UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

ALGEBRA

presentado por:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE PERU

2014

Dedicatoria

Para mis padres, Martha y Elas; pa-

ra mi adorable esposa, Flor Angela

y para los mas grandes tesoros de mi

vida, mis hijas Alessandra Anghely

y Stefany Grace.

PREFACIO

VISION GENERAL

Una de las situaciones mas dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en ma-

tematica es la de tratar de explicar su labor profesional.

La respuesta a esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la mas

variable ndole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfaccion personal, sin buscar

sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento consustancial a

la naturaleza humana y siendo la matematica lenguaje universal, esta debe cultivarse como contribu-

cion al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos pueblos comprender su propia

y particular realidad. Tambien se estima necesario que todos los pases, especialmente aquellos en

desarrollo, cultiven las disciplinas basicas para as poder lograr independizarse cientfica, tecnologica

y economicamente.

Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a

ser la matematica la mas comun de las ciencias, en el sentido de que esta presente y es utilizada por

todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente

tiene sentimientos de aprension, disgusto e incluso miedo a la matematica.

Aun considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el muy

relevante papel que juega nuestra disciplina en la formacion integral de cada ciudadano; de manera

privilegiada, la matematica aporta a esta formacion capacitando a las personas para tomar decisiones en

la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por

ejemplo a traves de desarrollar la capacidad de abstraccion, de ensenar a relacionar objetos o situaciones

diversas, de desarrollar la intuicion; en fin, la matematica ayuda a desarrollar una mentalidad crtica

y creativa.

Es entonces muy preocupante que sea la mas desconocida de las ciencias para el ciudadano medio;

es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matematico, o, mas generalmente, el analfabetismo

cientfico.

El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introduccion,

a nivel elemental y basico, de una parte de las matematicas sumamente util y aplicable a casi todas

las ramas del saber El Algebra.

De la experiencia de dictar cursos, ponencias y diplomados sobre Algebra es que surgieron apuntes

i

ii Algebra Walter Arriaga Delgado

de clase que, despues de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transformandose hasta optar la

forma que ahora presentamos, con la intencion de que sirva como texto gua que inicie al alumno en

esta fascinante rama de las matematicas.

Objetivo

El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes

de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porque y transmitirles el entusiasmo y gusto

por el estudio de las matematicas y a la vez proporcionar al lector una herramienta de consulta, dando

la informacion basica para la resolucion de estas, as como reforzar la comprension de los temas y

conceptos por medio de una amplia gama de ejercicios resueltos y propuestos. El texto se ha disenado

para brindarle una comprension solida e intuitiva de los conceptos basicos, sin sacrificar la precision

matematica.

Aplicaciones

Una de mis metas fue convencer a los estudiantes de la importancia del Algebra en sus campos de

estudio. As, este libro pretende implementar el estudio de las aplicaciones del Algebra a la Geometra,

Fsica, Qumica, Biologa, Economa, etc.

CARACTERISTICAS

Contenido

El contenido del presente manuscrito se desarrolla de la siguiente manera:

Caractersticas pedagogicas

En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, se a includo varios aspectos

pedagogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva acerca del Algebra.

Problemas resueltos y propuestos

Aqu destacamos la importancia crtica de adquirir destreza en la resolucion de problemas. En los

ejemplos resueltos ensenamos a los estudiantes a pensar sobre los problemas antes de que empiecen a

resolverlos.

Los estudiantes aprenden matematicas viendo ejemplos completos y claros. Estos varan desde

muy simples a muy difciles y compete al docente escoger aquellos mas adecuados para sus alumnos y

proponer otros.

El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba su aptitud.

Walter Arriaga Delgado Algebra iii

El autor

iv Algebra Walter Arriaga Delgado

DEFINICIONES BASICAS

0.1. Definicion de ALGEBRA

Es una parte de la Matematica que estudia a las cantidades en su forma mas general posible,

empleando numeros y letras. Tiene por objeto simplificar, generalizar y resolver lo referente a

cantidades desconocidas, utilizando ecuaciones y operaciones adecuadas para llegar a un resul-

tado

v

vi Algebra Walter Arriaga Delgado

0.2. Esquema del desarrollo historico de la Matematica

Siglos/anosPueblos Ma-

tematicosHistoria

Siglos L A. C.Pueblos Primiti-vos

Medir y contar fueron las primeras actividades matematicasdel hombre primitivo. El trueque la forma de comercio ru-dimentario que utilizaron. Haciendo marcas en los troncosde los arboles lograban la medicion del tiempo y el conteode animales que posean. Aparece el concepto de numero,origen de la Aritmetica.

Babilonios

Los pueblos mesopotamicos representaban los numeros conmarcas en forma de cuna de acuerdo con su tipo de escri-tura. Tablillas cuneiformes descifradas hace poco tiempo,documentan la contribucion de estos pueblos a la cienciamatematica. Representaban los numeros con marcas: unamarca para el 1; dos marcas para el 2 y as hasta el 9.

Siglos LI - VIA.C - (anos 5000- 500)

Asirios y Caldeos

Figuran en estos documentos, conocimientos del Teoremade Pitagoras; operaciones algebraicas con ecuaciones de se-gundo grado; tablas de potencias de segundo y tercer grado;uso de las fracciones, (usaban como unico denominador el60). Todo ello requiere un gran dominio de la matemati-ca elemental. No supone esto una concepcion abstracta dela ciencia. Para hacer multiplicaciones utilizaban tablas decuadrados y la regla siguiente: el producto de dos numeroses igual al cuadrado de su promedio, menos el cuadrado desu semidiferencia. Los conocimientos geometricos de losBabilonios no forman un sistema; son conocimientos aisla-dos. Dividieron el crculo en 360 partes iguales, fundamentodel sistema sexagesimal que usaron. La rueda, aplicaciondel crculo, es creacion de estos pueblos. Saban dividir lacircunferencia en 6 partes iguales por lo que se supone queconocieron el triangulo equilatero.

Egipto

Encontramos los primeros vestigios del desarrollo de unaciencia matematica. Sus exigencias vitales, sujetas a las pe-riodicas inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionarla ARITMETICA y la GEOMETRIA.

1650 A.C.Escriba Ahmes(hijo de la luna)

Copia de una obra anterior un valioso documento ma-tematico, uno de los mas antiguos que se conocen con elnombre de papiro de Rhind, por ser este su descubridor;el documento se encuentra en el Museo Britanico. En else detallan unos 80 problemas con sus soluciones, entre lascuales estan las ecuaciones de segundo grado.

Siglos VII-VIA.C (Anos 640-535)

Thales de Mileto- griego

Nacido en la ciudad de Mileto. El primero y mas famoso delos 7 sabios de Grecia, primer filosofo jonico, primer geome-tra, Padre de las matematicas griegas. Recorrio Egiptodonde realizo estudios poniendose en contacto con los mis-terios de la religion egipcia. Se le atribuye el haber predichoel eclipse de sol en el ano 585, y el haber realizado la medi-cion de las piramides mediante las sombras que proyectan.Fue el primero en dar una explicacion de los eclipses. Engeometra el Teorema de Thales es universalmente conoci-do.

Walter Arriaga Delgado Algebra vii

S. VII A.C India

El Sulva Sutra, documento de reglas relativas a la cien-cia en el que se enuncian notables soluciones a problemasgeometricos relacionados con la construccion de templos yaltares. De estos documentos se conservan tres versiones;una de ellas lleva el nombre de Apastamba. En esta ver-sion encontramos la proposicion geometrica que indica queel cuadrado construido sobre la diagonal de un rectanguloes igual a la suma de los cuadrados construidos sobre doslados adyacentes. Aparecen tambien reglas para construirun cuadrado equivalente a un rectangulo dado; o construirun cuadrado igual a la suma de otros dos. Saban que elcuadrado construido sobre la diagonal de otro es igual aldoble de este. Conocan el Teorema de Pitagoras no so-lo para el caso 3-4-5, sino en general (15-36-39;12-16-20;5-12-13; 8-15-17; 15-20-25; 12-35-37). Saban calcular conmuy alta precision aun cuando no usaban el mecanismo ac-tual. Sin embargo la contribucion mayor de los hindues ala matematica la encontramos en el sistema de numeraciondecimal posicional.

Siglo VI A.C(Anos 585 -500).

Pitagoras - grie-go

Celebre filosofo nacido en Samoa y muerto en Metaponte.Realizo sus primeros estudios en su ciudad natal; viajo porEgipto y otros pases de Oriente. Fundo la Escuela de Cro-tona que era una sociedad secreta de tipo poltico religiosala orden de los Pitagoricos. Hizo del numero el principiouniversal por excelencia. En geometra es famoso su teore-ma, que relaciona los lados de un triangulo rectangulo.

Siglos V - IVA.C, (Anos 408 -335)

Eudoxio - griego

Oriundo de Cnido, estudio con Platon. Matematico yastronomo, viajo por Egipto, Sicilia e Italia. La Teora delas proporciones procura poner claridad en los problemasdel infinito matematico, Es de su autora el metodo de ex-haucion para la demostracion de ciertas propiedades.

(Anos 427 - 347) Platon - griego

Uno de los mas grandes filosofos de la antiguedad, alumnopredilecto de Socrates, dio a conocer las doctrinas del maes-tro y las suyas propias en los famosos Dialogos. Viajo porel mundo griego y recibio la influencia de sabios y ma-tematicos. Fundo la Academia en cuyo frontispicio hizo es-cribir Nadie entre aqu si no sabe Geometra. Se discutenaqu los fundamentos y los metodos matematicos.

(Anos 450 - ...)Hipocrates deQuo - griego

Aprendio geometra en Atenas. Su obra mas importante serelaciona con dos problemas famosos de la antiguedad: lacuadratura del crculo y duplicacion del cubo. Se le atribuyela introduccion del metodo de razonamiento matematicopor reduccion al absurdo.

