Algoritmos Simulacion Geo Minero Metalurgico

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TABLA DE CONTENIDOS

1 INTRODUCCIÓN....................................................................................................................1

1.1 OBJETIVOS .......................................................................................................................3 1.1.1 Generales.................................................................................................................3 1.1.2 Específicos...............................................................................................................3

1.2 ALCANCES ........................................................................................................................3 2 ANTECEDENTES ..................................................................................................................4

2.1 CONCEPTOS PREVIOS .......................................................................................................4 2.1.1 Variable regionalizada..............................................................................................4 2.1.2 Función aleatoria......................................................................................................4 2.1.3 Transformación Gaussiana ......................................................................................6 2.1.4 Fluctuaciones ergódicas ..........................................................................................6 2.1.5 Curvas de selectividad .............................................................................................7

2.2 ANTECEDENTES TEÓRICOS................................................................................................8 2.2.1 Métodos de simulación geoestadística ....................................................................9

2.3 ASPECTOS DE IMPLEMENTACIÓN......................................................................................11 2.3.1 Método Secuencial Gaussiano ..............................................................................11 2.3.2 Método de Bandas Rotantes..................................................................................12

2.4 CRITERIOS DE VALIDACIÓN ..............................................................................................13 2.4.1 Inspección visual....................................................................................................13 2.4.2 Distribución univariable ..........................................................................................13 2.4.3 Distribución bivariable ............................................................................................13 2.4.4 Fluctuaciones ergódicas ........................................................................................14 2.4.5 Intervalos de probabilidad ......................................................................................14

2.5 METODOLOGÍA DE TRABAJO.............................................................................................15 2.5.1 Simulaciones no condicionales ..............................................................................15 2.5.2 Simulaciones condicionales ...................................................................................16

3 SIMULACIÓN NO CONDICIONAL......................................................................................18

3.1 CASO BASE.....................................................................................................................19 3.1.1 Número de realizaciones .......................................................................................20 3.1.2 Parámetros de implementación .............................................................................23

3.2 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD...............................................................................................30 3.2.1 Influencia del dominio ............................................................................................30 3.2.2 Influencia del alcance.............................................................................................33 3.2.3 Influencia del modelo variográfico..........................................................................35 3.2.4 Influencia del efecto pepita ....................................................................................39

3.3 CAMBIO DE SOPORTE ......................................................................................................43 3.3.1 Soporte de 10x10 metros.......................................................................................44 3.3.2 Soporte de 20x20 metros.......................................................................................45

3.4 ANISOTROPÍAS................................................................................................................46 3.5 IMPACTO LOCAL ..............................................................................................................48

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4 SIMULACIÓN CONDICIONAL ............................................................................................51

4.1 YACIMIENTO DE ÓXIDOS DE COBRE ..................................................................................52 4.1.1 Estudio exploratorio ...............................................................................................52 4.1.2 Reproducción de variogramas ...............................................................................58 4.1.3 Intervalos de probabilidad ......................................................................................61

4.2 YACIMIENTO DE SULFUROS DE COBRE..............................................................................64 4.2.1 Estudio exploratorio ...............................................................................................64 4.2.2 Reproducción de variogramas ...............................................................................70 4.2.3 Intervalos de probabilidad ......................................................................................72

5 APLICACIÓN: PLANIFICACIÓN ESTRATÉGICA CON INCERTIDUMBRE EN LA LEY ..77

5.1 YACIMIENTO DE ÓXIDOS DE COBRE ..................................................................................79 5.2 YACIMIENTO DE SULFUROS DE COBRE..............................................................................83

6 CONCLUSIONES.................................................................................................................90

7 BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................................92

8 ANEXOS ..............................................................................................................................95

8.1 ANEXOS I: VARIOGRAMAS DE ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD...................................................95 8.1.1 Dominio ..................................................................................................................95 8.1.2 Alcance ..................................................................................................................97 8.1.3 Modelos variográficos ............................................................................................99 8.1.4 Efecto pepa..........................................................................................................101

8.2 ANEXOS II: VARIOGRAMAS DE CAMBIO DE SOPORTE .......................................................103 8.3 ANEXOS III: VARIOGRAMAS DE ANISOTROPÍAS................................................................104 8.4 ANEXOS IV: ESTUDIO EXPLORATORIO ZONA DE BAJA LEY EN YACIMIENTO DE SULFUROS DE COBRE ....................................................................................................................................107 8.5 ANEXOS V: INTERVALOS DE PROBABILIDAD PARA DIFERENTES COMPÓSITOS ESTIMADOS CON ZONA DE BAJA LEY ...................................................................................................................111

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ÍNDICE DE ILUSTRACIONES

Ilustración 2.1 Función de transformación Gaussiana...................................................................................6 Ilustración 2.2 Curva tonelaje – ley de corte. .................................................................................................7 Ilustración 2.3 Curva metal – ley de corte......................................................................................................8 Ilustración 2.4 Curva ley media – ley de corte. ..............................................................................................8 Ilustración 3.1 Intervalo de probabilidad para el variograma experimental de una realización. ................. 19 Ilustración 3.2 Fluctuaciones estadísticas esperadas para un dominio de 200x200 nodos....................... 20 Ilustración 3.3 Fluctuaciones estadísticas para variaciones del dominio. .................................................. 21 Ilustración 3.4 Fluctuaciones estadísticas para variogramas exponencial, esférico, Gaussiano y esférico

anidado................................................................................................................................................ 21 Ilustración 3.5 Fluctuaciones estadísticas para variogramas esféricos con diferentes efectos pepas....... 22 Ilustración 3.6 Variogramas generados para SG con 20 datos (nodos). .................................................... 24 Ilustración 3.7 Histograma de las medias de las realizaciones para SG con 20 datos (nodos)................. 24 Ilustración 3.8 Estadísticos generados para SG con 100 datos (nodos). ................................................... 25 Ilustración 3.9 Histograma de las medias de las realizaciones para SG con 100 datos (nodos)............... 25 Ilustración 3.10 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana para diferentes

tamaños de la vecindad. ..................................................................................................................... 26 Ilustración 3.11 Estadísticos generados para BR con 100 líneas............................................................... 27 Ilustración 3.12 Histograma de las medias de las realizaciones para BR con 100 líneas.......................... 27 Ilustración 3.13 Estadísticos generados para BR con 1000 líneas............................................................. 28 Ilustración 3.14 Histograma de las medias de las realizaciones para BR con 1000 líneas........................ 28 Ilustración 3.15 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana para diferentes

implementaciones. .............................................................................................................................. 29 Ilustración 3.16 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes dominios...................................... 31 Ilustración 3.17 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes dominios........... 31 Ilustración 3.18 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes dominios...................................... 32 Ilustración 3.19 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes dominios........... 32 Ilustración 3.20 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes alcances...................................... 33 Ilustración 3.21 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes alcances........... 34 Ilustración 3.22 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes alcances. ..................................... 34 Ilustración 3.23 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes alcances. .......... 35 Ilustración 3.24 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes modelos. ..................................... 36 Ilustración 3.25 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes modelos. .......... 37 Ilustración 3.26 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes modelos....................................... 38 Ilustración 3.27 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes modelos............ 38 Ilustración 3.28 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes efectos pepas.............................. 40 Ilustración 3.29 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes efectos pepas... 40 Ilustración 3.30 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes efectos pepas.............................. 41 Ilustración 3.31 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes efectos pepas... 42 Ilustración 3.32 Variogramas regularizados................................................................................................ 44 Ilustración 3.33 Histograma de las medias de las realizaciones regularizadas.......................................... 45 Ilustración 3.34 Variogramas regularizados................................................................................................ 45 Ilustración 3.35 Histograma de las medias de las realizaciones regularizadas.......................................... 46 Ilustración 3.36 Mapas variográficos según anisotropía............................................................................. 46 Ilustración 3.37 Variogramas con anisotropía geométrica.......................................................................... 47 Ilustración 3.38 Variogramas con anisotropía zonal. .................................................................................. 47 Ilustración 3.39 Fluctuaciones en variogramas experimentales. ................................................................ 48 Ilustración 3.40 Histograma de los valores obtenidos mediante método LU.............................................. 49 Ilustración 3.41 Gráficos cuantil contra cuantil de los métodos SG (arriba) y BR (abajo) comparados con

método LU. .......................................................................................................................................... 50 Ilustración 4.1 Mapas de muestras de exploración..................................................................................... 52 Ilustración 4.2 Influencia del tamaño de celda sobre la media (Izq.) e Histograma desagrupado (Der.). .. 53 Ilustración 4.3 Nubes direccionales de cobre soluble. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.). .............. 54 Ilustración 4.4 Variograma experimental y modelado. ................................................................................ 54 Ilustración 4.5 Validación cruzada para el variograma modelado. ............................................................. 55

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Ilustración 4.6 Anamorfosis Gaussiana, que relaciona los valores originales (ordenada) con los valores Gaussianos (abscisa).......................................................................................................................... 55

Ilustración 4.7 Histograma de los datos Gaussianos.................................................................................. 56 Ilustración 4.8 Nubes de correlación diferida para distancias de 5 metros (Izq.) y 60 metros (Der.) ......... 56 Ilustración 4.9 Raíz cuadrada del variograma dividida por el madograma................................................. 57 Ilustración 4.10 Variograma experimental y modelado de la variable Gaussiana. ..................................... 58 Ilustración 4.11 Variogramas de realizaciones con BR de la variable original (CuS)................................. 59 Ilustración 4.12 Variogramas de realizaciones con BR de la variable transformada.................................. 59 Ilustración 4.13 Mapa de poblaciones definidas para validar el modelo de incertidumbre. ....................... 62 Ilustración 4.14 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual............ 63 Ilustración 4.15 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades y diferentes tamaños de

compósitos. ......................................................................................................................................... 63 Ilustración 4.16 Mapas de muestras de exploración................................................................................... 64 Ilustración 4.17 Influencia del tamaño de celda sobre la media (Izq.) e Histograma desagrupado (Der.). 65 Ilustración 4.18 Nubes direccionales de cobre total. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.). ................. 66 Ilustración 4.19 Variograma experimental y modelado. .............................................................................. 66 Ilustración 4.20 Validación cruzada para el variograma modelado. ........................................................... 67 Ilustración 4.21 Anamorfosis Gaussiana, que relaciona los valores originales (ordenada) con los valores

Gaussianos (abscisa).......................................................................................................................... 68 Ilustración 4.22 Histograma de los datos Gaussianos. ............................................................................... 68 Ilustración 4.23 Nubes de correlación diferida para distancias de 5 metros (Izq.) y 50 metros (Der.) ....... 68 Ilustración 4.24 Raiz cuadrada del variograma dividido por el madograma. .............................................. 69 Ilustración 4.25 Variograma de indicadores................................................................................................ 70 Ilustración 4.26 Variograma experimental y modelado de la variable Gaussiana. ..................................... 70 Ilustración 4.27 Variogramas de realizaciones con BR de la variable original (CuT). ................................ 71 Ilustración 4.28 Variogramas de realizaciones con BR de la variable transformada.................................. 71 Ilustración 4.29 Mapa de poblaciones definidas para validar el modelo de incertidumbre. ....................... 72 Ilustración 4.30 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual............ 73 Ilustración 4.31 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades y diferentes tamaños de

compósitos. ......................................................................................................................................... 73 Ilustración 4.32 Mapa de poblaciones definidas para validar el modelo de incertidumbre. ....................... 74 Ilustración 4.33 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual, utilizando

características globales del yacimiento............................................................................................... 75 Ilustración 4.34 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual, utilizando

características locales de la zona de baja ley del yacimiento............................................................. 75 Ilustración 5.1 Proceso de obtención de valor presente neto y ritmos de producción para diferentes leyes

de corte................................................................................................................................................ 78 Ilustración 5.2 Gráfico cuantil contra cuantil de kriging y promedio de simulaciones................................. 80 Ilustración 5.3 Curva tonelaje ley para leyes de cobre soluble................................................................... 80 Ilustración 5.4 VAN (Izq.) y Ritmo de producción (Der.) versus Ley de Corte............................................ 82 Ilustración 5.5 Ritmo de producción de kriging (Izq.) y de realización #60 (Der.). ..................................... 83 Ilustración 5.6 Gráfico cuantil contra cuantil de kriging y promedio de simulaciones................................. 83 Ilustración 5.7 Curva tonelaje ley para leyes de cobre total. ...................................................................... 84 Ilustración 5.8 VAN (Izq.) y Ritmo de producción (Der.) versus Ley de Corte............................................ 86 Ilustración 5.9 Ritmo de producción de kriging (Izq.) y de realización #80 (Der.). ..................................... 87 Ilustración 8.1 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el

método Secuencial Gaussiano para diferentes dominios. .................................................................. 95 Ilustración 8.2 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el

método de Bandas Rotantes para diferentes dominios. ..................................................................... 96 Ilustración 8.3Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el

método Secuencial Gaussiano para diferentes alcances. .................................................................. 97 Ilustración 8.4 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el

método de Bandas Rotantes para diferentes alcances. ..................................................................... 98 Ilustración 8.5 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el

método Secuencial Gaussiano para diferentes modelos variográficos. ............................................. 99 Ilustración 8.6 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el

método de Bandas Rotantes para diferentes modelos variográficos. .............................................. 100 Ilustración 8.7 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el

v

método Secuencial Gaussiano para diferentes efectos pepas......................................................... 101 Ilustración 8.8 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el

método de Bandas Rotantes para diferentes efectos pepas. ........................................................... 102 Ilustración 8.9 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante

ambos algoritmos para diferentes soportes. ..................................................................................... 103 Ilustración 8.10 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante

ambos algoritmos para diferentes anisotropías, geométrica (Izq.) y zonal (Der.). ........................... 104 Ilustración 8.11 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante

ambos algoritmos para diferentes anisotropías, geométrica (Izq.) y zonal (Der.). ........................... 105 Ilustración 8.12 Histograma de las medias de las realizaciones para diferentes anisotropías, geométrica

(arriba), zonal (abajo). ....................................................................................................................... 106 Ilustración 8.13 Histograma de cobre total................................................................................................ 107 Ilustración 8.14 Influencia del tamaño de celda sobre la media (Izq.) e Histograma desagrupado (Der.).

........................................................................................................................................................... 107 Ilustración 8.15 Nubes direccionales de cobre total. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.). ............... 108 Ilustración 8.16 Variograma experimental y modelado. ............................................................................ 108 Ilustración 8.17 Anamorfosis Gaussiana................................................................................................... 109 Ilustración 8.18 Nubes de correlación diferida para distancia pequeña (Izq.) y grande (Der.)................. 109 Ilustración 8.19 Comparación de variograma con madograma. ............................................................... 110 Ilustración 8.20 Variograma experimental y modelado de la variable Gaussiana. ................................... 110 Ilustración 8.21 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades y diferentes tamaños de

compósitos, utilizando características globales del yacimiento. ....................................................... 111 Ilustración 8.22 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades y diferentes tamaños de

compósitos, utilizando características locales de la zona de baja ley del yacimiento. ..................... 112

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 3.1 Resumen de estadísticas validadas para diferentes dominios................................................... 43 Tabla 3.2 Resumen de estadísticas validadas para diferentes alcances. .................................................. 43 Tabla 3.3 Resumen de estadísticas validadas para diferentes variogramas. ............................................ 43 Tabla 3.4 Resumen de estadísticas validadas para diferentes efectos pepitas. ........................................ 43 Tabla 3.5 Estadísticas básicas de simulaciones de un bloque con diferentes métodos. ........................... 49 Tabla 4.1 Estadísticas de muestras de exploración de cobre soluble. ....................................................... 53 Tabla 4.2 Estadísticas variable Gaussiana ................................................................................................. 56 Tabla 4.3 Estadísticas básicas de poblaciones. ......................................................................................... 62 Tabla 4.4 Estadísticas de muestras de exploración de cobre total............................................................. 65 Tabla 4.5 Estadísticas variable Gaussiana. ................................................................................................ 68 Tabla 4.6 Estadísticas básicas de poblaciones. ......................................................................................... 72 Tabla 4.7 Estadísticas básicas de poblaciones. ......................................................................................... 74 Tabla 5.1 Estadísticas básicas de kriging y promedio de simulaciones. .................................................... 80 Tabla 5.2 Parámetros económicos. ............................................................................................................ 81 Tabla 5.3 Estadísticas básicas de kriging y promedio de simulaciones. .................................................... 83 Tabla 5.4 Parámetros económicos. ............................................................................................................ 85

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1 INTRODUCCIÓN

La evaluación de los recursos minerales de un yacimiento se realiza a partir de una toma

de muestras, utilizando técnicas geoestadísticas de interpolación como el kriging. Sin embargo,

el kriging suele dar una imagen suavizada de la realidad del yacimiento (Olea 1996, Journel

2000) y no permite apreciar la incertidumbre que existe en la cantidad de los recursos in situ.

Para ello, se han desarrollado técnicas de simulación geoestadística basadas en la teoría de

campos aleatorios que buscan crear escenarios verosímiles que reproducen la variabilidad

espacial de los atributos de interés, los cuales conforman un conjunto de escenarios plausibles

de la realidad del yacimiento (Journel, 1974).

