Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Algebra1, normál 1. előadás 1 / 20
Algebra1, normálELTE Algebra és Számelmélet Tanszék
Előadó: Kiss Emilhttp://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress
1. előadás
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számok
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletek
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriával
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
Polinomok
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
PolinomokA gyökök száma
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggése
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdések
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdésekA harmad- és negyedfokú egyenlet
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdésekA harmad- és negyedfokú egyenlet
Lineáris algebra
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdésekA harmad- és negyedfokú egyenlet
Lineáris algebraLineáris egyenletrendszerek
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdésekA harmad- és negyedfokú egyenlet
Lineáris algebraLineáris egyenletrendszerekMűveletek vektorokkal és mátrixokkal
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdésekA harmad- és negyedfokú egyenlet
Lineáris algebraLineáris egyenletrendszerekMűveletek vektorokkal és mátrixokkalDeterminánsok
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdésekA harmad- és negyedfokú egyenlet
Lineáris algebraLineáris egyenletrendszerekMűveletek vektorokkal és mátrixokkalDeterminánsok
Absztrakt algebrai alapfogalmak
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20
A félév anyaga
Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás
PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdésekA harmad- és negyedfokú egyenlet
Lineáris algebraLineáris egyenletrendszerekMűveletek vektorokkal és mátrixokkalDeterminánsok
Absztrakt algebrai alapfogalmakGyűrűk és testek
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változata
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorok
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikről
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom
K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom
K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek
Komplex számok, polinomok
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom
K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek
Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom
K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek
Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)A gyakorlatokon szereplő feladatok megoldásai
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom
K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek
Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)A gyakorlatokon szereplő feladatok megoldásai
F=Freud Róbert: Lineáris algebra
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom
K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek
Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)A gyakorlatokon szereplő feladatok megoldásai
F=Freud Róbert: Lineáris algebraAz első három félév lineáris algebra anyaga
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom
K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek
Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)A gyakorlatokon szereplő feladatok megoldásai
F=Freud Róbert: Lineáris algebraAz első három félév lineáris algebra anyagaFeladatok megoldásokkal
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom
K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek
Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)A gyakorlatokon szereplő feladatok megoldásai
F=Freud Róbert: Lineáris algebraAz első három félév lineáris algebra anyagaFeladatok megoldásokkal
További feladatgyűjtemények
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom
K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek
Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)A gyakorlatokon szereplő feladatok megoldásai
F=Freud Róbert: Lineáris algebraAz első három félév lineáris algebra anyagaFeladatok megoldásokkal
További feladatgyűjteményekFagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 3 / 20
Irodalom
ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag
Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom
K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek
Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)A gyakorlatokon szereplő feladatok megoldásai
F=Freud Róbert: Lineáris algebraAz első három félév lineáris algebra anyagaFeladatok megoldásokkal
További feladatgyűjteményekFagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatokCzédli-Szendrei-Szendrei: Absztrakt algebrai feladatok
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Az anyagot meg is kell érteni!
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;logikai szabatosság, a matematika nyelvének elsajátítása.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;logikai szabatosság, a matematika nyelvének elsajátítása.
Elméleti matematikából csak kevesen fognak megélni!Hozzá célszerű tanulni mást is, például:
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;logikai szabatosság, a matematika nyelvének elsajátítása.
Elméleti matematikából csak kevesen fognak megélni!Hozzá célszerű tanulni mást is, például:
biológia, fizika, kémia, informatika, tanári mesterség;
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;logikai szabatosság, a matematika nyelvének elsajátítása.
Elméleti matematikából csak kevesen fognak megélni!Hozzá célszerű tanulni mást is, például:
biológia, fizika, kémia, informatika, tanári mesterség;közgazdasági ismeretek, mérnöki tudományok.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;logikai szabatosság, a matematika nyelvének elsajátítása.
Elméleti matematikából csak kevesen fognak megélni!Hozzá célszerű tanulni mást is, például:
biológia, fizika, kémia, informatika, tanári mesterség;közgazdasági ismeretek, mérnöki tudományok.
