Algoritmo de Transporte

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Tema No. 4 ALGORITMO DE TRANSPORTE 1.- DEFINICIN.El modelo de transporte es un caso particular de los problemas referidos a la programacin lineal. Trata situaciones de envo de productos de lugares llamados puntos origen (fuentes de abastecimiento) a los puntos destino (fuentes de consumo), siendo su objetivo, determinar las cantidades ptimas de envo de las fuentes de abastecimiento a las fuentes de consumo que minimicen el costo total del transporte, al mismo tiempo que satisfagan tanto los lmites de la oferta como los requerimientos de la demanda. Es decir, si tenemos: Fuentes de Abastecimiento Fuentes de Consumo

Unidades de oferta ORIGEN

Unidades de demanda DESTINO

Se considera que las unidades de oferta y demanda total son iguales, esto es:

Cuando no se cumple con la igualdad anterior, tenemos: a > b, entonces, se crea un Centro de consumo ficticio C1. Donde C1 = a - b a < b, entonces, se crea un Centro de abastecimiento ficticio C2. Donde C2 = b - a Sea Xij el nmero (desconocido) de unidades del origen i al destino j. Entonces el modelo matemtico para este problema es:

Este modelo es estrictamente para MINIMIZAR FUNCIONES OBJETIVO; pero, recurriendo a los artificios matemticos podemos MAXIMIZAR CANTIDADES NEGATIVAS.MSc. Javier Avila Vera Investigacin Operativa Administracin de empresas U.M.S.A

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2.- PROCESO DE SOLUCIN.- Implica: a) b) c) d) Encontrar una Solucin bsica inicial Probar la solucin para determinar si es la ptima Mejorar la solucin cuando no es ptima, y Repetir los dos pasos anteriores hasta que se obtenga la solucin ptima

3.- MTODOS DE RESOLUCIN.a) b) c) d) Esquina Nor Occidental Matriz de Costo Mnimo Russel Vogel

4.- PROCEDIMIENTO DE RESOLUCION POR EL MTODO ESQUINA NOR OCCIDENTAL.4.1.- Se trabaja con la ESQUINA NOR OCCIDENTAL, asignando a sta casilla, todo lo que sea posible asignar (Solucin bsica inicial).

D1 7 2

D2

OT

O1

10 5

O2

8

4

DT

8

7

15

4.2.- Determinar si El SISTEMA ES: a) NO DEGENERADO Nmero de Variables Bsicas = Nmero de puntos origen MAS Nmero de puntos destino MENOS 1. En el ejemplo del inciso 4.1., tenemos:

b) DEGENERADO Nmero de Variables Bsicas = Nmero de puntos origen MAS Nmero de puntos destino MENOS 1 Con este ltimo sistema (DEGENERADO) no se puede trabajar. Se debe evitar aadiendo un "CERO" con carcter de Variable bsica en la casilla de MENOR COSTO, y que adems, NO FORME CIRCUITO con las Variables bsicas existentes, con ste artificio, el Sistema se convierte en NO DEGENERADO.

MSc. Javier Avila Vera Investigacin Operativa

Administracin de empresas U.M.S.A

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Existencia de un circuito con las variables bsicas:

D1 7 2

D2

D3

O1

3

2O2 8 4 1

10 78

O3

2

8

2

3

Inexistencia de un circuito con las variables bsicas:

D1 7 2

D2

D3

O1

3

2O2 8 4 1

10 7 88

O3

2 2

3

4.3.- Asgnese a la variable Ui el valor de cero en la fila que tenga el mayor nmero de asignaciones. En caso de empate cualquiera.