Siglos IV - IIIA.C. (Anos 365 -275)

Euclides - griego

Autor de Los Elementos tratado cientfico que se mantu-vo incolume hasta el siglo XIX. Ocupo la catedra de Ma-tematica en El Museo, centro docente creado por Pto-lomeo I (General de Alejandro Magno). Establecio un meto-do riguroso para la demostracion geometrica. En su GEO-METRIA el postulado fundamental sostiene: Por un puntoexterior a una recta solo puede trazarse una paralela a lamisma y solo una.

viii Algebra Walter Arriaga Delgado

Siglo III A.C(Anos 287 -212)

Arqumedes -griego

Nacido en Siracusa (Sicilia). Se le considera el sabio masgrande de la antiguedad. Murio asesinado por una soldadoromano. Entre sus trabajos cientficos encontramos respues-ta a: volumen de la esfera; determinacion del valor de pi;sobre los conoides y esferoides; sobre las espirales; sobre lacuadratura de la parabola. Fue autor de innumerables in-ventos mecanicos: el tornillo sin fin; la rueda dentada; elespejo parabolico; etc. Fundo la Hidrostatica al descubrirel principio que lleva su nombre.

(Anos 280 - 192)Eratostenes -griego

Sabio Alejandrino nacido en Cirene, se ocupo de matemati-ca, geografa y filologa. Bibliotecario de Alejandra, deter-mino cientficamente la longitud del meridiano terrestre. Sele debe el metodo matematico para hallar numeros primos,llamado Criba de Eratostenes.

(Anos 250 - ...)Apolonio dePergamo - griego

Pertenecio a la Escuela de Alejandra y enseno en Pergamo.De su obra se conserva un unico tratado: las Conicas, enocho libros, uno de los cuales se perdio. Apolonio estudialas propiedades de estas curvas. Con Apolonio termina lallamada Epoca de oro de la matematica griega.

Siglo II D.C(Anos 100 - 178)

Claudio Pto-lomeo - egipcio

Nacido en Ptolemais (Egipto), vivio en Alejandra. Astrono-mo, matematico, fsico y geografo. Su Sintaxis Matematica(Almagesto) sintetiza y ordena los conocimiento astronomi-cos de los griegos, se utilizo en las Universidades hasta elSiglo XVIII. Su sistema geocentrico domino la astronomadurante 14 siglos, hasta la aparicion de Copernico.

Heron de Ale-jandra - griego

Matematico, fsico e inventor. Se le atribuye la invencion degran numero de aparatos mecanicos muy ingeniosos. Entresus obras podemos mencionar: Geometra; Metrica; Diop-tra; Neumatica, etc. En trigonometra la formula de Heronpermite calcular el area de un triangulo en funcion de suslados.

Siglo IV - V,D.C. (Anos 325 -409)

Diofanto - griego

Matematico de Alejandra. Autor de una Aritmetica en13 libros de los cuales se conservan 6, coleccion de proble-mas con soluciones simbolicas que podran calificarse de al-gebraicas. Es el primero en enunciar una teora clara sobrelas ecuaciones de primer grado. Ofrecio ademas la formulapara la solucion de la ecuacion de 2o grado. Ejercio consi-derable influencia sobre Viete.

(Anos 370 - 415) Hypatia - griega

Excepcional mujer, hija del filosofo y matematico Teon.Nacio en Alejandra, estudio en Atenas. En Alejandrafundo una Escuela donde enseno las doctrinas de Platony Aristoteles. Uno de los ultimos matematicos griegos, sedistingue por los comentarios realizados a las obras de Apo-lonio y Diofanto. Murio asesinada barbaramente.

Siglo V. (Anos499 - .....)

Aryabhatta -hindu

Su obra mas conocida es el Aryabhatiya escrita en ver-so sobre temas de astronoma y matematica. En la secciondestinada a la ganitapada o matematica se dan los nombresde las potencias de diez hasta el decimo lugar; se formulaun conjunto de instrucciones para calcular races cuadradasy cubicas de numeros enteros y se dan reglas para el calculode areas. Descubre para el calculo de la longitud de la cir-cunferencia el numero 3.1416 que hoy llamamos pi. Tratatambien las progresiones aritmeticas y da problemas sobreinteres compuesto.

Walter Arriaga Delgado Algebra ix

El mayor avance presentado es el sistema de numeracion po-sicional decimal. En trigonometra se introduce un conceptoequivalente a la funcion seno de un angulo; se dan as lossenos de angulos menores o iguales a 90o para 24 interva-los angulares iguales a tres trescuartos de grado cada uno.Debemos tener en cuenta sin embargo que los matematicoshindues no daban nunca las explicaciones de sus calculos nilas demostraciones de sus reglas.

Siglos VI - VII(Anos 588 - 660)

Brahmagupta -hindu

Astronomo y matematico, alumno de Aryabhatta, autordel Brahmasphuta-siddhanta; en dos captulos de es-ta obra, encontramos: soluciones generales para ecuacio-nes cuadraticas; una solucion general de la ecuacion linealdiofantica; una solucion para la ecuacion indeterminada desegundo grado llamada de Pell. En geometra establecio va-rios teoremas sobre superficie de figuras planas. Se le atri-buye conocimiento de las reglas algebraicas para operar connumeros negativos y la regla de los signos para la multipli-cacion.

Siglos IX - X(Anos 850 - ...)

Al-Khuwarizmi -arabe

Nacido en Khuwarismi, Matematico y astronomo es uno delos mas grandes sabios del Islam. Vivio en Bagdad, tra-bajo en la Biblioteca del califa Al-Mamun. En su obra en-contramos la notacion posicional de los hindues y el uso deun smbolo para el cero. El termino algoritmo, deriva desu nombre. La voz ALGEBRA se halla en el ttulo de unade sus obras. Da solucion numerica e ilustracion geometri-ca de ciertas ecuaciones de segundo grado. La funcion senode la trigonometra, creada por los matematicos hindues,fue utilizada por primera vez en sus tablas astronomicas.Escribio tambien Aritmetica.

(Anos 858 - 929)Al -Battani -arabe

Nacido en Battan (Iran). Astronomo y Matematico,realizo importantes estudios astronomicos. Rectifico las Ta-blas de Tolomeo. En matematica, su contribucion fue elTeorema del coseno para triangulos esfericos.

Siglo XI - XII(Anos 1029 -1087)

Arzaquel o Al-Zargali- espanol

Astronomo y matematico, nacido en Cordoba (Espana)confecciono las famosas Tablas Toledanas de observacio-nes y calculos astronomicos, fundamento de las Tablas Al-fonsinas.

(Anos 1045 -1130)

Omar Khayyam- persa

Poeta, matematico y astronomo Comomatematico hizo unaclasificacion de las ecuaciones algebraicas de primero, se-gundo y tercer grado y dio una solucion geometrica de lasecuaciones cubicas, aplicando secciones conicas..

(Anos 1140 - ...) Bhaskara - hindu

Vivio en la ciudad de Ujanin. Astronomo y matematico diri-gio un observatorio astronomico. Compuso en verso su obraSiddhanta shiromani, que trata principalmente de astro-noma, pero dos de sus captulos se dedican a matematica:el VijaGanita, y el Lilavati. Ellos contienen numeroso pro-blemas sobre ecuaciones lineales y cuadraticas; medidas deareas; progresiones aritmeticas y geometricas; races; ternaspitagoricas y otros.

Siglos XII -XIII (Anos1175-1250)

Fibonacci o Leo-nardo de Pisa -italiano

No era un erudito, pero por sus continuos viajes en Europay el Cercano Oriente, obtuvo informacion muy importan-te sobre diversas cuestiones matematicas. Introdujo en elmundo occidental, la numeracion india y arabiga. En su li-bro Liber Abacci(1202) explica los procedimientos parahacer calculos mercantiles. Es famosa la sucesion de Fibo-nacci.

x Algebra Walter Arriaga Delgado

(Anos 1235 -1315)

Raimundo Lulio- espanol

Nacido en Palma de Mallorca, llamado el Doctor Ilumina-do, por su dedicacion a la propagacion de la fe. Su ArteMagna enuncia procedimientos para demostrar automatica-mente cualquier verdad, es una especie de matematica uni-versal Fue martirizado y murio en 1315, la iglesia lo beatifico.

Siglo XIV - XV

Es el fin de la Edad Media, en Occidente se produce una lentatransformacion ideologica que se extiende por varias genera-ciones. El individuo aspira a la libertad de pensamiento, deopinion y de creencia. El proceso de transformacion se veacelerado por la aparicion de la imprenta (1400-1468). Setraducen y se imprimen numerosas obras de sabios griegos yla matematica comienza a separarse de la filosofa.

Siglos XV - XVI(Anos 1445 -1514)

Luca Pacioli -italiano

Nacido en Toscana. Matematico escribio un tratado que re-suma todos los conocimientos de su epoca en esta especiali-dad Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et pro-portionalita. En ella se encuentra un avance respecto al sim-bolismo algebraico y a la matematica comercial.

(Anos 1499 -1557)

Nicolas de Tar-taglia - italiano

Nacido en Brescia, fue uno de los mas destacados matemati-cos de su epoca. Hallo un metodo para solucionar las ecua-ciones de tercer grado, y sostuvo una polemica con Cardanosobre quien fue el primero en descubrir dicha solucion.

(Anos 1501 -1576)

Girolamo Car-dano - italiano

Matematico, medico y astronomo nacido en Pavia. Pu-blico en su Arte Magna (1545) la formula que Tartagliadescubriera para la solucion de las ecuaciones cubicas, y quese la comunico bajo la promesa de no darla a conocer. Endicha obra se incluye tambien la solucion de Ferrari a lasecuaciones de cuarto grado. Analizo las relaciones entre coe-ficientes y races de una ecuacion.

(Anos 1580)Bombelli, Raf-faele - italiano

Matematico nacido en Bolonia, algebrista famoso del sigloXVI. Su Tratado de Algebra (1572) incorpora por primeravez la idea de los numeros complejos y da algunas reglaspara operar con ellos. Con este descubrimiento resuelve elcaso irreducible de la ecuacion de tercer grado. Otro aportefue el estudio completo de las ecuaciones cuarticas, con unmetodo general para su resolucion.

Siglos XVI -XVII (Anos1540 -1603)

Francois Viete -frances

Nacido en Fontenay-le-Comte, poltico y militar que tena co-mo pasatiempo favorito las matematicas, puede considerarse-le como el fundador del ALGEBRA moderna al introducirla notacion algebraica. Dio formulas para la solucion de lasecuaciones de 6o grado; resolvio ecuaciones numericas de has-ta 45o completo el desarrollo de la Trigonometra de Pto-lomeo; calculo pi con 9 decimales.