Használjuk a számítógépet!
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;logikai szabatosság, a matematika nyelvének elsajátítása.
Elméleti matematikából csak kevesen fognak megélni!Hozzá célszerű tanulni mást is, például:
biológia, fizika, kémia, informatika, tanári mesterség;közgazdasági ismeretek, mérnöki tudományok.
Használjuk a számítógépet!Account a caesar.elte.hu-n.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;logikai szabatosság, a matematika nyelvének elsajátítása.
Elméleti matematikából csak kevesen fognak megélni!Hozzá célszerű tanulni mást is, például:
biológia, fizika, kémia, informatika, tanári mesterség;közgazdasági ismeretek, mérnöki tudományok.
Használjuk a számítógépet!Account a caesar.elte.hu-n.Konzultációs gyorssegély: [email protected]
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 4 / 20
Általános tanácsok
Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!
Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.
Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;logikai szabatosság, a matematika nyelvének elsajátítása.
Elméleti matematikából csak kevesen fognak megélni!Hozzá célszerű tanulni mást is, például:
biológia, fizika, kémia, informatika, tanári mesterség;közgazdasági ismeretek, mérnöki tudományok.
Használjuk a számítógépet!Account a caesar.elte.hu-n.Konzultációs gyorssegély: [email protected], Maple, Mathematica, GAP, C++, Python, Unix.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;
a házi feladatokból.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;
a házi feladatokból.
Két évfolyamzárthelyi;
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;
a házi feladatokból.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;
a házi feladatokból.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;
javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;
a házi feladatokból.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;
javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.
Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;
a házi feladatokból.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;
javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.
Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.
A vizsgajegy:
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;
a házi feladatokból.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;
javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.
Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.
A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;
a házi feladatokból.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;
javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.
Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.
A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.Írásbeli vizsga, az anyag megértését is méri.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;
a házi feladatokból.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;
javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.
Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.
A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.Írásbeli vizsga, az anyag megértését is méri.Beugró a röpdolgozatok anyagából.
Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 5 / 20
A számonkérés módja
A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:
az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;
az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;
a házi feladatokból.
Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;
javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.
Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.
A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.Írásbeli vizsga, az anyag megértését is méri.Beugró a röpdolgozatok anyagából.Összesen három alkalom;egyre kell eljönni, kivéve ha az nem sikerül.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amely
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa
4
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa
4x
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa
4x x
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa
4x x2
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa
(4x − x2)
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa
(4x − x2) x
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa
(4x − x2) x 23
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa
(4x − x2)(x − 23)
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa
(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa(
(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa(
(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2
+ 43x3 − π
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa(
(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2
+ 43x3 − π egy polinom.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa(
(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2
+ 43x3 − π egy polinom.
A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa(
(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2
+ 43x3 − π egy polinom.
A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,majd x hatványai szerint rendezhetünk. Az eredmény:
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa(
(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2
+ 43x3 − π egy polinom.
A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,majd x hatványai szerint rendezhetünk. Az eredmény:x6 − 54x5 + 909x4 − 4803x3 − 7722x2 + 1260x + 49 − π.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20
A polinom szemléletes fogalma
K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)
Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).
Példa(
(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2
+ 43x3 − π egy polinom.
A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,majd x hatványai szerint rendezhetünk. Az eredmény:x6 − 54x5 + 909x4 − 4803x3 − 7722x2 + 1260x + 49 − π.(MAPLE program!)
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj .
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
x2 − 1 ésx3 − 1
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
x2 − 1 ésx3 − 1 nem egyenlők,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
x2 − 1 = 0 · x3 ésx3 − 1 nem egyenlők,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
x2 − 1 = 0 · x3 ésx3 − 1 = 1 · x3 nem egyenlők,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 ésx3 − 1 = 1 · x3 nem egyenlők,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 nem egyenlők,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 nem egyenlők,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x nem egyenlők,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x + (−1) ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x nem egyenlők,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x + (−1) ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + (−1) nem egyenlők,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 7 / 20
A polinom definíciója
DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx
j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x
0 a konstans tag.
