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MPSI / PCSI 1re ANNÉECet ouvrage, tout en couleur, développe une approche originale et
approfondie du programme d’algèbre de première année desclasses préparatoires.
• Cet ouvrage est destiné aux élèves de CPGE scientifiques de première année.Il permet de revisiter le cours de mathématiques de façon imagée.
• Le texte écrit dans un style clair et détaillé permet à tous les étudiants, quelque soit leur niveau, de suivre pas à pas les démonstrations. De nombreuses figures facilitent la compréhension des notions abordées.
• En fin de chapitre, des exercices et des problèmes de synthèse corrigés de façontrès détaillée permettent de vérifier les acquis et de s'entraîner dans l'optique desconcours.
• Des repères historiques accompagnent la progression : des théorèmes et résultats sont datés, des sources sont indiquées et des notices biographiquesévoquent les faits marquants de la vie de mathématiciens cités.
• L'ouvrage propose des compléments destinés aux lecteurs souhaitant un approfondissement du programme officiel.
L'ouvrage intéressera également les étudiants de licence ainsi que les candidatsau CAPES et à l'agrégation. AL
GÈBRE
NICOLAS BASBOISPIERRE ABBRUGIATI
ISBN : 978-2-8041-8180-2
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9782804181802 www.deboeck.com
Nicolas Basbois, ancien élève de l'École normale supérieure de Cachan, est professeuragrégé de mathématiques en MPSI à l'Institut Stanislas de Cannes.
Pierre Abbrugiati est professeur agrégé de mathématiques en MPSI au lycée AlphonseDaudet de Nîmes.
Collection dirigée par Olivier Rodot
MPSI / PCSI
COURSEXERCICES CORRIGÉS
ALGÈBRE
< Dans la même collection
Conformeaux nouveauxprogrammes 2013
ANALYSE
COURSEXERCICES CORRIGÉS
GILLES COSTANTINI
1re ANNÉEMPSI / PCSI
Conformeaux nouveauxprogrammes 2013
+ Conforme aux nouveaux programmes 2013+ Plus de 100 exercices et 12 problèmes
de synthèse intégralement corrigés+ Texte abondamment illustré
pour faciliter la compréhension+ Tout en couleur
LES
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N. B
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PREALGE1 ALGEBRE-Orange_Mise en page 1 02/09/13 14:18 Page1
ALGèBRE
PREALGE1-pgeTitre.indd 1 3/09/13 09:38
Collection Prépas Sciences
Dirigée par Olivier RODOt
BasBOis N. et aBBRugiati P., algèbre. 1re année
COstaNtiNi g., analyse. 1re année
RODOt O., analyse. 2e année
JaN C., Mathématiques. une approche imagée et synthétique. 2e éd.
PREALGE1-pgeTitre.indd 2 3/09/13 09:38
ALGèBRE
NICOLAS BASBOISPIERRE ABBRUGIATI
PREALGE1-pgeTitre.indd 3 3/09/13 09:38
© De Boeck Supérieur s.a., 2013 Rue des Minimes 39, B-1000 Bruxelles
Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par pho-
tocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.
Imprimé en Belgique
Dépôt légal : Bibliothèque nationale, Paris : septembre 2013 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2013/0074/172 ISBN : 978-2-8041-8180-2
Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web: www.deboeck.com
PREALGE1-pgeTitre.indd 4 3/09/13 09:38
Avant-propos
Cet ouvrage traite d’algèbre et d’algèbre linéaire, avec pour fil directeur les nouveaux
programmes des classes préparatoires mpsi et pcsi qu’il suit scrupuleusement. Il s’agit
d’un cours complet et détaillé, et les auteurs se sont efforcés d’en faire un traité autonome,
bien qu’ils n’hésitent pas à illustrer parfois certains résultats à l’aide d’exemples issus de
l’analyse. Une centaine d’exercices, ainsi que douze problèmes de synthèse, intégralement
corrigés, sont répartis en fin de chaque chapitre. Les auteurs ont essayé de trancher avec le
style austère habituellement utilisé dans ce type d’ouvrage : ils ont fait leur possible pour
introduire avec beaucoup de soin les concepts, les illustrer par de multiples exemples,
et en proposer de nombreuses applications. Ce choix pédagogique semble le plus adapté
au public d’aujourd’hui, comme les auteurs l’ont constaté dans leurs propres expériences
d’enseignement.
Bien que s’adressant en premier chef aux élèves de classe préparatoire, ce livre, par son
traitement approfondi des notions les plus fondamentales en algèbre, s’adresse plus gé-
néralement à tout étudiant de premier cycle, ou préparant des concours d’enseignement.
Il est important de disposer d’un cours profond qui puisse servir de référence, et aussi
de le travailler convenablement : les exemples peuvent et doivent être cherchés en direct,
au plus grand profit du lecteur, et c’est bien pourquoi ils sont proposés en quantité. Les
premiers chapitres posent des bases saines qui permettront au lecteur de disposer des
méthodes de raisonnement et des outils logiques importants pour réellement comprendre
les suivants ; c’est un appui solide pour les étudiants.
Dans la mesure du possible, les auteurs ont essayé de remettre les résultats de l’ouvrage
dans leur contexte historique. Les mathématiques ont une histoire, et celle-ci est éclai-
rante pour comprendre les concepts ayant émergé à l’issue d’un long processus. Ainsi, les
chapitres sur lesquels le programme met l’accent comptent en général une introduction
historique conséquente, du fait de l’importance historique des problèmes abordés et de
la richesse des réflexions qu’ils ont engendrées : les auteurs ont alors évité de traiter
le sujet de manière trop superficielle, à l’attention des lecteurs les plus intéressés par
les considérations historiques. Plus généralement, l’ensemble du livre est émaillé d’indi-
cations historiques : notices biographiques, références à des articles mathématiques ou
historiques, datation de certains théorèmes et exemples issus d’ouvrages d’époque. Cer-
taines notes historiques peuvent se révéler assez techniques ; le lecteur pourra alors y
revenir plus tard.
Cette part belle faite à l’histoire des mathématiques est une spécificité de cette collection.
Les chapitres sont structurés en sections (1., 2., ...), sous-sections (1.1, 1.2, ..., 2.1, 2.2,
...), et épisodiquement en paragraphes (1.1.a., 1.1.b., ...). Les numérotations des défini-
tions, propositions, etc., sont internes à chaque chapitre. Les programmes des classes de
mpsi et de pcsi se distinguent parfois, et certaines notions n’apparaissent que dans les
programmes de l’une ou l’autre. Ceci est indiqué précisément dans le corps de l’ouvrage,
à l’aide des balises MPSI et PCSI. L’évocation de certains approfondissements, non
explicitement au programme, a été parfois nécessaire : la balise Complément permet
de les repérer.
Un chapitre d’algèbre n’est pas traité dans ce livre, c’est le chapitre Espaces Euclidiens,
qui est relatif à l’algèbre bilinéaire. Le lecteur pourra trouver ce chapitre intégralement
traité dans C. Antonini, Algèbre. 2e année, De Boeck (2013), ce qui s’explique par le fait
que ce chapitre est intégralement repris dans les programmes de seconde année de cpge.
Les auteurs, soucieux de l’unité de la collection à laquelle cet ouvrage appartient, ont
préféré limiter les redites.
Remerciements
Nous commençons par remercier Fabrice Chrétien des éditions de Boeck pour l’oppor-
tunité qu’il nous a offerte avec ce projet. Notre reconnaissance va évidemment à Olivier
Rodot, directeur de la collection et auteur de l’ouvrage d’analyse de seconde année, pour
son soutien, ses conseils et critiques avisés et sa grande disponibilité. Merci également à
Gilles Costantini, rédacteur de l’ouvrage d’analyse de première année, pour son soutien
également, et ses conseils. Nous exprimons notre gratitude à François Pantigny qui s’est
chargé des espaces colorimétriques et des fonds perdus. Enfin, nous remercions pour leur
relecture attentive et leurs commentaires avisés Sébastien Duchâtel et Marie-Pierre Lo-
renzi. Nous sommes infiniment redevables à Ioana Paşca pour son investissement à nos
côtés, et à Christophe Antonini pour sa disponibilité sans failles et tout le profit que l’on
a pu tirer de ses compétences.
Nicolas et Pierre
Je profite de cette page pour remercier vivement Michel Schweitzer, qui m’a été d’une
aide précieuse pour ma première année d’enseignement en cpge. J’adresse un salut ami-
cal à mes collègues, qui m’ont encouragé et ont suivi l’avancée de mon projet. Enfin je
ne dirai jamais assez merci à mes amis et à mes proches, en particulier ma mère, dont le
soutien a été tellement important. Et j’adresse une pensée à mon père, qui reste présent
à mes côtés.
Nicolas
J’aimerais profiter de ces quelques lignes pour remercier Jérôme Isaia qui, dix ans après
m’avoir donné le goût des mathématiques alors qu’il était notre enseignant en mpsi, m’a
guidé avec sagesse alors que je débutais dans l’enseignement en classe préparatoire. Je
remercie vivement mes proches de m’avoir supporté, dans tous les sens du terme, pen-
dant l’écriture de cet ouvrage. Je pourrais remercier tout particulièrement Ioana Paşca
pour son support moral durant la rédaction de ce livre, mais cela ne serait pas correct ;
la vérité est qu’elle a très largement participé à cette rédaction.
Pierre.
