Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Politechnika Łódzka
Wydział Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki i Automatyki
Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych
ROZPRAWA DOKTORSKA
Algorytmy szacowania wybranych parametrów
modeli termicznych systemów elektronicznych
STRESZCZENIE
Agnieszka Samson
Promotor:
dr hab. inż. Marcin Janicki
Łódź, 2019
1
Spis treści
Wstęp ........................................................................................................................ 2
Modelowanie zjawisk cieplnych ............................................................................. 5
Zagadnienia odwrotne wymiany ciepła ................................................................. 9
Wyznaczanie wartości własnych modeli termicznych ........................................ 10
Szacowanie wartości współczynnika wymiany ciepła ........................................ 14
Parametryczny model kompaktowy diody LED ................................................ 21
Podsumowanie ....................................................................................................... 26
Bibliografia .................................................................................................................... 29
Publikacje z udziałem Autorki ................................................................................. 29
Pozostałe publikacje .................................................................................................. 30
Wstęp
2
Wstęp
Postęp technologiczny, który dokonał się w ostatnich dekadach doprowadził
do pojawiania się przed projektantami systemów elektronicznych coraz to nowych
wyzwań. Ciągła miniaturyzacja urządzeń elektronicznych spowodowała występowanie
nowych, nieobserwowanych wcześniej problemów cieplnych. Właściwe oszacowanie
temperatury projektowanego układu wpływa na poprawność jego działania i wydłużenie
czasu pracy. Problemy termiczne są aktualnie główną przyczyną awarii systemów
elektronicznych, zatem analiza zjawisk cieplnych stała się obecnie jednym z kluczowych
etapów procesu projektowania układów elektronicznych.
Procesy cieplne zachodzące w ciałach stałych modelowane są na ogół przy użyciu
cząstkowego równania różniczkowego przewodnictwa ciepła. Standardowe symulatory
wykorzystywane do analiz termicznych systemów elektronicznych przeważnie zakładają
niezależność parametrów modelu od temperatury. Jednakże, założenie to może być
błędne z uwagi na fakt, iż pewne wielkości fizyczne, np. współczynnik wymiany ciepła
czy przewodność cieplna zależą od temperatury. Pominięcie wspomnianych zależności
może spowodować, iż otrzymywane wyniki symulacji obarczone będą istotnymi błędami.
W związku z tym, jednym z głównych celów badań przedstawionych w niniejszej
rozprawie było przeprowadzenie analizy zależności parametrów modeli termicznych
od temperatury i zaproponowanie odpowiednich metod oraz algorytmów pozwalających
na uwzględnianie nieliniowości modelu. Badania opisane w Rozprawie przeprowadzone
zostały częściowo w ramach projektu finansowanego przez Narodowe Centrum Nauki
nr UMO-2013/11/B/ST7/01678 pt. „Modelowanie nieliniowych zjawisk cieplnych
w systemach elektronicznych”. Głównym celem projektu było zweryfikowanie hipotezy
o istotności występowania nieliniowości na wyniki symulacji termicznych i wyznaczenie
zależności temperaturowych parametrów modeli termicznych oraz opracowanie narzędzi
analizy cieplnej uwzględniających najistotniejsze nieliniowe zjawiska.
Rozprawa ta podzielona została na pięć głównych rozdziałów. Dwa pierwsze
rozdziały zawierają podstawowe informacje teoretyczne, zaś kolejne rozdziały prezentują
najważniejsze rezultaty przeprowadzonych prac badawczych.
Wstęp
3
W następnym rozdziale przedstawiony zostanie opis mechanizmów wymiany
ciepła wraz z ich modelami matematycznymi. Zaprezentowane zostanie także równanie
przewodnictwa cieplnego Fouriera-Kirchhoffa, które jest jednym z najważniejszych
równań wykorzystywanym w analizie problemów cieplnych. Opisane zostały też metody
rozwiązywania tego równania z uwzględnieniem metod analitycznych i numerycznych.
Rozdział ten zawiera także skróconą charakterystykę kompaktowych modeli termicznych
z uwzględnieniem ich podziału na modele standardowe oraz drabinkowe.
Kolejny rozdział teoretyczny prezentuje zagadnienia odwrotne wymiany ciepła.
W szczególności przedstawiona została ogólna charakterystyka zagadnień odwrotnych,
a także metody ich rozwiązywania. Poza klasycznymi technikami wykorzystywanymi
w analizie problemów odwrotnych zaprezentowane zostały metody, które wykorzystane
były podczas omawianych prac badawczych. Rozdział ten zawiera także krótki opis
dotyczący sposobów wyznaczania błędu obliczeniowego oraz kryteriów zakończenia
obliczeń.
Pierwszy z rozdziałów praktycznych dotyczy problemu wyznaczania wartości
własnych modeli termicznych. Problem ten przedstawiony zostanie na przykładzie
struktur jedno- i dwuwarstwowych. W rozdziale tym opisany został autorski algorytm
pozwalający na automatyczne określanie wartości własnych dla rzeczywistych struktur
dwuwarstwowych. Ponadto, przedstawiona została metoda generowania kompaktowych
modeli cieplnych na podstawie widma częstotliwościowego wartości własnych.
W kolejnym rozdziale zaprezentowane zostały wyniki badań dotyczące metod
szacowania lokalnych i średnich wartości współczynnika wymiany ciepła w różnych
warunkach chłodzenia, zarówno dla konwekcji naturalnej jak i wymuszonej. Badania
te przeprowadzono w oparciu o wyniki pomiarów rzeczywistego układu hybrydowego
oraz diody mocy. Analizy porównawcze działania różnego rodzaju algorytmów wykazały
bardzo wysoką skuteczność autorskiego algorytmu zaproponowanego w pracy.
Ponadto, przedstawiono także model parametryczny pozwalający na obliczanie
wartości współczynnika wymiany ciepła dla różnych temperatur otoczenia i prędkości
powietrza chłodzącego. Wartości parametrów tych modeli zostały wyznaczone dzięki
zastosowaniu zmodyfikowanego algorytmu stadnego roju pszczół.
Wstęp
4
Ostatni z rozdziałów praktycznych prezentuje proces generacji parametrycznych
termicznych modeli kompaktowych diody elektroluminescencyjnej, w których wartości
rezystancji i pojemności cieplnych zależne są od punktu pracy i warunków chłodzenia.
Podobnie jak w przypadku układu hybrydowego i diody mocy, wartości elementów oraz
parametrów tych modeli zostały oszacowane z wykorzystaniem autorskich algorytmów
opisanych w pracy.
Na podstawie wyników przeprowadzonych badań sformułowano następujące tezy
Rozprawy:
1. Możliwe jest opracowanie algorytmu pozwalającego na zautomatyzowanie procesu
wyznaczania wartości własnych niezbędnych do otrzymywania rozwiązań równania
przewodnictwa cieplnego dla struktur wielowarstwowych metodą analityczną funkcji
Greena,
2. Wykorzystanie w symulatorach termicznych algorytmów rozwiązywania zagadnień
odwrotnych oraz optymalizacji pozwala na szacowanie wartości parametrów modeli
termicznych oraz uzyskiwanie rozwiązań nieliniowego równania przewodnictwa
cieplnego,
3. Algorytmy rojowe można wykorzystać do celów identyfikacji parametrycznej funkcji
opisującej wartości elementów modeli termicznych.
