ÁLGEBRA TEORÍA Y PRÁCTICA · 19-Interpretar geométricamente el producto escalar de dos vectores. ... 24-Interpretar geométricamente el triple producto vectorial y aplicarlo a

ÁLGEBRA

TEORÍA Y PRÁCTICA

Autores:

Prof. Javier castellano

Prof. Luís Capace

La Victoria, octubre de 2007

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA EDUCACIÓN SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGÍA LA VICTORIA

LA VICTORIA- ESTADO ARAGUA COMISIÓN ACADÉMICA DEL PROGRAMA

NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDAD

LA VICTORIAEXPERIMENTAL

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica

PNF EN ELECTRICIDAD 2


ÁÁLLGGEEBBRRAA

MMOODDUULLOO II:: VVEECCTTOORREESS

CONTENIDO

-Escalares y vectoriales.

-Componentes de un vector.

-Operaciones con vectores: Adición, multiplicación por escalar, producto

vectorial, triple producto vectorial (representación parcial)

-Rectas, planos (rectas analíticas)

-Diferentes tipos de ecuaciones de la recta y el plano.

-Distancia de un punto a una recta.

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Teoría y Práctica



OBJETIVO GENRAL

Al finalizar la unidad el estudiante deberá mediante resolución de problemas, demostrar

habilidad en el manejo de vectores tanto gráfica como analíticamente.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1-Definir un vector en R3 establecer sus componentes. 2-Definir vector libre en el espacio. 4-Establecer la biyección entre R3 y el conjunto de los vectores libres del espacio.

5-Dados dos vectores U Y V calcular y U +V

6-Aplicar las propiedades de la adición de vectores.

7-Dado el vector calcular U α U α℮ R

8-Aplicar las propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector.

9-Establecer el espacio vectorial V3.

10-Dados vectores en V3 determinar el vector resultante de combinarlos linealmente. 11-Dados vectores de V3 decidir si son linealmente dependientes. 12-Dados vectores de V3 decidir si son linealmente independientes 13-Establecer la Base Cónica de V3 14-Establecer la Dimensión de V 3. 15-Dados dos vectores, calcular su producto escalar o producto interior.

16-Aplicar las propiedades del producto escalar. 17-Dados dos vectores decidir si son ortogonales. 18-Dado un vector en V 3 calcular su norma o longitud. 19-Interpretar geométricamente el producto escalar de dos vectores.

20-Dados los vectores U y V determinar el vector proyecciónU v

21-Dados dos vectores determinar su producto vectorial o producto cruz. 22-Aplicar las propiedades del producto vectorial. 23-Interpretar geométricamente el producto vectorial y aplicarlo a problemas de áreas. 24-Interpretar geométricamente el triple producto vectorial y aplicarlo a problemas de volumen. 25-Dado un vector en R3 y un punto y tiene la misma dirección del vector. 26-Dada una recta y un punto fuera de ella determinar la distancia del punto a la recta. 27-Dados tres puntos, determinar la ecuación del plano que los contiene. 28-Dados dos planos, determinar el ángulo entre ellos. 29-Dados dos planos paralelos, determinar la distancia entre ellos.

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VECTORES

Dos puntos en el espacio determinan un vector.

“P” Es el ORIGEN del vector. “Q” Es el EXTREMO del vector.

║PQ║ Es la LONGITUD del vector y se

denomina MODULO o NORMA.

COMPONENTES DE UN VECTOR

El vector PQ, de la figura anterior se determina:

PQ = (x1 –x, y1, z1-z)

Donde x1-x , y1-y , z1-z son las componentes del vector.

Si dos o mas vectores tienen iguales componentes, serán equivalentes. El vector Nulo tiene

sus componentes iguales a cero. Dos vectores opuestos tienen sus respectivas componentes

opuestas.

OPERACIONES CON VECTORES

1) ADICION:

Sean ),,( 111 zyxV ),,( 222 zyxW Así

),,( 212121 zzyyxxWV

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PROPIEDADES: Sean V , W y Z vectores

i) V + W = W + V

ii) V + (W + Z ) = ( V +W ) + Z

iii) V +O = O + V O = ( O, O, O ) Vector nulo. Es el Neutro.

iv) V + (-V ) = (-V ) + V = O El vector opuesto. Es el simétrico.

EJEMPLO: Sean los puntos P((-1, 3/2, 3); Q (7, -5, 0) y R (1/3, 1, 1)

Así PQ = (8, -13/2, -3) y PR = (4/3, ½,-2) luego PQ + PR = (28/3, -6, -5)

2) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR:

Sean V = (X, Y, Z) un vector y α εR. Así α V = (α x, α y, α z)

PROPIEDADES: Sean los vectores V y W y los escalares.

i ) α (V+W) = α V + α W

ii) (α + β ) V = α V + β V.

iii) α (βV) = (α.β) V

iv) 1.V = V

Demostraremos i) Sean V= ( x1, y1, z1) y W = (x2, y2, z2)

(V+W) = α [( x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) ]

(V+W) = α (x1 + x2, y1 + y2 , z1 + z2) def. de adición

(V+W) = [ α (x1 + x2), α (y1 + y2) , α (z1 + z2)] def. del producto de un escalar por un vector.

(V+W) = ( α x1 , + α x2 , α y1 + α y2 , α z1 + α z 2) Distributiva de la multiplicación respecto

a la adición.

(V+W) = ( α x1, α y1 , α z1) + ( α x 2 ,α y2, α z2 ) Def de adición

(V+W) = α ( x1, y1, z1) + α ( x2, y2, z2 )

(V+W) = α V + α W

La demostración de las propiedades : ii, iii, y iv se dejan de ejercicios al alumno.

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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: Sea V un vector

V V

α V

α V α > 1

-1 < α < 0

El conjunto de todos los vectores del espacio con las operaciones: adición y la

multiplicación de un escalar por un vector y sus respectivas propiedades se denomina

espacio vectorial V3.

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES:

Dado un conjunto finito de vectores { V1 , V2,...Vp } , se dice que U es una combinación lineal

de esos vectores, si existen escalares α 1 , α 2,.... α P tales que:

U = α 1 V1 + α 2 V 2 + ... + α P V P

Así U = -5V + 3W, diremos que U es combinación lineal de V y W

Si U = 4/3 V, entonces U es combinación lineal de V.

EJEMPLO:

El vector U = ( 2, -7, -5 ) es combinación lineal de los vectores V = ( 1, 1, 2) y W (1, -1,0). Así

existen escalares α, β tales que:

( 2, -7, -5) = α (1, 1, 2) + β (1, -1, 0)

y se tiene: α + β = 2 , α – β = -7; 2 α = -5

luego α = - 5/2 y β =9/2.

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INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL: Los vectores V1, V2...VP

Son linealmente independientes si se verifica:

α1 V1 + α 2 V2 +...+ α P VP = O

Donde los escalares α 1, α 2,... α P son todos nulos.

En caso contrario serán linealmente independientes; esto es, existen escalares α 1, α 2,..., α P

no todos nulos tales que :

α1 V1 + α 2 V2 +......+ α P VP = O

Cualquier vector del espacio se puede escribir como combinación lineal de los vectores i, j, y k,

la base canónica de V3.

Una base para V3 es un conjunto de vectores linealmente independientes, de manera que

cualquier vector de V3 se pueda escribir como una combinación lineal de dicho vectores. Como

se dijo anteriormente la base canónica esta formada por los vectores: i = (1, 0, 0) ; j = (0,1, 0) y

k = (0, 0,1).

La dimensión de V3 es 3 ya que es el mayor número de vectores que puede tener un conjunto

linealmente independiente.

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO INTERIOR DE VECTORES:

El producto interior es una función

π (U, V) = π [ ( u1, u2, u3) (v1, v2,v 3) ]

π (U, V) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v 3

Así U = (u1, u2,u3) y V = (v1,v2,v3) entonces U.V= u1 v1 + u2 v2 + u3 v 3

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Ejemplo: V = ( ½, √3, -3) y W = (4, √3, 1)

luego, V, W = ½.4+ √3. √3+ (-3) .1= 2

PROPIEDADES:

1) Simetría : U.V=V.U

2) Aditividad: (U+V).W=..+V.W

3) Homogeneidad: (α.U ) .V = α (U V ) α ε R

4) Positividad: U.U ≥ O

Dos vectores U,V son ortogonales si su producto interior es igual a cero. Es decir U . V = O

LONGITUD O NORMA DE UN VECTOR

Sea U = (u1,u2,u3) un vector de V3 la norma o longitud de U se define por:

║U║= √ U.U = √ u12 + u2

2 + u32

Ejemplo: Sea U = (1/√2, -1/√2, √3

Así ║U║= √ (1/√2)² + (-1//√2)² +(√3)² = √½ + ½ + 3 = √4 = 2

Tomemos como representante del vector AB el vector posición OP.

Según Pitágoras: PO² = PP’² + OP’² ( I )

Aplicando de nuevo Pitágoras OP’² = OP²x + Px P’² (II)

Sustituyendo ( II ) en ( I ) tenemos OP² =PP’² + OP²x + PX P’² pero

Opx² = x²; PxP’² = OP2y = y²; PP’² = OP ²z =z²

Así OP² = X² +y² y² +z² de donde OP = √x² +y² +z²

Luego ║OP║= √x² + y² +z²

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Z B

AB

A

z

Pz

OP P

y

Py Y

Px

P’

X

PROPIEDADES:

1) ║U║> O y ║U║= O sí y sólo sí U = O

2) ║λ U║= ║λ║ ║U║

3) ║U + V║ ≤ ║U║ +║V║

5) U es unitario si ║U║ = 1

NOTA: La norma es una función de R3 en R. Ahora no toda función de R3 es una norma.

Para ser una norma debe cumplir con las propiedades dadas en el párrafo anterior.

Demostraremos que ║λ U║² = (λU ) (λU )

║λ U║²= λ² U.U

Tomando la raíz cuadrada tenemos ║λ U║ = ا λ ا ║U ║

La demostración de las otras propiedades se deja de ejercicio al alumno.

O

X

x

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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR.

z

Q (X2, Y2, Z2)

OQ

OP P (x1, y1, z1)

α

y

x

Por la ley del coseno: PQ² = OP²+ OQ² - 2OP.OQ. cos α (I)

PQ = (x2 – x1, y2 –y1, z2-z1)

PQ= ║PQ ║ = √(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²

Por otra parte ║OP║= √x12 + y1

2 + z12 y ║OQ║ = √x2

2 + y22 + z2

2

Sustituyendo en (I) tenemos:

(x2 – x1) 2

+ (y2 – y1)

2 +

(z2 – z1)

2 = (x1

2 + y1

2 + z1

2 ) + (x2

2 + y2

2 + z2

2)

- 2 . √ x12

+ y1 2 + z1

2 • √ x2

2 + y2

2 + z2

2 • cos α

Al desarrollar y simplificar tenemos:

x1. x2 + y1. y2 + z1 . z2 = √ x12 + y1

2 + z12 • √ x2

2 + y22 + z2

2 • cos α

Esto es: OP . OQ = ║OP║ .║OQ║. cos α

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Así. si U .V = ║U║. ║V║ . cos α entonces cos α = U.V

║U║. ║V║

Ejemplo: Determinar el ángulo entre los vectores U = (1,2,-1), V = (3,-1,0 )

cos α = (1,2,-1) (3,-1,0) = 3-2+0 = 1

√ 6 . √10 √60 2 √15

luego α = 82º, 58

Sea un V un vector V es un vector unitario paralelo a V.