Table des matières
1 Rudiments de rédaction mathématique
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Énoncés et expressions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1 Énoncés mathématiques : définition et exemples . . . . . . . . . . 1
2.2 Formalisme symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Principes élémentaires de rédaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Remarques préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Schémas simples de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Analyse - Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Exemples de raisonnements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 Raisonnement par contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Raisonnement par disjonction des cas . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Logique, ensembles, applications, relations
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1 Logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Énoncés quantifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Le paradoxe de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Deux méthodes de définition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . 52
ii TABLE DES MATIÈRES
3.3 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Opérations sur P(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1 Définition et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Structure catégorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Images directes et réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 Indicatrice d’une partie d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6 Familles et opérations sur les familles d’ensembles . . . . . . . . . 95
5 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.1 Définition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Relations fonctionnelles et totales - Complément . . . . . . . . . 102
5.3 Relations d’équivalence et relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . 103
6 Ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.1 Majorant et minorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2 Plus grand élément et plus petit élément . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3 Entiers naturels et récurrences
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2 Propriété du bon ordre et premières applications . . . . . . . . . . . . . . 133
2.1 Propriété fondamentale de N - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.2 Division euclidienne dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.3 Théorème de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3 Variations sur la récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.1 Démonstrations par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2 Définitions par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
TABLE DES MATIÈRES iii
4 Nombres complexes
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.1 Une construction des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.2 Forme algébrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.3 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.4 Affixe et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.5 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.6 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3 Trigonométrie et nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . 180
3.1 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.2 Formulaire de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.3 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.4 Forme trigonométrique et arguments d’un nombre complexe . . . . 198
3.5 Exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4 Équations polynomiales du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.1 Équation à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.2 Équation à coefficients complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.3 Relations coefficients-racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5 Racines n-ièmes d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1 Racines n-ièmes dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.2 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.3 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 216
6 Applications des complexes à la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.1 Rotations et mesures d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.2 Similitudes du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5 Arithmétique dans Z
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
1.1 Des origines lointaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
1.2 Le théorème fondamental de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . 239
2 Divisibilité et congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
2.1 Diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
2.2 Congruences - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
2.3 Division euclidienne et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
iv TABLE DES MATIÈRES
3 Factorisation d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.1 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.2 Lemme d’Euclide et applications - MPSI . . . . . . . . . . . . . . 257
3.3 Théorème fondamental de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . 261
3.4 Valuations d’un entier - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4 PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.1 PGCD de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.2 Coefficients de Bézout - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
4.3 Nombres premiers entre eux - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.4 PPCM de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
4.5 PGCD de plusieurs entiers - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5 Exercices corrigés - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6 L’espace Rn
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
2 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
2.1 Représentations d’un vecteur pour n ∈ {1, 2, 3} . . . . . . . . . . 314
2.2 Axiomes d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
2.3 Base canonique de Rn, bases de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
3 Structure affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
3.1 Représentation d’un point pour n ∈ {1, 2, 3} . . . . . . . . . . . . 323
3.2 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
3.3 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7 Systèmes linéaires
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
1.2 Un problème antique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
1.3 Le symbolisme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
1.4 La notion de systèmes équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
2 Les systèmes 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
2.1 Résolution par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
2.2 Résolution par combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 338
2.3 Déterminant d’un système 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
3 Systèmes 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
TABLE DES MATIÈRES v
3.1 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
3.2 Déterminant d’un système 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
4 Systèmes de Cramer - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
5 Systèmes p × n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
5.1 Systèmes non carrés avec p = 2 ou n = 2 . . . . . . . . . . . . . . 360
5.2 Systèmes échelonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.3 Algorithme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
5.4 Systèmes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
8 Structures algébriques
1 Introduction - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
2 Structures - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
2.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
2.2 Propriétés des lois de composition internes . . . . . . . . . . . . . . 389
2.3 Éléments symétrisables pour une loi . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
2.4 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
2.5 Règles de calcul dans un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
2.6 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
2.7 Règles de calcul dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
2.8 Divisibilité dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
2.9 Inversibles dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
2.10 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
2.11 Espaces vectoriels sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
2.12 Algèbre (unitaire, sur un corps) - Complément . . . . . . . . . . 415
3 Sous-structures et morphismes - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
3.1 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
3.2 Morphismes de groupes - Complément . . . . . . . . . . . . . . . 420
3.3 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
3.4 Structure catégorielle - Complément . . . . . . . . . . . . . . . . 427
4 Exercices corrigés - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
9 Calcul matriciel
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
2 Espace vectoriel Mp,q(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
2.1 Matrices à p lignes et q colonnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
vi TABLE DES MATIÈRES
2.2 Opérations sur Mp,q(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
2.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
3 Anneau Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
3.1 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
3.2 Anneau des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
3.3 Éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
3.4 Sous-algèbres remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
4 Puissances de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
4.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
4.2 Matrices nilpotentes - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
4.3 Méthodes de calcul d’une puissance de matrice . . . . . . . . . . . 469
4.4 Suites récurrentes linéaires mutuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
4.5 Suites récurrentes linéaires multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
4.6 Une application en probabilités - Complément . . . . . . . . . . 480
5 Trace - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
5.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
5.2 Propriété fondamentale de la trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
6 Étude plus complète de M2(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
6.1 Déterminant d’une matrice 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
6.2 Matrices 2 × 2 inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
6.3 Sous-groupes remarquables de GL2(K) . . . . . . . . . . . . . . . 489
7 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
10 Polynômes et fractions rationnelles
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
2 Opérations sur les polynômes et structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
2.1 L’espace vectoriel K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
2.2 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
2.3 Produit de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
2.4 Applications polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
2.5 Composition de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
3 Divisibilité dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
3.1 Divisibilité des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
3.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
4 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
4.1 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
TABLE DES MATIÈRES vii
4.2 Polynôme dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
4.3 Racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
4.4 Relations entre coefficients et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
5 Arithmétique dans K[X] - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
5.1 PGCD de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
5.2 Coefficients de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
5.3 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
5.4 PPCM de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
5.5 PGCD de plusieurs polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
6 Factorisation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
6.1 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
6.2 Factorisation sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
6.3 Factorisation sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
7 Fractions rationnelles - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
7.1 Définition et structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
7.2 Degré d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
7.3 Racines et pôles d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . 564
7.4 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
7.5 Méthodes de D.E.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
8 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
11 Espaces Vectoriels
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
1.1 L’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
1.2 Un nouveau traitement de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . 591
1.3 L’apport de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
1.4 La part des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
1.5 L’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
1.6 Synthèse historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
1.7 Notations et terminologie du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . 597
2 Familles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
2.1 Familles et combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
2.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
2.3 Liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
2.4 Caractère générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
2.5 Bases, bases canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
viii TABLE DES MATIÈRES
3 Opérations sur les K-ev et sur les sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
3.1 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
3.2 Produits de K-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
3.3 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 617
3.4 Espaces vectoriels engendrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
3.5 Sommes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
3.6 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
3.7 Supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
12 Espaces vectoriels de dimension finie
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
1.1 Le langage de la dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
1.2 Les espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 650
1.3 L’évolution des concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
2 Le problème de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
3 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
3.2 Deux principes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
3.3 Le théorème de la base incomplète . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
4 Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . 660
4.1 Unicité du cardinal d’une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
4.3 Morphisme de décomposition dans une base . . . . . . . . . . . . . 666
5 Familles en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
5.1 Familles libres, familles génératrices, bases . . . . . . . . . . . . . . 669
5.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
5.3 Familles échelonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
6 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684
6.1 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684
6.2 Supplémentaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
6.3 Hyperplans en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
6.4 La formule de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
7 Exemples et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
7.1 Systèmes linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
7.2 Suites récurrentes linéaires d’ordre 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . 702
TABLE DES MATIÈRES ix
7.3 Équations différentielles linéaires homogènes d’ordre 1 et 2 . . . . 710
8 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
13 Applications linéaires
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
2 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
2.1 Définitions - Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
2.2 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730
2.3 (Co)restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
2.4 Stabilité par combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734
2.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734
2.6 Groupe linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738
3 Propriété fondamentale et théorème d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . 739
3.1 Exemple de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739
3.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740
3.3 Définition par restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
3.4 Théorème d’isomorphisme - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745
4 Noyau, image et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745
4.1 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745
4.2 Équation d’un hyperplan - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
4.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
5 Endomorphismes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755
5.1 Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755
5.2 Endomorphismes nilpotents - Complément . . . . . . . . . . . . 757
5.3 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758
5.4 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
6 Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770
6.1 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770
6.2 Caractérisation de l’{in/sur/bi}jectivité par le rang . . . . . . . . . 773
7 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774
14 Matrices associées à une application linéaire
1 Définitions - Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787
1.1 Matrices associées à une famille finie de vecteurs de F . . . . . . . 787
1.2 Matrices associées à une application linéaire . . . . . . . . . . . . . 789
1.3 Endomorphismes remarquables dans des bases remarquables . . . 791
x TABLE DES MATIÈRES
2 Isomorphismes structurels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
2.1 Bijection ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
2.2 Matrices d’une combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
2.3 Matrices d’une évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797
2.4 Matrices d’une composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799
2.5 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802
3 Application à l’étude de E∗ - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
3.1 Compléments sur les équations d’hyperplans . . . . . . . . . . . . 804
3.2 Définition d’un sous-espace de dimension q − m . . . . . . . . . . 805
4 Applications au calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
4.1 Inversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
4.2 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808
4.3 Noyau et image d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809
5 Équivalence et similitude - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810
5.1 Matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810
5.2 Représentants canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812
5.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814
5.4 Application à la trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . 815
6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
15 Sous-espaces affines
1 Généralités - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825
1.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825
1.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826
1.3 Repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834
1.4 L’exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836
2 Exemples classiques de sous-espaces affines - MPSI . . . . . . . . . . . . 838
2.1 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838
2.2 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838
2.3 Suites récurrentes affines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840
3 Barycentres - Complément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842
3.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842
3.2 Convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847
4 Exercices corrigés - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850
TABLE DES MATIÈRES xi
16 Opérations élémentaires sur les matrices
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859
2 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860
2.1 Traduction d’une opération élémentaire sur les lignes . . . . . . . . 860
2.2 Traduction d’une opération élémentaire sur les colonnes . . . . . . 863
2.3 Relations d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864
3 Applications de l’algorithme du pivot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
3.1 Échelonnement d’une matrice - PCSI . . . . . . . . . . . . . . . . 866
3.2 Inversion d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871
3.3 Calcul du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877
3.4 Détermination d’une décomposition P JrQ - MPSI . . . . . . . . 879
3.5 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
4 Retour sur les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882
4.1 Traduction matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882
4.2 Structure de l’ensemble des solutions et rang d’un système . . . . . 884
4.3 Systèmes à solution unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893
17 Groupe symétrique et déterminants
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903
2 Groupe symétrique - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
2.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
2.2 Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906
2.3 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911
3 Une approche des déterminants dans le plan et dans l’espace . . . . . . . 915
3.1 Dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
3.2 Dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918
4 Applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920
4.1 Définition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921
4.2 Applications multilinéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . 923
4.3 Antisymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924
5 Déterminant d’une famille de n vecteurs dans une base . . . . . . . . . . 926
5.1 Expression d’une forme n-linéaire alternée . . . . . . . . . . . . . . 926
5.2 Déterminant dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928
5.3 Retour sur les dimensions 2 et 3 et orientation d’un R-ev . . . . . 932
6 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934
xii TABLE DES MATIÈRES
7 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
7.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
7.2 Déterminants de matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . 939
8 Méthodes de calculs des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
8.1 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
8.2 Déterminant de Vandermonde - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . 944
8.3 Développement par rapport à une ligne ou une colonne . . . . . . 947
9 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952
CHAPITRE 1
Rudiments derédaction
mathématique
1 Introduction
L’objectif de ce chapitre est double :
• Présenter certaines techniques de raisonnement très utiles et que l’on utilisera tout au
long de l’ouvrage.
