ALGEBRA R 28

Geometric pmestmeuiEuklidesowef .

56

WtnakcietegowyKeadupracowaibgdziemywnsesywirtejpmestnseuiweklonowej2ilocsynemsKalownym.t2nwPRZESTRZEN1EUKL1DES0WEjwymiarusKon.csonegoNapocsgtektwierokenie2uomewssystKimodpodstawowkiiTWlERD2ENlECPitagoraJfes.li4weV.vtwto11JtwllEHvlttHwl2DOWdDiHvtwllECotw1otws-co1v7tcv1w7tcw1vstLw1ws-llvlttHwH2@a-0DEFlNlgAiOd1egTo.sciqwektoraJEVodpodpmestmeniWaVnasywamylicsbqdCo.W1-infl1v-w11WEWWydawai0bysiq.zewyauacsauietejodlegroscitosaolanieb0w0biejmaaualizqCekswemum2wiqsaneJtymmieiuuig.mozuato2robictakzemehodamialgebraicsnymiSTWlERD2ENlEOdlegtosiWektoraJeVodpodpmesthemiWcVdauajestwzonemdCoiwj-11o-Pv11gobiePjcstmutemovtogonounymnapodpmestnseirWD0w0DiNiechwbg0biedowoluymdeeueuteeuW.WteolyV-PJLw-PvboV-PvEWtaw-PoeW11o-wll2-11V-PotPv-wHE11v-PvlttHw-PvH2zHv-PvH2Dladowolnegowmamywigc11v-wn2zHO-Pvll22ataudCaw13HJPvHijeoluoaesuiedleu-Pvotuyuujemyviwuosi.2ateeube2wgtpieuieHv-PvHjestinfimumw0wh.scifunkjiwl-HJ-wHmeW.a

DEFINKJA Miarg µn : Vx . . . ×V → IR ukiaolu n wektovow defining.

emyinduk .

agjmie podajqc=

µs(v)=HvH , µn( is , ... , on )=d( on,Cvs , ... , on.

> )µn . ,( vs , ... , on . . ) .

DEFINKJA : Maciene Grama ukiaolu wektonow ( Js , ...

,Jn ) hazywamy macien

( most ( Tw .) . ... < vzlvn )

cnn.at#:w;YIii.:::9i:#jesei ( Oz .

.. On ) jest bazg WV to movies Grana jea tozsauuez macieng ilocsynu

skolowuego w6Q2ie.

Macias Ground untrue mapisac owe dowoluego m nieaaleznie

od wyiuiaru V i liwiowg.

miesodezhos .ci/2alezuosciukeowluwektonow .

Pojgcie miowy ukiaolu wektorow pojawiajq tiq pmy catkowaniu oraz w

qeometniinizhicskowej pmy defimicji formyobjgtosci araa caikowaniu form no'

znicsko .

Wych . 57

STWIERDZENIE

µn( on ... , on ) -

idealDOWBD : µz( g) = 110211 det G ( Os , ... ,Oz)=det[ (0210^5)=110^112 satem ale

n=h twierobeuie jest prawdsiwe . Zaktadamypvawobiwo 's 's to.

due n=k i

Owwoobimy olla h=ktL

( Ozloz ) ( T.lv .) . ... k <

Vzlvkn) *

aetelou..io#D=detfvyv,) < v.gr.

) :;YvYl¥.} < is!:#

,|=( vlv , )

4kW, ) ... (Okla

.) <

Elvin( ( vk.lv, ) < vk.to

, ) ... ( ok.tv.

)(0*17+7)Bozwazmy teraz W= ( is , ...

,

Ok> i Oznacsmy pmez P nut ovtogonalny me W

.

Wektor Poktzhalezy do W zatem mozna go zapisaijakokombinogiq liuiowqwektonow ( vs , ...

, ok ), by 'c Mozena wide sposobowjesli Ukiad ( Oz , ...

, Vk ) vie jestliuiowo miezalezny . Wybiemmy ktorykolwiek 2 lych sposobow :

PJK , ,= Lhft ... + atok ok+±= @k+iPq<+ a) + dJz+ . .take

oanaosymy Jktfthe iehs , ... ,k } many Loilokm ) = Lvilvkst ) + ¥ d. loiloj )

To

< 4<+21 0km )= ( 4<+2+1%+1 ) + § I (vk.us/0j)OstatuiqKolumnqmacienyGramemoznowigcsapisa.jako:

f)< vzlv )

to sgkolumny maciersy

KIHEI.it#t..?I.iti*flEltIiMEhEatiiEi

:#:*":*:* .

* ( odod Co. lv.

) . ... *0 C * * )

= aetfa," > a.m., ?Yen'sof :

( vlv . )↳

W . ) (am

.) 6 i

k¥.tv. ) <¥µ. ) . ..co#lv

.) <

o.tv#

Podobwg operaqiq pmeprowaobamy me onatnim wiernu : 58

( 9<+1197-(4+11 Oi 7 + Zg d. Cojlvi > dbe ie{ s,

... ,k }

TKombinayie liuiowa wintry od how K -

( Ok+ ,14<+5 ) = ( 0*2+10 # at )

- pool wyznacsnikiempomiyjimyv

[( vk.lv. ) 4<+1,0. ) . ..co#lv..)co*lv*T=Fdfhflosscojlv.)...cvlv, .) 0 ]

+ [0 0 ... 0 < vktstlokta > ]

( * * t.de ( Mod H.w. ) . ... *0

§. !v.> < v

.!v .) .

;;¥¥¥ ' ?|= deter . , . in " out "=

( vlv . )↳

W , ) (a.m

.) 6 i

L 8o

...

o.co#vId=hICos,....ok)dTok+s,C0a...i0k+n))=pk+4(rfi...irk+e

)•

2powyznego twierdseuie wynikajqmastgpujgce wnioski :

G) Dbe dowolnej permutagi Tesn µn( as , ... ,On ) = µn ( Ora ,

... Joan ,)

Istotnie : macien G ( Ora ,... Joan ) otuymujeuy a Gcos , ... ion ) shosujqcpermutacjq

r wajpierw do wierhy a poteen do kolumn ( lub odwrotuie ) sateen wyanacsuik nie

ulega zuiiauie -

poprawia rig o C- 1) s8hr( . a) sort =L.

(2) fish. ( as , ... ,

On ) sq liuiowo wdezhe Io µu( Os , ... .vn ) -0.

Istotuie : jesh.

0k jestkombiwagiq liuiowq ( if , ... , Oka , OKs ,

. . .vn ) to pmestawiawy go we kohiec - miowa

siguie awieuie ha may popmeduiefo www.oskuipineeuyh( Oz , ... , Un )=µ(vs , ... ,Q< . ,Pk+,

, ... ,°n , 4) = fhfoii. .PK . , , °k+ , i.. .vn )d(°ki(Lr.,Vk.,,°knr..0nD=O

.

0

G) Oeili F E End ( ✓ ) to µn(

Fos, ...

,Fvu)=ldetFlµfoz, ... in ) the h=dimV

.Inotnie :

jes.li ( or , ... ion ) jest liuiowo wdezny to obie strong sq 0. yes .li jest leieiowo niewlezny

to mozme go uzyi jako bazg . Wtedy

G(Fos

, ...

,Fon)=([FIT)TG(

os , ... ion ) [ FIT sateen detG( Fos , ... ,Fon)=

det Gas , ... ion ) 4eta )?