(Anos 1550-1617)

John Neper - es-coces

Baron de Merchiston (nacio y murio en ese castillo, cercade Edimburgo), dedicado en sus ratos de ocio al cultivo delos numeros. Descubrio el principio que rige a los logarit-mos y publico la primer tabla en 1614. Tuvo una discusioncon Burgi sobre quien haba sido el primero en trabajar conlogaritmos. Fue amigo de Henry Briggs, profesor del Gres-ham College de Londres, que trabajo con los logaritmos enbase 10 y publico su primer tabla en 1624. En matematicase conocen como analogas de Neper las proporciones que sepueden establecer entre los elementos de un triangulo esferi-co cualquiera; la regla de Neper en trigonometra, permiteresolver los casos de triangulos esfericos rectagulos.

Walter Arriaga Delgado Algebra xi

(Anos 1596 -1650)

Renato Descartes- frances

Filosofo y matematico, nacio en Normanda, fue solda-do y recorrio Hungra, Suecia e Italia.. La reina Cristinade Suecia lo invita a su corte, para que le de clases dematematica. Se lo considera el primer filosofo de la edadmoderna y sistematiza el metodo cientfico. Es el primeroen aplicar rigurosamente el algebra a la geometra, crean-do as la GEOMETRIA ANALITICA. Murio en Suecia.Ideo el sistema de coordenadas llamado cartesiano.

(Anos 1593-1662)Gerard Desargues- frances

Arquitecto e Ingeniero militar Los conceptos e ideasexpuestos en su tratado sobre las conicas Brouillon-Proyect, forman parte de la Geometra Proyectiva. Co-nocido es el Teorema de Desargues.

(Anos 1598-1647)Cavalieri Bona-ventura - italiano

Nacio en Milan, fue jesuita y matematico, enseno en Bo-lonia. Se lo considera precursor del calculo infinitesimal.Su obra Geometra de los indivisibles aparece en 1635.

(Anos 1601 -1665)

Pierre Fermat -frances

Nacio en Beaumont-de-Lomage y murio en Castres. Ma-tematico que estudio a los matematicos griegos. Hizoaportes muy importantes a la teora de los numeros, alalgebra, al analisis y a la geometra analtica. Fundo lamoderna teora de los numeros, o ARITMETICA SU-PERIOR. Expuso teoremas fundamentales del calculo deprobabilidades. Se conoce como ultimo teorema de Fer-mat el que sostiene que: con numeros naturales, no esposible hallar 4 numeros tales que xn + yn = zn, cuyademostracion aun no ha sido hallada.

(Anos 1623 -1662)

Blas Pascal -frances

Nacido en Clermont-Ferrand, matematico, fsico y teolo-go, De naturaleza enfermiza, a los 12 anos - segun lahermana - haba demostrado las 32 proposiciones de Eu-clides; siendo aun nino, escribio el Ensayo sobre las coni-cas; a los 16 anos inventa la maquina aritmetica queconstruye en 1643; simplifico la geometra Proyectiva; diojunto con Fermat los primeros teoremas del calculo deProbabilidades. Son conocidas las siguientes cuestiones:caracol de Pascal; recta de Pascal; triangulo de Pascal.

(Anos 1630 -1677)

Isaac Barrow -ingles

Matematico y Teologo fue maestro de Newton sobre elque influyo notablemente. Ideo el llamado triangulo di-ferencial o triangulo caracterstico para la determinacionde las tangentes a las curvas planas, que inspiro el con-cepto de derivada de Newton.

(Anos 1654 -1705)

Jacques BernoulliI - suizo

Enseno matematica en Basilea, fundo el moderno calculode variaciones. Estudio la curva elastica, la catenaria, yla espiral logartmica. Invento el calculo exponencial yescribio uno de los primeros tratados sobre el calculo deprobabilidades: Ars conjectandi.

(Anos 1661 -1704)

LHopital, Gui-llaume FrancoisAntoine - frances

Matematico, discpulo de Juan Bernoulli y autor de laprimera obra sistematica sobre Analisis infinitesimal. ElTeorema de LHopital, permite calcular el lmite de cier-tos tipos de expresiones indeterminadas.

xii Algebra Walter Arriaga Delgado

Siglos XVII -XVIII (Anos1642 - 1727)

Isaac Newton -ingles

El mas grande de los matematicos ingleses. Su libro Prin-cipia Mathemathicabasta para asegurarle un lugar sobre-saliente en la Historia de las matematicas. Descubrio si-multaneamente con Leibnitz el Calculo diferencial y el Calcu-lo integral. En Algebra le debemos el desarrollo del binomioque lleva su nombre. Segun Leibnitz Si se considera la ma-tematica creada desde el principio del mundo hasta la epocaen que Newton vivio. Lo que el realizo fue la mejor mitad.

(Anos 1646 -1716)

Leibnitz, Gott-fried Wilhelm -aleman

Nacido en Leipzig. Filosofo. Jurisconsulto y matematico lamente mas universal de su epoca, domino toda la ciencia.Viajo por Francia, Inglaterra y Holanda; en Hannover fueBibliotecario y consejero del duque de Brunswick. Descu-brio simultaneamente con Newton el Calculo diferencial yel Calculo integral, desarrollo el Analisis combinatorio, in-vento las coordenadas polares y el sistema binario de nume-racion. Murio en Hannover.

(Anos 1667 -1748)

Jean Bernouli I -suizo.

Hermano y discpulo de Jacques. Enseno en Groningen (Ho-landa) y sucedio a su hermano mayor en la catedra de Ba-silea. Contribuyo grandemente a la difusion del calculo infi-nitesimal. Fue el maestro de Euler. Es conocida la ecuaciondiferencial de primer orden llamada de Bernouli.

(Anos 1685 -1731)

Taylor, Brook -ingles

Matematico y cientfico, cultivo la Fisica, la Musica y la Pin-tura. Fue discpulo de Newton, y se dio a conocer en 1708al presentar en la Royal Society un trabajo acerca de loscentros de oscilacion. Su obra fundamental Metodos de losincrementos directos e inversos contiene los principios basi-cos del calculo de las diferencias finitas. En el Algebra Ele-mental conocemos el Teorema de Taylor, cuya consecuenciaes el Teorema de Mac Laurin.

Siglo XVIII(Anos 1707 -1783)

Euler Leonard -suizo

Nacido en Basilea, fue alumno de Juan Bernouli. Matematicoexcelente, durante 12 anos gano el premio anual que ofrecala Academia de Pars sobre diversos temas cientficos. Fe-derico El Grande lo llamo a Berln Catalina de Rusia lollevo a San Petersburgo donde trabajo incesantemente. Sis-tematizo el calculo infinitesimal unificando las escuelas deNewton y de Leibniz. Son conocidas: la formula de Euler(eix = cosx + i senx), que para x = resulta: ei + 1 = 0;funciones de Euler son las funciones a y a que se utilizan enanalisis matematico; se llama relacion de Euler la que vincu-la las caras, aristas y vertices de un poliedro cualquiera. Losultimos 17 anos de su vida estuvo totalmente ciego.

(Anos 1704 -1752)

Cramer, Gabriel- suizo

Matematico, autor de un trabajo en que explica las causas dela inclinacion de las orbitas de los planetas. Es autor ademasde la regla que lleva su nombre, para la solucion de un sistemade ecuaciones lineales.

(Anos 1717 -1783)

DAlembert,Jean Le Rond -frances

Nacio y murio en Pars. Matematico, fsico y filosofo, hijoilegtimo abandonado por sus padres en el atrio de la capillade Saint Jean Le Rond. Estudio matematica por su cuenta.En 1747 publica una memoria sobre las cuerdas vibrantes,da la ecuacion diferencial que lleva su nombre y la integra.As funda la teora de las ecuaciones en derivadas parcia-les. Junto con Diderot elabora la Enciclopedia en la quetrata del calculo diferencial y las conicas. Fue secretario per-petuo de la Academia Francesa. Puede considerarsele juntocon Rousseau, precursor de la Revolucion.

Walter Arriaga Delgado Algebra xiii

Siglos XVIII -XIX (Anos 1736- 1813)

Lagrange, JoseLuis - italiano

Nacio en Turin, murio en Paris. Se intereso por la matematicaal leer un elogio del calculo infinitesimal de Halley. Fue nombra-do profesor a los 19 anos y organizo la Academia de Cienciasde Torino; a los 23 anos es miembro de la Academia de Berlin,cuya seccion de Fsica y Matematica dirigio durante 20 anos.Estudio la teora de las formas cuadraticas y demostro el celebreTeorema de Bachet de Meziriac (todo entero puede descompo-nerse en la suma de no mas de cuatro cuadrados). Investigo lasecuaciones indeterminadas de segundo grado con dos incogni-tas. Independizo el calculo de variaciones de la geometra. Ensu obra maestra Mecanica Analtica, aplica el analisis y elcalculo de variaciones. Su contribucion al Algebra se encuentraen la memoria que escribio en Berln hacia 1767 Sobre la re-solucion de las ecuaciones numericas. Fue amigo de Napoleonque lo nombro Senador.

(Anos 1746 -1818)

Monge, Gaspar -frances

Nacido en Beaune, fue Ministro de Marina durante la Revolu-cion . Posteriormente Napoleon lo enva a Italia, Egipto y Siria.Fue el creador de la Geometra descriptiva. A el se deben variosteoremas sobre ecuaciones en derivadas parciales y captulos degeometra diferencial. Sus Lecciones de geometra Descriptivay Aplicacion del Analisis a la geometra son de 1794.

(Anos 1749 -1827)

Laplace, PierreSimon - frances

Nacio en Beaumont-en-Auge. Matematico, fue profesor en elColegio Militar de Pars. Su Teora analtica de la probabili-dades (1812) es la primera exposicion sistematica del Calculode probabilidades.

(Anos 1752 -1833)

Legendre,Adrien Marie -frances

Nacido en Pars. Es un matematico cuyos trabajos mas im-portante se relaciona con las integrales elpticas y la teora denumeros, con su ley de reciprocidad cuadratica. Su obra prin-cipal Tratado de las funciones elpticas y las integrales eule-rianas. Fue el iniciador de la Teora de las formas, de las quedesarrollo las cuadraticas, binarias y ternarias.

(Anos 1768-1830)

Fourier, JeanBaptiste Joseph- frances

Matematico y Fsico teorico nacido en Auxerre y muerto enPars; quedo huerfano a los 8 anos de edad. Enseno en la EscuelaNormal y en la Politecnica. Acompano a Napoleon Bonaparte aEgipto y fue Secretario del Instituto del Cairo Su principal obraes Teora analtica del calor; propone aqu su celebre ecuaciondiferencial de propagacion del calor. Ademas contribuye con eldesarrollo de una funcion en serie trigonometrica o Serie deFourier y propone un metodo matematico para la solucion denumerosos problemas de vibraciones y ondulaciones.