• Donner des éléments de langage élémentaires concernant la rédaction d’une démons-
tration.
2 Énoncés et expressions mathématiques
2.1 Énoncés mathématiques : définition et exemples
Le lecteur sait qu’en mathématiques on s’intéresse à certains types d’objets (nombres,
fonctions, ensembles, vecteurs...). On en définira précisément quelques-uns dans les cha-
pitres qui suivent. Pour l’instant, on part du principe que le lecteur a déjà rencontré des
concepts mathématiques et on donne la définition informelle suivante :
2 Chapitre 1. Rudiments de rédaction mathématique
Définition 1 (informelle)
Un énoncé mathématique (ou proposition mathématique) est un énoncé portant sur
certaines propriétés de certains objets ou concepts mathématiques.
Exemples 1
1. Le nombre 3 est un nombre impair.
2. Le nombre réel π est irrationnel.
3. La fonction exponentielle est une fonction continue de l’ensemble des réels vers l’en-
semble des réels.
4. Tout entier naturel est pair ou impair.
5. Dans tout triangle non aplati, les trois médiatrices sont concourantes.
6. Si 6 divise l’entier n, alors n est pair.
7. L’entier n est pair si et seulement si l’entier n + 1 est impair.
Les énoncés mathématiques des exemples 1 partagent tous un point commun : ils sont
vrais. On pourrait très facilement produire des énoncés mathématiques faux, mais les
auteurs ont fait leur possible pour s’en garder dans cet ouvrage1, sauf pour indiquer
explicitement qu’ils sont faux2.
Les deux derniers énoncés des exemples 1 partagent un point commun qu’ils ne partagent
pas avec les 5 premiers : ils comportent une variable libre. On reviendra en détail sur cette
notion dans le paragraphe 2.2.d, mais on peut déjà constater que la lettre n est utilisée
pour désigner un entier non spécifié dans ces deux énoncés. Lorsqu’un énoncé comporte
des variables libres, sa valeur de vérité peut dépendre de l’affectation des variables libres.
On utilisera dans ce chapitre les lettres P et Q pour désigner des énoncés quelconques.
Lorsqu’il est possible qu’une variable libre v apparaisse dans un énoncé, on pourra noter
ce dernier P (v) pour bien insister sur le rôle de cette variable.
2.2 Formalisme symbolique
Les énoncés des exemples 1 sont écrits en langue naturelle. C’est encore la meilleure
manière de les rendre clairs. Néanmoins, on sera parfois amené, au cours d’une démons-
1. Voir le conseil 22. Voir aussi la sous-section 4.3
2 Énoncés et expressions mathématiques 3
tration, à enchaîner une longue succession d’énoncés mathématiques en lien les uns avec
les autres : la langue française3 montre alors ses limites. On utilise alors le formalisme
symbolique dont la grande vertu est d’être plus synthétique. Dans les sous-sections qui
suivent, on présente atome par atome ce formalisme, mais on prendra garde qu’on ne
devrait pas mélanger langue naturelle et formalisme mathématique dans un
même énoncé. Dans l’idéal, lorsqu’on utilise le formalisme symbolique pour écrire un
énoncé, on devrait l’utiliser exclusivement ; et lorsqu’on écrit un énoncé en langue natu-
relle, il devrait être exclu d’en écrire une petite partie à l’aide du formalisme symbolique.
Pour des raisons de clarté et de lourdeur, il n’est pas toujours possible d’observer scupu-
leusement cette règle, mais les auteurs ont essayé de s’y tenir autant que possible.
a. Appartenance et inclusion
Notation 1
L’appartenance (d’un objet mathématique à un ensemble) est dénotée par le symbole ∈.
a ∈ A se lit « a appartient à A » et signifie que l’élément a appartient à l’ensemble A.
Exemple 2
L’énoncé n ∈ Z se lit « n est un entier relatif ».
En s’appuyant sur des notations que nous n’avons pas présentées, mais qui sont sans doute
connues du lecteur, on peut aussi traduire en formalisme symbolique certains énoncés des
exemples 1, dont beaucoup peuvent être interprétés en terme d’appartenance.
Exemples 3
1. L’énoncé de l’exemple 1.2 peut s’écrire « π ∈ R \Q ».
2. L’énoncé de l’exemple 1.1 peut s’écrire « 3 ∈ 2N + 1 ».
3. L’énoncé de l’exemple 1.3 peut s’écrire « exp ∈ C(R,R) ».
Il est entendu dans les exemples 3 que R \ Q dénote l’ensemble des réels irrationnels,
que 2N + 1 dénote l’ensemble des entiers naturels impairs, que exp dénote la fonction
exponentielle et que C(R,R) dénote l’ensemble des fonctions continues de R dans R. On
revient sur les deux premières notations dans le chapitre 2.
Notation 2
Lorsqu’il n’est pas vrai qu’un objet mathématique a appartient à un ensemble A, c’est-
à-dire lorsque a n’appartient pas à A, on note « a /∈ A ».
3. Ou toute autre langue.
4 Chapitre 1. Rudiments de rédaction mathématique
Exemple 4
L’énoncé « π n’est pas rationnel » peut se réécrire « π /∈ Q ».
Remarque 1
Les ensembles sont eux mêmes des objets mathématiques ! On peut donc être amené à
écrire une expression de la forme « a ∈ A », où a est lui-même un ensemble ! Exemples :
• L’énoncé « N ∈ {7, exp,N} » signifie que l’ensemble N est un élément de l’ensemble
{7, exp,N}. L’ensemble {7, exp,N} est, par définition, un ensemble à trois éléments qui
sont l’entier 7, la fonction exponentielle, et l’ensemble N.
• En notant I l’ensemble de tous les intervalles de R, on a [0, 1[∈ I.
Attention pour autant à ne pas confondre appartenance et inclusion : l’ensemble N n’ap-
partient pas à R, l’intervalle [0, 1[ n’appartient pas à l’intervalle [0, 1]. Autrement dit
on a N /∈ R (l’ensemble des entiers naturels n’est pas un nombre réel) et de même
[0, 1[/∈ [0, 1] (aucun élément de [0, 1] n’est un intervalle !).
Définition 2
On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsque tous les éléments
de A sont des éléments de B : ∀x ∈ A, x ∈ B.
On le note A ⊂ B (voire éventuellement B ⊃ A).
Exemples 5
1. On a N ⊂ R.
2. On a [0, 1[⊂ [0, 1].
Remarque terminologique :
• Pour indiquer qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B, on pourra aussi bien
écrire que B contient A.
• Pour indiquer qu’un élément a appartient à un ensemble A, on pourra aussi bien écrire
que A comprend a.
b. Connecteurs logiques
Notations 3
Les connecteurs logiques sont les symboles ⇒, ∧, ∨, ¬, ⇔.
• Le connecteur ⇒ dénote l’implication. Si P et Q sont des énoncés mathématiques,
P ⇒ Q se lit « P implique Q » ou « si P alors Q ».
2 Énoncés et expressions mathématiques 5
• Le connecteur ∧ dénote la conjonction (le « et »). Si P et Q sont des énoncés mathé-
matiques, P ∧ Q se lit « P et Q ».
• Le connecteur ∨ dénote la disjonction (le « ou »). Si P et Q sont des énoncés mathé-
matiques, P ∨ Q se lit « P ou Q ».
• Le connecteur ⇔ dénote l’équivalence logique. Si P et Q sont des énoncés mathéma-
tiques, P ⇔ Q se lit « P équivaut à Q » ou « P si et seulement si Q ».