Modelowanie zjawisk cieplnych
5
Modelowanie zjawisk cieplnych
W niniejszym rozdziale zaprezentowane zostały modele matematyczne zjawisk
cieplnych zachodzących w strukturach elektronicznych, które należy uwzględniać
podczas modelowania termicznego w układach elektronicznych oraz odpowiadające
im wyrażenia matematyczne [9], [25], [31], [32], [35], [38], [48]. Opisany zostały także
mechanizmy wymiany ciepła na drodze przewodzenia, konwekcji i promieniowania.
Właściwe zrozumienie tych zjawisk jest kluczowe dla analizy problemów termicznych.
Przewodzenie ciepła to przekazywanie energii wewnętrznej z obszarów o wyższej
temperaturze do obszarów o temperaturze niższej. Przekazanie energii zachodzi bez
wymiany cząsteczek wewnątrz jednego ciała lub pomiędzy stykającymi się bezpośrednio
ciałami. Ciepło w ciałach stałych transportowane jest przez ruch swobodnych elektronów
lub drgania sieci krystalicznej. Proces przewodzenia ciepła w ciałach stałych można
opisać poprzez prawo Fouriera, które przedstawia poniższe równanie [18]:
),(),( tTtq xx (1)
Zgodnie z tym równaniem gęstość strumienia ciepła q jest wprost proporcjonalna
do gradientu temperatury ∇T. Współczynnik λ, określający tempo przepływu ciepła, jest
nazywany przewodnością cieplną. Ujemny znak po prawej stronie równania oznacza,
iż przepływ ciepła odbywa się w kierunku obszaru o niższej temperaturze.
Konwekcja to proces wymiany ciepła zachodzący przede wszystkim w płynach,
a w przypadku systemów elektronicznych na ich zewnętrznych powierzchniach. Poza
transportem energii spowodowanym przypadkowym ruchem cząsteczek, energia jest
przenoszona także poprzez makroskopowy ruch płynu. Rozważając powierzchnie ciał
stałych, wymiana ciepła z otaczającym płynem może być opisana przy wykorzystaniu
poniższego prawa Newtona:
TThq (2)
Gęstość strumienia ciepła q jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatury
powierzchni ciała stałego T i temperatury otaczającego płynu T∞. Wartość współczynnika
wymiany ciepła h zależy m.in. od rodzaju powierzchni i intensywności chłodzenia.
Modelowanie zjawisk cieplnych
6
Zatem rozważania dotyczące konwekcji w większości przypadków można
sprowadzić do problemu wyznaczenia wartości współczynnika wymiany ciepła, jednakże
rzeczywista wartość tego parametru jest dość trudna do określenia i często w modelach
termicznych używa się jego średniej wartości wyznaczonej na podstawie wykonanych
pomiarów [47].
Trzecim ważnym mechanizmem wymiany ciepła jest radiacja, która zachodzi
na drodze promieniowania elektromagnetycznego. Każde ciało o temperaturze wyższej
od zera bezwzględnego emituje promieniowanie elektromagnetyczne przemieniając
energię wewnętrzną w energię promieniowania. Transport energii poprzez przewodzenie
czy konwekcję wymaga pewnego ośrodka propagacji, zaś w przypadku promieniowania
istnienie jego nie jest wymagane. Zatem wymiana ciepła poprzez promieniowanie może
zachodzić także w próżni.
Ponadto w rozdziale tym przedstawione zostało jedno z najważniejszych równań
opisujących przepływ ciepła, zwane równaniem przewodnictwa cieplnego. Równanie
to można otrzymać sporządzając bilans energii dla elementarnej jednostki objętości [9],
[18], [38]. Wtedy, jeżeli gv jest gęstością objętościową ciepła generowanego wewnątrz
ciała, cp jest ciepłem właściwym materiału, ρ jest jego gęstością, a t oznacza czas, można
otrzymać następującą postać tego równania, zwaną też równaniem Fouriera-Kirchhoffa,
[15]:
vp gTt
Tc
Tλ 2 (3)
Znajomość samego równania opisującego pole temperatury nie jest wystarczająca
do obliczenia rozkładu temperatury w danej strukturze, gdyż istnieć może pewna klasa
rozwiązań spełniająca dane równanie. Zatem, aby otrzymać rozwiązanie szczególne
określić należy też dodatkowe warunki, zwane warunkami granicznymi, na które składają
się warunki brzegowe oraz, w przypadku analizy stanów nieustalonych, początkowe.
Zazwyczaj w literaturze przedmiotu wyróżnia się trzy główne typy warunków
brzegowych: warunek brzegowy pierwszego rodzaju określany zagadnieniem Dirichleta,
warunek brzegowy drugiego rodzaju określany zagadnieniem Neumanna, zagadnienie
brzegowe trzeciego rodzaju zwany zagadnieniem Robina [31].
Modelowanie zjawisk cieplnych
7
Przy rozwiązywaniu problemów przepływu ciepła ważny jest dobór odpowiedniej
metody. W literaturze wyróżnić można dwa główne podejścia: analityczne i numeryczne
[38]. Metody analityczne umożliwiają otrzymywanie rozwiązań w postaci jawnych
wzorów matematycznych, dzięki którym możliwe jest obliczanie wartości temperatury
jedynie w konkretnym punkcie analizowanej struktury elektronicznej. Jest to szczególnie
korzystne gdy wartości temperatury mają być wyznaczone tylko w wybranych miejscach
struktury, a także przy przeprowadzaniu analiz parametrycznych, gdy wpływ badanego
parametru modelu można określić podając jedynie konkretne wartości współrzędnych,
bez konieczności obliczania całego pola temperatury.
Niestety w większości praktycznych przypadków trudno jest uzyskać dokładne
rozwiązania analityczne z uwagi na zbyt złożone kształty badanych struktur. Ponadto,
pełne modele matematyczne są bardzo często nieznane, a w konsekwencji znalezienie
dokładnego rozwiązania nie zawsze jest możliwe lub proces jego wyznaczania może być
niezwykle trudny i niejednokrotnie wymaga zastosowania specjalnych technik. Dlatego
też, na ogół konieczne jest uproszczenie modeli termicznych, nawet kosztem dokładności
rozwiązania. W rezultacie metody analityczne mogą być stosowane do rozwiązywania
modeli termicznych tylko w przypadku, gdy zarówno geometrie struktur, jak i zakładane
warunki brzegowe nie są zbytnio złożone.
Jedną z metod analitycznych najczęściej wykorzystywaną do obliczania rozkładu
ciepła w strukturach jest metoda funkcji Greena. Jedną z głównych zalet stosowania
funkcji Greena jest to, że zależą one wyłącznie od geometrii analizowanej struktury
oraz założonych warunków brzegowych. Dlatego też są one używane do konstruowania
złożonych rozwiązań wynikających z generacji ciepła w strukturze oraz niejednorodnych
warunków brzegowych i początkowych [12], [26] [28].
Natomiast metody numeryczne wykorzystują równania algebraiczne otrzymane
poprzez zastąpienie pochodnych operatorami różnicowymi lub przybliżenie rozwiązania
kombinacjami liniowymi funkcji bazowych. Otrzymane na skutek dyskretyzacji struktury
układy równań wiążą wartości poszukiwanej funkcji jedynie w wybranych punktach.
Zatem, uzyskane rozwiązania nie mogą być traktowane jako dokładne, ponieważ operują
one jedynie na dyskretnych wartościach współrzędnych czasu i przestrzeni [38].