Para que estos escenarios sean realistas, se impone además que las realizaciones

construidas coincidan con la información conocida en los sitios de muestreo; en este caso se

habla de simulación “condicional” para señalar que existen ciertas restricciones sobre el modelo

geoestadístico.

La principal diferencia entre los métodos de estimación (kriging) y de simulación radica

en que los primeros pretenden encontrar el valor más cercano al valor real en cada localización,

mientras que los segundos intentan reproducir la variabilidad espacial de los valores

desconocidos, de manera de cuantificar la incertidumbre asociada a estos valores (Goovaerts,

2000). La incertidumbre en la estimación puede obtenerse mediante el uso de la varianza de

kriging escalada para considerar el efecto proporcional pero esta práctica ha sido

constantemente criticada y la tendencia actual es a evitarla, o bien mediante el uso de

simulaciones que permiten obtener la varianza condicional a través de la generación de

múltiples escenarios (Chilès y Delfiner, 1999).

Las simulaciones condicionales son una herramienta eficaz para cuantificar riesgos. Por

ejemplo, se puede ver cuál es el escenario simulado más favorable o el peor para tener una

idea de la incertidumbre existente en la cantidad total de recursos. También se puede usar los

modelos simulados para definir la cantidad de reservas, para la planificación minera y el control

de leyes (Deraisme, 1984).

La contrapartida de esta mayor flexibilidad de uso son los mayores requerimientos para

poder construir las realizaciones. Mientras que el kriging sólo requiere definir el variograma de

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la variable a estimar, la simulación necesita determinar cómo se distribuyen en el espacio los

valores del campo aleatorio que representa la variable en estudio, es decir, se debe modelar la

distribución espacial del campo aleatorio a partir de la información disponible sobre la variable.

El modelo más conocido y más ampliamente utilizado en minería para representar

variables continuas es el llamado modelo multigaussiano. Entonces, se pretende estudiar y

comparar la calidad de los principales algoritmos multigaussianos actualmente usados, de

manera de evaluar el impacto de las aproximaciones cometidas por dichos algoritmos.

Existen diferentes criterios para validar una simulación, en los cuales interviene el grado

de exigencia que el especialista requiere para reproducir las estadísticas de las simulaciones.

Hoy en día no existe una metodología aceptada por los investigadores del área, por ejemplo

algunos autores proponen revisar distribuciones univariables, otros bivariables y algunos las

fluctuaciones de las diferentes realizaciones. Por otra parte, quienes utilizan estas herramientas

no poseen criterios claros y precisos de cuales deben ser los estadísticos a examinar ni el

número de realizaciones que deben construir.

En este trabajo, financiado por el proyecto FONDECYT Nº 1061103 “Cuantificación de la Incertidumbre en Atributos Geológicos, Mineros y Metalúrgicos: Nuevos Modelos Geoestadísticos y Aspectos de Implementación” y que es presentado como trabajo de

memoria para optar al titulo de Ingeniero Civil de Minas, se pretende validar las realizaciones

generadas mediante un algoritmo de simulación geoestadística dado, examinando las

propiedades estadísticas de las realizaciones. Previamente se presentan aspectos de

implementación y criterios de validación de los algoritmos utilizados en las simulaciones

geoestadísticas, a modo de tener una referencia sobre lo que es utilizado actualmente en esta

materia.

Para realizar el estudio se utilizarán simulaciones no condicionales generadas mediante

los métodos Secuencial Gaussiano y Bandas Rotantes, para las cuales se cuenta con un

modelo de covarianza y un dominio. Luego, se examinará el tema de las simulaciones

condicionales mediante dos casos de estudio, en los cuales se dispone de muestras de

exploración y de las realidades simuladas por algún método multigaussiano a modo de poder

validar los resultados obtenidos.

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1.1 Objetivos

1.1.1 Generales

Estudiar y comparar la calidad de distintos algoritmos de simulación geoestadística.

1.1.2 Específicos

• Comparación de dos algoritmos utilizados en la actualidad para simular campos

multigaussianos: método Secuencial Gaussiano y método de Bandas Rotantes.

• Diseñar y probar varios ensayos para validar los estadísticos simulados y estudiar

las fluctuaciones estadísticas.

• Sugerir un número mínimo de realizaciones para poder validar un algoritmo.

• Establecer las ventajas comparativas de estos métodos.

• Estudiar el impacto de estos algoritmos en curvas tonelaje-ley y su valoración.

1.2 Alcances

Las simulaciones geoestadísticas basadas en la construcción de realizaciones de

campos aleatorios son capaces de reproducir la variabilidad de los atributos geológicos (leyes

de elementos de interés), mineros (densidad de fracturamiento, dureza de la roca) y

metalúrgicos (índice de dureza, razón de solubilidad, recuperación metalúrgica), y permiten

evaluar la incertidumbre en las zonas geográficas no muestreadas de estos atributos.

El estudio considera un análisis de sensibilidad para las simulaciones no condicionales y

el uso de simulaciones condicionales sobre dos yacimientos para obtener representaciones

realistas de sus variables continuas, pues aquellas categóricas deben ser simuladas por otros

modelos.

El número de realizaciones sugerido es aplicable a otros algoritmos pertenecientes al

modelo multigaussiano. Por otra parte, los criterios de validación expuestos son generales y

aplicables a cualquier otro algoritmo que se caracterice por sus dos primeros momentos.

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2 ANTECEDENTES

El principio de una simulación es construir una variable regionalizada ficticia que

reproduzca la continuidad espacial de la variable real. Esta construcción está basada en la

interpretación de la variable regionalizada como una realización de un campo aleatorio o función

aleatoria y consiste en crear otras realizaciones de esta función aleatoria. Las realizaciones

obtenidas conforman un conjunto de escenarios plausibles de la realidad del yacimiento.

Mientras que, técnicas de estimación como el kriging conducen a entregar una imagen

suavizada de la realidad, las simulaciones permiten apreciar la variabilidad existente.

La mayoría de los algoritmos que generan las simulaciones geostadísticas deben sufrir

aproximaciones para su implementación práctica. Por otra parte, el modelo no necesariamente

se ajusta a las características de los datos reales haciéndose necesario revisar la validez de las

simulaciones obtenidas.

2.1 Conceptos previos

La evaluación de yacimientos se basa en la teoría de variables regionalizadas, por lo

cual es preciso revisar algunos conceptos básicos.

2.1.1 Variable regionalizada

Una variable regionalizada es una función capaz de representar la distribución en el

espacio de una magnitud asociada a un fenómeno natural o fenómeno regionalizado (Emery,

2000). La variable regionalizada se denota como z(x) donde x representa la posición puntual en

el espacio geográfico.

Las variables regionalizadas deben estudiarse sólo en un dominio delimitado V llamado

campo. Además, hay que destacar que las variables regionalizadas se pueden definir en

relación a un punto o un soporte (trazo, superficie o volumen).

2.1.2 Función aleatoria

En geoestadística el valor z(x) de la variable regionalizada en un punto x del dominio V

es considerado como la realización de una variable aleatoria Z(x). Cuando x recorre V, existe

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una familia de variables aleatorias {Z(x), x ∈ V} que constituye una función aleatoria y cuenta

con las siguientes características, a saber:

2.1.2.1 Distribución espacial

Se considera una función aleatoria Z(x), x ∈ V, y una serie de puntos {x1,… xk}. El grupo

de valores aleatorios {Z(x1),… Z(xk)} está caracterizado por una función de distribución conjunta

que depende de k argumentos:

]z)(Z,...z)(Z[ Prob)z,...z(F kk11k1,... k1<<= xxxx

El conjunto de funciones de distribución, para todos los enteros k y todas las elecciones

posibles de {x1,… xk} en V, constituye la distribución espacial de la función aleatoria.

2.1.2.2 Momento de primer orden

En general, la esperanza de una función aleatoria Z depende del punto x considerado;

se denota usualmente como m(x):

)(m)](Z[ E xx =

En un punto x dado, m(x) representa la media alrededor de la cual se distribuyen los

valores tomados por múltiples realizaciones independientes de la función aleatoria.

2.1.2.3 Momentos de segundo orden

• Varianza: })](m)(Z{[ E)](Z[ var 2xxx −=

• Covarianza: )(m)(m)](Z)(Z[ E)](Z),(Z[ cov 212121 xxxxxx ×−×=

• Variograma. 2

)](Z)(Z[ var),( 2121

xxxx −=γ

• Madograma: 2

} |)(Z)(Z| {E),( 21211

xxxx −=γ

• Rodograma: 2

} |)(Z)(Z| {E),( 21

215,0

xxxx

−=γ

Si se cumple con la condición de estacionaridad de segundo orden, la esperanza y la

varianza (independiente de x), son constantes mientras que la covarianza, variograma,

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madograma y rodograma entre dos puntos (x1 y x2) sólo dependen de la separación (x2-x1)

existente entre éstos. Esto facilitaría enormemente la inferencia estadística de dichos momentos

a partir de un conjunto de datos experimentales.

2.1.3 Transformación Gaussiana

Las simulaciones intentan reproducir la distribución espacial de la función aleatoria Z(x)

a partir de un número reducido de datos, lo cual es muy difícil de realizar salvo el caso en que la

función aleatoria tiene una distribución multigaussiana. Por esta razón se trabaja sobre la

transformada Gaussiana de Z(x), llamada también variable de anamorfosis.

Ilustración 2.1 Función de transformación Gaussiana.

Una vez realizada la transformación hay que corroborar la pertinencia del modelo

multigaussiano mediante varias pruebas de distribución bigaussiana (Goovaerts, 1997). Si

resulta aceptable esta hipótesis, se realizan simulaciones condicionales de la variable

Gaussiana y luego se aplica la anamorfosis inversa para volver a la variable inicial.

2.1.4 Fluctuaciones ergódicas

Una función aleatoria es ergódica si las estadísticas experimentales calculadas sobre

una realización particular, convergen hacia las estadísticas del modelo cuando el dominio se

vuelve muy grande.

Ahora como el dominio evaluado siempre tendrá límites, inevitablemente, se espera

observar discrepancias o fluctuaciones ergódicas entre las estadísticas experimentales y

aquellas del modelo teórico.

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2.1.5 Curvas de selectividad

2.1.5.1 Curva tonelaje – ley de corte

El tonelaje es una función decreciente de la ley de corte. Es igual al cien por ciento para

una ley de corte mínima (normalmente cero) y se anula en el infinito. Esta función coincide con

la densidad acumulada complementaria, caracterizando de esta forma la distribución univariable

de la función aleatoria.

Ilustración 2.2 Curva tonelaje – ley de corte.

En ciertos casos la función puede representar discontinuidades cuando la variable

estudiada toma uno o más valores fijos con una probabilidad no nula.

2.1.5.2 Curva metal – ley de corte

También es una función decreciente de la ley de corte. Representa el promedio global

en el caso de la ley de corte mínima y se anula en el infinito. Al igual que en el caso anterior,

conocer esta curva es equivalente a conocer la distribución univariable de la función aleatoria.

La cantidad de metal y el tonelaje están relacionados por la siguiente expresión:

du)u(T)z(Tz)z(Qz∫

+∞

+×=

Donde T, Q, z representan el tonelaje, la cantidad de metal y la ley de corte

respectivamente.

8

Ilustración 2.3 Curva metal – ley de corte.

2.1.5.3 Curva ley media – ley de corte

Corresponde a la razón entre la cantidad de metal y el tonelaje para una misma ley de

corte:

)z(T)z(Q)z(m =

Esta curva m(z) también caracteriza la distribución univariable, es creciente y se indefine

al anularse el tonelaje.

Ilustración 2.4 Curva ley media – ley de corte.

2.2 Antecedentes teóricos

Las simulaciones geoestadísticas que se realizarán en el presente trabajo están

basadas en la teoría de campos aleatorios, más precisamente en el modelo multigaussiano, que

lejos es el más sencillo de todos. Este dice que una función aleatoria tendrá una distribución

multigaussiana si toda combinación lineal ponderada de sus valores sigue una distribución

Gaussiana.

9

Este modelo se caracteriza por sus dos primeros momentos (media, normalmente igual

a cero, y covarianza o variograma). Además, dicho modelo goza de propiedades matemáticas

que hacen fácil su simulación, haciendo uso por ejemplo del teorema del límite central.

La covarianza y el variograma caracterizan el modelo multigaussiano espacialmente. En

el marco estacionario, la función de covarianza no depende de la posición absoluta entre pares

de datos pero sí de la posición relativa, midiendo el acoplamiento entre pares de datos. Indica

cuán semejantes son los valores entre dos sitios del dominio. Existen numerosos modelos de

funciones de covarianza, entre ellos los modelos pepíticos, esféricos y exponenciales. Cada

covarianza posee sus propias características (en particular, su comportamiento en el origen y

alcance).

2.2.1 Métodos de simulación geoestadística

Numerosos algoritmos de simulación han sido propuestos en la literatura, entre los

cuales destacan los siguientes.

2.2.1.1 Método de descomposición matricial

Se determina una matriz de varianza-covarianza de los puntos a simular y, mediante la

descomposición de Choleski (Lower-Upper), se obtiene un sistema que permite calcular

numerosas realizaciones muy rápidamente (Davis, 1987). Cuando el número de sitios a simular

es importante, mayor a 10.000, la descomposición de Cholewski se torna impracticable.

2.2.1.2 Método espectral continuo

Desarrollado por Shinozuka y Jan (1972) es un método absolutamente general y fácil de

implementar. Recurre a una transformación de Fourier continua de la covarianza.

2.2.1.3 Método de dilución

En contraste al anterior, esta técnica no es general y solamente puede ser aplicable

cuando la covarianza se expresa como la auto-convolución de una función g:

∫ +=3R

dx)h(g)(g)h(C xx

10

Es conveniente simular este método con una función de covarianza esférica, pero no

exponencial debido a que requiere que la función g tenga un soporte acotado (Chilès y Delfiner,

1999).

2.2.1.4 Método de teselación

En este método, el espacio es dividido en poblaciones estacionarias de celdas

aleatorias, similar a un poliedro. El dominio se particiona por medio de algoritmos como

poliedros de Poisson, de Voronoï, entre otros (Lantuéjoul, 2002). No es un procedimiento

general, puesto que la covarianza debe coincidir con el covariograma geométrico de las celdas.

El grado de generalidad aún es desconocido.

2.2.1.5 Método Secuencial Gaussiano

Los nodos de una grilla son simulados secuencialmente de acuerdo a una secuencia

aleatoria que visita todos los nodos. El valor atribuido a cada nodo de la grilla proviene de una

distribución de probabilidad local, la cual es condicionada a los datos originales y a los valores

previamente simulados (Gómez-Hernández y Cassiraga, 1994). Es un procedimiento general

que puede ser aplicado a cualquier función de covarianza. Permite realizar directamente

simulaciones condicionales a un conjunto de datos, además de ser un método sencillo y fácil de

utilizar. Es por esto, que es el más ampliamente usado en la industria minera.

2.2.1.6 Método de Bandas Rotantes

Creado por Matheron (1973), el método simplifica el problema de la simulación en

espacios multidimensionales, usando simulaciones unidimensionales y propagándolas al

espacio bidimensional o tridimensional. Es absolutamente general y ha sido implementado con

numerosos modelos de covarianza. Las simulaciones en el espacio unidimensional están

caracterizadas por las direcciones en que se proyectan las simulaciones, las cuales pueden

tener una distribución uniforme o (casi) regular en el espacio.

Cabe mencionar que es posible pasar de una simulación no condicional a una

simulación condicional mediante una etapa de kriging (Journel, 1974). Por lo tanto, todos los

algoritmos previamente mencionados pueden ser usados tanto para generar simulaciones no

condicionales como condicionales. En este trabajo, se centrara en los métodos Secuencial

Gaussiano y Bandas Rotantes.

11

2.3 Aspectos de implementación

Las simulaciones se implementan en softwares que están básicamente restringidos por

la capacidad de procesamiento de los computadores que hoy en día se dispone. Este tema

cobra relevancia puesto que la mayoría de los algoritmos deberán sufrir aproximaciones o

simplificaciones para su implementación práctica, las cuales conllevan a cometer algún grado

de error en la reproducción de los estadísticos.

2.3.1 Método Secuencial Gaussiano

Durante la implementación práctica del método aparecen los siguientes inconvenientes:

• Si el variograma de los datos simulados es muy regular en el origen, puede provocar

problemas numéricos en las matrices de kriging, las cuales serán casi singulares.

• Por construcción el método debe condicionar la simulación de un nodo a los nodos

ya simulados. Esto último genera que la matriz de kriging aumenta su tamaño a

medida que se desarrolla la simulación y conjuntamente aumenta el uso de recursos

computacionales.

Con todo, la implementación práctica del algoritmo requiere de muchas simplificaciones,

y sus efectos en la exactitud del algoritmo son inciertos en un alto grado.

En la práctica, se define una vecindad móvil, especificando un número máximo de

valores condicionales que son buscados en dicha vecindad. El uso de una vecindad móvil es

susceptible de provocar aproximaciones en la reproducción del variograma (Emery, 2004). Ya

en el año 1963, Gandin, expone que la varianza del error de kriging aumentará si la población

utilizada para la estimación del valor es reducida.

