Algèbre linéaire

Pierre F. Lemieux, ing., M.S. (MIT), Ph. D. (Waterloo)Professeur associDpartement de gnie civilFacult de gnieUniversit de SherbrookeCourriel

GCI 100. Algbre linaire

par

Pierre F. Lemieux, ing., M.S. (MIT), Ph. D. (Waterloo)Professeur associ Dpartement de gnie civil Facult de gnie Universit de Sherbrooke Courriel : [email protected]

Automne 2009

Pierre F. Lemieux, ing., M.S. (MIT), Ph. D. (Waterloo)

GCI 100. ALGBRE LINAIRE Contenu du cours

Chapitre 1. quations linaires. Introduction exploratrice lalgbre linaire Introduction 1.1 Systmes dquations linaires : mthodes de Gauss et Jordan-Gauss 1.2 Transformations des lignes et matrice-chelon 1.3 quations vectorielles 1.4 quation matricielle Ax = b 1.5 Ensemble des solutions dun systme dquations linaires 1.6 Indpendance linaire 1.7 Introduction aux transformations linaires 1.8 La matrice dune transformation linaire 1.9 Comparaisons des diffrents algorithmes de solution dun systme dquations linaires

Problmes sur le chapitre 1

Chapitre 2. Algbre des matrices Introduction 2.1 Oprations matricielles 2.2 Matrice inverse 2.3 Caractrisation des matrices inverses 2.4 Dcomposition LU d'une matrice 2.5 Solution itratives des systmes dquations linaires 2.6 Applications numriques au graphisme.


Chapitre 3. Notions sur les dterminants 3.1 Introduction la notion de dterminant 3.2 Proprits des dterminants 3.3 Rgle de Cramer. Formule pour la matrice inverse. Dterminant comme surface et volume.


Chapitre 4. Espaces vectoriels 4.1 Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 4.2 Noyau. Espace colonne. Transformations linaires. 4.3 Ensembles linairement indpendants. Bases. 4.4 Systmes de coordonnes 4.5 Dimension dun espace vectoriel 4.6 Notion de rang Retour lanalyse dimensionnelle. 4.7 Changement de base. 4.8 Les chanes de Markov


Chapitre 5. Valeurs propres et vecteurs propres 5.1 Notions de base 5.2 Lquation caractristique 5.3 Diagonalisation dune matrice 5.4 Application aux quations diffrentielles 5.5 Mthodes itratives pour obtenir les valeurs propres


Chapitre 6. Orthogonalit et moindres carrs 6.1 Produit scalaire ou intrieur. Longueur. Orthogonalit 6.2 Ensembles orthogonaux 6.3 Projections orthogonales 6.4 Problme des moindres carrs 6.5 Application au modle linaire 6.6 La procdure de Gram-Schmidt

Annexe : Complments sur les longueurs, les normes, le produit scalaire et le produit vecto-riel Problmes sur le chapitre 6

Chapitre 7. Fonctions quadratiques, coniques. Surfaces quadriques 7.0 Introduction 7.1 Matrices symtriques. Diagonalisation. 7.2 Formes quadratiques 7.3 Exemple d'application 7.4 Matrices dfinies positives 7.5 Diagonalisation d'une forme quadratique 7.6 Les coniques 7.7 Les surfaces quadriques Problmes sur le chapitre 7

Chapitre 8. Les nombres complexes 8.0 Introduction 8.1 Ensembles fondamentaux des nombres 8.2 Caractristiques et proprits des nombres complexes 8.3 Reprsentation gomtrique des nombres complexes. Forme trigonomtrique. 8.4 Formule de De Moivre 8.5 Formule dEuler 8.6 Solutions de systmes dquations


GCI 100. Algbre linaire - Prpar par Pierre F. Lemieux, ing., professeur - Universit de Sherbrooke

1-1

Chapitre 1 quations linaires. Introduction exploratrice lalgbre linaire.

Objectifs dapprentissage

Le but principal de ce chapitre est une introduction rapide et un rappel des notions de base

en algbre linaire

Ce quest un systme dquations linaires. Solutions et systmes quivalents. Notation matricielle. Oprations lmentaires.

Transformation des lignes et matrice-chelon. Solution avec la matrice augmente.

Ensemble des solutions dquations linaires.

Indpendance linaire

Introduction aux transformations linaires et matrice dune transformation linaire. Ap-plication au graphisme.


1-2

Chapitre 1 quations linaires. Introduction exploratrice lalgbre linaire.

Introduction Importance de lalgbre linaire sest accrue avec le dveloppement de linformatique. Algbre linaire a actuellement plus de potentiel que tout autre sujet mathmatique. Applications : thorie des graphes, solutions de systmes dquations linaires, systmes

dquations non linaires simultanes, moindres carrs, graphisme,

1.1 Systmes dquations linaires quation linaire : bxa...xaxa nn2211 =+++

quation non linaire : 6x2x 12 =

Systmes dquations linaires :

7x4x8x5.1xx2

31

321=

=+

Solution Ensemble de valeurs (s1, s2, , sn) qui vrifie chacune des quations lorsque s1, s2, , sn remplacent x1, x2, , xn respectivement.

Ensemble des solutions ensemble de toutes les solutions possibles.

variable

constante


1-3

2 systmes linaires quivalents 2 systmes qui ont le mme ensemble des solutions.

x1 2 x2 = 1

x1 + 3 x2 = 3

Solution unique

x1 2 x2 = 1

x1 + 2 x2 = 1

Infinit de solutions

x1 2 x2 = 1

x1 + 2 x2 = 3

Aucune solution

Solution unique

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X1

X2

Nombre infini de solutions

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X1

X2

Aucune solution

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X1

X2


1-4

Systme consistant il existe une solution ou une infinit de solutions.

Notation matricielle

9x9x5x48x8x2

0xx2x

321

32

321

=++

=

=+

954820

121

980

A = 954820

121

Ab = 954820

121

980

Solutionner un systmes dquations linaires remplacer un systme dquations linaires par un systme quivalent plus facile

solutionner.

Oprations lmentaires sur les lignes de la matrice augmente : 1. Remplacer une ligne par la somme delle-mme et un multiple dune autre ligne. 2. Permuter 2 lignes.

3. Multiplier tous les lments dune ligne par une constante non nulle. Si les matrices augmentes des 2 systmes dquations linaires sont quivalentes, alors les 2 systmes ont le mme ensemble de solutions.

Matrice des coefficients

Matrice augmente


1-5

Exemple illustratif . Solutionner le problme suivant :

1 2 3

2 3

1 2 3

2 02 8 8

4 5 9 9

x x x

x x

x x x

+ =

=

+ + =

954820

121

980

Solution : (1) Garder x1 dans la premire quation et lliminer des 2 autres (mthode de Gauss) :

4 qn 1 : 4 x1 8 x2 + 4 x3 = 0

+ qn 3 : -4 x1 + 5 x2 + 9 x3 = -9 nouvelle qn 3 : -3 x2 + 13 x3 = -9

Rsultat : x1 2 x2 + x3 = 0 1 2 1 0

x2 4 x3 = 4 0 1 4 4

3 x2 + 13 x3 = 9 0 3 13 9

(2) Multiplier la 2e ligne par 1/2 pour obtenir 1 comme coefficient de x2, puis liminer x2 de lqn 3

3 qn 2 : 3 x2 12 x3 = 12

+ qn 3 : 3x2 + 13 x3 = 9

nouvelle qn 3 x3 = 3

Rsultat : x1 2 x2 + x3 = 0 1 2 1 0

x2 4 x3 = 4 0 1 4 4

x3 = 3 0 0 1 3

Le systme triangulaire obtenu est quivalent au systme original.

2e ligne multiplier

par 1/2


1-6

Pour obtenir la solution, nous procdons par substitution reculon : x3 = 3

x2 = 4 + 4 x3 = 16

x1 = 0 + 2 x2 x3 = 29

Cette faon de procder sappelle lalgorithme par limination de Gauss.

Poursuite de llimination : algorithme de Jordan-Gauss liminer x3 des qns 1 et 2 :

4 qn 3 : 4 x3 = 12 -1 qn3 : - x3 = -3

+ qn 2 : x2 4 x3 = 4 + qn 1 : x1 2 x2 + x3 = 0

nouvelle qn 2 : x2 = 16 nouvelle qn 1 : x1 2 x2 = -3

Rsultat : x1 2 x2 = -3 1 -2 0 -3

x2 = 16 0 1 0 16 + x3 = 3 0 0 1 3

(1) liminer x2 de lqn 1 : qn 1 : x1 2 x2 = -3

+ 2 qn 2 : 2 x2 = 32

nouvelle qn 1 : x1 = 29 Rsultat final : x1 = 29 1 0 0 29 x2 = 16 0 1 0 16 x3 = 3 0 0 1 3

De nouveau, nous avons obtenu un systme linaire quivalent o la substitution reculon nest pas ncessaire.


1-7

1.2 Transformations des lignes et matrice-chelon

Note numrique

Les systmes dquations linaires se solutionnent avec un ordinateur. Lalgorithme de solution utilis se rsume principalement une mthode par limination. En gnral, larithmtique utilise est celle point (virgule) flottant, i.e.

nombre = . d1 d2 ... dp 10 r o p = le nombre de chiffres droite du point dcimal (8 ou 16), r = un nombre entier.

Une telle reprsentation arithmtique des nombres est inexacte cause des troncations lors du stockage des nombres. Ainsi 1/3 nest pas un nombre exact dans lordinateur.

Dfinition de matrice-chelon :

Une matrice rectangulaire a une forme de matrice-chelon si elle a les caractris-tiques suivantes :

1. Toutes les lignes non nulles se trouvent au-dessus des lignes nulles. 2. Le premier lment non nul dune ligne se trouve dans une colonne droite du

premier lment non nul de la ligne qui la prcde. 3. Tous les lments dans la colonne sous le premier lment non nul dune ligne

sont nuls.