• ¬ dénote la négation. Si P est un énoncé mathématique, ¬P se lit « non P ».
Remarque 2
Les symboles ∧ et ∨ sont surtout utilisés pour des formules propositionnelles (voir cha-
pitre 2). Dans tout autre énoncé mathématique, on pourra aussi bien utiliser les mots
« ou » et « et » qui sont tout aussi synthétiques et moins surchargés4.
Par exemple, on pourra écrire « a ∈ A ou a /∈ A » plutôt que « a ∈ A ∨ a /∈ A ».
Exemple 6
Les énoncés a /∈ A et ¬(a ∈ A) sont identiques : dans les deux cas ils se lisent « a
n’appartient pas à A ».
Exemples 7
1. En notant 6N l’ensemble des entiers naturels qui sont divisibles par 6 et 2N l’ensemble
des entiers pairs, l’énoncé de l’exemple 1.6 peut s’écrire « n ∈ 6N ⇒ n ∈ 2N »
2. Avec les notations déjà introduites, l’énoncé de l’exemple 1.7 peut s’écrire ainsi :
« n ∈ 2N ⇔ n + 1 ∈ 2N + 1 ».
Rappelons qu’en mathématique, le « ou » est inclusif. Par exemple, l’énoncé de
l’exemple 1.4 n’exprime pas qu’il n’existe pas d’entier simultanément pair et
impair, mais seulement qu’il n’existe pas d’entier qui ne soit ni pair ni impair.
4. Un symbole est dit surchargé lorsqu’il a plusieurs dénotations, le contexte permettant en pratiquede lever les éventuelles ambiguïtés. Par exemple, on verra dans le chapitre 5 que le symbole ∧ peut aussidésigner le pgcd, alors que le symbole ∨ peut aussi désigner le ppcm. Ces symboles sont donc surchargés.
6 Chapitre 1. Rudiments de rédaction mathématique
Comme on va le voir en détail dans les exemples de la section 3.2, l’implication
n’indique pas la causalité : un énoncé de la forme « P implique Q » signifie
simplement qu’on peut, par une suite de déductions logiques, montrer que Q est
vrai en supposant que P est vrai. Par exemple, l’énoncé suivant est vrai :
« S’il existe une infinité de couples de la forme (p, p + 2), avec p et p + 2
premiers, alors√
2 est irrationnel. »
En effet, on verra plus bas qu’on peut montrer que√
2 est irrationnel, donc on
peut en particulier le montrer en faisant l’hypothèse qu’il existe une infinité de
couples de la forme (p, p + 2), avec p et p + 2 premiers (il suffit de ne pas utiliser
cette hypothèse).
Remarque 3
Introduisons ici un peu de terminologie. Lorsqu’une implication P ⇒ Q est vraie, on ira
que Q est une condition nécessaire de P ou que P est une condition suffisante de Q. En
effet, dire que P implique Q, c’est dire qu’il suffit d’avoir P pour observer Q, et c’est
aussi dire qu’il est nécessaire d’avoir Q pour pouvoir observer P (si on n’a pas Q, on est
certain de ne pas avoir P puisque P implique Q).
On revient sur la sémantique précise des connecteurs logiques de façon plus technique
dans le chapitre 2, p. 42 et suivantes.
Introduisons un peu de terminologie concernant les implications, car celle-ci sera utile
dans la sous-section 4.1.
Définition 3
Étant donné une implication P ⇒ Q, on appelle
1. contraposée de P ⇒ Q l’énoncé ¬Q ⇒ ¬P ;
2. réciproque de P ⇒ Q l’énoncé Q ⇒ P .
On notera bien qu’on ne peut donc parler de contraposée ou de réciproque d’un énoncé
que lorsque cet énoncé est une implication.
Exemples 8
1. La contraposée de l’énoncé « si 6 divise l’entier n, alors n est pair » est l’énoncé « si
n n’est pas pair, alors 6 ne divise pas n ». Ici l’énoncé de départ était vrai, et sa
2 Énoncés et expressions mathématiques 7
contraposée est vraie également : on verra dans la sous-section 4.1 que cela n’a rien
d’un hasard.
2. La réciproque de l’énoncé « si 6 divise l’entier n, alors n est pair » est l’énoncé « si n
est pair, alors 6 divise n ». Ici la réciproque n’est pas vraie, alors que de l’énoncé de
départ était vrai.
3. On peut s’amuser à considérer la contraposée de la réciproque de P ⇒ Q. Il s’agit de
l’énoncé ¬P ⇒ ¬Q et c’est aussi la réciproque de la contraposée de P ⇒ Q !
c. Quantificateurs
Notations 4
Les quantificateurs sont les symboles ∀, ∃, ∃!.
• Le symbole ∀ dénote la quantification universelle et se lit « pour tout » ou « quel que
soit ». Si P (x) est un énoncé mathématique, l’énoncé ∀x ∈ A, P (x) se lit « pour tout
x appartenant à A, on a P (x) ».
• Le symbole ∃ dénote la quantification existentielle se lit « il existe ». Si P (x) est un
énoncé mathématique, ∃x ∈ A, P (x) se lit « il existe x appartenant à A tel qu’on ait
P (x) ».
• Le symbole ∃! se lit « il existe un unique ». Si P (x) est un énoncé mathématique,
∃!x ∈ A, P (x) se lit « il existe un unique x appartenant à A tel qu’on ait P (x) ».
Exemple 9
L’énoncé de l’exemple 1.4 peut s’écrire ∀n ∈ N, n ∈ 2N ou n ∈ 2N + 1.
L’énoncé de l’exemple 1.5 est aussi une quantification universelle, mais n’est pas facile à
être traduit en formalisme symbolique, et ne gagne rien à l’être.
Exemple 10
Considérons les trois énoncés suivants. Attention, ils ne sont pas tous les trois vrais.
i. ∀x ∈ R, sin(2πx) = 0 ;
ii. ∃x ∈ R, sin(2πx) = 0 ;
iii. ∃!x ∈ R, sin(2πx) = 0.
Sur cet exemple :
i. Le premier énoncé est faux : pour x =13
, on a sin(2πx) = sin(
2π3
)=
√3
2�= 0.
On renvoie le lecteur sceptique qui n’aurait pas en tête les valeurs remarquables des
fonctions trigonométriques au chapitre 4.
ii. Le deuxième énoncé est vrai car pour x = 0 on a bien sin(2πx) = sin(0) = 0.
8 Chapitre 1. Rudiments de rédaction mathématique
iii. Le troisième énoncé est faux car pour x = 1 on a sin(2πx) = sin(2π) = 0. L’égalité
est donc vérifiée pour au moins deux valeurs de x : il n’y a pas unicité.
Le premier énoncé ne doit pas être confondu avec l’énoncé ∀x ∈ Z, sin(2πx) = 0. Ce
dernier énoncé est vrai : cela résulte de la 2π-périodicité de la fonction sinus.
Remarque 4
On peut obtenir des énoncés mathématiques en emboîtant des quantifications, et consi-
dérer par exemple les énoncés :
1. ∀n ∈ N, ∃m ∈ N, n < m.
2. ∃m ∈ N, ∀n ∈ N, n < m.
Attention, le premier énoncé est vrai (il exprime qu’étant donné un entier, on peut
en trouver un autre qui soit plus grand) alors que le second est faux (il exprime
qu’il existe un entier plus grand que tous les autres). On touche du doigt dans
cet exemple le fait que deux quantifications de nature différente ne commutent
pas en général, ce qui est évident étant donné le sens des quantification5.
On peut évidemment, dans certains cas, être amené à emboiter de nombreuses quantifi-
cations.
d. Statut des variables dans les expressions et les énoncés
Dans les exemples évoqués jusqu’à présent, on a régulièrement désigné un objet ma-
thématique par une variable : une lettre, ou plus généralement un symbole, ou plus
généralement une succession de symboles, pourvu qu’elle reste atomique6. Examinons
les énoncés des exemples 1, à l’exception du 5-ième qui n’est pas facile à être traduit en
formalisme symbolique, et qui ne gagne rien à l’être.
1. 3 ∈ 2N + 1 ;
2. π /∈ Q ;
3. exp ∈ C(R,R) ;
4. ∀n ∈ N, n ∈ 2N ou n ∈ 2N + 1 ;
6. n ∈ 6N ⇒ n ∈ 2N ;
7. n ∈ 2N ⇔ n + 1 ∈ 2N + 1.
Les énoncés 1., 2. et 3. ne comportent pas de variable : certains objets sont bien désignés
par des lettres, symboles ou succession de symboles, comme 3, π et exp, mais ces symboles
5. On lira avec profit la remarque 6.6. Une lettre indicée comme a42 par exemple.
2 Énoncés et expressions mathématiques 9
dénotent des constantes mathématiques, qui sont bien déterminées.
Les énoncés 4., 6. et 7. comportent chacun exactement une variable : dans chaque cas,
cette variable est n ; on verra néanmoins dans la remarque 5.2 qu’on aurait pu nommer
différemment cette variable, du moins dans l’énoncé 4.
L’énoncé ∃x ∈ R, sin(2πx) = 0 de l’exemple 10.ii comporte lui aussi une unique variable :
cette variable est x. Les énoncés de la remarque 4 ont tous les deux deux variables : ces
variables sont m et n.
Pour autant, un objet mathématique n’est pas nécessairement dénoté par une variable
ou une constante mathématique, et le lecteur le sait bien : lorsqu’il lit une expression
de la forme x2 − 2x + 1, ou encore7 limx→+∞ f(x), il sait qu’il est question d’un objet
mathématique, sans que cet objet soit dénoté par une variable ou une constante. Plus
généralement, et en restant toujours très informel :
Définition 4 (informelle)Une expression mathématique est une expression qui dénote un objet mathématique.