Modelowanie zjawisk cieplnych
8
Kolejnym ważnym zagadnieniem omówionym w tym rozdziale są kompaktowe
modele termiczne, które pozwalają na określenie przybliżonej reprezentacji prawdziwego
systemu. W szczególności zaprezentowano standardowe modele DELPHI niezależne
od warunków brzegowych oraz modele drabinkowe w postaci drabinek Fostera i Cauera.
Ponadto, przedstawiono też algorytm pozwalający na zamianę modelu Fostera na postać
Cauera [8]. [19], [40], [41].
Zagadnienia odwrotne wymiany ciepła
9
Zagadnienia odwrotne wymiany ciepła
Rozdział ten podzielony jest na trzy odrębne części. Pierwsza część zawiera opis
dotyczący rozwiązywania problemów odwrotnych wymiany ciepła. Klasyczne określenie
pojęcia problemu odwrotnego wprowadzone zostało przez Tikhonova [44]. Zgodnie
z jego definicją problemy odwrotne wymiany ciepła występują gdy pełna informacja
o właściwościach fizycznych struktury jest niedostępna bądź nieznana i musi ona zostać
oszacowana na podstawie pomiarów. Przedstawiona została także krótka charakterystyka
tych zagadnień oraz ich klasyfikacja w zależności od rozważanego zagadnienia. Podano
zaprezentowany został także wzór klasycznego równania opisującego problem odwrotny.
Część druga rozdziału dotyczy metod i algorytmów rozwiązywania problemów
odwrotnych. Przede wszystkim zaprezentowano metody numeryczne wykorzystywane
w Rozprawie . Do klasycznych metod rozwiązywania problemów odwrotnych zaliczyć
można: regularyzację Tichonova [42], [43]-[46], iteracyjną regularyzację Alifanova
[3]-[6] oraz metodę współczynników wrażliwości Becka [10]-[11]. Dodatkowo
przedstawiono też inne algorytmy rozwiązywania problemów odwrotnych, min. metody
Newtona [7], metodę Levenberga-Marquardta [34], [36]-[37] oraz metodę gradientu
sprzężonego [1]-[2], [13], [37]. Zaprezentowano też wykorzystane w badaniach metody
poszukiwania pierwiastków takie jak: metoda bisekcji [14], [33], metoda siecznych [14],
[39], reguła falsi [39] oraz odwrotna interpolacja kwadratowa [17]. Na zakończenie,
wspomniano też o problemach z szacowaniem błędu, dokładnością i wyborem kryterium
zatrzymania obliczeń [14.
Wyznaczanie wartości własnych modeli termicznych
10
Wyznaczanie wartości własnych modeli termicznych
Rozdział ten prezentuje jeden z głównych problemów występujących podczas
rozwiązywania równania przewodnictwa cieplnego przy użyciu funkcji Greena. Dotyczy
on wyznaczania wartości własnych modeli termicznych struktur warstwowych. Wartości
te są niezbędne do obliczenia pola temperatury i zależą od parametrów materiałowych
oraz geometrii problemu. Uzyskuje się je przez rozwiązanie równania transcendentalnego
[16].[20], [21], [24], [26], [28].
Problem poszukiwania wartości własnych został zilustrowany na przykładach
struktur jednowarstwowych oraz dwuwarstwowych. Przeprowadzone badania wykazały,
że w przypadku struktury jednowarstwowej w każdym przedziale pomiędzy asymptotami
funkcji występuje tylko jedna wartość własna, zatem proces wyznaczania tych wartości
może zostać łatwo zautomatyzowany.
Zagadnienie wyznaczania wartości własnych dla struktur wielowarstwowych,
które zilustrowane zostało tutaj na przykładzie dwuwarstwowego modelu rzeczywistego
układu hybrydowego, jest znacznie bardziej złożone z uwagi to, że położenie asymptot
zależne jest od grubości poszczególnych warstw i ich wzajemnego stosunku. Na skutek
tego występują wzajemnie przeplatające się serie asymptot związane z grubością warstw
struktury. Z uwagi na to, że wartości własne położone są między asymptotami, na wstępie
należy określić położenie asymptot, aby wyznaczyć przedziały występowania wartości
własnych.
Analizując rozważany układ szczególną uwagę należało zwrócić na wartości
własne znajdujące się blisko asymptot położonych w pobliżu wielokrotności liczby π/2.
Problem ten zilustrowano dla wartości współczynnika wymiany ciepła h = 12 W/(m2K)
na Rys. 1. prezentującym położenie wartości własnych w pobliżu asymptot π oraz 3π/2.
Jak można zaobserwować wartości te są położone bardzo blisko asymptot. Dodatkowo,
sam charakter funkcji transcendentalnej jest także bardzo zmienny, co prezentuje Rys. 2.
Jak widać funkcja ta przemienia się z tangensoidy w kotangensoidę przy czym mogą
pojawiać się dwie wartości własne pomiędzy sąsiadującymi asymptotami. Ponadto może
też zaistnieć sytuacja, gdy nie ma żadnej wartości własnej pomiędzy asymptotami.
Wyznaczanie wartości własnych modeli termicznych
11
Rys. 1: Wartości własne położone w pobliżu asymptot π oraz 3π/2.
Rys. 2: Położenie wybranych wartości własnych dla struktury dwuwarstwowej.
3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
8
4.71 4.715 4.72 4.725 4.73 4.735 4.74-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5x 10
12
0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
8
1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 10
10
3.4 3.45 3.5 3.55 3.6 3.65 3.7-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1x 10
8
15.708 15.708 15.708 15.708 15.708 15.708 15.708 15.708 15.708 15.708-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
8
Wyznaczanie wartości własnych modeli termicznych
12
Na podstawie wstępnych analiz dotyczących wzajemnego położenia asymptot
i wartości własnych opracowano algorytm pozwalający na automatyczne wyznaczanie
wartości własnych dla danych wartości współczynnika wymiany ciepła. Zaproponowany
algorytm na wstępie wyznacza położenie asymptot określając w ten sposób poszczególne
przedziały występowania wartości własnych, które zostają znalezione wykorzystując
zmodyfikowaną metodę bisekcji.
W rozdziale tym przedstawiono też metodę generowania kompaktowych modeli
termicznych na podstawie znajomości wartości własnych. Metoda ta, zaproponowana
w [30], została zaadaptowana i wykorzystana do generowania modeli kompaktowych
rzeczywistego układu hybrydowego, dla którego uprzednio wyznaczono wartości własne.
Zgodnie z tą metodą obliczone widma termicznych stałych czasowych, zaprezentowane
na Rys. 3 za pomocą różnego rodzaju znaczników, dzieli się w miejscach występowania
minimów uzyskując w ten sposób modele kompaktowe. Wartości rezystancji tych modeli
oraz odpowiadających im stałych czasowych również ukazano na rysunku przy użyciu
linii przerywanych.
Rys. 3: Porównanie widm stałych czasowych modeli.
Wyznaczanie wartości własnych modeli termicznych
13
Wyniki symulacji uzyskane przy użyciu modeli pełnych (linie przerywane) oraz
kompaktowych (linie ciągłe) porównano z wynikami pomiarów na Rys. 4. Jak widać,
wyniki uzyskane dla obu typów modeli są bardzo podobne, a błędy symulacji wynikają
głównie ze zbytniego uproszczenia pełnego modelu termicznego. Ponadto, w modelu nie
uwzględniono zmian wartość współczynnika wymiany ciepła wraz z temperaturą.