║ V║

UV es la proyección ortogonal del vector U sobre V. ║UV║ = ║U║. cos α

║Uv║= ║U║. U . V = ║U║. ║V║

║U║.║V║ ║V║

Luego Uv = U . V . V = U. V V

║V║ ║V║ ║V║ 2

Ejemplo: Calcular la proyección del vector U = (3,2,1) y V = ( -1,2,0 )

Así Uv = U . V . V = (3,2,1 ) . ( -1,2,0 ) . (-1,2,0 )

(-1 )2 + 22+ 02

Uv= 1 . (-1,2,0 ) = (-1/5 , 2/5 , 0 ) luego Uv = (-1/5, 2/5, 0 )

5

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PRODUCTO VECTORIAL

Solo tiene validez en V3 o cualquier otro espacio de 3 dimensiones.

Sean A = (a1 , a2 , a3 ) y B = (b1, b2 , b3 ) vectores de V3

A x B = (a2b3 - a3b2 , a3.b1 - a1b3 , a b2 - a2 b1 )

Ejemplo: se A= (2, 1, - 3) y B= (3, -1, 4) entonces AxB = (1, -17, -5)

AXB

PROPIEDADES:

I. A X B = - (BXA)

II. AX (B+C) = AXB + AXC

III. (KA) XB = AX(KB)

IV. KAXB = K (AXB)

V. ║AXB║ = ║A║ . ║B║ - (A.B)

Si los vectores se expresan como combinación lineal de los vectores de la base i, j, y k

tenemos que tomar en cuenta que:

i x i = 0 ; j x j = 0 ; k x k = 0 ;

I x j = k ; j x k = i , k x i = j

En el ejemplo anterior A = 2i + j –3k y B= 3i – j + 4k

AxB = i –17j – 5k

B

A AxB y BxA siempre son perpendiculares al plano que contiene a A y B

Si A es un vector cualquiera: AxA =0 ; 0xA = o y Ax0= 0

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Sean A y B dos vectores en V3 y α el ángulo en radianes entre A y B. De la propiedad v)

podemos establecer: ║AxB ║² = ║A║² .║B║²

Sustituyendo ║AxB ║² = ║A║² .║B║² - ║A║² .║B║² . cos² α

║AxB ║² = ║A║² .║B║² (1- cos² α) Factorizando

║AxB ║² = ║A║² .║B║² . sen² α 0 < α ≤ π

Extrayendo raíz cuadrada Sen α ≥0

Ejercicio: Hallar el área del paralelogramo que tiene sus vértices en los puntos P (1, -2, 3) , Q

(4, 3, -1) , R (2, 2, 1) y S (5, 7, -3).

Si A y B son vectores paralelos no nulos entonces AxB = 0 .

Si A y B no son paralelos AxB es perpendicular al plano que los contiene.

Ejemplo: Dados los puntos P (-1, -2,-3) Q (-2, 1, 0) y R (2, 1, 3). Hallar un vector unitario

perpendicular al plano que pasa por P, Q y R.

A = PQ = (-1, 3, 3) B = PR = (1, 7, 4)

AxB = (-9,7,-10) = -9i + 7j -10k

║AxB║ = √230 luego el vector unitario perpendicular es

kjiAxB

AxB

230

10

230

7

230

9

Para un Paralelogramo h = ║B║ Sen α Por otra parte el área del paralelogramo es b. h. Así A = ║A║.║B║ Sen α luego el Área del paralelogramo es:

A= ║AxB║ unidades cuadradas

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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL

N

S

h

C R

B

P

A Q

Sean A = PQ ; B = PR y C = PS

Los vectores AxB y - (AxB) son normales al plano que contiene PQ y PR. Llamemos N al

que forme menor ángulo con C.

π

2

Las representaciones de N y C están a un mismo lado con relación al plano que contiene a PQ

y PR. La base del paralelepipedo tiene por área ║AxB║ unidades cuadradas y si h unidades

es la altura entonces:

V =║AxB║ . h (I)

α<

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Consideremos N.C = ║ N ║ . ║ C║. cos α pero h =║ C║ . cos α.

Así N.C=║N║.h (II)

además N = ║AxB║

ya que N es AxB o – (AxB) y en consecuencia N.C= ║AxB║ . h

De (I) Y (II) se tiene que N.C = V.

Luego el volumen del paralelepípedo es (AxB) . C o -(AxB) . C, es decir el valor absoluto de

(AxB) .C

Ejemplo: Hallar el volumen de un paralelepípedo que tiene sus vértices en P(5,4,5) , Q(4,10,6),

R (1,8,7) y S (2,6,9 ) y aristas PQ , PR y PS

Solución: P= PQ = (-1, 6, 1) , B = PR = (-4, 4, 2) , C = PS= (-3, 2, 4 )

Así AxB = 8i - 2j + 20k por lo tanto (AxB) . C = (8, -2, 20) . (-3, 2, 4)

(AxB) . C = 52 unidades cúbicas

ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO

Sea U un vector de componentes ),,( 321 uuuU

U = (u1, u2, u3) y M1 un punto de

coordenadas (x1, y1,z1) . Sea M ( x, y, z) otro punto M1≠M tal que M1M es paralelo a U.

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Así M1 M = λ U , esto es: (x - x1, y – y1 , z – z1 ) = λ (u1, u2, u3) donde λ es un parámetro. Luego

x - x1 = λu1

r= y – y1 = λu2

z – z1 = λu3

y son llamadas ecuaciones paramétricas de la recta r . Si u1 , u2 son diferentes de cero

entonces:

1

2

1 1

1 3

y y

u

x x z z

u u

,

denominada ecuación continua de la recta y los tres cocientes son igual a .

El vectorU paralelo a la recta se denomina VECTOR DIRECTOR de la r .

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

A (-1, 2, 0) y B (3, 1, -1

Solución: Podemos buscar directamente un vector director de la recta buscada, AB o BA

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Así U = BA =(4,-1,-1) como la recta pasa por A o por B tenemos :

1 2

4 1 1

x y z

2) Hallar la recta que pasa por A ((2,3, -1 ) y es paralela a la recta r cuyas ecuaciones son:

x =2+3 λ

r = y =1+2 λ

z = 1

Solución: De las ecuaciones paramétricas tenemos que U = (3,2,0). Así las ecuaciones de la

recta buscada son:

2 3

3 2

x y

z + 1= 0

3) Determinar si los puntos A (-1,1,0 ) ; B ( 2,-1,1) y C (3,0,-1) son colineales.

Solución: tomemos como vector director AB = (3,-2,1) y el punto A. Así 1 1

3 2 1

x y z

Vemos que el punto C no satisface la ecuación, luego A, B y C no son colineales.

ECUACIONES DE PLANO

En R3, La gráfica de una ecuación de tres variables es una superficie y la más simple de las

superficies es el plano.

DEFNICION: Sí N es un vector no nulo y P0 es un punto dado, entonces el conjunto de todos

los puntos P para los cuales los vectores y PoP y N

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P (x, y, z ) N

Y

PoP

P0 (x0 , y0 , z0 )

X

Si P0 (x0, y0, z0 ) es un punto del plano y N = (a,b,c) es un vector normal al plano, entonces:

A (x-x0 ) +b ( y-y0) +c (z-z0 ) = 0 Ecuación del plano

Esta se tiene ya que PoP = (x-x 0 , y-y0 , z-z0 ) y N = (a,b,c)

Luego PoP . N = 0 (son ortogonales ) así (x-x0) +b (y –y0 ) +c ( z-z0 ) =0

Ejemplos: Hallar la ecuación del plano que contenga al punto (2,1,3) y que tenga a 3i - 4 j +

k como vector normal.

Solución: P0 (2,1,3) y N = (3, -4, 1) la ecuación del plano pedida es 3 (x-2) –4 (y-1) + (z-3) = 0

Z

Si a, b, c no son todos nulos la gráfica de una ecuación ax + by + cz d = 0 es un plano y (a, b, c ) es un vector normal a ese plano.

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales.

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2) Encontrar la medida del ángulo en radianes entre los planos:

5x–2y +5z-12 = 0 y 2x +y –7z + 11 = 0

Solución:

Sea N1 el normal al primer plano. Y N2 el normal al segundo plano. Así N1= (5. –2, 5 ) y

N2= (2,1, -7)

Luego 1 2

1 2

cosN N

N N

(5, 2,5) (2,1, 7) 1

254 54

2/3

3) Hallar la distancia del plano 2x-y +2z + 10 = 0 al punto ( 1,4,6)

Solución: QP = (6,4,6 ) Entre N y – N tomemos el que forme menor

N = (2,-1, 2 ) ángulo α<2

- N = (-2,1,-2 con QP y lo llamaremos N1

P (1,4,6 )

α

N QP d=?

R

Q (5,0,0 )

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1

1

cosN QP

d RP QP peroCosN QP

Luego :

11

1

( ) (2, 1,2) (6,4,6)

31

QP N QPN QPd

N QP N

20

3unidades

AUTOEVALUACIÓN Nº 1

1.- Determine si los puntos 0, 2,1 ; 3, 1, 2 ; 2,5,1 1,2,6A B C yD son

coplanares.

2.- Determine la distancia del punto 0 1,2, 1P a la recta de ecuación

2 1 2

1 2 1

X Y Z

3.- Encuentre la medida del ángulo entre los planos de ecuaciones

5 2 5 12x y z Y y 2 7 11X Y Z

4.- Halle la ecuación del plano que contenga al punto 1, 1,3 y que sea paralelo al

plano de ecuación 6 3 7X Y Z

5.- Halle las coordenadas del punto P de intersección de la recta;

1 1

2 1 3

X Y ZL

con el plano de ecuación:

3 2 25 0X Y Z

CRITERIO DE CORRECCIÓN: 4 puntos cada pregunta total 20 puntos.-

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RESPUESTAS:

1.- No son coplanares.

2.- 7 3 3d unidades

3.- 1cos 1 2 120 120así

4.- 6 3 14 0X Y Z

5.- 9, 5,12P

BIBLIOGRFÍA

LEITHOLD, Louis: El cálculo, (con Geometría Analítica)

México. Editorial Harper. Segunda edición 1973

LANG, Serge: Algebra lineal, México. Editorial Fondo Educativo

Interamericano. 1975.

LIPSCHUTZ, Seymour Algebra lineal, México. Editorial McGraw-Hill 1979.

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AALLGGEEBBRRAA

MMOODDUULLOO IIII:: NNÚÚMMEERROOSS

CCOOMMPPLLEEJJOOSS

CONTENIDO:

- Definición.

- Forma rectangular, polar, interpretación geométrica.

- Álgebra de los números complejos.

- Números complejos conjugado.

- Raíces, potencia.

- Formula de Moivre.

- Formula de Euler.

- Vectores, fasores

- Funciones variables complejas (ejemplos).

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OBJETIVO

Al término de este tema, el estudiante deberá ser capaz de demostrar habilidad en el manejo

de los números complejos, cualquiera sea su expresión.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

- Establecer la necesidad de ampliar R.

- Definir número complejo.

- Dados números complejos representarlos en el plano.

- Definir la unidad imaginaria.

- Calcular potencias de la unidad imaginaria.

- Dado un número complejo en forma de par ordenado, expresarlo de manera polar o

trigonométrica.

- Interpretar geométricamente un complejo en forma polar.

- Dado dos números complejos calcular su diferencia.

- Dado dos números complejos calcular su producto.

- Aplicar las propiedades de la multiplicación de números complejos.

- Dado un numero complejo Z, definir su conjugado .Z

- Dado dos números complejos calcular su cociente.

- Dado un número complejo calcular potencias de él.

- Determinar la raíz de un número complejo dado.

- Aplicar la formula de Moivre.

- Aplicar la formula de Euler.

- Definir fasores.

- Aplicar el concepto de favor a problemas de circuitos eléctricos.