Exemples 11
1. On peut considérer l’expression∫ b
a
f(t)dt.
2. On peut considérer l’expressionn∑
k=1
k qui dénote la somme 1 + 2 + · · · + n.
Notation 5
Une expression peut aussi dénoter un ensemble. Introduisons ici une notation importante :
lorsque P (a) est un énoncé mathématique pouvant éventuellement comporter a comme
variable libre, l’expression {a ∈ A, P (a)} désigne l’ensemble des éléments de A pour
lesquels l’énoncé P (a) est vrai 8. Par exemple :
1. L’expression {n ∈ N, ∃k ∈ N, n = 2k} désigne l’ensemble des entiers n pour lesquels
l’énoncé ∃k ∈ N, n = 2k est vrai : il s’agit à l’évidence des entiers pairs. On a donc,
avec les notations précédentes, 2N = {n ∈ N, ∃k ∈ N, n = 2k}.
2. L’expression{n ∈ N,
√2 /∈ Q
}désigne l’ensemble des entiers n pour lesquels l’énoncé
√2 /∈ Q est vrai. Mais cet énoncé ne dépend pas de n : il est vrai ! Il est donc vrai
pour tout entier n. On a ainsi{n ∈ N,
√2 /∈ Q
}= N.
7. Attention à cet exemple qui n’en est un que pour certaines valeurs de f . Ainsi limx→+∞
sin(x) n’est
pas une expression mathématique correcte car la fonction sinus n’a pas de limite en + ∞.
10 Chapitre 1. Rudiments de rédaction mathématique
Illustrons cette notation 5 à l’aide d’un autre exemple. On verra dans le chapitre 5 qu’un
entier naturel p est premier si et seulement s’il est plus grand que 2 et que tout entier qui
le divise est nécessairement égal à 1 ou p. En notant P l’ensemble des nombres premiers,
on peut ainsi écrire
P ={p ∈ N, p � 2 et
(∀d ∈ N, (∃k ∈ N, p = kd) ⇒ (d = 1 ou d = p)
)}.
Il est d’ailleurs possible sur le même principe de trouver d’autres expressions de cette
forme dénotant P , dont certaines plus simples. On invite le lecteur à en chercher.
À l’instar d’un énoncé, une expression mathématique peut comporter, ou pas, une ou
plusieurs variables. Les expressions des exemples 11 comportent tous des variables, mais,
par exemple, les expressions lim+∞ exp ou 1 + 2 + · · · + 100 n’en comportent pas.
Il convient de distinguer deux types de variables : les variables dites libres et les variables
dites liées (ou muettes). Donner une définition technique nous emmènerait trop loin, mais
on peut énoncer :
Définition 5 (informelle)
1. Une variable figurant dans un énoncé ou une expression est dite liée (ou muette)
lorsqu’elle est supportée par un ou plusieurs symboles qui l’introduisent manifes-
tement, dit symboles lieurs 9.
2. Lorsqu’une variable figurant dans un énoncé ou une expression n’est introduite par
aucun symbole, elle est dite libre.
Exemple 12
Les deux énoncés
6. n ∈ 6N ⇒ n ∈ 2N ;
7. n ∈ 2N ⇔ n + 1 ∈ 2N + 1.
ont exactement une variable qui, dans les deux cas, est n. Dans les deux cas, cette variable
n’est pas introduite, elle est libre.
Exemple 13
Les quantificateurs sont des symboles lieurs. Même lorsque la variable x est libre dans
l’énoncé P (x), elle devient liée (par le quantificateur considéré) dans les énoncés de la
forme ∀x ∈ A, P (x), ou ∃x ∈ A, P (x), ou ∃!x ∈ A, P (x). Ainsi, dans l’énoncé
8. On présente au chapitre 2 une notation alternative.9. On dit aussi symboles mutificateurs.
2 Énoncés et expressions mathématiques 11
4. ∀n ∈ N, n ∈ 2N ou n ∈ 2N + 1,
la seule variable est n. Elle est liée (par le quantificateur ∀).
Si on réécrit cet énoncé sous la forme ∀n ∈ N, (∃k ∈ N, n = 2k) ou (∃� ∈ N, n = 2� + 1),
on obtient un énoncé avec trois variables n, k et �, qui sont toutes les trois liées (n par
le premier ∀, k par le premier ∃, � par le second ∃).
Exemples 14
On connaît de nombreux symboles lieurs dans les expressions. En dresser une liste ex-
haustive ne serait ni possible, ni souhaitable, mais on peut reprendre quelques exemples :
1. Dans l’expression∫ b
a
f(t)dt, il y a quatre variables a, b, f et t.
Les variables a, b et f sont libres.
La variable t est liée (par∫
· · ·dt).
2. Dans l’expressionn∑
k=1
k, il y a deux variables : n et k.
La variable n est libre.
La variable k est liée (par le symbole∑
).
Bien sûr, si l’on considère l’énoncé 10 ∀n ∈ N,
n∑k=1
k =n(n + 1)
2, on considère un énoncé
dont les deux variables n et k sont toutes les deux liées.
3. Dans l’expression {n ∈ N, ∃k ∈ N, n = 2k}, il y a deux variables : n et k.
La variable k est liée (par le quantificateur ∃).
La variable n est liée (par { , }).
4. L’expression x → xn, qui désigne une application, comporte deux variables x et n.
La variable n est libre.
La variable x est liée (par →).
Remarques 5
1. Les variables liées sont finalement celles dont on pourrait se passer, quitte à rajouter
des constantes, comme l’illustre l’égalité 2N = {n ∈ N, ∃k ∈ N, n = 2k}. En parti-
culier, quand on sait réécrire un énoncé ou une expression qui comporte une variable
sans utiliser cette variable dans la réécriture, c’est que cette variable était liée. Ainsi :
a. La variable k est liée dans l’expressionn∑
k=1
k car cette expression peut se réécrire
1 + 2 + · · · + n et que k ne figure pas dans la seconde expression.
b. La variable x est liée dans l’expression limx→+∞ ex, car cette expression peut s’écrire
lim+∞ exp.
10. Cet énoncé est vrai ! Voir la bibliographie de Gauss dans le chapitre 8.
12 Chapitre 1. Rudiments de rédaction mathématique
2. Lorsqu’on renomme une variable liée dans un énoncé11 (respectivement une expres-
sion), on obtient un énoncé (respectivement une expression) que l’on peut considérer
comme identique. En particulier les expressionsn∑
k=1k et
n∑�=1
� sont identiques, les énon-
cés ∃x ∈ R, sin(2πx) = 0 et ∃y ∈ R, sin(2πy) = 0 sont identiques. Il y a néanmoins
certains usages purement conventionnels : on utilise habituellement des majuscules
pour des variables de type ensemble, les lettres x, y, t, . . . pour des variables de types
réel, les lettres k, m, n, p, q, r, . . . pour des variables de type entier, etc.
Terminons cette section sur une mise en garde très importante :
Remarque 6
Le formalisme ne se substitue ni au sens, ni à la pensée. Lorsqu’on écrit des
énoncés ou des expressions à l’aide du formalisme symbolique, on doit toujours
être capable de les énoncer littéralement.
3 Principes élémentaires de rédaction
La section précédente était consacrée aux énoncés mathématiques. Mais l’enjeu du dis-
cours mathématique n’est pas tant de produire des énoncés mathématiques que de les
démontrer rigoureusement. Pour cela, on s’est donné un ensemble de règles qu’il convient
de suivre : cela permet de s’assurer de la clarté de son raisonnement et de sa capacité à
être communiqué à d’autres.
3.1 Remarques préliminaires
Cette sous-section s’adresse principalement aux étudiants devant passer des épreuves
écrites d’examens ou de concours. Les auteurs se permettent de leur adresser trois conseils.
Conseil 1
Se conformer aux règles de rédaction prescrites.
Conseil 2
Éviter (par ordre de gravité) :
• les assertions inutiles ;
• les assertions fausses ;
• les assertions qui n’ont pas de sens.
11. L’opération consistant à renommer les variables liées est appelée α-conversion.
3 Principes élémentaires de rédaction 13
Conseil 3
Identifier le niveau de détail attendu par le correcteur.
S’il est demandé de montrer un résultat complexe, il ne faut pas hésiter à utiliser sans
démonstration des points de cours ou des résultats élémentaires. S’il est demandé de
montrer un point de cours ou un résultat élémentaire, il faut le faire. L’expression « c’est
évident » n’est jamais la réponse attendue à une question d’examen ou de concours.
3.2 Schémas simples de démonstration
a. Préliminaires sur l’égalité
Une famille d’énoncés fondamentale est la famille des énoncés de la forme e1 = e2 où
e1 et e2 sont des expressions mathématiques. Un même objet mathématique peut avoir
plusieurs écritures syntaxiquement différentes, comme 2 + 2 = 3 + 1, et il convient donc
d’apporter quelques précisions sur le sens de de la relation d’égalité.
Pour éclairer ce sens, exposons ici un principe dû à Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-
1716) le principe d’identité des indiscernables, et d’indiscernabilité des identiques, qu’on
appelera ci-dessous simplement loi de Leibniz. Formulé de façon moderne, ce principe
peut s’énoncer ainsi : dire qu’un objet a est égal à un objet b, c’est dire que, pour tout
énoncé P (x), on a P (a) ⇔ P (b).
On peut déjà, à l’aide de la loi de Leibniz, montrer que certaines égalités permettent d’en
obtenir d’autres. Voyons tout d’abord trois propriétés fondamentales de l’égalité entre
éléments d’un même ensemble A :
• Elle est réflexive : ∀a ∈ A, a = a.
