Algoritmos e Estruturas de Dados I - lcad.icmc.usp.brpaulovic/aulas/ALG-I/SCC0202-aula-09-Arvores... · IntroduçãoaÁrvores IntroduçãoaÁrvores SCC0202 - Algoritmos e Estruturas

Introdução a Árvores

Introdução a Árvores

SCC0202 - Algoritmos e Estruturas de Dados I

Prof. Fernando V. Paulovich*Baseado no material do Prof. Gustavo Batista

http://www.icmc.usp.br/[email protected]

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC)Universidade de São Paulo (USP)

2 de outubro de 2013

http://www.icmc.usp.br/~paulovic

Introdução a ÁrvoresIntrodução

Sumário

1 Introdução

2 Fundamentos e Terminologia

3 Representações Gráficas

4 Árvores N-árias

5 Exercícios


Sumário

1 Introdução



4 Árvores N-árias

5 Exercícios


Introdução

Estrutura de listas: organização linear dos dados, ondesua propriedade básica é a relação sequencial mantidaentre seus elementos

Estrutura de árvores: organização dos dados de formanão-linear mantendo um relacionamento hierárquico entreseus elementos


Introdução

Estrutura de listas: organização linear dos dados, ondesua propriedade básica é a relação sequencial mantidaentre seus elementosEstrutura de árvores: organização dos dados de formanão-linear mantendo um relacionamento hierárquico entreseus elementos


Listas Lineares

Complexidade de tempo para os problemasListar os alunos do departamento Dx? O(n)Listar os alunos do curso Cx? O(n)Idade média dos alunos do curso Cx? O(n)


Estrutura de árvore: exemplos

Algumas situações onde é necessária um representaçãobaseada na relação hierárquica entre os elementos

Árvores genealógicasOrganização de um livroRepresentação da estrutura organizacional de umainstituição


Estrutura de árvore: exemplo de árvoregenealógica


Estrutura de árvore: exemplo de organização deum livro


Estrutura de árvore: exemplo de estruturaorganizacional do ICMC


Justificativas/vantagens

Representatividade no relacionamento entre os dadosFacilidades na manipulação computacional dos dados

Utilizando essa abordagem para representar a EstruturaOrganizacional da USP, teríamos maior facilidade naextração de informações como

Total de professores de um departamentoTotal de salário dos funcionários de setor específicoOs diretores de cada centroEntre outras...


Justificativas/vantagens

Observe que para extrair informações específicas de umadeterminada ramificação da árvore não é necessário opercurso por toda a estrutura de informação, uma vezque o relacionamento entre os dados nos permite umaconsulta seletiva em regiões específicas da árvore

Introdução a ÁrvoresFundamentos e Terminologia

Sumário

1 Introdução



4 Árvores N-árias

5 Exercícios


Definição

Uma árvore enraizada é um conjunto finito deelementos denominados nós ou vértices tais que

T = ∅, a árvore é dita vaziaT = {r} ∪ {T1} ∪ {T2} ∪ {T3} ∪ . . . ∪ {Tn}

Um nó especial da árvore, r, é chamado de raiz da árvore

Os restantes constituem um único conjunto vazio ou sãodivididos em n ≥ 1 conjuntos disjuntos não vazios,T1, T2, T3, . . . , Tn, as subárvores de r, cada qual por suavez uma árvore


Definição

Assim para denotar uma árvore T usamosT = {r, T1, T2, T3, . . . , Tn}, com r a raiz da árvore e Tv asubárvore T com raiz em v

Note que a definição apresentada é recursiva!


Representação Aninhada

Uma sequencia S de 2n chaves, com n “{” e n “}” é ditaaninhada quando, em cada subsequencia de S, iniciada naposição 1 e com extremidade i < 2n, o número de “{” émaior do que o de “}”

Por exemplo, a sequencia {{}{}} é aninhada, mas asequencia {{}}{} não

Uma sequencia desse tipo pode ser usada para representaruma árvore

As sequencias de chaves representam as relações entre osnós da árvore – o rótulo de cada nó é inseridoimediatamente a direita da “{” correspondente



ExemploTa = {A}Tb = {B, {C}}Tc ={D, {E, {F}}, {G, {H, {I}}, {J, {K}, {L}}, {M}}}



ExercíciosTd = {2, {1}, {3}}Te = {4, {2, {1}, {3}}, {6, {5}, {7}}}Tf = {Joao, {Daniel, {Andres}, {Fernanda}},{Maria, {Marcos}, {Rafael}}}


Terminologias

Considerando a árvore Tc e a definição dada de árvoresanteriormente vejamos algumas terminologias básicas

O grau de um nó é o número de sub-árvoresrelacionadas aquele nó. Por exemplo: em Tc o grau donó D é 2, de G é 3 e dos nós K,L, I, F e M é 0 (zero)Nós com grau igual a zero não possuem sub-árvores,portanto são chamados nós folhas ou terminaisSe cada nó de uma árvore possui um grau máximo etodos os demais nós possuem o mesmo grau máximo,podemos definir este grau como o grau da árvore


Terminologias


O grau de um nó é o número de sub-árvoresrelacionadas aquele nó. Por exemplo: em Tc o grau donó D é 2, de G é 3 e dos nós K,L, I, F e M é 0 (zero)

Nós com grau igual a zero não possuem sub-árvores,portanto são chamados nós folhas ou terminaisSe cada nó de uma árvore possui um grau máximo etodos os demais nós possuem o mesmo grau máximo,podemos definir este grau como o grau da árvore