- Dado un número complejo, determinar su imagen a través de funciones

trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

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NÚMERO COMPLEJO

DEFINICION: Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a, b). El primer

elemento representa la parte real y se indica con el símbolo Re, el segundo elemento

representa la parte imaginaria y se indica con el símbolo Im, entonces:

Re z a y Im .z b

El número complejo z se representa en el plano complejo como se muestra:

Dos números complejos 1 2, , ,Z a b Z c d son iguales si , y solo sí, a=c y b=d.

Una igualdad en el conjunto de los números complejos equivalentes a un par de igualdades en

el conjunto de los números reales.

FORMA RECTANGULAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

Todo número complejo (a,b) se puede escribir en forma ,a bi que es la llamada forma

rectangular de un número complejo.

El número complejo (0,1) esta representado por i .

0

1

2

3

1

1

i

i i

i

i i

EJE

IMAGINARIO

b (a, b)

a EJE REAL

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FORMA POLAR

Un número complejo también se puede expresar de la siguiente forma ,iZ Z e

que es la llamada forma polar o exponencial.

El termino Z representa la magnitud de Zy representa el argumento de Z.

SUMA Y RECTA DE NÚMEROS COMPLEJOS

La suma de dos números complejos es otro número complejo que encuentra al sumar las

partes reales y las imaginarias.

1 2 2 1 ,Z Z Z Z Z donde 1 2, ,Z a ib Z c id

entonces: .Z a c i b d

1 2 .Z Z a c i b d

MULTIPLICACIÓN

Utilizando los números complejos 1 2Z yZ anteriores, su producto es:

1 2 .Z Z a ib c id ac bd i ad bc

lo que indica que el producto de dos números complejotes otro número complejo. En la forma

polar, se tiene que:

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2 1 2

,i i

i

Z Z e Z Z e

Z Z Z Z e

EJE IMAGINARIO

Z

EJE REAL

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



La multiplicación de números complejos se logra más fácilmente en la forma polar o

exponencial que en la forma rectangular.

La suma y la multiplicación de números complejos son conmutativas y asociativas y la

multiplicación es distributiva con respecto a la suma en los números complejos, por lo tanto:

1.- 1 2 2 1Z Z Z Z

2.- 1 2 2 1. .Z Z Z Z

3.- 1 2 3 1 2 3Z Z Z Z Z Z

4.- 1 2 3 1 2 3. . . .Z Z Z Z Z Z

5.- 1 2 3 1 2 1 3. . .Z Z Z Z Z Z Z

CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El conjugado del número complejo ,Z a ib por definición, es .Z a ib

Con frecuencia la multiplicación de un número complejo Z por su conjugado ,Z cuyo resultado

es un número real.

En la forma polar, ,iZ Z e entonces el conjugado será: .iZ Z e

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Para cada par de números complejos 1 2 2, 0,Z yZ Z se define la división como:

1. 21 1 21 2

2 2 2 2 2

1. .

Z ZZ Z ZZ Z

Z Z Z Z Z

2 2 2 2

ac bd bc adZ i

c d c d

En la forma polar o exponencial:

1

1 2

2

1 11

2 2 2

i

i

i

Z e ZZe

Z Z e Z

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



RAÍCES Y POTENCIAS DE Z

Las raíces y las potencias de números complejos se encuentran utilizando la ley de los

exponentes. Por lo tanto:

n nn i i nZ Z e Z e

Si se sustituye 1/m en lugar de n y también se suma 2 ,k a se obtiene:

21 i k MM MZ ze

, donde K es un entero y para K=0 se tiene

el valor principal. Este resultado se conoce como teorema De Moivre.

IDENTIDAD DE EULER

Existen ecuaciones útiles para convertir de polar a rectangular, que se derivan principiando con

la identidad de Euler:

cosie isen

LOGARITMO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El logaritmo de un número complejo se encuentra expresando es número en forma polar y

observando también que 2 para cualquier valor entero de k con en radianes.

Entonces:

2

2iiLnZ Ln Z e Ln Z e Ln Z i

El valor para 0k se conoce como valor principal.

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



PROPLEMAS PROPUESTOS:

1.- En las siguientes expresiones, hallar los valores de m y n que hacen ciertas la

proposición dada:

. 3, 2 1,2

. , 4, 2

. 3 2 5

. 3 5

. 5 6, 7 ,

a m n

b m n

c m i n m i

d m n i n m i

e m n m n

2.- Exprese los siguientes números complejos en forma polar:

. 3 3 , 3 4 , 3 2 , 2 2

1 3. 1 3 , . 4 2

2 2

3 12 5. 3 ,

2 13 13

a i i i i

b i i i

c i i

3.-

Exprese los siguientes números complejos en forma rectangular:

45 30 120

120 105

. 3 , 4 , 3

. 2 , 15

i i i

i i

a e e e

b e e

4.- Dado los siguientes números complejos:

1 2 3 4

22 3 , 1 3 , 3 3 2 3 .

2Z i Z i Z i yZ i

Determine las siguientes cantidades, indicando cada número complejos y la suma o la resta en

el plano complejo:

1 2 3

1 4

1 2 3 4

2 3 4

.

. 3

.

. 4 5

a Z Z Z

b Z Z

c Z Z Z Z

d Z Z Z

5.- Utilizando los mismos números complejos del problema anterior, determine las

siguientes cantidades, expresándolas en forma rectangular y en forma polar. Presente cada

cantidad en el plano complejo.

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



1 2

1 3 2 4

1 2

. .

. .

. .

a Z Z

c Z Z Z Z

e Z Z

1 3 4

1 2

1 1

4 4

. . .

. .

..

b Z Z Z

c Z Z

Z Zf

Z Z

6.- Utilizando los mismos números complejos del problema 4, determine las siguientes

cantidades, expresándolas en forma rectángula y en forma polar, presente en el plano

complejo.

1

2

3

4

.

.

Za

Z

Zc

Z

1 2

3 4

1

3 2 4

..

.

.

Z Zb

Z Z

Zc

Z Z Z

7.- Si 1

,cos

a ibisen

determine los valores de a y b.

8.- Hallar dos números complejos, sabiendo que su suma es 4 3,i la parte real

de uno de ellos es 4 y el cociente es imaginario puro.

9.- Hallar el valor de x para que el producto 4 . 3x i i sea un número real.

10.- Hallar el valor de x para que el cociente 4 3

5 2

x i

i

sea imaginario puro.

11.- Determinar el valor de x y p de modo que el siguiente producto sea igual a

9 11 :i

2 . 5 .x i p i

12.- Hallar Z, sabiendo que 5Z Z y que . 19.Z Z

13.- Hallar dos números complejos, cuya diferencia es un número real, su suma tiene como

parte real 3 y su producto es igual a 35 7 .i

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



14.- Dar la expresión más simple de cada una de las siguientes:

31

504

4 16

.

.

. n

a i

c i

e i

23

4 1

4

.

.

.

n

n

b i

d i

f i

15.- Si

6 2 6 2,

4 4Z i

hallar:

2

6

.

.

a Z

c Z

3

24

.

.

b Z

d Z

16.- Efectúe y escriba en la forma :a ib

3 2

43

1 . 2

. 1 3

i i

i i

17.- Efectúe:

. ia i . ib i

18.- Efectúe:

3 2

2

10 2

2cos30 . 3cos 45.

13cos60 . cos 60

2

. 3 cos15 . 1 3

a

b i

19.- Desarrolle y exprese en la forma :a ib

1 1

1 17 2 1

2 2i

i

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



20.- Desarrolle las siguientes expresiones:

2

5

39

237

3

3

5 3 . 3 3.

4 4

2 . 1 4.

. 5

s 45 cos 60 . 60.

3 2

i ia

i

i ib

i i

en i isenc

i

21.- Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones y simplificar:

2

2

2

. 9 0

. 32 0

. 1 5 0

a x

b x

c x

22.- Que restricción debe imponerse a x para que

1 1?x i x

23.- Un estudiante expuso la siguiente “demostración” de que 1=-1, encontrar el error.

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

11

1

1

i

i

1 .1

ii

1 .i i

21 i

1 1

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Teoría y Práctica



24.- Hallar:

4

3

. 1

. 64

a i

b

25.- Resolver las siguientes ecuaciones:

3

5

2

. 5 15 0

. 1 0

. 24 5 0

a Z i

b Z i

c Z i

26.- Sea 2 .f x x i

a.- Hallar2 2

2 2f i

b.- Hallar 2 2

2 2f i

c.- Hallar dos soluciones de la ecuación 2 0.x i

27.- Calcule:

. 2 3

. 2 2

. 2 2

. cos 3 2

. 2

a Ln i

b Ln i

c Sen i

d i

e Tag i

AUTOEVALUACIÓN 2

1.- Efectúe y escriba en la forma :x iy

3 2

48

1 2

1 3

i i

i i

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Teoría y Práctica



2.-Escriba en forma exponencial:

. 2 2a Z i . 3b Z

3.-Efectúe:

3 2

2

2cos30 3cos 45

13cos60 cos 60

2

4.-Calcule las raíces quinta de 1 .Z i

5.-Dado 2 2 .Z i Calcule LnZ y SenZ.

RESPUESTAS

1.- 3 171

2.- a) 2 2 2 2 2. cos2 2 0,69627 0,02419z i ie e e e e isen i

b) 3 6 6 6 6 6. cos 6 6 0,0002478 1 0,0000025902z i ie e e e e isen

3.- 48cos330

4.- 5 1 105 4 2

1 2cos 45 2 cos5

ki

Para k=0 1 10

1 2 cos 20z

Para k=1 1 10

2 2 cos9 20z

Para k=2 1 10

3 2 cos17 20z

Para k=3 1 10

4 2 cos5 4z

Para k=4 1 10

5 2 cos33 20z

5.- 2 2 2 2 4 2 0, 1, 2, 3...Lnz Ln i Ln i k k

Valor principal: 2 2 4Lnz Ln i

6.-

2 2 2 2

2 2 0,1312985 3,6246502

i i i ie e

senz sen i ii

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Teoría y Práctica



BIBLIOGRAFÍA

- BURGOS, A. (1978) Matemáticas Generales. Tomo II

Selecciones Científicas. Madrid.

- LANG, S. (1975) Álgebra Lineal.

Fondo Educativo Interamericano, S.A.

- SPIEGEL, M. (1971) Variable completa.

McGraw-Hill. México.

- QUEYSANNE, M(1979) Álgebra Básica.

Editorial Vicen-Vives. Barcelona. España.

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Teoría y Práctica



ÁÁLLGGEEBBRRAA

MMOODDUULLOO IIIIII:: MMAATTRRIICCEESS

CONTENIDO

- Definición de Matrices

- Operaciones con matrices

- Matrices especiales

- Matriz inversa multiplicativa

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Teoría y Práctica



OBJETIVOS GENERALES

- Al finalizar el estudio, el estudiante deberá mostrar destreza en el manejo de matrices a

través de la resolución de problemas.

- Al finalizar el tema, el estudiante deberá ser capaz de mostrar destrezas en el cálculo y

aplicación de los determinantes.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

- Definir Matriz.

- Definir Matriz asociada a una transformación lineal.

- Definir matrices notables.

- Dadas dos matrices calcular su suma.

- Aplicar las propiedades de la adición de matrices.

- Calcular el producto de un escalar dado por una matriz.

- Aplicar propiedades del producto de un escalar por una matriz.

- Determinar el producto de dos matrices.

- Determinar la matriz equivalente a una matriz dada, usando las operaciones

elementales entre filas.

- Determinar la matriz escalonada reducida por filas, equivalente a una matriz dada.

- Definir determinante de una matriz.

- Calcular el valor de determinantes de segundo y tercer orden.

- Calcular el valor de determinantes de orden mayor o igual que cuatro.

- Calcular el producto vectorial de vectores usando determinantes.

