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ALGORITMO DE SOLUCIÓN PARA UN
MODELO DINÁMICO COMBINADO DE IRP CON
VENTANAS DE TIEMPO Y CREW SCHEDULING
RUBÉN DARÍO CANDIA PARRA
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE INGENIERIA
BOGOTÁ D.C., COLOMBIA
2017
2
ALGORITMO DE SOLUCIÓN PARA UN MODELO DINÁMICO COMBINADO DE IRP
CON VENTANAS DE TIEMPO Y CREW SCHEDULING
RUBÉN DARÍO CANDIA PARRA
Monografía presentada como requisito parcial para optar por el título de:
INGENIERO INDUSTRIAL
Director:
PhD. GERMÁN ANDRÉS MENDEZ GIRALDO
Codirector:
MSc. CARLOS ALBERTO FRANCO FRANCO
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE INGENIERIA
BOGOTÁ
2017
3
A mis padres: Magdalena y José, a mi hermano y a mi sobrino, por toda su colaboración.
A Lina, por su compañía a lo largo de todo el camino, su paciencia e incondicionalidad.
A Sebastián, Laura, Natalia y Claudia, por su voz de ánimo.
A Angie, Jhonatan y July, por las alegrías.
A Julieth y María, por su apoyo constante.
A Carlos Franco, Germán Méndez y demás profesionales que me ofrecieron su guía.
A todos ustedes: gracias.
4
Resumen
El VMI (Vendor-managed Inventory) es una estrategia de integración para cadenas de
suministro. El vendedor toma las decisiones concernientes al control de inventarios de sus clientes
y la forma en la que debe abastecerlos. Para ello, debe resolver un problema de optimización de
costos logísticos (inventario y distribución) conocido como problema de ruteo e inventarios (IRP).
Aunque el problema se ha tratado extensamente, escasas referencias tienen en cuenta recursos para
la distribución distintos a los vehículos. En el presente trabajo se proponen un modelo matemático
y un algoritmo de solución diseñados para resolver el problema con restricciones laborales y de
personal. Dichas herramientas, se aproximan al contexto empresarial en un entorno dinámico al
permitir el control de los niveles de inventario del vendedor y sus clientes, crear un plan de ruteo
de vehículos y asignar el personal a la flota disponible para las actividades de distribución.
Abstract
VMI (Vendor Managed Inventory) is a supply-chain-integration strategy. Sellers are
responsible for making decisions regarding client inventory control and the way in which they
must supply customers. To do this, a logistic-cost (inventory and distribution) optimization
problem known as Inventory Routing Problem (IRP) must be solved. Although the problem has
been extensively addressed, few references take into account resources for the distribution of
products other than vehicles. Here we propose a mathematical model and a solution algorithm
designed to solve the problem with personnel restrictions. These tools approach the business
context in a dynamic environment by allowing control of inventory levels of the seller and his
customers, creating a vehicle routing plan, and assigning staff to the fleet available for distribution
activities.
5
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN ............................................................................................................................ 4
ABSTRACT .......................................................................................................................... 4
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 8
1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA ....................................................................... 11
1.1. Planteamiento del problema ........................................................................................................... 11
1.2. Justificación ..................................................................................................................................... 12
1.3. Objetivos .......................................................................................................................................... 13
1.3.1. Objetivo General .......................................................................................................................... 13
1.3.2. Objetivos Específicos .................................................................................................................. 13
1.4. Metodología ...................................................................................................................................... 14
2. MARCO TEÓRICO ................................................................................................. 16
2.1. El problema de Inventario y Ruteos .............................................................................................. 16
2.1.1. Las ventajas y retos de la integración de los problemas de ruteo e inventarios ........................... 17
2.1.2. Tipología del IRP ......................................................................................................................... 19
2.1.3. Componentes dinámicos en el tratamiento del IRP ..................................................................... 22
2.2. Antecedentes .................................................................................................................................... 23
2.2.1. El problema de ruteo de vehículos ............................................................................................... 23
6
2.2.2. El problema del control de inventarios ........................................................................................ 25
2.2.3. El problema de Inventario y Ruteo .............................................................................................. 26
2.3. Marco Legislativo ............................................................................................................................ 32
3. MODELADO DEL PROBLEMA ........................................................................... 34
3.1. Definición del Modelo...................................................................................................................... 36
3.1.1. Conjuntos ..................................................................................................................................... 37
3.1.2. Parámetros ................................................................................................................................... 37
3.1.3. Variables ...................................................................................................................................... 38
3.1.4. Función objetivo .......................................................................................................................... 39
3.1.5. Restricciones ................................................................................................................................ 40
3.2. Consideraciones Adicionales Relevantes ....................................................................................... 44
3.2.1. Tratamiento de información estocástica ...................................................................................... 44
3.2.2. Demandas dinámicas ................................................................................................................... 45
3.2.3. Complejidad ................................................................................................................................ 47
3.2.4. Otras consideraciones .................................................................................................................. 47
3.3. Descomposición y Algoritmo de Solución Secuencial ................................................................... 48
3.3.1. Descomposición del modelo ........................................................................................................ 48
3.3.2. Algoritmo de solución ................................................................................................................. 52
3.4. Diseño de Medidas de Desempeño ................................................................................................. 55
3.4.1. Costos de la gestión ..................................................................................................................... 56
3.4.2. Tiempos de ejecución .................................................................................................................. 57
3.4.3. Número soluciones infactibles y procesos no finalizados: .......................................................... 58
3.4.4. Utilización de recursos ................................................................................................................ 58
4. EXPERIMENTACIÓN ............................................................................................ 60
7
4.1. Especificaciones para la implementación ...................................................................................... 60
4.2. Generación de Instancias ................................................................................................................ 60
4.2.1. Información generada .................................................................................................................. 60
4.2.2. Algoritmo para la generación de ventanas de tiempo. ................................................................. 62
4.2.3. Escenarios generados ................................................................................................................... 64
4.3. Resultados de la Experimentación ................................................................................................. 65
4.3.1. Caso base ..................................................................................................................................... 65
4.3.2. Variación del largo del horizonte de planeación .......................................................................... 69
4.3.3. Variación de la longitud del rolling horizon ................................................................................ 70
4.3.4. Escenarios generados ................................................................................................................... 71
4.3.5. Otras consideraciones .................................................................................................................. 72
4.4. Análisis de Resultados ..................................................................................................................... 73
4.4.1. Análisis de Costos y número de periodos con soluciones infactibles .......................................... 73
4.4.2. Tiempo de ejecución .................................................................................................................... 73
4.4.3. Análisis de escenarios .................................................................................................................. 74
4.4.4. Ocupación de recursos ................................................................................................................. 74
5. LIMITACIONES Y TRABAJO FUTURO ............................................................ 75
6. CONCLUSIONES ..................................................................................................... 76
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 78
8
Introducción
Alrededor de los años 50 del siglo XX, Bertalanffy define formalmente lo que hoy se
conoce como Teoría General de Sistemas (TGS). Bajo ésta teoría se reconoce a los organismos de
distintos tipos como conjuntos complejos de elementos interrelacionados que cambian con el
tiempo y, como un todo, buscan alcanzar un objetivo determinado (Bertalanffy, 1989). Ahora,
viendo a las empresas más como organismos empresariales que como “individuos” aislados y
estáticos, cobra sentido analizar la naturaleza de sus relaciones y los elementos que las conforman
desde un punto de vista sistémico.
Con éstos postulados en consideración, las organizaciones han empezado a comprender
que su éxito depende tanto de sí mismas, como de los organismos con los que están relacionadas
(Duchessi & Chengalur-Smith, 2008). De ésta forma nace el concepto de Cadenas de Suministro,
redes de organizaciones que persiguen metas diferentes, pero que trabajan juntas para satisfacer la
demanda de los consumidores (Sari, 2008).
Siguiendo éste orden de ideas, y sin olvidar las condiciones actuales de globalidad,
incertidumbre, exigencia y rápido cambio de los mercados, las organizaciones que componen las
cadenas de suministro deben encontrar estrategias para ser competitivas y promover la
competitividad de aquellos organismos con los que estén relacionadas para sobrevivir (Giraldo &
Pomar, 2004). Un claro ejemplo, es la integración de las decisiones que las organizaciones toman
sobre procesos relacionados; dicha integración permite crear fuentes de competitividad al reducir
los costos generales de operación o aumentar el nivel de servicio de las cadenas de suministro
(Coelho, Cordeau, & Laporte, 2014).
9
Como consecuencia de los razonamientos expuestos, nace la Administración de Cadenas
de Suministro (SCM, por sus siglas en inglés), un conjunto de estrategias diseñadas para integrar
de forma eficiente los distintos componentes del sistema, de forma que se satisfagan los niveles de
servicio requeridos y se minimicen los costos del sistema al producir y entregar las cantidades
correctas, en el momento y lugar adecuados (Simchi-Levi, Simchi-Levi, & Kaminsky, 1999).
Una estrategia que ha cobrado fuerza en el marco de la Administración de Cadenas de
Suministro es el VMI (Vendor Managed Inventory); por medio de ésta, el proveedor (vendedor,
mayorista, distribuidor) deberá tomar las principales decisiones de aprovisionamiento de
inventarios de sus clientes (Waller, Johnson, & Davis, 1999). Esto le permitirá al proveedor reducir
el efecto látigo del sistema y aprovechar mejor su capacidad de producción y distribución. El
cliente, por su parte, tiene una mayor disponibilidad de producto y, en consecuencia, ofrece un
mejor nivel de servicio (Sari, 2008).
Para la adecuada implementación de una estrategia VMI, se ha de encontrar la solución a
un problema integrado de distribución y control de inventarios conocido como el Problema de
Inventarios y Ruteo (IRP por sus siglas en inglés) (Mes, Schutten, & Rivera, 2014). El IRP es un
modelo de programación matemática que permite, en resumen, tomar tres decisiones: cuánto debe
ser enviado a cada cliente, en qué momento realizar la entrega y qué camino o ruta deberá seguir
cada vehículo para cumplir con una entrega.
Muchas son las variantes que se han propuesto del IRP, entre ellas se pueden listar:
problemas con múltiples vehículos, flotas con vehículos de distintas capacidades, ventanas de
tiempo para cada cliente, distintas políticas de ruteo y manejo de inventarios, entre otras
(Andersson, Hoff, Christiansen, Hasle, & Løkketangen, 2010). No obstante, como se verá
10
posteriormente, aún son numerosas las condiciones que no se han tratado con suficiente
profundidad y amplitud dada la complejidad del problema, pero que son relevantes si se desea
obtener una buena representación del sistema.
Uno de éstos vacíos en el trabajo relacionado con el IRP es la asignación de “recursos”
para el desarrollo de las operaciones de ruteo diferentes a los vehículos, aun cuando éstos son
limitados e imponen restricciones significativas sobre el sistema. Los conductores disponibles,
equipos de cargue y descargue y los insumos para la operación de distribución son solo algunos
ejemplos que pueden llegar a imponer restricciones importantes sobre el sistema y que deben
considerarse al realizar la planeación.
En un intento por subsanar éstas falencias y abordar el problema desde el contexto
colombiano, se propone un modelo para la integración del IRP con la secuenciación de tareas
asignadas a un conjunto de conductores definido; consideración que ha sido poco tratada en la
literatura disponible –en las referencias consultadas, sólo se encontró una investigación
relacionada con ésta consideración, desarrollada en (Benoist, Gardi, & Jeanjean, 2011)–.
Adicionalmente, para ofrecer una buena representación de los entornos VMI reales, se tratan dos
condiciones adicionales: ventanas de tiempo y demandas dinámicas. Las ventanas de tiempo
corresponden a los horarios durante los cuales se puede visitar un cliente. Las demandas dinámicas
permiten incluir en la planeación información relevante revelada con el transcurso del tiempo.
Por último, dada la complejidad que implica la solución de un modelo con éstas
características, como producto del trabajo aquí presentado se presenta un algoritmo basado en la
descomposición del modelo planteado; por medio de éste, se busca encontrar soluciones del
problema en un tiempo computacional razonable y definir cotas para la solución del problema.
11
1. Descripción del Problema
1.1. Planteamiento del problema
Ventas, producción, control de inventarios y distribución de productos son algunas de las
tareas o funciones cuya planeación debe llevarse a cabo en una organización. Con el tiempo, las
compañías han comprendido que planear en conjunto estas tareas y coordinarlas con otras
organizaciones parte de la cadena de suministro, es una fuente de ventajas competitivas para las
compañías involucradas y para las cadenas como un todo.
El inventario manejado por el vendedor o VMI, es una estrategia que nace de éste
razonamiento; por medio de ésta, los vendedores combinan las decisiones concernientes al control
de inventarios de sus clientes y el uso de los recursos para la distribución de mercancías. Tal
integración se conoce como el IRP (problema de inventario y ruteo), un modelo de optimización
del que se han propuesto numerosas a lo largo de las últimas tres décadas.
A pesar de que el problema ha sido ampliamente tratado, muchas condiciones aún no han
sido modeladas o no se ajustan al contexto en el que las organizaciones se ven envueltas. En
particular, las decisiones correspondientes a la distribución de mercancías se ocupan de asignar
vehículos a las rutas programadas, pero –en la mayoría de los casos– olvidan restricciones que
otros “recursos” imponen sobre el sistema: por ejemplo, las restricciones del personal disponible.
Cuando éstas han sido tratadas, el resultado se concentra en la proposición de un algoritmo
para la toma de decisión; no hay proposición de un modelo formal para el problema en cuestión.
Además, el método propuesto no se ajusta a la realidad experimentada por gran parte de las
organizaciones colombianas ya que fue elaborado para un contexto legislativo y operativo distinto.
12
Así las cosas, se hace necesaria la construcción de herramientas que permitan tomar –de
forma combinada– las decisiones de control de inventarios, ruteo de vehículos y asignación de
personal, de forma que se pueda representar la complejidad, el dinamismo y las exigencias de los
entornos organizacionales colombianos.
1.2. Justificación
En los entornos de negocios en los cuales se han implementado estrategias de negocio VMI,
como se puede ver al realizar una revisión de la literatura disponible, el proceso decisional suele
partir de la solución de alguna variación del problema de inventarios y ruteo (IRP: inventory
routing problem). Con base en ésta, se toman otras decisiones relacionadas con la distribución de
inventarios (en el presente trabajo se enfatizará en las decisiones de asignación de personal).
El principal problema que dicho proceso de decisión supone, es que se pasa por alto el
hecho de que el personal también es una fuente de restricciones para el sistema. Algunos ejemplos
de éstas restricciones son las jornadas laborales o el límite por periodo de horas extra, que limitan
los horarios durante los cuales se pueden realizar las actividades de transporte de mercancía.
Teniendo ésta consideración en cuenta, las restricciones laborales pueden afectar los planes de
ruteo de vehículos (dado que un trabajador tiene menos tiempo disponible que un vehículo) y los
niveles de inventario (un cambio en el plan de ruteo, consecuencia de una restricción laboral, puede
impedir la visita de uno o varios clientes) a lo largo de un periodo de planeación.
Por ejemplo, cuando la solución del IRP contenga la planeación de una ruta que supere el
horario máximo que un empleado puede laborar en un día, la solución del problema en el marco
del IRP básico, deja de ser óptima – e incluso, puede hacerse infactible. Del mismo modo, cuando
no se tienen en cuenta los descansos apropiados en la planeación de una ruta, el nivel de servicio
13
disminuye. Las entregas o bien se retrasan y los clientes enfrentan escasez indeseada de productos,
o se deben cancelar visitas pues la entrega ya no se realizaría en las ventanas de tiempo definidas.
La importancia de éstos hechos motiva el trabajo expuesto en éste documento.
En atención a las condiciones expuestas, se espera dotar a las empresas que implementen
estrategias VMI de herramientas que les permitan afrontar los retos del contexto en el que están
inmersas. Así, el producto de éste estudio pretende superar algunas de las limitaciones de los
trabajos hasta ahora propuestos y facilitar a las empresas el proceso de toma de decisiones, al
utilizar información más completa sobre las condiciones del contexto colombiano actual.
Para alcanzar éstos resultados, con base en la producción científica disponible, se construyó
un algoritmo cuya finalidad es la solución del problema integrado de control de inventarios con
demanda dinámica, ruteo con ventanas de tiempo y secuenciación de tareas para el personal que
minimice el costo de la gestión y mejore el nivel de servicio de la cadena.
1.3. Objetivos
1.3.1. Objetivo General
Diseñar un algoritmo que permita solucionar el problema dinámico combinado de ruteo
con ventanas de tiempo, control de inventarios y secuenciación de operaciones basadas en las
restricciones de tiempo y consistencia impuestas por la disponibilidad de recursos y personal.
1.3.2. Objetivos Específicos
Definir los fundamentos teóricos y técnicos de los problemas de secuenciación, inventario
y ruteo por medio de la revisión de la literatura disponible.
14
Formular un modelo matemático que permita dar solución al modelo combinado de
inventario, ruteo de vehículos y secuenciación de operaciones.
Desarrollar un modelo heurístico que permita dar solución al modelo matemático planteado
y tenga en cuenta los componentes dinámicos seleccionados.
Definir medidas para evaluar el desempeño del modelo propuesto.
