: B
315. Respecto a las proposiciones
i)
ii) ; n
iii)
12!1 3 5 7 9 11
64 6!
Indique la razón de verdad
A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FFF
RESOLUCIÓN Para el caso (i)
(n+1) n - n = n n 1 1 n(n)
* Para el caso (ii)
n 1 1
n 1 n n n 1 n
n n 2n n 2
n 1 n 1
0 = 2 ( falso) * Para el caso (iii)
Operando el segundo miembro
12! 12 11 10 9 8 7 6
64 6 64 6
RPTA.: C
316. El equivalente de: n 2
1 1n 2
A) 2n 1 B) n n 1
C) n n 1 D) n +1
E) n
RESOLUCIÓN
Procesando el radicando
3 4 3 2n n n 2 n 2n n 2n 1
2n 2n n - 1
22n 2n n - 1
2n
Luego:
2
2 2 2n n 1 1 n n 1 1 n n
2
2 2 2n n 1 1 n n 1 1 n n
RPTA.: B
317. Determine la suma de todos aquellos valores de “n” que
verifiquen la igualdad:
n! n! 32180
5n! 9
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
Hagamos que: a = n!
a a 321 80 5a 9
2a 721a 720 0
n 1 1
n 1 n n 1
n 2 n 1 n n 1 1 1 …. ….
2n n 1
n+1 - n = n n ; n
a - 720 a - 1
'a 720
''a 1
Regresando el cambio
n! = 720 n!=1 2n 1
n! = 6! 3n 0
1n 6
En consecuencia: 1 2 3n n n 7
RPTA.: C
318. El valor de:
4 5 6
2 3 49
7 8
A) 8 B) 256 C) 512
D) 1 024 E) 64
RESOLUCIÓN
Procesando por partes para el
radicando:
9 9 8 7 9 8 78
7 8 7 8 7 7 1 8
Exponentes:
4 5 4 6 5 4 4 1 5 30 36 4
Ahora reemplazando en:
4 36
2 6 4 38 8 512
RPTA.: C
319. Halle el valor del termino central
del desarrollo de
10x y
y x
A) 64 B) 128 C) 265
D) 512 E)1 024
RESOLUCIÓN
t# =10+1=11
centralt = 11 1
2
t
n k kn
k 1 kt C a b ;k 0,1,2,.....n
5 5
10
5 1 5
x yT C
y x
5 1
10 9 8 7 6T
1 2 3 4 5
5 1T 4 9 7
6T 256
RPTA.: C
320. Halle el grado absoluto del
término 16 en la expansión de
25
3 2P x,y x 2y
A) 20 B) 25 C) 35
D) 45 E) 60
RESOLUCIÓN
n k kn
k 1 kT C a b
10 15
25 3 2
15 1 15T C x 2y
15 25 30 30
16 15T 2 C x y
G.A = 30+30=60 RPTA.: E
321. En el desarrollo de la expresión 14
1x
x
; existe un termino que
contiene a 2x . El termino que
ocupa este termino contado a partir del extremo final es:
A) 9 B) 8 C) 7
D) 6 E) 5
RESOLUCIÓN
Analicemos un término genérico
(Lugar K+1), en:
141
xx
= 1 2 K 1 15T T ..... T .......T
k1
14 14 k 2K 1 KT C x x
k
14 kk 14 2K 1 kT 1 C x
Por condición:
3 3k
14 k 2 122 2
k=8
En consecuencia:
14
1 2 9 10 11 15
1x T T .....T T T ........T
x
Séptimo lugar
RPTA.: C
322. En el desarrollo de
nn
x y8
los
coeficientes de los términos de
lugar séptimo y octavo son iguales. Entonces el número de
términos que presentará será:
A) 49 B) 48 C)47
D) 45 E) 44
RESOLUCIÓN
Si:
n
1 2 7 8 n 1
nx y T T .....T T .....T
8
Averigüemos a los términos
deseados n 6 n 6
n 6 n exp 6
7 6 6
n nT T 1 C x y C x y
8 8
Coef. n 7 n 7
n 7 N exp 7
8 7 1 7 7
n nT T C x y C x y
8 8
Por condición: n 6 n 7
n n
6 7
n nC C
8 8
n 7 n 7n n n n n
n 6 6 8 8 n 7 7 8
1 n 1
n 6 n 7 6 8 n 7 7 6
7n 8 n 6 48 n # términos = 49
RPTA.: A
323. Averigüe al termino central central
al expansionar:
8x 8
8 x
A) 80 B) 70 C) 60 D) 60 E) 50
RESOLUCIÓN
En el desarrollo de esta expresión existen 9 términos entonces el central estará ocupado por el
quinto. 8 4 4
8
Cnetral 5 4 4
x 8T T T 1 C
8 x
8
Central 4
8 7 6T C 5 70
4 3 2
RPTA.: B
324. En el desarrollo de 43
1 x los
coeficientes de los términos de los lugares “2x+1” y “r+2” son
iguales ¿De qué términos estamos hablando?
A) 14 y 29 B) 16 y28 C) 16 y 26 D) 16 y 27
E) 18 y 30
RESOLUCIÓN Admitimos que en:
43
1 2 2r 1 r 2 441 k T T .... T ....T .... t
43 2r
2r 1 2rT C r ;
43 r 1
r 2 1 r 1r 1T T C r
Según condición 43 43 43 43
2r r 1 2r r 1 (r 1)C C C C
2r=r+1 2r=42-r
r= 1 3r=42 r=14
En base es esto los términos ocupan los lugares:
Cuando 3 3r 1 T T
Para 29 16r 14 T T (esto nos
permite decir que 2T 2 ) es
primero.
RPTA.: C
325. Si los exponentes de “x” en los
términos del desarrollo
n
m
m
3
1x
x
van disminuyendo de 6 en 6 unidades y el décimo tercero
resulta independiente de x. Indique al término independiente.
A) 10 9 8 B) 10 3 2
C) 10 13 14 D) 11 12 13
E) 10 11 12
RESOLUCIÓN Por condición:
12
mn 12
n m 3Independiente 12 1 12T T C x x
mn - 16m n
13 12T C x
Será Independiente mn-16m=0
m(n-16)=0
De donde: m=0 v n = 16
Luego: n 16
Independiente 12 12
16T C C
12 4
16 15 14 13 1214 13 10
12 4 3 2 1
RPTA.: C
326. Extrae la raíz cuadrada de: 6 4 3 5 24x 13x 22x 12x 8x 25x 16
A) 3 23x 2x x 4
B) 25x 7x 2
C) 3 22x 3x x 4
D) 24x 8x 2
E) 4 3 2x 2x x x 1
RESOLUCIÓN 6 4 3 5 24x 13x 22x 12x 8x 25x 16
3 22x 3x x 4 RPTA.: C
327. Calcule “a x b” si el resto de
2152141 134 xxxx
Es equivalente a: (ax+b)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
4 3 3x 1 4 x 1 2x 15x 2
Si: x + 1=a 22x 4x 11x 2
22 x 2x 1 11 x 1 1
R = a + 2 R= x + 1 + 2
R= x + 3 ax + b A = 1 , b = 3
RPTA.: C
328. Calcule:
19 4 21 7 12 29 2 28
A) x+1 B) x+2 C) x+3 D) x+4 E) x+5
RESOLUCIÓN
19 4 21 7 12 29 2 28
19 2 84 7 12 28 1
12+7 12x7
12 7 7 12 2 7 1 1
RPTA.: A
329. Reducir:
72821026 E
A) 7 B) 2 C) 17
4 -12 13 -22 25 -8 16 2 -3 1 -4
(4 -3)(-3)
(4 -6 2 -4)(-4)
(4 -6 1)(1)
-4-12 13
12 9
4 - 22 25
-4 6 -1
-16 24 -8 16
16 24 8 -16
4 3 2a 4a 2a 11a 11 1 2
(2 2) (2)
(2 4 -3) (-3)
-1
4 -2-4 -4
-6 -11 116 12 -9
+1 2
D) 12 E) 12
RESOLUCIÓN
E 6 2 10 2 8 2 7
7 1
E 6 2 10 2 7 2 6 2 8 2 7
E 6 2 7 1 8 2 7 2 1
RPTA.: D
330. Reducir
6273021128814012
A) 1 B) 2 C) 3
D) 7 E) 0
RESOLUCIÓN
E 12 140 8 28 11 2 30 7 2 6
E 12 2 35 8 7 11 2 30 7 2 6
E 7 5 7 1 6 5 6 1
E = 0 RPTA.: E
331. Calcule:
2
1
P 6 4 3 1 8 5 24
A) 7 B) 8 C) 9
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
2
1
P 6 4 3 1 8 5 24
2
1
P 6 4 3 1 8 3 2
2
1
P 6 4 3 5 2 6
2 2
P 6 4 3 3 2 6 4 3 6
P = 7
RPTA.: A
332. Simplificar:
1422
1212
1932
1313
22 xx
xx
xx
xx
1419
522
2
xx
x
A) -x B) 2x C) 2x
D) 5x E) 3x
RESOLUCIÓN 2
2 22 2
3x 1 3x 1 2x 1 2x 1 5x
9x 1 4x 12 3x 9x 1 2 2x 4x 1a b
2
2
5x a b3x 1 3x 1 2x 1 2x 1
5x3x 1 3x 1 2x 1 2x 1
2 2
3x 1 3x 1 2x 1 2x 1 5 a b
2 2 5
2 26x 9x 1 2 4x 2 4x 1
a b2 2
3x a 2x b a b 5x
RPTA.: D
333. Efectuar:
4K 13 7 5 7 3 7
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
4K 13 7 5 7 3 7
K 13 7 5 7 3 7
K 13 7 3 7 5 7 3 7
K 32 10 7 8 2 7
K 5 7 7 1 2
RPTA.: B
334. Reducir:
18 6 48P
9 72 5 24 8 48
A) 0 B) 1 C) 3
D) 2 E) 4
RESOLUCIÓN
18 6 48
P9 72 5 24 8 48
3 2 6 4 3P
6 3 3 2 6 2
3 2 6 3 4 3 6 2P 6 3 2
3 4
P 2 3 6 3 2 2 3 3 2 6 0
RPTA.: A
335. Transformar a radicales simples:
3 10810
A) 23 B) 32
C) 13 D) 13
E) 32
RESOLUCIÓN
310 108 A B (+)
Si: 310 108 A B
3
33 310 108 10 108 2A
320 6 2A 8A
310 6A 4A
310 4A 6A A 1
3 3A 3 A 3 10 108 10 108
2A B 2 1-B=-2B=3
310 108 1 3
RPTA.: D
SEMANA 1
CONJUNTOS I
336. Si: A ;a; a ; a,b ;
Indicar las proposiciones que son verdaderas.
I. a A {a, b} A
II. {} A {} A
III. A A
A) solo I B) solo II C) solo III D) II y IV
E) II y III
RESOLUCIÓN
A ;a; a ; a,b ;
I. a A {a, b} A F F = F
II. {} A {} A
F V = V
III. A A V V = V
I y III son verdaderas
RPTA.: D
337. Dados los conjuntos:
A x N 2x 13
B x A x² 2x A
Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones.
I. x A / x² 5 > 4
II. x (A B) / 2x + 5 < 8
III. x (A B) / x² B
A) VVF B) FVF C) VFV
D) VFF E) VVV
RESOLUCIÓN
A x N 2x 13
A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
B x A x² 2x A
x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
x² 2x = 0 ;1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24
B = {1; 4; 5; 6}
I. x A / x² 5 > 4
(V)
II. x (A B)/2x + 5 < 8 (F)
III. x (A B) / x² B (V)
RPTA.: C
338. Sea A n Z n 600
Calcule la suma de elementos del
conjunto B; si
3B a 2 a A a A
A) 1000 B) 1296 C) 1312 D) 1424 E) 1528
RESOLUCIÓN
3
a es cubo perfecto
A n Z n 600 1,2,3,4,5,...,600
B a 2 a A a A
a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³
2
B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2 ;....; 8³ 2
elementos 8x92 8
2de B
1312
Nota:
3
2
N
n n 1S
2
RPTA.: C
339. Halle el cardinal del conjunto B e indicar el número de subconjuntos
ternarios que tiene.