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Teoría y Práctica



MATRICES

Una matriz real es un conjunto ordenado de números reales arreglados en filas y columnas.

Sean I = 1,2,3,4,....n y J = 1,2,3,...m dos conjuntos de números reales de n y

m elementos, respectivamente. Se llama Matriz de Orden n x m sobre R, a toda función:

:A IxJ R

En este capitulo usaremos las siguientes nomenclaturas:

a. La imagen de un par (i, j) se denota por aij, ósea a (i,j) = aij.

b. Los escalares aij se denominan elementos de la matriz A en donde el primer

subíndice indica la posición de la fila y el segundo la posición de la columna.

c. Emplearemos letras mayúsculas para representar las matrices y letras

minúsculas con o sin subíndices para sus elementos.

d. Se acostumbra presentar el arreglo de los elementos de una matriz A entre

paréntesis o corchetes, como se indica a continuación:

A =

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

Ö A =

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

e. Se emplea la notación A = (aij)nxm para identificar una matriz de orden nxm,

cuyos elementos son aij.

f. Se acostumbra a decir que una matriz A= (aij)nxm es una matriz n filas y m

columnas, que es el orden de la matriz.

g. El conjunto de las matrices de n filas y m columnas sobre R, se denota por

Mnxm( R ).

h. Cuando n=1, se dice que A es una matriz fila. Cuando m=1, se dice que A es

una matriz columna.

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Teoría y Práctica



(a11 a12 a13 a14) matriz fila,

11

21

31

a

a

a

matriz columna

i. Cuando n=m se dice que A es una matriz cuadrada de orden n. El conjunto de

las matrices cuadradas de orden n , sobre R, se denota por Mn( R).

j. Para todo elemento i de la matriz 1xm, cuya representación es:

(a11 a12 a13…….an) se denomina la i-enésima fila de A

IGUALDAD DE MATRICES

Sean A= (aij)nxm y B = (bij)pxq dos matrices. La matriz A es igual a la matriz B, si solo si n=p,

m=q y además aij = bij , para todo par de índice (i, j).

MATRICES ESPECIALES

Ahora vamos a definir unos tipos especiales de matrices, que nos van a permitir expresar

relaciones importantes mas adelante.

En el caso especial en que las matrices sean cuadradas, es posible destacar los elementos aij

con i = j, los cuales forman la diagonal de la matriz.

1- Consideremos una matriz cuadrada de orden n tal que aij = 0 cuando i≠j, por ejemplo:

11

22

33

0 0....0

0 0....0

0 0 ...0

a

a

a

A esta matriz se le llama matriz diagonal.

Un caso particular de matriz es la llamada matriz escalar.

En ella se tiene que aij =

,

,

k R sii j

o sii j

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



Por ejemplo :

3 0 0

0 3 0

0..

0 0 3

Toda matriz escalar es diagonal, pero lo contrario es falso.

2.- Si se tiene una matriz cuadrada de orden n, tal que:

aij=

1

0

si

si

i j

i j

se tiene In

1 0 0

0 1 0

0 0 0 1

3.- Sea A (aij) nxm, una matriz con coeficientes en R, la matriz (aij)mxn, que se obtiene de la

matriz A al intercambiar filas por columnas, se llama transpuesta de la matriz A y se denota At .

Ejemplo: A=

4 0

3 1

5

6

entonces At =

4 6

0 3

5 1

4.- La matriz A = (aij) nxm se llama triangular inferior, si solo si aij=, cuando i < j. Se llamara

triangular superior, si solo si aij = 0, cuando i j. Las matrices siguientes son, respectivamente,

triangular inferior y triangular superior.

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



A =

1 0 0 0

0 7 0 0

9 5 2 0

1 1 3 2

Y

3 2 1

0 7 9

0 0 7

B

OPERACIONES CON MATRICES

En el siguiente punto vamos a estudiar definidas con matrices para establecer el tipo de

estructura que estos conjuntos tienen.

SUMA DE MATRICES

Dadas las matrices A = ( aij) y B = (bij) que tienen el mismo orden, se llama matriz suma de A Y

B C = (cij), tal que Cij = aij + bij para todo par (ij) y se denota como : C = A + B . Ejemplo:

2 5 3 5 0 7 2 5 5 0 3 ( 7)

6 4 0 0 8 1 6 0 4 8 0 1

7 5 10

6 12 1

La matriz suma C es del mismo orden de A y B. La suma de matrices satisface las siguientes

propiedades:

La suma es conmutativa.

La adición es asociativa.

Existe el elemento neutro: la matriz nula de orden nxm.

Toda matriz de orden nxm, tiene simétrica u opuesto.

Estas propiedades pueden demostrarse con facilidad, por lo tanto las dejaremos como

ejercicio.

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



RESTA DE MATRICES.

Sean A y B dos matrices del mismo orden, la resta A-B = A + (-B). Ejemplo:

8 4 3 7 8 4 3 7

5 3 2 5 5 3 2 5

8 ( 3) 4 ( 7)

5 ( 2) 3 ( 5)

=

11 3

3 2

Es evidente que la resta se puede efectuar restando los elementos correspondientes.

MULTIPLICACION ESCALAR

Sean R y A = (aij) una matriz. Al par ( , A) le asociamos una matriz B= (bij)nxm, tal que

llamaremos multiplicación de un escalar por una matriz y que denotaremos B = A . Ejemplo:

2 3 4.2 4.( 3)4

6 7 4 6 4.7

8 12

4 6 28

Esta operación tiene las propiedades que se indican a continuación:

( )

( )

( ) ( )

1

A A A

A B A B

A A

A A

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



Ahora podemos establecer algunas propiedades de la matriz transpuesta:

( )

( ) ( )

( )

t t t

t t

t t

A B A B

A A

A A

MULTIPLICACION DE MATRICES

Dada las matrices A=(aij)nxmy B = (bik)mxp, a este par de matrices le asociamos otra matriz C=

(cik)nxp, que llamaremos matriz multiplicación de A por B y es denotada por C =AB y en donde:

1

m

ik ij jk

j

C a b

Es importante notar que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número

de filas de la segunda matriz, de otro modo el producto no esta definido. Si A Y B son matrices

cuadradas del mismo orden, es claro que en este caso existen el producto de AB y BA, pero

estos no son necesariamente iguales. Es decir, la multiplicación no es conmutativa.

Consideremos las matrices:

372

101A y

3 2

1 2

0 1

0 1x

B

A es una matriz de orden 2x3 y B es de orden 3x2 por lo tanto, si existe el producto de AB, que

dará como resultado una matriz de orden 2x2.

1 21 0 1

0 12 7 3

0 1

AB

MATRIZ INVERSA MULTIPLICATIVA

Sabemos que en M(n,R), el conjunto de las matrices cuadradas de orden n y coeficientes en R,

existe un elemento identidad: In . Este hecho nos induce a establecer si existen y como se

pueden determinar, la matriz inversa, en el sentido multiplicativo, de una matriz dada.

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



Una matriz cuadrada A de orden n y coeficientes en R admite inversa, si existe una matriz B

cuadrad de orden n, tal que AB = BA = In, siendo In la matriz identidad de orden n. Tal matriz

se denota por At

Si A es una matriz cuadrada de orden n y existe una matriz Bnxn, tal que BA = In se dice que B

es inversa de A a la derecha. En forma análoga una matriz Cnxn tal que AC=In, se dice que es

inversa de A a la derecha.

Si A es una matriz que admite inversa a la izquierda y a la derecha se cumple que tales

matrices son iguales. En efecto: si BA=AB=In, entonces se tiene que

B==In)B(AC)=(BA)C=InC=C

Ejemplo: hallar a la inversa multiplicativa de

Sea,

2 3

6 10A

la matriz multiplicativa de A.

Tenemos

2 3 1 0

6 10 0 1

â b

c d

Esto nos da los sistemas:

135

2

3 1A

y

2 3 0

6 10 0

b d

b d

Resolviendo los sistemas de ecuaciones tenemos que:

135

2

3 1A

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



Ahora vamos a establecer algunas propiedades:

Sean A y B dos matrices de orden nxm. Se cumple entonces que:

- Si A es inversible, también lo es A-1 y se tiene (A-1)-1 =A.

- Si A y B son inversibles, también lo es AB y (AB)-1 = A-1 B-1

- Si m es un entero positivo y A es una matriz de orden nxm definimos A-m = (A-1 )m

No todas las matrices cuadradas admiten inversas.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Dada las matrices3 8 2 2 7 4

,5 0 9 6 9 5

A yB

efectuar las siguientes operaciones indicadas:

.

.t

a A B

d A B

. 2

. 5

b A B

e A B

.

. 3 4

t ta A B

d A B

2.- Sean 2 3 4 3 3 2

, , :4 5 6 2 5 1

A B yC calcular

.a A BC y AB C

.b A B C y AB AC

.c B C A y BA CA

3.- Sean

2 22 1 1 3

, 1 0 ,3 1 2 1

1 3

A B yC

¿Se pueden

calcular los siguientes productos? En caso afirmativo efectuarlo.

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



.

. , , , , .

a A BC y AB C

b BC CB CA AC AByBA

4.- Sean

cos 0 1 0 0

cos 0 , 0 cos

0 0 1 0 cos

sen

sen B sen y

sen

0 1

1 0 ,

2 0

C

se pide calcular:

2 2

. ,

.

.

tt ta AB B A y AB

b ACyCA

c B yA

5.- Hallar s y t, tal que:

3 3 2 7.

4 2 4

0 2 5 3.

3 4 0 3

s ta

t s

s tb

s t

6.- Hallar la matriz X tal que:

2 3 8 0. 3

8 7 1 13

2 1 0 1 1 1. 2

0 3 1 1 2 1

1 0 5. 5 2

2 3 6

a X

b X

c X X

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



7.- Resolver:

2

2

2

2

. 01 2

0. 0

0

x ya I

xb I

x

8.- Dadas:

3

1 12 3 0

2 5 1 2 3

0 4 1 2 2 1 03

i ii i

A i yB i i i

i

. , , ,

. t t

a A B A B AB BA

b A B

9.- Calcular la matriz inversa, si existe, para cada una de las siguientes matrices:

1 3

5 7a

2 1 1

. 4 3 2

6 1 1

b

cos.

cos

senc

sen

10.- Tres fincas A, B y C producen naranjas guanábanas y aguacates. La finca A produce en

toneladas 3,5y 4 de los mencionados productos, respectivamente. La finca B produce 2,10 y 12

toneladas respectivamente y la finca C produce 7,2 y 4 toneladas respectivamente. El costo de

producción por producto es de Bs. 20,00 por Kg., Bs. 30,00 por Kg. y 60,00 por Kg., si los

precios de venta son de Bs.40, 00 por Kg., Bs.50, 00 por Kg. y de 80,00 por Kg. Se desea:

a.- Hacer un cuadro (matriz) de producción.

b.- Dar el costo de producción con una matriz.

c.- Dar el precio de venta con una matriz.

d.- Calcular el costo total por finca.

e.- Calcular los ingresos por finca.

f.- Calcular la ganancia total por finca.

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



11.- Calcular el valor del determinante de las siguientes matrices:

2

2

2

2 2

25

7 3. . .

5 2

cos 1 21. .

cos 1 2 1

3 2 11 2 3

. 2 0 1 . 0 1

3 4 2 0 1

a b a ba aba b c

a b a bab b

sen t td e

sen t t t

i i

f g i i

i

12.- Calcule:

3

125

1 1 2 31 3 2 2

. . 1 21

2 3 0

i ii

a b i ii i

i i

1 0 2 01 1 1 1 9

1 1 1 1 9 3 1 0. .