Validar el algoritmo propuesto mediante el diseño e implementación de instancias con base
en la literatura disponible.
1.4. Metodología
El objetivo principal de éste trabajo es desarrollar una metodología para solucionar un
problema no abordado con en la literatura académica, pero que fácilmente se puede contemplar en
situaciones de la vida real o cuyo enfoque no se ajuste al contexto colombiano. La metodología
utilizada para alcanzar el objetivo contempla el entendimiento del problema base desde el punto
de vista determinístico, hasta lograr una adición de elementos dinámicos al problema original.
El estudio que se realiza aquí es de tipo exploratorio y está basado principalmente en la
recolección de fuentes primarias y secundarias de información, específicamente journals con
reconocimiento en el sector académico. Para la recolección de información, se utiliza un análisis
sistemático de la literatura, en donde se realizan revisiones desde tres enfoques: el primero consiste
en la revisión del problema base IRP, junto con las diferentes aproximaciones que se han tenido
sobre este problema. El segundo consiste en realizar una caracterización de los componentes
dinámicos presentes en el problema o problemas derivados. El tercero consiste en realizar una
descripción del problema que se trabajará junto con los componentes dinámicos.
15
Una vez se identificaron los componentes a incluir en el modelado del problema, se
construyeron los elementos de optimización paso a paso hasta llegar a los componentes dinámicos.
Para esto, se utilizaron modelos de programación lineal para representar la situación problemática.
Posteriormente, dada la complejidad del modelo, se diseñó un algoritmo que permite solucionar el
problema en un tiempo computacional razonable. Para realizar pruebas sobre cada uno de los
modelos propuestos, se generó un conjunto de instancias que permite evaluar el modelo en
distintos escenarios y se diseñaron y seleccionaron los indiciadores apropiados para evaluar el
algoritmo empleado y el modelo propuesto.
16
2. Marco Teórico
2.1. El problema de Inventario y Ruteos
Como explican Campbell, Clarke, Kleywegt y Savelsbergh (1998), las organizaciones han
empezado a comprender que el valor percibido por el cliente puede llegar a ser creado a través de
la administración logística. Componentes del servicio al cliente como la disponibilidad de
productos, consistencia de las entregas y entregas realizadas modifican la percepción del valor del
producto para el cliente.
Una red logística se compone de múltiples compañías que representan los papeles de
productores, centros de distribución, mayoristas, minoristas, entre otros. Ésta red logística se
conoce con el nombre de cadena de suministro y su objetivo principal es entregar la cantidad
adecuada de cada producto en el momento adecuado, mientras se minimiza el costo de la
distribución. Para ello, la Administración de cadenas de suministro se encarga de encontrar la
mejor estrategia para la cadena como un todo, garantizando un movimiento de inventarios eficiente
y económico, al tomar decisiones óptimas de control de inventarios y planeación de rutas
(Jarugumilli, Grasman, & Ramakrishnan, 2006; Sari, 2008).
La asignación de inventarios para la distribución y el ruteo de vehículos son dos
importantes decisiones estrechamente relacionadas. Sin embargo, en el pasado se realizaba una
planeación independiente que ignoraba el efecto que tiene el proceso secuencial de decisión sobre
el costo para el sistema (Chien, Balakrishnan, & Wong, 1989; Liu & Lee, 2011). Del mismo modo,
cuando cada componente de la cadena de suministro toma decisiones independientes, el nivel de
servicio de la cadena disminuye y sus costos aumentan. Así, la administración de la cadena de
17
suministro se ha inclinado hacia la toma integrada de decisiones por encima del proceso secuencial
de decisión (Juan, Grasman, Caceres-Cruz, & Bektaş, 2014).
Bell et al. describen en (1983) un sistema que define la secuencia de rutas y permite
controlar los niveles de inventarios para los clientes de una compañía de distribución de gases
industriales. Desde entonces, se empezaron a tratar distintas variaciones de problemas que
integraban decisiones de inventarios y ruteo de vehículos. Éstos fueron, en su mayoría,
modificaciones del problema de ruteo de vehículos (VRP por sus siglas en inglés) (Coelho,
Cordeau, & Laporte, 2013).
Así, nace el problema de inventario y ruteo (IRP), que se convertirá en el eje central del
VMI –la estrategia de negocios por medio de la cual se integran las decisiones de inventario y
ruteo–. El IRP es un modelo de programación matemática por medio del cual el vendedor o
proveedor toma las decisiones de abastecimiento de sus clientes tratando de minimizar la suma de
los costos en los que se incurre como resultado de la gestión. En específico, las decisiones que
resultan de la solución del IRP son: a) Cuando visitar a cada cliente, b) cuánto se le debe enviar de
cada producto y c) cuáles son las rutas que los vehículos deben seguir (Coelho et al., 2013).
2.1.1. Las ventajas y retos de la integración de los problemas de ruteo e inventarios
Los efectos de la integración de las decisiones de ruteo y control de inventarios como parte
de la implementación de estrategias VMI se pueden evaluar desde dos perspectivas diferentes: la
de los clientes y la de los vendedores.
Por un lado, para los clientes el VMI ofrece una mayor disponibilidad de productos y el
nivel de servicio aumenta pues la solución del IRP, aun cuando se aceptan faltantes, incentiva la
18
prevención de los mismos, además de una generar una considerable reducción de los costos del
control de inventarios y los costos de pedido (Sari, 2008). El VMI también resuelve problemas
relacionados con medidas de desempeño en conflicto para los compradores, que con el tiempo
terminan aumentando los efectos de la variabilidad de la demanda. Por ejemplo, un comprador
podría abastecerse de un gran inventario para garantizar un alto nivel de servicio (lo que aumenta
los costos de mantenimiento de inventario) al inicio de un periodo, pero luego dejan que el nivel
de inventario caiga para alcanzar las metas definidas por las políticas de manejo de inventario (lo
que reduce el nivel de servicio) (Waller et al., 1999).
Por otro lado, un reto importante que debe enfrentar el cliente es la recolección de la
información. El cliente debe procurarse de las herramientas precisas para ofrecer información
confiable a los niveles superiores de la cadena. Al mismo tiempo, dada la estructura del VMI, la
responsabilidad de los niveles inferiores de la cadena se reduce a proveer de información de ventas
e inventario a sus proveedores, el flujo de la información solo se da aguas arriba en la cadena de
suministro (Sari, 2008; Waller et al., 1999).
Para los vendedores, el VMI permite alcanzar una importante reducción del efecto látigo y
una mejor utilización de la capacidad de producción y los medios disponibles para la distribución
(Sari, 2008). Adicionalmente, se podría reducir el costo de la introducción de nuevos productos en
el mercado y las devoluciones de productos que han alcanzado el fin de su vida útil como
inventarios, consecuencia de la suavización de la información disponible de la demanda y de los
picos de producción (Waller et al., 1999).
No obstante, el VMI supone dos problemas relevantes para el comprador o vendedor: El
primero, es la necesidad de que la información que recibe sea suficientemente precisa y completa;
19
además, para los clientes puede ser difícil compartir información que consideren sensible. El
segundo, es el compromiso que el vendedor adquiere por garantizar una planeación adecuada con
dicha información; debe asegurarse de que cuenta con las herramientas adecuadas para prever las
demandas futuras y realizar una planeación que no afecte a las organizaciones aguas abajo en la
cadena de suministro (Duchessi & Chengalur-Smith, 2008; Sari, 2008).
2.1.2. Tipología del IRP
A lo largo de los últimos treinta años, se han tratado numerosas variaciones del IRP, en
ésta sección se explicarán las distintas características que se han tratado en la literatura. La
tipología construida se basa en las revisiones del IRP de Coelho et al. en (2013), Andersson, Hoff,
Christiansen, Hasle y Løkketangen en (2010) y Baita, Ukovich, Pesenti y Favaretto en (1998).
Dado que la estructura del IRP se basa en la del VRP, también se considera la revisión de
variaciones dinámicas del VRP realizada por Pillac, Gendreau, Guéret y Medaglia en (2013).
1. Decisión a tomar
Hay dos dominios en la modelación del IRP: En el primero, la variable de decisión es la
frecuencia con la que se visita cada cliente; a partir de ésta se toman las demás decisiones. En el
segundo, se divide el horizonte en periodos discretos y se deciden las cantidades que se han de
entregar a los clientes en cada oportunidad en la que se planea una visita (Baita et al., 1998).
2. Horizonte temporal
Hay tres categorías para describir la dimensión temporal de los trabajos hasta ahora
tratados: Instantes, finitos e infinitos (Andersson et al., 2010). En la primera categoría, el horizonte
de planeación es tan corto que, como mucho, se requiere una visita a cada cliente.En la segunda,
20
más de una visita es necesaria para al menos uno de los clientes. Ésta categoría agrupa los
problemas en los que no se evalúa las consecuencias de las decisiones en el futuro, pues tienen un
horizonte natural y definido y los problemas en los que sí se evalúa el efecto en el largo plazo de
la planeación, pero el problema se resuelve en un horizonte definido –se suele utilizar una técnica
conocida como rolling horizon, por su nombre en inglés; una práctica cuya efectividad en el
contexto productivo se comprobó en (Baker, 1977) y ha sido ampliamente usada en los entornos
VMI (Coelho et al., 2014)–. La última categoría incluye los problemas en los que el horizonte de
planeación es infinito; por lo tanto, se espera encontrar políticas o estrategias de distribución más
que planes definidos.
3. Demanda
Se tendrán en cuenta dos características de la información de la demanda en éste trabajo:
evolución y calidad (Pillac et al., 2013). La evolución de la información hace referencia a la manera
como la información puede cambiar a través del tiempo. Si dicho cambio existe, se dice que la
información de la demanda se revela de manera dinámica. Si la información disponible no cambia
con el tiempo, se dice que la demanda es estática. La calidad de la información representa la
incertidumbre asociada a la información disponible. Si la información disponible se representa por
medio de variables aleatorias con distribución de probabilidad conocida, se dice que el problema
es estocástico. Si la información es conocida previamente, se dice que el problema es
determinístico.
4. Número de productos
En la literatura se han propuesto modelos que representan situaciones en las que se debe
distribuir un producto único o productos múltiples (Andersson et al., 2010).
21
5. Topología del problema
La topología del problema hace referencia a la topología del grafo asociado al problema de
distribución. Ésta característica determina el número de nodos de origen (almacenes del proveedor
o vendedor) y destino (clientes) que tiene el modelo propuesto por cada autor. Si en el modelo se
envían productos desde un único almacén hacia un único cliente, el problema es one-to-one. Si se
distribuyen productos desde un almacén central hacia un conjunto de clientes, el problema recibirá
el nombre de one-to-many Por último, si desde distintos centros de distribución se abastecen
múltiples clientes, el problema tiene una estructura many-to-many (Andersson et al., 2010).
6. Tipo de ruteo
Hay distintas estrategias para llevar a cabo la función de distribución. Por ejemplo, cuando
un vehículo sólo puede abastecer un cliente cada vez que sale del depósito (centro de distribución
o almacén del vendedor), el ruteo es directo. Si el vehículo puede realizar varias visitas antes de
regresar al depósito, el ruteo es múltiple. Si en el modelo los vehículos no tienen un almacén central
al que regresar al finalizar una ruta, sino que realizan recorridos con un nodo de origen y destino
distinto cada vez, el ruteo es continuo (Andersson et al., 2010).
7. Políticas de administración inventario
En éste apartado se pueden distinguir cuatro categorías. En la primera categoría, los clientes
definen un nivel mínimo de inventario (sea éste no tener inventarios negativos o el inventario de
seguridad). Los trabajos agrupados en la segunda categoría se caracterizan porque se modelan
situaciones en las que, a pesar de que no se puede cubrir la demanda durante un periodo, se asignan
vehículos que abastecerán directamente a los clientes con faltantes o stockouts cuando acaba el
22
periodo. En la tercera categoría, la demanda no cubierta en un periodo se convierte en ventas
perdidas. La última categoría reúne aquellos trabajos en los cuales una demanda no satisfecha
puede ser diferida a un periodo posterior en el que será cubierta (Andersson et al., 2010; Coelho
et al., 2013).
8. Políticas de abastecimiento de inventario
En la literatura se distinguen dos políticas de abastecimiento de inventario. Con la política
order-up-to level, se debe abastecer a cada cliente de forma que cada vez que sea visitado, se debe
ocupar la capacidad total de su almacén. La política maximum level es una relajación de ésta
restricción; establece que se puede enviar cualquier cantidad de mercancía a cada cliente, siempre
y cuando no se supere la capacidad máxima disponible de su almacén (Andersson et al., 2010;
Baita et al., 1998; Coelho et al., 2013).
9. Flota de vehículos
Hay dos características importantes relacionadas con la flota de vehículos en los problemas
IRP: el tamaño de la flota y la composición de la flota (Andersson et al., 2010). En algunos trabajos
sólo se debe planear la ruta de un vehículo; en los demás, se asume que hay flotas con múltiples
vehículos disponibles. Por otro lado, una flota de vehículos puede estar compuesta de vehículos
con las mismas capacidades (la flota es homogénea) o de vehículos con capacidades
apreciablemente distintas (la flota es heterogénea).
2.1.3. Componentes dinámicos en el tratamiento del IRP
Como se mencionó anteriormente, para el desarrollo del presente estudio también interesa
reconocer los componentes dinámicos en la literatura consultada. Por medio de ésta identificación
23
se pretende caracterizar la información revelada con el paso del tiempo y que debe tenerse en
cuenta en el diseño del problema dinámico de inventarios y ruteo. Se reconocieron tres
componentes dinámicos principalmente:
1. Demanda: la demanda real se revela al final de un periodo.
2. Duración de las rutas: el tráfico afecta el tiempo que le toma aun vehículo viajar desde
un nodo a otro, ésta información se tiene en cuenta de forma continua y pueden
producirse cambios inmediatos sobre los planes de ruteo.
3. Nodos cliente con órdenes no planeadas: Demandas no anticipadas aparecen en algún
nodo cliente cuya visita no se programó para un periodo específico. Éste cliente coloca
un orden que debe ser satisfecha en el menor tiempo posible.
2.2. Antecedentes
Como se ha mencionado previamente, el IRP es el resultado de la integración entre los
problemas de control de inventarios y ruteo de vehículos. En ésta sección se hará una breve
revisión de los aspectos básicos que han marcado la historia de éstos problemas y la relación que
guardan con el IRP. Posteriormente, se hará una revisión de los trabajos más importantes en
relación con el IRP teniendo en cuenta la tipología anteriormente definida y los aportes que
distintos autores han realizado en relación con los modelos matemáticos propuestos y los métodos
de solución utilizados por cada uno.
2.2.1. El problema de ruteo de vehículos
El problema del vendedor viajero o TSP (traveling salesman problem) fue propuesto por
Hassley Whitney en un seminario de la Universidad de Princenton (Flood, 1956). Éste problema
24
consiste en hallar la ruta más corta que un vendedor debe recorrer para poder visitar un conjunto
definido de ciudades y luego regresar a casa. En su trabajo, Flood propone un método de solución
al problema de distribución aplicable al TSP; el modelo propuesto es luego generalizado por
Dantzing y Ramser en (1959) al dar solución al problema del despacho de camiones para la
distribución de productos a un conjunto de clientes definido. El modelo propuesto en éste artículo,
sería el primero en tratar lo que hoy se conoce como el problema de ruteo de vehículos o VRP
(vehicle routing problem) (Pillac et al., 2013).
El VRP se define, como especifican Pillac et al (2013), sobre un grafo 𝒢 = (𝒱, ℰ, 𝒞), en
donde 𝒱 = {𝓋0, ⋯ , 𝓋𝑛} es un conjunto de vértices, ℰ = {(𝓋𝑖 , 𝓋𝑗)|(𝓋𝑖 , 𝓋𝑗) ∈ 𝒱2, 𝑖 ≠ 𝑗} es el
conjunto de arcos que conectan a los nodos pertenecientes a 𝒱 y 𝒞 = {(𝒸𝑖𝑗)|(𝓋𝑖 , 𝓋𝑗) ∈ ℰ} es una
matriz de costo definida sobre ℰ. El VRP consiste en la búsqueda de un conjunto de rutas que
deberán ser cubiertas por un grupo de vehículos para que, partiendo desde un punto específico
conocido como depósito, se visiten todos los clientes de una organización.
Dado que el IRP nace como una extensión del VRP (Federgruen & Zipkin, 1984; Huang
& Lin, 2010), hereda de éste su estructura y por su puesto su complejidad, como se verá
posteriormente. No obstante, a pesar de ésta relación, cada uno de éstos modelos aborda problemas
basados en paradigmas diferentes. Mientras el VRP se enfoca en cumplir con las órdenes recibidas
de un comprador, el IRP trata de determinar cómo y en qué medida suplir las necesidades del
cliente (Mes et al., 2014).
25
2.2.2. El problema del control de inventarios
El control de inventarios constituye una parte esencial del proceso decisional en los
entornos productivos en tanto que niveles de inventario demasiado altos o suficientemente bajos
pueden generar altos costos para el sistema y/o reducir considerablemente el nivel de servicio de
una organización y una cadena de suministro (Sari, 2008). Adicionalmente, cuando no hay un
adecuado control de los niveles de inventario y la información no se transmite de forma adecuada,
se empiezan a generar variaciones que se magnifican a medida que van pasando de un eslabón a
otro a lo largo de la cadena de suministro, éste efecto se conoce como el “efecto látigo” (Siddiqui,
Khan, & Akhtar, 2008).
