Algoritma Gauss-JordanAlgoritma Gauss-Jordan Metode dasar menyelesaikan suatu sistemMetode dasar menyelesaikan suatu sistempersamaan linear persamaan linear menggantikan sistem yang diberikan dengan menggantikan sistem yang diberikan dengan

suatu sistem baru yang mempunyai himpunan suatu sistem baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama tetapi lebih mudah penyelesaian yang sama tetapi lebih mudah diselesaikan dengan melakukan 3 jenis diselesaikan dengan melakukan 3 jenis operasi:operasi:

1. mengalikan sebuah persamaan dengan 1. mengalikan sebuah persamaan dengan konstanta tak nol.konstanta tak nol. 2. menukar letak dari dua persamaan2. menukar letak dari dua persamaan 3. 3. Mengganti suatu persamaan dengan hasilMengganti suatu persamaan dengan hasil penjumlahan persamaan tersebut dan penjumlahan persamaan tersebut dan

kelipatan kelipatan

persamaan lainnyapersamaan lainnya..

Operasi baris elementer :Operasi baris elementer : Mengalikan sebuah baris dengan Mengalikan sebuah baris dengan

sebuah konstanta tak nol.sebuah konstanta tak nol. Menukar letak dari dua baris.Menukar letak dari dua baris. Mengganti suatu baris dengan hasil Mengganti suatu baris dengan hasil

penjumlahan baris tersebut dan penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lainnya.kelipatan baris lainnya.

Contoh 1Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari sistem Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanpersamaan

linearlinear

6 zyx

4432 zyx

723 zyx

Definisi Matriks Eselon Definisi Matriks Eselon

Sebuah matriks E dikatakan dalam bentuk eselon jika Sebuah matriks E dikatakan dalam bentuk eselon jika Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol

terletak sesudah baris yang memuat elemen tak nol.terletak sesudah baris yang memuat elemen tak nol. Pada setiap baris dari matriks E yang mempunyai Pada setiap baris dari matriks E yang mempunyai

elemen tak nol, elemen tak nol pertama harus elemen tak nol, elemen tak nol pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tak nol dari terletak di kolom sebelah kanan elemen tak nol dari baris sebelumnya. baris sebelumnya.

Matriks eselon sering disebut matriks eselon baris. Matriks eselon sering disebut matriks eselon baris. Elemen tak nol pertama dari suatu baris disebut Elemen tak nol pertama dari suatu baris disebut elemen utama atau elemen pivot. Sebagai contoh elemen utama atau elemen pivot. Sebagai contoh

adalah adalah matriks-matriks yang diperoleh mulai langkah ke-4 pada matriks-matriks yang diperoleh mulai langkah ke-4 pada Contoh 1Contoh 1

Definisi Matriks Eselon Definisi Matriks Eselon TereduksiTereduksi Matriks eselon tereduksi adalah matriks Matriks eselon tereduksi adalah matriks

eseloneselon

yang mempunyai sifatyang mempunyai sifat Setiap elemen pivotnya bernilai 1.Setiap elemen pivotnya bernilai 1. Setiap elemen pivot merupakan satu-Setiap elemen pivot merupakan satu-

satunya elemen tak nol pada kolom satunya elemen tak nol pada kolom tersebut. tersebut.

Sebagai contoh, matriks terakhir yang Sebagai contoh, matriks terakhir yang diperoleh pada Contoh 1diperoleh pada Contoh 1

Contoh 2 Contoh 2

Contoh-contoh matriks eselon-baris Contoh-contoh matriks eselon-baris

dandan,

00

00

,

20

12

000

100

210

0000

0000

1100

3210

Contoh-contoh matriks eselon baris Contoh-contoh matriks eselon baris tereduksitereduksi

, , , , , ,

,00

00

10

01

000

100

010

0000

0000

0100

0010

0000

0000

2100

3010

Contoh 3Contoh 3

Berikut adalah matriks-matriks dalam bentuk Berikut adalah matriks-matriks dalam bentuk baris-baris-

eselon tereduksi, yang diperoleh dari eselon tereduksi, yang diperoleh dari sederetansederetan

operasi baris terhadap matriks lengkap operasi baris terhadap matriks lengkap suatusuatu

sistem persamaan.Tentukan penyelesaian sistem persamaan.Tentukan penyelesaian sistemsistem

tersebut!tersebut!

a. b. a. b.