Para minimizar este inconveniente, Tran (1994) propone utilizar un acercamiento por

múltiples grillas. En la primera etapa la grilla simulada es muy gruesa y en las subsiguientes

etapas se va densificando, proceso que se repite hasta la última grilla. Con esto, Tran intuye

que el variograma se reproduce mejor en las zonas cercanas al origen con las grillas densas, y

en las zonas alejadas del origen con las grillas gruesas. Asimismo, en cada grilla, se

recomienda visitar los nodos acorde a una secuencia aleatoria para evitar la aparición de

artefactos en las realizaciones (Deutsch y Journel, 1998).

12

En este trabajo se utilizara el programa SGSIM, el código es expuesto por Deutch y

Journel (1998).

2.3.2 Método de Bandas Rotantes

Se requiere simular una serie de funciones aleatorias unidimensionales, luego se deben

simular líneas de direcciones uniformes o regulares en el espacio. El valor del nodo simulado se

obtiene en función de la proyección del nodo en las líneas, el valor de las funciones

unidimensionales y el número de líneas.

Cuando el dominio es bidimensional se pueden tomar líneas con direcciones regulares,

pero cuando es tridimensional sólo pueden existir 15 direcciones regulares. Por lo tanto, otras

opciones existentes son determinar direcciones al azar o equi-distribuidas. En las direcciones al

azar podrían existir sectores con una mayor densidad de muestreo en la esfera tri-dimensional.

En cambio, las direcciones equi-distribuidas admiten una convergencia más rápida y se

eliminan las zonas de mayor densidad (Lantuéjoul, 1994).

Varios factores deben ser considerados cuando se escoge el número de líneas que se

utilizará durante la simulación, a saber:

• La distribución de las líneas en la esfera, para simulaciones tridimensionales.

• El criterio utilizado para decidir si el modelo multigaussiano está bien reproducido o

no.

• El tipo de covarianza y la técnica de simulación a lo largo de la línea.

En base a lo anterior, varios autores aconsejan varios centenares o miles de líneas.

Cabe mencionar que el número de líneas no es un factor importante en el tiempo de cálculo

debido a que la simulación a lo largo de las líneas es muy rápido. En general, la mayor parte del

tiempo se utiliza en procesos posteriores a las realizaciones, mayor aun cuando se condicionan

(Emery y Lantuéjoul, 2006).

En este trabajo se utilizara el programa TBSIM, el código es expuesto por Emery y

Lantuéjoul (2006).

13

2.4 Criterios de validación

En la literatura existen diferentes visiones que buscan definir mecanismos para validar

un algoritmo de simulación geoestadística, examinando las propiedades estadísticas de las

realizaciones. Para ser concluyente, el modelo teórico debe ser reproducido por las estadísticas

simuladas después de examinar un gran conjunto de realizaciones independientes, debido a

que cada realización puede presentar importantes fluctuaciones ergódicas.

A continuación, se presentan los criterios que expresan algunos autores para validar una

simulación geoestadística.

2.4.1 Inspección visual

Se debe realizar una revisión visual de los datos, verificando que no existan valores de

alta ley en muestras de baja ley. Para esto se puede utilizar jacknife o validación cruzada, en un

gráfico donde se comparan los valores simulados con los reales provenientes de las campañas

de exploraciones. Sin embargo, pueden existir pequeñas desviaciones en torno a la diagonal de

45º, aunque la gran mayoría de los datos simulados y verdaderos debieran poseer el mismo

valor para este caso (Leuangthong et al, 2004).

2.4.2 Distribución univariable

El histograma de una realización debe poseer las mismas (o similares) características

que el histograma original desagrupado de los datos (Leuangthong et al, 2004:

• La forma del histograma.

• El rango de los valores extremos.

• Las estadísticas principales tales como la media, mediana y varianza.

Otra herramienta sería comparar el histograma de una o varias realizaciones con la

distribución de los datos desagrupados (Leuangthong et al 2004, Emery 2004).

2.4.3 Distribución bivariable

Se puede también comparar los variogramas experimentales de un conjunto de

realizaciones con el modelo teórico. Como las simulaciones se realizan sobre dominios que no

14

tienen una extensión infinita, se sabe que existirán siempre fluctuaciones entre las estadísticas

simuladas y aquellas del modelo (Matheron 1989); por lo tanto, que el variograma de una

realización no coincida con el modelo teórico no significa necesariamente que el algoritmo de

simulación sea deficiente. Para ser concluyente, la comparación debe hacerse después de

promediar los variogramas de un gran conjunto de realizaciones (Leuangthong et al 2004,

Emery 2004).

Para completar el análisis de las distribuciones bivariables, también se puede considerar

variogramas de indicadores o variogramas de distintos ordenes (madograma y rodograma),

debido a que existen funciones aleatorias que reproducen muy bien la distribución univariable y

el variograma, pero que se diferencian en estas otras características (Emery, 2004).

2.4.4 Fluctuaciones ergódicas

Otra herramienta interesante para controlar la calidad de un algoritmo de simulación es

el análisis de las fluctuaciones estadísticas. A modo de ejemplo, se espera que la media de

cada realización se distribuya en torno al valor esperado del modelo, con una varianza igual a la

varianza de dispersión del dominio simulado en el espacio completo.

Por otra parte, la fluctuación del variograma de una simulación en torno al modelo

teórico depende del dominio simulado y la distribución espacial de la función aleatoria. Esto

constituye una herramienta fuerte para garantizar la validez de las simulaciones, observando si

las fluctuaciones son compatibles con las esperadas (Emery, 2004). En particular, un método

que reproduce un variograma experimental en un dominio limitado sin fluctuaciones estadísticas

es necesariamente erróneo (Lantuéjoul, 1994).

2.4.5 Intervalos de probabilidad

Otra revisión básica es usar la técnica de validación cruzada o de jack-knife y verificar

que los intervalos de probabilidad de las distribuciones locales (determinados a partir de una

serie de realizaciones) sean consistentes con los datos de validación. Para un intervalo de

probabilidad determinado se esperaría encontrar, una proporción similar de datos que se

encuentran en este intervalo. Este procedimiento se repite para varias probabilidades y se

compara gráficamente con las proporciones efectivas mediante una nube de correlación,

quedando validado cuando los puntos experimentales están aproximadamente alineados a lo

largo de la diagonal (Goovaerts, 1999; Leuangthong et al, 2004; Emery y Cabañas, 2004).

15

2.5 Metodología de trabajo

Se pretende diseñar metodologías para hacer un chequeo de las realizaciones obtenidas

por un algoritmo de simulación, mediante el estudio de las estadísticas simuladas (univariables,

bivariables, multivariables), de sus fluctuaciones con respecto al modelo teórico, y de

validaciones de las distribuciones locales.

El estudio se centrará en el modelo multigaussiano, puesto que este caso es uno de los

pocos para los cuales se puede tener una expresión analítica de las distribuciones y de las

fluctuaciones estadísticas, además de ser la base de varios otros modelos de campos

aleatorios.

Se pone a prueba y compara dos algoritmos actualmente usados para simular campos

multigaussianos: el método Secuencial Gaussiano y de Bandas Rotantes. Ambos requieren de

simplificaciones al momento de realizar las simulaciones (tamaño y restricciones sobre la

vecindad usada en el algoritmo secuencial, número de líneas en el caso de las Bandas

Rotantes). Los ejercicios que se realizarán son los siguientes:

2.5.1 Simulaciones no condicionales

Se realizará un estudio de sensibilidad para observar cómo influyen el número de líneas

y tamaño de la vecindad en la calidad de las simulaciones. También se procurará proponer

cuántas simulaciones son necesarias para que las validaciones sean concluyentes.

Se estudiará la reproducción de los siguientes estadísticos:

• Histograma del promedio espacial de las realizaciones.

• Variograma puntual.

• Madograma puntual.

• Rodograma puntual.

• Variograma puntual del indicador de la mediana.

Para lo anterior se propone utilizar un dominio de 200x200 nodos, un variograma

esférico de alcance 50 y meseta uno, sin efecto pepa. Experimentando los siguientes casos:

16

• Bandas Rotantes con 100 y 1000 líneas.

• Secuencial Gaussiano con 20 y 100 datos (nodos) (nodos).

Luego se ejecutará un estudio de sensibilidad observando la influencia del alcance, del

modelo variográfico y del dominio, testeando los siguientes casos:

• Influencia del dominio: dominios de 50x50, 200x200 y 400x400 nodos.

• Influencia del alcance: alcances de 10, 50 y 200 nodos.

• Influencia del modelo variográfico: exponencial, esférico, Gaussiano y esférico

anidado.

• Influencia del efecto pepa en el modelo variográfico.

• Influencia de un cambio de soporte.

• Influencia de anisotropía geométrica o zonal.

Finalmente, esto permitirá analizar cambios en la reproducción de las estadísticas y

obtener recomendaciones sobre el uso de los distintos métodos.

2.5.2 Simulaciones condicionales

Se dispone de una base de datos reales de un yacimiento de óxidos de cobre que

contiene varios miles de muestras de sondajes con mediciones de leyes (cobre soluble), y otra

de un yacimiento de sulfuros de cobre con mediciones de cobre total. Mediante un estudio

exploratorio y variográfico para ambos yacimientos, se obtendrán las estadísticas básicas,

observaciones sobre la estacionaridad de la variable en el campo de estudio, función modelada

de variograma y análisis de las leyes y su transformada Gaussiana.

Las simulaciones buscarán estudiar la reproducción de las siguientes estadísticas:

• Variograma puntual de la variable real y de la transformada Gaussiana.

• Intervalos de probabilidad, para diferentes soportes y vecindades.

Esto permitirá chequear la validez del algoritmo para generar realizaciones y al mismo

tiempo, la adecuación del modelo multigaussiano a los datos disponibles.

17

Por otra parte, se determinarán las curvas de tonelaje ley para varias realizaciones y se

valorizarán económicamente mediante un modelo conceptual de explotación. Esto permitirá

planificar estratégicamente un proyecto considerando la incertidumbre de la ley en las zonas no

muestreadas.

18

3 SIMULACIÓN NO CONDICIONAL

En esta sección se examinará la calidad de las realizaciones obtenidas por los métodos

Secuencial Gaussiano -SG- y Bandas Rotantes -BR- mediante los programas SGSIM y TBSIM

respectivamente, mostrando las propiedades y limitaciones de cada uno de los algoritmos frente

a diversas experiencias.

Se examinará la calidad en la reproducción en promedio del variograma, madograma,

rodograma y variograma del indicador de la mediana. El examen de estos tres últimos permite

verificar la hipótesis multigaussiana (o, al menos, bigaussiana) del modelo. Además, se

estudiarán las fluctuaciones en el histograma de la media de cada realización y en el

variograma.

En general, para un campo aleatorio Gaussiano estacionario de varianza unitaria con un

correlograma ρ(h), se tienen las siguientes relaciones (Lantuéjoul, 2002, p. 208)

• Variograma: )(1)( hh ρ−=γ (3.1)

• Madograma: πρ−

=γ)(1)(1

hh (3.2)

• Rodograma: 45,0 )(1

43

21)( hh ρ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

π=γ (3.3)

• Variograma del indicador de la mediana:2

)(1arcsin1)(0;Ihh ρ−

π=γ (3.4)

Estas pruebas son fáciles de verificar y de gran ayuda para validar las simulaciones

geoestadísticas, pues se espera que en promedio las estadísticas calculadas en las

realizaciones se parezcan al modelo teórico.

Se busca cuantificar las desviaciones o fluctuaciones que son susceptibles observar

entre la estadística experimental y la estadística teórica correspondiente. En lo que concierne al

variograma, se utiliza un resultado de Lantuéjoul (1994), quien expone que al determinar el

variograma experimental en un dominio V, ΓV(h), de una función aleatoria estacionaria cuyo

variograma es γ(h), éste es insesgado y su varianza en el espacio multigaussiano está dada por

la siguiente expresión:

19

∫∫ −γ−−−γ++−γ=ΓhVV

22

hV dydx y)](x2h)y(xh)y(x[

|VV|21)}({Var

IIh (3.5)

Donde Vh es el dominio V trasladado en h. Esta varianza permite definir un intervalo de

probabilidad para el promedio de los variogramas experimentales de las realizaciones,

suponiendo que este último tiene una distribución Gaussiana. En la siguiente ilustración, se

aprecia el intervalo de probabilidad para una sola realización generada en un dominio de

200x200 nodos para un variograma esférico de alcance 50 nodos y meseta uno, sin efecto

pepa.

Ilustración 3.1 Intervalo de probabilidad para el variograma experimental de una realización.

––––– Variograma teórico, – – – 95% probabilidad.

Por otra parte, la media de cada realización se distribuye en torno al valor esperado del

modelo (cero) y con una varianza igual a la varianza de dispersión del dominio simulado (V) en

el espacio )C( VV . Particularmente, la varianza toma un valor de 0,0342 para un modelo

variográfico y dominio igual al anterior.

3.1 Caso base

En esta etapa se propondrá un número de realizaciones necesarias para que las

validaciones sean concluyentes, en base al error relativo estándar esperado para el variograma

regional de un conjunto de realizaciones. Así como también, se definirá un número de líneas

(método BR) y un tamaño de la vecindad (método SG) requeridos para reproducir

satisfactoriamente las estadísticas mencionadas anteriormente con respecto a los valores

teóricamente esperados.

20

3.1.1 Número de realizaciones

A partir de la expresión 3.5 se puede deducir el error relativo esperado por un conjunto

de n realizaciones independientes, estandarizado por el valor del variograma.

( )100

)(n

}{ Var

vector para estándar relativo Error

V

×γ

Γ

=h

h

h

Para el estudio del caso base se utilizará un dominio de 200x200 nodos, un variograma

esférico de alcance 50 nodos y meseta uno, sin efecto pepa. La varianza para una realización

es de 0,0471 a un paso de 50 nodos y su error relativo estándar es de 43,4%.

Dominio 200x200

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 10 100 1000 10000

Numero de realizaciones

Err

or re

lativ

o es

tánd

ar

Paso 25 Paso 50 Paso 75

Ilustración 3.2 Fluctuaciones estadísticas esperadas para un dominio de 200x200 nodos.

En la ilustración anterior, se presenta el máximo error relativo estándar que se esperaría

al promediar los variogramas generados por n realizaciones independientes. Se deduce del

gráfico que para obtener un variograma promedio con un error menor al 5% para los tres pasos

considerados, se requiere de al menos 100 realizaciones. Particularmente, para 100

realizaciones a un paso de 50 nodos, la meseta del variograma promedio debería estar entre

1,043 y 0,957.

En la siguiente imagen se observa que para 100 realizaciones, el error cometido es

superior al 10% cuando el dominio disminuye al tamaño del alcance. En cambio, cuando el

dominio aumenta al doble del caso base, se podrían realizar 50 realizaciones y el error

cometido será menor al 5%.

21

Dominio 50x50

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 10 100 1000 10000


Err

or r

elat

ivo

está

ndar

Paso 25 Paso 50

Dominio 400x400

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 10 100 1000 10000


Err

or r

elat

ivo

está

ndar

Paso 25 Paso 50 Paso 100 Paso 200

Ilustración 3.3 Fluctuaciones estadísticas para variaciones del dominio.

La varianza no solamente es función del dominio, sino que también del variograma

teórico. Por lo tanto, se examina la consecuencia de utilizar diferentes modelos de variogramas.

γ(h) = 1exp(50)

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 10 100 1000 10000


Err

or r

elat

ivo

está

ndar


γ(h) = 1esf (50)

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 10 100 1000 10000


Err

or re

lativ

o es

tánd

ar


γ(h) = 0,01 + 0,99gauss(50)

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 10 100 1000 10000


Err

or r

elat

ivo

está

ndar


γ(h) = 0,6esf(10) + 0,4esf(75)

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 10 100 1000 10000


Err

or re

lativ

o es

tánd

ar


Ilustración 3.4 Fluctuaciones estadísticas para variogramas exponencial, esférico, Gaussiano y esférico

anidado.

Solamente el modelo Gaussiano comete un error mayor al 5% para 100 realizaciones; el

esférico anidado es el más bondadoso porque con sólo 30 realizaciones cometería un error

menor al 5%. Lo sigue el modelo exponencial y el esférico.

22

γ(h) = 0,2 + 0,8esf(50)

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 10 100 1000 10000


Erro

r rel

ativ

o es

tánd

ar


γ(h) = 0,5 + 0,5esf(50)

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 10 100 1000 10000


Erro

r rel

ativ

o es

tánd

ar


γ(h) = 0,8 + 0,2esf(50)

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 10 100 1000 10000


Erro

r rel

ativ

o es

tánd

ar


γ(h) = 1esf (50)

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1 10 100 1000 10000


Erro

r rel

ativ

o es

tánd

ar


Ilustración 3.5 Fluctuaciones estadísticas para variogramas esféricos con diferentes efectos pepas.

Al examinar, la figura anterior, se nota que al aumentar el efecto pepa en el modelo

variográfico se requieren menos realizaciones para cometer un error menor al 5%.

Particularmente, cuando el modelo variográfico tiene un efecto pepa igual a la mitad de la

varianza unitaria el número de realizaciones se reduce a un cuarto de las requeridas para un

variograma sin efecto pepa.