La base teórica sobre la que se soporta el problema de control de inventarios aparece con
el trabajo propuesto por Ford Harris en 1913, como se menciona en (Coelho & Laporte, 2014).
Harris propone una estrategia por medio de la cual se pueda minimizar el costo de la producción
al equilibrar los costos de alistamiento, inventario y manufactura. Ésta estrategia se basa en la
minimización de costo dependiente de la cantidad a producir, en la que interesa identificar un
tamaño de lote económico que marcará la frecuencia con la que cada lote se hace disponible para
la organización (Harris, 1990). Ésta estrategia es la base sobre la que se fundamentan los modelos
de IRP en los que la decisión principal es la frecuencia de abastecimiento.
Uno de los principales problemas de los modelos basados en el tamaño de lote económico,
es que asume que las demandas se presentan en ritmo y razón constante. En la realidad, es muy
común que la demanda cambie con el tiempo. Por ésta razón se han creado muchos modelos
dinámicos que extienden y modifican éste modelo básico. Entre ellos Wagner y Within (1958) y
Silver y Meal (1973) proponen dos algoritmos desarrollados para encontrar las cantidades
26
adecuadas a producir u ordenar, y los momentos oportunos para hacerlo si la demanda cambia de
un periodo a otro (se realiza la planeación en horizontes de planeación compuestos de periodos
discretos). Ésta estrategia se acerca más a los problemas de IRP en los que la variable de decisión
son las cantidades que se deben enviar a cada cliente en cada periodo del horizonte de planeación.
2.2.3. El problema de Inventario y Ruteo
El primer trabajo en el que se propone una integración entre las decisiones de ruteo e
inventario es un sistema de decisión que busca programar las entregas de gases industriales desde
distintos centros de distribución y controlar el inventario de forma que siempre haya producto
disponible en los tanques de los clientes. El sistema propuesto funciona de forma que se pueden
modificar los planes definidos en atención a la experiencia de quienes lo ejecutan y el arribo de
información relevante sobre la demanda del producto en cada nodo (Bell et al., 1983).
Posteriormente, y con base en aquellas situaciones donde se implementasen éstos sistemas,
Federgruen & Zipkin (1984) proponen un modelo de programación no lineal basado en un modelo
de VRP con demandas estocásticas solucionado a través de una descomposición del problema y
una Heurística de intercambio. Con base en estos primeros trabajos se produjeron otros modelos
importantes que abordaron el IRP desde distintas perspectivas.
Chien et al. (1989) proponen un modelo determinístico de un periodo con demandas no
satisfechas traducidas en ventas perdidas en el que se modifican los parámetros de un periodo para
introducir los efectos de la gestión en los periodos posteriores, el modelo es solucionado a través
de relajación lagrangiana. Otro trabajo relevante es el llevado a cabo por Campbell et al. (1998)
en el que se proponen varios modelos que permiten acercarse al problema desde distintos frentes.
Se introduce la generación de clusters, se manejan modelos para decisiones de frecuencias y de
27
cantidades, se propone un modelo para el problema estocástico de inventario y ruteo (SIRP) y se
discute una estrategia para encontrar una aproximación a la función objetivo definida. También se
discuten consideraciones no tratadas en la literatura disponible hasta la fecha, sembrando las
semillas de investigaciónes desarrolladas posteriormente respecto al IRP.
El trabajo de Archetti, Bertazzi, Laporte y Speranza cobró importancia dado que es el
primero en incorporar un método exacto para la solución del IRP, un algoritmo branch-and-cut.
Por medio de éste se comparó el efecto de las políticas de abastecimiento de inventarios order-up-
to level y maximum level, además de una completa relación del problema (2007).
Posteriormente, se propone la única integración de las decisiones de ruteo, inventario y
asignación de personal de la que, durante la revisión, se encontró registro en la literatura. Benoist
et al. (2011) proponen un algoritmo que permite planear las rutas que la flota de vehículos debe
recorrer y encontrar las decisiones óptimas con respecto al abastecimiento de inventarios, también
pretende encontrar una asignación adecuada para el conjunto de conductores disponible.
Por medio de la herramienta presentada, es posible administrar los inventarios en múltiples
orígenes y destinos, incluir las ventanas de tiempo de los clientes en los planes de ruteo de
vehículos, programar las operaciones asignadas a la flota heterogénea de vehículos disponibles y
asignar conductores que desarrollen éstas operaciones. El algoritmo se ejecuta utilizando la técnica
de rolling horizons en un entorno de ruteo continuo que busca la minimización de faltantes, ventas
perdidas y/o entregas tardías persiguiendo la minimización del costo en el largo plazo partiendo
desde la definición de un objetivo de minimización de costo en el corto plazo.
A pesar de que el diseño del algoritmo se basó en una representación muy aproximada de
sistemas reales de distribución, su estructura se ajusta a problemas de distribución a gran escala,
28
donde se deben recorrer grandes distancias y no se trabaja sobre horizontes de planeación discretos.
En consecuencia, algunos aspectos tácticos y operativos (como los descansos en medio de turnos
y la existencia de turnos definidos) no son contemplados.
También cabe resaltar la importancia de los trabajos adelantados en los últimos años por
Coelho, Cordeau y Laporte. En éstos, se estudian distintas condiciones de flexibilidad y
consistencia en el IRP, especialmente cuando se puede enviar mercancía desde un nodo cliente a
otro de forma directa. También se deben destacar sus aportes respecto a los métodos de solución
que pueden ser implementados en las variaciones del IRP propuestas en sus modelos (Coelho,
2012; Coelho, Cordeau, & Laporte, 2012a, 2012b; Coelho et al., 2014; Coelho & Laporte, 2014).
Por último, es necesario mencionar el trabajo de Pérez & Guerrero (2015), quienes
proponen un método de descomposición para el IRP con ventanas de tiempo, el problema tratado
es una modificación del problema propuesto en (Archetti et al., 2007), un modelo multiperiodo es
propuesto que se resuelve de forma exacta al dividir las decisiones de inventario y ruteo en
subproblemas que se optimizan en forma secuencial.
Los trabajos hasta ahora introducidos representan los adelantos más representativos y relevantes
para el presente estudio. Utilizando éstas investigaciones y otros trabajos no detallados, se
construye la Tabla 1; en ésta, se muestra la caracterización de cada uno de los modelos propuestos
en las referencias consultadas siguiendo los parámetros dados en la Sección 2.1.2.
Adicionalmente, se incluyen los elementos dinámicos y estocásticos que se trata en cada referencia
y el método de solución diseñado y empleado para cada modelo propuesto.
Tabla 1
Caracterización de los modelos y referencias consultadas
Autor
Año
Problema
Dec
isió
n
Tie
mp
o
D
eman
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cali
dad
D
eman
da
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luci
ón
N
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Método de
Solución
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Irre
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Bell et al.
(1983)
IRP
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Demanda
Relajación
lagrangiana
Federgruen &
Zipkin
(1984)
SIRP
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Demanda
Heurística de
Intercambio
Chien et al.
(1989)
IAVRP
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Relajación
lagrangiana
Barnes-Schuster
& Bassok
(1997)
IRP
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Demanda
Simulación
Baita et al.
(1998)
DRAI
x x x x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
x x x
Demanda
Demanda
Revisión:
varios
Campbell et al.
(1998)
IRP &
SIRP
x x
x x
x x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
Demanda
Aprox. costo
sobre vector de
parámetros
Kleywegt, Nori,
& Savelsbergh
(2004)
SIRP
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Demanda
Descomposición
Rusdiansyah &
Tsao
(2005)
IRPTW
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Heurística de
dos fases
Abdelmaguid &
Dessouky
(2006)
IIDP
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Algoritmo
genético
30
Tabla 1 (Continuación)
Autor
Año
Problema
Dec
isió
n
Tie
mp
o
D
eman
da
cali
dad
D
eman
da
evo
luci
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N
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Método de
Solución
C
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H
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Het
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ulo
Mú
ltip
le
Irre
stri
cto
Jarugumilli et al. (2006) IRP x x x x x x x x x x Demanda A* algorithm
Archetti et al.
(2007) VMIR-
OU
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
Branch and cut
Esparcia-Alcazar,
Lluch-Revert,
Cardos, Sharman,
& Merelo
(2007)
ITP
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
EVITA:
Algoritmo
evolutivo y
Clarke &
Wright
Huang & Lin (2010) DSIRP x x x x x x x x x x x Demanda Ant Colony
Andersson et al.
(2010)
IRP
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x x
Demanda
Demanda
Revisión:
varios
Liu & Lee
(2011)
IRPTW
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
Demanda
Heurística de
dos fases
Benoist et al.
(2011) IRP & CS
x
x x
x
x
x
x
x
x x x
x
x
Large Local
Search
Coelho et al.
(2012a)
MIRP
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Adaptive large
Neighborhood
Search (ALNS)
Coelho
(2012)
IRP
x x
x x
x x
x
x
x
x x
x x
x
x x
Demanda
Demanda
Branch and cut
ALNS
Coelho et al. (2012b) IRPT x x x x x x x x x x x ALNS
Coelho et al. (2012b) IRPT x x x x x x x x x x x ALNS
Tabla 1 (Continuación)
Autor
Año
Problema
Dec
isió
n
Tie
mp
o
D
eman
da
cali
dad
D
eman
da
evo
luci
ón
N
úm
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cto
s.
To
po
log
ía
Ru
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Inv
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rio
con
trol
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de
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C
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Din
ámic
o
Método de
Solución
C
anti
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Infi
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Max
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gén
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Het
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U
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Irre
stri
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Bertazzi &
Speranza
(2013)
IRP &
MIRP
x
x x
x
x
x x
x x x
x
x x Branch and cut
Coelho et al.
(2013)
IRP
x x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
x x x
Demanda
Demanda
Revisión: varios
Juan et al.
(2014)
IRP
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
Demanda
Heurística de
simulación de
dos fases
Cho, Lee, Lee, &
Gen
(2014)
TDIRP
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Adaptive genetic
algorithm
Coelho et al.
(2014)
SIRP
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
Demanda
Demanda
Adaptive large
Neighborhood
Search (ALNS)
Coelho &
Laporte
(2014)
IRP
x
x x
x
x
x x
x x
x
x Branch and cut
Mes et al.
(2014)
DIIRP
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x Demanda
Tasa de
depósito
Demanda
Heurística de
cuatro fases
Bertazzi, Bosco,
& Laganà
(2015)
SIRP-PT
x
x
x x
x x
x
x
-
x
x
x
Demanda
Demanda
Rollout
algorithm,
simplex
Pérez & Guerrero
(2015)
IPRTW
x
x
x x x
x
x
x
x
x
Descomposición
Simplex
Nota: Elaboración propia
32
2.3. Marco Legislativo
Como se ha mencionado previamente, en el presente trabajo se pretende formular un
modelo que permita tomar decisiones integradas con relación al manejo y control de inventarios,
ruteo de vehículos y asignación de personal en entornos empresariales reales. Para que el modelo
aquí planteado, sea una adecuada representación de la realidad en la que se encuentran inmersas
las organizaciones colombianas, se mostrarán las condiciones que rigen las condiciones laborales
en el país.
La legislación laboral colombiana está regida por el Código Sustantivo del Trabajo. Éste
documento “regula las relaciones de derecho individual del trabajo de carácter particular, y las de
derecho colectivo, oficiales y particulares” (Código sustantivo del trabajo, 1990). A saber, las
restricciones laborales que fija la legislación colombiana son las siguientes:
1. En el artículo 161 del código se especifica que la duración máxima de la jornada
ordinaria de trabajo es de 8 horas diarias y 48 horas semanales. En éste artículo se
especifican algunas excepciones relacionadas con labores especialmente insalubres o
peligras, la jornada de trabajo del menor y con las jornadas diarias flexibles de trabajo.
2. El artículo 159 define el trabajo suplementario o de horas extra como aquel que excede
la jornada ordinaria o la jornada máxima legal.
3. El artículo 160 define el trabajo nocturno como aquel realizado entre las 10:00 p.m, y
las 6:00 a.m.
4. El artículo 168 especifica las tasas de recargo por labor realizada en un horario
nocturno y/o como trabajo en hora extra. El recargo por trabajo nocturno es del 35%,
33
el cargo por hora extra laborada es del 25% y el recargo por hora extra nocturna es del
75%.
5. En el artículo 172 se establece que semanalmente el empleado tiene derecho a un día
obligatorio de descanso remunerado, conocido como descanso dominical.
6. En el artículo 179 se definen los dominicales y festivos, días de descanso obligatorio
(es posible tratar el día sábado o domingo como día obligatorio de descanso). El
recargo por laborar durante los días festivos es del 75% del valor de una hora laboral
ordinaria. También se determinan los casos en los que el trabajo dominical es ocasional
o habitual. Cuando el es ocasional el empleado tiene derecho a un día compensatorio
por cada día laborado o la retribución en dinero correspondiente, cuando el trabajo
dominical es habitual, el empleado tiene ambos derechos.
7. El artículo 167 establece que una jornada laboral diaria debe distribuirse al menos en
dos secciones. El tiempo de descanso no hace parte de la jornada de trabajo.
8. El artículo 167ª define el límite de trabajo suplementario. En ningún caso el trabajo
suplementario puede superar 2 horas diarias y 12 horas semanales.
9. En la legislación colombiana no se define de forma específica el recargo para
proporciones de horas extra laboradas. No obstante, establece que todo trabajo
suplementario debe ser remunerado teniendo en cuenta los recargos apropiados.
34
3. Modelado del Problema
En ésta sección se presenta el modelo IRP propuesto para la toma de decisiones bajo una
estrategia VMI. Se espera que dicho modelo sea una herramienta útil para la gestión de inventarios
para proveedores y clientes y la asignación de recursos y personal a las tareas de distribución.
Para la construcción del modelo, se toman como base los trabajos de Archetti, Bertazzi,
Laporte y Speranza (2007), Coelho et al. (2012a) y Zäpfel & Bögl (2008). Se consideran las
restricciones de ventanas de tiempo, secuenciación de tareas y restricciones laborales. Además, se
incluye la posibilidad de retrasar la entrega de productos a los clientes asumiendo un costo
adicional para la gestión (demanda diferida).
Dado lo anterior y teniendo en cuenta que el objetivo del modelo diseñado es minimizar el
costo total de la gestión a lo largo de un horizonte de planeación definido, las decisiones a tomar
son las siguientes:
¿Qué clientes deben ser visitados durante cada periodo?
¿Cómo se debe organizar el conjunto de clientes visitados en rutas?
¿Cuánto se debe enviar a cada cliente?
¿Qué vehículos serán asignados a cada ruta?
¿Quién conducirá el vehículo que cubrirá cada ruta?
¿Cómo se asignarán los conductores a turnos laborales en un horizonte temporal?
¿Cuándo se debe retrasar la entrega de mercancía a algún cliente y en qué cantidad?
35
Las condiciones de las que se parte para formular el modelo incluyen las restricciones de
ventanas de tiempo, las restricciones de capacidad, las restricciones laborales y algunas
condiciones adicionales que garantizan que dos actividades no sean asignadas a los mismos
recursos. En particular, éstas son:
Los recursos de los que se dispone son limitados, esto es los vehículos y los almacenes de
cada cliente tienen capacidades definidas y hay un número limitado de personas y
vehículos.
El inventario debería mantenerse por encima del inventario de seguridad, definido para
cubrir el riesgo asociado a la incertidumbre de la información sobre las demandas. Cuando
el inventario cae por debajo de éste nivel, se genera un costo por demanda diferida.
Los faltantes de un periodo se cubren en algún periodo futuro.
Los vehículos y los conductores pueden cubrir múltiples rutas cada periodo.
Una ruta sólo puede ser recorrida por un conductor y un vehículo.
A un vehículo sólo se asignará un conductor.
Ningún vehículo o conductor podrá cubrir dos operaciones de forma simultánea.
Un cliente puede ser visitado varias veces en cada periodo.
Se asume que los conductores deben cubrir una jornada máxima ordinaria normal. Es decir,
trabajan durante 6 días a la semana, 8 horas diarias.
Los trabajadores no pueden ser asignados a dos o más turnos por día (en nuestro caso, el
día se compone normalmente de dos turnos).
El trabajo suplementario en un turno par es nocturno.
Dado que un día se compone de dos turnos, una semana estará compuesta de 14 periodos.
Los trabajadores no pueden trabajar más de 48 horas semanales.
36
Los trabajadores pueden realizar un máximo de 2 horas extra cada día y 12 horas extra
semanalmente.
Cada trabajador tiene derecho a un descanso en medio de cada turno de trabajo (en éste
caso el descanso es de 30 minutos).
Una proporción de la hora extra será remunerada como hora extra completa.