CONJUNTOSLÓGICA
B x Z x 8 x 2
siendo : p q p q A B
A) 48 B) 42 C) 63
D) 56 E) 45
RESOLUCIÓN
B x Z x 8 x 2
(x > 8) (x = 2)
(x> 8) (x = 2)
x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
n(B) = 8
#Subconjuntos 8 8!C
3! 5!3Ternarios de B
6x7x856
6
RPTA.: D
340. Dados los conjuntos unitarios
A = {a + b; a + 2b3; 12} y
B = {xy ; yx ; 16};
halle el valor de (x + y + a² + b)
A) 81 B) 92 C) 96 D) 87 E) 90
RESOLUCIÓN
A y B son unitarios:
* A = {a + b; a + 2b 3; 12} a + b = 12
a + 2b 3 = 12 a + 2b = 15
como: a + b = 12
b = 3 a = 9
´
* B = {xy; yx; 16}
xy = yx = 24
x = 2 ; y = 4
x + y + a² + b = 90
RPTA.: E
341. Calcular el número de subconjuntos binaros del conjunto
D, si:
D = {(x² 1)Z / 0 < x 4}
A) 132 B) 126 C) 105 D) 124 E) 120
RESOLUCIÓN
D = {(x² 1)Z / 0 < x 4}
0 < x 4 0 < x² 16
1 <x² 1 15
D = {0; 1; 2; 3; ...;15} n(D)= 16
#Subconjuntos 16 16!C
2! 14!2Binarios de D
15x16
2
15x8
120
RPTA.: E
342. Si: n [P(A)]= 128; n[P(B)]= 32 y
n [P(AB)] = 8
Halle el cardinal de P(AB) sumado
con el cardinal de:
C = 5
3x 1 Z x3
A) 521 B) 517 C) 519 D) 512 E) 520
RESOLUCIÓN
* nP(A) = 128 = 27 n(A) = 7
nP(B) = 32 = 25 n(B) = 5
nP(AB) = 8 = 23 n(AB) = 3
n(AB) = 7 + 5 3 = 9
nP(AB) = 29 = 512
* C = 5
3x 1 Z x3
5x
3
5x 3 1 3 1
3
(3x + 1) < 6
C = {1; 2; 3; 4; 5}
n(C) = 5
nP(AB) + n(C) = 517
RPTA.: B
343. Oscar compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. Los
mezcla en igual proporción. ¿Cuántos nuevos matices se
pueden obtener? A) 512 B) 246 C) 247
D) 503 E) 502
RESOLUCIÓN
# de colores = 9
# de nuevos matices= 29 1 9
= 512 10 = 502
RPTA.: E
344. El conjunto A tiene 200 subconjuntos no ternarios.
¿Cuántos subconjuntos quinarios tendrá?
A) 64 B) 56 C) 48 D) 21 E) 35
RESOLUCIÓN
Sea n(A) = x
x x
3
x
x
Subconjuntos2 C 200
no ternarios
x!2 200
3! x 3
x 2 x 1 x2 200
6
x 8
Luego :
#Subconjuntos 8 8!C
5! x 3!5Quinarios
8 x 7 x 656
6
RPTA.: B
345. Si el conjunto “C” tiene (P + 1)
elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; además:
n(A) = 4P + 2 ; n(B) = 3P + 6 y
n(AB) = 2P 2
Halle n(AB)
A) 14 B) 16 C) 18 D) 17 E) 20
RESOLUCIÓN
n(C) = P + 1
# subconjuntos2P 3
propios de C
P + 1
2P + 1 1 = 2P + 3
P = 2
Luego: n(A) = 4(2) + 2 = 10
n(B) = 3(2) + 6 = 12
n(AB) = 2
n (AB) = 18 RPTA.: C
346. Sean los conjuntos A E ; B E
y C E; E conjunto universal, tal
que:
E = {x Z+ / x < 10}
A = x E x 7
AB = {x E / x 9 x > 2}
BC = {3}
BC = {x E / x 7}
AC = A B C
Determinar n(A) + n(B) + n(C)
A) 9 B) 12 C) 10 D) 13 E) 11
RESOLUCIÓN E={xZ+/x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A x E / x 7 1,2,3,4,5,6
A = {7, 8, 9}
De:
A C A B C A B C
A B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11 RPTA.: E
347. Sean A, B y C tres conjuntos no
vacíos que cumplen las condiciones:
* A B B A
´
´ ´ ´
1028
A = 10 B = 12
. 1
. 2. 3
. 4
. 5
. 6. 7
. 8
. 9
CBA
´
* si x C x B
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
I) A y B son disjuntos
II) (A B) C
III) C (A B)
IV) C (A B) A) FVVF B) FFVV C) FFFF
D) VFVF E) FFFV
RESOLUCIÓN
A B B A
x C x B
Graficando las dos condiciones:
I) A y B son disjuntos (F)
II) (A B) C (F)
III) C (A B) (F)
IV) C (A B) (V)
RPTA.: E
348. Sean A y B dos conjuntos finitos
tales que:
* A B =
* n(B) = 2 . n(A) * B tiene 128 subconjuntos.
El número de subconjuntos de B excede al número de subconjuntos
propios de A en 993. ¿Cuántos subconjuntos propios
tiene A ?
A) 281 B) 210
1 C) 2111
D) 2121 E) 213
1
RESOLUCIÓN
Sean n(A) = x n(B) = 2x
# subconjuntos # subconjuntos993
de B propios de A
22x (2x1) = 993
2x(2x1) = 992 = 25 x 31
x = 5
Luego:
# subconjuntos de 7B 128 2
12#subconjuntos propios de A 2 1
RPTA.: D
349. Dados los conjuntos:
3x 5A x N / N
4
x 1 xB N / N
2 2
C x N /2x 25
Halle: n[(AB)C ]
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
* 3x 5
A x N / N4
3x 5 4N 5N x
4 3
N = 2; 5; 8 ......
X = 1; 5; 9 ......
´
´
C
B
A
2
5 10
B = 10A = 5
U
A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....}
* x 1 x
B N / N2 2
NATURAL
x 1 x 1No existe natural
2 2 2
B =
* C x N /2x 25
C = {13, 14, 15, 16, 17, .....}
n(AB) C A B (DIFERENCIA SIMÉTRICA)
n (A C ) = n(A C)
= n {1, 5, 9} = 3
RPTA.: B
350. Para los conjuntos A, B y C afirmamos:
I. Si A B C C B A
II. A A
III. A B A B
IV. Si A B B A
V. A B A B A
Son verdaderas: A) todas
B) solo II y III C) todas excepto V
D) solo II, III, IV y V E) solo I, II y V
RESOLUCIÓN
I. Si A B C C B A (V)
II. A A (V)
III. A B A B (V)
IV. Si A B B A (V)
V. A B A B A (V)
RPTA.: A
351. Si A y B son dos conjuntos finitos,
tal que, el número de subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2
elementos comunes; determine
n(AB)
A) 14 B) 13 C) 12
D) 11 E) 10
RESOLUCIÓN
320 = n(PA) + n (PB)
320 = 2n(A) + 2n(B) 320 = 26 + 28
Luego: n(A) = 6 n(B) = 8
n(AB) = 10 RPTA.: E
352. Sean A, B y C conjuntos no vacíos
diferentes dos a dos, tales que:
B A ; C B
A C
Al simplificar:
[B(C A)] [A (B C)] se
obtiene:
A) A B) B C) A B
D) A C E)
RESOLUCIÓN
B A ; C B ; A C
A B ; C B ; A C
Graficando y enumerando las regiones:
´ ´ ´ ´
´ ´
´ ´ ´ ´
´ ´ ´ ´
4 62
A B
2
BC
A
1
2 3
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´
´ ´ ´
´ ´ ´ ´
B C A A B C
[2] [1; 3] =
RPTA.: E
353. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar:
A B A B A B
A) A B B) A B
C) A B D) A B
E)
RESOLUCIÓN
Graficando los conjuntos A y B
A B A B A B
(A B) (BA)
1,2,3 2,3
1,2,3 1,4 1 A B
RPTA.: A
354. En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por:
I) [A(BC)] [C D]
II) (A B) (B C)
III) [(A D) C] [A (BC)]
A) solo I B) solo II C) solo I y II D) solo II y III
E) todos
RESOLUCIÓN
I) [A(BC)] [C D]
[{1,2,3} {2,6,5}] {7} = {1,3,7}: si
II) (A B) (B C)
{1,2,3,4,5,6,7} {2,5,6} = {1,3,4,7} no
III) [(A D) C] [A (BC)]
{1,2,5} {1,3} = {1} no
RPTA.: A
355. Dado 3 conjuntos A; B y C:
Si n(A) = m ; n(B) = m + r n(C) = m + 2r ; además:
n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896 Se sabe además que A, B y C son disjuntos.
Calcule n(A B C) A) 16 B) 22 C) 24
D) 32 E) 48
RESOLUCIÓN n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r
A B C
nP nP nP 896
2m + 2m+r + 2m+2r = 896
2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7
B
CD
A
´ ´ ´ ´ ´ ´
2 31
4
A B
´
´
B
CD
A
1 2 34
5
6
7
m = 7 r = 1
A B C
7 8 9
n(A B C) = 24 RPTA.: C
SEMANA 2
CONJUNTOS II
356. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se
observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que
leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos
revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A?
A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 40
RESOLUCIÓN
6x + 12x + 4x + 3x = 50 x = 2 n(A) = 18(2) = 36
RPTA.: D
357. A una ceremonia asistieron 24
señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían
casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera.
¿Cuántos varones con casaca no
llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28
señoritas no llevaron casaca? A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN
40 = 11 + 9 + 12 + x x = 8
RPTA.: A
358. De los residentes de un edificio se
ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no
trabajan. De los varones 32 trabajan o estudian y 21 no
trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan?
A) 32 B) 30 C) 28
D) 26 E) 34
RESOLUCIÓN
12x 4x6x
A = 18x B
3x
U = 50
12 1217 11Cor
bata
= 2
8Casaca = 40 Cartera = 24
16
9x
H = M =
U =
M
H
56
T(29)E 21
1212
1517
x
X = 56 – 24 X = 32
RPTA.: A
359. En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo,
Básquet y Fulbito. * Los que practican atletismo o
fulbito pero no básquet son 30. * Los que practican básquet o
fulbito pero no atletismo son 27. * Los que practican atletismo y
fulbito son 7.
* Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15.
* Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito
pero no atletismo. * 4 practican atletismo y básquet
pero no fulbito. * Los que practican básquet pero no
atletismo o fulbito son 4.
¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno?
A) 21 B) 17 C) 19 D) 2 E) 18
RESOLUCIÓN
50 = 15 + 8 + (7x) + x + 8 + x + 4 + 4 + 2
X = 50 48 = 2
solo 2 deportes o ninguno de los tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19
RPTA.: C
360. Dado los conjuntos A; B y C
contenidos en el universo de 98 elementos, tal que:
n(A B) = 21
n(B C) = 25
n(C A) = 32
3n (ABC) = n(ABC )
Hallar: A B C
A) 93 B) 95 C) 87 D) 77 E) 91
RESOLUCIÓN
Diagrama de Ven –Euler para visualizar:
Planteando tenemos:
98 = 4x + 21 + 25 + 32 20 = 4x 5 = x
´ ´
8 + x
44
BA
F
2
8x
7 - x
U = 50
15
A B
C
x
3x
98
Piden: A B C
U A B C 98 5 93
RPTA.: A
361. Usando las leyes del álgebra de conjuntos, simplificar:
A B B A B C
A) AC B) BC
C) U D) (A B)C
E) (A B)C
RESOLUCIÓN
[(AB)B] =
[(AB)C]C = (AB)C
C
{[(AB)B][(AB)C]}C
{}C = U RPTA.: C
362. En un condominio de 100
personas, 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios.
¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo
son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son
empresarios? A) 15 B) 10 C) 20
D) 24 E) 15
RESOLUCIÓN
Tomando por partes:
= 10
RPTA.: B
363. En una encuesta a los estudiantes
se determinó que: * 68 se portan bien
* 160 son habladores * 138 son inteligentes * 55 son habladores y se portan bien
* 48 se portan bien y son inteligentes * 120 son habladores e inteligentes * 40 son habladores, inteligentes y se
portan bien.
¿Cuántos estudiantes son inteligentes solamente?
A) 10 B) 20 C) 40 D) 12 E) 8
RESOLUCIÓN
´
15 55
30
45 30
25
70 10
20
70
30
15 45
CASADOS
TELÉFONO 75
25
CASADOS
Y
TELÉFONO
85 55
AUTO
80
20
70 30
CASADOS,
TELÉFONO Y AUTO
EMPRESARIOS
4080
2515
5
8
10
HABLADORES:
160
INTELIGENTES:
138
PORTAN
BIEN: 68
U =
Solo inteligentes = 10
RPTA.: A
364. Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley. Además 6 figuran en
los 3 deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total
de personas que practican exactamente un deporte, “y” es el total de personas que practican
exactamente 2 deportes, entonces
el valor de (xy) es:
A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 16
RESOLUCIÓN
a + b + c = y x : solo un deporte
Del universo:
44ab+b+17bc+32+10 = 78 a + b + c = 25 = y
También:
x + y + 6 + 10 = 78 x = 37
x y = 12 RPTA.: C
365. Dado el conjunto universal “U” y
los subconjuntos A, B y C; se tiene los siguientes datos:
n(U) = 44 n(BC) = 12
n(AC) = 14 n[(ABC ) ]=6
n(ABC) = 5 n(B) = 17
n(A) = 21 n(ABC ) =3
Hallar n(C)
A) 31 B) 27 C) 29 D) 26 E) 28
RESOLUCIÓN n(AB C ) =3
n[(AB)C] =3
21 + 2 + 7 + 6 + x = 44 x = 8
n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29
RPTA.: C
366. En un grupo de 80 estudiantes, se
encuentra que las cantidades que estudiaban las diversas lenguas
eran en número de 72, distribuidas de la siguiente manera:
´
´
´
a
c6
b
44 –
a –
b
17 – b – c
V = 23
B = 32F = 50
10
U = 78
4 3 2
9
5
7
x C
B = 17A = 21
6
U = 44
´
* Alemán solamente 25 * Español solamente 12
* Francés pero no alemán ni español, 15
* Alemán y francés 10
* Alemán y español 8
Además los que estudiaban español y francés eran tantos como los que estudiaban alemán y
español. Determinar cuántos estudiaban 2 lenguas solamente o
estudiaban las 3 lenguas.