1 1 1 1 4 3 0 1

1 1 1 1 1 17 64 5

c d

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 1 5 0 0 0

. .0 1 0 1 0 1 5 6 0 0

0 0 1 0 1 1 2 3 4 0

0 0 0 1 0 1 2 2 3 4

e f

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13.- Considere las siguientes matrices:

1 1 11 2 0 2

3 4 1 0 0 3

5 0 1 2 1 03

A yB

a.- Calcular 3det 3 det 4AA B y AB B I

b.- Calcular det det detA B y A B ¿Qué concluye?.

c.- 22det . ,det dettA A A y A

14.- Demuestre:

2

cos.

cos

cos cos

. cos 0

cos cos cos

sena r

rsen r

sen sen sen

b sen sen sen sen

sen sen

15.- Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

0 2 1 02 6

0 1 3. 4 1 3 0 . 0

1 0 20 4

2 1 0 3

x

a b

x

16.- Sean f, g, h, k cuatro funciones derivables en un intervalo (a,b). Se define

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f x g xF x

b x k x

para cada x de (a,b)

Demuestre que:

t t

t

t t

f x g xf x g xF x

h x k xh x k x

Nota: tF es la función derivada.

17.-Considere la siguiente matriz triangular superior:

5 6 7 8

0 5 6 7,

0 0 5 6

0 0 0 5

A

Determine: 1 1,det det .A A y A

18.- Sea

1 0 0 0

0 1 0 0; .

0 0 1 0

0 0 0 1

a b c d

e f g hA B

a b c d

e f g h

Demuestre:

. det . detc d a b

a A b Bg h e f

19.- Halle los valores de R tales que 0,I A si:

2 1 10 3

. . 0 3 12 1

2 1 3

a A b A

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20.- La ecuación de la recta que pasa por los puntos 1 1 1 2 2 2, , ,P x y yP x y esta

dada por: 1 1

2 2

1

1 0.

1

x y

x y

x y

Por medio de este resultado, determine la ecuación de la recta

que pasa por los puntos 1 212,3 ,2

2P yP

21.- Sin desarrollar, sino solamente usando las propiedades de los determinantes, verifica

que los siguientes determinantes son nulos:

2

2 2

2 2

1 cos 1

. 1 cos . 1

1 cos 1

sen a b c

a sen b b c a

sen c a b

22.- Calcular la matriz inversa, si existe, de las siguientes matrices:

3 2 cos 1. . .

1 4 cos 2 1

sen i ia b c

sen i

2 1 1 0 1 20 2

. 2 0 4 . 1 0 3 .0 1

3 2 3 2 3 0

d e f

Nota: utiliza la ecuación

1 1.

detA adj A

A

23.- Establecer sin desarrollar los respectivos determinantes, si las siguientes matrices son

singulares:

2 1 5 3 5 7

. 0 3 6 . 4 9 1

0 0 4 3 5 7

a b

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24.- Determinar todos los valores de x para que las siguientes marices, sean invertibles:

2

1 1 1 0 1

. 2 3 . 0 1 0

4 9 2 2

x

a x b x

x i x

25.- Demostrar que det det ,A A cualquiera sea .A Mn R y R

26.- Sea A una matriz cuadrada, tal que det 4.A Calcular:

1 1. det . det . det .a A b A c A

AUTOEVALUCIÓN 3

1.- Sea

1 1

2 1

1

i i

A i i y i

i

Hallar .A

2.- Dada la matriz

3 1 2

0 4 5 ,

0 0 3

A

resolver 3det 0A XI

3.- Calcular:

3 1 1 2 1

0 3 1 4 2

1 4 2 3 1

5 1 3 2 5

1 1 2 3 2

A

4.- Hallar la matriz inversa de

2 3 4

2 1 1

1 1 2

A

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RESPUESTAS

1.-

2 2

1 3

1 1

i

A i i

i i

2- 3,4, 3

3.- 166

4.- 1

1 2 1

5 8 6

3 5 4

A

BIBLIOGRAFÍA

-BURGOS, A. (1978) Matemáticas Generales. Tomo I

Selecciones Científicas. Madrid.

- LANG, S. (1975) Álgebra Lineal.

Fondo Educativo Interamericano, S.A.

- NERING, E (1977) Álgebra Lineal y Teoría de Matrices.

Editorial Limusa. México.

- LIPSCHUTZ, S. (1971) Álgebra Lineal.

Editorial McGraw-Hill. México.

-QUEYSANNE, M. (1979) Álgebra Básica.

Editorial Vencen-Vives. Barcelona. España.

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ÁÁLLGGEEBBRRAA

MMOODDUULLOO IIVV:: SSIISSTTEEMMAA DDEE

EECCUUAACCIIOONNEESS

CONTENIDO

- Sistemas de ecuaciones lineales.

- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando el método

de Gauss - Jordan.

- Métodos Iterativos.

OBJETIVO GENERAL

- El estudiante deberá ser capaz de resolver sistemas de

ecuaciones usando el método de Gauss- Jordan..

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SISTEMAS DE ECUACIONES

m Ecuaciones en n incógnitas: Eliminación de Guass-Jordan.

Se procederá a describir un método para encontrar las soluciones (si existen) de un sistema de

m ecuaciones lineales en n incógnitas.

En general, un sistema de m y n de m ecuaciones lineales en n incógnitas esta dado por:

1

2

3

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

...........................................

...........................................

...........................

a x a x a x a x

a x a x a x a x

a x a x a x a x

n n b

n n b

n n b

................

1 2 3 1a x a x a x a x

mm m m mn n b

(A)

Este sistema puede ser escrito en la forma Ax b donde

11 12 1

21 22 2

31 32 3

21

a a a

a a a

a a a

a a

n

n

A n

amm mn

1

2

3

n

X

X

x X

X

1

2

3

m

b

b

b b

b

En este sistema todas las a y b son números reales dados. El problema es encontrar todos los

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conjuntos de n números, denotados por 1 2 3, , , , nX X X X que satisfagan cada una de las m

ecuaciones de (A).

El número ija es el coeficiente de la variable jX en la i-ésima ecuación.

Resolvemos el sistema (A) escribiendo el sistema como una matriz aumentada y reduciendo

por renglones la matriz escalonada reducida. Empezamos dividiendo el primer renglón entre

11.a Si 11 0a entonces podemos intercambiar las ecuaciones de forma que la nueva 11.a sea

diferente de cero. Usamos después está primera ecuación para eliminar los términos en 1X de

cada una de las otras ecuaciones. Luego, la segunda nueva ecuación se divide entre el nuevo

termino 22.a y esta nueva ecuación se usa para eliminar los términos en 2X de las demás

ecuaciones. Este proceso se continúa hasta que ocurra una de las tres situaciones siguientes:

1.- La última ecuación diferente de cero nX C para alguna constante C. Entonces hay

una única solución o hay un número infinito de soluciones para el sistema.

2.- La última ecuación es una ecuación lineal en dos o más variables. Entonces existe un

número infinito de soluciones.

3.- La última ecuación queda 0 C donde 0.C Entonces no existe solución. En este

caso decimos que el sistema es inconsistente. En los dos casos anteriores se dice que el

sistema es consistente.

Antes de entrar al método en general veremos algunos ejemplos simples.

Ejemplo 1

Resuelva el sistema.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4 6 18

4 5 6 24

3 2 4

X X X

X X X

X X X

(1)

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Solución

Buscamos tres números 1 2 3, ,X X X tales que las tres ecuaciones en (1) sean satisfechas. El

método de solución consistirá en simplificar las ecuaciones de forma que las soluciones sean

identificadas fácilmente. Empezamos por dividir la primera ecuación entre 2. Esto da

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 9

4 5 6 24

3 2 4

X X X

X X X

X X X

(2)

Como sabemos sumar dos ecuaciones nos lleva a una tercera ecuación valida. Esta ecuación

puede reemplazar en el sistema a cualquiera de las dos usadas para obtenerla. Empezamos a

simplificar el sistema (2) multiplicando por -4 ambos lados de la primera ecuación en (2) y

sumando esta nueva ecuación a la segunda. Esto da

1 2 3

1 2 3

2 3

4 8 12 36

4 5 6 24

3 6 12

X X X

X X X

X X

La ecuación 2 33 6 12X X es nuestra segunda nueva ecuación y ahora el sistema es

1 2 3

2 3

1 2 3

2 3 9

3 6 12

3 2 4

X X X

X X

X X X

Ahora multiplicamos la primera ecuación por -3 y la sumamos a la tercera ecuación

1 2 3

2 3

2 3

2 3 9

3 6 12

5 11 23

X X X

X X

X X

(3)

Se nota que el sistema (3) la variable 1X ha sido eliminada de la segunda y tercera

ecuaciones. Ahora dividiremos la segunda ecuación por -3

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1 2 3

2 3

2 3

2 3 9

2 4

5 11 23

X X X

X X

X X

Multiplicamos la segunda ecuación por -2 y la sumamos a la primera: luego se multiplica la

segunda ecuación por 5 y se le suma a la tercera:

1X

3

2 3

3

1

2 4

3

X

X X

X

Multiplicamos la tercera ecuación por -1:

1X

3

2 3

3

1

2 4

3

X

X X

X

Finalmente, sumamos la tercera ecuación a la primera y después se multiplica la tercera

ecuación por -2 y se le suma a la segunda para obtener el siguiente sistema (el cual es

equivalente al sistema (1)):

Esta es la solución del sistema. La escribimos en forma de vector 4, 2,3 El método

aquí usado se conoce como método de eliminación de Gauss-Jordan.

Antes de continuar con otro ejemplo resumiremos lo hecho en éste:

1.- Dividimos para ser igual a 1 el coeficiente de 1X en la primera ecuación.

2.- Eliminamos los términos en 1X de la segunda y tercera ecuaciones, esto es, hicimos

los coeficientes de estos términos iguales a cero multiplicando la primera ecuación por

números apropiados y después sumándole a la segunda y tercera ecuaciones,

respectivamente.

1X

2

3

4

2

3

X

X

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3.- Dividimos para hacer igual a 1 el coeficiente del término en 2X en la segunda

ecuación y después usamos ésta para eliminar los términos en 2X de la primera y tercera

ecuaciones.

4.- Dividimos para hacer igual a 1 el coeficiente del termino en 3X la tercera ecuación y

después usamos ésta para eliminar los términos en 3X de la primera y segunda ecuaciones.

MATRIZ DE COEFICIENTES

Antes de resolver otros sistemas de ecuaciones, introduciremos una notación que más fácil

escribir cada paso en nuestro procedimiento. Una matriz es un arreglo rectangular de

números. Los coeficientes de las variables 1 2 3, ,X X X en el sistema (1) pueden ser

escritos como los elementos de una matriz A, llamada matriz de coeficientes del sistema:

2 4 6

4 5 6

3 4 2

A

(4)

Define los vectores x y b como

1

2

3

X

x X

X

y

1

24

4

B

b

El sistema (1) puede escribirse en la forma AX b

El proceso de efectuar operaciones elementales de renglón para simplificar una matriz

aumentada se llama reducción por renglones.

Notación

1.- iM c indica “multiplicar el i-ésimo renglón de una matriz por el número c”.

2.- ,i jA c indica “multiplicar el i-ésimo renglón por c y sumárselo al j-ésimo renglón”

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3.- iM c indica “intercambiar (permutar) los renglones i y j”

4.- A _________ B indica que las matrices aumentadas A y b son equivalentes; esto

es, que los sistemas que representan tienen la misma solución.

En el ejemplo 1 vimos que si usamos las operaciones elementales de renglón (1) y (2) varias

veces obtenemos un sistema en el cual las soluciones al sistema quedan dadas explícitamente.