En effet, pour tout énoncé P (x), on a bien P (a) ⇔ P (a).
• Elle est symétrique : ∀a ∈ A, ∀b ∈ A, a = b ⇒ b = a.
En effet, considérons l’énoncé P (x) suivant : « x = a ». Cet énoncé est vérifié par a
par réflexivité, c’est-à-dire qu’on a P (a). Supposons maintenant avoir a = b. D’après
la loi de Leibniz, on a donc P (b), c’est-à-dire b = a.
• Elle est transitive : ∀a ∈ A, ∀b ∈ A, ∀c ∈ A, a = b et b = c ⇒ a = c.
Supposons en effet a = b et b = c, et considérons l’énoncé P (x) suivant : « x = c ».
Par hypothèse on a P (b), mais comme a = b, on a b = a par symétrie, et d’après la loi
de Leibniz, on a aussi P (a), c’est-à-dire a = c.
La loi de Leibniz éclaire les manipulations algébriques que l’on peut faire sur les éga-
lités. Sachant que a et b appartiennent à un ensemble A et que l’on a a = b, on peut
déduire f(a) = f(b) pour toute application de source A. En effet, l’énoncé P (x) défini
14 Chapitre 1. Rudiments de rédaction mathématique
par « f(a) = f(x) » est vérifié par a par réflexivité, donc par b d’après la loi de Leib-
niz. En particulier, dans le cas où l’ensemble A est un ensemble de nombres, par exemple
l’ensemble des nombres réels, on obtient qu’on peut additionner, soustraire, ou multiplier
les deux membres d’une égalité, et qu’on obtient alors une égalité encore vraie : il suffit
de considérer des applications de la forme f = t → t + s, f = t → t − d, f = t → t × p.
On prendra garde qu’on vient seulement d’exposer comment obtenir des impli-
cations correctes entre égalités. Considérons un réel x pour lequel on a x = x2.
Cette égalité donne une information sur le réel x considéré 12. En multipliant
chaque membre par 0, on obtient l’égalité 0 = 0, qui ne donne plus aucune
information sur x.
Voyons maintenant comment obtenir des équivalences entre égalités portant sur des élé-
ments d’un ensemble de nombres, disons R. On admettra néanmoins les règles de calcul
connues du lecteur sur l’addition, la multiplication, la différence...
• on obtient un énoncé équivalent en ajoutant ou en soustrayant un même réel aux deux
membres de l’égalité ;
• on obtient un énoncé équivalent en multipliant ou en divisant par un même réel non
nul les deux membres de l’égalité ;
• on obtient un énoncé équivalent en appliquant une même application bijective13 aux
deux membres de l’égalité ;
• on peut appliquer une même application non bijective aux deux membres de l’égalité
mais on n’obtient pas alors un énoncé nécessairement équivalent (on peut perdre de
l’information) : il est alors nécessaire, pour obtenir un énoncé équivalent, de faire une
conjonction avec l’information perdue.
Par exemple on a√x − a = x − b ⇔
⎧⎨⎩ x − a = (x − b)2
x � b.
Cet exemple surprendra peut-être le lecteur, qui s’attendrait à ce que l’information per-
due soit x � a. Il est vrai que cette information figure dans l’égalité√x − a = x − b,
mais elle est conservée dans l’égalité x−a = (x−b)2, puisque celle-ci indique que x−a
est un carré, et qu’un carré est toujours positif. Il est donc inutile (quoiqu’inoffensif)
de la faire figurer après passage au carré. En revanche, l’information x − b � 0 figure
elle aussi dans l’égalité de départ, car une racine carrée est positive par définition,
mais elle ne figure plus en général dans l’égalité x − a = (x − b)2.
Cet exemple élémentaire ne doit pas faire oublier qu’il n’est pas toujours facile d’iden-
12. Laquelle ?13. Le lecteur pourra retrouver la définition de la bijectivité p. 77.
3 Principes élémentaires de rédaction 15
tifier l’information perdue, et qu’il est possible que toute l’information soit perdue (il
suffit d’appliquer une application constante).
Le troisième point s’obtient par définition de la bijectivité14 et le quatrième est informel.
Montrons les deux premiers.
• On a déjà vu que l’énoncé a = b implique l’énoncé a + s = b + s par application de la
fonction x → x + s. En utilisant les règles connues sur les opérations + et −, on sait
que, pour tout réel x, on a (x+s)−s = x. L’énoncé a+s = b+s implique donc l’énoncé
a = b par application de la fonction x → x − s. On a donc bien montré l’équivalence
entre ces deux énoncés. La démonstration est la même pour la différence au lieu de la
somme.
• On a déjà vu que l’énoncé a = b implique l’énoncé a × p = b × p par application de la
fonction x → x × p. Si p est non nul, on peut diviser par p. Les règles connues sur
les opérations × et ÷, on sait que, pour tout réel x, on a (x × p) ÷ p = x. L’énoncé
a × p = b × p implique donc l’énoncé a = b par application de la fonction x → x ÷ p.
On a donc bien montré l’équivalence entre ces deux énoncés. La démonstration est la
même pour le quotient au lieu du produit.
Remarque 7
Ce dernier point peut d’ailleurs être vu comme un cas particulier du fait qu’on obtient
un énoncé équivalent en appliquant une même application bijective. En effet, l’applica-
tion
⎧⎨⎩ R −→ R
x −→ x × pest bijective pour p �= 0, et il en est évidemment de même de
l’application
⎧⎨⎩ R −→ R
x −→ x ÷ p, pour p �= 0 toujours.
b. Implication
Pour montrer une implication, c’est-à-dire un énoncé de la forme P ⇒ Q, le schéma de
rédaction le plus simple est le suivant : on introduit l’hypothèse P , on forme une suite
de déduction logiques jusqu’à obtenir Q, puis on conclut.
• Supposons P .... (enchaînement de raisonnements valides)
• On a donc Q.
• On a bien montré Q sous l’hypothèse P , c’est-à-dire P ⇒ Q.
14. Il suffit même que f soit injective, voir p. 83.
16 Chapitre 1. Rudiments de rédaction mathématique
Exemple 15
Montrons l’énoncé de l’exemple 1.6 : si 6 divise n, alors n est pair.
C’est bien un énoncé de la forme P ⇒ Q avec P l’énoncé « 6 divise n » et Q l’énoncé « n
est pair ».
On part de P[
Supposons que 6 divise n.
...
déductions logiques...
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣Alors il existe k ∈ N avec n = 6k.
On a donc n = 2 × 3 × k.
Donc n = 2(3k) = 2k′ en posant k′ = 3k,
qui est bien un entier naturel.
On obtient Q[
Donc n est pair.
On conclut[
On a donc bien montré l’implication demandée.
Bien sûr, l’énoncé à montrer était ici évident15.
c. Quantification universelle
Pour montrer une quantification universelle, c’est-à-dire un énoncé qui est de la forme
∀x ∈ A, P (x), le schéma de rédaction le plus simple est le suivant : on introduit la variable
x, on forme une suite de déductions logiques jusqu’à obtenir P (x), puis on conclut.
• Soit x ∈ A.... (enchaînement de raisonnements valides)
• On a donc P (x).
• Ceci étant vrai pour tout élément x de A, on a montré ∀x ∈ A, P (x).
Exemple 16
Montrons ∀x ∈ [0, 1], x2 � x.
15. Voir conseil 3.
3 Principes élémentaires de rédaction 17
On introduit x[
Soit x ∈ [0, 1].
...
déductions logiques...
⎡⎢⎢⎣En particulier, on a x � 1.
Comme on a de plus x � 0, on peut multiplier l’inégalité
précédente par x et cela ne change pas son sens.
On obtient P[
On trouve bien x2 � x.
On conclut
⎡⎣ Ceci étant valable pour tout réel x de l’intervalle [0, 1], on
a bien montré l’énoncé demandé.
Bien sûr, l’énoncé à montrer était ici évident16.
Remarques 8
Montrer une quantification universelle revient à montrer une inclusion : par définition,
les énoncés « ∀x ∈ E, P (x) » et « E ⊂ {x ∈ E, P (x)} » sont équivalents. Ainsi, par
exemple, on vient de montrer qu’on a [0, 1] ⊂{x ∈ R, x2 � x
}.
Réciproquement, montrer une inclusion c’est montrer une quantification universelle : les
énoncés A ⊂ B et ∀x ∈ A, x ∈ B sont équivalents.
En particulier, le schéma de rédaction le plus simple pour montrer A ⊂ B est le suivant :
on introduit une variablex ∈ A, on forme une suite de déductions logiques jusqu’à obtenir
x ∈ B, puis on conclut.
• Soit x ∈ A.... (enchaînement de raisonnements valides)
• On a donc x ∈ B.
• Ceci étant vrai pour tout élément x de A, on a montré A ⊂ B.
d. Implication sous quantification universelle et inclusion ensembliste
En synthétisant les deux paragraphes précédents, on obtient le schéma de rédaction le
plus simple pour montrer une implication sous quantification universelle, c’est-à-dire un
énoncé de la forme ∀x ∈ A, P (x) ⇒ Q(x) : on introduit la variable x et on suppose P ,
on forme une suite de déductions logiques jusqu’à obtenir Q(x), puis on conclut.
• Soit x ∈ A et supposons P (x).
16. Voir conseil 3.
18 Chapitre 1. Rudiments de rédaction mathématique
... (enchaînement de raisonnements valides)
• On a donc Q(x).
• Ceci étant vrai pour tout élément x de A, on a montré ∀x ∈ A, P (x) ⇒ Q(x).