Definíció (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x + (−1) ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + (−1) nem egyenlők,mert például az x3 együtthatója más a két polinomban.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c).
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.
R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.
R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.
R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.
R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet:
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.
R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ],
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.
R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.
R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].Példa: πy2+3 ∈ R[y ],
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.
R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].Példa: πy2+3 ∈ R[y ], de πy2+3 /∈ Q[y ],
Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 8 / 20
A nullapolinom
Definíció (K2.1. szakasz)
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.
Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.
R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].Példa: πy2+3 ∈ R[y ], de πy2+3 /∈ Q[y ], mert π irracionális szám.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel:
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel:
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel:
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel:
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .Példa:
x2 − x + 1
x3 + 1
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel:
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .Példa:
x2 − x + 1 = 0 · x3 + 1 · x2 − 1 · x + 1
x3 + 1
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel:
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .Példa:
x2 − x + 1 = 0 · x3 + 1 · x2 − 1 · x + 1
x3 + 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + 1 .
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20
Polinomok kibővítése nulla tagokkal
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel:
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .Példa:
x2 − x + 1 = 0 · x3 + 1 · x2 − 1 · x + 1
x3 + 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + 1 .
Így kényelmesebb lesz értelmezni polinomok összegét.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) =
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0)
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) =
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.
Az f ∈ R[x ] ellentettje h,
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.
Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.
Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.
Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettje
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.
Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) =
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.
Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0)
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.
Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.
Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x
n.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.
Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x
n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f =
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 10 / 20
Polinomok összege, különbsége, ellentettje
Definíció (K 35. oldal)
Legyen
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n .
E polinomok összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .
Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.
Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x
n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredménye
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon,
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk,
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk.
x2-es tag kétféleképpen keletkezhet:
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk.
x2-es tag kétféleképpen keletkezhet: a0(b2x2)
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk.
x2-es tag kétféleképpen keletkezhet: a0(b2x2) és (a1x)(b1x).
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk.
x2-es tag kétféleképpen keletkezhet: a0(b2x2) és (a1x)(b1x).
Ezért x2 együtthatója legyen a0b2 + a1b1.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk.
x2-es tag kétféleképpen keletkezhet: a0(b2x2) és (a1x)(b1x).
Ezért x2 együtthatója legyen a0b2 + a1b1. A végeredmény:a1b2x
3
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk.
x2-es tag kétféleképpen keletkezhet: a0(b2x2) és (a1x)(b1x).
Ezért x2 együtthatója legyen a0b2 + a1b1. A végeredmény:a1b2x
3 + (a0b2 + a1b1)x2
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk.
x2-es tag kétféleképpen keletkezhet: a0(b2x2) és (a1x)(b1x).
Ezért x2 együtthatója legyen a0b2 + a1b1. A végeredmény:a1b2x
3 + (a0b2 + a1b1)x2 + (a0b1 + a1b0)x
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 11 / 20
Példa polinomok szorzatára
Kérdés
Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?
Például mi legyen x2 együtthatója?
Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)
Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk.
x2-es tag kétféleképpen keletkezhet: a0(b2x2) és (a1x)(b1x).
Ezért x2 együtthatója legyen a0b2 + a1b1. A végeredmény:a1b2x
3 + (a0b2 + a1b1)x2 + (a0b1 + a1b0)x + a0b0.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből,
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
a0bn+m
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
a0bn+m + . . .+ an−1bm+1
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1 + . . .+ an+mb0 .
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1 + . . .+ an+mb0 .
Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1 + . . .+ an+mb0 .
Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1 + . . .+ an+mb0 .
Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1 + . . .+ an+mb0 .
Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0. Így az utolsó m tag nulla.
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1 + . . .+ an+mb0 .
Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0. Így az utolsó m tag nulla.Vagyis xn+m együtthatója
Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 12 / 20
Polinomok szorzatának definíciója
Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Magyarázat
xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx
ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .
Példa
Az xn+m együtthatója
a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1 + . . .+ an+mb0 .
Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0. Így az utolsó m tag nulla.Vagyis xn+m együtthatója anbm.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ).