Ahora repetiré los pasos del ejemplo 1, usando la notación anterior:

1,2

1

1,3

2 4 6 18 1 2 3 9 1 2 3 94

14 5 6 24 4 5 6 24 0 3 6 122 3

3 1 2 4 3 1 2 4 0 5 11 23

AM

A

2 1

2

2 3

1 2 3 9 1 0 1 1, 2

1 3 0 1 2 4 0 1 2 4, 5

0 5 11 23 0 0 1 3

AM

A

3 1

3

3 2

1 0 1 1 1 0 0 4, 1

1 0 1 2 4 0 1 0 2, 2

0 0 1 3 0 0 1 3

AM

A

De nuevo fácilmente vemos la solución 1 4X 2 2X y 3 3X

MATRIZ AUMENTADA

En cada paso del ejemplo 1, se escriben muchas X. Esto no es necesario: Usando la notación

matricial, el sistema (1) puede expresarse como la matriz aumentada.

2 4 6 18

4 5 6 24

3 1 2 4

(5)

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Por ejemplo, la primera fila de la matriz aumentada (5) se lee

1 2 32 4 6 18.X X X Nótese que cada fila o renglón de la matriz aumentada

corresponde a una de las ecuaciones del sistema.

Ahora se dará una terminología especial. Hemos visto que multiplicando o dividiendo los dos

lados de una ecuación por un número diferente de cero se obtiene una nueva ecuación válida.

Más aún, si sumamos un múltiplo de una ecuación del sistema obtenemos otra ecuación valida.

Finamente, si intercambiamos dos de las ecuaciones de un sistema se obtiene un sistema

equivalente. Estas tres operaciones, cuando se les aplica a una matriz aumentada de un

sistema de ecuaciones, se denomina operaciones elementales de renglón (o sobre

renglones).

Resumiendo, las tres operaciones elementales sobre renglones aplicadas a la representación

de la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones son:

OPERACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN

1.- Multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de cero.

2.- Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.

3.- Intercambiar dos renglones.

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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES: METODOS ITERATIVOS.

En la parte anterior se presentó un método para resolver sistemas se ecuaciones lineales

directamente. Se realizaban un número fijo de pasos para llegar a una sola respuesta. En

análisis numérico este procedimiento es la excepción, más que la regla. Un procedimiento más

común es el iterativo. En el método iterativo la idea es obtener una secuencia de

aproximaciones a la solución. Si todo sale bien, esta secuencia converge a la solución correcta,

en el sentido de que cada término o iteración en la secuencia es una aproximación a la

solución, mejor que la que la precede.

Para tener una idea de este método iterativo, considere el siguiente algoritmo para calcular

2.

11 2

2n n nX X X (1)

Lo cual significa que empezamos con un valor 0X y usamos la ecuación (1) para calcular 1;X

a continuación usamos (1) para calcular 2X y así sucesivamente.

0

nX

2 nX

2n nX X

11 2

2n n nX X X

0

1

2

3

4

1,0

1,5

1,416666667

1,414215686

1,414213562

2,0

1,333333333

1,411764706

1,414211843

1,414213562

3,0

2,833333333

2,828431373

2,828427125

2,828427125

1,5

1,416666667

1,414215686

1,414213562

1,414213562

El método que se usa aquí, llamado método de Newton fue descubierto en el siglo XVII por

Isaac Newton.

Es evidente que el método converge muy rápidamente a la respuesta correcta.

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Existen dos técnicas iterativas comúnmente usadas para resolver un sistema de ecuaciones

.AX b El método de Jacob y el método de Gauss-Seidel. Estos métodos se usan bajo ciertas

condiciones especiales. Si la matriz a tiene un gran número de ceros (matriz dispersa), las

técnicas iterativas a menudo producen mejores resultados con menor trabajo. Es bueno hacer

notar que los métodos no siempre convergen. Luego de describirlos, examinaremos algunas

condiciones bajo las cuales los métodos convergen siempre. En lo sucesivo supondremos que

el det 0A de modo que el sistema tenga una solución única.

MÉTODO ITERATIVO DE JACOBI.

Como se asumió que el det 0A A no tiene columnas cero. Entonces mediante un

posible reordenamiento de los renglones de A podemos obtener una nueva matriz de

coeficiente A con elementos diagonales distintos de cero. Entonces suponemos que para la

matriz A de , , 0ij iin n A a a para i = 1, 2,3,…, n.

1 1

1k kX D b D RX

El método de Jacobi de iteraciones totales, denominado así por aplicarse repetitivamente,

significa que se despeja 1X de la primera ecuación, 2X de la segunda, 3X de la tercera, etc.

obteniéndose:

1 11 1 112 2

2 22 2 221 1

1 11 1

1

1

1

n n

n n

n nn n nn nn

X a b a a x

X a b a a x

X a b a a x

Se considera la primera aproximación

0 0 0

0 1 2, , , .T

nx x x x a la solución: se sustituye en los segundos miembros de las

ecuaciones y se obtiene la nueva aproximación

1 1 1 1

1 1 2 3, , , .T

nx x x x x

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El superíndice indica el número de la sustitución efectuada. La última aproximación se sustituye

en los segundos miembros.

Repitiendo este proceso 1k veces se llega a la aproximación:

1

1 11 1 12 2 13 3 1

1

2 22 2 21 1 23 3 2

1

1 1 2 2 1 1

1

1

1

k k k k

n n

k k k k

n n

k k k k

n nn n n n nn n

x a b a x a x a x

x a b a x a x a x

x a b a x a x a x

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema aplicando el método de Jacobi

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4,1 2,3 0,7 7,43

0,8 2,5 1,1 17,17

1,6 0,4 5,2 26,12

x x x

x x x

x x x

(2)

Solución

Los cálculos se hicieron con cinco cifras significativas.

Paso 1: Se escribe el sistema el sistema (2) de tal manera que en la i-ésima ecuación, 1x se

expresa en término de las otras variables:

1 2 3

2 1 3

3 1 2

1 4,4 7,43 2,3 0 7

1 2,5 12,17 0,8 1,1

1 5,2 26,12 1,6 0,4

x x x

x x x

x x x

o su equivalente:

1 2 3

2 1 3

3 1 2

1,6886 0,52273 0,15909

4,868 0,32 0,44

5,0231 0,30769 0,076923

x x x

x x x

x x x

(3)

Paso 2: Se selecciona arbitrariamente una aproximación inicial de la solución:

0 0 0

1 2 3, , .x x x si no se dispone de otra información, escogemos 0 0 0

1 2 3 0.x x x

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Paso 3: Sustituimos estos valores iniciales en la parte derecha de (3) para obtener una nueva

aproximación 1 1 1

1 2 3, , :x x x

1

1

1

2

1

3

1,6886 0 0 1,6886

4,868 0 0 4,868

5,0231 0 0 5,0231

x

x

x

Paso 4: Usamos los valores obtenidos en el paso 3 para calcular 2 2 2

1 2 3, , :x x x y

continuar en esta forma para generar las secuencias 1 2 3, , .n n n

x x x

2 1 1

1 2 3

2 1 1

2 1 3

2 1 1

3 1 2

1,6886 0,52273 0,115909

1,6886 0,52273 4,868 0,15909 5,0231 1,6552.

4,868 0,32 0,44

4,868 0,32 1,6886 0,44 5,0231 7,6185

5,0231 0,30769 0,076923

5,0231 0,30769 1,6886 0,

x x x

x x x

x x x

076923 4,868 4,1291

Continuamos de esta manera y obtenemos la siguiente tabla (redondeando a 5 cifras

significativas).

31 2

0 0 0 0

1 1,6886 4,868 5,0231

2 1,6552 7,6185 4,1291

3 2,9507 6,1551 4,9664

4 2,3158 6,1002 5, 4575

5 2,3684 6,5282 5, 2664

6 2,5617 6, 4273 5, 2497

7 2,5063 6,3581 5,3169

8 2, 4808 6, 4054 5,3052

9 2,5037 6, 4084 5, 29

nn nIteración xx x

37

10 2,5034 6,3960 5,3005

11 2, 4980 6,3991 5,3014

12 2, 4998 6, 4013 5, 2995

13 2,5006 6,3998 5, 2999

14 2, 4999 6,3998 5,3002

15 2,5000 6, 4001 5,3000

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Como puede observarse en la tabla anterior las secuencias convergen a los valores

1 2 32,5 6,4 5,3.x x x Lo cual puede verificarse por sustitución. Nótese que al menos

en este problema, las iteraciones de Jacobi convergen, aunque como se ve, lentamente. El

método de Gauss-Seidel puede aumentar la rapidez de la convergencia.

MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL

Este método es en general idéntico al de Jacobi la diferencia consiste en que una vez una vez

que se calcula la componente 1

1 ,k

x

se usa inmediatamente en la misma iteración. Por eso

este método también recibe el nombre de iteraciones parciales o desplazamientos

sucesivos. Las ecuaciones que determinan la iteración 1k son:

1

1 11 1 12 2 13 3 1

1

2 22 2 21 1 23 3 2

1

1 1 2 2 1 1

1

1

1

k k k k

n n

k k k k

n n

k k k k

n nn n n n nn n

x a b a x a x a x

x a b a x a x a x

x a b a x a x a x

Ejemplo.

Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado anteriormente utilizando el método de

Gauss-Seidel.

Empezamos. Como antes 0 0 0

1 2 3 0x x x entonces como antes se señalo.

1

1 1,6886 0 0 1,6886x

Pero el siguiente paso es diferente. Al utilizar esta nueva aproximación de 1x obtenemos:

1

2 4,868 0,32 1,6886 5,4084.x

Ahora tenemos nuevas aproximaciones tanto para 1x como para 2x , si utilizamos estos valores

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Teoría y Práctica



en el sistema (3) tenemos que:

3 5,0231 0,30769 1,6886 0,76923 5,4084 4,0875x

Si continuamos este proceso siempre utilizando las últimas aproximaciones obtenemos:

1 2 3

0 0 0 0

1 1,6886 5, 4084 4,0875

2 1,7888 6,0941 5,1047

3 2,3091 6,3752 5, 2432

4 2, 4780 6,3820 5, 2946

5 2, 4898 6, 4009 5, 2968

6 2,5000 6,3986 5,3001

7 2, 4993 6, 4003 5, 2998

8 2,5002 6,3998 5,3001

9 2,5000 6, 4000 5,3

n n nIteración x x x

000

10 2,5000 6, 4000 5,3000

Nuevamente el resultado 1 2 32,5 6,4 5,3.x x x

Se observa que las iteraciones de Gauss-Seidel convergen más rápidamente que las

iteraciones de jacobi.

Generalmente el método de Gauss-Seidel es más eficiente que el Jacobi, converge cuando el

de Jacobi lo hace, puede converger cuando el de Jacobi no lo hace y en general converge más

rápidamente que el método de Jacobi.

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



EJERCICIOS:

1.-Discutir, y sin son compatibles, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

3 2 5 4

0)

3 0

2 2 0

x y z

x y za

x z

x y z

3 4 1

) 3 7

2 4 3 8

x y z

b x y z

x y z

2 0

2 3 1)

3 1

2 5 1

x y z

x y zc

x z

x y z

1 2 3 0

) 2 1 1 1

1 3 4 1

x y z

d x y z

x y z

2 3 8

1

) 2

0

2

x y z u v

x y u

e x z

x y

u v

2.- Determinar para qué valores de m son compatibles los siguientes sistemas lineales. Una

vez hallado, resolver:

2

) 7

4

x y

a x my

x y

0

2 2)

0

2 0

x my z

x y mzb

mx y z

x y z

1

2)

1 1 5

3

x my z

mx y zc

m x m y

x y

3.- Averiguar para qué valores de m y n los siguientes sistemas son compatibles:

3 1

0)

1

2 2 1

x y z

mx nya

x y z

x z

5 3 1 0

2 0

) 4 2 1

2 2

2 2

x y m z

x y mz

b x y nz

x y mz

x y n z n

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



4.- Resolver, si es posible, usando Gauss-Jordan.