A) 14 B) 20 C) 12 D) 8 E) 18
RESOLUCIÓN
Dos lenguas solamente ó tres
lenguas
= (80) (25 + 15 + 12 + 8)
= 20 RPTA.: B
367. En una encuesta realizada a 100 trabajadores de una fábrica se
obtuvo la siguiente información: todos los hombres tenían más de
20 años, 25 de las mujeres eran casadas mientras que 15 de los trabajadores casados tenían más de
20 años y 10 de las mujeres casadas tenían más de 20 años. Si
hay 60 que tienen más de 20 años, hallar la diferencia entre el número
de trabajadores con menos de 20 años y el número de mujeres
solteras con menos de 20 años. A) 5 B) 10 C) 15
D) 18 E) 8
RESOLUCIÓN
A: personas con más de 20 años B: hombres C: casados
Por datos:
x + y = 25 x + z = 15
x = 10
y = 15 z = 5
* Trabajadores con menos de 20
años: 15 + 25 = 40
* Mujeres solteras con menos de 20 años = 25
40 25 = 15 RPTA.: C
368. ¿Qué operación representa el gráfico?
A) [(AC)(BC)] C
B) [(AB)(BA)]C
C
BA
25 8 - x 12
10 - x
x
15
F
EA
8
U = 80
8 - x
y
C
B
A(60)
a b z x
25
U(100)
C) C (AB)
D) (CA) (CB)
E) A B C
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
369. En un colegio hay 35 niños. Cada uno de ellos tiene una bandera que
puede ser monócroma, bicolor o tricolor, habiéndose usado únicamente 3 colores: rojo, amarillo
y azul. El número de banderas bicolor es el doble del número de
banderas monocromas, mientras que el número de banderas que tienen el color rojo es igual al
número de banderas que tienen el color azul e igual al número de
banderas que tienen el color amarillo. Si sólo 8 niños tienen
banderas tricolor y dos alumnos
banderas color amarillo. ¿Cuántas banderas bicolor rojo – azul hay?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 10
RESOLUCIÓN
Datos: a + b + x + y + z = 25 ......(1)
x + y + z = 2(a + b + c) ....(2) (2) en (1) a + b + 2 (a + b + 2) = 25
3(a + b) = 21 a + b = 7
Dato: a + x + y = y + z + b = x + z + c
a + 18 z = 18 x + b = 18y+ c De donde:
a = z y + c
b = x y + c
Sumando: 7 = x + z 2y + 4
7 = 18 y 2y + 4
3y = 15 y = 5
RPTA.: C
370. A cuántas personas le gusta 2 cursos solamente si la cantidad de
personas que le gusta aritmética pero no álgebra ni física es el doble
de los que les gusta álgebra, pero no aritmética ni física y además a los que les gusta física pero no
aritmética ni álgebra es el triple de los que les gusta álgebra pero no
aritmética ni física y a los que les gusta los 3 cursos es la cuarta parte de los que les gusta aritmética pero
no álgebra ni física, si a 24 personas le gusta solamente un
curso y además el total de personas que gusta de al menos un curso es 36.
A) 5 B) 8 C) 12
D) 4 E) 10
RESOLUCIÓN
A: aritmética X: álgebra
F: física
´
a y b
z8
x
c = 2
Amarilo
AzulRojo
U = 35
A
4y n 2y
py
m
6y
F
x
Datos:
A (xF) = 2[x (AF)]
F (Ax) = 3[x(AF)]
1
A x F A x F4
AxF = y Por dato: 4y + 2y + 6y = 24
12y = 24 y = 2
13y + m + n + p = 36 .... dato 13 x 2 + m + n + p = 36
m + n + p = 10 RPTA.: E
371. A, B y C son conjuntos contenidos en un mismo universo, simplifique la siguiente expresión:
E = {{[(A B) (A B )] (A B )}
(C A)} {((A C) (A C)}
A) AC B) B C) A
D) AC E) C
RESOLUCIÓN
E={{[(AB)(ABC)](ABC)}(CA)} (AC) A(B(ABC)...............................
A(BA)
(AB) (ABC)
[(AB)A] [(AB)BC]
A (ABC)
A (CAC)
(AC) (AC)
(AC)
RPTA.: A
372. De 60 personas se sabe:
* 6 hombres tienen 20 años * 18 hombres no tienen 21 años
* 22 hombres no tienen 20 años * Tantas mujeres tienen 20 años
como hombres tienen 21 años. ¿Cuántas mujeres no tienen 20
años?
A) 18 B) 20 C) 24 D) 22 E) 28
RESOLUCIÓN
= 22 RPTA.: E
373. De un grupo de personas se sabe lo siguiente:
* Algunos provincianos son casados.
* Todos los profesores no son
provincianos.
* Ninguno de los que tienen hijos es
profesor
* Todos los casados tienen hijos
* 9 personas no son provincianas, ni
casadas, pero tienen hijos.
* Hay 12 profesores y son tantos como
el número de casados
* De los 25 provincianos, 15 tienen
hijos.
* 5 casados no son limeños
* 10 limeños no son profesores ni
tienen hijos.
¿Cuántas personas conforman el
grupo y cuántos no tienen hijos, ni son profesores?
´ ´ 6
x = 10
x = 10
H M
60 28 32
21+
21
20
20 -
A) 63 y 20 B) 57 y 10 C) 59 y 23 D) 64 y 9
E) 63 y 22
RESOLUCIÓN
Total = 63
No tienen hijos ni son profesores = 20
RPTA.: A
374. En una academia de 100 alumnos, se rindieron 3 simulacros con los siguientes resultados: 40
aprobaron el primero; 39 el segundo; y 48 el tercero. 10
aprobaron 3 simulacros. 21 ninguno; 9 los dos primeros, pero no el tercero; 19 el tercero, pero
no los dos primeros. ¿Cuántos aprobaron por los menos
dos exámenes? A) 19 B) 38 C) 24
D) 27 E) 29
RESOLUCIÓN
x + y + 10 + 19 = 48 x + y + 19 = 38
RPTA.: B
375. En una ciudad el 60% de los habitantes comen pescado; el 50% come carne; el 40% de los
que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje de los
habitantes no comen pescado ni comen carne?
A) 15% B) 23% C) 20% D) 10% E) 30%
RESOLUCIÓN
40
50% 20%100
60% + 30% + x = 100% X = 10%
RPTA.: D
SEMANA 3:
NUMERACIÓN I
376. Calcule “a” si:
7 .
9
pa n 2c 1 aa
3
Además
n
p
c5p7 4c3
2
7
5
9
10 10
12
10
LIMA
PROVINCIA
HIJOS HIJOS HIJOS
= 25
CASADOS SOLTEROS
9
yx
19
P = 40 S = 39
T = 48
U = 100
21
10
P = 60% C = 50%
x
U = 100%
40% 20% 30%
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
n p 9 7
c p5p7 4c3 ; a n 2c 1 aa
2 3
n 7 p 4 n 9 c 3
C= par p 3ó6
n = 8 ; p 6 ; c 2
Luego:
9 7a28 5aa
81a 2 9 8 245 7a a
81a 26 245 8a
73.a 219 a 3
RPTA.: B
377. ¿Cuántos valores puede tomar “k”
en
n
n
k0,125
kk ?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
n
n
k 10,125
kk 8
Descomponiendo
k 1 k
kn k 8
k(1 n)
1
8
1 1n 1 8
n 1 8
n 7
Pero k n 7
k 1;2;3;4;5;6
K puede tomar 6 valores
RPTA.: C 378. Si:
7n 5
n n 1 n 2 n 3 n 4 abcd
Halle: a b c d
A) 10 B) 12 C) 13 D) 11 E) 14
RESOLUCIÓN
(7)(n 5)n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) abcd
n 5 7
n 1
(6) 712345 abcd
1 2 3 4 5
6 6 48 306 1860
1 8 51 310 1865
a=5
771865 5303 abcd b=3
C=0
D=3
a + b + c + d = 11
RPTA.: B
379. Halle m n p , si n n 1110 ,81
y
(n 1)1mp son números consecutivos.
A) 15 B) 14 C) 13
D) 12 E) 11
RESOLUCIÓN
n 1n n 1
110 ;81 ;1mp
Por dato: n n 1110 1 81
2n n 1 8 n 1 1
2n 7n 8 0 n 8 n 1 0
n - 8 n=8
n 1
78 9
110 ;81 ;1mp
72 ; 73 ; 74
74 7 4 10 7
3 1
7 71mp 134 m 3;p 4;n 8
m n p 15
RPTA.: A
380. Sabiendo que : n 9a7b aoc ;
además n 5 .6d6 mbmb Halle el
valor de (m + b + d).
A) 2 B) 4 C) 3
D) 6 E) 8
RESOLUCIÓN
n 9a7b aoc
7 n 9 n 8
También por dato:
8 56d6 mbmb
2 2
56 8 d 8 6 mb .5 5mb
390 8d 26 mb 5
5195 4d 13.mb
0 15
5 5d 0 mb 15 30
m = 3; b = 0
3dbm
RPTA.: C
381. Calcule el valor de “n” si “m” es máximo en:
...1818 n
18.18 123
“m” veces
A) 8 B) 9 C) 11 D) 14 E) 10
RESOLUCIÓN Propiedad tenemos:
...1818 n
18.18 n 8 m 123
Pensando:
m 14 (mayor valor)
n 8 14 123
n 123 112
n 11
RPTA.: C
382. Si:
9 3
a b 1 c 2 c b 1 10 xy 12
Calcule: a b c x y
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
RESOLUCIÓN
Caso Especial: 2b b
9 3
a b 1 c 2 c b 1 /10 /xy /12
9 9
a b 1 c 2 c b 1 3 3x y 5
Igualando:
* c = 5
* b 1 3;b 2
* a b 1;a 1
*c 2 3x y
5 2 3x y
“m” es máximo
n > 8 “m” veces
7 3x y ; x = 2 y = 1
Pide: a b c x y 11
RPTA.: C
383. En la siguiente expresión:
m 8nM 4n6 54 3mn
Halle M.
A) 42 B) 532 C) 24
D) 220 E) 44
RESOLUCIÓN
Analizando:
n54 5n
mn64 6m
nm
83mn 85 mn
7m y 6n
7 6 8
M 466 54 376
M 244 34 254
M = 24
RPTA.: C
384. Si se cumple que:
ab naa 29abca 17a
Calcule el valor de “n”
A)3 B)4 C)6 D)9 E)5
RESOLUCIÓN
ab naa 29abca 17a x 29
cambio de variable
x 29 x 29abca 17a abc .x a 17 .29 a
xabc .x 36.29
Si
9138116abc9x 9
a=1 ; b=3; c=8
Luego:
13 n
x 11 9
n 1 3 9 n 5
RPTA.: E
385. Halle a b c m n , sabiendo
que: n maba bcn
Sabiendo que: m < 9 y b > 4
A) 27 B)3 C)-5
D) -3 E)5
RESOLUCIÓN
mnab4 (Ordenando)
87654
Luego: 87 517656
a b c m n 6 5 1 7 3
3
RPTA.: D
386. Calcule la suma de las dos últimas
cifras del numeral: n
16 12 13 8 ,
al expresarlo en el sistema de
base 1n .
A) 6 B) 7 C) 5
D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN
n8131216N Base 1n
x
nn
n n
n n nn
nn
nn
n n
n n
n
16 12 13 8 n 1 11
11 1576 11
5 12 11 143 11
5 5 47
7 13 44
7 7 36
68 33
66 3
2
(n 1)N ...32
de las 2 últimas cifras = 5
RPTA.: C
387. Si se cumple:
x
2m 1
9 6 12abcd
m m m
Calcule a b c d m x
A) 8 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15
RESOLUCIÓN
x
1m2
abcdm
12
m
6
m
9
“m” divide a 9; 6 y 12 por tanto m = 3
Reemplazando.
x5 abcd324 a mayor valor
aparente menor base x 5
Se verifica para: x = 4
Por descomposición:
8945253324 5
5
Por división a base 4:
89 4 1 22 4 2 5 4
1 1
x45 abcd1121324
4x;1d;2c;1b;1a
3m
12mxdcba
RPTA.: C
388. Calcule : a n m
Si: n m120a 64a 2553
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 19
RESOLUCIÓN
mn 2553a64a120
6401200 n
n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2)
)28(8)2n(n2n 223
n 8
8 m
64a 120a 2553 ;m 5
m 8
6m
3
62553 2 6 5 6² 5 6 3 645 64a
a 5
a m n 5 6 8 19
RPTA.: E
389. Halle “x” en:
Números
equivalentes
n 7abx ccn , si: 2c y ab
A)0 B) 2 C) 3
D)5 E) 6
RESOLUCIÓN
n 7abx ccn ...(I) ; C 2 ; b a
7n
2 c a b n 7 c 3
a 4
b 5
n 6
Luego en I
6 7
45x 336 174
6 645x 450 x 0
RPTA.:A
390. Si se cumple que:
(2n) numerales
n
14 10 1
15 11
14 12
15 13
1 n 1
¿Cuántas cifras tendrá el menor numeral de la base “n”, cuya suma de cifras sea 210, cuando se
exprese en la base 2n ?
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 5
RESOLUCIÓN
Aplicando propiedad.