Si, en plus de ces caractristiques, une matrice rectangulaire est dite matrice-chelon rduite si elle possde aussi les caractristiques suivantes :

4. Le premier lment non nul de chaque ligne est gal 1. 5. Tout premier lment non nul dune ligne est le seul lment non nul dans sa co-

lonne.


1-8

Exemples : les matrices augmentes de lexemple prcdent, i.e.

1 -2 1 0 1 0 0 29 0 1 -4 4 0 1 0 16 0 0 1 3 0 0 1 3

matrice-chelon matrice-chelon rduite

Position dun pivot : position dun lment de A qui correspond au premier lment non nul dune ligne dans la forme chelon de A. Colonne-pivot : colonne de A qui contient un pivot.

Algorithme pour lobtention dune matrice-chelon ( et matrice-chelon rduite) :

Soit A une matrice rectangulaire ayant m lignes et n colonnes. 1. Poser p = 1, i.e. le premier pivot.

2. Pour j = p n, trouver la premire colonne non nulle. Soit k cette colonne. 3. Pour i = p m, trouver un lment non nul (max en valeur absolue dans le cas du pivotage

partiel). Soit r cet lment. 4. Permuter les lignes p et r.

5. Pour les lignes i = p +1 m, utiliser les oprations lmentaires sur les lignes afin de rendre les lments nuls dans la colonne k sous le pivot p.

6. Poser p = p + 1, i.e. augmenter p de 1.

Thorme 1

Toute matrice est quivalente par les lignes une et une seule matrice-chelon rduite.

Preuve. Voir Lay (2003), p. A1 dans lannexe A.

Colonnes des pivots

pivots


1-9

7. Rpter les tapes 2 6 jusqu ce quil ny ait plus aucune ligne non nulle modifier. 8. En partant du pivot le plus droite, diviser le pivot par lui-mme pour obtenir 1 et, laide

des oprations lmentaires sur les lignes, crer des lments nuls dans la colonne contenant ce pivot et au-dessus de ce pivot. Procder de la mme faon en progressant vers la gauche.

Exemple :

0 3 -6 6 4 -5 Matrice originale A : 3 -7 8 -5 8 9 3 -9 12 -9 6 15

p = 1 + permutation des lignes 1 et 3 : 3 -9 12 -9 6 15 3 -7 8 -5 8 9 0 3 -6 6 4 -5

Obtention des lments nuls sous le pivot 1 : 3 -9 12 -9 6 15 0 2 -4 4 2 -6 0 3 -6 6 4 -5

Obtention des lments nuls sous le pivot 2 : 3 -9 12 -9 6 15 0 2 -4 4 2 -6 0 0 0 0 1 4

Aucune nouvelle ligne modifier : 3 -9 12 -9 6 15 0 2 -4 4 2 -6

0 0 0 0 1 4

Obtention de la matrice-chelon rduite : 1 0 -2 3 0 -24 (oprations lmentaires sur les lignes) 0 1 -2 2 0 -7

0 0 0 0 1 4

Pivot 1

Pivot 1

Pivot 2

Pivot 2

Pivot 3

colonnes pivots


1-10

Solutions des systmes linaires : Considrons le systme suivant dquations linaires : x1 + 6 x2 + 2 x3 5 x4 2 x5 = - 4 2 x3 8 x4 x5 = 3

x5 = 7

Sous forme de matrice augmente, 1 6 2 -5 -2 -4 0 0 2 -8 -1 3

0 0 0 0 1 7

Aprs avoir obtenu la forme matrice-chelon rduite, 1 6 0 3 0 0 x1 + 6 x2 + 3 x4 = 0

0 0 1 -4 0 5 x3 4 x4 = 5

0 0 0 0 1 7 x5 = 7

La solution gnrale prend la forme suivante : x1 = -6 x2 - 3 x4 x2 = libre

x3 = 5 + 4x4 x4 = libre

x5 = 7

Note numrique

Dans les calculs numriques, les algorithmes de solution de systmes dquations linaires pratiquent le pivotage partiel, i.e. ils considrent llment en position de pivot comme nul, recherchent le plus grand en valeur absolue sous la position du pivot et permutent les 2 lignes. r = i pour max { | ai p |, i = p, ... , m } permutation des lignes r et p si r p.

pivots variables de base

variables libres


1-11

1.3 quations vectorielles Vecteur dans Rn : un vecteur dans Rn est un ensemble ordonn de n nombres rels qui se reprsentent sous forme dune matrice ayant n lignes et 1 colonne, i.e.

=

n

2

1

u

u

u

u

2 vecteurs u et v sont gaux si ui = vi pour i = 1, ..., n.

Combinaisons linaires : Soient y, v1, v2, ..., vp Rn et c1, c2, ..., cp des scalaires. Le vecteur y

y = c1 v1 + c2 v2 + ... + cp vp

est une combinaison linaire des vecteurs v1, v2, ..., vp.

Thorme 2

Un systme dquations linaires est consistant si et seulement si la matrice des coefficients et la matrice augmente, lorsque ramenes sous forme de matrice-chelon rduite, ont le mme nombre de lignes non nulles.

Proprits algbriques de Rn

Pour u, v, w Rn et c, d des scalaires :

(1) u + v = v + u (2) (u + v) + w = u + (v + w) (3) u + 0 = 0 + u = u (4) u + (-u) = -u + u = 0 (5) c (u + v) = c u + c v (6) (c + d) u = c u + d u (7) c (d u) = (cd) u (8) 1 u = u


1-12

Gomtrie dans R2 :

Soient u, v R2.

2 6 4,

2 3 5u v u v

= = + =

u, v et (u + v) sont des points dans R2.

De plus,

+

=

+

=

10

301

6v

10

201

2u

u et v sont des combinaisons linaires des vecteurs

01

et

10

.

Exemple dutilisation de combinaison linaire :

Soient

=

=

=

347

,

652

,

52

1

21 baa dans R3.

Le vecteur b peut-il tre une combinaison de a1 et a2 ?

Solution :

Par dfinition, x1 a1 + x2 a2 = b

=

+

347

652

x

52

1x 21

a1 a2 b

x1

x2

u

v

u + v

Loi du paralllogramme

Coordonnes x1 suivant i

Coordonnes x2 suivant j

Scalaires qui sont des inconnues dterminer


1-13

=

+

+

+

347

x6x5x5x2

x2x

21

21

21

3x6x54x5x2

7x2x

21

21

21

=+

=+

=+

Aprs transformation de ce systme dquations linaires en systme quivalent sous forme de matrice-chelon rduite,

2xet3x000210301

365452721

21 ==

Donc b est une combinaison linaire de a1 et a2, i.e.

=

+

347

652

252

13

Une quation vectorielle de la forme

x1 a1 + x2 a2 + ... + xn an = b

a le mme ensemble de solutions que le systme linaire dont la matrice augmente est

Ab = [ a1 a2 ... an b ]

Le vecteur b est une combinaison linaire des vecteurs a1, a2, ..., an si et seulement si il existe une solution au systme linaire associ la matrice augmente Ab. noter que les colonnes de A sont les vecteurs a1, a2, ..., an, et celles de Ab, a1, a2, ..., an, b.

a1 a2 b


1-14

1.4 Lquation matricielle A x = b Soit A une matrice ayant m lignes et n colonnes. Alors le produit Ax est la combinaison linaire des colonnes de A avec les lments de x comme coefficients, i.e.

[ ] nn aaaaaaAx n2211n

2

1

21 x...xx

x

x

x

,...,, +++=

=

Dfinition

Soient v1, v2, ..., vp Rn. Lensemble de toutes les combinaisons linaires de v1, v2, ..., vp se dnote Gen { v1, v2, ..., vp } et constitue le sous-ensemble de Rn engendr par v1, v2, ..., vp. Donc

Gen { v1, v2, ..., vp } = { y | y = c1 v1 + c2 v2 + ... + cp vp }

b { v1, v2, ..., vp } b = c1 v1 + c2 v2 + ... + cp vp

Thorme 3

Si A est une matrice m n, dont les colonnes a1, a2, ..., an ainsi que b sont dans Rm, alors lquation matricielle

Ax = b

a le mme ensemble de solutions que lquation vectorielle

x1 a1 + x2 a2 + ... + xn an = b

qui a son tour le mme ensemble de solutions que la matrice augmente

[ a1, a2, ... , an, b ]

Lquation Ax = b a une solution si et seulement si b est une combinai-son linaire des colonnes de A.


1-15

Exemple : Est-ce que le systme dquations linaires suivant est consistant pour nimporte

quelles valeurs des lments de b ?

=

=

3

2

1

bbb

et

723624

431bA

Solution :

1 1 1

2 2 1 2 1

3 3 1 3 1 2 1

1

2 1

1 2 3

1 3 4 b 1 3 4 b 1 3 4 b4 2 6 b 0 14 10 b 4b 0 14 10 b 4b3 2 7 b 0 7 5 b 3b 0 0 0 b 3b (b 4b )/2

1 3 4 b0 14 10 b 4b

10 0 0 b b b2

+ + + + +

+

+

Ce systme dquations est consistant si b1 b2/2 + b3 = 0. Il sagit de lquation dun plan pas-sant par lorigine dans R3. La combinaison linaire des colonnes de A gnrent un plan dans R3.

Matrice-chelon


1-16

1.5 Ensemble des solutions dun systme dquations linaires Systme dquations linaires homogne : Ax = 0

A : matrice m n

0 Rm Un tel systme dquations a au moins une solution, i.e. la solution triviale x = 0. Il existe une solution non triviale si et seulement si le systme dquations possde au moins une variable libre.