Przedstawione wyniki dowiodły, że znając wartości własne struktury możliwe jest
efektywne zredukowanie pełnych modeli do postaci kompaktowej zawierającej zaledwie
kilka elementów RC. Modele te zapewniają dużą dokładność symulacji, porównywalną
z pełnymi modelami trójwymiarowymi, a ponadto ich elementom można nadać fizyczną
interpretację. Inną ważną kwestią jest także dokładność pełnego modelu termicznego,
ponieważ, jak pokazano, mogą wystąpić istotne błędy symulacji, jeśli model ten jest zbyt
uproszczony i nie uwzględnia niektórych etapów na drodze przepływu ciepła od źródła
do otoczenia.
Rys. 4: Porównanie pomierzonych i symulowanych krzywych nagrzewania.
Szacowanie wartości współczynnika wymiany ciepła
14
Szacowanie wartości współczynnika wymiany ciepła
Badania przeprowadzone na przestrzeni lat wskazują jednoznacznie, iż głównym
źródłem pojawiania się nieliniowości w modelach cieplnych systemów elektronicznych
jest zmienność przestrzenna i czasowa współczynnika wymiany ciepła, który modeluje
wymianę ciepła z otoczeniem na zewnętrznych powierzchniach systemu. Wartość tego
parametru silnie zależy od wykorzystywanego sposobu chłodzenia, od kształtu struktury
i temperatury jej powierzchni oraz otoczenia. Ponadto, biorąc pod uwagę, iż w niektórych
systemach elektronicznych mogą występować na ich powierzchniach znaczne gradienty
temperatury, lokalne wartości współczynnika wymiany ciepła mogą znacząco się różnić.
Nieuwzględnienie tych faktów może w konsekwencji prowadzić do znaczących błędów
symulacji [29].
W pierwszej części rozdziału przedstawiono na przykładzie diody mocy problem
szacowania wartości średniej współczynnika wymiany ciepła [A-3], [A-4], [A-6], [A-7].
Najpierw oszacowano wartości tego współczynnika, a następnie zaproponowano model
parametryczny uzależniający je od temperatury powierzchni, a w przypadku konwekcji
wymuszonej także i od prędkości chłodzącego powietrza. Następnie przeprowadzono
identyfikację parametrów modelu. Na zakończenie wyniki symulacji otrzymane przy
użyciu opracowanych modeli porównano z wynikami eksperymentalnymi.
Badana dioda wykonana z węglika krzemu została zamontowana do radiatora
wielożebrowego. Przyrząd chłodzony był powietrzem w warunkach konwekcji naturalnej
i wymuszonej. Pomiary temperatury złącza diody wykonano dla różnych wartości prądu
nagrzewania i prędkości powietrza.. Na podstawie wyników pomiarów zaproponowano
statyczny model termiczny opisujący analizowaną strukturę, w którym uwzględniono
dwie ścieżki wymiany ciepła.
Następnie, wykorzystując zależności występujące pomiędzy parametrami modelu
i dokonując podstawowych operacji oraz przekształceń algebraicznych wyznaczono wzór
zgodnie z którym średnia wartość współczynnika wymiany ciepła hav w modelu może
zostać wyznaczona jako odwrotność dodatniego pierwiastka następującego równania
kwadratowego [A-6]:
Szacowanie wartości współczynnika wymiany ciepła
15
011
2
C
hB
hA
avav
(4)
Szacowanie wartości średnich współczynnika wymiany ciepła dla analizowanej
struktury przeprowadzano w oparciu o zmierzone wartości rozpraszanej mocy P oraz
przyrostów temperatury w złączu ΔTj. Poza powyższym wzorem, do szacowania średniej
wartości współczynnika wymiany ciepła użyto metody Newtona-Raphsona, Levenberga-
Marquardta i metodę gradientu sprzężonego opartą na formułe Polaka-Ribière’a [A-3].
Oszacowane średnie wartości współczynnika wymiany ciepła dla konwekcji
swobodnej ukazuje Rys. 5. Jak można zauważyć, rezultaty otrzymane przez wszystkie
zastosowane metody są niemalże identyczne, a co najważniejsze nie odbiegają one też
od wartości obliczonych na podstawie wzoru analitycznego. Analizując czas obliczeń
oraz moc obliczeniową potrzebną do wyznaczenia wartości współczynnika wymiany
ciepła stwierdzono, że dla rozważanego problemu algorytm Levenberga-Marquardta
okazał się być najodpowiedniejszy, chociaż nie należy tego stwierdzenia uogólniać.
Rys. 5: Oszacowane średnie wartości współczynnika wymiany ciepła.
Szacowanie wartości współczynnika wymiany ciepła
16
Do obliczania średniej wartości współczynnika wymiany ciepła w warunkach
konwekcji naturalnej lub wymuszonej zaproponowano w pracy następującą zależność
parametryczną:
ec d ba vThav (5)
Zatem, kolejnym zadaniem było oszacowanie wartości parametrów tego modelu.
Dokonano tego na podstawie uprzednio określonych średnich wartościach współczynnika
wymiany ciepła. W tym celu wykorzystano odpowiednio zmodyfikowany algorytm roju
pszczół. Algorytm ten wykorzystuje wiedzę o inteligentnym zachowaniu pszczół podczas
poszukiwania żywności [A-4].
Identyfikację parametrów tego modelu przeprowadzano dwuetapowo. Najpierw
rozważono przypadek konwekcji naturalnej, gdy prędkość chłodzącego powietrza v jest
równa 0, określając wartości parametrów a, b, oraz c, a następnie oszacowano parametry
modelu d i e związane z występowaniem konwekcji wymuszonej. Dopasowanie modelu
do oszacowanych wartości współczynnika wymiany ciepła prezentują Rys. 6-7, a model
parametryczny określający średnią wartość współczynnika wymiany ciepła w warunkach
chłodzenia powietrznego wyrażony jest poniższym równaniem:
72,037,0 64,2194,155,4 vThav (6)
Rys. 6: Zależność średniej wartości współczynnika wymiany ciepła
od przyrostu temperatury powierzchni w warunkach konwekcji naturalnej [A-7].
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 558
9
10
11
12
13
14
Przyrost temperatury [K]
Wsp
ółc
zyn
nik
a w
ym
ian
y c
iep
ła [
W/(
m2K
)]
hnc
= 4.55 + 1.94 T0.37
Szacowanie wartości współczynnika wymiany ciepła
17
Rys. 7: Zależność średniej wartości współczynnika wymiany ciepła
od prędkości powietrza w warunkach konwekcji wymuszonej [A-7].
Korzyści wynikające z uwzględnienia zależności współczynnika wymiany ciepła
od temperatury zilustrowano na Rys. 8, który przedstawia wyniki symulacji krzywych
nagrzewania rozpatrywanej diody dla prądu nagrzewania równego 2 A. Oprócz krzywej
zmierzonej doświadczalnie zamieszczono tutaj wyniki otrzymane przy użyciu modelu
kompaktowego, w którym wartość rezystora modelującego wymianę ciepła z otoczeniem
jest wyznaczana zgodnie z zaproponowanym modelem parametrycznym. Dodatkowo,
celem porównania przedstawiono krzywe uzyskane dla stałych wartości współczynnika
wymiany ciepła odpowiadających minimalnej oraz maksymalnej wartości współczynnika
użytych w modelu parametrycznym.
Jak można zauważyć, przyjęcie stałej wartości współczynnika wymiany ciepła
prowadzi do błędnych wyników symulacji. Przyjęcie minimalnej wartości skutkuje blisko
trzykrotnym przeszacowaniem przyrostu temperatury przyrządu w stanie ustalonym.