1)1n(...3210n5).1n()4(n15
2
)1(99
nnn
18n2
)1n(nn19
En base 3241822 n
Número 18324
210 02 01 00
Número de cifras =5
RPTA.:E
391. Halle knba en la siguiente
expresión:
k n9ab 213312 ; donde
2nk
A) 18 B) 24 C) 28 D) 41 E) 37
RESOLUCIÓN
Luego: knkn 2
nn 213312ab9 2
Transformando de base (n) a base 2n
n21 33 12
2n
9 a b
n
4
4
21 9 n 4 ; k 16
33 a a 15
12 b b 6
41knba RPTA.: D
392. El mayor número de 3 cifras diferentes de la base n, se escribe
en base 8 como 4205. Halle n.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
RESOLUCIÓN
Sea: nabc el mayor cba
77
7
7
7
7
1 000 000
142 85720 408
2 915
416
59
8
1
(1)
(1)
7
(3)
(3)
(3)
(3)(1)
n 8n
abc n 1 n 2 n 3 4205
pasando a base 10.
218158082843nn).2n(n.1n 232
2184nn3
2184)1n(n 2
2184)1n)(1n(n
1413121nn1n
13n
RPTA.: D
393. Se desea repartir S/. 1000000 entre
un cierto número de personas, de
tal modo que lo que les corresponda
sea:
S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;…
y que no más de 6 personas reciban
la misma suma. ¿Cuántas personas
se beneficiaron?
A) 16 B) 15 C) 14
D) 13 E) 12
RESOLUCIÓN Transformando a base 7:
7311333110000001
Número de personas:
1611333311
16N
RPTA.: A
394. Si se cumple:
2 8a10b11b 15c
Halle: cba
A)6 B) 7 C)5 D)9 E) 10
RESOLUCIÓN
2
a 10b 11b = 8c15
8)b6)(b4(a = 8c15
1a*
1b;5b4*
7c;cb6*
9cba*
RPTA.: D
395. Si se cumple: n 7ab ba
Halle la suma de cifras de n ; si es
el máximo valor posible.
A) 37 B) 13 C) 11
D) 21 E) 10
RESOLUCIÓN
Descomponiendo:
ab7ban
1a
b6n
7by7a
6b;1a
37n 1073
RPTA.: D
SEMANA 4
NUMERACIÓN II
396. Si el término ab avo de la
siguiente serie aritmética es ba .
Calcule “a +b” si: 30;…;48;51…
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
RESOLUCIÓN
30;…;48;51…
Razón: 3. Término 1: 30
Término n: 11
nttn razón
baabtab
3130
Descomponiendo:
30+3xab -3=ba
30+3(10a+b)-3=10b+a
27+29 x a = 7 x b
1 8
a=1; b=8
a+b=9 RPTA.: D
397. Dada la siguiente progresión
aritmética:
aa0;ab(a 2);a(b 1) 3b ;..... 3a 05
“n” términos Halle: a+b+n
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
RESOLUCIÓN “n” términos
0533120 a;.....b)b(a;)a(ab;aa
)a(ab)b)(b(aaa)a(abr 23102
r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2
r =10b-9a+2=3b-a+8
7b = 8a+6 r = 13
2 1
n= 16113
110305
a + b + n=19 RPTA.: E
398. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética:
x x x x233 ;242 ;301 ;........;1034
A) 26 B) 17 C) 20 D) 19 E) 22
RESOLUCIÓN Cálculo de la razón R:
xxxx 242301233242
Descomponiendo polinómicamente
2 22x 4x 2 2x 3x 3
2 23x 1 2x 4x 2
x = 5 R = x - 1 R = 4
5 5 5 5233 ;242 ;301 ;.........;1034
+ 4 + 4
5 51034 233n 1
4
n = 20 RPTA.: C
399. En la numeración de las páginas impares de un libro se han
empleado 440 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas puede tener el libro?
A) 165 B) 330 C) 320 D) 145 E) 325
RESOLUCIÓN
Suponiendo la última página con
numeración PAR. Cantidad de cifras de las páginas
impares:
1, 3, 5, 7, 9,
5#s 5 x 1 = 5 cifras
11, 13, 15, 17,……., 97, 99
45#s 45x2=90cifras
101, 103, 105, 107,……….
440-(5+90) = 345 cifras
Se han utilizado 345 cifras para
escribir números de3 cifras:
3 cifras = 1153
345
números de 3 cifras
Total de páginas impares = 5+45+115=165 páginas.
Total de páginas =330 RPTA.: B
400. Al escribir la secuencia adjunta que tiene 113 términos. ¿cuantas cifras en total se han utilizado?
67 70 73 7666 ,69 ;72 ;75 ;...........
A) 664 B) 665 C) 620
D) 653 E) 655
RESOLUCIÓN
abc 1
67 70 97 100 10366 ,69 ;...96 ;99 ;102 ...abc
11#s 1# 101#s
11 x 4 1 x 5 101.6
RPTA.: E
401. Las 72 primeras páginas de un libro
utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeración que las utilizadas por las 72 últimas ¿Cuántas páginas
tiene el libro?
A) 159 B) 157 C) 148
D) 195 E) 185
RESOLUCIÓN
La numeración de las páginas
será: 1, 2, 3, 4,……., 71, 72,……..,
“x” Cifras utilizadas
N........,n,n,n 707172
“(x+69)” cifras utilizadas
(La cantidad de cifras del 1 al 72) = (72+1)2-11=135
La cantidad de cifras utilizadas en
las 72 últimas páginas será:
135+69=204
Entonces si al total de cifras desde
1ª “N”, le quitamos el total de cifras utilizadas desde 1 hasta (N-72) es igual a 204.
Asumiendo para N=3
N 1 3 111 N 72 1 2 11 204
N=159
RPTA.: A
402. En la siguiente serie, halle el
término que ocupa el lugar ante penúltimo.
3, 9, 17, 27,……., 699 A) 559 B) 597 C) 647
D) 649 E) 585
RESOLUCIÓN
tn = 2
112
211 r.
nnr.nt
En el problema
2
2
23613699
2
.nn
.ntn
2700 n 3n n 25
23
22.21t 3 22.6 .2 597
2
RPTA.:B
403. ¿Cuántos números de la forma:
a a 1 b b 2 c c /2 d
existen?
A) 960 B) 2160 C) 3200 D) 3600 E) 2400
RESOLUCIÓN
d/ccbbaaN 221
1 2 0 0
2 3 2 1 3 4 4 2 . . 6 .
. . 8 .
. . .
. . . 7 . . 8 9 9
C#s= 8 x 8 x 5 x 10 =3200
d= 0; 1; 4; 9; 16;…..;28 ;
29 RPTA.: C
404. En que sistema de numeración existen 136 números de las formas:
Kbbaa
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
RESOLUCIÓN
a+b= k-1 (máximo)
a=1; b=0; 1; 2; 3…;k-2 k-1
a=2; b=0; 1; 2; .…;k-3 k-2
a=3; b=0; 1; 2; .…;k-4 k-3 . .
. . . .
a=k-2; b=0,12
a=k-1; b=0 1
#s = k 1 k
1362
k 1 k 8 17 2
k=17 RPTA.: B
405. ¿Cuántos números de tres cifras
existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar?
A) 500 B) 625 C) 675 D) 635 E) 600
RESOLUCIÓN
Sabemos:
cba
9x10x10=900 números de 3 cifras
Para hallar los números de3 cifras que tengan al menos 1 cifra impar y 1 cifra par, al total de números
de 3 cifras se le debe restar los números de 3 cifras pares e
impares luego:
# de 3 cifras pares
a b c 2 0 0
4 2 2 6 4 4 8 6 6
8 8 4 x 5 x 5 = 100#s
# de 3 cifras impares
a b c
1 1 1 3 3 3
5 5 7 7 7 5 9 9 9
5 x 5 x 5 = 125 #s
Entonces: 900-(100+125)675 #s RPTA.: C
406. ¿Cuántos números capicúas existe entre 800 y 80000?
A) 900 B) 800 C) 700 D) 750 E) 810
RESOLUCIÓN
800 < ”capicúas”< 80000 Capicúas
aba ; abba ;
8 0 1 0
9 1 2 1 2 3 2
. . . . . . . . .
9 9 9 2x10 = 20 9x10=90
a b cba
1 0 0 2 1 1 1 2 2
. . . . . .
. . . 7 9 9 7x10x10=700
C#s Capicúas= 20+90+700=810 RPTA.: B
407. ¿Cuántos números de 10 cifras hay
en base 16 tal que el producto de sus cifras sea 30?
A) 990 B) 800 C) 720 D) 500 E) 600
RESOLUCIÓN Casos: I II
Producto de =30= 2x3x5 = 5x6
cifras III IV
=15 x 2 =10 x 3 Caso I : 10x9x8 = 720#s
Caso II : 10x9 = 90#s
Caso III : 10x9 = 90#s Caso IV : 10x9 = 90#s
Total = 990#s RPTA.: A
408. ¿En que sistema de numeración hay 66 números capicúas de 5 cifras, que exactamente tenga 2 veces la
cifra 2 en su escritura? A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
Nro capicúa: abcba
Tenga 2 cifras “2”
En su escritura:
x2 b c b 2 xa 2 c 2 a
0 0 1 0 1 1 3 1
3 3 . 3
. . . . . . . .
. . . .
1
1
1
1
x
x
x
x
1
1
2
1
x
x
x
x
2
x 1 x 2 x 1 66
x 1 x 1 x 2 66 6 11
x 1 2x 3 7 1 2 7 3
x 7
RPTA.: C
409. Se escriben en forma consecutiva los números enteros positivo uno a
continuación del otro hasta emplear 2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que ocupa el último lugar?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN 2226 cifras
1,2,…9; 10,11,….99,100,……U
9 #s 90 #s
Cifras: 9x1 90x2 2037 cifras 2037 3
679 # s de 3 cifras
679 U 100 1 U 778
Última cifra =8 RPTA.: D
410. Un libro se empieza a enumerar desde una primera página y se observa que 58 números comienzan
con la cifra 7. ¿Cuántos números escritos terminan con la cifra 7?
A) 76 B) 67 C) 70 D) 74 E) 73
RESOLUCIÓN
La numeración de las páginas que comienzan con la cifra 7 será:
1,2,3,….,7,…..,70,71,…,78,79…,
1#s 10#s
700,701,702,..,746
47#s
El libro tiene 746 páginas La secuencia de las páginas que
terminan con la cifra 7 será:
7,17,27,37,47,…….,717,727,737
Total de números que terminan en
la cifra 7:
Total=737 7
1 7410
Total= 74 números RPTA.: D
411. Se han arrancado las 50 últimas
hojas de un libro, notándose que el
número de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos
de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron.
A) 2 661 B) 2 771 C) 2 769
D) 2 772 E) 2 774
RESOLUCIÓN
En total de páginas =100 Si las 100 páginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltarían
en total 400 tipos de imprenta, pero sólo faltan 361, esto indica
que algunas páginas son de 3 cifras.
Si cada página de 4 cifras
reemplazamos por una de 3 cifras, la cantidad de tipos disminuye en 1.
Cantidad de páginas de 3 cifras =
400 -361 =39 La última página de 3 cifras es la
999 La última página de 3 cifras que
quedaron es =999-39=960 Cantidad de tipos=3(960+1)-
111=2 772 Total de tipos = 2 772
RPTA.: D
412. Si de los números del 1 a 1000,
no se marca ni un solo número que contenga la cifra 4 ó la cifra 7
¿Cuántos números se marcan? A) 506 B) 510 C) 511
D) 512 E) 515
RESOLUCIÓN
Sin 4 ó 7 del 1 al 1000, por análisis combinatorio tenemos:
* De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s
* De 2 cifras: ba
7 x 8 = 56 #s
* De 3 cifras: cba
7 x8x 8=448 #s
* De 4 cifras: (1000) 1#
Luego : 7 +56 +448+1 =512#s
RPTA.: D
413. Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas
páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas
cifras tendría si se enumerara en el sistema octal?
A) 3555 B) 4005 C) 3750 D) 4125 E) 4325
RESOLUCIÓN
x números de 3 cifras
x+y=40 x=5
y números de 4 cifras
3x+4y=155 y= 35
Última página =1034 = 82012
# cifras = 884 2013 1111 3555
RPTA.: A
414. Sea la P.A.:
4a6;.....;68b;6c b 2 ;70d
donde el término del trigésimo
lugar de la P.A. es b68 .
Halle (a + b + c + d).
A) 26 B) 24 C) 30 D) 25 E) 13
RESOLUCIÓN
4ab;.......;68b;6c b a ;70d
r=8; c=9
30t 68b 4a6 29. 8
680 406 10a 232
42 b 10.a d 4
8 5 a+b+c+d+=26
RPTA.: A
415. Halle la diferencia de las bases de
2 sistemas de numeración; si uno tiene 56 números capicúas de 3
cifras más que el otro, y que la suma de dichas bases es 15.
A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN
waba
Nros capicúas:
zxyx
Además: w+z=15
Método combinatorio:
aba (w)
1 0 2 1
3 2 . 3
. . . .
. .
w
w
.w
w 1
1
1
zx y x
1 0 2 1
3 2 .