(Anos 1777-1855)

Gauss, KarlFriedrich -aleman

Nacio cerca de Brunswick y murio en Gotinga. Matematico,Fsico y Astronomo, se lo suele llamar Prncipe de la matemati-ca. Nino prodigio aprendio a contar antes que a hablar. En sutesis de doctorado (1799) demostro por primera vez el Teoremafundamental del algebra. Dio unidad y amplitud a la Teora delos numeros. En su obra maestra Disquisiciones Aritmeticasinventa el concepto de numeros congruentes modulo p; des-cubrio la ley de reciprocidad cuadratica; sistematizo la teorade los numeros complejos. En analisis investiga las funcionesde variables complejas; descubre la doble periodicidad de lasfunciones elpticas. En geometra introduce las coordenadascurvilineas (o gaussianas). Crea de esta manera la geometraintrnseca. Creo la Geometra diferencial; la teora de las repre-sentaciones conformes y emprendio el estudio de la Topologa;el metodo de los mnimos cuadrados; la Campana de Gauss ocurva normal de errores.

xiv Algebra Walter Arriaga Delgado

(Anos 1781-1848)

Bolzano, Bern-hard - aleman

Matematico nacido en Praga, fue sacerdote catolico. Es unode los iniciadores de la fundamentacion rigurosa del Analisismediante su aritmetizacion . Formulo el concepto de funcioncontinua y sus teoremas fundamentales. Las modernas teorasdel infinito hallan tambien en Bolzano un precursor. Expusosus originales concepciones en las Paradojas del Infinito.

(Anos 1781-1840)

Poisson, SimeonDenis - frances

Fsico matematico nacido en Pithiviers. Ingreso en la escuelaPolitecnica donde llego a suceder a Cauchy. Fue el primer pro-fesor de Mecanica de la Sorbona. Estudio la celebre ecuaciondiferencial en derivadas parciales que lleva su nombre. Perte-necio a la escuela que introdujo el rigor en el analisis. En suobra Investigacion sobre la probabilidad de los juicios (1837),expuso la distribucion que lleva su nombre.

(Anos 1789 -1857)

Cauchy, AgustinLouis - frances

Matematico nacido en Pars, formulo rigurosamente el calculoinfinitesimal a partir del concepto de lmite; estudio las fun-ciones de variables compleja. Nos lego la formula de Cauchy;el principio de convergencia de Cauchy para una sucesion; elproblema de Cauchy: el Teorema de Cauchy, etc. Su vida es-tuvo sometida a los azares de su tiempo (revoluciones y contrarevoluciones) . No acepto el cargo en la Academia por no tenerque jurar ante la Revolucion. Fue profesor de matematica enTurin. Comenzo la creacion sistematica de la teora de grupos,imprescindibles en la matematica moderna. Dio su definiciondel concepto de funcion.

Siglo XIX (Anos1793 - 1856)

LobatchewskiNicolas - ruso

Matematico, estudio en la Universidad de Kazan de la que fueposteriormente Profesor, Decano de la Facultad de Matematicay Rector. Combate la idea de Kant del espacio y establece larelatividad de esta nocion. Combate la geometra de Euclides,que se mantena intacta por mas de 22 siglos. Es el creadorjunto con Bolyai de las GEOMETRIA NO EUCLIDIANASy pude considerarsele como el precursor de la Teora de laRelatividad.

(Anos 1802 -1829)

Abel, Niels Hen-rik - noruego

Matematico que vivio durante toda su vida en extrema po-breza. Trato de abrirse paso entre los matematicos del conti-nente, pero no lo logro. Obtuvo con Jacobi el Gran Premiode Matematica del Instituto de Francia, por su trabajo sobrefunciones elpticas. Fue uno de los mas grandes algebristas delsiglo XIX. Demostro el Teorema General del Binomio. Llevo acabo la demostracion de la imposibilidad de resolucion de lasecuaciones de 5o grado. Murio desconocido.

(Anos 1781-1840)

Poisson, SimeonDenis - frances

Fsico matematico nacido en Pithiviers. Ingreso en la escuelaPolitecnica donde llego a suceder a Cauchy. Fue el primer pro-fesor de Mecanica de la Sorbona. Estudio la celebre ecuaciondiferencial en derivadas parciales que lleva su nombre. Perte-necio a la escuela que introdujo el rigor en el analisis. En suobra Investigacion sobre la probabilidad de los juicios (1837),expuso la distribucion que lleva su nombre.

(anos 1802-1860)Bolyai, Janos -hungaro

Matematico que a los 22 anos escribio su Ciencia absoluta delEspacio (1832) donde expone un sistema geometrico completoque prescinde del postulado de las paralelas de Euclides Bol-yai demuestra as que dicho postulado es independiente de losdemas, y que basta reemplazar alguno o todos los postuladosde Euclides para obtener nuevas geometras, todas logicamenteverdaderas. De este modo demostro la inutilidad de los esfuer-zos de su padre (Wolfgang - 1775 - 1856) por demostrar dichopostulado con ayuda de los demas.

Walter Arriaga Delgado Algebra xv

(Anos 1804 -1851)

Jacobi, KarlGustav - aleman

Matematico, Profesor en la Universidad de Berln y Koe-nigsberg, comparte con Agel el Gran Premio del Institutode Francia por su trabajo sobre funciones elpticas. Fue elprimero en aplicar estas funciones a la teora de numeros.Su obra sobre ecuaciones diferenciales inicia una nueva eta-pa en la Dinamica. Es famosa en este campo la ecuacion deHamilton-Jacobi. Ideo la forma sencilla de los determinan-tes que se estudian hoy en el Algebra.

(Anos 1811-1832)

Galois, Evariste -frances

Despues de realizar estudios en un Liceo, ingresa a la Es-cuela Normal de Pars. Acusado de peligroso republicanova a parar a la carcel. No fue la unica vez que estuvo enprision. Acabado de salir muere de un pistoletazo a los 21anos de edad. A pesar de esta corta vida dejo una estelaprofunda en la historia de la matematica. Es el creador dela teora de grupo y autor de la demostracion del Teoremaque lleva su nombre sobre resolucion de las ecuaciones deprimer grado.

(Anos 1815-1864)

Boole, George -ingles.

Nacio en Lincoln (Inglaterra) y murio a los 49 anos en Ba-llintemple (Irlanda). Estudio algebra por su cuenta, as co-mo los trabajos de Laplace y Lagrange que llegaron a sermas tarde las bases para sus primeros papeles matemati-cos. Desde los 16 anos se gano la vida con la ensenanza yen 1849 fue nombrado Profesor Universitario en Cork. Pu-blico alrededor de 50 escritos. Recibio la medalla de la RealSociedad por su aplicacion de metodos algebraicos para lasolucion de ecuaciones diferenciales. Boole redujo la logicaa un algebra simple, elaborando as la llamada Logica Boo-leana, que tiene una amplia aplicacion en comunicacionestelefonicas y en el diseno de computadoras. Su obra prin-cipal es Investigacion de las leyes del pensamiento en lasque se fundan las teoras matematicas de la logica y de laprobabilidad.

(anos 1802-1860)Bolyai, Janos -hungaro

Matematico que a los 22 anos escribio su Ciencia absolu-ta del Espacio(1832) donde expone un sistema geometricocompleto que prescinde del postulado de las paralelas deEuclides. Bolyai demuestra as que dicho postulado es in-dependiente de los demas, y que basta reemplazar alguno otodos los postulados de Euclides para obtener nuevas geo-metras, todas logicamente verdaderas. De este modo de-mostro la inutilidad de los esfuerzos de su padre (Wolfgang- 1775 - 1856) por demostrar dicho postulado con ayuda delos demas.

(Anos 1815-1897)

Weierstrass,Karl WilhelmTheodor -aleman

Matematico, maestro de escuela y mas tarde Profesor dela Universidad de Berln. Puede considerarsele como el pa-dre del Analisis moderno. En sus primeras investigacionesabordo el problema de los numeros irracionales. Luego sededico el resto de su vida al estudio de las funciones devariables complejas y de variables reales. Su nombre es in-separable del de su discpula Sonia Kovalewski, valiosa ma-tematica rusa.

xvi Algebra Walter Arriaga Delgado

(Anos 1826-1866)

Riemann, Bern-hard - aleman

Matematico nacido en Selasca, discpulo de Gauss. Se ini-cio en Gotinga como estudiante de filologa y teologa. Suscontribuciones se relacionan con: a) Teora de numeros; es-tudio el problema de la distribucion de los numeros primos.b) Teora de las funciones; Estudio las funciones de variablescomplejas; establecio el plano multiple.o superficie de Rie-mann; estudio las funciones algebraicas, funciones elpticasy funciones abelianas. c) Geometra; Su memoria Sobre lashipotesis que sirven de fundamento a la geometra estable-ce la diferencia entre espacio infinito e ilimitado que tuvoimportancia en el desarrollo de la Teora de la Relatividad.d) Series trigonometricas; expone su teora de la integra-cion en la cual considera funciones acotadas con infinitospuntos de discontinuidad. e) Topologa; sus trabajos se re-fieren al genero de las superficies. A los 40 anos fallecio enItalia, donde se haba trasladado buscando un clima masfavorable para curar su tuberculosis.

(Siglos XIX - XXAnos 1842-1913)

Weber, Heinrich- aleman

Matematico nacido en Heidelberg. Autor de importantestrabajos sobre teora de los numeros , analisis matematicoy calculo diferencial. Sus obras principales son: Manual deAlgebra y Enciclopedia elemental de Matematica.

(Anos 1845-1918)

Cantor, George -ruso

Matematico nacido en San Petersburgo, vivio alli hasta1856 fecha en que su familia se radica en Alemania. Ensus ultimos anos tuvo que ser internado en el manicomiode Halle, donde murio. Sus primeros trabajos se relacionancon las series trigonometricas y las teoras de los nume-ros irracionales. Trabajo en colaboracion con Dedekind. En1872 demostro que los numeros trascendentes son de untipo de infinitud mayor que el de los numeros algebraicos;de aqu deriva su aritmetica transfinita. Posteriormente ela-boro su celebre teora de conjuntos. Entre las consecuenciasmas notables de las teoras de Cantor se encuentra la refe-rente a la existencia de distintos tipos y jerarquas de infi-nitud. Su influencia se nota en el Analisis Moderno, en laTopologa abstracta y en los estudios epistemologicos mo-dernos.