Natomiast dla wartości maksymalnej tego współczynnika uzyskuje się poprawne wyniki
w stanie ustalonym, lecz temperatura podczas nagrzewania jest niższa od zmierzonej.
Przykład ten wyraźnie ukazuje jak istotne jest poprawne modelowanie zmienności
wartości współczynnika wymiany ciepła.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
10
20
30
40
50
60
Prędkość powietrza [m/s]
Wsp
ółc
zyn
nik
a w
ym
ian
y c
iep
ła [
W/(
m2K
)]
hfc
= 21.64 v0.72
Szacowanie wartości współczynnika wymiany ciepła
18
Rys. 8: Porównanie krzywych nagrzewania diody symulowanych
dla różnych wartości współczynnika wymiany ciepła z wynikami pomiarów.
Problem wyznaczania lokalnej wartości współczynnika wymiany ciepła zostanie
zilustrowany na przykładzie układu hybrydowego rozważanego w poprzednim rozdziale.
Podobnie jak w przypadku diody mocy, badania wykonano w tunelu aerodynamicznym
o laminarnym przepływie powietrza. Pomiary przeprowadzone zostały w warunkach
konwekcji naturalnej oraz wymuszonej dla różnych prędkości powietrza [A-1], [A-8].
Dla potrzeb symulacji termicznych układu wykorzystano pełny trójwymiarowy model
dwuwarstwowy. Wartości temperatury układu obliczane były dla aktualnych wartości
współczynnika wymiany ciepła przy użyciu metody funkcji Greena [27], przy czym
wartości własne struktury wyznaczano za pomocą autorskiego algorytmu omawianego
w Rozdziale 4.
Lokalne wartości współczynnika wymiany ciepła szacowane były minimalizując
błędy pomiędzy wynikami symulacji i pomiarami. Estymację przeprowadzana iteracyjnie
sprzęgając symulator termiczny z różnymi algorytmami przedstawionymi w Rozdziale 3,
takimi jak reguła falsi (FP), metoda Newtona-Raphsona (NR), metoda siecznych (SEC),
metoda bisekcji (BS) oraz odwrotna interpolacja kwadratowa (IQI).
Szacowanie wartości współczynnika wymiany ciepła
19
Ponadto zaproponowano także własny algorytm, który w każdym kroku iteracji
zapisuje bieżącą wartość współczynnika wymiany ciepła oraz odpowiadające jej wartości
własne [A-8]. Wszystkie algorytmy zostały zaimplementowane w środowisku Matlab®.
Najpierw przeprowadzono szacowanie lokalnej wartości współczynnika wymiany ciepła
dla chłodzenia na drodze konwekcji swobodnej, a następnie dla wymuszonej. Wszystkie
testowane algorytmy, wyznaczyły zbliżone wartości lokalnych wartości współczynnika
wymiany ciepła.
Podobnie jak poprzednio zbadano też skuteczność testowanych algorytmów przez
porównanie całkowitego czasu obliczeń potrzebnego do oszacowania lokalnych wartości
współczynnika wymiany ciepła. Najkrótszym czasem obliczeń odznaczył się algorytm
autorski, co wynika z faktu, iż wymaga on najmniejszej liczby operacji algebraicznych.
Ponadto algorytm ten, jak już wspomniano, podczas obliczeń przechowuje w pamięci
wartości własne obliczone uprzednio dla bieżących wartości współczynnika wymiany
ciepła. Spośród pozostałych, standardowych algorytmów najlepsze wyniki uzyskano dla
metody siecznych i reguły falsi, ale nawet te algorytmy wymagały co najmniej trzykrotnie
więcej czasu. Oczywiście wyniki te nie mogą być bezpośrednio uogólniane, ponieważ
czas wykonania obliczeń zależy także od ustawień początkowych algorytmu.
Oszacowanie lokalnych wartości współczynnika wymiany ciepła umożliwiło też
identyfikację nieznanych wartości parametrów w modelu wyrażonym równaniem (5).
Identyfikację przeprowadzono, podobnie jak poprzednio, przy użyciu algorytmu roju
pszczół w dwóch etapach. Sumaryczny uśredniony model parametryczny dopasowany
do wszystkich dostępnych danych pomiarowych i pozwalający na obliczenie lokalnych
wartości współczynnika wymiany ciepła dla badanego układu hybrydowego wyrazić
można następującym wzorem:
78,039,0 67,885,183,4 vTh (7)
Krzywe wykreślone na podstawie tego wzoru oddzielnie dla różnych prędkości
powietrza zostały porównane z wartościami określonymi eksperymentalnie na Rys. 9. Jak
widać zaproponowany model parametryczny dość dobrze odzwierciedla dane pomiarowe
i z powodzeniem może on być wykorzystywany do obliczania wartości współczynnika
wymiany ciepła.
Szacowanie wartości współczynnika wymiany ciepła
20
Rys. 9: Zależność całkowitej wartości współczynnika wymiany ciepła od przyrostu
temperatury powierzchni dla różnych prędkości strumienia powietrza.
Model ten wykorzystano także do obliczenia temperatury układu hybrydowego.
Symulowaną krzywą nagrzewania źródła ciepła przy chłodzeniu na drodze konwekcji
naturalnej porównano z wynikami pomiarów na Rys. 10. Dodatkowo zamieszczono także
wyniki symulacji uzyskane dla stałych wartości współczynnika wymiany ciepła równym
najniższej i najwyższej wartości z poprzedniej symulacji. Jak widać uwzględnienie zmian
wartości współczynnika wymiany ciepła wydatnie zwiększyło dokładność symulacji.
Rys. 10: Porównanie symulowanych krzywych
nagrzewania tranzystora z pomiarami [A-1].
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3
Prz
yro
st
tem
pera
tury
(K)
Czas (s)
BJT 1.0A 0m/s Pomiar BJT 1.0A 0m/s Max
BJT 1.0A 0m/s Model BJT 1.0A 0m/s Min
Parametryczny model kompaktowy diody LED
21
Parametryczny model kompaktowy diody LED
Rozdział ten prezentuje problem szacowania wartości elementów kompaktowego
modelu termicznego diody LED i jego parametryzacji. W odróżnieniu od systemów
analizowanych w poprzednim rozdziale zastosowano podczas pomiarów wymuszone
chłodzenie wodne. Jak się okazało, w tym przypadku wartości elementów kompaktowego
modelu termicznego odpowiadające za wymianę ciepła z otoczeniem można było uznać
za stałe i niezależne od temperatury cieczy chłodzącej. Natomiast parametryzacji poddane
zostały wartości wybranych rezystancji i pojemności cieplnych, które zależały od punktu
pracy diody oraz temperatury obudowy.
Do badań wykorzystano białe diody LED, które zostały przylutowane do płytek
podłożowych z metalowym rdzeniem. Odpowiedzi termiczne diody zarejestrowano dla
różnych wartości prądu nagrzewania i temperatury przepływającej wody. Umieszczenie
urządzenia w światłoszczelnej komorze umożliwiło też pomiar emitowanej przez diodę
mocy optycznej. Pomiary powtarzano gdy przyrząd był prawidłowo przylutowany oraz
gdy wyprowadzenie termiczne nie zostało podłączone do podłoża [A-2]
Rejestracja krzywych chłodzenia, i równoczesny pomiar mocy elektrycznej oraz
optycznej diody umożliwił obliczenie rzeczywistej mocy grzejącej, która jest równa ich
różnicy. Eksperymentalne wyznaczenie wartości rzeczywistej mocy grzejącej umożliwiło
użycie standardowej metody Network Identification by Deconvolution (ang. NID), dla
której moc ta jest wielkością wejściową niezbędną do przeprowadzenia analiz. Metoda
NID oferuje pełen zestaw użytecznych narzędzi umożliwiających analizy termiczne
systemów elektronicznych.