D1 7 2

D2

OT

Ui

O1

8O2 8 4

2 5

10 5

DT

8

7

15



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4.4.- Calcular el valor de las variables Ui y Vj en base al valor de Ui asignado y a los valores del costo que estn relacionadas a travs de variables bsicas de acuerdo a la siguiente frmula: Cu = Ui + Vj : Ui = Cu - Vj Vj = Cu - Ui

D1 7 2

D2

OT

Ui 0

O1

8O2 8 4

2 5

10 5

DT

8

7

15-----------

---------------------

Vj

4.5.- Calcular el valor de las Variables No bsicas (VNB), a travs de la siguiente frmula: VALOR (VNB) = Cu - Ui - Vj

D1 7 2

D2

OT

Ui 0 2---------------------

O1

8O2 8 4

2 5

10 5

DT

8

7

15-----------

Vj

7

2



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4.6.- Analizar: a) Si el Valor de las VNB son cero mayores a cero, se tendr la SOLUCION BASICA FINAL, es decir la solucin de COSTO MINIMO. b) Si NO OCURRE LO ANTERIOR, se debe hacer una reasignacin, para lo cual se efectuar la REGLA DE LA ESCALERA. 4.7.- REGLA DE LA ESCALERA: a) De las Variables No Bsicas, eljase la ms negativa y a partir de ella frmese un circuito movindose de izquierda a derecha, hasta encontrar una variable bsica, luego hacia arriba o abajo hasta encontrar otra variable bsica; y, as sucesivamente hasta retornar al punto origen. b) A partir del punto origen mrquese alternativamente con (+) y (-) a lo largo del circuito. c) De las variables bsicas marcadas con signo negativo, ELIJASE LA MENOR y smese ste valor a las que estn marcadas con (+) y rstese a las marcadas con (-), esto ser la asignacin ptima Si an continuase existiendo Variables No bsica con signo negativo, se vuelve aplicar la REGLA DE LA ESCALERA, hasta encontrar en definitiva la SOLUCION BASICA FINAL. En ejemplo inicial: D1 7 2 D2 OT

Ui 0 2---------------------

O1

(-)

(+)

8O2 8 (-1) DT(+)

24(-)

10 5

57

8

15-----------

VjReasignando:

7

2

D1 7 2

D2

OT

Ui

O1

3O2 8 4

7

10 5

5DT

8

7

15-----------

---------------------

Vj



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Por lo tanto el resultado ser:

EJEMPLO No.1 Una Compaa de renta de Autos tiene problemas de distribucin, debido a que los acuerdos de renta permiten que los autos se entreguen en lugares diferentes a aquellos en que originalmente fueron rentados. Por el momento, hay dos lugares (fuentes) con 15 y 13 autos en exceso; y, cuatro lugares (destinos) en los que se requieren 9, 6, 7 y 9 autos, respectivamente. Los costos unitarios de transporte (en dlares) entre los lugares son los siguientes:

D1

D2

D3

D4

O1

45

17

21

30

O2

14

18

19

31

Establecer un programa de costo mnimo, por el mtodo esquina Nor Occidental.

SOLUCION



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5.- PROCEDIMIENTO DE RESOLUCION POR EL MTODO VOGEL.5.1.- En cada fila y columna de trabajo encontrar los dos menores costos, de los cuales obtener su diferencia. 5.2.- Sealar la mayor diferencia encontrada, lo que determinar una fila o columna de trabajo; en caso de empate se seleccionar la fila o columna que contenga el menor costo. 5.3.- Seleccionada la fila o columna, se elegir la casilla de menor costo y se asignar a sta la cantidad que sea posible asignar, lo cual permitir, adems, eliminar la fila y/o columna cuya condicin se haya satisfecho. 5.4.- Retornar al paso 5.1. hasta terminar las asignaciones. 5.5.- Aplicar el procedimiento desde el paso 4.2.-, del mtodo ESQUINA NOR-OCCIDENTAL. EJEMPLO No. 2 Una Compaa de renta de Autos tiene problemas de distribucin, debido a que los acuerdos de renta permiten que los autos se entreguen en lugares diferentes a aquellos en que originalmente fueron rentados. Por el momento, hay dos lugares (fuentes) con 15 y 13 autos en exceso; y, cuatro lugares (destinos) en los que se requieren 9, 6, 7 y 9 autos, respectivamente. Los costos unitarios de transporte (en dlares) entre los lugares son los siguientes: D1 45 14 D2 17 18 D3 21 19 D4 30 31