. . . . . .
z
z
.z
z 1
1
1
Por dato:
5622 zzww
5622 wzzw
561 zwzw
14
414
56 zw
RPTA.: B
416. Una persona empieza a numerar las
páginas de un libro desde el número 4000, se detiene en el número que representa la cantidad
de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del último número.
A) 12 B) 13 C) 11 D) 14 E) 15
RESOLUCIÓN
Sucesión será: 4000;4001;4002………….…;N
“N” tipos de imprenta
Planteando el enunciado: (Cantidad de números) x 4 =N
NN 39994
3N= 4x 3999 N= 4(1333) =5332 N=5332
Suma de cifras: 5+3+3+2=13
RPTA.: B
417. Al enumerar las páginas de un libro
en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras
del numeral correspondiente a la última página.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
1;2;...6; 710 ;…; 766 ;
6 números 760 números
7100 … 7666 71000 .. 7abcd
7600 números x números
6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras +x.4 =996
4x=996-972 4x=24
x=6 números
7 7abcd 1005
1 + 0+ 0+ 5=6 RPTA.: C
SEMANA 5
ADICIÓN - SUSTRACCIÓN
418. Si :
a0ca 8abc b7c8 ccab 24022
Halle: 2a b c
A) 270 B) 256 C) 320 D) 245 E) 325
RESOLUCIÓN
Si:
a ca abc b c ccab 0 0 0
24022 - 8000 -708=15314.
Entonces: a + b + c =14
(único valor que cumple) * 1+(a+ b+ c)+c =.........1
15 + c=..........1 c = 6
* 2 + a + c = ...........3
8 + a = ...........3 a = 5
* 1+ a + b + c = 15
1 + 5 + b +6 = 15 b=3
2 2a b c 5 3 6 270
RPTA.: A
419. Halle : ;cba si n + x =16 y
x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4
A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 19
RESOLUCIÓN
n + x = 16 ; (n 1) . x = ... 4
n = 10
x = 6 SEMANA 6
MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN
420. Si al multiplicando y multiplicador se le disminuye en 2 y 4
respectivamente, el producto disminuye en 198. Halle la suma
de los factores de dicha multiplicación si su diferencia es 8.
A) 63 B) 65 C) 67
D) 66 E) 69
RESOLUCIÓN M x m = P
(M-2)(m-4) =P-198
M m -4M-2m+8= P-198
206 =4M + m x 2
103=2M + m 8= M-m
111 = 3M; M = 37 m = 29
M + m = 66 RPTA.: D
421. Si 7 7 7abcd 2222 ...3125
Halle el número de divisiones de
dividendo d
cab
y residuo ab
A) 1 B) 2 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
7 7 7abcd .2222 ...3125
Multiplicando por 3.
7 7 7abcd .2222 ...3125 ;
Expresando:
7 76666 10000 1
7 7 7 7 7abcd 10000 1 abcd0000 abcd ...2411
entonces a=4 b=2 c=5 d=6 luego 354 = divisor. cociente + 42 312= divisor. Cociente
además divisor >42
divisor =52,104,78,156,312
hay 5 divisiones (tabla de divisores)
RPTA.: D
422. Calcular la cantidad total de
números enteros los cuales al ser divididos entre 31, producen un resto triple que el cociente
corresponde.
A) 13 B) 4 C) 10 D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN Sea “N” uno de dichos números: N= 31q + 3q
N= 34q Además, sabemos: resto < divisor q 3 31
q 31 /3 q 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Cantidad de valores =10 RPTA.: C
423. Si multiplicamos al número
abc por n0n (0 = cero)
observamos que el producto
total es **435 (cada asterisco representa una cifra). Dar
como respuesta a + b + c; si además; a<9. A) 17 B) 16 C) 15
D) 14 E) 13
+ +
dca
b
Divisor
Cociente ab
RESOLUCIÓN
n = 5 c = 7 b = 8
a = 1
a + b + c = 16
RPTA.: B
424. Si en una división, el residuo por
exceso, residuo por defecto, divisor y cociente son números
pares consecutivos. ¿Cuál es el valor del dividendo?
A) 25 B) 52 C) 48 D) 60 E) 56
RESOLUCIÓN Al ser pares consecutivos,
entonces cada uno es igual al anterior incrementado en 2
unidades.
ER N ; DR N : 2 d N 4 N;
q N 6
Sabemos que:
E DR R d
N 2 N N 4 N=2
ER 2 ; DR 4; d 6 ; q=8
D = 6 8 + 4 = 52 RPTA.: B
425. Si:
abc x 47 ...576 y CA aa x
CA ab CA xyzw . Calcule lo
que le falta a xyz para que sea un
número cuadrado (el menor posible).
A) 36 B) 134 C) 34 D) 68 E) 45
RESOLUCIÓN
o
c c 7 10 6 8
o
b b 7 5 10 5 0
o
a a 7 10 2 6
CA aa CA ab CA xyzw
CA CA CA xyzw 66 60
CA xyzw 34 40
CA xyzw1360
x x 1 9 8
x y 3 9 6
z z 6 10 4
0
xyz 864
Falta = 900-864 = 36 RPTA.: A
426. Calcule el producto total de la siguiente multiplicación:
66 321 aaaa
Si la diferencia de sus productos parciales es 29.
A) 6
1033 B) 6
1003 C)
62002
D) 6
2003 E) 6
2100
abc
non
.
. .
935
935
435
abc
47
...256
...32
...576
RESOLUCIÓN
x
a a 6
2 3 a < 3
a a 6
1
Productos parciales:
6 6
a 1 a 2 a 3
6 6a a 2 a 3
66
a 2 a 3 29 45
a 2
Reemplazando: 6
45
623
6223
6134
2003(6)
Producto: 2003(6)
RPTA.: D
427. Si:
1245124512....(n) n
n 1 n 1 ... n 1
38 cifras
n...abcde5
Calcule el producto de cifras del
numeral nabcn 1 expresado en
base 12.
A) 72 B) 148 C) 321
D) 254 E) 392
RESOLUCIÓN Como tiene 38 cifras termina en
12.
...124512(n) n
... n 1 n 1
= n...abcde5 ; n 5
º
2 n 1 n 5
2n2 = n+5
n = 7
Reemplazando:
...124512(7)
......6666(7) ...120305(7)
...120305(7) ...120305 ...120305
...120305 ...120305
...............542155
7 7
8 8
12
abcde5 542155
abcn 5427 2839
2839 1787
1 7 8 7 392
RPTA.: E
428. Se obtienen 4 residuos máximos
al dividir abcde por 43. Halle:
(a+b+c+d+e)
A) 51 B) 45 C) 40 D) 39 E) 42
RESOLUCIÓN
ab r ;r 43 42 1
a=8
ab 85
b=5
42c 43(p) 42;p 9
abcde 43
rpqz- -
c42- - -
d42- - -
- - e42
42
42c 429 c 9
42d 43 q 42, q 9
42d 429 d 9
42e 43 z 42 z 9
42e 429; e 9
a + b + c + d + e =40 RPTA.: C
429. Es una división el residuo por
exceso es 3
1 del divisor. El menor
número que se debe sumar al dividendo para aumentar en 2 al
cociente es 52. Al triplicar al dividendo, el cociente aumenta
en 36. Halle la suma de las cifras del dividendo.
A) 15 B) 17 C) 20 D) 23 E) 24
RESOLUCIÓN
er d r d 1 2
3 3
Luego:
D dq d 2
3
*
D d q 52 2
dq52 d dq 2
3d 2
d d r 4
52 39 263
*
3q 2 q 36
q = 17 D= 39 x 17 + 26 = 689
cifras de D = 23 (6 + 8 + 9)
RPTA.: D
430. En una división inexacta por defecto, el divisor y el residuo son
34 y 14 respectivamente, si al divisor se le agrega 5 unidades entonces el cociente disminuye en
2 unidades. Halle el nuevo residuo sabiendo que es el menor posible.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
34q + 14 = 39q – 78 + r 92 =5q + r
q=18 r=2; Residuo = 2 RPTA.: B
431. En una división entera inexacta la suma de los 4 términos es 744, el
mínimo valor que se debe quitar al dividendo para que el cociente
disminuye en 1 es 49, y el máximo valor que se debe agregar al dividendo para el
D d
qd2
3
D + 52 d
q +20
3D 39
3q +23x26
0
D 34
q14
D q 34 14
D 39
q-2r
D (q ) r 39 2
cociente aumente en 1 es 67. Halle el dividendo.
A) 608 B) 622 C) 618 D) 628 E) 632
RESOLUCIÓN
116 = 2d d = 58
En (1) 58q + r + 58 + q + r = 744 59q + 2r = 686
10 48
D=58 x 10 +48 = 628 RPTA.: D
432. Sea “N” un número que tiene
entre 49 y 57 cifras que
multiplicando por 91 se obtiene un
número formado por un 1, un 3,
etc. Halle la suma de cifras de
dicho número
A) 168 B) 156 C) 96
D) 108 E) 86
RESOLUCIÓN N.91 = 1313…
Luego deben ser: 4 +6 .8 =52 cifras.
cifras = 9x12 =108
RPTA.: D
433. Halle la suma de cifras del menor
número que multiplicando con 14
de un número formado por puras
cifras 3 y en las unidades un 0.
A) 17 B) 19 C) 26
D) 27 E) 31
RESOLUCIÓN N. 14 =33…30
RPTA.: D
434. Se tiene 943 número
consecutivos, si se divide el
menor de ellos entre 78 se
obtiene 29 de residuo ¿que
residuo se obtiene al dividir el
mayor entre este divisor?
A) 49 B) 25 C) 38
D) 29 E) 35
RESOLUCIÓN 943 números consecutivos: n+1,
n+2…, n+943
D d
qrD d q r ...(I) 744
D - 49 d
q-1d -1D d(q ) (d ) 49 1 1
D+67 d
q+1d -1D d(q ) (d ) 67 1 1
131313...
91
403
364
391
364
273
273- - -
91
N=1443 001443...001443
4 cifs 6 cifs 6 cifs
28
53
42
113
112
133
126
70
14
N=238095
Cifras =27
70- -
333…….
n+1 78
k29n k ... 1 78 29 1
n+943 78
hRn 943 78h R... 2
942 78
126... 942 78 12 6 3
+ n k 943 78 12 35
Comparando y ; h=k+12 R =35
RPTA.: E
435. Si se divide nam 22 entre
2a 2 a 1 ; tanto por defecto
como por exceso se obtiene; que
la suma del residuo por defecto
más el residuo por exceso y más
el cociente por exceso es 34. Halle
(m + n + a), si el residuo por
defecto excede al residuo por
exceso en 16.
A) 16 B) 8 C) 10
D) 12 E) 20
RESOLUCIÓN a = 3
divisor: a a d 22 1 = 18
Dato:
d er r q 1 34
d
18 +q +1 =34; q=15
d er r 18
d er r 16
dr =17
er =1
m n 8 18 15 17
m n 8 287 m = 2
n = 7
m + n + a =12
RPTA.: D
436. Al dividir un número de tres cifras
diferentes entre su complemento aritmético se obtuvo cociente 3 y
como residuo la última cifra de
dicho complemento aritmético. Determine la suma de cifras del
numeral primitivo. A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 17
RESOLUCIÓN
abc CA abc c
3 10
abc abc c
3 1000 10
abc c 4 3000 10
o
c c 4 10
o
c 5 10
0
2 cumple sólo para c = 4 c = 2
6 8
abc
4
3008
c = 2; b = 5; a = 7
a+b+c+=14
RPTA.:B
437. En una división el dividendo es
par, el divisor es n n 2 1 2 , el
cociente es a a1 3 y el
residuo b b 3 49 . Calcule la
suma de los términos de la división si se realiza por exceso.
A) 2 870 B) 2 900 C) 3 000 D) 3 037 E) 3 039
1 3 4
2 4
abc
3r ( c) 10
CA abc
RESOLUCIÓN
a a , 3 10 3 3
a a ; 1 4 2 3
b 2
Por algoritmo de la división
N n n a a 2 2 1 2 1 3 87
Par impar impar a = 3
residuo < divisor
n n ... 87 2 1 2
n n , . 2 1 10 5 5
Impar n= 1; 3;5
en : sólo cumple si n=5
divisor =97 cociente =29 residuo=87 dividendo =2900
er 10 eq 30
Piden: 97+30+10+2900 Piden: 3037
RPTA.: D
438. Calcular la cantidad total de
números enteros los cuales al ser divididos entre 31, producen un
resto triple que el cociente correspondiente.
A) 13 B) 4 C) 10 D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN Sea “N” uno de dichos números:
N = 31 q + 3 q N = 34 q
Además, sabemos:
resto < divisor 3q < 31 q < 31/3
q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Cantidad de valores: 10 RPTA.: C
439. En una división le faltan 15
unidades al residuo para ser máximo y sería mínimo al restarle 18 unidades. Determinar el
dividendo, si el cociente es el doble del residuo por exceso.
A) 1139 B) 1123 C) 1107 D) 1193 E) 1137
RESOLUCIÓN D = d . q + R
RMÍNIMO = R 18 = 1 R= 19
RMÁXIMO = R + 15 = d 1 d = 35 Además:
RD + RE = d
19 + RE = 35 RE = 16
q = 2RE q = 32
D = 35 32 + 19 D = 1139
RPTA.: A
440. Sabiendo:
nE A B ; 7
E tiene (9n+1) cifras
como mínimo y que “A” y “B” tiene 8 y 5 cifras respectivamente.