(Anos 1854-1912)

Poincare, Jules-Henri - frances

Matematico que estudio en la Escuela Politecnica de Pars.Fue Profesor de Analisis Matematico en Caen, luego esnombrado Profesor de Mecanica y Fisica Experimental en laFacultad de Ciencias de Pars. Independientemente de suscontribuciones a la matematica es un verdadero divulgadorde los metodos cientficos. Circulan por todo el mundo susobras Ciencia e Hipotesis y Valor social de las Ciencias.Es importante su trabajo sobre las ecuaciones fuchsianas.

(Anos 1858 -1947)

Plank, Max -aleman

Matematico y Fisico, recibio el premio nobel de Fsica de1918. Sus estudios se desarrollaron alrededor de las relacio-nes entre el calor y la energa. Llevo a cabo la renovacionde la Fsica al introducir su famosa teora de los quantabasada en la discontinuidad de la energa radiante. La basede la Fsica moderna es la constante universal de Plank.En sus trabajos se unen maravillosamente la Fsica y la Ma-tematica. Alemania creo el Instituto de Fsica Max Plank.

Walter Arriaga Delgado Algebra xvii

(Anos 1879 -1955)

Einstein Albert -aleman

Matematico y Fsico, Profesor del Instituto Politecnico y dela Universidad de Zurich. Director de la Seccion de Fsicadel Instituto Emperador Guillermo. Recibio en 1921 el pre-mio Nobel de Fsica, por sus trabajos acerca de la Teora dela Relatividad del tiempo, que modifica la Teora de Gravi-tacion universal de Newton. Trabajando con otros cientfi-cos de diversas nacionalidades en la Universidad de Prnce-ton logro la desintegracion del atomo, base de la BombaAtomica.

(Anos 1862-1943)

Hilbert, David -aleman

Matematico nacido en Koenigsberg y muerto en Gotinga.Su obra abarca gran parte de los campos en que se dividela matematica moderna. Sus trabajos se relacionan con: lateora de los cuerpos; ecuaciones integrales; sistemas de in-finitas ecuaciones con infinitas incognitas. Fue el iniciadory el impulsor del movimiento de axiomatizacion de la ma-tematica moderna. Su obra principal Fundamentos de laGeometra (1899). En analisis introdujo los llamados es-pacios de Hilbert y en general los espacios abstractos . Fueel creador de la llamada Metamatematica.

(Anos 1871-1956)

Borel, Emile -frances

Matematico nacido en Aveyron. Realizo numerosos traba-jos en el campo del Analisis Matematico: teora de funcio-nes; suma de series divergentes; teora de conjuntos y calcu-lo de probabilidades. Sus libros: Coleccion Borel, trata-do de calculo de Probabilidades, El azar, El espacio yel tiempo, etc.

(Anos 1875-1941)

Lebesgue, HenriLeon - frances

Matematico nacido en Beauvais. Prosiguio con los trabajosde Cantor relacionados con la Teora de Conjuntos. Creo lanueva teora de la integracion que lleva su nombre. Contri-buyo tambien en las Teoras de las Series Trigonometricas.

Siglo XX (Anos1903- ...)

Neumann, JohnVon N.

norteamericanoMatematico nacido en Budapest (Hungra).Sus trabajos sobre Logstica matematica, Teora de Con-juntos, Teora Cuantica, Operadores, etc. lo situan entrelos primeros investigadores de esta ciencia. Fue Profesorde Fisica-Matematica en el Instituto de Altos Estudios dePrinceton.

(Anos 1935 - ...Bourbaki, Nico-las - frances

Es este un nombre supuesto para un movimiento de ma-tematicos franceses que entendieron que el desarrollo ma-tematico en esa epoca, estaba estancado. Las investigacio-nes desarrolladas bajo este nombre colectivo presenta unacoleccion completa de la matematica en forma moderna: es-tructuras fundamentales y teoras levantadas sobre ellas. En1939 comenzaron a aparecer los Elementos de Matemati-cas en fascculos. Sus iniciadores fueron: Andre Weil; HenriCartan; Jean Dieudonne; Claude Chevalley; Laurent Sch-warz y otros. Aparecieron hasta ahora unos 30 volumenes.

xviii Algebra Walter Arriaga Delgado

0.3. Origen del Algebra

0.3.1. Introduccion.

Algebra, rama de las matematicas en la que se usan letras para representar relaciones aritmeticas.

Al igual que en la aritmetica, las operaciones fundamentales del algebra son adicion, sustraccion,

multiplicacion, division y calculo de races. La aritmetica, sin embargo, no es capaz de generalizar las

relaciones matematicas. La aritmetica solo da casos particulares de esta relacion (por ejemplo, 3, 4

y 5, ya que 32 + 42 = 52). El algebra, por el contrario, puede dar una generalizacion que cumple las

condiciones del teorema: a2 + b2 = c2.

El algebra clasica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza smbolos en vez de numeros es-

pecficos y operaciones aritmeticas para determinar como usar dichos smbolos. El algebra moderna

ha evolucionado desde el algebra clasica al poner mas atencion en las estructuras matematicas. Los

matematicos consideran al algebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan

o relacionan. As, en su forma mas general, se dice que el algebra es el idioma de las matematicas.

0.3.2. El origen del Algebra.

Los babilonios desarrollaron tecnicas y metodos para medir y contar, impulsados en parte por la

necesidad de resolver problemas practicos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo

de las tecnicas cartograficas. Entre las tablillas babilonicas descubiertas se han encontrado ejemplos

de tablas de races cuadradas y cubicas, y el enunciado y solucion de varios problemas puramente

algebraicos, entres ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuacion cuadratica.

Un examen cuidadoso de las tablillas babilonicas muestra claramente que mediante esos calculos sus

autores no solo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros mas abstractos y artificiales,

y que lo hacan para desarrollar tecnicas de solucion y ejercitarse en su aplicacion.

Uno de ellos, en terminos modernos, dice: He sumado el area del cuadrado con los dos tercios del

lado del cuadrado y el resultado es7

12

Se requiere hallar la longitud del lado del cuadrado. En cuanto que, hasta la mitad del siglo XIX, el

algebra se ocupo principalmente de resolver ecuaciones de este tipo, puede decirse que fue en Babilonia

donde tuvo su origen esta ciencia.

Fueron los arabes quienes le dieron a la nueva ciencia de plantear y resolver ecuaciones un nombre:

aljabr. La nueva civilizacion que surgio en la pennsula arabiga en la primera mitad del siglo VII,

Walter Arriaga Delgado Algebra xix

habra de transformar muy pronto la vida de gran parte del mundo habitado de entonces. Menos de

un siglo despues de la captura de La Meca por Mahoma en el ano 630 d.C., el ejercito islamico haba

convertido a las tribus politestas dcl Medio Oriente y usurpado al imperio bizantino los territorios de

Siria y Egipto. La conquista de Persia se completo hacia el ano 641 d.C. Los sucesores de Mahoma,

los califas, primero establecieron su capital en Damasco pero, tras cien anos de guerras, el califato se

dividio en varias partes.

La fundacion en 766 d.C. por parte del califa al - Mansur de Bagdad como la nueva capital de

su califato, significo cl comienzo de una etapa mas tolerante del islamismo y permitio el desarrollo

intelectual de sus habitantes. Su sucesor, el califa Harun al - Rashid, quien goberno entre 786 y

809, establecio en Bagdad una biblioteca en la que se reunieron manuscritos provenientes de varias

academias del Cercano Oriente, algunas de las cuales haban sido establecidas por miembros de las

antiguas academias de Atenas y Alejandra que tuvieron que cerrarse a raz de la persecucion de los

romanos. Un programa de tradt4cciones al arabe de textos clasicos de la matematica y ciencia de los

griegos y los hindues era una de las actividades del Bayal al-Iliktna (Casa dc la sabidura), un instituto

de investigaciones que fundara cl califa al - Ma mun y que funciono durante mas de 200 anos.

Muhammmad ibn Musa al - Khwarizmi, un miembro del Bayal al-Hikma fue el autor de varios

tratados sobre astronoma y matematicas, entre ellos uno dc los primeros tratados islamicos acerca

del algebra. Fue gracias a la traduccion al latn de su libro acerca del sistema de numeracion hindu,

Algorithmi de numero indorum, que Europa Occidental conocio ese novedoso sistema de numeracion.

Su obra mas importante, sin embargo, fue su tratado de algebra que, con el ttulo Ilisab al-/abra

wal- muqabala (La ciencia de la reduccion y confrontacion) probablemente significaba la ciencia de las

ecuaciones.

El Algebra de Muhammad contiene instrucciones practicas para resolver ciertas ecuaciones lineales

y cuadraticas. Lo que la gente quiere, dice el autor, cuando realiza sus calculo.., es un numero. Ese

numero no es mas que la solucion de una ecuacion.

Otro importante algebrista arabe fue Omar Khayyam (1048-1131), mejor conocido en Occidente

por su Rubaiyat, una coleccion de unos 600 poemas. Fue el el primero en hacer una clasificacion

sistematica de la ecuaciones cubicas y resolver algunas de ellas.

La contribucion de los algebristas islamicos de los siglos Xl y XII en el desarrollo del algebra

habra sido mas notoria si no hubiera tardado tanto en ejercer su influencia en Europa, donde, un poco

despues, el algebra habra de consolidarse definitivamente.

xx Algebra Walter Arriaga Delgado

0.3.3. Historia del Algebra.

La historia del algebra comenzo en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver

ecuaciones lineales (ax = b) y cuadraticas (ax2 + bx = c), as como ecuaciones indeterminadas como

x2 + y2 = z2, con varias incognitas. Los antiguos babilonios resolvan cualquier ecuacion cuadratica

empleando esencialmente los mismos metodos que hoy se ensenan.