O1 O2

Establecer un programa de costo mnimo, por el mtodo vgel. SOLUCION



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EJEMPLO No. 3 Sea D1 = 100.000 Galones D2 = 180.000 Galones D3 = 350.000 Galones Los costos por transporte son: D1 92 91 87

P1 = 320.000 Galones P2 = 270.000 Galones P3 = 190.000 Galones (Expresados en Ctvos. de dlar) D2 D3 89 90 91 95 90 92

P1 P2 P3

Establecer un programa de Costo mnimo, por el Mtodo VOGEL Y ESQUINA NOR OCCIDENTAL MTODO VOGEL



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METODO ESQUINA NOR - OCCIDENTAL



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6.- PROBLEMAS DE MAXIMIZACIN.El modelo de transporte no es estrictamente para minimizar funciones objetivo; sino, tambin podemos MAXIMIZARLOS. As, el cambio que se plantea en este tipo de problemas, es que, en vez de contar con COSTOS DE TRANSPORTE se tiene PRECIOS DE TRANSPORTE. Los criterios para resolver este tipo de modelos es el siguiente: a) Cuando trasladamos los "precios" al modelo, ste se incluye con SIGNO NEGATIVO. b) El procedimiento de resolucin es el mismo que para los mtodos ESQUINA NOR OCCIDENTAL o VOGEL. EJEMPLO No. 4 Una empresa internacional dispone de 30 barcos cargueros que se encuentran en los puertos de Liverpool, Tokio y Nueva York en nmero de 10 en cada puerto. La empresa puede enviar esos barcos a los puertos del Callao, Guayaquil, Hamburgo y Lisboa cuyas necesidades son: Callao 2 Hamburgo 4 Guayaquil 12 Lisboa 12 Las utilidades que reportara la asignacin de un Barco a determinado puerto de destino aparecen en la tabla siguiente: Utilidades por barco en miles de dlares AmericanosLiverpool Tokio Nueva York Callao 10 20 18 Guayaquil 8 16 18 Hamburgo 6 8 16 Lisboa 4 4 8

Determinar por Vogel un plan de distribucin que proporcione el mximo beneficio a la empresa. SOLUCION



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7.- PROBLEMA DE LOCALIZACION El mtodo de transporte tambin apoya a resolver problemas de localizacin de instalaciones mltiples, en este caso determinaremos la pauta de asignacin que minimice el costo de embarcar productos desde dos o ms plantas hasta dos o ms almacenes. EJEMPLO No.5 Una empresa est estudiando la posibilidad de comprar una nueva planta con capacidad de 500 unidades al mes, ahora que sus negocios estn en crecimiento. Una posible localizacin para esa nueva planta est en la zona de Villa Ftima. La Tabla No. 3 muestra la capacidad de las plantas, sus requisitos de almacn y sus costos de transporte a los diferentes almacenes distribuidos en la ciudad de La Paz. Hallar la distribucin ptima y el costo total de transporte que asumira la empresa con esta adquisicin. Tabla No. 3

ALMACENES1 EL TEJAR5 6.0

25.4

3

CAPACIDAD 400

7

4.6

6.6

VILLA FATIMA

500

REQUISITOS

200

400

300

900

SOLUCION



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8.- PROBLEMA DE TRANSBORDO Un problema de transbordo tambin incluye orgenes, en los que se tiene "fuentes de abastecimiento" y destinos que tienen "fuentes de consumo"; sin embargo, incluye EMPALMES a travs de los cuales se puede embarcar productos. Los empalmes pueden ser diferentes a los orgenes y destinos, o bien, un origen o un destino pueden tambin funcionar como empalme. Normalmente, se dan los costos unitarios de embarque entre todos los sitios con acceso directo y el objetivo es desarrollar un programa de transporte que cumpla todas las demandas a un COSTO MINIMO TOTAL.