4100

1010

2001

3 1100

5 2010

4- 3001

c. d. c. d.

0 0 0000

2 3 1000

1 2 0100

2 4- 0031

1000

0310

0201

Definisi Matriks Definisi Matriks Ekuivalen BarisEkuivalen Baris

Matriks A adalah ekuivalen baris Matriks A adalah ekuivalen baris dengan matriks Bdengan matriks B

apabila mariks B diperoleh dari matriks apabila mariks B diperoleh dari matriks A denganA dengan

berhingga kali operasi baris elementer.berhingga kali operasi baris elementer.

Contoh 4Contoh 4

A = ekuivalen baris dengan A = ekuivalen baris dengan B =B =

211

112

021

211

112

042

Algoritma GaussAlgoritma Gauss

Algoritma Gauss adalah algoritma untuk mengubah Algoritma Gauss adalah algoritma untuk mengubah sebarang matrikssebarang matriks

menjadi matriks eselon dengan menggunakan operasi baris menjadi matriks eselon dengan menggunakan operasi baris elementer.elementer.

Langkah-langkahnyaLangkah-langkahnya : :1.1. Carilah kolom paling kiri yang memuat unsur tak nol. Carilah kolom paling kiri yang memuat unsur tak nol. 2.2. Jika elemen pertama kolom yang diperoleh dari langkah Jika elemen pertama kolom yang diperoleh dari langkah

pertama sama dengan nol, tukarlah baris pertama dari pertama sama dengan nol, tukarlah baris pertama dari matriks dengan baris yang unsurnya pada kolom matriks dengan baris yang unsurnya pada kolom tersebut tak nol.tersebut tak nol.

3.3. Setelah elemen pertama dari kolom yang diperoleh pada Setelah elemen pertama dari kolom yang diperoleh pada langkah pertama tak sama dengan nol, dengan operasi langkah pertama tak sama dengan nol, dengan operasi baris elementer kita dapat membuat elemen di baris elementer kita dapat membuat elemen di bawahnya menjadi nol. bawahnya menjadi nol.

4.4. Ulangi proses 1 sampai dengan 3 pada matriks sisanya, Ulangi proses 1 sampai dengan 3 pada matriks sisanya, sampai diperoleh matriks eseleon baris.sampai diperoleh matriks eseleon baris.

Contoh 4Contoh 4

Selesaikan dengan eliminasi Gauss!Selesaikan dengan eliminasi Gauss!

81848 62

515 105

1342562

0 2 23

65421

643

654321

5321

xxxxx

xxx

xxxxxx

xxxx

Algoritma Gauss JordanAlgoritma Gauss Jordan

Yaitu Yaitu proses yang dimulai dengan proses yang dimulai dengan matriks A yang matriks A yang

diberikan dan menghasilkan matriks B diberikan dan menghasilkan matriks B dalam dalam

bentuk eselon baris tereduksi yang bentuk eselon baris tereduksi yang ekuivalen barisekuivalen baris

dengan matriks Adengan matriks A

Contoh 5Contoh 5

Selesaikan soal pada Contoh 4 Selesaikan soal pada Contoh 4 dengan algoritma Gauss Jordan! dengan algoritma Gauss Jordan!

Sistem Persamaan Linear Sistem Persamaan Linear HomogenHomogenSetiap sistem persamaan linear Setiap sistem persamaan linear

homogenhomogen

mempunyai sifat konsisten. Mengapa?mempunyai sifat konsisten. Mengapa?