Exemple : Dterminer si le systme dquations linaires homognes suivant possde une solu-tion non triviale et dcrire lensemble des solutions. 3 x1 + 5 x2 4 x3 = 0 -3 x1 2 x2 + 4 x3 = 0

6 x1 + x2 8 x3 = 0

Solution : Il faut tout dabord ramener la matrice augmente une forme matrice-chelon :

000000300453

009000300453

081604230453

x3 devient donc une variable libre. Obtenons la matrice-chelon rduite :

0000001003/401

000x0x3/4x

2

31

=

=

=

Forme de la solution :

=

=

=

10

3/4x

x

0x3/4

x

x

x

3

3

3

3

2

1x

pivots

v

paramtre


1-17

Forme paramtrique vectorielle : Considrons le systme dquations linaires suivant et dcrire lensemble des solutions :

=

=

41

7et

816423453

bA

Solution :

0000201013/401

48161423

7453

002x1x3/4x

2

31

=

=

=

+

=

+

=

+

=

=

10

3/4x

021

x

0x3/4

021

x

2x3/41

x

x

x

3

3

3

3

3

3

2

1x

i.e. x = p + t v, t R

Obtenir la solution paramtrique : 1. Rduire la matrice augmente sa matrice-chelon rduite. 2. Exprimer chaque variable de base en fonction des variables libres. 3. crire le vecteur solution x comme un vecteur dpendant des variables libres. 4. Dcomposer x en une combinaison linaire de vecteurs avec les variables

libres comme paramtres.

Thorme 6

Soit A x = b un systme dquations linaires consistant pour un vecteur b, et soit p une solution. Alors la solution peut sexprimer comme lensemble des vecteurs de la forme w = p + vH, o vH est une solution quelconque du sys-tme homogne.

p v


1-18

1.6 Indpendance linaire

Dfinition

Un ensemble de vecteurs { v1, , vp } Rn est linairement indpendant si lquation vectorielle

x1 v1 + x2 v2 + + xp vp = 0

na que la solution triviale, i.e. x = 0. Ds lors, { v1, , vp } est linairement dpendant sil existe des constantes c1, , cp non toutes nulles de telle sorte que

c1 v1 + c2 v2 + + cp vp = 0

v

t v

p

p + t vA x = b

A x = 0

Interprtation gomtrique


1-19

Exemple : Dterminer si { v1, v2, v3 } forme un ensemble linairement indpendant et, si pos-sible, trouver une relation de dpendance entre eux.

=

=

=

012

,

654

,

321

321 vvv

Solution :

000001100201

000003300241

006301520241

linairement dpendant

000xx0x2x

32

31

=

=+

=

=

=

11

2x

x

x

x2

x

x

x

3

3

3

3

3

2

1

Posons que x3 = 5, alors x1 = 10 et x2 = -5. Ds lors, une relation de dpendance linaire est

10 v1 - 5 v2 + 5 v3 = 0

Les colonnes de la matrice A sont linairement indpendantes si et seulement si lquation vectorielle A x = 0 na que la solution triviale.

Thorme 7

Un ensemble de vecteurs { v1, , vp } est linairement dpendant si et seule-ment si au moins un des p vecteurs peut scrire comme une combinaison linaire des autres.

Thorme 8

Soient p vecteurs v1, , vp Rn et p > n. Alors cet ensemble de vecteurs est linairement dpendant. Si cet ensemble de vecteurs contient en particulier le vec-teur 0, il est linairement dpendant.


1-20

x3

x2

x1

v

uw

w est linairement dpendant de u et v.

w

u

v

x3

x2

x1

w est linairement indpendant de u et v.


1-21

1.7 Introduction aux transformations linaires

Posons que

=

=

00

314

1

15023134

et85

1111

15023134

La matrice A transforme le vecteur x R4 en un vecteur b R2 ou 0 R2 . Ds lors, la so-

lution dun systme dquations linaires A x = b signifie que lon recherche tous les vecteurs

x R4 qui se transforment dans le vecteur b R2 ou 0 R2 laide de la matrice A.

Dfinition

Une transformation T de Rn Rm est une rgle qui assigne chaque vecteur x Rn un vecteur T(x) Rm. Lensemble des vecteurs x Rn sappelle le do-maine de T, tandis que lensemble des vecteurs dans Rm sappelle le co-domaine de T. Pour chaque vecteur x Rn , le vecteur T(x) sappelle limage de x. De plus, lensemble de toutes les images T(x) sappelle le champ de T.

.x

Rn

champ

Rm

domaine

co-domaine

. T(x)

Domaine, co-domaine et champ

A x A x 0 b


1-22

Transformation matricielle Notons que le domaine de la transformation T est Rn lorsque la matrice A possde n co-

lonnes et que son co-domaine est Rm lorsque A possde m lignes.

Exemple :

Posons que

=

=

=

=

523

,

523

,

12

,

715331

cbuA

et

+

+

=

==

21

21

21

2

1

x7xx5x3x3x

x

x

715331

)(T xAx

(a) Trouver limage T(u). (b) Trouver un x R2 dont l'image est b. (c) Y a-t-il plus dun x dont limage est b ? (d) Dterminer si c est dans le champ de la transformation T ?

Solution :

(a)

=

==

915

12

715331

)(T uAu

(b) Il sagit de solutionner A x = b i.e.

=

0005.010

5.101

571253331

523

x

x

715331

2

1

Ds lors, x1 = 1.5 et x2 = -0.5, donc b est limage de

=

5.05.1

x

(c) Tout vecteur x dont limage serait b doit vrifier la relation de (b). Il est clair que la solution est unique. Pourquoi ?

Matrice-chelon rduite

Matrice aug-mente


1-23

(d) Si le vecteur c se trouve dans le champ de T, alors c doit vrifier c = T(x). Ds lors,

3500210331

571253331

Ce systme dquations est inconsistant, car il aurait fallu que la dernire ligne soit enti-

rement nulle. Donc c champ de T(x).

Ds lors,

T(0) = 0

T(cu + dv) = cT(u) + dT(v)

Pour tous les vecteurs u et v dans le domaine de T et tous les scalaires c, d.

1.8 La matrice dune transformation linaire Les caractristiques dune transformation linaire T sont troitement lies celles de la

matrice A de la transformation. Par exemple, posons que

=

1001

2I

Dfinition

Une transformation est linaire si

(1) T(u + v) = T(u) + T(v) pour tout u, v dans le domaine de T.

(2) T(cu) = c T(u) pour tout u et tous les scalaires c.

Matrice augmente

Matrice-chelon

Matrice identit

e1 e2


1-24

Supposons maintenant une transformation linaire T de R2 R3 telle que

=

=

083

)(Tet27

5)(T 21 ee

Sans aucune information additionnelle, trouver une formule pour limage dun x arbitraire dans R2.

Solution :

21 eex 21212

1xx

10

x01

xx

x+=

+

=

=

+

+

=

+

=+=

0x2x8x7

x3x5

083

x

27

5x)(Tx)(Tx)(T

1

21

21

2121 21 eex

[ ]

==

=

2

1

2

1x

x

028735

x

x)(T,)(T)(T Axeex 21

La matrice A sappelle la matrice standard de la transformation linaire.

Thorme 10

Soit T : Rn Rm une transformation linaire. Il existe une matrice unique A de telle sorte que

nRxAxx =)(T Les colonnes de A sont T(e1), ..., T(en), o ej est la jme colonne de la matrice identit In dans Rn.

Matrice de la transformation


1-25

Exemple : Trouver A pour la dilatation T(x) = 3x dans R2.

[ ]

==

+

=

=

2

1

2

1x

x

3003)(T,)(T

10

301

3x3x3)x(T xee 21

Transformations linaires dans R2 :

Transformations linaires : rflexion

(a) rflexion par laxe x1

x1

x2

.

.

(1 , 1)

(1 , -1)

=

1001

A

Image duncarr


(b) rflexion par laxe x2

x1

x2

.. (1 , 1)(-1 , 1)

=

1001

AImage dun

carr

A


1-26


(c) rflexion par la droite x2 = -x1

x1

x2

x2 = -x1.

.

(1 , 1)

(-1 , -1)

=

0110

A

Image duncarr


(d) rflexion par l origine

x1

x2

.

(1 , 1)

(-1 , -1)

.

.

=

1001

A

Image duncarr


1-27

Transformations linaires : contraction et expansion

. (k , 1) k > 1

.(k , 1)0 < k < 1

(1 , k) 0 < k < 1

(1 , k) k > 1

x1

x2

x1x1

x1

x2

x2

x2

=

100k

A

=

k001

A

Image duncarr

Transformations linaires : cisaillement

.

. .

.

.

.

.

.

k k

k k

x1

x2

x1

x2

x1

x2

x1

x2

k < 0 k > 0

=

10k1

A

=

1k01

A

Image duncarr


1-28

Dfinition Une application T : Rn Rm est dite sur Rm si chaque b Rm est limage dau moins un x Rn.

Une application T : Rn Rm est dite univoque si chaque b Rm est limage de tout au plus un seul x Rn.

Thorme 11 Soit une transformation linaire T : Rn Rm . Alors T est univoque si et seulement si lquation T(x) = 0 na que la solution triviale.

Thorme 12 Soit une transformation linaire T : Rn Rm et soit A une matrice stan-dard. Alors a) T transforme Rn sur Rm si et seulement si les colonnes de A gnrent Rm. b) T est univoque si et seulement si les colonnes de A sont linairement indpendantes.

Transformations linaires : projections

projection sur laxe x1

projection sur laxe x2

=

0001

A

=

1000

A

x1

x2

x1

x2

Image duncarr


1-29

Exemple : Soit T(x1, x2) = (3x1 + x2, 5x1 + 7x2, x1 + 3x2). Dmontrer quil sagit dune trans-formation univoque. Application de R2 sur R3 ?

Solution :

+

+

+

=

21

21

21

2

1

xx

x7x5xx3

x

x

317513

Il sagit dune transformation linaire. De plus, les colonnes de A sont linairement indpen-dantes. En effet, la seule faon que b = 0 est que la solution soit triviale.