Los matematicos alejandrinos Heron y Diofante continuaron con la tradicion de Egipto y Babilo-

nia, aunque el libro Las aritmeticas de Diofante es de bastante mas nivel y presenta muchas soluciones

sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difciles. Esta antigua sabidura sobre resolucion de

ecuaciones encontro, a su vez, acogida en el mundo islamico, en donde se la llamo ciencia de re-

duccion y equilibrio. (La palabra arabe al- jabr que significa reduccion, es el origen de la palabra

algebra). En el siglo IX, el matematico al-Jwarizmi escribio uno de los primeros libros arabes de algebra,

una presentacion sistematica de la teora fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones

incluidas. A finales del siglo IX, el matematico egipcio Abu Kamil enuncio y demostro las leyes fun-

damentales e identidades del algebra, y resolvio problemas tan complicados como encontrar las x, y, z

que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2. En las civilizaciones antiguas se

escriban las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas solo ocasionalmente; sin embargo, en la

edad media, los matematicos arabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incognita x,

y desarrollaron el algebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los smbolos modernos. Esta

algebra inclua multiplicar, dividir y extraer races cuadradas de polinomios, as como el conocimiento

del teorema del binomio. El matematico, poeta y astronomo persa Omar Khayyam mostro como ex-

presar las races de ecuaciones cubicas utilizando los segmentos obtenidos por interseccion de secciones

conicas, aunque no fue capaz de encontrar una formula para las races. La traduccion al latn del Alge-

bra de al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matematico italiano

Leonardo Fibonacci consiguio encontrar una aproximacion cercana a la solucion de la ecuacion cubica

x3+2x2 + cx = d. Fibonacci haba viajado a pases arabes, por lo que con seguridad utilizo el metodo

arabigo de aproximaciones sucesivas.

A principios del siglo XVI los matematicos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Car-

dano resolvieron la ecuacion cubica general en funcion de las constantes que aparecen en la ecuacion.

Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontro la solucion exacta para la ecuacion de cuar-

to grado y, como consecuencia, ciertos matematicos de los siglos posteriores intentaron encontrar la

formula de las races de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo

XIX el matematico noruego Niels Abel y el frances Evariste Galois demostraron la inexistencia de

Walter Arriaga Delgado Algebra xxi

dicha formula.

Un avance importante en el algebra fue la introduccion, en el siglo XVI, de smbolos para las

incognitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la

Geometra (1637), escrito por el matematico y filosofo frances Rene Descartes se parece bastante a un

texto moderno de algebra. Sin embargo, la contribucion mas importante de Descartes a las matematicas

fue el descubrimiento de la geometra analtica, que reduce la resolucion de problemas geometricos a

la resolucion de problemas algebraicos. Su libro de geometra contiene tambien los fundamentos de

un curso de teora de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamo la regla de los signos

para contar el numero de races verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuacion. Durante

el siglo XVIII se continuo trabajando en la teora de ecuaciones y en 1799 el matematico aleman Carl

Friedrich Gauss publico la demostracion de que toda ecuacion polinomica tiene al menos una raz en

el plano complejo (vease Numero (matematicas): Numeros complejos).

En los tiempos de Gauss, el algebra haba entrado en su etapa moderna. El foco de atencion se

traslado de las ecuaciones polinomicas al estudio de la estructura de sistemas matematicos abstractos,

cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matematicos, como los numeros com-

plejos, que los matematicos haban encontrado al estudiar las ecuaciones polinomicas. Dos ejemplos de

dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los siste-

mas numericos, aunque tambien difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como

sistemas de permutaciones y combinaciones (vease Combinatoria) de las races de polinomios, pero

evolucionaron para llegar a ser uno de los mas importantes conceptos unificadores de las matematicas

en el siglo XIX. Los matematicos franceses Galois y Augustin Cauchy, el britanico Arthur Cayley y

los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas

fueron descubiertas por el matematico y astronomo irlandes William Rowan Hamilton, quien desa-

rrollo la aritmetica de los numeros complejos para las cuaternas; mientras que los numeros complejos

son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a+ bi+ cj + dk.

Despues del descubrimiento de Hamilton, el matematico aleman Hermann Grassmann empezo a in-

vestigar los vectores. A pesar de su caracter abstracto, el fsico estadounidense J. W. Gibbs encontro en

el algebra vectorial un sistema de gran utilidad para los fsicos, del mismo modo que Hamilton haba

hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevo a George Boole a escribir

Investigacion sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la logica basica.

Desde entonces, el algebra moderna tambien llamada algebra abstracta ha seguido evolucionando; se

han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las

xxii Algebra Walter Arriaga Delgado

matematicas y en muchas otras ciencias.

0.3.4. Un poquito mas de la historia del algebra

Sabas que el algebra que se estudia en secundaria es muy antigua?

Aqu encontraras algunos pasajes de su historia. Desde el siglo XVII aC. los matematicos de

Mesopotamia y de Babilonia ya saban resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Ademas

resolvan tambien, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incognitas En el siglo

XVI aC. los egipcios desarrollaron un algebra muy elemental que usaron para resolver problemas

cotidianos que tenan que ver con la reparticion de vveres, de cosechas y de materiales. Ya para

entonces tenan un metodo para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el metodo de

la falsa posicion. No tenan notacion simbolica pero utilizaron el jeroglfico hau (que quiere decir

monton o pila) para designar la incognita. Alrededor del siglo I dC. los matematicos chinos escribieron

el libro Jiu zhang suan shu (que significaEl Arte del calculo), en el que plantearon diversos metodos

para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, as como sistemas de dos ecuaciones con dos

incognitas. Con su abaco (suan z) tenan la posibilidad de representar numeros positivos y negativos.

En el siglo II, el matematico griego Nicomaco de Gerasa publico su Introduccion a la Aritmetica y

en ella expuso varias reglas para el buen uso de los numeros.

En el siglo III el matematico griego Diofanto de Alejandra publico su Aritmetica en la cual, por

primera vez en la historia de las matematicas griegas, se trataron de una forma rigurosa no solo las

ecuaciones de primer grado, sino tambien las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy

elemental al designar la incognita con un signo que es la primera slaba de la palabra griega arithmos,

que significa numero. Los problemas de algebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos

mas tarde sera la teora de ecuaciones. A pesar de lo rudimentario de su notacion simbolica y de

lo poco elegantes que eran los metodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores

del algebra moderna.

En el siglo VII los hindues haban desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar

numeros positivos y negativos.

Siglo IX. Epoca en la que trabajo el matematico y astronomo musulman Al-Jwarizmi, cuyas obras

fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del algebra. Al - Jwarizmi investigo y escri-

bio acerca de los numeros, de los metodos de calculo y de los procedimientos algebraicos para resolver

ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada

primero para referirse a los metodos de calculos numericos en oposicion a los metodos de calculo con

Walter Arriaga Delgado Algebra xxiii

abaco, adquirio finalmente su sentido actual de procedimiento sistematico de calculo. En cuanto a

la palabra algebra, deriva del ttulo de su obra mas importante, que presenta las reglas fundamentales

del algebra, Al-jabr wal muqabala.

En el siglo X vivio el gran algebrista musulman Abu Kamil, quien continuo los trabajos de Al-

Jwarizmi y cuyos avances en el algebra seran aprovechados en el siglo XIII por el matematico italiano

Fibonacci.

Durante este mismo siglo, el matematico musulman Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre

los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de

Diofanto.

En 1202. Despues de viajar al norte de Africa y a Oriente, donde aprendio el manejo del sistema

de numeracion indoarabigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publico el Liber Abaci

(Tratado del Abaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos

estudiosos de la aritmetica y el algebra.

En el siglo XV, el matematico frances Nicolas Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de

los numeros negativos, introdujo ademas una notacion exponencial muy parecida a la que usamos hoy

en da, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos.

En 1489 el matematico aleman Johann Widmann dEger invento los smbolos + y parasustituir las letras p y m que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (mas) y minus (menos)

que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

En 1525, el matematico aleman Christoph Rudolff introdujo el smbolo de la raz cuadrada que

usamos hoy en da: Este smbolo era una forma estilizada de la letra rde radical o raz.

Entre 1545 y 1560, los matematicos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta

de que el uso de los numeros imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones

de segundo, tercero y cuarto grado.

En 1557 el matematico ingles Robert Recorde invento el smbolo de la igualdad, =.

En 1591 el matematico frances Francois Viete desarrollo una notacion algebraica muy comoda,

representaba las incognitas con vocales y las constantes con consonantes.

0.3.5. Crucigrama algebraico

Un crucigrama es un juego que consiste en adivinar, mediante breves indicaciones, las palabras

que corresponden a una serie de casillas colocadas cruzandose horizontal y verticalmente en un dibujo.

Aqu encontraras un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendras que resolver 17 ecuaciones de

xxiv Algebra Walter Arriaga Delgado

primer grado. Anmate!

Verticales Horizontales

1) 3x + 2 = 32 3) 7x - 4 = 171

2) x/5 = 16 4) 8x - 920 = 7,080

3) 2x + 8 = 440 6) 1/2x + 8 = 88

5) 2x - 9 = x + 18 7) 5x = 35,745

8) 9x + 9 = 900 10) 4x - 4 = 3x + 6

9) 1/4x - 2 = 250 11)5/2 x + 40 = 500

13) x/3 - 11 = x - 233 12) x/9 - 43 = 1,000

15) x + 5 = 2x - 80 14) x/7 - 5 = 0

16) 5x - 4x + 3x + 8 = 8

Figura 1: Crucigrama

Que tal, resulto divertido?

0.3.6. Magia con algebra

Te gusta hacer trucos de magia?

Has probado al hacerlos con un poco de algebra?

En lugar de sombrero de mago necesitaras una hoja de papel y en lugar de varita magica un lapiz.

Listo?

Vamos a hacer la prueba con uno a ver que tal funciona:

a. Piensa un numero

Walter Arriaga Delgado Algebra xxv

b. Al numero que pensaste sumale el numero que sigue.

c. Al resultado del paso anterior sumale 9.

d. Divide el resultado entre 2

e. A lo que quedo restale el numero que pensaste.

El numero que quedo es 5!. Impresionado? Veamos en donde quedo el algebra:

Nosotros no sabemos cual es el numero que pensaste. Es una incognita as que le llamaremos x.

Ahora hay que sumarle el numero que sigue, o sea, x+1. As la suma que se hace es x+(x+1) = 2x+1.

Ahora hay que sumar nueve, as que tenemos que hacer 2x + 1 + 9 que es igual a 2x + 10. Hay que

dividir el resultado entre 2. Veamos pues: (2x+10)/2 = x+5 Y, finalmente, hay que restar el numero

que habas pensado. Es decir hay que resolver: x + 5 x . Pero curiosamente el resultado de estaoperacion da 5. As que el numero que te quedo es 5. Te sorprende?