Ada 2 kemungkinan penyelesaian Ada 2 kemungkinan penyelesaian sistem persama-sistem persama-

an linear homogen:an linear homogen:

1.1. Penyelesaian trivial Penyelesaian trivial

2.2. Penyelesaian tak-trivialPenyelesaian tak-trivial

Contoh 6Contoh 6

Selesaikan sistem persamaan linear Selesaikan sistem persamaan linear homogen homogen

berikut dengan eliminasi Gauss Jordan:berikut dengan eliminasi Gauss Jordan:

a.a.

04534

0232

0342

0 23

4321

4321

4321

432

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

b. b.

Apa yang dapat anda simpulkan dari 2 Apa yang dapat anda simpulkan dari 2 contoh di contoh di

atas?atas?

0232

0342

4321

4321

xxxx

xxxx

TeoremaTeorema

Sebuah sistem pesamaan linear Sebuah sistem pesamaan linear homogen denganhomogen dengan

jumlah variabel lebih banyak daripada jumlah variabel lebih banyak daripada jumlahjumlah

persamaan mempunyai tak hingga persamaan mempunyai tak hingga banyaknyabanyaknya

penyelesaian.penyelesaian.

Matriks DasarMatriks Dasar

DefinisiDefinisi

Suatu matriks Suatu matriks n n ×× n n disebutdisebut matriks dasar matriks dasar jika matriks ini bisa diperoleh dari matriks jika matriks ini bisa diperoleh dari matriks identitas identitas n n ×× n , n , dengan melakukan suatu dengan melakukan suatu operasi baris dasar tunggaloperasi baris dasar tunggal. .

Sifat-Sifat matriks dasarSifat-Sifat matriks dasar Jika matriks dasar Jika matriks dasar EE dihasilkan dari suatu dihasilkan dari suatu

operasi tertentu terhadap operasi tertentu terhadap IInn dan jika dan jika AA suatu suatu matriks matriks mmnn, maka hasil kali , maka hasil kali EAEA adalah adalah matriks yang dihasilkan jika operasi baris yang matriks yang dihasilkan jika operasi baris yang sama dikenakan pada sama dikenakan pada A.A.

Contoh 7Contoh 7 Perhatikan matriks dan Perhatikan matriks dan

matriksmatriks

dasardasar

4101

1521

2321

A

100

010

201

E

Matriks dasar Matriks dasar EE diperoleh dengan diperoleh dengan mengganti baris pertama dengan jumlah -mengganti baris pertama dengan jumlah -2 kali elemen baris ketiga dengan elemen 2 kali elemen baris ketiga dengan elemen baris pertama.baris pertama.

Sekarang perhatikan matriks Sekarang perhatikan matriks

Matriks ini juga diperoleh dengan Matriks ini juga diperoleh dengan mengganti baris petama denggan jumlah -2 mengganti baris petama denggan jumlah -2 kali elemen baris ketiga dengan elemen kali elemen baris ketiga dengan elemen baris pertama.baris pertama.

4101

1521

6521

EA

Setiap matriks dasar bisa dibalik, dan Setiap matriks dasar bisa dibalik, dan inversnya juga merupakan suatu matriks inversnya juga merupakan suatu matriks dasar.dasar.

Teorema keterbalikan matriksTeorema keterbalikan matriks Jika Jika AA suatu matriks suatu matriks nn × ×n, n, maka peryataan-maka peryataan-

pernyataan berikut ekuivalen, yaitu semua pernyataan berikut ekuivalen, yaitu semua benar atau semua salah:benar atau semua salah:1. 1. AA bisa dibalik. bisa dibalik.2. 2. AXAX = 0 hanya mempunyai pernyelesaian = 0 hanya mempunyai pernyelesaian trivial.trivial.3. Baris bentuk eselon tereduksi dari 3. Baris bentuk eselon tereduksi dari A A adalah adalah II..4. 4. AA dapat dinyatakan sebagai hasil kali dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks- matriks dasar.matriks- matriks dasar.