3.1. Definición del Modelo
El IRP es un problema definido sobre un grafo 𝒢 = (𝒱,𝒜), en donde 𝒱 = {𝓋1, ⋯ ,𝓋𝑛+1}
es un conjunto de 𝑛 + 1 nodos (indexados de 1 hasta 𝑛 + 1, tal que el nodo 1 representa el
proveedor de una red de distribución con 𝑛 clientes) y 𝒜 = {(𝑖, 𝑗)| 𝑖 , 𝑗 ∈ 𝒱, 𝑖 ≠ 𝑗} es el conjunto
de arcos que conectan los nodos en el conjunto 𝒱. La notación utilizada y el modelo de
programación matemática se definen en ésta sección.
El proveedor, desde un almacén central comúnmente conocido como depot, deberá suplir
un conjunto de clientes definido por 𝒱𝑝 = 𝒱 \ {1}, que registran demandas 𝑑𝑖𝑡 conocidas a lo largo
de un horizonte de planeación constituido por los periodos 𝑡 ∈ 𝒯 = {1,2,⋯ , 𝑝}, El conductor
habrá de entregar mercancías por medio de un conjunto de vehículos 𝒦 = {1,2,⋯ , 𝑢} manejados
por un conjunto 𝒟 = {1,2,⋯ , 𝑜} de conductores. Asumimos que el decisor podrá utilizar cualquier
método para determinar una estimación apropiada de 𝑑𝑖𝑡 y utilizar dicha estimación como
información de entrada para el modelo aquí descrito. Al final de cada periodo el decisor conoce la
demanda real y ajusta la información de entrada para posteriores periodos.
37
3.1.1. Conjuntos
𝒱 = {1,⋯ , 𝑛 + 1}: Conjunto de nodos
𝒱𝓅 = 𝒱 \ {1}: Conjunto de clientes
𝒯 = {1,⋯ , 𝑝}: Conjunto de periodos (turnos)
𝒦 = {1,⋯ , 𝑜}: Conjunto de vehículos
𝒟 = {1,⋯ , 𝑢}: Conjunto de conductores
ℱ = {1,⋯ , 𝑛𝑟 }: Conjunto de rutas
𝒮ℳ𝒩 = {1,⋯ , ⌈|𝒯|
14⌉}: Conjunto de semanas que componen el horizonte de planeación
𝒯𝑠𝑚𝑛 ⊂ 𝒯 Conjuntos de periodos (turnos) que conforman cada semana;
subconjuntos de 𝒯.
3.1.2. Parámetros
𝑐𝑖𝑗 Costo de cubrir el recorrido entre los nodos i y j 𝑖, 𝑗 ∈ 𝒱 | 𝑖 ≠ 𝑗
𝑡𝑖𝑗 Tiempo requerido para recorrer el arco entre los nodos i y j 𝑖, 𝑗 ∈ 𝒱 | 𝑖 ≠ 𝑗
𝑑𝑖𝑡 Demanda del cliente i en el periodo t 𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑡 ∈ 𝒯
𝐶𝑝𝑖 Capacidad del almacén de cada cliente i 𝑖 ∈ 𝒱𝓅
𝐿𝑖 Stock de seguridad definido para cada cliente i 𝑖 ∈ 𝒱𝓅
𝑝ℎ𝑖 Penalización por unidad faltante para cada cliente i 𝑖 ∈ 𝒱𝓅
𝑟𝑡 Cantidad de inventario que libera el depot para el periodo t 𝑡 ∈ 𝒯
ℎ𝑖 Costo de mantenimiento de inventario en cada nodo i 𝑖 ∈ 𝒱
𝐵𝑖 Nivel inicial de inventario en el nodo i 𝑖 ∈ 𝒱
𝑎𝑖 Límite inferior de la ventana de tiempo del cliente i 𝑖 ∈ 𝒱
𝑏𝑖 Límite superior de la ventana de tiempo del cliente i 𝑖 ∈ 𝒱
𝑠𝑖 Tiempo de servicio en cada nodo i 𝑖 ∈ 𝒱
𝑄𝑘 Capacidad del vehículo k 𝑘 ∈ 𝒦
𝐶𝐶𝑑 Costo de la hora ordinaria del conductor d 𝑑 ∈ 𝒟
38
𝑅𝐻𝐸 Recargo por hora extra ordinaria (25%)
𝑅𝐻𝑁 Recargo por hora extra nocturna (75%)
𝑅𝐻𝐷 Recargo por hora dominical (75%)
𝑇𝑑𝑒𝑠𝑐 Tiempo de descanso entre turnos (30 min)
𝑇𝐷𝑚𝑎𝑥 Jornada máxima laboral ordinaria diaria (8 h = 480 min)
𝑇𝑆𝑚𝑎𝑥 Jornada máxima laboral ordinaria semanal (48 h)
𝐻𝐷𝑚𝑎𝑥 Número máximo de horas extra diarias (2 h)
𝐻𝑆𝑚𝑎𝑥 Número máximo de horas extra semanales (12 h)
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑠𝑐 Límite que marca el inicio del descanso de un empleado (4 h = 240 min)
ℳ Constante suficientemente grande
3.1.3. Variables
𝐼𝑖𝑡 Inventario disponible al final del periodo t en el nodo i 𝑖 ∈ 𝒱; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑆𝑂𝑖𝑡 Inventario faltante al final del periodo t en el nodo i 𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑞𝑖𝑘𝑓𝑡
Cantidad entregada por cada vehículo k al cliente i durante el
recorrido de la ruta f en el periodo t 𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑥𝑖𝑗𝑘𝑓𝑡 = {
1
0
La ruta entre el nodo el i y j es recorrida cuando el vehículo
k cubre la ruta f en el periodo t
En caso contrario
𝑖, 𝑗 ∈ 𝒱 | 𝑖 ≠ 𝑗; 𝑘 ∈ 𝒦;
𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑦𝑖𝑘𝑓𝑡 = {
1
0
El nodo i es visitado por el vehículo k al recorrer la ruta f en
el periodo t
En caso contrario
𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑒𝑖𝑘𝑓𝑡
Momento en el que un vehículo k arriba al nodo i cuando
recorre la ruta f en el periodo t 𝑖 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑒𝑢 𝑘𝑓𝑡
Momento en el que empieza el último tramo de la ruta f
recorrido por el vehículo k en el periodo t 𝑘 ∈ 𝒦;
𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑤𝑘𝑓𝑡
Momento en el que finaliza la ruta f recorrida por el
vehículo k en el periodo t 𝑘 ∈ 𝒦;
𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯
39
𝛿𝑖𝑘𝑓𝑡 = {
1
0
Al llegar al nodo i, mientras el vehículo k recorría la ruta f se
supera el momento máximo de inicio del descanso para el
periodo t
En caso contrario
𝑖 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑔𝑑𝑡 = {
10
El conductor d es asignado al periodo t
En caso contrario 𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑤𝑔𝑑𝑡 Tiempo laborado por el conductor d en el periodo t 𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑧𝑑𝑘𝑓𝑡 {
1
0
El conductor d es asignado al vehículo k para recorrer la ruta
f en el periodo t
En caso contrario
𝑑 ∈ 𝒟; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑠𝑝𝑙𝑑𝑡
Tiempo suplementario laborado por el conductor d en el
periodo t (en minutos) 𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑆𝑃𝐿𝑑𝑡
Tiempo suplementario laborado por el conductor d en el
periodo t (en horas) 𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯
3.1.4. Función objetivo
min 𝑍 =∑∑ℎ𝑖𝐼𝑖𝑡
𝑡∈𝒯𝑖∈𝒱
+ ∑ ∑(𝑝ℎ𝑖)𝑆𝑂𝑖𝑡
𝑡∈𝒯𝑖∈𝒱𝓅
+∑ ∑ ∑∑∑𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗𝑘𝑓𝑡
𝑡∈𝒯𝑓∈ℱ𝑘∈𝒦𝑗∈𝒱|𝑖≠𝑗𝑖∈𝒱
+∑𝐶𝐶𝑑 ( ∑ 𝑅𝐻𝐸 × 𝑆𝑃𝐿𝑑𝑡
𝑡∈𝒯 | 𝑡 mod 2=1 ∧ 𝑡 mod 13≠1
+ ∑ 𝑅𝐻𝑁 × 𝑆𝑃𝐿𝑑𝑡
𝑡∈𝒯 | 𝑡 mod 2=0 ∧ 𝑡 mod 14≠1𝑑∈𝒟
+ ∑ (𝑆𝑃𝐿𝑑14(𝑠𝑚𝑛)(𝑅𝐻𝑁 + 𝑅𝐻𝐷) + 𝑆𝑃𝐿𝑑
14(𝑠𝑚𝑛)−1(𝑅𝐻𝐸 + 𝑅𝐻𝐷))
𝑠𝑚𝑛∈𝒮ℳ𝒩
)
(1)
Nótese que en la Ecuación (1) se hace explícita la representación matemática de aquellas
situaciones en la que las horas extras tienen recargos diferentes para los turnos disponibles y los
empleados pueden laborar los días dominicales a cambio de un día compensatorio en la semana.
40
3.1.5. Restricciones
𝐼1𝑡 = 𝐼1
𝑡−1 + 𝑟𝑡 − ∑ ∑ ∑𝑞𝑖𝑘𝑓𝑡
𝑓∈ℱ𝑘∈𝒦𝑖∈𝒱𝓅
∀𝑡 ∈ 𝒯 (2)
𝐼𝑖𝑡 − 𝑆𝑂𝑖
𝑡 = 𝐼𝑖𝑡−1 − 𝑆𝑂𝑖
𝑡−1 + ∑ ∑𝑞𝑖𝑘𝑓𝑡
𝑓∈ℱ𝑘∈𝒦
− 𝑑𝑖𝑡 ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑡 ∈ 𝒯 (3)
𝐼𝑖𝑡 ≥ 𝐿𝑖 − 𝑆𝑂𝑖
𝑡 ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑡 ∈ 𝒯 (4)
𝐼𝑖𝑡 ≤ 𝐶𝑝𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑡 ∈ 𝒯 (5)
∑ ∑𝑞𝑖𝑘𝑓𝑡
𝑓∈ℱ𝑘∈𝒦
≤ 𝐶𝑝𝑖 − 𝐼𝑖𝑡−1 ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑡 ∈ 𝒯 (6)
∑∑𝑞𝑖𝑘𝑓𝑡
𝑓∈ℱ𝑘∈𝒦
≤ 𝐶𝑝𝑖∑∑ ∑𝑥𝑖𝑗𝑘𝑓𝑡
𝑓∈ℱ𝑘∈𝒦𝑗∈𝒱
∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑡 ∈ 𝒯 (7)
𝑞𝑖𝑘𝑓𝑡 ≤ 𝐶𝑝𝑖𝑦𝑖𝑘𝑓
𝑡 ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (8)
∑ 𝑞𝑖𝑘𝑓𝑡 ≤
𝑖∈𝒱𝓅
𝑄𝑘 ∀𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (9)
∑ 𝑥𝑖𝑗𝑘𝑓𝑡
𝑗∈𝒱|𝑖≠𝑗
= ∑ 𝑥𝑗𝑖𝑘𝑓𝑡
𝑗∈𝒱|𝑖≠𝑗
= 𝑦𝑖𝑘𝑓𝑡 ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (10)
∑ 𝑥1𝑗𝑘𝑓𝑡
𝑗∈𝒱𝓅
≤ 1 ∀𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (11)
∑ 𝑦𝑖𝑘𝑓𝑡
𝑘∈𝒦
≤ 1 ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯
𝑒𝑖𝑘𝑓𝑡 + 𝑇𝑑𝑒𝑠𝑐𝛿𝑗𝑘𝑓
𝑡 + 𝑠𝑖 + 𝑐𝑖𝑗 − 𝑒𝑗𝑘𝑓𝑡 − 𝑇𝑑𝑒𝑠𝑐𝛿𝑖𝑘𝑓
𝑡 ≤ (1 − 𝑥𝑖𝑗𝑘𝑓𝑡 )ℳ
∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑗 ∈ 𝒱𝓅; 𝑘 ∈ 𝒦
; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯|𝑖 ≠ 𝑗 (12)
𝑒𝑖𝑘𝑓𝑡 ≥ 𝑎𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (13)
𝑒𝑖𝑘𝑓𝑡 ≤ 𝑏𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (14)
𝑒𝑢 𝑘𝑓𝑡 ≥ 𝑒𝑖𝑘𝑓
𝑡 − (1 − 𝑥𝑖1𝑘𝑓𝑡 )ℳ ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (15)
𝑒𝑢 𝑘𝑓𝑡 ≤ℳ ∑ 𝑥𝑖1𝑘𝑓
𝑡
𝑖∈𝒱𝓅
∀𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (16)
41
𝑤𝑘𝑓𝑡 = 𝑒𝑢 𝑘𝑓
𝑡 + ∑ 𝑐𝑖1𝑥𝑖1𝑘𝑓𝑡
𝑖∈𝒱𝓅
∀𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (17)
𝑒1𝑘𝑓′𝑡 ≥ 𝑤𝑘𝑓
𝑡 − (1 − ∑ 𝑥1𝑗𝑘𝑓′𝑡
𝑗∈𝒱𝓅
)ℳ ∀𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓, 𝑓′ ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 | 𝑓′
≠ 𝑓 (18)
𝑒𝑖𝑘𝑓𝑡 − 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑠𝑐 ≤ 𝛿𝑖𝑘𝑓
𝑡 ℳ ∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (19)
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑠𝑐 − 𝑒𝑖𝑘𝑓𝑡 ≤ (1 − 𝛿𝑖𝑘𝑓
𝑡 ) ℳ ∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (20)
𝑤𝑘𝑓𝑡 ≤ 𝑏1 ∀𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (21)
∑ 𝑥𝑖1𝑘𝑓𝑡
𝑖∈𝒱𝓅
= ∑ 𝑧𝑑𝑘𝑓𝑡
𝑑∈𝒟
∀𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (22)
∑ ∑ 𝑧𝑑𝑘𝑓𝑡
𝑘∈𝒦𝑑∈𝒟
≤ 1 ∀𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 𝑧𝑑𝑘𝑓𝑡 ≤ 𝑔𝑑
𝑡 ∀𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 (23)
𝑒1𝑘′𝑓′𝑡 ≥ 𝑤𝑘𝑓
𝑡 − (1 −𝑧𝑑𝑘𝑓𝑡 + 𝑧𝑑𝑘′𝑓′
𝑡
2)ℳ
∀𝑘, 𝑘′ ∈ 𝒦; 𝑓, 𝑓′ ∈ ℱ; 𝑑 ∈ 𝒟
𝑡 ∈ 𝒯 | 𝑘 ≠ 𝑘′ (24)
𝑤𝑔𝑑𝑡 ≥ 𝑤𝑘𝑓
𝑡 − (1 − 𝑧𝑑𝑘𝑓𝑡 )ℳ ∀ 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 (25)
𝑤𝑔𝑑𝑡 ≤ 𝑇𝐷𝑚𝑎𝑥 + 𝑇𝑑𝑒𝑠𝑐 + 𝑠𝑝𝑙𝑑
𝑡 ∀𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 (26)
𝑠𝑝𝑙𝑑𝑡 ≤ 𝑔𝑑
𝑡ℳ ∀𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 (27)
𝑠𝑝𝑙𝑑𝑡
60≤ 𝑆𝑃𝐿𝑑
𝑡 ∀𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 (28)
𝑆𝑃𝐿𝑑𝑡 ≤ 𝐻𝐷𝑚𝑎𝑥 ∀𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 (29)
∑ 𝑆𝑃𝐿𝑑𝑡
𝑡∈𝒯𝑠𝑚𝑛
≤ 𝐻𝑆𝑚𝑎𝑥 ∀𝑑 ∈ 𝒟; 𝑠𝑚𝑛 ∈ 𝒮ℳ𝒩 (30)
∑ 𝑇𝐷𝑚𝑎𝑥 × 𝑔𝑑𝑡
𝑡∈𝒯𝑠𝑚𝑛
≤ 𝑇𝑆𝑚𝑎𝑥 ∀𝑑 ∈ 𝒟; 𝑠𝑚𝑛 ∈ 𝒮ℳ𝒩 (31)
𝑔𝑑𝑡 + 𝑔𝑑
𝑡+1 ≤ 1 ∀𝑑 ∈ 𝒟;
𝑡 ∈ 𝒯|𝑡 mod 2 = 0 ∧ 𝑡 < |𝒯| (32)
𝑒1𝑘𝑓′𝑡 ≥ 𝑠𝑝𝑙𝑑
𝑡−1 − (1 −∑𝑧𝑑𝑘𝑓𝑡−1
𝑓∈ℱ
)ℳ
∀ 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓′ ∈ ℱ; 𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 𝐼𝑖𝑡 , 𝑆𝑂𝑖
𝑡 ≥ 0 ∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑡 ∈ 𝒯 (33)
𝑞𝑖𝑘𝑓𝑡 ≥ 0 ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (34)
42
𝑒𝑖𝑘𝑓𝑡 ≥ 0 ∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (35)
𝑒𝑢 𝑘𝑓𝑡 , 𝑤𝑘𝑓
𝑡 ≥ 0 ∀𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (36)
𝑤𝑔𝑑𝑡 , 𝑠𝑝𝑙𝑑
𝑡 ≥ 0 ∀𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 (37)
𝑥𝑖𝑗𝑘𝑓𝑡 𝜖{0,1}
∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑗 ∈ 𝒱𝓅; 𝑘 ∈ 𝒦
; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯|𝑖 ≠ 𝑗 (38)
𝑦𝑖𝑘𝑓𝑡 𝜖{0,1} ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (39)
𝛿𝑖𝑘𝑓𝑡 𝜖{0,1} ∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (40)
𝑔𝑑𝑡 𝜖{0,1} ∀𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 (41)
𝑧𝑑𝑘𝑓𝑡 𝜖{0,1} ∀𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 (42)
𝑆𝑃𝐿𝑑𝑡 ∈ ℤ+ ∀𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 (43)
En éste modelo, la función objetivo expresada en la Ecuación ((1)) es la suma de los costos
de manejo de inventarios en el depot y en los almacenes de los clientes, el costo de penalización
por demandas diferidas, el costo de ejecutar cada ruta y los costos del tiempo suplementario
laborado por cada trabajador.