Znając ilość mocy zamienianą na energię cieplną możliwe było obliczenie widm
częstotliwościowych stałych termicznych dla każdej z zarejestrowanych krzywych
nagrzewania. Przykładowe widma dla prądu diody 1,5 A przedstawiono na Rys. 11. Linie
czarne oznaczają widma obliczone gdy dioda była poprawnie przylutowana, a podwójne
gdy temperatura wody była niższa. Jak widać pozostawienie wyprowadzenia termicznego
nie przylutowanego znacznie zwiększa rezystancję kontaktu, praktycznie podwajając
odpowiadającą jej wartość stałej czasowej.
Parametryczny model kompaktowy diody LED
22
Rys. 11: Przykładowe widma obliczone dla prądu diody 1,5 A.
Kolejnym krokiem było wygenerowanie trójczłonowych modeli kompaktowych
w postaci drabinek RC Fostera poprzez dokonanie podziału widm w miejscach minimów
wskazanych na rysunku strzałkami. W ten sposób określone zostały wartości rezystorów
w modelu, oraz wyznaczono przedziały, w których znajdują się stałe czasowe. Następnie
ustalono wartości tych stałych ponownie wykorzystując zaimplementowaną w Matlabie
procedurę opartą na algorytmie Levenberga-Marquardta [36]. W każdym przedziale
optymalne wartości stałych czasowych obliczano minimalizując błędy pomiędzy
wynikami symulacjami i pomiarami. Na zakończenie wartości kondensatorów zostały
obliczone dzieląc odpowiednie wartości stałych czasowych i rezystorów.
Fizycznie poprawne kompaktowe modele termiczne otrzymano poprzez zamianę
drabinek Fostera na matematycznie równoważne modele drabinkowe Cauera. Następnie
otrzymane wartości elementów kompaktowych modeli termicznych drabinkowych sieci
Cauera zostały poddane analizie mającej na celu określenie wpływu wartości prądu diody
i temperatury cieczy chłodzącej. Analiza ta wykazała, że tylko wartości rezystancji R1
i R2 oraz pojemności C2 zmieniają się zauważalnie, a do modelowania ich wartości
zaproponowano użycie następującego wzoru [A-2]:
1E-2
1E-1
1E+0
1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1 1E+0 1E+1
Re
zys
tan
cja
te
rmic
zn
a (
K/W
)
Stala czasowa (s)
10C 1.5A z wypr. term.
90C 1.5A z wypr. term.
10C 1.5A bez wypr. term.
90C 1.5A bez wypr. term.
kontakt
z MCPCB
kontakt
z płytkąchłodzącą
Parametryczny model kompaktowy diody LED
23
cXaXY b )( (8)
gdzie Y jest wartością rezystora lub kondensatora, a X wartością prądu nagrzewania lub
temperatury cieczy. Prąd powinien być wyrażony w amperach, a temperatura w stopniach
Celsjusza.
Wartości współczynników a, b, c zostały określone z wykorzystaniem narzędzia
optymalizacyjnego ‘Curve Fitting’ dostępnego w Matlabie. Zmieniające się w modelu
wartości rezystancji oraz pojemności ukazują Rys. 12-14. oddzielnie dla diody poprawnie
przylutowanej oraz diody z nieprzylutowanym wyprowadzeniem termicznym. Jak widać
wartość rezystora R1 zależy od temperatury wody, a wartości elementów w środkowym
stopniu drabinki RC zależą tylko od prądu diody.
Rys. 12: Wartości rezystancji R1 obliczone na podstawie modelu.
Rys. 13: Wartości rezystancji R2 obliczone na podstawie modelu.
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Re
zy
sta
nc
ja te
rmic
zn
a (K
/W)
Temperatura ( C)
WPT NTP
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Rezysta
ncja
term
iczn
a (K
/W)
Prąd (A)
WPT NTP
Parametryczny model kompaktowy diody LED
24
Rys. 14: Wartości pojemności C2 obliczone na podstawie modelu.
Zaproponowany model parametryczny zostały zweryfikowany poprzez symulacje
krzywych nagrzewania diody LED i porównanie ich z wynikami pomiarów. Otrzymane
krzywe dla dwóch skrajnych wartości temperatury cieczy chłodzącej i prądów 0,5 A oraz
2,0 A przedstawia Rys. 15. Jak można zauważyć, symulowane krzywe bardzo dokładnie
odpowiadają wynikom pomiarów dla czasów powyżej 1 ms. Zatem, zaproponowany
parametryczny kompaktowy model termiczny zapewnił we wszystkich rozważanych
przypadkach wysoką dokładność, a błędy symulacji nie przekraczały 3% wartości
przyrostu temperatury w stanie ustalonym.
Rys. 15: Porównanie wyników symulacji z pomiarami.
0.01
0.10
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Poje
mność cie
pln
a (J/K
)
Prąd (A)
WPT NTP
1E-1
1E+0
1E+1
1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1 1E+0 1E+1
prz
yro
st te
mp
era
tury
(K)
czas (s)
10C 0.5A WTP POM 90C 2.0A WTP POM
10C 0.5A NTP POM 90C 2.0A NTP POM
10C 0.5A WTP SYM 90C 2.0A WTP SYM
10C 0.5A NTP SYM 90C 2.0A NTP SYM
Parametryczny model kompaktowy diody LED
25
Dzięki wykonanym pomiarom i dogłębnej analizie wpływu prądu przewodzenia
diody oraz temperatury cieczy chłodzącej na wartości elementów modelu kompaktowego
możliwa była parametryzacja wartości jego elementów. Otrzymany ostatecznie model
pozwala na obliczanie wartości temperatury złącza przyrządu we wszystkich praktycznie
spotykanych warunkach pracy przyrządu. Ponadto, model ten może być łatwo włączony
do wielodomenowych modeli diod LED.
Podsumowanie
26
Podsumowanie
Niniejsza rozprawa dotyczy problematyki modelowania termicznego systemów
elektronicznych. Tematyka ta jest niezwykle ważna i aktualna, gdyż jak to już wcześniej
wspomniano, większość awarii urządzeń elektronicznych jest następstwem problemów
termicznych, a zatem możliwość dokładnego obliczenia temperatury przyrządów jest
kluczowa dla poprawnego zaprojektowania i funkcjonowania całego systemu. Do tego
celu niezbędne są też odpowiednie modele termiczne systemów.
Rozważania przedstawione w rozprawie dotyczyły pełnych, trójwymiarowych
modeli o stałych rozłożonych oraz kompaktowych modeli termicznych o parametrach
skupionych. Modele pełne były przedmiotem rozważań w Rozdziałach 4-5, a modele
kompaktowe omawiano w Rozdziałach 5-6. W każdym z tych rozdziałów przedstawiono
wybrane problemy związane z szacowaniem parametrów modeli termicznych, w tym
wartości własnych modeli, współczynnika wymiany ciepła oraz rezystancji i pojemności
cieplnych.