Transversalmente a todas las pruebas, es posible vislumbrar que a mayor paso

aumentan las fluctuaciones y éstas se reducen rápidamente cuando aumenta el número de

realizaciones (notar escala logarítmica en eje de las abcisas), cuando disminuye la continuidad

espacial (efecto pepita, crecimiento del variograma a pequeñas distancias) o cuando aumenta el

tamaño del dominio.

Con todo, se podría proponer que se realizarán al menos unas mil realizaciones para

cometer un error menor al uno por ciento, pero se debe balancear con el costo del tiempo

asociado a ejecutar cada realización y su posterior manipulación. Por lo tanto, se propone

utilizar 100 realizaciones para este estudio.

23

3.1.2 Parámetros de implementación

La implementación computacional de los métodos de simulación requiere de ciertas

simplificaciones que ya han sido mencionadas en el capítulo anterior. Entonces, cabe

preguntarse cuál es la implicancia en los estadísticos de utilizar una vecindad más grande (caso

SG) o más líneas (caso BR) para simular un dominio dado.

Para esto se utilizará en primera instancia un dominio de 200x200 nodos con un

variograma esférico de alcance 50 nodos y meseta uno, sin efecto pepa.

La varianza de dispersión del dominio en el espacio es equivalente a 0,0342; la cual

permite establecer el siguiente intervalo de probabilidad de 95% para el promedio de las medias

de cien realizaciones (-0,037 ; 0,037), suponiendo una distribución normal.

En adelante, todas las pruebas coinciden en que se generan 100 realizaciones cuya

media teórica es conocida e igual a cero en el espacio Gaussiano. Del mismo modo, en cada

una de las siguientes ilustraciones se muestra el variograma teórico, el variograma experimental

de cada realización, el promedio de éstos, y el intervalo de probabilidad asociado. Además, se

presentan los variogramas experimentales de orden menor a dos y el variograma del indicador

de la mediana (Ecuaciones 3.2, 3.3 y 3.4).


El primer ejercicio es implementar este algoritmo definiendo una vecindad móvil de

búsqueda, utilizando un máximo de 20 datos condicionantes o nodos ya simulados.

En la siguiente ilustración es posible observar que el alcance está sobre evaluado en un

36% con respecto al teórico. Por otra parte, el variograma promedio se encuentra fuera del

intervalo de probabilidad entre 20 y 50 nodos de distancia.

24

Ilustración 3.6 Variogramas generados para SG con 20 datos (nodos).

––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados, – – – Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio.

La media del histograma de las medias es un tanto mayor a la esperada (0,033 en lugar

de 0), pero está dentro del intervalo de probabilidad definido anteriormente.

Nº datos 100Máximo 0.4897Media 0.0330Mínimo -0.3730Std. Dev. 0.1859Varianza 0.0345

0.0342Intervalo de Probabilidad ± 0.0370

VVC



VVC

Ilustración 3.7 Histograma de las medias de las realizaciones para SG con 20 datos (nodos).

––––– Distribución esperada de estas medias.

El segundo ejercicio también se caracteriza por una vecindad móvil de búsqueda,

usando esta vez un máximo de 100 datos (nodos) condicionantes.

En la siguiente lámina es posible observar que el alcance del variograma está

sobrevaluado en un 22% con respecto al valor teórico. La meseta del variograma promedio está

levemente sobredimensionada, pero está al interior del intervalo de probabilidad para cualquier

distancia. Los sesgos observados son menores que en el ejercicio anterior.

25

Ilustración 3.8 Estadísticos generados para SG con 100 datos (nodos).


La media del histograma de las medias (-0,0114) es más cercana a cero que el ejercicio

anterior y también se encuentra dentro del intervalo de probabilidad.

Nº datos 100Máximo 0.4701Media -0.0114Mínimo -0.4085Std. Dev. 0.1935Varianza 0.0374


VVC



VVC

Ilustración 3.9 Histograma de las medias de las realizaciones para SG con 100 datos (nodos).


En la siguiente lámina se exponen los madogramas, rodogramas y variograma del

indicador de la mediana de las realizaciones obtenidas para ambas implementaciones. Se logra

una reproducción con mayor exactitud al aumentar el tamaño de la vecindad.

26

Ilustración 3.10 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana para diferentes

tamaños de la vecindad. ––––– Variograma teórico, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados, – – – Variogramas simulados.

Al contrastar las estadísticas obtenidas se establece que al implementar el método

Secuencial Gaussiano con una vecindad de 100 datos (nodos) se reproducen los modelos en

mayor grado. En base a lo anterior se establece continuar el estudio con esta vecindad.

27


La primera experiencia consiste en implementar este método considerando 100 líneas

para simular el valor de un nodo.

En la siguiente ilustración se observa que en promedio las simulaciones reproducen el

modelo, debido a que el alcance es exactamente el mismo y la meseta adquiere un valor de

1,01, la cual está dentro del intervalo de probabilidad.

Ilustración 3.11 Estadísticos generados para BR con 100 líneas.




VVC



VVC

Ilustración 3.12 Histograma de las medias de las realizaciones para BR con 100 líneas.


Asimismo, la media del histograma de medias se encuentra en el intervalo de

probabilidad y bastante cercana a cero.

28

La segunda prueba se diseñó considerando mil líneas para simular el valor de un nodo.

En la siguiente imagen se observa que en promedio las simulaciones reproducen el

modelo: el alcance es exactamente el mismo y la meseta está evaluada en 0,998. Además, el

variograma promedio está al interior del intervalo de probabilidad para todos los pasos.

Ilustración 3.13 Estadísticos generados para BR con 1000 líneas.


La media del histograma de medias se encuentra en el intervalo de probabilidad y

presenta forma de distribución aproximadamente normal.



VVC



VVC

Ilustración 3.14 Histograma de las medias de las realizaciones para BR con 1000 líneas.


29

Ilustración 3.15 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana para diferentes

implementaciones. ––––– Variograma teórico, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados, – – – Variogramas simulados.

El promedio de los madogramas, rodogramas y variogramas de indicador de la mediana

experimentales, se asemejan al modelo teórico, con fluctuaciones menores al uno por ciento en

todos los casos.

30

En general, en promedio las estadísticas son reproducidas con leves fluctuaciones. Al

comparar ambos ejercicios se establece continuar este estudio con 1000 líneas, debido a que

en promedio reproduce el variograma con menores discrepancias.

3.2 Análisis de sensibilidad

Con las características de implementación definidas en la etapa anterior, se desea

examinar la capacidad de reproducción de las estadísticas frente a diferentes variaciones en el

dominio, el alcance, la forma del modelo variográfico y el efecto pepita.

En adelante, todas las pruebas coinciden en que se generan cien realizaciones cuya

media teórica es conocida e igual a cero en el espacio Gaussiano. Del mismo modo, en cada

una de las siguientes ilustraciones se muestra, el variograma teórico, los variogramas

experimentales de las realizaciones, el promedio de éstos, y el intervalo de probabilidad

asociado.

3.2.1 Influencia del dominio

Si el dominio se vuelve muy grande, las fluctuaciones ergódicas disminuyes y las

estadísticas simuladas convergen hacia aquellas del modelo aumentando el valor de la

información utilizada para la toma de decisiones, pero esto tiene asociado un costo de tiempo

en simular aquellas zonas que no tienen interés desde un punto de vista geo-minero-

metalúrgico.

A continuación, se probará con tres dominios, uno pequeño de 50x50 nodos, uno

mediano de 200x200 nodos y uno más grande de 400x400 nodos. Se utiliza un variograma

esférico de alcance 50 nodos y meseta uno, sin efecto pepa.


En la siguiente ilustración se observa que el variograma promedio para el dominio de

mayor tamaño se encuentra fuera del intervalo de probabilidad entre la distancia 55 y 65 nodos.

En cambio para los otros dominios el variograma promedio reproduce, en mayor grado, el

teórico pues está en el intervalo de probabilidad. El alcance del variograma promedio, en el

dominio de 200x200 nodos, llega a un valor de 60 nodos y para el de mayor tamaño solamente

se reduce en una unidad. Además, es posible corroborar de los gráficos que a medida que

aumenta el tamaño del dominio las fluctuaciones disminuyen.

31

Ilustración 3.16 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes dominios.


Consecuentemente, las medias experimentales se acercan a cero a medida que el

dominio aumenta. Además, se corrobora que las fluctuaciones disminuyen ya que la varianza

de los histogramas de medias también disminuye al aumentar el dominio.



VVC



VVC



VVC



VVC

Nº datos 100Máximo 0.2473Media 0.0098Mínimo 0.3155Std. Dev. 0.1048Varianza 0.0110


VVC

Nº datos 100Máximo 0.2473Media 0.0098Mínimo 0.3155Std. Dev. 0.1048Varianza 0.0110


VVC

Ilustración 3.17 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes dominios.



A continuación se muestra que, con el método de Bandas Rotantes, el variograma

promedio se asemeja bastante al modelo teórico pues está en el intervalo de probabilidad. El

alcance es 50 nodos para los dominios mayores, y para el menor dominio, es difícil de

caracterizar. El error cometido en la meseta es menor al uno por ciento para los tres dominios.

Al igual que el método Secuencial Gaussiano, las fluctuaciones de los variogramas

experimentales se reducen a medida que el dominio aumenta de tamaño.

32

Ilustración 3.18 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes dominios.


Las medias de las realizaciones se acercan a cero a medida que el dominio aumenta, y

su media se encuentra en el intervalo de probabilidad. La varianza de los histogramas de

medias disminuye para dominios de tamaños superiores, mostrando que las fluctuaciones

tienen una dispersión menor.



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC

Ilustración 3.19 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes dominios.


El método de Bandas Rotantes tiene mejor calidad al reproducir el variograma teórico (el

variograma promedio de las realizaciones siempre está dentro del intervalo de probabilidad), a

diferencia del método Secuencial Gaussiano que, para el dominio de mayor tamaño, está fuera

del intervalo de probabilidad.

El examen de los madogramas, rodogramas y variogramas del indicador de la mediana

de las realizaciones obtenidas, es presentado en Anexos parte I.

33

3.2.2 Influencia del alcance

El variograma permite medir el acoplamiento entre pares de datos separados a una

cierta distancia. Está caracterizado por su alcance y su meseta, la cual en el espacio Gaussiano

toma un valor de uno. El alcance es aquella distancia a la cual se alcanza la meseta y tiene

directa relación con la continuidad espacial de la variable estudiada. Las fluctuaciones

aumentarán a medida que el alcance tiende a las dimensiones del dominio, debido a que éste

no será lo suficientemente grande para que las estadísticas converjan.

Se estudiarán tres alcances, uno pequeño equivalente a diez nodos, otro mediano igual

a cincuenta nodos y uno del tamaño del dominio. El dominio utilizado tendrá una extensión de

200x200 nodos y el modelo variográfico será un esférico de meseta uno, sin efecto pepa.


Se presentan los variogramas experimentales de cada realización, el promedio de ellos y

el modelo teórico para diferentes alcances. Para un alcance de 10 nodos, a una distancia de 12

nodos, el error cometido por el variograma promedio es superior al esperado. Cuando el

alcance es de 200 nodos la reproducción comienza a presentar discrepancias para una

distancia de 30 nodos, mostrando que el método no es capaz de reproducir correctamente el

variograma teórico. En cambio, el alcance aparente es de 20 nodos para el modelo variográfico

de alcance menor y de 60 nodos para el intermedio.

Ilustración 3.20 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes alcances.


La media de los histogramas de medias está dentro del intervalo de confianza definido y

converge a cero a medida que el alcance se reduce. A medida que el alcance aumenta, la

varianza de las medias también lo hace, siendo consecuente con lo observado en los ejercicios

anteriores.

34



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC

Ilustración 3.21 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes alcances.



En la siguiente ilustración se observa que el variograma promedio se ajusta casi

perfectamente al modelo para los alcances menores. Además, se encuentra en el intervalo de

confianza para los tres alcances.

Ilustración 3.22 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes alcances.


La media de los histogramas de las medias diverge de cero a medida que el alcance

aumenta aunque está dentro del intervalo de probabilidad. A diferencia del método Secuencial

Gaussiano la media es más cercana a cero cuando el alcance es de 10 nodos.

35



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC

Ilustración 3.23 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes alcances.


El promedio de los variogramas experimentales obtenidos por el método de Bandas

Rotantes se ajusta, en todos los casos, al intervalo de probabilidad. En cambio, el método

Secuencial Gaussiano presenta ciertas diferencias para los alcances extremos (mínimo y

máximo).

En Anexos parte I, se muestra las estadísticas obtenidas para madograma, rodograma y

variograma del indicador de la mediana de cada realización.

3.2.3 Influencia del modelo variográfico

En este apartado, se desea estudiar la capacidad de respuesta de los algoritmos frente a

cambios en el modelo variográfico, para lo cual, se utilizará el modelo exponencial, esférico,

Gaussiano y un modelo anidado de esféricos.

El dominio utilizado tendrá una extensión de 200x200 nodos y el modelo variográfico

tendrá meseta uno y alcance 50 nodos, excepto el esférico anidado cuyo alcance será 75

nodos.

En una primera instancia, el modelo Gaussiano se simuló sin efecto pepa, pero la

suavidad en el origen provoca matrices casi singulares, lo cual hace imposible realizar la

simulación con el método Secuencial Gaussiano, a diferencia del método de Bandas Rotantes

que no presenta inconvenientes. Es por esta razón que este modelo tendrá un centésimo de

efecto pepa y 0,99 de meseta.

36


En la siguiente ilustración se observa que los modelos exponencial y esférico se

reproducen con un alcance mayor al teórico, el modelo Gaussiano es reproducido con un

alcance y meseta menor en comparación al modelo teórico, y finalmente el modelo esférico

anidado se reproduce bastante bien en el origen, pero presenta diferencias para distancias

mayores. El variograma promedio se encuentra fuera del intervalo de probabilidad solamente

para el modelo esférico anidado. Las fluctuaciones observadas son menores para los modelos

exponencial y esférico anidado.

Ilustración 3.24 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes modelos.


La media de los histogramas de las medias está dentro del intervalo de probabilidad y es

muy cercana a cero en todos los casos, diferenciándose el modelo exponencial de los otros.

Las varianzas de estos histogramas son del mismo orden para el modelo exponencial, esférico

y esférico anidado.

37



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC

VVC



VVC



Ilustración 3.25 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes modelos.



En la siguiente ilustración se visualiza que el promedio de los variogramas

experimentales alcanza la meseta justo en el alcance del modelo. Se observan algunas

discrepancias entre el modelo y el promedio, pero éstas son aceptables debido a que están en

el intervalo de probabilidad definido para cada modelo. Al igual que con el método Secuencial

Gaussiano se observan fluctuaciones menores en los modelos exponencial y esférico anidado.

38

Ilustración 3.26 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes modelos.




VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC

Ilustración 3.27 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes modelos.


39

Las medias de los histogramas de las medias no son tan cercanas a cero como en el

método anterior, pero son aceptables debido a que se encuentran dentro del intervalo de

probabilidad. Las varianzas de los histogramas son menores para el modelo exponencial y

esférico anidado.

En Anexos parte I, se muestra las estadísticas obtenidas para madograma, rodograma y


3.2.4 Influencia del efecto pepita

Las leyes en yacimientos auríferos pueden cambiar repentinamente cuando hay pepitas

de oro, aumentando la desemejanza entre dos puntos muy cercanos. Por otra parte, este efecto

podría provenir de errores de medición, ausencia natural de correlación espacial, o la

variabilidad a escala microscópica que no puede ser detectada.

En base a lo anterior, se desea estudiar la reproducción de las estadísticas para un

dominio de 200x200 nodos con un variograma esférico de alcance 50 nodos y meseta uno, con

efecto pepa variable.


En la siguiente imagen se presentan los variogramas experimentales de cada

realización, el promedio de ellos y el modelo teórico para diferentes efectos pepas. Se observa

que el variograma promedio se encuentra fuera del intervalo de probabilidad a medida que el

efecto pepa aumenta. Las fluctuaciones se reducen en la medida que el efecto pepa aumenta.

40

Ilustración 3.28 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes efectos pepas.




VVC



VVC VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



Ilustración 3.29 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes efectos pepas.


41

La única media de los histogramas de las medias de las realizaciones que no se

encuentra en el intervalo de probabilidad es cuando el efecto pepa es 0,5. Por otra parte, la

varianza de las medias disminuye cuando el efecto pepa aumenta, demostrando consecuencia

con lo observado en los ejercicios anteriores.


A continuación se expone que el variograma promedio se asemeja bastante al modelo

teórico para todos los casos. En algunos casos existe un sobre dimensionamiento en la meseta

pero el alcance es 50 nodos para todos los casos. Además todos los variogramas promedios se

encuentran al interior del intervalo de probabilidad. Al igual que en el método Secuencial

Gaussiano las fluctuaciones se reducen a medida que el efecto pepa aumenta.

Ilustración 3.30 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes efectos pepas.


La única media de los histogramas de medias que no se encuentra en el intervalo de

probabilidad es para el modelo que posee un efecto pepa de 0,2.

42



VVC



VVC VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



Ilustración 3.31 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes efectos pepas.


En todos los casos el variograma promedio obtenido por el método de Bandas Rotantes,

se encuentra al interior del intervalo de probabilidad. Lo anterior no se cumple con el método

Secuencial Gaussiano.