1.9 Comparaison des diffrents algorithmes de solution d'un systme d'quations linaires

Comme les ordinateurs sont limits quant au nombre de dcimales ou de chiffres significatifs qu'ils peuvent accommoder, ils doivent tronquer la plupart des quantits numriques. Par exemple, la reprsentation de 2/3 dans un ordinateur utilisant 8 chiffres seulement sera 0.66666666 ou 0.66666667, ce qui entrane une erreur de troncation. Une des considrations dans l'utilisation d'un algorithme pour la solution d'un systme d'quations linaires est l'obten-tion du temps minimal. cela doit s'ajouter la minimisation des erreurs de troncation. Ds lors, un algorithme se doit d'utiliser le nombre minimal d'oprations arithmtiques pour y parvenir. Le tableau ci-dessous indique le nombre d'oprations (additions/soustractions et multiplica-tions/divisions) ncessaires pour diffrents algorithmes.

Mthode Nombre d'additions (+ et -) Nombre de multiplications (x et /) Solutionner Ax = b par Jordan-Gauss

6n5

2n

3n 23

+

3n

n3

n 23

+

Solutionner Ax = b par Gauss 6n5

2n

3n 23

+

3n

n3

n 23

+

Trouver A-1 en rduisant [ A | I ] [ I | A-1 ] nn2n

23 + 3n

Solutionner Ax = b par x = A-1b 23 nn 23 nn + Trouver det (A) par transformation lmentaires sur les lignes

6n

2n

3n 23

+ 1

3n2

3n3

+

Solutionner Ax = b par la rgle de Cramer 6n

3n

6n

3n 234

+ 1

3n2

3n2

3n

3n 234

+++

A x b


1-30

Lorsque la matrice est volumineuse, i.e. la valeur de n est grande, il est alors possible d'obtenir une approximation le nombre d'oprations arithmtiques l'aide des formules suivantes :

Mthode Nombre d'additions (+ et -) Nombre de multiplications (x et /) Solutionner Ax = b par Jordan-Gauss

3n3

3n3

Solutionner Ax = b par Gauss 3

n3

3n3

Trouver A-1 en rduisant [ A | I ] [ I | A-1 ]

3n 3n

Solutionner Ax = b par x = A-1b 3n 3n Trouver det (A) par transformation lmentaires sur les lignes

3n3

3n3

Solutionner Ax = b par la rgle de Cramer 3

n4

3n4

Il est facile de conclure que les algorithmes de Gauss et Jordan-Gauss sont les plus performants.


1-31


Problme 1 (Lay, #11, p. 11). Solutionner le systme dquations suivant :

2 3

1 2 3

1 2 3

4 53 5 2

3 7 7 6

x x

x x x

x x x

+ =

+ + =

+ + =

Rp. : Systme inconsistant

Problme 2 (Lay, #13, p. 11). Solutionner le systme dquations suivant :

1 3

1 2 3

2 3

3 82 2 9 7

5 2

x x

x x x

x x

=

+ + =

+ =

Rp. : x = (5,3, -1)

Problme 3 (Lay, #19, p. 12). Trouver la valeur de h pour que le systme dquations soit consistant, la matrice tant augmente, i.e.

1 4. : 2

3 6 8h

Rp h =

bA

Problme 4 (Lay, #25, p. 12). Trouver une quation impliquant g, h et k pour que le systme dquations soit consistant.

1 4 70 3 5 . : 2 02 5 9

gh Rp k g hk

= + + =

bA

Problme 5 (Lay, #7, p. 25). Trouver la solution gnrale de

1 3 4 73 9 7 6

=

bA Rp. : x1 = -5 3x2, x2 libre, x3 = 3

Problme 6 (Lay, #13, p. 25). Trouver la solution gnrale de

1 3 0 1 0 20 1 0 0 4 10 0 0 1 9 40 0 0 0 0 0

=

bA

Rp. : 1 5 2 5 3 4 5 55 3 , 1 4 , libre, 4 9 , librex x x x x x x x= + = + =


1-32

Problme 7 (Lay, #19, p. 26). Choisir h et k de telle sorte que le systme dquations ci-dessous ne possde pas de solution possde une solution unique possde plusieurs solutions

1 2

1 2

24 8

x h xx x k

+ =

+ =

Inconsistant : 2, 8h k= Une solution : 2h Plusieurs solutions : 2, 8h k= =

Problme 8 (Lay, #13, p. 38). Dterminer si b est une combinaison linaire des colonnes de A.

1 4 2 30 3 5 , 72 8 4 3

= =

A b Rp. : non

Problme 9 (Lay, #13, p. 25). Considrons les vecteurs u et v suivants : 2 2

,

1 1

= =

u v . Montrer

que tout vecteur de la forme hk

=

b se trouve dans lensemble { },Gn u v peu importe les va-leurs de h et k.

Problme 10 (Lay, #29 et 30, p. 39). Considrons k masses ponctuelles m1, m2, , mk places aux points v1, v2, , vk respectivement. La masse totale du systme des masses ponctuelles est :

1 21

j

k jj

m m m m m=

= + + + =

Le centre de gravit ou centre de masse du systme devient :

[ ]1 21

1 1 kk k j

jm m m m

m m=

= + + + = 1 2 jv v v v v

Calculer le centre de gravit du systme suivant :

1 2 3 4

5 4 4 94 , 3 , 3 , 8

3 2 1 6

= = = =

v v v v

1 2 3 42 , 5 , 2 , 1m g m g m g m g= = = =

Est-ce que le centre de gravit de ce systme de points se trouve dans { }1 2 3 4v v v v ? Jus-tifier la rponse.


1-33

Problme 11 (Lay, #5, p. 47). crire lquation matricielle suivante sous forme dquation vecto-rielle.

55 1 8 4 1 82 7 3 5 3 16

2

=

Problme 12 (Lay, #9, p. 47). crire sous forme dquation vectorielle et sous forme matricielle :

1 2 3

2 3

3 5 94 0

x x x

x x

+ =

+ =

Problme 13 (Lay, #23 et 24, p. 48). Dterminer si ces noncs sont vrais ou faux. Justifier la rponse. Lquation =Ax b sappelle une quation vectorielle. Faux Le vecteur b est une combinaison linaire des colonnes de A ssi =Ax b possde au moins

une solution. Vrai Lquation =Ax b est consistante si la matrice augmente [ ],=bA A b a un pivot dans

chaque ligne. Faux Si A est une matrice m n et si A gnre Rm, alors A ne peut avoir un pivot dans chaque

ligne. Faux Toute combinaison linaire de vecteurs peut toujours scrire dans la forme =Ax b pour

une forme approprie de A et de b. Vrai Si A est une matrice m n et si A ne gnre pas Rm, alors lquation =Ax b est inconsis-

tante pour des vecteurs mb R Vrai

Problme 14 (Lay, #39 et 41, p. 49). laide de MATLAB, dterminer si les colonnes de la matrice suivante peuvent engendrer R4. Y a-t-il possibilit de retirer une colonne de A et de toujours pouvoir engendrer R4 ?

12 7 11 9 59 4 8 7 36 11 7 3 9

4 6 10 5 12

=

A

Problme 15 (Lay, #12, p. 55). Dcrire les solutions de lquation =Ax 0 dans la forme param-trique, la matrice ci-dessous tant une forme quivalente de ladite matrice A.


1-34

2 4 5

5 8 11 5 2 6 9 0 1 0 00 0 1 7 4 8 0 7 4

. :0 0 0 0 0 1 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0

Rp x x x

= + +

x

Problme 16 (Lay, #19, p. 55). Trouver lquation paramtrique de la droite passant par a et parallle b :

2 5, . :

0 3Rp t

= = = +

a b x a b

Problme 17 (Lay, #23 et 24, p. 55). Dterminer si ces noncs sont vrais ou faux. Justifier la rponse. Une quation =Ax 0 est toujours consistante. Vrai Lquation t= +x p v dcrit une droite passant par v et parallle p. Faux Si x est une solution non triviale de =Ax 0 , alors chacun des lments de x est non nul.

Faux

Problme 18 (Lay, #33 et 34, p. 56). Pour les 2 matrices suivantes, trouver une solution non triviale de lquation =Ax 0 par simple inspection.

2 6 4 67 21 , 8 123 9 6 9

Rp. : 1re matrice : 31

=

x 2me matrice :

32

=

x

Problme 19 (Lay, #1, 2 et 8, p. 71). Dterminer si ces 3 ensembles de vecteurs sont linairement in-dpendants. Mme question pour les colonnes de la matrice. Justifier la rponse.

5 7 9 0 0 3 1 3 3 2) 0 , 2 , 4 ) 0 , 5 , 4 ) 3 7 1 2

0 6 8 8 8 1 0 1 4 3a b c

Rp. : a) Oui, b) Oui, c) Non


1-35

Problme 20 (Lay, #41, p. 72). laide de MATLAB, trouver un ensemble de vecteurs linairement indpendant avec les colonnes de A.

8 3 0 7 29 4 5 11 7

6 2 2 4 45 1 7 0 10

=

A

Problme 21 (Lay, #3, p. 80). Soit ( ) =T x Ax . Trouver un vecteur x dont limage sous T est b. Est-ce que ce vecteur est unique ?

1 0 2 1 32 1 6 , 7 . : 1 unique

3 2 5 3 2Rp

= = =

A b x

Problme 22 (Lay, #9, p. 80). Trouver tous les vecteurs 4x R dont limage est le vecteur 0 pour la transformation linaire suivante :

3 4

9 71 4 7 5

4 3, 0 1 4 3 . :

1 02 6 6 4

0 1

Rp x x

= = +

x Ax A x

Problme 23 (Lay, #13 et 16, p. 80). Utiliser un systme cartsien pour tracer les 2 points u et v sui-vants ainsi que limage de ces points sous les transformations T1 et T2 :

( ) ( )1 21 0 0 1 5 2, , ,0 1 1 0 2 4

= = = =

T x T x u v

Problme 24 (Lay, #27, p. 81). Montrer que la droite passant par les points p et q de Rn peut scrire dans la forme paramtrique ( )1 t t +p q . Le segment de droite de p vers q est lensemble de points pour 0 1t . Montrer que la transformation linaire T(x) transforme ce segment de droite soit en un segment de droite soit en un seul point.