+30 OE

0 +180

O

E

D

-200

DE -15

Procedimiento a) Realizar el listado de nodos, identificando los orgenes puros, orgenes empalmes, empalmes puros, destinos empalmes y destinos puros. b) Encolumnar los orgenes puros y los destinos puros con sus respectivas cantidades ofertadas y demandadas. Por otro lado, incluir en ambas columnas los nodos que contengan la caracterstica de empalme con sus respectivas cantidades, siendo cero cuando sea empalme puro o en su caso no corresponda la clasificacin en la columna respectiva. c) Sumar los valores parciales de las columnas orgenes puros y destinos puros. d) Aadir a los nodos con la caracterstica de orgenes empalme, empalmes puros y destinos empalme, el mayor valor ofertado o demandado obtenido en el inciso 3. e) Construir la matriz de transporte tomando en cuenta las ofertas y demandas totales, adems, de los costos unitarios de transporte descrito en los esquemas del problema de transbordo. Nota.- Cuando no hay ruta entre dos puntos, entonces se coloca un Cu = 1.000 - Cuando se dirigen as mismo, entonces se coloca un Cu = 0 f) Optimizar el modelo de transporte



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EJEMPLO No. 6 Determnese un programa de embarque de costo mnimo para el siguiente problema de transbordo

SOLUCION



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9.- PROBLEMA DE PRODUCCION La aplicacin del modelo de transporte no se limita al transporte de un bien de un lugar llamado origen a otro llamado destino; sino, tambin se puede analizar y relacionar con problemas en el rea de control de produccin - inventario de la siguiente manera: MODELO DE TRANSPORTE 1.- Puntos ORIGENES "i" 2.- Puntos DESTINO "j" 3.- CANTIDAD de OFERTA en el punto origen "i" 4.- CANTIDAD DEMANDADA: Punto destino "j" PRODUCCION - INVENTARIO 1.- Perodos de PRODUCCION "i" 2.- Perodos de DEMANDA "j" 3.- CAPACIDAD de PRODUCCIN del perodo "i" 4.- CANTIDAD DEMANDADA: Perodo "j"

5.- Costo de transporte por unidad del punto de 5.- Costo por unidad (produccin + inventario + Origen "i" al punto de destino "j" penalidad) en el perodo "i" para el perodo "j" Nota.- a) Si se quiere asegurar la llegada de un producto a un perodo de demanda "j", se debe asignar a ese perodo el COSTO CERO. b) Por otro lado, si se quiere asegurar que un producto no llegue a un perodo de demanda "j", se debe asignar a ese perodo un COSTO PROHIBITIVAMENTE alto (1.000) EJEMPLO No. 7 BORALIS fbrica mochilas para excursionistas. La demanda de su producto ocurre durante los meses de marzo a junio de cada ao. La empresa calcula que la demanda para los 4 meses es de 100, 200, 180 y 300 unidades, respectivamente. La compaa utiliza horas extra de mano de obra para fabricar las mochilas y, debido a eso, su capacidad de produccin vara mensualmente. Se calcula que BORALIS puede producir 50, 180, 280 y 270 unidades de marzo a junio, respectivamente. Debido a que la capacidad de produccin y la demanda para los diferentes meses no es igual, la demanda del mes actual se satisface en una de tres formas: 1.- Produccin del mes actual 2.- Produccin excedente de un mes anterior 3.- Produccin excedente de un mes posterior En el primer caso, el costo de produccin por mochila es de 40 dlares. El segundo caso incurre en un costo adicional de almacenamiento de 0.50 de dlar por mochila, por mes. En el tercer caso, se incurre en un costo adicional de 2 dlares de penalidad por cada mes de demora. Determinar el programa de produccin ptima para los 4 meses. SOLUCION



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