El examen de los madogramas, rodogramas y variogramas del indicador de la mediana

de las realizaciones obtenidas, es presentado en Anexos parte I.

En las siguientes tablas se expone un resumen que muestra la estadística que permitió

validar el ejercicio.

43

Tabla 3.1 Resumen de estadísticas validadas para diferentes dominios.

Secuencial Gaussiano

Bandas Rotantes

Histograma Histograma 50x50 Variograma Variograma



Tabla 3.2 Resumen de estadísticas validadas para diferentes alcances.

Secuencial Gaussiano

Bandas Rotantes

Histograma Histograma 10 Variograma

Histograma Histograma 50 Variograma Variograma

Histograma Histograma 200 Variograma

Tabla 3.3 Resumen de estadísticas validadas para

diferentes variogramas. Secuencial

Gaussiano Bandas

Rotantes Histograma Histograma

1esf(50) Variograma Variograma Histograma Histograma

1exp(50) Variograma Variograma Histograma Histograma

0,01+0,99gauss(50) Variograma Variograma Histograma Histograma

0,6esf(10)+0,4esf(75) Variograma Variograma

Tabla 3.4 Resumen de estadísticas validadas para diferentes efectos pepitas. Secuencial

Gaussiano Bandas

Rotantes Histograma Histograma

1esf(50) Variograma Variograma Histograma Histograma

0,2+0,8esf(50) Variograma Histograma Histograma

0,5+0,5esf(50) Variograma Histograma Histograma

0,8+0,2esf(50) Variograma

3.3 Cambio de soporte

Los ejercicios anteriores han permitido estudiar las distribuciones univariables y

bivariables de las realizaciones. Las distribuciones multivariables pueden ser inspeccionadas a

través de un cambio de soporte, es decir, un rebloqueo de las realizaciones a un mayor soporte

volumétrico. Por otra parte, el diseño y la planificación minera se basan en un modelo de

bloques y no puntual.

En base a lo anterior, se ha definido regularizar las realizaciones a un soporte de 10x10

y 20x20 metros, en un dominio de 200x200 bloques, discretizando en 5x5 y 10x10 nodos

separados cada 2 metros. Sin pérdida de generalidad, se considera la unidad nodo como metro

lineal. La media teórica es conocida e igual a cero en el espacio Gaussiano. Se utiliza un

variograma puntual esférico de alcance 50 metros y meseta uno, sin efecto pepa. Se generan

cien realizaciones en el espacio Gaussiano con cada método (SG y BR).

Las realizaciones rebloqueadas se deben distribuir con media cero y variograma γv(h)

dado por:

44

)v,v()v,v()( hv γ−γ=γ h

donde )v,v( hγ es el variograma promedio dado por

∫ ∫ −γ=γv v

2hh

dy dx )yx(v1)v,v(

donde v representa el soporte del bloque y vh representa el mismo volumen trasladado

por el vector h. La expresión )(v hγ es evaluada numéricamente a partir del variograma γ(h).

3.3.1 Soporte de 10x10 metros

En la siguiente imagen se exponen los variogramas experimentales de cada realización,

variograma promedio y modelo teórico regularizado. La meseta del variograma promedio se

estabiliza a 70 metros aproximadamente para el método Secuencial Gaussiano y a 60 metros

aproximadamente para el método de Bandas Rotantes, mientras que el alcance teórico es de

60 metros. Además, la meseta del método Secuencial Gaussiano está sobreestimada en 1,6%

con respecto a la meseta teórica. En cambio, la meseta obtenida para Bandas Rotantes está

subestimada en 0,7%. Pese a las diferencias anteriores, el variograma promedio obtenido para

ambos métodos está dentro del intervalo de probabilidad.

Ilustración 3.32 Variogramas regularizados.

Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados,

– – – Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio.

La media del histograma de las medias es muy cercana a cero y está dentro del intervalo

de probabilidad definido por la varianza de dispersión de una muestra en el dominio.

45



VVC



VVC



VVC



VVC

Ilustración 3.33 Histograma de las medias de las realizaciones regularizadas.

Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). ––––– Distribución esperada de estas medias.

3.3.2 Soporte de 20x20 metros

La siguiente ilustración muestra el variograma teórico regularizado, variogramas

experimentales y variograma promedio de las realizaciones. El valor del variograma promedio a

una distancia de 60 metros está sobrevaluado en un 2,3% para el método Secuencial

Gaussiano. En cambio para el método de Bandas Rotantes la discrepancia es menor al 0,1%.

Los variogramas promedios están en el intervalo de probabilidad definido para el modelo.

Ilustración 3.34 Variogramas regularizados.

Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados,

– – – Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio.

La media del histograma de las medias es prácticamente cero y está dentro del intervalo

de probabilidad definido por la varianza de dispersión de una muestra en el dominio.

46



VVC



VVC



VVC



VVC

Ilustración 3.35 Histograma de las medias de las realizaciones regularizadas.

Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). ––––– Distribución esperada de estas medias.

Las fluctuaciones observadas son reducidas en comparación a las pruebas expuestas

en las secciones anteriores, debido a que el dominio es 40 veces el alcance puntual para el

soporte de 10x10 metros y 80 veces para 20x20 metros.

En Anexos parte II, se muestra las estadísticas obtenidas para madograma, rodograma y


3.4 Anisotropías

La variable regionalizada podría presentar alguna dirección en la cual esté más

intensamente estructurada, lo que se conoce como anisotropía. Se dice que ésta será

geométrica cuando el mapa variográfico dibuja elipses concéntricas, y zonal cuando dibuja

bandas siendo un caso extremo de la primera.

Ilustración 3.36 Mapas variográficos según anisotropía.

Se estudian las anisotropías en un dominio de 200x200 metros mediante 100

realizaciones generadas en el espacio Gaussiano, con una media teórica conocida e igual a

cero.

47

Las anisotropías se generan a partir del siguiente modelo variográfico, a saber:

• Anisotropía geométrica )m100,m50(esf1)( =γ h

• Anisotropía zonal )m2000,m50(esf1)( =γ h

En la siguiente imagen se presenta el variograma promedio de cien realizaciones y el

modelo teórico obtenido para ambos algoritmos con anisotropía geométrica. Se aprecia que el

método de Bandas Rotantes reproduce mejor el variograma teórico que el método Secuencial

Gaussiano. Aunque, ambos están dentro del intervalo de probabilidad.

Ilustración 3.37 Variogramas con anisotropía geométrica.

Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). ––––– Variograma teórico, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados, – – – Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio.

Los resultados obtenidos para la anisotropía zonal se presentan en la siguiente

ilustración. Ambos algoritmos reproducen bastante bien el variograma teórico, pues, los

variogramas promedio simulados están dentro del intervalo de probabilidad.

Ilustración 3.38 Variogramas con anisotropía zonal.

Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). ––––– Variograma teórico, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados, – – – Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio.

En la siguiente lámina se aprecian las fluctuaciones provocadas por las anisotropías. A

medida que la razón entre el semi eje mayor y el semi eje menor del elipsoide variográfico

48

aumenta las fluctuaciones lo hacen en igual intensidad. Esto se produce debido a la pérdida

progresiva de la razón entre el tamaño del dominio y el alcance en la dirección norte.

Ilustración 3.39 Fluctuaciones en variogramas experimentales.

Secuencial Gaussiano (Arriba.), Bandas Rotantes (Abajo.). ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, +++++Promedio de variogramas simulados dirección Norte.

3.5 Impacto local

Los análisis anteriores han puesto en evidencia que pueden existir algunos sesgos en la

reproducción de las estadísticas del modelo, cuando los parámetros de implementación del

algoritmo de simulación no son elegidos de manera juiciosa. Se desea saber si estos sesgos

pueden tener una influencia en la distribución local de leyes de un determinado bloque del

yacimiento, o si solamente afectan las características globales (alcance).

Para ellos, se estudiará las distribuciones locales a nivel de un bloque de 15x15 metros

discretizado en 15x15 nodos, suponiendo una distribución lognormal de la variable real (%Cu)

de soporte puntual. La función de anamorfosis viene dada por la siguiente expresión.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

3)(Yexp)(Z xx

49

Donde Z(x) corresponde a la variable original e Y(x) a la variable transformada. Esta

última tiene distribución Gaussiana estándar (normal cero y varianza uno). Se utiliza además el

siguiente variograma para la variable transformada (Y), a saber:

)m50,m50(esf9,01,0)( +=γ h

Se generan 10.000 realizaciones con el método de descomposición matricial –LU– en el

espacio Gaussiano (Davis, 1987), debido a que es perfecto, obteniéndose el siguiente

histograma para la variable original (Z) regularizada. Además, se simula mediante los métodos

Secuencial Gaussiano y de Bandas Rotantes con diferentes tamaños de vecindad y número de

líneas respectivamente.

N° datos 10000Máximo 3.645Media 1.059Mínimo 0.314Std. Dev. 0.329Varianza 0.108

Ilustración 3.40 Histograma de los valores obtenidos mediante método LU.

Tabla 3.5 Estadísticas básicas de simulaciones de un bloque con diferentes métodos. LU SG 20

datos (nodos)

SG 100 datos

(nodos)

BR 100 líneas

BR 1000 líneas

N° datos 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000Máximo 3,645 3,470 3,110 2,703 4,070Media 1,059 1,054 1,059 1,053 1,055Mínimo 0,314 0,320 0,310 0,331 0,360Desviación Estándar 0,329 0,323 0,319 0,296 0,299Varianza 0,108 0,104 0,102 0,088 0,089

En la siguiente lámina se compara las distribuciones obtenidas con los métodos SG y

BR con la “realidad” dada por el método LU. No se aprecia impacto en los recursos a nivel de

un bloque, debido a que las distribuciones son muy similares, sólo se observan diferencias

marginales en las colas superiores de las distribuciones.

50

La implementación puede producir sesgos en las estadísticas globales (ejemplo: alcance

sobre dimensionado) y, por lo tanto, en la caracterización de la incertidumbre cuando se

consideran muchos bloques simultáneamente, pero tiene muy poco impacto en la

caracterización de la incertidumbre local (a escala de un bloque).

Ilustración 3.41 Gráficos cuantil contra cuantil de los métodos SG (arriba) y BR (abajo) comparados con

método LU.

51

4 SIMULACIÓN CONDICIONAL

En el capítulo anterior se ha utilizado una metodología para validar las simulaciones en

el espacio Gaussiano sin datos condicionantes. Se ha establecido que el algoritmo de Bandas

Rotantes, reproduce en mayor grado las estadísticas estudiadas que el método Secuencial

Gaussiano.

En base a lo anterior, en esta sección se estudiará cómo validar las simulaciones

condicionales a datos, mediante casos de estudio de yacimientos de cobre, utilizando el

algoritmo BR con mil líneas.

Las simulaciones se realizarán bajo el siguiente esquema, a saber:

• Análisis exploratorio de los datos, revisión de las estadísticas básicas y tendencias

espaciales.

• Determinación de las estadísticas representativas, desagrupamiento de datos.

• Determinación de la variabilidad espacial de la variable original, mediante

variogramas.

• Transformación de la variable original a Gaussiana, utilizando la distribución

representativa.

• Determinación del variograma de la variable transformada.

• Generación de cien realizaciones de media conocida e igual a cero en el espacio

Gaussiano.

• Transformación de vuelta de la variable Gaussiana a la variable original, inyectando

el carácter heteroscedástico o efecto proporcional de la variable original.

La validación de las simulaciones se llevará a cabo mediante la revisión del variograma

puntual e intervalos de probabilidad. En la primera prueba, se espera que el promedio de los

variogramas simulados reproduzca el modelo variográfico de los datos Gaussianos, mientras

que para la segunda prueba, dado un intervalo de probabilidad determinado, se esperaría

encontrar, una proporción similar de realizaciones que se encuentran en este intervalo.

52

4.1 Yacimiento de óxidos de cobre

4.1.1 Estudio exploratorio

Esta base de datos corresponde a una campaña de sondajes de exploración que

contiene cobre soluble, la cual se proyecta en un volumen de 1500 x 2000 x 400 metros en las

coordenadas Este, Norte y Cota, respectivamente. Por otra parte, los collares de los sondajes

están dispuestos en una grilla casi regular, aunque existen zonas con mayor densidad de

muestreo. Los sondajes están compositados cada 1,5 metros. No se cuenta con información

geológica, por lo que se supone solamente una unidad geológica.

Ilustración 4.1 Mapas de muestras de exploración.

(Escala: ley de cobre soluble).

Es posible vislumbrar de las imágenes anteriores que las ubicaciones de las muestras

tienen algún grado de irregularidad en el espacio y no se enmarcan en una malla regular. Por lo

tanto, es necesario considerar que los datos espacialmente agrupados deben tener un peso

estadístico más pequeño a los datos aislados. Esta ponderación se determina mediante el

método de las celdas, el cual consiste en dividir la zona muestreada en paralelepípedos

idénticos, y en atribuir a cada muestra un peso inversamente proporcional al número de datos

presentes en la celda a la cual pertenece (Isaaks y Srivastava, 1989).

53

Se considera una anisotropía de celda cuyos lados son proporcionales al muestreo

(50x100x1,5 metros), compensando la mayor densidad de muestreo en las diferentes

direcciones. En la siguiente lámina es posible observar que el tamaño de la celda no ejerce

influencia en la media global hasta un tamaño de 60 metros en la primera dirección. Se

estableció un tamaño de celda de 50x100x1,5 metros para obtener las estadísticas

desagrupadas.

Ilustración 4.2 Influencia del tamaño de celda sobre la media (Izq.) e Histograma desagrupado (Der.).

En la siguiente tabla es posible observar que las zonas con mayor densidad de muestreo

no alteran las estadísticas básicas del yacimiento en estudio, pues las estadísticas de las

muestras desagrupadas son similares a las que no reciben esta ponderación.

Tabla 4.1 Estadísticas de muestras de exploración de cobre soluble. Muestras Muestras

desagrupadas N° de datos 13623 13623 Media [%] 0,224 0,224 Desv. Est. [%] 0,141 0,143 Varianza [%]2 0,020 0,020 C.V. [%] 0,629 0,635 Máximo [%] 3,400 3,400 3er Cuartil [%] 0,275 0,275 Mediana [%] 0,200 0,200 1er Cuartil [%] 0,138 0,138 Mínimo [%] 0,006 0,006

El algoritmo que se aplicará para obtener las estimaciones requiere que la variable en

estudio sea estacionaria, para lo cual es útil revisar la distribución espacial mediante las nubes

direccionales principales. En la siguiente ilustración se observa que la variabilidad es

homogénea para las direcciones Este y Norte, en la Cota se aprecia una tendencia que se ve

suavizada por la escala. Entonces, podría ser discutible la estacionaridad global, aunque

localmente no existen inconvenientes para utilizar un modelo estacionario.

54

Ilustración 4.3 Nubes direccionales de cobre soluble. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.).

––––– Regresiones experimentales.

Se realizó un estudio para modelar la correlación espacial del cobre soluble mediante

mapas variográficos y variogramas en varias direcciones regulares. En este estudio, no se

observó direcciones principales de anisotropía en la horizontal. El variograma experimental se

modeló por la siguiente expresión:

),m1900,m1900(esf0096,0),m100,m100(esf0011,0)m50,m60,m60(esf005,0)m10,m20,m20(esf003,0006,0)h,h,h( zyx

∞+∞+

++=γ

Ilustración 4.4 Variograma experimental y modelado.

––––– Horizontal, ––––– Vertical.

En la siguiente figura se presentan las pruebas gráficas de la validación cruzada. La

estimación mediante kriging de cada dato utiliza las 24 muestras más cercanas, a razón de tres

muestras por octante del espacio. Entre los 13623 datos, sólo 209 (o sea, el 1,5% del total, en

rojo) han sido “mal” estimados (con un error estándar absoluto superior a 2,5), lo que es muy

satisfactorio. Por otra parte, es posible apreciar que la estimación no sufre sesgo condicional,

debido a que la nube de errores estándar versus ley estimada está centrada en la ordenada

cero.

55

Ilustración 4.5 Validación cruzada para el variograma modelado.

Ilustración 4.6 Anamorfosis Gaussiana, que relaciona los valores originales (ordenada) con los valores

Gaussianos (abscisa).

El modelo multigaussiano requiere que la variable en estudio tenga una distribución

Gaussiana, para lo cual se debe transformar los datos originales a Gaussianos mediante una

56

función de transformación o anamorfosis. Luego de esto se debe examinar la variable

Gaussiana para su uso en este estudio.

Ilustración 4.7 Histograma de los datos Gaussianos

Tabla 4.2 Estadísticas variable Gaussiana Muestras N° de datos 13623Media [%] 0,000Desv. Est. [%] 0,993Varianza [%]2 0,986Máximo [%] 3,9393er Cuartil [%] 0,675Mediana [%] -0,0101er Cuartil [%] -0,670Mínimo [%] -3,810

El modelo multigaussiano requiere que no solamente la distribución univariable sea

consistente con el modelo (Ver figura anterior), sino que se debe verificar al menos las

distribuciones bivariables. Para ello, se analizan las nubes de correlación diferida y se compara

el variograma con el madograma.