Problme 25 (Lay, #1, 3 et 4, p. 90). Soit T(x) une transformation linaire. Trouver la matrice stan-dard de T(x) pour les cas suivants :

1) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 1 2: , 3 1 3 1 et 5 2 0 0 = = T R R T e T e 2) 2 2: T R R qui effectue une rotation de 3/2 dans le sens antihoraire autour de

lorigine. 3) 2 2: T R R qui effectue une rotation de /4 dans le sens horaire autour de lorigine.


1-36

Problme 26 (Lay, #10, p. 90). Trouver la matrice de la transformation linaire 2 2: T R R qui, en premier lieu, rflchit les points travers laxe vertical x2, puis effectue une rotation de /2 dans le sens horaire.

Rp. : 0 11 0

=

T

Problme 27 (Lay, #15, p. 90). Trouver les termes qui manquent dans la matrice suivante :

1 1 3

2 1

3 1 2 3

? ? ? 3 2? ? ? 4? ? ?

x x x

x x

x x x x

= +

Problme 28 (Lay, #37 et 39, p. 91-92). laide de MATLAB, dterminer si les matrices suivantes sont des transformations biunivoques :

4 7 3 7 55 10 5 4

6 8 5 12 88 3 4 7

, 7 10 8 9 144 9 5 3

3 5 4 2 63 2 5 4

5 6 6 7 3

Remarque. Matrice lmentaire de rotation :

cos sinavec dans le sens antihoraire

sin cos

=

R

Pour une rotation dans le sens horaire, il faut remplacer par - .


2-1

Chapitre 2 Algbre des matrices

Objectifs dapprentissage

Matriser les oprations matricielles

Approfondir la notion de matrice inverse

Caractriser une matrice inverse

Savoir obtenir la dcomposition LU dune matrice

Notions sur la solution itrative dun systme dquation

Application au graphisme


2-2

Chapitre 2 Algbre des matrices

Introduction Exemple de lindustrie automobile avec la CAO et FAO.

2.1 Oprations matricielles Notation : Soit la matrice A ayant m lignes et n colonnes. Les colonnes de A sont des vecteurs

dans Rm. Ds lors

],...,,[ n21 aaaA =

=

mnmj1m

inij1i

n1j111

aaa

aaa

aaa

A

Matrice diagonale D ji0a ij =

Matrice nulle 0 j,i0a ij =

Addition, soustraction et multiplication par un scalaire :

scalaireunpartionmultiplicaarar

ararr

2221

1211

=A r

++

++=+

22222121

12121111babababa

BA addition de 2 matrices

=

22222121

12121111babababa

BA

ligne i

colonne j


2-3

Multiplication matricielle :

Thorme 1

Soient A, B et C des matrices de mme dimension, et soient r et s des sca-laires. Ds lors, (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C) (c) A + 0 = A (d) r (A + B) = r A + r B (e) (r + s) A = r A + s A (f) r (s A) = (r s) A

Dfinition : Soient A une matrice m n et B une matrice n p, ainsi que x = (x1, , xp). Soient b1, , bp les colonnes de B. Alors le produit matriciel AB est la matrice m p dont

les colonnes sont Ab1, , Abp. Ds lors,

][][ p1p1 AbAbbbAAB == (2.1)

. . .x Bx A (Bx)

(1) Multiplication

par B

(2) Multiplication

par A

Multiplication par AB

Multiplication matricielle


2-4

Exemple 1 : Calculer le produit matriciel AB avec

=

=

321634

et51

32BA .

Solution : Posons que B = [ b1, b2, b3 ].

[ ]

==

=

=

=

=

=

=

913121011

921

36

5132

130

23

5132

111

14

5132

32

321

1

bbbAAB

bAbAbA

Noter que A b1 est une combinaison linaire des colonnes de A avec les lments de b1 comme coefficients.

Exemple 2 : Soient A une matrice 3 5 et B une matrice 5 2. Dterminer si AB et BA

sont dfinis.

Solution :

=

**

**

**

**

**

**

**

**

*****

*****

*****

Produit BA non dfini, car B a 2 colonnes et A 3 lignes.

A B

AB

3 5 5 2 3 2

Compatibilit

Dimension de AB


2-5

Remarques :

En gnral, AB BA.

Si AB = AC, en gnral B C.

AB = 0 ne permet pas de conclure que A ou B = 0.

Puissances dune matrice :

AAA =k

Matrice transpose dune matrice : Soit une matrice A de grandeur m n. La matrice transpose AT de A obtenue lorsque

les colonnes de A deviennent les lignes de AT.

Rgle de calcul de AB :

Si le produit AB est dfini, les lments de C = AB sobtiennent de la faon sui-vante : cij = produit de la ime ligne de A avec la jme colonne de B

i.e. =

=

n

1kkjikij bac , n tant le nombre de colonnes de A.

Thorme 2 :

Soient A, B et C des matrices dont les dimensions rendent compatibles les produits matriciels. Ds lors, a) A (BC) = (AB) C (associativit) b) A (B + C) = AB + AC (distributivit par la gauche) c) (B + C) A = BA + CA (distributivit par la droite) d) r (AB) = (rA) B = A (rB) (multiplication par un scalaire r) e) In A = A = A In (identit pour la multiplication matricielle)

k fois


2-6

Exemple :

=

=

532015

4031

25TBB

2.2 Matrice inverse

11 ab1baaaa

1a ====

Mme raisonnement pour une matrice :

IAAAAABBA ==== 11 (2.2)

Exemple : Considrons les 2 matrices suivantes :

=

=

2357

et73

52CA

Que reprsente C par rapport A ?

Solution :

Thorme 3 :

Soient des matrices A et B dont les dimensions sont appropries. Ds lors, a) (AT)T = A b) (A + B)T = AT + BT c) (r AT) = r AT d) (AB)T = BT AT

b = linverse de a

B = la matrice inverse de A se note A-1


2-7

=

=

=

=

1001

7352

2357

1001

2357

7352

CA

AC

Donc C = A-1.

Pour une matrice 22, il existe une formule simple pour calculer son inverse et dceler si cette

inverse existe.

Remarque. Le dnominateur (ad bc) sappelle le dterminant de A.

Importance de lexistence dune inverse :

Exemple : Poutre horizontale.

Une poutre horizontale est supporte en ses 2 extrmits et est soumise 3 charges concen-tres aux points 1, 2 et 3 comme le montre la fig. ci-dessous. Daprs la loi de Hooke, y = D f

D = matrice de flexibilit, et D-1 = la matrice de rigidit. La signification des colonnes de D et D -1 est dcrite ci-dessous.

Thorme 4

Soit

=

dcba

A . Si (ad bc) 0, alors A a une inverse et cette inverse

sobtient laide de

=

ac

bdbcad

11A . (2.3)

Si (ad bc) = 0, alors A na pas dinverse.

Thorme 5

Si une matrice A n n a une inverse, alors, pour chaque b Rn, lquation Ax = b possde une solution unique donne par x = A-1 b.


2-8

La force f = (1, 0, 0) correspond une seule force unitaire vers le bas au point 1. La dflexion correspondante est le vecteur

[ ] 1321321 dddddddfDy =++=

== 001001

Ds lors, la 1re colonne d1 donne les dflexions causes par une force unitaire au point 1. Une interprtation similaire prvaut pour les autres colonnes de D.

Posons que D-1 = [w1 w2 w3] et considrons la dflexion y = (1, 0, 0). Ds lors,

[ ] 13213211 wwwwwwwyDf =++=

== 001

001

La 1re colonne w1 de D1 donne les forces qui doivent tre appliques aux 3 points afin de

produire une dflexion unitaire au point 1 et des dflexions nulles aux 2 autres points.

Thorme 6

a) Si A est inversible, alors A-1 aussi est inversible. b) Si A et B sont 2 matrices n n et inversibles, alors AB aussi est inversible et

111)( = ABAB (2.4)

c) Si A est inversible, alors AT aussi, et

T11T )()( = AA (2.5)

f1 f2 f3

y1 y2 y3


2-9

Matrices lmentaires : Une matrice lmentaire est la matrice obtenue en pratiquant une seule opration lmen-taire sur les lignes dune matrice identit I. Les 3 types doprations lmentaires sont : (1) permuter 2 lignes : Eij (2) multiplier une ligne par un scalaire s 0 : Ei(s) (3) additionner la ime ligne s fois la ligne j : Ei(sj)

Exemples : Soit les matrices suivantes :

=

=

=

=

ihgfedcba

500010001

)5(100001010

104010001

)14( 3123 AEEE

=

=

=

i5h5g5fedcba

)5(,ihgcbafed

,

c4ib4ha4gfedcba

)14( 3123 AEAEAE

Les matrices lmentaires sont inversibles :

(1) ij1ijijij EEIEE ==

(2.6)

(2) ( )

==

s

1)s(ss

1i

1iii EEIEE (2.7)

(3) )js()js()js()js( i1iii == EEIEE (2.8)

Thorme 7

Une matrice A n n est inversible si et seulement si A est quivalente par les lignes In. La suite doprations lmentaires sur les lignes qui transforment A en In, transforment aussi In en A-1.


2-10

Dmonstration Supposons que A soit inversible. Alors Ax = b a une solution pour chaque vecteur b (Thorme 5). Donc A possde un pivot dans chaque ligne. A tant carre, les n pivots se trouvent sur la diagonale principale. La matrice-chelon rduite de A est In.

Supposons maintenant que A In. Chaque opration lmentaire sur les lignes de A cor-respond la pr-multiplication de A par une matrice lmentaire E. Ds lors,

= =1

1 2 1 p 2 1 nA E A E E A E E E A A A I

Comme les matrices lmentaires sont inversibles,

( ) ( ) ( ) ( ) 111 == 1pn1p1p1p EEAIEEEEEE (2.9) C.Q.F.D.

Exemple : Trouver la matrice inverse de

=

834301210

A .

Algorithme pour trouver A-1

Rduire la matrice augmente [A I] une matrice-chelon rduite. Si A est quivalente la matrice-chelon rduite I, alors [A I] est quivalente par

les lignes [I A-1].


