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ALGORITMO MONTANTE PARA UN SISTEMA MATRICIAL
El método consiste en ir "pivoteando" en la diagonal principal, se comienza en el extremo superior
izquierdo el renglón donde esta el pivote va a ser el renglón base de todo el sistema y la columna
donde esta el pivote va a ser la columna base con respecto a ese renglón y esa columna donde
esta el pivote se forman determinantes de dos por dos, y siempre se trabaja con puros enteros, si
apareciera alguna fracción hay un error.
En donde N.E. es el Nuevo Elemento, P es el Pivote, E.A. es el elemento Actual, E.C.F.P. es el
Elemento Correspondiente a la Fila del pivote, E.C.C.P. es el Elemento Correspondiente a la
Columna del pivote y P.A. es el Pivote Anterior
EJEMPLO
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
,
,
Se escribe la matriz ampliada (con los resultados):
El renglón donde esta el pivote se queda idéntico, la columna donde esta el pivote se hace
ceros.
Con respecto al renglón donde esta el pivote y la columna donde esta el pivote se forman
determinantes de dos por dos.
El número inicial por el que se va a dividir el resultado va a ser 1
Se resuelve multiplicando el elemento por el pivote, menos el producto de los dos elementos
de la fila y la columna donde esta el pivote y el elemento, aplicando el método.
Nuestro nuevo pivote es el 3 así que se colocara sobre la diagonal principal solamente hasta
el renglón donde se encuentra (renglón 2)
El renglón donde esta el pivote se queda idéntico, la columna donde esta el pivote se hace
ceros.
Se repiten los pasos 1 y 2, se resuelve aplicando el algoritmo, tomando en cuenta que el
pivote anterior es "2"
Nuestro nuevo pivote es el 16 así que se colocara sobre la diagonal principal solamente hasta
el renglón donde se encuentra (renglón 3)
El renglón donde esta el pivote se queda idéntico, la columna donde esta el pivote se hace
ceros.
Se repiten los pasos 1 y 2, se resuelve aplicando el algoritmo, tomando en cuenta que el
pivote anterior es "3"
Nuestro nuevo pivote es el 50 así que se colocara sobre la diagonal principal* solamente
hasta el renglón donde se encuentra (renglón 4)
El renglón donde esta el pivote se queda idéntico, la columna donde esta el pivote se hace
ceros.
Se repiten los pasos 1 y 2, se resuelve aplicando el algoritmo, tomando en cuenta que el
pivote anterior es "16"
La solución al sistema (1) es:
SISTEMA DEFECTUOSO
El Sistema Defectuoso, es un sistema de ecuaciones que tiene un número de variable mayor al número de ecuaciones existentes.
2 x+3 y+4 z=3x− y+2 z=4
Debido a la forma del sistema de ecuaciones, éste no se puede resolver. La única manera de poder resolverlo es eliminando una de las variables. La forma de eliminarla es pasando la variable al lado donde están los resultados.
2 x+3 y=3−4 zx− y=4−2 z
A partir de este paso, podemos utilizar las determinantes y el Teorema de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones.
x=∆ x∆
=−15+10 z−5
=3 y=∆ y∆
= 5−5
=−1z=0
∆=|2 31 −1|=−2−3=−5
∆ x=|3−4 z 34−2 z −1|=(−3+4 z )−(12−6 z )=−15+10 z
∆ y=|2 3−4 z1 4−2 z|=(8−4 z )−(3−4 z )=5
Como podemos observar, a través de las determinantes solo podemos resolver dos variables, así que a la tercera variable, la que fue “eliminada”, se le dará un valor cualquiera y se sustituirá en el que resultado (de las otras dos variables) que haya quedado con esa variable incluida, como fue el caso de la ∆ x.