Halle “n”. A) 12 B) 14 C) 8
D) 10 E) 16
RESOLUCIÓN
A 7 810 10 B 4 5
10 10 n n nA 7 8
10 10 B 28 7 3510 10
n n nA B 7 28 7 3 35
10 10
Cifras mínimas:
n 7 28 1 n 9 1
n = 14 RPTA.: B
N2
r b b 3 49
n n 2 1 2
a a 1 3
441. Si , nM ,M ,M ......,M1 2 3
son números
de 1,3,5,………., 45 cifras respectivamente ¿Cuántas cifras
puede tener como mínimo el producto de dichos números?
A) 529 B) 526 C) 527 D) 507 E) 506
RESOLUCIÓN
Observamos que la cantidad de
cifras de los numerales respectivos forman una serie
aritmética de razón 2, entonces:
45 1#detérminos 23 ; n 23
2
La cantidad de cifras de: M1, M2, M3
Máx. = 1 + 3 + 5 + ... + 45 =
(1 + 45)23
5292
Min.= 529 23 + 1 = 507
RPTA.: D
442. Si: A.B
EC
2
2 Tiene x6 cifras
enteras; además: “A” tiene x8
cifras; “B” tiene x4cifras y “C”
tiene x0cifras. Halle “x”
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
Por dato: E tiene “ x6 ” cifras
x x x 10 14 6 10 18
x 5
RPTA.: B
443. Halle el valor de “n” si E tiene 15 cifras, A tiene 18 cifras y B tiene
13 cifras, siendo: nE A B 2 3
A) 4 B) 5 C) 7 D) 12 E) 15
RESOLUCIÓN En = A² . B³
# cifras de En =
Min = 15n n + 1 Máx = 15n
# cifras de A² . B³ =
Min= 2(18) +3(13)5+1 Máx= 2(18) + 3(13)
36 + 39 = 15n
n = 5
RPTA.: B
* x (n-1) 4 x=6
6 9 n=10
a + b + c = 14
RPTA.:B
444. Halle en base 10 el valor de “S” si
sus 15 términos forman una progresión aritmética:
S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n)
A.BE
C
2
2
Max x .x 8 2 4
Min x .x 8 2 4 3 1
Max .x 2 0
Min .x 2 0 2 1
E Min x .x x x 8 2 4 2 2 0 10 14
Max x x x x
8 2 4 2 0 1 1 10 18
A) 637 B) 625 C) 5481 D) 675 E) 645
RESOLUCIÓN
(n)n n nS 12 ... 21 30 210
Razón: n n
n 21 12 1
Último término:
n n12 14 n 1 210
Resolviendo:
n n n 27 6 0 6
6 6 6 6S 12 21 30 ... 210
S= 8 + 13 + 18 + … + 78
xS
15 86645
2
RPTA.:E
445. Halle la suma de todos los
números de la forma:
a a/2 b 2b
A) 84440 B) 84480 C) 84840 D) 104480 E) 105480
RESOLUCIÓN
1 columna = 80486420
2 columna = 0 1 2 3 4 4 40
3 columna = 5054321
4 columna = 2 4 6 8 5 100
RPTA.:E
446. Si: ....................106104102 nS
“n” sumandos
Halle la siguiente suma:
1 2 3 4 49S S S S S ......... S
A) 26 615 B) 16 415
C) 161 450 D) 164 150 E) 146 150
RESOLUCIÓN
1S 102
2S 102 104
3S 102 104 106
. . . . ………..
. . . . ………..
. . . . ………..
. . . . ………..
. . . . ……….. . . . . ………..
. . . . ………..
49S 102 104 106 ……+198
S = 49(102)+48(104)+47(106)+...1(198)
S = 2[49(51) + 48(52)+47(53)+...1(99)]
S = 2[49(10049)+48(10048)+...
+47(10047)+...+1(1001)]
S = 2[100(49+48+47+....+1)....
(49²+48²+47²+...+1²]
49 49 1 49 49 1 2 49 1S 2 100
2 6
164150
S = 164150
:20#s
S=
5 4
a
2
8
105 4 8
8
4
6
1
2
34
01234
02
4
68
a 2
b (2b)N=
0
RPTA.: D
447. Efectuar:
S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ....+ 66...66
“n” cifras
A) n 110 9n
9
B) n 110 9n 10
27
C) n10 9n 10
27
D) n 110 9n 10
227
E) n10 9n 10
227
RESOLUCIÓN
Factorizando el 6:
S = 6 (1+11+111+1111+... + 11111 ....... 1111
“n” cifras
Multiplicando por : 9: 9 S = 6 (9+ 99+999+9999 + ...
+ 99999 ....... 9999
“n” cifras
1 2 3 n3S10 1 10 1 10 1 ....... 10 1
2
1 n10 10 13Sn( 1)
2 (10 1)
n 12 10 9n 10S
27
RPTA.: D
448. Halle: ba si:
C.A. 1ab C.A 2ab C.A. 3ab ...
C.A. 9ab 41ab
A) 1 B) 6 C) 8
D) 10 E) 4
RESOLUCIÓN
CA 1ab CA 2ab ... CA 9ab 41ab
3 3 310 1ab 10 2ab ... 10 9ab 41ab
39 10 1ab 2ab ... 9ab 4100 ab
3 1ab 9ab9 10 9 4100 ab
2
9000 500 ab 9 4100 ab
400 10 ab ab 40
a + b = 4 RPTA.: E
449. Calcule: k m n si se cumple
que:
1313
k m kCA mn 2n
5 3 8
A) 27 B) 13 C) 53 D) 4 E) 25
RESOLUCIÓN
13 13
k m kCA mn 2n
5 3 8
Método Práctico:
m12 m m 9
3
12 n 2n n 4
k k
k 13 405 8
k m n 40 9 4 4
RPTA.: D
450. Si:
m m m m mabc cba xyz ,xyz zyx
mdefg yd e f g ; 16
Halle el valor de m.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
m m mabc cba xyz
x z m 1
y= m – 1
m
m
m
x yz
z y x
de f g
z+x=m-1=g
2y = 2m-2= m
m 1 2
f m 2
m m1 x z m 10 de
D = 1 ; e = 0 Luego:
d + e + f + g =16 (por dato) 1 + 0 +m – 2 + m – 1 =16
2m=18 m 9
RPTA.: E
451. Calcule el complemento aritmético
del número n nM 1 1
9 10 10
Dar como respuesta la suma de
sus cifras.
A) 10n+2 B) 15 C) 18 D) 9n-1 E) 10n-9
RESOLUCIÓN
n nM 1 1
9 10 10
Se puede expresar:
n nM 2 1 1
9 10 10 10
Factor común:
n 1 n 1M 10 900 1 901 10
C.A 901000...000 99000...000
(n+2)cifs. ( n+1)cifs.
Suma de cifras: 9+9 =18
RPTA.: C
452. Si N y M son números de 200 y
150 cifras respectivamente, y
CA N M CA(N).
Halle la suma de cifras del complemento aritmético de M.
A) 151 B) 1 C) 50
D) 9 E) 450
RESOLUCIÓN
C.A. N-M C.A.(N)
k n10 N M 10 N
n K KM 10 10 10 99...9
kCA(M) 10 .1 100...0
Cifras = 1
RPTA.: B
453. ¿Cuál es el mayor sistema de numeración en el cual se puede
escribir con tres cifras un número entero que en el sistema decimal
tiene por complemento aritmético a otro numeral de 3 cifras iguales?
A) 26 B) 29 C) 20 D) 19 E) 22
RESOLUCIÓN
Sea “n” el valor máximo de la base, que representa al número
dado como: nabc N10
Además: 10CA N XXX
Cómo 10
N debe ser máximo, por
lo tanto su CA deberá ser el más pequeño posible, luego x=1
Luego: 10
CA N 111;N 889
Entonces:
2
nabc 889 n 889; n 29,7
Luego el mayor valor de la base
será: n = 29 RPTA.: B
454. Si:
21ab 24ab 27ab .... 69ab
es xyz63
Calcule: (a+b+x+y+z)
A) 28 B) 27 C) 24
D) 26 E) 32
RESOLUCIÓN
21ab 24ab 27ab .... 69ab
es xyz63
.... ab 2100 2400 2700 6900 17
17#s.
9000
217 17 ab xyz63
Observando: (otras cifras son
ceros)
ab
17*7 b .3;b 9 ab 39
73 *7 a 6 .7;a 3
9 63
4500 17 17 39 xyz63 X=7
17 4539 77163 xyz63 Y=7
a b x y z 27 Z=1
RPTA.: B
455. ¿En que sistema de numeración
“n” la suma de todos los números
capicúas de 2 cifras es 330 en
base “n”?
A) 6 B) 4 C) 7
D) 9 E) 8
RESOLUCIÓN
Planteando el enunciado.
n n n nn
11 22 33 ... n 1 n 1 330
1 n 1 2 n 1 3 n 1 ... n 1 n 1 3n n 1
Simplificando tendremos: 1+2+3+4+….+(n-1)=3n
Suma
de n
n n
1 32
naturales
n 1 = 6; n = 7 Heptanal
RPTA.: C
456. Halle la suma mínima de los
siguientes números que se
encuentran en P.A.:
S = ab;ac; a 1 3; a 1 c;....; a 7 c
De como respuesta la suma de
cifras de S.
A) 16 B) 18 C) 20
D) 21 E) 22
RESOLUCIÓN
ab;ac; a ; a C... a c 1 3 1 7
5 5 5
b=3 c=8
mina 1
13 88 88 13S 1
2 5
S 101
2 16 808
Cifras de S=16
RPTA.: A
457. Si: 8 8 8 8
aba ab ba ccdd
Halle el valor de (a+b+c+d).
A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 19
RESOLUCIÓN Ordenando:
aba 8
ab8
ba8
c cdd8
8a b a 2d 16 d
b=5
8
b a b 2 2d 16 d
d=3
8
a 2 CC 9C
c= 1 a=7
a + b + c + d = 16 RPTA.: D
458. Halle la suma:
4 5 6 7 10013 31 13 31 ... 13
A) 2 895 B) 7 536
C) 12 301 D) 10 321
E) 10 231
RESOLUCIÓN
Desdoblando en dos sumas:
S ... 1 4 6 8 100
13 13 13 13
S 1
7 9 11 … +103
2
103 7 103 7S 1 2695
2 2
S ... 2 5 7 9 99
31 31 31 31
S ... 2
16 22 28 298
1
298 16 298 16S 1 7536
2 6
1 2S S S 2695 7536 10231
RPTA.: E
459. Halle: “ a+b+c” si:
9 9 9 9 9a1b a2b a3b ... a8b 48c2
A) 16 B) 17 C) 15
D) 20 E) 18
RESOLUCIÓN
a b 91
a b
.
.
.
92
9a8b
948c2
Unidades:
º
98 b x2 8.b 9 2 b 7
Decenas:
8 9
6 42 4 9 6 c 62
Centenas:
9
8 a 4 48
8 a 40 a 5
a + b + c = 18 RPTA.: E
460. Halle la diferencia de las cifras de
un número de 2 cifras; tal que la
suma del número con el que
resulta de invertir sus cifras, sea
igual a la suma de todos los
números de 2 cifras hasta el
inclusive.
A) 0 B)4 C) 2
D) 1 E) 3
RESOLUCIÓN
Planteando el enunciado:
Nro. Inicial: ab
Nro. Invertido: ba
ab ba 10 11 12 13 ... ab
10 ab11 a b ab 9
2
22 a b 10 ab ab 9
22=10+ab ab 12
3 = 12 9
Pide la diferencia b a = 1 RPTA.: D
461. Halle la suma de los C.A. de todos
los números que tienen tres cifras
impares.
A) 55 6615 B) 55635
C) 45 625 D) 55 525
E) 55 625
RESOLUCIÓN
C. A. abc
Sumando: Unidades:
25 (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 625 Decenas:
25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500
Centenas:
25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 55625
RPTA.: E
462. Se realiza una reunión de Peruanos y Bolivianos para tratar con respecto a la agricultura, son
12 en total, los peruanos son más que los bolivianos, los peruanos
llegan y se dan los buenos días mutuamente; los bolivianos lo
mismo, pero los peruanos no saludan a los bolivianos y lo mismo los bolivianos, si en total
se efectuaron 31 saludos ¿Cuál es la diferencia entre Peruanos y
Bolivianos?
A) 2 B) 3 C) 1
D) 5 E) 4
a b c
1 1 1
3 3 3
5 5 5
7 7 7
9 9 9
(9 a)(9 b)(10 c)
8 8 9
6 6 7
4 4 5
2 2 3
0 0 1
5 5 5 =125 Números
5 5 5 = 125 Números
RESOLUCIÓN
P+B=12 Saludos Peruanos
1 P-1 2 P-2
. . P
P
1
2
. . . . P-1 1
Saludos Bolivianos
1 B-1 2 B-2 3 B-3
. . . .
. . B-1 1
P B
P B
1 131
2 2
2 2P P B B 62
P² + B² (P + B) = 62 P² + B² = 74
7² + 5² = 74
7 5 = 2 RPTA.: A
463. ¿Cuántos números de la forma
abcde existe, tales que:
a b c d e y la suma de los
cuadrados de las cifras de
segundo y quinto orden es igual a la suma de los cuadrados de las demás cifras?