2-11

Solution :

0 1 2 1 0 0 1 0 3 0 1 0 1 0 3 0 1 01 0 3 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 04 3 8 0 0 1 4 3 8 0 0 1 0 3 4 0 4 1

1 0 3 0 1 0 1 0 3 0 1 0 1 0 0 9 / 2 7 3 / 20 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 2 4 10 0 2 3 4 1 0 0 1 3 / 2 2 1 / 2 0 0 1 3 / 2 2 1 / 2

1A

9 / 2 7 3 / 22 4 1

3 / 2 2 1 / 2

=

2.3 Caractrisation des matrices inverses

Autre faon de voir linversion :

In = [e1 e2 en]

AI = [A e1 e2 en ]

Il sagit de la solution simultanment dun systme de n quations linaires.

Thorme 8

Soit A une matrice n n. Les noncs suivants sont tous vrais ou tous faux. a. A est inversible. b. A est quivalente par les lignes In. c. A a n pivots. d. Ax = 0 na que la solution triviale. e. Les colonnes de A forment un ensemble linairement indpendant. f. La transformation linaire injectiveestAxx . g. Ax = b a au moins une solution pour chaque b Rn. h. Les colonnes de A engendrent Rn. i. La transformation linaire Axx transforme de Rn Rn. j. C n n CA = I k. D n n AD = I l. AT est inversible.


2-12

Soient A et B 2 matrices carrs de mme dimension. Alors, si AB = I, A et B sont inver-sibles et B = A-1 ainsi que A = B-1.

Exemple : Dterminer si

=

915213201

A est inversible.

Solution : Il est suffisant de montrer que la matrice A sous forme de matrice-chelon contient 3 pivots.

300410201

110410201

A

C.Q.F.D.

2.4 Dcomposition LU dune matrice La dcomposition dune matrice consiste exprimer cette matrice en un produit de 2 ou plusieurs matrices. La dcomposition LU permet de solutionner une suite de systmes dquations linaires ayant la mme matrice des coefficients sans avoir transformer la matrice

A chaque solution. Supposons en premier lieu que la matrice A puisse tre ramene la

forme chelon sans permutation de lignes. Alors la matrice m n A peut tre dcompose

dans la forme LU, i.e.

=

00000*c000***b0****a

1***01**001*0001

A (2.10)

o L = une matrice triangulaire infrieure m m avec des 1 sur la diagonale principale,

U = une matrice-chelon m n de A.

pivots

L U gnrale quelconque


2-13

La matrice L est inversible et porte le nom de matrice triangulaire infrieure unitaire. Motivation :

( ) UxybUxLLUA ===

yUxbLy

=

=

(2.11)

Il ne faut pas oublier que L et U sont triangulaires si A est une n n.

Exemple : La dcomposition LU de A tant connue, solutionner Ax = b lorsque

=

11759

b .

Solution :

=

==

1000110021202273

1383015200110001

125595046

01532273

LUA

[ ] [ ]yIbL =

=

11000501004001090001

111383701525001190001

[ ]

=

=

16

43

1100060100

4001030001

11000511004212092273

xyU


2-14

Algorithme pour la dcomposition LU :

Supposons que la matrice A puisse tre ramene la forme chelon sans permutation de lignes. Ds lors, A peut tre ramene la forme U par des remplacements de lignes grce laddition de multiple dune ligne sous la ligne contenant le pivot. Donc

(Ep E1) A = U (2.12) A = (Ep E1)-1 U = LU L = (Ep E1)-1 (2.13)

Car le produit de matrices triangulaires infrieures est aussi une matrice triangulaire infrieure.

Exemple : Trouver la dcomposition LU pour

=

13706814521835425142

A .

Solution :

Comme A possde 4 lignes, L est une matrice 4 4. Ainsi

( )1 2 4 1 5 2 2 4 1 5 2

4 / 2 4 5 3 8 1 0 3 1 2 3( 2 / 2) 2 5 4 1 8 0 9 3 4 10(6 / 2) 6 0 7 3 1 0 12 4 12 5

=

1**301*100120001

L

La 1re colonne de L = la 1re colonne de A divise par a11 = 2. Notons que, sous a11, il sagit des coefficients ayant permis dobtenir des zros sous a11 mais en signe contraire.


2-15

( )

2 4 1 5 2 2 4 1 5 2 2 4 1 5 2(1) 0 3 1 2 3 0 3 1 2 3 0 3 1 2 3

9 / 3 0 9 3 4 10 (1) 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1( 12 / 3) 0 12 4 12 5 ( 4 / 2) 0 0 0 4 7 (1) 0 0 0 0 5

A

=

=

50000120003213025142

1243013100120001

UL

Pour vrification, le produit LU redonne la matrice A originale.

Dans la pratique, il y a permutation des lignes afin de permettre le pivotage partiel pour obtenir comme pivot le terme avec la valeur absolue la plus grande. Il faut alors modifier la d-composition LU en consquence pour tenir compte des permutations.

Exemple : Obtenir la dcomposition LU pour la matrice suivante :

=

3503280484

1941278511

A

Solution :

( )

( )

( )( )

( )

( )1 / 4 3 / 31 1 5 8 7 0 3 6 8 5 0 0 0 1 81 / 2(2 / 4) 12 1 4 9 1 0 3 6 9 3 0 3 6 9 3

(1) 4 8 4 0 8 4 8 4 0 8 4 8 4 0 82 / 4 1 / 32 3 0 5 3 0 1 2 5 7 0 0 0 2 6(1)

(1) 0 0 0 0 50 3 6 9 34 8 4 0 80 0 0 2 6

=

=

A

V

a b c

d


2-16

Dnotons par V la matrice-chelon permute obtenue ci-dessus. Permutons maintenant V pour obtenir la matrice-chelon U. De plus, crons L*.

=

50000620003963080484

U

=

013/12/100010012/112/114/1

*L

=

=

3503280484

1941278511

50000620003963080484

013/12/100010012/112/114/1

U*L .

Notons que la matrice L* est construite de telle sorte que les oprations qui permettent de rduire A vers V permettent aussi de rduire L* vers une matrice identit permute P. Ainsi pour rame-ner la matrice L* ci-dessus une matrice triangulaire infrieure unitaire L, il faut la pr-multiplier par la matrice de permutation obtenue du produit des 2 matrices de permutation nces-saires pour obtenir les pivots pendant les calculs de la matrice-chelon, i.e. PA = LU.

2.5 Solutions itratives de systmes dquations linaires Supposons que la matrice A soit inversible.

But dune mthode itrative : produire une suite de vecteurs x(0), x(1), , x(k), qui converge vers la solution unique de Ax = b. Convergence signifie que x(k) tend vers x lorsque k est grand.

Supposons que A puisse scrire dans la forme A = M N. Ds lors, Mx = Nx + b (2.13) Si la suite des x(k) vrifie Mx(k + 1) = Nx(k) + b (k = 0, 1, ) (2.14) et si cette suite converge vers x*, alors il peut tre dmontr que Ax* = b.


2-17

Mthode de Jacobi :

Hypothse : les lments de la diagonale principale

=

nn

22

11

a000

00a0000a

D sont non nuls.

Pour la mthode de Jacobi, D x(k + 1) = (D A) x(k) + b (k = 0, 1, ) (2.15) Il faut fournir le vecteur de dpart x(0).

Exemple : Appliquer la mthode de Jacobi au problme suivant :

17x20xx12xx15x18xxx10

321

321

321

=++

=++

=+

Solution :

+

=

1712

18

x

x

x

011101

110

yyy

200001500010

3

2

1

3

2

1

Ce systme peut se rcrire ainsi :

y1 = ( x2 + x3 + 18) / 10 y2 = ( x1 x3 12) / 15 y3 = (x1 x2 + 17) / 20

Itration k x(k) 0 1 2 3 4 5 6

x1 0 1,8 1,965 1,9957 1,9993 1,9999 2,0000

x2 0 -0,8 -0.965 -0,9963 -0,9995 -0,9999 -1,0000

x3 0 0,85 0,980 0,9971 0,9996 0,9999 1,0000

D x(k+1) (D A) b x(k)


2-18

Une fois x(1) calcul, on utilise les valeurs de x(1) droite de lquation pour obtenir x(2), et ain-si de suite jusqu ce que la prcision dsire soit atteinte.

Mthode de Gauss-Seidel : La matrice A est dcompose de la faon suivante :

=

=

*****

0****00***000**0000*

*****

*****

*****

*****

*****

MA

Ds lors, avec le mme exemple numrique que pour la mthode de Jacobi,

+

=

1712

18

x

x

x

000100

110

yyy

201101510010

3

2

1

3

2

1

Ce systme peut se rcrire ainsi :

y1 = ( x2 + x3 + 18) / 10 y2 = ( y1 x3 12) / 15 y3 = (y1 y2 + 17) / 20

Itration k x

(k) 0 1 2 3 4 5 6

x1 0 1,800 1,9906 1,9998 2,0000 2,0000 2,0000

x2 0 -0,920 -0.9984 -0,9999 -1,0000 -1,0000 -1,0000

x3 0 0,986 0,9995 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

M x(k+1) (M A) b x(k)


2-19

2.6 Application au graphisme Le graphisme consiste dans la prsentation et aussi lanimation dimages sur lcran. Par exemple, la lettre N se dtermine laide de 8 points, comme le montre la fig. ci-dessous.

Sommets de la lettre 1 2 3 4 5 6 7 8

x 0,00 0,50 6,00 0,50 0,50 0,00 5,50 6,00

y 0,00 0,00 0,00 1,58 6,42 8,00 8,00 8,00

Il faut aussi spcifier les sommets qui sont relis ensemble pour former les segments de la lettre. La raison principale pour laquelle des segments de droite sont utiliss pour dcrire plusieurs ob-

Remarque La mthode de Gauss-Seidel nest pas ncessairement plus rapidement conver-gente que celle de Jacobi. Il existe une condition qui garantit la convergence des 2 m-thodes, mais pas la seule. Une matrice A n n est diagonale dominante si

=

>n

ij1j

ijii aa (2.16)

Si la matrice A est diagonale dominante, alors les mthodes de Jacobi et Gauss-Seidel sont convergentes vers la solution peu importe le choix de x(0).