Aqu encontraras mas trucos algebraicos, puedes ponerlos a tus amigos, a tu familia. Pero lo mas

importante es que descubras por que funcionan, es decir que practiques un poco el algebra.

Truco 1:

En una caja o en un frasquito guarda 20 cositas iguales, pueden ser canicas, clips, cerillos, frijoles,

en fin, lo que se te ocurra. Pdele a alguien que piense un numero entre el 1 y el 9. Saca de la caja el

numero de cositas que tu amigo penso. Cuenta cuantas cositas quedaron dentro de la caja. Tiene que

haber quedado un numero de dos dgitos. Suma esos dos dgitos y saca de la caja el numero de cositas

que obtuviste de sumar los dos dgitos. Saca de la caja dos cositas mas.

Repite este truco 3 veces mas Que esta pasando? Intenta explicarlo.

Truco 2:

Piensa un numero. Multiplcalo por 5. Suma 8 al resultado. A lo que quedo, restale 3. Divide entre

5 el resultado del paso anterior. A lo que quedo resta el numero que pensaste en un principio. El

numero que quedo es el 1

Explica que es lo que paso.

Truco 3:

Esta vez el truco lo vas a hacer tu. En los renglones vacos, escribe las instrucciones adecuadas

para que se cumpla el truco.

xxvi Algebra Walter Arriaga Delgado

Piensa un numero. Multiplcalo por 7. Este renglon te toca a ti. A lo que te quedo resta el numero

que pensaste al principio.

Te quedo el numero 1.

Truco 4:

Escribe el numero del mes en que naciste. Por ejemplo, si es junio el 6, si es noviembre el 11, etc.

Multiplica ese numero por 2. A lo que quedo, sumale 5. A lo que quedo, multiplcalo por 50. A lo que

quedo sumale tu edad actual (no la que vas a cumplir este ano, la que tienes en este momento, hoy).

Al numero que quedo hay que restarle 250, en el resultado de la resta, las decenas y las unidaddes

representaran la edad de la persona, las centenas y los millares, el mes de nacimiento.

Intenta explicar que sucede.

Te gustaron los trucos?

Por que no inventas los tuyos propios?

0.3.7. Al - Jwarizmi

Figura 2: Al - Jwarizmi

Abu Jafar Mohammet ibn Mose Al - Jwarizmi fue uno de los mejores matematicos arabes de la

Edad Media. Si bien no sabemos mucho acerca de su vida privada, conocemos a profundidad su obra

matematica que afortunadamente llego a nosotros gracias a las traducciones al latn que de ella se

hicieron durante la Edad Media y el Renacimiento.Al - Jwarizmi vivo del ano 780 al 835. Nacio en

una ciudad llamada Jwarizm que actualmente se llama Jiva y esta en Uzbekistan.

Vivio en la corte del califa Abdula al - Mamun quien haba fundado una academia de ciencias

que se llamaba La Casa de la Sabidura en la que trabajaban los mejores cientficos y matematicos,

Walter Arriaga Delgado Algebra xxvii

entre ellos, por supuesto, Al - Jwarizmi. De esta academia salio la primera expedicion que realizaron

los arabes para calcular la circunferencia de la Tierra y en la que se realizaron varios experimentos de

navegacion y observaciones astronomicas. Al - Jwarizmi fue un miembro muy activo de esta expedicion.

En la Casa de la Sabidura se desempeno como bibliotecario, matematico y astronomo y escri-

bio varios textos, fundamentalmente de matematicas.

El mas importante de todos ellos es, sin duda, Al - jabar wal Muqabala, que es un tratado sobre

como plantear y resolver ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana. El libro empieza as:

Este interes por la ciencia, con la que Ala ha dotado al califa Al - Mamun, caudillo de los creyentes, me

ha animado a componer esta breve obra sobre el calculo por medio del algebra, en la que se contiene

todo lo que es mas facil y util en aritmetica, como por ejemplo todo aquello que se requiere para calcular

herencias, hacer repartos justos y sin equvocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones con

terceros, todo aquello en donde este implicada la agrimensura, la excavacion de pozos y canales, la

geometra y varios asuntos mas.

Con el paso de los siglos los matematicos reconocieron que la obra de Al - Jwarizmi era tan

importante que se hicieron varias traducciones al latn, que era el idioma en el que se escriba la

ciencia en la Europa de esa epoca.

Para finales del siglo XVI nadie tena dudas ya: Al - Jwarizmi era el verdadero padre del algebra.

UTILIDAD:

Los conocimientos son indispensables en el desarrollo de los curso tales como: La geometra, trigono-

metra, geometra analtica, calculo diferencial e integral, etc.

SIMBOLOS QUE SE UTILIZAN EN EL ALGEBRA:

Los smbolos que se utilizan en el algebra son los numeros y las letras.

Los numeros se utilizan para representar cantidades conocidas y las letras se utilizan para representar

toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

Para las cantidades conocidas, se emplea generalmente las primeras letras del alfabeto : a, b, c, ....

Para las cantidades desconocidas, emplearemos generalmente las ultimas letras del alfabeto : ... , x, y, z.

Si una letra representa diferentes valores, entonces se emplea la misma letra afectada de comillas o

subndices. a , a , ... , se lee a prima ; a segunda ; ... a1, a2 , ... , se lee a sub uno ; a sub

dos ; ...

SIGNOS:

Signos de operacion u operadores matematicos:

xxviii Algebra Walter Arriaga Delgado

SIMBOLO OPERACION RESULTADO

+ Adicion Suma

Sustraccion Resta

. Multiplicacion Producto

Division Cociente

()n Potenciacion Potencia

n Radicacion Raz

Cuadro 1: Signos de operacion u operadores matematicos

SIGNOS DE RELACION:

= Para valores

Para polinomios Comparacion algebraica entre polinomios

> Menor que

< Mayor que

SIGNOS DE COLECCION:

Son smbolos que se utilizan para separar o agrupar expresiones . Estos son:

( ) Parentesis

{ } Llave[ ] Corchete

Barra de vinculo

Indice general

Prefacio I

DEFINICIONES BASICAS V

0.1. Definicion de ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

0.2. Esquema del desarrollo historico de la Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

0.3. Origen del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

0.3.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

0.3.2. El origen del Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

0.3.3. Historia del Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx

0.3.4. Un poquito mas de la historia del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxii

0.3.5. Crucigrama algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii

0.3.6. Magia con algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv

0.3.7. Al - Jwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi

Introduccion IV

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1

1.1. Definicion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Termino algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Terminos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Clasificacion de las expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Teora de exponentes y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 25

2.1. Definicion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

xxix

xxx Algebra Walter Arriaga Delgado

2.2. Grados en operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Polinimios especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1. Polinomio Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2. Polinomio Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.3. Polinomio Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.4. Polinomio Entero en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.5. Polinomio monico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.6. Polinomios identicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.7. Polinomios equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.8. Polinomio identicamente nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Valor numerico de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. MULTIPLICACION ALGEBRAICA 45

3.1. Adicion y sustraccion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2. Multiplicacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. DIVISION ALGEBRAICA 67

4.1. Definicion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Metodo clasico o division normal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3. Metodo de coeficientes separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4. Metodo de Guillermo Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.5. Metodo de Paolo Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.6. Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.7. Divisibilidad algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.8. Cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5. FACTORIZACION 95

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3. Criterios de factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3.1. Criterio del factor comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3.2. Criterio del factor comun por agrupacion de terminos . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3.3. Criterio de las identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Walter Arriaga Delgado Algebra xxxi

5.3.4. Criterio de las aspas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3.5. Criterio de los divisores binomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.6. Criterio de los artificios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6. MAXIMO COMUN DIVISOR. MINIMO COMUN MULTIPLO. FRACCIONES

ALGEBRAICAS 115

6.1. Maximo Comun Divisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.2. Mnimo Comun Multiplo MCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.4. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7. POTENCIACION 131

7.1. Factorial de un numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.1.1. Numero combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.1.2. Coeficiente binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.2. Analisis combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.2.1. Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.2.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.2.3. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.2.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.3. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

xxxii Algebra Walter Arriaga Delgado

Captulo 1:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Objetivos:

z Clasificar una expresion algebraica segun la naturaleza de los exponentes y segun el numero

de terminos.

z Capacitar para reconocer los exponentes de cocientes, productos, potencias o races enesimas.

z Aplicar la relacion de base a base y exponente a exponente en la resolucion de las ecuaciones

exponenciales.

1.1. Definicion:

Es un conjunto de numeros y letras relacionadas entre s por las distintas operaciones fundamen-

tales (Adicion, Sustraccion, Multiplicacion, Division, Radicacion y Potenciacion), en forma finita y sin

variables como exponentes.

Ejemplo 1.1.1.

5x2y3 3x7z2

y5+

3yzx

Constante: Es aquella magnitud que adquiere un valor fijo, en el estudio o desarrollo de un fenomeno

matematico y esta representado (no siempre) por las primeras letras del abecedario a, b, c, ... etc.

Variable: Es aquella magnitud que no presenta un valor fijo, en el estudio o desarrollo de un fenomeno

matematico y esta representado (no siempre) por las ultimas letras del abecedario x, y, z, w, ... etc.

Notacion Matematica: Es aquella representacion simbolica de una expresion matematica que nos

permite diferenciar a las variables de las constantes.

1.2. Termino algebraico

Es la mnima expresion algebraica en la que sus elementos se encuentran relacionadas por las

operaciones de multiplicacion, division, potenciacion y radicacion.

1

2 Algebra Walter Arriaga Delgado

P (x, y) = 5ax2 + 2bxy + 3cy2

constantesvariables

nombre

generico

Figura 1.1: Notacion matematica

En un termino algebraico se distinguen las siguientes partes:

1. Coeficiente (incluyendo el signo).

2. Variables o parte literal.

3. Los exponentes de las variables

7x2y3

coeficiente

parte literal (variables)

exponente

Figura 1.2: Partes de un termino algebraico

1.3. Terminos semejantes

Son aquellos que tienen la misma parte literal, afectadas de los mismos exponentes.

Ejemplo 1.3.1.

5x3yz5; 0, 5x3yz5;3x3yz5; 14x3yz5 ; son terminos semejantes.

Dos terminos se pueden sumar o restar si son semejantes, para lo cual se resta o se suma los

coeficientes y se escribe la misma parte literal.