Metode Membalik Suatu MatriksMetode Membalik Suatu Matriks

Untuk mendapatkan invers suatu matriks Untuk mendapatkan invers suatu matriks yang dapat dibalik yang dapat dibalik AA, lakukan seangkaian , lakukan seangkaian operasi baris dasar yang mereduksi operasi baris dasar yang mereduksi AA menjadi matriks identitas, bersamaan menjadi matriks identitas, bersamaan dengan itu lakukan serangkaian operasi dengan itu lakukan serangkaian operasi baris yang sama terhadap baris yang sama terhadap II untuk untuk mendapatkan mendapatkan AA-1-1..

ContohContoh 8: Tentukan invers dari matriks8: Tentukan invers dari matriks

41

72A

452

301

143

B

Menyelesaikan sistem persamaan dengan Menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan invers matriks koefisiennya.menggunakan invers matriks koefisiennya.

TeoremaTeorema

Jika Jika AA suatu matriks suatu matriks nnnn yang bisa dibalik, yang bisa dibalik, maka untuk setiap matriks maka untuk setiap matriks B B berukuran berukuran nn11, sistem persamaan , sistem persamaan AX=B AX=B tepat tepat mempunyai satu penyelesaian yaitu mempunyai satu penyelesaian yaitu XX = = AA--

11BB. .

Contoh 9:Contoh 9:

Tentukan peyelesaian sistem persamaan:Tentukan peyelesaian sistem persamaan:32

53

21

21

xx

xx

Teorema keterbalikan matiks(lanjutan)Teorema keterbalikan matiks(lanjutan) Jika Jika A A adalah suatu matriks adalah suatu matriks nnn, n, maka maka

pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen:pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen: 1. 1. AA bisa dibalik. bisa dibalik.

2. 2. AXAX = 0 hanya mempunyai pernyelesaian = 0 hanya mempunyai pernyelesaian trivial.trivial.3. Baris bentuk eselon tereduksi dari 3. Baris bentuk eselon tereduksi dari A A adalah adalah IInnnn..4. 4. AA dapat dinyatakan sebagai hasil kali dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks- matriks dasar.matriks- matriks dasar.

5. 5. AX=B AX=B konsisten untuk setiap matriks konsisten untuk setiap matriks BB((nn11))6. 6. AX=B AX=B tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks BB((nn11))

SoalSoal

1.1. Dengan eliminasi Gauss Jordan, Dengan eliminasi Gauss Jordan, tentukan penyelesaian dari sistem tentukan penyelesaian dari sistem persamaanpersamaan

a. 2a. 2xx +33yy – z = 2z = 2

xx +44yy + 2z = 1z = 1

33xx + 2y +3z = - 4z = - 4

bb. 3x -2y +3z = 0. 3x -2y +3z = 0

22xx +yy – 4z = 0z = 0

2.2. Tentukan invers dari matriks berikut jika Tentukan invers dari matriks berikut jika ada, dengan melakukan operasi baris ada, dengan melakukan operasi baris elementer terhadap matriks ini dan elementer terhadap matriks ini dan matriks identitas:matriks identitas:

a. b. a. b.

853

552

321

6421

9731

4411

3210

3.3. Dengan metode membalik matriks Dengan metode membalik matriks koefisien, tentukan penyelesaian koefisien, tentukan penyelesaian dari sistem persamaan pada soal dari sistem persamaan pada soal nomor 1.nomor 1.

4.4. Dengan metode membalik matriks Dengan metode membalik matriks koefisien, tentukan penyelesaian koefisien, tentukan penyelesaian umum dari sistem persamaanumum dari sistem persamaan

a. b. a. b. 221

121

2

5

cxx

cxx

3321

2321

1321

3

22

32

cxxx

cxxx

cxxx