Algorithmische Geometrie: Konvexe H ulle¨ · Funktionen f:N ! R, g:N ! R f ist in O (g (n)), f 2 O (g), f(n) 2 O (g (n)), f(n) = O (g (n)), wenn jf(n)j6 jg (n)j fur hinreichend große¨

Algorithmische Geometrie: Konvexe Hulle


Nico Duvelmeyer

WS 2009/2010, 27.10.2009

Nico Duvelmeyer WS 2009/2010, 27.10.2009


Uberblick

1 Einfuhrung

2 Erster Versuch

3 Entartete Falle

4 Inkrementeller Ansatz

5 3 Phasen im Algorithmenentwurf



Uberblick

1 Einfuhrung

2 Erster Versuch

3 Entartete Falle





Beispiel

p1

p2

p3

p4

p5

p6

Eingabe: p1(1, 4), p2(9, 5), p3(3, 9), p4(5, 4), p5(4, 0), p6(8, 8)



Beispiel

p1

p2

p3

p4

p5

p6

Ausgabe: p2, p6, p3, p1, p5



Uberblick

1 Einfuhrung

2 Erster Versuch

3 Entartete Falle





Idee



Algorithmus 2.2 (Konvexe Hulle Langsam)

Eingabe: Endliche Menge P von Punkten der EbeneAusgabe: Liste L der Ecken von conv P in positiver Orientierung

1: E ← ∅2: Fur alle Paare (p, q) ∈ P × P mit p 6= q mache3: gultig← wahr4: Fur alle Punkte r ∈ P \ p, q mache5: Wenn r liegt rechts der gerichteten Strecke −→pq dann6: gultig← falsch7: Wenn gultig dann fuge (p, q) zu E hinzu

8: Berechne L von E durch Verfolgung.

Laufzeit von Algorithmus 2.2 ist in O(n3).



Algorithmus 2.2 (Konvexe Hulle Langsam)


1: E ← ∅2: Fur alle Paare (p, q) ∈ P × P mit p 6= q mache3: gultig← wahr4: Fur alle Punkte r ∈ P \ p, q mache5: Wenn r liegt rechts der gerichteten Strecke −→pq dann6: gultig← falsch7: Wenn gultig dann fuge (p, q) zu E hinzu


Laufzeit von Algorithmus 2.2 ist in O(n3).



Einschub Komplexitatsanalysen

Funktionen f : N→ R, g : N→ Rf ist in O(g(n)), f ∈ O(g), f (n) ∈ O(g(n)), f (n) = O(g(n)) , wenn

|f (n)| 6 α |g(n)|

fur hinreichend große n.

g ∈ Ω(f )

f ∈ Θ(g)

λ |g(n)| 6 |f (n)| 6 µ |g(n)|



Uberblick

1 Einfuhrung

2 Erster Versuch

3 Entartete Falle





Entartete Falle

p1

p2

p3

p4

p5

p6

5’: Wenn r liegt streng rechts der gerichteten Strecke −→pq oder auf derGerade pq aber nicht innerhalb von pq dann



Entartete Falle

p1

p2

p3

p4

p5

p6




Entartete Falle

p1

p2

p3

p4

p5

p6




Algorithmus 2.2’ (Konvexe Hulle Langsam korrigiert)


1: E ← ∅2: Fur alle Paare (p, q) ∈ P × P mit p 6= q mache3: gultig← wahr4: Fur alle Punkte r ∈ P \ p, q mache5: Wenn r liegt streng rechts der gerichteten Strecke −→pq oder auf

der Gerade pq aber nicht innerhalb von pq dann6: gultig← falsch7: Wenn gultig dann fuge (p, q) zu E hinzu




Satz 2.3

Der Algorithmus 2.2’

ist korrekt, selbst fur entartete Eingaben.

ist nicht robust.

hat Laufzeit O(n3).



Uberblick

1 Einfuhrung

2 Erster Versuch

3 Entartete Falle





Inkrementeller Algorithmus – Idee












Algorithmus 2.4


1: Sortiere die Punkte in P nach x-Koordinate, was eine Liste p1, . . . , pn

liefert.2: Packe p1, p2 in die Liste Lunten (p2 nach p1)3: Fur alle i ← 3 bis n mache4: Fuge pi an Lunten an5: Solange Lunten mehr als 2 Punkte enthalt und die letzten 3 Punkte

von Lunten keine Linksdrehung ausfuhren, mache6: Losche den vorletzen Punkt aus Lunten.



Algorithmus 2.4 (Fortsetzung)

7: Packe pn, pn−1 in die Liste Loben

8: Fur alle i ← n − 2 absteigend bis 1 mache9: Fuge pi an Loben an

10: Solange Loben mehr als 2 Punkte enthalt und die letzten 3 Punktevon Loben keine Linksdrehung ausfuhren, mache

11: Losche den vorletzen Punkt aus Loben.12: Losche den ersten und letzten Punkt von Loben.13: Fuge ganz Loben an Lunten, das Ergebnis ist L.



Entartung: 2 Punkte mit selber x-Koordinate

1’: Sortiere die Punkte in P lexikographisch (nach x-Koordinate, beiGleichheit nach y -Koordinate), was eine Liste p1, . . . , pn liefert.



Modell zur Analyse der Komplexitat und Korrektheit

beliebig viele Variable von reellen Zahlen

benannt und ggf. einfach indiziert

algebraische Operation, Vergleiche, Kontrollfluß: konstante Zeit O(1).



Satz 2.6Die konvexe Hulle von n Punkten der Ebene kann in Zeit O(n log n)

berechnet werden.

Beweis.

Algorithmus 2.4’.

Vollstandige Induktion:vor Ausfuhrung von Zeile 4 enthalt jeweils Lunten die untere konvexeHulle vom lexikographisch kleinsten zum lexikographisch großtenPunkt von p1, . . . , pi−1

Obere Hulle analog.

Sortierung Zeile 1’: O(n log n)

Zahlschleifen (Zeilen 3–6, 8–11): jeweils n − 2 Durchlaufe

“Solange-Schleifen“ (Z. 5/6, 10/11): O(n) mal begonnen, O(n) malwiederholt.



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3 Entartete Falle





3 Phasen im Algorithmenentwurf

1. Konzentration auf das Hauptproblem

2. Verallgemeinerung auf entartete Eingaben

3. Implementation



1. Phase: Konzentration auf das Hauptproblem

ignorieren Entartungen

exakte Berechnungen wird angenommen

Untersuchung/Ausnutzung geometrischer Eigenschaften

Anwenden algorithmischer Techniken

i.a. keine Details



2. Phase: Verallgemeinerung auf entartete Eingaben

Dafur gibt es meist besseren Weg als viele Fallunterscheidungen

in Literatur oft ausgelassen, in Praxis aber wichtig

erhoht meist Umfang der Implementation, aber nicht denasymptotischen Aufwand

es gibt Standardtechniken: symbolische Storung



3. Phase: Implementation

Basisoperationen

Wahl zwischen exakter Arithmetik und Gleitkommaarithmetik

Nutzung verfugbarer Bibliotheken

bei Naherungsrechnungen: Konsequenzen von Fehlentscheidungenuntersuchen, innere Widerspruche ausschliessen (Redundanz).

Genaue Formulierung der Eigenschaften, die unsereNaherungslosung noch hat.


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