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk ,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx
n,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx
n, főegyütthatója an.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx
n, főegyütthatója an.Az f (x) normált polinom, ha főegyütthatója 1.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx
n, főegyütthatója an.Az f (x) normált polinom, ha főegyütthatója 1.
Tétel (K2.1.5)
Szorzásnál a fokok összeadódnak:
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx
n, főegyütthatója an.Az f (x) normált polinom, ha főegyütthatója 1.
Tétel (K2.1.5)
Szorzásnál a fokok összeadódnak: gr(fg) = .
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx
n, főegyütthatója an.Az f (x) normált polinom, ha főegyütthatója 1.
Tétel (K2.1.5)
Szorzásnál a fokok összeadódnak: gr(fg) = gr(f ) + gr(g).
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx
n, főegyütthatója an.Az f (x) normált polinom, ha főegyütthatója 1.
Tétel (K2.1.5)
Szorzásnál a fokok összeadódnak: gr(fg) = gr(f ) + gr(g).
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx
n, főegyütthatója an.Az f (x) normált polinom, ha főegyütthatója 1.
Tétel (K2.1.5)
Szorzásnál a fokok összeadódnak: gr(fg) = gr(f ) + gr(g).
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx
n, főegyütthatója an.Az f (x) normált polinom, ha főegyütthatója 1.
Tétel (K2.1.5)
Szorzásnál a fokok összeadódnak: gr(fg) = gr(f ) + gr(g).
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm
esetén láttuk, hogy xn+m együtthatója anbm.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx
n, főegyütthatója an.Az f (x) normált polinom, ha főegyütthatója 1.
Tétel (K2.1.5)
Szorzásnál a fokok összeadódnak: gr(fg) = gr(f ) + gr(g).
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm
esetén láttuk, hogy xn+m együtthatója anbm. Ez nem nulla,ha an és bm nem nulla.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx
n, főegyütthatója an.Az f (x) normált polinom, ha főegyütthatója 1.
Tétel (K2.1.5)
Szorzásnál a fokok összeadódnak: gr(fg) = gr(f ) + gr(g).
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm
esetén láttuk, hogy xn+m együtthatója anbm. Ez nem nulla,ha an és bm nem nulla. Magasabb fokú tag nem keletkezik.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata),
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0, azaz mindkettő nem nulla konstans.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0, azaz mindkettő nem nulla konstans.Megfordítva, ha c 6= 0 konstans,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0, azaz mindkettő nem nulla konstans.Megfordítva, ha c 6= 0 konstans, akkor reciproka,azaz 1/c is (konstans) polinom.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0, azaz mindkettő nem nulla konstans.Megfordítva, ha c 6= 0 konstans, akkor reciproka,azaz 1/c is (konstans) polinom.
HF: fg konstans tagja
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 14 / 20
A szorzat foka: következmények
Következmények (K2.1.7)
(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.
(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.
Bizonyítás
(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0, azaz mindkettő nem nulla konstans.Megfordítva, ha c 6= 0 konstans, akkor reciproka,azaz 1/c is (konstans) polinom.
HF: fg konstans tagja f és g konstans tagjainak szorzata.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb:
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ .
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1)
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x)
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx
n,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx
n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx
n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx
n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx
n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx
n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx
n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx
n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0, akkor gr(f ) = gr(g) = n.
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx
n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0, akkor gr(f ) = gr(g) = n.Ekkor an +bn = 0 is lehet,
Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 15 / 20
Összeg foka
Tétel (K2.1.2)
Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.
Példa
2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(
(x2 + 1) + (−x2 + x))
= 1.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx
n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0, akkor gr(f ) = gr(g) = n.Ekkor an +bn = 0 is lehet, mely esetben gr(f +g) < gr(f ) = gr(g).
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20
Összegek tömör alakja
Definíció
Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20
Összegek tömör alakja
Definíció
Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük: aj .
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20
Összegek tömör alakja
Definíció
Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:n∑
j=1
aj .
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20
Összegek tömör alakja
Definíció
Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:n∑
j=1
aj .