Ilustración 4.8 Nubes de correlación diferida para distancias de 5 metros (Izq.) y 60 metros (Der.)

Se deduce de la ilustración anterior que los puntos conforman una figura similar a la

forma de un diamante, la cual representa las curvas de isodensidad de la nube. A medida que la

distancia aumenta, se torna circular ya que se pierde correlación entre los valores.

57

Ilustración 4.9 Raíz cuadrada del variograma dividida por el madograma.

Bajo la hipótesis bigaussiana, el madograma (variograma de orden 1) es proporcional a

la raíz cuadrada del variograma y, la razón de estos es equivalente a raíz de pi (ver formulas 3.1

y 3.2), o sea 1,77. El gráfico anterior muestra que los valores transformados convergen a este

valor para distancias grandes (mayor a 200 metros), en cambio para distancias pequeñas

existen algunas diferencias que cuestionan el carácter bigaussiano. Aunque ambas pruebas,

nubes de correlación y variogramas, no son perfectamente consistentes con un modelo

bigaussiano (a distancias pequeñas). Se acepta el carácter bigaussiano de la variable

transformada de modo de proseguir con la simulación. En caso contrario, se debería buscar

otro modelo al igual que si no se cumpliera la condición de estacionaridad.

Finalmente, se modeló el variograma experimental de los datos Gaussianos, quedando

plasmado en la siguiente expresión:

)m10000,m1100,m1100(esf25,0)m120,m130,m130(esf24,0)m15,m60,m60(esf16,035,0)h,h,h( zyx

+

++=γ

58

Ilustración 4.10 Variograma experimental y modelado de la variable Gaussiana.

––––– Horizontal, ––––– Vertical.

4.1.2 Reproducción de variogramas

La simulación de Bandas Rotantes se implementa con mil líneas. Se generan cien

realizaciones condicionales en el espacio Gaussiano en un dominio de 1500x2000x350 metros,

con nodos cada 15 metros en cada dirección. La vecindad de búsqueda corresponde a un

elipsoide cuyos semi ejes son de 350x350x75 metros y debe contener como máximo 4

muestras por octante. El variograma corresponde al modelado en la etapa anterior. Se

considera que la media teórica es conocida y vale cero en el espacio Gaussiano.

4.1.2.1 Variable original

En la siguiente lámina se aprecian los variogramas experimentales de cada realización,

el promedio de ellos y el modelo para la variable original. Se desprende de la ilustración que el

promedio de los variogramas simulados no reproduce exactamente el modelo en ninguna de las

direcciones.

59

Ilustración 4.11 Variogramas de realizaciones con BR de la variable original (CuS).

––––– Variograma modelado, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados.

4.1.2.2 Variable Gaussiana

Con respecto a la variable transformada (Gaussiana), se deduce de la siguiente

ilustración que el variograma promedio reproduce el modelo en la dirección horizontal con

ciertas fluctuaciones, pero en la vertical se aprecian claras diferencias.

Ilustración 4.12 Variogramas de realizaciones con BR de la variable transformada.


A primera vista, puede sorprender que el algoritmo de simulación no logre reproducir el

variograma modelado, tal como había sido el caso en el capitulo anterior dedicado a

simulaciones no condicionales. Entonces cabe preguntarse cuál es el variograma esperado

sobre un conjunto de realizaciones condicionales. El valor adquirido por un nodo x, proveniente

de una simulación condicional, es función del valor fijo obtenido por kriging simple (yKS), más el

error aleatorio de kriging simple (ε).

)()(y)(Y KSSC xxx ε+=

60

Por lo tanto el variograma esperado de una simulación condicional estará dado por la

siguiente expresión:

})]()({[E21

)}()()(y)(yvar{21

)}(Y)(Yvar{21),(

2

KSKS

SCSCYSC

hxx

hxxhxx

hxxhxx

+ε−ε=

+ε−ε++−=

+−=+γ

Las esperanzas cruzadas entre yKS y ε se anulan debido a que la esperanza del error de

kriging es cero. Si se introduce el sistema de kriging simple en la ecuación anterior se logra

deducir la siguiente expresión:

∑=α

αααα −γ−−−γ+λ−λ+γ=+γn

1

KSKSY )}()()}{()({

21)(),(

SChxhxxhxxhhxx

Donde γ(h) es el variograma modelado de los datos transformados, n el número de

datos, {xα, α=1...n} sus posiciones y { KSαλ , α=1...n} son los ponderadores de kriging simple. Este

variograma condicional no es estacionario, pues depende de la posición de x y del vector de

separación h. Sin embargo, cuando x y x+h están lejos de los datos condicionantes (en la

práctica, más allá del alcance del variograma), los términos γ(xα-x-h) y γ(xα -x) tienden a uno.

Por lo tanto, lejos de los datos el variograma simulado es similar al variograma modelado. Por

otra parte si x ó x+h son cercanos a datos condicionantes (menor al alcance del variograma) el

variograma condicionado difiere del modelo a priori γ(h).

Para cualquier vector de separación h, el variograma experimental calculado sobre un

dominio V está dado por la siguiente expresión:

( ) ( ) ∫−

+−Κ

=ΓhVV

2SCSC

VV dx)](Y)(Y[

21

I

hxxh

h

Donde V-h es el dominio V trasladado en h, y KV es el covariograma geométrico de V y

representa el volumen de V∩V-h. Por lo tanto, el valor esperado del variograma anterior es

61

( )[ ] ( )

( )

( ) ∫ ∑

∫ ∑

∫

−

−

−

=ααααα

=ααααα

−γ−−−γ+λ−λ++−Κ

+γ=

−γ−−−γ+λ−λ+γ++−Κ

=

γ++−Κ

=Γ

h

h

h

SC

VV

n

1

KSKS2KSKS

V

VV

n

1

KSKS2KSKS

V

VVY

2KSKS

VV

dx })}()()}{()({)](y)(y{[2

1)(

dx })}()()}{()({)(2)](y)(y{[2

1

dx )}(2)](y)(y{[2

1E

I

I

I

xxhxxhxxhxxh

h

xxhxxhxxhhxxh

hhxxh

h

Entonces el promedio de los variogramas simulados se compone de tres elementos: el

variograma modelado, el variograma del estimador de kriging simple (γKS) y un factor correctivo

que depende de los ponderadores de kriging. Si bien los dos primeros son positivos, el tercer

elemento podría tomar cualquier signo haciendo impracticable el uso de esta prueba como

medio para validar las simulaciones condicionales, a menos que se evalue la expresión anterior

y ésta sea comparada con el promedio de los variogramas simulados.

En resumen, los datos condicionantes hacen que el variograma simulado puede diferir

del modelo a priori de variograma, especialmente si el dominio simulado no es muy extenso y

no existen grandes zonas sin datos.

En base a lo anterior, se prefiere validar las simulaciones mediante intervalos de

probabilidad.


Para las simulaciones, se construyen intervalos de probabilidad con un cierto margen de

error (α), esperándose que una fracción α de la serie verdadera de leyes esté fuera del intervalo

de confianza. Por ejemplo, si α = 0,5, el intervalo de confianza es el rango intercuartil de las

realizaciones (intervalo cuyos límites son el primer y tercer cuartil); la mitad de las leyes reales

deberían ubicarse en este intervalo y la otra mitad fuera. El procedimiento se puede repetir al

hacer variar el valor de α entre 0 y 1.

La realización de esta prueba requiere de la definición de dos poblaciones. Por lo tanto

se define una población de datos (en verde) que permitirá simular los sondajes pertenecientes a

la población en azul (Ver siguiente lámina).

62

Ilustración 4.13 Mapa de poblaciones definidas

para validar el modelo de incertidumbre.

Tabla 4.3 Estadísticas básicas de poblaciones. Verde Azul N° de datos 7056 6567Media [%] 0,226 0,220Desv. Est. [%] 0,136 0,146Varianza [%]2 0,018 0,021C.V. [%] 0,596 0,664Máximo [%] 1,819 3,4003er Cuartil [%] 0,280 0,268Mediana [%] 0,203 0,1961er Cuartil [%] 0,139 0,138Mínimo [%] 0,011 0,006

La simulación por Bandas Rotantes se implementa con mil líneas. Se generan mil

realizaciones en el espacio Gaussiano para la población en azul. La vecindad de búsqueda

corresponde a un elipsoide cuyos semi ejes son de 350x350x75 metros. El variograma

corresponde al modelado en la etapa anterior. Se considera que la media teórica es conocida y

vale cero en el espacio Gaussiano.

Por otra parte, se pretende observar cuales son las diferencias en la simulación al tomar

una vecindad que contiene a lo más 32 datos y una que contiene solamente 8 datos.

En la siguiente ilustración se muestra la validación realizada mediante intervalos de

probabilidad. Se desprende de ésta que el modelo de incertidumbre se ajusta bastante bien a

los datos, siendo algo optimista en la determinación de las leyes, pero se encuentra

absolutamente validado. No se aprecian diferencias significativas al relajar el número de datos

en la vecindad. Esto se explica por la existencia de una micro estructura en el variograma (ver

figura 4.4), la cual provoca que las muestras más alejadas reciban un peso menor en el sistema

de kriging, mientras que la media global recibe una ponderación importante.

63

Ilustración 4.14 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual.

Por otra parte, al compositar las muestras y las simulaciones de la población en azul, se

observa que el modelo queda validado. Igualmente no se provocan mayores diferencias al

disminuir el número de muestras necesarias para simular el valor.

Ilustración 4.15 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades y diferentes tamaños de

compósitos.

En definitiva el modelo multigaussiano, y el algoritmo de Bandas Rotantes, logran una

correcta descripción de la incertidumbre local en las leyes del yacimiento de óxidos de cobre. El

uso de intervalos de probabilidad, para distintas implementaciones (vecindades de búsqueda) y

64

distintos tamaños de compósitos, es una prueba bastante poderosa debido a que permite

validar tanto el algoritmo utilizado como la adecuación del modelo multigaussiano a los datos.

4.2 Yacimiento de sulfuros de cobre

4.2.1 Estudio exploratorio

Esta base de datos corresponde a una campaña de exploración en un yacimiento de

sulfuros de cobre y contiene como elemento la ley de cobre total, la cual se proyecta en un

volumen de 700 x 700 x 750 metros en las coordenadas Este, Norte y Cota respectivamente.

Por otra parte, los collares de los sondajes están dispuestos en el contorno de diferentes

galerías, existiendo zonas con mayor densidad de muestreo. Los sondajes están compositados

cada 10 metros. No se cuenta con información geológica por lo que se supone solamente una

unidad geológica.

Ilustración 4.16 Mapas de muestras de exploración.

(Escala: ley de cobre total).

Se desprende de la figura anterior, que las muestras están dispuestas en una malla

irregular. Por lo tanto, es necesario considerar que los datos espacialmente agrupados deben

tener un peso menor a los datos aislados.

65

Al igual que en el yacimiento de óxidos de cobre, se considera un tamaño de celda

cuyos lados son proporcionales a la malla de muestreo (30x30x10 metros), compensando la

mayor densidad de muestreo en las diferentes direcciones. En la siguiente lámina es posible

observar que el tamaño de la celda no ejerce influencia en la media global hasta un tamaño de

20 metros en la primera dirección. Pese a lo anterior, se estableció un tamaño de celda de

30x30x10 metros para obtener las estadísticas desagrupadas.


Las estadísticas básicas del yacimiento en estudio cambian levemente al utilizar los

pesos de desagrupamiento.

Tabla 4.4 Estadísticas de muestras de exploración de cobre total. Muestras Muestras

desagrupadas N° de datos 4900 4900 Media [%] 0,706 0,698 Desv. Est. [%] 0,352 0,352 Varianza [%]2 0,123 0,123 C.V. [%] 0,499 0,505 Máximo [%] 2,707 2,707 3er Cuartil [%] 0,899 0,889 Mediana [%] 0,643 0,636 1er Cuartil [%] 0,457 0,450 Mínimo [%] 0,280 0,280

El algoritmo requiere que la variable en estudio sea estacionaria, pues la media debe ser

constante en todo el dominio. En la siguiente ilustración se presentan nubes direccionales que

muestran que la hipótesis de estacionaridad no se cumple a nivel global, lo cual permitirá poner

a prueba el algoritmo.

66

Ilustración 4.18 Nubes direccionales de cobre total. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.).


Se realizó un estudio para modelar la correlación espacial del cobre total, mediante

mapas variográficos y variogramas en varias direcciones regulares. En ello, se observó

direcciones principales de anisotropía en el plano horizontal. Es por esto que el variograma

experimental se modeló por la siguiente expresión:

( ))m500,,exp(02,0

)m450,,m200exp(0063,0)m420,m170,m170exp(088,002,0h,h,h zyx

∞∞+

∞++=γ


––––– Este, ––––– Norte, ––––– Vertical.

En la siguiente figura se presentan las pruebas gráficas de la validación cruzada. La

estimación mediante kriging de cada dato utiliza las 24 muestras más cercanas, a razón de tres

muestras por octante del espacio. Entre los 4900 datos, sólo 133 (o sea, el 2,7% del total, en

rojo) han sido “mal” estimados (con un error estándar absoluto superior a 2,5), lo que es muy

satisfactorio. Por otra parte, es posible apreciar que la estimación no sufre sesgo condicional

67

debido a que la nube de errores estándar versus leyes estimadas está centrada en la ordenada

cero.

Ilustración 4.20 Validación cruzada para el variograma modelado.

El modelo multigaussiano requiere que la variable en estudio tenga una distribución

Gaussiana, para lo cual se deben transformar los datos reales a Gaussianos mediante una

función anamorfosis.

68

Ilustración 4.21 Anamorfosis Gaussiana, que relaciona los valores originales (ordenada) con los valores

Gaussianos (abscisa).

Ilustración 4.22 Histograma de los datos Gaussianos.

Tabla 4.5 Estadísticas variable Gaussiana. Muestras N° de datos 4900Media [%] 0,026Desv. Est. [%] 0,991Varianza [%]2 0,982Máximo [%] 3,7673er Cuartil [%] 0,701Mediana [%] 0,0211er Cuartil [%] -0,643Mínimo [%] -3,664

Ilustración 4.23 Nubes de correlación diferida para distancias de 5 metros (Izq.) y 50 metros (Der.)

69

Se deduce de la ilustración anterior que los puntos conforman una figura similar a una

lágrima, la cual representa las curvas de isodensidad de la nube. A medida que la distancia

aumenta se torna casi circular ya que se pierde correlación entre los valores.

Ilustración 4.24 Raiz cuadrada del variograma dividido por el madograma.

Al igual que en el caso del yacimiento de óxidos de cobre, ambas pruebas aceptan el

carácter bigaussiano de la variable transformada sólo para distancias grandes (mayores a 100

metros), en cambio para aquellas menores se observan discrepancias con respecto a la forma

(nube de correlación) y valores esperados (variograma versus madograma). Por otra parte, al

comparar los el variogramas de indicadores del primer y tercer cuartil, se deduce que los datos

no poseen un carácter completamente bigaussiano para todas las distancias, debido a que

existen discrepancias entre los variogramas. Por lo tanto, podría buscar otro modelo que se

ajustara a los datos de mejor forma pero se aplicara el mismo algoritmo para ponerlo a prueba

frente a diversos escenarios adversos (estacionaridad y multigaussianidad).

70

Indicador primer y tercer cuartil

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 100 200 300Distancia

γ

Norte75 Este75 Cota75 Norte25 Este25 Cota25

Ilustración 4.25 Variograma de indicadores.

El variograma experimental de la variable Gaussiana se modeló mediante la siguiente

expresión, a saber:

( ))m900,m10000,m600exp(2,0

)m500,m420,m500exp(25,0)m400,m180,m140exp(4,015,0h,h,h zyx

+

++=γ



4.2.2 Reproducción de variogramas

La simulación por Bandas Rotantes se implementa con mil líneas. Se generan cien

realizaciones en el espacio Gaussiano en un dominio de 700x700x750 metros, con nodos cada

10 metros en cada dirección. La vecindad de búsqueda corresponde a un elipsoide cuyos semi

ejes son de 200x250x300 metros y debe contener como máximo 4 muestras por octante. El

71

variograma corresponde al modelado en la etapa anterior. Se considera que la media teórica es

conocida y vale cero en el espacio Gaussiano.

4.2.2.1 Variable original

En la siguiente lámina se aprecian los variogramas experimentales de cada realización,

el promedio de ellos y el modelo. Se desprende de la ilustración que el variograma promedio no

reproduce el modelo en ninguna de las direcciones.

Ilustración 4.27 Variogramas de realizaciones con BR de la variable original (CuT).


4.2.2.2 Variable Gaussiana

Se deduce de la siguiente ilustración que el variograma promedio reproduce el modelo a

priori en las direcciones Norte y Cota, pero en la dirección Este se aprecia claras diferencias. En

esta última dirección, el variograma simulado no presenta meseta, sugiriendo la existencia de

una tendencia similar a aquella observada en las nubes direccionales (Ver Ilustración 4.18).

Ilustración 4.28 Variogramas de realizaciones con BR de la variable transformada.


72

Si bien los variogramas de la variable Gaussiana reproducen en cierto grado el modelo

teórico al observar la variable original se muestran diferencias notarias. Estas pequeñas

variaciones en la variable Gaussiana provocan fuertes discrepancias en la variable original, por

lo tanto la varianza es muy sensible a la transformación.