Rozdział 4 zilustrował na przykładach struktur jedno- oraz wielowarstwowych
problem szacowania wartości własnych, które są niezbędne do obliczenia rozkładu pola
temperatury metodą funkcji Greena. Wartości te są kolejnymi pierwiastkami równania
transcendentalnego w którym występują nieciągłe funkcje tangensoidalne posiadające
asymptoty. Położenie tych asymptot zależne jest od grubości poszczególnych warstw
występujących w strukturze. Pomiędzy sąsiadującymi asymptotami może nie znajdować
się żaden pierwiastek, bądź też kilka, a ponadto ich wartości często tylko nieznacznie
różnią się pod względem numerycznym od asymptot. Zatem poprawne wyznaczenie
wszystkich wartości własnych nie jest w ogólnym przypadku zadaniem trywialnym.
Zaproponowany w rozprawie algorytm z powodzeniem potrafił automatycznie określić
wszystkie wartości własne, co dowodzi postawionej tezy, iż: możliwe jest opracowanie
algorytmu pozwalającego na zautomatyzowanie procesu wyznaczania wartości
własnych niezbędnych do otrzymywania rozwiązań równania przewodnictwa
cieplnego dla struktur wielowarstwowych metodą analityczną funkcji Greena.
Podsumowanie
27
Badania dotyczące modeli trójwymiarowych były kontynuowane w Rozdziale 5
na przykładzie analizowanego uprzednio układu hybrydowego. Zaprezentowane w tym
rozdziale wyniki dowodzą, iż stosowanie stałych, uśrednionych wartości współczynnika
wymiany ciepła, niezależnych od temperatury, może prowadzić do znacznych błędów
symulacji. Zatem niezbędne jest szacowanie lokalnych wartości współczynnika wymiany
ciepła, co umożliwiają różnego rodzaju algorytmy numeryczne.
Przedstawione wyniki symulacji przeprowadzonych z wykorzystaniem różnego
rodzaju metod, w tym algorytmu autorskiego, charakteryzują się zadowalająco wysokim
poziomem dokładności. Podobne badania zostały zaprezentowane w Rozdziale 5 dla
kompaktowego modelu termicznego diody mocy, gdzie szacowane były wartości średnie
współczynnika wymiany ciepła. Wyniki badań wykazały, że zapewnienie odpowiedniej
dokładności symulacji także wymaga uwzględnienia zmian wartości tego współczynnika
w zależności od warunków chłodzenia. Natomiast wyniki badań dotyczące diody LED
przedstawione w Rozdziale 6, wykazały, iż w niektórych przypadkach konieczne może
być też uwzględnianie zmian innych parametrów modeli termicznych, w tym rezystancji
i pojemności cieplnych. Badania te udowodniły kolejnej tezy Rozprawy sformułowanej
w sposób następujący: wykorzystanie w symulatorach termicznych algorytmów
rozwiązywania zagadnień odwrotnych oraz optymalizacji pozwala na szacowanie
wartości parametrów modeli termicznych oraz uzyskiwanie rozwiązań nieliniowego
równania przewodnictwa cieplnego,
Ponadto wyniki badań przedstawionych w Rozdziałach 5-6 dotyczących modeli
parametrycznych diod mocy oraz diody LED pokazały, że parametry tych modeli mogą
być szacowane poprzez wykorzystanie odpowiednio zaadaptowanych algorytmów stada
dowodząc kolejnej tezy mówiącej, że algorytmy rojowe można wykorzystać do celów
identyfikacji parametrycznej funkcji opisującej wartości elementów modeli
termicznych.
Badania przedstawione w Rozprawie wykazały, iż w większości rzeczywistych
przypadków wartości elementów modeli termicznych systemów elektronicznych nie
mogą zostać uznane za stałe, ponieważ ich wartości zależą od punktu pracy urządzeń
elektronicznych oraz narzuconych warunków chłodzenia.
Podsumowanie
28
W szczególności pokazano, iż uwzględnianie w modelach termicznych zmian
wartości rezystancji i pojemności cieplnych, a także średnich oraz lokalnych wartości
współczynnika wymiany ciepła możliwe jest przy użyciu różnego rodzaju algorytmów
numerycznych, a uzyskane wyniki symulacji termicznych cechują się zadowalająco
wysokim poziomem dokładności. Zatem przedstawione w Rozprawie wyniki badań mogą
mieć istotne znaczenie dla projektowania nowoczesnych systemów elektronicznych,
a wykorzystanie otrzymanych rezultatów może pozwolić na dalszą optymalizację oraz
znaczącą poprawę niezawodności systemów elektronicznych.
Bibliografia
29
Bibliografia
Publikacje z udziałem Autorki
[A-1] Janicki M., Samson A., Raszkowski T., Torzewicz T., Napieralski, Consideration
on the importance of proper heat transfer coefficient modelling in air cooled
electronic systems, Facta Universitatis, vol. 31, 2018, pp. 519-528.
[A-2] Janicki M., Torzewicz T., Ptak P., Raszkowski T., Samson A., Górecki K.,
Parametric compact thermal models of power LEDs, Energies, 2019, vol. 12,
Paper 1724.
[A-3] Raszkowski T, Samson A., Janicki M., Numerical and analytical determination
of compact thermal model parameters, Bulletin de la Société des Sciences et des
Lettres de Łódź, Série: Recherches sur les Déformations, vol. LXVII, no. 2, 2017,
pp. 101-119.
[A-4] Raszkowski T., Samson A., Application of genetic algorithm and swarm
intelligence algorithms to heat transfer coefficient estimation, Bulletin
de la Société des Sciences et des Lettres de Łódź, Série: Recherches sur les
Déformations, vol. LXVII, no.3, 2017, pp. 103-125.
[A-5] Raszkowski T., Samson A., Zubert M., Janicki M., Napieralski A., Structure-
Aware Thermal Model Reduction, Proc. 33rd SEMI-THERM, San Jose, USA, 13-
17 March, 2017, pp. 48-51.
[A-6] Samson A, Janicki M., Raszkowski T., Zubert M., Determination of average heat
transfer coefficient value in compact thermal models, Proc. of 17th EuroSimE,
Montpellier, France, 18-20 April, 2016, pp.263-266.
[A-7] Samson A, Torzewicz T., Raszkowski T., Janicki M., Zubert M., Napieralski A.,
Modelling of average radiation and convection heat transfer coefficient value
in electronic systems, Proc. 23rd MIXDES, Lodz, Poland, 23-25 June, 2016, pp.
271-275.
[A-8] Samson A., Raszkowski T., Torzewicz T., Sobczak A., Janicki M, Zubert M.,
Napieralski A., Estimation of local heat transfer coefficient in hybrid electronic
circuits - method comparison, Pros. 9th ICIPE, Waterloo, Canada, 23-26 May,
2017, Paper 22T.
Bibliografia
30
[A-9] Torzewicz T., Baran K., Raszkowski T., Samson A., Wachta H., Napieralski A.,
Compact Thermal Modelling of Power LED Light Sources, Proc. 30th MIEL, Nis,
Serbia, 9-11 October 2017, pp. 157-160.
Pozostałe publikacje
[1] Alifanov O.M, Determination of heat loads from a solution of the nonlinear inverse
problem, High Temperature, vol. 15, 1977, pp. 498-504.
[2] Alifanov O.M., Artyukhin E.A., Regularized numerical solutions of nonlinear
inverse heat conduction problem, Journal of Engineering Physics, vol. 29, 1975, pp.
934-938.