A szumma jel utáni kifejezéseket kell összeadni a j azon értékeire,amit a jel alatt és fölött megadunk.
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20
Összegek tömör alakja
Definíció
Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:n∑
j=1
aj .
A szumma jel utáni kifejezéseket kell összeadni a j azon értékeire,amit a jel alatt és fölött megadunk.
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20
Összegek tömör alakja
Definíció
Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:n∑
j=1
aj .
A szumma jel utáni kifejezéseket kell összeadni a j azon értékeire,amit a jel alatt és fölött megadunk.
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
n∑
j=0
ajxj
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20
Összegek tömör alakja
Definíció
Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:n∑
j=1
aj .
A szumma jel utáni kifejezéseket kell összeadni a j azon értékeire,amit a jel alatt és fölött megadunk.
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
n∑
j=0
ajxj
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =
m∑
ℓ=0
bℓxℓ
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20
Összegek tömör alakja
Definíció
Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:n∑
j=1
aj .
A szumma jel utáni kifejezéseket kell összeadni a j azon értékeire,amit a jel alatt és fölött megadunk.
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
n∑
j=0
ajxj
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =
m∑
ℓ=0
bℓxℓ
esetén (fg)(x) =m+n∑
k=0
ckxk ,
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20
Összegek tömör alakja
Definíció
Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:n∑
j=1
aj .
A szumma jel utáni kifejezéseket kell összeadni a j azon értékeire,amit a jel alatt és fölött megadunk.
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
n∑
j=0
ajxj
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =
m∑
ℓ=0
bℓxℓ
esetén (fg)(x) =m+n∑
k=0
ckxk , ahol ck =k∑
j=0
ajbk−j
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20
Összegek tömör alakja
Definíció
Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:n∑
j=1
aj .
A szumma jel utáni kifejezéseket kell összeadni a j azon értékeire,amit a jel alatt és fölött megadunk.
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
n∑
j=0
ajxj
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =
m∑
ℓ=0
bℓxℓ
esetén (fg)(x) =m+n∑
k=0
ckxk , ahol ck =k∑
j=0
ajbk−j =∑
j+ℓ=k
ajbℓ.
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell.
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj =
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.n∏
j=1
j =
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.n∏
j=1
j = 1 · 2 · . . . · n
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.n∏
j=1
j = 1 · 2 · . . . · n = n!
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.n∏
j=1
j = 1 · 2 · . . . · n = n! (n faktoriális).
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.n∏
j=1
j = 1 · 2 · . . . · n = n! (n faktoriális).
Megállapodás
Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.n∏
j=1
j = 1 · 2 · . . . · n = n! (n faktoriális).
Megállapodás
Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.
Példa:3∑
j=3
bj = b3,
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.n∏
j=1
j = 1 · 2 · . . . · n = n! (n faktoriális).
Megállapodás
Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.Az üres összeg értéke 0.
Példa:3∑
j=3
bj = b3,
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.n∏
j=1
j = 1 · 2 · . . . · n = n! (n faktoriális).
Megállapodás
Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.Az üres összeg értéke 0.
Példa:3∑
j=3
bj = b3,2∑
j=3
bj = 0,
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.n∏
j=1
j = 1 · 2 · . . . · n = n! (n faktoriális).
Megállapodás
Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.Az üres összeg értéke 0.
Példa:3∑
j=3
bj = b3,2∑
j=3
bj = 0,n∑
j=1
ajxj = 0, ha n = 0.
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.n∏
j=1
j = 1 · 2 · . . . · n = n! (n faktoriális).
Megállapodás
Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.Az üres összeg értéke 0. Az üres szorzat értéke 1.
Példa:3∑
j=3
bj = b3,2∑
j=3
bj = 0,n∑
j=1
ajxj = 0, ha n = 0.
A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 17 / 20
A produktum jelölés
DefinícióA∏
produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏
j=2
aj = a2a3 . . . an.n∏
j=1
j = 1 · 2 · . . . · n = n! (n faktoriális).
Megállapodás
Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.Az üres összeg értéke 0. Az üres szorzat értéke 1.