Las restricciones definidas por (2) y (3) representan las ecuaciones de balance de
inventarios para el depot y los clientes, respectivamente. Cabe aclarar que 𝐼𝑖0 = 𝐵𝑖; es decir, el
inventario en el periodo 𝑡 = 0 es un parámetro conocido igual al inventario inicial en el sistema.
La desigualdad (4) indica que el nivel de inventario no debería estar por debajo del stock de
seguridad; cuando lo esté, se asocia la diferencia a una variable que es penalizada en la función de
costo. El nivel de inventario nunca deberá superar la capacidad de un almacén, como se especifica
en (5). En (6) se establece que la cantidad enviada a un cliente en un periodo definido, no deberá
superar la diferencia entre la capacidad de un cliente y el nivel de inventario con el que finaliza el
43
periodo anterior y en (7) y (8) se asegura que sólo se pueda enviar producto a cliente, cuando ésta
visita es realmente programada. Adicionalmente, como establece la ecuación (9), no se puede
superar la capacidad del vehículo al realizar la planeación. Las restricciones (10)-(11) corresponden
a las condiciones para la conexión de nodos en modelos matemáticos basados en grafos, como el
que aquí se presenta. Las restricciones (2)-(11) se basan en el trabajo de Archetti et al. (2007) y
Coelho et al. (2013).
Las restricciones (12)-(14) definen las ventanas de tiempo y su modelado se basa en el
trabajo de Zäpfel & Bögl (2008). Por medio de las restricciones (15)-(17) se puede determinar el
momento en el que cada tour termina para cada periodo de tiempo y vehículo. La restricción (18)
especifica que, durante un turno, un vehículo no puede recorrer un tour o ruta hasta no haber
finalizado el anterior. Zäpfel y Bögl además proponen las ecuaciones adaptadas en (19) y (20); en
ellas se determina en qué parte de cada ruta deberá realizarse un descanso en los turnos
programados. Además, en (21), se especifica que ningún vehículo deberá terminar su ruta después
del límite superior de la ventana del depot, que en éste problema representa el final de un turno
incluyendo el máximo tiempo extra que pueda presentarse.
Por medio de las restricciones (22)-(23) se realiza la asignación de conductores a turnos y
rutas, asegurando que un conductor sólo sea seleccionado para cubrir una ruta y manejar un
vehículo para dicha ruta (Zäpfel & Bögl, 2008). Un conductor, tampoco puede cubrir más de una
operación al tiempo; ésta condición se garantiza en (24). En (25) se define el tiempo trabajado y en
(26) se restringe, teniendo en cuenta las consideraciones legales previamente especificadas. En
(27)(28)-(30), se restringe el tiempo suplementario y en (31) se restringe el tiempo total trabajado
por semana y en (32) se especifica que un trabajador no podrá trabajar más de un turno por día.
44
Las ecuaciones (33)-(43) corresponden a las restricciones de no negatividad de las variables del
modelo.
3.2. Consideraciones Adicionales Relevantes
La reducción del problema dinámico a uno estático, el tratamiento de información
determinística y no estocástica (se asume que existe certeza sobre la información de entrada del
modelo y que se conoce toda la información necesaria de forma anticipada) y la complejidad
computacional del modelo propuesto son las principales consideraciones a tener en cuenta respecto
a la formulación presentada anteriormente. Para hacer frente a éstos y otros problemas, en ésta
sección se describirán una serie de consideraciones que permitirán encontrar una metodología de
solución adecuada para el problema planteado en el presente trabajo.
3.2.1. Tratamiento de información estocástica
Para construir una adecuada representación de la realidad, es necesario tener en cuenta que
usualmente no hay completa certeza en relación con la información disponible sobre el futuro.
Ahora, en la práctica, es muy posible que el decisor deba realizar las estimaciones adecuadas con
base en datos históricos dado que la demanda no es conocida hasta que ésta se presenta (Coelho,
2012). Por ésta razón, cuando las condiciones que describen el sistema sobre el cual se realiza la
planeación cambian con el tiempo y no hay certidumbre sobre su comportamiento futuro, vale la
pena utilizar distintas herramientas estadísticas que permiten aprovechar la información disponible
y evaluar el comportamiento esperado de las variables que generen incertidumbre.
Si se trata la demanda 𝑑𝑖𝑡 de cada cliente como una variable aleatoria con distribución de
probabilidad 𝐷𝑖𝑡, es posible realizar estimaciones del comportamiento de la demanda al conocer
45
información histórica sobre la misma. Para los efectos del presente trabajo se asume que la
demanda es una variable aleatoria con distribución normal. Bajo éste supuesto, un estimador de la
demanda que permite describir el comportamiento esperado del sistema y sobre el cual se puedan
tomar decisiones con ajustes razonables y concordantes con el dinamismo del sistema, es la media
muestral de la información histórica disponible. Así, la demanda para un horizonte de planeación
𝒯′ es la media muestral de la demanda registrada durante un conjunto de 𝒻 periodos anteriores; es
decir: 𝐸[�̂�𝑖𝑡] = �̅�𝑖
𝑡,𝑡−𝒻.
3.2.2. Demandas dinámicas
El segundo problema que supone el modelo propuesto en la sección 3.1 es que asume que
el sistema es estático, la información conocida no cambia con el tiempo y que las decisiones
tomadas en el presente no afectan el estado futuro del sistema. Para poder incluir información de
entrada en la solución del problema que se revela en forma dinámica, se utilizan rolling horizons.
Por medio de estrategia, en vez de resolver el problema para el total de periodos en el
horizonte de planeación, se resuelve el problema cada periodo para un horizonte 𝒯′: |𝒯′| < |𝒯| ∧
𝒯′ ∈ 𝒯 y se van ajustando los parámetros del periodo inicial del horizonte de planeación 𝒯′ a
medida que pasa el tiempo y la demanda 𝑑𝑖𝑡 se revela. En otras palabras, en un horizonte
planeación 𝒯, se resolverá primero el problema teniendo sólo en cuenta los 𝕥 primeros periodos
del horizonte, de modo que se resuelve el modelo para 𝒯′ = {1,2,⋯ , 𝕥}, al final del primer periodo
se conoce la demanda 𝑑𝑖𝑡 real y se deben ajustar los parámetros que correspondan al estado real
de sistema.
46
Posteriormente, se resolverá el problema empezando desde el segundo periodo y
cambiando el estado inicial del sistema al estado al final de periodo anterior; de éste modo, se
resuelve el problema para un nuevo horizonte 𝒯′ = {2,3,⋯ , 𝕥 + 1}. El proceso se repite hasta
resolver el problema para el horizonte definido por el intervalo 𝒯′ = {𝑝 − 𝕥 + 1, ,⋯ , 𝑝} ajustando
en cada iteración los parámetros iniciales para que concuerden con el estado real del sistema. El
costo real de la gestión se obtiene al sumar los costos reales incurridos en el primer periodo de
todos los horizonte 𝒯′. En la Figura 1 se representa la solución de problemas bajo una estrategia
de rolling horizons y la relación que existe entre un periodo (horizonte temporal) y el siguiente.
Figura 1. Representación de la estrategia rolling horizons para la solución de problemas en un
horizonte de planeación
Los parámetros que han de ser actualizados al final de cada iteración del proceso son: la
demanda (dado que depende de los datos históricos y la nueva información que se conoce con el
tiempo) y el inventario inicial (dado que depende de las decisiones tomadas al resolver el problema
para el periodo anterior y la información revelada al final del periodo anterior).
47
3.2.3. Complejidad
El IRP, como se ha mencionado anteriormente en éste texto y cabe aquí resaltar, es una
extensión del VRP (Cho et al., 2014). En consecuencia, es razonable pensar que no sólo hereda su
complejidad computacional, sino que añade nuevas capas de complejidad que dificultan la
solución del problema. Por ésta razón, se propondrá posteriormente un algoritmo que permita
encontrar una buena solución en un tiempo razonable para el problema hasta aquí descrito.
3.2.4. Otras consideraciones
En el presente trabajo se modela la mayor parte de las condiciones descritas en la sección
2.3 en relación con el marco legislativo laboral colombiano. Algunas consideraciones no se
tuvieron en cuenta ya que no son compatibles con las condiciones tratadas y no se requiere una
profundización en su representación pues pueden ser adaptadas utilizando una aproximación
previa al problema o requieren de una modificación obvia del modelo presentado. Por ejemplo, los
horarios flexibles han sido tratados en el trabajo de Benoist et al. (2011) y la programación de tres
turnos diarios es una modificación obvia sobre el modelo para dos turnos propuesto.
Finalmente, es importante mencionar que para cubrir con el requerimiento de la demanda
con los vehículos disponibles se programa un número |ℱ| de rutas posibles, siguiendo las
consideraciones propuestas en (Zäpfel & Bögl, 2008). Éste número se calcula a partir de la relación
descrita en (44), en donde 𝑑𝑖𝑡 es la demanda real para cada cliente en cada periodo.
|ℱ| ≤ ⌈max𝑡 ∈ 𝒯
∑ 𝑑𝑖𝑡
𝑖 ∈𝒱𝓅
min𝑄𝑘⌉ ∀𝑡 ∈ 𝒯 (44)
48
3.3. Descomposición y Algoritmo de Solución Secuencial
Como se mencionó previamente, se requiere de un algoritmo que permita no sólo tomar las
decisiones hasta aquí especificadas, sino que permita hacerlo haciendo frente a los problemas de
complejidad, dinamismo de la información y la necesidad de una “rápida” ejecución; esto es, que
permita encontrar soluciones en un tiempo razonable. En ésta sección se describirá el algoritmo
diseñado para la resolución del problema tratado en éste trabajo.
3.3.1. Descomposición del modelo
Como se mencionó, en el trabajo realizado en (Pérez & Guerrero, 2015) se extiende el
modelo del IRP propuesto por Archetti et al. en (2007) para incluir las restricciones de ventanas
de tiempo. El modelo propuesto representa la toma simultánea de las decisiones de ruteo e
inventario; no obstante, dada la complejidad que representa la resolución del modelo, los autores
proponen la descomposición del modelo en dos submodelos resueltos de forma secuencial
Dado que el modelo aquí propuesto extiende el IRP con ventanas de tiempo y teniendo en
cuenta las consideraciones expuestas, se construye una estrategia de descomposición para el
modelo propuesto en la sección 3.1 que permite encontrar una solución al problema combinado de
IRP y Crew Scheduling con ventanas de tiempo utilizando recursos computacionales razonables.
La descomposición del modelo se rige por las siguientes reglas y consideraciones:
Las decisiones se tipifican de acuerdo a la actividad y al recurso con el que se relacionan:
inventarios, vehículos y personal. Cada uno de éstos subproblemas se formula de modo que
se minimice el costo de gestionar el recurso disponible. Para hallar la solución del problema
se resuelve de forma secuencial cada modelo siguiendo el orden anteriormente definido.
49
La descomposición propuesta en ésta sección guarda algunas relaciones entre los modelos
resultantes que favorecen la factibilidad en las siguientes etapas de la secuencia.
El costo total de cada horizonte de planeación resulta de la suma de la solución de los tres
subproblemas propuestos.
Las decisiones de inventario corresponden a los niveles de inventario y los niveles de
demanda diferida y las cantidades del producto que deberán ser enviadas. Se minimiza el
costo de inventarios y demanda no satisfecha.
Las decisiones de ruteo implican el diseño de rutas que se deberán seguir y la planeación
de horarios de recorrido. Se minimiza el costo de ruteo y llegada temprana o tardía de un
vehículo respecto a la ventana de tiempo de cada cliente.
Las decisiones de personal implican la asignación de personal a turnos de trabajo y la
asignación de personal a rutas por recorrer y vehículos. Se espera minimizar el costo de
trabajo suplementario de los conductores.
A pesar de que el modelo se formuló para tomar las anteriores decisiones de forma
simultánea, se requiere una estrategia que permita encontrar soluciones de forma lo
suficientemente rápida como para tomar decisiones en periodos razonables y concordantes
con la longitud de cada periodo del horizonte de planeación, a pesar de que éstas puedan
ser subóptimas respecto al modelo propuesto en la sección 3.1.
Dado que, al resolver el problema de inventarios, no se tienen en cuenta las ventanas de
tiempo, se necesita relajar las condiciones de ventanas de tiempo del modelo propuesto. De
lo contrario, el problema es –en muchos casos– infactible. La relajación de los
subproblemas de inventarios y personal ya fue modelada. Para el primero, se permite diferir
la demanda. Para el segundo, se permite trabajo suplementario o tiempo extra.
50
La información que resulta de la resolución de una de las etapas de la frecuencia, es parte
de la entrada de la etapa posterior dentro de la secuencia resultante de la descomposición.
Además, al conocer la información necesaria, se debe ajustar el modelo respecto a las
condiciones reales del sistema. Ésta información será la entrada para el siguiente periodo.
3.3.1.1. Subproblema de gestión de inventarios
El primer submodelo que se ha de resolver, permite tomar las decisiones relacionadas con
el proceso de gestión de inventarios. Esto quiere decir que se controlarán los niveles de inventarios
y productos faltantes para cada periodo y en cada nodo de la red al decidir las cantidades que se
abastecerán a cada cliente, los periodos en los que éstas actividades serán realizadas y los vehículos
que realizarán la entrega.
Este modelo se construye con las restricciones definidas por las desigualdades y ecuaciones
(2)-(11) que corresponden a las restricciones de la gestión de inventario y (33),(34),(38) y (39), las
restricciones de no-negatividad del modelo. La función objetivo está definida por la ecuación (45)
min𝑍𝐼𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 =∑∑ℎ𝑖𝐼𝑖𝑡
𝑡∈𝒯𝑖∈𝒱
+ ∑ ∑𝑝ℎ𝑖𝑆𝑂𝑖𝑡
𝑡∈𝒯𝑖∈𝒱𝓅
(45)
Las siguientes variables se fijan y se convierten en parámetros para el modelo de ruteo de
vehículos: 𝐼𝑖𝑡, 𝑞𝑖𝑘𝑓
𝑡 𝑦 𝑦𝑖𝑘𝑓𝑡 .
51
3.3.1.2. Subproblema de ruteo de vehículos
El segundo modelo que compone el algoritmo de solución aquí propuesto, permite dar
solución al problema de ruteo de vehículos. Éste modelo permite definir y programar rutas para
cada vehículo y cada tour durante los periodos que componen el horizonte de planeación.
Para la construcción de éste modelo se utilizan las restricciones definidas por las
ecuaciones (10)-(11) o de balance de flujo; la desigualdad (12), que define los recorridos de cada
vehículo en relación con cada ruta; las ecuaciones (15)-(21) que corresponden a las condiciones
de consistencia de cada ruta y las restricciones (35)-(36) y (37) o restricciones de no-negatividad.
Las restricciones (13)-(14) son reemplazadas por las restricciones (46)-(47) que relajan las
ventanas de tiempo y permiten las esperas y llegadas tardías. En donde las primeras son
representadas por las variables 𝑇𝑊1𝑖𝑘𝑓𝑡 y las segundas por 𝑇𝑊2𝑖𝑘𝑓
𝑡 .
𝑒𝑖𝑘𝑓𝑡 ≥ 𝑎𝑖 − 𝑇𝑊1𝑖𝑘𝑓
𝑡 ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (46)
𝑒𝑖𝑘𝑓𝑡 ≤ 𝑏𝑖 + 𝑇𝑊2𝑖𝑘𝑓
𝑡 ∀𝑖 ∈ 𝒱𝓅; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 (47)
La función objetivo del modelo está definida por la ecuación (48). En ella se ve cómo se
penaliza el incumplimiento de ventanas de tiempo. 𝐶𝑉𝑇𝑖𝑡 representa el costo de incumplimiento
por unidad de tiempo. Para obtenerlo, se multiplica la cantidad de producto que se espera recibir
por un costo por unidad y unidad de tiempo. En éste caso se usó un costo de 0.005 u.m./(und×min).
min𝑍𝑅𝑢𝑡𝑒𝑜 =∑ ∑ ∑ ∑∑𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗𝑘𝑓𝑡
𝑡∈𝒯𝑓∈ℱ𝑘∈𝒦𝑗∈𝒱|𝑖≠𝑗𝑖∈𝒱
+ ∑ ∑∑∑𝐶𝑉𝑇𝑖𝑡(𝑇𝑊1𝑖𝑘𝑓
𝑡 + 𝑇𝑊2𝑖𝑘𝑓𝑡 )
𝑡∈𝒯𝑓∈ℱ𝑘∈𝒦𝑖∈𝒱𝓅
(48)
Las siguientes variables se fijan y se convierten en parámetros de entrada para el problema
de asignación de personal: 𝑥𝑖𝑗𝑘𝑓𝑡 , 𝑒𝑖𝑘𝑓
𝑡 𝑦 𝑤𝑘𝑓𝑡 .