En la validación del modelo para el yacimiento de óxidos de cobre se demostró que el

variograma promedio de las realizaciones condicionales no necesariamente reproduce el

modelo a priori del variograma.


Al igual que en el caso de estudio anterior, se requiere de dos poblaciones. La primera

(en verde) permitirá simular los sondajes pertenecientes a la población en azul.

Ilustración 4.29 Mapa de poblaciones definidas

para validar el modelo de incertidumbre.


La simulación por Bandas Rotantes se implementa con mil líneas. Se generan mil

realizaciones en el espacio Gaussiano para la población en azul. La vecindad de búsqueda

corresponde a un elipsoide cuyos semi ejes son de 200x250x300 metros. El variograma

corresponde al modelo de la etapa anterior. Se considera que la media teórica es conocida y

vale cero en el espacio Gaussiano.

Al igual que en el caso de estudio anterior, se desea revisar cuáles son las diferencias al

considerar vecindades distintas (32 y 8 datos) y al compositar los sondajes a un soporte mayor.

73

En la siguiente lámina se muestra la validación realizada para distintas probabilidades

entre 0 y 1. Se desprende de ésta que el modelo se acomoda bien a los datos, siendo algo

pesimista en la determinación de las leyes, pero se encuentra absolutamente validado pues se

ubica prácticamente en la diagonal. Igualmente que en el caso de estudio anterior, no se

aprecian diferencias significativas al relajar el número de datos en la vecindad.

Ilustración 4.30 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual.


compósitos.

Al compositar las muestras y las simulaciones a soportes mayores, se observa que el

modelo queda validado debido a que no hay mayores discrepancias entre los puntos y la

74

diagonal. Igualmente no se provocan mayores diferencias al disminuir el número de muestras

necesarias para simular el valor (Ver ilustración anterior).

En definitiva el modelo multigaussiano se ajusta bien, al menos localmente, al

yacimiento de sulfuros de cobre.

Si bien ha quedado demostrado la adecuación del modelo al yacimiento, se hace

necesario demostrar cual es la robustez de esta prueba. Para esto se ha redefinido la población

que permite estimar las otras muestras de la campaña de exploraciones. Esta población está

compuesta por muestras de leyes bajas de cobre total y se encuentra ubicada entre las

coordenadas cero y doscientos metros al este del origen, ver siguiente ilustración.

Ilustración 4.32 Mapa de poblaciones definidas para validar el modelo de

incertidumbre.


Al simular los datos en azul bajo las mismas características de implementación del

algoritmo y del yacimiento, es decir, histograma y variograma de la población global, se observa

en la siguiente ilustración que el modelo, todavía se ajusta bastante bien al yacimiento.

75

Ilustración 4.33 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual, utilizando

características globales del yacimiento.

Al contrario, si se simulan tomando en cuenta las características propias de la población

de bajas leyes, es decir, histograma y variograma (ver estudio exploratorio en Anexo IV), los

resultados obtenidos muestran que el modelo no se ajusta a la realidad, quedando plasmado en

la siguiente ilustración, debido a que los intervalos de probabilidad están sesgados y

subdimensionados.

En Anexo V se presentan los intervalos de probabilidad para las muestras y

simulaciones compositadas a un soporte mayor, mostrando características similares a estas

pruebas hechas a soportes puntuales.

Ilustración 4.34 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual, utilizando

características locales de la zona de baja ley del yacimiento.

El yacimiento de sulfuros de cobre ha permitido estudiar cuán robusto es el modelo de

incertidumbre obtenido mediante simulaciones multigaussianas. En efecto, es posible observar

la presencia de tendencias espaciales en las nubes direccionales y que la distribución de la

76

variable Gaussiana no posee el carácter bigaussiano para distancias menores a los cien

metros. Pese a lo anterior, mediante el uso de intervalos de probabilidad, se ha validado el

modelo de incertidumbre basado en el uso del modelo multigaussiano estacionario para este

caso de estudio.

Por otra parte, se utilizó una zona de bajas leyes para simular una zona de leyes altas y

los resultados fueron satisfactorios, al usar el histograma y el variograma global, determinados

con todas las muestras pertenecientes al dominio. En cambio, si se utiliza las características

propias de la zona de bajas leyes (variograma e histograma) los valores simulados presentan

un sesgo con respecto a los muestreados, de modo que el modelo de incertidumbre falla.

En definitiva, el modelo de incertidumbre será robusto principalmente cuando el

histograma sea bien modelado. El variograma también es una característica importante, porque

cumplirá un rol fundamental en el sistema de kriging que condicionará los resultados.

Finalmente, deben existir datos cercanos a las muestras simuladas para obtener buenos

resultados. De cierto modo, estos imponen localmente sus propias características por sobre el

modelo a priori.

Bajo estas circunstancias, las otras características del modelo (estacionaridad y

multigaussianidad) tienen un menor impacto en la calidad del modelo de incertidumbre local.

77

5 APLICACIÓN: PLANIFICACIÓN ESTRATÉGICA CON INCERTIDUMBRE EN LA LEY

Las simulaciones condicionales son una herramienta eficaz para cuantificar riesgos. Por

ejemplo, se puede ver cuál es el escenario simulado más favorable o el peor para tener una

idea de la incertidumbre que se puede tener en la cantidad total de recursos.

Por otro lado, la planificación minera es el proceso mediante el cual una porción del

recurso mineral se valoriza en el mejor negocio productivo para el dueño que se alinea con los

objetivos estratégicos de la compañía. Este negocio no sólo está sujeto a restricciones

derivadas de los recursos minerales sino que también del mercado, recursos humanos, capital,

tecnológicos, entorno social y medio ambiente.

En el presente capítulo se realizará una planificación estratégica, basada en técnicas

clásicas de estimación geoestadística (kriging) y de simulaciones. El objetivo es maximizar los

beneficios de los accionistas a través de la maximización del valor presente neto.

El inventario de recursos vendrá dado por algún método de estimación o simulación

geoestadística y estará dado por las curvas de tonelaje ley del yacimiento. Por lo tanto, en la

primera etapa se deberán valorizar los recursos (tonelaje y ley media), que se encuentran sobre

una ley de corte, mediante una función de beneficio que plasma el método de explotación.

El valor actual neto -VAN- del proyecto para una ley de corte (Lz) y un horizonte de

tiempo de n años, se evaluará mediante la siguiente expresión:

( )∑= +

+−=

=

n

1jj

LznLz

nLz

nLz

LznLz

r11

nB)tpa(IVAN

nTontpa

100...10n =∀

Donde TonLz corresponde a las toneladas de recursos para la ley de corte Lz, la

inversión I será función del método de explotación y del ritmo de producción anual, r es la tasa

de descuento (10%), BLz es el beneficio asociado a los recursos que están por sobre la ley de

corte z; el cual se repartirá en flujos equivalentes dependiendo del horizonte de tiempo

evaluado. Con esto se obtiene el VAN en función del tiempo (Ver siguiente figura interior (2)).

78

Entonces, es posible determinar el VAN máximo para cada ley de corte y paralelamente

el ritmo de producción asociado a dicho VAN, repitiéndose este análisis para varias leyes de

corte (Ver siguiente figura, denotado por (2)). El procedimiento anterior permite obtener el VAN

máximo para cada ley de corte y el ritmo de producción de mineral correspondiente, denotado

por (3) y (4) en la siguiente figura respectivamente.

Ley de Corte 0,6 %

Ley de Corte 0,4 %

Ley de Corte 0,2 %

(1)

(2)

(3) (4)

Ilustración 5.1 Proceso de obtención de valor presente neto y ritmos de producción para diferentes leyes

de corte.

Finalmente, si consideramos una serie de escenarios posibles se podría elegir una ley

de corte que maximice el valor presente neto del proyecto y evaluar el riesgo asociado a la

variabilidad de las leyes.

Se aplicará esta metodología a cien simulaciones condicionales y a una estimación

mediante kriging simple, para los yacimientos estudiados en el capítulo anterior. Las primeras

se generarán utilizando el algoritmo de Bandas Rotantes implementado con mil líneas. El

tamaño de la vecindad y el número de muestras máximas por octante será el mismo para las

simulaciones y el kriging.

79

Para las simulaciones, los datos se transforman mediante la función de anamorfosis

definida en el capítulo anterior para cada yacimiento, de tal forma que su distribución sea

normal de media cero y varianza uno. Además, se utilizan los variogramas modelados en el

capítulo anterior. Se utilizan las mismas características que permitieron validar el uso del

algoritmo y la adecuación del modelo multigaussiano a los datos.

Se supone una densidad homogénea, para ambos yacimientos, de 2,7 ton/m3 y se

supone una sola unidad geológica.

5.1 Yacimiento de óxidos de cobre

El modelo de bloques evaluado contiene un volumen de 1500x2010x360 metros,

equivalente a 2930 millones de toneladas. Los bloques tienen un tamaño de 30x30x30 metros

discretizado en 5x5x3 nodos. La vecindad de búsqueda corresponde a un elipsoide cuyos semi

ejes son de 350x350x75 metros y debe contener como máximo 4 muestras por octante.

La generación de los cien escenarios toma cerca de cuatro días en un computador cuyo

procesador es un Pentium 4 de 3.06 GHz. y una memoria RAM de 1GB. Si se desea refinar el

análisis con un tamaño de bloque de 15x15x15 se requeriría de 16 días para la obtención de las

cien realizaciones y esto es impracticable desde el punto de vista de este trabajo de título. En

cambio, una compañía minera podría adquirir un computador de mejores características y

obtener los resultados con rapidez y mayor detalle.

El promedio de las simulaciones permite determinar el estimador óptimo, al minimizar la

varianza del error cometido. Este resultado es comparable con una estimación mediante kriging

simple. En la siguiente tabla se aprecian las estadísticas básicas de ambas estimaciones,

donde el promedio de las simulaciones tiene valores más extremos, pero una varianza menor al

kriging. Al comparar las distribuciones de ambas estimaciones se aprecian algunas diferencias

menores, ver siguiente figura.

80

Ilustración 5.2 Gráfico cuantil contra cuantil de

kriging y promedio de simulaciones.

Tabla 5.1 Estadísticas básicas de kriging y promedio de simulaciones.

Kriging Promedio Simulaciones

N° de datos 40200 40200Media [%] 0,204 0,211Desv. Est. [%] 0,058 0,052Varianza [%]2 0,003 0,002Máximo [%] 0,749 0,7983er Cuartil [%] 0,233 0,231Mediana [%] 0,195 0,2101er Cuartil [%] 0,163 0,178Mínimo [%] 0,065 0,049

En la siguiente ilustración se aprecian las curvas de tonelaje-ley obtenidas para cada

una de las simulaciones y el promedio de dichas curvas (recursos esperados). Asimismo, se

muestran la curva de tonelaje-ley del kriging simple y del promedio de las simulaciones. Se

observa que la estimación mediante kriging simple y el promedio de las simulaciones suavizan

las leyes del yacimiento. Los recursos estimados corresponden al promedio de los tonelajes y

leyes medias por sobre una ley de corte.

Ilustración 5.3 Curva tonelaje ley para leyes de cobre soluble.

––––– Kriging, – – – Promedio de simulaciones, – – – Simulaciones, ∗∗∗∗∗ Recursos esperados de simulaciones.

La extracción de este yacimiento será evaluada como una mina a cielo abierto y

considera una operación de lixiviación en pilas y una planta de extracción por solventes y

electro-obtención. Este análisis se realiza conceptualmente y no pretende ser una estimación

acertada de la realidad sino más bien mostrar el potencial de las simulaciones. Se supone que

para extraer un bloque de mineral se debe extraer dos de estéril, lo cual podría ser mayor o

81

menor al optimizar esta operación con algún algoritmo; este estudio está fuera de los alcances

de este trabajo. Además, la dilución de mineral será nula.

La valorización de los bloques se lleva a cabo mediante la siguiente función de beneficio:

( ) ( ){ }CPCMem1CSPRMLmTonB LzLzLz −×+−−×××= Lz∀

Donde TonLz y LmLz son el tonelaje y ley media asociado a una ley de corte, RM es la

recuperación metalúrgica, P es el precio, CS es el costo de ventas, em es la razón estéril

mineral, CM es costo mina y CP es costo planta. Los valores para estos parámetros son:

Tabla 5.2 Parámetros económicos. Item Valor Precio [US$/lb] 2,00 Costo ventas [US$/lb] 0,09 Recuperación metalúrgica [%] 83,00 Costo mina [US$/ton] 0,80 Costo planta [US$/ton] 3,50 Razón estéril mineral 2,00

El precio es bastante alto debido a que las leyes de este yacimiento han sido

ponderadas por ciertos factores para resguardar los intereses de los dueños.

La inversión de este proyecto estará dada por la siguiente expresión, considerando la

inversión en planta y en mina.

365tpa

tpd$US000.12I

nLzn

Lz ×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

En la siguiente ilustración se muestran los resultados obtenidos al aplicar la metodología

antes mencionada, a las cien realizaciones y a la estimación por kriging. Se desprende de la

ilustración que la ley de corte que maximiza el valor del proyecto, en todos los escenarios, es

0,28%. Por otra parte, es posible observar que la curva de valoración mediante kriging es

bastante conservadora con respecto a los posibles escenarios generados mediante

simulaciones condicionales, no representando el real valor del proyecto debido a que existe una

diferencia de 100 MMUS$ entre el peor caso de las simulaciones y el kriging. El valor esperado

por las simulaciones es de 540 MMUS$ y varía entre 850 y 320 MMUS$ con una desviación

estándar de 110 MUS$, para una ley de corte de 0,28%. Para la misma ley de corte el valor

esperado mediante kriging es de apenas 200 MMUS$.

82

Ilustración 5.4 VAN (Izq.) y Ritmo de producción (Der.) versus Ley de Corte.

––––– Kriging, – – – Promedio de simulaciones, – – – Simulaciones, ∗∗∗∗∗ Recursos esperados de simulaciones, ––––– Simulación #60.

En cuanto al ritmo de producción es posible observar que si el proyecto se llevara a

operación basado en kriging, lo más probable es que se requerirán de expansiones en la mina y

planta para poder capturar un valor más alto del proyecto. Para una ley de corte de 0,28%, el

ritmo de producción de kriging es de 40 ktpd, mientras que los recursos esperados de

simulaciones dan 75 ktpd y las simulaciones varían entre 110 y 50 ktpd con una desviación

estándar de 13 ktpd.

La siguiente ilustración muestra la disminución del valor potencial del negocio provocada

por tomar una decisión basada en kriging y otra basada en cualquier realización, en particular la

número 60. La construcción de esta lámina se realiza aplicando el ritmo de producción de

kriging y de la realización #60 a todos los escenarios, mostrando que se pierden cerca de 400

MMUS$ con respecto al mejor caso cuando se aplica el plan de producción de kriging. En

cambio cuando el ritmo de producción ha sido definido por una simulación condicional, la

pérdida de valor del negocio es cercana a los 100 MMUS$. Esto se debe a que el mejor

escenario se extrae en un horizonte de tiempo mayor al óptimo.

83

Ilustración 5.5 Ritmo de producción de kriging (Izq.) y de realización #60 (Der.).


5.2 Yacimiento de sulfuros de cobre

El modelo de bloques evaluado contiene un volumen de 705x705x720 metros,

equivalente a 966 millones de toneladas. Los bloques tienen un tamaño de 15x15x15 metros

discretizado en 3x3x3 nodos. La vecindad de búsqueda corresponde a un elipsoide cuyos semi

ejes son de 200x250x300 metros y debe contener como máximo 4 muestras por octante.

En la siguiente tabla se muestran las estadísticas básicas de la estimación por kriging y

el promedio de las simulaciones; el primero tiene valores más extremos y mayor varianza que el

promedio de las simulaciones. Pese a lo anterior, al comparar las distribuciones de los valores

estimados mediante kriging y el promedio de las simulaciones se aprecian diferencias menores

en las colas, ver siguiente ilustración.

Ilustración 5.6 Gráfico cuantil contra cuantil de

kriging y promedio de simulaciones.

Tabla 5.3 Estadísticas básicas de kriging y promedio de simulaciones.

Kriging Promedio Simulaciones

N° de datos 106032 106032 Media [%] 0,558 0,572 Desv. Est. [%] 0,264 0,242 Varianza [%]2 0,070 0,059 Máximo [%] 1,885 1,811 3er Cuartil [%] 0,711 0,704 Mediana [%] 0,538 0,550 1er Cuartil [%] 0,363 0,387 Mínimo [%] 0,067 0,071

84

En la siguiente figura se aprecian las curvas de tonelaje ley obtenidas para cada una de

las simulaciones y el promedio de dichas curvas (recursos esperados). Asimismo, se muestra la

curva de tonelaje ley del kriging y del promedio de las simulaciones. Se observa que la

estimación mediante kriging y el promedio de las simulaciones suavizan las leyes del

yacimiento, este último más fuertemente. Las curvas tonelaje ley de las simulaciones muestran

la variabilidad de las leyes.

Ilustración 5.7 Curva tonelaje ley para leyes de cobre total.

––––– Kriging, – – – Promedio de simulaciones, – – – Simulaciones, ∗∗∗∗∗ Recursos esperados de simulaciones.