[3] Alifanov O.M., Artyukhin E.A., Rumyantsev S.V., Extreme methods for solving
ill-posed problem with applications to inverse heat transfer problems, Begell
House, New York, 1995.
[4] Alifanov O.M., Inverse heat transfer problem, Springer, New York, 1994.
[5] Alifanov O.M., Mikhailov V.V., Solution of the overdetermined inverse problem
of thermal conductivity involving inaccurate data, High Temperature, vol. 23, nr 1,
1985, pp. 112-117.
[6] Alifanov O.M., Solution of an inverse problem of heat-conduction by iterative
methods, Journal of Engineering Physics, vol. 26, 1974, pp. 471-476.
[7] Aster R.C, Borchers B, Thurber C.H., Parameter estimation and inverse problems,
Elsevier, 2005.
[8] Batty W., Christoffersen C., Panks A.J., David S., Snowden C.M., Steer M.B.,
Electrothermal CAD of power devices and circuits with physical time-dependent
compact-thermal modeling of complex nonlinear 3-D systems, IEEE Transactions
on Components and Packaging Technologies, vol. 24, 2001, pp. 566-590.
[9] Bayazitoglu Y., Ozisik M.N., Elements of heat transfer, McGraw-Hill, 1988.
[10] Beck J.V., Blackwell B., ST. Clair C.R. Jr., Inverse heat conduction – Ill- posed
problems, John Wiley&Sons, 1985.
Bibliografia
31
[11] Beck J.V., Calculation of surface heat flux from an internal temperature history,
ASME Paper 62-HT-46, 1962.
[12] Beck J.V., Cole K.D., Haji-Sheikh A., Litkouhi B., Heat conduction using Green’s
Functions Second Edition, CRC Press Taylor & Francis Group, 2011.
[13] Beckman F.S., The solution of linear equation by conjugate gradient method,
Mathematical Methods for Digital Computer, A. Ralson and H. S. Wilf chapter 4,
Wiley, New York, 1960.
[14] Bjorck A., Dahlquist G., Metody numeryczne, PWN, Warszawa, 1983.
[15] Carslaw H.S., Jaeger J.S., Conduction of heat in solids, Clarendon Press, Oxford,
1947.
[16] De Monte F., Marcotullio , Computer-aided automatic computation of eigenvalues
for multi-layer transient heat conduction problems, LIX Congresso Nazionale della
Associazione Termotecnica Italiana, Genova, 14 - 17 September, 2004, pp. 2067-
2078.
[17] Epperson J.F., An introduction to numerical methods and analysis, Wiley-
Interscience, 2007.
[18] Fourier J.-B. J., Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris, 1822.
[19] Furmańczyk M., Napieralski A., Yu E., Przekwas A., Turowski M., Thermal model
reduction for integrated circuits, Proc. of 4th Workshop THERMINIC, September
27-29, 1998, Cannes, France, pp. 135-138.
[20] Haji-Sheikh A., Beck J. V., Agonafer D., Steady-state heat conduction in multi-
layer bodies, International Journal of Heat and Mass Transfer 46, 2003, pp. 2363-
2379.
[21] Haji-Sheikh A., Beck J. V., An efficient method of computing eigenvalues in heat
conduction, Numerical Heat Transfer, Part B, 2000, pp. 133-156.
[22] Haji-Sheikh A., Beck J. V., Agonafer D., Steady-state heat conduction in multi-
layer bodies, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 46, 2003,
pp. 2363-2379.
Bibliografia
32
[23] Haji-Sheikh A., Beck J. V., Temperature solution in multi-dimensional multi-layer
bodies, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 45, 2002, pp.1865-
1877.
[24] Haji-Sheikh A., De Monte F., Beck J. V., Temperature solutions in thin films using
thermal wave Green’s function solution equation, International Journal of Heat and
Mass Transfer, vol. 45, 2002, pp. 1865-1877.
[25] Hering M, Termokinetyka dla elektryków, WNT, Warszawa, 1980.
[26] Janicki M., De Mey G., and Napieralski A, Application of Green’s functions for
analysis of transient thermal states in electronic circuits, Microelectronics Journal,
vol. 33, 2002, pp. 733-738.
[27] Janicki M., De Mey G., Napieralski A., Thermal analysis of layered electronic
circuits with Green’s functions, Microelectronics Journal, vol. 38, 2007, pp. 177-
184.
[28] Janicki M., De Mey G., Napieralski, Transient thermal analysis of multilayered
structures using Green’s functions, Microelectronics Reliability, vol. 42, 2002,
pp. 1059-1064.
[29] Janicki M., Sarkany Z, Napieralski A., Impact of nonlinearities on electronic device
transient thermal responses, Microelectronic Journal, vol. 45, 2014, pp. 1721-5.
[30] Janicki, M., Kindermann S., and Napieralski, A., Investigation of circuit thermal
models based on transient thermal response spectra, Proc. 15th MIXDES, Poznan,
Poland, 19-21 June 2008,pp. 337-342.
[31] Kącki E., Termokinetyka, WN-T, warszawa, 1967.
[32] Kakac S., Yener Y., Heat conduction, Taylor and Francis, 1993.
[33] Kreyszig E., Advanced engineering mathematics, Hoboken: John Wiley & Sons,
2011.
[34] Levenberg K., A method for the solution of certain non-linear problems in least
squares, Quarterly of Applied Mathematics, vol. 2, 1944, pp. 164-168.
Bibliografia
33
[35] Lydersen A.L., Fluid flow and heat transfer, John Wiley & Sons Ltd., 1989.
[36] Marquard D.W., An algorithm for least squares estimation of nonlinear parameters,
Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, vol. 11, 1963, pp.
431-441.
[37] Ozisik M.N, Orlande H.R.B, Inverse heat transfer, Taylor & Francis, New York,
2000.
[38] Ozisik M.N.: Heat Conduction, John Wiley & Sons Inc., 1993.
[39] Pańczyk B., Łukasik E., Sikora J., Guziak T., Metody numeryczne w przykładach,
Politechnika Lubelska, Lublin, 2012.
[40] Rencz M., Szekely V.: Dynamic thermal multiport modeling of IC packages, IEEE
Transactions on Component & Packaging Technology, vol. 24, 2001, pp. 596-604.
[41] Sabry M.N, Compact thermal models for electronic systems, IEEE T. Components
and Packaging Technologies, vol. 26, 2003, pp.179-185.
[42] Tikhonov A.N., Arsenin V.Y., Solution of ill-posed problems, Winston & Sons,
Washington, DC, 1977.
[43] Tikhonov A.N., Inverse Problems in heat conduction, Journal of Engineering
Physics, vol. 29, 1975, pp.816-820.
[44] Tikhonov A.N., Obratnye zadatchy teplovodnosity, Inzhinero-Fiziczieski Zhurnal,
vol. 29, 1975, pp. 7-12.
[45] Tikhonov A.N., Regularization of incorrectly posted problems, Soviet Mathematics
Doklady, vol. 4, 1963, pp.1624-1627.
[46] Tikhonov A.N., Solution of incorrectly formulated problems and the regularization
method, Soviet Mathiematics Doklady, vol. 4, nr 4, 1963, pp.1035-1038.
[47] Więcek B, Odprowadzanie ciepła w układach elektronicznych ze szczególnym
uwzględnieniem konwekcji naturalnej i promieniowania. Zeszyty naukowe nr 820,
Politechnika Łódzka, 1999.
[48] Wiśniewski S., Wymiana ciepła, WN-T, Warszawa 2000.