3 2 1

5 3 3 2)

7 4 5 3

0

x y z

x y za

x y z

x y z

2 5 4 3

2 5)

4 6 10

3 18

x y z

x y yb

x y z

y z

5.- Sea el siguiente circuito con 110 , 3E R (incluye la resistencia interna)

2 2 2 3 62 1 , 2R R R R R

Calcule la diferencia potencial entre C y D

Por las leyes de Kirchhoff en el nudo:

1 2 6

2 3 4

5 4 6

:

:

:

A i i i

B i i i

C i i i

Circuito

1 6 5

1 1 3

1 2 4 5

:10 3 4 2

:10 3 2

:10 3 2 2 2

ABDA i i i

ABCA i i i

ABCDA i i i i

Usando el método de Gauss-Jordan calcular las intensidades y así 4 4.D CV V i R

AUTOEVALUACIÓN 4

1.- Resuelve utilizando Creamer:

2 3 7

3 2 5

3

x y z

x y z

x y z

2.- Resuelve aplicando el método de Gauss-Jordan.

2 2 2

) 2 3 5 9

7 7 3 3

x y z u

a x y z u

x y z u

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



2 2 2

2 3 5 9)

4 5

5 3 2 3

x y z u

x y z ub

x y z u

x y z u

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN.

1.- 1, 0, 2x y z

2.-

a) Tomando z t la solución es:

2 5 7 8

, , , 43 3

t tz t x y u

b) Tomando ,z t u p la solución es:

12 32 13 3 9

, , ,7 7

t p z pz t u p x y

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Cohen, A.M. y otros Análisis Numéricos ed.

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Teoría y Práctica



ÁÁLLGGEEBBRRAA

MMOODDUULLOO VV:: ÁÁLLGGEEBBRRAA

DDEE BBOOOOLLEE

CONTENIDO

- Álgebra de Boole

- Teoremas

OBJETIVOS

- Definir álgebra booleana.

- Definir Dualidad en un álgebra booleana.

- Definir los teoremas fundamentales del álgebra booleana.

- Definir orden de un álgebra booleana.

- Definir los circuitos conmutadores como un álgebra booleana.

- Dado un circuito conmutador escribir su polinomio booleano.

- Dado un circuito conmutador escribir su tabla de verdad.

- Dado un polinomio booleano dibuja el circuito correspondiente.

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ÁLGEBRA BOOLEANA George Boole (1813-1864)

Definición 1: Un álgebra booleana es un conjunto B de elementos a, b, c,… dotados de dos

operaciones binarias llamadas suma y producto que se denotan respectivamente por + y * tal

que:

A0. Ley de clausura: Para , ,a b B LA SUMA a + b y el producto a * b existen

y son elementos únicos de B.

A1. Ley conmutativa

a) a b b a b) * *a b b a

A2. Ley asociativa:

a) a b c a b c b) * * * *a b c a b c

A3. Ley distributiva:

a) * *a b c a b a c b) * * *a b c a b a c

A4. Elemento neutro: Existen un neutro aditivo 0 y un neutro multiplicativo U tales

que todo .a B

) 0a a a ) *b a U a

A5. Complemento: Para todo a B existe un á EB llamado complemento de a tal

que

) á a a U ) * ´ 0a a a

Nota: El axioma A1 se puede omitir ya que toda operación binaria cumple con este

axioma.

Ejemplo 1: Sea 1,0B y sean las operaciones + y * definitivas como sigue:

+ 0

1 1

0 0

1

1

1

* 0

1 0

0 0

1

1

0

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Teoría y Práctica



Entonces B, o más precisamente, la terna , ,*B es un álgebra booleana.

Ejemplo 2: Sea una familia de conjuntos cerrados respecto la operaciones de

unión, intersección y completo. Entonces , ,* es un álgebra booleana.

Nótese que el conjunto universal es aquí el elemento unidad y el conjunto es el

elemento cero.

Ejemplo 3: Sea El conjunto de las proposiciones generadas por las variables

p,q… Entonces , ,* es un álgebra booleana.

Nota: como se puede ver en los ejemplos los conjuntos y las proposiciones son

álgebras booleanas, así hay autores que denotan las operaciones + y * e o

también por .y

Dualidad en un álgebra booleana: El dual de un enunciado en un álgebra booleana

, ,* es el resultado que resulta de intercambiar + y * y los elementos

neutros U y O en el enunciado original; por ejemplo, el dual de

* 0U a b b es * *0 .O a b b Principio de dualida: El dual de

un teorema en un álgebra booleana es también un teorema.

TEOREMAS FUNDAMENTALES:

Teorema 1: (ley de idempotencia): (i) a a a (ii) *a a a

Teorema 2: (i) a U U (ii) *0 0a

Teorema 3: (ley de involución): ´ á a

Teorema 4: (i) ´ 0U (ii) 0́ U

Teorema 5: (ley de De Morgan): (i) ́ ´* á b a b

(ii) * ´ ´ á b a b

Teorema 6: Sean , á b B un álgebra booleana. Entonces las siguientes

condiciones son equivalentes:

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Teoría y Práctica



1 * ´ 0a b 2 a b b 3 ´*a b U 4 *a b a

Demostración: Demostraremos las equivalencias entre (1), (2) y (3) y se deja al

lector la equivalencia de (4) con los otros enunciados.

Demostración: La demostración se efectuara en tres etapas: (1) Implícita (2), (2)

implica (3) y (3) implica (1)

(1) implica (2), es decir; * ´ 0a b implica a b b

* * ´ * ´ 0a b a b U a b b b b a b b b ya que

* ´ 0a b

(2) implica (3), es decir; a b b implica á b U

´ ´ ´ ´ á b a a b a a b a a b a a b U b U ya que por

hipótesis * ´ 0a b

(3) implica (1), es decir; á b U implica * ´ 0a b

á b U implica ´ ´ á b u implica ´* ´ á b U implica * ´ 0a b

Diseños de Circuitos Conmutadores: Sean A, B sendos interruptores eléctricos y

sean ÁyA interruptores tales que cuando uno está abierto el otro está cerrado

y viceversa. Dos interruptores, A y B, por ejemplo, se pueden conectar por un

alambre en serie o en paralelo, como se muestra:

En serie A B En paralelo A B A B

A

B

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Teoría y Práctica



Un circuito conmutador booleano es un dispositivo de alarmas e interruptores que se pueden

construir mediante combinaciones en serie y en paralelo; por tanto, se le puede describir con

las conectivas .y

TEOREMA 7: El álgebra de un circuito conmutador booleano es un álgebra booleana.

Indicaremos por 1 y 0 respectivamente, que un interruptor o circuito está cerrado o

abierto. Las dos tablas siguientes describen el funcionamiento de los circuitos anteriores:

E

n Á B A pasará corriente sólo cuando A y B están cerrados.

Se puede ver en que condiciones de A, B y C pasa corriente por el circuito.

A’

’

B

A

C

A’

A B’

B

'A B A ' 'A B C B

1

1

0

0

A B A’

Pasos

'A B A

1 3 1 2 1

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

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Teoría y Práctica



EJERCICIOS:

1) Demostrar: i) a a a ii) *a a a

2) Demostrar: i) a U U ii) *0 0a

3) Demostrar: ' 'a a teniendo por hipótesis: ) 'a a a U

) * ' 0b a a ) ' ''c a a U d) '* '' 0a a

4) Demostrar la unidad de los aditivos, esto es, que:

a) Si 1 20 0y son neutros aditivos, entonces 1 20 0

b) Si 1 2I yI son neutros multiplicativos, entonces 1 2I I

5) Demostrar: (Ley de De Morgan)

i) ' '* 'a b a b esto es * '* ' 0 '* 'a b a b y a b a b U

ii) * ' ' 'a b a b esto es * * ' ' 0 * ' 'a b a b y a b a b U

6) Determine el polinomio booleano para cada uno de los siguientes circuitos:

7) Construir un circuito para cada uno de los siguientes polinomios booleanos:

1) ' 'A B A B A B 2) A B C D

3) ' 'A B A C B 4) 'A B C D A B

5) A B C D

8) Construir un circuito equivalente más simple que el del siguiente diagrama:

A’

B

C A

C

A’

B

A

B

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AUTOEVALUACIÓN 5

1) Demostrar que a a a

2) Dibuja el diagrama correspondiente al siguiente polinomio booleano:

A B C C A B y realizar su tabla de verdad.

RESPUESTAS:

1) Demostración:

Sabemos por complemento que a ' 0a así

0 * 'a a a a a por sustitución.

* 'a a a a Por distributividad.

*a a U Por complemento.

a a Por elemento neutro.

BIBLIOGRAFÍA

LIPSCHUTZ, Seymour. TEORÍA DE CONJUNTOS Y TEMAS AFINES.

Editorial McGRAW-HILL. México. 1970.

STRANGIO, C ELECTRONICA DIGITAL.

Nueva Editorial Interamericana. México. 1985.

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Teoría y Práctica



EEJJEERRCCIICCIIOOSS

PPRROOPPUUEESSTTOOSS

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1._VECTORES EN EL PLANO

1.- Dado los puntos A ( 0,1) , B (- 1,2 ) , se pide :

a.- Representar gráficamente los vectores anteriores.

b.- Encuentre las componentes de los vectores anteriores.

2.- Sean los puntos A (1, -5) , B (4,4) , C(-2,-14). Calcule la norma de los vectores AB y AC .

Que se puede decir de estos vectores?

3.- Cual es el lugar geométrico de los puntos Q del plano , tales que sean 4PQ , siendo

P (2,-3) ?

4.- Encuentre los puntos P de la recta de ecuación y = -2x+7 , tales que 7OP .

5.- Dados los vectores U = (2,-5) , U = (1,7) y W = (1,-3 )

Encuentre las componentes de los siguientes vectores U +U ; U +W y U +W .

6.- De un paralelogramo ABCD se conoce que :

A (1,2) ; AB = DC = (3,2) : AD = (2,4 )

Encuentre las coordenadas de los vértices B , C y D y de las componentes de los vectores

AC y BD .

7.-Comprobar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

8.- Probar que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un

trapecio, es paralelo a las bases e igual a la mitad de la suma de sus longitudes.

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9.- Sean los puntos A (1,7) y B 8-2, -3) y el vector U = AB , encuentre las componentes de -

7U , 4U y 0· U ; luego calcule las coordenadas del punto P , si 4AP U .

10.- Considere los puntos 1,2 , 1,3 , 2, 3 .A B C Encuentre las

componentes de los vectores siguientes:

a.- 3 7 .U AB BC

b.- 7 7 .V BC BC AC

c.- 5 2 3 .W BC CA BA

11.- Obtenga el vector o escalar dado, si 2,3 4, 1A yB

a.- .A B

b.- 3 2 .B A

c.- 3 2 .B A

12.- Exprese el vector 1,1U como combinación lineal de los vectores

2,3 1,5 .U yW

13.- Demuestre que si 3, 2 , 1,4 2,5 ,U U yW entonces

,U V yW son linealmente dependiente.

14.- Demuestre analíticamente para los vectores AyB que:

.A B A B

15.- Sea PQ una representación del vector ,A QR una representación del

vector ByRP del vector .C . Demuestre que si ,PQ QRyRP son los

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catetos de un triangulo, entonces 0.A B C

16.- Calcule los productos escalares siguientes:

a.- 2,4 . 2,5

b.- . 3 4i j i j

c.- .i j

d.- , . ,a b b a

e.- .i i

17.- Encuentre el valor de la constante k de tal manera que los dos vectores

22,3 ,3U k yU k sean perpendiculares.

Cuantos valores de k se encuentran?.