La explotación de este yacimiento será evaluada como una mina subterránea extraída

por hundimiento por paneles produciendo a lo más 60 [ktpd] y considera una operación

mediante una planta concentradora por flotación y venta de cátodos. Se supone que el método

podrá seleccionar cada bloque del modelo sin dilución; los puntos de extracción tendrán un área

de 250 m2 (área) y una columna de 400 metros (HOD).

La valorización de los bloques se lleva a cabo mediante la siguiente función de beneficio:

( ){ }CPCMCRyFPRMLmTonB LzLzLz −−−×××= Lz∀

Donde TonLz y LmLz son el tonelaje y ley media asociado a una ley de corte Lz, RM es la

recuperación metalúrgica, P es el precio, CRyF es costo de refinación y fundición, CM es costo

mina y CP es costo planta. Los valores para estos parámetros son:

85

Tabla 5.4 Parámetros económicos. Item Valor Precio [US$/lb] 1,0 Costo ventas [US$/lb] 0,3 Recuperación metalúrgica [%] 88,0 Costo mina [US$/ton] 3,5 Costo planta [US$/ton] 4,5 Costo por punto de extracción [US$/un] 200.000

Si bien el precio está dentro de los presupuestados por muchas compañías mineras para

los próximos años, las leyes del yacimiento han sido ponderadas por un factor para resguardo

de los dueños.

La infraestructura estimada de este proyecto estará determinada por las siguientes

expresiones:

nLz

LznLz

nLzn

Lz

LzLz

BdptNdptTdev

29,5365tpa2200Bdpt

área*HOD*TonNdpt

=

+×=

ρ=

n,Lz∀

Donde Ndpt es el número de puntos de extracción para un tonelaje dada una cierta ley

de corte, ρ es la densidad, Bdpt es el número de puntos que se pueden construir en un año

(Rubio y Diering, 2004) y Tdev es el tiempo que tomará el desarrollo de la mina completa.

La inversión del proyecto estará dada por la siguiente expresión:

( )

365tpa

tpd$US500.4planta_Inversión

r1BdptCdptamin_Inversión

nLzn

Lz

Tdev

1jj

nLzn

Lz

nLz

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+×

= ∑= n,Lz∀

Donde Cdpt es el costo de construir un punto de extracción.

En la siguiente ilustración se muestran los resultados obtenidos al aplicar la metodología

antes mencionada a las cien realizaciones y a la estimación por kriging. Se desprende de los

resultados que la ley de corte escogida para llevar a cabo este proyecto debería ser de 0,8%,

86

debido a que para este valor todos los escenarios maximizan el valor del proyecto. Al igual que

el caso estudio anterior la estimación de kriging es una medida conservadora presentando una

diferencia de 50 MMUS$ con el peor caso de las simulaciones. El valor esperado por las

simulaciones es de 365 MMUS$ y varía entre 485 y 288 MMUS$ con una desviación estándar

de 35 MUS$, para una ley de corte de 0,8%. Para la misma ley de corte el valor esperado

mediante kriging es de 258 MMUS$.

Con respecto a la producción de mineral se observa que la capacidad de la mina debe

estar entre 55 y 60 mil toneladas por día hasta una ley de corte de 0,8%, debido a que todas las

simulaciones fluctúan entre estos valores. La capacidad de producción estimada por kriging

debería ser de 46 ktpd, en cambio la esperada por los recursos de las simulaciones es de 55

ktpd y las simulaciones varían entre 59 y 46 ktpd con una desviación estándar de 3 ktpd, para

una ley de corte de 0,8%.

Ilustración 5.8 VAN (Izq.) y Ritmo de producción (Der.) versus Ley de Corte.


Al igual que en el caso de estudio anterior, la siguiente figura muestra la disminución del

valor potencial del negocio provocada por producir al ritmo de producción de kriging o de una

realización cualquiera, en particular la número 80. Al aplicar el primero sobre todas las

realizaciones, se obtiene que el mejor caso reduce su valor en 30 MMUS$, en cambio cuando

se emplea el ritmo de producción de la simulación #80 la pérdida de valor es de 5 MMUS$.

87

Ilustración 5.9 Ritmo de producción de kriging (Izq.) y de realización #80 (Der.).

––––– Kriging, – – – Promedio de simulaciones, – – – Simulaciones,∗∗∗∗∗ Recursos esperados de simulaciones, ––––– Simulación #80.

Por muchos años, la industria minera ha estado por debajo de los niveles de renta que

otros sectores muestran. Existe un sinnúmero de razones para explicar la baja rentabilidad de

proyectos mineros, pero cómo se logra considerar la incertidumbre proveniente de los precios,

leyes y de la infraestructura minera.

La metodología expuesta en este capítulo muestra que el valor se maximiza al

determinar una ley de corte óptima y no al maximizar la capacidad de producción. En los casos

presentados, la ley de corte óptima es invariante frente al método de estimación utilizado para

cuantificar los recursos existentes en el yacimiento. Sin embargo, es necesario extender este

estudio a la volatibilidad de los precios y costos, para definir una política de ley de corte tal que

se minimicen las pérdidas y se maximicen las ganancias cuando se producen cambios en las

variables anteriores.

Muchas compañías mineras han vendido sus depósitos geológicos basados en un

estudio conceptual de explotación, cuyo inventario de recursos ha sido estimado mediante

kriging; y en ocasiones el comprador ha obtenido rentas de este yacimiento sin existir cambios

en el mercado (precio). En cambio, si se aplicara esta misma metodología de evaluación, pero

esta vez incorporando un modelo de incertidumbre en las leyes, se observaría que hay una

proporción de escenarios cuya explotación generará un VAN mayor que cero, y si dicha

probabilidad es mayor a un umbral, predefinido por la compañía, la opción de venta no se

debería haber concretado.

¿Cuál es la razón para que diversos proyectos mineros expandan sus capacidades de

producción a los pocos años de iniciarse el proyecto? Por ejemplo, Escondida ha realizado siete

expansiones durante catorce años de operación, y dos nuevas en curso; esta tendencia se

observa en menor grado en proyectos como Collahuasi, Candelaria, Andina y Los Bronces.

88

Indudablemente la industria minera es una de las más conservadoras y en efecto muchas veces

la inversión inicial de un proyecto está restringida por los accionistas. Por otra parte, el uso de

modelos regresivos (estimadores en general), en la etapa de planificación, entrega una visión

limitada del potencial económico que posee el yacimiento. La conjugación de ambos elementos

dan respuesta a la pregunta inicial, pero ¿Cómo considerar escenarios verosímiles que

reproducen la variabilidad espacial en la etapa de planificación?.

Los resultados obtenidos en ambos casos de estudio, muestran que sería posible

predecir futuras expansiones utilizando simulaciones condicionales, considerando la misma

cantidad de información utilizada al evaluar un proyecto estimado mediante kriging. Entonces, la

elección del ritmo de producción para la ley de corte óptima (maximiza VAN) debería basarse

en las simulaciones y no mediante kriging, de esta forma se ahorraría una expansión por falta

de conocimiento del yacimiento.

Una vez en operación este proyecto, se debe rehacer este análisis y observar cuál es el

porcentaje de captura del VAN del mejor escenario, obtenido por simulaciones condicionales,

bajo el actual esquema de explotación del yacimiento; la información recopilada durante los

primeros años de explotación y otras campañas de exploraciones, permitirán construir modelos

con valores actualizados. Si el indicador anterior está por debajo del umbral esperado la

capacidad de la mina debe ser expandida; de esta forma el proyecto aumenta su valor y

consecuentemente las rentas para los inversionistas.

En definitiva, la estimación mediante kriging permite valorar el negocio desde un punto

de vista conservador, debido a que éste suaviza las leyes y no muestra la variabilidad real de

las leyes del yacimiento (Olea 1996, Journel 2000). Por otra parte, la planificación y diseño

minero son procesos que requiere de un cierto grado de detalle, dependiendo de la etapa de

evaluación del proyecto. Es difícil concebir la determinación de un plan de producción para los

cien escenarios generados mediante simulaciones condicionales, porque requeriría de gran

cantidad de recursos y tiempo que no siempre están disponibles.

Se podrían evaluar y diseñar cuatro escenarios, tres simulados (optimista, medio y

pesimista) y uno estimado por kriging, logrando identificar cuál es la infraestructura y accesos

comunes para explotar este yacimiento. Esto permitiría aumentar la flexibilidad operacional del

plan minero, y consecuentemente aumentar el valor económico del proyecto al capturar una

mayor porción del VAN del mejor escenario, obtenido por simulaciones condicionales. La

elección de los tres escenarios se podría hacer a partir de la cantidad de finos, variabilidad de

leyes y VAN por sobre una ley de corte; la primera métrica no tiene relación con un proyecto

89

sustentable en el tiempo y la segunda permitiría obtener una envolvente económica más suave

al minimizar la varianza. En cambio, la última soporta un plan de producción conceptual que

permite elegir con una visión de negocio los escenarios a evaluar.

La evolución del conocimiento, ha incorporado nuevas técnicas que permiten

complementar la evaluación de yacimientos y por ende de proyectos mineros. Tradicionalmente

las decisiones estratégicas han sido tomadas en base a modelos de estimación regresivos,

debido a la inexistencia de un modelo de incertidumbre. Dichas decisiones no son

cuestionables, pues fueron tomadas en base a las herramientas existentes en esos periodos;

pero hoy es necesario incorporar estos modelos de incertidumbre ya que no sólo agregan

información del yacimiento sino que también valor.

90

6 CONCLUSIONES

La evaluación de proyectos mineros requiere incorporar la incertidumbre de mercados,

de leyes y de la infraestructura utilizada. Es así como se han elaborado técnicas de simulación

geoestadística que permiten generar escenarios plausibles que reproducen la variabilidad de las

leyes en un yacimiento. La pertinencia de éstas debe ser validada mediante el uso de pruebas

estadísticas.

El número de realizaciones puede ser elegido según el grado de similitud entre el

modelo teórico del variograma y el promedio de los variogramas simulados. La reproducción

será de mejor calidad cuando las dimensiones del dominio son mayores que el alcance del

variograma (al menos cuatro veces). Si el modelo variográfico es muy suave en el origen será

necesario generar más realizaciones; por el contrario cuando existe una micro-estructura o

cuando el variograma es muy pepítico el número de realizaciones requerido disminuye. En

definitiva dado un variograma modelado y un dominio a simular, es posible determinar el

número de realizaciones necesarias para que el promedio de los variogramas simulados tengan

fluctuaciones menores que un nivel pre-establecido en torno al variograma modelado.

La implementación de los algoritmos para simular campos multigaussianos requiere de

ciertas simplificaciones o aproximaciones. Al utilizar una vecindad móvil pequeña (20 datos

(nodos)) en el método Secuencial Gaussiano, el alcance del promedio de los variogramas

simulados es mayor al modelo teórico. En cambio, el algoritmo de Bandas Rotantes logra una

excelente reproducción del modelo sin importar el número de líneas (100 ó 1000).

Con una implementación exigente (100 datos (nodos) en la vecindad móvil para el

algoritmo secuencial y 1000 líneas para el algoritmo de Bandas Rotantes) ambos algoritmos

reproducen las estadísticas estudiadas (variograma, madograma, rodograma y variograma del

indicador de la mediana). Es difícil establecer ventajas comparativas en el estudio de

sensibilidad pues no se observan mayores diferencias que las expuestas en el párrafo anterior.

Si bien es posible validar las simulaciones no condicionales mediante variogramas, pues

se espera que reproduzcan la correlación espacial de la variable real, al utilizar la misma técnica

con simulaciones condicionales se aprecian algunas diferencias con respecto al modelo teórico.

La razón se debe a que el variograma condicional esperado no sólo se compone del modelo a

91

priori sino que también de factores provenientes de los datos condicionantes, pudiendo alterar

el variograma simulado (a posteriori) con respecto al modelo a priori.

El uso de intervalos de probabilidad, en ejercicios de jack-knife, permite chequear la

validez del algoritmo para generar realizaciones y la adecuación del modelo a un conjunto de

datos (considerando la estructuración espacial); debido a que para un intervalo de probabilidad

dado se espera encontrar una proporción similar de datos en ese intervalo. En los casos de

estudio analizados, no se aprecian grandes diferencias al aumentar el número de datos a

validar condicionantes en la vecindad de búsqueda ni al cambiar el soporte de los datos (largo

de los compósitos). En cambio, si el histograma estuviese mal modelado, las pruebas dan

cuenta de forma inmediata de la deficiencia del modelo, por lo cual se torna muy relevante la

modelación de la distribución univariable de los datos.

Los inventarios de recursos obtenidos con simulaciones geoestadísticas en ambos

casos de estudio, indicarían que la evaluación de un proyecto minero mediante kriging entrega

un valor económico conservador, no mostrando el real valor potencial del yacimiento. Esto

debido a que el kriging no reproduce la variabilidad de las leyes y no se adecua a la realidad del

yacimiento. Las decisiones de largo plazo basadas en técnicas de estimación (kriging) no sólo

inducen a subestimar el valor potencial del yacimiento, sino que también rigidizan el plan de

producción. El uso de algunos escenarios, obtenidos mediante simulaciones condicionales, en

la etapa de diseño permitiría identificar infraestructura común, aumentando la flexibilidad del

plan minero y consecuentemente la capacidad para incrementar el valor del negocio cuando se

presentan escenarios más favorables.

92

7 BIBLIOGRAFÍA

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95

8 ANEXOS

8.1 Anexos I: Variogramas de análisis de sensibilidad

8.1.1 Dominio

Ilustración 8.1 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el

método Secuencial Gaussiano para diferentes dominios. ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados.

96


método de Bandas Rotantes para diferentes dominios. ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados.

97

8.1.2 Alcance

Ilustración 8.3Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el

método Secuencial Gaussiano para diferentes alcances. ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados.

98


método de Bandas Rotantes para diferentes alcances. ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados.

99

8.1.3 Modelos variográficos


método Secuencial Gaussiano para diferentes modelos variográficos. ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados.

100


método de Bandas Rotantes para diferentes modelos variográficos. ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados.

101

8.1.4 Efecto pepa

Ilustración 8.7 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método Secuencial Gaussiano para diferentes efectos pepas.

––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados.

102


método de Bandas Rotantes para diferentes efectos pepas. ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados.

103

8.2 Anexos II: Variogramas de cambio de soporte

Ilustración 8.9 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante

ambos algoritmos para diferentes soportes. ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas simulados.

104

8.3 Anexos III: Variogramas de anisotropías

Ilustración 8.10 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante ambos algoritmos para diferentes anisotropías, geométrica (Izq.) y zonal (Der.).

––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados dirección Este, +++++ Promedio de variogramas simulados dirección Este.

105

Ilustración 8.11 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante

ambos algoritmos para diferentes anisotropías, geométrica (Izq.) y zonal (Der.). ––––– Variograma teórico, – – – Variogramas simulados dirección Norte, ∗∗∗∗∗ Promedio de variogramas

simulados dirección Norte.

106



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC



VVC

Ilustración 8.12 Histograma de las medias de las realizaciones para diferentes anisotropías, geométrica

(arriba), zonal (abajo).

107

8.4 Anexos IV: Estudio exploratorio zona de baja ley en yacimiento de

sulfuros de cobre

Se determinó el histograma de la población de baja ley en la zona comprendida entre 0 y

200 metros al Este.

Ilustración 8.13 Histograma de cobre total.

El histograma anterior se desagrupó mediante el método de las celdas, escogiéndose

una celda de 30x30x30 metros para obtener los pesos de las muestras. La ley media disminuyó

de 0,288 % a 0,279 % de CuT.


108

Ilustración 8.15 Nubes direccionales de cobre total. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.).


Se modeló el variograma de la variable real para las tres direcciones, quedando

plasmado en la siguiente expresión:

( )),m600,m300(esf005,0

)m600,m300,m150(esf010,0)m40,m60,m70(esf007,0008,0h,h,h zyx

∞+

++=γ



El uso de simulaciones requiere de una transformación de los datos reales a

Gaussianos. Esto se realizó utilizando la siguiente función de anamorfosis.

109

Ilustración 8.17 Anamorfosis Gaussiana.

Se debe comprobar el carácter bigaussiano de los datos transformados. Para ello se

muestra las nubes de correlación diferida para una distancia pequeña y grande, comprobando

que tienen forma de seudo elipses concéntricas. Otra prueba para verificar la hipótesis de

bigaussianidad es determinar la razón entre la raíz del variograma y el madograma, la cual

debería fluctuar en torno a raíz de pi, equivalente a 1,77.

Ilustración 8.18 Nubes de correlación diferida para distancia pequeña (Izq.) y grande (Der.)

110

Ilustración 8.19 Comparación de variograma con madograma.

En la siguiente ilustración se muestra el variograma de los valores Gaussianos,

requerido para realizar las simulaciones.

( ) )m400,m200,m130exp(9,01,0h,h,h zyx +=γ



111

8.5 Anexos V: Intervalos de probabilidad para diferentes compósitos

estimados con zona de baja ley


compósitos, utilizando características globales del yacimiento.

112


compósitos, utilizando características locales de la zona de baja ley del yacimiento.

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