1 2 3

4

5

6 7 8

x

y

D


2-20

jets graphiques rsident dans le fait que des segments de droite peuvent tre facilement transfor-ms en dautres segments de droite.

Exemple 1 : La transformation avec la pr-multiplication de la matrice des points D par la ma-

trice

=

1025,01

A dcrit une dformation par cisaillement.

=

=

888420,6580,100085,72105,2895,565,00

88842,658,100065,505,05,565,00

1025,01

AD

Exemple 2 : Rtrcir la dernire transformation. Pour ce faire, on utilise la matrice de contrac-

tion

=

10075,0

S . La transformation compose devient :

=

=

101875,075,0

1025,01

10075,0

SA

La mathmatique implique dans le graphisme est troitement lie aux multiplications matri-cielles. Malheureusement la translation dun objet ne correspond pas une multiplication ma-tricielle, ntant pas une transformation linaire. Pour pallier cette difficult, on utilise la notion de coordonnes homognes. Chaque point (x, y) de R2 peut tre identifi par le point (x, y, 1) dans R3.

Exemple 3 : La translation de la forme ( ) ( )kyhxyx ++ prend la forme suivante en coordonnes homognes ( ) ( )1kyhx1yx ++ et elle se calcule laide de la multi-plication matricielle

+

+

=

1kyhx

1yx

100k10h01

.


2-21

Exemple 4 : Toute transformation linaire dans R2 se reprsente en coordonnes homognes

par une partition de matrice de la forme

100A

o A est une matrice 22.

1000t000s

100001010

1000cossin0sincos

Transformations composes : Avec = pi/2, sin = 1 et cos = 0. Les transformations sui-vantes peuvent tre regroupes dans une mme matrice de transformation.

=

100203,0

5,03,00

10003,00003,0

100001010

100210

5,001

Coordonnes homognes en 3-D :

(2.17) Tout scalaire non nul qui est un multiple de (x, y, z, 1) fournit un ensemble de coordonnes homognes pour (x, y, z). Par exemple,

( )( )

( )321915735

214610

Rotation dans le sens anti-horaire au-

tour de lorigine

Rflexion par y = x

Multiplier x par s et y par t

translation rotation changement dchelle

transformation compose

scalaires


2-22

Exemple 5 : Trouver les matrice de transformation pour les oprations suivantes : (1) rotation de 30o autour de laxe Y ; (2) translation par le vecteur p = (-6 4 5).

Par convention, un angle est positif sil est dans le sens anti-horaire lorsque lon regarde vers lorigine partir de la partie positive de laxe de rotation.

Solution :

Rotation : Les axes X et Z tournent, tandis que laxe Y sert daxe de rotation.

=

=

100002/305,0001005,002/3

2/305,00105,002/3

AA

Translation :

=

1000510040106001

A

Projections en perspectives :

.

(0, 0, d).

.

(x*, y*, 0)

(x, y, z).

0.0

x*

xz

d - z

dans le plan XZ


2-23

Un objet en 3-D se reprsente sur un cran en 2-D laide dune projection de lobjet sur une vue en plan. Pour simplifier, supposons que le plan XY reprsente lcran, et supposons que lil de lobservateur se trouve sur laxe Z au point (0, 0, d). Une projection en perspec-tive trace chaque point (x, y, z) en un point dimage (x*, y*, 0) de telle sorte que lil de lobservateur, le point considr et sa projection se trouve sur une mme droite. Daprs la fig. ci-dessus et d au fait que les triangles sont semblables,

d/z1y

*y

d/z1x

zdxd

*xzd

x

d*x

=

=

=

=

(2.18)

laide des coordonnes homognes, (x, y, z, 1) se trace comme

10d/z1

yd/z1

x.

Nous pouvons aussi crire

=

=

d/z/10yx

1z

yx

1d/100000000100001

1z

yx

P (2.19)

Exemple 5 : Considrons la bote S dont les sommets sont :

Sommet 1 2 3 4 5 6 7 8

x 3 5 5 3 3 5 5 3

y 1 1 0 0 1 1 0 0

z 5 5 5 5 4 4 4 4

Si le centre de projection est (0, 0, 10), trouver limage de S en pour une projection en perspec-tive sur le plan XY.


2-24

Solution : Soit P la matrice de projection, et D la matrice des donnes en coordonnes homognes

=

=

6,06,06,06,05,05,05,05,0000000000011001135533553

11111111444455550011001135533553

110/100000000100001

PD

Pour obtenir les coordonnes dans R3, nous utilisons (2.17) pour diviser les 3 premires lignes de la dernire matrice ci-dessus par llment se trouvant sur la 4ime ligne dans chaque colonne :

Sommet 1 2 3 4 5 6 7 8

x 6 10 10 6 7 8,3 8,3 5

y 2 20 0 0 1,7 1,7 0 0

z 0 0 0 0 0 0 0 0

En rsum :

Forme typique dune transformation pour le graphisme en 3-D :

rTqpT

Vecteur de translation

Un scalaire normalement = 1 Vecteur dans R3 associ

la transformation en perspective

Matrice 33 qui produit une transformation


2-25

Problmes sur le chapitre 2 Problme 1 (Lay, #1, p. 116). Pour les matrices suivantes, calculer les oprations demandes si elles sont dfinies :

2 0 1 7 5 1 1 2 3 5, , ,

4 5 2 1 4 3 2 1 1 4

= = = =

A B C D

-2A

B-2A

AC

CD

Problme 2 (Lay, #7, p. 116). Si la matrice A est une 5 3 et le produit AB est une 5 7 , quelle est la dimension de la matrice B ? Rp. : une 3 7

Problme 3 (Lay, #22, p. 116). Considrons les matrices suivantes :

1 1 1 2 0 01 2 3 , 0 3 01 4 3 0 3 5

= =

A D

Calculer AD et DA. Expliquer comment la matrice D affecte le rsultat du produit.

Problme 4 (Lay, #17, p. 117). Considrons les matrices suivantes :

1 2 1 2 1,

2 5 6 9 3

= =

A AB

Trouver les 2 premires colonnes de B. Rp. : 1 27 8

,

4 5

= =

b b

Problme 5 (Lay, #15, p. 117). Dterminer si les noncs sont vrais ou faux. Justifier la rponse. Si les matrices A et B sont des matrices dordre 2 et que leurs colonnes respectives sont

a1 et a2 ainsi que b1 et b2, alors [ ]1 1 2 2a b a b=AB . Faux ( )+ = +AB AC A B C Vrai ( )+ = + TT TA B A B Vrai ( ) =T T TAB A B Faux


2-26

Problme 6 (Lay, #37, p. 118). laide de MATLAB, construire une matrice dordre 4 et vrifier que ( ) ( )+ = 2A I A I A I Quen est-il si on a une matrice B dordre 2 au lieu de I ?

Problme 7 (Lay, #1, p. 126). Trouver linverse des matrices suivantes :

1 18 6 3 4 2 3 2 1, . : ,

5 4 7 8 5 / 2 4 7 / 4 3 / 4Rp

= = = =

A B A B

Problme 8 (Lay, #7, p. 126). Considrons la matrice A et les vecteurs b1, b2, b3, b4 suivants :

2 3 4

1

1 2 1 1 2 3, , , ,

5 12 3 5 6 56 1

. :5 / 2 1 / 2

Rp

= = = = =

=

1A b b b b

A

Trouver linverse de A et solutionner les 4 quations. Puis, reprendre la solution de ces 4 sys-tmes dquations laide dune matrice augmente de ces 4 vecteurs.

Problme 9 (Lay, #9, p. 126). Dterminer si les noncs suivants sont vrais ou faux. Justifier votre rponse.

Pour que B soit linverse de A, il faut que AB = I et BA = I. Vrai Si A et B sont inversibles, alors ( ) 1 = -1 -1AB A B Faux Si

a bc d

=

A est inversible, alors 0ab cd Faux

Toute matrice lmentaire est inversible. Vrai

Problme 10 (Lay, #13, p. 126). Dmontrer que si AB = AC, avec A une matrice inversible dordre n et que les matrices B et C sont de dimension n p , alors B = C.

Problme 11 (Lay, #36, p. 127). laide de MATLAB, Trouver la 2me et la 3me colonne de la ma-trice suivante sans calculer la 1re colonne de A-1:

25 9 27546 180 537154 50 149

=

A

Problme 12 (Lay, #3,5,6, p. 132). En utilisant un minimum de calculs, dterminer si les matrices sui-vantes sont inversibles :


2-27

5 0 0 0 3 5 1 5 43 7 0 , 1 0 2 , 0 3 4

8 5 1 4 9 7 3 6 0

Problme 13 (Lay, #11, p. 132). Dterminer si les noncs suivants sont vrais ou faux. Justifier votre rponse. Les matrices sont dordre n.

Si lquation =Ax 0 na que la solution triviale, alors A est quivalente par les lignes une matrice I. Vrai

Si les colonnes de A engendrent Rn, alors les colonnes sont linairement indpendantes. Si A est une matrice dordre n, alors lquation Ax = b a au moins une solution pour

chaque b de Rn. Faux Si lquation =Ax 0 a une solution non triviale, alors A a moins de n pivots. Vrai Si AT nest pas inversible, alors A nest pas inversible. Vrai Sil y a une matrice dordre n telle que AD = I, alors il existe une matrice C telle que

CA = I. Vrai

Problme 14 (Lay, #41, p. 133). En utilisant MATLAB, solutionner le systme dquations suivant :

1 2

1 2

4.5 3.1 19.2491.6 1.1 6.843

x x

x x

+ =

+ =

Puis solutionner de nouveau alors que lon a arrondi le vecteur de droite 2 dcimales :

1 2

1 2

4.5 3.1 19.251.6 1.1 6.84

x x

x x

+ =

+ =

Trouver le % derreur lorsque lon utilise la solution du 2me systme dquations comme ap-proximation de la vraie solution du 1er systme dquations.