Ejemplo 1.3.2.

9x5y2; 3x5y2; x5y2; son terminos semejantesSumando y restando se tiene:

9x5y2 3x5y2 + x5y2 = 7x5y2

Walter Arriaga Delgado Algebra 3

1.4. Clasificacion de las expresiones algebraicas

I. Segun la naturaleza de los exponentes: Una expresion algebraica puede ser:

1. Expresion Algebraica Racional (EAR): Son aquellas cuyas variables estan afectadas por

exponentes enteros. Estas a su vez pueden ser:

1.1 Expresion Algebraica Racional Entera (EARE): Cuando los exponentes de sus

variables son enteros positivos, incluyendo el cero (Z+0 enteros no negativos).

1.2 Expresion Algebraica Racional Fraccionaria (EARF): Cuando los exponentes de

sus variables son enteros negativos (Z).

2. Expresion Algebraica Irracional (EAI): Son aquellas cuyas variables estan afectadas por

exponentes fraccionarios (Q).

Nota: Toda expresion que no cumple con estas condiciones se le conoce con el nombre de ex-

presion no algebraica o Trascendente (ET).

Expresion

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

E. Algebraica

8

>

>

>

>

>

:

E. A. Racional

8

0 y a 6= 1EE2. Si ax = bx a = b a > 0 y b > 0EE3. Si xx = aa x = aEE4. Si x

x = a

a x = a

EE5. Si ax = by x = y = 0, para todo a, b R.

Formas indeterminadas:

FI1.mq

xnm

xn mxn . . . = m1

xn

FI2.m

q

xn m

xn mxn . . . = m+1

xn

FI3.

n(n+ 1) +q

n(n+ 1) +

n(n+ 1) + . . . = n+ 1

Walter Arriaga Delgado Algebra 7

FI4.

n(n+ 1)q

n(n+ 1)

n(n+ 1) . . . = n

FI5. nn

nn

nn...

= n

FI6. xxx...

= n x = nn

8 Algebra Walter Arriaga Delgado

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

SOL: Expresiones algebraicas y teora de exponentes 1.1.

1. Si la expresion:

W (x, y, z) =xn+1 n+1

y5

z3n

es racional entera. Calcular n.a) 5 b) 4 c) 1d) 2 e) 3

Solucion

Si W (x, y, z) =xn+1 n+1

y5

z3n, entonces redu-

ciendo se tiene

W (x, y, z) = xn+1y5/(n+1)zn3

de donde:n+ 1 0 n 1n 3 0 n 3ahora intersectamos:

1 3

luego los valores enteros que se encuentranen la interseccion son:

n = {3, 4, 5, 6, 7, . . .}

pero5

n+ 1tiene que ser entero, y el unico

valor que cumple es 4.

Por lo tanto n = 4

Alternativa: b

2. Si la expresion:

xn3 5n+5x15 yn+1

n+1z6

n+1

x3n+1

es racional entera. Calcular 2n.a) 6 b) 4 c) 2d) 8 e) 10

Solucion

Reduciendo la expresion se tiene:

xn3x3

n+1 yn+1z6

n+1

x3

n+1

= xn3yn+1z6

n+1

de donde:n 3 0 n 3n+ 1 0 n 1ahora intersectamos:

1 3

luego los valores enteros que se encuentranen la interseccion son:

n = {3, 4, 5, 6, 7, . . .}

pero6

n+ 1tiene que ser entero, y el unico

valor que cumple es 5.

Por lo tanto 2n = 10

Alternativa: e

3. Hallar la suma de todos los valores de nque hacen que la expresion:

5xn3 + 3( 3x)n 2x7n + 1

sea racional enteraa) 6 b) 1 c) 9d) 3 e) 5

SolucionReduciendo la expresion se tiene

5xn3 + 3xn3 2x7n + 1

de donden 3 0 n 37 n 0 n 7 n 7ahora intersectamos:

3 7

Walter Arriaga Delgado Algebra 9

luego los valores enteros que se encuentranen la interseccion son:

n = {3, 4, 5, 6, 7}

comon

3tiene que ser entero entonces n de-

be ser un numero multiplo de 3 y los valoresque cumplen son 3 y 6, por lo tanto la sumade estos valores es 9

Alternativa: c

4. Si 4989

x1

=32

2. El valor de x es:

a) 2 b) 8 c) 4d) 5 e) 3

Solucion

4989

x1

=32

2

(22)989

x1

=21/3

2

22989

x1

= 22/3

2 989x1

=23

989x

1

= 31

(32)89x

1

= 31

3289x

1

= 31

2 89x1

= 189

x1

= 21

(23)9x1

= 21

239x1

= 21

3 9x1 = 19x

1= 31

(32)x1

= 31

32x1

= 31

2 x1 = 1x1 = 21

x = 2

Alternativa: a

5. Calcular A = m2+2

s

9m2+2 + 9(3m

2)

6m2+2 + 4(2m2)a) 9 b) 6 c) 1/3d) 3/2 e) 2/3

Solucion

A =m2+2

9m2+2 + 9(3m

2)

6m2+2 + 4(2m2)

=m2+2

(3 3)m2+2 + 32(3m2)(3 2)m2+2 + 22(2m2)

=m2+2

s

3m2+2 3m2+2 + 3m2+2

3m2+2 2m2+2 + 2m2+2

=m2+2

3m2+2(3m

2+2 + 1)

2m2+2(3m

2+2 + 1)

=m2+2

s

3m2+2

2m2+2

=3

2

Alternativa: d

6. Si x1/x = 3, x R+. Reducir

M =5(3x) + 7(x1/x) + (3x)2

42 + 10(3x) + 2x2

a) 2 b) 1/2 c) 1/4d) 5/8 e) 12

SolucionSi x1/x = 3 x = 3x luego:

M =5(3x) + 7(x1/x) + (3x)2

42 + 10(3x) + 2x2

=5x+ 7 3 + x242 + 10x + 2x2

=x2 + 5x+ 21

2(x2 + 5x+ 21)

=1

2

Alternativa: b

7. Simplificar: E =

bb

bbb2bbb

2

indicando el exponente de b.a) 0 b) bb c) b

d) bbb

e) 1

10 Algebra Walter Arriaga Delgado

Solucion

E =

bb

bbb2bbb

2

= bbb

2bbb

2

bb

= bbb

bb

= b

luego el exponente de b es 1

Alternativa: e

8. Si: C =

x+1

v

u

u

u

u

u

u

u

u

t

aa

x+1

aa

x+1

aa...

Calcular E = (Cx+2)(Cx+2)(C

x+2)

...

a) aa b) ax+2 c) a

d) 1 e) aa

x+2

SolucionDada la expresion

C =

x+1

v

u

u

u

u

u

u

u

u

u

t

aa

x+1

aa

x+1

aa...

elevamos a la (x+ 1) ambos miembros

Cx+1 =aa

x+1

aa

x+1

aa...

luego se tiene que:

Cx+1 =aa

C Cx+2 = a

a

y reemplazando en la expresion E se tiene:

E = aa

aa

aa

...

= a

Alternativa: c

9. Simplificar: E = xy

xxy + yxy

xyx + yyx

a) xy b) x c) y/xd) x/y e) 1

SolucionHaciendo el cambio de variable a = x y,entonces:

E = xys

xxy + yxy

xyx + yyx

= a

xa + ya

xa + ya

=a

xa + ya

1

xa+

1

ya

=a

xa + ya

xa + ya

xaya

= axaya

= xy

Alternativa: a

10. Si aaaa+aa

a

= 256, hallar aaaaaa

a

a) 2 b)2 3 c) 4

d)2 e) 1/2

Solucion

aaaa+aa

a

= 256

aaaaaa

aa

= 256

aaaaaa

aa

= 44

de donde aaaa

= 4, luego:

aaaaaa

a

= aaaa+

aaa

= aaaaaa

aa

=

aaaaaa

aa

=

aaaa

1

aaaa

= 41/4

=2

Walter Arriaga Delgado Algebra 11

Alternativa: d

11. Si ba = aa = 2. Calcular: E = bababa

a) 2 b) 4b c) 4d) 8 e) 16

Solucion

E = bababa

= baba2= ba(ba)a = ba2a = b(aa)2

de donde

E = 4b

Alternativa: b

12. Hallar x si: xx6=

22

a)2 b) 3

2 c) 2

2

d)21

e) 42

Solucion

xx6

=2

2

xx66

=

2

26

x6x6

=

2 62

x6x6

=

2 32

2

x6x6

=

23

23

de donde se tiene que

x6 =2

3

y simplificando se obtiene que: x = 42

Alternativa: e

13. Resolver

(

xy = yx

x3 = y2e indicar un valor

de xa) 1/2 b) 9/2 c) 9/4d) 3/2 e) 0

SolucionEn la ecuacion x3 = y2 despejamos y

obteniendose y = x3/2 y reemplazandoen la primera ecuacion se tiene:

xy = yx

xx3/2

= (x3/2)x

xx3/2

= x3x/2

x3/2 =3x

2

x1/2 =3

2

x =9

4

Alternativa: c

14. Resolver xr

2

x+ 1= (x + 1)x+2 y dar el

valor de W =2 x+ 3

a) 4 b) 1 c) 3d) 2 e) 5

Solucion

x

2

x+ 1= (x+ 1)x+2

x

2

x+ 1

!x

=

(x+ 1)x+2x

2

x+ 1= (x+ 1)x

2+2x

2 = (x+ 1)x2+2x(x+ 1)

2 = (x+ 1)x2+2x+1

2 = (x+ 1)(x+1)2

de donde x+ 1 =2, entonces x =

2 1

y reemplazando se tiene que: W =2x+

3 =2 (

2 1) + 3. Por lo tanto W = 4

Alternativa: a

15. Resolver: 6x

12x=

r

1

2a) 162 b) 166 c) 163

d) 1612 e) 162

Solucion

Alternativa: d

12 Algebra Walter Arriaga Delgado

CAP 01: Expresiones algebraicas y teora de exponentes 1.1.

1. Si la expresion:

W (x, y, z) =xn+1 n+1

y5

z3n

es racional entera. Calcular n.a) 5 b) 4 c) 1d) 2 e) 3

2. Si la expresion:

xn3 5n+5x15 yn+1

n+1z6

n+1

x3n+1

es racional entera. Calcular 2n.a) 6 b) 4 c) 2d)