Terminologias


O grau de um nó é o número de sub-árvoresrelacionadas aquele nó. Por exemplo: em Tc o grau donó D é 2, de G é 3 e dos nós K,L, I, F e M é 0 (zero)Nós com grau igual a zero não possuem sub-árvores,portanto são chamados nós folhas ou terminais

Se cada nó de uma árvore possui um grau máximo etodos os demais nós possuem o mesmo grau máximo,podemos definir este grau como o grau da árvore


Terminologias


O grau de um nó é o número de sub-árvoresrelacionadas aquele nó. Por exemplo: em Tc o grau donó D é 2, de G é 3 e dos nós K,L, I, F e M é 0 (zero)Nós com grau igual a zero não possuem sub-árvores,portanto são chamados nós folhas ou terminaisSe cada nó de uma árvore possui um grau máximo etodos os demais nós possuem o mesmo grau máximo,podemos definir este grau como o grau da árvore


Terminologias


Terminologias

Para identificar os nós na estrutura, usamosdenominações da relação hierárquica existente em umaárvore genealógica

Cada raiz ri da sub-árvore Ti é chamada filho de r. Otermo neto é usado de forma análogaO nó raiz r da árvore T é o pai de todas as raízes ri dassub-árvores Ti. O termo avô é definido de forma análogaDuas raízes ri e rj das sub-árvores Ti e Tj de T sãoditas irmãs


Terminologias


Cada raiz ri da sub-árvore Ti é chamada filho de r. Otermo neto é usado de forma análoga

O nó raiz r da árvore T é o pai de todas as raízes ri dassub-árvores Ti. O termo avô é definido de forma análogaDuas raízes ri e rj das sub-árvores Ti e Tj de T sãoditas irmãs


Terminologias


Cada raiz ri da sub-árvore Ti é chamada filho de r. Otermo neto é usado de forma análogaO nó raiz r da árvore T é o pai de todas as raízes ri dassub-árvores Ti. O termo avô é definido de forma análoga

Duas raízes ri e rj das sub-árvores Ti e Tj de T sãoditas irmãs


Terminologias


Cada raiz ri da sub-árvore Ti é chamada filho de r. Otermo neto é usado de forma análogaO nó raiz r da árvore T é o pai de todas as raízes ri dassub-árvores Ti. O termo avô é definido de forma análogaDuas raízes ri e rj das sub-árvores Ti e Tj de T sãoditas irmãs


Terminologias


Definição

Outras definições importantes são obtidas a partir dadistância de um nó em relação aos outros nós da árvore

Caminho: sequência não vazia de nós,P = {r1, r2, . . . , rk}, onde o i-ésimo nó ri da sequênciaé pai de ri+1

Comprimento: tomando a definição de caminho, ocomprimento de um caminho P é igual a k − 1


Definição





Definição





Definição


Terminologia

Altura de um nó: a altura de um nó ri é o comprimentodo caminho mais longo do nó ri a uma folha

As folhas têm altura 0 (zero)

Altura de uma árvore: é igual a altura da raiz r de T

Profundidade: a profundidade de um nó ri de umaárvore T é o comprimento do único caminho em T entrea raiz r e o nó ri

A raiz está no nível 0 (zero)A maior profundidade entre todos os nós é a altura daárvore

Nível: um conjunto de nós com a mesma profundidade édenominado nível da árvore


Terminologia


As folhas têm altura 0 (zero)Altura de uma árvore: é igual a altura da raiz r de T





Terminologia







Terminologia







Terminologia


Terminologia

Ascendência e descendência: considerando dois nós rie rj , o nó ri é uma ancestral de rj se existe um caminhoem T de ri a rj , tal que, o comprimento de P entre ri erj seja diferente de 0 (zero)

De forma análoga se define o descendente de um nó

Introdução a ÁrvoresRepresentações Gráficas

Sumário

1 Introdução



4 Árvores N-árias

5 Exercícios


Representações gráficas para árvores

A estrutura de árvore pode ser representada graficamentede diversas maneiras, dentre elas temos

conjuntos aninhadosidentaçãografos, sendo esta última a mais utilizada


Representação em conjuntos aninhados


Representação com identação


Representação utilizando grafos

Introdução a ÁrvoresÁrvores N-árias

Sumário

1 Introdução



4 Árvores N-árias

5 Exercícios

Introdução a ÁrvoresÁrvores N-árias

Árvores N-árias

Uma árvore N-ária T é um conjunto finito de nós com asseguintes propriedades

O conjunto é vazio, T = ∅O conjunto consiste de um nó especial r, que é a raiz deT , e os restantes podem ser sempre divididos em nsubconjuntos disjuntos, as i-ésimas subárvores de r,1 ≤ i ≤ n, as quais também são árvores N-árias

A i-ésima subárvore de um nó v de T , se existir, édenominada i-ésimo filho de v

Introdução a ÁrvoresExercícios

Sumário

1 Introdução



4 Árvores N-árias

5 Exercícios

Introdução a ÁrvoresExercícios

Exercícios

1 Considere a seguinte árvore:Te = {a, {b, {c, {d}}, {e, {f}, {g}}}, {h, {i}}}

Obtenha as representações por conjunto, identação egrafosEncontre o grau, altura e profundidade de cada nóEncontre todos os caminhos possíveis a partir da raizcom seus respectivos comprimentos árvore binária

2 Partindo da definição de árvores n-árias, encontre adefinição para árvores binárias

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