18.- Diga si puede haber un vector que sea al mismo tiempo perpendicular con i y con

j . Explique.

19.- Dado 5 6 ,A i k jyB ki j donde k es un escalar,

busque:

a.- k tal que AyB sean ortogonales.

b.- k tal que AyB sean paralelos.

20.- si A B son vectores, demuestre que:

. . 2 . .A B A B A A A B B B

21.- Sabemos que el vector 1,U m es paralelo con la recta de ecuación de

forma explicita: .y mx b

Escriba la condición de perpendicularidad de las dos rectas de ecuaciones:

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,y mx b y mx b poniendo en evidencia las pendientes m y m

de ellas. Muestre al menos dos ejemplos.

22.- Para cada una de las rectas determinadas por los pares de puntos que se indican,

escriba una ecuación paramétrica vectorial y ecuaciones parametricas escalares, luego,

encuentre la ecuación cartesiana en forma implícita: 0.ax by c

a.- 1 22,0 ; 0,3 .P P

b.- 1 22,0 ; 4,0 .P P

c.- 1 2,1 ; ,2 .P P

23.- Para cada una de las rectas dadas a continuación: : 4 0t x y

2 3 0s x y : 3 7 0,s y x encuentre dos puntos

cualesquiera, luego escriba la ecuación paramétrica vectorial y las ecuaciones parametricas

escalares.

24.- Dada la recta r, por medio de la ecuación siguiente:

3 7

3 4

x y

a.- Indique, sin hacer cálculos, un punto de ella y un vector no nulo paralelo con ella.

b.- Represente la misma recta en forma paramétrica vectorial y en forma explicita.

c.- Verifique, usando el concepto de producto escalar, si la recta es o no es perpendicular

con el vector 4,3 .U

25.- Diga, justificando, si las dos representaciones parametricas escalares que siguen,

representan o no la misma recta:

1 2

2 3

x t

y t

2 2

1 3

x t

y t

26.- Encuentre la intersección de los siguientes pares de rectas:

a.- 2 3 9 0,x y 8 0x y

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b.- 1 2

,4 10

x y 4 8y x

27.- Indique los pares de rectas paralelas y los pares de rectas perpendiculares que hay

entre las siguientes:

a.- 2 8y x

b.- 2 17 0x y

c.- 4

2 4

x t

y t

d.- 2 2 1

4 84 2

x t

y

28.- Calcule la distancia entre el punto 2,4Q y la recta ecuación:

3 2 7 0.x y

29.- Demuestre que la recta de ecuación 0ax by c tiene distancia igual a i

al origen si 2 2 2.c a b De ejemplos.

30.- Calcule la distancia entre las dos rectas paralelas dadas por las ecuaciones

3 4 8,x y 6 8 7 0,x y considerando un punto de la primera y

la distancia de este punto a la segunda recta.

31.- Calcule el ángulo que forman las dos rectas de ecuaciones:

3 0x y 2 4 8 0.x y

32.- Determine si el triángulo ABC, siendo 1,1 , 2,3 , (3,0)A B C es o

no isósceles, calculando el valor de los ángulos.

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33.- Encuentre las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto 3,5P y que

forman un ángulo de 30 con la recta de ecuación:

2 3 0x y

2.- VECTORES EN EL ESPACIO

1.- Dado los puntos 0,1,2 , 12,5 , 3,0,7 1, 2,0 ,A B C D se pide:

a.- Representar gráficamente los vectores , , , , , .AB DA BC AC AD BD

b.- Encuentre los componentes de los vectores anteriores.

2.- Considere los puntos 1,2,0 , 2, 3,0 , 3,3,4 , 1, 1, 7A B C D y los

vectores , , .U AB U CD W AC Halle las componentes de los

vectores:

a.- 3 2U U

b.- 3 4U W

c.- U U W

d.- 2 3U U W

3.- Dados los puntos 2,3,0 , 1,0,3 .A B Halle números h, k, m tales que

.hi k j mk AB

4.- Halle números h, k tales que:

2 3,2,1 .h i j k k j k

5.- Dados los vectores 1,1,1, , 2,0,3 , 1,0,1 , 2,2,7U U W T halle

coeficientes 1 2 3, ,h h h tales que 1 2 3 .T h U h U h W

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6.- Diga si es posible expresar K como combinación lineal de i,j.

7.- Sea 2 3 , 7 .U U W T U W Exprese el vector 3 2U T

como combinación lineal de .U yW

8.- Sean los puntos 2,3, 2P y (7, 4,1).Q Encuentre las coordenadas del

punto medio del segmento PQ.

9.- Dados los puntos 8, 4,2 , 6, 1,0 , 1,1,1 , 6, 7,3 .P B C D Calcule:

, , , .AB CD AB CD AB CD

10.- Sea 0 0 0 0, ,P x y z y , , .P x y z Describa el conjunto de puntos

, ,x y z para los cuales 0 1.P P

11.- Calcule los productos escalares siguientes:

a.- 3,3,3 . 1,2, 4

b.- . 2 3i j k i k

c.- . , . , .AB BC AB AB AB AC BC siendo 0,0,1 , 2,3,4A B y

5,5,0 .C

12.- Tomando en cuenta el signo del producto escalar . ,U U diga si los dos vectores

2, 3,1 1,4,2U yU forman ángulo obtuso o agudo.

13.- Considere los puntos 1,0,8 , 2,2,2 , 1, 3,4 .A B C Usando el

producto escalar, demuestre que el triángulo ABC no es rectángulo.

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



14.- Sean los vectores 2 3,2 3, 1 3 , 2 3, 1 3,2 3 .U U

a.- Verifique que U yV son perpendiculares y tienen módulo igual a 1.

b.- Halle un tercer vector , ,W a b c que sea perpendicular a los vectores

U yV y tenga módulo igual a 1.

15.- Calcule los ángulos que forman los siguientes pares de vectores:

a.- 3,4, 2 , 1, 1,9U U

b.- 3, 2, 3 , 4,5, 2U U

16.- Sean los puntos 0,1,2 , 3,3,3 , 7, 2,0 .A B C Determine si el triangulo

ABC es obtusángulo o acutángulo.

17.- Dados los vectores , ,U V calcule las componentes del producto vectorial

UxV

a.- 1,2,3 , 0,1,1U V

b.- 0,2, 3 , 1,2, 4U V

c.- 3 3 , 4 5 9U i j U i j k

18.- Dado los vectores 3,4,0 , 1,2, 3 , 7,0,8 .U V W Calcule el

producto mixto . .U V W

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



3.-OTROS

1.- Comprobar que las dos rectas r y m de ecuaciones:

1 1

:3 2 2

x y zr

3 3 3

:2 1 4

x y zm

Se cortan en un punto y son perpendiculares.

: 3,3, 3 .Sol

2.- Hallar la distancia del punto 0,1, 1 a la recta de ecuación:

2 1

, 02 1

z yz

:3 5Sol

3.- Dado el triangulo de vértices 1,2,0 , 2,0, 3 , 1,1,1 ,A B C

escriba representaciones paramétricas escalares para sus tres lados.

4.- Represente con un sistema de ecuaciones paramétricas escalares la recta que pasa por

1,2,5A y por 0,1,0 .B

5.- Represente paramétricamente la recta que pasa por 2,1, 7A y es paralela al

valor j.

6.- Hallar la ecuación del plano perpendicular al segmento AB en su punto medio.

2,1,0 , 1,1,2 .A B

7.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo al

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Teoría y Práctica



plano 2 0.x y z

8.- Hallar la ecuación del plano que contiene al punto 2,3, 1A y a la recta cuya

ecuación es: 3 5 2

2 3 2

x y z

9.- Determinar la ecuación de la recta común a los planos:

3 2 3

2 1

x y z

x y z

10.- Halle una ecuación cartesiana en forma implícita del plano que pasa por los puntos

1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 .A B C

11.- Halle una representación paramétrica vectorial par el plano de ecuación

2 3 3.x y z

12.- Halle la ecuación del plano que pasa por la recta

: 1 2 , 2 3 , 1 ;r x t y t z t y por el punto 1,1, 1 .A

13.- Represente paramétricamente la recta r: 2 0

9 0

x y z

x y z

14.- Halle un vector paralelo a la rectas a la recta intersección de los planos de ecuación

3 0,2 7.x y X Y Z

15.- Determine si las siguientes rectas son paralelas:

2 2 0

3 0

x y z

x y z

4 2 0

7 0

x y z

z x y

16.- Determine si los cuatros puntos 0,0,1 , 1,2,1 , 3,0,2 1,1,0A B C yD son

coplanares.

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



17.- Determinar el ángulo que forman los planos 2 5 5 12x y z y

2 7 8.x y z

18.- Calcule la distancia del punto 2,2,4A al plano de ecuación:

4 8 3.x y z

19.- Halle la distancia entre la recta :s x y z y la recta r que pasa por

2,3,7A y es paralela a s.

20.- Halle la distancia entre las dos rectas paralelas siguientes:

1 1 3

2 1 3

x y z

2 2 1

2 2 3

x y z

4.- OTROS

1.- Comprobar que dos rectas r y m de ecuaciones:

1 1:

3 2 2

3 3 3:

2 1 4

x y zr

x y zm

se cortan en un punto y son perpendiculares.

: 3,3, 3 .Sol

2.- hallar la distancia del punto 0,1, 1 a la recta de ecuación:

2 1, 0

2 1

z yz

:3 5Sol

3.- Dado el triángulo de vértices 1,2,0 , 2,0, 3 , 1,1,1 ,A B C escriba

ÁLGEBRA

Teoría y Práctica



representaciones paramétricas escalares para sus tres lados.

4.- Represente con un sistema de ecuaciones paramétricas escalares la recta que pasa por

1,2,5A y es paralela al vector 0,1,0 .B

5.- Represente paramétricamente la recta que pasa por 2,1, 7A y es

paralela al vector .j

6.- Hallar la ecuación del plano perpendicular al segmento AB en su punto medio.

2,1,0 , 1,1,2 .A B

7.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo al

plano 2 1 0.x y z

8.- hallar la ecuación del plano que contiene al punto 2,3, 1A y a la recta

cuya ecuación es: 3 5 2

2 3 2

x y z

9.- Determinar la ecuación de la recta común a los planos:

3 2 3

2 1

x y z

x y z

10.- Halle una ecuación cartesiana en forma implícita del plano que pasa por los puntos

1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 .A B C

11.- Halle una representación paramétrica vectorial para el plano de ecuación

2 3 3.x y z

12.- Halle la ecuación del plano que pasa por la recta

: 1 2 , 2 3 , 1 ;r x t y t z t y por el punto 1,1, 1 .A

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Teoría y Práctica



13.- Represente paramétricamente la recta 2

:9 0

x y zr

x y z

14.- Halle un vector paralelo a la recta intersección de los planos de ecuaciones

3 0,2 7x y x y z

15.- Determine si las siguientes rectas son paralelas:

2 2 0

3 0

x y

x y z

4 2 0

7 0

x y z

z x y

16.- Determine si los cuatro puntos 0,0,1 , 1,2,1 , 3,0,2 1,1,0A B C yD son

coplanares.

17.- Determinar el ángulo que forman los planos 2 5 5 12x y y

2 7 8.x y z

18.- Calcule la distancia del punto 2,2,4A al plano de ecuación:

4 8 3.x y z

19.- Halle la distancia entre la recta :s x y z y la recta r que pasa por

2,3,7A y es paralela a s.

20.- Halle la distancia entre las dos rectas paralelas siguientes:

1 1 3

2 1 3

x y z

2 2 1

2 2 3

x y z

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ÁLGEBRA TEORÍA Y PRÁCTICA · 19-Interpretar geométricamente el producto escalar de dos vectores. ... 24-Interpretar geométricamente el triple producto vectorial y aplicarlo a