Példa:3∑
j=3
bj = b3,2∑
j=3
bj = 0,n∑
j=1
ajxj = 0, ha n = 0.
Magyarázat: K2.2.42. Gyakorlat.
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 18 / 20
Behelyettesítés polinomba
Definíció (K2.4.1)
Legyen b egy szám.
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 18 / 20
Behelyettesítés polinomba
Definíció (K2.4.1)
Legyen b egy szám. Az f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
polinom b helyen felvett helyettesítési értéke
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 18 / 20
Behelyettesítés polinomba
Definíció (K2.4.1)
Legyen b egy szám. Az f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
polinom b helyen felvett helyettesítési értéke(az x helyére b-t írunk).
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 18 / 20
Behelyettesítés polinomba
Definíció (K2.4.1)
Legyen b egy szám. Az f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn (az x helyére b-t írunk).
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 18 / 20
Behelyettesítés polinomba
Definíció (K2.4.1)
Legyen b egy szám. Az f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn (az x helyére b-t írunk).
Az f -hez tartozó f ∗ polinomfüggvény az az f ∗ függvény,mely minden b számhoz f ∗(b)-t rendel.
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 18 / 20
Behelyettesítés polinomba
Definíció (K2.4.1)
Legyen b egy szám. Az f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn (az x helyére b-t írunk).
Az f -hez tartozó f ∗ polinomfüggvény az az f ∗ függvény,mely minden b számhoz f ∗(b)-t rendel.
Állítás (K2.4.2)
Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 18 / 20
Behelyettesítés polinomba
Definíció (K2.4.1)
Legyen b egy szám. Az f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn (az x helyére b-t írunk).
Az f -hez tartozó f ∗ polinomfüggvény az az f ∗ függvény,mely minden b számhoz f ∗(b)-t rendel.
Állítás (K2.4.2)
Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor (f + g)∗(b) = f ∗(b) + g∗(b)
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 18 / 20
Behelyettesítés polinomba
Definíció (K2.4.1)
Legyen b egy szám. Az f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn (az x helyére b-t írunk).
Az f -hez tartozó f ∗ polinomfüggvény az az f ∗ függvény,mely minden b számhoz f ∗(b)-t rendel.
Állítás (K2.4.2)
Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor (f + g)∗(b) = f ∗(b) + g∗(b)és (fg)∗(b) = f ∗(b)g∗(b).
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 18 / 20
Behelyettesítés polinomba
Definíció (K2.4.1)
Legyen b egy szám. Az f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn (az x helyére b-t írunk).
Az f -hez tartozó f ∗ polinomfüggvény az az f ∗ függvény,mely minden b számhoz f ∗(b)-t rendel.
Állítás (K2.4.2)
Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor (f + g)∗(b) = f ∗(b) + g∗(b)és (fg)∗(b) = f ∗(b)g∗(b).
A polinomok összeadását és szorzását pontosan azzal amotivációval definiáltuk, hogy ez az állítás igaz legyen.
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 19 / 20
A gyök és a gyöktényező
Definíció (K2.4.5)
A b szám gyöke az f polinomnak, ha
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 19 / 20
A gyök és a gyöktényező
Definíció (K2.4.5)
A b szám gyöke az f polinomnak, ha f ∗(b) = 0.
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 19 / 20
A gyök és a gyöktényező
Definíció (K2.4.5)
A b szám gyöke az f polinomnak, ha f ∗(b) = 0.
Állítás (a gyöktényező kiemelhetősége, K2.4.6)
A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 19 / 20
A gyök és a gyöktényező
Definíció (K2.4.5)
A b szám gyöke az f polinomnak, ha f ∗(b) = 0.
Állítás (a gyöktényező kiemelhetősége, K2.4.6)
A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy f (x) = (x − b)q(x).
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 19 / 20
A gyök és a gyöktényező
Definíció (K2.4.5)
A b szám gyöke az f polinomnak, ha f ∗(b) = 0.
Állítás (a gyöktényező kiemelhetősége, K2.4.6)
A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy f (x) = (x − b)q(x).
Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 19 / 20
A gyök és a gyöktényező
Definíció (K2.4.5)
A b szám gyöke az f polinomnak, ha f ∗(b) = 0.
Állítás (a gyöktényező kiemelhetősége, K2.4.6)
A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy f (x) = (x − b)q(x).
Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.
Bizonyítás
Ha f (x) = (x − b)q(x), akkor f ∗(b) =
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 19 / 20
A gyök és a gyöktényező
Definíció (K2.4.5)
A b szám gyöke az f polinomnak, ha f ∗(b) = 0.
Állítás (a gyöktényező kiemelhetősége, K2.4.6)
A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy f (x) = (x − b)q(x).
Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.
Bizonyítás
Ha f (x) = (x − b)q(x), akkor f ∗(b) = (b − b)q∗(b) = 0.
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 19 / 20
A gyök és a gyöktényező
Definíció (K2.4.5)
A b szám gyöke az f polinomnak, ha f ∗(b) = 0.
Állítás (a gyöktényező kiemelhetősége, K2.4.6)
A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy f (x) = (x − b)q(x).
Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.
Bizonyítás
Ha f (x) = (x − b)q(x), akkor f ∗(b) = (b − b)q∗(b) = 0.A megfordítást legközelebb bizonyítjuk.
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 19 / 20
A gyök és a gyöktényező
Definíció (K2.4.5)
A b szám gyöke az f polinomnak, ha f ∗(b) = 0.
Állítás (a gyöktényező kiemelhetősége, K2.4.6)
A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy f (x) = (x − b)q(x).
Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.
Bizonyítás
Ha f (x) = (x − b)q(x), akkor f ∗(b) = (b − b)q∗(b) = 0.A megfordítást legközelebb bizonyítjuk.
HF: Vezessük le ezt a megfordítást
Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 19 / 20
A gyök és a gyöktényező
Definíció (K2.4.5)
A b szám gyöke az f polinomnak, ha f ∗(b) = 0.
Állítás (a gyöktényező kiemelhetősége, K2.4.6)
A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy f (x) = (x − b)q(x).
Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.
Bizonyítás
Ha f (x) = (x − b)q(x), akkor f ∗(b) = (b − b)q∗(b) = 0.A megfordítást legközelebb bizonyítjuk.
HF: Vezessük le ezt a megfordítást azan − bn = (a − b)
∑n−1
i=0an−i−1bi azonosságból.
Összefoglaló Algebra1, normál 1. előadás 20 / 20
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak (K2.1)
Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).
Összefoglaló Algebra1, normál 1. előadás 20 / 20
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak (K2.1)
Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.
Összefoglaló Algebra1, normál 1. előadás 20 / 20
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak (K2.1)
Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.
Összefoglaló Algebra1, normál 1. előadás 20 / 20
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak (K2.1)
Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).
Összefoglaló Algebra1, normál 1. előadás 20 / 20
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak (K2.1)
Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).Nullosztómentesség (K2.2.27).
Összefoglaló Algebra1, normál 1. előadás 20 / 20
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak (K2.1)
Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).Nullosztómentesség (K2.2.27).A szumma és produktum jelölés.
Összefoglaló Algebra1, normál 1. előadás 20 / 20
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak (K2.1)
Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).Nullosztómentesség (K2.2.27).A szumma és produktum jelölés.
Tételek
Összeg és szorzat foka (K2.1.2, K2.1.5).
Összefoglaló Algebra1, normál 1. előadás 20 / 20
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak (K2.1)
Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).Nullosztómentesség (K2.2.27).A szumma és produktum jelölés.
Tételek
Összeg és szorzat foka (K2.1.2, K2.1.5).Polinomfüggvények összege és szorzata (K2.4.2).
Összefoglaló Algebra1, normál 1. előadás 20 / 20
Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak (K2.1)
Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).Nullosztómentesség (K2.2.27).A szumma és produktum jelölés.
Tételek
Összeg és szorzat foka (K2.1.2, K2.1.5).Polinomfüggvények összege és szorzata (K2.4.2).Gyöktényező kiemelhetősége (K2.4.6).