(Las cifras a, b, c, y d forman una progresión aritmética).
A) 1 B) 5 C) 6 D) 9 E) 4
RESOLUCIÓN
abcde;a b c d e
2 2 2 2 2a d b c e .
2 2 22 2d 3r d d 2r d r e
d=d c= d+r
b=d+2r a=d+3r
Resolviendo e = 2 r
r e 1 2
a b c d e
6 5 4 3 2
7 6 5 4 2
8 7 6 5 2
9 8 7 6 2
Solo hay 4 números
Si r e 2 4
a b c d e
119 7 5 4
No hay números RPTA.: E
464. Halle la suma de cifras de la suma
de todos los números de la forma
a 3 b 1
a 2 2b 52 3
A) 15 B) 14 C) 13
D) 16 E) 17 RESOLUCIÓN
b = {1; 4}
a = {3; 5; 7; 9; 11}
Ordenado los productos parciales
BB
1
2
UM M C D
a 2 b
1
3
a
3
25
U
( b)2
1
3
5
7
9
3
4
5
6
7
0
1
2
8
5
x5 (2) =10
U ( )10
51
= 5 0 +
D ( )10
102
= 5 0
C ( )10
12
= 5
M ( )10
255
= 5 0
UM ( )10
255
= 50
S= 55 1 0 5 0
Cifras 16
RPTA.: D
SEMANA 7
DIVISIBILIDAD I
465. Si:
A = 3k + 1 ; B = 3k + 2
Halle el residuo que deja la
expresión:
E = [2A + 22B + 2³] entre 7
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 4
RESOLUCIÓN
E = (2A + 22B + 8) 7
E = (23k+1+26k+4+ 7 +1)
E = (2³)k . 21 + (2³)2k 24 + 1
E = (º
7 +1)2 + (º
7 +1)( º
7 +2)+1
E = 2 + 2 + 1 + º
7
E = º
7 + 5 residuo = 5
RPTA.: D
466. Una importadora ha comprado
relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a
S/. 91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u.
Si la factura total fue S/. 2213.
Halle el número de relojes.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
Planteando el enunciado: “a” # de relojes
143 a + 91 b + 77 x c = 2 2 1 3
1 2 3 1
(1) +1
* Módulo de º
7 :
[(º
7 +3)a+º
7 +º
7 ] = 3 + 3 4 2 ¨
3a + º
7 = 7 + 1
7m 1
a3
m = 2 ; a = 5
RPTA.: B
467. ¿Cuál es el residuo de dividir:
666...666 (8) entre 13?
102 cifras
A) 2 B) 8 C) 3
D) 5 E) 9
RESOLUCIÓN
Calculando restos potenciales de base 8 respecto al módulo 13.
Base 8: 80; 81; 8²; 8³; 84
1; 8; 12; 5; 1
1; 5; 1; 5; 1
Cada 4 cifras se anula:
102 4
2 25
6 6 6 ..... 6 6 6(8)
5 1 100 cifras = 0
º
30 6 13 r
º
13 + 2 = º
13 + r
r = 2 RPTA.: A
468. Si: 43a43 es la suma de 83
números consecutivos, halle el
valor de “a”.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
Sean los 83 números
consecutivos: n41; ...; n1; n;
n+1,...;n+41 Luego:
n41 + ....+n+41=43a43
83n = 43a43 º
83 = 43043 + 100a º
83 = 49 + 17a + º
83 º
83 = 17a 34
a = 2 RPTA.: B
469. ¿Cuántos términos son múltiplos
de º
25?
2; 5; 10; 17; .......; 10001
A) 12 B) 9 C) 8
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
Término n ésimo: an = n² + 1 ; n = 1,...., 100
n² +1 = º
25
n² + 1 50 = º
25
(n + 7) (n 7) = º
25
n + 7 = º
25 n = 18; 43; 68; 93
n 7 = º
25 n = 7 ; 32 ; 57; 82
# términos = 8 RPTA.: C
470. Si al dividir por exceso:
2304606902b31 con º
23 no deja
residuo, halle el valor de b.
A) 1 B) 2 C) 5
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
Se tiene: º
2304606902b31 23 2b31
= º
23 + 2031 + 100b
= º
23 + 7 + 8b
Como el residuo es “0”
7 + 8b = º
23
b = 2 RPTA.: B
471. Halle el residuo de dividir: unac2008
3abc3 por 10
A) 1 B) 2 C) 5
D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN
4kunac2008
k
3abc3 ...3
...1
= ...1
= º
10 + 1 RPTA.: A
472. Halle el residuo de dividir:
nm
2 4 6abba cde1 fgh3 por 2.
A) 0 B) 1 C) 0.1
D) FD E) N.A.
RESOLUCIÓN
E = nm
2 4 6abba cde1 fgh3 ; a = 1 , b=0
= º º º
nm2 1 4 1 6 3
= º º º
2 1 2 1 2 3
= º
2 + 3
E = º
2 +1 RPTA.: B
473. ¿Cuál es el residuo de dividir la
siguiente suma:
E = [26n+3+9k.4k] entre 7?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
E = 26n+3 + 9k.4k entre 7
E = 2n
32 . 2³ + (7+2)k.4k
E = (º
7+1)( º
7+1) + 2k.4k
Ojo: 2k.4k = 8k=(º
7+1)
E = (º
7+1)+( º
7+1) = 7+2 RPTA.: B
474. Sea:
n! = º
23 + 2;
(n+1)! = º
23 + 6
¿Cuál es el residuo de (n+3)!
entre 23?
A) 3 B) 6 C) 5
D) 12 E) 13
RESOLUCIÓN
RPTA.: Cç
475. ¿Cuántos términos de la serie: 4;
11; 22; 37; 56; ....(100 términos)
son: (º
13+1)?
A) 14 B) 15 C) 9
D) 8 E) 12
RESOLUCIÓN
Sucesión de 2º orden:
c = 1 4; 11; 22; 37; 56;...
a+b = 3 7 11 15 19
2a = 4 4 4 4
columna
secundaria a = 2 ; b = 1 ; c = 1
2n² + n + 1 = º
13 + 1
n(2n+1) = º
13 ; n = º
13k
#s: {13; 26; 39; 52; 65; 78; 91} (7 nros)
#s: {2n+1= 13; 6; 19; ...97} (8 nros)
Total de números 7 + 8 = 15
RPTA.: B
476. Halle “a” si (a+b) = 6, además:
5aabbaabb...ab1334 11 9 y el
exponente tiene 88 cifras.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2
RESOLUCIÓN
++
1334 = º
11+3; calculando restos
potenciales.
(º
11+3)5k+b =(º
11+3)5k(º
11+3)b=º
11+9
=(º
11+ 35k)( º
11+3b) = º
11+9
=(º
11+3b) = º
11+9
b = 2 ; a = 5 RPTA.: B
477. Si el número ab1
135 se convierte
en base 11. ¿Cuál será la cifra de unidades del resultado?
A) 7 B) 3 C) F.D. D) 2 E) 1
RESOLUCIÓN ab1
ab1º º
º ºab1
135 base 11
11 3 11 r
11 3 11 r
Restos potenciales de impotencia 3 con respecto al módulo 11.
30; 31; 3²; 3³; 34; 35 1; 3; 9; 5; 4; 1
º º
ab0 1
º ºk5
11 3 3 11 r
11 3 3 11 r
º
11+(º
11+1).3 = º
11+r º
11 + 3 = º
11+r
r = 3 RPTA.: B
478. Halle el resto de dividir E entre 7:
12
142314241425E 1426
A) 2 B) 6 C) 3
D) 1 E) 5
RESOLUCIÓN
E = 1426 Impar = º
7 + r
(º
72)Impar = º
7+r
º
7 2k = º
7 + r
K = múltiplo de 3 k = 3n º
7 23n = º
7 1 = º
7 + r
º
7 + 6 = º
7 + r
r = 6
Residuo = 6 RPTA.: B
479. Halle (d+u), si el número de
la forma: º º
mcdu 11, tal que md 7
y m + c + d + u = u²
A) 9 B) 13 C) 12
D) 15 E) 45
RESOLUCIÓN º º
mcdu 11;md 7;m c d u u² u² =16
++ 3 1 u² = 25 u² = 36
c + u (m+d) = º
11;
para u = 4
c (m+d) = º
11 4 .......... ()
3m+d = º
7 .......................()
Para u = 4
m + c + d = 12
m + d = 12 c ..................()
si: c = 4
m + d = 8 ........................()
de () y ()
c = º
11 + 4
c = 4
de () y () m = 3; d = 5
d + u = 9 RPTA.: A
480. ¿Cuántos términos de la siguiente
sucesión: 2; 6; 12; 20; 30;
....;14762 al expresarlos en base
5, resultan que su cifra de menor
orden es 1?
A) 12 B) 24 C) 36
D) 42 E) 28
RESOLUCIÓN
2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; .... 14762
1x2; 2x3;3x4;4x5; 5x6; ....;121x122
tn = n (n+1) = º
5 + 1 ; n= 1,2,...,121
(por dato en base 5 acaba en 1)
n² + n = º
5 + 1 + 5
n² + n 6 = º
5
(n+3)(n2) = º
5
Luego:
n + 3 = º
5 n = º
5 3 = º
5 + 2
n 2 = º
5 n = º
5 + 2
n = 5k + 2 k = 0; 1; 2; ....23
n 121 24 valores RPTA.: B
481. En una fiesta infantil el payaso
“POPI” juega con un grupo no más
de 150 niños y observa que si los
agrupa de 7 en 7 le sobran 5
niños; si los agrupa de 4 en 4 le
faltaría un niño para formar un
nuevo grupo y si los agrupa de 9
en 9 le sobran 2 niños. Calcule el
número de niños que hay en dicha
fiesta.
A) 42 B) 130 C) 47
D) 122 E) 56
RESOLUCIÓN
# niños (N) 150
N = º
7+5
N = º
4 + 3 N = º
4 + 11
N = º
9 + 2 N = º
9 + 11
N = º
36+11 = 36 k + 11
k = 1 ; 2 ; 3 N = 47; 83; 119
Pero:
N = º
7 + 5
N = 47 RPTA.: C
482. En una conferencia a la que
asistieron 528 personas; se sabe
que de los varones: la tercera
parte usan corbata; los 2
15 usan
lentes y los 3
7 llevan saco. De las
mujeres se sabe que: la sexta
parte usa minifalda; las 3
4 usan
lentes y las 2
9 tienen ojos azules.
Calcule el número de personas
que usan lentes.
A) 137 B) 56 C) 81
D) 420 E) 48
RESOLUCIÓN
# personas = 528
De los varones (V):
* usan corbata = ºV
V 33
* usan lentes =º2
V V 1515
* llevan saco = º3
V V 77
V = º
105 = 105x
De las mujeres (M):
* usan minifalda = ºM
M 66
* usan lentes = 3M/4 M = º
4
* tienen ojos azules = º2
M M 99
M = º
36 = 36y
105x + 36y = 528
4 3
lentes
lentes
2(420)V 56
15
3(108)M 81
4
Personas con lentes: 137 RPTA.: A
483. Un comerciante va a la “Galería
Gamarra” con S/. 3060 para
comprar polos, camisas y
pantalones de precios unitarios
iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60
respectivamente. Si entre
pantalones y camisas debe
comprar más de 10 prendas.
Calcule cuántas prendas en total
compró; si la cantidad de polos
fue la mayor posible; además
compró al menos uno de cada uno
y empleó todo su dinero.
A) 183 B) 172 C) 163
D) 184 E) 195
RESOLUCIÓN
Artículo: camisas; polos, pantalones Precios Unitarios 24 ; 15 ; 60
Nº artículos x ; y ; z
Máximo
x + z > 10
Luego:
24x + 60z + 15y = 3060 ........()
Por º
5 : 24x + º
5 + º
5 = º
5
24x = 5 x = 5 xmin = 5 en()
24 5 + 60z + 15y = 3060
20z + 5y = 980 4z + y = 196
Zmin = 6 ymax = 172
x + y + z = 183 RPTA.: A
484. El residuo de dividir el número
657143 entre 25 es ab . Calcule el
resto de dividir dicho número
entre a b
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
657143= (º
25+7)143 = º
25 + 7143
= º
25+(7²)717=
º
25+(º
251)71.7
=º
25+(º
25171)7
=º
25+º
2517 = º
257
67143 = º
25 +18 = º
25+ab
ab = 18
657143=(º
8+1)143=º
8 + 1143=º
8+1
r = 1 RPTA.: A
485. Halle el menor valor de N = cdu ,
sabiendo que es múltiplo de:
P c 2 d 1 u 3
A) 214 B) 316 C) 213
D) 426 E) 441
RESOLUCIÓN
o
cdu c 2 d 1 u 3 c 2 d 1 u 3 k
cdu cdu 213 k 213k k cdu cdu
3.71.k= cdu k 1
Dando valores obtenemos:
(k1) k cdu
1 2 3 x 71 x 2 = 426 c = 4
3 4 71 x 4 = 284 c = 2
71 72 72 x 3 = 216 c = 2
3.71 214 214 c = 2
cdu = 426 RPTA.: D
486. Halle el mayor número abc , tal
que: abc1492 al ser dividido entre
40, deje como residuo 24.