Exemples 17
1. On a a déjà essentiellement démontré l’énoncé « pour tout entier n, si 6 divise n alors
n est pair ». Il suffit de rajouter « soit n ∈ N » au début de la démonstration de
l’exemple 15.
2. Voyons un autre exemple : soit à montrer l’énoncé ∀x ∈ R, x � 2 ⇒ x3 � 7.[Soit x ∈ R et supposons x � 2.⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣L’application x → x3 étant croissante sur R,
on déduit de l’inégalité précédente l’inégalité x3 � 23,
c’est-à-dire x3 � 8.
Comme de plus on a 8 � 7, on conclut :[x3 � 7.⎡⎣ Ceci étant valable pour tout réel x tel que x � 2, on
a bien montré l’énoncé demandé.
Remarque 9
Montrer une implication sous quantification universelle ∀x ∈ E, P (x) ⇒ Q(x) équivaut
à montrer l’inclusion {x ∈ E, P (x)} ⊂ {x ∈ E, Q(x)}.
Par exemple, en gardant les notation précédemment introduites, on a démontré dans
l’exemple 17.1 l’inclusion 6N ⊂ 2N.
Remarque 10
En fait, les quantifications universelles « ∀x ∈ A, P (x) » peuvent toujours être vues
comme des implications sous quantification universelle. L’énoncé « ∀x ∈ A, P (x) » signi-
fie au fond « ∀x, x ∈ A ⇒ P (x) ». On évitera néanmoins dans cet ouvrage de manipuler
des quantification non bornées, c’est-à-dire qui ne sont pas de la forme « ∀x ∈ A, P (x) »,
qui du reste est la seule qui nous intéresse.
3 Principes élémentaires de rédaction 19
e. Équivalence et égalité ensembliste
On a au moins deux schémas de démonstration simples pour montrer une équivalence,
c’est-à-dire un énoncé de la forme P ⇔ Q.
La première méthode se base sur la remarque suivante : les énoncés « P ⇔ Q » et
« P ⇒ Q ∧ Q ⇒ P » sont équivalents. Ainsi, pour démontrer P ⇔ Q on peut démontrer
successivement P ⇒ Q puis Q ⇒ P . On dit qu’on procède par double implication, ou
encore par condition nécessaire et suffisante, en suivant la terminologie de la remarque 3.
Exemple 18
Soit à montrer l’énoncé suivant : un produit de deux entiers naturel est impair si et
seulement si ces deux entiers sont impairs.
On veut montrer ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ab ∈ 2N + 1 ⇔ a ∈ 2N + 1 et b ∈ 2N + 1.
Soit a ∈ N et b ∈ N. On veut montrer une équivalence. Procédons par double implication.
⇐ Supposons a et b impairs.
Par définition, il existe un entier k ∈ N tel qu’on ait a = 2k + 1, et il existe un entier
k′ ∈ N tel qu’on ait b = 2k′ + 1.
On a donc ab = (2k+1)(2k′+1) = 4kk′+2(k+k′)+1 = 2k′′+1 en posant k′′ = 2kk′+k+k′,
qui est bien un entier naturel. Donc ab est impair.
L’implication réciproque est établie.
⇒ Supposons ab impair.
Alors ab n’est pas pair et donc 2 ne divise pas ab. Donc 2 ne divise ni a ni b (sinon il
diviserait clairement leur produit).
Donc a est impair et b est impair. L’implication directe est établie.
Conclusion : On a donc bien montré, par double implication, l’équivalence demandée.
La seconde méthode, lorsqu’elle est possible, est de trouver une suite d’énoncés P0 = P ,
P1, P2, . . ., Pn = Q pour lesquelles chaque équivalence Pi ⇔ Pi+1 est claire (ou constitue
un résultat connu). On dit qu’on procède par équivalences successives.
Exemple 19
Soit à montrer n2 + 1 = 2n ⇔ n = 1.
On procède par équivalences successives. On a :
20 Chapitre 1. Rudiments de rédaction mathématique
n2 + 1 = 2n ⇔ n2 − 2n + 1 = 0 en soustrayant 2n à chaque membre
⇔ (n − 1)2 = 0 en reconnaissant une identité remarquable
⇔ n− 1 = 0 car un produit est nul si et seulement si
l’un de ses facteurs est nul
⇔ n = 1 en ajoutant 1 à chaque membre.D’où l’équivalence demandée.
Remarque 11
Cet exemple montre que résoudre une équation c’est montrer une équivalence, à ceci près
qu’on ne nous donne pas, en général, le membre de droite de cette équivalence.
Plus généralement, on est parfois amené à résoudre un exercice de type : « trouver tous
les x ∈ E tels que P » (dans le cas d’une équation, P est une égalité). On présente dans
la sous-section 3.3 une troisième méthode adaptée à ce type de problèmes.
Remarque 12
Montrer que deux ensembles A et B sont égaux, où A et B sont tous deux inclus dans
un même ensemble E, c’est montrer une équivalence sous quantification universelle17 :
∀x ∈ E, x ∈ A ⇔ x ∈ B.
En particulier, pour montrer une égalité entre ensembles A = B on peut montrer succes-
sivement A ⊂ B puis B ⊂ A. On dit alors qu’on procède par double inclusion.
f. Égalité entre applications
Deux applications f et g de A dans B sont égales si et seulement si elles prennent les
mêmes valeurs en chaque point : ∀x ∈ A, f(x) = g(x).
Démontrer une égalité entre applications se ramène donc à démontrer une quantification
universelle. On pourra se référer à l’exemple 22.
g. Quantification existentielle
Pour montrer un énoncé de la forme ∃x ∈ A, P (x), on exhibe une valeur de x dnas A et
on démontre18 que l’énoncé P (x) est vrai pour cette valeur de x.
Exemple 20
Soit à montrer l’énoncé ∃n ∈ N, ∀x ∈ R, x � n ⇒ x3 � 7.
On peut rédiger la démonstration ainsi :
17. Voir proposition 10 du chapitre 2, p. 53.18. Correctement ! Il est donc indispensable d’avoir exhibé une valeur convenable de x et c’est en
général là que se trouve la difficulté.
Index
AAbel, 443, 905
absurde (raisonnement par l’–), 27
affixe, 169
Al-Khwarizmi, 502
Alembert (d’), 277, 503
notice biographique, 504
règle de –, 504
théorème de – -Gauss, 384
algèbre, 415
alternée (application multilinéaire –), 923
anneau, 403
de Boole, 430
des matrices, 460
intègre, 409, 413
intègre fini, 432
antécédent, 68
antisymétrique (application multilinéaire –), 924
application, 66
canoniquement associée à une matrice, 795
linéaire, 728
Argand, 164
argument, 198
Aristote, 27
associativité, 63, 75, 390, 458, 517
automorphisme, 732
BBézout, 904
coefficients de –, 275, 544
notice biographique, 277
relation de –, 275, 544
théorème de –, 280, 546
Bachet de Méziriac, 237, 276
barycentre, 842
base, 608
adaptée, 634, 688
canonique, 321, 610
en dimension finie, 671, 672
extraite, 656
incomplète, 658, 660
Bellavitis, 592
Bernoulli
Daniel, 504
famille, 358
Jean, 194
bijectivité, 77
Bombelli, 162
bon ordre (propriété du –), 133
borne
inférieure, 111
supérieure, 111
Bourbaki, 385, 728
Brouwer, 28
CCardan, 502
formules de –, 502
Catalan (nombres de –), 150
Cauchy, 153, 164, 396, 445, 649, 904, 909
notice biographique, 905
théorème de –, 909
Cauchy-Lipschitz linéaire (théorème de), 839
Cayley, 649
notice biographique, 445
Chang Tsang, 355
Chasles (relation de), 830
coefficients d’un vecteur de Rn, 314
cofacteur, 947
colinéarité, 605
comatrice, 947
formule de la –, 951
combinaison linéaire, 244, 329, 338, 601
965
commutativité, 63, 390, 405, 420, 541
compatible (système –), 330
complémentaire, 61
composée, 73
composition, 74
conjugué
d’un complexe, 170
polynôme –, 557
contraposée, 6
contraposition
raisonnement par –, 25
théorème de –, 25, 46
convexe, 847
corestriction, 733
corps, 169, 412
cosinus, 180
Cramer, 903
formules de –, 359
notice biographique, 358
système de –, 891
croissance, 112
cycle, 906
DDécomposition en éléments simples
sur C, 567
sur R, 568
décomposition primaire, 261
décroissance, 112
déterminant
d’un endomorphisme, 934
d’une famille de vecteurs, 928
d’une matrice 2 × 2, 488
d’une matrice n × n, 936
de Vandermonde, 945, 954
développement d’un déterminant, 949
De Morgan
lois de – ensemblistes, 63
lois de – propositionnelles, 47
Dedekind, 277
Descartes, 163, 332, 591
différence, 64
symétrique, 65
dilatation (matrice de –), 862
dimension
d’un espace vectoriel, 663
d’un sous-espace affine, 832
finie, 654
Diophante, 236, 330, 348, 502
Arithmétique, 236
direction, 827
Dirichlet, 443
discriminant, 203
disjonction des cas, 26
distributivité, 47, 63, 391, 458
divisibilité, 240
critères de –, 294
division euclidienne
dans N, 134
dans Z, 248
Dyck (mots de –), 150
Eéchange (lemme d’–), 660
échelonné(e)
famille, 680
matrice, 877
matrice – par lignes, 866
matrice – réduite par lignes, 868
système linéaire, 363
égalité
de deux sous-espaces vectoriels , 686
de Leibniz, 13
Eisenstein
notice biographique, 443
endomorphisme, 730