Problme 15 (Lay, #3, p. 149). Trouver la solution de lquation Ax = b laide de la dcomposition LU.

2 1 2 1 16 0 2 , 0 . : 3

8 1 5 4 3Rp

= = =

A b x

Problme 16 (Lay, #7, p. 149). Trouver la factorisation LU de la matrice A avec une matrice L uni-

taire : 2 5 1 0 2 5

. : ,3 4 3 / 2 1 0 7 / 2

Rp = = =

A L U


2-28


taire : 3 1 2 1 0 0 3 1 21 2 10 , . : 1 1 0 0 3 12

2 5 6 3 2 / 3 1 0 0 8Rp

= =

A L


taire :

1 4 1 5 1 0 0 0 1 4 1 53 7 2 9 3 1 0 0 0 5 1 6

, . :2 3 1 4 2 1 1 0 0 0 0 01 6 1 7 1 2 0 1 0 0 0 0

Rp

=

A

Problme 18 (Lay, #31, p. 150). Avec MATLAB, solutionner le problme de rpartition des tempra-tures suivant laide de la dcomposition LU :

Les tempratures imposes se trouvent lextrieur du rectangle, tandis que les nombres lintrieur indiquent la numrotation des tempratures dterminer.

Problme 19 (Lay, #3, 4, 5, 6, 7, 8, p. 166). Trouver les matrices 3 3 qui effectuent les transformations composites suivantes en 2 dimensions en utilisant les coordonnes homognes :

Translation par (3, 1), puis une rotation de 45o autour de lorigine

2 2 2 2 2

. : 2 2 2 2 2 20 0 1

Rp

0o 0o 0o 0o

5o

5o

20o

20o

10o 10o 10o 10o

1

2

3

4

5

6

7

8


2-29

Translation par (-2, 3), puis redimensionner x par 0.8 et y par 1.2

0.8 0 1.6. : 0 1.2 3.6

0 0 1Rp

Rflchir les points travers laxe des x et rotation de 30o autour de lorigine

3 2 1 2 0. : 1 2 3 2 0

0 0 1Rp

Rotation de 30o, puis rflchir travers laxe des x

3 2 1 2 0. : 1 2 3 2 0

0 0 1Rp

Rotation des points de 60o autour du point (6, 8)

1 2 3 2 3 4 3. : 3 2 1 2 4 3 3

0 0 1Rp

+


3-1

Chapitre 3 Notions sur les dterminants

Objectifs dapprentissage Assimiler la notion de dterminant

Comprendre les proprits dun dterminant

Rgle de Cramer pour le calcul dun dterminant

Formule pour le calcul dune matrice inverse

Signification du dterminant pour le calcul dune aire et dun volume

Remarque. La notion de dterminant est importante surtout pour les raisonnements et les preu-

ves quelle permet dobtenir. Elle offre peu dintrt dans les calculs matriciels.


3-2

Chapitre 3 Notions sur les dterminants

3.1 Introduction la notion de dterminant

Considrons quelques cas pour illustrer la notion de dterminant. Tout dabord, tudions le cas dun systme de 1 quation 1 inconnue.

a x = b (3.1)

Remarquons que la matrice A des coefficients est une matrice 1 1, i.e. A = [a]. Elle se trou-ve donc dj sous forme de matrice-chelon. La solution est donne par

( )( )( )adetbdet

adetbb

a

1x ==

= (3.2)

Le coefficient a dans lquation (3.1) sappelle le dterminant de A ou det(A). Cest un nom-bre scalaire associ la matrice A. La solution de (3.1) existe si le det(A) est 0. Notons aus-si que la matrice des coefficients A 1 1 ne contient quun lment, i.e. a11 = a.

Considrons maintenant un systme linaire de 2 quations 2 inconnues :

22221

11211byaxabyaxa

=+

=+ (3.3)

Avec la mthode par limination de Gauss,

( ) 1112121111

12212211

11211

a/babaya

)aaaa(byaxa

=

=+

(3.4)

Sous forme matricielle,

( )11 22 21 1211 12

11

0

a

a

a a a

a

a

=

C (3.5)

det (A)

det (A)


3-3

laide de la substitution reculon, la solution de (3.4) devient

)det(baba

aaaa

babax

)det(baba

aaaa

babay

212122

12212211

212122

121211

12212211

121211

A

A

=

=

=

=

(3.6)

Notons aussi que

121211221

111

212122222

121

babababa

det

babaabab

det

=

=

(3.7)

Le numrateur de llment c22 de la matrice C, i.e. une forme chelon de A, est le dtermi-nant de la matrice des coefficients A. De nouveau, la solution (3.6) existe seulement si le d-terminant de A est non nul.

Pour un systme linaire de 3 quations 3 inconnues, en supposant quaucune permuta-tion de lignes nest ncessaire pour lobtention des pivots, la matrice A prend la forme sui-

vante :

=

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

bbb

x

x

x

aaa

aaa

aaa

(3.8)

( )

=

21122211

11

21132311

11

21122211

131211

aaaa

)Adet(00a

aaaa

a

aaaa0

aaa

C (3.9)

o det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 ...(3.10) Or det(A) = a11(a22a33 a23a32) a21(a12a33 a13a32) + a31(a12a23 a13a22) ( ) ( ) ( ) ( )312111 AAAA detadetadetadet 312111 += ...(3.11)

( ) 322333223332

2322

333231

232221

131211aaaa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

det =

=

=11A ...(3.12)


3-4

o A11 = la matrice (n 1) (n 1) obtenue en retirant la 1re ligne et la 1re colonne de A. Il en est de mme pour A21 et A31 en retirant les lignes et colonnes correspondantes.

De plus, la solution de (3.8) prend la forme suivante :

( )

( )

( )A

A

A

detbaabaabaa

det

x

detabaabaaba

det

x

detaabaabaab

det

x

33231

22221

11211

3

33331

23221

13111

2

33323

23222

13121

1

=

=

=

(3.13)

Examinons de plus prs le dterminant det(A) tel que formul dans (3.11) : ( ) ( ) ( ) ( )312111 AAAA detadetadetadet 312111 += Remarquons tout dabord que a11, a21 et a31 sont les lments de la 1re colonne de A. De plus, notons que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )312111 AAAA deta1deta1deta1det 311321121111 +++ ++=

( ) ( )i1AA deta)1(det 1i3

1i

1i=

+= ...(3.14)

Lexpression det(Aij) sappelle le mineur Mij de A. Lexpression (1)i +j Mij porte le nom de cofacteur (i,j), ou Cij de A. Lexpression (3.14) constitue ainsi le calcul du dterminant de la matrice A par un dveloppement par les cofacteurs suivant sa 1re colonne. Nous aurions pu ob-tenir le dterminant de A par un dveloppement suivant la premire ligne de A en regroupant diffremment les termes de (3.10).

Mineur Mi1 de A


3-5

Cette dfinition donne suite au thorme suivant :

Une permutation des nombres entiers {1, 2, ..., n} est un arrangement de ces entiers de telle sorte quils soient dans un ordre quelconque sans omission ou sans rptition. Ainsi (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2) (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2,1) sont des permutations des 3 premiers entiers. Il y en a 6, i.e. 3!. Une inversion se produit lorsquun entier est plus grand que celui qui le suit dans une permuta-tion. Le nombre total dinversions se dtermine de la faon suivante. Soit une suite de n entiers {j1, j2, ..., jn}; trouver le nombre dentiers qui sont la fois infrieurs j1 et qui le suivent dans la suite; trouver le nombre dentiers qui sont la fois infrieurs j2 et qui le suivent dans la suite; procder de la mme faon avec j3, ..., jn-1. additionner tous ces nombres ; ils constituent le nombre total dinversions.

Dfinition Pour une matrice A n n, son dterminant est le nombre scalaire obtenu en calcu-lant lexpression suivante :

( )=

+

=

===

n

1i

1i1i

n

1i1i 1aa)det( i1i1 MCAA ...(3.15)

Thorme 1 Le dterminant dune matrice A n n peut se calculer par un dveloppement en co-facteurs suivant nimporte quelle ligne ou nimporte quelle colonne. Ainsi

suivant la ligne i : ( ) =

=

n

1jijadet ijCA ...(3.16)

suivant la colonne j : =

=

n

1iija)Adet( ijC ...(3.17)


3-6

Exemple : Trouver le nombre total dinversion dans la permutation suivante {6, 1, 3, 4, 5, 2}. Solution : Le nombre dinversions est : 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8.

Permutation paire : nombre pair dinversions Permutation impaire : nombre impair dinversions Produit lmentaire de A : produit de n lments de A dont aucun ne se trouve dans la mme ligne ou la mme colonne que les autres.

Ds lors, le dterminant de A est la somme de tous ses produits lmentaires affects dun signe algbrique + ou selon que le nombre dinversions des indices des lignes ou des colonnes soit

pair ou impair respectivement.

Exemple : Considrons le dterminant de la matrice A 3 3.

Solution : Produit lmentaire Permutation (colonnes) Pair ou impair Prod. lment. avec signe

a11a22a33

a11a23a32

a12a21a33

a12a23a31

a13a21a32

a13a22a31

(1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1)

Pair

Impair

Impair

Pair

Pair

Impair

a11a22a33

a11a23a32

a12a21a33

a12a23a31

a13a21a32

a13a22a31

Un dterminant peut aussi se dfinir comme la somme de tous les produits lmentaires avec

signe algbrique de la matrice A n n .

Thorme 2 Le dterminant dune matrice triangulaire A est le produit des termes de la diagonale principale.


3-7

3.2 Proprits des dterminants 3.2.1 Oprations sur les lignes

Exemple : Calculer det(A) pour la matrice

=

071982

241A .

Solution : La stratgie consiste ramener A so

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Algèbre linéaire