A) 996 B) 249 C) 989
D) 995 E) 998
RESOLUCIÓN
Sabemos que:
1492 = º
40 + 12
Aplicando el Binomio de Newton:
abc
abc1492 40 12
º º
abc abc1492 40 12 40 24
º
abc12 40 2 4
Determinando los restos potenciales de 12 respecto al
módulo 40, hallamos como valor del Gaüssiano cuatro, entonces el
exponente abc deberá ser
múltiplo de cuatro, más aquel exponente del grupo periódico que deja resto potencial 24.
º
º
º
º
º1 4
º2 4
º3 4
º4
12 40 12
12 40 24
12 40 8
12 40 16
º
abc 4 2
además, como debe ser el mayor
posible abc 100 0
4k + 2 < 1000 k < 1000 2
249,54
kmáximo = 249
abc 4 249 2 998
RPTA.: E
SEMANA 8
DIVISIBILIDAD II
487. La suma de trece números
enteros consecutivos es de la
forma 4a9a. Halle el mayor de
los números.
A) 363 B) 368 C) 369 D) 375 E) 374
RESOLUCIÓN De la condición:
N 6 N 5 N 4 ......
N ...... N 5 N 6 4a9a
Efectuando la suma indicada:
13N 4a9a
0
4a9a 13
0
1 4 4 a 3 9 1(a) 13
a = 7 13 N = 4797 N = 369
El mayor número: N 6 375
RPTA.: D
488. Si un número de 4 dígitos donde sus 3 últimas cifras son iguales se le ha restado otro que se obtuvo
al invertir el orden de las cifras del primero. Si la diferencia es
múltiplo de 7. Halle la diferencia. A) 777 B) 1 554 C) 2 331
D) 4 662 E) 6 993
RESOLUCIÓN 0
7bbbaabbb
Descomponiendo
0
999 a 999 b 7 0
7)(999 ba
7ba .
La diferencia: 999(7) 6993
RPTA.: E
489. Si:
0
abc 11
0
bac 7
0
cab 5
Calcule el menor valor de: (a + b + c)
A) 16 B) 10 C) 15
D) 12 E) 14
RESOLUCIÓN 00
1111 cbaabc
0 0
bac 7 2 b 3 a c 7
550
bcab
De las ecuaciones: a + c =5
17237300
aca
a = 3
c = 3
a + b + c = 3 + 5 + 2 = 10.
RPTA.: B
490. Se cumple: 0
mnp 22
0
pnm 7
0
mp 9
Calcule: m x n x p A) 72 B) 81 C) 90
D) 126 E) 162
RESOLUCIÓN
:220
pmnp par; 0
m n p 11
(+)(-)(+)
0
11 pnm ……………………………
0
7pnm ;
2 3 1 0
732 mnp …………………………...
0
9mp 0
9 pm ; p: par.
9 pm …………………………………
en
9 - n = 11
n = 9
en
0
9 p 27 7
0
736 p
p = 6
m = 3
pnm
162693 RPTA.: E
491. ¿Cuántos números capicúas de 5
cifras no son múltiplos de 495?
A) 872 B) 890 C) 896
D) 898 E) 899
RESOLUCIÓN
0
5 b c b 5 99
1 (10) 1 (10) 1
0
99510105 bcb
0
10 20b c 99
4 9
9 8
Hay 2 números 0
495 .
a b c b a
0 0 1
1 1 2
2 2 3
. . .
. . .
. . .
9 9 9
10 10 9 900#s.
Números que no son 0
495
900 - 2 = 898 RPTA.: D
492. Si: º
1185a2476032000 19!
Halle “a”
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
El criterio más preciso es 0
9 ;
porque se analiza todas las cifras. Tendremos
1
3 1
2
3
3 2
0
abcba 495
0
50
99
0
9!19
11 8 5a2 4 76030
2000 9 0
93 a
a = 6 RPTA.: C
493. Halle: n x p si:
0
x8 n 5 nx 25 y
0
n 5 ppxp 7
A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 20
RESOLUCIÓN
0
x8 n 5 nx 25
0
n 5 ppxp 7
n 5 1 ; n 6
Criterio: 0
25
7;250
nnx 0
7x 25 ; x 5 0
72 ppxp
Criterio º
7 0
752 ppp
31 231 - +
0
3p 15 p 6 7
0
2p 9 7
p + n + x = 18 RPTA.: D
494. Sabiendo que:
abcd 364(d a 2b 3c) .
Halle la expresión: ab cd
A) 50 B) 52 C) 54
D) 56 E) 58
RESOLUCIÓN
Como 364 = 0
7
º
abcd 7
364 d a 2b 3c …
0
7 d a 2b 3c 364(d a 2b 3c)
0 0
7 363 d a 2b 3c (d a 2b 3c) 7
d a 2b 3c 21 en
abcd 364 21 7644 a = 7
b = 6
c = 4 d = 4
Verificando:
d-a+2b+3c = 4-7+12+12=21
ab + cd = 7 x 6 + 4 x 4 = 58 RPTA.: E
495. El número de la forma: aa0bbc
al ser dividido entre 4; 9 y 25
deja como residuo 2; 4 y 7 respectivamente. Halle “a”.
A) 6 B) 4 C) 3 D) 2 E) 0
RESOLUCIÓN
M aa0bbc
Por lo tanto:
abcd1 2 3 1- +
1
1
M
0
4 20
9 40
25 7
M
0 0
4 2 80 4 82
º 0
25 7 75 25 82
Propiedad:
M m.cm.(4;25) 82
0
M 100 82
entonces:
aa0 8 8 20
9 4
0
2a 9 4
0
a 9 2 ; a = 2 RPTA.: D
496. Halle el residuo que se obtiene al
dividir: ab5
ab1ab4 Entre 11.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 1 E) 6
RESOLUCIÓN 0
M a b 1 a b 4 11
- + - + - +
4 a b a 1 b 0
11
0
11 3 ab5
º ºab5 ab5M 11 3 11 3
Gaus: modulo: 11
0
13 11 3
0
23 11 9
0
33 11 5
0
43 11 4
0
53 11 1
Cada vez que la potencia de 3 es múltiplo de 5 el residuo es 1.
RPTA.: D
497. ¿Cuántos capicúas de 4 cifras son
divisibles por 99 pero no por 15?
A) 8 B) 9 C) 10
D) 7 E) 11
RESOLUCIÓN
Sea: 0
abba 99 15 a 5
* Caso 1 ab ba 99
a + b = 9 9 0
8 1 7 2
6 3 4 5 3 6
2 7 1 8
Hay ocho números
* Caso 2 ab ba 189
a 9 b = 9
Hay un número
Rpta. 9 números RPTA.: B
498. Halle el residuo de dividir el
número 5678…979899 con 11.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 2 E) 4
RESOLUCIÓN 5 6 7 8 9 10 11 12 … 98 99
=0
11 99 98 ... 10 56789
=0 99 10
11 90 5 7 9 6 82
=0
11 109.45 7
=0
11 6
RPTA.: B
499. Halle el residuo de dividir el
número 13579…959799 con 9.
A) 6 B) 7 C) 3
0
100 82aa0bbc
b = 8
c = 2
D) 1 E) 0
RESOLUCIÓN 1 3 5 7 …. 95 97 99
99...53190
(Criterio de divisibilidad)
= 20
509
(Suma de números impares)
=0
9 25 0
9 7
RPTA.: B
500. Halle el resto de dividir el número:
4N 321aaa321aaa Entre 7.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0
RESOLUCIÓN
aaN 21645764216457 24
0
400
40
7)17(577)17(57 N
11475757700
N 0 0 0
N 7 (7 2) 7 2
27 rN
RPTA.: B
501. Se tiene el numeral a53b72c 4
es divisible por 8 y que al ser
dividido entre 11, el residuo es
10; y al ser dividido entre 9 el
residuo es 2. Halle el mayor valor
de: (a + b + c).
A) 10 B) 12 C) 14
D) 16 E) 17
RESOLUCIÓN
* 0
847253 cba
0 0
2c4 8 8 2c 4 8
4 2 1 c = 2; 6 *
*
0
a5 3b 72 c4 99 65
0
a5 3b c4 7 99 99 2 198
Si c 6 b 2 ; a 9
17 cba
RPTA.: E
502. Se sabe que
0m
7mnpq 11 5
0n
7mnpq 11 4
p 0
7mnpq 11 2
Calcule el residuo de dividir N
entre 11. Si 4mnp
7N mnpq
A) 5 B) 3 C) 8
D) 2 E) 1
RESOLUCIÓN
4
7
mnpmnpqN
descomponiendo:
pnmmnp 4164
pnmmnpqmnpqmnpqN 7
4
7
16
7
pnmmnpqmnpqmnpqN
7
4
7
16
7
16 40 º 0
N 11 5 11 4 11 2
0 0 016 4N 11 5 11 4 11 2
211311511
000
N
N = (57) (21a) (57) (21a)
N = 321 aaa 321 aaa(4)
(64)
43
0 0
a53b72c4 11 10 55 11 65 - + - + - + - +
0 0
a53b72c4 9 2 63 9 65
a 5 3 b 7 2 c 4
)333(11301100
N
3110
N
Resto: 3
RPTA.: B
503. Halle el residuo de dividir con 10
el número
cifras
abc
7
mnp00
66...66
A) 0 B) 1 C) 3
D) 6 E) 8
RESOLUCIÓN
abc
abcmnpoo7
cifras
66...667 1
mnp00
abc
0abc4k7
cifras
66...667 1 ;mnp00 4
mnp00
abc
abck
47
cifras
66...667 1
mnp00
abc
abck7
cifras
66...66...1 1
mnp00
abc
7
cifras
66...66...0
mnp00
RPTA.: A
504. ¿Cuántos valores puede tomar “a”
si el número 9aaa.............aa de
16 cifras es divisible entre 8?
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 7
RESOLUCIÓN
16 cifras
0
9 8... aaaaaN
0 0
8 16a 8 :
se cumple para todo “a”
a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
a toma 8 valores
RPTA.: D
505. Calcule “a x b”; si 9
4a0567b
es divisible entre 10 y al ser
dividido entre 8 el resto es 2.
A) 4 B) 15 C) 35
D) 21 E) 5
RESOLUCIÓN
*
0
94a0567b 10 b a 2 18
+-+-+- +
b a 2
*
0 0
94a0567b 8 2 a b 22 8 2
1248200
óbaba
Para 12ba b = 7
2ab a = 5
35ba RPTA.: C
506. Un animalito va de “A” hacia “B”
dando saltos de 15 cm y regresa
dando saltos de 16 cm. Después
de haber recorrido 1,22 m se
detiene. ¿Cuánto le falta para
llegar al punto A?
A) 48 cm.
B) 42 cm.
C) 52 cm.
D) 58 cm.
E) menos de 40 cm.
RESOLUCIÓN
1221615 ba
Modulo 0
3
I
16
…...…
16
1515 15
23133000
b
230
b
Reemplazando:
122)2(1615 a
122 32 90
a 615 15
La distancia de A a B es:
16(6) = 90 cm
Falta: 90 16(b) = 58 RPTA.: D
507. Si 0
"n" cifras
333... 41 . Con “n” mínimo.
¿Cuál será el residuo por exceso
que se obtiene al dividir entre 26
al menor número de 5 cifras
diferentes de la base n?
A) 8 B) 12 C) 14
D) 16 E) 10
RESOLUCIÓN
Menor número de 5 cifras diferentes en base 5:
r0
5 2610234
Descomponiendo:
69445352051 24
Por defecto = 18
Por exceso = 8 RPTA.: A
508. Un niño si cuenta sus canicas
agrupándolas de 5 en 5 le faltan 2
canicas; si las cuentan de 6 en 6
le sobran 3; y si las cuentan de 8
en 8 le faltan 5; por lo que decidió
agruparlos de 9 en 9, así no le
sobra ninguna canica. Si la
cantidad de canicas se encuentra
entre 400 y 650. ¿Cuántas canicas
tiene el niño?
A) 438 B) 480 C) 483
D) 485 E) 603
RESOLUCIÓN
Sea “N” la cantidad de canicas que
tiene el niño:
38
36
35
0
0
0
N
31203)8;6;5(00
MCMN
Entonces:
N 123; 243; 363; 483; 603........
Pero: 0
9N 400 N 650
El niño tiene 603 canicas.
RPTA.: C
509. ¿Cuál es la suma de las cifras del
mayor número entero de tres
cifras, tal que si se le resta la
suma de sus tres cifras el
resultado es divisible por 13?
A) 26 B) 20 C) 15
D) 23 E) 24
RESOLUCIÓN
b 3k 2
k = 0 ; b = 2 (sí)
k = 1 ; b = 5 (No)
4133333
813
5 cifras.
26
674 26
694
18
0
abc a b c 13
431
+ 0
5a 4b 13
a = 9 b = 5
c = 9
a b c 9 23
RPTA.: D
510. ¿Cuántos números de dos cifras
hay, que al elevarse al cuadrado y
al ser divididos entre cinco dejan
resto cuatro?
A) 18 B) 48 C) 32
D) 45 E) 36
RESOLUCIÓN
0
0
0
5
ab 5 1
5 2
0
02
0
5
ab 5 1
5 4
0
ab 5 2 ó 0
ab 5 2
Existen36números
RPTA.: E
ab 12; 17; 22; 27; ……..; 97
13; 18; 23; 28; ……..; 98
18 valores
18 valores