canoniquement associé à une matrice, 795
équation
caractéristique, 704
d’un hyperplan, 750
diophantienne, 296, 303
équation différentielle
linéaire, 839
linéaire du premier ordre, 838
linéaire homogène du deuxième ordre à coeffi-
cients constants, 711
linéaire homogène du premier ordre, 711
équivalence
par colonnes, 865
par lignes, 865
matricielle, 810
Ératosthène (crible d’–), 253
espace vectoriel, 414
des matrices, 450
Euclide, 591
Éléments d’–, 235, 239
algorithme d’–, 272, 542
lemme d’–, 257, 551
Eudoxe, 235
Euler, 150, 238, 277, 589
formules d’–, 163, 195
identité d’–, 193
notice biographique, 194
exemple fondamental de sous-espace affine, 836
966 Index
exponentielle complexe, 201
Ffactorielle, 144
famille, 96
de vecteurs, 598
génératrice, 606
liée, 603
libre, 603
Fermat, 237
descente de –, 237
grand théorème de –, 237
notice biographique, 238
petit théorème de –, 259
Fibonacci (suite de), 145
forme
algébrique d’un complexe, 168
canonique, 203
linéaire, 731
trigonométrique, 198
formule
de changement de base, 802
de Cramer, 359
de De Moivre, 163, 196
de Grassmann, 695
de Legendre, 300
de Leibniz, 527
de Taylor pour les polynômes, 530
des probabilités totales, 481, 484, 485
du binôme de Newton, 466
du rang, 770
propositionnelle, 41, 113
formules
d’addition, 188
d’Euler, 195
de Cardan, 502
de duplication, 189
de linéarisation, 191
Fourier, 397, 590
Frobenius, 444
GGalois, 443, 590, 905
notice biographique, 396
Gauss, 164, 355, 383, 396, 443, 503, 505, 649
Disquisitiones Arithmeticae, 384
Disquisitiones Arithmeticae, 238, 239
entier de –, 301, 383, 384
lemme de –, 282, 546
notice biographique, 384
pivot de –, 348, 367
théorème de d’Alembert- –, 384
Gauss-Lucas (théorème de –), 849
Girard, 162, 503
Goldbach, 150
graphe
d’une application, 69
orienté pondéré, 481
Grassmann, 660, 661
formule de –, 695
notice biographique, 594
Graves, 445
groupe, 398
des complexes de module 1, 180
des inversibles d’un anneau, 410
linéaire, 738
produit, 429
symétrique, 904
HHéron, 236
Halley, 358
Hamilton, 164, 445, 595
Hermite, 444
Hilbert, 386, 727
homothétie, 755
Huygens, 591
hyperplan, 635, 748
équation d’un –, 750
en dimension finie, 693
Iidempotente (application –), 762
image
d’un élément par une application, 68
d’un complexe, 169
d’un morphisme de groupes, 425, 426, 746
directe, 88
réciproque, 88
implication
contraposée, 6
réciproque, 6
inégalité
arithmético-géométrique, 152
triangulaire, 177
incompatible (système –), 330
inconnue
principale, 888
secondaire, 888
indicatrice d’une partie, 93
injectivité, 83, 426
intersection, 61, 98
de sous-espaces vectoriels, 617
involution, 767
967
irréductible
forme – d’un rationnel, 283
polynôme –, 549
isomorphisme, 731
de décomposition, 667, 668
de groupes, 423
théorème d’–, 745
JJordan, 445
KKlein, 386, 395
Kuratowski, 57
LLagrange, 238, 396, 904, 905
polynôme interpolateur de –, 780
Laguerre, 444
Laplace, 905
Legendre, 300, 396
formule de –, 300
Leibniz, 13, 358, 527, 591
égalité de –, 13
formule de –, 527
Liouville, 397
Liu Hui, 355
loi de composition
externe, 388
interne, 387
MMöbius, 592, 649
Maclaurin, 335, 347
majorant, 108
matrice, 447
élémentaire, 450
carrée, 447
d’une combinaison linéaire, 795
d’une famille finie de vecteurs, 787
de passage, 798
diagonale, 462, 465
identité, 459
inversible, 461
nilpotente, 467
nulle, 448
représentative, 789
triangulaire, 464
maximum, 109
mineur d’une matrice, 947
minimum, 109
minorant, 108
module, 172
Moivre (de)
formule de –, 163, 196
monotonie, 112
morphisme
de groupes, 421
morphisme de groupes, 421
multilinéaire (application –), 921
multiple, 240
Nnégation d’un énoncé, 47, 50
Newton (formule du binôme de –), 407, 466
nilpotent(e)
endomorphisme, 757
matrice, 467
Noether (Emmy), 385
notice biographique, 386
Noether (Max), 386
noyau
d’un morphisme de groupes, 425, 426, 746
d’une matrice, 809
noyaux itérés, 783
nuée d’oiseaux, 435
Ooctonions, 445
opération élémentaire
sur les lignes d’une matrice, 860
sur un système linéaire, 349
sur une famille de vecteurs, 679
orbite, 911
PPacman, 848
partie
imaginaire, 168
réelle, 168
partie d’un ensemble, 54
Peano, 313, 650, 727
pgcd
de 2 entiers, 268
de 2 polynômes, 539
de n entiers, 288
de n polynômes, 547
pivot, 868
Poincaré, 482
Poncelet, 592
ppcm
de 2 entiers, 284
968 Index
de 2 polynômes, 546
précomposition, 736
premiers
polynômes – entre eux dans leur ensemble, 548
nombres –, 251
nombres – entre eux, 279
nombres – entre eux dans leur ensemble, 291
produit
cartésien, 58
de K-espaces vectoriels, 616
de matrices, 453
indexé par un ensemble fini, 148
projection, 759
propriété
du –, 133
propriété fondamentale des applications linéaires, 741
pseudo-homothétie, 782
pseudo-nilpotent (endomorphisme –), 781
Rrécurrence
construction par – simple, 142, 144
construction par – double, 145
construction par – forte, 146
ensembliste, 136
simple, 29, 136, 137
double, 137
forte, 139
réduite (matrice échelonnée – par lignes), 868
réunion, 60, 97
racine, 526
multiple, 532
racines
n-ièmes d’un complexe, 216
n-ièmes de l’unité, 213
carrées d’un complexe, 205
rang
d’un système linéaire, 885, 886
d’une application linéaire, 751
d’une famille, 674, 675, 678
d’une matrice, 808
théorème du –, 770
relation
antisymétrique, 103
binaire, 99
d’équivalence, 105
d’ordre, 105
d’ordre partiel, 106
d’ordre total, 106
fonctionnelle, 102
réflexive, 103
symétrique, 103
totale, 102
transitive, 103
relations coefficients-racines, 210, 537
repère, 834
restriction, 733
Riemann, 649
Russell (paradoxe de –), 52
SSchmidt, 727
Scipione del Ferro, 503
segment, 847
Segner (von), 150
semblables (matrices –), 814
signature, 911
similitude (relation de –), 814
similitude plane, 222
sinus, 180
somme
de matrices, 449
de sous-espaces vectoriels, 624
directe, 628–630
indexée par un ensemble fini, 148
sous-espace affine, 826
sous-espaces vectoriels, 611–614
engendrés, 619, 622
somme de –, 624
supplémentaires, 631
supplémentaires en dimension finie, 688, 691
sous-groupe, 416, 418, 419
de GL2(K), 489
de Z, 427
Steinitz, 385, 386, 661
théorème de –, 660, 661
Stirling, 358
structure affine (théorème de –), 374, 838
structure vectorielle (théorème de –), 372, 700
suite récurrente
définition d’une –, 142, 144–146
linéaire, 840
linéaire homogène, 479, 702
linéaire mutuelle, 476
supplémentaires (sous-espace vectoriels –), 631
surjectivité, 80, 426
Sylvester (notice biographique), 446
symétrie, 765
Ttangente, 184
Tartaglia, 503
Taylor, 530
formule de – pour les polynômes, 530
969
théorème
d’isomorphisme, 745
de Cauchy, 909
de Cauchy-Lipschitz linéaire, 839
de contraposition, 25, 46
de d’Alembert-Gauss, 501, 553
de division euclidienne dans N, 134
de division euclidienne dans Z, 248
de Gauss-Lucas, 849
de la base extraite, 656
de la base incomplète, 658, 660
de récurrence, 29, 136, 137, 139
de Steinitz, 660
de structure affine, 374, 838
de structure vectorielle, 372, 700
des deux carrés, 312
du rang, 770
fondamental de l’algèbre, 384, 501, 504, 553, 704
fondamental de l’arithmétique (TFA), 239, 261
tiers exclu, 28
trace, 486
transformation du plan, 218
translation, 324, 825
transposition, 451, 452, 906
matrice de –, 862
transvection (matrice de –), 862
triangulaire (inégalité), 177
trigonométrie, 180
Uunion, 60, 97
Vvaluation p-adique, 264
Vandermonde, 904
déterminant de –, 945, 954
Viète, 332
WWaerden (van der), 385
Weierstrass, 445
Weil, 385, 728
Wessel, 164
Weyl, 414
Wiles, 237
MPSI / PCSI 1re ANNÉECet ouvrage, tout en couleur, développe une approche originale et
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ISBN : 978-2-8041-8180-2
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9782804181802 www.deboeck.com
Nicolas Basbois, ancien élève de l'École normale supérieure de Cachan, est professeuragrégé de mathématiques en MPSI à l'Institut Stanislas de Cannes.
Pierre Abbrugiati est professeur agrégé de mathématiques en MPSI au lycée AlphonseDaudet de Nîmes.
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