52
3.3.1.3. Subproblema de asignación de personal
El último problema que se desea resolver es el de asignación de personal. Las decisiones
que se tomarán son la asignación del personal a los turnos del día y periodos del horizonte de
planeación y la asignación a vehículos para la ejecución de las rutas programadas.
El modelo fue construido con las ecuaciones y desigualdades (22)-(32), que modelan las
condiciones laborales planteadas previamente y de consistencia que impiden una asignación que
no se pueda cumplir; las restricciones (37) y (41)-(43) especifican la no-negatividad de las variables.
La función objetivo de esto submodelo está definida por la ecuación
min𝑍𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑙 =∑ 𝐶𝐶𝑑 ( ∑ 𝑅𝐻𝐸 × 𝑆𝑃𝐿𝑑𝑡
𝑡∈𝒯 | 𝑡 mod 2=1 ∧ 𝑡 mod 13≠1𝑑∈𝒟
+ ∑ 𝑅𝐻𝑁 × 𝑆𝑃𝐿𝑑𝑡
𝑡∈𝒯 | 𝑡 mod 2=0 ∧ 𝑡 mod 14≠1
+ ∑ (𝑆𝑃𝐿𝑑14(𝑠𝑚𝑛)(𝑅𝐻𝑁 + 𝑅𝐻𝐷) + 𝑆𝑃𝐿𝑑
14(𝑠𝑚𝑛)−1(𝑅𝐻𝐸 + 𝑅𝐻𝐷))
𝑠𝑚𝑛∈𝒮ℳ𝒩
)
(49)
Para cada periodo se necesita revisar si un trabajador ha sido asignado a turnos específicos
en el pasado. Para ello se maneja una matriz 𝑔𝑠𝑜𝑙𝑑𝑡 que almacena si un trabajador ha sido empleado
durante un periodo o no. Al resolver el modelo lineal, es necesario actualizar la matriz de modo
que en posteriores iteraciones la información que contiene pueda ser consultada.
3.3.2. Algoritmo de solución
Ya descrita la estrategia de descomposición, vale la pena detallar la integración de las
decisiones por medio del proceso secuenciado que se diseñó. En primera instancia, es necesario
53
recordar que el proceso se desarrolla en un rolling horizon; es decir, se toman las decisiones ya
mencionadas para un horizonte de longitud menor al tiempo requerido, se implementan las
decisiones tomadas para el primer periodo, se actualizan los parámetros dependiendo del resultado
del periodo y se lleva a cabo de nuevo el proceso de decisión sin tener en cuenta el primer periodo
y adicionando el periodo siguiente al último periodo en el horizonte de planeación.
La planeación para cada iteración a lo largo del horizonte de planeación es desarrollada
llevando a cabo un proceso secuencial de toma de decisión, por medio del cual se resuelven los
subproblemas definidos anteriormente. La información aportada por la solución del modelo de
gestión de inventarios alimenta el modelo de ruteo de vehículos; el cual, a su vez, alimenta el
modelo de gestión de personal. En la Figura 2 se puede observar cómo interactúan el modelo del
problema dinámico de inventario, ruteo y secuenciación para personal con ventanas de tiempo (a
partir de ahora llamado DIRCSPTW) y los tres submodelos propuestos. Cabe resaltar que el
modelo aquí presentado es la adaptación y extensión del modelo propuesto para resolver el IRP
estático y determinístico propuesto en (Pérez & Guerrero, 2015)
Se definen las medidas 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝐼𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜, 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝑅𝑢𝑡𝑒𝑜 𝑦 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑙 para conocer
el tiempo que toma la ejecución de cada modelo. Si el tiempo de ejecución un modelo alcanza el
límite respectivo, se detiene su modelo y la mejor solución factible encontrada es adoptada. De no
encontrar una solución factible, se detiene la ejecución del modelo para el periodo respectivo.
54
Figura 2. Proceso de toma decisiones para el DIRCSPTW (Dynamic Inventory Routing and Crew
Scheduling Problem with Time Windows). Elaboración propia con base en (Pérez & Guerrero,
2015)
En el Algoritmo 1 se muestra el proceso para la toma de decisiones que resume las
consideraciones expuestas hasta éste punto y la implementación de los tres submodelos propuestos
en la sección anterior para encontrar una solución del problema dinámico de inventario, ruteos y
secuenciación para personal con ventanas de tiempo (DIRCSPTW).
Algoritmo 1: Secuenciación para la solución del modelo combinado de IRP y Crew Scheduling
1: Inicio
2: Inicialización de parámetros.
3: Definir horizonte de planeación |𝒯 ′|
4: for horizonte = 1 , … , do
5: Calcular demanda media y desviación de la demanda
6: while 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝐼𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 < 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝐼𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 do
7: Ejecutar modelo de gestión de inventarios
8: end while
9: Inicio de la actualización matrices de solución
10: 𝐼𝑠𝑜𝑙𝑖𝑡 ⟵ 𝐼𝑖
𝑡 − 𝑆𝑂𝑖𝑡 ∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑡 ∈ 𝒯 ′
11: 𝑞𝑠𝑜𝑙𝑖𝑘𝑓𝑡 ⟵ 𝑞𝑖𝑘𝑓
𝑡 ∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 ′
12: 𝑦𝑠𝑜𝑙𝑖𝑘𝑓𝑡 ⟵ 𝑦𝑖𝑘𝑓
𝑡 ∀𝑖 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 ′
13: Fin de la actualización
14: If SoluciónModeloInventario es óptima or hay al menos una solución factible then
15: while 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝑅𝑢𝑡𝑒𝑜 < 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝑅𝑢𝑡𝑒𝑜 do
55
Algoritmo 1: Secuenciación para la solución del modelo combinado de IRP y Crew Scheduling
16: Ejecutar modelo de ruteo de vehículos
17: end while
18: Inicio de la actualización matrices de solución
19: 𝑥𝑠𝑜𝑙𝑖𝑗𝑘𝑓𝑡 ⟵ 𝑥𝑖𝑗𝑘𝑓
𝑡 ∀ 𝑖 ∈ 𝒱; 𝑗 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 ′
20: 𝑒𝑠𝑜𝑙𝑖𝑘𝑓𝑡 ⟵ 𝑒𝑖𝑘𝑓
𝑡 ∀ 𝑖 ∈ 𝒱; 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 ′
21: 𝑤𝑠𝑜𝑙𝑘𝑓𝑡 ⟵𝑤𝑘𝑓
𝑡 ∀ 𝑘 ∈ 𝒦; 𝑓 ∈ ℱ; 𝑡 ∈ 𝒯 ′
22: Fin de la actualización
23: If SoluciónModeloRuteo es óptima or hay al menos una solución factible then
24: while 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑙 < 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑙 do
25: Ejecutar modelo de asignación personal
26: end while
27: Inicio de la actualización matrices de solución
28: 𝑔𝑠𝑜𝑙𝑑ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑒 ⟵ 𝑔𝑑
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑒 ∀ 𝑑 ∈ 𝒟; 𝑡 ∈ 𝒯 ′
29: Fin de la actualización
30: 𝐵𝑖 ⟵ 𝐼𝑠𝑜𝑙𝑖𝑡 − �̅�𝑖 + 𝑑𝑖
𝑡
31: else
32: Interrumpir ejecución
33: end if
34: else
35: Interrumpir ejecución
36. end if
37: end for
38: Fin
3.4. Diseño de Medidas de Desempeño
En ésta sección se presentan las medidas que permiten evaluar el desempeño de un sistema
y validar el método de solución propuesto; éstas son: los costos de la gestión, tiempos de ejecución,
niveles de ocupación de recursos y, dado que cada uno de los subproblemas definidos podría
resultar en una solución infactible o una interrupción de la optimización en cada iteración del
algoritmo, la cantidad de periodos para los cuales hay tanto infactibilidad como interrupción del
modelo.
56
3.4.1. Costos de la gestión
Son varios los componentes de costos que se evalúan en la ejecución del modelo. Aquí se
evaluarán los costos óptimos por periodo (costos esperados de la gestión), costos reales de
ejecución (costos en los que se incurre realmente), costos óptimos por horizonte de planeación y
costos de penalización por no satisfacer la demanda.
Costos óptimos del horizonte de planeación: Corresponden a la solución de cada uno de los
submodelos. La suma de éstos costos corresponde al costo óptimo total del horizonte de
planeación. Se conoce el costo para cada submodelo y la suma de éstos costos permite
conocer el costo total para un horizonte de planeación.
Costos esperados por periodo: Dado que sólo se implementa el primer periodo de cada
horizonte, vale la pena tener en cuenta éste costo en especial. El costo esperado para cada
periodo corresponde al costo óptimo del primer periodo de cada horizonte de planeación.
Éste se conoce y registra para cada subproblema y la suma de éstos corresponde a los costos
totales esperados por cada periodo.
Costo real por periodo: Luego de que finaliza un periodo, la demanda real es conocida y los
niveles de inventario deben ser ajustados. En éste momento se conoce el costo real de la
gestión de inventario y, en consecuencia, el costo real de la gestión para cada periodo. Éste
costo sólo corresponde al modelo de gestión de inventarios, el costo real total del problema
corresponde a la suma de éste costo con el costo óptimo del primer periodo resultante de los
modelos de ruteo de vehículos y asignación de personal y secuenciación de tareas.
57
Costo reales y esperados de gestión: La suma de los costos reales cada periodo a largo de
todo el horizonte de planeación permite conocer el costo real de la gestión. Se realiza el
mismo procedimiento para conocer el costo esperado total del horizonte de planeación.
3.4.2. Tiempos de ejecución
Tiempo de ejecución de cada modelo: se mide el tiempo desde que el momento en el que
cada submodelo empieza a ejecutarse hasta que se encuentra la solución óptima.
Tiempo total para la ejecución de un horizonte (o mejor, un periodo y el horizonte de
planeación correspondiente): se calcula sumando los tiempos de ejecución de los modelos
de gestión de inventarios, ruteo de vehículos y asignación de personal.
Tiempo total de ejecución DIRCSPTW: Ésta es una medida de desempeño sólo aplicable
para la evaluación y validación del algoritmo propuesto. Permite conocer el tiempo total que
requiere la completa ejecución del algoritmo de solución diseñado para un horizonte de
planeación definido. Se requiere de la información inicial, de la información histórica y de
información sobre las demandas reales de todos los periodos del horizonte de planeación.
Las instancias diseñadas en el presente trabajo contienen la información suficiente.
Es importante recordar que un día está compuesto por dos turnos. El tiempo que transcurre
entre ellos es variable y depende de las políticas y condiciones de cada sistema u organización. La
importancia de éste tiempo radica en que puede limitar el tiempo máximo de ejecución para cada
periodo. En el presente trabajo se asume que el tiempo total entre los dos turnos de un día es de
una hora y media. Así, en total, se dispone de 5400 segundos para la ejecución de los tres sub-
modelos. Se asigna un máximo de 30 minutos para cada la ejecución de cada uno de los
submodelos diseñados.
58
3.4.3. Número soluciones infactibles y procesos no finalizados:
Número de soluciones infactibles: Cuando no hay una solución factible para un problema,
el estado del mismo se registra como Infactible. Ésta medida permite registrar el número de
periodos para los cuales la solución del modelo es infactible dentro de un horizonte de
planeación. Se define una medida para cada submodelo. Ésta medida permite evaluar si la
capacidad definida para un problema es suficiente, o se requiere de un aumento de la cantidad
de recursos disponibles y su capacidad.
Número de periodos con procesos no finalizados: cuando se interrumpe el optimizador, el
estado del problema se registra como “Unfinished”. Ésta medida permite registrar el número
de periodos para los cuales fue necesario interrumpir la ejecución de un submodelo dado que
superó el límite de tiempo definido. En caso de haber encontrado un conjunto de soluciones
factibles, se selecciona la mejor solución; de no hacerlo, el proceso de decisión se
interrumpe. Ambas situaciones son contabilizadas para los tres submodelos propuestos.
3.4.4. Utilización de recursos
La información que se puede extraer de éstas medidas de desempeño permite evaluar los
niveles de ocupación de los recursos disponibles y realizar comparaciones para distintas
configuraciones del problema.
Cantidad de cada recurso ocupada por periodo: se calcula la cantidad de conductores y
vehículos ocupados para el primer periodo de cada horizonte por ser éstas decisiones las
únicas realmente implementadas.
59
Cantidad promedio de conductores empleados: se calcula la cantidad promedio que se
requiere de conductores por día al promediar la suma de la cantidad requerida cada par de
periodos.
Cantidad promedio de vehículos utilizados: se promedia el número de vehículos utilizado
durante cada periodo en el horizonte de planeación.
Ocupación promedio de vehículos y conductores durante cada periodo: se promedia el
porcentaje de tiempo que un recurso se encuentra ocupado respecto al tiempo durante el cual
está disponible.
Ocupación promedio de vehículos y conductores: se promedia la ocupación de todos los
periodos del horizonte de planeación.
60
4. Experimentación
4.1. Especificaciones para la implementación
El modelo y algoritmo aquí propuestos se programaron en el lenguaje MOSEL a través de
Xpress IVE. En el Anexo 1 es posible encontrar el código del algoritmo propuesto y su
implementación a través de modelos y submodelos de Xpress. El Anexo 1 puede consultarse en
medio magnético, adjunto al presente documento.
4.2. Generación de Instancias
La información de entrada utilizada para probar el modelo y algoritmo previamente
propuestos se generó teniendo en cuenta las condiciones y consideraciones definidas por Archetti
(2007), Coelho (2012) y Solomon (1987); además, de aquellas definidas en la sección 7 del
presente documento.
4.2.1. Información generada
Número de clientes 𝑛 = 5, 10.
Número de periodos 𝑝 = 14, 28, 56 (Una semana, dos semanas y un mes).
Número de vehículos |𝒦| = 2, 3, 5, 10.
Número de conductores |𝒟| = 2, 3, 4, 5,6, 10, 20. Para los casos en los que se utilicen 1 y
3 vehículos, se resuelve el modelo con 2, 3, 4, 5 y 6 conductores. Para 5 vehículos se
resuelve el problema con 4, 5, 6 y 10 conductores. Por último, con 10 vehículos se resuelve
el problema con 5, 10 y 20 conductores.
61
Distribuciones de la demanda: Se asume que se tiene una demanda normalmente
distribuida para cada cliente 𝑖 ∈ 𝒱𝓅. Así, 𝐷𝑖~𝑁(𝜇𝑖, 𝜎𝑖) en donde la media y la desviación
estándar se generan como enteros aleatorios con distribución uniforme siguiendo éstas
especificaciones: 𝜇𝑖~𝑈{10,100} y 𝜎𝑖~𝑈{2,10}. Se genera una demanda 𝑑𝑖𝑡 para cada
periodo del horizonte definido y, dado que en el presente trabajo trabajará sobre la base de
la estimación de demandas esperadas con base en datos históricos, se genera un conjunto
de demandas para los 7 días previos al horizonte definido que podrán ser utilizados como
datos históricos.
El nivel mínimo de inventario (stock de seguridad) se calcula bajo la base de una demanda
normalmente distribuida por medio de la siguiente igualdad: 𝐿𝑖 = 𝑧𝛼�̂�𝑖. Se utilizan las
desviaciones muestrales del conjunto de datos históricos relevantes para cada periodo.
Producción del proveedor por periodo: La producción media por periodo se genera con una
distribución normal 𝑟~𝑁(𝜇1, 𝜎1) en donde la media y la desviación estándar son enteros
aleatorios uniformemente distribuidos 𝜇1~𝑈{100𝑛, 140𝑛} y 𝜎1~𝑈{2,10}.
El nivel máximo de inventario para un cliente 𝑖 ∈ 𝒱𝓅 está definido como 𝐶𝑝𝑖 = 𝜇𝑖𝜏𝑖, en
donde 𝜏𝑖 es un número entero aleatorio del conjunto {2,3,4}.
Nivel inicial de inventario para cada cliente 𝑖 ∈ 𝒱𝓅: 𝐵𝑖 = 𝐶𝑝𝑖 − 𝜇𝑖.
Nivel inicial de inventario para en el depot: 𝐵1 = ∑ 𝐶𝑝𝑖 𝑖∈𝒱𝓅 .
Costos de mantenimiento de inventarios para el proveedor: 0,3 u.m.
Costos de mantenimiento de inventarios para los clientes: se genera a través de una
distribución uniforme continua ℎ𝑖~𝑈(0.1, 0.5).
Costo de penalización por demandas diferidas: 𝑝ℎ𝑖 = 200ℎ𝑖.
62
Capacidad de vehículos 𝑄𝑘 =(3 2⁄ )∑ 𝜇𝑖 𝑖∈𝒱𝓅
|𝒦|⁄ .
Ubicación de los nodos: los nodos se ubican aleatoriamente en un plano cartesiano con la
siguiente distribución 𝑋, 𝑌~ 𝑈(0, 100).
El costo y tiempos de viaje en el grafo son iguales a 𝑐𝑖𝑗 = √(𝑋𝑖 − 𝑋𝑗)2(𝑌𝑖 − 𝑌𝑗)
2.
El costo por hora extra normal se generó siguiendo una distribución continua uniforme
𝐶𝐶𝑑~ 𝑈(5, 8).
El tiempo de servicio de cada cliente 𝑠𝑖 = 10.
Ventanas de tiempo: para la generación de la ventana de tiempo definida por el intervalo
[𝑎𝑖, 𝑏𝑖], se diseñó un algoritmo que permite asignar a un porcentaje 𝜋1 de clientes definido
por 𝜋1 ∈ Π = {25%, 50%, 75% 𝑦 100%} la posibilidad de recibir mercancías en horarios
extendidos. Además, el algoritmo limita el porcentaje de clientes con ventanas de tiempo
a una proporción 𝜋2 del total de clientes de modo que 𝜋2 ∈ Π.
4.2.2. Algoritmo para la generación de ventanas de tiempo.
Como información de entrada para el algoritmo diseñado se definen los posibles límites
[𝐿𝐼𝑖 , 𝐿𝑆𝑖] en medio de los cuales se puede generar la ventana de tiempo para cada cliente y el
proveedor, además del tiempo de servicio 𝑠𝑖 y los tiempos de viaje entre los nodos 𝑐𝑖𝑗. En el
presente trabajo se asume que los límites máximos de las ventanas de tiempo son determinados
por la totalidad del tiempo disponible por cada periodo de planeación, las ecuaciones (50)-(51)
permiten conocer los límites que en el presente trabajo se manejaron a la hora de generarlas
instancias. Se asume que una proporción 𝜋1 de los clientes permitirán visitas en tiempo extra y
que una proporción 𝜋2 del total de clientes tendrán restricciones de ventana de tiempo.
63
𝐿𝑆𝑖 =
{
60(𝑇𝐷𝑚𝑎𝑥 +𝐻𝐷𝑚𝑎𝑥) + 𝑇𝑑𝑒𝑠𝑐
60𝑇𝐷𝑚𝑎𝑥 + 𝑇𝑑𝑒𝑠𝑐
El cliente i permite entregas en
tiempo extra (trabajo suplementario)
o 𝑖 = 1.
En caso contrario
𝑖 ∈ 𝒱 (50)
𝐿𝐼𝑖 = {𝑠𝑖
0
𝑖 ≠ 1
𝑖 = 1 𝑖 ∈ 𝒱 (51)
En general el algoritmo utilizado se encarga de realizar el siguiente proceso:
1. Generar un número aleatorio 𝛾𝑖1 para cada cliente 𝑖 ∈ 𝒱𝓅 en el intervalo [0,1] y de acuerdo
a éste, ordenar la lista de clientes.
2. A los primeros 𝜋1𝑛 clientes asignar un límite superior máximo que incluya el tiempo extra
máximo posible por periodo; para los demás clientes, el límite superior máximo para el
rango de la ventana tiempo corresponde al tiempo normal de trabajo por periodo.
3. Generar un número aleatorio 𝛾𝑖2 para cada cliente 𝑖 ∈ 𝒱𝓅 en el intervalo [0,1] y, de acuerdo
éste, ordenar la lista de clientes.
4. Asignar a los primeros 𝜋2𝑛 clientes ventanas de tiempo definidas por el intervalo [𝑎𝑖, 𝑏𝑖]
en donde 𝑎𝑖 se genera por medio de una distribución uniforme dada por 𝑎𝑖~ 𝑈(𝐿𝐼𝑖, 𝐿𝑆𝑖) y
𝑏𝑖 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜𝑖 + 𝑎𝑖. El número 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜𝑖 es generado de forma aleatoria a partir de una
distribución uniforme 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜𝑖~ 𝑈(𝐿𝐼𝑖, 𝐿𝑆𝑖 − 𝑠𝑖). Si 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜𝑖 + 𝑎𝑖 > 𝐿𝑆𝑖, se hace 𝑏𝑖 = 𝐿𝑆𝑖.
5. Verificar la factibilidad de la ventana de tiempo. Para ello, se calculan cotas inferiores para
el límite superior de cada ventana generada de modo que, cuando menos, la ventana
permita que un vehículo recorra el viaje desde el depot hasta el nodo en cuestión (Ecuación
64
(52)) y cotas superiores para los límites inferiores de cada ventana de tiempo que garanticen
que se pueda cubrir la ruta de regreso desde el nodo cliente hasta el depot (Ecuación (53)).
𝐶𝑜𝐿𝑆− = 𝐿𝐼𝑖 + 𝑐1𝑖 𝑖 ∈ 𝒱𝓅 (52)
𝐶𝑜𝐿𝐼+ = 𝐿𝑆𝑖 − 𝑐𝑖1 − 𝑠𝑖 𝑖 ∈ 𝒱𝓅 (53)
Cabe aclarar que, bajo el supuesto de una velocidad constante y proporcionalidad del
tiempo de viaje con la distancia recorrida, el tiempo de viaje es igual al parámetro de costos 𝑐𝑖𝑗.
Cuando no lo sea, se debe utilizar el tiempo de viaje al calcular las cotas aquí definidas.
6. Reasignar ventanas de tiempo para los nodos que superen las cotas definidas y comparar
las nuevas ventanas con las cotas definidas.
4.2.3. Escenarios generados
El conjunto de instancias descrito en la sección 4.2.1 será aquí llamado datos estáticos, en
el sentido en el que la media de su distribución de demanda es estática. También se generaron dos
conjuntos adicionales de instancias: datos estacionales y datos correlacionados del mismo modo
a como se genera la información en (Coelho, 2012). En el caso del conjunto de datos estacionales,
cada cliente tiene un patrón de variación sobre la demanda distinto para cada día (o estación) de la
semana. En el caso de los datos correlacionados, todos los clientes tienen el mismo patrón de
variación sobre su demanda para cada día de la semana; es decir, todos los clientes enfrentan altas
y bajas demandas los mismos periodos.
65
4.3. Resultados de la Experimentación
En ésta sección se muestran los resultados obtenidos de la implementación del algoritmo
diseñado para la solución del problema propuesto en la sección 3. En primera instancia se presentan
los resultados para el caso estándar y posteriormente se analizan las variaciones relacionadas con
la longitud del rolling horizon y el tipo de instancias manejado. Adicionalmente, en el Anexo 2 se
muestra de forma detallada la información correspondiente a la solución para cada una de las
instancias generadas y cada configuración evaluada. El Anexo 2 puede consultarse en medio
magnético, adjunto al presente documento.
4.3.1. Caso base
El caso base se compone de las instancias en las que la distribución de la demanda es
estacionaria, se asume un horizonte de planeación de 14 periodos y un rolling horizon de 3
periodos. En ésta sección se presentarán los resultados para distintas configuraciones. En
específico, las instancias de 5 y 10 clientes se evalúan variando la cantidad de recursos disponibles:
vehículos y conductores. Se prueban cinco instancias para cada configuración.
Tabla 2.
Resultados Caso Base Medición de costos y tiempos totales de ejecución para un horizonte
de planeación de 14 periodos
Número de Recursos
5 Clientes 10 Clientes
Promedio
de Costo
Real
Promedio
de Costo
óptimo
Promedio de
Tiempo
ejecución
Promedio de
Costo Real
Promedio de
Costo
óptimo
Promedio de
Tiempo
ejecución
2 Vehículos 2 Conductores 52375,94 35416,1 1,768 213691,6 117479,38 548,368 3 Conductores 52465,76 35505,9 1,768 213461 117248,62 518,446 4 Conductores 52618,32 35658,46 1,784 213709,2 117496,94 541,096 5 Conductores 52641,38 35681,54 2,062 213710,6 117498,42 543,024 6 Conductores 52649,7 35689,84 1,88 214005,6 117793,52 528,502
3 Vehículos
66
Número de Recursos
5 Clientes 10 Clientes
Promedio
de Costo
Real
Promedio
de Costo
óptimo
Promedio de
Tiempo
ejecución
Promedio de
Costo Real
Promedio de
Costo
óptimo
Promedio de
Tiempo
ejecución 2 Conductores 94601,18 77641,34 2,022 309724,6 212452,42 501,596 3 Conductores 94668 77708,02 2,082 309728,4 212456,22 91,61 4 Conductores 94779 77819,16 2,36 309814,8 212542,4 89,662 5 Conductores 94851,94 77892,1 2,148 304886,8 207614,56 91,18 6 Conductores 94865,74 77905,68 2,176 380201,4 314760,34 118,972
5 Vehículos
4 Conductores 149806,28 132846,58 3,702 362147,8 264942,56 6,488 5 Conductores 149919,66 132959,94 3,914 362199,8 264994,96 6,49 6 Conductores 149960,68 133000,78 3,732 362349,4 265144,18 6,428 10 Conductores 149967,64 133007,52 3,936 376891,8 279687 8,764
10 Vehículos
5 Conductores 139475,52 122515,58 5,382 211417,2 111976,74 16,146 10 Conductores 139565,06 122605,14 5,832 211446,2 112005,94 16,256 20 Conductores 139562,04 122602,1 6,688 211443,6 112003,14 16,562
Elaboración Propia
En la Tabla 2. se puede apreciar el promedio de la ejecución de cincos instancias para
distintas configuraciones del problema para 5 y 10 clientes con horizontes de planeación de 14
periodos. El nivel de costos promedio incrementa con la cantidad de recursos que se emplea.
Tabla 3.
Costos promedio por configuración del problema y Porcentaje de periodos en el horizonte
con modelos infactibles o interrumpidos antes de hallar el óptimo. Instancias de 5 clientes
Número de Recursos
Pro
med
io d
e C
ost
o
Rea
l
Pro
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Mo
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2 Vehículos
2 Conductores 52375,94 35416,10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,95 0,00
3 Conductores 52465,76 35505,90 0,00 0,00 0,00 0,00 0,65 0,00
4 Conductores 52618,32 35658,46 0,00 0,00 0,00 0,00 0,12 0,00
5 Conductores 52641,38 35681,54 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,00
6 Conductores 52649,70 35689,84 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3 Vehículos
67
Número de Recursos
Pro
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e C
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l
Pro
med
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e C
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Per
iod
os
Mo
del
o
Per
son
al
Infa
ctib
le
2 Conductores 94601,18 77641,34 0,00 0,00 0,00 0,00 0,95 0,00 3 Conductores 94668,00 77708,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,67 0,00 4 Conductores 94779,00 77819,16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,33 0,00 5 Conductores 94851,94 77892,10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,07 0,00 6 Conductores 94865,74 77905,68 0,00 0,00 0,00 0,00 0,03 0,00
5 Vehículos 4 Conductores 149806,28 132846,58 0,28 0,00 0,00 0,28 0,65 0,00 5 Conductores 149919,66 132959,94 0,28 0,00 0,00 0,28 0,24 0,00 6 Conductores 149960,68 133000,78 0,28 0,00 0,00 0,28 0,06 0,00 10 Conductores 149967,64 133007,52 0,28 0,00 0,00 0,28 0,00 0,00
10 Vehículos 5 Conductores 139475,52 122515,58 0,72 0,00 0,00 0,72 0,52 0,00 10 Conductores 139565,06 122605,14 0,72 0,00 0,00 0,72 0,00 0,00 20 Conductores 139562,04 122602,10 0,72 0,00 0,00 0,72 0,00 0,00
Elaboración Propia
Tabla 4.
Costos promedio por configuración del problema y Porcentaje de periodos en el horizonte
con modelos infactibles o interrumpidos antes de hallar el óptimo. Instancias de 10 clientes
Número de Recursos
Pro
med
io d
e C
ost
o
Rea
l
Pro
med
io d
e C
ost
o
óp
tim
o
Po
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ido
Po
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taje
Per
iod
os
Mo
del
o P
erso
na
l
Infa
ctib
le
2 Vehículos
2 Conductores 213691,60 117479,38 0,00 0,02 0,02 0,00 1,00 0,00 3 Conductores 213461,00 117248,62 0,00 0,02 0,02 0,00 0,93 0,00 4 Conductores 213709,20 117496,94 0,00 0,02 0,02 0,00 0,17 0,00 5 Conductores 213710,60 117498,42 0,00 0,02 0,02 0,00 0,08 0,00 6 Conductores 214005,60 117793,52 0,00 0,02 0,02 0,00 0,00 0,00
3 Vehículos
2 Conductores 309724,60 212452,42 0,20 0,02 0,02 0,20 1,00 0,00 3 Conductores 309728,40 212456,22 0,20 0,00 0,00 0,20 0,98 0,00 4 Conductores 309814,80 212542,40 0,20 0,00 0,00 0,20 0,64 0,00 5 Conductores 304886,80 207614,56 0,20 0,00 0,00 0,20 0,24 0,00 6 Conductores 380201,40 314760,34 0,37 0,00 0,00 0,37 0,02 0,00
5 Vehículos
4 Conductores 362147,80 264942,56 0,40 0,00 0,00 0,40 0,95 0,00 5 Conductores 362199,80 264994,96 0,40 0,00 0,00 0,40 0,69 0,00 6 Conductores 362349,40 265144,18 0,40 0,00 0,00 0,40 0,38 0,00 10 Conductores 376891,80 279687,00 0,40 0,00 0,00 0,40 0,02 0,00
10 Vehículos
5 Conductores 211417,20 111976,74 0,88 0,00 0,00 0,88 0,20 0,00
68
Número de Recursos
Pro
med
io d
e C
ost
o
Rea
l
Pro
med
io d
e C
ost
o
óp
tim
o
Po
rcen
taje
Per
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os
Mo
del
o I
nv
enta
rio
Infa
ctib
le
Po
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taje
Per
iod
os
Mo
del
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o
Inte
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ido
Po
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taje
Per
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os
Mo
del
o I
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rio
Inte
rru
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Po
rcen
taje
Per
iod
os
Mo
del
o R
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o
Infa
ctib
le
Po
rcen
taje
Per
iod
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Mo
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na
l
Inte
rru
mp
ido
Po
rcen
taje
Per
iod
os
Mo
del
o P
erso
na
l
Infa
ctib
le
10 Conductores 211446,20 112005,94 0,88 0,00 0,00 0,88 0,00 0,00 20 Conductores 211443,60 112003,14 0,88 0,00 0,00 0,88 0,00 0,00
Elaboración Propia
En las Tabla 3 y Tabla 4 se relacionan los costos con el porcentaje de periodos para los
cuales no se pudo llevar a cabo el proceso de optimización pues el problema resultaba infactible o
no se encontraron soluciones factibles en el límite de tiempo definido. El porcentaje de problemas
infactibles o no finalizados aumenta a medida que la cantidad de recursos disponibles disminuye.
Como se mencionará posteriormente, el costo aumenta a medida que el porcentaje de utilización
disminuye.
En la Tabla 5 se puede ver una relación entre los recursos disponibles y los realmente
requeridos. La información en la tabla contenida permite no sólo evaluar el nivel de costos de la
gestión, también permite conocer algunas medidas útiles para evaluar la ocupación de los recursos
en el sistema.
Para evaluar la ocupación disponible, se mide el tiempo que el conductor y el vehículo
deben ocupar del total de su capacidad diaria. La Tabla 5 presenta un resumen de los costos y la
ocupación de los recursos disponibles de forma que se pueda comparar, cuando el planeador desee,
distintas configuraciones del sistema propuesto, en nuestro caso las distintas cantidades de
vehículos y conductores que se desean asignar..
69
Tabla 5
Ocupación de personal y vehículos para las distintas configuraciones o muestras
recolectadas
Número de
Recursos
5 clientes 10 clientes
Co
sto
Ru
teo
Pro
med
io V
ehíc
ulo
s p
or
per
iod
o
Ocu
pa
ció
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res
po
r d
ía
Ocu
pa
ció
n p
rom
edio
de
Co
nd
uct
ore
s
2 Vehículos
2 Conductores 23591,384 1,816 79,432 14,478 0,134 4,938 93220,86 2 88,818 0 0 0
3 Conductores 23591,384 1,816 79,432 104,274 1,168 33,434 92957,26 2 89,694 33 0,332 8,224
4 Conductores 23591,384 1,816 79,432 256,836 3,3 81,014 92957,26 2 89,694 281,25 3,33 79,606
5 Conductores 23591,384 1,816 79,432 279,904 3,634 90,772 92957,26 2 89,694 282,542 3,866 84,984
6 Conductores 23591,384 1,816 79,432 288,236 3,834 90,228 93220,86 2 89,622 314,142 4,298 91,146
3 Vehículos
2 Conductores 65815,46 2,032 56,598 15,642 0,2 4,552 188193,44 2,248 62,972 0 0 0
3 Conductores 65815,46 2,032 56,598 82,334 1,202 30,12 188193,24 2,248 63,342 4,012 0,1 1,322
4 Conductores 65815,46 2,032 56,598 193,502 2,534 60,704 188193,24 2,248 63,342 90,168 1,634 37,648
5 Conductores 65815,46 2,032 56,598 266,43 3,966 81,022 183172,44 2,182 61,852 183,232 3,432 67,54
6 Conductores 65815,46 2,032 56,598 279,988 4,164 82,79 284012,12 1,734 47,274 197,84 4,634 78,55
5 Vehículos
4 Conductores 120944,9 2,084 34,908 91,472 1,4 34,1 240668,2 1,948 31,576 15,608 0,266 4,404
5 Conductores 120944,9 2,084 34,908 204,75 3,966 68,592 240668,2 1,948 31,576 67,886 1,632 27,098
6 Conductores 120944,9 2,084 34,908 245,666 4,866 80,898 240764,2 1,948 31,8 121,176 3,432 53,622
10 Conductores 120944,9 2,084 34,908 252,52 5,402 83,43 255243,4 1,964 31,614 184,732 5,866 82,502
10 Vehículos
5 Conductores 110680,656 0,882 7,16 24,884 0,234 4,968 87717,5 0,65 4,98 0 0 0
10 Conductores 110680,656 0,882 7,16 114,418 3,634 47,948 87717,5 0,65 4,98 29,084 1,6 13,134
20 Conductores 110680,656 0,882 7,16 111,402 4,768 40,662 87717,5 0,65 4,98 26,36 2 10,99
Elaboración Propia
4.3.2. Variación del largo del horizonte de planeación
En la ¡Error! La autoreferencia al marcador no es válida. se pueden ver los tiempos de
ejecución promedio para llevar a cabo el proceso de optimización alargando el horizonte de
planeación hasta los 28 y 56 periodos (éstos corresponden a un horizonte de dos semanas y un
70
mes). Como puede verse el tiempo total de ejecución aumenta con el número de nodos cliente y el
largo del tiempo de ejecución.
Tabla 6
Comparación de tiempos de ejecución para distintos horizontes de planeación
Número de
recursos
5 clientes 10 clientes
14 periodos 28 periodos 56 periodos 14 periodos 28 periodos 56 periodos
2 Vehículos
2 Conductores 1,77 3,68 7,86 548,37 1406,06 4061,32
3 Conductores 1,77 3,82 7,74 518,45 1275,86 2722,65
4 Conductores 1,78 4,00 8,06 541,10 937,74 2839,01
5 Conductores 2,06 3,88 8,23 543,02 1283,40 161,08
6 Conductores 1,88 3,86 8,12 528,50 1373,18 1399,83
3 Vehículos
2 Conductores 2,02 4,34 8,66 501,60 770,61 150,05
3 Conductores 2,08 4,43 8,91 91,61 2120,61 150,86
4 Conductores 2,36 4,52 9,33 89,66 758,39 150,14
5 Conductores 2,15 4,58 9,26 91,18 11,00 152,33
6 Conductores 2,18 4,47 9,27 118,97 758,87 152,78
5 Vehículos
4 Conductores 3,70 7,93 17,62 6,49 16,48 28,07
5 Conductores 3,91 7,98 16,98 6,49 16,51 31,73
6 Conductores 3,73 8,10 16,96 6,43 17,07 34,23
10 Conductores 3,94 8,42 18,09 8,76 18,42 36,75
10 Vehículos
5 Conductores 5,38 12,49 26,41 16,15 41,05 65,25
10 Conductores 5,83 14,66 30,18 16,26 42,86 67,30
20 Conductores 6,69 17,67 35,66 16,56 41,50 70,44
Elaboración Propia
4.3.3. Variación de la longitud del rolling horizon
Vale la pena también estudiar el impacto que tiene la longitud del rolling horizon en el
tiempo total de ejecución y el costo total de la gestión. En la Tabla 7 se puede ver la comparación
entre los costos totales y los tiempos de ejecución promedio para instancias de 5 clientes y
horizontes de planeación de 14, 28 y 56 periodos.
71
Tabla 7.
Comparación Tiempos de ejecución y costos para Distintos Rolling Horizon
Número de recursos
3 Periodos 6 Periodos
Promedio de
Costo
óptimo
Promedio de
Costo Real
Promedio de
Tiempo
ejecución
Promedio de
Costo
óptimo
Promedio de
Costo Real
Promedio de
Tiempo
ejecución
2 Vehículos
2 Conductores 220151,83 327394,38 4,44 237865,25 329725,26 5,03
3 Conductores 220345,56 327588,12 4,44 237905,43 329765,85 5,10
4 Conductores 220708,52 327951,11 4,61 238346,84 330207,60 5,23
5 Conductores 220753,15 327995,59 4,72 238402,35 330262,60 5,33
6 Conductores 220785,69 328028,37 4,62 238402,41 330262,93 5,67
3 Vehículos
2 Conductores 424448,63 531599,59 5,01 409321,05 501521,85 6,15
3 Conductores 424564,58 531715,67 5,14 409353,78 501555,17 6,27
4 Conductores 424859,41 532010,47 5,41 409573,41 501773,59 6,35
5 Conductores 424986,29 532137,85 5,33 409769,08 501970,60 6,51
6 Conductores 425047,26 532198,31 5,31 238402,41 330262,93 5,67
5 Vehículos
4 Conductores 531249,36 638071,29 9,75 414100,19 506720,67 10,88
5 Conductores 531466,09 638287,69 9,63 414252,64 506873,10 11,09
6 Conductores 531638,59 638460,56 9,60 414455,60 507076,00 11,33
10 Conductores 531718,87 638540,21 10,15 414502,89 507123,45 12,08
10 Vehículos
5 Conductores 583088,37 691403,57 14,76 509396,06 602479,57 28,69
10 Conductores 583475,96 691789,62 16,89 509693,53 602776,98 32,76
20 Conductores 583476,28 691790,48 20,01 509684,49 602767,47 40,76
Elaboración propia
4.3.4. Escenarios generados
Tabla 8.
Resultados para escenarios propuestos
Número de
recursos
Correlacionado Estacional Estándar
Pro
med
io
de
Co
sto
Rea
l
Pro
med
io
de
Co
sto
óp
tim
o
Pro
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P
rom
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Co
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Rea
l
Pro
med
io
de
Co
sto
óp
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o
Pro
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o
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ón
P
rom
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de
Co
sto
Rea
l
Pro
med
io
de
Co
sto
óp
tim
o
Pro
med
io
de
Tie
mp
o
ejec
uci
ón
2 Vehículos
2 Conductores 529362,0 448181,3 4,65 384508,7 272017,1 4,61 327394,4 220151,8 4,44
3 Conductores 529561,7 448381,4 4,71 384686,8 272195,3 4,70 327588,1 220345,6 4,44
4 Conductores 529899,2 448719,4 4,84 384999,5 272508,1 4,82 327951,1 220708,5 4,61
5 Conductores 529944,4 448764,5 4,76 385029,2 272537,8 4,93 327995,6 220753,2 4,72
6 Conductores 529979,8 448800,1 4,83 385067,0 272575,5 4,82 328028,4 220785,7 4,62
3 Vehículos
2 Conductores 697331,7 615109,3 5,08 516511,0 403562,6 5,16 531599,6 424448,6 5,01
72
Número de
recursos
Correlacionado Estacional Estándar
Pro
med
io
de
Co
sto
Rea
l
Pro
med
io
de
Co
sto
óp
tim
o
Pro
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io
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P
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de
Co
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Rea
l
Pro
med
io
de
Co
sto
óp
tim
o
Pro
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de
Tie
mp
o
ejec
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ón
P
rom
edio
de
Co
sto
Rea
l
Pro
med
io
de
Co
sto
óp
tim
o
Pro
med
io
de
Tie
mp
o
ejec
uci
ón
3 Conductores 697441,0 615218,0 5,21 516642,8 403694,2 5,23 531715,7 424564,6 5,14
4 Conductores 697696,1 615474,3 5,25 516903,9 403955,3 5,43 532010,5 424859,4 5,41
5 Conductores 697877,2 615654,3 5,43 517069,4 404120,4 5,38 532137,8 424986,3 5,33
6 Conductores 697960,3 615737,8 5,45 517140,8 404192,3 5,36 532198,3 425047,3 5,31
5 Vehículos
4 Conductores 921641,2 839165,8 11,32 517140,8 404192,3 5,36 638071,3 531249,4 9,75
5 Conductores 921910,4 839435,1 11,54 831347,3 718051,6 10,93 638287,7 531466,1 9,63
6 Conductores 922116,5 839640,6 11,75 831504,9 718208,6 10,97 638460,6 531638,6 9,60
10 Conductores 922292,0 839816,6 12,70 831581,1 718285,5 11,56 638540,2 531718,9 10,15
10 Vehículos
5 Conductores 344830,4 262070,4 20,57 698457,7 584302,9 17,99 691403,6 583088,4 14,76
10 Conductores 345157,0 262397,3 24,04 698662,3 584506,8 20,75 691789,6 583476,0 16,89
20 Conductores 345126,9 262366,9 36,03 698668,4 584512,0 25,40 691790,5 583476,3 20,01
Elaboración propia
Como se mencionó en la sección anterior, se generaron instancias para dos escenarios
adicionales. En el primero, para cada cliente se genera una estacionalidad sobre la demanda; así
cada uno presentará demandas altas y bajas durante periodos diferentes. En el segundo, todos los
clientes están sujetos a estaciones con el mismo comportamiento; así, todos los clientes tienen altos
y bajos niveles de demanda durante los mismos periodos. En la Tabla 8 se ven los resultados
promedio para las corridas ejecutadas sobre los tres escenarios propuestos: el escenario estándar,
el escenario con estacionalidad por cada cliente y el escenario en el que la estacionalidad de cada
cliente está correlacionada con la de los demás clientes.
4.3.5. Otras consideraciones
A pesar de que algunas instancias con un mayor número de clientes fueron generadas, no
se presenta su implementación dado que se debe interrumpir la ejecución de los modelos durante
más del 80 % de los periodos en el horizonte de planeación. Los resultados pueden ser consultados
en el Anexo 2.
73
4.4. Análisis de Resultados
4.4.1. Análisis de Costos y número de periodos con soluciones infactibles
El costo total para cada instancia es la suma de los costos para cada periodo; así, cuando la
solución de un problema para un periodo es infactible, el costo no se ve incrementado; esto justifica
el comportamiento creciente de los costos pues cuando hay una mayor cantidad de recurso y se
puede suplir mejor los requerimientos del cliente, se reduce el número de periodos para los cuales
el problema es infactible. Esto, en consecuencia, incrementa el costo total de la gestión. La
reducción que se esperaría del costo por el aumento de recursos disponibles puede verse al
comparar la utilización de diez vehículos con la utilización de 5 vehículos, como se puede ver en
la Tabla 2.
Vale la pena resaltar que el costo de inventarios en el modelo no tiende a depender del
número de vehículos disponibles por la forma en la que se generó la información. No obstante,
éste puede cambiar al implementar información real sobre la planeación. Además, Dado que el
costo total es muy sensible a la factibilidad del problema, se recomienda al decisor que durante la
planeación considere también como medida el costo promedio del resultado de la gestión.
4.4.2. Tiempo de ejecución
Como se podría esperar, cuando incrementa el tamaño de la instancia a probar, el tiempo
de ejecución incrementa dada la naturaleza del problema en términos de complejidad. Se ha de
recordar que el problema aquí propuesto es una generalización del IRP multivehículo y, al igual
que éste, el modelo aquí propuesto es un problema de tipo NP-Hard. La descomposición del
modelo y el algoritmo secuencial propuesto permiten encontrar una cota de la solución del
74
problema integrado de inventario ruteo y asignación de personal en un tiempo medio de 3,13 𝑠
para el caso de problemas con cinco clientes y de 214,68 para el caso de 10 clientes.
Como se puede ver en la Tabla 7 al incrementar la longitud del rolling horizon, el tiempo
de ejecución debe crecer dado que incrementa la cantidad de decisiones que el modelo debe hacer.
Del mismo modo al incrementar otras dimensiones del problema como el número de vehículos, el
tiempo de ejecución tiende a aumentar pues crece el espacio de soluciones posibles para el
problema definido.
4.4.3. Análisis de escenarios
En el presente trabajo se puede verificar la afirmación realizada por Coelho (2012). Datos
correlacionados y presencia de estacionalidad dificulta las decisiones y eleva el tiempo de
ejecución del algoritmo aquí propuesto.
4.4.4. Ocupación de recursos
Como se puede observar en la Tabla 5, la ocupación de los recursos tiende a disminuir a
medida que incrementa la cantidad de recursos disponibles. Como era de esperarse, al aumentar
los recursos disponibles para suplir la demanda sin que haya una modificación sobre la demanda,
aumenta el riesgo de una capacidad perdida por no uso. No obstante, el reducir los recursos
disponibles incrementa el porcentaje de periodos para los cuales el problema el infactible. Ambas
medidas deben tenerse en cuenta al evaluar cantidades distintas de cada recurso.
75
5. Limitaciones y Trabajo Futuro
A lo largo del presente trabajo se han expuesto algunas de las limitaciones del modelo y el
algoritmo propuestos. En ésta sección se resumirán las limitaciones del trabajo desarrollado y se
especificarán las oportunidades de trabajo futuro que fueron identificadas durante el desarrollo de
las distintas etapas del proyecto aquí presentado.
La primera limitación de las herramientas aquí propuestas es el alto requerimiento en
términos computacionales para el proceso de decisión. El algoritmo propuesto constituye un
primer acercamiento a la solución del problema, nuevas alternativas merecen la atención del autor
como las metaheuristics y matheruistcs presentadas en la sección dedicada a la revisión de la
literatura. Por ejemplo, la implementación de algoritmos genéticos o algoritmos de colmena o
enjambre de abejas. También vale la pena el estudio de algunos métodos como la generación de
columnas o la descomposición de Bender para la solución del problema.
A pesar de que en el trabajo aquí propuesto se pretende asumir demandas normales, la
complejidad del trabajo con parámetros estocásticos representa una importante limitante para el
algoritmo y el modelo propuestos. A pesar de que se intenta minimizar los efectos de la
variabilidad de la demanda al reducir el problema a la ejecución iterativa de problemas
determinísticos con el uso de la esperanza de la variable estocástica, es importante construir
herramientas que permitan tener en cuenta la variabilidad de los parámetros de entrada y manejar
condiciones rápidamente cambiantes sin comprometer la calidad de las soluciones construidas.
76
6. Conclusiones
En el presente trabajo, el diseño de un algoritmo de decisión secuencial para la toma de
decisiones integradas de ruteo con ventanas de tiempo, control de inventarios y secuenciación de
operaciones basadas en las restricciones de tiempo y consistencia impuestas por la disponibilidad
de recursos y personal en un entorno dinámico es detallado.
Es importante mencionar que aun cuando es extenso el trabajo desarrollado respecto a
problemas integrados de inventario y ruteo, el trabajo aquí desarrollado se convierte en uno de los
pocos que pretende alcanzar una integración de los problemas de inventario y ruteo y Crew
Scheduling y el modelo matemático resultante es el único del cual el autor tiene conocimiento. Las
ventajas y desventajas del modelo y el algoritmo aquí propuestos fueron presentados y se discuten
las desventajas tácticas y operativas para el contexto colombiano de las propuestas conocidas a
través de la revisión del estado del arte, como la dificultad para la implementación de turnos y
descansos.
Para la construcción del modelo y el algoritmo mencionados, se identificaron los
fundamentos técnicos y teóricos necesarios por medio de la revisión de la literatura disponible con
respecto a los distintos componentes del problema aquí detallado; del mismo modo, se presenta
una revisión de las condiciones legales que imponen restricciones sobre el sistema empresarial.
Por medio de ésta revisión fue posible definir los componentes que fueron implementados en el
trabajo descrito en el documento aquí presentado. También se identificaron las condiciones que
rigen el comportamiento de los sistemas hasta el momento modelados y se construyó una tipología
77
del problema que permite identificar y comprender de forma clara los modelos propuestos en la
literatura disponible.
Con base en la revisión realizada se construyó un modelo matemático que combina las
decisiones de inventario, ruteo y asignación de personal en un programa lineal entero mixto que
busca minimizar los costos para los actores de la cadena de suministro gracias a la implementación
de una estrategia de gestión de inventarios del tipo VMI (Vendor Managed Inventory) en la que el
proveedor toma todas las decisiones concernientes al abastecimiento de inventarios de sus clientes.
Dada la alta complejidad del modelo propuesto, se construyó una herramienta que reduzca
la complejidad computacional del modelo. Dicha herramienta es el algoritmo de decisión
secuencial mencionado previamente. Por medio de éste se ofrece una solución al problema
formulado que reduce la complejidad del problema y permite tomar decisiones con un consumo
de recursos mucho menor al modelo propuesto. Esto facilita el acceso al modelo y le permite a un
mayor número de usuarios el desarrollo del proceso de ejecución y toma de decisiones.
En el presente trabajo se presenta un conjunto de medidas que permiten evaluar el
desempeño del modelo y la calidad de la solución obtenida. En términos generales éstos pueden
agruparse en medidas de costo, tiempo de ejecución y utilización de los recursos disponibles. Por
medio de ellas es posible evaluar y comparar los resultados obtenidos al ejecutar el algoritmo
propuesto. Adicionalmente, se diseñó un conjunto de instancias que brindan la información
suficiente y necesaria para la ejecución del método de solución aquí propuesto. El diseño de la
información de entrada se basó en la revisión realizada previamente y por medio de ésta
información fue posible evaluar el desempeño del modelo aquí propuesto.
78
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